Kvant 1977, số 10 · Trang

KVANM 10
1977

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Konstantin Eduardovich
Tsiolkovsky
(1857—1935)

1

TRONG PHÒNG:

Hướng tới kỷ niệm 60 năm Cách mạng Tháng Mười vĩ đại
I. Kikon. Vật lý Liên Xô được tạo ra như thế nào
P. Aleksadrov. Trường Toán Luzinsk
XX năm của thời đại vũ trụ
V. Bolshakov. Âm thanh quang học của Trái đất và Mặt trăng từ không gian

Phòng thí nghiệm «Kvant»
V. Mayer. Đèn xanh đỏ

vòng tròn toán học
A. Egorov. Phương trình và tiên lượng

Vấn đề «Kvant»
Bài toán M466—M470; F478—F482
Lời giải bài toán M426—M430; F438—F441

Qua những trang sách giáo khoa
B. Geidman. Những điểm đồng đẳng và những điểm đáng chú ý trong một tam giác

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
E. Semenov. Styopa Moshkin lặp lại hình học
V. Gutemacher, Pantograph

Xưởng của người nộp đơn
N. Andrianova, T. Shortseina. Các khóa học dự bị tại MISS

Hỏi - chúng tôi trả lời

Đánh giá, thư mục
V. Rudov. Sổ tay thiên văn học

Đáp số, gợi ý, lời giải
Hỗn hợp (tr. 33, 39, 63)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản “Nuka”, «Kvant», 1977

2

Vật lý Liên Xô được tạo ra như thế nào

Các biên tập viên đã quay sang Anh hùng Lao động Xã hội, Viện sĩ I. K. Kikoniu, với yêu cầu kể về các giai đoạn chính trong quá trình hình thành nền vật lý Liên Xô. Isaac Konstantinovich Kikoni bắt đầu nghiên cứu vật lý vào năm 1927 - năm kỷ niệm 10 năm quyền lực của Liên Xô. Ông may mắn được làm việc với nhiều nhà khoa học tuyệt vời, những người có thể được coi là những người sáng lập ra nền vật lý Liên Xô. Vì vậy, câu chuyện của anh là câu chuyện của một nhân chứng và người tham gia vào các sự kiện được mô tả.

Trong số này, chúng tôi sẽ bắt đầu xuất bản hồi ký của Viện sĩ I.K. Kikonia. Ấn phẩm được chuẩn bị bởi T. Petrova và I. Slobodetsky.

Ngay từ những năm đầu tồn tại, nhà nước Xô Viết non trẻ đã rất chú trọng đến việc phát triển khoa học trong nước. Theo sáng kiến ​​​​và với sự hỗ trợ tích cực của Vladimir Ilyich Lenin, nhiều trung tâm khoa học mới đã được thành lập trong nước. Một trong số đó là Viện Vật lý và Công nghệ Leningrad, được thành lập năm 1918 bởi viện sĩ Abram Fedorovich Ioffe. Chính tại viện này, ông bắt đầu nghiên cứu vật lý.

Do revoilionn hayka ở Nga phát triển chủ yếu ở các trường đại học và không chỉ tách rời khỏi đời sống thực tiễn mà thậm chí còn tách biệt khỏi hiện tại của khoa học hiện đại. Abram Fedorovich Ioffe nói rằng khi ông bắt đầu nghiên cứu vật lý, quan điểm sau đây về công việc của một nhà vật lý đã phổ biến ở các trường đại học Nga: công việc của một nhà khoa học là lặp lại các thí nghiệm được thực hiện ở nước ngoài, và những ý tưởng mới cũng như công việc độc lập được coi là không thể tưởng tượng được, bởi vì, họ nói, chúng ta không có các nhà khoa học được đào tạo đầy đủ.

Trở lại năm 1918, qua làn khói lửa của cuộc nội chiến, A.F. Ioffe đã có thể nhìn thấy đường nét tương lai của đất nước xã hội chủ nghĩa và hiểu rằng tương lai là về mặt kỹ thuật và công nghiệp.

3

nó phải dựa trên nền tảng khoa học vật lý phát triển tốt. Và để làm được điều này, chúng tôi cần những nhà vật lý quen thuộc với công nghệ, những người trong tương lai có thể kết nối khoa học vật lý với nhu cầu của công nghệ. Để đào tạo những chuyên gia như vậy, Ioffe đã thành lập Khoa Vật lý và Cơ học tại Viện Bách khoa Leningrad. Tôi vào khoa này năm 1925.

Việc học tại khoa rất khó khăn vì các môn toán lý được giảng dạy ở cấp đại học, đồng thời sinh viên phải học các ngành kỹ thuật. Khi bước vào viện, tôi ngay lập tức hòa mình vào bầu không khí khoa học thực sự.

Chúng tôi, những sinh viên, biết rằng trưởng khoa của chúng tôi là một nhà khoa học về các dấu hiệu, người mà hiệu ứng mà ông ấy phát hiện ra đã được đặt tên. Hiệu ứng Ioffe là khi bề mặt của tinh thể đá coli (NaCl) được làm ướt bằng nước, độ bền của nó tăng lên vài trăm lần. Kết quả của thí nghiệm cực kỳ dễ sử dụng do Ioffe thực hiện là vô cùng quan trọng. Và đây là lý do tại sao.

Năm 1915, nhà vật lý nổi tiếng người Đức Max Born đã tạo ra lý thuyết về tinh thể. Lý thuyết này giải thích các tính chất quang, điện và các tính chất khác của các tinh thể khác nhau. Nhiều dữ liệu thực nghiệm có sẵn vào thời điểm đó đã xác nhận tính hợp lệ của lý thuyết. Và chỉ trong một lĩnh vực lý thuyết này khác hẳn với thực nghiệm – đó là đánh giá độ bền của tinh thể. Ví dụ, người ta biết rằng một tinh thể rock coli, khi bị kéo căng, sẽ sụp đổ khi hướng do biến dạng trong nó xấp xỉ 4,5 × 10⁶ H/m2. (Ứng suất σ được gọi là lực đàn hồi tương đối |Fγуп| đến diện tích S của mặt cắt ngang của mẫu, vuông góc với hướng biến dạng: σ = |Fγуп|/S. Giá trị của σ tại đó mẫu bị hỏng được gọi là độ bền kéo.) Nhưng tính toán lý thuyết đưa ra một ước tính khác về tính năng -

Abram Fedorovich Ioffe (1880-1960)

khoảng 10⁹H/m2. Và không ai có thể tuyên bố được sự khác biệt này trong khuôn khổ lý thuyết của Born.

A.F. Ioffe đề xuất rằng mô hình phá hủy tinh thể được xem xét trên lý thuyết khác với những gì xảy ra do tinh thể trong quá trình biến dạng của nó. Các tính toán lý thuyết về giới hạn đọc được thực hiện trong giới hạn mà tinh thể bị phá hủy ngay lập tức trên toàn bộ mặt cắt ngang của mẫu. Ioffe đề xuất rằng sự phá hủy tinh thể xảy ra dần dần. Nó bắt đầu ở một số nơi “yếu nhất” và sau đó lan dọc theo mặt cắt ngang của mẫu. Sự phá hủy dần dần là do có những vết nứt cực nhỏ trên bề mặt tinh thể. Tất nhiên, từ một vết nứt như vậy, sự phá hủy bắt đầu theo các hướng, ít hơn các giá trị lý thuyết về sức mạnh tối thượng. Vết nứt dần dần phát triển và dẫn đến vỡ toàn bộ tinh thể.

Ý tưởng về thí nghiệm mà A.F. Ioffe thiết lập để kiểm tra đề xuất của mình vô cùng đơn giản. Một mẫu đá coli đơn tinh thể mỏng được ngâm

4

một phần trong nước ấm. Nước hòa tan dần muối, phần ướt của mẫu trở nên mỏng hơn nhưng bề mặt trở nên nhẵn và xuất hiện các vết nứt. Ở dạng này, mẫu phải chịu lực căng. Thí nghiệm cho thấy phần khô của mẫu bị hỏng ở ứng suất 4,5 × 10⁶ H/m2 và phần mẫu ngâm trong nước chịu được ứng suất lên tới 1,6 × 10⁹ H/m2. Đây là cách giả thuyết của A.F. Iofe đã được thử nghiệm một cách xuất sắc.

Nhiều nhà vật lý tin rằng mô hình phá hủy tinh thể do Iofe đề xuất không phù hợp với thực tế. Nhưng các thí nghiệm thuyết phục lặp đi lặp lại đã xác nhận sự cai trị của cô. Và hiện tượng tăng độ bền của tinh thể khi bề mặt của chúng được làm phẳng, do Iofe phát hiện, được đặt tên là “Hiệu ứng Iofe”.

Tại một trong những bài giảng nổi tiếng dành cho sinh viên năm thứ nhất, A.F. Iofe đã sử dụng ý tưởng của mình bằng những thí nghiệm đơn giản sau. Anh ta lấy một dải giấy thẳng và cố gắng xé nó, trực tiếp dùng tay kéo căng nó. Để làm được điều này, anh đã phải nỗ lực rất nhiều. Nhưng tôi muốn xé dải này một chút (nghĩa là tạo ra một “vết nứt” trong đó), khi nó bị xé ra với một lực không đáng kể. (Bạn đọc có thể dễ dàng tự mình lặp lại thí nghiệm này.) Một thí nghiệm khác được thực hiện với các thanh thủy tinh. Abram Fedorovich đã chuẩn bị cho bài giảng những thanh thủy tinh có đường kính 2-3 mm, được ngâm trong bình có nước cất trong vài giờ. Những chiếc đũa giống nhau nhưng khô nằm gần đó trên bàn. Nỗ lực uốn những chiếc que khô thành một “vòng cung” luôn thất bại - những chiếc que bị gãy. Những chiếc que vừa lấy ra khỏi nước có thể dễ dàng uốn thành vòng! Điều này được giải thích là do tuy chậm hơn muối rất nhiều nhưng thủy tinh cũng hòa tan trong nước và nước “rửa sạch” các vết nứt trên bề mặt que.

Chúng tôi, những sinh viên, đã theo dõi rất sát những thành công khoa học của

Alexander Alexadrovich Fridman
(1888—1925)

thưa các giáo sư, nhiều hơn nữa cho họ. Chúng tôi rất tự hào khi có Aleksadrovich Friedman, một trong những thợ cơ khí vĩ đại nhất thế giới, làm giảng viên của chúng tôi. Chúng tôi biết ngay rằng ông đã có đóng góp rất đáng kể cho lý thuyết tổng quát về mật độ tương đối và đã tự mình sửa lại Einstein.

Trong một phần tư thế kỷ 20, Einstein đã hình thành, theo lý thuyết chuyên biệt về mật độ tương đối, một lý thuyết tổng quát về mật độ tương đối. Lý thuyết này cho phép tạo ra một mô hình toán học của Vũ trụ - tạo ra một hệ phương trình, trong đó lời giải mô tả trạng thái của Vũ trụ. Bản thân Einstein đã tìm thấy lời giải đứng yên, và mô hình Vũ trụ do Einstein xây dựng là tĩnh, không thay đổi theo thời gian. Friedman đồng ý rằng tôi sẽ vi phạm nghiệm tĩnh của Einstein về cơ bản diamic lời giải. Điều này có nghĩa là trạng thái của Vũ trụ đang thay đổi theo thời gian, Vũ trụ đang giãn nở.

Được biết, Einstein đã đón nhận tác phẩm này của Friedman với thái độ thù địch.

5

ki, nhưng sau đó tôi nhận ra rằng ý tưởng mà Friedman trình bày là đúng*.) Hóa ra sự giãn nở của Vũ trụ tuân theo thuyết tương đối rộng. Khi điều này được tính đến, thuyết tương đối đã trở thành một lý thuyết hoàn chỉnh về mặt thực tế. Như vậy, Friedman cùng với Einstein là một trong những tác giả của thuyết tương đối rộng. Chúng tôi rất tự hào về điều này.

Tại học viện của chúng tôi, Friedman dạy một khóa về cơ học. Và trong thư viện sinh viên của chúng tôi có một bản in các bài giảng của Friedm tại Học viện Hải quân. Nó được gọi là “Kinh nghiệm về cơ chế thủy lực của chất lỏng gầy”. Chúng tôi vẫn chưa hiểu điều này có nghĩa là gì. Và chỉ sau này, chúng tôi mới biết rằng đây là lần đầu tiên bài toán được giải quyết về chuyển động của chất lỏng hoặc chất khí ở tốc độ rất cao, khi về nguyên tắc chất lỏng hoặc chất khí không thể được coi là lý tưởng và khả năng lướt qua của chúng phải được tính đến. Giờ đây, công trình này của Friedman đã trở thành một lý thuyết được chấp nhận rộng rãi, làm cơ sở cho toàn bộ cơ học chất lỏng có tốc độ siêu âm. Nhánh cơ học chất lỏng này được gọi là động lực học chất khí. Vì vậy, người sáng lập động lực học khí là giáo sư A. A. Fridman của chúng tôi. Thật không may, ông qua đời rất sớm - vào năm 1925, khi mới 37 tuổi.

Đối diện viện chúng tôi, bên kia đường có tên là “Con đường đến Sosnovka”, có Viện Vật lý-Kỹ thuật Leningrad (lúc đó gọi là Viện Vật lý-Kỹ thuật RENTNOVSKY). Giám đốc của nó là học giả A.F. Ioffe. Có rất ít nhà vật lý trưởng thành ở viện này. Có chính nhà học giả

*) Vào ngày 18 tháng 9 năm 1922, Einstein xuất bản “Nhận xét về tác phẩm của A. Friedman” “Về độ cong của không gian”, trong đó ông viết: “Các kết quả của thế giới tương đối không tồn tại có trong tác phẩm được đề cập có vẻ đáng ngờ đối với tôi”. Nhưng vào ngày 31 tháng 5 năm 1923, Einstein đã viết: “Trong ghi chú trước, tôi đã chỉ trích công trình của Friedmann… Tuy nhiên, lời chỉ trích của tôi, như tôi đã bị thuyết phục… là dựa trên một sai sót trong tính toán. Tôi coi kết quả của Friedman là đúng…”

Demia Yuoffe; ông tuyển Giáo sư Dmitry Apollinarievich Rozhansky, một nhà vật lý phóng xạ nổi tiếng, về làm việc; thu hút Ivan Vasilyevich Obrenov, người vừa tốt nghiệp đại học (hiện là học giả); gần đây đã mời Nikolai Nikolaevich Semenov (hiện là viện sĩ, đoạt giải Nobel) sang làm việc; Krabote bị thu hút bởi Giáo sư Ykov Ilyich Frenkel, một nhà khoa học lỗi lạc, một trong những người sáng lập ngành vật lý lý thuyết Liên Xô; Alexander Alekseevich Chernyshev được đưa vào, một thợ điện lớn chuyên xử lý các vấn đề kỹ thuật điện. Phần lớn nhân viên là những người trẻ mới bắt đầu đi làm tại Khoa Vật lý và Công nghệ. Trên cơ sở này, những kẻ thù của sự chuyển đổi cấp tiến, tôi có thể nói, là sự chuyển đổi mang tính cách mạng trong vật lý và trong sự phát triển công việc, vốn đã được quốc hữu hóa tại Viện Vật lý-Kỹ thuật, đã gọi viện này là trường mẫu giáo. Tuy nhiên, LFTI đã trở thành một trong những trung tâm khoa học vật lý chính ở Liên Xô.

Sinh viên được lựa chọn để làm việc tại viện theo cách này. Khoa giảng dạy - nhân viên của viện, bao gồm cả những sinh viên năm cuối giám sát công việc trong phòng thí nghiệm của sinh viên, đã có gợi ý A.F. Ioffe để tìm kiếm những sinh viên thể hiện sự quan tâm và khả năng về vật lý thực nghiệm và mời họ làm việc tại viện vật lý-kỹ thuật. Năm 1927, khi đang là sinh viên năm thứ hai, tôi được mời về làm việc tại Viện Vật lý và Công nghệ. Ở đó, giới trẻ ngay lập tức tiếp cận với khoa học hiện đại. Họ đối xử không tốt với chúng tôi và không tính đến thực tế là chúng tôi vẫn chưa “vượt qua điều gì đó” ở khoa của mình. Tại các hội thảo khoa học diễn ra đều đặn vào các ngày thứ Sáu, từ 5 đến 7 giờ chiều, các công trình khoa học mới được cán bộ của viện thực hiện hoặc đăng trên tạp chí nước ngoài. Chúng tôi đã tham gia hội thảo, chúng tôi có những trường hợp và khái niệm về những gì đang được thảo luận, nếu không hiểu thì hãy hỏi.

Lúc đầu chúng tôi thậm chí còn không dám hỏi vì không hiểu gì cả. Nhưng sự hiểu biết đến khá nhanh, rõ ràng là do chúng tôi đã quen với phong cách trình bày và tự đọc rất nhiều.

Tất nhiên, tại khoa của chúng tôi, chúng tôi đã tổ chức các cuộc hội thảo dành cho sinh viên giáo dục. Một trong số họ được dẫn dắt bởi Giáo sư Rozhansky và người còn lại do Giáo sư Frenkel dẫn đầu. Tại những cuộc hội thảo này, những vấn đề hiện đại nhất trong vật lý đã được thảo luận và chúng tôi nhanh chóng biết được những vấn đề mà các nhà vật lý quan tâm. Đặc biệt, vào năm 1927, tại hội thảo của Giáo sư Rozhansky, công trình vừa được xuất bản của Davisson và Germer đã được thảo luận, trong đó lần đầu tiên bằng thực nghiệm người ta đã chứng minh rằng khi dòng điện của tinh thể phản xạ, người ta quan sát thấy hình ảnh nhiễu xạ, giống như sự tán xạ của ánh sáng thông thường trên một cách tử nhiễu xạ. Chúng ta biết rằng hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng xảy ra vì ánh sáng là sóng. Nhưng electron được coi là một hạt bình thường, tuân theo các định luật cơ học. Và lúc đầu, có vẻ như không thể hiểu được tại sao sự phản xạ của dòng điện lại xảy ra như thể không phải là một chùm hạt mà là một chùm ánh sáng rơi trên bề mặt tinh thể. Chúng tôi đã thảo luận câu hỏi này tại hội thảo của Rozhansky, nơi kinh nghiệm của Davisson và Germer được thảo luận chi tiết (do sinh viên báo cáo) và cách giải thích nó đã được thảo luận. Thí nghiệm này là bằng chứng thuyết phục đầu tiên về giá trị của đề xuất do nhà vật lý người Pháp de Broglie đưa ra vào năm 1924 rằng các electron chuyển động thể hiện các tính chất không chỉ của hạt (tiểu thể), mà còn của sóng, giống như bức xạ điện từ, chẳng hạn như ánh sáng, có các tính chất của cả sóng và hạt. Và de Broglie cũng đề xuất rằng sự tương ứng giữa các đặc tính hạt và đặc tính sóng đối với dòng điện và bức xạ là như nhau. Thí nghiệm của Davisson và Germer chứng tỏ rằng các electron thực sự hành xử giống như sóng khi bị phản xạ từ bề mặt của một tinh thể, và bước sóng λ tương ứng với một electron đang chuyển động bằng h/mv, trong đó h là hằng số Planck, m là khối lượng của electron, v là tốc độ của nó. Ngày nay điều này đã trở nên tầm thường.

