Kvant 1975, số 12 · Trang

1975
12

Kvasht
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Olympic trường quốc tế ХVII
trong toán học

Vào tháng 7 năm nay, Kỳ thi Olympic Toán quốc tế dành cho học sinh lần thứ XVII đã được tổ chức tại thành phố Burgas của Bulgaria. Bạn có thể đọc thêm về Olympic này trong bài viết trên trang. 57. Ban biên tập và nhân viên biên tập «Kvant» chúc mừng các thành viên của đội tuyển Liên Xô đã thi đấu thành công tại Olympic.

Trong mô phỏng này bạn sẽ thấy những người tham gia, đội toán Liên Xô. Từ trái sang phải ngồi: A. Reznikov, I. Yunus, V. A. Skovortsov (trưởng nhóm), Z. I. Moniseeva (phó trưởng nhóm), B. Yusin; đứng: G. Shmelev, T. Khovanova, S. Finashin, Yu. Neretin, A. Kornyushkin.

Ảnh của N. Vasiliev

TRONG PHÒNG:

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov
S. T. Belev
V. G. Boltyansky
N. B. Vasiliev
Yu. N. Efremov
V. G. Zubov
P. L. Kapitsa
V. A. Kirillin
A. I. Klimanov
(nghệ sĩ chính)
S. M. Kozel
V. A. Leshkovtsev
(Phó tổng biên tập)
L. G. Makar-Limanov
A. I. Markushevich
N. A. Patrikeva
I. S. Petrkov
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
Tôi. Sh. Slobodetsky
M. L. Smolyansky
(Phó tổng biên tập)
Y. A. Smorodinsky
V. A. Fabricant
A. T. Tsvetkov
M. P. Shaskolskaya
S. I. Schwartzburg
A. I. Shirshov

biên tập:
V. N. Berezin
A. N. Vilenkin
I. N. Klumova
T. M. Makarova
(biên tập nghệ thuật)
T. S. Petrova
V. A. Tikhomirova
L. V. Chernova
(người quản lý biên tập)

2 S. G. Gindikin. Felix Klein
10 N. Vâng. Vilenkin, A. G. Mordkovich. Công cụ phái sinh là gì
19 V. G. Boltyansky. Tính chất quang học của elip, hyperbol và parabol
24 M. I. Faingold. Parabol tuyệt vời này
29 SG Verov. Brachistochrone, hay một bí ẩn khác của Cyclops

Vấn đề «Kvant»
36 Bài toán M356—M360; F368—F372
38 Lời giải bài toán M318—M320; F328, F330—F332, F334

Xưởng của người nộp đơn
46 E. G. Gotman. Y học và trung linney
51 G. Vâng. Myakitsev. Tính tiết diện của mạch chứa e. d.s.

Olympic quốc tế dành cho học sinh
57 Z. I. Moiseeva, V. A. Skovortsov. Olympic Toán lần thứ XVII
59 V. G. Razumovsky, G. S. Tarasok. Olympic Vật lý lần thứ VIII

Đánh giá, thư mục
64 V. M. Yavorsky. Dành cho học sinh về vật lý của cơ thể sáng tạo

Thông tin
66 I. G. Venetsky, Yu. I. Sorkin, N. B. Shkundina. Olympic Toán VI MESI

«Kvant» cho học sinh nhỏ
67 Bài toán
68 E. E. Semenov. Chỉ, thẳng… - cái gì vậy?
71 Đáp số, gợi ý, lời giải
78 In 1975
Trộn (tr. 18, 35, 50, 56)

Trên trang đầu tiên của trang bìa có chú thích cho bài viết của V. G. Boltyansky “Thuộc tính Otic của hình elip, hyperbola và parabola.” Các electron được đặt trước gương phản xạ. Các tia Sven phản chiếu từ bề mặt của gương phản xạ, rơi vào máy ảnh vật thể - trong máy ảnh, toàn bộ gương phản xạ phát sáng. Và nếu một bóng đèn 40 watt được bật cùng với các electron, bạn sẽ có được một máy chiếu tốt. Hãy thử nó!

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nauka, «Kvant», 1975

2

1. “Spurs hiệp sĩ”

F. Klein sinh năm 1849 tại Düsseldorf. Tại đây anh đã tốt nghiệp trung học; năm 1865 ông vào Đại học Bonn. Ngay năm sau, Giáo sư Julius Plücker (1801–1868) đã thuê một sinh viên mười bảy tuổi làm trợ lý vật lý. Plücker bắt đầu sự nghiệp khoa học của mình với tư cách là một nhà hình học, nhưng dần dần chuyển sang vật lý thực nghiệm. Tuy nhiên, trong những năm cuối đời, sau một thời gian dài nghỉ ngơi, Plücker quay trở lại với hình học. Klein viết: “Bước ngoặt này đóng một vai trò quyết định trong sự phát triển của chính tôi. Klein đã chuẩn bị ấn bản hồi ký cuối cùng của Plücker (1869) sau khi di cảo. Có lẽ đây là lý do cuối cùng khiến luận án của ông (1868), mà theo chính Klein, ông đã “kiếm được những chiếc cựa hiệp sĩ” và lần xuất bản đầu tiên của ông (1869) là hình học.

Vừa trở thành một giáo viên, Klein đã trở thành một “hiệp sĩ sai lầm”. Ông đến thăm các trung tâm toán học chính của Đức (Gettigren, Berlin), thiết lập mối quan hệ cá nhân với Clebsch, Weber, Weierstrass. Một nhà khoa học trẻ đầy triển vọng muốn học hỏi ngay lập tức được chú ý. Mối liên hệ của Klein với các đồng nghiệp cũng không kém phần quan trọng. Bạn của Klein đặc biệt hài lòng với Sophus Lie vĩ đại của Na Uy (1842-1899); họ gặp nhau vào năm 1870 tại Berlin. S. Lee hơn Klein bảy tuổi, nhưng vào năm 1870, ông chỉ bước những bước đầu tiên trong lĩnh vực hình học.

Chẳng bao lâu sau Klein và Lee sẽ đến Paris. Tại đây họ làm quen với kỹ thuật của các nhà hình học người Pháp, những người

3

người đã có thể thu được các kết quả hình học quan trọng một cách dễ dàng đáng kinh ngạc, “qua không khí” (S. Lee). Đặc biệt quan trọng đối với số phận khoa học xa hơn của Klein và Lee là cuộc gặp gỡ của họ với Camille Jordan (1838-1922). Ngay trong năm 1870, Jordan đã xuất bản một công trình sâu rộng về lý thuyết nhóm hữu hạn, thu hút sự chú ý rộng rãi đến công trình của Galois (1811-1832). Có lẽ tác phẩm đầu tiên của Klein, dành cho việc nghiên cứu hình học của cái gọi là bề mặt Kummer, nghiên cứu đại số mà Jordan đã thực hiện trước đây, được dùng như một “vật thông qua” cho Jordan cho bạn bè của anh ấy.

Chiến tranh Pháp-Phổ buộc Klein phải rời Pháp. Khi cuộc chiến bắt đầu, Klein bị bệnh sốt phát ban; Sau khi khỏi bệnh, ông định cư ở Göttingen. Đối với Klein, thời điểm đạt được những thành tựu to lớn đang đến gần. N. Bourbaki viết rằng Klein đã hoàn thành “thời kỳ hoàng kim” của hình học. Nhưng trước khi nói về sự kết thúc rực rỡ của thế kỷ này, chúng ta hãy nhớ lại sự khởi đầu của nó.

2. “Thời đại hoàng kim” của hình học

Trở lại thế kỷ 17, Desargues (1593-1662) và Pascal (1623-1662) đã thu được những kết quả hình học đáng chú ý bằng cách sử dụng thiết kế trung tâm. Những kết quả này đã bị lãng quên trong gần một thế kỷ rưỡi. Gaspard Monge (1746-1818) một lần nữa thu hút sự chú ý đến những khả năng to lớn của phương pháp thiết kế; ông đã nói về điều này trong một khóa học về hình học mô tả mà ông dạy ở Trường Bách khoa. N. Bourbaki xác định thời kỳ “hoàng kim” của hình học là từ “Hình học mô tả” (1795) của Monge.

Trong số những thính giả của Monge có Victor Poncelet (1788-1867). “Đặc điểm nâng anh ta lên trên tất cả những người tiền nhiệm là một loại trực giác hình học mới—“tư duy phóng chiếu” (Klein).

Poncelet đã tạo ra hình học này trong hai năm ông bị giam cầm ở Saratov sau Chiến tranh năm 1812. Poncelet đã chia sẻ kết quả của mình với các bạn tù, những người cũng đã lắng nghe Monge tại Ecole Polytechnique. Những kết quả này được công bố vào năm 1822 trong “Chuyên luận về các đặc tính xạ ảnh của các hình”.

Giống như những người tiền nhiệm của mình, Poncelet bổ sung cho mỗi đường thẳng một điểm cách vô cùng, coi rằng tất cả các đường thẳng song song với nhau đều có một điểm chung ở vô cực (“giao nhau” tại nó). Mọi điểm ở vô cực đều tạo thành một đường thẳng ở vô cực. Trên một mặt phẳng hoàn chỉnh, sự song song trở thành một trường hợp đặc biệt của giao điểm và không cần xem xét đặc biệt (ví dụ: phát biểu rằng một đường thẳng song song với nó đi qua một điểm bên ngoài đường thẳng sẽ trở thành phát biểu rằng một đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau, một điểm thông thường và điểm kia ở vô cực). Với phép chiếu trung tâm, điểm cuối có thể không có hình ảnh (“đi đến vô cực”), nhưng trên một mặt phẳng chứa đầy các điểm ở xa vô hạn, ánh xạ này đã là một đối một.

Thiết kế trung tâm chuyển mặt phẳng này sang mặt phẳng khác; Sau khi thực hiện một số phép chiếu liên tiếp, chúng ta có thể quay trở lại mặt phẳng ban đầu, thu được sự biến đổi của mặt phẳng này. Những phép biến đổi như vậy (chúng bắt đầu được gọi là phép chiếu) bao gồm sự dịch chuyển, tính đồng nhất và phép giãn nở. Các phép biến đổi xạ ảnh là một đối một (trên mặt phẳng đã hoàn thành) và biến đổi các đường thẳng thành các đường thẳng (sau này hóa ra bất kỳ phép biến đổi nào có các thuộc tính này đều là xạ ảnh). Các phép biến đổi xạ ảnh đưa đường thẳng ở vô cực vào chính nó được gọi là affine; Các phép biến đổi affine là một-một trên mặt phẳng thông thường. Poncelet nghiên cứu các đối tượng hình học được bảo toàn dưới các phép biến đổi xạ ảnh. Hóa ra là dưới các phép biến đổi xạ ảnh, phần hình nón cũng biến đổi thành phần hình nón (nhưng, ví dụ, một hyperbol có thể biến đổi thành một parabol, và bất kỳ phần hình nón nào cũng có thể được biến đổi thành một đường tròn bằng phép biến đổi xạ ảnh). Quan sát sau đây tỏ ra cực kỳ hiệu quả. Đặt $A$, $B$, $C$, $D$ là các điểm nằm trên cùng một đường thẳng, $\{A,\ B,\ C,\ D\} =$
$$= \frac{|AC| \cdot |BD|}{|AD| \cdot |BC|}$$

• gấp đôi hoặc tỷ lệ anhharmonic của bốn điểm. Giả sử, dưới một số phép biến đổi xạ ảnh của điểm

1*

4

$A$, $B$, $C$, $D$ chuyển đến các điểm $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ (chắc chắn chúng sẽ nằm trên cùng một đường thẳng). Khi đó $\{A,\ B,\ C,\ D\}=\{A',\ B',\ C',\ D'\}$, nghĩa là, dưới các phép biến đổi xạ ảnh, quan hệ kép của bốn điểm được giữ nguyên. Ví dụ: nếu một trong các điểm, $D$, là một điểm ở vô cùng, thì $\{A,\ B,\ C,\ D\}$ được đặt bằng $\dfrac{|AC|}{|BC|}$ và chúng ta nhận được rằng dưới các phép biến đổi affine, tỷ lệ độ dài của các đoạn nằm trên cùng một đường thẳng được giữ nguyên (tại sao?).

Tiếp theo, Poncelet cố gắng loại bỏ các trường hợp ngoại lệ về sự sắp xếp lẫn nhau của các đường conic. Ví dụ, tại sao hai hình elip có thể cắt nhau tại bốn điểm, nhưng một cặp đường tròn lại có nhiều nhất là hai điểm? Câu hỏi này nhận được đáp số đáng ngạc nhiên. Ngoài một cặp điểm giao nhau thực, các vòng tròn còn có một cặp điểm chung phổ quát (giống nhau cho tất cả các đường tròn trên mặt phẳng!) Không được chú ý do thực tế là chúng… tưởng tượng và đồng thời cách xa vô tận. Những điểm này được gọi là chu kỳ.

Bây giờ - vài lời về bốn nhà toán học người Đức: Ferdinand Möbius (1790-1868), Jacob Steiner (1796-1863), Christian von Staudt (1798-1867) và Plücker đã được đề cập. Tên tuổi của họ gắn liền với cuộc đấu tranh gay gắt giữa các hướng giải tích và tổng hợp trong hình học.

Ở đây, các từ “phân tích” và “tổng hợp” được sử dụng theo nghĩa không chuẩn: hình học giải tích sử dụng phương pháp tọa độ, do đó có thể sử dụng đại số và phân tích trong hình học; hình học tổng hợp hoạt động với các cấu trúc không gian trực tiếp.

Cuộc đọ sức khốc liệt nhất là giữa nhà phân tích Plücker và Steiner tổng hợp; Möbius (nhà phân tích) và Staudt (nhà tổng hợp) tránh xa cuộc đấu tranh. Klein rất dễ dàng tham gia vào cuộc đấu tranh về phía các nhà phân tích, nhưng anh ấy đã cố gắng vượt lên trên cuộc xung đột, có lẽ được hướng dẫn bởi sự hướng dẫn của người bạn của anh ấy, nhà sinh lý học Ludwig: “Bạn cần phải di chuyển 600 km khỏi nơi tranh chấp và từ đó xem xét lại mối quan hệ.”

Hoạt động của các nhà phân tích trước hết đòi hỏi sự cải tiến

giới thiệu phương pháp tọa độ. Về mặt tổng hợp, điều quan trọng là đưa ra các định nghĩa không có tọa độ của các đối tượng của hình học xạ ảnh, ví dụ, các đường cong bậc hai. Điều này được thực hiện bởi Steiner, một nhân vật đầy màu sắc trong lịch sử toán học. Một người nông dân Thụy Sĩ “đi sau cái cày cho đến năm 19 tuổi”, ông bắt đầu học toán ở tuổi trưởng thành. Steiner phản đối mạnh mẽ các đại lượng ảo trong hình học, gọi chúng là “những bóng ma” hay “vương quốc bóng tối”. Tuy nhiên, von Staudt đã chỉ ra rằng với các vật thể tưởng tượng phát sinh trong hình học xạ ảnh, có thể liên tưởng các cấu trúc vật chất thuần túy tương đương với chúng. Một thành tựu quan trọng khác của Staudt là ông có thể xác định tỷ lệ kép của bốn điểm một cách trực tiếp mà không cần sử dụng khoảng cách (không được bảo toàn trong các phép biến đổi xạ ảnh).

