Kvant 1981, số 4 · Trang

KVANT 4
1981

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Các phi hành gia Valery Ryumin và Leonid Popov tại quả cầu sao trong cung thiên văn Yu. A. Trung tâm đào tạo phi hành gia Gagarin.

Ảnh của A. Mokletsov

1

TRONG PHÒNG:

2. Chiến công của Gagarin là bất tử
   Các nhà khoa học thu hút giới trẻ
3. A. Prosorov. Về việc đào tạo nhà khoa học trẻ
4. Nhiệm vụ không gian quốc tế
5. Liên vũ trụ nhỏ
6. V. Lanze, T. Lanze. Về sức mạnh đặc biệt của con người và Mặt trời (hay tại sao muỗi lại có máu lạnh)
7. Tôi. Yaelom. Nối hai điểm bằng một đoạn
   vòng tròn toán học
8. N. Vaguten. công thức diện tích
9. S. Sefibekov. Về diện tích của đa giác
   Vấn đề «Kvant»
10. Bài toán M676 — M680; F688 — F692
11. Lời giải bài toán M628, M630 — M635; F638 — F646
    «Kvant» cho học sinh nhỏ
12. Bài toán
13. G. Galperin. Bi-a
    Qua những trang sách giáo khoa
14. V. Ryzhik. Vấn đề như bài toán
    Xưởng của người nộp đơn
15. N. Rostovtsev. Các phép tính gần đúng ở lời giải bài toán trong vật lý
16. N. Rozov. Lời khuyên của độc giả
    Những lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1980
17. Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol
    Nghệ thuật lập trình
18. Yu. Pervin. Máy ba địa chỉ, một địa chỉ và… máy không địa chỉ
    Thông tin
19. V. Orlov. VII Cuộc gặp gỡ toàn Nga của các nhà đổi mới và thiết kế trẻ
20. Trang cờ vua
21. Đáp số, gợi ý, lời giải
    Thi đấu cờ vua (trang bìa thứ 3)
    Pha trộn (39, 57)

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1981

Về việc đào tạo nhà khoa học trẻ

Khi nói chuyện với giới trẻ, tôi thấy cần phải bàn đến vấn đề quyền bính của người lớn tuổi và sự độc lập của người trẻ.

Phải nói rằng câu hỏi cực kỳ quan trọng này nảy sinh từ rất sớm, khi một bạn trẻ lựa chọn lĩnh vực hoạt động. Sự lựa chọn này phải được thực hiện theo sự công nhận chứ không phải theo ý kiến ​​​​được chấp nhận của môi trường, vòng tròn chặt chẽ, không theo ý kiến ​​​​của phụ huynh, không phải từ những cân nhắc về đại diện. Người có thẩm quyền phải tôn trọng, bám sát ý kiến ​​của họ, tính đến và sử dụng kinh nghiệm của họ, nhưng không được làm theo một cách mù quáng, nếu bạn có khả năng tự suy nghĩ, nếu bạn có chính kiến ​​của riêng mình. Một điều nữa là ý kiến ​​​​riêng này không nên là ý thích hay sự tôn vinh chế độ, nó phải được hình thành một cách sáng tạo và thậm chí được bày tỏ với những người trẻ tuổi với sự cân nhắc đầy đủ và sâu sắc một cách tự nhiên về kinh nghiệm, quan điểm và lời khuyên từ những người có thẩm quyền đối với mình.

Phải nói rằng nếu không có khả năng tự suy nghĩ, không có khả năng phát triển quan điểm của mình, không có mong muốn bảo vệ quan điểm này thì dù cố gắng chọn công việc nghiên cứu làm một lĩnh vực hoạt động cũng vô nghĩa.

Nhưng bây giờ sự lựa chọn đã được thực hiện, sự giáo dục cần thiết để bắt đầu đã được nhận và chàng trai trẻ bắt đầu công việc nghiên cứu. Điều cực kỳ quan trọng đối với anh ấy bây giờ là duy trì và phát triển hơn nữa khả năng học hỏi, đặc biệt là

Viện sĩ Alexander Mikhailovich Prozhorov là người đoạt giải Nobel, Lenin và Giải thưởng Nhà nước, viện sĩ kiêm thư ký Khoa Vật lý và Thiên văn học đại cương, phó giám đốc Viện Vật lý P. N. Lebedev thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô.

Bài viết được in lại từ tuyển tập “Lênin. Khoa học. Tuổi trẻ” (M., “Nauka”, 1980).

4

suy nghĩ về kinh nghiệm của người lớn tuổi và phát triển thái độ của riêng bạn đối với trải nghiệm này.

Phải nói rằng vai trò của người quản lý là vô cùng quan trọng ngay trong giai đoạn đầu làm việc của một nhà khoa học trẻ. Việc người trẻ được gọi là nghiên cứu sinh, nghiên cứu sinh, nghiên cứu sinh hay nhà nghiên cứu cấp dưới không quan trọng. Việc xây dựng nghiên cứu bài toán có tầm quan trọng đặc biệt ở giai đoạn này. Ở đó, kinh nghiệm mà người lãnh đạo tích lũy được, sự hiểu biết trong ngày của vấn đề được tập trung, trực giác và nếu bạn thích, khả năng sáng tạo của anh ta được thể hiện. Ngoài ra, tại thời điểm thiết lập bài toán và trong những bước đầu tiên của quá trình nghiên cứu, người lãnh đạo còn có lượng kiến ​​thức cụ thể về chủ đề đang được phát triển nhiều hơn so với một nhà nghiên cứu trẻ. Nhưng nếu vấn đề được thực hiện một cách chính xác, nếu người lãnh đạo nuôi dưỡng tính độc lập ở chàng trai trẻ và anh ta thể hiện điều đó, thì đến lúc lời giải bài toán chính anh ta là người có kiến ​​​​thức cụ thể mạnh mẽ nhất về vấn đề này. Nhiệm vụ của người quản lý là tích cực quan tâm đến tiến độ nghiên cứu, quan sát cẩn thận phong cách và tính chất công việc của nhà nghiên cứu trẻ và chỉ đạo cẩn thận những nỗ lực của anh ta.

Ở đây một lần nữa câu hỏi về thẩm quyền và tính độc lập lại nảy sinh. Bạn không thể làm theo bài toán được đặt ban đầu. Nghiên cứu, quá trình tìm hiểu quy luật của thế giới khách quan, quá trình khám phá những hiện tượng mới đều có logic riêng. Khi tiến hành nghiên cứu cơ bản, cả một nhà lãnh đạo giàu kinh nghiệm và một nhà nghiên cứu trẻ có năng khiếu, sáng tạo đều phải tuân theo logic Pozanin này, không từ chối những cơ hội mới bất ngờ nảy sinh trong quá trình nghiên cứu và mạnh dạn đi theo những con đường mới dường như sẽ dẫn đến mục tiêu tương tự đầu tiên.

Một ví dụ tuyệt vời về sự kết hợp đúng đắn giữa tài khéo léo của một nhà lãnh đạo và sự kiên trì của một nhà nghiên cứu là việc S. I. Vavilov và P. A. Cherekov phát hiện ra một hiện tượng mà sau này được gọi là hiệu ứng Cherekov. Nhiệm vụ được S.I. Vavilov đặt ra là nghiên cứu hậu cần của chất lỏng dưới tác động của các electron nhanh. Rất nhanh chóng, người ta phát hiện ra rằng nó có ánh sáng yếu, đây không phải là tạp chất hậu cần và nói chung không phải là chất hậu cần dưới tác động của điện tử. Có vẻ như cuộc nghiên cứu đáng lẽ phải dừng lại. Xét từ góc độ công việc bài toán được giao thì nó đã đi vào ngõ cụt. Nhưng P. A. Cherekov cũng theo đuổi sự độc lập trong tư duy. Do đó, một hiện tượng yếu mới đã được chuyển thành một hiệu ứng mạnh, như chúng ta đã biết, hiệu ứng này đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong vật lý hiện đại. Phải nói rằng tất cả những điều này diễn ra với sự hỗ trợ hết mình của Viện sĩ S. I. Vavilov, người đứng đầu công trình nghiên cứu sau đại học của P. A. Cherekov.

Rất thường xuyên, một nhà nghiên cứu trong công việc của mình phải vượt qua một hiện tượng tâm lý có thể gọi là quyền lực của dư luận, vốn đóng vai trò bảo thủ. Đây là sự chuyển đổi khó khăn nhất. Chỉ một nhà khoa học có thể suy nghĩ độc lập, người đã phát triển bản thân, kể cả dưới ảnh hưởng của một giáo viên thực nghiệm và chiến thuật, khả năng hình thành quan điểm của riêng mình và khả năng bảo vệ quan điểm này, mới có thể vượt qua thành công sự biến đổi đó.

5

Một ví dụ điển hình là sáng tạo của Viện sĩ P. L. Kapitsa và việc ông đưa vào sản xuất chất làm mát tăng áp. Tất cả các chuyên gia về máy làm mát sâu, tất cả các công ty hoạt động trong lĩnh vực này đã phá sản, đều phản ứng với trường hợp của P. L. Kapitsa một cách đơn giản là không nghiêm túc. Chỉ có sự kiên trì, tính xác thực, tài năng của một nhà vật lý và kỹ sư thực nghiệm, cùng sự hiểu biết sâu sắc về vật lý của các quá trình đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong việc kỳ vọng về chất khí mới cho phép P. L. Kapitsa giải quyết hoàn toàn vấn đề được đặt ra.

Những ví dụ nổi bật này đề cập đến các công trình được trao giải Nobel về vật lý. Đây là điểm nổi bật của tác phẩm và đó là lý do tại sao chúng được dùng làm ví dụ minh họa cho việc sử dụng tư duy đơn giản: không thể tưởng tượng được công việc khoa học hiệu quả nếu không có tư duy độc lập và điều này phải được học từ khi còn nhỏ.

Phải nói rằng vai trò của người quản lý không làm cạn kiệt việc đưa ra bài toán và định hướng công việc của nhà nghiên cứu trẻ. Tương tự như vậy, một người trẻ không chỉ phải làm việc chăm chỉ trong nhiệm vụ trước mắt, tiếp thu kinh nghiệm của người lớn tuổi và chỉ phát triển tính độc lập của mình. Công việc nghiên cứu hiện đại phần lớn là hợp tác. Công việc nghiên cứu được thực hiện trong các phòng thí nghiệm lớn, thường công việc được thực hiện trên nhiều chủ đề khác nhau, tuy nhiên, được kết nối bởi một “mục tiêu bao trùm” chung lớn. Và ở đây, điều cực kỳ quan trọng là phát triển thiện chí và sự giúp đỡ lẫn nhau trong tình đồng chí, có thể làm hài lòng những thành công của nhau, hỗ trợ và chỉ trích lẫn nhau, chỉ trích lẫn nhau, đặt lợi ích của vấn đề lên hàng đầu, để có thể đưa ra những lời chỉ trích và nhìn nhận nó một cách chính xác. Tất cả điều này cần phải được học.

Không thể đánh giá quá cao vai trò của một nhà lãnh đạo có thẩm quyền trong việc tạo ra và duy trì bầu không khí thực sự sáng tạo trong nhóm. Mặt khác, chính các nhà nghiên cứu trẻ là những người tạo nên một đội ngũ đông đảo và do tuổi trẻ của họ nên họ là một phần đầy hứa hẹn. Vì vậy, trình độ đạo đức của họ quyết định phần lớn đến bầu không khí đạo đức của đội. Trong vấn đề giáo dục đạo đức của tập thể, quyền lực của một người lãnh đạo thực thụ là điều không thể chối cãi.