Tại hội thảo của Frenkel, một câu hỏi khiến các nhà vật lý thời gian lo lắng cũng đã được thảo luận. Câu hỏi không liên quan đến từng nguyên tử hay từng electron riêng lẻ mà liên quan đến cấu trúc của vật chất. Chúng ta đã biết rằng các nguyên tử hút nhau miễn là khoảng cách giữa chúng xấp xỉ bằng kích thước của các nguyên tử. Và với sự hội tụ hơn nữa của các nguyên tử, lực đẩy bắt đầu tác động giữa chúng. Nhưng người ta chưa rõ tại sao các nguyên tử lại sắp xếp thành một chất rắn, tạo thành một mạng tinh thể đều đặn.

Vào thời điểm đó, có khá nhiều nghiên cứu về lý thuyết chất rắn. Việc tạo ra lý thuyết trạng thái rắn hiện đại được bắt đầu bởi Einstein. Năm 1907, ông phát triển lý thuyết lượng tử về dung tích của vật rắn. Einstein coi vật rắn là tập hợp các nguyên tử dao động quanh một vị trí cân bằng với cùng tần số. Tại

7

Ykov Ilyich Frenkel (1894-1952)

Khi một vật bị nung nóng, biên độ của những dao động này thay đổi và do đó năng lượng của các nguyên tử dao động cũng thay đổi. Sự thay đổi năng lượng của cơ thể khi được làm nóng lên một độ là nhiệt lượng của cơ thể. Công thức nhiệt lượng của vật rắn Einstein đã mô tả chính xác bản chất của sự thay đổi nhiệt theo nhiệt độ, nhưng ở nhiệt độ thấp, các giá trị nhiệt tính được theo công thức này không trùng với kết quả thực nghiệm.

Lý thuyết của Einstein được Debye cải tiến vào năm 1912. Ông đề xuất rằng các nguyên tử trong chất rắn không dao động độc lập; chúng được kết nối với nhau và tạo thành một hệ thống dao động duy nhất. Các tính toán dựa trên đề xuất này đã đưa ra sự thống nhất tuyệt vời giữa các giá trị nhiệt lý thuyết và dữ liệu thực nghiệm. Đặc biệt, chúng phù hợp với một thực tế đã biết từ lâu - cái gọi là định luật Dulong và Petit, theo đó nhiệt của một mol chất rắn bất kỳ đều bằng nhau và bằng 25 J/(mol K).

Nhưng trong lý thuyết phát triển về nhiệt có một “nơi tối tăm” - sức nóng của kim loại. Một kim loại, như chúng ta biết, bao gồm các nguyên tử bị ion hóa tạo thành mạng tinh thể và các electron tự do. Những electron tự do này hoạt động giống như một loại khí lý tưởng tổng quát (gọi là khí điện tử). Có vẻ như nhiệt lượng của 1 mol kim loại phải là tổng nhiệt lượng của mạng (25 J/(mol K)) và nhiệt lượng của khí electron. Và giá trị sau không hề khó tính - như nhiệt của một khí lý tưởng đơn nguyên tử: năng lượng E của một mol khí bằng $^3/2RT$ (R là hằng số khí phổ quát), và nhiệt của

$$C = \frac{\Delta E}{\Delta T} = \frac{3}{2} \cdot \frac{R \Delta T}{\Delta T} = \frac{3}{2}$$

$R \approx 12,5$ J/(mol K).

Vì vậy, nhiệt lượng của một mol kim loại phải xấp xỉ 37,5 J/(mol K). Và những thay đổi cho thấy nó bằng 25 J/(mol K). Điều này thực sự không thể giải thích được, điều mà các nhà vật lý gọi là nghịch lý “thảm họa nhiệt”.

Người ta chỉ có thể giải thích thực tế này khi có sự ra đời của cơ học lượng tử. Lý thuyết cơ học lượng tử của khí điện tử trong kim loại được phát triển bởi Sommerfeld ở Đức và ở Liên Xô bởi Giáo sư Ykov Ilyich Frenkel. Theo lý thuyết, tính chất của khí điện tử khác biệt đáng kể so với tính chất của khí đơn nguyên tử. Đặc biệt, ở nhiệt độ bình thường (không cao lắm), năng lượng của các electron tự do trong kim loại thực tế không phụ thuộc vào nhiệt độ của nó, trong khi động năng của các nguyên tử khí ở nhiệt độ propion quốc gia. Nói cách khác, khi một kim loại bị nung nóng, nội năng của nó chỉ thay đổi do sự thay đổi năng lượng dao động của các nguyên tử (chính xác hơn là các ion) của mạng tinh thể; năng lượng của khí electron không đổi. Do đó, nhiệt lượng của kim loại là nhiệt lượng của các nguyên tử trong mạng tinh thể của nó và bằng 25 J/(mol K). Vì thế

“Thảm họa công suất nhiệt” đã được loại bỏ.

Tại Ya. I. Buổi hội thảo của Frenkel, chính ông đã kể cho chúng tôi nghe những yếu tố trong lý thuyết của Sommerfeld và về nghiên cứu của ông theo hướng này.

Có một vấn đề khác trong vật lý kim loại khiến các nhà khoa học lo lắng. Có một hiện tượng gọi là hiệu ứng Hall. Nó bao gồm những điều sau đây. Hãy tưởng tượng một tấm kim loại hình chữ nhật có dòng điện $I$ chạy dọc theo đó (Hình 1). Rõ ràng là giữa các điểm $A$ và $A'$ của tấm có phương bằng không. Nhưng nếu tấm này được đặt trong một từ trường, chỉ báo $\vec{B}$ của nó được xác định lại bởi mặt phẳng của tấm, thì giữa các điểm $A$ và $A'$ sẽ xuất hiện một hướng nhất định $U$, được gọi là emf. Với. Chào. Ed Với. Hiệu ứng Hall có thể được thay đổi bằng cách sử dụng điện kế được nối bằng dây dẫn với các điểm $A$ và $A'$.

Sự xuất hiện ở một dây dẫn có thể tích dưới tác dụng của từ trường có sự chênh lệch điện thế theo hướng ngang với hướng của dòng điện được gọi là hiệu ứng Hall. (Hiện tượng này đã được Maxwell trình bày về mặt lý thuyết vào những năm sáu mươi của thế kỷ trước.) Làm thế nào để giải thích sự xuất hiện của em. Với. Chào?

Được biết, dòng điện biểu thị chuyển động của các electron và một electron chuyển động trong từ trường với tốc độ $\vec{v}$, phân bố lại trên mặt phẳng trường $\vec{B}$, chịu tác dụng của lực Lorentz $\vec{F}_\pi$, có giá trị tuyệt đối bằng $e|\vec{v}||\vec{B}|$. hướng của lực Lorentz được xác định bằng tay phải của bàn tay trái (nếu tay trái đặt sao cho vectơ $\vec{B}$ “đi vào” lòng bàn tay thì bốn ngón tay gập lại duỗi thẳng theo hướng ngược với hướng vận tốc $\vec{v}$ của electron thì ngón cái cong chỉ hướng của lực Lorentz). Đặt tấm này trong từ trường như hình 1. Một dòng điện chạy dọc tấm dọc theo trục $Y$ (tốc độ của các electron hướng theo hướng ngược lại!). Khi đó, dưới tác dụng của lực Lorentz, các electron sẽ lệch về phía mặt $a'$ của tấm và một số lượng lớn electron sẽ tích tụ trên mặt này. Các điện cực tích lũy tạo ra một trường tĩnh điện bên trong các tấm, hướng của trường này tỷ lệ thuận với số lượng của chúng. Trong trường này, các lực điện chịu tác dụng của một lực $|\vec{F}_\alpha|=e|\vec{E}|$, hướng ngược lại với lực Lorentz, tức là hãm chúng lại. Rõ ràng là khi lực này trở thành lực Lorentz tác dụng lên electron “chảy” qua bản thì chuyển động ngang của electron sẽ dừng lại. Từ điều kiện bằng nhau của các lực này, người ta có thể tìm được hướng $|\vec{E}|$ của từ trường thiết lập của tấm trong:

$$e|\vec{E}|=e|\vec{B}||\vec{v}|,$$

Ở đâu

$$|\vec{E}|=|\vec{B}||\vec{v}|.$$

Trong trường hợp này, hiệu điện thế được thiết lập giữa các điểm $A$ và $A'$ của tấm:

$$U=|\vec{E}|b=|\vec{B}||\vec{v}|b,$$

trong đó $b$ là chiều rộng của tấm. Tốc độ của các electron rất dễ xác định khi biết dòng điện $I$, nồng độ $n$ của các electron trong diện tích (số lượng của chúng trên một đơn vị thể tích) và diện tích $S$ của mặt cắt ngang của tấm, xác định lại hướng của dòng điện. Thật sự,

$$I=ne|\vec{v}|S,$$

Ở đâu

$$|\vec{v}|=I/neS=I/nebd$$

(d-độ dày tấm).

Như vậy, ứng suất $U$ sinh ra giữa các điểm $A$ và $A'$ của tấm bằng

$$U = |\vec{B}| I/ned.$$

Sự khác biệt tiềm năng này lần đầu tiên được phát hiện và đo lường bởi nhà vật lý người Mỹ Hall.

Vì vậy, lý thuyết điện tử của kim loại công bố khá đơn giản về hiệu suất. Từ khai báo trên suy ra dấu là $э. d. c$. Hiệu ứng Hall chỉ được xác định bởi hướng của dòng điện chạy qua tấm và hướng của từ trường và phải giống nhau đối với tất cả các kim loại. Trong khi đó, các thí nghiệm đã chỉ ra rằng một số kim loại có $э. d. c$. Điện áp Hall có dấu ngược lại, như thể hạt mang dòng điện trong chúng không phải là electron mà là điện tích dương. Không ai có thể tìm thấy một quảng cáo cho việc này.

Và chỉ đến những năm ba mươi, sinh viên Rudolf Peierls của Sommerfeld mới công bố hiện tượng này. Ông đã làm được điều này trên cơ sở các khái niệm cơ học lượng tử về hành vi của các electron trong kim loại. Giống như hầu hết các hiện tượng lượng tử, hãy đưa ra một tuyên bố trực quan về sự xuất hiện của nghịch đảo $э. d. c$. Hội trường không được phép.

Khi tác phẩm của Payerl được in ra, Frenkel đã hướng dẫn tôi trình bày nó tại buổi hội thảo “Thứ Sáu” của chúng tôi tại viện. Hiểu biết kém về công việc này, tuy nhiên tôi vẫn thực hiện theo hướng dẫn của Frenkel. Và chỉ sau khi Ykov Ilch “bổ sung” vào báo cáo của tôi, bản thân tôi và tôi nghĩ, các bộ trưởng, mới hiểu Peierls đang viết về điều gì.

Trong lý thuyết về kim loại còn có một vấn đề khác liên quan đến hiệu suất Hall. Thực tế là vào thời điểm đó hiệu ứng Hall chỉ được quan sát thấy ở kim loại rắn và không thể quan sát thấy nó ở kim loại rắn. Và từ lý thuyết, người ta suy ra rằng hiệu suất của kim loại cứng có thể thấp hơn so với kim loại rắn, nhưng nó vẫn ở đó.

Khi tôi bắt đầu làm việc tại Viện Vật lý-Kỹ thuật Leningrad, dưới ảnh hưởng của các bài giảng và hội thảo của Ya. I. Frenkel, người đã nói với chúng tôi về những ý tưởng hiện đại trong vật lý kim loại, tôi quyết định nghiên cứu các vấn đề của lĩnh vực vật lý cụ thể này và trên hết là hiệu ứng Hall. Tôi quyết định kiểm tra xem hiệu ứng Hall có xảy ra trong kim loại lỏng hay không. Câu hỏi này đã nảy sinh sớm hơn, vào đầu thế kỷ này, và đã được giải quyết bởi những nhà khoa học hàng đầu như Nernst và Drude. Sau khi xem xét tài liệu về vấn đề này, tôi đi đến kết luận rằng việc lựa chọn kim loại lỏng trong các thí nghiệm được thực hiện trước đó đã không thành công. Trong các thí nghiệm đầu tiên, thủy ngân được chọn làm chất phụ gia vì ở nhiệt độ phòng nó luôn ở trạng thái lỏng. Hiệu ứng Hall không được tìm thấy trong đó. Hóa ra sau này, ngay cả trong những thói quen vững chắc, hiệu ứng này rất nhỏ và khó đo lường. Các thí nghiệm cũng được thực hiện với Svicmut. Bismet có vẻ rất thích hợp, vì ở độ cao vững chắc e. d. c. Hall có cường độ lớn hơn nhiều so với các kim loại khác: trong kim loại “thông thường”, nó thay đổi tính bằng microvolt và chiều cao - tính bằng milivolt. Tuy nhiên, nó không được chứng minh là có hiệu quả ở dạng lỏng. Ngày nay người ta biết rằng hiệu suất Hall lớn hơn một cách bất thường trong chất rắn là do đặc điểm cấu trúc tinh thể của nó. Ở trạng thái lỏng, cấu trúc này biến mất. Và những người thử nghiệm đang đo lường hiệu quả cao hơn, nhận thấy rằng nó kém hơn mong đợi 1000 lần, đã đi đến kết luận rằng đơn giản là không có hiệu quả.

Tôi quyết định sử dụng kim loại làm thông báo, đây là cách đơn giản nhất. Đây là kim loại rắn. Kim loại tơ là tốt vì trên thực tế chúng có tất cả các ý tưởng lý thuyết liên quan đến tính chất của chúng và có thể được kiểm tra tốt trong các thí nghiệm. Đối với thí nghiệm, tôi đã chọn một hợp kim của natri với kali, ở nồng độ đã biết, thành phần này sẽ trở thành chất lỏng ở nhiệt độ phòng.

Đối với tôi, có vẻ như các kết quả sai lệch trong các thử nghiệm trước đó không chỉ liên quan đến việc lựa chọn mẫu không thành công mà còn liên quan đến việc thiết lập thử nghiệm không đủ chính xác. Vấn đề là khi

10

Khi một dòng điện chạy qua kim loại lỏng nằm trong từ trường, các lực bắt đầu tác dụng lên kim loại từ phía của từ trường, dẫn đến sự trộn lẫn của các lớp kim loại lỏng riêng lẻ với nhau. (Tất nhiên, trong kim loại rắn, sự trộn lẫn các lớp này không xảy ra.) Kết quả là, dòng điện đầu ra sẽ xuất hiện để “bôi trơn” hiệu ứng Hall trong kim loại lỏng. Vì vậy cần thiết, nếu không muốn loại bỏ thì phải giảm thiểu những dòng điện “ký sinh” này. Để làm điều này, chúng tôi lấy một mẫu ở dạng một lớp kim loại lỏng mỏng. Các phép đo cẩn thận cho thấy sự hiện diện của hiệu ứng Hall. Một năm rưỡi sau, công trình của Sommerfeld được xuất bản, trong đó mô tả các thí nghiệm xác nhận lý thuyết hiện đại về kim loại. Sommerfeld cũng đề cập đến kinh nghiệm của chúng tôi. Thành thật mà nói, tôi tự hào một cách bất thường - một người có thẩm quyền như Sommerfeld đánh giá cao công việc của tôi.

Có một vấn đề khác trong vật lý kim loại, khiến các nhà vật lý lý thuyết vô cùng lo lắng - vấn đề sắt từ. Người ta biết rằng trong số tất cả các kim loại tồn tại trong tự nhiên, chỉ có ba kim loại là sắt từ - sắt, niken và coban. (Bây giờ người ta đã biết nhiều hơn về chúng.) Chúng được phân biệt bởi thực tế là từ hóa của chúng, xuất hiện trong từ trường rất yếu, khá lớn, lớn hơn vài trăm nghìn lần so với từ trường của kim loại thông thường. Ví dụ, để thu được loại từ hóa ở kim loại thông thường xuất hiện trong mẫu sắt trong trường ~ 0,01 T, cần phải có từ trường bên ngoài ~ 1000 T. Để giải thích hiện tượng khó hiểu này, nhà vật lý người Pháp Weiss đã tạo ra một lý thuyết theo đó trong các kim loại sắt từ - như sắt, niken và coban - có những vùng trong đó từ trường của từng nguyên tử được định hướng song song hoàn toàn với nhau. Vì vậy, tổng từ trường của một vùng như vậy - nó được gọi là miền (từ tiếng Pháp “miền” - vùng) - khá lớn. Kích thước của các vùng này rất nhỏ - theo thứ tự phân số của micron, nhưng trong mỗi vùng có hàng trăm nghìn “nam châm sơ cấp” định hướng bị giảm đi. Bản thân các miền được phân bố hoàn hảo trên khắp kim loại, do đó ở trạng thái chung (trong trường hợp không có từ trường bên ngoài) độ từ hóa của mẫu sắt từ bằng không.

Khi một mẫu như vậy được đặt trong từ trường, từ trường của các miền riêng lẻ được định hướng dọc theo từ trường bên ngoài và toàn bộ mẫu bị từ hóa. Và việc định hướng toàn bộ miền sẽ dễ dàng hơn so với một số lượng lớn các “nam châm cơ bản” riêng lẻ.

Nói một cách đại khái thì lý thuyết sắt từ do Weiss đề xuất trông như thế nào. Để giải thích sự hiện diện của các miền - sự hiện diện của một vùng có “nam châm sơ cấp” định hướng - Weiss đề xuất sự tồn tại bên trong kim loại của một từ trường đặc biệt giúp định hướng từ trường bên trong các miền. Trường này - Weiss gọi nó là từ trường phân tử - theo tính toán của Weiss phải vào cỡ 1000 T. Tuy nhiên, người ta không hiểu được sự xuất hiện của trường này.

