Kvant 1981, số 11 · Trang

QUANTUM
11
1981

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Olympic Vật lý học sinh thế giới lần thứ XV
(Tashkent, tháng 4 năm 1981).
Một thí nghiệm đang được tiến hành.

1

Tổng biên tập
Viện sĩ Kikonn I.K.
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ Kolmogorov A. N.
Đại biểu
tổng biên tập:
Danilycheva M. N.
Leshkovtsev V. A.
Soloviev Yu. P.
Tuyển tập biên soạn:
Aslamazov L. G.
Bashmak M. I.
Belonuchkin V. E.
Boltyansky V. G.
Borovoy A. A.
Brook Yu. M.
Vavilov V.V.
Vasiliev N. B.
Voronin S.I.
Gnedenko B.V.
Gutenkhacher V.L.
N.P.
Dubrovsky V. N.
Zemlyakov A. N.
Zilberman A. I.
Klimanov A. I.
Kozel S. M.
Krotov S. S.
Kudryavtsev L. D.
Mikhailov A. A.
NIKISHN E. M.
Novikov S. P.
Potapov M.K.
Razumovsky V. G.
Rodina N.A.
Rozov N. Kh.
Savin A.P.
Smorodinsky Ya. MỘT.
Sosinsky A. B.
Urovev V. M.
Nhà chế tạo V.A.

Ban biên tập:
Baldin A. M.
Belyaev S. T.
Bukhovtsev B.B.
Velikhov E. P.
Verchenko I. Ya.
Vozdvizhensky B.V.
Glushkov V. M.
Dorofeev G.V.
Ermolaeva N. A.
Ershov A. P.
Zubov V. G.
Ivanov Yu. B.
Kantorovich L.V.
Kapitsa P. L.
Kirillin V. A.
Kotkin G. L.
Logunov A. A.
Mozhaev V.V.
Orlov V. A.
Kuzmin R. N.
Patrieeva N. A.
Peryshkin A.V.
Sagdeev R.Z.
Sobolev S. L.
Stasenko A. L.
Surin I.K.
Surkov E. L.
Faddeev L. D.
Firsov V.V.
Ykovlev G. N.

TRONG PHÒNG:

Các nhà khoa học giáo dục giới trẻ
2 P. Kapitsa. Giáo sư và sinh viên

---

6 B. Wertheim. Trò chơi có chức năng hình vuông
11 Vâng. Smorodinsky. James Thư Ký Maxwell
(nhân kỷ niệm 150 năm ngày sinh của ông)

Phòng thí nghiệm «Kvant»
18 A. Borovoy, Y. Klimov. Con lắc Maxwell

Vấn đề «Kvant»
21 Bài toán M711 — M715; F723 — F727
23 Lời giải bài toán M671 — M674; F683 — F687
28 V. Galperin, G. Galperin. Che phủ máy bay bằng máy chiếu

«Kvant» cho học sinh nhỏ
31 Bài toán
32 R. Rubinov. Theo định lý Pythagore

Xưởng của người nộp đơn
36 S. Korshunov. định luật Dalton

Nghệ thuật lập trình
40 Trường đào tạo lập trình tương ứng. Bài học 16

ХV Tối ưu hóa dựa trên cân nặng của học sinh
44 V. Vavilov, A. Zemlykov. Olympic Toán
50 T. Petrova, L. Chernova. Olympic Vật lý
54 người đoạt giải Cuộc thi Tối ưu hóa Liên đoàn Cân nặng lần thứ XV dành cho Học sinh

Đánh giá, thư mục
56 A. Edorov, I. Klimov. Sách mới
58 trang cờ vua
59 Đáp số, được biểu thị, lời giải

Bảng câu hỏi (39)
Pha trộn (10, 39)
Thi đấu cờ vua (3 trang bìa)

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1981

2

P. Kapitsa

Giáo sư và sinh viên

Buổi tối truyền thống của chúng tôi, nơi tập trung những người đã tốt nghiệp Viện Vật lý và Công nghệ Moscow và những người dự định tốt nghiệp tại đó, được chia thành hai phần. Phần đầu tiên được gọi là thương mại và được dành cho cuộc sống và hoạt động của viện chúng tôi. Trong phần thứ hai, chúng ta nhìn lại sự độc lập tuyệt vời của mình, gặp gỡ những người bạn cũ và vui chơi. Tôi phải tham gia phần đầu tiên của chương trình này, phần này kém hấp dẫn hơn phần thứ hai, nhưng các đồng chí phải nhớ rằng một bữa trưa ngon bao giờ cũng có món nướng thịnh soạn, và chỉ sau khi ăn xong mới mang lại cho chúng ta sự thoải mái, và món nướng này không thể bỏ qua, chúng ta phải hết sức nghiêm túc. Tất nhiên, đối với tôi, với tư cách là một đầu bếp, không dễ dàng như vậy bài toán - để làm cho bạn một món nướng thơm ngon trong 15-20 phút dành cho buổi biểu diễn và nói về công việc của chúng ta một cách chân thành và bạn không xứng đáng. Tuy nhiên, chúng tôi có một số câu hỏi liên quan đến công việc của viện mà tất cả chúng tôi đều quan tâm. Đây là những câu hỏi tôi muốn nói với bạn.

Tất cả các bạn đều biết rõ rằng fizech đã được tạo ra khoảng hai mươi năm trước. Ý tưởng chính đằng sau việc thành lập viện này rất đơn giản và rất dễ thấy. Khoa học đã phát triển cực kỳ nhanh chóng cả ở Liên Xô và các nước khác; Nhiều viện khoa học được thành lập, các viện này tiếp nhận những nhà khoa học giỏi nhất, và mọi “khoa học lớn” đều tập trung ở các viện này. Các trường đại học rơi vào tình trạng thiếu thốn: họ mất đội ngũ giảng viên, giáo sư cũng như trang thiết bị để sinh viên học tập. Vì vậy, sinh viên không có cơ hội tham gia công tác khoa học ở trường mà phải đào tạo lại ở các viện khác trước khi chuẩn bị cho công việc khoa học.

Viện sĩ Pyotr Leonidovich Kapitsa - hai lần Anh hùng Lao động xã hội, đoạt giải Nobel và Giải thưởng Nhà nước, Viện trưởng Viện Các vấn đề Vật lý mang tên. S. I. Vavilova Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô.

Bài báo là bài phát biểu của P. L. Kapitsa tại buổi tối của các sinh viên tốt nghiệp Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva năm 1963, được in lại với những chữ viết tắt nhẹ từ tuyển tập “Lênin. Khoa học. Tuổi trẻ”, do nhà xuất bản Nauka xuất bản năm 1980.

Khoảng cách giữa thách thức và thể chế khoa học như vậy hóa ra lại cực kỳ có hại cho việc đào tạo nhân sự, vì vậy cần phải thu hẹp khoảng cách này.linkedin. Với mục đích này, Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva đã được thành lập, trong đó việc giảng dạy học sinh bột được kết nối với công việc khoa học; họ được tham gia trên những thiết bị tiên tiến nhất, được đào tạo bởi các nhà khoa học trẻ đang tích cực làm việc trong lĩnh vực khoa học, và cuối cùng, các nhà khoa học vật lý có cơ hội bắt đầu hoạt động khoa học từ năm thứ hai hoặc thứ ba. Vì vậy, tất cả những thiếu sót trong việc tổ chức khoa học của chúng ta, vốn gắn liền với sự phát triển nhanh chóng của nó, phần lớn đều có mối liên hệ với nhau.

Sự thành công của hệ thống này là không thể nghi ngờ. Ngày càng có nhiều cơ sở giáo dục hoạt động theo nguyên tắc giống như MIPT đào tạo các nhà khoa học trẻ. Tuy nhiên, cho dù hệ thống đó có hoạt động thành công đến đâu trong những năm qua thì nó vẫn có những thiếu sót đáng kể cần phải khắc phục và sửa chữa. bài toán - phát hiện những khuyết điểm này, tìm cách khắc phục.

Lớp tốt nghiệp đầu tiên của MIPT hiện tại giờ đã lớn nên đồng chí Belotserkovsky, nhà vật lý cũ của chúng tôi, đã trở thành hiệu trưởng của viện chúng tôi. Nhờ anh ấy đã hoàn thành xuất sắc khóa học của mình với chúng tôi và hiểu rõ tinh thần cũng như tầm quan trọng của hệ thống dạy và học vật lý nên anh ấy cực kỳ vui vẻ và dễ làm việc cùng, và chúng tôi thường phục vụ anh ấy những sự kiện cần thiết để cải thiện công việc của chúng tôi.

Chúng tôi nhận thấy rằng chúng tôi vẫn còn những vấn đề lớn trong chức vụ giáo sư của mình; không phải lúc nào chúng ta cũng thu hút được những giáo sư giỏi nhất để dạy cho giới trẻ. Và còn một nhược điểm nữa mà tôi sẽ đề cập đến. Viện vẫn chưa thực hiện được tất cả các chức năng mà nó có thể thực hiện. Tôi cũng muốn nói về những chức năng này. Về việc lựa chọn chức danh giáo sư, như bạn biết đấy, chúng ta có những giáo sư giỏi, cũng có những giáo sư trung bình, thậm chí có những giáo sư thấp hơn. Bạn không thể làm gì về nó. Nó sẽ luôn như thế này.

Có lẽ điều khó khăn nhất là việc giảng dạy các môn cơ bản không được cung cấp đầy đủ cho chúng ta. Trước đây, việc giảng dạy các môn cơ bản trong các cơ sở giáo dục đại học - vật lý đại cương, hóa học, toán học, cơ học - được giao cho các nhà khoa học lỗi lạc nhất và việc giảng dạy các khóa học được coi là một nhiệm vụ vô cùng vinh dự. Bây giờ điều đó đã thay đổi, thật khó để nói tại sao. Bởi vì từ quan điểm giáo dục thế hệ trẻ, tất nhiên, điều rất quan trọng là nền tảng kiến ​​thức được đưa ra bởi các nhà khoa học lớn, những người sẽ đặt nền móng và nói với giới trẻ những gì họ cần để xây dựng kiến ​​thức. Nếu nền tảng không đủ tin cậy thì mọi kiến ​​thức sẽ không được sử dụng trên đôi chân của nó.

Làm thế nào để cải thiện tình hình, làm thế nào để đảm bảo có những giáo sư giỏi nhất, những giáo viên giỏi nhất, những nhà khoa học giỏi nhất giảng dạy các môn học ở trường đại học? Có vẻ như người ta có thể sử dụng công nghệ hiện đại, chẳng hạn, để làm một bộ phim trong đó một giảng viên, nhà khoa học nổi bật nhất trong một lĩnh vực nhất định (hoặc thậm chí một nhóm nhà khoa học), sẽ dạy sinh viên vật lý, hóa học hoặc toán học.

Tất nhiên, điều này sẽ thu hút những giáo sư giỏi nhất đến dạy học sinh. Nhưng hãy xem điều gì thực sự xảy ra từ việc này. Có lẽ ban giám đốc viện sẽ hoan nghênh sáng kiến ​​​​như vậy: số lượng nhân viên sẽ giảm bớt và không cần phải thu hút, tìm kiếm đội ngũ giảng viên. Từ quan điểm của Bộ - tiện nghi tương tự. Bằng cách làm một bộ phim, họ sẽ có thể giảm bớt nhân viên và giảm chi phí cho các trường đại học. Một số sinh viên sẽ rất vui vì suy cho cùng, ngủ trong rạp chiếu phim tối sẽ thoải mái hơn ngủ trong phòng sáng.

4

Và tất nhiên, một hệ thống như vậy không hề lười biếng. Hãy tưởng tượng rằng tại viện, cùng với các giáo sư, có một máy quay phim và chỉ có sinh viên và người hâm mộ điện ảnh mới đến đó. Đó sẽ là một cái kết cực kỳ nhàm chán và đen tối mà bạn sẽ không đối xử như trường cũ của mình. Tuy nhiên, đây không phải là vấn đề. Người ta nói rằng sớm hay muộn học sinh bằng cách nào đó sẽ thích nghi với điều này, bằng cách nào đó sẽ sống sót được. Bản thân các giáo viên sẽ phản ứng tồi tệ hơn nhiều trước sự thay đổi này. Thực tế là họ hoàn toàn quên mất một chức năng khác của việc hoàn thành giáo dục đại học - không chỉ dạy học sinh mà còn dạy chính các giáo sư và giáo viên.

Một nhà khoa học giỏi luôn tự học hỏi khi giảng dạy. Đầu tiên, anh ta kiểm tra kiến ​​​​thức của mình, bởi vì chỉ khi ra lệnh rõ ràng cho người khác, anh ta mới có thể chắc chắn rằng bản thân mình hiểu được câu hỏi. Thứ hai, khi bạn tìm kiếm một hình thức mô tả rõ ràng về một vấn đề cụ thể, những ý tưởng mới thường xuất hiện. Thứ ba, những câu hỏi thường lố bịch mà sinh viên hỏi sau bài giảng chỉ kích thích tư duy và buộc họ phải nhìn một hiện tượng được tiếp cận theo cách tiêu chuẩn từ một quan điểm hoàn toàn mới, và điều này cũng giúp ích cho những người có tư duy sáng tạo.

Và cuối cùng, học sinh biết rõ hơn và có kiến ​​thức rộng hơn về các vấn đề vật lý so với giáo viên. Người giáo viên, với tư cách là một chuyên gia, có một cách tiếp cận hạn hẹp; anh ấy không có cách tiếp cận rộng rãi. Học sinh có cách tiếp cận rộng hơn nhiều. Và khi học sinh nói chuyện với giáo viên, giáo viên sẽ học được rất nhiều điều từ học sinh.

Đây là lý do tại sao các nhà khoa học trẻ cần tham gia vào hoạt động giảng dạy. Một trường đại học tốt là một trường có thể phát triển tài năng của giáo viên một cách dễ dàng như tài năng của sinh viên.

Để chứng minh rằng đây không phải là những cụm từ chung chung, tôi sẽ cung cấp cho bạn một số ví dụ về việc việc giảng dạy đã dẫn đến những khám phá vĩ đại như thế nào. Những ví dụ này ấn tượng đến nỗi, đối với tôi, dường như chúng xác nhận một cách mạnh mẽ ý tưởng này.