Và cuối cùng, một cái tên khác là nhà toán học người Anh Arthur Keley (1821-1895), người đã làm việc trong lĩnh vực toán học trong một thời gian dài mà không gián đoạn hành nghề luật của mình. Chúng ta sẽ tập trung vào một trong những tác phẩm của Keli - Hồi ký hình thức thứ sáu nổi tiếng (1859). Keli nhận thấy rằng các phép dịch chuyển Euclide nổi bật so với tất cả các phép biến đổi xạ ảnh ở chỗ chúng bảo toàn các điểm tuần hoàn. Kết quả là, bằng cách sử dụng các điểm tuần hoàn, tất cả các đối tượng của hình học Euclide (khoảng cách, góc, v.v.) có thể được xác định thông qua các khái niệm xạ ảnh (được bảo toàn dưới các phép biến đổi xạ ảnh). Keli gọi hình học xạ ảnh là mô tả, và hình học Euclide là số liệu và viết: “Do đó, hình học số liệu là một phần của hình học mô tả và hình học mô tả là tất cả hình học”. Cần lưu ý rằng trước đây quan điểm dường như hoàn toàn ngược lại, tức là hình học xạ ảnh là hình học so sánh.

5

phần thực sự kém của Euclide. Kely lưu ý thêm rằng, dựa trên hình học thiết kế, có thể rút ra các khoảng cách khác với khoảng cách Euclidian (số liệu hoặc định nghĩa của Keley): mỗi khoảng cách như vậy trên mặt phẳng được liên kết với một số đường cong bậc hai (can thiệp hoặc cực tiểu), sao cho khoảng cách này không thay đổi theo tất cả các phép biến đổi thiết kế bảo toàn khoảng cách của đường cong.

3. Mô hình Keley-Klein

Năm 1869, Klein làm quen với lý thuyết của Keley, và vào cuối năm đó - khá hời hợt - với hình học của Lobachevsky. Ông ngay lập tức nảy ra ý tưởng rằng một trong những thước đo của Keli sẽ dẫn tới hình học Lobachevsky. Đó là một thỏa thuận, gần như không có tranh cãi. Lý thuyết của Kely và lý thuyết của Lobachevsky hoàn toàn khác nhau về hình thức (các tính toán của Kely với tỷ lệ kép và cách trình bày tiên đề của Lobachevsky), và hình học của Kely vẫn chưa phát triển đủ để có thể kiểm tra các tiên đề của hình học Lobachevsky. Vào tháng 2 năm 1870, Klein, khi trình bày báo cáo về lý thuyết của Kehley tại hội thảo của Weierstrass, đã quyết định đưa ra bằng chứng cho giả thuyết của mình. Tại hội thảo này, người ta không thường thảo luận về các dự án khoa học viễn tưởng: chàng trai trẻ “tự phụ” được giải thích rằng “đây là hai hệ thống khác xa nhau”; Klein đã sẵn sàng bảo vệ giả thuyết này đến mức ông “cho phép mình bị thuyết phục”. Sau đó, anh ấy phàn nàn về Weierstrass rằng anh ấy “không có xu hướng nhận ra trong đội những hàng dài chưa đạt tới độ cao.” Nhưng Klein vẫn không ngừng tin tưởng vào giả thuyết của mình. Vào mùa hè năm 1871, với sự giúp đỡ của người bạn Stolz, ông đã nghiên cứu kỹ lưỡng về hình học phi Euclid và bị thuyết phục về tính đúng đắn của ý tưởng của mình. Hơn nữa, có bằng chứng, Klein không thể thuyết phục người khác rằng mình đúng. Có lẽ điều phù hợp nhất với Klein là Keli vẫn nằm trong số những người không đồng ý với tuyên bố của ông cho đến cuối đời. Klein viết: “Sự kết hợp của cả hai không thể đưa ra kết luận từ những điều khoản do chính nó tạo ra”.

Một vài lời về chính mô hình Kehli-Klein. “Điểm” trong mô hình này là các điểm bên trong của một vòng tròn (vòng tròn có thể được thay thế bằng một đám mây được giới hạn bởi bất kỳ đường cong bậc hai nào) và “các đường thẳng” là các dây của vòng tròn này (không có điểm kết thúc). Điểm giao nhau của “đường thẳng” được xác định một cách tự nhiên; Rõ ràng là có vô số “đường thẳng” đi qua một “điểm” nằm ngoài “đường thẳng” mà không cắt đường thẳng ban đầu, tức là có sự phủ định của tiên đề song song của hình học Euclide. Chúng ta vẫn cần đảm bảo rằng tất cả các tiên đề Euclide khác cho mô hình được mô tả đều thỏa mãn: điều này có nghĩa là mô hình Klein là mô hình của hình học Lobachevsky. Các tiên đề liên quan đến vị trí tương đối của một điểm và đường thẳng được chứng minh tương đối dễ dàng. Nhưng khi kiểm tra các tiên đề về đẳng thức, thì trước hết bạn cần tin tưởng những phân đoạn nào được coi là bằng nhau; không thể kế thừa những khái niệm tương ứng của hình học Euclide. Klein, theo Kely, giả sử độ dài của đoạn $AB$ bằng: $|AB| = |\ln \{A, B, \alpha, \beta\}|$, trong đó $\alpha$ và $\beta$ là giao điểm của “đường thẳng” $AB$ với ranh giới của đường tròn đang xét (đường tròn này được gọi là đường tròn bụng). Các phép biến đổi dự án bảo toàn absciote bảo toàn “khoảng cách” đã xác định, tức là chúng là các chuyển vị trong mô hình Keley-Klein của hình học Lobachevsky.

Nhà toán học người Ý Eugenino Belgtrami (1835-1900) đã vạch ra một con đường khác để chứng minh hình học Lobachevsky vào năm 1868. Ông đã phát hiện ra sự hư hỏng - một giả cầu - những đường ngắn nhất mà trên đó (các đường Godezin) hành xử giống như các đường thẳng trong hình học Lobachevsky. Sau đó Belgtrami đã ném quả cầu giả đi bằng cách nào đó

6

trong một vòng tròn và thu được các công thức tương tự mà Klein sau này đã sử dụng trong lý thuyết của mình.

Klein đã nghiên cứu các hình học phi Euclide khác mà các phép đo Keley hướng tới, đặc biệt là phát hiện ra mô hình hình học Riemann (trong hình học Riemann tổng các góc của một tam giác lớn hơn $\pi$, trong hình học Lobachevsky nó luôn nhỏ hơn $\pi$).

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận xem mô hình Keley-Klein cung cấp những gì cho hình học Lobachevsky. Trước hết, đây là một cách trình bày khác với cách trình bày tiên đề, trực quan hơn. Klein mở đầu ấn phẩm của mình (1871) với dòng chữ rằng mục tiêu của ông là “đưa ra một cách trình bày trực quan mới về kết quả toán học của các công trình liên quan đến lý thuyết song song và làm cho chúng có thể hiểu được một cách rõ ràng” (Beltrami xây dựng mục tiêu của mình theo cách gần giống như vậy). Tuy nhiên, việc xây dựng một mô hình không chỉ giải quyết được vấn đề về phương pháp luận. Ngày nay, mô hình Keley-Klein được coi chủ yếu như một phương tiện chứng minh tính nhất quán của hình học lobachevsky. Trong mô hình Keley-Klein, các đối tượng của hình học Lobachevsky được hình thành bằng ngôn ngữ hình học Euclide, do đó sau khi dịch sang ngôn ngữ này, các định lý của hình học Lobachevsky chuyển thành định lý của hình học Lobachevsky, và do đó hình học Lobachevsky là nhất quán nếu hình học Euclide nhất quán.

Klein nhìn thấy ý nghĩa chính của mô hình mà ông xây dựng ở một thứ khác. Ông đặt hình học xạ ảnh lên hàng đầu, trong đó hình học của Euclid và Lobachevsky là những phần bằng nhau và độc lập. Về vấn đề này, sự độc lập của mô hình xây dựng của hình học Lobachevsky với hình học Euclide đã được nhấn mạnh, do đó, khả năng xây dựng hình học xạ ảnh mà không sử dụng hình học Euclide là rất quan trọng (theo Staudt, xem đoạn 2). Chính khoảnh khắc này đã khiến Keli nghi ngờ về sự tồn tại của một vòng luẩn quẩn. Klein đã viết: “Thay vì xây dựng các hình ảnh của hình học phi Euclid trong hình học số liệu của chúng tôi, chúng tôi chứng minh một hình học xạ ảnh không có bất kỳ biểu diễn số liệu nào, chứa tất cả các hệ thống hình học đã biết, như các trường hợp đặc biệt có thể được phân loại rõ ràng”.

4. chương trình Erlangen

Trong nhiều thế kỷ, từ “hình học” chỉ được sử dụng ở số ít. Nhưng rồi hình học Lobachevsky xuất hiện, rồi hình học Riemann, và cuối cùng, các nhà toán học nhận ra rằng

có nhiều hình học khác nhau. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh: hình học là gì? Năm 1872, Klein bày tỏ quan điểm của mình trong một bài giảng liên quan đến việc đảm nhận chức giáo sư ở Erlangen. Đây là cách Chương trình Erlangen xuất hiện, rõ ràng là tác phẩm nổi tiếng nhất của Klein. Về cơ bản, không có kết quả mới nào trong đó; mọi sự chú ý đều tập trung vào việc tìm kiếm một nguyên lý cho phép chúng ta hệ thống hóa sự hình thành rất vô định hình mà hình học đã biến thành vào thời đó.

Theo Klein, thuộc tính chính của bất kỳ hình học nào là một tập hợp $G$ nhất định của các phép biến đổi một-một của một tập hợp nào đó $M$. Phải có đủ các phép biến đổi để mỗi điểm của tập hợp $M$ có ​​thể được chuyển sang điểm khác bằng một số phép biến đổi từ $G$ (trong trường hợp này họ nói rằng $G$ tác dụng lên $M$ chuyển tiếp). Tất nhiên, quan điểm này được lấy cảm hứng từ hình học xạ ảnh, trong đó ngay từ đầu một số phép biến đổi (hình chiếu trung tâm) là cơ bản, trong khi trong hình học Euclide (trong cách trình bày truyền thống) các đối tượng khác là cơ bản: đường thẳng, đoạn thẳng, hình đồng dạng, v.v.

Điểm tiếp theo là tập biến đổi $G$ phải là một nhóm. Điều này có nghĩa là bất kỳ hai phép biến đổi nào từ $G$ được thực hiện liên tiếp đều có thể được thay thế bằng một phép biến đổi, cũng từ $G$; Ngoài ra, cùng với mỗi phép biến đổi $g \in G$ thành $G$, nghịch đảo của nó được bao gồm: $g^{-1}$ (nếu $g$ dịch $x$ thành $y$, thì $g^{-1}$ dịch $y$ thành $x$).

Vì vậy, với mỗi nhóm chuyển đổi $G$ có một số hình học liên quan. Nội dung của hình học như vậy là gì? Trước hết, tìm bất biến của nhóm $G$ - các thuộc tính được bảo toàn dưới tác dụng của các phép biến đổi từ $G$ (chính xác hơn là nếu một số đối tượng trong hình học của chúng ta có một bất biến

7

thì bất kể phép biến đổi nào từ $G$ mà chúng ta tác động lên nó, chúng ta sẽ nhận được một đối tượng cũng có thuộc tính này). Đối với một nhóm hình học có khóa thay đổi, tất cả các đặc tính hình học đã biết đều là bất biến, vì chúng ta không phân biệt vị trí của các hình trên mặt phẳng. Tuy nhiên, ngay cả trong một khóa học hình học truyền thống cũng có những phát biểu không tầm thường về các bất biến biến đổi không phải là biến số. Khi đã sẵn sàng, sự tắc nghẽn của các góc, tính chất của đường cong là hình tròn, tỷ lệ độ dài của các đoạn và tỷ lệ diện tích được bảo toàn. Có một nguồn cung cấp các thuộc tính bất biến nhất định, bạn có thể xây dựng những thuộc tính mới. Bất biến tương đối sẵn có sẽ là tính chất của đường thẳng vượt qua góc Bisserti, tính chất của đường cong cần thu được. Đối với phép giãn nở dọc trục, tính chất của đường cong là hình tròn sẽ không còn là bất biến mà tính chất của đường cong là hình elip (cũng như hyperbola hoặc parabola) sẽ là bất biến; tỷ lệ độ dài của các đoạn nằm trên cùng một đường thẳng (nhưng không nằm trên các đoạn thẳng khác nhau) và tỷ lệ diện tích được bảo toàn. Hệ quả là tính bất biến của tính chất của một điểm chia được một đoạn thẳng trong một quan hệ cho trước, tính chất của đường thẳng là đường trung bình của một tam giác. Có thể chỉ ra rằng bất kỳ phép biến đổi affine nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng thành phần của phép giãn biến và trục, và do đó tất cả các thuộc tính được chỉ định là bất biến dưới các phép biến đổi affine (ví dụ về bất biến thiết kế được đưa ra ở trang 3).

Việc lựa chọn các bất biến chỉ là lớp hình học đầu tiên. Nội dung chính của nó bao gồm định lý autour về sự tương ứng giữa các thuộc tính bất biến (chúng được gọi là thuộc tính định cỡ). Ví dụ, các đường trung tuyến của một tam giác là các bất biến affine của nó; sự tồn tại của một điểm chung chia các đường trung tuyến theo tỷ lệ 2:1 là một sự tương ứng không hề nhỏ giữa các tam giác này. Trong các định lý về giao của các bisserties và xác định sự phụ thuộc giữa các bất biến đã sẵn sàng.

Chasles đã thu hút sự chú ý đến khả năng sử dụng các phép biến đổi hình học để thu được các định lý mới vào năm 1837: “Mọi người đều có thể lấy một số chân lý đã biết và áp dụng vào đó các nguyên tắc chung khác nhau của phép biến đổi; vì vậy họ sẽ nhận được các chân lý khác… Geneus không còn cần thiết để góp phần xây dựng tầm vóc của ngôi đền khoa học nữa.” Tuy nhiên, nếu Shaw quyết định theo nghĩa đen: lấy bất kỳ định lý nào và áp dụng một phép biến đổi tùy ý cho nó, thì kết quả sẽ là một tuyên bố đúng, nhưng với một công thức thô thiển đến mức nó sẽ có rất ít cơ hội được đưa vào “ngôi đền của khoa học”. Ví dụ, hãy nghĩ xem định lý về giao điểm của bissertiric sẽ trở thành gì nếu bạn tự kéo dài? Làm thế nào chúng ta có thể giải thích bissertirica đi đến dòng nào? Klein giải thích rằng điều quan trọng là, ngược lại, phải hiểu mệnh đề nào trong số các mệnh đề được chuyển đổi không thay đổi, chọn các phép biến đổi giúp đơn giản hóa bức tranh càng nhiều càng tốt và chứng minh mệnh đề ở dạng kết quả (đơn giản hơn). Đây là một ví dụ truyền thống. Bằng phép biến đổi affine, bất kỳ tam giác nào cũng có thể biến thành tam giác đều, và vì trong định lý về giao điểm của các đường trung tuyến của diện tích đỏ: ví dụ: gọi $\lambda$ là diện tích của một hình lục giác được hình thành bởi “mridians” - các đường thẳng nối các đỉnh của tam giác với điểm chia cạnh đối diện thành ba phần bằng nhau (số $\lambda$ được xác định duy nhất). Khi đó trong bất kỳ tam giác nào, tỷ lệ diện tích của hình lục giác được tạo bởi các đường ba và diện tích của toàn bộ tam giác là $\lambda$. Teller bạn có thể dễ dàng đưa ra các định lý khác thuộc loại này.

Một trong những điểm quan trọng nhất trong lý luận của Klein là làm rõ tính tương hỗ giữa các hình học liên kết với các nhóm $G_1$ và $G_2$ nếu $G_1 \subset G_2$. ($G_1$ được cho là một nhóm con của $G_2$.) Nhóm lớn hơn $G_2$ có ít bất biến hơn $G_1$ và tất cả các định lý liên quan đến nhóm $G_2$ cũng đúng cho hình học liên kết với nhóm nhỏ hơn $G_1$.