Để khám phá lĩnh vực giả thuyết khổng lồ này, Giáo sư Ykov Grigorievich Dorfman, người mà tôi đang làm việc trong phòng thí nghiệm của ông tại Viện Vật lý-Kỹ thuật Leningrad, đã tiếp tục thí nghiệm này. Ông đặt một lá sắt mỏng trong một từ trường sao cho mặt phẳng của lá sắt song song với cảm ứng từ trường. Giấy bạc trở nên có từ tính rất cao. Các electron nhanh phát ra từ nguồn phóng xạ được truyền qua lá kim loại, vuông góc với bề mặt của nó và do đó vuông góc với từ trường bên ngoài, bị “cắt” bởi một khe đặt phía trước lá kim loại (Hình 2). Một tấm nhựa ảnh đã được lắp phía sau tấm giấy bạc. Các electron đi qua lá kim loại chạm vào tấm,

11

khiến cô có thai. Nếu khi đi qua lá kim loại, các electron đi vào một trường phân tử khổng lồ thì điều đó sẽ dẫn đến sự thay đổi vị trí của lá kim loại trên tấm. Tuy nhiên, sự pha trộn này không được quan sát thấy trong thí nghiệm. Theo đó, nếu có các lực định hướng các “nam châm cơ bản” trong các miền riêng lẻ thì chúng không có từ tính, vì thực tế chúng không có tác dụng lên một electron đang chuyển động.

Và chỉ trong năm 1928, Ya. I. Frenkel tại Viện Vật lý và Công nghệ Leningrad và gần như đồng thời với ông là nhà vật lý người Đức Heisenberg đã tạo ra lý thuyết cơ học lượng tử về sắt từ. Họ đã chỉ ra rằng trên thực tế không có trường phân tử. Các lực định hướng “nam châm cơ bản” trong các miền là lực điện có bản chất cụ thể. Bây giờ họ được gọi là lực lượng trao đổi. Một bài báo ngắn về điều này đã được Frenkel xuất bản năm 1928 trên số Ionian của tạp chí vật lý Đức Zeitshrift für Physik, và một bài báo chi tiết của Heisenberg đã xuất hiện trên số Iolian của cùng tạp chí đó. Vì vậy, độc lập với nhau, họ đã tạo ra lý thuyết về sắt từ. (Sau này, Ykov Ilyich Frenkel nói với tôi rằng anh ấy theo đuổi chất sắt từ bởi vì chúng tôi, những người thực nghiệm, đã liên tục “từ hóa” anh ấy).

Sau khi lý thuyết sắt từ ra đời, nhiều công trình nghiên cứu về từ tính trong kim loại đã xuất hiện. Đặc biệt, người ta đã chứng minh rằng, theo lý thuyết sau, lực trao đổi chỉ có thể phát sinh trong tinh thể. Không thể có vật liệu sắt từ lỏng. Người ta cũng chứng minh rằng các lực trao đổi là khác nhau theo các hướng khác nhau bên trong tinh thể. Tuy nhiên, người ta đã chứng minh rằng có sự dị hướng rõ rệt về tính chất từ ​​của tinh thể sắt từ. Điều này vẫn có tầm quan trọng lớn trong việc tạo ra các vật liệu từ tính mới, nền tảng của mọi kỹ thuật điện. Máy biến áp, máy phát điện và động cơ điện đều được làm bằng vật liệu sắt từ và đặc tính của chúng phụ thuộc đáng kể vào tính chất của vật liệu sắt từ. Một thời gian sau, lý thuyết về sắt từ được phát triển bởi nhà lý thuyết xuất sắc Lev Davydovich Landdu và học trò của ông là Evgeniy Mikhailovich Lifshits. Lý thuyết sắt từ hiện đại của Teller hoàn toàn dựa trên công trình của Frenkel, Heisenberg, Landdu và Lifshitz.

Như tôi đã nói, chúng tôi đã tổ chức các buổi hội thảo giáo dục tại Khoa Vật lý và Cơ học. Tuy nhiên, những buổi hội thảo như vậy được tổ chức cho sinh viên năm thứ 4-5. Hội thảo này được gọi là tính toán và được dẫn dắt bởi giáo sư của chúng tôi, viện sĩ Vladimir Aleksadrovich Fok. Buổi hội thảo không hoàn toàn đơn giản. Fok đã nghĩ ra một số bài toán, lời giải phức tạp mà bản thân anh ấy cũng không biết. Và ngay tại doxy, anh ấy và chúng tôi (hay đúng hơn là chúng tôi cùng với anh ấy) bắt đầu giải quyết nó. Vì vậy, có thể nói, chúng ta có thể quan sát “nhà bếp sáng tạo” của một nhà lý thuyết tuyệt vời như V. A. Fok.

Và vì vậy chúng tôi đã thấy cách anh ấy tiếp cận lời giải bài toán: Tôi đã thử một cách - nó không hiệu quả; anh ấy rửa nó bằng doxie, thử một phương pháp khác - nó cũng không hiệu quả. Cuối cùng, sớm hay muộn, lời giải cũng được tìm thấy. Đôi khi trong cùng một bài học, đôi khi trong bài học tiếp theo. Chúng tôi không chỉ thấy lời giải đã hoàn thành mà còn thấy các đường dẫn đến lời giải này dần dần được tìm thấy như thế nào. Nó rất hữu ích

12

nhưng đối với chúng tôi. Tuy nhiên, tại buổi hội thảo của Vladimir Alexandrovich đã xảy ra một trường hợp như vậy. Chúng tôi đã giải quyết một số bất đối xứng phức tạp bài toán trong tĩnh điện. Tại buổi hội thảo đầu tiên, chúng tôi không tìm thấy lời giải, nhưng ở buổi hội thảo tiếp theo, cuối cùng chúng tôi cũng tìm được một phương trình vi phân dài. Nó chiếm toàn bộ bến tàu. Chúng tôi đã thực hiện các phép tính toán học rất cẩn thận, vì vậy mọi thứ đều đúng với toán học, nhưng chúng tôi không thể xác định được ý nghĩa vật lý ẩn sau độ dài này của công thức. Một trong những học sinh hỏi Vladimir Aleksandrovich: “Phương trình này có ý nghĩa vật lý gì?” Anh ấy nhìn chúng tôi một cách nghi ngờ và nói: “Và ý nghĩa vật lý của phương trình này là nó có lời giải.”

A. Fok đã nghiên cứu nhiều vấn đề khác nhau của vật lý lý thuyết. Nhưng anh ấy không ngần ngại phá bỏ lời giải được áp dụng bài toán này, hoàn toàn thực tế. Đặc biệt, ông đã bị các nhà địa vật lý thu hút bởi loạt bài lời giải bài toán về sự phân bố của điện trường bên trong Trái đất. lời giải này rất quan trọng đối với việc thăm dò địa chất. Fock đã giải quyết vấn đề này bài toán cùng với V. K. Fredericks. Nhìn chung, đặc điểm trong toàn bộ phong cách làm việc của Viện Kỹ thuật Vật lý Leningrad là cùng với sự phát triển của các vấn đề lý thuyết và thực nghiệm trong vật lý, người ta đã chú ý nhiều hơn lời giải đến những ứng dụng này bài toán liên quan đến nhu cầu của công nghệ, công nghiệp và nông nghiệp.

Năm 1930, khi tôi vừa tốt nghiệp đại học và nhận chức danh kỹ sư-vật lý, theo sự giới thiệu của A.F. Ioffe, tôi được cử đi công tác ở Đức để làm quen với các phòng thí nghiệm vật lý của phương Tây. Tôi đã đến thăm khoảng ba nơi ở Đức và làm quen với công việc của các phòng thí nghiệm vật lý ở Leipzig, Monchen và Hamburg. Và tôi phải nói rằng tôi rất hài lòng khi tin rằng trình độ của các nhà vật lý của chúng tôi, đặc biệt là trình độ của tôi, không hề thấp hơn trình độ của các nhà vật lý tôi gặp ở các phòng thí nghiệm ở nước ngoài. Đúng là họ có một số lợi thế hơn chúng tôi: phòng thí nghiệm của họ được trang bị rất tốt các thiết bị. Ở Liên Xô chúng tôi chưa có nghề chế tạo nhạc cụ trong nước; chúng tôi thường phải tự chế tạo nhạc cụ hoặc mua chúng ở nước ngoài, và điều này thật khó khăn vào thời đó khi người ta chi nhiều tiền hơn cho sự phát triển của nền kinh tế quốc gia. Nhưng xét về trình độ kiến ​​thức, trình độ hiểu biết, thậm chí cả trình độ kỹ thuật của thí nghiệm, tôi tin rằng chúng tôi không thua kém gì các phòng thí nghiệm đại học lớn nhất ở Đức.

Trong một chuyến công tác, tôi đã làm việc khoảng một tháng tại phòng thí nghiệm ở Monchen, trong phòng thí nghiệm cũ của Roentgen. Các nghiên cứu sinh tiến sĩ của trường đại học cũng làm việc ở đó (đó là cách họ gọi những sinh viên tốt nghiệp đại học đang chuẩn bị làm luận án). Tuy nhiên, tôi nhận thấy rằng các sinh viên tiến sĩ đang chuẩn bị cho kỳ thi cuối kỳ đã đọc Ya. Cuốn sách “Khóa học về Điện động lực học” của Frenkel được xuất bản bằng tiếng Đức. Tôi hỏi: “Thầy sẽ giao bài thi cho ai?” Họ trả lời: “Sommerfeld.” Cũng chính Sommerfeld, nhà lý thuyết vĩ đại nhất thế giới, người mà khi còn là sinh viên chúng tôi đã có câu nói “không có Bohr ngoài Bohr, và Sommerfeld là phó của ông ấy”. Tôi biết rằng có khóa học thứ năm về vật lý do chính Sommerfeld giảng dạy, và tôi hỏi tại sao các nghiên cứu sinh tiến sĩ lại dạy điện động lực học không phải theo Sommerfeld mà theo Frenkel. Vì vậy, họ trả lời, Sommerfeld nói rằng anh ấy sẽ chỉ tham gia kỳ thi vào khóa học của Frenkel, vì hiện tại trên thế giới không có khóa học nào tốt hơn. Khi tôi nói rằng cá nhân tôi biết Frenkel, tôi cảm thấy uy quyền của mình trong mắt họ tăng lên rõ rệt. Và tôi cảm thấy thực sự tự hào về các nhà vật lý Liên Xô của chúng ta, những người đã được công nhận rộng rãi trong số các nhà khoa học lý thuyết hàng đầu thế giới.

13

Trường Toán Luzinsk

P. Aleksaidrov

Tác giả bài viết này là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của Liên Xô, Anh hùng Lao động xã hội chủ nghĩa, viện sĩ Pavel Sergeevich Aleksaidrov. Bài báo nói về sự hình thành của một trong những trường phái toán học hiệu quả nhất - trường phái của viện sĩ N. N. Luzin. Ở bên trái (cột trường đại học) là những thuật ngữ ít quen thuộc với học sinh và đã gặp trong bài viết.

HÌNH HỌC KHÁC BIỆT - một phần của hình học nghiên cứu các đường cong chính của đường và bề mặt bằng các phương pháp tính toán vi phân. Nó xem xét các tính chất của các đường tiếp tuyến với các đường cong phẳng và không gian, các mặt phẳng tiếp tuyến với các bề mặt cong và các loại đường khác nhau.

Trường toán học lý thuyết tập hợp Matxcơva hiện đại ra đời trong những năm đầu tiên của cuộc cách mạng bên trong các bức tường của Đại học Mátxcơva. Người sáng lập của nó là Dmitry Fedorovich Egorov và Nikolai Nikolaevich Luzin.

Trong những thập kỷ trước khi nó xuất hiện, bắt đầu từ những năm 70 của thế kỷ 19, mối quan tâm của các nhà toán học Moscow chủ yếu tập trung vào các vấn đề về hình học vi phân và cơ học.

Những vấn đề này, liên quan chặt chẽ đến lý thuyết phương trình vi phân với từng phần tùy ý và lý thuyết ánh xạ tuân thủ, được phát triển về mặt văn hóa, một mặt, bởi nhà hình học xuất sắc người Latvia Karl Mikhailovich Peterson, sống ở Moscow và giữ một vị trí khiêm tốn là một giáo viên thể dục, mặt khác, gắn liền với những công trình đáng chú ý của cơ học vĩ đại Moscow: Nikolai Egorovich Zhukovsky và học trò của ông là Sergei Alekseevich Chaplygin. Hoạt động của các nhà khoa học này có mối liên hệ chặt chẽ với Hiệp hội Toán học Moscow, được thành lập vào giữa những năm 1860 và hoạt động trong suốt những thập kỷ qua.

14

các bề mặt (ví dụ: các bề mặt hình trụ, hình nón, xoắn ốc), những thay đổi về độ dài của đường thẳng, diện tích diện tích và góc trên các bề mặt cong, cũng như các tính chất của bề mặt không thay đổi theo các ánh xạ nhất định. Một phần quan trọng của hình học vi phân là lý thuyết về đường trắc địa trên một bề mặt, tức là các đường ngắn nhất nối hai điểm trên một bề mặt (trên mặt phẳng là đoạn thẳng, trên mặt cầu là cung của một đường tròn lớn). Trong công trình của Thang đo hình học vi phân Moscow, đặc biệt là họ đã nghiên cứu sự uốn cong của các bề mặt, tức là các ánh xạ không làm thay đổi độ dài của các đường trên chúng. Về cơ bản, bạn đã xử lý hình học vi phân khi nghiên cứu các tiếp tuyến của đồ thị hàm số ở lớp 9.

PHƯƠNG TIỆN KHÁC BIỆT - phương trình chứa tích của các hàm mong muốn. Nếu các hàm này phụ thuộc vào một đối số thì các phương trình vi phân được gọi là thông thường, và nếu chúng phụ thuộc vào một số phương trình trong các phần của đạo hàm thì những phương trình sau này thường được gọi là phương trình toán vật lý.

BẢN ĐỒ CONFORMAL là ánh xạ bề mặt tới bề mặt bảo toàn góc giữa các đường. Một ví dụ là sự hình thành các phân khu mà bạn đã học trong hình học. Một ví dụ khác là phép chiếu lập thể của một quả cầu lên một mặt phẳng (một phép chiếu trong đó quả cầu được chiếu từ kệ trên cùng lên một mặt phẳng chạm vào nó ở cực nam). Ánh xạ phù hợp đóng một vai trò quan trọng trong cơ học khoai tây, cơ học chất lỏng, cơ học khí động học và các lĩnh vực khoa học khác.

Hình học vi phân được chấp nhận cho đồng rúp trong thế kỷ qua và mối quan tâm toán học của B.K. Mlodezevsky và D.F. Egorov, lúc bấy giờ là giáo sư toán học nổi tiếng nhất tại Đại học Moscow. Sự tham gia cơ bản của D. F. Egorov trong việc tạo ra thang đo Moscow của lý thuyết hàm bắt đầu từ năm 1911-1913, khi ông chứng minh (1911) định lý quan trọng của mình về chuỗi các hàm được sửa đổi và liên quan đến định lý này, ông đã trình bày cho học trò giỏi nhất của mình N. N. Luzin bài toán bằng chứng về một trong những định lý chính của lý thuyết hàm đang phát triển vào thời điểm đó. Το thái độ mà B.K. Tất nhiên, Mlodezevsky phải tạo ra quy mô Moscow của lý thuyết chức năng, thậm chí không thể so sánh được với sự tham gia cơ bản của D.F. Egorov, nhưng vẫn cần được đề cập: thực tế là B.K. Mlodezevsky, người chưa bao giờ làm việc trong lĩnh vực này, nhưng là một nhà toán học được giáo dục rộng rãi, người có ý tưởng về mọi thứ đã được thực hiện trong thời đại của ông, là giáo sư đầu tiên ở trường đại học Moscow (và nói chung là bất kỳ người Nga nào), người đã dạy một khóa học về lý thuyết tổng quát về hàm số biến thực tại trường đại học. N.N. Luzin cũng giảng dạy khóa học này và đã nhiều lần nói về nó với sự công nhận tuyệt vời.

Hai giáo sư toán học xuất sắc nhất giảng dạy tại Đại học Mátxcơva vào phần ba đầu thế kỷ hiện tại: D. F. Egorov và N. N. Luzin, với tư cách là giảng viên và giáo sư đại học nói chung, được coi là hai loại đối lập nhau. Tôi có thể nói là D. F. Egorov chấp nhận kiểu người cổ điển, và N. N. Luzin - kiểu người lãng mạn. Trong các bài giảng của D.F. Egorov, họ luôn được chuẩn bị kỹ càng một cách hoàn hảo, mọi bằng chứng đều có đầy đủ và được trình bày một cách tuyệt đối và nghiêm ngặt. Không có yếu tố ngẫu hứng nào ở họ, và chúng phù hợp với trình độ đào tạo và mức độ hiểu biết về các trường hợp mà họ dự định thực hiện. Bề ngoài, D.F. Egorov luôn cực kỳ nghiêm túc; ông không sử dụng bất kỳ kỹ thuật hùng biện hay trang trí nào, và đối với những người không quen với phong cách trình bày của ông, các bài giảng của ông thậm chí có thể có vẻ hơi khô khan. Trên thực tế, có một sự nâng cao thực sự trong bài thuyết trình của ông, nhưng sự nâng cao này, giống như tất cả các khía cạnh thực nghiệm trong tính cách của ông với tư cách là một nhà khoa học và giáo sư, phụ thuộc vào một hình thức có cấu trúc và thậm chí có vẻ hơi khắc nghiệt. Ngược lại, N. N. Luzin là một đại diện nổi bật của kiểu giáo sư “lãng mạn”.

15

TẬP ĐO LƯỜNG ĐO LƯỜNG - nhiều phương pháp xây dựng các tập hợp đã sửa đổi bằng phương pháp trong bài viết này của Viện sĩ P. S. Aleksandrov - vào những năm đó, một sinh viên đại học bắt đầu học toán.