Phải nói rằng chủ nghĩa tập thể và hệ thống đánh giá giáo dục đúng đắn tại các hội thảo khoa học là vô cùng hiệu quả. Người lãnh đạo phải tiến hành hội thảo theo cách không xâm phạm mà nghiêm túc để giới trẻ thấy thiện chí và ủng hộ cái mới, nguyên tắc và khách quan, yêu cầu cao và phản biện mang tính xây dựng. Mặt khác, chính tại các cuộc hội thảo, các nhà khoa học trẻ nên học cách không cô lập bản thân chỉ trong bài toán của mình, mà chỉ trong chính bản thân họ, nên học cách có được cái nhìn rộng rãi về các quan điểm và tầm nhìn, nên làm phong phú thêm kinh nghiệm của mình bằng trải nghiệm về hàng hóa.

Những điều trên áp dụng cho những khía cạnh phát triển nhân cách của nhà khoa học được kết nối trực tiếp bởi mối quan hệ giáo viên-học sinh. Trong những mối quan hệ này, quyền lực của giáo viên và sự độc lập của học sinh quan trọng hơn.

Nói tóm lại, uy quyền của giáo viên và sự độc lập của học sinh là cần thiết đối với cả học sinh cuối cấp và học sinh cuối cấp, để nhóm nghiên cứu nói chung thành công.

7

Bài luận ảnh của chúng tôi được dành tặng cho ba phi hành đoàn vũ trụ quốc tế đã làm việc trên trạm vũ trụ hiếu khách Salyut 6 của Liên Xô vào năm 1980, do Leonid Popov và Valery Ryumin chủ trì. Các phi hành đoàn này bao gồm Valery Kubasov và nhà du hành vũ trụ người Hungary Bertalan Farkas (26/5 - 3/6), Viktor Gorbatko và nhà du hành vũ trụ Việt Nam Phạm Tuân (23/6 - 31/6), Yuri Romanenko và nhà du hành vũ trụ người Cuba Arnaldo Tamayo Mendez (18/9 - 26/9).

Trở lại năm 1976, Liên Xô đã đưa ra ý tưởng về các chuyến bay chung của các phi hành đoàn vũ trụ quốc tế của các nước xã hội chủ nghĩa. Sự hỗ trợ thân thiện của các chuyên gia của chúng tôi đã đảm bảo việc đào tạo nhanh chóng thành công cho các nhà khoa học vũ trụ nước ngoài.

Nhờ thực hiện chương trình nghiên cứu khoa học và kỹ thuật sâu rộng do các nhà khoa học Liên Xô và các nước xã hội chủ nghĩa cùng phát triển, đã thu được rất nhiều thông tin có giá trị sẽ mang lại sự hỗ trợ to lớn cho nền kinh tế quốc dân của các nước thuộc khối thịnh vượng xã hội chủ nghĩa.

Ảnh 1. Valery Kubasov và Bertalan Farkas gần thiết bị mô phỏng trạm vũ trụ Salyut.
Ảnh 2. Victor Gorbatko và Phạm Tuân trong phòng tập.
Ảnh 3. Yuri Romanenko và Arnaldo Tamayo Mendez thực hành tiếp đất.
Ảnh 4. Leonid Popov và Valery Ryumin gần khớp mông.
Ảnh 5. Cuộc gặp ở Zvezdny. Với một bó hoa Arnaldo Tamayo Mendez.

V. Leshkovtsev
Ảnh của A. Mokletsov

8

Liên vũ trụ nhỏ

Ủy ban Trung ương Komsomol, Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, Bộ Giáo dục Liên Xô, Ủy ban Giáo dục Kỹ thuật và Dạy nghề Nhà nước Liên Xô và “Tri thức” của Hiệp hội Liên minh, cùng với Liên đoàn Du hành vũ trụ Liên Xô và Triển lãm Nền kinh tế quốc gia Dostina của Liên Xô, được tổ chức từ tháng 2 đến tháng 11 năm 1981, Cuộc thi toàn liên minh dành cho sinh viên trường học và ngành nghề hoặc Dự án thí nghiệm không gian tốt nhất, dành riêng cho lễ kỷ niệm 20 năm của Yu. Chuyến bay của A. Gagarin. Cuộc thi có tên là “Liên vũ trụ nhỏ”. Nó được thực hiện nhằm phát triển hơn nữa hoạt động nhận thức, trí tưởng tượng, đào sâu định hướng sáng tạo khoa học và kỹ thuật có ích cho xã hội của sinh viên, chuẩn bị cho họ làm việc, thúc đẩy môi trường của học sinh và sinh viên dạy nghề ở Liên Xô và các nước xã hội chủ nghĩa trong việc giải phóng không gian bên ngoài.

Cuộc thi có thể có sự tham gia của cả cá nhân sinh viên và các đội trẻ đam mê khoa học công nghệ, được các chuyên gia quan tâm và có thể triển khai trong những năm tới.

Người tham gia cuộc thi có thể phát triển và cung cấp:

— các thí nghiệm khoa học với sự trợ giúp của chúng bạn có thể thu được kiến ​​thức mới về thiên văn học, vật lý, hóa học, sinh học, địa lý y tế, địa vật lý và các ngành khoa học khác;

• các thí nghiệm và đề xuất kỹ thuật nhằm cải thiện công nghệ vũ trụ hiện có (sử dụng các bộ phận và phụ kiện mới, cải thiện điều kiện sống và làm việc của các phi hành gia tại nhà ga, tổ chức tiếp cận của họ), tạo ra các hệ thống mới để phóng vào quỹ đạo, hệ thống năng lượng và thông tin liên lạc, các phương tiện di chuyển phi hành gia và hàng hóa trong không gian và trên các thiên thể, cũng như sử dụng trong các thiết bị và dụng cụ không gian được sử dụng trên Trái đất;
  — thí nghiệm kỹ thuật nhằm tạo ra sản xuất công nghiệp trong không gian (hàn kim loại, phát triển tinh thể, sản xuất hợp kim);
  — các thí nghiệm ứng dụng liên quan đến việc sử dụng các cơ hội khám phá không gian cho lời giải nền kinh tế quốc gia bài toán. Ví dụ như địa chất, nông lâm nghiệp, thông tin liên lạc, hàng hải, bảo vệ môi trường, khí tượng. Nhóm này bao gồm các đề xuất sử dụng công nghệ vũ trụ tiên tiến trên Trái đất.

Những điều sau đây có thể được đề xuất cho cuộc thi:

— ý tưởng tạo ra công nghệ vũ trụ mới, tiến hành thí nghiệm hoặc nghiên cứu, đảm bảo giá trị và tính khả thi của chúng; phát triển các đề xuất kỹ thuật hoặc thiết kế sơ bộ kèm theo bản vẽ và mô tả; mô hình, sơ đồ, dụng cụ, thiết kế các thiết bị, hệ thống thí nghiệm với các thông số cần thiết.

Các dự án đủ điều kiện tham gia cuộc thi là những dự án có thể được thực hiện trong cabin của một tàu vũ trụ tự do, ngoài không gian, trên bề mặt các hành tinh hoặc các thiên thể khác, các dự án về thiết bị lính đánh thuê liên quan đến phi hành gia, các đề xuất sử dụng trong điều kiện trên mặt đất của các phương tiện hiện chỉ được sử dụng trong điều kiện không gian.

Tất cả các tác phẩm phải được gửi đến Ban tổ chức Trung ương trước ngày 20 tháng 9 năm 1981. Các đề xuất tiến hành thí nghiệm kỹ thuật, đặc điểm tóm tắt và hình ảnh bố cục, mô hình, thiết bị được gửi đến Trạm Công nghệ Trẻ Trung tâm của Bộ Giáo dục RSFSR (103055, Moscow, Tikhvinskaya St., tòa nhà 39). Ý tưởng và dự án thí nghiệm khoa học kỹ thuật - đến Cung điện Thành phố Moscow theo bản vẽ và học sinh (117334, Moscow, đường cao tốc Vorobyovskoe, tòa nhà 11). Nếu ý tưởng về một thí nghiệm khoa học bị vi phạm và có sẵn thiết bị tương ứng, thì mô tả về thiết bị sẽ được gửi cùng với tuyên bố về ý tưởng.

Tác phẩm phải được thiết kế sao cho có thể trưng bày tại triển lãm. Đây có thể là một cuốn album, một cuốn sổ tay có đính kèm các hình vẽ, một bức ảnh bố cục hoặc một mô hình có kèm theo văn bản đóng góp.

Cần nêu rõ họ, tên, họ, nơi ở, nghề nghiệp của tác giả (lớp và số trường, khóa học dạy nghề, cơ sở ngoài trường, bộ phận của hội khoa học), người đứng đầu hoặc cố vấn cho tác phẩm.

Các tác giả của tác phẩm hay nhất sẽ được gửi đến Moscow để tham dự vòng chung kết của cuộc thi, được tổ chức vào tháng 11 năm 1981. Chúng tôi đang quan sát các đề xuất thú vị được chuẩn bị để thực hiện ở giai đoạn hiện tại, sẽ được đưa vào chương trình nghiên cứu không gian, cũng như để trình diễn tại Triển lãm Thành tựu Kinh tế của Liên Xô.

Tất cả những người tham gia ở giai đoạn cuối sẽ được trao bằng tốt nghiệp và huy hiệu cho sinh viên. Các thí nghiệm sẽ được tổ chức cho họ tại Star City, Bảo tàng Du hành vũ trụ và các cuộc gặp gỡ với các phi hành gia và nhà khoa học. Đối với mỗi lĩnh vực của cuộc thi, 3 người chiến thắng đã được xác định. Họ sẽ được trao giải thưởng cá nhân của Yu. A. Gagarin, K. E. Piolkovsky, S. P. Korolev, M. V. Keldysh, thi thể và huy hiệu được nâng lên trong không gian.

(Cuối cùng xem trang 42)

9

W. Lange, T. Lange

Về sức mạnh cụ thể của con người và Mặt trời
(hoặc tại sao muỗi lại có “máu lạnh”)

Dòng năng lượng từ Mặt trời là rất lớn. Từ các phép đo địa vật lý, cho thấy ngay cả ở các tầng trên của bầu khí quyển Trái đất, ở khoảng cách rất lớn gần 150 triệu km tính từ Mặt trời, mỗi mét vuông nằm vuông góc với tia mặt trời sẽ nhận được 1,4 kJ từ Mặt trời mỗi giây. Giá trị này được gọi là hằng số mặt trời và thường được ký hiệu bằng chữ I. Biết rằng I = 1,4 kJ/(m²·s) = 1,4 kW/m2, không khó để tìm được tổng công suất bức xạ mặt trời $P_1^*$). Để làm điều này, chỉ cần nhân hằng số mặt trời với diện tích của một hình cầu được mô tả xung quanh Mặt trời với bán kính $R = 150 000 000$ km là đủ:

$$P_1 = I \cdot 4\pi R^2 \approx 4 \cdot 10^{26} \text{Bt.}$$

Tất nhiên, khả năng năng lượng của con người khiêm tốn hơn nhiều lần. Sức mạnh trung bình $P_2$ của một người đang phát triển có thể được ước tính khá chính xác bằng lượng thức ăn anh ta tiêu thụ mỗi ngày. Như đã biết, những người không lao động nặng nhọc sẽ nhận được khoảng 12 MJ từ thực phẩm hàng ngày. Hầu như toàn bộ năng lượng được dùng để duy trì nhiệt độ không đổi của cơ thể con người và cuối cùng được tạo ra bởi con người trong không gian xung quanh. (Chỉ một phần rất nhỏ trong số 12 MJ mà một người nhận được)

*) $P_1$ còn được gọi là tổng dòng năng lượng mặt trời. Khi đó I có thể được định nghĩa là mật độ dòng năng lượng mặt trời ở khoảng cách tính từ Mặt trời bằng bán kính quỹ đạo Trái đất.

