Kvant 1982, số 7 · Trang

KVANM
7
1982

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Ở đây chúng tôi tái tạo một bản in thạch bản từ một bức vẽ được thực hiện vào năm 1858 tại Paris trong quá trình sao chổi đi qua

Donati (vẽ bởi một họa sĩ vô danh).
Một bài báo của L. Marochnik trên tạp chí này được dành cho sao chổi.

1

TRONG VẤN ĐỀ NÀY: TRONG VẤN ĐỀ NÀY:

V. Tadeev. Đơn giản, đôi, hài hòa 2 V. Tadeev. Đơn giản, đôi, hài hòa
L. Marochnik. Sao chổi 10 L. Marochnik. sao chổi
G. Meledin, V. Serbo. Sự ngưng tụ ánh sáng 19 G. Meledin, V. Serbo. Sự ngưng tụ ánh sáng trong beweistvo thành mờ
V. Dubrovsky. Thuật toán khối ma thuật 22 V. Dubrovski. Một thuật toán cho khối ma thuật
V. Surdin. Nhật thực ngày 31 tháng 7 26 V. Surdin. Nhật thực ngày 31 tháng 7 năm 1981
1981

vòng tròn toán học
A. HodULEV. Tái định cư fiszek 28 A. KhodULEV. Đặt lại chip

Phòng thí nghiệm «Kvant» Phòng thí nghiệm của Kvant
L. Mikazlyan. Thí nghiệm tại nhà với ánh sáng phân cực-32 L. Mikaelian. Thí nghiệm về ánh sáng phân cực ở nhà

Sách bài tập «Kvant» Bài toán của Kvant
Bài toán M751—M755; F763—F767 39 Problems M751—M755; P763—P767
Lời giải bài toán M711—M720; F723—F732 42 Solutions M711—M720; P723—P732
A. Zilberman. Nguồn “âm” 54 A. Zilberman. Một nguồn có điện trở trong “âm”

«Kvant» cho học sinh nhỏ Kvant for younger school children
A. Savin. Câu đố vui 56 A. Savin. Một câu đố vui

Phần ứng viên đại học
L. Bakanina. Định luật bảo toàn hạt nhân 58 L. Bakanina. Định luật bảo toàn trong phản ứng hạt nhân

Đáp số, gợi ý, lời giải 62 Answers, hints, solutions

Tin khoa học (38) Tin khoa học (38)
Trộn (25, 60, 61) Khác (25, 60, 61)

trang cờ vua
Ở nơi giao nhau của các đường (trang bìa thứ 3)

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1982

2

V. Tadeev

Đơn giản, đôi, hài hòa

Bây giờ không ai biết chính xác làm thế nào vào năm 1640, Blaise Pascal, mười bảy tuổi (về cuộc đời ông, xem tập sách “Những câu chuyện về các nhà vật lý và toán học” của S. G. Gindikin (M., “Nauka”, 1981)) đã nghĩ ra định lý mang tên ông. Có lẽ, vì lý do nào đó, khi tiếp tục các cạnh của hình lục giác nội tiếp trong đường tròn, anh ta chỉ đơn giản nhận thấy các giao điểm M, N và K nằm trên cùng một đường thẳng (xem trình bảo vệ màn hình). Có nghe được không? Chàng trai lấy một hình lục giác khác nhưng các điểm M, N và K ngoan cố nằm trên một đường thẳng.

Chúng ta không biết những cảm xúc nào nảy sinh trong tâm hồn anh ấy. Người ta chỉ biết rằng anh ta đã nhanh chóng tiếp tục chứng minh sự thật đỏ mà anh ta đã phát hiện và ngay lập tức khái quát hóa nó. Và rồi… rồi từ định lý, như từ một loại sự phong phú, một hệ quả tất yếu đã được đưa ra. Sau đó, định lý Pascal hóa ra là một trong những quy định quan trọng nhất của một nhánh toán học mới - hình học xạ ảnh, đã tìm ra những ứng dụng thú vị trong trắc địa và bản đồ.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh định lý Pascal về đường tròn và thảo luận về một số “khái niệm thiết kế” cho phép chúng ta khái quát hóa nó.