8

Đối với Posny, trong mỗi hình học cụ thể, điều quan trọng là phải tìm ra các phát biểu vẫn đúng cho hình học với các nhóm phép biến đổi rộng hơn. Đôi khi, khả năng “chuyển” một mệnh đề sang hình học với nhóm phép biến đổi rộng hơn chỉ trở nên rõ ràng sau khi làm lại công thức của mệnh đề.

Hệ tư tưởng của Kelly trong ngôn ngữ của chương trình Ergangen là người ta có thể di chuyển theo hướng ngược lại, xem xét một nhóm các phép biến đổi bảo toàn một số đối tượng cố định. Trong trường hợp này, thông thường các bất biến cho một nhóm con có thể được xây dựng bằng cách sử dụng các bất biến cho một nhóm (khoảng cách trong hình học ενclidian và phi Euclide - sử dụng quan hệ kép).

Các bất biến đối với nhóm lớn hơn và theo đó, giữa chúng thường mô tả quá trình. Đặc biệt, đối với nhóm thiết kế bài toán, việc tìm các bất biến có thể được thực hiện hoàn toàn bằng đại số và giải được.

Chương trình Ergangen đã kết thúc “thời kỳ hoàng kim” của hình học cổ điển. Số lượng hình học mới ngày càng tăng; Dần dần, ngôn ngữ hình học đã tạo ra một phần quan trọng của toán học. “Hình học cổ điển đã phát triển vượt bậc và từ một ngành khoa học độc lập sống động đã trở thành ngôn ngữ phổ quát của toán học hiện đại, sở hữu tính linh hoạt và tiện lợi đặc biệt” (N. Bourbaki).

5. Thực tập sinh tại trường Riemann

Sau Chương trình Ergangen, Kelly chuyển sang lý thuyết về hàm đại số - một lĩnh vực mà Gauss, Legendre, Abel, Jacobi, Weierstrass và Riemann đã nghiên cứu. Những ý tưởng của Riemann (1826 - 1866), người mà ông không quen biết, hóa ra lại gần gũi hơn với Klein. Theo Kelly, anh ấy là “một sinh viên bên ngoài tại Trường Riemann, … và những sinh viên bên ngoài, như bạn biết đấy, nếu họ đảm nhận bất kỳ công việc kinh doanh nào, họ sẽ làm việc với thời gian đặc biệt hoặc họ chỉ có động cơ làm việc vì sự quan tâm sâu sắc”. Kälin sau đó viết rằng ông đã nhìn thấy bài toán của mình trong sự kết hợp giữa Riemann với Galya—tức là, trong sự thâm nhập của lý thuyết nhóm vào lý thuyết hình học về hàm số phức. Theo ý kiến ​​​​riêng của Kelin, đây là lĩnh vực hoạt động khoa học chính của ông.

Thật không may, chúng tôi sẽ không thể kể những câu chuyện về hoạt động này của Kelin, vì ở đây cần phải yêu cầu người đọc những kiến ​​​​thức đặc biệt vượt xa phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Nhưng chúng tôi vẫn sẽ đề cập đến một trường hợp.

Klein giải quyết cái gọi là vấn đề về tính đồng nhất. Xét các trường hợp quan trọng có thời gian phân tập và có nhiệm vụ tổng quát. Nhưng vào năm 1881 Klein đã phát hiện ra công trình nối tiếp của nhà toán học vô danh người Pháp Henri Poincaré (1854-1912), người về cơ bản đã giải quyết được khoảng cách thống nhất *). Klein chào đón sự kiện kịch tính này với vẻ trang nghiêm. Ông bắt đầu trao đổi thư từ với Poincaré; họ đã trao đổi 26 bức thư. Klein, vốn đã là một nhà toán học nổi tiếng (dù chỉ hơn Poincaré 5 tuổi), đóng vai trò là một giáo viên rất có chiến thuật. Ông giới thiệu cho Poincaré lý thuyết của Riemann, lý thuyết mà ông không hề biết nhưng ngay lập tức nắm bắt được. Klein quyết định làm những điều hiện đại với Poincaré: ông cải thiện cách chứng minh kết quả chính và phác thảo sự khái quát hóa của nó. Câu chuyện này kết thúc một cách đáng buồn đối với Kelin: “Cái giá mà tôi phải trả cho công việc của mình, trong mọi trường hợp, là rất cao, vì sức khỏe của tôi đã hoàn toàn suy sụp… Chỉ đến mùa thu năm 1884, tôi mới không còn đạt đến mức độ hoạt động sáng tạo cao hơn nữa… Hoạt động sáng tạo của riêng tôi trong lĩnh vực toán lý thuyết đã chấm dứt vào năm 1882.”

*) Bài toán đồng nhất tổng quát vẫn xuất hiện trong các bài toán của Hilbert (1900) và được giải quyết hoàn toàn một cách độc lập vào năm 1907 bởi Poincaré và Kebe.

9

6. 40 năm qua

Từ năm 1886, Klein đã làm việc ở Göttingen. Nhờ có Klein, thành phố này đã trở thành thủ đô toán học thực sự. Theo sáng kiến ​​​​của ông, các nhà toán học trẻ tài năng được mời đến Gottingen (người đứng giữa là Hilbert). Klein không bao giờ ngừng quan tâm đến những ý tưởng mới. Các khóa giảng của ông, được ghi âm và xuất bản một phần, dành cho nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, cơ học và vật lý. Các hoạt động tổ chức và xã hội của Klein rất đa dạng. Trong 50 năm, ông đã lãnh đạo việc xuất bản một trong những tạp chí toán học hàng đầu, Mathematische Annalen. Bài hát thiên nga của Klein là “Bài giảng về sự phát triển của toán học trong thế kỷ 19”, được đọc vào năm 1914–1919 và được xuất bản sau khi các học trò của ông là Courant và Neubauer. Đây là một đoạn trích từ lời nói đầu của họ: “Những bài giảng này là thành quả chín muồi của một cuộc sống phong phú trải qua ở trung tâm của các sự kiện khoa học, là sự thể hiện trí tuệ sâu sắc và hiểu biết lịch sử sâu sắc, văn hóa nhân văn cao độ và tài năng thuyết trình tuyệt vời.”

Klein đã dành một phần đáng kể thời gian và sức lực của mình để phát triển các vấn đề trong việc dạy toán ở trường và đào tạo giáo viên, điều mà người ta tin rằng chưa có nhà toán học tầm cỡ nào làm được trước ông. Klein viết: “Hiếm có môn học nào trong việc giảng dạy lại có quy trình như trong dạy toán. Quá trình toán tiểu học dẫn đến một khuôn khổ nhất định và chính xác dừng lại một lần và mãi mãi trong giới hạn đã thiết lập. Đôi khi, vì lý do này hay lý do khác, một bài toán được thay thế bằng những đoạn khác, một đoạn bị loại bỏ và những đoạn khác được giới thiệu; nhưng về cơ bản, điều này gần như không ảnh hưởng gì đến toàn bộ tài liệu của toán học ở trường. Các sách giáo khoa đại số mới mang dấu ấn của Euler đại số, giống như các sách giáo khoa hình học mới mang dấu ấn của hình học Legendre, người ta có thể nghĩ rằng toán học là một môn khoa học chết, không có gì thay đổi trong đó, rằng trong lĩnh vực kiến thức này không có ý tưởng mới, ít nhất là những ý tưởng có thể được cung cấp cho những người không chuyên, một môn học của giáo dục phổ thông.

Klein cố gắng tính đến tình hình giảng dạy của khoa học hiện đại, mối liên hệ giữa toán học và vật lý trong quá trình giảng dạy của mình. Ông khuyến nghị sử dụng một cách có hệ thống các phép biến đổi trong hình học và từ bỏ sự phát triển truyền thống của các môn toán học ở trường. Khóa học ở trường nên có nhiều chức năng dễ hiểu; Các cách truyền đạt “tư duy chức năng” cho học sinh được tính toán kỹ lưỡng. Theo Klein, việc trình bày hình học nên bắt đầu bằng một phiên bản không tiên đề và phương pháp tiên đề chỉ xuất hiện khi học sinh có thể hiểu được nó.

Với sự hỗ trợ to lớn, Klein duy trì liên lạc với những người liên quan đến toán học ở trường, hạn chế rõ ràng phạm vi năng lực của anh ấy và không bao giờ can thiệp vào những vấn đề đòi hỏi kinh nghiệm làm việc không có người đại diện ở trường. Klein giảng bài cho giáo viên và đã được xuất bản một phần. Nổi tiếng nhất là cuốn “Toán học sơ cấp từ góc nhìn cao hơn”. Đây không phải là những bài giảng về phương pháp toán học hay phần mở rộng của khóa học toán ở trường. “Tôi muốn cuốn sách này hữu ích ở chỗ nó sẽ khuyến khích giáo viên ngoại ngữ trung học của chúng ta phát triển tài liệu một cách độc lập, cho phép anh ta sử dụng những tài liệu mà anh ta dạy. Chỉ từ quan điểm này, người ta nên nhìn vào cuốn sách của tôi chứ không nên coi nó là một chương trình giảng dạy có sẵn; Việc xử lý tài liệu sau này hoàn toàn được giao cho những người làm việc tại trường. Nếu có ai cho rằng tôi hiểu các hoạt động của tôi theo cách khác thì đây là một sự hiểu lầm” (Klein).

10

1. Bí mật về quỹ đạo hành tinh

Các nhà khoa học Hy Lạp cổ đại chỉ có thể giải được động học bài toán yếu - họ có thể tính toán chuyển động thẳng đều hoặc chuyển động quay đều quanh một trục. Nhưng không thể mô tả chuyển động của các hành tinh bằng phương pháp cột.

Các hành tinh di chuyển dọc theo những đường cong phức tạp nhất, đôi khi di chuyển nhanh về phía trước và đôi khi chuyển động chậm lại và thậm chí quay trở lại. Để làm sáng tỏ mọi thứ, nhà thiên văn học người Alexandrian Ptolemy, sống ở thế kỷ thứ 3. BC e., đã nghĩ ra một hệ thống vòng tròn rất phức tạp; tâm của các vòng tròn nhỏ của đồng phục quay xung quanh các vòng tròn lớn hơn và các hành tinh của đồng phục quay quanh các vòng tròn nhỏ. Nhưng hệ thống của Ptolemy không phù hợp với các quan sát và nó luôn phức tạp. Chỉ đến thế kỷ 17, nhà khoa học người Đức Jurann Kepler mới có thể xây dựng được các định luật chuyển động của hành tinh trên cơ sở hệ thống gel trung tâm của thế giới do nhà thiên văn học vĩ đại người Ba Lan Nicolaus Copernicus tạo ra.

Hóa ra các hành tinh không chuyển động theo hình tròn mà theo hình elip và không đều. Kepler không thể giải thích tại sao lại như vậy - vào thời điểm đó cả các định luật cơ học tổng quát cũng như các phương pháp toán học đều chưa được biết đến để có thể nghiên cứu chuyển động cong và chuyển động không đều.

Chỉ đến cuối thế kỷ 17, Isaac Newton mới phát hiện ra các định luật động lực học, xây dựng định luật vạn vật hấp dẫn và phát triển các phương pháp toán học cho phép tính chất từ ​​không đồng nhất đến đồng nhất, không đồng nhất đến đồng nhất, đường cong đến thẳng. Nó dựa trên một ý tưởng đơn giản - chuyển động của bất kỳ vật thể nào trong một khoảng thời gian ngắn có thể được coi là chuyển động thẳng và đều.

Các phương pháp do Newot phát triển để giải quyết sự xuất hiện của một định luật chuyển động nhất định của một vật, tìm tốc độ và gia tốc của nó tại bất kỳ thời điểm nào, đồng thời giải nghịch đảo bài toán - với gia tốc đã cho, trước tiên hãy tìm tốc độ và sau đó là định luật chuyển động của vật. Và nếu chúng ta nhớ rằng, theo định luật thứ hai của Ubior, gia tốc của một vật có khối lượng không đổi tỷ lệ với lực tác dụng lên nó, thì sẽ thấy rõ rằng các phương pháp mới đã thiết lập mối liên hệ giữa chuyển động của vật và các lực tác dụng lên nó, tức là chúng đã giải được bài toán cơ bản của cơ học.

Cùng lúc với Newoth, nhà triết học và toán học người Đức Gottfried Wilhelm Leibniz đã nghiên cứu cách vẽ các tiếp tuyến bất kỳ.

quanh co. Ông cũng phát triển một phép tính mới, về cơ bản nó giống hệt với phép tính do Newton xây dựng. Ký hiệu do Leibniz đưa ra hóa ra lại thành công đến mức nó vẫn được bảo tồn cho đến ngày nay.

Toán học mới của Newton và Leibniz bao gồm hai phần lớn - phép tính vi phân và tích phân. Phần đầu tiên trong số họ nói về cách, bằng cách nghiên cứu một phần nhỏ của hiện tượng, để giảm sự không đồng đều thành đồng nhất, và phần thứ hai, cách tạo ra một hiện tượng không đồng đều phức tạp từ các phần đồng nhất nhỏ.

Các chuyên khảo nhiều tập được dành cho phép tính vi phân và tích phân cũng như sự phát triển tiếp theo của chúng (phép tính biến phân, phương trình vi phân, lý thuyết hàm biến phức, v.v.). Trong bài viết này chúng ta sẽ chỉ nói về các khái niệm cơ bản của phép tính vi phân - đạo hàm và vi phân.

2. Tính chất “tuyến tính nhỏ”

Ba đường thẳng trong Hình 1 là các phần của cùng một parabol $y = x^2$, được vẽ ở các tỷ lệ khác nhau. Hình a được làm ở tỷ lệ nhỏ, hình b ở tỷ lệ lớn hơn, hình c thậm chí còn lớn hơn.

cô ấy. Trong tất cả các hình, cùng một điểm $M\,(1;\,1)$ của parabol được lấy để có thể nghiên cứu hành vi của đường cong trong vùng lân cận điểm này.

Trong Hình 1, a có thể thấy rõ rằng parabol bị cong. Trong Hình 1, b độ cong này ít được chú ý hơn, nhưng trong Hình 1, c nó thực tế không có - đồ thị của hàm $y = x^2$, được vẽ trên tỷ lệ lớn, hầu như không thể phân biệt được bằng mắt với một đường thẳng. Chúng ta chọn tỷ lệ càng lớn thì đồ thị của hàm $y = x^2$ sẽ càng ít khác với một đường thẳng nào đó đi qua điểm $M\,(1;\,1)$. Điều tương tự cũng sẽ xảy ra nếu chúng ta bắt đầu xây dựng đồ thị của hàm $y = x^2$ trong vùng lân cận của bất kỳ điểm nào khác trên tỷ lệ ngày càng tăng.

Một parabol không chỉ “giống” một đường thẳng gần bất kỳ điểm nào của nó, mà tính chất này còn có chung với một đường tròn, một hyperbol, một hình sin, v.v. Nó có thể được gọi là tính chất tuyến tính trong số nhỏ (thuật ngữ này được giải thích bởi thực tế rằng đường thẳng là đồ thị của hàm tuyến tính $y = kx + b$). Nhưng ngôn ngữ hình học dùng để biểu diễn tính chất này còn mơ hồ. Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng diễn đạt nó bằng một ngôn ngữ công thức khá khô khan nhưng chính xác.

