“Điều đó không đúng…” - hiểu điều này như thế nào?

42

I. Nikolskaya

“Điều đó không đúng…” - hiểu điều này như thế nào?

Petya quyết định phát triển ý chí của mình và nói với Katya về điều này.
“Anh sẽ bắt đầu bằng việc nói,” anh tâm sự với em gái, “rằng anh đã lên kế hoạch cho kỳ nghỉ lễ và sẽ hoàn thành nó về mọi mặt.”
Vào đêm trước ngày lễ, Petya long trọng đưa cho Katya một mảnh giấy, trên đó viết gọn gàng:
Trong những ngày nghỉ, tôi chắc chắn sẽ đọc ít nhất một cuốn sách dày, đến viện bảo tàng hoặc một buổi thuyết trình, và nếu không có sự tan băng, tôi sẽ dành cả buổi tối của mình ở sân trượt băng.
Sau khi treo nghĩa vụ lên giường, Petya kiên quyết bắt tay vào làm việc ngay từ ngày đầu tiên của kỳ nghỉ lễ: anh bắt đầu đọc “Hồ sơ của một thợ săn” và mang “Ba nhạc sĩ” từ thư viện.
Ngày hôm sau anh đến Bảo tàng Động vật học để xem con voi ma mút Dima. Petya đã dành năm buổi tối liên tiếp ở sân trượt băng, nhưng sau đó trời trở nên lạnh hoàn toàn (+5°!) và sân trượt băng phải bị hủy bỏ. Đến cuối kỳ nghỉ, Petya đã đọc xong “Ghi chú của một thợ săn” và đọc được một nửa cuốn “Ba bản nhạc”. Nói chung, Petya hài lòng với bản thân, nhưng Katya đã phá hỏng tâm trạng của anh ấy.
“Nhân tiện, hôm qua hay hôm kia anh không có mặt ở sân trượt băng,” cô mỉa mai nhận xét.

• Tôi có lý do chính đáng! - Petya phẫn nộ.
  “Chà, ngoài ra, bạn không có mặt ở buổi giảng,” Katya nhắc nhở.
  Petya thực sự không thể chán việc đến nghe bài giảng, nhưng ngay cả ở đây anh cũng tìm thấy điều gì đó để phản đối: tại Bảo tàng Động vật học, anh nghe một hướng dẫn viên nói về voi ma mút.
  Katya tiếp tục: “Nhưng bạn đang đến bảo tàng hoặc một buổi diễn thuyết, không phải bảo tàng và một bài giảng cùng một lúc, “và bạn vẫn chưa đọc xong Ba nhạc sĩ.”
  Nhận thấy không thể tranh luận với Katya, Petya bắt tay anh và đi đến chỗ người bạn Mitya, một người rất nhạy cảm và cũng quan tâm đến logic toán học.
  Mitya muốn an ủi người bạn đang buồn bực của mình.
  “Chúng ta sẽ xem ai đúng, bạn hay Katya,” anh nói. “Bạn biết gì?”

43

gian lận - bạn chưa hoàn thành kế hoạch? Chúng ta cần phải tìm ra điều này.

Và họ bắt đầu tìm ra nó.

Mitya gợi ý: “Trước tiên hãy liệt kê những điều bạn đã lên kế hoạch. “Hãy làm theo cách này: hãy $D_1$ đọc ít nhất một cuốn sách, $D_2$ đi đến bảo tàng, $D_3$ đi nghe giảng, $D_4$ dành cả buổi tối ở sân trượt băng.” Bây giờ chúng ta hãy viết ra nghĩa vụ được thực hiện một cách ngắn gọn, cho biết các điều kiện sẽ không được tô bóng bằng chữ cái $\gamma$: $D_1$ và $(D_2$ hoặc $D_3)$ và (nếu $\gamma$ thì $D_4$).

• Kata khẳng định rằng bạn đã không thực hiện nghĩa vụ của mình, tức là anh ấy phủ nhận việc bạn đã hoàn thành nghĩa vụ đó. Điều này có nghĩa là gì - phủ nhận?