Những mối quan hệ đơn giản

Cho các điểm A, B và C trên dòng l (Hình 1). Đối với các vectơ thẳng hàng $\vec{AC}$ và $\vec{CB}$ tồn tại một số (số ít) $\lambda$ sao cho $\vec{AC} = \lambda \cdot \vec{CB}$. Số $\lambda$ này được gọi là tỉ số đơn giản của các điểm A, B, C; nó được ký hiệu là (ABC). Khi điểm B và C trùng nhau thì quan hệ đơn giản (ABC) không được xác định. Từ định nghĩa rõ ràng rằng

$$|(ABC)| = \frac{|\vec{AC}|}{|\vec{CB}|}.$$

Chính xác hơn, $(ABC) = \frac{|\vec{AC}|}{|\vec{CB}|}$, nếu điểm C

3

nằm giữa $A$ và $B$ và $(ABC) = -\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{CB}|}$ nếu không.

Bây giờ chúng ta sửa các điểm $A$ và $B$ trên $l$ và kiểm tra xem mối quan hệ đơn giản $(ABC)$ thay đổi như thế nào tùy thuộc vào vị trí của điểm $C$. Để làm điều này, chúng ta đặt gốc tọa độ tại điểm $B$ và hướng trục hoành dọc theo $l$ từ $A$ đến $B$ (Hình 2). Nếu chúng ta biểu thị hoành độ của điểm $C$ bằng $x$ và đặt $|AB| = a$, thì $|\overrightarrow{AC}| = a + x$ và $|\overrightarrow{CB}| = x$. Thật dễ dàng để nhận thấy điều đó $(ABC) = v(x) = -\frac{a+x}{x}$. (1)

Từ đồ thị của hàm $v$ (Hình 2), rõ ràng vị trí của điểm $C$ trên đường thẳng $AB$ được xác định duy nhất bởi số $(ABC)$.

Chúng ta hãy lấy các đường $l$, $l'$ trên mặt phẳng và một điểm $P$ bên ngoài chúng. Đối với một điểm tùy ý $A$ của đường thẳng $l$ ta gán điểm $A' = (PA) \cap l'$ cho đường thẳng $l'$. Việc ánh xạ đường $l$ vào đường $l'$ này, đương nhiên được gọi là phép chiếu trung tâm (chủ yếu là $l$ vào đường $l'$), sẽ đóng một vai trò quan trọng trong tương lai.

Thật không may, nếu $l \parallel l'$, mối quan hệ điểm đơn giản trong quá trình chiếu tâm không được giữ nguyên (Hình 3). Tuy nhiên, một mối quan hệ khác có thể dễ dàng được xây dựng từ nó, mối quan hệ này đã có sẵn thuộc tính mà chúng ta cần.

Mối quan hệ kép

Cho các điểm $A, B, C$ và $D$ nằm trên đường thẳng $l$ (Hình 4). Số $\frac{(ABC)}{(ABD)}$ được gọi là tỷ lệ kép (hoặc phức hoặc không điều hòa) của điểm $A, B, C, D$; nó được ký hiệu là $(ABCD)$. Như vậy,

$$|(ABCD)| = \frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{CB}|} : \frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{DB}|}.$$

Khi điểm $A$ và $D$ trùng nhau, $(ABD) = 0$ (xem (1)); trong trường hợp này mối quan hệ kép $(ABCD)$ không được xác định. Tất nhiên, nó cũng không được xác định cho $B = C$. Đối với $B = D$, việc đặt $(ABCD) = 0$ là điều đương nhiên.

Bây giờ chúng tôi sửa các điểm $A, B$ và $C$ trên $l$. Đặt gốc tọa độ tại điểm $B$ và hướng trục x

4

Hình 5.

6. $(BACD) = (ABDC) = (CDBA) = (DCAB) = \frac{1}{\omega}$;
7. $(BDAC) = (DBCA) = (ACBD) = (CADB) = 1 - \omega$;
8. $(DACB) = (ADBC) = (CBDA) = (BCAD) = 1 - \frac{1}{\omega}$;
9. $(DBAC) = (BDCA) = (ACDB) = (CABD) = \frac{1}{1 - \omega}$;
10. $(ADCB) = (DABC) = (CBAD) = (BCDA) = \frac{1}{1 - \frac{1}{\omega}}$.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng mối quan hệ kép được bảo toàn theo thiết kế trung tâm (Hình 5). Chúng ta hãy biểu thị tương ứng bằng $h$ và $h'$ khoảng cách từ $P$ đến các đường $l$ và $l'$. Ví dụ, xét diện tích của hình tam giác $PAC$ và $PA'C'$, chúng ta thu được

$$\frac{h \cdot |AC|}{h' \cdot |A'C'|} = \frac{|PA| \cdot |PC|}{|PA'| \cdot |PC'|}.$$