CHỨC NĂNG CÓ THỂ ĐO LƯỜNG - một hàm có thuộc tính đối với bất kỳ $a$ và $b$ nào thì tập hợp các điểm $x$ mà $a \leq f(x) < b$ có thể thay đổi được. Mọi hàm liên tục đều có thể thay đổi được. Một ví dụ về hàm không liên tục nhưng có thể thay đổi là hàm Dirichlet, bằng 0 ở mọi chữ cái đầu ở mọi điểm hữu tỷ. Nếu chúng ta loại bỏ khỏi miền định nghĩa của hàm Dirichlet tất cả các số hữu tỷ

trường đại học. Toàn bộ quá trình giao hàng của anh ấy vô cùng xúc động. Hình thức giao hàng này không phải lúc nào cũng hoàn hảo. N. N. Luzin vô tình giảng bài và chuẩn bị sơ sài và ngay lập tức, đứng trước mặt các sinh viên, ứng biến một bằng chứng chưa sẵn sàng. Đồng thời, anh thường xuyên mắc lỗi, nhầm lẫn trong tính toán và trì hoãn cho đến tài liệu bài giảng tiếp theo dành cho bài giảng này nhưng hóa ra lại không được chuẩn bị trước. Nói một cách dễ hiểu, màn trình diễn của anh ấy không thể gọi là mẫu mực. Đồng thời, đôi khi anh ấy cũng có phần tỏ ra tán tỉnh với sự “không mẫu mực” này của mình. Nhưng các bài giảng của Luzin, trong thời kỳ hoàng kim trong hoạt động giảng dạy của ông tại Đại học Moscow, chứa đầy những ý tưởng mới và thú vị có thể khuyến khích các nghiên cứu độc lập hơn nữa. N. N. Luzin sở hữu năng khiếu quyến rũ tâm trí và đốt cháy trái tim ở mức độ cao nhất. Đương nhiên, kết quả của niềm đam mê và sự đánh lửa này là khác nhau tùy thuộc vào vật liệu dễ cháy mà tia lửa cảm hứng ném vào đó rơi vào. Những nhà toán học trẻ có năng lực, và có rất nhiều người trong số họ đã nghe N.N. Luzin, được khuyến khích tiến hành nghiên cứu nghiêm túc và sâu sắc của riêng mình, đạt được tiến bộ hơn nữa trong khoa học toán học. Nhưng cũng có những cô gái chỉ nhiệt tình thốt lên rằng phục vụ Luzin tốt hơn phục vụ Chaliapin, điều này đã hạn chế sự nhiệt tình của họ đối với ý tưởng toán học của người thầy vĩ đại.

Không kém phần quan trọng so với bản chất của các bài giảng của Luzin, khuyến khích và, tôi có thể nói, truyền cảm hứng cho sinh viên tiến hành nghiên cứu độc lập trong lĩnh vực toán học, là phong cách tương tác hoàn toàn mới giữa giáo sư và sinh viên được Luzin đưa vào thực tiễn giảng dạy của chúng tôi. Nó sinh ra sự tự do và thoải mái tuyệt vời, không có bất kỳ hình thức nào và thay thế những biểu hiện tôn trọng bên ngoài của học sinh bằng sự tôn trọng thực sự sâu sắc, thường chuyển thành sự ngưỡng mộ nhiệt tình. Sự tôn trọng này khiến cho không thể có được sự tự do, tự phát trong mối quan hệ giữa N.N. Luzin và các học trò của mình thoái hóa thành bất kỳ kiểu quen thuộc nào.

Lần đầu tiên tôi gặp N.N. Luzin năm 1914, khi còn là sinh viên năm thứ 2. Thành thật mà nói, ấn tượng từ cuộc gặp gỡ này là đáng thất vọng và sẽ được tôi nhớ mãi. Quay sang Luzin sau khi kết thúc bài giảng của anh ấy để xin lời khuyên về cách làm toán trong tương lai, trước hết tôi bị ấn tượng bởi sự chu đáo và (tôi không thể tìm được từ nào khác) sự tôn trọng dành cho chủ sở hữu, cho dù từ này nghe có vẻ kỳ lạ đến mức nào khi nói đến một người đã nổi tiếng, mặc dù vẫn còn trẻ.

16

V. V. Golubev

ny điểm (theo một quan điểm nhất định là “nhỏ hơn” so với các điểm hữu tỷ), thì hàm Dirichlet biến thành một hằng số, nghĩa là nó trở nên liên tục trên miền định nghĩa rút gọn. Một thành tựu lớn của phân tích là nỗ lực chỉ ra rằng các hàm phát triển được quan tâm để phân tích “hầu hết” là liên tục. Đây là các hàm “Lebesgue có thể đo được”. Kết quả của D. F. Egorov và N.N. Luzin đã đóng một vai trò lớn trong việc làm sáng tỏ mọi vấn đề liên quan ở đây.

ZERMELO’S AXIOM là một phát biểu được nhà toán học người Ý Zermelo sử dụng rằng đối với bất kỳ tập hợp các tập hợp rời rạc theo cặp nào, một tập hợp mới có thể được xây dựng bằng cách chọn một phần tử từ mỗi tập hợp. Mặc dù có giá trị giáo dục, nhưng tuyên bố này (còn gọi là tiên đề lựa chọn tùy ý) dẫn đến những kết quả rất nghịch lý (ví dụ, tuyên bố rằng một hình cầu có thể được chia thành 4 tập hợp bằng nhau để từ hai tập hợp người ta có thể thu được một hình cầu và quay chúng so với tâm). Một số nghiên cứu ở quy mô toán học Moscow được dành để tìm hiểu cách một nhà khoa học làm việc với một học sinh 18 tuổi mới bắt đầu tiếp xúc với toán học. Sau khi lắng nghe tôi, Luzin, thông qua những câu hỏi được đặt ra một cách khéo léo, đã nhanh chóng hiểu được bản chất thiên hướng toán học của tôi và ngay lập tức, dưới một hình thức mà tôi có thể tiếp cận được, vạch ra những hướng chính mà anh ấy có thể đưa ra cho tôi để nghiên cứu thêm; Rất cẩn thận, chính anh ấy đã thuyết phục tôi chọn một trong những hướng đi này, và tất cả những điều này được thực hiện một cách tinh tế, không có bất kỳ áp lực nào và, như bây giờ tôi có thể nói, một cách chính xác. Lúc đó tôi đã trở thành học trò của Luzin.

Việc tôi làm quen với Luzin xảy ra khá chính xác vào giữa thập kỷ mà anh ấy đạt được những kết quả quan trọng nhất. Sau đó, ông sống hoàn toàn một mình trong những căn phòng đầy đủ tiện nghi (trang trại Kokorevskoe trên Balchug), chỉ sống bằng khoa học. Tôi nhớ một câu của anh ấy đã nói trong một trong nhiều cuộc gặp của chúng tôi: “Tôi nghĩ ngày đêm về tiên đề của Zermelo (tiên đề về sự lựa chọn tùy ý trong lý thuyết tập hợp). Giá như ai đó biết được điều này là gì!”

Gặp gỡ Luzin trong những năm này, tôi thực sự thấy được điều có thể gọi là thái độ đầy cảm hứng đối với khoa học, và tôi không chỉ học toán từ anh ấy mà còn nhận được bài học về thế nào là một nhà khoa học thực sự, cũng như thế nào là một giáo sư đại học.

Sau đó, tôi nhận ra rằng khoa học và việc thu hút những người trẻ mới vào đó là hai mặt của cùng một hoạt động - hoạt động của một nhà khoa học. Tất cả những điều này vẫn còn với tôi cho đến hết cuộc đời. Hoạt động sư phạm tại Đại học Moscow được trường Egorov-Luzin thực hiện theo nhiều hướng. D. F. Egorov đã dạy các khóa học bắt buộc về hình học vi phân, phương trình vi phân và phép tính biến phân. Ngoài ra, ông còn giảng dạy một số khóa học đặc biệt, tuy không bắt buộc nhưng rất phổ biến và được đông đảo học sinh tham gia. Các khóa học của D. F. Egorov cũng có thể coi là phần giới thiệu đầu tiên về phân tích hàm, một phương pháp mới nổi vào thời điểm đó.

N.N. Luzin đọc mỗi ngày khóa học này hay khóa học khác về lý thuyết hàm của một biến thực (đôi khi phức tạp), thay đổi các chủ đề đặc biệt của nó, nhưng mỗi lần trình bày đều đưa ra những câu hỏi mà anh ấy quan tâm trực tiếp và tạo nên ngày khoa học trong lĩnh vực này ngày nay.

Ngoài N.N. Luzin, thế hệ học trò cũ của D.F. Egorov bao gồm V.V. Golubev, I.I. Privalov và V.V. Stepanov, người tham gia tích cực vào đời sống toán học ở Moscow, đặc biệt là giảng dạy tại Đại học Moscow. V.V. Golubev và I.I. Privalov đã thực hiện công việc khoa học chuyên sâu và giảng dạy các khóa học theo hướng

17

I. I. Privalov

Có thể thu được phát biểu chính xác của lý thuyết tập hợp mà không cần dựa vào tiên đề Zermelo. Hiện nay người ta đã chứng minh rằng tiên đề Zermelo không thể được suy luận hay bác bỏ dựa trên các tiên đề khác của lý thuyết tập hợp.

TÍNH TOÁN BIẾN ĐỔI - một nhánh toán học nghiên cứu bài toán cho các hàm tối đa và tối thiểu, phụ thuộc vào các hàm tuyến tính khác, v.v. (ví dụ: tìm các đường trắc địa trên một bề mặt, tìm các đường có độ dài ngắn nhất giới hạn một vùng của một khu vực nhất định, v.v.). Nhiều lý do trong vật lý và cơ học có một biến thể của biến thể đó (ví dụ: hãy lan tỏa cho mọi người để thời gian nó truyền từ điểm này sang điểm khác là tối thiểu).

DÒNG TRIGONOMETRIC - chuỗi bao gồm các dao động điều hòa với nhiều tần số:
$$A_0 + A_1 \cos(\omega x + \alpha_1) + A_2 \cos(2\omega x + \alpha_2) + \dots + A_n \cos(n\omega x + \alpha_n) + \dots$$
Các nhà vật lý thường biểu diễn các dao động có dạng rất tổng quát là kết quả của sự chồng chất của vô số dao động điều hòa lên nhau, tức là dưới dạng tổng của một chuỗi lượng giác. Cách biểu diễn hàm này cũng được sử dụng cho lời giải polychl. bài toán theo-

tiếp tục các vấn đề của N.N. Luzin. V.V. Stepanov, người có nhiều kỹ năng toán học và sở thích toán học đặc biệt, đã giảng dạy các khóa học và tiến hành các cuộc hội thảo về nhiều vấn đề phân tích toán học theo nghĩa rộng của từ này. Ví dụ, tôi nhớ một khóa học mà tôi rất thích nghe V.V. Stepanov về bài toán Dirichlet, rất hấp dẫn, mặc dù đọc theo cách nghiêm túc của D.F. Egorov, người học trò trung thành V.V. Stepanov đã và đang coi mình là như vậy. Tôi cũng muốn nhớ rằng công trình đầu tiên được biết đến rộng rãi của A. N. Kolmogorov về lý thuyết hàm số (cụ thể là về lý thuyết chuỗi lượng giác) đã được ông thực hiện khi ông còn là người tham gia hội thảo của V. V. Stepanov. Khi đề cập đến hội thảo này, tôi đã hướng tới nửa đầu những năm hai mươi, khi trường Egorov-Luzin thống nhất ban đầu đã hình thành một số trường mới phát triển nhiều lĩnh vực toán học khác nhau và sống một cuộc sống độc lập.

Trong những năm đầu hoạt động sư phạm của N. N. Luzin tại Đại học Moscow (và đây là những năm ngay trước cuộc cách mạng), chỉ có một hội thảo toán học duy nhất ở trường đại học. Nó có D.F. Egorov làm lãnh đạo và được gọi như vậy: Chủng viện Toán học hay chính xác hơn là Chủng viện Toán học. Từ “hội thảo” hiện nay chỉ trở nên phổ biến ở Đại học Mátxcơva vào giữa những năm 20 và được O. Yu giới thiệu ở Mátxcơva. Shmidt đến từ Kyiv, nơi mà dường như nó đã được phổ biến rộng rãi trong trường học của D. A. Grave. Vì vậy, Chủng viện Toán học của D. F. Egorov đã xuất bản vào mùa xuân hàng năm; chủ đề của nó thay đổi từ năm này sang năm khác. Lần đầu tiên tôi tham gia buổi hội thảo này là vào năm 1914, khi vẫn còn là sinh viên đang học học kỳ thứ hai của năm thứ nhất; Cho rằng nó dành cho học sinh cuối cấp nên tôi đã không làm ngay và chỉ sau lời khuyên này của V.V. Stepanov quyết định đăng ký tham gia hội thảo này. (Vào thời điểm đó, cái gọi là hệ thống môn học vẫn còn phổ biến ở trường Đại học và mỗi sinh viên có thể đăng ký vào bất kỳ khóa học hoặc hội thảo nào mà mình lựa chọn, đặc biệt là do học phí và việc thiếu học bổng nhà nước dành cho sinh viên.) Như tôi đã nói, hội thảo hàng năm của D. F. Egorov đều dành cho một chủ đề cụ thể. Năm 1914, hội thảo có chủ đề “Chuỗi vô hạn”. Chủ đề được chia thành nhiều chủ đề phụ, công việc được tiến hành song song; Những người tham gia hội thảo tham gia vào chủ đề phụ này đã thành lập một “nhóm” nhất định của hội thảo. Nhóm của tôi được gọi là Chuỗi chức năng. Chúng tôi đã nghiên cứu các công trình về khái quát hóa khác nhau của khái niệm mạch điện đồng nhất. Ngoài ra còn có một nhóm chiếm một vị trí cơ bản hơn

18

vật lý lưới. Luận án tiến sĩ “Chuỗi số liên và lượng giác” của N. N. Luzin được dành cho việc nghiên cứu nhiều vấn đề phức tạp trong lý thuyết chuỗi lượng giác với sự trợ giúp của hàm đo lường dễ hiểu, liên liên Lebesgue, v.v. Chủ đề này được tiếp tục bởi nhiều người được vinh danh của Luzin (A. N. Kolmogorov, D. E. Menshov, N. K. Bari, v.v.).

câu hỏi khoa học: chuỗi với các số hạng không đổi và dấu hiệu hội tụ khác nhau của các chuỗi này. Mỗi nhóm gặp nhau nhiều lần tại nhà của D. F. Egorov. Tại cuộc họp đầu tiên, D. F. Egorov đã phân phát tài liệu cho các thành viên trong nhóm và tài liệu này đã được những người tham gia có liên quan báo cáo tại các cuộc họp nhóm tiếp theo. Cuối cùng, khi kết thúc công việc của nhóm, một hoặc hai thành viên trong nhóm phải thuyết trình tại phiên họp toàn thể của hội thảo. Vì vậy, một báo cáo được dành cho loạt bài với các thành viên cố định, có hai báo cáo về loạt bài chức năng, v.v. Các cuộc họp toàn thể của hội thảo của D. F. Egorov đã quy tụ hầu như tất cả các nhà toán học đang hoạt động tích cực ở Moscow và về vấn đề này, ở một số nơi, họ thậm chí còn cạnh tranh với xã hội toán học. Những cuộc họp toàn thể này luôn rất thành công. Trong hầu hết các trường hợp, các báo cáo được đưa ra tại họ đều gợi lên những tuyên bố thú vị từ nhiều trường hợp, trong đó N.N. Luzin và V.V. Tuy nhiên, Stepanov, người có tính khí hoàn toàn khác, lại đặc biệt năng động.

19

M. A. Lavrentiev
N. K. Bari
A. N. Kolmogorov
L. G. Shnirelman
V. V. Stepanov
P. S. Novikov

Các cuộc họp của các nhóm riêng lẻ của hội thảo, như đã đề cập, diễn ra tại nhà của D. F. Egorov, cũng có tính chất sôi nổi, mặc dù hoàn toàn là “buồng”. Bản thân Dmitry Fedorovich luôn đặt ra chủ trương cho những cuộc họp này.

Được thành lập vào năm 1914-1916. nhóm học sinh cuối cấp của N. N. Luzin gồm có D. E. Menshov, A. Ya. Khinchin, M. Ya. Suslin và tôi. Đến năm 1919-1920, nó được bổ sung thêm một số nhà toán học trẻ: P. S. Uryson, L. A. Lyusternik, M. A. Lavrentyev, N. K. Bari, một số sinh viên và học trò khác của N. N. Luzin. Do đó, nhiều đội rất khác nhau đã xuất hiện, chẳng bao lâu sau có sự tham gia của hai nhà toán học xuất sắc như A. N. Kolmogorov và L. G. Shnirelman. Trong số các nhà toán học thuộc thế hệ lớn tuổi hơn một chút, V. V. Stepanov ngay lập tức gia nhập đội này. Một thời gian sau, đội này bao gồm P. S. Novikov và L. V. Keldysh. Đây là cách mà Lusitania nổi tiếng nảy sinh - một cộng đồng gồm các nhà toán học trẻ, gắn kết với nhau không chỉ bởi mối quan hệ thân thiện đen tối giữa các đồng nghiệp mà còn bởi tình yêu nồng nàn và niềm yêu thích sôi nổi, vô hạn đối với khoa học toán học.

Lusitania ngay lập tức nhận ra mình là một cái gì đó hoàn chỉnh và tự xưng là “mệnh lệnh” với “chỉ huy” N.N. Luzny và “bà ngoại” D.F. Cái tôi-

20

CHỨC NĂNG CỦA MỘT BIẾN PHỨC.
Các hàm trong vùng lân cận của bất kỳ điểm $x_0$ nào, nơi chúng được xác định, là tổng của chuỗi có dạng
$$a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \dots + a_n(x-x_0)^n + \dots$$
(khi các phần tử cố định của một chuỗi như vậy được biểu diễn thông qua các hàm gốc tùy ý tại điểm $x_0$) được gọi là hàm giải tích.
Chúng bao gồm các hàm hữu tỷ, hàm mũ, logarit và lượng giác được nghiên cứu ở trường, cũng như tất cả các hàm được tìm thấy trong các ứng dụng của toán học.
Các hàm không liên tục và các hàm có đồ thị có các điểm ngắt (ví dụ: $y = |x|$ hoặc $y = [x]$) không phải là hàm giải tích.
Điều đáng chú ý là hai hàm giải tích trùng nhau trong một khoảng cực nhỏ theo định nghĩa thì bằng nhau. Lý thuyết về hàm phân tích được bộc lộ hết vẻ đẹp của nó nếu nó được xem xét không chỉ đối với các giá trị hành động mà còn đối với các giá trị hoàn chỉnh của đối số.
Vì vậy, lý thuyết này còn được gọi là lý thuyết biến phức. Nó liên quan chặt chẽ đến lý thuyết ánh xạ bảo giác.
Trong một miền phức tạp, có thể biểu diễn các giá trị của hàm phân tích bên trong một miền nhất định dưới dạng các giá trị của nó tại ranh giới của miền. Tuy nhiên, những giá trị biên này có thể không những không mang tính phân tích mà thậm chí còn khác nhau.

Luisitnaya là một đội lao động cừ khôi, có sự bộc phát về mặt sáng tạo và cảm xúc, phản ánh trong “mô hình thu nhỏ” của khoa toán của Đại học Mátxcơva lúc bấy giờ về sự bùng nổ vĩ đại và toàn diện mà cả nước đã trải qua trong những năm đó, những năm đầu của cách mạng, những năm hình thành cuộc sống mới. Tôi đặc biệt muốn ghi nhớ điều này vào lúc này, nhân kỷ niệm 60 năm Cách mạng Tháng Mười vĩ đại.