10

dành cho việc thực hiện công việc cơ khí). Chia 12 MJ cho độ dài ngày (86.400 s), chúng ta có
$P_2 \approx 140$ Thứ ba.

Do đó, với tư cách là một máy tạo năng lượng, Mặt trời mạnh hơn con người khoảng $3 \cdot 10^{24}$ lần. Điều bất ngờ hơn nữa là kết quả của việc so sánh lũy thừa riêng (nghĩa là trên một đơn vị khối lượng) của chúng. Khối lượng của $M$ Mặt trời là khoảng $2 \cdot 10^{30}$ kg, khối lượng của $m$ con người được coi là 80 kg. Sau đó
$$P_1:M=2 \cdot 10^{-4} \text{ Вт/кг},$$
$$P_2:m=1,75 \text{ Вт/кг}$$

— sức mạnh cụ thể của một người hóa ra lớn hơn gần 10.000 lần so với Mặt trời!

Kết quả mà chúng tôi đạt được thoạt nhìn có vẻ hoàn toàn không hợp lý. Tuy nhiên, điều này thực sự đúng.

“Nghịch lý” này được giải thích thế nào? Tại sao Mặt trời - lò phản ứng nhiệt hạch giả định này - lại kém hơn về công suất cụ thể so với con người, năng lượng được cung cấp bởi các phản ứng hóa học “yếu” hơn nhiều so với phản ứng hạt nhân?

Đáp số không khó để trả lời câu hỏi này nếu chúng ta chấp nhận rằng vật chất nhiệt và Mặt trời được giải phóng ít nhiều đều nhau trong toàn bộ tập. Do đó, tốc độ giải phóng của một cơ thể tỷ lệ thuận với thể tích của cơ thể đó, hay nói cách khác là với một khối lập phương có kích thước tuyến tính. Tốc độ truyền nhiệt tỷ lệ thuận với diện tích bề mặt của cơ thể, tức là bình phương của kích thước tuyến tính. Nó sẽ trở thành rằng cơ thể càng lớn thì tốc độ giải phóng của cơ thể cần thiết để duy trì một nhiệt độ nhất định càng thấp.

Thể tích của Mặt trời khoảng $10^{27}$ m$^3$, diện tích bề mặt của nó là ~ $10^{18}$ m$^2$. Các thông số tương ứng của cơ thể con người là ~ $10^{-1}$ m$^3$ và ~ $1$ m$^2$. Do đó, tỷ lệ thể tích của Mặt trời và con người là ~ $10^{28}$, và tỷ lệ diện tích bề mặt của các vật thể này là $10^{18}$. Nói một cách hình tượng, trên một đơn vị thể tích của Mặt trời, bề mặt tự do ít hơn khoảng 10 tỷ lần so với diện tích của một người. Do đó, không có gì đáng ngạc nhiên khi mặc dù thực tế là quá trình “trao đổi chất” của mặt trời diễn ra với tốc độ chỉ 0,2 mW/kg nhưng nhiệt độ trên bề mặt Mặt trời vẫn lên tới 6000 độ.

Chúng ta hãy minh họa mối liên hệ giữa kích thước, tốc độ giải phóng năng lượng và nhiệt độ cơ thể bằng các ví dụ sau đây từ đời sống của thế giới động vật.

Nhiệt độ cơ thể của động vật có vú không khác nhau nhiều. Đặc biệt, chúng gần giống nhau ở cả một con voi và một con chuột nhỏ hữu ích. Tuy nhiên, tốc độ bài tiết trong cơ thể voi ít hơn khoảng 30 lần. Nếu nhiệt tỏa ra bên trong cơ thể voi với tốc độ tương đương với tốc độ của chuột, thì nhiệt tỏa ra sẽ không có thời gian thoát ra khỏi cơ thể voi đủ nhanh để duy trì nhiệt độ bình thường và con voi sẽ “nướng” trong chính làn da của mình.

Động vật máu nóng càng nhỏ thì tốc độ bài tiết cụ thể (nghĩa là trên một đơn vị khối lượng) của cơ thể càng lớn để bù đắp sự mất mát và duy trì nhiệt độ cơ thể đảm bảo sức sống bình thường của sinh vật, thì càng phải hấp thụ nhiều thức ăn (lại trên một đơn vị khối lượng). Cậu bé trong câu chuyện cổ tích nổi tiếng dành cho trẻ em hẳn là cực kỳ háu ăn: với tỷ lệ cơ thể giống như một người bình thường, cậu sẽ cần lượng thức ăn gấp 20 lần cho mỗi 1 kg khối lượng.

Loài động vật có vú nhỏ nhất trên Trái đất, chuột Eto-Nga, chỉ nặng 1,5 g nhưng ăn nhiều gấp đôi mỗi ngày. Nếu con chuột này không được ăn dù chỉ vài giờ, nó sẽ chết. Hầu như tất cả các thời kỳ đều bị chim ruồi (loài chim nhỏ nặng khoảng 2 g, sống ở Nam Mỹ) chiếm giữ để tìm kiếm và hấp thụ thức ăn. Chim ruồi có thể chịu đựng được thời gian nghỉ ngơi dài trong hoạt động này chỉ vì nhiệt độ cơ thể của chúng giảm mạnh trong thời gian này.

12

I. Yaelom

Nối hai điểm bằng một đoạn

Người Hy Lạp cổ đại hiểu toán học chủ yếu là hình học. Ví dụ, họ đã chứng minh đẳng thức đại số $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ bằng cách sử dụng hình vẽ (Hình 1). Ví dụ, ngày nay, toán học đang nhanh chóng trở thành đại số – đại số, trong mối quan hệ với hình học, đang trả thù. Trong những năm gần đây, việc trình bày hình học thường dựa trên phép tính này hoặc phép tính khác (ví dụ: phép tính vectơ). Một trong những phép tính rất đơn giản nhưng bất ngờ này sẽ được thảo luận trong bài viết.

Nhân điểm và hình dạng

Đoạn có đầu $A$ và $B$ thường được biểu thị bằng ký hiệu $AB$ (Hình 2). Mục này gợi ý thuật ngữ không mong muốn: chúng tôi gọi đoạn $AB$ là tích của các điểm $A$ và $B$. Tương tự, tích αβ của các hình α và β là tổng tròn của tất cả các đoạn $AB$, trong đó $A \in \alpha$, $B \in \beta$, tức là tích tròn của tất cả các tích có thể có của các điểm của hình α với các điểm của hình β (Hình 3). Chúng tôi chắc chắn rằng không có cách nào tích số điểm và số không mong đợi này bằng tích số thông thường.

Các tính chất của phép nhân điểm như vậy là gì? Những điều đầu tiên là hiển nhiên:

(a) Nhân điểm đi lại:

$$AB=BA$$

(b) Nhân điểm liên kết:

$$(AB)C=A(BC)$$

cho bất kỳ điểm nào $A, B$ và $C$.

Trên thực tế, tích $(AB)C$ là hợp của tất cả các đoạn nối các điểm của đoạn $AB$ với điểm $C$ (Hình 4,a) và tích $A(BC)$ là hợp của các đoạn nối $A$ với các điểm của đoạn $BC$ (Hình 4,b). Do đó, $(AB)C=A(BC)=ABC$, trong đó $ABC$ là một tam giác có các đỉnh $A, B, C$.

Ở đây sẽ thuận tiện cho chúng ta gọi hợp của các hình α và β là tổng của chúng; theo đó, cùng nhau α và β chúng ta sẽ viết α+β.

(c) Phép nhân các điểm có tính phân phối đối với phép cộng của chúng:

$$(A+B)C=AC+BC$$

cho bất kỳ điểm nào $A, B$ và $C$.

Điều này là rõ ràng, vì tích của một cặp điểm $A+B$ và một điểm $C$ là hợp của các đoạn $AC$ và $BC$ (Hình 5).

Tính chất sau đây của phép nhân điểm khác với tính chất của phép nhân số đã được dạy cho chúng ta:

(d) Phép nhân dấu chấm giống hệt nhau:

$$AA=A$$

cho bất kỳ điểm nào $A$.

Thật vậy, đoạn $AA$ có các đầu được hợp nhất chỉ là điểm $A$.

Tính chất (a) - (c) của phép nhân điểm chuyển sang các số tùy ý:

(A) Nhân các số liệu một cách giao hoán:

$$\alpha\beta=\beta\alpha.$$

(B) Nhân các số liệu liên kết:

$$(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma).$$

Hình $(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)$ được ký hiệu phù hợp là αβγ; nó đại diện cho sự kết hợp của tất cả các tam giác có thể có $ABC$, trong đó $A\in \alpha$, $B\in \beta$, $C\in \gamma$.

13

Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Hình 5.
Hình 6.
(C) Phép nhân các số có tính phân phối đối với phép cộng của chúng:
$(\alpha + \beta)\gamma = \alpha\gamma + \beta\gamma$
(Hình 6).
Tuy nhiên, nói chung, tính bình thường của phép nhân các số liệu không có chỗ đứng. Người ta chỉ có thể nói rằng
(D) Tích của bất kỳ hình nào với chính nó đều chứa hình này:
$\alpha\alpha \supset \alpha$.
Hình 7 cho thấy hình $\alpha\alpha$ có thể không giống với $\alpha$. Hơn nữa, dễ dàng nhận thấy điều đó đối với bất kỳ hình nào $\alpha$
$\alpha^n \subset \alpha^{n+1}$, trong đó $\alpha^n$, như thường lệ, có nghĩa là tích $\underbrace{\alpha\alpha \dots \alpha}_{n\text{ раз}}$.
Bài tập

1. Đặt $A, B, C$ và $D$ là các điểm tùy ý (mặt phẳng hoặc khoảng trắng). Chứng minh rằng
   $(AB)(CD) = (AD)(BC) =$
   $= (AC)(BD) = A(BCD) = B(ACD) =$
   $= C(ABD) = D(ABC)$.
   Tích của bốn điểm này là gì (nó có thể được biểu thị đơn giản bằng $ABCD$ không có dấu ngoặc đơn)?
2. Chứng minh rằng $(AB)(AC) = ABC$.
3. Các số liệu $a)(A+B)(A+C); 6)(A+B)(C+D);$ thể hiện điều gì?
   $b)(A+B+C)D; 7)(A+B+C)(D+E)$?
   (Trong các bài toán 6) - d) xét riêng trường hợp tất cả các điểm thuộc cùng một mặt phẳng và khi đây là các điểm tùy ý trong không gian.)
4. Tích của a) một điểm và một đường tròn là gì; 6) điểm và vòng tròn;$$b) điểm và hình tam giác; 7) các điểm và đường viền của tam giác; 8) dấu chấm và hình vuông; e) hai đường tròn; g) hai hình tam giác; h) hai hình vuông; i) hình tròn và hình vuông?
5. Tích của hai đường thẳng là bao nhiêu nếu chúng a) song song; 6) giao nhau; c) giao phối với nhau?