Từ đây

$$|A'C'| = |AC| \cdot \frac{|PA'| \cdot |PC'|}{|PA| \cdot |PC|} \cdot \frac{h}{h'}$$

Từ các đẳng thức tương tự cho $|C'B'|$, $|A'D'|$ và $|D'B'|$ ta thu được

$$\frac{|A'C'|}{|C'B'|} : \frac{|A'D'|}{|D'B'|} = \frac{|AC|}{|CB|} : \frac{|AD|}{|DB|}$$

Vì các điểm $A, B, C, D$ trên $l$ và $A', B', C', D'$ trên $l'$ có cùng thứ tự nên các quan hệ nguyên tố $(ABC)$ và $(A'B'C')$, $(ABD)$ và $(A'B'D')$ có cùng dấu. Vì vậy, $(A'B'C'D') = (ABCD)$.

Hình 6.

Bộ ba Pascal

Bây giờ chúng ta có thể gặt hái thành quả lao động của mình.

Xây dựng (chỉ cẩn thận) hình lục giác $ABCDEF$ nội tiếp trong đường tròn và phần mở rộng của cặp cạnh $FE$ và $BC$, ED và $AB$, DC và $FA$ đến giao điểm tại các điểm $M, N, K$ tương ứng*). Nếu bạn thực hiện các cách xây dựng này đủ chính xác, bạn sẽ thấy các điểm $M, N, K$ nằm trên cùng một đường thẳng (Hình 6). Bộ ba điểm này được gọi là bộ ba Pascal, và phát biểu về sự thẳng hàng của chúng được gọi là định lý Pascalai.

Nhân tiện, bạn bao nhiêu tuổi? Mười bảy? Nếu bạn để ý thì hãy đọc những phần trước

*) Trường hợp có ít nhất một cặp đường thẳng không giao nhau sẽ được thảo luận dưới đây.

5

trang này, bạn thấy mình ngang hàng với Pascal, người vừa đưa ra quan sát của mình. Bạn có muốn xem bạn mất bao lâu để tự mình tìm ra cách chứng minh định lý Pascal không?

Hãy chứng minh định lý này. Hãy xem xét hai bộ tứ đường thẳng: FE, FD, FC, FA và BE, BD, BH, BN. Chúng bằng nhau vì các góc giữa các đường thẳng tương ứng bằng nhau (ví dụ: EFD = EBD, hoặc chúng dựa trên cung chung DE). Điều này có nghĩa là, theo những gì đã được chứng minh ở phần trước, (RDCK) = (EDHN) (ở đây R = (FE) ∩ (CD), H = (BC) ∩ (ED)).

Gọi giao điểm của hai đường MK và EH là N’. Khi đó (EDHN’) = (RDCK). Do đó (EDHN) = (EDHN’), do đó N’ trùng với N.

Bài tập

2. Bằng cách chọn mọi cách có thể các cặp đường thẳng nối các đỉnh của hình lục giác ABCDEF nội tiếp trong một đường tròn, đảm bảo rằng có 60 đường thẳng song song.

3*. Khám phá vị trí tương đối của 60 cặp mà các dấu vết này nằm trên đó.

4. Xây dựng và chứng minh định lý Pascal về ngũ giác nội tiếp đường tròn (Gợi ý. Giải nén nó thành một lục giác có các đỉnh E và F trùng nhau và tiếp tuyến tại điểm E là vị trí giới hạn của cát tuyến EF), một tứ giác và một tam giác.

5. Vẽ tiếp tuyến của một đường tròn từ một điểm cho trước bằng một thước kẻ.

---

Để có được hệ quả từ định lý Pascal đã được thảo luận ở đầu bài viết, trước tiên bạn sẽ phải bỏ ra một ít thời gian. Chúng ta sẽ nghiên cứu hai loại phép biến đổi mặt phẳng quan trọng - phép chiếu song song và phép chiếu tâm. Những biến đổi này là cơ sở của thiết kế.