Một yếu tố thiết yếu của N.N. Giao tiếp của Luzin với các học trò của mình là những cuộc gặp gỡ và trò chuyện mà N.N. Luzin tham gia với những nhóm rất nhỏ (khoảng 1-3 người, tập trung vào một số chủ đề). Ngoài ra, hàng tuần còn có ngày huấn luyện tổng quát dành cho tất cả học sinh của Nikolai Nikolaevich. Tuy nhiên, đó là thứ Năm, rồi thứ Tư.

Ngoài N.N. Các học trò không được đại diện của Luzin, V.V. Stepanov và đôi khi I.I. Privalov thường tham dự những cuộc họp hàng tuần này tại N.N. Nhà của Luzin. Những buổi tối này tại N. N. Luzin’s bao gồm hai phần: đầu tiên là phần toán học trong văn phòng của Nikolai Nikolaevich, một căn phòng rất ấm cúng, trong đó, thực sự, trong toàn bộ căn hộ của N. N. Luzin vào thời điểm đó (Arbat, 25 tuổi, tầng ba), có (theo yêu cầu của chủ sở hữu) đèn dầu hỏa. Tôi sẽ không bao giờ quên những cuộc trò chuyện giàu tính toán học sống động nhất diễn ra vào thời điểm đó. Những cuộc trò chuyện này đôi khi kéo dài rất lâu, nhưng khi kết thúc lại là trà và bánh ngọt rất ngon. Ngoài ra - không còn ở văn phòng nữa mà là trong phòng ăn của gia đình Luzins - các cuộc trò chuyện mang một tính chất khác, phi toán học và đề cập đến nhiều vấn đề của đời sống văn hóa và xã hội. Đôi khi một cái gì đó đã được đọc khô. V.V. Stepanov đọc những bài thơ của Blok rất nhiệt tình, nhưng những bài ít chân thành hơn lại được đọc thường xuyên hơn. Vì vậy, ví dụ, N.N. Luzin với kỹ năng và tính nghệ thuật tuyệt vời đã đọc các tác phẩm của Korney Chukovsky, dành riêng cho trẻ em. Tôi nhớ có lần đọc câu chuyện “Điều kỳ diệu của Thánh Nicholas” của Anatole France.

Những cuộc gặp gỡ với N.N. Luzin kết thúc trong thất vọng. Sau khi hoàn thành, những người tham gia nhóm lớn đi đến Arbat và các con hẻm của nó và dần dần, theo nhiều cách kết hợp tuần tự khác nhau, tiễn nhau, cuối cùng giải tán - thường là vào buổi sáng - về nhà của họ.

Louisita không chỉ sống như một người bạn, cô ấy còn sống vui vẻ và vui vẻ biết bao! Trò vui này thậm chí còn làm choáng ngợp các “người lớn tuổi” và không chỉ N.N. Luzin, mà cả D.F. Có thể nói, Egorov đã tham gia đầy đủ vào kỳ vọng của chúng tôi về một cuộc gặp gỡ vui vẻ. Những cuộc tụ họp này rất nhiều và diễn ra vào nhiều dịp khác nhau. Đêm giao thừa và Ngày Tatiana, được đặt theo tên của D. F. Egorova và N. N. Luzina, ngày sinh nhật của từng người dân Louisitanians

21

hàm không liên tục (mặc dù Lebesgue không đổi). Một số công trình của N. N. Luzin và các học trò của ông (I. I. Privalov và những người khác) được dành cho việc nghiên cứu tính chất của các giá trị biên của hàm giải tích.

KÍCH THƯỚC—số lần thay đổi của một hàm nhất định (ví dụ: kích thước của một đoạn và một hình tròn là một, kích thước của hình vuông, hình tròn và hình cầu là hai, và kích thước của hình lập phương và quả bóng là ba). Sau khi làm quen với toán học, xuất hiện tập hợp trọng số có tính chất tổng quát bài toán một định nghĩa chung về khái niệm thứ nguyên và nghiên cứu các tính chất của khái niệm này. Trong sự hình thành cuối cùng của lý thuyết về chiều, các công trình của P. S. Urson (Quant, 1974, số 8), và sau này là P. S. Aleksadrov, có tầm quan trọng hàng đầu. Trong các tác phẩm của P. S. Aleksadrov và các học trò của ông, người ta đã phát hiện ra những mối liên hệ rất tinh tế giữa kích thước và các đặc tính hình học khác của tập hợp.

Trường Luzin, Luzinnaya, là một trong những trường đặc biệt gồm các nhà toán học trẻ, hầu hết có năng khiếu và vui vẻ.

Vào tháng 8 năm 1924, đội này bị giáng một đòn nặng nề: một trong những thành viên tài năng nhất của Luzintia và nói chung, một trong những nhà toán học tài năng nhất của Liên Xô, Pavel Samulyuvich Urson, qua đời.

Các thành viên của Luzintia coi đòn định mệnh này là của riêng mỗi người trong số họ, và Luzinnaya nói chung đã không tồn tại được lâu. Vào thời điểm này, trong lòng Moscow, khi đó vẫn còn thống nhất, trường toán học, quá trình hình thành các trường phái riêng biệt trong các lĩnh vực toán học khác nhau đã bắt đầu: trong lý thuyết về hàm của một biến phức, trong cấu trúc liên kết, trong lý thuyết xác suất, trong phương trình vi phân, v.v. Tôi nhắc lại, những trường phái này nảy sinh trong khuôn khổ chính Lusincia, nhưng một khi đã xuất hiện, chúng ngay lập tức, giống như những chú cá voi sơ sinh, bắt đầu sống một cuộc sống độc lập và lớn lên và phát triển nhanh chóng, thành công.

Luzinnaya như vậy đã không còn tồn tại, trở thành sự bổ sung vĩnh viễn cho mỗi người tham gia, hòa nhập với sự bổ sung cho tuổi trẻ của chính mình.

22

XX NĂM

Ngày 4 tháng 10 năm 1957, lần đầu tiên trong lịch sử loài người, một vệ tinh nhân tạo của Trái đất được phóng lên. Ngày này đánh dấu sự khởi đầu của thời đại không gian của con người. Chúng ta có thể tự hào rằng kỷ nguyên này đã bắt đầu ở nước ta - vệ tinh đầu tiên được phóng vào Liên Xô.

Viện sĩ S.P. Korolev - Trưởng nhóm thiết kế hệ thống tên lửa vũ trụ đầu tiên.

Phóng tàu vũ trụ Soyuz.

Vệ tinh Trái đất nhân tạo đầu tiên trên thế giới.

23

Trong hai mươi năm qua, nhiều nghiên cứu khoa học đã được thực hiện trong không gian. Chỉ cần nói rằng chỉ riêng Liên Xô đã phóng hơn một nghìn thiết bị thám hiểm không gian khác nhau.

Khám phá không gian đang có những bước tiến lớn. Đất nước chúng ta - những nước tiên phong về du hành vũ trụ - ưu tiên trong các sự kiện quan trọng liên quan đến thám hiểm không gian. Liên Xô là nước đầu tiên phóng vệ tinh có người trên tàu - nhà du hành vũ trụ đầu tiên trên thế giới là công dân Liên Xô, người cộng sản Yury Alekseevich Gagarin. Người đầu tiên đi vào vũ trụ là công dân Liên Xô, người cộng sản Alexei Arkhipovich Leonov. Liên Xô là nước đầu tiên phóng máy bay nhiều chỗ ngồi, tự động đưa máy bay vào quỹ đạo, chụp ảnh phía xa của Mặt trăng và hạ cánh trạm nhẹ nhàng trên

Nhà du hành vũ trụ đầu tiên Yu. A. Gagarin.

Nữ phi hành gia đầu tiên V.V. Nikolaeva-Tereshkova.

Phi hành gia A. A. Leonov là người đầu tiên bay vào vũ trụ.

24

Mặt trăng, việc tạo ra các vệ tinh mặt trăng, việc nâng Mặt trăng và sự trở lại của tàu vũ trụ về Trái đất, việc đưa đất mặt trăng đến Trái đất một cách tự động bằng các trạm, tạo ra các phương tiện mặt trăng tự hành được điều khiển từ xa (máy thám hiểm mặt trăng), hạ cánh các trạm tự động trên bề mặt Sao Kim và Sao Hỏa.

Ảnh hưởng của khoa học vũ trụ đến việc nghiên cứu Vũ trụ là rất lớn. Nghiên cứu vũ trụ đã có tác dụng kích thích sự phát triển tư duy khoa học kỹ thuật, kinh tế và văn hóa. Chúng dẫn đến sự gia tăng mạnh mẽ về trình độ khoa học và công nghệ trong các lĩnh vực liên quan và tiên tiến như khí động học, vật lý học, vật lý hóa học, kỹ thuật vô tuyến và công nghệ truyền hình, công nghệ hệ thống điều khiển tự động, sử dụng máy điện tử trong công nghiệp và vấn đề thu nhỏ các cấu trúc kỹ thuật.

Hiện nay, nghiên cứu vũ trụ đang bước vào một giai đoạn mới. Hai mươi năm sau khi con người bước vào không gian, chúng ngày càng trở thành một loại hình hoạt động nghiên cứu khoa học bình thường, và không gian đang trở thành nơi làm việc và phòng thí nghiệm của các nhà khoa học. Có thể nói, sau những thí nghiệm trinh sát đầu tiên, kỷ nguyên nghiên cứu có hệ thống đã bắt đầu và những thập kỷ tới chắc chắn sẽ được đánh dấu bằng những thành tựu còn lớn hơn nữa.

Đã chuẩn bị xuất bản
M. Smolyansky.

Ảnh TASS

Đất mặt trăng được cung cấp bởi trạm Luna-16.

Tại địa điểm công nhận tàu vũ trụ Soyuz-19
A. A. Leonov và V. N. Kubasov cùng nhóm Nhật Bản.

“Lunokhod-1”.

Hướng tới kỷ niệm 60 năm Cách mạng Tháng Mười vĩ đại

V. Bolshakov

Quang học

để thăm dò
Trái Đất và Mặt Trăng
từ không gian

Hai mươi năm trước, ngày 4 tháng 10 năm 1957, với việc phóng vệ tinh Trái đất nhân tạo đầu tiên trên thế giới, Liên Xô đã mở ra một kỷ nguyên mới trong lịch sử nhân loại - kỷ nguyên chinh phục vũ trụ. 20 năm là khoảng thời gian ngắn nhưng những thành công của khoa học công nghệ trong khám phá vũ trụ là rất to lớn. Và vị trí dẫn đầu thế giới ở đây hoàn toàn thuộc về nước ta, nơi chương trình nghiên cứu không gian vũ trụ, Mặt trăng và các hành tinh đang được thực hiện một cách nhất quán. Những bài toán này được giải quyết bằng các phương tiện tự động (vệ tinh nhân tạo, tàu thăm dò không gian, trạm tự động) và với sự trợ giúp của tàu vũ trụ Soyuz có người lái và trạm quỹ đạo Salyut.

Du hành vũ trụ thực tế đã mở ra nhiều cơ hội mới cho khoa học, đặc biệt là sau lời giải kỹ thuật bài toán trở lại thành công của các trạm tự động và có người lái từ các tuyến không gian đến Trái đất. Một trong những khả năng này là viễn thám Trái đất và Mặt trăng bằng phương tiện quang học, chủ yếu bằng nhiếp ảnh.

Như đã biết, việc đưa tàu vũ trụ trở về từ không gian sâu lần đầu tiên được thực hiện trên thế giới ở Liên Xô trong chuyến bay của trạm Zond-5. Trạm quay quanh Mặt trăng và quay trở lại Trái đất vào ngày 21 tháng 9 năm 1968, hạ cánh nhẹ nhàng

26

trong một khu vực nhất định. Đồng thời, sự khởi đầu của việc sử dụng thực tế phương pháp chụp ảnh không gian đã được đặt ra: trong chuyến bay của trạm, Trái đất được chụp ảnh từ khoảng cách 90 nghìn km (Hình 1).

Những bức ảnh mô tả toàn bộ Trái đất hoặc các thiên thể khác thường được gọi là toàn cầu. Ngay sau khi nhận được những bức ảnh toàn cầu về Trái đất từ ​​Zond 5, chúng được sử dụng đặc biệt để nghiên cứu mô hình phân bố hình thành đám mây trên toàn bộ quy mô Trái đất và so sánh điều kiện thời tiết thực tế với điều kiện dự đoán, cũng như để xác định kích thước của Trái đất. Vì Trái đất được chụp liên tục trong gần 30 phút nên bất kỳ điểm nào trên bề mặt Trái đất nằm trên đường xích đạo đều di chuyển so với trục quang của máy ảnh (do Trái đất quay quanh trục của nó) khoảng 800 km (chiều dài đường xích đạo là ≈40.000 km). Kết quả là, các hình ảnh được kết nối theo cặp và tách biệt theo thời gian đã tạo ra hình ảnh ba chiều (được gọi là hình lập thể) của Trái đất. Điều này giúp (sử dụng các phép đo trên các thiết bị đo quang đặc biệt) có thể xác định tọa độ không gian của các cung của các phần tùy ý của hình ảnh ba chiều của Trái đất và biết khoảng cách từ điểm chụp ảnh đến tâm Trái đất để tính toán kích thước của Trái đất.

Đối với bản thân Trái đất, điều này thực tế là không cần thiết, vì đối với nó, các phương pháp trắc địa cho kết quả khá tốt. Nhưng điều này giúp phát triển kỹ thuật xác định kích thước của các vật thể vũ trụ từ các phép đo trong các bức ảnh toàn cầu và áp dụng kỹ thuật này, chẳng hạn như để xác định kích thước của Mặt trăng (sau khi chụp ảnh nó từ khoảng cách khoảng 10 nghìn km bằng các trạm tự động liên hành tinh “Zond-6, 7,8”).

Kỹ thuật này cũng phù hợp để xác định kích thước của các hành tinh khác trong hệ mặt trời.

27

Hai tháng sau khi trạm Zond-5 trở lại (vào tháng 11 năm 1968), tàu thăm dò tự động Zond-6 của Liên Xô đã phóng lên Mặt trăng, theo chương trình bay, đã thực hiện hai buổi chụp ảnh Trái đất và Mặt trăng (Hình 2) và thực hiện chuyến hạ xuống bề mặt Trái đất một cách thuần thục. Nhờ chuyến bay của trạm Zond-6, lần đầu tiên trên thế giới, những bức ảnh về phía xa của Mặt trăng đã được thu thập và chuyển đến Trái đất, giúp bắt đầu biên soạn các bản đồ địa hình.

Các trạm Zond tự động được đặc trưng bởi mức độ cao và sự hoàn hảo của hệ thống định hướng và ổn định. Như vậy, độ chính xác của việc duy trì trục quang học của máy ảnh rời trong quá trình chụp ảnh, được tính toán dựa trên

29

Hình 4. Trong ảnh đen trắng thu được khi chụp ảnh từ trạm tự động Zond-8 từ khoảng cách 9,6 nghìn km, có thể nhìn thấy một phần bề mặt của Mặt trăng, bị giới hạn bởi kinh tuyến 17 (đường tận cùng) và 150° kinh độ Tây. Khu vực phía đông bắc của hình ảnh bị chiếm đóng bởi Đại dương Bão tố. Trong phần sáng của bức ảnh, Biển Đông với những ngọn núi bao quanh nổi bật.

Hình 5. Hình vẽ thể hiện khung cảnh ở phía xa của Mặt trăng và thể hiện các đặc điểm chính của ảnh chụp từ trạm tự động Zond-8.

Ngày lấy mẫu: 24/10/1970
THỜI GIAN CHỤP ẢNH: 1449min-2416min
KHOẢNG CÁCH TỐI THIỂU DO Mặt Trăng 1100 km
KHOẢNG CÁCH LÀM Trái đất 400.000 km
DIỆN TÍCH ĐÃ HOÀN THÀNH 2.000.000 km2

liên kết trường hấp dẫn với các điểm mốc trên bề mặt Mặt Trăng, nghiên cứu bản chất vật lý, cấu trúc địa chất của nó, v.v. cần phải biết hình dạng của bề mặt vật lý. Chụp ảnh Mặt trăng bằng các trạm Zond giúp có thể thu được hình ảnh của cả phần nhìn thấy được và phần vô hình của bề mặt Mặt trăng từ Trái đất. Và điều này giúp có thể xây dựng mô hình không gian của Mặt trăng và xác định hình dạng của nó.

Một mục tiêu khác của việc chụp ảnh Mặt trăng từ Tàu thăm dò là nghiên cứu chi tiết hơn bề mặt Mặt trăng, đặc biệt là địa hình ở phía xa của Mặt trăng (Hình 5), cũng như nghiên cứu các đặc tính phản chiếu của bề mặt Mặt trăng.

Dựa trên các tài liệu ảnh thu được từ các trạm Zond tự động, lần đầu tiên một bản đồ địa hình ở phía xa của Mặt trăng đã được biên soạn. Hóa ra mặt vô hình của người bạn đồng hành của chúng ta là

30

Hình 6. Simmok của vùng nước phía đông Đại Tây Dương được lấy từ trạm quỹ đạo khoa học Salyut-3. Ở phía trước, trên vùng biển rộng lớn, từng đám mây tích hình voi cuộn xoáy, hòa vào nhau. Ở hậu cảnh, một đám mây dày đặc với những khoảng trống không đáng kể trên mặt biển sẽ kéo dài đến tận chân trời. Tông màu của hình ảnh đám mây ở mức thấp: từ trắng xanh đến trắng sáng.

Hình 7. Trên hình ảnh không gian của Trái đất, thu được khi chụp từ trạm quỹ đạo Salyut-3, xuyên qua các đám mây trong không gian, Vùng đất thấp Casipian, phần phía bắc và phía đông của Biển Caspian, lòng sông Volga, đồng bằng của nó. Ở phía đông của đồng bằng sông Volga, trên nền mây che phủ liên tục, có thể nhận thấy một điểm tối - “mắt” lốc xoáy (mây có áp suất thấp nhất). Thảm thực vật ở vùng đất thấp Casipian trên Chimka có thể được phân biệt bằng các đốm đỏ và tím, mặt nước biển Caspian có màu xanh lam, mây từ xám nhạt đến trắng sáng.

Cảnh quan hoàn toàn khác với cảnh quan mà các nhà thiên văn học đã thấy và nghiên cứu. Trên đó có rất ít biển, tất cả không gian đều bị chiếm giữ bởi những kẻ có học thức xấu xa. Sự khác biệt trong cấu trúc của hai bán cầu Mặt trăng này vẫn chưa tìm ra lời giải thích toàn diện và các nhà khoa học phải đối mặt với một nhiệm vụ khác, jusha lời giải,.