Trong trường hợp nào sự phủ định của một mệnh đề là đúng, và trong trường hợp nào nó là sai? Hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản. Giả sử bạn khẳng định rằng “Chapaev” là cầu thủ ở giữa trong câu lạc bộ của chúng tôi, và Katya, như mọi khi, lập luận, đảm bảo rằng “Chapaev” là cầu thủ ở giữa không được chơi trong câu lạc bộ của chúng tôi. Nếu nhận định của bạn đúng thì Katino sai, còn nếu bạn sai thì Katya đúng.

Câu phủ định $A$ là câu khẳng định $A$ không đúng; do đó, nếu $A$ đúng thì phủ định của nó là sai; nếu $A$ sai thì phủ định của nó là đúng. Phủ định của câu $A$ đôi khi được ký hiệu là $\overline{A}$ hoặc $\overline{A}$ (Hình 1).

Xây dựng sự phủ định của nó cho bất kỳ câu nào cũng dễ như bóc vỏ quả lê: chỉ cần đặt trước nó những từ sai, đó. Ví dụ: sự phủ định của đề xuất “Chapaev” ở giữa trong câu lạc bộ của chúng ta sẽ là

Рис. 1.

đề xuất Việc “Chapaev” là người ở giữa trong câu lạc bộ của chúng tôi là không đúng sự thật. Và câu Không đúng là tất cả học sinh giỏi của lớp chúng ta đều là vận động viên thể thao - phủ định của câu Tất cả học sinh giỏi của lớp chúng ta đều là vận động viên thể thao.

Tuy nhiên, đây là Sai, khiến cho đề xuất trở nên cồng kềnh và vụng về. Trong trường hợp đầu tiên, như bạn và tôi đã thấy, chúng ta có thể nói đơn giản hơn, cụ thể là “Chapaev” là người ở giữa trong câu lạc bộ của chúng ta, tức là ở đầu câu nó không được đặt trước vị ngữ của nó cũng không chính xác. Có thể làm tương tự trong trường hợp thứ hai?

• Tại sao không? - Petya ngạc nhiên. - Xin vui lòng: Tất cả học sinh xuất sắc của lớp chúng ta đều không phải là vận động viên.

Mitya lưu ý: “Nó nhắc nhở tôi rằng một câu và sự phủ định của nó không thể vừa đúng vừa sai cùng một lúc”.

Sau khi suy nghĩ, Petya nói:

• Đúng, và những câu Tất cả học sinh xuất sắc trong lớp chúng tôi đều là học sinh thể thao và Tất cả học sinh xuất sắc trong lớp chúng tôi không phải là học sinh thể thao đều sai: Katya là một học sinh xuất sắc và một vận động viên trượt băng nghệ thuật, nhưng bạn là một học sinh xuất sắc, nhưng bạn không chơi thể thao. Thật không may, một số học sinh xuất sắc trong lớp chúng tôi không phải là vận động viên.

“Vậy đấy,” Mitya xử lý, “bạn vừa đưa ra cách phủ định của câu. Tất cả học sinh xuất sắc trong lớp chúng tôi đều là vận động viên thể thao: Một số học sinh xuất sắc trong lớp chúng tôi không phải là vận động viên thể thao.” Câu này có ý nghĩa tương tự như câu Không phải tất cả học sinh xuất sắc của lớp chúng ta đều là vận động viên. Tính tổng quát là phủ định của mệnh đề Tất cả đều có tính chất $P$ là mệnh đề Một số x không có tính chất $P$.

Một cách tượng trưng nó được viết như thế này:

$$\forall x P(x) \Leftrightarrow \exists x P(x).$$

Dấu $\forall$ có nghĩa là tất cả mọi thứ (bất kỳ, bất kỳ, bất kỳ), và dấu $\exists$ có nghĩa là thần kinh (tồn tại, tồn tại, tồn tại).

Ví dụ: giả sử $x$ có nghĩa là một cái hồ và $P$ tính chất là nước ngọt; thì mục (1) sẽ có nghĩa là “Không phải tất cả các hồ đều là nước ngọt và một số hồ không phải là nước ngọt.”

Điều thú vị là sự phủ định của một câu có dạng $\exists x P(x)$ được xây dựng theo cách tương tự:

$$\forall x P(x) \Leftrightarrow \forall x P(x).$$