Bạn biết rằng chuyển động của mặt phẳng khiến khoảng cách giữa các điểm không thay đổi; do đó, chúng giữ được kích thước và hình dạng của các hình. Với những điểm tương đồng, chỉ có mối quan hệ khoảng cách được giữ nguyên - các hình có thể thay đổi kích thước nhưng vẫn giữ nguyên hình dạng. Tình hình còn tồi tệ hơn với thiết kế song song và trung tâm - chúng cũng làm biến dạng hình dạng của các hình. Ví dụ, trong thiết kế song song

một vòng tròn có thể biến thành một hình elip và với một đường trung tâm - thậm chí thành một cặp đường thẳng giao nhau! Thế thì họ tiết kiệm được gì? Đây chính xác là những gì chúng ta sẽ nói đến - đáp số câu hỏi này là nội dung chính của hình học thiết kế.

Kỹ thuật đồng thời
Ở gần bề mặt Trái đất, các tia Mặt trời song song với độ chính xác vừa đủ. Do đó, sự xuất hiện của bề mặt bóng phẳng từ một vật phẳng là minh họa cho phép chiếu song song (Hình 7).

Và định nghĩa toán học ở đây là: cho hai mặt phẳng π và π’ (song song hoặc cắt nhau) và đường thẳng l cắt cả hai mặt phẳng; Ta gán cho mỗi điểm A∈π điểm giao nhau A’∈π’ của đường thẳng l’ đi qua A song song với l với mặt phẳng π’ (Hình 8); ánh xạ kết quả của mặt phẳng π lên π’ được gọi là phép chiếu song song (π lên π’ dọc theo đường thẳng l).

Rõ ràng, phép chiếu song song là ánh xạ một-một của mặt phẳng π lên mặt phẳng π’, biến các đường thẳng song song thành đường thẳng song song và các đường thẳng cắt nhau thành giao nhau.

Phép chiếu song song không chỉ làm thay đổi kích thước của hình mà còn làm biến dạng hình dạng của chúng. Do đó, với thiết kế song song, một vòng tròn có thể “kết tinh” thành hình elip (Hình 9)*. Vì vậy, không chỉ khoảng cách mà cả mối quan hệ của họ cũng thay đổi.

Tuy nhiên, mối quan hệ đơn giản của ba điểm trong thiết kế song song vẫn được bảo tồn. Thật vậy, khi các mặt phẳng π và π’ giao nhau (Hình 10), điều này ngay lập tức dẫn đến sự giống nhau của các tam giác PAA’, PBB’ và PCC’; trường hợp π và π’ song song thậm chí còn đơn giản hơn - hãy tự phân tích nó.

Thực tế đơn giản nhưng quan trọng này có nhiều hệ quả thú vị.

*) Nhân tiện, đây là một trong những định nghĩa có thể có của hình elip - một đường cong thu được bằng cách chiếu song song một hình tròn.

Hình 12.

Ví dụ, với thiết kế song song, phần giữa của một đoạn đi vào giữa một đoạn, medida của tam giác đi vào medida. (Nhưng đường phân giác không nhất thiết phải chuyển thành đường phân giác; điều tương tự cũng có thể nói về chiều cao của tam giác.)

Bài tập.

6. Chứng minh rằng hình elip có một tâm đối xứng.

7. Chứng minh rằng trung điểm của các dây cung của một hình elip song song với một hướng cho trước nằm trên cùng một đường thẳng đi qua tâm của nó (Hình 11).

Thiết kế trung tâm
Ánh sáng phát ra từ đèn tất nhiên không sáng bằng ánh sáng mặt trời. Trong giới hạn chiếu sáng của đèn, các tia không thể được coi là song song - do đó, đèn thường được biểu diễn dưới dạng một nguồn chính xác, các tia của nó phân kỳ theo mọi hướng.

7

lười biếng Sự xuất hiện của bóng từ một vật phẳng trên màn hình mô hình hóa hình chiếu trung tâm (Hình 12).

Định nghĩa toán học ở đây như sau: các mặt phẳng π và π’ (song song hoặc cắt nhau) và điểm P bên ngoài các mặt phẳng này trống; Với mỗi điểm A ∈ π chúng ta liên kết một điểm A’ ∈ π’ giao điểm của đường thẳng PA với mặt phẳng π’ (Hình 13); ánh xạ kết quả của mặt phẳng π vào mặt phẳng π’ được gọi là phép chiếu tâm (của mặt phẳng π vào mặt phẳng π’ tính từ tâm P).