Trong số các thí nghiệm khoa học và ứng dụng bài toán có việc biên soạn các bản đồ Mặt trăng chính xác hơn, cần thiết cho nghiên cứu khoa học, định hướng trong các chuyến bay trong không gian cislunar và liên kết quỹ đạo của tàu vũ trụ với bề mặt vật lý của Mặt trăng.

Việc quan sát trực tiếp Trái đất từ ​​độ cao cũng giúp thu được một số dữ liệu quan trọng. Ví dụ, từ những bức ảnh chụp bề mặt trái đất, có thể xác định

32

Trong cuốn sách tuyệt vời của W. Bragg “Thế giới ánh sáng. Thế giới âm thanh"*) mô tả một thí nghiệm màu đỏ chứng minh một đặc tính kỳ lạ của mắt. Trải nghiệm này đơn giản đến mức mỗi bạn có thể lặp lại ở nhà mà không gặp nhiều khó khăn.

Thiết bị tiến hành thí nghiệm (Hình 1) có thể được lắp ráp từ các bộ phận của bộ công trình cơ khí. Trên đế nhôm (1) có kích thước 15 × 60 × 110 mm, cố định động cơ vi điện (2) bằng giá đỡ bằng nhôm sắt. Để đáp ứng hai ống thoát nước (3) cao khoảng 60 mm, lắp trục (4) bằng ròng rọc (5) có đường kính trong 15-25 mm. Một đĩa bìa cứng (6) có đường kính 100-140 mm trước tiên phải được gắn vào đầu trục (nếu trục có ren, đĩa có thể được cố định bằng hai đai ốc và vòng đệm). Trên đế của thiết bị, đặt một giá đỡ bằng nhôm (7) có bóng đèn (8). Đặt vòng cao su (9) vào trục động cơ vi điện và ròng rọc. Kết nối động cơ với một hoặc hai pin đèn pin nối tiếp. Theo khuyến nghị của Bragg, đĩa phải quay với tốc độ 2-3 vòng/phút. Tốc độ quay của đĩa có thể được điều chỉnh trong giới hạn nhất định bằng cách điều chỉnh ròng rọc bằng ngón tay.

*) W. Bragg. Thế giới ánh sáng. Thế giới âm thanh, 1967.

Sau khi thử nghiệm sơ bộ, chuẩn bị thiết bị để thử nghiệm. Trong một đĩa bìa cứng, cắt một khu vực ở mặt kia ở khoảng 45° và che một nửa khu vực còn lại bằng giấy trắng và nửa còn lại bằng giấy đen (Hình 2). Che bóng đèn thủy tinh của bóng đèn pin, được thiết kế cho điện áp 3,5 V, bằng sơn nitơ đỏ (bạn có thể thử dùng sơn móng tay). Khi sơn khô, vặn bóng đèn vào lỗ trên giá đỡ thiết bị và nối dây dẫn với các electron của nó. Đặt một chiếc đèn bàn trước đĩa cách đĩa 20-50 cm để ánh sáng từ đèn chiếu vào đĩa. Kết nối bóng đèn với pin và bật động cơ vi điện.

Nếu hướng quay của đĩa sao cho với mỗi vòng quay của bóng đèn, phần màu đen của đĩa trước tiên chồng lên nhau, thì ở bất kỳ độ chiếu sáng và tốc độ quay nào, bóng đèn sẽ có màu đỏ. Nếu bằng cách thay đổi cực tính của nguồn điện, bạn thay đổi hướng quay, tức là làm cho đĩa quay sao cho bóng đèn trước tiên chồng lên phần trắng của nó, thì bóng đèn sẽ có… xanh lục hoặc xanh lam! Nếu các điều kiện thí nghiệm (tốc độ quay của đĩa, lớp sơn phủ bóng đèn) không được chọn đủ tốt thì bóng đèn trông không có màu xanh lam mà có màu xanh lam nhạt pha chút trắng.

Hãy cố gắng ràng buộc kết quả của kinh nghiệm. Đĩa quay nhanh và khi khe trong đó ở phía trước bóng đèn đỏ, võng mạc của mắt sẽ ngay lập tức nhận được hình ảnh màu đỏ của bóng đèn. Nếu khi đĩa quay tiếp, bóng đèn bị chặn bởi nửa màu trắng của nó thì ánh sáng trắng khuếch tán của đèn bàn sẽ chiếu vào võng mạc của mắt. Màu trắng ảnh hưởng đến võng mạc trong thời gian dài hơn màu đỏ. Sau khi nửa đĩa đen quay trước mắt, quá trình này được lặp lại. Trong trường hợp này, bóng đèn được coi là màu xanh lam.

33

Bài tập
độc giả của chúng tôi

1. Trong thời tiết ẩm ướt, khi di chuyển nhanh trên kích thước không có “cánh”, phía sau kích thước vẫn còn một sọc lớn do các tia nước bắn vào nó. Tại sao?
   G. Barvayann (Ochamchira)

2. Khi chơi bida, đôi khi xảy ra tình huống khiến bạn có thể đánh hai quả bóng về các hướng khác nhau chỉ bằng một đòn. Có thể làm điều này với vị trí của các quả bóng như trong hình không?
   Yu. Balatsov (Moscow)

3. Một thấu kính phẳng-lồi mỏng, có tiêu cự $F$ trong không khí, được lắp vào thành của bể cá, trong đó một chất lỏng có chiết suất $n$ được đổ vào. Một chùm ánh sáng song song tới trên mặt cầu của thấu kính sẽ trùng nhau ở khoảng cách bao nhiêu so với thấu kính?

A. Shvedov (Zaporozhe)

34

A. Egorov

Phương trình và trước đó

1. Ví dụ đơn giản

Để tính gần đúng căn bậc hai của một số dương $a$, hãy tiến hành như sau (ví dụ: xem cuốn sách “Đại số và nguyên tắc phân tích 9”, trang 83).

Một số tùy ý $a_0 > \sqrt{a}$ được lấy làm giá trị gần đúng đầu tiên. Giá trị gần đúng tiếp theo $a_1$ được tìm thấy theo công thức

$$a_1 = \frac{1}{2} \left( a_0 + \frac{a}{a_0} \right),$$

bởi $a_1$ tìm $a_2$:

$$a_2 = \frac{1}{2} \left( a_1 + \frac{a}{a_1} \right)$$

và nói chung

$$a_n = \frac{1}{2} \left( a_{n-1} + \frac{a}{a_{n-1}} \right).$$

Trình tự $\{a_n\}$ giết chóc một cách đơn điệu và bị hạn chế. Theo định lý Weierstrass, nó có giới hạn. Hãy để $\lim_{n \to \infty} a_n = s$. Khi đó $s > 0$ và $s = \frac{1}{2} \left( s + \frac{a}{s} \right)$, tức là $s^2 = a$, và vì $s > 0$, nên $s = \sqrt{a}$.

Nếu chúng ta lấy $n$ đủ lớn thì $a_n$ sẽ khác khá ít so với $\sqrt{a}$.

Bài tập

1. Chứng minh rằng dãy $\{a_n\}$ tiêu diệt một cách đơn điệu.
2. Ước tính sự khác biệt $|a_n - \sqrt{a}|$.

Hãy để chúng tôi phân tích phương pháp tính các giá trị gần đúng liên tiếp cho $\sqrt{a}$. Trình tự $\{a_n\}$ được chỉ định lặp lại: $a_n = \varphi(a_{n-1})$, trong đó $\varphi(x) = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right)$. Sau khi thiết lập sự hội tụ của chuỗi $\{a_n\}$, ta kết luận rằng giới hạn $s$ của nó thỏa mãn đẳng thức $s = \frac{1}{2} \left( s + \frac{a}{s} \right)$, tức là nó là nghiệm của phương trình

$$\varphi(x) = x.$$

(1)

Hình 1 thể hiện đồ thị của hàm $y = \frac{1}{2} \left( x + \frac{2}{x} \right)$, $x > 0$ và thể hiện ba số hạng đầu tiên của dãy

$$\begin{cases} a_0 = 2, \\ a_n = \frac{1}{2} \left( a_{n-1} + \frac{2}{a_{n-1}} \right). \end{cases}$$

Bài tập 3. Biểu thị $a_n$ theo $n$ nếu $a_0 = 1$ và a) $a_n = a \cdot a_{n-1}$; 6) $a_n = a^a_{n-1}$; 7) $a_n = \sqrt{a + a_{n-1}}$; 8) $a_n = \frac{a_{n-1}}{\sqrt{1 + a_{n-1}^2}}$; 9) $a_n = \frac{1}{1 + a_{n-1}}$.

2. Phương trình và trước đó

Chúng ta cần giải phương trình (1), trong đó $\varphi$ là một hàm nào đó. Hãy lấy một số tùy ý $a_0 \in D(\varphi)$ và xác định chuỗi $\{a_n\}: a_n = \varphi(a_{n-1})$ một cách lặp lại. Giả sử $a_n \in D(\varphi)$ cho tất cả $n \in \mathbb{N}$.

Hình 1.

35

Định lý 1. Nếu dãy $\{a_n\}$ hội tụ về s và hàm φ liên tục với $x = s$ thì s là nghiệm của phương trình (1).

Định lý này thực tế đã được áp dụng trong đoạn 1. Việc lựa chọn phép tính gần đúng đầu tiên (hoặc “số hạng 0” của dãy) được quyết định bởi thông điệp thuận tiện - $a_0$ là điều đương nhiên để gần với nghiệm ban đầu hơn.

Như sẽ thấy ở phần sau, một nghiên cứu thông minh về khả năng giải được của phương trình (1) đôi khi cho phép chúng ta giải được câu hỏi về sự hội tụ của dãy tương ứng $\{a_n\}$.

Bài tập
4. Khảo sát sự hội tụ của dãy:

a) $a_n = \sqrt{a + a_{n-1}}, a_0 = 0$;
b) $a_n = \frac{1}{1 + a_{n-1}}, a_0 = 1$.
5. Nêu cách tìm nghiệm dương của phương trình
$$x^3 - x - 1 = 0.$$ (1)
6. (Với phương pháp tính gần đúng $\sqrt[3]{a}$.) Dãy số $\{a_n\}$ được xây dựng theo quy tắc sau:
$$\begin{cases} a_0 = a > 0, \\ a_n = \frac{1}{3}(2a_{n-1} + \frac{a}{a_{n-1}}). \end{cases}$$
Chứng minh rằng $\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt[3]{a}$.
7. Hãy để $a > 0, b > 0, p > 0, q > 0$. Hãy xem xét trình tự
$$\frac{a}{b}, \frac{b}{pa+qb}, \frac{pa+qb}{pb+q(pa+qb)}, \dots, \frac{a_n}{b_n}, \dots$$
ở đâu $a_{n+1} = b_n, b_{n+1} = pa_n + qb_n$. Có giới hạn cho trình tự này không?
(Điều này bài toán do độc giả V. Fischuk của chúng tôi đề xuất.)

3. Ví dụ chính

Phần còn lại của bài viết dành cho vấn đề về sự hội tụ của chuỗi
$$\begin{cases} \alpha_0 = 1, \\ \alpha_n = a^{\alpha n-1}, \end{cases}$$ (2)
tức là 1, $a, a^a, a^{a^a}, a^{a^{a^a}}, \dots$. Tất nhiên, sự hội tụ này phụ thuộc vào tham số $a$.

Hóa ra là đối với $a$ lớn, việc tìm ra sự tồn tại của giới hạn là tương đối dễ dàng, còn đối với những cái nhỏ -

khó khăn hơn nhiều. Hãy đưa ra một vài ví dụ.

Với $a = 2$ ta thu được dãy
1; 2; 4; 16; 65536; …
(cô ấy, rất/không, không đồng ý).

Khi $a = 1,5$ là dãy
1; 1,5; 2,106; 2,349; 2,592; …
$\alpha_{11} \approx 10,99; \alpha_{12} \approx 86,163; \alpha_{13} > 10^{16}$
(cô ấy cũng phân kỳ, nhưng ở đây ngay từ đầu nó đã không nhiều/không).

Đối với $a = \sqrt{2} = 1,4142$ …—chuỗi
1; $\sqrt{2}$; 1,632; 1,761; …
$\alpha_8 \approx 1,966; \alpha_{25} \approx 1,9999$ (ở đây, như chúng ta sẽ thấy, giới hạn tồn tại và bằng 2).

Tại $a = 1$
1, 1, 1, …
(giới hạn, rất/không, tồn tại và bằng 1).

Tại $a = 0,5$
1; 0,5; 0,707; 0,613; 0,654; …
$\alpha_{12} \approx 0,641206; \alpha_{13} \approx 0,641177$.

Tại $a = 0,01$
1; 0,01; 0,955; 0,0123; 0,945; 0,013; …
$\alpha_{15} \approx 0,013; \alpha_{16} \approx 0,941$ (chúng tôi sẽ bình luận về hành vi của 2 chuỗi cuối ở cuối bài viết).

Từ Định lý 1, chúng ta biết rằng nếu $\lim_{n \to \infty} a_n = s$ thì s là nghiệm

36

phương trình
$$a^x = x$$
(hàm số $x \rightarrow a^x$ liên tục tại mọi điểm trên trục số). Do đó, nếu phương trình (3) đối với một số $a$ không có nghiệm thì dãy tương ứng (2) sẽ phân kỳ.

Hình 2 thể hiện đồ thị của hàm $y = a^x$ và các số hạng đầu tiên của dãy (2) - cho $a > 1$ và giả định rằng phương trình (3) có nghiệm; trong Hình 3 - tương tự cho $0 < a < 1$.

4. $a > 1$
   Đối với $a > 1$, chuỗi (2) tăng đơn điệu (kiểm tra!).

Định lý 2. Với $a > 1$, dãy (2) hội tụ moeda và molъko moeda khi phương trình (3) có ít nhất một nghiệm. Trong trường hợp này, giới hạn của nó bằng nghiệm nhỏ hơn của phương trình (3).

Bằng chứng. Chúng ta vừa lưu ý rằng nếu dãy (2) hội tụ thì giới hạn của nó là nghiệm của phương trình (3). Bây giờ phương trình (3) có nghiệm. Chúng ta hãy biểu thị bằng $s_0$ căn nhỏ nhất. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $\alpha_n < s_0$ cho tất cả $n \in \mathbb{N}$. Thật dễ dàng để nhận thấy điều đó $s_0 > 1 = \alpha_0$. Nếu $s_0 > \alpha_n$ thì $s_0 = a^{s_0} > a^{\alpha_n} = a_{n+1}$. Từ định lý Weierstrass, chuỗi (2) hội tụ và hiển nhiên là đến $s_0$. Định lý đã được chứng minh.

5. $0 < a < 1$
   Trong trường hợp này, chuỗi (2) bị giới hạn: $0 < \alpha_n < 1$. Thật không may, nó không đơn điệu. Trên thực tế, vì $0 < a < 1$, hàm $y = a^x$ loại bỏ và $\alpha_2 = a^a < 1 = \alpha_0$, do đó, nếu phương trình (3) đối với một số $a$ không có nghiệm, tức là $\alpha_3 > \alpha_1$. Tiếp theo, $\alpha_4 = a^{\alpha_3} < a^{\alpha_1} = \alpha_2$, tức là $1 = \alpha_0 > \alpha_2 > \alpha_4$. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, dễ dàng chứng minh được rằng dãy con $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5, \dots, \alpha_{2n-1}, \dots$ của dãy chúng ta tăng đơn điệu, còn dãy con $\alpha_0, \alpha_2, \alpha_4, \dots, \alpha_{2n}, \dots$ là dãy giết đơn điệu. Trong trường hợp này, nó luôn là $\alpha_{2n} > \alpha_{2n-1}$. Theo định lý Weierstrass, mỗi dãy con này đều có giới hạn. Đặt $\lim_{n \to \infty} \alpha_{2n-1} = s_1$ và $\lim_{n \to \infty} \alpha_{2n} = s_2$. Rõ ràng là $s_2 \geq s_1$ và dãy con (2) sẽ hội tụ khi và chỉ khi $s_1 = s_2$ (chứng minh!).

Bạn có thể nói gì về các số $s_1$ và $s_2$? Vì $\alpha_{2n+2} = a^{a^{\alpha_{2n}}}$, $\alpha_{2n+1} = a^{a^{\alpha_{2n-1}}}$ và hàm $x \rightarrow a^{a^x}$ liên tục tại mọi điểm trên trục số nên các số $s_1$ và $s_2$ là nghiệm của phương trình (3).

Định lý 3. Các số $s_1$ và $s_2$ là tỉ số giữa nghiệm nhỏ và nghiệm lớn của phương trình (4).

Bằng chứng. Đặt $s$ là một nghiệm tùy ý của phương trình (4). Để chứng minh định lý, chỉ cần thiết lập $\alpha_{2n-1} < s < \alpha_{2n}$ cho mọi $n \in \mathbb{N}$ là đủ.

Trước hết, hãy lưu ý rằng $s < 1$. Thật vậy, nếu $s \geq 1$, thì theo $a^s > 0$, $a^{a^s} < 1$, tức là, $a^{a^s} \neq s$. Ngoài ra còn rất tiện lợi, $s > 0$. Từ $0 < s < 1$ theo sau $a^0 > a^s > a^1$, tức là $\alpha_0 > a^s > \alpha_1$. Vì vậy, $a^{\alpha_0} < a^{a^s} < a^{\alpha_1}$, tức là $\alpha_1 < s < \alpha_2$. Bước cảm ứng được thực hiện theo cách tương tự.

Hệ quả 1. Nếu phương trình (4) có nhiều hơn một nghiệm thì dãy (2) phân kỳ.

Hệ quả 2. Nếu phương trình (4) có nhiều hơn một nghiệm thì dãy (2) hội tụ và giới hạn

37

Hình 4.

dãy này là nghiệm của phương trình (3).

Dễ dàng thấy rằng mọi nghiệm của phương trình (3) cũng thỏa mãn phương trình (4). Nhưng đối với $0 < a < 1$, phương trình (3) rõ ràng có nghiệm (hãy vẽ đồ thị!). Điều này có nghĩa là đối với phương trình $a$ (4) như vậy phải có ít nhất một nghiệm.

Bài tập 8: Xét dãy $\alpha_0 = x > 0, \alpha_n = a^{\alpha n-1}$. $x$ dãy này hội tụ với điều kiện nào? (Xem xét riêng trường hợp $a > 1$ và $0 < a < 1$).

Vì vậy, câu hỏi về sự hội tụ của dãy (2) trùng với câu hỏi về số nghiệm của phương trình (3) đối với $a > 1$ và phương trình (4) đối với $0 < a < 1$.