Khi $\alpha\alpha = \alpha$
Trong lập luận và đại số, những con số có $a \cdot a = a$ đóng một vai trò đặc biệt. Rõ ràng là chỉ có số 1 và 0, đáng chú ý ở nhiều khía cạnh khác, mới có đặc tính này.

14

Trong hình học, cũng rất thú vị khi xem xét cụ thể những hình $\alpha$ mà $\alpha^2 = \alpha \alpha = \alpha$. Mỗi hình như vậy được đặc trưng bởi thực tế là nó thuộc về bất kỳ đoạn nào nối hai điểm của hình này (Hình 8). Những số liệu như vậy, như bạn biết, được gọi là lồi.

Định nghĩa của một hình lồi cũng có thể được đưa ra dưới dạng tao nhã sau: một tập hợp các điểm $\alpha$ được gọi là lồi nếu nó đóng dưới phép nhân các điểm, nghĩa là cùng với hai điểm bất kỳ $A$ và $B$, hình $\alpha$ cũng chứa tích $AB$ của các điểm này.

Thật dễ dàng để đưa ra một hình phẳng $\beta$ mà $\beta^2$ không lồi. Người ta có thể chứng minh rằng với mọi hình phẳng $\beta$ thì hình $\beta^3$ là lồi; nó được biểu thị bằng hình lồi nhỏ nhất chứa $\beta$ và được gọi là bao lồi của $\beta$. Đối với hình $\beta$ nằm trong không gian ba chiều, bao lồi sẽ là $\beta^4$.

Nói chung, đối với bất kỳ hình $\beta$ nào nằm trong không gian nhật thực $n$ chiều, hình $\beta^{n+1}$ là lồi và do đó tất cả các hình $\beta^{n+2}, \beta^{n+3}, \dots$ đều trùng với $\beta^{n+1}$.

Lý thuyết về số lồi chiếm một vị trí nổi bật trong toán học ngày nay.

Bài tập

6. Chứng minh rằng tích của hai số lồi là lồi.

7. Các hình $\beta^2; \beta^3; \beta^n$ biểu thị điều gì nếu $\beta$ là hợp của: a) ba điểm trên mặt phẳng; b) bốn điểm trong không gian; c) các đỉnh của một hình ngũ giác đều; d) một đường tròn và một điểm không nằm trong mặt phẳng của đường tròn và được chiếu trực giao vào tâm của nó.

Ở đâu có phép nhân, ở đó có phép chia

Trong lĩnh vực số, phép chia được định nghĩa là phép toán nghịch đảo của phép nhân: số $q$ được gọi là thương của các số $a$ và $b$ (ký hiệu: $q=a/b$) nếu $a$

15

Có tích của $b$ và $q$. Nói cách khác, các mục $q=a/b$ và $a=bq$ có cùng ý nghĩa. Tương tự, chúng ta thực hiện thao tác chia các điểm làm nghịch đảo cho phép nhân của chúng: nếu $A \neq B$ thì với $A/B$ chúng ta biểu thị tập hợp các điểm $Q$ mà $A \in BQ$; Theo định nghĩa, chúng ta cũng đặt $A/A=A$.

Theo định nghĩa của phép nhân điểm, điều kiện $A \in BQ$ có nghĩa là $A$ thuộc đoạn $BQ$ (Hình 9); do đó, điểm $Q \in A/B$ nằm trên đường đi qua $A$ và $B$ và nằm ở phía bên kia của $A$ so với điểm $B$. Vì vậy, thương $A/B$ của hai điểm là một tia có điểm bắt đầu là $A$, phần tiếp theo của nó đi qua đường $B$. Chúng ta cũng có thể nói rằng $A/B$ là bóng do “vòng” $A$ tạo ra, được chiếu sáng bởi “đèn lồng” $B$ (Hình 10).

Chúng ta định nghĩa thương $\alpha/\beta$ của hai hình $a$ và $b$ là tên của tất cả các tia $A/B$, trong đó $A \in \alpha, B \in \beta$, tức là sự kết hợp của tất cả các điểm riêng có thể có của hình $a$ thành các điểm của hình $b$ (Hình 11). Ví dụ: nếu $A$ là một điểm thì $\alpha/A$ là bóng của hình $a$, được chiếu sáng bởi “đèn lồng” $A$ (Hình 12).

Như dễ thấy (xem Hình 13-17), đối với mỗi ba điểm $A, B$ và $C$, mối quan hệ sau là hợp lệ (hai điểm đầu tiên dựa trên các thuộc tính của số):

$$(A/B)/C = A/(BC),$$
$$(A+B)/C = (A/C) + (B/C),$$
$$A/(B+C) = (A/B) + (A/C),$$
$$(AB)/C = (A/C)(B/C)$$
$$A/(BC) = (A/B)(A/C).$$

Rõ ràng là đối với mọi hình $a$ thì việc bao gồm $\alpha/\alpha \supset \alpha$ là hợp lệ. Mối quan tâm chung là các số liệu $\lambda$ trong đó $\lambda/\lambda = \lambda$. Chúng ta sẽ gọi những số liệu đó là tuyến tính (xem Hình 18).

Trận chiến

8. Các số liệu $A)$ $(ABC)/D; 6)$ $(AB)/(CD); 8)$ $A/(BCD)?$ thể hiện điều gì?

9. Các số liệu $\alpha/\alpha; (\alpha/\alpha)/\alpha; [(\alpha/\alpha)/\alpha]/\alpha; ...$ thể hiện điều gì?

nếu $\alpha$ là giao của ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng?

10. Viết ra, sử dụng các phép tính nhân và chia các điểm, các vùng mà các điểm $A$ và $B$ phân chia đường thẳng;

6. ba đường thẳng nối các điểm $A, B$ và $C$ theo cặp chia mặt phẳng;

c) bốn mặt phẳng nối ba điểm cho trước $A, B, C$ và $D$ chia không gian.

Trong cũ. 11-13 các ký hiệu sau được áp dụng: $A$ - dấu chấm; $\lambda, \lambda_1, \lambda_2$ - thẳng; $\pi, \pi_1, \pi_2$ - máy bay; $\sigma, \sigma_1, \sigma_2$ - vòng tròn; $x, x_1, x_2$ - vòng tròn; $\tau, \tau_1, \tau_2$ - hình tam giác.

11. Các số liệu $a)$ $(A/\lambda; 6)$ $\lambda/A; b)$ $A/\pi; \Gamma)$ $A/\sigma; e)$ $\sigma/A; jx)$ $A/x; 3)$ $x/A; i)$ $A/\tau; k)$ $\tau/A; l)$ $\lambda/\pi; m)$ $\pi/\lambda$ tượng trưng cho điều gì?

12. Các số liệu $a)$ $\sigma_1/\sigma_2; 6)$ $x_1/x_2; b)$ $\tau_1/\tau_2; \Gamma)$ $\lambda_1/\lambda_2; d)$ $\pi_1/\pi_2$ thể hiện điều gì?

Trong cũ. d) xét riêng trường hợp khi $\lambda_1$ và $\lambda_2$ cắt nhau; song song; lai giống.

13. Các số liệu $a)$ $\sigma/\sigma; 6)$ $x/x; b)$ $\tau/\tau; \Gamma)$ $\lambda/\lambda; d)$ $\pi/\pi$ thể hiện điều gì?

14. Chứng minh rằng với mọi điểm $A, B, C$, hệ thức sau đúng:

a) $A(B/C) \subset (AB)/C; 6)$ $A/(B/C) \subset (AC)/B; b) (A/B)(C/D) \subset (AC)/(BD); g) (A/B)/(C/D) \subset (AD)/(BC).$

(Tính chất tương tự của tính chất công bằng cho các số tùy ý.)

15. Chứng minh rằng với mọi số liệu $a, b, \gamma$ $(\alpha/\beta)/\gamma \subset (\alpha/\gamma)\cap(\beta/\gamma); 6)$ $(\alpha+\beta)/\gamma = (\alpha/\gamma)+(\beta/\gamma); b) \alpha/(β+\gamma) = (\alpha/\beta)+(\alpha/\gamma); g) (\alpha/\beta)/\gamma = (\alpha/\gamma)(\beta/\gamma); d) \alpha/(β\gamma) = (\alpha/\beta)(\alpha/\gamma).$

16. Chứng minh rằng một hình tuyến tính nhất thiết phải lồi.

17. Chứng minh rằng mọi hình tuyến tính của mặt phẳng đều cạn kiệt bởi điểm, đường thẳng và tất cả bởi mặt phẳng; trong không gian, hình tuyến tính là điểm, đường thẳng, mặt phẳng và mọi không gian.

18. Điều kiện viết $\alpha \approx \beta$ nếu các hình $a$ và $b$ có ​​ít nhất một điểm chung (để so sánh, lưu ý rằng $\alpha = \beta$ nếu $a$ và $b$ tất cả các điểm đều chung).

Chứng minh rằng quy tắc tỷ lệ tinh tế sau đây đúng: nếu các số $a, b, \gamma, \delta$ sao cho $\alpha/\beta \approx \gamma/\delta$, thì $\alpha\delta \approx \beta\gamma$ (khoảng cách là trường hợp khi $a, b, \gamma, \delta$ là điểm; Hình 18). Chứng minh rằng $\alpha/\beta \approx \gamma\Leftrightarrow \beta\gamma \approx a$.

Phép nhân điểm và hình “không phải ενClidean”

Nội dung bài viết này dựa trên nghiên cứu gần đây của nhà hình học người Mỹ Walter Penrowitz. Ý tưởng nghiên cứu của Penrowitz (hoàn toàn không dành cho những nhà toán học mới bắt đầu, chẳng hạn như độc giả của tạp chí này) là xem xét một lớp rộng rãi các “hình học” mới, khác với các hình học “trường học” đã thu hút bạn.

16

số liệu của Euclid; những hình học này có thể được gọi là hình học “không phải ενClidean”. Dưới đây là hai ví dụ về “nhân điểm không phải ενClidean” theo Penrowitz:

I. Tích AB của các điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ là một hình chữ nhật có các cạnh song song với trục tọa độ, “kéo dài” bởi A và B (Hình 19); nếu đường thẳng đi qua các điểm A và B song song với bất kỳ trục tọa độ nào thì hình chữ nhật suy biến thành một đoạn và theo định nghĩa, tích AB trùng với tích mà chúng ta đã xác định trước đó.

II. Chúng ta cố định hình P, được tạo thành bởi ba tia ló ra từ một điểm O (Hình 20). Hình này sẽ là “vũ trụ” của chúng ta: chúng ta sẽ chỉ xem xét thêm các điểm thuộc P và các hình là tập con của tập P. Với tích AB của các điểm A∈P và B∈P, chúng ta muốn nói đến đường đứt nét ngắn nhất nối A và B bên trong hình P.

Sau khi xác định được tích các điểm, đúng nghĩa đen như trước, tích các hình, các hình lồi, thương các điểm, thương các hình, các hình tuyến tính được xác định tuần tự. Hình 21 thể hiện thương số của các điểm A/B ví dụ I, Hình 22 thể hiện thương số A/B ví dụ II (đối với các vị trí khác nhau của điểm A và B).