Thật không may, nếu các mặt phẳng π và π’ không song song, thì phép chiếu tâm không phải là ánh xạ vào mặt phẳng π cũng như không ánh xạ lên toàn bộ mặt phẳng π’. Trên thực tế, nếu một mặt phẳng π₁ song song với π’ được vẽ qua P, thì điểm của đường thẳng l = π₁ ∩ π không được ánh xạ theo bất kỳ cách nào khi chiếu tâm từ P (Hình 14, a). Tương tự, nếu một mặt phẳng π₂ song song với π được vẽ qua P, thì trong phép chiếu tâm từ P, không có điểm nào của mặt phẳng π đi đến các điểm của đường thẳng l’ = π₂ ∩ π’ (Hình 14, a).

Chúng ta hãy xem những gì được thực hiện trong quá trình chiếu tâm với các đường thẳng của mặt phẳng π. Như đã nói, đường thẳng l (và bất kỳ điểm nào của nó) không biến thành bất cứ thứ gì. Bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng π song song với l sẽ thành đường thẳng của mặt phẳng π’, song song với l’ (Hình 14, b). Đưa mặt phẳng π cắt l không có giao điểm - “đường thẳng xuyên qua” của mặt phẳng π’ - thành đường thẳng không có giao điểm với l’ (Hình 14, c). (Trong tương lai, để không làm lộn xộn cách diễn đạt bằng các từ ngữ, trong những tình huống như vậy, chúng tôi sẽ cho phép lời nói dao động và nói ngắn gọn rằng một đường thẳng sẽ biến thành một đường thẳng.)

Chúng ta hãy lưu ý thêm rằng các đường giao nhau, nếu giao điểm của chúng không nằm trên đường l đã chọn, sẽ chuyển thành các đường giao nhau (Hình 14, f), nếu không thì chúng biến thành các đường thẳng song song (Hình 14, e).

8

Như vậy, có thể nói rằng với thiết kế trung tâm, về cơ bản các đường thẳng sẽ biến thành đường thẳng và các đường giao nhau thành giao nhau. Từ “đáng kể” có nghĩa là “ngoại trừ các trường hợp ngoại lệ và tiêu chuẩn nêu trên”.

Có thể tránh các mệnh đề ngoại lệ trong báo cáo thiết kế bằng cách giả sử rằng “các đường song song cắt nhau tại một điểm ở vô cực” và “tất cả các điểm ở vô cực trong một mặt phẳng nhất định đều nằm trên cùng một đường thẳng (vô cực). Hơn nữa, từ ngữ với tư cách là chất lượng có thể được gán một ý nghĩa toán học chính xác; sau đó, bằng cách thêm “các điểm ở xa vô hạn” của nó vào mặt phẳng cạnh (Euclide) của chúng ta, chúng ta thu được cái gọi là “mặt phẳng xạ ảnh”.

Trên mặt phẳng xạ ảnh, định lý Pascal được giữ vững mà không cần đặt trước: ngay cả trong trường hợp hình lục giác đều, các đường thẳng đối diện (song song) “giao nhau tại ba điểm ở vô cực, tất cả đều nằm trên cùng một đường thẳng (vô cùng xa!)”.

Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ không đề cập đến đối tượng toán học của các quốc gia này. «Kvant» sẽ sớm quay lại chủ đề này.

phần ốc xà cừ

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng ví dụ về đường tròn để xem hình chiếu trung tâm làm biến dạng hình dạng của các hình ở mức độ nào. Chúng ta hãy xem xét một đường tròn S nằm trên mặt phẳng π và một điểm P phía trên mặt phẳng này (Hình 15). Vòng tròn S sẽ trở thành gì?

Hình 15.

Tất nhiên, khi chiếu tâm từ điểm P, điều đó phụ thuộc vào vị trí của mặt phẳng π′ mà chúng ta đang chiếu lên đó. Hình vẽ thể hiện bốn tin đồn (các mặt phẳng π′1, π′2, π′3, π′4); điều này tạo ra một sự tương ứng, một hình elip, một parabol, một hyperbol và một cặp đường thẳng giao nhau. Hình vẽ cho thấy rõ rằng tổng số các đường thẳng chiếu tạo thành một hình nón; Vì vậy, các đường cong được liệt kê được gọi là mặt cắt hình nón.