Một trong những ví dụ kinh điển nhất được nhiều người biết đến - đây là D.I. Mendeleev và bảng tuần hoàn của ông. Mendeleev đang tìm cách dạy học sinh dễ dàng hơn về tính chất của các nguyên tố, để những tính chất này có thể được nhận biết theo một hệ thống nhất định. Ông phân chia các nguyên tố vào các tấm thẻ, gấp những tấm thẻ này theo những thứ tự khác nhau và cuối cùng phát hiện ra rằng các tấm thẻ được sắp xếp dưới dạng bảng tuần hoàn đại diện cho một hệ thống đều đặn. Vào ngày 1 tháng 3 năm 1869, bảng này được xuất bản thành một ấn bản riêng và sau đó ít lâu được đưa vào làm phụ lục trong số thứ hai của tạp chí “Cơ sở hóa học”. Như vậy, hệ thống tuần hoàn các nguyên tố về cơ bản nảy sinh từ hoạt động sư phạm của Mendeleev với tư cách là giáo sư tại Đại học St. Petersburg.

Trường hợp thứ hai, sớm hơn một chút, liên quan đến toán học. Vào đầu thế kỷ 19. Chính phủ Nga quyết định rằng tất cả các quan chức phải có trình độ học vấn trung học. Những quan chức không có giấy chứng nhận trưởng thành phải có giấy chứng nhận trưởng thành. Để làm điều này dễ dàng hơn với họ, các khóa học đã được tạo ra để chuẩn bị cho họ tham gia kỳ thi tuyển sinh. Một trong những giáo viên hình học của những khóa học như vậy là N.I. Lobachevsky. Khi đó anh ấy 24-25 tuổi. Anh ta còn rất trẻ và đã được các quan chức mà anh ta đại diện dạy các nguyên tắc hình học. Và họ không thể hiểu được tiên đề về sự không giao nhau của hai đường thẳng song song bắt nguồn từ đâu.

Lobachevsky đã đấu tranh trong một thời gian dài để đưa ra những nghĩa vụ phù hợp, nhưng tin chắc rằng những nghĩa vụ đó không tồn tại. Ông nhận ra rằng có thể xây dựng một hình học trong đó các đường thẳng luôn giao nhau. Đây là cách hình học phi Euclide của nó được tạo ra. Như vậy

5

Vì vậy, ông đã tìm ra một lĩnh vực toán học mới, như bạn biết, lĩnh vực này tồn tại và đóng vai trò cơ bản trong vật lý hiện đại.

Tôi có thể đưa ra một ví dụ khác mà nhà vật lý nổi tiếng Debye đã kể cho tôi. Debye là một giáo viên, giáo sư ở Zurich. Ông có một học trò, cũng là một giáo viên, Schrödinger, khi đó là một thanh niên hoàn toàn xa lạ. Debye đã làm quen với công trình của de Broglie, trong đó de Broglie, như bạn biết, đã đưa ra giả thuyết về sự tồn tại cấu trúc sóng của electron, cho thấy rằng trong những điều kiện giao thoa nhất định, có thể thay thế chuyển động của electron bằng chuyển động sóng. Ý tưởng về sự tương đương giữa chuyển động sóng và các quá trình lượng tử, chuyển động sóng và chuyển động hạt được một số nhà vật lý nhìn nhận rất tiêu cực. Schrödinger cũng phản ứng tiêu cực với cô ấy. Khi Debye yêu cầu ông kể cho những người trẻ tuổi về công việc của de Broglie, Schrödinger ban đầu từ chối. Sau đó, khi Debye, lợi dụng vị trí giáo sư của mình, một lần nữa cho phép ông làm điều này, Schrödinger đồng ý và bắt đầu tìm cách giải thích các ý tưởng của de Broglie dưới dạng toán học đầy đủ và chính xác nhất. Và khi anh ấy nói về công trình của de Broglie trong bài thuyết trình mà anh ấy cho là chính xác nhất, Debye đã nói với anh ấy: “Nghe này, bạn đã tìm ra một loại phương trình mới tuyệt vời, là nền tảng của vật lý hiện đại!” Như vậy, nhờ hoạt động sư phạm đã tìm ra phương trình sóng - phương trình cơ bản của vật lý hiện đại.

Có thể đưa ra nhiều ví dụ tương tự hơn nữa, nhưng đối với tôi, dường như khá rõ ràng rằng nếu hoạt động giáo dục có kết quả trong những vấn đề cơ bản nghiêm túc như vậy thì chắc chắn nó cũng có kết quả trong những vấn đề đơn giản hơn; nó thường có ảnh hưởng hữu ích đến khoa học hiện đại và các nhà khoa học hiện đại. Vì vậy, các cơ sở giáo dục đại học không chỉ nên được coi là cơ sở đào tạo các nhà khoa học trẻ mà còn là nơi phát triển các tài năng khoa học và các nhà khoa học đã thành danh. Các cơ sở giáo dục nên được tổ chức sao cho cơ hội này được cung cấp rộng rãi cho đội ngũ giảng viên.

Không phải lúc nào chúng ta cũng nhận ra điều này. Ví dụ, cho đến lúc đó, ở các trường đại học và các cơ sở giáo dục đại học khác, việc một phần nhân viên tham gia vào các hoạt động khoa học và một phần nhân viên tham gia giảng dạy được coi là hợp lý. Chính xác là trong các cơ sở giáo dục đại học cần có một hệ thống dựa trên các nhà khoa học dành phần lớn thời gian của họ cho hoạt động giảng dạy. Chỉ khi đó cơ sở giáo dục mới thực hiện được mọi chức năng của mình - dạy học sinh và giảng dạy đội ngũ giảng viên.

Vì vậy, việc thay thế giáo sư bằng máy ảnh phim là hoàn toàn bất tiện; nó khiến phần thứ hai trong các hoạt động của một cơ sở giáo dục đại học không thể thực hiện được, chắc chắn sẽ phát triển trong tương lai gần và chúng tôi sẽ chú ý đến. Nên chú ý hơn.

Tôi nói với các bạn về điều này bởi vì tất cả các bạn, những nhà khoa học trẻ, sẽ sớm rời bỏ ngành vật lý và làm việc trong các viện nghiên cứu với năng lực này hay năng lực khác. Nếu bạn muốn tiếp tục phát triển như những nhà khoa học chứ không phải già đi và nâng cao kiến ​​​​thức của mình, bạn cần không mất liên lạc với thế hệ trẻ tiếp theo, hãy dạy dỗ thế hệ trẻ này và học hỏi từ họ, phát triển kiến ​​​​thức của mình. Nếu bạn nghỉ dạy những người trẻ, bạn sẽ ngay lập tức già đi và ngay lập tức bắt đầu tụt hậu so với khoa học.

Tôi muốn thay mặt tôi truyền đạt bản di chúc nhỏ này cho bạn vì tôi cho rằng nó rất quan trọng.

6

B. Vergeem

hoặc bên phải của bạn. Kỹ năng của họ được phản ánh trong bảng *): nếu người chơi

Trò chơi
với hàm vuông

Có thể học toán thông qua một trò chơi? Hóa ra điều đó là có thể, vì trong toán học có rất nhiều bài toán mô tả “tình huống trò chơi”.

Chúng ta sẽ giải quyết các trò chơi liên quan đến việc tìm ra giá trị lớn nhất và nhiều nhất của hàm số. Nghệ thuật tìm kiếm như vậy có ý nghĩa quan trọng trong nhiều vấn đề kinh tế, quân sự, sinh học, thể thao,…

Quyết định mười mét bằng nhau

Chúng tôi đang ở trên sân bóng. Cầu thủ A và thủ môn B đang chuẩn bị thực hiện loạt 10 cú sút ngang nhau. Người chơi sẽ đi sang phải hoặc sang trái; thủ môn đang cố đoán hướng sút, chuẩn bị nhảy sang trái

đặt cược bên phải (đây là chiến thuật số 1 của anh ta), và thủ môn chuẩn bị nhảy sang trái (đây là chiến lược số 1 cho B), khi đó trung bình sẽ có 7 bàn trên 10; nếu B chuẩn bị nhảy sang phải thì ném 10 quả bóng, v.v.

Cả hai người chơi sẽ luân phiên lựa chọn của mình một cách ngẫu nhiên. Nếu mỗi người trong số họ chọn mỗi chiến lược của mình trong khoảng một nửa thời gian (như người ta nói, với xác suất là 1/2), thì trung bình (7 + 10 + 9 + 6): 4 = 8 bàn thắng sẽ được ghi.

Nếu A áp dụng chiến lược đầu tiên với xác suất 0,6 (trong trường hợp 60%) và chiến lược thứ hai với xác suất 0,4 (trong trường hợp 40%),

*) Trong lý thuyết trò chơi và kinh tế học, những bảng như vậy được gọi là ma trận lương.

7

và thủ môn sử dụng chiến thuật đầu tiên của mình với xác suất 0,8 và chiến thuật thứ hai với xác suất 0,2, khi đó trung bình $(7 \cdot 0,6 + 9 \cdot 0,4) \times 0,8 + (10 \cdot 0,6 + 6 \cdot 0,4) \cdot 0,2 = 7,92$ bàn thắng sẽ được ghi, tức là nhỏ hơn 8. Tất nhiên, không có ý nghĩa gì khi nói rằng trong chuỗi trận cụ thể này sẽ có 7,92 bàn thắng được ghi. Điều muốn nói ở đây là với những loạt trận lặp lại nhiều lần thỏa mãn điều kiện đặt ra, số bàn thắng trung bình ghi được (tỷ lệ giữa tổng số bàn thắng trên số loạt trận) sẽ gần bằng 7,92.

Nói chung, hãy để $A$ chọn chiến lược thứ nhất và thứ hai với xác suất $x$ và $1-x$ ($0 \leq x \leq 1$) và $B$ với xác suất $y$ và $1-y$ ($0 \leq y \leq 1$). Trong trường hợp này, các con số $x$ và $y$ được cho là quyết định chiến lược hỗn hợp của người chơi. thì số bàn thắng trung bình ghi được là $m = (7x + 9(1-x))y + (10x + 6(1-x)) \times (1-y) = -6xy + 4x + 3y + 6$. (*)

Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên: các giá trị cao nhất của $x$ cho $A$, $y$ cho $B$ là gì? Giá trị tốt nhất $x^*$ cho $A$, được đặt, phải đảm bảo số bàn thắng tối thiểu được ghi (trung bình), bất kể chiến thuật của thủ môn. Giá trị tốt nhất của $y^*$ cho $B$ phải đảm bảo số bàn thắng tối thiểu được ghi (trung bình), bất kể chiến lược của người sút phạt trước đây là gì.

Hóa ra (bạn sẽ thấy điều này bằng cách giải Bài tập 1), $x^* = 1/2$, $y^* = 2/3$; trong trường hợp này, (trung bình) $m^* = 8$ bàn thắng sẽ được ghi. Thật dễ dàng để kiểm tra (hãy chắc chắn làm điều này!) rằng nếu ít nhất một trong số các cầu thủ tuân thủ chiến lược “tốt nhất” đã chỉ định, thì bất kể chiến lược của người kia là gì, $m^* = 8$ bàn thắng sẽ được ghi (trung bình). Nếu một trong những người chơi không tuân theo chiến lược đã chỉ định, thì anh ta không còn có thể đảm bảo bất cứ điều gì - kết quả sẽ phụ thuộc vào hành động của quy tắc.

Vì vậy, nếu thủ môn nhảy sang phải và sang trái thường xuyên như nhau (tức là $y = 1/2$) và cầu thủ luôn ở góc phải ($x = 0$), thì trung bình sẽ có ít bàn thắng được ghi hơn ($m = 7,5$). Nhưng nếu người chơi $A$ bị đánh trúng, anh ta sẽ luôn ở góc trái ($x = 1$) và sau đó sẽ ghi bàn thường xuyên hơn ($m = 8,5$).

Và bây giờ, hãy tạm dừng bóng đá, các giả định và xử lý các hàm “đơn giản”, không hạn chế về $x$ và $y$ - điều này sẽ giúp các bước đầu tiên dễ dàng hơn.

Thắng, thua, hòa

Cho hai người chơi trò chơi sau: $A$ chọn số thực $x$, $B$ chọn số $y$ và mỗi người tự đưa ra lựa chọn của mình mà không biết lựa chọn của đối thủ. Cả hai con số đều được thông báo cho số phận, sau đó, theo các quy tắc mà người chơi đã biết trước, số tiền thắng của $v = f(x, y)$ đầu tiên, bằng với số tiền thua của số thứ hai, được tính; chính xác hơn, ở $v > 0$ A thắng giá trị $B$ $v$, ở $v < 0$ A thua giá trị $B$ $|v|$; nếu $v = 0$, thì trò chơi hòa; ký hiệu $f(x, y)$ có ​​nghĩa là $v$ là hàm cho trước của hai biến ($x, y$).

Ví dụ: đặt quy tắc tính tiền thắng trong trò chơi là:

$$v = y^2 - x^2.$$

Hãy thử chơi lại quy tắc (1) nhiều lần. Sau một số “trò chơi”, người chơi sẽ nhận thấy rằng tốt hơn là mỗi người trong số họ nên giành được giá trị bằng 0: với $x = y = 0$, kết quả là hòa và sẽ bất lợi cho một trong hai người chơi nếu đi chệch khỏi lựa chọn này, ngay cả khi biết lựa chọn của đối thủ.

Thật vậy, vì đối với $x = 0$ $v = y^2$, người chơi $B$ tốt nhất đáp số là lựa chọn của $y = 0$. Tương tự như vậy, với $y = 0$ $v = -x^2$ và nước đi tốt nhất $A$ là $x = 0$.

Bây giờ rõ ràng là việc chơi với chức năng plugin $v = y^2 - x^2$ không thú vị: đảm bảo một kết quả hòa cho cả hai người chơi. Chơi với chức năng plugin sau sẽ khó hơn và thú vị hơn:

$$v = y^2 - x^2 + 8x - 10y + 9.$$

Trong trường hợp này, liệu có những con số $x$ và $y$ nào có thể được khuyến nghị cho người chơi và từ đó họ sẽ phải “tốn kém” nếu đi chệch khỏi con số đó không?

Chìa khóa đơn giản của trò chơi (2) được đưa ra bởi bản mở rộng

8

Hình 1.

$$v = (9 - x - y)(x - y + 1).$$

Đã tạo được hệ phương trình
$$\begin{cases} 9 - x - y = 0, \\ x - y + 1 = 0, \end{cases}$$

chỉ có lời giải $x^* = 4, y^* = 5$, chúng tôi kết luận rằng trò chơi (2) có kết quả hòa $v^* = v(x^*, y^*) = 0$ cho $x = x^* = 4, y = y^* = 5$.