Hóa ra lý thuyết về các hình lồi trong “hình học Penrowitz” có rất nhiều hứa hẹn với lý thuyết tương ứng trong hình học ενClidean nói chung.

Bài tập

20. Kiểm tra xem tích AB và thương A/B của các điểm chẳng hạn I có thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trong phần chính của bài viết và trong bài tập hay không. Những hình nào lồi trong “hình học” này? Những cái nào là tuyến tính?

21. Tương tự ví dụ II.

Tập xã luận của tạp chí «Kvant» với niềm tiếc thương sâu sắc thông báo với độc giả về cái chết yểu điệu của một thành viên trong tập xã luận của nhà toán học nổi tiếng Liên Xô, thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô Anatoly Illarionovich Shirshov, diễn ra vào ngày 28 tháng 2 năm 1981.

17

vòng tròn toán học

N. Vaguten

công thức diện tích

Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về một công thức hữu ích biểu thị diện tích của một đa giác theo tọa độ các đỉnh của nó. Khi chuẩn bị bài viết, A. Startsev đã được sử dụng, thêm vào «Kvant» vào năm 1970 (khi tác giả vẫn còn là một cậu học sinh).

sự kết hợp nho

Chúng ta hãy cho một đa giác nằm trong hình vuông dương $x > 0, y > 0$ và cũng lồi. Phần bên trong của các đỉnh ngược chiều kim đồng hồ là: $A_1(x_1; y_1), A_2(x_2; y_2)$, …, như trong Hình 1, trong đó số đỉnh là $n = 5$. Chúng ta thả các đường vuông góc $A_1H_1, A_2H_2$, …, $A_nH_n$ từ tất cả các đỉnh đến trục $x$; độ dài của chúng là $y_1, y_2, ..., y_n$.

Diện tích của quả nho $A_kH_kH_{k+1}A_{k+1}$ bằng modulo của sản phẩm $(y_k+y_{k+1})(x_k-x_{k+1})/2$. Tích này dương cho $x_k > x_{k+1}$ và âm cho $x_k < x_{k+1}$ (ở đây $k$ là một trong các số 1, 2, …, $n$ và số $n+1$ theo sau $n$ phải được thay thế bằng 1). Đáng chú ý, hóa ra tổng của tất cả $n$ các tích cùng loại như vậy hoàn toàn bằng diện tích của đa giác $A_1A_2...A_n$.

Ví dụ, đối với hình ngũ giác trong Hình 1 tính từ gót chân sản phẩm

$$\frac{(y_1+y_2)(x_1-x_2)}{2}, \frac{(y_2+y_3)(x_2-x_3)}{2}, \frac{(y_3+y_4)(x_3-x_4)}{2}, \frac{(y_4+y_5)(x_4-x_5)}{2}, \frac{(y_5+y_1)(x_5-x_1)}{2}$$

tri, tương ứng với các cạnh trên (màu xanh), là dương và hai, tương ứng với các cạnh dưới (màu đỏ), là âm; Bằng cách trừ tổng diện tích của các hình thang màu đỏ khỏi tổng diện tích của các hình thang màu xanh, chúng ta tìm được diện tích của hình ngũ giác.

Tổng kết quả có thể được đơn giản hóa phần nào bằng cách giảm tích $x_1y_1, x_2y_2$, ..:

$$S = \frac{(y_1+y_2)(x_1-x_2)}{2} + \frac{(y_2+y_3)(x_2-x_3)}{2} + \frac{(y_3-y_4)(x_3-x_4)}{2} + \frac{(y_4+y_5)(x_4-x_5)}{2} + \frac{(y_5+y_1)(x_5-x_1)}{2} = \frac{(x_1y_2-x_2y_1) + (x_2y_3-x_3y_2) + ... + (x_5y_1-x_1y_5)}{2}.$$

1. Suy ra công thức tính diện tích hình lồi $n$-giác cho mọi $n$.

Công thức cơ bản

Vậy diện tích $S$ của hình lồi $n$-giác có các đỉnh $A_k(x_k; y_k)$, $k = 1, 2, ..., n$ bằng

$$\frac{1}{2} \left[ (x_1y_2-x_2y_1) + (x_2y_3-x_3y_2) + ... + (x_ny_1-x_1y_n) \right].$$

Biểu thức $ad-bc$ phổ biến trong toán học đến mức một ký hiệu đặc biệt $|a|^2 b|^2$ và tên “định thức” đã được sử dụng cho nó.

Hình 1.

18

Hình 2. Tích của các số nối với nó bằng một đoạn được lấy bằng dấu + và màu đỏ - bằng dấu -.

bậc hai"; Sử dụng các định thức như vậy, công thức diện tích có thể được viết gọn hơn:

$$S = \frac{\left| x_1 x_2 \right| + \left| x_2 x_3 \right| + \ldots + \left| x_n x_1 \right|}{2}.$$

(Để điền công thức (1), Hình 2 là thuận tiện. Lưu ý rằng công thức (1) giả định rằng các đỉnh được đánh số ngược chiều kim đồng hồ.)

2. Kiểm tra xem nếu bạn đánh số các đỉnh theo thứ tự ngược lại theo chiều kim đồng hồ thì mỗi dấu ngoặc đơn tương ứng với một cạnh cụ thể của đa giác: $A_1 A_2$, $A_2 A_3$, …, $A_n A_1$, đổi dấu. Hiệu ứng tương tự sẽ xảy ra nếu bạn đặt các ký hiệu trục tùy chỉnh vào các vị trí - thay đổi hướng của mặt phẳng.

Để không phải lo lắng về hướng này hay hướng khác trong việc đánh số các đỉnh, bạn có thể đặt dấu mô đun cùng với dấu ngoặc vuông trong công thức (1). Công thức kết quả

$$S = \frac{1}{2} \left| \sum_{k=1}^{n} \left(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k\right) \right|$$

thích hợp cho bất kỳ dịp nào. (Hãy nhớ lại rằng $y_{n+1}$ và $x_{n+1}$ nên được thay thế bằng $y_1$ và $x_1$.)

Lưu ý rằng cho đến nay chúng ta đã coi tất cả tọa độ của các đỉnh của đa giác là dương và bản thân đa giác đó là lồi. Sẽ rất đáng thất vọng và ngạc nhiên nếu công thức của chúng ta hóa ra chỉ đúng với một giả định bổ sung như vậy. May mắn thay, điều này không xảy ra: công thức này đúng cho mọi đa giác trên mặt phẳng. Chúng ta sẽ thảo luận cách chứng minh điều đó cho đa giác không lồi bên dưới, trong Bài tập 13 (xem thêm ghi chú của S. Sefibkov ở trang 20). Bây giờ chúng ta sẽ loại bỏ giả định rằng đa giác nằm bên trong góc $x > 0$, $y > 0$.

3. Kiểm tra xem vế phải của công thức (2) không thay đổi nếu:

a) thay thế mỗi $x_k$ bằng $x_k + a$;
b) thay thế mỗi $y_k$ bằng $y_k + b$.

Chúng ta có thể chuyển song song bất kỳ đa giác $A_1 A_2 \ldots A_n$ nào sang một số vectơ $(a; b)$ vào góc $x > 0$, $y > 0$. Trong trường hợp này, tọa độ các đỉnh của nó thay đổi, nhưng diện tích của nó - phần bên trái của công thức (2) cũng như phần bên phải của công thức này - đều không thay đổi. Vì đẳng thức (2) đúng khi thu được đa giác có tọa độ đỉnh dương nên nó cũng đúng với đa giác ban đầu $A_1 A_2 \ldots A_n$.

4. Sử dụng công thức (2), tính diện tích các hình tứ giác có đỉnh:
   a) $(0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1)$;
   b) $(0; 0), (-1; 1), (2; 3), (1; 2)$;
   b) $(0; 5), (3; 0), (0; -4), (2; 0)$. Kiểm tra đáp số bằng cách tìm khu vực này theo cách khác.

5. a) Viết công thức tính diện tích tam giác có đỉnh $(0; 0), (a; b), (c; d)$.
   b) Trong điều kiện nào thì ba điểm $(x_1; y_1), (x_2; y_2)$ và $(x_3; y_3)$ cùng nằm trên một đường thẳng?

Kết hợp tam giác
Công thức chính (2) có thể được rút ra theo cách khác - sao cho ý nghĩa hình học của mỗi thuật ngữ $(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k)/2$ sẽ rõ ràng (lưu ý rằng nó chỉ bao gồm tọa độ của hai điểm lân cận $A_k$ và $A_{k+1}$). Chúng ta vẫn có thể giả định rằng $x_k > 0$, $y_k > 0$.

Hóa ra biểu thức $(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k)/2$ bằng $OA_k A_{k+1}$ theo mô hình tam giác và là dương nếu đoạn $OA_k+1$ tạo một góc lớn hơn với trục $x$ so với $OA_k$ và âm nếu nhỏ hơn.

6. Đặt $B(x_1; y_1)$ và $C(x_2; y_2)$ là hai điểm có tọa độ dương và $y_1/x_1 < y_2/x_2$. Khi đó diện tích hình bình hành $OBDC$ (Hình 3) bằng $x_1 y_2 - x_2 y_1$.

Bây giờ rõ ràng là tổng của các số hạng $n$ $(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k)/2$ sẽ cho diện tích cần thiết của $n$-gon (xem Hình 4): từ tổng diện tích của các hình tam giác màu đen, chúng ta trừ tổng diện tích của các hình tam giác màu đỏ - chúng ta đã gặp phải sự trùng hợp thành công này của các dấu hiệu trong cuộc thảo luận về hình thang).

7. Kiểm tra xem ý nghĩa hình học của biểu thức $x_1 y_2 - x_2 y_1$ đối với các điểm $B(x_1; y_1)$, $C(x_2; y_2)$ với tọa độ của bất kỳ dấu hiệu nào là

19

Hình 3.

diện tích định hướng của hình bình hànhOBDC, được xây dựng trên các vectơ $\vec{OB}$ và $\vec{OC}$*): diện tích của OBDC được lấy bằng dấu “cộng” nếu hướng $\vec{OC}$ được lấy từ hướng $\vec{OB}$ bằng cách quay ngược chiều kim đồng hồ (ở một góc không quá 180°) và “trừ” nếu theo chiều kim đồng hồ.

Bổ sung bài toán và nhận xét
Để kết luận, chúng tôi đề xuất chứng minh thêm một số phát biểu liên quan đến công thức tính diện tích đa giác, các chứng minh và khái quát hóa của nó.

8. Đối với hai vectơ $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$ trên mặt phẳng, chúng ta sẽ biểu thị diện tích định hướng của hình bình hànhOBDC (Bài tập 7) bằng $\vec{b} \wedge \vec{c}$.