Nếu hình chiếu trung tâm làm biến dạng hình dạng của các hình nhiều đến vậy thì nó còn bảo toàn được gì? Chúng ta biết rằng nó biến đổi các đường thẳng thành đường thẳng, nghĩa là nó bảo toàn tính chất thẳng hàng của các điểm (ở đây chúng ta chỉ cần nhớ những điều đã đặt trước ở trên!). Ngoài ra, nó còn bảo toàn tỷ lệ kép của bốn điểm, điều mà chúng tôi đã chứng minh trước đó. Hóa ra hai sự kiện này đủ để thu được nhiều định lý hình học sâu sắc, đặc biệt là hệ quả tất yếu của định lý Pascal.

Bài tập

8. Xây dựng và chứng minh định lý Pascal cho hình lục giác nội tiếp trong một hình elip, một parabol và một hyperbol.

9. Chứng minh rằng một hình elip, một parabol và một hyperbol được xác định duy nhất bởi số năm.

10. Chỉ ra phương pháp dựng một thước dọc theo các điểm gót của hình elip của các điểm khác của nó.

11. Sử dụng một thước kẻ, dựng một tiếp tuyến của hình elip đã cho từ một điểm cho trước. Điều tương tự cũng xảy ra với parabol và hyperbol.

Hài hòa bốn

Ngay cả các nhà toán học Hy Lạp cổ đại cũng gọi bốn điểm thẳng hàng A, B C, D là hài hòa nếu (ABCD) = -1.

Hãy đưa ra một ví dụ. Chúng ta hãy lấy một tam giác NAB tùy ý và vẽ bissertis NC của góc “nội” ANB và bissertis ND của góc “ngoài” KNB (Hình 16). Như đã biết (“Hình học 6-8”, bài toán 914), $\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{|NA|}{|NB|}$. Tuyên bố này cũng có thể được viết như thế này:

$$ABC = \frac{|NA|}{|NB|}.$$

9

Giả sử $A$ là một điểm trên trục quang, $A'$ ảnh của nó, $F$ tiêu điểm của gương, $a$ tâm của nó ($|PF| = |FO|$). Khi đó bốn điểm $P, O, A', A$ là điều hòa. Hãy tự chứng minh, sử dụng công thức

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F},$$

được biết đến từ một khóa học vật lý.

Các nhà khoa học Hy Lạp cổ đại, ngoài số học ($a - b = c - d$) và hình học ($\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$), còn coi tỷ lệ hài hòa:

$$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$$ (sự đẳng thức này được thỏa mãn bởi tọa độ $a, b, c, d$ của bộ tứ điểm hài hòa $A, B, C, D$). Trong trường hợp $b = c$ (trong trường hợp này các tỷ lệ được gọi là liên tục), thu được trung bình số học $b = \frac{a+d}{2}$, trung bình hình học $b = \sqrt{ad}$ và trung bình điều hòa $b = \frac{2ad}{a+d}$.

Theo truyền thuyết, ngay cả Pythagoras, khi nghiên cứu lý thuyết toán học về âm nhạc, đã xác định rằng độ dài của dây phát ra âm thanh ở cùng độ căng của nốt $do, mi, colb$ (các thành phần của một nốt ba nốt trưởng) tỷ lệ thuận với số 1, $\frac{4}{5}, \frac{2}{3}$. Nhưng $\frac{4}{5}$ là trung bình điều hòa của số 1 và $\frac{2}{3}$. Đây là nơi khái niệm về sự hài hòa xuất hiện trong toán học.

Cũng dễ dàng chứng minh được điều đó

$$(ABD) = -\frac{|NA|}{|NB|}.$$

(Gợi ý. Hãy xem xét tỷ lệ diện tích của các hình tam giác $NAD$ và $NBD$, lấy cơ sở trước tiên là $[NA]$ và $[NB]$, sau đó là $[AD]$ và $[BD]$.) Do đó, $(ABCD) = -1$, tức là nhân bốn điểm $A, B, C, D$.