3. Tăng chức năng

Hình 2 thể hiện một hình vuông có độ dài cạnh $a$; diện tích $y$ như vậy

Cơm. 1. a) b) c)

11

12

hình vuông bằng $a^2$. Nếu chiều dài cạnh hình vuông tăng $p$ thì diện tích sẽ tăng - bằng diện tích của hình được tô màu ở Hình 2. Diện tích này được gọi là diện tích tăng của hình vuông. Nó bằng $(a+p)^2-a^2$, tức là $2ap+p^2$.

Chúng ta hãy đặt $p=\Delta x$ (đọc “delma x”) và biểu thị mức tăng trong diện tích hình vuông bằng $\Delta y$. chúng tôi nhận được

$$\Delta y=2a \cdot \Delta x+(\Delta x)^2.$$ (1)

Tương tự như vậy, bạn có thể định nghĩa khái niệm mức tăng cho bất kỳ hàm $y=f(x)$ nào: để tính mức tăng của hàm khi di chuyển từ điểm $a$ đến điểm $a+\Delta x$, bạn cần:

a) tìm giá trị $f(a)$ của hàm số tại điểm $a$;
b) tìm giá trị $f(a+\Delta x)$ của hàm số tại điểm $a+\Delta x$;
b) trừ giá trị thứ nhất khỏi giá trị thứ hai.

Nói cách khác, mức tăng của hàm khi di chuyển từ điểm $a$ đến điểm $a+\Delta x$ bằng $\Delta y=f(a+\Delta x)$—$f(a)$.

Ví dụ: mức tăng của hàm $y=x^3$ khi di chuyển từ điểm $a$ đến điểm $a+\Delta x$ sẽ là

$$\Delta y=(a+\Delta x)^3-a^3= =3a^2 \cdot \Delta x+3a \cdot (\Delta x)^2+(\Delta x)^3.$$ (2)

Cơm. 2.

Các từ “tăng đối số” và “tăng hàm” là lừa đảo: có vẻ như cả đối số và hàm đều tăng lên. Trên thực tế, cả $\Delta x$ và $\Delta y$ đều có thể là số âm. Có lẽ sẽ tốt hơn nếu nói “thay đổi” cùng với “tăng dần”, nhưng chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ truyền thống.

4. Hàm khả vi

Bây giờ chúng ta có thể giải thích chính xác hơn lý do tại sao đồ thị của hàm $y=x^2$ “làm thẳng” khi chúng ta tăng tỷ lệ. Vì tất cả các hình $1, a-\beta$ đều có cùng kích thước nên khi tỷ lệ tăng lên, các phần của đường cong ngày càng nhỏ hơn sẽ xuất hiện trên chúng. Điều này có nghĩa là chúng tôi xem xét hàm của mình với các giá trị ngày càng nhỏ hơn của $\Delta x$. Do đó, việc “làm thẳng” đồ thị của hàm có liên quan đến hành vi đặc biệt của mức tăng của hàm này khi mức tăng của đối số giảm.

Để hiểu điều này, chúng ta hãy biểu thị mức tăng của hàm $y=x^2$ tại điểm $M(1; 1)$ theo mức tăng của đối số. Chúng tôi sẽ nhận được:

$$\Delta y=(1+\Delta x)^2-1=2 \cdot \Delta x+(\Delta x)^2.$$

Chúng ta thấy rằng phần tăng của hàm bao gồm hai số hạng: $2 \cdot \Delta x$ và $(\Delta x)^2$. Cái đầu tiên trong số chúng tỷ lệ thuận với $\Delta x$ và cái thứ hai có đặc điểm sau: nếu $\Delta x \rightarrow 0$, thì nó có xu hướng về thành phố 0 nhanh hơn $\Delta x$. Ví dụ: nếu $\Delta x=0,1$ thì $(\Delta x)^2=0,01$; nếu $\Delta x=0,001$ thì $(\Delta x)^2=0,000001$, v.v. Do đó, $\Delta y$ đối với $\Delta x$ nhỏ gần như bằng $2 \cdot \Delta x$. Vì $\Delta y=y-1$, $\Delta x=x-1$, thì $y-1 \approx 2(x-1)$, tức là $y \approx 2x-1$. Nhưng $y=2x-1$ là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc bằng 2. Điều này có nghĩa là vùng lân cận của điểm $M(1; 1)$ mà chúng ta lấy càng nhỏ thì trong vùng lân cận này parabol càng liền kề với đường $y=2x-1$. Parabol $y=x^2$ được cho là tiếp tuyến với đường thẳng $y=2x-1$ tại điểm $M(1; 1)$.

Vì vậy, việc “làm thẳng” đồ thị của hàm số $y=x^2$ với khối lượng tăng dần

13

trụ sở chính hóa ra có liên quan đến khả năng phân tách phần tăng của hàm thành hai phần tử, một trong số đó tỷ lệ thuận với phần tăng của đối số và phần thứ hai, đối với các giá trị nhỏ của Δx, không đáng kể so với Δx. Nhưng chữ “nhỏ không đáng kể” vẫn cần phải dạy.

Chúng ta sẽ nói rằng giá trị β là không đáng kể so với Δx vì Δx tiến tới 0, nếu tỷ lệ của nó với Δx tiến tới 0: β=α·Δx, trong đó limα=0.

Bây giờ chúng ta có thể xây dựng định nghĩa cơ bản.

Về giới hạn 1. Hàm số y=f(x) được gọi là khả vi tại điểm a nếu gia số của nó tại điểm này có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng, số hạng đầu tiên tỉ lệ với số tăng Δx của đối số, và số hạng thứ hai không đáng kể so với Δx. Nói cách khác,

$$\Delta y = A \cdot \Delta x + \alpha \cdot \Delta x,$$

(3)

trong đó A là một số và α tiến tới 0 khi Δx tiến tới 0.

Hãy xem xét sự gia tăng của hàm y=x³ tại điểm x=a. Từ đẳng thức (2) ta thu được Δy = 3a²·Δx + [3aΔx + (Δx)²] Δx. Số hạng 3a²·Δx tỷ lệ với Δx, và số hạng thứ hai [3a·Δx + (Δx)²] Δx là tích của Δx và hệ số 3a·Δx + (Δx)², có xu hướng bằng 0 khi Δx tiến về 0. Điều này có nghĩa là hàm y=x³ khả vi và với nó A=3a².

Hệ số A trong đẳng thức (3) phụ thuộc vào điểm mà chúng ta tính toán nó. Ví dụ: đối với hàm y=x³ tại điểm a=1 chúng ta có A=3 và tại điểm a=2 chúng ta có A=12. Nếu chúng ta coi giá trị của đối số mà hệ số A được tính là biến, thì sẽ thuận tiện khi ký hiệu nó bằng chữ x. Khi x thay đổi, hệ số A là hàm của x. Hàm này được gọi là tích của hàm y=f(x) và được ký hiệu:

$$f'(x), \text{ или } y'$$ (đọc “hiệu quả x”, “erekitimix”).

Số hạng A·Δx, nghĩa là f’(x)·Δx được gọi là vi phân của hàm số y=f(x) và được ký hiệu là dy. Do đó, dy=f’(x)Δx. Nói chung, Δx được ký hiệu là dx và được viết dy=f’(x)dx.

Từ Định nghĩa 1, theo đó, đối với các giá trị của Δx gần bằng 0, mức tăng theo vi phân của hàm Δy gần như tỷ lệ thuận với mức tăng của đối số. Chính xác hơn, đối với hàm Δy=(A+α)Δx như vậy, trong đó số hạng α, đặc trưng cho độ lệch so với tỷ lệ “chính xác”, có xu hướng bằng 0 khi Δx có xu hướng bằng 0. Sự “gần như tỷ lệ” này của mức tăng của hàm với mức tăng của đối số làm cơ sở cho việc “làm thẳng” biểu đồ khi tỷ lệ hình ảnh được tăng lên.

Người ta không nên nghĩ rằng tất cả các hàm đều khả vi tại bất kỳ điểm nào. Hãy phân biệt, nói một cách trực quan, hãy kiểm tra đồ thị của hàm số lân cận một điểm trên đường thẳng. Nếu đồ thị của một hàm số bị đứt ở một điểm nào đó, thậm chí còn có điểm gián đoạn, thì hàm số đó sẽ không khả vi tại điểm đó. Ví dụ: hàm y=|x| không khả vi tại điểm O (0; 0) (Hình 3).

Trực giác cho thấy rằng những điểm mà tại đó hàm số y=f(x) không khả vi thì không thể nằm quá dày đặc - đường cong không thể có một

14

phế liệu ở mọi điểm! Trong nhiều sách giáo khoa toán học thế kỷ 19, phát biểu này được hình thành theo cách này. Thật là một nghiên cứu đối với các nhà khoa học khi vào nửa sau thế kỷ 19, nhà toán học người Đức Karl Weierstrass đã công bố một ví dụ về các hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng không khả vi ở bất kỳ đâu! Đồ thị của hàm này có điểm ngắt tại mỗi điểm của nó. Sau đó, họ phát hiện ra rằng vài năm trước Weierstrass, một hàm số có cùng tính chất đã được xây dựng bởi nhà toán học người Séc, Bernard Bolzano; Tác phẩm này của Bolzano chỉ được xuất bản nhiều năm sau khi ông qua đời.

5. phái sinh

Chúng ta hãy quay trở lại việc xem xét các hàm khả vi - những hàm “tốt” được học ở trường trung học và những hàm thường thấy nhất trong các ứng dụng toán học, thường là khả vi. Đối với các hàm này, từ đẳng thức chính (3), chúng ta thu được $\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \alpha$. Nếu bây giờ chúng ta hướng $\Delta x$ về 0, thì trong đẳng thức (3) $\alpha \rightarrow 0$, từ đó

$$A \equiv f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Ký hiệu $\frac{dy}{dx}$ đôi khi được dùng để biểu thị đạo hàm. Ký hiệu này lưu giữ bộ nhớ của tỷ lệ tăng $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, từ đó đạo hàm thu được bằng cách chuyển đến giới hạn.

Hoạt động tìm đạo hàm của một hàm số cho trước được gọi là vi phân.

Trong sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của việc giải tích” cho lớp 9, được xuất bản dưới sự biên tập của Viện sĩ A. N. Kolmogorov năm 1975, người đọc sẽ tìm thấy tuyển tập các công thức và quy tắc vi phân cho phép lựa chọn tùy ý bất kỳ hàm hữu tỉ phân số nào. Dưới đây chúng tôi sẽ chỉ ra cách lấy công thức vi phân số mũ và hàm ba. Để làm điều này, trước tiên chúng ta hãy tập trung vào ý nghĩa hình học của đạo hàm.

6. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Chúng ta đã thấy rằng trong một lân cận nhỏ của điểm mà tại đó hàm số vi phân, đồ thị của nó gần như không thể phân biệt được với một đường thẳng nào đó. Đường thẳng này được gọi là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm cho trước. Đối với các điểm trên dòng này, đẳng thức $\Delta y = A \cdot \Delta x$ không còn gần đúng mà chính xác. Vì $\Delta y = y - b$, $\Delta x = x - a$, nên đẳng thức $y - b = A(x - a)$ đúng cho tất cả các điểm tiếp tuyến. Điều này có nghĩa là độ dốc của tiếp tuyến là $A$. Nhưng $A = f'(a)$, do đó, giá trị của đạo hàm tại một điểm cho trước bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm này. Đây là ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Hãy quay lại phương trình tiếp tuyến: $y - b = A(x - a)$. Vì $A = f'(a)$ và $b = f(a)$ nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đạo hàm tại điểm $(a, b)$ có thể viết dưới dạng sau:

$$y - f(a) = f'(a)(x - a).$$

Ví dụ: phương trình tiếp tuyến của parabol $y = x^2$ tại điểm $x = 3$ là $y = 6x - 9$ (kiểm tra phần này).

7. Số mũ đạo hàm của hàm số

Khi viết các định luật vật lý liên quan đến hàm số mũ, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng một số đặc biệt - số $e$. Con số này có thể được xác định như sau.

Chúng ta hãy vẽ đồ thị của các hàm $y = 2^x$, $y = 3^x$, $y = 5^x$ trong hệ tọa độ đường thẳng Descartes (Hình 4). Ta thấy đáy càng lớn thì góc với trục $Oy$ càng nhỏ

15

ke $M(0;1)$ tạo thành đồ thị của hàm số (góc giữa đường cong $y=f(x)$ và trục $Oy$ là góc giữa tiếp tuyến của đường cong $y=f(x)$ tại điểm $M(0;f(0))$ và trục $Oy$). Góc giữa trục $Oy$ và đồ thị của hàm $y=2^x$ là khoảng $55^\circ$, và góc giữa trục $Oy$ và đồ thị của hàm $y=3^x$ là khoảng $42^\circ$. Hóa ra giữa số 2 và số 3 có một số sao cho đồ thị của hàm số mũ, cơ số là số này, cắt trục $Oy$ một góc $45^\circ$. Con số này được ký hiệu bằng chữ cái $e$. Thật phi lý, các tính toán cho thấy $e=2,7182818284590$…

Theo định nghĩa, tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x)=e^x$ tại điểm $M(0;1)$ tạo thành một góc $45^\circ$ với trục $Oy$, và do đó với trục $Ox$. Do đó, đối với hàm $f(x)=e^x$ chúng ta có $f'(0)=\text{tg}45^\circ=1$. Bây giờ chúng ta hãy xem xét hàm $g(x)=e^{x-a}$. Đồ thị của hàm này được lấy từ đồ thị của hàm $e^x$ với sự dịch chuyển $|a|$ sang phải, nếu $a>0$ và sang trái, nếu $a<0$ (Hình 5). Trong quá trình dịch chuyển, tiếp tuyến vẽ với đồ thị của hàm $y=e^x$ tại điểm $M(0;1)$ sẽ biến thành tiếp tuyến được vẽ với đường cong đã dịch chuyển tại điểm có hoành độ là $a$. Kể từ đây,

8. Đạo hàm là tốc độ!

Vào nửa sau thế kỷ 19, khóa học vật lý toán học tại Đại học Cambridge được giảng dạy bởi nhà khoa học nổi tiếng William Thomson, người sau này nhận được danh hiệu Lord Kelvin vì thành tích khoa học của ông (tủ Kelvin được đặt tên một phần để vinh danh ông), và khóa học “toán học thuần túy” do Giáo sư Todgenter giảng dạy. Tuy nhiên, khi bước vào lớp học, Thomson hỏi học sinh một câu hỏi: $\frac{dx}{dt}$ là gì? Trong đáp số, anh ấy đã nhận được tất cả các định nghĩa logic nghiêm ngặt về mặt tinh thần. Tất cả họ đều trả lời: “À, bỏ cái Todgenter này đi, $\frac{dx}{dt}$ là tốc độ!”

Đến đây người đọc có thể ngạc nhiên - đạo hàm vừa xuất hiện

là độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm và bây giờ nó được khai báo là tốc độ. Tuy nhiên, cả đáp số cho câu hỏi: “đạo hàm là gì?” đều đúng, chỉ lần đầu tiên giải thích ý nghĩa hình học của đạo hàm và lần thứ hai - ý nghĩa vật lý của nó. Để làm rõ hơn mối quan hệ của đạo hàm với tốc độ chuyển động, hãy xem xét một điểm chuyển động theo đường thẳng.