Giải thích hình học ở đây như sau (Hình 1): một cặp số $(x^*; y^*) \in R^2$ được xác định bởi điểm giao nhau của các đường tương ứng với phương trình của hệ; nếu một điểm có tọa độ $(x; y)$ nằm trên một trong số chúng thì $v = 0$; đối với các điểm nằm bên trong các góc tạo thành trên đường thẳng lung lay, giá trị $v$ có dấu như hình vẽ. Con số này được bổ sung bằng các tính toán và lý luận sau đây; nếu $x = 4$, thì $v = (5 - y)^2 \geq 0$; $v_{\min} = 0$ tại $y = 5$ (tại các điểm thẳng đứng $x = 4$ luôn luôn $v \geq 0$); nếu $y = 5$, thì $v = -(x - 4)^2 \leq 0$; $v_{\max} = 0$ tại $x = 4$ (dọc theo chiều ngang $y = 5$ chúng ta có $v \leq 0$).

Do đó, nếu $A$ chọn $x = 4$, thì người chơi $B$ với bất kỳ lựa chọn nào khác ngoài $y = 5$ sẽ thua. Tương tự, nếu $A$ chọn $x \neq 4$, người chơi $B$ thắng khi lấy $y = 5$.

Vì vậy, người chơi đầu tiên có một nước đi mà anh ta chắc chắn sẽ không thua. Người chơi thứ hai cũng có động thái tương tự. Vì vậy, trong trò chơi này, người nào mạo hiểm chơi không “theo lý thuyết” sẽ thua (tất nhiên trừ khi đối thủ cũng có nguy cơ từ bỏ lý thuyết).

Chúng ta hãy lấy ví dụ về kết quả gót chân của các trò chơi trong trò chơi của chúng ta (trong mỗi bộ ba, số đầu tiên là $x$, số thứ hai là $y$, số thứ ba là $v$): $(0,0,9), (0,7, -12), (4,7,4), (4,5,0), (5,5, -1)$.

Nghiên cứu những trò chơi này gợi ý một cách khác lời giải (tiếc là không phải lúc nào cũng phù hợp). Chúng tôi cố gắng giải thích cho người chơi đầu tiên: “Nếu $B$ chọn $y = y_0$, thì chúng ta sẽ có một hình tam giác vuông $v(x, y_0) = (9 - y_0 - x)(x - y_0 + 1)$ đối với $x$, mà tôi phải làm cho hình tam giác này càng lớn càng tốt bằng cách chọn $x$ phù hợp; nhưng hình này có tam giác tối đa là $x = 4$, vì vậy tôi muốn $x = 4!$. Lập luận tương tự, người chơi thứ hai sẽ đảm bảo cho mình mức tối thiểu người thua cuộc $y = 5$ (đối với bất kỳ nước đi nào $x = x_0$ của ổ đĩa).

Điểm yên ngựa và lời giải trò chơi

Chúng ta đã thấy rằng trong trò chơi có hàm (2), mỗi người chơi có thể tự bảo đảm mình không bị thua, vì khả năng tìm một cặp số (4:5) sao cho $f(4,5) = 0$ và với tất cả các giá trị $x$ và $y$ ​​của hàm $f$ thỏa mãn bất đẳng thức
$$f(x, 5) \leq f(4, 5) \leq f(4, y).$$

Từ đó, chúng ta có thể thấy rằng người chơi đầu tiên, chọn $x = 4$, trong mọi trường hợp, không thua (điều này diễn ra từ bất đẳng thức cuối cùng), cũng như người chơi thứ hai không thua khi chọn $y = 5$.

Hãy đưa ra một định nghĩa chung.

Định nghĩa điểm yên ngựa.

Cho một hàm $f$ được xác định trên một tập hợp $G$ điểm nào đó trong mặt phẳng. Điểm $(x^*; y^*) \in G$ được gọi là điểm yên của hàm số $f$ hoặc điểm cân bằng nếu tại $(x, y^*) \in G, (x^*, y) \in G,$
$$f(x, y^*) \leq f(x^*, y^*) \leq f(x^*, y).$$

Từ những bất đẳng thức này suy ra $\max f(x, y^*) = f(x^*, y^*) =$
$$= \min f(x^*, y)$$
(ở bên trái có giá trị tối đa trong biến $x$ đối với hàmin $y = y^*$, ở bên phải có giá trị tối thiểu trong $y$ đối với hàmin $x = x^*$).

Về lý thuyết, điểm yên ngựa của người chơi $(x^*; y^*)$ thường được gọi là giải pháp của trò chơi (có chức năng hoàn trả $v = f(x, y)$), số $v^* = f(x^*, y^*)$ được gọi là chi phí của trò chơi và số $x^*, y^*$ lần lượt là chiến lược tối ưu của người chơi thứ nhất và thứ hai.

9

Hình 2.

Khách du lịch và nhà leo núi

Khách du lịch muốn đi từ thung lũng $D_1$ đến thung lũng $D_2$, hãy đi qua đèo (yên ngựa) - trong khi độ cao tối đa trên đường từ $D_1$ đến $D_2$ (Hình 2) hóa ra là tối thiểu so với tất cả các tuyến đường gần không đi qua yên ngựa. Những người leo núi muốn thực hiện một chuyến đi từ đỉnh $V_1$ đến đỉnh $V_2$, hãy vượt qua cùng một chiếc yên vì một lý do khác - để không bị “mất độ cao”, tức là sao cho độ cao tối thiểu trên đường từ $V_1$ đến $V_2$ càng cao càng tốt.

Hình 1 hiển thị bản đồ trong đó chiều cao của đường chuyền được lấy bằng 0 và $x$ và $y$ là các điểm đục và vĩ độ. Chúng tôi sẽ coi các đường thẳng song song với các trục là khả năng dẫn đường cho khách du lịch và người leo núi. Giống như các tuyến đường trên núi, các đường thẳng chính của Hình 1 ($y=5$ và $x=4$) được làm nổi bật bởi thực tế là
$$f(x^*, y^*) = \min_{y} \max_{x} f(x, y) = \max_{x} \min_{y} f(x, y),$$
và điều này rất hữu ích khi phân tích trò chơi. Ở đây tối đa $f(x, y)$ là giá trị tối đa của $f$ cho một $y$ và biến $x$ nhất định, tức là tìm kết quả cho $B$ cho một giá trị đã chọn $y$; Rõ ràng, giá trị này tối thiểu ở mức $y=5$. Giải thích sự lựa chọn $x=4$ của người chơi $A$ theo cách tương tự.

Bây giờ hãy xem xét một trò chơi có hàm hoàn trả $v=x^2-y^2$, không có điểm yên ngựa (kiểm tra phần này). Việc phân tích một trò chơi có chức năng như vậy là rất phức tạp. Trong ví dụ này, đối thủ sẽ quan tâm đến việc chọn những con số lớn nhất để đạt được. Nếu chúng tôi đưa ra các hạn chế đối với các biến $x$ và $y$ có ​​dạng $|x| \leq a, |y| \leq b$ thường gặp trong thực tế, 4 điểm yên sẽ xuất hiện: $x^* = \pm a, y^* = \pm b, (v^* = a^2 - b^2)$.

Tuy nhiên, với loại hạn chế này, điểm yên ngựa có thể không xuất hiện (xem Bài tập 3).

Lời giải trò chơi có tính năng thanh toán theo hình vuông

Kết quả xem xét lý thuyết của chúng tôi được tóm tắt bằng định lý sau. Cho một mức giá có chức năng thanh toán
$$v = ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2px + 2qy + r.$$
Hàm này có điểm yên và cer lời giải trong bảy trường hợp sau và chỉ trong bảy trường hợp đó:

1. $a < 0, c > 0$;
2. $a < 0, c = 0 \neq b$;
3. $a < 0, c = b = q = 0$;
4. $a = 0 \neq b, c > 0$;
5. $a = b = p = 0, c > 0$;
6. $a = c = 0, b \neq 0$;
7. $a = b = c = p = q = 0$.

Điểm yên ngựa là hệ phương trình lời giải
$$\begin{cases} ax + by + p = 0, \\ bx + cy + q = 0. \end{cases}$$

Đây là lời giải $(x^*, y^*)$ trong tất cả các trường hợp này ngoại trừ cer, độc giả: việc phân tích các ví dụ cụ thể trước đó sẽ giúp anh ta.

Bài tập

1. a) Hãy xem xét trò chơi có hàm hoàn trả $m = 6 + 4x + 3y(1-2x)$ và tìm giá trị $x$ mà $m$ không phụ thuộc vào $y$, cũng như giá trị $y$ mà $m$ không phụ thuộc vào $x$. Cặp ý nghĩa này có mang lại trò chơi lời giải không?

2. Tìm lời giải và đặt giá trò chơi với các tính năng thanh toán sau:
   a) $v = -x^2 + 6xy + y^2 - 10x - 10y + 15$;
   b) $v = (x + y - a)(y - x - b)$;
   c) $v = 10\ln x - x^2 + 2xy + y^2 + 10x - 8y - 40, x > 0$;
   d) $v = k(\sqrt{x}, -\sqrt{y}) + \sqrt{a-x} - \sqrt{b-y}$;
   d) $v = k(-x^2 + 2pxy + y^2) - x_0^2 - 2px_0y + y_0^2$, trong đó $x_0 = a - x, y_0 = b - x$;

10

3. Có điểm cân bằng nào trong các trò chơi “hạn chế” sau đây không: a) $v = x^2 + y^2$; b) $v = (x-y)^2$; c) $v = x^2 + xy + y^2$, và trong cả ba trường hợp $|x| \leq a, |y| \leq b$.

4. Phát biểu của định lý thay đổi như thế nào với điều kiện bổ sung $x \geq a$?

5. Khoảng cách là các trò chơi sau đây với ma trận tấm $2 \times 2$ có dạng $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})^*$. Người chơi $A$ chọn hàng và $B$ chọn cột - và phải tìm thấy lời giải cho các chiến lược hỗn hợp $(x, y)$ và các hàm thuộc loại (1) cho $0 \leq x$, $y \leq 1$ trong các trường hợp sau:

a) “Trốn Tìm” hoặc “Ponsk”: $a = d = -1$, $b = c = 1$. Người chơi $A$ sẽ định cư ở một trong hai nơi và $B$ sẽ tìm kiếm anh ta ở cùng một nơi. Người đạt được mục tiêu sẽ nhận được, còn người kia sẽ mất một điểm (đồng xu).

6. “Phòng thủ và tấn công”: $a = d = c + 1$, $b = 1$, trong đó $c > 1$ được đưa ra, ví dụ: $c = 3$. Một phân đội do $A$ chỉ huy chịu trách nhiệm quản lý 2 kho nhiên liệu (trong kho thứ hai có nhiều hơn $c$ so với kho thứ nhất). $A$ chỉ có đủ sức mạnh để bảo vệ một nhà kho. Đơn vị $B$ chỉ có thể tấn công một trong những nhà kho này. Nếu sự lựa chọn của họ trùng nhau thì mọi thứ vẫn nguyên vẹn; nếu không, kho không được bảo vệ sẽ cháy. Tìm lời giải và giá của trò chơi rồi xem kết quả.

b) “Sự cố trên bãi biển”: $a = d = -\frac{b + c}{2}$, $b > c > 0$. Ví dụ: $b = 30$, $c = 10$. Một người lạ $B$ tiếp cận khách du lịch $A$ và đưa ra trò chơi sau: cả hai đều hiển thị một trong các mặt cùng một lúc - tiền xu. Nếu $y A$ là “ngửa”, $y B$ là “sấp”, thì $A$ sẽ thắng được 30 xu; Nếu như

*) Số $a$ là số tiền thắng $A$ của người chơi (thua $B$), nếu cô ấy áp dụng các quy tắc chiến lược của mình, v.v. (so sánh với bảng dành cho trò chơi có cổng); cũng được chơi ở đây nhiều lần.

Áp dụng phương pháp này vào trò chơi bài tập 5.

7. (Bài toán dành cho các lập trình viên trẻ.) Để thực hiện một loạt trò chơi $N$ với một chức năng nhất định, hãy soạn chương trình bằng ngôn ngữ Papir hoặc bằng ngôn ngữ thuật toán khác ($N = 5$ hoặc 10); trong trò chơi tiếp theo, trọng tài nhập các giá trị đã chọn $x$ và $y$ vào máy tính, sau khi tính toán, tiền thắng của người chơi trong trò chơi này và tiền thắng tích lũy của anh ta cho tất cả các trò chơi từ đầu loạt bài này sẽ được in ra.

8. Chứng minh rằng nếu một trò chơi có hàm bình phương có giá thì trò chơi đó là duy nhất, mặc dù có thể có nhiều hơn một điểm yên ngựa.

9. Số - phần tử ma trận - tại giao điểm của hàng thứ $i$ và cột thứ $j$ thường được ký hiệu là $a_{ij}$ - đây là cách viết tắt của $a(i, j)$, một hàm gồm hai đối số nguyên. Một phần tử ma trận được gọi là “yên ngựa” nếu nó là phần tử nhỏ nhất trong hàng và lớn nhất trong cột của nó. Nếu một yếu tố như vậy tồn tại, thì nó bằng với giá của trò chơi và số lượng hàng và cột của nó mang lại cho lời giải trò chơi “theo chiến lược thuần túy”. Điều ngược lại cũng đúng (chứng minh đi). Những ma trận nào trong Bài tập 1 và 5 có phần tử yên?

Bài toán độc giả của chúng tôi

1. Cái gọi là máy biến áp tác động Heugens là một rãnh chứa $n$ vật thể. Khối lượng của chúng $m_1$, $m_2$, …, $m_n$ liên hệ với nhau bởi điều kiện $m_i/m_{i+1} = k > 1$. Nếu vật đầu tiên bắt đầu chuyển động với tốc độ $v_1$ thì sau tất cả các va chạm (va chạm hoàn toàn đàn hồi), vật cuối cùng rời khỏi rãnh với tốc độ $v_n \gg v_1$ (trong lịch sử, đây là một trong những cách đầu tiên đạt được tốc độ cao). Tìm biểu thức cho các tỷ số $v_n/v_1$ và cho hiệu suất $K\Pi D = (m_n/m_1)(v_n/v_1)^2$ dưới dạng hàm của $k$ và $n$. Chứng minh rằng với một $v_n/v_1$ cho trước nhất thiết phải có $k$ mà $K\Pi D$ là lớn nhất.