6. Nghiên cứu phương trình (3) tại $a > 1$

Phương trình (3) tương đương với phương trình

$$\frac{\ln x}{x} = \ln a.$$ (Hình 4). Hàm này được xác định tại $x > 0$, đạt tối đa $1/e$ tại $x = e$, tiêu diệt ở $x > e$ và trả về ở $0 < x < e$.

Bài tập 9. Tiến hành nghiên cứu tương tự về hàm $y = \frac{\ln x}{x}$.

Do đó, đối với $\ln a > 1/e$, tức là $a > e^{1/e}$, phương trình (5) không có nghiệm.

Hình 5.

Đối với $0 < \ln a < 1/e$, tức là $1 < a < e^{1/e}$, phương trình (5) có hai nghiệm.

Tại $a = e^{1/e}$ nó có một gốc.

Chúng ta hãy lưu ý thêm rằng đối với $\ln a \leq 0$, tức là $0 < a \leq 1$, phương trình (5) có một nghiệm duy nhất.

7. Nghiên cứu phương trình (4) tại $0 < a < 1$

Chúng ta đã biết rằng tất cả các nghiệm của phương trình (4) đều nằm trong khoảng $[0; 1]$. Phương trình (4) tương đương với phương trình $a^x = \log_a x$, $x = \log_a \log_a x$ hoặc $x = \frac{1}{\ln a} \ln \frac{\ln x}{\ln a}$. Chúng ta hãy biểu thị hàm số bằng $\varphi$

$$\varphi(x) = \frac{1}{\ln a} \ln \frac{\ln x}{\ln a} - x.$$

Chúng ta muốn tìm ra có bao nhiêu nghiệm, tùy thuộc vào tham số $a$ mà phương trình $\varphi(x) = 0$ có, tương đương với phương trình (4). Để làm điều này, bạn cần đếm xem có bao nhiêu điểm giao nhau của đồ thị hàm số $\varphi$ với trục hoành.

Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng điểm $s_0$ rõ ràng thuộc về các giao điểm này, trong đó $s_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình (3), (5), hãy xem phần thay thế ở cuối đoạn văn. 6 và 5.

Hãy cùng nghiên cứu hàm $\varphi$.

Vì $\ln a < 0$, hàm $\varphi$ được xác định tại $0 < x < 1$. Tại $x \rightarrow 0$ (phải) $\varphi(x) \rightarrow -\infty$; tại $x \rightarrow 1$ (trái) $\varphi(x) \rightarrow +\infty$.

38

Hãy tìm cực trị của hàm số $f$; Để làm điều này, chúng tôi kiểm tra đạo hàm của nó:

$$\varphi'(x) = \frac{1}{x \ln x \ln a} - 1.$$

Đánh đồng nó bằng 0, ta thu được phương trình

$$x \ln x = \frac{1}{\ln a}.$$

(6)

Hình 5 thể hiện đồ thị của hàm $y = x \ln x$.

Bài tập 10. Khám phá hàm $y = x \ln x$ và vẽ đồ thị.

Chúng ta thấy rằng tại $x = 1/e$ hàm $y = x \ln x$ đạt mức tối thiểu bằng $-1/e$. Do đó, nếu $1/\ln a < -1/e$, tức là $\ln a > -e$ hoặc $a > e^{-e}$, thì phương trình (6) không có nghiệm. Vì vậy, đối với $e^{-e} < a < 1$, hàm dẫn xuất $f$ hoàn toàn lớn hơn 0, nghĩa là đối với các giá trị như vậy của $a$ thì hàm $f$ đang tăng nghiêm ngặt. Điều này có nghĩa là phương trình $f(x) = 0$ cho $e^{-e} < a < 1$ có một nghiệm duy nhất $s_0$ (đồ thị gần đúng của hàm $f$ cho $e^{-e} < a < 1$ được hiển thị trong Hình 6).

Nếu $a = e^{-e}$ thì $\varphi'(x) = 0$ cho $x = 1/e$ và $\varphi'(x) > 0$ cho tất cả những người khác $x \in [0; 1/e] \cup [1/e; 1]$.

Trong trường hợp này, $f$ cũng tăng nghiêm ngặt trong toàn bộ miền định nghĩa và phương trình $f(x) = 0$ vẫn có một nghiệm duy nhất $x = 1/e$ (đồ thị của hàm $f$ cho $a = e^{-e}$ được hiển thị trong Hình 7).

Vì vậy, nếu $e^{-e} \leq a < 1$, phương trình (4) có đúng một nghiệm.

Nếu $0 < a < e^{-e}$ thì phương trình (6) có hai nghiệm: $x_1$ và $x_2$ (Hình 5). Hơn nữa, với $x \in [0; x_1]$ $x_1$ [∪] $x_2$; 1 [đạo hàm của $\varphi'(x)$ là dương và tại $x \in [x_1; x_2]$ nó âm, do đó $x_1$ là điểm cực đại và $x_2$ là điểm cực tiểu của hàm $f$; Điều này có nghĩa là $\varphi$ tại $x \in [0; x_1]$ [tăng và tại $x \in [x_1; x_2]$ 1 [tăng và tại $x \in [x_1; x_2]$ thì giảm (hãy tìm hiểu!).

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh điều đó $s_0 \in [x_1; x_2]$. Để làm được điều này, chỉ cần chứng minh rằng $\varphi'(s_0) < 0$. chúng tôi có

$$\varphi'(s_0) = \frac{1}{s_0 \ln s_0 \ln a} - 1 = \frac{1}{(\ln s_0)^2} - 1$$

(kể từ $\frac{\ln s_0}{s_0} = \ln a$). Hãy chứng minh rằng $\ln s_0 < -1$ (khi đó $\varphi'(s_0) < 0$). Để làm điều này, chúng ta hãy quay lại hàm $y = \frac{\ln x}{x}$ (Hình 4). Vì nó tăng ở $0 < x < 1$ và $\ln a < -e$, nên nghiệm $s_0$ của phương trình (5) nằm ở bên trái của nghiệm của phương trình $\frac{\ln x}{x} = -e$, tức là ở bên trái của điểm $e^{-1}$. Vì vậy, $s_0 < 1/e$ và $\ln s_0 < -1$.

Vì vậy, về hàm $f$ bây giờ chúng ta đã biết rằng

1. $\varphi(x) \rightarrow -\infty$ tại $x \rightarrow 0$;
2. $\varphi(x) \rightarrow +\infty$ tại $x \rightarrow 1$;
3. $\varphi$ tăng trong khoảng $|0; x_1|$, tại điểm $x_1$ có ​​giá trị cực đại, giảm trong khoảng $|x_1; x_2|$, tại điểm $x_2$ có giá trị nhỏ nhất và tăng trở lại trong khoảng $|x_2; 1|$;

40

Vấn đề
lượng tử

M466—M470; F478—F482

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường hiện tại. Nanoblee khó khăn bài toán dấu hoa thị đã bị loại bỏ. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 12 năm 1977 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 16/21, tòa soạn tạp chí «Kvant».
Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết các số bài toán, lời giải bạn đang gửi, ví dụ: “M466, M467” hoặc “F478”. Lời giải bài toán cho từng môn học (toán và vật lý), cũng như các bài tập mới phải được gửi trong các phong bì riêng. Ngoài ra, vui lòng gửi Bài toán từ các số tạp chí khác nhau trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải).
Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết họ và tên, mã số trường và lớp mà bạn là giáo viên. Vui lòng gửi các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này.

M466. Trong số các đồng xu năm 1977, có 50 đồng là tiền giả. Mỗi đồng tiền giả chênh lệch với đồng thật 1 g (theo hướng này hay hướng khác). Có những cái cân của cái bát với một mũi tên biểu thị sự khác biệt về khối lượng của cái bát này và cái kia. Trong một lần cân, bạn cần tìm hiểu về một đồng xu được chọn là giả hay thật. Làm thế nào để làm điều này?

S. Fomin

M467. Điểm D và E chia đúng các cạnh AC, AB của tam giác ABC trong quan hệ |AD| : |DC| = |BE| : |EA| = 1 : 2. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại điểm O. Chứng minh góc AOC là góc vuông.

A. Krasnodemskaya

M468. Các điểm A, B, C và D của mặt phẳng sao cho với mọi điểm M của mặt phẳng này thì tích vô hướng của các vectơ $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ và $\vec{MC} \cdot \vec{MD}$ không bằng nhau. Chứng minh rằng $\vec{AC} = \vec{DB}$. Tuyên bố ngược lại có đúng không?

Yu. ionin

M469. a) Phương trình $x^4 + ax^3 + bx + c = 0$ có bốn nghiệm thực khác nhau. Chứng minh rằng $ab < 0$.

b*) Phương trình $x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{k-1}x^{n-k+1} + a_{k+1}x^{n-k-1} + \dots + a_n = 0$ có $n$ nghiệm thực khác nhau. Chứng minh rằng $a_{k-1}a_{k+1} < 0$.

V. Vavilov

M470*. Chứng minh đẳng thức

a) $\frac{1}{C_n^0} - \frac{1}{C_n^1} + \frac{1}{C_n^2} - \dots + \frac{(-1)^k}{C_n^k} + \dots + \frac{(-1)^n}{C_n^n} = \frac{(n+1)(1+(-1)^n)}{n+2}$;

41

6. $$\frac{1}{C_n^1} + \frac{1}{C_n^2} + \frac{1}{C_n^3} + \dots + \frac{1}{C_n^n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \left( \frac{2}{1} + \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} + \dots + \frac{2^n}{n} \right).$$

L. Kurlyandchik, A. Lisitsky

F478. Chính xác một khối lập phương như vậy nằm trên một khối lập phương nằm trên một bề mặt nằm ngang nhẵn và các khối lập phương hướng lên với các mặt song song của chúng. Tốc độ của khối lập phương đang tới trước khi va chạm được hướng một góc α so với các mặt bên (Hình 1). Các hình khối sẽ chuyển động như thế nào sau va chạm nếu hệ số ma sát giữa các mặt của cốc là μ?

F479. Để xác định thể tích chưa biết $V_1$ của hình trụ I, hãy lắp ráp sơ đồ như hình 2. Thể tích của hình trụ II là $V_2$ và $V_2 \ll V_1$.

Đầu tiên, hệ thống được bơm xuống áp suất $p_0$ gần bằng 0. Sau đó đóng vòi B lại và nạp khí vào xi lanh I đến áp suất $p_a$. Sau đó, van A đóng, van B mở và áp suất thiết lập trong hệ thống $p_1$ được thay đổi bằng đồng hồ đo áp suất C. Sau đó, khi van B đóng, xi lanh được đổ đầy khí trở lại đến áp suất $p_a$, van B mở và áp suất thiết lập trong hệ thống $p_2$ thay đổi. Thao tác này được lặp lại n lần. Chứng minh rằng tỉ số $\frac{p_n - p_0}{np_a}$ không đổi và bằng $\frac{V_2}{V_1 + V_2}$.

A. Mitrofanov

F480. Con tàu được điều khiển bởi một động cơ phản lực nước, phát ra dòng nước từ thân tàu với tốc độ u. Mỗi giây một khối nước μ được thải ra, được lấy từ sông. Ở vận tốc nào của tàu thì hiệu suất của hệ thống động lực là lớn nhất? Bỏ qua lực ma sát và lực cản nước.

F481. Trong một cục pin cũ gồm n pin mắc nối tiếp, điện trở trong của một trong các pin tăng mạnh và bằng $\rho = 10 \, r$, trong đó r là điện trở trong của pin thông thường. Xét e. d.s. tất cả các pin đều giống nhau, hãy xác định ở điện trở tải R nào thì nguồn điện được giải phóng khi tải sẽ không thay đổi nếu pin bị hỏng bị đoản mạch.

F482. Một giọt nước rơi đều trong không khí. Bán kính cong $R_1$ của bề mặt thả rơi ở điểm trên cùng của nó khác với bán kính cong $R_2$ ở điểm dưới cùng là bao nhiêu, nếu khoảng cách giữa các điểm này là $d = 2 \cdot 10^{-3} \, \text{m}$? Hệ số mặt nước là $\sigma = 7 \times 10^{-2} \, \text{H/m}$.

Lời giải bài toán M426—M430; F438—F441

M426. bảng của $n\times n$ các ô chứa đầy các số từ $1$ ĐẾN $n$ như trong Hình 1. Tại thời điểm nào $n$ bạn có thể chọn từ nó $n$ sao cho không có hai ô nào thuộc cùng một hàng hoặc cột và tất cả các số trong các ô đã chọn đều khác nhau?

figure
Hình 1.

M427. a) Chứng minh rằng tồn tại một số lẻ $n$ sao cho mọi số chẵn $k$ không có số nào trong dãy vô hạn

$$k^k+1,\ k^{k^k}+1,\ k^{k^{k^k}}+1,\ldots$$

không chia hết cho $n$.

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ đều tồn tại một số tự nhiên $k$ sao cho mỗi số hạng của dãy vô hạn

$$k+1,\quad k^k+1,\quad k^{k^k}+1,\quad\ldots$$

chia hết cho $n$.

M428. $(m-1)n+1$ mọi người tham gia Olympic. Chứng minh rằng trong số họ có $m$ người tham gia không biết nhau theo cặp hoặc có một người quen với ít nhất $n$ người tham gia Olympic. Liệu tuyên bố bài toán có còn đúng nếu số lượng người tham gia Olympic giảm đi một người?

42

Dễ dàng nhận thấy nếu $n$ là số lẻ thì điều kiện bài toán được thỏa mãn bởi các ô theo đường chéo đi từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải của bảng (các ô này đầu tiên chứa tất cả các số lẻ và sau đó là tất cả các số chẵn). Chứng minh rằng trong trường hợp $n$ chẵn không thể chọn được ô $n$ theo yêu cầu. Hãy đánh số các hàng của bảng từ dưới lên trên: $1,2,\ldots,n$ và các cột - từ trái sang phải. Chúng ta hãy biểu thị bằng $a_{ij}$ số ở giao điểm của cột thứ $i$ và hàng thứ $j$. Thật dễ dàng để chứng minh điều đó

$$a_{ij}= \begin{cases} i-j, & \text{если } i>j,\\ i-j+n, & \text{если } i\leq j. \end{cases}$$

Do đó, nếu tất cả các số $n$ $a_{ij}$ được lấy từ các hàng và cột khác nhau thì tổng của chúng phải chia hết cho $n$ ($i$ và $j$ chạy qua tất cả các giá trị từ $1$ đến $n$).

Mặt khác, nếu tất cả các số $n$ này khác nhau thì đây là các số $1,2,\ldots,n$. Tổng của chúng bằng nhau

$$\frac{n(n+1)}{2}$$

và khi $n$ chẵn thì nó không chia hết cho $n$. Điều này có nghĩa là trong trường hợp này không thể chọn các ô theo yêu cầu trong bài toán.

[Nhiều độc giả lầm tưởng rằng nếu tất cả các số $n$ được lấy từ các hàng khác nhau và các cột khác nhau thì đây nhất thiết phải là những số đứng chéo trên bàn (đi từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải) và cho rằng không thể có lựa chọn bắt buộc (với số chẵn $n$) chỉ trong trường hợp này.]

A. Nenashev

◆

a) Ví dụ: đây là số $n=3$. Thật vậy, vì $k$ là số chẵn nên tất cả các số $k^k$, $k^{k^k}$, … cũng là số chẵn và bất kỳ số hạng nào trong dãy của chúng ta đều có dạng $k^{2m}+1=(k^m)^2+1$, trong đó $m$ là số tự nhiên. Nhưng bình phương của bất kỳ số nguyên nào đều chia hết cho 3 hoặc có số dư là 1, vì vậy số $(k^m)^2+1$ không chia hết cho 3 với bất kỳ $m$ nào.

[Một số độc giả đã hiểu sai điều kiện bài toán a) và với mỗi $k$ tìm thấy giá trị của nó $n$.]

b) Đặt $k=2n-1$ và chứng minh rằng bất kỳ phần tử nào của dãy $k+1$, $k^k+1$, $k^{k^k}+1,\ldots$ đều chia hết cho $n$.

Trên thực tế, bất kỳ số nào trong số $k^k$, $k^{k^k}$, … có số lẻ $k$ đều là số lẻ, vì vậy bất kỳ số nào trong dãy của chúng ta đều có dạng $k^{2m+1}+1$ ($m$ là số tự nhiên) và chia hết cho

$$k+1=2n$$

$$\left[x^{2m+1}+1=(x+1)(x^{2m}-x^{2m-1}+x^{2m-2}-\ldots+(-1)^k x^k+\ldots+1)\right],$$

Q.E.D.

S. Lavrenchenko

◆

Đầu tiên, chúng ta hãy trả lời câu hỏi cuối cùng: nếu số người tham gia Olympic là $(m-1)n$ thì khẳng định bài toán là sai. Điều này được xác nhận bằng ví dụ sau: $(m-1)$ các đội gồm $n$ người tham gia từng đến Olympic và các thành viên của mỗi đội quen thuộc với nhau và bất kỳ hai người tham gia nào từ các đội khác nhau đều không quen biết nhau.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh khẳng định bài toán cho $(m-1)n+1$ người tham gia bằng quy nạp theo số $m$.

Đối với $m=2$ mệnh đề là hiển nhiên. Giả sử nó đúng với $m-1$ và chứng minh nó cho $m$. Chúng tôi sẽ chọn bất kỳ người tham gia Olympic nào. Anh ta biết ít nhất $n$ những người tham gia khác và sau đó không cần phải chứng minh bất cứ điều gì, hoặc anh ta biết

43

com với không quá (n-1) người tham gia. Trong trường hợp này, anh ta không quen với ít nhất (m-1)n-(n-1)=(m-2)n+1 người tham gia. Theo đề xuất giới thiệu, trong số họ có (m-1) những người tham gia không quen biết nhau theo cặp - trong trường hợp này, họ cùng với người đã chọn trước đó tạo thành một nhóm m người tham gia không quen nhau theo cặp; hoặc trong số họ có một người biết ít nhất n người tham gia Olympic khác. Tuyên bố đã được chứng minh.

E. Turkevich

M429. a) Phương trình có bao nhiêu lời giải?
[x] - 1977 {x} = 1978?
(Ở đây [x] là phần nguyên của x và {x} = x - [x].)
b) Chứng minh rằng với mọi p ≠ 0 và q phương trình [x] + p {x} = q có [|p|] hoặc [|p|] + 1 lời giải.

Hình 2.

Hình 3.