Hãy chọn gốc tọa độ, đơn vị đo và hướng của đường thẳng này. Khi đó vị trí của điểm trên đường thẳng sẽ được xác định bởi tọa độ của nó $x = f(t)$ (định luật chuyển động của điểm). Tốc độ chuyển động trung bình trong một khoảng thời gian trong vật lý thường được gọi là giá trị bằng tỷ số giữa chuyển động của một điểm và khoảng thời gian mà chuyển động xảy ra. Chuyển động không phải là quãng đường di chuyển mà là sự thay đổi (gia tăng) tọa độ của một điểm chuyển động. Giả sử, nếu một điểm trong khoảng thời gian từ $t_1$ đến $t_2$ đi từ $A$ đến $B$ và quay trở lại $A$, thì độ dịch chuyển bằng 0 và tốc độ trung bình là $v_{\mathrm{cp}} = 0$. Nói chung chúng ta có $v_{\mathrm{cp}} = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$, hoặc

$$v_{\mathrm{cp}} = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}.$$

Nếu chúng ta đặt $t_1 = t$, $t_2 = t + \Delta t$ thì tốc độ trung bình trong khoảng $[t,\ t + \Delta t]$ sẽ bằng

$$v_{\mathrm{cp}} = \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{\Delta t}.$$

Tốc độ tức thời tại thời điểm $t$ là giới hạn tốc độ chuyển động trung bình trong khoảng thời gian $[t,\ t + \Delta t]$, khi $\Delta t \to 0$. Có nghĩa,

$$v_{\mathrm{мгн}} = \lim_{\Delta t \to 0} v_{\mathrm{cp}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}.$$

Nhưng $\lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ là đạo hàm của tọa độ $x$ theo thời gian $t$. Điều này có nghĩa là trị số của tốc độ tức thời

16

của một điểm chuyển động thẳng thực ra lại bằng đạo hàm của độ dời theo thời gian.

9. Tốc độ đường cong

Để nghiên cứu chuyển động của đạn đại bác và các hành tinh, các bộ phận của cơ chế và máy móc, phương pháp nêu trên là chưa đủ - xét cho cùng, tất cả những vật thể này đều chuyển động theo những đường cong và chúng ta chỉ có thể đối phó với chuyển động thẳng. Nhưng bằng cách thiết kế vị trí của một điểm chuyển động trên trục tọa độ, có thể giảm chuyển động cong thành hai chuyển động thẳng. Hơn nữa, nếu quỹ đạo của chuyển động là phẳng thì định luật chuyển động được cho bởi hai hàm cho các giá trị tọa độ của điểm tại thời điểm $t: x = x(t)$, $y = y(t)$. Tuy nhiên, bạn có thể lấy một hàm, nhưng nó không nhận các giá trị số mà là các giá trị vectơ. Để thực hiện việc này, hãy vẽ một đoạn có hướng từ gốc $O$ đến điểm chuyển động $M$ và biểu thị $\overrightarrow{OM}$ bằng $\vec{r}(t)$. Từ Hình 6, rõ ràng việc khai triển vectơ $\vec{r}(t)$ thành vectơ đơn vị $\vec{i}$ và $\vec{j}$ có dạng

$$\vec{r}(t) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j}.$$

Tốc độ tức thời của điểm $M$ được xác định theo cách tương tự như trong trường hợp chuyển động thẳng: lấy

Cơm. 6

17

khoảng thời gian $[t, t + \Delta t]$, khoảng cách mà điểm $M$ di chuyển trong khoảng thời gian này, chia cho $\Delta t$ và hướng $\Delta t$ về 0. Điểm khác biệt duy nhất là chuyển động của điểm $M$ được biểu thị không phải bằng số $\Delta x$ mà bằng một vectơ đi từ vị trí của điểm $M$ tại thời điểm $t$ đến vị trí của nó tại thời điểm $t + \Delta t$ (Hình 7). Vectơ này biểu thị $\Delta r$ và nó bằng $\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)$, tức là $\Delta xi + \Delta yj$. Khi chia cho $\Delta t$, chúng ta thu được một vectơ song song với vectơ $\Delta r$, nhưng có độ dài khác nhau. Nó hiển thị tốc độ trung bình của một điểm trong một khoảng thời gian $[t, t + \Delta t]$, $\vec{v}_{cp} = \frac{\Delta r}{\Delta t}$.

Nếu chúng ta hướng $\Delta t$ về 0, thì vectơ kết quả $\vec{v}_{cp}$ sẽ quay quanh điểm $M$ và trong giới hạn nó sẽ hướng tiếp tuyến theo hướng chuyển động của điểm. Vectơ $\lim_{\Delta t \to 0} \vec{v}_{cp}$ ký hiệu $\vec{v}_{mfr}$ và được gọi là vectơ tỷ giá hối đoái tại thời điểm $t$. Như vậy,

$$\vec{v}_{mfr} = \lim_{\Delta t \to 0} \vec{v}_{cp} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{dr}{dt}.$$

Nói cách khác, vectơ trao đổi

Cơm. 7.

skorisi là đạo hàm của hàm vectơ $\vec{r}(t)$. Ngoài ra, nó có thể được viết như thế này:

$$\vec{v}_{mfr} = x'(t)\vec{i} + y'(t)\vec{j}.$$

Vì vectơ $\vec{v}_{mfr}$ có hướng tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm nên tỷ số $\frac{y'(t)}{x'(t)}$ bằng hệ số góc của tiếp tuyến này: $k_{kac} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$.

Độ dài của vectơ $\vec{v}_{mfr}$ có ý nghĩa rõ ràng. Nó biểu thị tốc độ chuyển động tuyến tính của một điểm tại thời điểm $t$. Nói cách khác, nếu biểu thị độ dài của các quỹ đạo khác được bao phủ trong khoảng thời gian $[t, t + \Delta t]$, đến $\Delta l$, thì

$$|\vec{v}_{mfr}| = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta l}{\Delta t} = \frac{dl}{dt}.$$

Không, theo định lý Pythagore, độ dài của vectơ $x'(t)\vec{i} + y'(t)\vec{j}$ bằng $\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$. Có nghĩa,

$$\frac{dl}{dt} = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2},$$

đó là

$$dl = \sqrt{dx^2 + dy^2}.$$

Công thức (4) là cơ sở để tính chiều dài của các đường cong khác nhau. Ví dụ, nó có thể được sử dụng để tìm chiều dài của một cyclode (một đường cong thu được bằng cách lăn một vòng tròn theo một đường thẳng), một đường cong không đều (một đường cong thu được bằng cách làm mờ một sợi chỉ quấn quanh một vòng tròn), v.v.

10. Hàm lượng giác đạo hàm

Chúng ta hãy chỉ ra cách, bằng cách sử dụng các cân nhắc vật lý, người ta có thể tìm được đạo hàm của các hàm lượng giác. Cho một điểm chuyển động dọc theo một đường tròn có bán kính đơn vị với vận tốc góc đơn vị và tại thời điểm ban đầu

18

Cơm. 8.

vị trí $A_0$ và tại thời điểm $t$ - ở vị trí $A_t$ (Hình 8). Cung $A_0A_t$ có độ dài $t$, nghĩa là góc ở tâm $A_0OA_t$ chứa $t$ radian. Theo định nghĩa của sin và cosin, tọa độ của điểm $A_t$ bằng $\sin t$, hoành độ của điểm $A_t$ bằng $\cos t$. Điều này có nghĩa là hình chiếu $B_t$ của điểm $A_t$ lên trục chuyển động hoành độ là theo định luật $x = \cos t$, và hình chiếu $C_t$ của điểm $A_t$ lên trục tọa độ là theo định luật $y = \sin t$. Hãy tìm tốc độ của những chuyển động này.

Lưu ý rằng vận tốc tuyến tính của điểm $A_t$, giống như vận tốc góc, bằng 1. Chúng ta hãy phân vận tốc tuyến tính thành hai thành phần - ngang và dọc. Vectơ vận tốc $\vec{v}$ của điểm $A_t$ (có độ dài 1) tiếp tuyến với đường tròn vẽ tại điểm $A_t$, và do đó tạo thành một góc $t + \frac{\pi}{2}$ với trục $Ox$ và một góc $t$ với trục $Oy$. Do đó, hình chiếu của vectơ $\vec{v}$ lên trục $Ox$ (tức là tốc độ chuyển động của điểm $B_t$) bằng $v_x = \cos (t + \frac{\pi}{2}) = -\sin t$ và hình chiếu của nó lên trục $Oy$ (tức là tốc độ chuyển động của điểm $C_t$) bằng $v_y = \cos t$.

Vì tốc độ là tích của đường đi theo thời gian, nên khi tính đến định luật chuyển động của điểm là $B_t : x = \cos t$ và tốc độ là $v_x = -\sin t$, chúng ta thu được $(\cos t)' = -\sin t$.

Đối với điểm $C_t : y = \sin t$, $v_y = \cos t$, từ đâu $(\sin t)' = \cos t$.

Tính chất quang học của elip, hyperbol và parabol

V. G. Boltyansky

Người ta biết rằng bài toán có một điểm $M$ trên đường thẳng $l$ mà tổng khoảng cách từ hai điểm cho trước $A$, $B$ nằm về một phía của đường thẳng $l$ là nhỏ nhất. Điểm được yêu cầu sẽ là giao điểm của đoạn $A_1B$ với đường thẳng $l$, trong đó $A_1$ là điểm đối xứng với $A$ so với đường thẳng $l$ (Hình 1). Trong thực tế,
$$|AM| + |MB| = |A_1M| + |MB| = |A_1B|,$$
trong khi đối với bất kỳ điểm nào khác $M'$ của đường thẳng $l$ chúng ta có
$$|AM'| + |M'B| = |A_1M'| + |M'B| > |A_1B|.$$
Nói cách khác,
$$|AM'| + |M'B| > |AM| + |MB|. \quad (1)$$

Tất cả điều này đều tốt, một độc giả thiếu kiên nhẫn có thể phản đối, nhưng bài toán cái này đơn giản và được nhiều người biết đến. Và tất cả những điều này có liên quan gì đến hình elip hoặc hình parabol? Một khoảnh khắc kiên nhẫn! Chúng ta hãy nhìn lại bản vẽ:

Cơm. 1.

$\angle 1 \cong \angle 3$, và vì, ngoài ra, $\angle 2 \cong \angle 3$, thì $\angle 1 \cong \angle 2$. Do đó, từ lời giải được xem xét bài toán phát biểu sau đây:

Cho $A$ và $B$ là hai điểm nằm cùng phía của đường thẳng $l$, và $M$ là một điểm trên đường thẳng $l$ sao cho các đoạn $AM$ và $MB$ tạo thành các góc bằng nhau với đường thẳng $l$. Khi đó, với bất kỳ điểm $M'$ nào của đường $l$, khác với $M$, bất đẳng thức (1) đều hợp lệ.

Bây giờ chúng ta đã được “trang bị” đầy đủ để xem xét các tính chất quang học của hình elip. Chúng ta lấy một điểm tùy ý $M$ trên hình elip có tiêu điểm $A$ và $B$ (Hình 2). Đối với mọi điểm $N$ thuộc hình elip, đẳng thức đúng

$$|AN| + |BN| = |AM| + |BM|, \text{*)}$$

và đối với điểm $N$ nằm bên trong hình elip, tổng $|AN| + |BN|$ sẽ nhỏ hơn $|AM| + |BM|$. Hãy dựng một đường thẳng $l$ đi qua $M$ và tạo thành các góc bằng nhau với các đoạn $AM$ và $BM$. Nếu bây giờ $M'$ là một điểm tùy ý của đường $l$, khác với $M$, thì như chúng ta đã thấy, tổng của $|AM'| + |BM'|$ sẽ lớn hơn $|AM| + |BM|$, và do đó điểm $M'$ nằm bên ngoài hình elip.

Vậy đường thẳng $l$ chỉ có một điểm chung với hình elip, đó là điểm $M$; tất cả các điểm khác

---

*) Tính chất này có thể coi là định nghĩa của hình elip (xem bài viết của N. N. Bronstein “Ellipse”, «Kvant» số 1, 1975).

2 *

19

20

Primos $l$ nằm bên ngoài hình elip. Đường thẳng như vậy được gọi là tiếp tuyến của elip. Do đó, tiếp tuyến của hình elip vẽ tại điểm $M$ tạo thành các góc chấn động với các vectơ bán kính $\vec{AM}$ và $\vec{BM}$. Đây là tính chất quang học của hình elip.

Chúng ta sẽ nói về lý do tại sao tính chất này được gọi là “quang” bên dưới, nhưng bây giờ chúng ta hãy chuyển sang hyperbola và parabola. Các đặc tính quang học của những đường này được thể hiện rõ ràng trong Hình 3 và 4. Trong Hình 3, các điểm $A$ và $B$ là tiêu điểm của hyperbol, và trong Hình 4, điểm $A$ là tiêu điểm và đường thẳng $d$ là đường chuẩn của parabol. Trong cả hai trường hợp, tính chất quang học được biểu thị bằng điều kiện $\angle 1 \cong \angle 2$.

Đối với hyperbol, việc chứng minh tính chất quang học tương tự như cách chứng minh đối với hình elip.

Vâng, bạn chỉ cần sử dụng bài toán tìm một điểm trên đường thẳng $l$ sao cho hiệu khoảng cách từ hai điểm cho trước $A$, $B$ là lớn nhất. Chúng tôi để người đọc tự mình thực hiện chứng minh này.

Khi xem xét một parabol, chúng ta phải lợi dụng thực tế là đối với điểm $N$, nằm trên chính parabol, đẳng thức $|AN| = |NH|$ là hợp lệ (Hình 5) và đối với điểm $N'$, nằm trong vùng bên trong của parabol, $|AN'| < |N'H'|$. Nếu bây giờ chúng ta vẽ bissertrix $l$ của góc $AMK$ (Hình 5), thì đối với bất kỳ điểm $M'$ nào khác với $M$, chúng ta sẽ tìm thấy đường $l$:

$$|AM'| = |M'K| > |M'K'|,$$

tức là điểm $M'$ nằm ở vùng ngoài của parabol. Vì vậy, toàn bộ đường thẳng $l$, ngoại trừ điểm $M$, đều nằm ở vùng bên ngoài, tức là bên trong

Cơm. 6.

Vùng của parabol nằm trên một phía của $l$, có nghĩa là $l$ là tiếp tuyến của parabol. Điều này cung cấp bằng chứng về tính chất quang học của parabol: $\angle 1 \cong \angle 2$, vì $l$ là phân giác của góc $AMK$ *).

Có thể chỉ ra một cách nữa để chứng minh tính chất quang học; Hãy xem xét nó bằng cách sử dụng ví dụ về hyperbol. Chúng ta hãy lấy hai điểm rất gần nhau $M$ và $M_1$ trên hyperbola (Hình 6), và đặt $P$ là giao điểm của các đường $AM$ và $BM_1$, và $Q$ là điểm giao nhau của các đường $AM_1$ và $BM$. Bây giờ chúng ta hãy nhìn “qua kính lúp” vào hình tứ giác $M_1PMQ$ (Hình 7). Chúng ta có thể giả sử (xấp xỉ) rằng $[PM_1] \parallel [MQ]$ và $[PM] \parallel [M_1Q]$, vì các điểm $A$ và $B$ ở rất xa - so với kích thước của tứ giác $M_1PMQ$. Vì vậy, chúng ta sẽ giả sử (xấp xỉ) rằng $M_1PMQ$ là hình bình hành. Bây giờ chúng ta hãy vẽ các đường tròn có tâm $A$ và $B$ đi qua điểm $M_1$. Gần hình bình hành đang xét (xem Hình 7), các cung của các đường tròn này sẽ xuất hiện dưới dạng các đường thẳng $M_1K$ và $M_1L$, vuông góc với các cạnh của hình bình hành. Chúng tôi có:

$$|AM| - |BM| = (|AK| + |KM|) - (|BL| + |LM|) = (|AM_1| + |KM|) - (|BM_1| + |LM|) = (|AM_1| - |BM_1|) + (|KM| - |LM|).$$

Nhưng vì cả hai điểm $M$, $M_1$ đều nằm trên hyperbol, nên $|AM| - |BM| = |AM_1| - |BM_1|$, và do đó $|KM| = |LM|$. Sự bằng nhau thu được có nghĩa là các tam giác vuông $KMM_1$ và $LMM_1$ bằng nhau (ở cạnh huyền và cạnh bên), và do đó $\angle 1 \cong \angle 2$.