L. Ashkinazi

2. Nhiệt kế cồn phổ biến có một nhược điểm đáng kể: nếu chúng được sử dụng để đo nhiệt độ không khí trên đường phố, nơi chúng được chiếu sáng bởi ánh sáng mặt trời, thì nhiệt kế khá nhanh chóng (trong vòng một đến hai năm) bắt đầu đưa ra các kết quả có ý nghĩa. Lý do cho điều này là do số lượng tham số bị giảm, nếu lớp bọc của vách ngăn không lý tưởng nhưng sẽ truyền một phần trăm công suất âm thanh.

G. Galperin

3. Hai phòng được ngăn cách bằng vách ngăn thấm âm, trong đó có một lỗ hình vuông có cạnh 2 cm. Chiều rộng của vách ngăn là 2 m, chiều cao của căn phòng cũng là 2 m. Ước tính các thông số cách âm sẽ suy giảm đến mức nào nếu lớp bọc của vách ngăn không lý tưởng nhưng sẽ truyền một phần trăm công suất âm thanh.

M. Vaksman

11

Cuộc đời của Maxwell, có lẽ là nhà vật lý vĩ đại nhất thế kỷ trước, xuất hiện như một sự đan xen của những câu chuyện bận rộn. Mỗi câu chuyện đều có tác động sâu sắc đến sự hiểu biết của chúng ta về thiên nhiên.

Nếu bây giờ chúng ta đang nói về một trường vật lý (điện từ, hấp dẫn hoặc một số trường khác), thì ý nghĩa của khái niệm này đã được Maxwell đưa ra. Vật lý phân tử (hoặc thống kê) có được ý nghĩa rõ ràng sau công trình của Maxwell. Công trình lý thuyết đầu tiên về điều khiển học, “Về Thống đốc” (như Maxwell gọi là bộ điều chỉnh máy móc), thuộc về Maxwell. Lý thuyết màu sắc của sự tồn tại có liên quan chặt chẽ đến công việc của ông. Một bài ca ngợi bài toán rất cũ về bản chất của các vành đai Sao Thổ đã được Maxwell giải quyết.

Câu chuyện về cổ phần của Sao Thổ là đơn giản nhất. Đó là nơi chúng ta sẽ bắt đầu.

Năm 1609, Galileo chế tạo chiếc điện thoại đầu tiên sử dụng tẩu thuốc kiểu Hà Lan mà ông nhìn thấy ở Venice. Sau khi chế tạo một cái ống (ông gọi nó là “phối cảnh”), Galileo đã nhìn ông qua nó. Những gì anh nhìn thấy ở đó đã làm anh sốc. Sao Mộc có bốn Mặt trăng, các ngọn núi xuất hiện trên Mặt trăng và các đốm được tìm thấy trên Mặt trời. Nhưng điều tuyệt vời nhất là những chồi có thể nhìn thấy được. Sau một thời gian, chồi biến mất và Galileo không thể làm sáng tỏ bản chất của chúng. Chỉ đến năm 1659 Huygens mới nhận ra rằng Sao Thổ được bao quanh bởi các vành đai.

100 năm nữa đã trôi qua. Các nhà thiên văn học bắt đầu nghĩ: tại sao các vành đai không rơi xuống Sao Thổ, tại sao chúng không bị phá hủy dưới tác động của trọng lực của chính chúng?

Vào cuối thế kỷ 18, bài toán này đã bị Laplace chiếm giữ. Kết luận mà ông đưa ra chẳng mấy an ủi: để các vành đai quay quanh Sao Thổ giống như những cấu trúc rắn chắc và đồng thời không bị sụp đổ.

12

bị sập, mật độ của vật liệu làm bánh xe sẽ rất cao.

Các khái niệm lý thuyết hóa ra không đủ để mô tả những quan sát mới. Năm 1855, một cuộc thi (Giải Adams*) được công bố tại Cambridge nhằm giải đáp câu đố về các bánh xe của Sao Thổ. Maxwell, lúc đó đang giữ chức chủ tịch ở Aberdeen (Scotland), đã bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ thống về vấn đề này. Ông đã kiểm tra liên tục ba trường hợp: 1) - vòng chất lỏng; 2) - vòng đặc; 3) - các vòng bao gồm các mảnh riêng biệt.

Các kết luận mà Maxwell đạt được như sau. Các vòng dày đặc, ngay cả khi chúng thỏa mãn điều kiện Laplace, sẽ bị phá hủy bởi sóng truyền dọc theo chu vi của vòng. Không có cấu trúc cứng hoặc biến dạng nào (vòng chất lỏng) có thể quay ổn định quanh Sao Thổ.

Khả năng duy nhất vẫn là một chiếc nhẫn bao gồm các mảnh tương đối nhỏ riêng biệt, mỗi mảnh quay với tốc độ vũ trụ đầu tiên (Sao Thổ) - dọc theo quỹ đạo của vệ tinh, như chúng ta sẽ nói bây giờ.

Đây là giải pháp bài toán. Giải Adams được trao cho Maxwell.

“Làm việc, hoàn thành, xuất bản” là phương châm của Maxwell. Năm 1855, ông bắt đầu nghiên cứu vấn đề về các vành đai Sao Thổ, và vào năm 1859, một nghiên cứu hoàn chỉnh về bài toán đã được xuất bản ở Cambridge.

Như đã nói, những câu chuyện khác nhau trong cuộc đời của Maxwell sẽ đan xen với nhau. Suy ngẫm về hành vi của các vành đai Sao Thổ, Maxwell nhận ra rằng cần phải phát triển một lý thuyết về một hệ thống được tạo thành từ một số lượng lớn các hạt tương tác. Việc mô tả những hệ thống như vậy bằng cách giải phương trình Newton là bài toán vô vọng. Tôi hy vọng bạn có thể-

*) D. K. Adams (1819-1892) - nhà thiên văn học đến từ Cambridge, người đã chứng minh sự tồn tại của một hành tinh ngoài Sao Thiên Vương (Sao Hải Vương) dựa trên phân tích toán học về chuyển động của Sao Thiên Vương.

*) Bản dịch tác phẩm đầu tiên này của Maxwell được viết vào «Kvant» Số 12, 1979.

13

đăng ký màu sắc chính xác. Đây có thể là lý do cho các thí nghiệm mới và tạo ra lý thuyết đầu tiên về bệnh mù màu.

Trong câu chuyện về tầm nhìn màu sắc, có thể thấy rõ những nét đặc trưng trong phương pháp khoa học của Maxwell. Hầu như tất cả các nghiên cứu của ông đều bao gồm các giai đoạn bắt buộc: tạo ra một mô hình hình học trực quan và sử dụng các phép loại suy đơn giản.

Dưới đây là những lời của Maxwell về ý nghĩa của phép loại suy vật lý, ý nghĩa của việc xây dựng một mô hình: bài toán là “tìm một phép loại suy vật lý cho phép tâm trí tiếp nhận các kết quả của nghiên cứu trước đó, một lý thuyết sau của bất kỳ lý thuyết nào dựa trên các nguyên tắc vật lý của khoa học mà phép loại suy được vay mượn, để không bị phân tâm khỏi chính chủ đề của nghiên cứu, phá vỡ các chi tiết phân tích và không kết thúc ở nước ngoài là đúng vì giả thuyết mà họ thích.”

Một công thức chỉ chứa đầy những cảnh báo như vậy, hoàn toàn tương đương với lời giải của Nhật Bản cho bài toán chính của Maxwell - lý thuyết về trường điện từ. Chính Maxwell là người đã nhìn thấy được trong các tác phẩm của Faraday những điều mà không ai khác có thể nhìn thấy. Trong đường dây điện của Faraday, anh nhìn thấy một vật thể mới - một cánh đồng. Nhưng để làm được điều này, cần phải trải qua một giai đoạn nghiên cứu khó khăn - giai đoạn của một mô hình nguyên thủy.

Một lần nữa câu chuyện lại bắt đầu với tác phẩm của Nhà vật lý vĩ đại. Faraday cho rằng tác dụng ở khoảng cách giữa điện tích và dòng điện được truyền bằng các đường lực nối các điện tích khác nhau (đường dây điện) hoặc vòng các điểm xung quanh (đường dây từ). Những đường này có xu hướng di chuyển dọc theo chiều dài của chúng (sự hấp dẫn) và đẩy ra xa các đường lân cận. Bằng sự chuyển động của những đường như vậy, Faraday đã có thể giải thích kết quả của một số lượng lớn các thí nghiệm của chính mình và của người khác.

Maxwell thực sự thích ý tưởng của Faraday: hình ảnh trực quan của những sợi dây đàn hồi hóa ra lại là một sự so sánh thành công. Cần phải tìm một bộ máy toán học để mô tả mô hình cơ học như vậy. Maxwell nhớ lại công trình của Thomson (Lord Kelvin tương lai) về cách kết hợp phương trình thế năng hấp dẫn và phương trình phân bổ nhiệt. Cả hai hiện tượng đều có thể được mô tả bằng cách sử dụng một hệ bề mặt có điện thế hoặc nhiệt độ. Do đó, nhiệt độ trong không gian xung quanh một quả bóng được nung nóng giảm theo định luật giống như thế năng của trường hấp dẫn của một quả bóng có khối lượng lớn.

Dựa trên sự tương tự tương tự, Maxwell bắt đầu bằng cách mô tả điện trường và từ trường bằng cách sử dụng một hệ đường thẳng, tùy ý tại mỗi điểm trong không gian và chỉ ra hướng tác dụng của các lực. Để mô tả độ lớn của lực, Maxwell thực hiện thêm một bước nữa, bước này phải được biểu thị, giống như trong một ván cờ, bằng dấu “!!”. Anh ta thay thế các đường thoát nước bằng các ống, và để làm cho các ống đàn hồi, anh ta giả sử rằng chất lỏng đang chảy dọc theo chúng.

Khái niệm chất lỏng điện và từ không phải là mới. Vì vậy, ngay cả trước Faraday, ông đã cố gắng mô tả các hiện tượng xảy ra với điện tích và nam châm. Nhưng không ai thử coi chúng như những vật thể xứng đáng để mô tả toán học, và không ai kết hợp chúng với các đường lực Faraday. Faraday nhận ra rằng khi có trường, cơ thể sẽ chuyển sang một “trạng thái điện” nào đó (đây là cách ông tưởng tượng ra hoạt động của trường). Maxwell đã cố gắng tìm ra các định luật toán học mô tả trạng thái này. Trong tác phẩm đầu tiên của ông về điện từ, “Về các đường lực Faradian” (thực hiện năm 1855-1856, và xuất bản năm 1861), ông vẫn buồn bã viết: “… Tôi vẫn hy vọng, khi khảo sát các tính chất của vật đàn hồi và chuyển động của chất lỏng nhớt, sẽ tìm ra một phương pháp cho phép chúng ta cung cấp cho trạng thái điện một hình ảnh cơ học nhất định có thể dẫn đến sự hóa thạch nói chung.” Công việc tiếp theo “Về vật lý”

14

các đường lực logic” ông xuất bản vào năm 1861-1862. Trong tác phẩm này, mô hình cơ học của trường điện từ được đưa đến mức gần như phi lý (theo quan điểm hiện tại) - ở đây các hạt quay được xếp thành hàng và phát ra trong môi trường, v.v. Với kỹ năng không thể tưởng tượng được, Maxwell chỉ trích xuất từ ​​mô hình những gì cần thiết cho lý thuyết trong tương lai và không sử dụng các thuộc tính cụ thể của các cơ chế mà ông lấp đầy không gian theo bất kỳ cách nào (đây là ý nghĩa của việc phòng ngừa mà ông đã viết). Trong tác phẩm tiếp theo, vào năm 1864, tất cả các đồ vật phụ đều biến mất, như có phép thuật, biến mất không dấu vết. Tác phẩm có tên là “Lý thuyết động lực học của điện trường” và trong đó cũng có chữ.

“Lý thuyết mà tôi đề xuất có thể được gọi là lý thuyết về trường điện từ, vì nó đề cập đến không gian xung quanh các vật thể điện và từ, và nó cũng có thể được gọi là lý thuyết động, vì nó thừa nhận rằng trong không gian này có vật chất chuyển động, qua đó các hiện tượng điện từ quan sát được được tạo ra. Trường điện từ là một phần không gian chứa đựng và bao quanh các vật thể, ở trạng thái điện hoặc từ.”

Điện động lực thực tế đã được xây dựng. Cuối cùng nó đã được chính thức hóa trong chuyên luận hai tập nổi tiếng về Điện và Từ, xuất bản năm 1873.

Chỉ có công trình đầu tiên về điện động lực học được thực hiện ở Aberdeen. Năm 1860, do việc tổ chức lại trường Đại học (hai trường cao đẳng được sáp nhập thành một), Maxwell buộc phải rời Aberdeen. Ông nhận lời mời và đảm nhận một ghế tại King’s College ở London, nơi ông làm việc trong 5 năm, sau đó ông không tham gia giảng dạy cho đến năm 1871.

Đảm nhận chiếc ghế chủ trì ở London, Maxwell nói với các sinh viên bằng một bài giảng giới thiệu, trong đó ông nói về cách các nhánh riêng biệt của vật lý gắn bó với nhau như thế nào và tầm quan trọng của việc các học thuyết về điện và vệ tinh đạt đến cùng mức độ hoàn thiện như cơ học đã đạt được.

“Ở nước ta,” Maxwell nói, “triết học tự nhiên là một tập hợp các ngành khoa học bao gồm hai nhóm chính (tác phẩm kinh điển của Newton có tên là “Khoa học toán học về triết học tự nhiên” - Ya. S.). Nhóm đầu tiên bao gồm cơ học và bao gồm lý thuyết tổng quát về chuyển động và trạng thái cân bằng, cũng như các ứng dụng của các nguyên lý cơ học vào việc nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên.

Nhóm thứ hai thường được gọi là vật lý. Bây giờ nó bao gồm việc nghiên cứu ánh sáng, nhiệt, điện và từ và tất cả những hiện tượng như vậy mà chúng ta liên kết với những nguyên tắc tổng quát hơn, mặc dù chúng ta chưa thể quy chúng thành kết quả đơn giản của những tác động cơ học đã biết.”