Sau đó, với mọi vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ và bất kỳ số $\lambda$ nào, các đẳng thức sau giữ nguyên:
$$1^0. \vec{a} \wedge \vec{b} = -(\vec{b} \wedge \vec{a}).$$
$$2^0. \lambda \vec{a} \wedge \vec{b} = \vec{a} \wedge (\lambda \vec{b}) = \lambda (\vec{a} \wedge \vec{b}).$$
$$3^0. \vec{a} \wedge \vec{b} = 0$$ nếu và chỉ khi các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thẳng hàng.
$$4^0. \vec{a} \wedge (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \wedge \vec{b} + \vec{a} \wedge \vec{c}.$$

Đại lượng $\vec{a} \wedge \vec{b}$ đôi khi được gọi là tích tự do của các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

9. Tìm tọa độ các điểm $A, B$ giao điểm của đường thẳng $ax + by + c = 0$ với các trục tọa độ ($a \neq 0, b \neq 0$) và diện tích tam giác $ABM_0$, trong đó $M_0(x_0; y_0)$, rút ​​ra công thức tính khoảng cách từ điểm $M_0$ đến đường thẳng này:

$$|ax_0 + by_0 + c| / \sqrt{a^2 + b^2}.$$

10. a) Cho các đỉnh $A_1, A_2, \dots, A_n$ của đa giác chuyển động dọc theo một mặt phẳng thẳng và đều (mỗi đỉnh có tốc độ không đổi). Chứng minh diện tích đa giác $A_1A_2\dots A_n$ thay đổi

$$\sum \begin{matrix} x_i x_j x_k \\ y_i y_j y_k \\ z_i z_j z_k \end{matrix} = x_1 y_2 z_3 - x_1 y_3 z_2 + x_2 y_3 z_1 - x_2 y_1 z_3 + x_3 y_1 z_2 - x_3 y_2 z_1.$$

trên tất cả gam $\Delta A_i A_j A_k$ của nó, trong đó $A_i(x_i; y_i; z_i)$ là đỉnh của đa giác và “định thức tam giác” được tính theo công thức

$$\begin{matrix} x_1 x_2 x_3 \\ y_1 y_2 y_3 \\ z_1 z_2 z_3 \end{matrix} = x_1 y_2 z_3 - x_1 y_3 z_2 + x_2 y_3 z_1 - x_2 y_1 z_3 + x_3 y_1 z_2 - x_3 y_2 z_1.$$

Hơn nữa, mỗi định thức phải được viết ra bằng cách nhìn mặt $A_i A_j A_k$ từ điểm $(0; 0; 0)$: tọa độ các đỉnh của các mặt nhìn thấy được là theo chiều kim đồng hồ, các mặt không nhìn thấy được là ngược chiều kim đồng hồ.

12. a) Kiểm tra bằng công thức (2) rằng với tiếng ầm ầm $k$ thì diện tích tăng $k^2$ lần và với sự đối xứng $(x; y) \rightarrow (-x; y), (x; y) \rightarrow (x; -y), (x; y) \rightarrow (-x; -y)$ thì diện tích không thay đổi.

*) Xem thêm bài viết của A. Lopshitz “Các vùng của hình định hướng” («Kvant», 1978, số 3).

2*

20

6. • Kiểm tra xem khi chuyển đổi mặt phẳng $(x; y) \rightarrow (x'; y')$, trong đó
     $$x' = x \cos \varphi - y \sin \varphi,$$
     $$y' = x \sin \varphi + y \cos \varphi,$$
     Diện tích của đa giác không thay đổi. (Phép biến đổi này là phép quay một góc φ quanh gốc tọa độ.)
     c) Tương tự đối với phép biến đổi $x' = kx, y' = y/k$ (k là số cố định); Đây được gọi là ngã rẽ khác nhau.
     d) Diện tích thay đổi bao nhiêu lần trong quá trình biến đổi $x' = ax + by, y' = cx + dy$? (Đáp số. Hệ số này giống nhau đối với tất cả các đa giác; nó bằng môđun của định thức $\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right|$.)

13. Công thức (2) cũng đúng với đa giác nhỏ. Để chứng minh điều đó, thuận tiện sử dụng bổ đề sau: Giả sử MP là một tia phát ra từ một điểm M nhất định. Nếu M nằm trong một không phải đa giác thì khi đi vòng quanh đa giác ngược chiều kim đồng hồ, chúng ta sẽ cắt tia MP một số chẵn lần (bằng nhau - từ phải sang trái và từ trái sang phải); nếu điểm M nằm bên trong đa giác thì - số lần lẻ (từ phải sang trái - thêm một lần nữa).
14. Hãy để đa giác được cắt bởi một đường tuyến tính gãy thành hai phần. Kiểm tra xem diện tích được xác định theo công thức (2) cho mỗi phần có bằng biểu thức (2) cho toàn bộ đa giác hay không.
    Thực tế này (aditivity), cùng với kết quả của bài tập 3 và 12 a), 6) (bất biến của các phép tịnh tiến tương đối, tính đối xứng và phép quay) cho phép lấy số (2) làm xác định diện tích của đa giác.
15. Đặt tất cả các cạnh của đa giác $A_1B_1A_2B_2...A_mB_m$ là $A_k(a_k; b_k), B_k(a_k+1; b_k), k=1, ..., m$, với $B_m(a_1; b_m)$. Viết công thức diện tích của một đa giác như vậy.

Hình 5. Các con số cho biết đa giác đi bao nhiêu lần (có tính đến hướng) xung quanh vectơ của mỗi mảnh.

nikka. Hãy kiểm tra để tìm hình lục giác có các đỉnh $(-1; 0), (2; 0), (2; 5), (3; 5), (3; 7), (-1; 7)$. (Công thức này hữu ích với chúng tôi trong lời giải bài toán M608 - xem «Kvant», 1980, Số 11.)
16. Tìm ra công thức (2) cho bất kỳ điểm $n$ nào của mặt phẳng $A_1, A_2, ..., A_n$.
Đáp số như sau: để đường đứt nét khép kín $A_1A_2...A_n$ chia mặt phẳng thành $r$ một phần diện tích $S_1, ..., S_r$; thì vế phải của công thức (2) bằng tổng $k_1S_1 + ... + k_rS_r$, trong đó số nguyên $k_j$ biểu thị số vòng quay của đường đứt nét $A_1A_2...A_n$ của vectơ $j$ của mảnh tạo ra (và các vòng quay ngược chiều kim đồng hồ được coi là dương, các vòng quay theo chiều kim đồng hồ được coi là âm, xem Hình 5).

S. Sefibekov

Về diện tích của đa giác

Bài viết của N. Vaguten thảo luận về công thức tính diện tích đa giác và các ứng dụng của nó. Một bằng chứng khác của công thức này được đưa ra trong ghi chú được công bố dưới đây.

Đối với diện tích của $S_n$ $n$-gon $A_1A_2...A_n$ công thức đúng
$$S_n = \frac{1}{2} \left| (x_1y_2 + x_2y_3 + ... + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + ... + y_nx_1) \right|,$$
trong đó $(x_1; y_1), (x_2; y_2), ..., (x_n; y_n)$ là tọa độ các đỉnh $A_1, A_2, ..., A_n$.

Chứng minh công thức (2) trước tiên cho tam giác vuông có hai cạnh song song với các trục tọa độ (Hình 1), sau đó cho tam giác có một trong các cạnh song song với một trong các trục tọa độ (Hình 2), sau đó cho trường hợp tổng quát (Hình 3).

Nếu bạn đã giải quyết được bài toán này đến cùng, bạn sẽ có một chút thời gian để giải quyết vấn đề tiếp theo.

21

Hình 1.

Hình 5.

Bài 2. Chứng minh công thức (1) cho tứ giác lồi.
Gợi ý. Chia hình tứ giác thành hai hình tam giác (sử dụng đường chéo - xem Hình 4) và áp dụng bài toán 1.

Bài 3. Chứng minh công thức (1) cho tay n lồi.
Gợi ý. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, biểu diễn đường bao n lồi $A_1A_2A_3...A_n$ đã cho dưới dạng sự kết hợp của đường bao $(n - 1)$ $A_2A_3...A_n$ và hình tam giác $A_1A_2A_3$ (Hình 5). Đối với những độc giả chưa quen với phương pháp quy nạp toán học, chúng tôi khuyên bạn nên giải bài toán 3 cho $n = 5$.

Bây giờ chúng ta chuyển sang đa giác tùy ý (không nhất thiết phải lồi) sau đây.

Bài 4. Chứng minh công thức (1) cho tứ giác tùy ý.
Nhiệm vụ 5*. Chứng minh công thức (1) cho n-dự trữ tùy ý.
Gợi ý. Chứng minh rằng trong không gian n bất kỳ có thể vẽ được một đường chéo nằm hoàn toàn bên trong nó và áp dụng phương pháp quy nạp toán học.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

22

Bài toán

M676 — M680; F688 — F692

M676. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $m$ tổng các chữ số của 1981$^m$ ít nhất là 19.

A. Savkin

M677. Bên trong tam giác nhọn $ABC$, điểm $M$ được chọn, tức là
a) Giao điểm của các đường trung tuyến;
b) giao điểm của các đường phân giác;
b) giao điểm của các độ cao.
Chứng minh rằng nếu bán kính của các đường tròn viết trong tam giác $AMB, BMC, AMC$ bằng nhau thì
thì tam giác $ABC$ đúng.

E. Turkevich

M678. Số có 2$m$ chữ số được gọi là công bằng nếu các chữ số chẵn của nó chứa cùng một số
Có nhiều số chẵn cũng như có nhiều số lẻ. Chứng minh rằng trong số có (2$m+1$) chữ số bất kỳ, gạch bỏ một trong các chữ số sao cho kết quả là
Số có 2$m$ chữ số là hợp lý (Hình 1).

A. Sidorenko

M679. a) Bốn đường tròn nằm trên một mặt phẳng sao cho đường tròn thứ nhất tiếp xúc với đường tròn thứ hai tại điểm $A$, đường tròn thứ hai tiếp xúc với đường tròn thứ ba tại điểm $B$, đường tròn thứ ba chạm vào đường tròn thứ tư
tại điểm $C$ và điểm thứ tư - điểm đầu tiên tại điểm $D$ (Hình 2). Chứng minh rằng qua 4 điểm nêu trên có thể kiểm tra được một đường tròn hoặc một đường thẳng.
b) *Bốn quả bóng được đặt trong không gian sao cho quả thứ nhất chạm quả thứ hai tại điểm $A$, quả thứ hai chạm quả thứ ba tại điểm $B$, quả thứ ba chạm quả thứ tư
tại điểm $C$ và điểm thứ tư - điểm đầu tiên tại điểm $D$. Chứng minh rằng qua 4 điểm nêu trên có thể kiểm tra được một đường tròn hoặc một đường thẳng.
b) *Bốn quả bóng được đặt trong không gian sao cho mỗi quả bóng chạm vào ba quả còn lại. Chứng minh sáu điểm tiếp tuyến cùng thuộc một mặt cầu
hoặc một mặt phẳng.

B. Provozvolov

M680. Hai người báo hiệu chơi trò chơi này. Có $n$ nút điện thoại và người báo hiệu thay phiên nhau kết nối

23

thuê hai người trong số họ làm kavel theo lựa chọn của họ.
Người chiến thắng sẽ là người sau khi di chuyển có thể đến được bất kỳ nút nào khác từ bất kỳ nút nào (có thể sau một số nút trung gian; phần đầu của trò chơi được hiển thị trong Hình 3).
a) Tìm ra ai thắng ở $n=4, 5, 6, 7, 8$ - người mới bắt đầu hay đối tác của anh ta?
b) đáp số đối với $n$ tùy ý là gì?
Cũng hãy xem xét hai phiên bản sửa đổi của trò chơi:
c) Để người chơi buộc tất cả các nút thua. Trả lời các câu hỏi a) và b) về trò chơi mới này;
d) Trước tiên, hãy để tất cả các nút được kết nối theo cặp bằng kavel và người báo hiệu sẽ loại bỏ từng kết nối một. Người chơi phá vỡ kết nối trong sơ đồ sẽ thua. Câu hỏi giống nhau: ai thắng với chiến lược đúng cho $n=4, 5, 6, 7, 8$? tùy ý $n$?
Thế thì ee. Người ta có thể xem xét lựa chọn thứ tư: hãy xem xét điều đó ở điểm d) người chơi phá vỡ kết nối sẽ thắng. Tác giả không biết về một nghiên cứu đầy đủ về lựa chọn này.