---

*) Để biết các cách chứng minh khác về tính chất quang học của hình elip, hyperbol và parabol, xem bài viết của I. N. Bronstein “Tính chất chung của đường conic”, «Kvant», 1975, số 5.

Cơm. 7.

Điều này cung cấp bằng chứng về tính chất quang học (để làm cho lý luận “gần đúng” này trở nên chính xác, chúng ta vẫn cần phải đi đến giới hạn ở $M_1 \to M$).

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số cách giải thích về mặt quang học và cơ học về đặc tính đã được chứng minh này. Giả sử hình elip là một đường cong “gương” mà từ đó tia sáng bị phản xạ theo định luật “góc tới bằng góc phản xạ”. Nếu một nguồn sáng điểm được đặt tại một tiêu điểm của một gương elip như vậy, thì sau khi phản xạ từ các thành của hình elip, tất cả các tia sẽ đi qua tiêu điểm thứ hai - đây là hệ quả trực tiếp của tính chất quang học. Hiện tượng được mô tả có thể được quan sát trong thực tế, trong không gian ba chiều. Để làm điều này, bạn cần lấy một bề mặt thu được bằng cách xoay một hình elip xung quanh một đường thẳng đi qua tiêu điểm của nó.

Cơm. 8.

21

22

Cơm. 9.

sy. Nếu một bề mặt như vậy, được gọi là hình elip quay, được bao phủ từ bên trong bằng một lớp gương và một nguồn sáng chính xác (“mặt trời”) được đặt tại một trong các tiêu điểm, thì bạn sẽ thấy rằng nếu bạn ở bên trong hình elip, bạn sẽ thấy hai “mặt trời”.
Trên thực tế, khi hướng ánh mắt về tiêu điểm đầu tiên, bạn sẽ nhìn thấy trực tiếp “mặt trời” được đặt ở đó. Tuy nhiên, nhìn về hướng của tiêu điểm thứ hai (trong thực tế không có gì), anh ta cũng sẽ nhìn thấy “mặt trời” (Hình 8). Và bất kể hình elip được quan sát di chuyển bên trong như thế nào, hai “mặt trời” sẽ chiếu sáng gần như trực tiếp vào nó.
Một bức ảnh tương tự có thể được quan sát bên trong một hình elip hình elip, tôi quyết định thực hiện các biện pháp giúp nó thoát khỏi “mặt trời của mỏ” và đặt một vật thể mờ đục nhỏ (“màn hình”) ở tiêu điểm thứ hai, chặn đường phản xạ của các tia. Kết quả hóa ra hơi bất ngờ: bây giờ tất cả các tia phát ra từ “mặt trời” A, sau khi phản xạ từ elip, đều được tập trung (“tập trung”) vào “màn hình” B, và điều này có thể gây ra hiện tượng nóng lên dữ dội. Và lưu ý rằng để lấy nét như vậy, không nhất thiết phải có hình elip gương làm mục tiêu mà chỉ có thể sử dụng một phần bề mặt của nó.

Cơm. 10.

Và người quan sát “không có cửa sổ” sẽ nhìn thấy gì ở tiêu điểm B thứ hai của gương elip, nếu một nguồn sáng được đặt ở tiêu điểm A đầu tiên của nó? Tất cả các tia phát ra từ điểm A và phản xạ từ hình elip đều kết thúc ở điểm B. Như vậy, đối với thang đo quan sát được, hình elip sẽ phát sáng.

Bạn có thể xem hình minh họa về hiện tượng này trên trang đầu tiên của trang bìa - nó được sử dụng làm nguồn sáng từ “mặt trời của tôi” và một vật thể mờ đục nhỏ (“màn hình”) được đặt ở tiêu điểm thứ hai, chặn đường phản xạ của các tia. Kết quả thật bất ngờ: giờ đây tất cả các tia phát ra từ “mặt trời” A, sau khi phản xạ từ elip, đều được tập trung (“tập trung”) vào “màn hình” B, và điều này có thể khiến nó nóng lên dữ dội. Và lưu ý rằng để lấy nét như vậy, không nhất thiết phải có hình elip gương làm mục tiêu mà chỉ có thể sử dụng một phần bề mặt của nó.

Ví dụ: nếu bạn tạo một gương phản xạ hình elip, trong đó một tiêu điểm là Mặt trời (có thật!), và tiêu điểm kia - một nồi hơi với nước, thì bạn có thể đạt được sự sôi của nước trong nồi hơi do bức xạ của Mặt trời tập trung vào gương phản xạ.

Không có gì đáng ngạc nhiên về điều này: xét cho cùng, tấm phản xạ có diện tích lớn và toàn bộ năng lượng mặt trời trên bề mặt của nó được dẫn vào làm nóng lò hơi. Các thiết bị năng lượng mặt trời như vậy có một số ứng dụng. Và trong tương lai (ai biết được?), có thể, bằng cách chế tạo một gương phản xạ hình elip khổng lồ (Hình 9), sẽ sử dụng năng lượng của các tia truyền qua Trái đất?

23

Nếu chúng ta coi các tia mặt trời gần như song song thì tính chất quang học của parabol có thể được sử dụng để tập trung chúng (Hình 10). Tuy nhiên, cung tương đối nhỏ của một hình elip rất dài thực tế không khác gì các parabol khác.

Các tấm phản xạ parabol (tấm phản xạ) cũng được sử dụng trong các kính thiên văn hiện đại. Tất nhiên, trong trường hợp này, ánh sáng từ một ngôi sao ở xa được tập trung không nhằm mục đích sưởi ấm mà để có thể nhìn thấy ngôi sao đó (ví dụ, để ánh sáng thu được bởi gương phản xạ đủ để xuất hiện trên phim ảnh).

Nếu trong hệ thống lắp đặt năng lượng mặt trời và kính viễn vọng, ánh sáng đến từ một nguồn ở xa (thực tế là “từ vô cực”) được thu thập tại một tiêu điểm, thì trong máy chiếu thì ngược lại: ánh sáng từ một đèn mạnh đặt tại tiêu điểm, sau khi phản xạ từ một gương phản xạ parabol, sẽ để lại một chùm tia song song (các đường màu đen trong Hình 11)*). Nếu nhấc đèn ra khỏi gương một chút, thì gương phản xạ hoạt động giống như một hình elip - bạn sẽ có được một chùm tia “gần như” hội tụ (đường màu đỏ). Đưa đèn lại gần gương sẽ cho một ví dụ về kiểu tia giống như trong hyperbol

*) Đặc điểm “vật lý” của hiện tượng này được M. I. Fay và Nold mô tả trong bài viết “Hình parabol tuyệt vời này” (tr. 24).

gương phản xạ thương mại: các tia phân kỳ (đường màu xanh). Những tấm phản xạ như vậy không chỉ được sử dụng trong máy chiếu hoặc đèn pha tự động mà còn được sử dụng trong các thiết bị chiếu, thiết bị sưởi ấm, thiết bị y tế (đèn ánh sáng xanh, đèn thạch anh, v.v.).

Cuối cùng, chúng tôi chỉ ra một ứng dụng nữa - lần này là về mặt cơ học - của đặc tính quang học. Hình 12 cho thấy hình elip $E_1$ và hình elip $E_2$, đối xứng với nó theo tiếp tuyến $l$. Từ hình vẽ cho thấy điểm $A, M$ và $C$ nằm trên cùng một đường thẳng và

$$|AC| = |AM| + |MC| = |AM| + |MB|,$$

nghĩa là khoảng cách giữa các điểm $A$ và $C$ bằng trục lớn hơn của hình elip. Bây giờ chúng ta hãy sửa các hình elip tại các điểm $A$ và $C$ để chúng có thể xoay quanh các điểm này. Nếu bạn xoay hình elip $E_1$ xung quanh điểm $A$, thì đối với mỗi vị trí của nó sẽ có một điểm $M$ mà tại đó hình elip cắt đoạn $AC$; Bằng cách vẽ tiếp tuyến tại điểm $M$, chúng ta tìm được vị trí tương ứng duy nhất của hình elip $E_2$. Nói cách khác, hình elip $E_2$ cũng sẽ quay (xung quanh điểm $C$), bị hình elip $E_1$ cuốn đi. Đây là cơ sở của cấu trúc bánh răng hình elip: nó chuyển chuyển động quay đều của hình elip $E_1$ quanh điểm $A$ thành chuyển động quay không đều của hình elip $E_2$ quanh điểm $C$.

24

Bài báo của V. G. Boltyansky (xem trang 19) nói về tính chất quang học của các đường conic, đặc biệt là các parabol. Định nghĩa “vật lý” về tính chất quang học của một parabol có thể được phát biểu như sau: một tia sáng tới trên một parabol song song với trục đối xứng của nó, sau khi phản xạ, đi qua tiêu điểm của parabol. Từ tính chất tương hỗ của các tia sáng, ta suy ra rằng một tia tới từ tiêu điểm của một parabol, sau khi phản xạ từ nó, sẽ trở thành parapel đối với trục đối xứng của nó.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ nói về một số đặc điểm “vật lý” của sự phản xạ ánh sáng từ một parabol - một bề mặt được hình thành do sự quay của một parabol quanh trục đối xứng.

Gương parabol là một parabol có bề mặt bên trong phản chiếu rõ ràng ánh sáng chiếu vào nó. Nếu ánh sáng chiếu vào một gương như vậy song song với trục đối xứng của parabol, thì sau khi phản xạ, tất cả các tia sẽ đi qua tiêu điểm của nó, như thể tập trung vào đó. Và ngược lại, các tia từ một nguồn chính xác nằm ở tiêu điểm, phản xạ từ bề mặt của parabol, hiện ra dưới dạng tia parapel.

Điều quan trọng cần lưu ý là mỗi hiệu ứng được đề cập là kết quả của chỉ một sự phản xạ của các tia từ bề mặt của parabol. Nhưng nếu bạn làm một gương parabol đủ sâu thì hầu hết các tia đi vào nó sẽ trải qua hai phản xạ (Hình 1). Sau lần phản xạ đầu tiên, mỗi tia đi qua tiêu điểm lại bị phản xạ từ phía “đối diện” của gương. Nói cách khác, tiêu điểm sẽ giống như một nguồn sáng điểm độc lập *). Nhưng các tia từ

*) Trên thực tế, định nghĩa “chính xác” đối với nguồn như vậy chỉ phù hợp một phần - theo nghĩa kích thước nhỏ. Chúng ta sẽ nói thêm về nguồn này khác với nguồn chính xác như thế nào.

Cơm. 1.

Cơm. 2. a) Hình ảnh phân bố cường độ trong mặt cắt ngang của chùm tia ló ra. b) Đồ thị thay đổi cường độ theo khoảng cách tới trục chùm tia.

những điều trong Hình 2. Nó minh họa kết quả của thí nghiệm đơn giản sau đây. Một tấm ảnh được lắp đặt trên trục đối xứng của gương vuông góc với nó. Bề mặt nhạy cảm với ánh sáng của nó hướng vào “bên trong” hình paraboloid. Gương được chiếu sáng bởi một chùm ánh sáng song song với trục đối xứng và sự phân bố năng lượng trong tiết diện của chùm tia tới là đồng đều, nghĩa là thông qua một đơn vị diện tích vuông góc với chùm tia truyền, cùng một lượng năng lượng truyền đến bất kỳ nơi nào trong cùng một thời điểm. Điều này có nghĩa là ánh sáng tới sẽ chiếu sáng tấm ảnh một cách đồng đều. Nhưng đối với cảm quang

Bề mặt của tấm bị tia phản xạ chiếu vào. Và tấm này được chiếu sáng như trong Hình 2.

Trước tiên chúng ta hãy giải thích thực tế này bằng cách sử dụng những cân nhắc trực quan. Gọi $OZ$ là trục đối xứng, $r'$, $r''$ khoảng cách từ trục đến điểm tới và tia tới tương ứng (Hình 3). Chùm tia càng rơi xa trục $OZ$ thì nó phát ra càng gần, tức là càng nhiều $r'$ thì càng ít $r''$. Do đó, năng lượng của các vùng “ngoại vi” của chùm tia tới được “chuyển” sang trục của chùm tia đi. Nếu chùm tia tới đủ rộng (bán kính gương lớn), thì điều này sẽ dẫn đến sự tập trung năng lượng đáng kể dọc theo trục. Kết quả là, năng lượng thực tế phát ra dưới dạng một “dây đèn” hẹp, và chùm tia tới càng rộng thì dây đi càng hẹp.

Vì vậy, chúng ta đi đến kết luận: một paraboloid có thể tập trung năng lượng không chỉ ở tiêu điểm mà còn dọc theo trục đối xứng.

Không khó để định lượng hiệu ứng này. Chúng ta hãy xem xét một hình parabol, sự quay của nó quanh trục $OZ$ tạo ra bề mặt của một hình parabol. Nếu gốc tọa độ là tiêu điểm thì phương trình

Cơm. 3.

25

26

Cơm. 4.

Parabol có dạng
$$z = \frac{r^2}{4f} - f,$$
(1)

Ở đâu $f$ là tiêu cự và $r$ Và $z$ - “tuyệt đối” và “tọa độ” của một điểm tùy ý của parabol. Tia tới “gặp” parabol tại điểm $a'$ ở một khoảng cách $r'$ từ trục đối xứng sẽ bị phản xạ, đi qua tiêu điểm và lại gặp parabol tại điểm $a''$ ở một khoảng cách $r''$ từ trục $OZ$ (xem hình 3). Hãy ký hiệu bằng $\theta$ góc giữa $OZ$ và phân khúc “trung gian” $a'a''$ tia của chúng tôi. Phương trình của một đường thẳng $a'a''$ được viết dưới dạng
$$z = -r \text{ ctg } \theta.$$ (2)

Các điểm $a'$ và $a''$ đồng thời thuộc cả parabol (1) và đường thẳng (2). Do đó, đối với chúng, chúng ta có thể đánh đồng vế phải của (1) và (2):
$$r^2 + 4fr \text{ ctg } \theta - 4f^2 = 0.$$ (3)

Giải phương trình này, ta tìm được:
$$r_1 = -2f \text{ ctg } \frac{\theta}{2}, \quad r_2 = 2f \text{ tg } \frac{\theta}{2}.$$ (4)

Các nghiệm $r_1$ và $r_2$ là các giá trị tọa độ $r$ ​​cho điểm $a'$ và $a''$. Vì vậy, $r' = |r_1|, r'' = r_2$. Từ (4) suy ra
$$r'r'' = 4f^2.$$ (5)

Công thức (5) có thể thu được bằng định lý Vieta mà không cần giải phương trình (3). Kết quả này xác nhận kết luận thu được ở trên từ những cân nhắc định tính: khoảng cách của tia parabol và tia ló tới trục $OZ$ tỷ lệ nghịch với nhau.