Khả năng ứng dụng sâu sắc của Maxwell đối với các quy luật tự nhiên đã được phát triển. Năm 1868, ông xuất bản công trình “Về phương pháp so sánh trực tiếp lực tĩnh điện và lực điện từ; với sự thay thế về lý thuyết điện từ của ánh sáng”.

Lý luận trong tác phẩm này được coi là hoàn toàn hiện đại. Nếu bạn không cố gắng truyền đạt chúng một cách hoàn toàn chính xác thì ý tưởng của Maxwell có thể được trình bày một cách đơn giản.

Sự tương tác của các điện tích biểu hiện theo hai cách. Hai điện tích đứng yên tác dụng lên nhau tuân theo định luật Coulomb. Mặt khác, dòng điện trong dây dẫn, không gì khác hơn là dòng điện tích, tạo ra từ trường. Từ trường này có thể tác dụng lên một dây dẫn mang dòng điện khác. Kết quả là, như đã biết, hai dây dẫn thẳng có dòng điện chạy song song với nhau trở nên liền kề nhau. Vì dây dẫn không nhiễm điện nên giữa chúng không có lực điện.

15

Maxwell cùng vợ là Catherine Dewar (Scotland, khoảng năm 1875).

Các công thức mô tả sự tương tác giữa điện tích và dòng điện đã được biết đến từ lâu. Hai điện tích $q_1$ và $q_2$ đặt cách nhau một khoảng $r$ tương tác với nhau theo định luật Coulomb:

$$F_q = k \frac{q_1 q_2}{r^2},$$

trong đó $k$ là hệ số không đổi (bằng $9 \cdot 10^9 \frac{H M^2}{K \pi}$ trong SI). Lực mà dòng điện thẳng $I_1$ tác dụng lên dòng điện song song $I_2$ chạy dọc theo một đoạn dây dẫn có chiều dài $l$, nằm cách một khoảng $r$, là bằng nhau

$$F_l = a \frac{2 I_1 I_2}{r l},$$

trong đó $a$ là hệ số không đổi (bằng $10^{-7} \frac{H c^2}{K \pi^2}$ trong SI).

Vào thời Maxwell, các nhà vật lý sử dụng hai hệ đơn vị để đo đại lượng điện. Đơn vị điện tích được chọn sao cho hai điện tích $q_1 = q_2 = 1$ đẩy nhau ở khoảng cách $r = 1$ (1 cm) với một lực $F_q = 1$ (1 dyne = $10^{-5}$ H). Hệ thống như vậy được gọi là hệ thống điện (chúng ta sẽ ký hiệu là E). Trong một hệ khác, một đơn vị cũng có hai dòng điện $I_1 = I_2 = 1$ được ép ở khoảng cách $r = 1$ (1 cm) bằng một lực ($F_l = 2$ (2 dynes). Hệ này được gọi là điện từ (chúng ta sẽ ký hiệu là M). Trong hệ $E = k = 1$, trong hệ $M = 1$. Không khó hiểu khi không thể nghĩ ra một hệ đơn vị trong đó cả hai điều kiện ($k = 1, a = 1$) sẽ được thỏa mãn đồng thời. Các định luật tương tác giữa dòng điện và điện tích đứng yên là khác nhau và chúng không thể thay đổi bằng cách chọn một hệ đơn vị.

Nhưng dòng điện $I$ và điện tích $q$ có thể được kết nối với nhau. Dòng điện bằng điện tích đi qua tiết diện dây dẫn trong một đơn vị thời gian. Trong hệ thống $E$ đại lượng $q^2$ có thứ nguyên $[F] [L^2]$ ($[L]$ là thứ nguyên của khoảng cách). Dòng điện bình phương $I^2$ trong hệ thống này sẽ có thứ nguyên $[F] [L^2] [T^{-2}] [T]$—thứ nguyên của thời gian. Trong hệ thống $M$ kích thước là $I^2 - [F] [\frac{1}{a}]$. Từ hai sự tương ứng cuối cùng, rõ ràng là hệ số $a$ trong công thức cho $F_M$ là thứ nguyên và thứ nguyên của nó là $[L^{-2} T^2]$. Nói cách khác, đại lượng $a$ có thứ nguyên là bình phương của tốc độ (Maxwell bắt đầu công việc của mình với những nhận xét này).

Để làm cho các giá trị số của các đơn vị điện tích tiếp xúc trong hệ thống $E$ và $M$, chẳng hạn, bạn có thể sạc hai tụ điện với điện tích $q_1 = q_2 = 1$ ($q = 1$ - trong hệ thống $E$; bạn có thể lấy bất kỳ điện tích đã biết nào trong thí nghiệm) và phóng điện các tụ điện này qua hai dây dẫn song song, thay đổi thời gian sạc (điều này giúp xác định dòng điện). Độ lớn của lực tương tác giữa các dây dẫn, rất/không, xác định điện tích $q_E = 1$ trong hệ $E$ nhỏ hơn điện tích $q_M = 1$ trong hệ $M$ bao nhiêu lần.

Thái độ $q_E:q_M$ được thay đổi lại vào năm 1856 bởi Weber và Kohlrausch, nhận được $(3,107 \cdot 10^8 \text{ m/c})^2$ - một giá trị gần với bình phương tốc độ ánh sáng. Đây có phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên? Nếu không, mối quan hệ giữa các đơn vị phù hợp là gì $q_E$ Và $q_M$ và tốc độ ánh sáng? Đối với những câu hỏi này trước Maxwell đáp số không có.

16

Đối với Maxwell, sự trùng hợp ngẫu nhiên này không thể là ngẫu nhiên: ông nhìn thấy trong đó sự xác nhận về bản chất điện từ của ánh sáng. Trở lại năm 1862, trong tác phẩm “Về các lực tuyến tính vật lý”, ông viết: “…chúng ta khó có thể phủ nhận kết luận rằng ánh sáng bao gồm các dao động ngang trong cùng một môi trường, đó là nguyên nhân gây ra các hiện tượng điện và từ”. Nhận xét này hóa ra lại sâu sắc lạ thường.

Trong SI trong công thức của $F_1$
$$a = \frac{k}{c^2} = \frac{9 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{16}} \frac{H_m^2/K_l^2}{M^2/c^2} = 10^{-7} \frac{H_c^2}{K_l^2},$$
như đã viết ở trên.

Lý thuyết điện và từ của Maxwell phải được coi là một trong những lý thuyết vật lý khó nhất. Đối với người cùng thời với ông, nó dường như không kém phần khó khăn so với cơ học lượng tử - nhà vật lý của thế kỷ chúng ta. Khó khăn chính là Maxwell cần một vật mang trường - ether.

Theo Faraday, Maxwell tin rằng không gian xung quanh một điện tích hoặc dòng điện có những tính chất khác với những tính chất của không gian trống rỗng, không gian không có vật chất. Nhưng, giống như tất cả các nhà vật lý trong nhiều thế kỷ, ông rất khó chịu khi cho rằng không gian trống rỗng không có tính chất nào, đặc biệt là vì không gian trống rỗng không thể thay đổi một tính chất nào đó. Do đó, các nhà vật lý tin rằng không gian chứa đầy một chất nhất định - ether, tính chất của nó khác với tính chất của các chất đã biết *). Ether thay đổi dưới tác động của dòng điện; sự rung động của ether tạo nên sự lan truyền của ánh sáng. Suy ngẫm về các tính chất của ether, Maxwell thảo luận về khả năng thay đổi ảnh hưởng của chuyển động của Trái đất đến tốc độ ánh sáng (năm 1881, thí nghiệm được thực hiện bởi Michels). Ether tồn tại trong vật lý trong một thời gian dài. Cuối cùng chỉ có Einstein mới hiểu rằng trường điện từ không cần bất kỳ chất mang vật chất đặc biệt nào, bản thân nó có một đặc tính của vật liệu - nó có năng lượng, động lượng.

Thế là kết thúc một câu chuyện khác. Lý thuyết của Maxwell vẫn chưa bộc lộ bất kỳ giới hạn nào về khả năng ứng dụng. Khi Einstein xây dựng lý thuyết về lý thuyết tương đối, các phương trình Maxwell được đưa vào đó hầu như không thay đổi, trong khi các phương trình cơ học của Newton hóa ra chỉ mang tính gần đúng. Các phương trình của Maxwell bao gồm những hiệu chỉnh có nguồn gốc từ cơ học lượng tử. Chúng mô tả các hiện tượng xảy ra ở cả quy mô của Vũ trụ (khoảng cách $\sim 10^{28}$ cm) và trong mô hình vi mô (khoảng cách $\sim 10^{-16}$ cm).

Chúng ta vẫn phải nói về lý thuyết động học. Chúng tôi sẽ để phần còn lại của câu chuyện sang một bên. Chúng ta sẽ không nói về các công trình toán học, công trình về cơ học và quang học của Maxwell. Ngoài ra còn có những bài thơ của Maxwell, mộc mạc và hài hước - anh ấy thích đùa. Chúng tôi sẽ bỏ qua công việc về chuyển động của trục quay của Trái đất và nhiều “điều nhỏ nhặt” khác mà bản thân chúng có thể đảm bảo sự nổi tiếng.

Vì vậy, về lịch sử của lý thuyết động học. Các nhà vật lý từ lâu đã cố gắng tìm ra các công thức mô tả áp suất của chất khí lên thành bình. Hóa ra điều này không dễ thực hiện như vậy. Kể từ thời Bernoulli, để mô tả áp suất khí lên thành bình, một mô hình đã được sử dụng trong đó các hạt khí không va chạm với nhau mà bay từ tường này sang tường khác với cùng tốc độ (về độ lớn) mà không thay đổi ngay cả khi di chuyển ra khỏi tường. Tất nhiên, điều này không tương ứng với tình hình thực tế. Vào giữa thế kỷ 19, Clausius bắt đầu xem xét sự va chạm lẫn nhau của các phân tử. Ông đưa ra khái niệm về độ dài đường đi $\lambda$ - khoảng cách mà các phân tử di chuyển giữa hai lần va chạm. Clausius coi đại lượng này là một đặc tính độc đáo của khí. Sự va chạm của các phân tử xảy ra thường xuyên và phân tử không thể bay khắp toàn bộ bình mà vẫn bị khóa trong một thể tích nhỏ, kích thước của nó xấp xỉ $\lambda^3$. Với cái này

17

Ngôi nhà của gia đình Maxwell ở phía tây nam Scotland.

Mô tả về chất khí trở nên không rõ ràng lắm làm thế nào các phân tử “bị khóa” ở xa bức tường có thể gây áp lực lên bức tường - truyền động lượng của chúng lên bức tường.

Maxwell đã cố gắng sửa lại mô hình khí không hoàn hảo. Trước hết, ông xem xét bài toán về sự phân bố vận tốc của các phân tử. Sau đó, ông đã chỉ ra rằng trong chất khí, trong quá trình va chạm, động lượng được truyền từ phân tử này sang phân tử khác, giống như sắt được truyền trong một cuộc chạy đua. Mặc dù bản thân các phân tử, theo quy luật, không đi xa khỏi điểm gián đoạn của chúng (giống như người chạy không rời khỏi sân khấu của mình), trong khi va chạm, một dòng động lượng xuất hiện, chạm tới các bức tường. Truyền nhiệt trong chất khí được làm nóng không đều hoặc sự cân bằng nồng độ của hỗn hợp xảy ra theo cùng một cách - quá trình khuếch tán. Lý thuyết về các quá trình vận chuyển là một công trình rất quan trọng của Maxwell, nó có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của lý thuyết động học của chất khí.

Để tính toán chi tiết các tính chất của chất khí, Maxwell đề xuất rằng lực tác dụng giữa các phân tử, lực này giảm theo lũy thừa năm của khoảng cách giữa các phân tử. Một mô hình tương đối đơn giản như vậy cho phép Maxwell tính toán (tất nhiên là không chính xác lắm) nhiều đặc tính của chất khí.

Maxwell đã đưa khả năng sử dụng mô hình đến mức hoàn hảo. Và ông luôn nói rằng “một sự tương tự sẽ giúp ích cho trí tưởng tượng, nhưng không thay thế được một hiện tượng vật lý”.

Năm 1860, Maxwell xuất bản tác phẩm “Minh họa lý thuyết động lực học của chất khí”, trong đó ông đưa ra công thức phân bố vận tốc phân tử. Đây là công thức nổi tiếng của phân bố Maxwell, chiếm vị trí trung tâm trong vật lý phân tử. Điều chính mà Maxwell hiểu là trong các hệ như chất khí, sự phân bố của các hạt theo tốc độ (hay chính xác hơn là theo độ lớn của động năng) chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ. Phá vỡ câu hỏi về sự va chạm của các phân tử, Maxwell đã chỉ ra rằng lực ma sát trong chất khí không phụ thuộc vào áp suất. Kết luận này được mọi người đón nhận một cách hết sức ngờ vực, và Maxwell cùng với vợ mình đã thử nghiệm nó bằng thực nghiệm.

Maxwell nghiên cứu lý thuyết động học cho đến cuối đời. Ông mất ngày 5 tháng 11 năm 1879, thọ 48 tuổi. Ông sống năm cuối ở Cambridge, là giám đốc đầu tiên của Cavendish LAB nổi tiếng, được đặt theo tên của nhà vật lý người Anh thế kỷ 18 Cavendish, người mà Maxwell đánh giá cao và ông đã sưu tầm các tác phẩm để chuẩn bị xuất bản.

Cuộc đời của Maxwell là một ví dụ về phong trào phấn đấu hướng tới chiến thắng, một cuộc sống theo phương châm “Làm việc, hoàn thành, xuất bản”.

18

Con lắc Maxwell

“Một phần quan trọng trong trách nhiệm của chúng tôi là thiết lập các thí nghiệm sáng tạo, khuyến khích người khác thực hiện và phát triển theo mọi cách có thể những ý tưởng mà họ soi sáng. Chất liệu của trải nghiệm minh họa càng đơn giản và càng thấm nhuần vào học sinh thì anh ta sẽ càng hiểu rõ hơn ý tưởng mà trải nghiệm này sẽ minh họa. Giá trị giáo dục của những thí nghiệm như vậy thường tỷ lệ nghịch với độ phức tạp của thiết bị.”
Những lời này của James Clerk Maxwell, nhà vật lý vĩ đại người Anh, người được tổ chức sinh nhật lần thứ 10 trong năm nay, dường như đặc biệt dành cho Phòng thí nghiệm «Kvant». Trong bài viết này, chúng tôi muốn chuyển sang thiết bị mang tên ông - cái gọi là ma trận Maxwell. Dễ chế tạo, nó thường được thể hiện trong các bài giảng về cơ học và cho phép người ta xác định một số kiểu chuyển động thú vị của một vật rắn.