A. Razborov

F688. Một vòng mỏng có khối lượng $M$ và bán kính $R$ được cố định chắc chắn bằng kim đan nhẹ trên một trục mỏng nhẹ đi qua tâm vòng, sao cho mặt phẳng của vòng tạo thành một góc $\alpha$ với trục (Hình 4). Xác định công cần thực hiện để quay trục tới vận tốc góc $\omega$.

S. Krotov

F689. Trên một chiếc bàn nằm ngang nhẵn có một chồng giấy gồm 500 tờ. Chiếc lá thứ trăm (tính màu xám) lớn hơn những chiếc lá khác. Tấm này được kéo cẩn thận theo hướng ngang. Có thể truyền cho gói gia tốc lớn nhất bằng bao nhiêu để nó chuyển động mà không bị rơi ra? Gia tốc cực đại mà khối tâm của gói hàng có thể chuyển động là bao nhiêu? Tờ giấy thứ một trăm sẽ chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu? Hệ số ma sát giữa giấy và giấy $\mu=0,2$.

Z. Rafailov

F690. Giữa các điểm $A$ và $B$ trên bề mặt Mặt trăng, nằm ở khoảng cách góc $90^\circ$, một kênh thẳng đã được đào (Hình 5), chứa đầy không khí ở nhiệt độ bình thường. Áp suất không khí ở giữa kênh $p=10^5$ Pa. Tìm áp suất không khí trong kênh gần bề mặt Mặt Trăng. Mặt trăng được coi là một quả bóng đồng nhất có đường kính $D=3480$ km. Gia tốc $g_n$ rơi tự do trên bề mặt Mặt trăng nhỏ hơn trên Trái đất sáu lần.

A. Stasenko

25

và đường tròn điểm K. Gọi M là giao điểm của tiếp tuyến với đường tròn này tại điểm K với đường thẳng PQ. Tập hợp nào được lấp đầy bởi các điểm M?

M631. Các số có hai chữ số từ 19 đến 80 được viết thành một hàng. Số nhận 192021…7980 có chia hết cho 1980 không?

Vì 1980 = 99 · 20, và 99 và 20 không có ước chung nên chỉ cần biết số A = 192021…7980 có chia hết cho 20 và 99 hay không. Việc A chia hết cho 20 là hiển nhiên. Tiếp theo, lưu ý rằng 100 lũy thừa bất kỳ khi chia cho 99 sẽ có số dư là 1, vì vậy số đó

$$A = 19 \cdot 100^{61} + 20 \cdot 100^{60} + \dots + 79 \cdot 100 + 80$$

khi chia cho 99 thì có số dư bằng số đó

$$B = 19 + 20 + \dots + 79 + 80 = \frac{19 + 80}{2} \cdot 62 = 99 \cdot 31.$$

Vậy hóa ra số B chia hết cho 99; do đó, số A chia hết cho 99, đồng thời chia hết cho 1980.

B. Fedotov

M632. Hàng hóa được đóng gói trong container phải được chuyển đến trạm vũ trụ Salyut khi trở về. Số lượng container tối thiểu là 35 container, tổng trọng lượng hàng hóa là 18 tấn. Có bảy tàu vận tải Progress, mỗi tàu có thể chở 3 tấn hàng hóa lên quỹ đạo. Được biết, các tàu này có thể đồng thời vận chuyển 35 container bất kỳ trong số 35 container hiện có. Chứng minh rằng họ có thể đưa tất cả hàng hóa có sẵn lên quỹ đạo cùng một lúcズ.

Nói chung, container có trọng lượng trên 0,5 tấn là nặng, container có trọng lượng không quá 0,5 tấn là nhẹ. Vì tổng khối lượng hàng hóa là 18 tấn nên số lượng container nặng nhỏ hơn 18:0,5 = 36, tức là không vượt quá 35. Do đó, theo điều kiện bài toán, tất cả các container nặng đều có thể được xếp lên tàu hiện có (thêm container nhẹ, nếu cần, tổng số là 35).

Sau khi xếp container nặng, chỉ được giữ lại container nhẹ. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng tất cả các container này có thể được xếp từng container một lên tàu. Trên thực tế, nếu ở một bước xếp hàng nào đó, một container có khối lượng $x < 0,5$ t không thể được chất lên bất kỳ tàu nào trong số bảy tàu, thì mỗi tàu đã chất hơn (3-x) tấn hàng, tổng cộng hơn 7(3-x) tấn đã được chất lên và còn lại ít hơn 18-7(3-x) = 7x-3 tấn hàng. Nhưng sau đó $x < 7x—3$, từ đó $x > 0,5$, mâu thuẫn với giả định. Chúng tôi yêu cầu bằng chứng.

MỘT. Kolotov

**M633. Cho điểm E trên đường kính AC của một đường tròn. Vẽ qua giếng BSD sao cho diện tích tứ giác ABCD là lớn nhất.

Gọi O là tâm, R bán kính hình tròn, $|OE| = a$. Dễ dàng nhận thấy (xem hình) rằng $S_{ABCD} = \frac{2R}{a} S_{\triangle OBD}$. Vì vậy, diện tích của tứ giác lớn nhất khi diện tích của tam giácOBD lớn nhất. Tam giácOBD là tam giác đều, $|OB| = |OD| = R$, $S_{\triangle OBD} = \frac{1}{2} R^2 \sin \varphi$, trong đó $\varphi = BOD$. Góc φ càng nhỏ thì dây cung BSD càng nhỏ hoặc tương ứng là độ dài của OH vuông góc vẽ về phía này. Vì $|OH| \leq |OE| = a$, nhỏ nhất

*) Ví dụ, hãy xem cuốn sách của N.B. Vasiliev và V.L. Gutenmacher “Đường thẳng và đường cong”, §2 (ABC), câu E, tr. 32 (M., “Hayka”, 1978).

26

Kiến thức $\varphi = \varphi_0$ được đặc trưng bởi các đoạn $OH$ và $OE$ trùng nhau, tương ứng với dây $BD$ vuông góc với $AC$; cho kiến ​​thức này

$$\cos \frac{\varphi_0}{2} = \frac{a}{R}.$$

Vì vậy, vẫn phải tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $OBD$ tại $\varphi_0 \leqslant \varphi < \pi$. Có hai trường hợp có thể xảy ra:

1. Nếu $\varphi_0 \leqslant \frac{\pi}{2}$ thì mức tối đa đạt được là $\varphi = \frac{\pi}{2}$. Trong trường hợp này

$$\frac{a}{R} = \cos \frac{\varphi_0}{2} \geqslant \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$a \geqslant \frac{R}{\sqrt{2}}.$$

và dây cung mong muốn $BD$, thu nhỏ cung thành $90^\circ$, phải cách tâm một khoảng $R/\sqrt{2}$, tức là nó phải chạm vào đường tròn có tâm $O$ bán kính $R/\sqrt{2}$.

2. Nếu $\varphi_0 > \frac{\pi}{2}$, điều này sẽ xảy ra ở $a < \frac{R}{\sqrt{2}}$, thì diện tích tối đa đạt được ở $\varphi = \varphi_0$ - dây mong muốn $BD$ phải vuông góc với đường kính $AC$.

I. Sharytsin

M634. Hãy biểu thị bằng $S(n)$ tổng tất cả các chữ số của số tự nhiên $n$.

a) Có $n$ tự nhiên sao cho $n + S(n) = 1980$ không?

b) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai số tự nhiên liên tiếp bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng $n + S(n)$ đối với một số tự nhiên tam giác $n$.

◆

a) Đáp số. Có: $n = 1962$. Như trước thỏa thuận này, điều lời giải khoản 6) của bài toán này đã được nêu rõ.

6. Chúng ta hãy biểu thị $n + S(n)$ bằng $S(n)$. Dễ dàng nhận thấy nếu $n$ xuất hiện ở số 9 thì $S_{n+1} < S_n$; nếu không thì $S_{n+1} = S_n + 2$.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng với bất kỳ $m \in \mathbb{N}$ nào thì ít nhất một trong các số $m, m+1$ bằng $S_n$ đối với một số $n$. Vì $S_1 = 2$, với $m=1$ và $m=2$, câu lệnh bài toán là đúng. Nếu $m > 2$ thì có $S_n$, nhỏ hơn $m$ (ví dụ: $S_1$), đồng thời có $n \geqslant m$ $S_n > n \geqslant m$. Do đó, trong số $n$ sao cho $S_n < m$, người ta tìm thấy nó tổng quát nhất thông qua $N$. Khi đó $S_{n+1} \geqslant m > S_n$, vậy $N$ không thể nằm ở số 9 và do đó, $S_{n+1} = S_n + 2$. Do đó, $m \leqslant S_{n+1} < m+2$, do đó số $S_{n+1}$ bằng $m$, hoặc $m+1$ - điều kiện cần được chứng minh.

S. Konyatsin

**M635. Những chú lùn tùy tiện ở Thành phố hoa bỗng trở nên giống bệnh cúm hơn. Một ngày nọ, một số chú lùn bị cảm lạnh và bị ốm, và mặc dù không bao giờ bị cảm lạnh nữa nhưng những chú lùn khỏe mạnh lại bị ốm và gọi điện cho những người bạn bị ốm của mình. Được biết, mỗi người lùn đều bị cúm hơn một ngày, sau đó có khả năng miễn dịch ít nhất một ngày nữa, tức là người đó khỏe mạnh và không thể bị bệnh trở lại vào ngày hôm đó. Bất chấp dịch bệnh, mỗi chàng trai khỏe mạnh vẫn đánh đập bạn bè ốm yếu của mình mỗi ngày. Khi dịch bệnh bắt đầu, những chú lùn bị ốm do tiêm chủng và không tiêm chủng. Chứng minh rằng:

a) nếu có bất kỳ sự chậm trễ nào trước ngày đầu tiên của dịch bệnh

27

Nếu bạn đã tiêm phòng và có miễn dịch ngay ngày đầu tiên thì dịch bệnh có thể kéo dài chừng nào không có luật thì dịch bệnh sớm muộn cũng sẽ kết thúc.

“Biểu đồ bệnh tật”

| Ngày | MỘT | TRONG | VỚI |
| :— | :— | :— | :— |
| 1 | VÀ | B | 3 |
| 2 | 3 | VÀ | B |
| 3 | B | 3 | VÀ |
| 4 | VÀ | B | 3 |
| 5 | 3 | VÀ | B |

F638. Khi đang giảng bài ở Strasbourg năm 1908, Viện sĩ L.I. Mandelstam đã khiến các nhân viên ngạc nhiên với đồ uống màu đỏ sau đây. Hai âm thoa trên hộp cộng hưởng có phần cộng hưởng 500 Hz và 505 Hz được đặt cạnh nhau và một trong các âm thoa được kích thích. Âm thoa thứ hai thực tế không phản ứng với những rung động của âm thoa thứ nhất. Nhưng ngay khi người thí nghiệm bắt đầu định kỳ đóng và mở hộp nĩa điều chỉnh bằng tay, chiếc nĩa điều chỉnh thứ hai ngay lập tức bắt đầu đập mạnh. Giải thích kết quả của thí nghiệm này.