Công thức (5) có thể được “đọc” như sau. Chúng ta hãy tưởng tượng một mặt phẳng $A$ vuông góc với trục $OZ$. Hãy để mọi người

ba vòng có chiều rộng $\Delta r''$ với bán kính ngoài $r''$. Tức là bán kính ngoài $r' + \Delta r'$ của vòng “rơi” tương ứng với bán kính trong $r'' - \Delta r''$ của vòng “phản xạ”. Theo (5), tích của các bán kính này bằng $4f^2$ *), tức là

$$(r' + \Delta r')\,(r'' - \Delta r'') =$$
$$= r'r'' + r''\Delta r' - r'\Delta r'' - \Delta r'\Delta r'' = 4f^2.$$

Xét rằng $r'r'' = 4f^2$, chúng tôi nhận được:

$$r''\Delta r' - r'\Delta r'' - \Delta r'\Delta r'' = 0.$$

Vì $\Delta r' \ll r'$ và $\Delta r'' \ll r''$, số hạng cuối cùng trong biểu thức này có thể được bỏ qua và viết lại

$$r''\Delta r' - r'\Delta r'' = 0.$$

Nó theo sau đó

$$\frac{\Delta r''}{\Delta r'} = \frac{r''}{r'} = \frac{4f^2}{r'^2},$$

hoặc

$$\frac{\Delta r''}{\Delta r'} = \frac{4f^2}{r'^2}, \quad \Delta r'' = \Delta r'\ \frac{4f^2}{r'^2}. \qquad (6)$$

Do đó, năng lượng trong chùm tia tới truyền qua diện tích hình khuyên có chiều rộng $\Delta r'$, sau khi phản xạ kép của các tia từ gương, đi qua diện tích hình khuyên $\Delta r'' < \Delta r'$. Điều này có nghĩa là lượng năng lượng truyền trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích (đặc điểm này được gọi là cường độ) trong vòng “phản xạ” lớn hơn trong vòng “sự cố”. Chúng tôi đã xem xét trường hợp khi $r' > 2f$. Nếu $r' < 2f$, thì vòng “phản xạ” rộng hơn vòng “sự cố”, nghĩa là cường độ của ánh sáng phản xạ nhỏ hơn cường độ của ánh sáng tới.

Vì vậy, do sự phản xạ ánh sáng từ gương parabol, xảy ra sự phân bố lại cường độ ánh sáng. Chúng ta hãy tìm cường độ thay đổi như thế nào tùy thuộc vào khoảng cách đến trục đối xứng của paraboloid. Hãy để cường độ giảm xuống-

---

*) Chúng tôi sẽ không làm lộn xộn bản ghi bằng các ký hiệu mô-đun và bằng $r$, chúng tôi sẽ hiểu giá trị số của khoảng cách.

tổng ánh sáng bằng $J_0$. Khi đó, lượng năng lượng truyền trên một đơn vị thời gian qua diện tích vòng có chiều rộng $\Delta r'$ (tức là luồng ánh sáng xuyên qua vòng) bằng tích của $J_0$ và diện tích của vòng, tức là

$$\Delta \Phi = J_0 2\pi r' \Delta r',$$

trong đó $r'$ là bán kính trong của vòng *). Sau khi phản xạ kép ánh sáng từ gương, toàn bộ luồng ánh sáng này sẽ thoát ra qua diện tích $2\pi r''\Delta r''$. Do đó, cường độ của chùm tia đầu ra bằng

$$J = \frac{\Delta \Phi}{2\pi r''\,\Delta r''} =$$
$$= J_0\ \frac{r'\,\Delta r'}{r''\,\Delta r''} = \frac{16f^4}{(r'')^4}\ J_0. \qquad (7)$$

Công thức (7) mô tả cường độ tăng mạnh khi $r''$ giảm, nghĩa là khi nó tiến gần đến trục đối xứng của paraboloid.

Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là trên trục đó cường độ trở nên lớn vô hạn. Rốt cuộc, những tia ở ngoại vi của chùm tia tới sẽ đi ra gần trục nhất. Rõ ràng khoảng cách tối đa $r'_{\max}$ từ chùm tia tới đến trục đối xứng bằng bán kính của gương. Nó tương ứng với khoảng cách tối thiểu $r''_{\min}$ trong chùm tia đi. Khi $r''$ giảm xuống $r''_{\min}$ thì cường độ trong chùm tia đầu ra tăng theo định luật (7) và khi $r'' < r''_{\min}$ thì cường độ gần như bằng 0 *). Đây là lý do tại sao trong Hình 2, cường độ “nhúng” được hình thành gần trục chùm tia. Tuy nhiên, giá trị cường độ cực đại quan sát được ở gần “cạnh nhúng” có thể lớn hơn nhiều lần.

---

*)Diện tích của vòng giới hạn bởi các đường tròn bán kính $r$ và $r+\Delta r$ bằng $S=\pi(r+\Delta r)^2-\pi r^2=2\pi r\Delta r+\pi(\Delta r)^2$. Nếu $\Delta r \ll r$, thì số hạng với $(\Delta r)^2$ có thể bị bỏ qua và được xem xét $S=2\pi r\Delta r$.

**) Trên thực tế, cường độ của chùm tia đầu ra thay đổi theo cách phức tạp hơn một chút do nhiễu xạ ở các cạnh của gương.

27

28

vượt quá cường độ $J_0$ của chùm tia tới.

Đó là lượng thông tin chúng tôi rút ra được từ công thức đơn giản (5)!

Bây giờ chúng ta chuyển sang các thư từ (4). Họ mô tả đường đi của các tia “bên trong” một parabolon giữa hai phản xạ. Chính những tia sáng này, hội tụ tại tiêu điểm và phân kỳ khỏi tiêu điểm, dường như tạo thành một nguồn sáng điểm hư cấu ở đây. Tuy nhiên, nguồn này khác với nguồn chính xác thực tế. Nó phát ra không đẳng hướng, tức là cường độ ánh sáng mà nó phát ra theo các hướng khác nhau là khác nhau.

Có điều gì đó màu đỏ huyền bí về tất cả những đặc tính parabolon này!

Tuy nhiên, những kết luận mà chúng tôi đưa ra chỉ có giá trị trong khuôn khổ những ý tưởng lý tưởng hóa không hoàn toàn tương ứng với thực tế. Chúng ta đã nói về parabolon như một bề mặt lý tưởng về mặt toán học. Một chiếc gương thật chỉ tương ứng gần đúng với “lý tưởng” này. Bề mặt của nó không đối xứng nghiêm ngặt, có độ nhám, v.v.

Tiếp theo, chúng ta làm việc với các khái niệm về tia và chùm tia parabol. Trên thực tế, mỗi chùm tia truyền đi trong một góc kính thiên văn nhất định không bằng 0. Chúng ta chỉ có thể nói về một chùm parabol thực tế, nghĩa là một chùm tia, mặc dù nó phân kỳ, nhưng không đáng kể đến mức có thể tránh được sự phân kỳ này trong một vùng không gian xác định. Ví dụ, một chùm tia rơi xuống một parabol từ một ngôi sao có thể được coi là parabol trên thực tế. Nhưng ngay cả trong trường hợp này, chùm tia tới sẽ trải qua cái gọi là sự phân kỳ nhiễu xạ, do tính chất sóng của ánh sáng *). Hơn nữa, chùm tia này càng hẹp (nghĩa là càng có nhiều

$$\alpha \approx \frac{\lambda}{r_{\min}^2},$$

trong đó $\lambda$ là bước sóng của ánh sáng parabol. Vì vậy, “dây ánh sáng” càng mỏng và càng cô đặc thì nó càng phân kỳ. Chúng ta hãy ước tính khoảng cách $z$ mà tại đó độ tăng bán kính của dây do sự phân kỳ bằng bán kính $r''_{\min}$ “ở đầu bó” (với khoảng cách này, dây nổi lên có thể được coi là một hình parabol thực tế). Rõ ràng,

$$z \approx \frac{r''_{\min}}{tg\alpha} \approx \frac{r''_{\min}}{\alpha} \approx \frac{(r''_{\min})^2}{\lambda}.$$

Theo công thức này, chùm tia càng mỏng và càng mạnh thì càng nhỏ, các yếu tố khác bằng nhau, gọi là “độ dài parabol” của nó. Do đó, việc tạo ra một parabolon rất sâu không chỉ là không thể thực hiện được mà còn vô nghĩa về mặt lý thuyết. Bản chất sóng của ánh sáng không cho phép chúng ta thu được một chùm tia parabol và mạnh liên tục, tương tự như chùm tia được mô tả trong tiểu thuyết “Hyperbolon của kỹ sư Garin” của A. Tolstoy.

Do đó, các hiệu ứng đỏ và bất ngờ liên quan đến sự phản xạ kép của ánh sáng từ parabol quay đã nảy sinh trong các giới hạn mà trong đó người ta cho phép bỏ qua bản chất sóng của ánh sáng, tức là khi ngay cả kích thước nhỏ nhất trong tất cả các chiều của hệ - bán kính $r''_{\min}$ - lớn hơn nhiều lần so với bước sóng. Điều kiện này áp đặt một giới hạn về mức độ “khuếch đại” ánh sáng.

*) Bạn có thể đọc thêm về điều này, chẳng hạn như trong «Kvant» Số 4 năm 1972 trong trạng thái của V. E. Belonuchkin và S. M. Kozel “Điện thoại Otichsky”.

29

Brachistochrone, hay một bí ẩn khác của Cyclops

Bài viết này kết thúc loạt bài viết về một trong những đường cong phổ biến nhất trong toán học thế kỷ 17 - cyclopides: “Tiếp tuyến của cuộn”, “Bí mật của cyclopides”.
Tất cả các bài viết đều nói về cách các đại lượng của các nhà toán học thế kỷ 17 Galileo, Huygens, Newton, Leibniz, anh em Johann và Jacob Bernoulli đã quyết định toán học bài toán, sử dụng các cân nhắc vật lý.

sai lầm của Galileo

Vào đầu thế kỷ 17, chàng trai trẻ Galileo đã cố gắng kiểm tra bằng thực nghiệm dự đoán của mình rằng rơi tự do là một chuyển động có gốc rễ ngang nhau. Khi chuyển những quan sát của mình từ Tháp nghiêng Pisa sang phòng thí nghiệm, ông trở nên rất bận tâm vì thực tế là các vật thể đang rơi “quá nhanh”. Để thay thế chuyển động này, Galileo quyết định thay chuyển động rơi tự do của các vật bằng chuyển động của chúng dọc theo một mặt phẳng nghiêng, giả sử rằng nó cũng có gốc bằng nhau. Khi tiến hành những thí nghiệm này, Galileo chú ý đến thực tế là tại điểm cuối cùng, độ lớn tốc độ của một vật đứng trên mặt phẳng nghiêng không phụ thuộc vào góc nghiêng của mặt phẳng mà chỉ được xác định bởi độ cao H và trùng với tốc độ cuối cùng của một vật rơi tự do từ cùng một độ cao (như bạn đã biết ở trên, trong cả hai trường hợp $|\vec{v}| = \sqrt{2gH}$). Sau khi nghiên cứu chuyển động trên mặt phẳng nghiêng*), Galileo chuyển sang xem xét chuyển động của một điểm toán học dưới tác dụng của lực

*) Về một số quan sát của Galileo liên quan đến chuyển động của một vật dọc theo các đoạn nghiêng, xem bài viết của S. G. Verov “Bí mật của họ Cyclopidae” (Bài toán Galileo), «Kvant», 1975, số 8.

Cơm. 1.

30

lựa chọn rằng một phần tư đường tròn nối một cặp điểm A, B (không nằm trên cùng một phương thẳng đứng) và đối với một điểm vật chất chuyển động dưới tác dụng của trọng lực sẽ là đường đi xuống tuyến tính (sau này đường đi xuống dốc nhất bắt đầu được gọi là brachistochrone). Sau này người ta thấy rõ rằng tuyên bố này của Galileo không những vô căn cứ mà còn sai lầm.

Thụy Sĩ. Cuối thế kỷ 17

“Đi dạo trên đường phố Basel và thảo luận về đủ loại câu hỏi toán học, Johann và Jacob Bernoulli đã nảy ra câu hỏi sau: một sợi dây xích cao tự do, cố định ở hai đầu sẽ có hình dạng như thế nào? Họ nhanh chóng và dễ dàng đồng ý rằng sợi dây sẽ có dạng cân bằng trong đó trọng tâm của nó sẽ nằm càng thấp càng tốt… Phần vật lý bài toán đã kiệt sức với điều này. Việc xác định đường cong có tâm mềm thấp nhất cho một mặt nhất định giữa hai điểm A và B đã được thực hiện bài toán thuần túy toán học.” (Tối đa).

Sau khi nghiên cứu một đường dây xích (đây là tên của một đường có hình dạng được tạo bởi một sợi dây nặng, dẻo, không giãn được treo ở hai điểm), anh em Bernoulli bắt đầu quan tâm đến các vấn đề khác trong đó các đường cong được tìm kiếm tương ứng với giá trị nhỏ nhất của một đại lượng cụ thể. Năm 1696, Johann Bernoulli xuất bản ghi chú “Mới bài toán, các nhà toán học được mời giải quyết vấn đề Comoros.” Tuy nhiên, cái “mới” bài toán này đã được Galileo xem xét rồi. Chúng ta đang nói về việc tìm ra brachistochrone - một đường nối một cặp điểm cố định dọc theo đó điểm vật chất sẽ đi xuống dưới tác dụng của lực của các lực nặng hơn ở mức cao nhất. Vấn đề về brachistochrone, không thể tiếp cận được vào đầu thế kỷ ngay cả với Galileo vĩ đại, hóa ra lại rất hợp thời vào cuối thế kỷ này. Nó đã được giải quyết rất nhanh chóng bởi chính Johann Bernoulli và anh trai Jacob, và giáo viên Leibniz của họ, cũng như Newoton và L’Hopital. Chúng ta sẽ nói về lời giải của Johann Bernoulli: nó sử dụng quang học hình học theo một cách hoàn toàn bất ngờ!

“Không cần bất kỳ phương pháp nào khác, chỉ với sự trợ giúp của trí tưởng tượng hình học của mình, Johann Bernoulli chỉ trong nháy mắt quyết định bài toán khéo léo sử dụng những gì đã được trích xuất từ ​​vỏ - bức tranh là một khái niệm thay thế và đẹp đến kinh ngạc. Chúng ta phải nhận ra ở Johann Bernoulli một bản chất nghệ thuật thực sự, làm việc trong lĩnh vực mạ tự nhiên. Anh trai ông, Jacob Bernoulli, là một nhân vật khoa học thuộc loại hoàn toàn khác. Ông đã loại bỏ nhiều lời chỉ trích hơn, nhưng trí tưởng tượng sáng tạo ít hơn nhiều. Và ông đã giải quyết được điều tương tự. bài toán, nhưng theo một cách đáng suy ngẫm hơn nhiều. Nhưng ông đã không bỏ lỡ cơ hội phát triển một phương pháp bao bọc lời giải bài toán thuộc loại này một cách kỹ lưỡng hơn. (Tối đa).

trang trại giá

Trở lại năm 140 trước Công nguyên. Claudius Ptolemy đã biên soạn một bảng chi tiết về sự phụ thuộc của góc khúc xạ của chùm ánh sáng khi truyền từ không khí vào nước từ góc tới; nhưng chỉ đến năm 1621 Snell mới đoán được mô hình dị thường nối các góc này:

$$\frac{\sin \alpha_{\text{наденя}}}{\sin \alpha_{\text{преломления}}} = k,$$

trong đó $k$ là chiết suất, hằng số đối với một cặp môi trường cố định.

Năm 1650, Fermat đã đưa ra một cách giải thích đáng chú ý về định luật này. Ông bắt đầu từ thực tế mà Heron ở Alexandria đã biết rằng sự bằng nhau giữa góc tới và góc phản xạ có thể được suy ra từ giả định rằng khi bị phản xạ, ánh sáng chọn đường đi ngắn nhất (Hình 2).

31

Cơm. 2.