Hãy nhìn vào bức ảnh của một ma trận như vậy (Hình 1). Đây là một đĩa được gắn trên một trục có gắn hai sợi chỉ (đầu trên của chúng được cố định). Xoay các sợi quanh trục và đĩa sẽ nâng lên. Bây giờ hãy thả matrifik ra - và nó bắt đầu thực hiện một chuyển động định kỳ: đầu tiên đĩa hạ xuống, các sợi giãn ra, đĩa quay ngày càng nhanh hơn; khi đạt đến điểm thấp nhất và tiếp tục hồi phục theo quán tính, đĩa thay đổi hướng chuyển động và hướng lên trục, chuyển động của đĩa chậm lại; ở điểm cao nhất, ma trận dừng lại một lúc và lại bắt đầu chuyển động đi xuống, v.v.

Chúng tôi muốn cảnh báo ngay với độc giả rằng ma trận sẽ dao động đều đặn và trong thời gian khá dài nếu đáp ứng một số điều kiện. Bản thân đĩa phải tương đối nặng (m>100 g) và lớn (dynamir 5-8 cm), trục phải mỏng (dynamir 4-5 mm) và “không trọng lượng”, đồng thời các ren phải chắc chắn và đủ dài (~0,5 m). Đảm bảo rằng đĩa nằm đúng giữa trục và vuông góc với nó, đồng thời các ren có cùng chiều dài.

Để nghiên cứu các mô hình chuyển động của ma trận, chúng ta cần

Hình 1.
Hình 2.

19

Một bộ phận có kim giây (tất nhiên, đồng hồ bấm giờ thì tốt hơn) và một bộ đĩa - cùng bán kính, nhưng độ dày (khối lượng) khác nhau, cũng như bán kính khác nhau, nhưng có cùng độ dày. Thật thuận tiện để làm cho đĩa có thể tháo rời được; một trong những cách để cố định chúng vào trục được thể hiện trong ảnh ở Hình 2.

Vì vậy, hãy bắt đầu thí nghiệm của chúng tôi. Quan sát dao động của các nam châm khác nhau cho kết quả đầu tiên - chu kỳ dao động, tức là tổng thời gian đi xuống và đi lên của nam châm, không phụ thuộc vào khối lượng của đĩa mà phụ thuộc vào bán kính của nó, và sự phụ thuộc này gần như tỷ lệ thuận.

Hơn nữa, có thể dễ dàng nhận thấy rằng theo thời gian, các dao động mờ đi khá rõ rệt và biên độ của chúng càng nhỏ (độ cao tăng tối đa) và tốc độ quay của đĩa càng thấp thì nam châm hoạt động càng kém ổn định. Cũng rất thú vị khi thực hiện thí nghiệm sau: bằng cách đặt một số khả năng (nghĩa là loại bỏ nam châm khỏi trạng thái nguồn), theo dõi sự suy giảm của chúng khi nam châm di chuyển. Ví dụ, nếu tại thời điểm phóng, bạn xoay nhẹ đĩa trong mặt phẳng ngang thì khi rơi xuống, nó sẽ nhanh chóng trở lại vị trí tương đối ổn định. Nhưng nếu bạn làm lệch hướng nam châm trong mặt phẳng quay của nó, thì thực tế cho đến khi kết thúc chuyển động, cả hai dao động đều được duy trì: lên và xuống và trong mặt phẳng quay.

Bây giờ chúng ta hãy cố gắng giải thích một số kết quả thử nghiệm của chúng tôi. Để đơn giản, chúng ta hãy giả sử rằng toàn bộ khối lượng của đĩa đang nói đến tập trung trên bề mặt của nó, nghĩa là nam châm không phải là một cái đĩa mà là một cái vòng.

Chúng ta hãy biểu thị bán kính của vòng bằng $R$ và bán kính của trục là $r$ (Hình 3). Chúng ta hãy xét lúc này nam châm đã rơi xuống một khoảng $h$ tính từ vị trí trên cùng. Mỗi điểm của vòng, chẳng hạn như điểm $A$, đồng thời tham gia vào hai chuyển động: chuyển động sau khi quay cùng với trục $O$ đi xuống với tốc độ $\vec{v}_0 = \vec{v}_{\text{пост}}$ và chuyển động quay với tốc độ $\vec{v}_1 = \vec{v}_{\text{пост}} + \vec{v}_{\text{пост}}$.

Sợi chỉ bị ăn mòn mà không bị xuyên thủng, nghĩa là tốc độ tức thời của điểm $B$ bằng không. Do đó, chuyển động của nam châm cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi chuyển động quay liên tiếp xung quanh tâm quay tức thời $B$. Khi đó đẳng thức đúng

$$\frac{v_0}{v_A} = \frac{r}{R-r}, \text{ или } \frac{v_{\text{пост}}}{v_{\text{bp}} - v_{\text{пост}}} = \frac{r}{R-r} \tag{1}$$

(chúng tôi biểu thị mô-đun có tốc độ cụ thể bằng chữ cái $v$). Từ đây

$$\frac{v_{\text{пост}}}{v_{\text{bp}}} = \frac{r}{R}.$$

Bây giờ chúng ta sử dụng định luật bảo toàn năng lượng:

$$mgh = \frac{mv_{\text{пост}}^2}{2} + \frac{mv_{\text{bp}}^2}{2} \tag{2}$$

Chúng ta trình bày động năng (vế phải của đẳng thức (2)) dưới dạng hai số hạng - năng lượng của chuyển động tịnh tiến và năng lượng chuyển động quay của vectơ trọng lực*).

Từ động học người ta biết rằng

$$v_{\text{пост}}^2 = 2ah, \tag{3}$$

trong đó $a$ là mô đun gia tốc của chuyển động tịnh tiến của nam châm.

*) Khả năng phân vùng như vậy có thể được chứng minh một cách chặt chẽ, nhưng về mặt trực giác thì điều này là rõ ràng.

20

Hình 4.

Do đó, từ phương trình (1) - (3) chúng ta tìm thấy:

$$a = \frac{g}{1 + (R/r)^2}.$$

Trong trường hợp của chúng ta $R/r \gg 1$ (trong điều kiện này, yêu cầu về “không trọng lượng” của trục được đáp ứng), do đó chúng ta có thể giả sử rằng

$$a = g \left( \frac{r}{R} \right)^2.$$

Nếu độ dài của sợi tháo là $l$ thì $l = at^2/2$ và chu kỳ dao động của ma trận bằng

$$T = 2t = 2\sqrt{\frac{2l}{a}} = 2\frac{R}{r}\sqrt{\frac{2l}{g}}.$$

Đối với đĩa, công thức (4) và (5) được chuyển đổi tương ứng (xem phần “Bổ sung”):

$$a = 2g \left( \frac{r}{R} \right)^2,$$

$$T = 2\frac{R}{r}\sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Bây giờ chúng ta có thể so sánh kết quả tính toán và thí nghiệm. Từ (4’) và (5’), rõ ràng là cả gia tốc $a$ và chu kỳ $T$ đều không phụ thuộc vào khối lượng của đĩa mà phụ thuộc vào tỷ số của bán kính $R/r$: $R$ càng lớn (so với $r$), gia tốc càng nhỏ và theo đó, chu kỳ dao động càng dài. Thực tế này phù hợp với thực nghiệm. Nhưng nếu bạn thực hiện các thí nghiệm một cách cẩn thận, bạn sẽ nhận thấy rằng khoảng thời gian tính toán (5’) nhỏ hơn khoảng thời gian thử nghiệm. Điều này, như đã đề cập, là do sự suy giảm. Bạn nghĩ sao - chính xác thì lỗi chi tiết nhất, lỗi lớn nhất xảy ra ở đâu?

Cuối cùng, người ta có thể tiếp tục với một thử nghiệm rất hiệu quả khác với ma trận Maxwell, nhưng để làm được điều này cần phải gọi mọi thứ (Hình 4). Đầu tiên, với ma trận đứng yên, đưa mọi thứ về trạng thái cân bằng, sau đó giải phóng ma trận. Sự cân bằng sẽ bị phá vỡ: ma trận dường như trở nên nhẹ nhàng hơn. Tại sao? Hãy tự mình giải thích.

Thêm vào

Đối với những người đã quen với phép tính tích phân, chúng tôi trình bày cách dẫn xuất công thức tính động năng của một đĩa quay, từ đó sẽ dễ dàng thu được các công thức (4’) và (5’).

Chia một đĩa có bán kính $R$ thành các bánh xe mỏng $n$ có chiều rộng $\Delta x$ mỗi bánh (Hình 5). Động năng của một bánh xe có bán kính $x$ và chiều rộng $\Delta x$ bằng

$$\Delta E_k = \left( \varrho 2\pi xb \Delta x \right) \frac{\omega^2 x^2}{2},$$

trong đó $\varrho$ là mật độ của vật liệu đĩa, $b$ là độ dày của nó, $\omega$ là tốc độ góc quay và biểu thức trong ngoặc đơn là khối lượng của vòng đã chọn.

Hình 5.

Động năng của toàn bộ đĩa xấp xỉ bằng tổng động năng của từng bánh xe:

$$E_k \approx \sum \Delta E_k.$$

Nếu chúng ta tiến tới giới hạn khi $n$ tiến tới vô cùng thì đẳng thức gần đúng sẽ trở nên chính xác:

$$E_k = \lim_{n \to \infty} \sum \Delta E_k =$$

$$= \int_0^R \varrho 2\pi xb \frac{\omega^2 x^2}{2} dx =$$

$$= \frac{\varrho \pi b \omega^2 R^4}{4} = \frac{\varrho \pi R^2 b \omega^2 R^2}{4} = \frac{m \omega^2 R^2}{4}.$$

Động năng của một vòng quay có cùng khối lượng là $mv^2/2 = m\omega^2 R^2/2$. Do đó, động năng của đĩa nhỏ hơn hai lần.

Tự rút ra công thức (4’) và (5’).

21

Bài toán

M711 — M715; F723 — F727

M711. Các đường chéo của tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O vuông góc với nhau. Chứng minh rằng đường đứt nét AOC chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

V. Varvarkin

M712. Chứng minh rằng mọi số dương đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của chín số có ký hiệu thập phân chỉ chứa các chữ số 0 và 7.

E. Turkevich

M713. M là tập hợp các điểm trên mặt phẳng. Điểm O của một mặt phẳng được gọi là “gần tâm đối xứng” của tập M nếu một điểm trong M có thể bị loại bỏ sao cho tập O còn lại là tâm đối xứng theo nghĩa tổng quát. Một tập hữu hạn có thể có bao nhiêu “gần tâm đối xứng”?

V. Prasolov

M714*. N người bạn học N tin tức cùng một lúc và mỗi người học được một tin tức. Họ bắt đầu gọi điện cho nhau và trao đổi tin tức. Bạn có thể truyền tải bao nhiêu tin tức tùy thích trong một cuộc trò chuyện. Số lượng cuộc gọi tối thiểu cần thiết để mọi người biết tất cả tin tức là bao nhiêu? Xét ba trường hợp: a) N=64, 6) N=55, b) N=100.

A. Anjan

M715*. Góc nguyên thủy được chia thành các ô (Hình 1). Trên một số ô có chip và sự sắp xếp của các chip có thể được biến đổi như sau: nếu đối với một số chip, ô liền kề trên cùng và ô liền kề bên phải còn trống thì một chip được đặt vào các ô này và chip cũ sẽ bị loại bỏ. Đầu tiên, một con chip được đặt vào ô góc. Có thể sử dụng các thao tác được chỉ định để xóa các góc của a) ba, 6) sáu, b) mười ô, như trong Hình 2, a, 6, b, khỏi các khối không?

M. Kontsevich

22

Hình 1.

Hình 2.

F723. Các vận động viên chạy với cùng tốc độ $v$ theo một cột có chiều dài $l_0$. Một huấn luyện viên chạy về phía bạn với tốc độ $u$ ($u < v$). Vận động viên ngang bằng với huấn luyện viên chạy về phía sau với tốc độ tương tự $v$. Chiều dài của cột khi tất cả các vận động viên quay lại là bao nhiêu?

I. Vorobiev

F724. Đầu sợi chỉ ném qua khối di động sẽ dịch chuyển bao nhiêu (điểm $A$ trong Hình 3) nếu tác dụng một lực $\vec{F}$ vào nó? Độ cứng của lò xo bằng nhau và bằng $k$. Lò xo, ren và khối được coi là không có trọng lượng.

G. Meledin

F725. Cần chế tạo một lớp vỏ có thành mỏng ở đầu thuốc nổ để khi nổ bắt đầu từ đỉnh hình nón và “trượt” xuống, sản phẩm của vụ nổ sẽ đồng thời chạm vào tấm nằm ngang nơi hình nón đứng. Tốc độ phát nổ (tốc độ mà các phần mới của chất nổ tham gia vào vụ nổ) là $v$ và tốc độ phân hủy của sản phẩm nổ là $u$. Góc φ giữa đáy hình nón và đường sinh của nó sẽ bằng bao nhiêu?

I. Vorobiev

F726. Trong một ống dẫn nhiệt dài nằm ngang giữa hai pít-tông có khối lượng $m$, mỗi pít-tông có 1 mol khí đơn nguyên tử lý tưởng ở nhiệt độ $T_0$. Có chân không ở bên ngoài piston. Tại thời điểm ban đầu, vận tốc của piston hướng theo một hướng và bằng $v$ và $3v$. Khí sẽ nóng lên đến nhiệt độ tối đa bao nhiêu? Piston Tello không dẫn điện. Hằng số khí phổ quát là $R$.

V. Borodin

F727. Sự phụ thuộc của hướng vào dòng điện đối với một nguồn năng lượng điện nhất định được thể hiện trên Hình 4. Vẽ đồ thị hướng của tải mà nguồn điện đóng so với điện trở tải.

Problems M711 — M715; P723 — P727

M711. The diagonals of a convex quadrilateral $ABCD$ inscribed in a circle of centre $O$ are perpendicular to each other. Prove that the broken line $AOC$ splits the quadrilateral into two parts of equal area.