Đây là một trong những lời giải ngắn nhất được độc giả gửi đến. Cho p ≠ 1. (Trường hợp p=1 tầm thường: phương trình [x] + p {x} = q
(1) chuyển thành x = q.) Khi đó (1) tương đương

$$[x] + px - p[x] = q \Leftrightarrow [x] = \frac{px - q}{p - 1}.$$

Lấy y = (px - q)/(p - 1) cắt các cạnh của dải giới hạn bởi các đường thẳng y = x và y = x - 1 và kết luận đồ thị y = [x], tại các điểm A₀(q; q) và A₁(q - p + 1; q - p) (Hình 2 và 3; để tìm hoành độ x₀, x₁ của các điểm này các bạn chỉ cần giải phương trình px₀ - q = x₀(p - 1) và px₁ - q = (x₁ - 1)(p - 1)). Rõ ràng số lời giải của phương trình (2), tức là số đoạn thẳng nằm ngang y = h (h là số nguyên) cắt đoạn [A₀A₁] [(không có điểm A₁), bằng số số nguyên nằm giữa q và q - p (kể cả q, nếu là số nguyên, nhưng không bao gồm q - p). Bây giờ không khó để giảm đáp số xuống bài toán a): đoạn [1978; 1978 + 1977] chứa 1977 điểm nguyên, - và chứng minh câu bài toán 6): trên đoạn có độ dài bất kỳ |p| trục số nằm [|p|] hoặc [|p|] + 1 điểm nguyên.

Bạn có thể giải bài toán này bằng cách để lại x và {x} (“phần phân số” của x) trong phương trình. Một số độc giả đi theo hướng này đã mắc sai lầm khi xác định {x} cho x < 0 (lưu ý rằng {-0,1} = 0,9; {-√2} = -2 + √2, v.v.).

lời giải của chúng tôi là tốt vì trường hợp có dấu khác nhau của p (Hình 2 và 3) được xem xét đồng thời. Khi đã hiểu nó, bạn có thể kiểm tra nghiên cứu về tập lời giải của phương trình sau: ax + b [x] + c = 0 ( bài toán này đã được N. S. Petrkov gửi cho chúng tôi); Đừng quên xem xét các trường hợp đặc biệt khi lời giải lấp đầy toàn bộ khoảng hoặc tạo thành một chương trình số học vô hạn.

M430. a) Chứng minh rằng mọi rỗng viconvex trên đường thẳng và/hoặc mặt phẳng trên đường thẳng đều là rỗng 2S.
b) Chứng minh rằng mọi lỗ rỗng viconvex trong một lỗ rỗng thẳng đều là 2S.

Chúng ta hãy gọi đường kính của một hình lồi (hoặc một vật thể lồi) là một đoạn nối hai điểm, khoảng cách giữa chúng là lớn nhất (tất nhiên có thể có nhiều hơn một đường kính; có đường kính cho một đa giác lồi và một đa giác bằng một - nó sẽ là một đoạn nối các đỉnh lớn nhất ở xa nhau; có đường kính cho một tập giới hạn đóng tùy ý trên một mặt phẳng hoặc trong không gian, chúng ta sẽ rời khỏi đây mà không chứng minh).

a) Gọi [MN] là đường kính của một hình lồi F. Các đường thẳng đi qua các điểm M và N, vuông góc với đoạn MN sẽ đỡ hình F, nghĩa là F nằm hoàn toàn trong dải giới hạn bởi nó:

44

Đối với bất kỳ điểm nào $X$ nằm ngoài dải này, $|XM| > |MN|$ hoặc $|XN| > |MN|$. Chúng ta hãy thực hiện thêm hai phép phân phối lại của các đường này: các đường hỗ trợ chứa một số điểm $K$ và $L$ của hình $\Phi$ (Hình 4). Hình chữ nhật thu được $\Pi$ thỏa mãn điều kiện cần: nếu diện tích hình chữ nhật $\Pi$ bằng $s$ thì diện tích $\Phi$ không nhỏ hơn $S_{\triangle KMN} + S_{\triangle LMN} = s/2$.

6. Gọi $[MN]$ là đường kính của một vật lồi cho trước $T$, $\Phi$ là hình chiếu của vật lên mặt phẳng đỡ $\alpha$ đi qua đầu dưới $M$ của đường kính (chúng ta xét $[MN]$ theo chiều dọc, Hình 5, a). Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nếu chúng ta đặt hình $\Phi$ trong một hộp hình chữ nhật $\Pi$ chẳng hạn như trong bài tập $a$, thì một hình bình hành hình chữ nhật có đáy $\Pi$ và chiều cao $[MN]$ là hộp hình chữ nhật thấp hơn cho $T$. Chúng ta hãy thực hiện phép biến đổi sau với $T$: di chuyển từng đoạn $l \cap T$, trong đó $l$ là một đường thẳng đứng, hướng xuống dưới sao cho đầu dưới rơi trên mặt phẳng $\alpha$. Chúng tôi biểu thị sự kết hợp của các phân đoạn kết quả là $\hat{T}$ (Hình 6, a; Hình 5, b và 6, b hiển thị sự chuyển đổi của các phần riêng lẻ). Rõ ràng là các tập $T$ và $\hat{T}$ trùng khớp với nhau [đây là sự tương tự của lý do Cavalieri, đã được thảo luận ở «Kvant» Số 2 (bài của S. Pukhov) và số 5 (bài của V. Boltyansky), nhưng ở đây các vật thể giao nhau không phải bởi một họ mặt phẳng song song, mà bởi một họ các đường thẳng song song]. Hơn nữa, $\hat{T}$ chứa một hình nón có đáy $\Phi$ và chiều cao $[MN]$ - điều này dễ dàng chứng minh bằng cách xem xét các mặt cắt dọc. Nếu thể tích của hình hộp chữ nhật ta dựng là $V$ thì thể tích của hình trụ có đáy $\Phi$ và chiều cao $[MN]$ không nhỏ hơn $V/2$, và thể tích của hình nón không nhỏ hơn $(V/2)/3 = V/6$. Điều này có nghĩa là thể tích cơ thể của chúng ta không nhỏ hơn $V/6$.

N. Vasiliev

F438. Một thanh đồng chất nằm bên trong một hộp rỗng hình cầu. Chiều dài của thanh bằng bán kính của hình cầu. Hệ số thời gian là $\mu$. Điểm tốt nhất với đường chân trời có thể được tạo thành từ một cây gậy là gì?

Rõ ràng, cây gậy sẽ tạo một góc lớn nhất $\alpha$ với đường chân trời khi mặt phẳng của đường tròn lớn vẽ qua các điểm tiếp xúc của cây gậy với quả cầu là thẳng đứng.

Trong mặt phẳng này, thanh chịu tác dụng của lực hấp dẫn $Mq$, phản lực pháp tuyến của quả cầu $\vec{N}_1$ và $\vec{N}_2$, và lực ma sát $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ (Hình 7).

Cây gậy đứng yên nếu tổng các hình chiếu của các lực này theo một hướng bất kỳ và tổng mômen của các lực đối với một trục cố định bất kỳ bằng không. Chúng ta hãy viết điều kiện để thanh cân bằng trong hình chiếu lên phương của nó:

$$|\vec{N}_1| \cos \varphi - |\vec{N}_2| \cos \varphi + |\vec{F}_1| \sin \varphi + |\vec{F}_2| \sin \varphi - |\vec{Mg}| \sin \alpha = 0.$$

Chiếu các lực theo hướng, phân bố lại cho cây gậy, ta được

$$|\vec{N}_1| \sin \varphi + |\vec{N}_2| \sin \varphi - |\vec{F}_1| \cos \varphi + |\vec{F}_2| \cos \varphi - |\vec{Mg}| \cos \alpha = 0.$$

Viết phương trình mômen đối với trục, phân bố lại trên mặt phẳng vẽ và hình cầu đi qua tâm là thuận tiện:

$$|\vec{F}_1| R + |\vec{F}_2| R - |\vec{Mg}| R \sin \varphi \sin \alpha = 0.$$

Ở đây $\varphi = \pi/3$, $R$ là chiều dài của thanh, bằng bán kính của hình cầu. Với điểm gần đường chân trời nhất, bạn có thể tạo một cây gậy chiếu theo hướng của nó:

$$|\vec{F}_1| = \mu |\vec{N}_1| \text{ и } |\vec{F}_2| = \mu |\vec{N}_2|.$$

45

Giải hệ phương trình gót cuối cùng, chúng ta tìm được

$$tg \alpha_{\text{max}} = \frac{\mu}{\sin^2 \varphi - \mu^2 \cos^2 \varphi} = \frac{4\mu}{3 - \mu^2},$$

$$\alpha_{\text{max}} = \arctg \frac{4\mu}{3 - \mu^2}.$$

Bài toán có thể được giải theo cách tương tự bằng cách sử dụng cái gọi là “định lý ba lực”: nếu một vật ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của ba lực không song song tác dụng lên nó, thì đường tác dụng của các lực này cắt nhau tại một điểm.

Trong trường hợp của chúng ta, ba lực tác dụng lên cây gậy là lực hấp dẫn $\vec{Mg}$ và các phản lực sinh ra là $\vec{R}_1 = \vec{F}_1 + \vec{N}_1$ và $\vec{R}_2 = \vec{F}_2 + \vec{N}_2$ (Hình 8). Vì lực tremya ở góc lớn nhất $\alpha_{\text{max}}$ của trán gậy là lớn nhất nên lực $\vec{R}_1$ và $\vec{R}_2$ với bán kính của quả cầu vẽ tại các điểm tiếp xúc tạo thành cùng một góc $\beta = \arctg \mu$ (góc tremya).

Chúng ta hãy xem xét tam giác $ACB$, trong đó cây gậy là đáy và điểm $C$ giao điểm của các đường tác dụng của các lực là đỉnh đối diện. Tác dụng tuyến tính của trọng lực chia tam giác nói trên thành hai, có một cạnh chung có chiều dài $l$ (trung tuyến của tam giác $ACB$) và đổ bê tông các đáy có chiều dài $R/2$. Áp dụng định lý sin cho mỗi tam giác, ta có

$$\frac{\sin(\pi/2 + \alpha - \varphi - \beta)}{R/2} = -\frac{\sin(\varphi + \beta)}{l}$$

Và

$$\frac{\sin(\pi/2 - \alpha - \varphi + \beta)}{R/2} = \frac{\sin(\varphi - \beta)}{l},$$

ở đâu $tg \beta = \mu$ và $\varphi = \pi/3$.

Chia hai phương trình này cho nhau, ta được

$$\frac{\cos(\alpha - \varphi - \beta)}{\cos(\alpha + \varphi - \beta)} = \frac{\sin(\varphi + \beta)}{\sin(\varphi - \beta)},$$

từ đó chúng ta sẽ tìm thấy

$$tg \alpha = \frac{(1 + tg^2 \varphi) tg \beta}{tg^2 \varphi - tg^2 \beta} = \frac{4\mu}{3 - \mu^2}.$$

B. Bukhovtsev

F439. Đèn neon (NL) sáng lên khi hướng trên nó đạt giá trị $U_1$. Trong trường hợp này điện trở của bóng đèn không đáng kể. Khi ta đẩy chiều của đèn đến giá trị $U_2$ thì đèn sẽ bị kẹt và điện trở của nó lớn vô hạn. Đèn này được nối với mạch điện, như trong Hình 9. Xét $\gg U_1 > U_2$, hãy dựng đồ thị gần đúng về hướng trên tụ điện theo thời gian sau khi đóng công tắc $K$.

Sau khi đóng phím $K$, dòng điện sẽ chạy trong mạch và chiều đi vào tụ điện bắt đầu tăng dần cho đến khi đạt giá trị $U_1$, lúc đó bóng đèn neon sáng lên. Vì $\gg U_1$, chúng ta có thể giả sử rằng trong toàn bộ thời gian sạc của tụ điện, dòng điện $I = \mathcal{E}/R$ và hướng $U_C$ tới tụ điện tăng theo quy luật tuyến tính (Hình 10).

46

Tại thời điểm $t_1$, khi điện áp trên tụ bằng $U_1$ thì bóng đèn sẽ sáng. Thời gian $t_1$ có ​​thể được tìm thấy từ điều kiện

$$It_1 = Q = CU_1, \text{ и } t_1 = \frac{CU_1R}{\mathcal{E}}.$$

Khi bóng đèn sáng, tụ điện gần như phóng điện ngay lập tức đến điện áp $U_2$, lúc đó bóng đèn sẽ tắt. Sau đó, trong khoảng thời gian $t$, tụ điện sẽ lại sạc đến điện áp $U_1$, v.v.

Như vậy, điện áp trên tụ thay đổi tuần hoàn với một khoảng thời gian

$$\tau = \frac{(U_1 - U_2)CR}{\mathcal{E}}.$$

Mạch được xem xét được gọi là máy phát điện áp răng cưa.

V. Kopylov

F440. Ước tính giá trị gần đúng ở bán kính tối thiểu mà nó sẽ tạo thành một bầu không khí chứa, bao gồm chủ yếu là lớp và nitơ, nếu nhiệt độ bề mặt là $T = 300$ K. Mật độ trung bình của chất đó bằng $\rho = 4 \cdot 10^3$ kg/m³.

Chúng ta hãy xem xét một phân tử là một phần của khí quyển. Phân tử này sẽ được giữ ở gần bề mặt của các sơ đồ nếu động năng của nó không vượt quá thế năng của phân tử trong trường hấp dẫn của các sơ đồ:

$$\frac{mv^2}{2} \leqslant \gamma \frac{mM}{r}.$$

Ở đây $m$ là khối lượng của phân tử, $v^2$ là bình phương trung bình của tốc độ của nó, $\gamma$ là hằng số hấp dẫn, $M$ là khối lượng kế hoạch và $r$ là bán kính của nó. Ước tính bán kính tối thiểu của các kế hoạch có thể được kiểm tra bằng cách sử dụng động năng và thế năng theo thứ tự độ lớn:

$$\frac{mv^2}{2} \approx \gamma \frac{mM}{r_{\min}}.$$

Vận tốc bình phương trung bình của một phân tử khí có liên hệ với nhiệt độ $T$ của khí bằng sự tương ứng

$$\overline{v^2} = \frac{3kT}{m} = \frac{3RT}{\mu},$$

trong đó $k$ là hằng số Boltzmann, $R$ là hằng số khí phổ quát, $\mu$ là khối lượng mol của khí. Khối lượng của các kế hoạch có thể được biểu thị thông qua giá trị trung bình $\rho$ của mật độ vật chất của các kế hoạch và bán kính tối thiểu của nó:

$$M = \frac{4}{3} \pi r_{\min}^3 \rho.$$

Khi đó công thức (1) có thể được viết lại như sau:

$$\frac{3RT}{2\mu} \approx \frac{4}{3} \gamma \pi r_{\min}^2 \rho,$$

Ở đâu

$$r_{\min} \approx \sqrt{\frac{9RT}{8\gamma \pi \mu}}.$$

Từ công thức (2), suy ra rằng $r_{\min}$ phụ thuộc (các yếu tố khác bằng nhau) vào khối lượng mol $\mu$: $\mu$ càng lớn thì $r_{\min}$ càng nhỏ. Theo điều kiện bài toán khí quyển bao gồm chủ yếu là phân loại và nitơ, trong đó khối lượng mol bằng $\mu_k = 32 \cdot 10^{-3}$ kg/mol và $\mu_a = 28 \cdot 10^{-3}$ kg/mol tương ứng. Rõ ràng, để ước tính bán kính tối thiểu của các sơ đồ, chỉ cần tìm $r_{\min}$ là đủ, giả sử rằng bầu khí quyển chỉ bao gồm nitơ.

Vì thế,

$$r_{\min} \approx \sqrt{\frac{9RT}{8\gamma \pi \mu_a}} \approx 3 \cdot 10^5 \text{ м} = 300 \text{ км}.$$

C. Dê

47

F441. Giữa các bản của một tụ điện phẳng kín có một điện tích q mạnh. Diện tích các tấm lớn, khoảng cách giữa chúng bằng d. Điện tích ban đầu nằm cách tấm bên trái một khoảng $\frac{1}{3} d$.

Điện tích nào sẽ đi qua dây dẫn nối các bản tụ điện khi di chuyển điện tích q đến một vị trí mới mà tại đó nó cách bản bên phải một khoảng $\frac{1}{3} d$?

Hình 11.

Vì các bản tụ điện lớn nên các điện tích cảm ứng trên chúng sẽ không thay đổi khi điện tích q di chuyển song song với các mặt phẳng của các bản tụ (chúng ta bỏ qua các hiệu ứng cạnh). Điều này có nghĩa là điện tích của các bản tụ sẽ không thay đổi ngay cả khi điện tích q được “bôi” đều dọc theo mặt phẳng song song với các bản của tụ điện và ban đầu nằm cách bản bên trái một khoảng $\frac{1}{3} d$.

Hãy ký hiệu $q_1$ điện tích của bản bên trái của tụ điện. Khi đó điện tích của tấm bên phải (theo định luật bảo toàn điện tích) bằng $-q_1$. Điện tích $q_1$ và $-q_1$ của các bản tụ điện tạo ra một trường tĩnh điện giữa các bản có cường độ $|\vec{E}_1| = \frac{q_1}{\varepsilon_0 S}$ ($S$ là diện tích của mỗi bản) và bản có điện tích $q$ nằm bên trong tụ điện tạo ra một trường có cường độ $|\vec{E}| = \frac{q}{2\varepsilon_0 S}$ (Hình 11). Ở một mặt của tấm, hướng của các trường định hướng trùng nhau, và ở mặt kia chúng ngược chiều nhau. Do đó, hiệu điện thế $\Delta\varphi$ giữa các bản của tụ điện bằng

$$\Delta\varphi = \left( |\vec{E}_1| - |\vec{E}| \right) \frac{1}{3} d + \left( |\vec{E}_1| + |\vec{E}| \right) \frac{2}{3} d.$$

Mặt khác, vì các bản tụ đóng kín nên hướng giữa chúng bằng 0: $\Delta\varphi = 0$. Kể từ đây,

$$\frac{1}{3} d \left( \frac{q_1}{\varepsilon_0 S} - \frac{q}{2\varepsilon_0 S} \right) + \frac{2}{3} d \left( \frac{q_1}{\varepsilon_0 S} + \frac{q}{2\varepsilon_0 S} \right) = 0.$$

Từ phương trình này, chúng ta tìm được điện tích $q_1$:

$$q_1 = -\frac{1}{6} q.$$

Tương tự, bạn có thể tìm điện tích $q'_1$ của bản bên trái của tụ điện khi bản ở giữa (điện tích q) nằm cách nó một khoảng $\frac{2}{3} d$:

$$q'_1 = \frac{1}{6} q.$$

Do đó, khi tụ điện bên trong di chuyển một điện tích q (hoặc tấm tích điện) dọc theo dây dẫn nối các bản tụ thì một điện tích sẽ truyền qua

$$\Delta q = q'_1 - q_1 = \frac{1}{3} q.$$

I. Slobodetsky