Fermat cho rằng đường đi của ánh sáng giữa hai điểm là đường đi mất ít thời gian nhất để truyền đi so với bất kỳ đường đi nào khác giữa những điểm này - ngày nay phát biểu này được gọi là “lý do Fermat”.
Cụ thể, từ nguyên lý Fermat, nó suy ra rằng vì tốc độ ánh sáng trong môi trường đồng nhất là không đổi nên thời gian ngắn nhất truyền dọc theo đường đi có độ dài ngắn nhất. Theo đó, đường đi của ánh sáng trong một môi trường đồng nhất không có định trước là đường thẳng, cũng như định luật phản xạ.
Nếu môi trường có mật độ thay đổi và tốc độ ánh sáng ở các phần khác nhau của nó là khác nhau thì đường truyền ánh sáng, mất ít thời gian nhất để truyền đi, sẽ không còn là đường thẳng nữa. Chúng ta hãy xem điều gì xảy ra trong trường hợp khúc xạ.
(Tất cả những cân nhắc sâu hơn của chúng tôi đều đề cập đến trường hợp phẳng).

Cơm. 3.

Đường thẳng trống $l$ ngăn cách hai môi trường (trên mặt phẳng), trong đó tốc độ ánh sáng là $c_1$ và trong môi trường thứ hai - $c_2$; $A_1$ và $A_2$ là các điểm nằm đối diện nhau của $l$. Chúng ta hãy tìm trên $l$ một điểm $B$ sao cho $\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{c_1}{c_2}$, trong đó $\alpha_1$ là góc tới, $\alpha_2$ là góc khúc xạ (xem Hình 3). Sự tồn tại và duy nhất của điểm $B$ như vậy được chứng minh dễ dàng. Trống $C$ — bất kỳ điểm nào khác của đường $l$. Chúng ta hãy loại bỏ các biến $CE$ và $CF$ thành $A_1B$ và $A_2B$ tương ứng.

Sau đó, $ECB = \alpha_1$, $FCB = \alpha_2$ và việc vượt qua đoạn $BE$ với tốc độ $c_1$ sẽ mất nhiều thời gian như việc vượt qua đoạn $BF$ ở tốc độ $c_2$. Điều này có nghĩa là ánh sáng cần cùng một khoảng thời gian để truyền đi đường $A_1BA_2$ giống như thời gian để truyền hai đoạn: $A_1E$ với tốc độ $c_1$ và $FA_2$ ở tốc độ $c_2$. Vì độ dài của các đoạn $A_1C$ và $A_2C$ lần lượt lớn hơn độ dài của các đoạn $A_1E$ và $FA_2$, nên ánh sáng cần nhiều thời gian hơn để di chuyển trên đường $A_1CA_2$ hơn là để di chuyển trên đường $A_1BA_2$, và do đó, điểm $C$ là không phù hợp.

Do đó, theo nguyên lý Fermat, định luật khúc xạ Snell tuân theo và chiết suất của chùm ánh sáng từ môi trường này sang môi trường khác hóa ra bằng tỷ số tốc độ ánh sáng trong môi trường này $*$).

Nó cũng tuân theo nguyên lý Fermat rằng trong một môi trường quang học phức tạp bao gồm các “dải” nằm ngang, trong đó mỗi dải có tốc độ ánh sáng không đổi: $c_1, c_2, \dots$ (Hình 4), - ánh sáng sẽ truyền dọc theo một đường gãy phẳng có các đỉnh nằm trên các đường thẳng ngăn cách các sọc này, và nếu $\alpha_j$ là góc của đường đứt nét nằm trong vùng với tốc độ ánh sáng $c_j$,

*) Nguyên lý Fermat được chứng minh trong lý thuyết sóng ánh sáng do Huygen-com xây dựng năm 1672-1673.

32

cơm. 4.

tạo thành theo chiều dọc, sau đó $\frac{\sin \alpha_j}{c_j} =$ const cho toàn bộ đường đứt nét.

Thật vậy, nếu $\frac{\sin \alpha_j}{c_j} \neq \frac{\sin \alpha_{j+1}}{c_{j+1}}$ đối với một số $j$, thì theo nguyên lý Fermat, ánh sáng không thể truyền dọc theo một đường đứt nét như vậy: đỉnh của đường đứt nét ở ranh giới của môi trường tương ứng có thể được di chuyển sao cho (mà không làm thay đổi các đỉnh khác) sao cho tổng thời gian ánh sáng tiêu tốn giảm đi.

Nếu trong một môi trường quang học không đồng nhất nào đó, tốc độ ánh sáng thay đổi liên tục, nhưng sao cho tại các điểm nằm ngang (tức là tại các điểm có cùng tọa độ) là như nhau: $c(y)$ (giá trị $y = 0$ tương ứng với vị trí ban đầu của điểm mà chùm tia xuất hiện), thì bằng cách chuyển sang giới hạn, chúng ta thu được rằng trong môi trường này, đường truyền ánh sáng giữa hai điểm là một đường cong $L$ sao cho

$$\frac{\sin \alpha(y)}{c(y)} = \text{const},$$

trong đó $\alpha(y)$ biểu thị góc mà tiếp tuyến vẽ với đường cong $L$ tại một điểm có tọa độ $y$ tạo với đường thẳng đứng.

Để chuyển sang bài toán về brachistochrone, bây giờ chúng ta đã thu được sự tương ứng (1) từ nguyên lý Fermat, chỉ sử dụng thực tế là tại một điểm cố định trong môi trường không đồng nhất của chúng ta, giá trị của tốc độ ánh sáng là cố định và không phụ thuộc vào hướng truyền ánh sáng (trong ví dụ của chúng ta, nó được xây dựng theo phương ngang). Tuy nhiên, như chúng tôi đã lưu ý ở trên, đối với một vật chỉ chuyển động dưới tác dụng của trọng lực, $|v(y)| = \sqrt{2gy}$, trong đó $y$ là đường thẳng đứng di chuyển, “sự mất mát” độ cao và chúng ta hiểu rằng trong bài toán độ lớn của vận tốc tại mỗi điểm cố định của mặt phẳng là cố định và không phụ thuộc vào đường chuyển động bắt nguồn từ đâu. Do đó, mọi kết luận từ nguyên lý Fermat đều có thể được áp dụng ở đây. Do đó, để đi từ điểm này đến điểm khác trong thời gian tối thiểu có thể, một điểm vật chất phải di chuyển dọc theo một đường như vậy $L$ nối hai điểm này (chúng ta giả sử rằng các điểm không nằm trên cùng một đường thẳng đứng),

Cơm. 5. Lốc xoáy - đường cong mô tả một điểm nằm trên ranh giới của bán kính hình tròn $r$ lăn không trượt theo đường thẳng chỉ thị (trùng với trục $Ox$); $r$ được gọi là bán kính lốc xoáy. Theo định nghĩa, độ dài của cung $A_tB$ bằng độ dài của đoạn $A_0B$ mà cung này kéo dài dọc theo.

vì cái gì

$$\frac{\sin\alpha\,(y)}{\sqrt{y}} = \mathrm{const}, \qquad (2)$$

trong đó $\alpha\,(y)$ là góc giữa phương thẳng đứng và tiếp tuyến của đường cong $L$, được vẽ tại điểm có tọa độ $y$.

Tất cả những gì chúng ta phải làm là tìm một đường cong thỏa mãn điều kiện (2).

Lại lốc xoáy!

Đường cycloid (xem Hình 5) là đường cong phổ biến nhất trong số các nhà toán học thế kỷ 17-18. Một trong những đặc tính đáng chú ý nhất của cycloid được Huygens phát hiện ra đó là cycloid là một tautochrone. Điều này có nghĩa là nếu bạn tạo một rãnh theo hình cycloid ngược và ném một quả bóng dọc theo một cái máng như vậy thì từ bất kỳ độ cao nào đến điểm thấp nhất (trùng với đỉnh của cycloid ngược!) quả bóng sẽ đến cùng một lúc*).

Các nhà toán học thế kỷ 17 đã “quen” với thực tế rằng cycloid là “cây đũa thần” trong nhiều vấn đề. Và bây giờ cô ấy lại được định sẵn để khẳng định “danh tiếng” của mình - brachistochrone hóa ra cũng là một cycloid!

Trên thực tế, nếu chúng ta biểu thị bằng $\alpha\,(y)$ góc mà tiếp tuyến vẽ với cycloid có bán kính r (thu được khi một đường tròn có bán kính $r$ lăn không trượt dọc theo đường thẳng $\{y = 0\}$) tại một điểm có tọa độ $y$ hợp với phương thẳng đứng, thì

$$\sin\alpha\,(y) = \sqrt{\frac{y}{2r}} \qquad (3)$$

(xem «Kvant» Số 8, trang 21, mối quan hệ (1)).

Có thể chứng minh rằng đường cycloid là đường cong duy nhất thỏa mãn hệ thức (3). Do đó, một brachistochrone nối hai điểm A và B cho trước

---

*) Về tautochrone và các tính chất của cycloid, hãy xem các bài viết đã được đề cập “Tiếp tuyến của roulette” và “Bí mật của cycloid” «Kvant», 1975, số 5 và số 8. Những bài viết này cung cấp bằng chứng về tất cả các tuyên bố mà chúng tôi sử dụng dưới đây.

3 «Kvant» №12

Cơm. 6.

(không nằm trên cùng một phương thẳng đứng), đóng vai trò là một phần của vòm (hoặc cung) của một đường tròn xoáy ngược (xem Hình 6) và tại điểm “trên” $A$ có cạnh của đường tròn này. Vì chúng ta chỉ đang xem xét cung đầu tiên (đầu tiên) của cycloid nên bán kính của nó $r$ tại điểm $B$ được xác định duy nhất.

Cung của cycloid, là một brachistochrone, có thể lớn hơn nửa cung của cycloid. Trong trường hợp này, điểm vật chất, di chuyển dưới tác dụng của trọng lực dọc theo brachistochronone, trước tiên sẽ đi xuống (đạt đến đỉnh của cycloid ngược), sau đó bắt đầu đi lên trở lại. Chưa hết, chuyển động như vậy hóa ra lại tiết kiệm thời gian hơn so với khi điểm vật chất đi từ $A$ đến $B$ theo một đường thẳng!

Để so sánh, chúng tôi lưu ý rằng mặc dù một cycloid ngược vừa là tautochrone vừa là brachistochrone, nhưng trong trường hợp đầu tiên, bạn cần lấy một cung có điểm cuối ở đỉnh của cycloid và trong trường hợp thứ hai - với điểm bắt đầu ở đầu.

Một số bài toán

Hãy quay trở lại với quang học. Bây giờ chúng ta biết rằng nếu trong một môi trường phẳng không đồng nhất, tốc độ ánh sáng thay đổi theo định luật $c\,(x, y) = k\sqrt{H-y}$ (tức là tương tự như sự thay đổi tốc độ của một điểm vật chất chuyển động dưới tác dụng của trọng lực), thì trong một môi trường phẳng như vậy, ánh sáng giữa hai điểm sẽ truyền dọc theo các cung của cycloid ngược với các điểm nằm trên đường thẳng $\{y = H\}$.

33

34

Bây giờ hãy thử giải một số bài toán để tìm đường truyền ánh sáng giữa hai điểm trong một môi trường không đồng nhất về mặt quang học, nếu định luật thay đổi tốc độ ánh sáng được đưa ra trong môi trường này.

Nhiệm vụ 1. Tốc độ ánh sáng thay đổi theo định luật $c(x, y) = k \cdot (y - a)$. Chứng minh rằng ánh sáng giữa hai điểm sẽ truyền dọc theo hai hình bán nguyệt có đường kính nằm trên đường thẳng $\{y = a\}$ (và điểm “bắt đầu” nằm trên đường thẳng này).

Nhiệm vụ 2. Tốc độ ánh sáng thay đổi theo định luật $c(x, y) = \frac{k}{\sqrt{a - y}}$. Chứng minh rằng trong trường hợp này ánh sáng giữa hai điểm sẽ truyền dọc theo hai parabol.

Cho đến nay trong mọi bài toán, giá trị của tốc độ ánh sáng chỉ phụ thuộc vào $y$. Ví dụ, nếu một môi trường quang học như sự phụ thuộc này phức tạp hơn, tốc độ ánh sáng không đổi không phải trên các đường nằm ngang mà trên một số đường cong - đường không đổi của tốc độ ánh sáng - thì ánh sáng giữa hai điểm sẽ truyền dọc theo một đường cong như vậy $L$, trong đó

$$\frac{\sin \alpha \left(c(x_0, y_0)\right)}{c(x_0, y_0)} = \text{const},$$

trong đó $\alpha \left(c(x_0, y_0)\right)$ là góc giữa tiếp tuyến của đường cong $L$ và pháp tuyến của đường thẳng có tốc độ ánh sáng không đổi $c(x, y) = c(x_0, y_0)$.

Nhiệm vụ 3. Tốc độ ánh sáng thay đổi theo định luật $c(x, y) = k \sqrt{1 - r^2}$, trong đó $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ là khoảng cách từ điểm gốc. Chứng minh rằng trong môi trường như vậy, ánh sáng giữa hai điểm sẽ truyền dọc theo hai đường tròn vuông góc với đường tròn bán kính 1 có tâm ở gốc tọa độ.

Nhiệm vụ 4. Tốc độ ánh sáng thay đổi theo định luật $c(x, y) = kr$. Chứng minh rằng trong trường hợp này ánh sáng giữa hai điểm sẽ trải dọc theo hai zonopicloud (xem bài tập của Newmon ở cuối bài “Bí mật của Cyclops”, «Kvant», 1975, số 8, trang 27).

Nếu trong các bài toán 1-4 $c(x, y)$ được hiểu là giá trị của tốc độ của chuyển động cơ học không đồng nhất, thì quỹ đạo truyền ánh sáng thu được ở lời giải trong số bài toán này sẽ là brachistochrons cho các hệ cơ học tương ứng.

Sự tương đồng giữa cơ học và quang học

Cơ chế bài toán cơ bản là xác định vị trí của một vật chuyển động tại bất kỳ thời điểm nào.

I.K. Kikoin, A.K. Kikoin, Sách giáo khoa vật lý lớp 8 THCS.

Vì vậy, trong cơ học, quỹ đạo của một điểm vật chất thường được tìm kiếm nếu biết các lực tác dụng lên điểm đó và cho trước vị trí ban đầu và vectơ vận tốc (điều kiện ban đầu). Tuy nhiên, có thể giao nhau không phải với các quỹ đạo riêng lẻ mà với mô tả tất cả các tính chất của quỹ đạo đối với một định luật thay đổi nhất định của các lực tác dụng (một đặc điểm kỹ thuật bổ sung của các điều kiện ban đầu sau đó sẽ chọn một quỹ đạo cụ thể từ tập hợp các quỹ đạo này). Do đó, kết quả kinh điển của Galileo về chuyển động của một vật được ném (theo phương ngang hoặc nghiêng một góc so với đường chân trời) là trong trường hợp lực, nhiều quỹ đạo bao gồm các parabol khác nhau.

Việc sử dụng quang học trong các nhiệm vụ cơ học thuần túy cho thấy nỗ lực làm nổi bật khả năng quỹ đạo của một hệ thống cơ học cụ thể, trong một số điều kiện của một trang trại tối thiểu. Leibnitz đã nghĩ về điều này, nhưng công thức đầu tiên thuộc về Maupertion. Tuy nhiên, các công trình xây dựng của ông liên quan đến toàn bộ vũ trụ và không có những tuyên bố chính xác. Công thức chính xác đầu tiên là của Euler (người đã nghiên cứu toán học với Johann Bernoulli). Nó liên quan đến tình huống đặc biệt sau đây.

Cho một điểm vật chất chuyển động dọc theo một mặt phẳng dưới tác dụng của một lực sao cho thế năng chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm: $U = U(x, y)$. Do định luật bảo toàn năng lượng nên độ lớn vận tốc của điểm $|v|$ khi đó cũng phụ thuộc