V. Varvarkin

24

M672. Đặt $a$ là một số tự nhiên sao cho $2^a - 2$ chia hết cho $a$ (ví dụ: $a = 3$). Chúng ta hãy xác định dãy $(x_n)$ theo điều kiện
$$x_1 = a, x_{k+1} = 2^{xk} - 1.$$
Chứng minh rằng $2^{xk} - 2$ chia hết cho $x_k$ với mọi $k$.

Dễ dàng nhận thấy rằng các hình tam giác $ABC$ và $ADC$ có kích thước bằng nhau: $S_{ABC} = S_{ADC}$ - chúng có chung đáy $AC$ và có chiều cao bằng nhau, hạ thấp xuống đáy này. Vì vậy $\frac{1}{2} ab \sin \widehat{B} = \frac{1}{2} cd \sin (180^\circ - \widehat{B})$, tức là $ab = cd$. Cộng (1) và (2) ta thu được điều cần tìm.

R. Mazov

Hãy chứng minh phát biểu này bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với $k = 1$ nó đúng theo điều kiện. Giả sử $2^{xk} - 2$ chia hết cho $x_k$ và chứng minh rằng $2^{xk+1} - 2$ chia hết cho $x_{k+1}$.
Đặt $x_{k+1} - 1 = 2^{xk} - 2 = mx_k$, trong đó $m > 1$ là số tự nhiên. Sau đó
$$2^{xk+1} - 2 = 2(2^{xk+1} - 1) = 2(2^{mx_k} - 1) = 2(2^{xk} - 1)(2^{(m-1)x_k} + 2^{(m-2)x_k} + \dots + 1) = Mx_k + 1$$
trong đó $M$ là số tự nhiên, đây là điều ta cần chứng minh.

V. Janous

Từ biên tập viên. Vấn đề M672 về cơ bản trùng khớp với Bổ đề 2 trong bài viết “Hầu hết các số nguyên tố” của I. Yaglom («Kvant», 1981, Số 9).

M673. Ba vòng đệm $A, B, C$ nằm trên mặt phẳng tại các đỉnh của tam giác. Người chơi khúc côn cầu chọn một trong số họ và đi theo nó để nó đi qua giữa hai người bạn và bị bỏ lại ở mỗi điểm.
a) Cho thấy sau năm lần đánh, quả bóng $C$ có thể trở về vị trí của nó và quả bóng $A$ và $B$ có ​​thể đổi chỗ.
b) Cả ba quả bóng $A, B, C$ có thể trở lại vị trí ban đầu sau 25 lần trúng không?

a) Dễ dàng báo cáo rằng nếu có ít nhất một đòn đánh vào quả bóng $C$, thì trong năm lần đánh không thể trả lại quả bóng $C$ và đổi quả bóng $A$ và $B$.
Tuy nhiên, nếu quả bóng $C$ đứng yên và chỉ có quả bóng $A$ và $B$ di chuyển thì bài toán có thể được giải quyết dễ dàng (xem Hình 1; chỉ số $i$ có nghĩa là vị trí của quả bóng sau cú đánh $i$).

Hình 1.
Hình 2.

b) Đáp số: họ không thể. Để chứng minh, phép tích hợp của tam giác $ABC$ rất đơn giản - hướng đi qua bộ đếm của nó. Dễ dàng nhận thấy rằng sau mỗi cú đánh, hướng di chuyển ngang thay đổi ngược lại (trong Hình 2, việc di chuyển các đỉnh $A \rightarrow B \rightarrow C$ được thực hiện ngược chiều kim đồng hồ và việc di chuyển các đỉnh $A \rightarrow B' \rightarrow C \rightarrow A$ là theo chiều kim đồng hồ).
Sau số lượt truy cập lẻ, hướng của đường tránh sẽ ngược lại với hướng đã chỉ định lúc đầu.

A. Egorov

M674. Các điểm $A_1, B_1$ và $C_1$ lần lượt được lấy trên các cạnh $BC, AC$ và $AB$ của tam giác Olz nhọn $ABC$. Được biết, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ trùng với giao điểm của các đường cao của nó. Xem xét sự chuyển đổi của phân khu $F = H_0^k \cdot R^k$ (thành phần chuẩn bị $H_0^k$ với tâm $O$ và hệ số $k$ và xoay $R^k$ theo góc $φ$ xung quanh $O$),

25

phần các đường cao của tam giác $A_1B_1C_1$. Chứng minh rằng hai tam giác $ABC$ và $A_1B_1C_1$ đồng dạng.

ở đâu $k = \frac{1}{\cos \varphi}$. Trong trường hợp này, các điểm $F(A_0)$, $F(B_0)$ và $F(C_0)$ sẽ lần lượt thuộc các dòng $BC$, $AC$ và $AB$. Do đó, khi thay đổi φ, chúng ta thu được cả một họ tam giác có chung trực tâm (giao điểm của các đường cao), nội tiếp trong tam giác $ABC$ và các tam giác tương tự. Vẫn còn phải chứng minh rằng tam giác $A_1B_1C_1$ thuộc họ này.

Chúng ta hãy chọn $\varphi = B_0\widehat{OB}_1$ sao cho $F(B_0) = B_1$; hãy để $F(A_0) = A_2$, $F(C_0) = C_2$. Điểm $O$ đóng vai trò là giao điểm của các đường cao của tam giác $A_1B_1C_1$ và $F(\triangle A_0B_0C_0) = \triangle A_2B_1C_2$; điều này có nghĩa là cạnh $A_2C_2$ phải song song hoặc trùng với cạnh $A_1C_1$. Nhưng rõ ràng là các đường cao của tam giác $A_2B_1C_2$, rơi khỏi đỉnh $A_2$ và $C_2$, không thể đi qua $O$, trừ trường hợp $A_2 = A_1$ và $C_2 = C_1$, nên trên thực tế các tam giác $A_1B_1C_1$ và $A_2B_1C_2$ giống nhau.

Để kết luận, chúng tôi lưu ý rằng trong lời giải góc nhọn của tam giác $ABC$ không được sử dụng: câu lệnh bài toán đúng với mọi tam giác $ABC$ (và mọi điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$ trên các đường $BC$, $AC$, $AB$).

D.Izaak

F683. Hình này hiển thị nguồn $AB$ và hình ảnh khuôn mặt của nó $A'B'$. Xác định bằng cách xây dựng vị trí của đường thẳng và tiêu cự của nó.

Tâm mô tả của thấu kính nằm ở điểm $O$ giao điểm của đường $BB'$ và $AA'$. Điểm $D$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và $A'B'$, nằm trong mặt phẳng của thấu kính. Do đó, thấu kính nằm dọc theo đường thẳng $OD$; $MN$ ($MN \perp OD$) là trục quang chính của ống kính.

Các tia $Aa$ và $Bb$ sau khúc xạ sẽ cắt nhau tại đường tiêu điểm ($Aa \parallel Bb \parallel MN$). Do đó, $F$ là tiêu điểm của đường thẳng.

S. Krotov

F684. Mạch có $N$ cực đầu vào, một cực đầu ra và một cực chung (“mặt đất”). Tại mỗi đầu vào, điện thế nối đất là từ +50 đến +200 V.

1. Vẽ một mạch bảo vệ sẽ cung cấp điện thế tối đa áp dụng cho các đầu vào ở đầu ra.
2. Vẽ một warzant khác cung cấp điện thế ứng dụng tối thiểu ở đầu ra.
   Xây dựng những cái chung mà không cần sử dụng thêm nguồn điện.

Warzant đầu tiên được hiển thị trong Hình 1. Trong mạch, tất cả các điốt đều đóng, ngoại trừ một điốt - điốt được kết nối với đầu vào có điện thế cực đại $\varphi_{\max}$. Tiềm năng này sẽ là đầu ra; sự khác biệt giữa nó và các điện thế khác (nhỏ hơn) sẽ đảm bảo rằng các điốt còn lại bị tắt.

Warzant thứ hai có thể giống như trong Hình 2. Nếu điện thế tấm ($\delta$) lớn hơn hoặc bằng $\varphi_{\max}$, thì diode kết nối với đầu vào có điện thế tối thiểu sẽ mở; điều tương tự sẽ xảy ra ở lối ra; các điốt còn lại sẽ bị khóa.

Hình 1.
Hình 2.

26

Để thực hiện mà không cần nguồn bổ sung, bạn có thể sử dụng mạch của tùy chọn đầu tiên - điện áp đầu ra của nó thay đổi hoàn toàn nguồn.

Nói một cách chính xác, điện thế ở các cực đầu ra của mạch không hoàn toàn bằng các điện áp đầu vào, nhưng khác nhau ở độ sụt điện áp trên diode mở - nó là một phần của volt. Nhược điểm này có thể được giảm bớt đáng kể bằng cách lợi dụng thực tế là điện áp trên một diode hở phụ thuộc rất ít vào dòng điện chạy qua diode. Hãy tự suy nghĩ làm thế nào để làm điều này. (Gợi ý: bạn không thể làm gì nếu không có nguồn bổ sung.)

A. Zilberman

F685. Giữa bức tường và khối lập phương có khối lượng $M=10$, một quả cầu có khối lượng $m=0,1$ g bay trên một bàn điều khiển nhẵn. Tốc độ này lúc đầu, khi khối lập phương tích lũy, là $v_0=100$ m/s. Tìm vận tốc của khối lập phương tại thời điểm nó cách tường gấp 2 lần so với lúc đầu.

Chúng ta sẽ giả sử rằng với mỗi lần va chạm của quả bóng lên khối lập phương, tốc độ của khối lập phương thay đổi một lượng rất nhỏ và vẫn nhỏ hơn nhiều lần so với tốc độ của quả bóng.

Gọi $x$ là khoảng cách từ khối lập phương đến tường, $u$ tốc độ của khối, $v$ tốc độ của quả bóng. Khi đó thời gian giữa hai lần va chạm liên tiếp là $\tau=2x/v$. Với mỗi lần va chạm, khối lập phương nhận được một xung lực $\Delta p=2mv$ (chúng tôi đã dạy rằng $u\ll v$). Tốc độ của quả bóng trên mỗi cú đánh thay đổi $\Delta v=-2u$ (điều này là rất/không, nếu chúng ta xem xét chuyển động trong hệ quy chiếu liên kết với khối lập phương). Để đơn giản hóa các phép tính, chúng tôi giả sử rằng do va chạm, vận tốc $u$ và $v$ thay đổi không đột ngột mà thay đổi trơn tru. Khi đó gia tốc “trung bình” của quả bóng là $v'=\frac{\Delta v}{\tau}=-\frac{uv}{x}$. Xét rằng $u=x'$, chúng ta viết lại đẳng thức này:

$$v'x+x'v=0.$$

Lưu ý rằng biểu thức sau bằng tích của tích $vx$; thực tế là sản phẩm này bằng 0 có nghĩa là số lượng $vx$ vẫn còn trong quá trình xây dựng. Kể từ đây,

$$vx=v_0x_0,$$

trong đó $x_0$ là khoảng cách giữa khối lập phương và bức tường khi bắt đầu quá trình. Tại $x=2x_0$ tốc độ của quả bóng là $v_0/2$. Chúng ta tìm được tốc độ của khối lập phương tại thời điểm này từ định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{mv_0^2}{2}=\frac{m(v_0/2)^2}{2}+\frac{Mu^2}{2} \Rightarrow u=\frac{v_0}{2} \sqrt{\frac{3m}{M}} \approx 0,27 \text{ м/с.}$$

3. Rafailov

F686. Các vòng mỏng có khối lượng $M$ và bán kính $R$ được đặt trên mặt phẳng nằm ngang. Dọc theo một kênh trơn đi bên trong vòng, một quả bóng nhỏ có khối lượng $m$ trượt từ điểm trên cùng mà không có tốc độ ban đầu. Xác định tốc độ của tâm vòng tại thời điểm quả bóng ở điểm $A$, vectơ bán kính của nó tạo một góc $\varphi$ với phương thẳng đứng. Tại thời điểm ban đầu, các vòng sẽ tích lũy. Không có ma sát giữa vòng và mặt phẳng.

Các lực tác dụng lên hệ thống Hoop-puck là trọng lực và phản lực pháp tuyến từ mặt phẳng. Cả hai lực này đều hướng theo phương thẳng đứng. Do đó khối tâm của hệ không chuyển động theo phương ngang.

Vì không có mối liên hệ nào giữa vòng và mặt phẳng nên vòng sẽ chuyển động về phía trước. Theo định luật bảo toàn động lượng, tại một thời điểm bất kỳ

$$M|u|=m|v_x|,$$

trong đó $u$ và $v_x$ là các hình chiếu nằm ngang của vận tốc của vòng và quả bóng (và $u=|\vec{u}|$). Vì $v_x$ đổi dấu định kỳ nên $u$ đổi dấu “đồng bộ”. Bản chất chung của chuyển động của vòng như sau: quả bóng theo các phần $BC$ và $BE$ (Hình 1) - tâm của vòng di chuyển sang phải; quả bóng ở các phần $CD$ và $DE$ - tâm của vòng di chuyển sang trái.

Tốc độ của quả bóng $\vec{v}$ và vòng $\vec{u}$ có liên hệ với nhau bởi định luật bảo toàn năng lượng:

$$mgR(1+\cos \varphi)=\frac{mv^2}{2}+\frac{Mu^2}{2},$$

trong đó $\varphi$ là góc mà vectơ bán kính của điểm mà quả bóng nằm ở một thời điểm nhất định (đối với các giá trị đã cho $\vec{v}$ và $\vec{u}$) tạo với phương thẳng đứng.

27

Chuyển động của quả bóng so với người quan sát đứng yên có thể được biểu diễn tại bất kỳ thời điểm nào dưới dạng sự chồng chất của hai chuyển động: chuyển động tương đối so với tâm của vòng với tốc độ $v_k$, hướng tiếp tuyến với vòng và chuyển động cùng với vòng với tốc độ $u$, hướng theo chiều ngang (Hình 2). Như có thể thấy từ Hình 2,

$$\frac{|v_y|}{|v_x| + |u|} = tg \varphi.$$ (3)

Giải các phương trình (1) - (3) cùng nhau, ta tìm được giá trị vận tốc tâm vòng tại thời điểm vectơ bán kính của điểm đặt quả bóng tạo một góc $\varphi$ với phương thẳng đứng:

$$|\vec{u}| = m \cos \varphi \sqrt{\frac{2Rg(1+\cos \varphi)}{(M+m)(M+m\sin^2\varphi)}}.$$

S. Krotov

F687. Một quả cầu thép đặt tại điểm A của đáy AB của một hình nêm chữ nhật đều có vận tốc $v_0$ theo hướng cạnh AO (xem hình). Tại giá trị nào của $v_0$ quả bóng đi từ điểm A đến điểm B? Chiều dài cạnh nêm $l$.