Sóng có tần số $f=500$ Hz phát ra từ hộp âm thoa. Định kỳ đóng hộp lại, L.I. Mandelstam thay đổi biên độ dao động, chúng ta đến âm thoa thứ hai. Dao động có biên độ thay đổi - dao động biến đổi biên độ là gì?

Hãy xét trường hợp đơn giản nhất khi điều chế có dạng hình sin, tức là biên độ $A$ thay đổi theo định luật sin (cosine) với tần số $F$:

$$A = A_0 \cos 2\pi F t.$$

Trong trường hợp này, sự thay đổi áp suất (hoặc mật độ) của không khí, là sóng eucus, xảy ra theo định luật

$$\Delta p = (A_0 \cos 2\pi F t) \cos 2\pi f t.$$ (*)

Hãy biến đổi vế phải của đẳng thức (*), sử dụng các công thức lượng giác nổi tiếng:

$$\Delta p = \frac{A_0}{2} [\cos 2\pi(f-F)t + \cos 2\pi(f+F)t].$$

Do đó, các dao động có tần số $f$, biên độ thay đổi theo tần số $F$, có thể được biểu diễn dưới dạng tổng (chồng chất) của các dao động điều hòa (nghĩa là các dao động có dạng hình sin với biên độ không đổi) của hai tần số:

$$f_1 = f - F$$ và $$f_2 = f + F.$$ Nếu $F=5$ Hz, thì tần số $f_2$ trùng với tần số cộng hưởng của âm thoa máy thu, thành phần dao động tương ứng sẽ làm dao động âm thoa này và nó bắt đầu kêu vo ve.

Với sự điều biến dao động tuần hoàn, không hình sin, tùy ý, biểu diễn của chúng dưới dạng tổng của các thành phần hài (phổ của chúng) sẽ chứa nhiều hơn hai thuật ngữ (sóng hài) - nói rằng phổ dao động sẽ rất phong phú. Nhưng nếu chu kỳ điều chế bằng 1/F thì phổ nhất thiết phải có thành phần có tần số $f+F$ (cũng như có tần số $f-F$). Chúng ta chỉ xem xét định luật điều chế hình sin vì trong trường hợp này việc phân tách thành các sóng hài trông đơn giản nhất và có thể được thực hiện một cách cơ bản.

V. Belonukin

28

F639. Hai lò xo có độ cứng $k_1$ và $k_2$ được nối một đầu với một bức tường thẳng đứng, đầu kia với một khối lượng $m$ nằm trên một bàn nằm ngang. Tại thời điểm ban đầu, một lò xo có độ cứng $k_1$ bị giãn bởi các giá trị $l_1$ và một lò xo có độ cứng $k_2$ bị kéo giãn bởi các giá trị $l_2$. Tải được giải phóng. Tìm biên độ và chu kỳ của tải trọng dao động. Bỏ bê việc đào tạo.

Lấy tọa độ của tải tại thời điểm ban đầu bằng 0 (xem hình. ok). Khi đó sự phụ thuộc của lực đàn hồi tác dụng lên tải trọng vào tọa độ $x$ của tải trọng sẽ như sau:

$$F_1(x) = -(l_1+x)k_1,$$
$$F_2(x) = (l_2-x)k_2.$$

Ở đây $(l_1+x)$, $(l_2-x)$ lần lượt là các giá trị đại số của chiều dài của lò xo thứ nhất và thứ hai. Tại thời điểm tải trọng vượt qua vị trí cân bằng thì tổng lực $F$ tác dụng lên tải trọng của lò xo bằng không. Hãy biểu thị $x_0$ tọa độ của tải tại thời điểm này. Sau đó

$$F(x_0) = F_1(x_0) + F_2(x_0) = -(l_1+x_0)k_1 + (l_2-x_0)k_2 = 0,$$

Ở đâu

$$x_0 = \frac{l_2k_2-l_1k_1}{k_1+k_2}.$$

Biên độ của tải dao động hiển nhiên bằng

$$A = |x_0| = \frac{|l_2k_2-l_1k_1|}{k_1+k_2}.$$

Để tìm chu kỳ dao động, chúng ta viết lực phục hồi $F$ phụ thuộc như thế nào vào độ lệch của tải so với vị trí cân bằng:

$$F = F_1 + F_2 = -x(k_1+k_2) + (l_2k_2-l_1k_1) = -x(k_1+k_2) + x_0(k_1+k_2) = -(k_1+k_2)(x-x_0)$$

((x-x_0) - độ lệch của tải so với vị trí cân bằng). Có thể thấy rằng sự phụ thuộc mong muốn cũng giống như khi một lò xo có độ cứng $k=k_1+k_2$ được gắn vào tải trọng. Do đó, chu kỳ của tải dao động bằng

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}.$$

A. Bereman

F640. Hình 1 và 2 thể hiện ranh giới vùng sóng do tàu tạo ra trên hai đoạn tuyến. Mũi tên đỏ chỉ hướng tốc độ của tàu. Trong phần đầu tiên (Hình 1) không có dòng chảy. Hướng dòng chảy trong phần thứ hai (Hình 2) được thể hiện bằng mũi tên màu xanh. Xác định tốc độ của dòng chảy nếu tốc độ của tàu so với bờ trong trường hợp chung là như nhau và bằng 18 km/h.

Hãy kết hợp Hình 1 và Hình 2 (Hình 3). Từ một điểm tùy ý $A$ trên hành trình của tàu, chúng ta sẽ tiến hành phân bố lại đến ranh giới của vùng sóng khi không có dòng điện. Độ dài của sự phân phối lại này ([AB] hoặc [AB’]) xác định quãng đường mà sóng truyền được trong khoảng thời gian sau đó tàu đã vượt qua khoảng cách $AO$. Khoảng cách $BC$ (hoặc $B'C'$) xác định cách vùng được bao quanh bởi sóng và dòng chảy trong cùng một khoảng thời gian. Do đó, tỷ số [BC]/[AO] (hoặc $B'C'$/[AO]) xác định tỷ số giữa tốc độ $v$ của dòng điện với tốc độ của tàu. Từ hình vẽ là

$$\frac{v}{v_0} = \frac{1}{5} \Rightarrow v = 3,6 \text{ km/ч}.$$

V. Belonuchkin

Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.

29

F641. Một chiếc đồng hồ treo tường có ma trận có khối lượng $M=5$ kts. Khối lượng của tải ở cuối ma trận ánh sáng là $m=150$ kts. Sai số nào trong số chỉ của đồng hồ sẽ tích lũy trong một ngày nếu đồng hồ được treo trên trần nhà bằng hai sợi dây dài song song? Hãy tin rằng chiếc đồng hồ gắn trên tường là chính xác.

Đồng hồ treo trên dây, không giống như đồng hồ treo trên tường, có thể lắc lư. Nếu các dây song song thì khi lắc chuyển động của vỏ đồng hồ sẽ chuyển động tịnh tiến, tức là tất cả các điểm của đồng hồ (trừ ma trận) sẽ chuyển động như nhau. Điều này có nghĩa là toàn bộ khối lượng của đồng hồ không có ma trận ($M-m$) có thể được coi là tập trung tại một điểm, ví dụ như tại điểm $A$ của huyền phù ma trận (Hình 1).

Chuyển động của thân đồng hồ khi nó lắc không phải là VELKI - nhỏ hơn nhiều so với biên độ dao động của ma trận đồng hồ (điều này sẽ được hiển thị bên dưới). Do đó, dây dài sẽ gần như luôn thẳng đứng. Dây càng dài thì điều kiện này sẽ được đáp ứng càng tốt.

Do đó, các dây tác động lên đồng hồ có thể được coi là hướng thẳng đứng lên trên. Lực hấp dẫn tác dụng lên vật và ma trận được hướng thẳng đứng xuống dưới. Không có lực lượng bên ngoài nào khác. Do đó, theo phương nằm ngang trên hệ đang xét (vỏ đồng hồ + ma trận) không có ngoại lực nào tác dụng và khối tâm của hệ này sẽ không chuyển động theo phương ngang.

Bây giờ rõ ràng là khi ma trận dao động, thân đồng hồ (điểm $A$) sẽ dao động ngược pha - sao cho khối tâm (điểm $C$ trong Hình 2) luôn luôn nằm trên cùng một phương thẳng đứng. Hỗn hợp của trọng lượng ma trận $s_1$ và thân đồng hồ $s_2$ tại bất kỳ thời điểm nào sẽ tỷ lệ nghịch với khối lượng tương ứng:

$$\frac{s_1}{s_2} = \frac{M-m}{m}.$$ (1)

Từ công thức (1), rõ ràng là ở $m \ll M$ biên độ $S_2$ của vật lắc lư nhỏ hơn nhiều so với biên độ $S_1$ của dao động ma trận đồng hồ ($S_2 \ll S_1$).

Vẫn còn phải tìm hiểu chu kỳ $T_1$ của dao động ma trận sẽ là bao nhiêu. Nhìn vào Hình 2 và nhớ rằng điểm $C$ không di chuyển theo chiều ngang, dễ dàng nhận thấy rằng chuyển động của ma trận trọng số $m$ có ​​thể được biểu diễn gần đúng dưới dạng dao động tự do của ma trận toán học có chiều dài $l_1$. (Nói đúng ra, điểm $C$ di chuyển theo chiều dọc; tuy nhiên, với biên độ dao động ma trận nhỏ, những chuyển động này là chuyển động cột, không ảnh hưởng đến chu kỳ dao động.)

Từ sự giống nhau của các biện pháp bảo vệ trong Hình 2 của các hình tam giác, có thể thấy rõ rằng

$$\frac{l}{l_1} = 1 + \frac{s_2}{s_1}.$$ (2)

Thay thế ở đây $s_2/s_1$ từ thư từ (1), ta tìm được

$$\frac{l_1}{l} = 1 - \frac{m}{M}.$$ (2)

Chu kì dao động của một ma trận toán tỉ lệ với căn bậc hai của độ dài của nó: $T = 2\pi\sqrt{l/g}$. Vì $l_1 < l$, chu kỳ $T_1$ của dao động ma trận trong một đồng hồ treo trên dây dài nhỏ hơn chu kỳ $T$ của dao động ma trận trong một đồng hồ treo tường. Điều này có nghĩa là đồng hồ treo trên dây sẽ chạy nhanh.

Xét đến sự tương ứng (2), chúng ta tìm thấy mối quan hệ $T_1/T$:

$$\frac{T_1}{T} = \sqrt{\frac{T_1}{l}} = \sqrt{1 - \frac{m}{M}} \approx 1 - \frac{m}{2M}.$$ (3)

(Ở đây chúng tôi đã dạy điều đó theo điều kiện bài toán $m/M=0,03 \ll 1$ và sử dụng công thức gần đúng $\sqrt{1+x} \approx 1+x/2$, hợp lệ cho $|x| \ll 1$.)

Bây giờ từ (3) dễ dàng tìm thấy sự giảm trong khoảng thời gian $\Delta T = T-T_1$:

$$\Delta T = T \frac{m}{2M}.$$

Thay thế các giá trị $m$ và $M$ từ điều kiện, chúng ta tìm thấy: $\Delta T = 0,015T$. Trong một ngày, một chiếc đồng hồ treo trên dây sẽ di chuyển về phía trước thêm 21 phút 36 giây.

E. Butikov