Trong trường hợp tổng quát, quỹ đạo của quả bóng sau khi mở từ nêm tại điểm O sẽ như hình vẽ - nó sẽ bao gồm các phần của parabol. Các hình chiếu lên trục OX của chuyển động của quả bóng trong các khoảng thời gian bằng nhau liên tiếp $t_1, t_2, t_3, \dots, t_n$ có liên quan như sau

$$s_1: s_2: s_3: \dots: s_n = 1: 3: 5: \dots: (2n-1)$$

(vì tại thời điểm quả bóng “tách” tại điểm O, hình chiếu vận tốc của nó $\vec{v}_1$ lên trục OX bằng 0). Nếu trong lần va chạm thứ $n$ với cạnh OB quả bóng chạm vào điểm B thì

$$s_1 + s_2 + s_3 + \dots + s_n = s_1(1+3+5+\dots+(2n-1)) = s_1n^2 = l.$$

Hãy cùng tìm hiểu xem $s_1$ và $v_1$ có liên quan với nhau như thế nào. Hình chiếu của gia tốc bóng trên trục OX và OY bằng $a_x = a_y = g\sqrt{2}/2$, và

$$s_1 = a_x \frac{t_1^2}{2} = g \frac{\sqrt{2}}{4} t_1^2.$$

Chúng ta tìm thời gian $t_1$ chuyển động của quả bóng trước khi va chạm lần đầu vào nêm từ điều kiện $v_1 - a_y \frac{t_1}{2} = 0$:

$$t_1 = \frac{2v_1}{a_y} = \frac{4v_1}{g\sqrt{2}}.$$

Như vậy,

$$s_1 = \frac{2v_1^2\sqrt{2}}{g},$$ hoặc $v_1^2 = \frac{gl\sqrt{2}}{4n^2}$.

Chúng ta tìm thấy mối liên hệ giữa $v_1$ và $v_0$ từ định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + mgl \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow v_0 = \sqrt{v_1^2 + gl\sqrt{2}} = \frac{1}{2n} \sqrt{gl\sqrt{2}(4n^2 + 1)}$$

Vì vậy, quả bóng chạm vào điểm B nếu tại điểm A nó có tốc độ $|\vec{v}_0| = \frac{1}{2n} \sqrt{lg\sqrt{2}(4n^2 + 1)}$, trong đó $n$ là một số tự nhiên. Lưu ý rằng

$$\lim_{n \to \infty} v_0 = \sqrt{gl\sqrt{2}}.$$

Kết quả tương tự từ định luật bảo toàn năng lượng: tại $n \to \infty v_1 \to 0$, và

$$\frac{mv_0^2}{2} = mgl \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow v_0 = \sqrt{gl\sqrt{2}}.$$

E. Rabkin

28

V. Galperin, G. Galperin

Che phủ máy bay bằng máy chiếu

Thú vị và khó bài toán M545, lời giải mà lưu ý này liên quan đến, trong việc xây dựng câu hỏi và phương pháp lời giải là điển hình cho hình học tổ hợp - một phần hình học xử lý bài toán với các phân vùng, lớp phủ, gói các hình.
Chúng ta hãy nhớ lại công thức của nó:

Có n điểm cho trên mặt phẳng. Cần đặt n máy chiếu tại các điểm này, mỗi máy chiếu một góc có độ lớn $\frac{360^\circ}{n}$ để chiếu sáng toàn bộ mặt phẳng. Chứng minh rằng điều này có thể xảy ra với bất kỳ vị trí nào của những điểm này nếu a) n=3; 6) n=4; c) n - số tự nhiên bất kỳ (trong trường hợp a) - c) hình chiếu quay được); d) Bây giờ hãy để các máy chiếu chiếu sáng các góc $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($a_1 + a_2 + \dots + a_n = 360^\circ$) và bố trí tại một điểm sao cho chúng chiếu sáng toàn bộ mặt phẳng. Chứng minh rằng có thể chuyển*) một trong n máy chiếu tới mỗi điểm trong số này sao cho toàn bộ mặt phẳng vẫn được chiếu sáng.

Lịch sử của bài toán này khá thú vị. Trường hợp đặc biệt đơn giản nhất 6) đã được trình bày tại Cuộc Tối ưu hóa Toán học Toàn Liên minh đầu tiên vào năm 1967. Chính tại đó, người thứ hai trong số các tác giả của ghi chú này đã gặp cô ấy (lúc đó anh ấy vẫn còn là một cậu học sinh). Vài năm sau ông tìm thấy bằng chứng về nhiều hơn nữa

*) Điều này có nghĩa là các máy chiếu có thể được di chuyển song song nhưng không thể xoay!

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các góc đối xứng với các góc này đối với điểm O. Hình 2 cho thấy cách điều khiển một máy chiếu đặt tại điểm $M_1$ sao cho nó chiếu sáng góc được tô màu đỏ. Tương tự, máy chiếu tại các điểm $M_2$ và $M_3$ có ​​thể được định hướng sao cho chiếu sáng các góc “của chúng”.

Ý tưởng tương tự - chia mặt phẳng thành nhiều phần. Để mỗi chúng có thể được chiếu sáng bằng nhóm máy chiếu riêng, điều này có thể được áp dụng trong trường hợp c).

Để làm được điều này chỉ cần chứng minh hai khẳng định sau là đủ.

Phát biểu 1. Cho có k máy chiếu nằm bên trong một góc có độ lớn $\alpha = k \frac{2\pi}{n}$, trong đó $k \leqslant \frac{n}{2}$. Sau đó, chúng có thể được xoay sao cho chúng cùng chiếu sáng toàn bộ góc đối xứng với góc đã cho so với đỉnh của nó (Hình 3).

Để chứng minh phát biểu này bằng chỉ thị trên k, ta có thể sử dụng bổ đề số học sau đây. Nếu $s_1, s_2, \dots, s_k$ là số nguyên không âm và $s_1 \geqslant 1$,

Hình 1.
Hình 2.

29

$s_k \geq 1$ và $s_1 + s_2 + \dots + s_k = k$, thì có $m < k$ mà $s_1 + \dots + s_m = m$ (tức là, $s_{m+1} + \dots + s_k = k - m$).

Cuối cùng, vẫn còn phải chứng minh thực tế khá đều đặn này - việc thực hiện điều này một cách riêng biệt đối với $n$ chẵn và lẻ sẽ dễ dàng hơn.

Phát biểu 2. Nếu một mặt phẳng có $n$ điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$, thì nó có thể được chia thành hai nửa mặt phẳng chứa $n/2$ mỗi điểm, nếu $n$ chẵn hoặc thành ba góc có cùng một đỉnh và độ lớn $k_1, k_2, \frac{2\pi}{n}, k_3, \frac{2\pi}{n}$, trong đó $k_1 + k_2 + k_3 = n$ và $k_i < n/2$ ($i=1, 2, 3$), mỗi góc chứa bởi $k_i$ điểm nếu $n$ lẻ.

Bài tập 1. Chứng minh khẳng định 1, bổ đề và khẳng định 2.

Sau đó, theo Tuyên bố 1, chúng ta dùng các máy chiếu tương ứng chiếu sáng các góc đối xứng với đỉnh chung của chúng theo góc mà chúng nằm và toàn bộ mặt phẳng được chiếu sáng.

Thuật toán cải tiến

Hãy phác thảo ý tưởng về điểm lời giải. G). Chúng ta hãy sắp xếp các máy chiếu tại các điểm $M_1, M_2, \dots, M_n$ này một cách tùy ý. Nếu toàn bộ mặt phẳng không được chiếu sáng, chúng tôi sẽ trình bày một phương pháp sắp xếp máy chiếu “cải tiến” khác (trong trường hợp này, “chất lượng” của việc sắp xếp sẽ được đánh giá bằng một hàm số nhất định $f$). Vì chỉ có một số hữu hạn cách sắp xếp máy chiếu tại các điểm $M_1, M_2, \dots, M_n$ (bằng $n!$), lấy cách sắp xếp sao cho giá trị của hàm $f$ là lớn nhất, chúng ta sẽ tự động chiếu sáng toàn bộ mặt phẳng: thật vậy, nếu không phải toàn bộ mặt phẳng được chiếu sáng, chúng ta vẫn có thể “cải thiện” cách sắp xếp, từ đó thu được một mâu thuẫn.

Hãy thực hiện kế hoạch này. Bây giờ các máy chiếu là bất kỳ góc $a_i$ nào có một đỉnh chung $O$, $0 < a_i < \pi$, $a_1 + a_2 + \dots + a_n = 2\pi$ và mỗi máy chiếu chiếu sáng phần bên trong của một lồi nhất định $n$-gon $A_1A_2\dots A_n$ (Hình 4), $A_i \overrightarrow{OA_{i+1}} = a_i$. Chúng ta hãy thả các đường vuông góc $OH_i$ từ điểm $O$ đến các cạnh của đa giác (hoặc phần mở rộng của chúng); hãy để $|OH_i| = h_i$.

Xét các vectơ $\vec{e}_i = \frac{1}{h_i} \overrightarrow{OH_i}$. Rõ ràng là $|\vec{e}_i| = \frac{1}{h_i}$ (Hình 5).

Việc sắp xếp các máy chiếu tại các điểm $M_1, M_2, \dots, M_n$ tương ứng với việc sắp xếp các vectơ $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n$ tại các điểm này (dường như chúng ta gắn vectơ $\vec{e}_i$ vào máy chiếu $a_i$ và sắp xếp lại chúng lại với nhau thành một tổng thể duy nhất).

Thực tế hình học duy nhất mà chúng ta cần trong tương lai và điều đó “biện minh”, thoạt nhìn, việc lựa chọn vectơ $\vec{e}_i$, là như sau:

Bổ đề. Để máy chiếu $a_p$ đặt tại điểm $M$ chiếu sáng điểm $N$, nhưng máy chiếu $a_q$ thì không. Sau đó $\overrightarrow{MN} \cdot \vec{e}_p > \overrightarrow{MN} \cdot \vec{e}_q$.

Bằng chứng. Hãy để $\overrightarrow{MN} = \vec{v}$. Chúng ta hãy vẽ vectơ $\overrightarrow{OP} = \vec{v}$ từ điểm $O$ (Hình 6). Tia [OP] cắt cạnh thứ $p$ của đa giác $A_1A_2\dots A_n$ tại một điểm nào đó $K$, nhưng không cắt cạnh thứ $q$, khoảng cách của máy chiếu $s_k \geq 1$ và $s_1 + s_2 + \dots + s_k = k$ thì tồn tại $m < k$ mà $s_1 + \dots + s_m = m$ (tức là $s_{m+1} + \dots + s_k = k - m$).

Cuối cùng, vẫn còn phải chứng minh thực tế khá thường xuyên này - việc thực hiện điều này một cách riêng biệt sẽ dễ dàng hơn đối với $n$ chẵn và lẻ.

Phát biểu 2. Nếu một mặt phẳng được cho $n$ điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$, thì nó có thể được chia thành hai nửa mặt phẳng chứa $n/2$ mỗi điểm, nếu $n$ chẵn hoặc thành ba góc có cùng một đỉnh và độ lớn $k_1, k_2, \frac{2\pi}{n}, k_3, \frac{2\pi}{n}$, trong đó $k_1 + k_2 + k_3 = n$ và $k_i < n/2$ ($i=1, 2, 3$), mỗi góc chiếu sáng phần bên trong của một lồi nhất định $n$-gon $A_1A_2\dots A_n$ (Hình 4), $A_i \overrightarrow{OA_{i+1}} = a_i$. Chúng ta hãy thả các đường vuông góc $OH_i$ từ điểm $O$ đến các cạnh của đa giác (hoặc phần mở rộng của chúng); hãy để $|OH_i| = h_i$.

Xét các vectơ $\vec{e}_i = \frac{1}{h_i} \overrightarrow{OH_i}$. Rõ ràng là $|\vec{e}_i| = \frac{1}{h_i}$ (Hình 5).

Hình 6.

máy chiếu $a_p$ chiếu sáng điểm $N$, nhưng máy chiếu $a_q$ không chiếu sáng.

Có hai khả năng: 1) tia [OP] không cắt đường thẳng mà cạnh thứ $q$ nằm trên đó và 2) tia [OP] cắt đường thẳng này tại một điểm nào đó $R$.

Trong trường hợp đầu tiên, nó rất quan trọng, vì $\vec{v} \cdot \vec{e}_p > 0$ và $\vec{v} \cdot \vec{e}_q \leq 0$.

Trong trường hợp thứ hai, nó rất quan trọng, vì $\vec{v} \cdot \vec{e}_p > 0$ và $\vec{v} \cdot \vec{e}_q \leq 0$.

Tia [OP] cắt cạnh thứ $p$ của đa giác $A_1A_2\dots A_n$ tại một điểm nào đó $K$, nhưng không cắt cạnh thứ $q$, khoảng cách của máy chiếu $s_k \geq 1$ và $s_1 + s_2 + \dots + s_k = k$ thì có $m < k$, sao cho chúng được chiếu sáng bởi các điểm $n/2$, nếu $n$ chẵn hoặc chia thành ba góc có cùng đỉnh và độ lớn $k_1, k_2, \frac{2\pi}{n}, k_3, \frac{2\pi}{n}$, trong đó $k_1 + k_2 + k_3 = n$ và $k_i < n/2$ ($i=1, 2, 3$), mỗi góc chiếu sáng phần bên trong của một lồi nhất định $n$-gon $A_1A_2\dots A_n$ (Hình 4), $A_i \overrightarrow{OA_{i+1}} = a_i$. Chúng ta hãy thả các đường vuông góc $OH_i$ từ điểm $O$ đến các cạnh của đa giác (hoặc phần mở rộng của chúng); hãy $|OH_i| = h_i$.

Xét các vectơ $\vec{e}_i = \frac{1}{h_i} \overrightarrow{OH_i}$. Rõ ràng là $|\vec{e}_i| = \frac{1}{h_i}$ (Hình 5).