Bài tập 12. Nêu phương pháp dựng điểm bằng thước. Gợi ý. Xem hình. 17. Điểm $P$ và $Q$ ở giai đoạn 1 và 5 được chọn ngẫu nhiên.

Bộ tứ hài hòa được tìm thấy trong quang học. Chúng ta hãy xem xét đường đi của tia sáng trong gương lượn sóng 3 (Hình 18).

10

sao chổi

Gần một phần tư thế kỷ trước, người ta háo hức nghe tin về việc phóng một vệ tinh nhân tạo trên Trái đất. Trên toàn thế giới, máy thu sóng vô tuyến đã được điều chỉnh theo bước sóng máy phát của ông. Các tín hiệu vô tuyến đơn giản của vệ tinh đầu tiên “bíp-bíp-bíp” phát sinh về sự khởi đầu của thời đại vũ trụ trong lịch sử loài người.

Học sinh lớp 10 ngày nay, chưa kể thế hệ trẻ, đều được sinh ra trong thời đại du hành vũ trụ. Mọi người dần dần được tiêm phòng. Và bây giờ, ngay cả những chuyến bay của tàu đến các hành tinh khác trong hệ mặt trời - Sao Kim, Sao Hỏa, Sao Thổ - có lẽ cũng ít sức tưởng tượng hơn trước đây - vụ phóng vệ tinh đầu tiên, chuyến bay của Yury Gagarin, cuộc đổ bộ của ame-

phi hành gia người Rico trên mặt trăng. Tuy nhiên, thế hệ hiện tại cũng sẽ mong đợi một số “bất ngờ” gần giống với khoa học viễn tưởng. Tuy nhiên, các thí nghiệm không gian gần nhất tạo ra trí tưởng tượng là các cuộc thám hiểm tới Sao chổi Halley, sẽ được thực hiện vào năm 1985-86, khi sao chổi này một lần nữa quay trở lại từ “vùng ngoại ô” của Hệ Mặt trời và tiếp cận Mặt trời.

Loại thí nghiệm này có ít nhất hai khía cạnh quan trọng: tâm lý và khoa học. Tại sao tâm lý? Thực tế là sao chổi luôn khơi dậy trí tưởng tượng của con người. Từ “sao chổi” được dịch từ tiếng Hy Lạp là “ngôi sao có lông”. Cả vào thời cổ đại và thời Trung cổ, sao chổi thường được miêu tả là những cái đầu bị cắt đứt với mái tóc bay tung. Một người luôn ở trong bầu trời đầy sao của sự tương đồng với những hình ảnh quen thuộc, dễ hiểu; do đó có tên của nhiều chòm sao: Ursa Major, Gemini, Libra, v.v. Theo nghĩa này, sao chổi cũng không ngoại lệ. Tuy nhiên, nếu bầu trời đầy sao, ngay cả đối với một người quan sát có kinh nghiệm, thực tế dường như không thay đổi từ đêm này sang đêm khác, thì sự xuất hiện của một “ngôi sao có lông” sáng khá nhanh, đôi khi chỉ trong vài ngày, biến mất khỏi bầu trời là một sự kiện nổi bật và đáng sợ.

Cảnh tượng một sao chổi sáng ấn tượng hơn. Bằng sự rực rỡ của nó

Sao chổi Halley chụp ngày 13 tháng 5 năm 1910 (phía dưới bên trái - sao Kim).

11

có thể giống như sao Kim chẳng hạn, và thậm chí giống như Mặt trăng lúc trăng tròn. Đuôi của sao chổi như vậy kéo dài đến nửa bầu trời. Hãy nhìn bức ảnh này của Sao chổi Halley được chụp trong lần cuối cùng nó bay qua Pergave vào năm 1910. Có hiệu quả phải không? Dù thế nào đi nữa, người ta có thể hiểu tại sao sao chổi luôn bị nhiều người coi là điềm báo xui xẻo, điềm xấu, “tiếng nói của phe bên” hay nói đúng hơn là “ma quỷ”. Lịch sử của con người đầy rẫy những cuộc chiến tranh, dịch bệnh, đảo chính trong cung điện và những vụ sát hại những người gốc hoàng gia, đến nỗi hầu như sự xuất hiện của sao chổi luôn “kèm theo” một sự kiện bi thảm nào đó.

Vào năm 44 trước Công nguyên, cái chết của Julius Caesar trùng hợp với sự xuất hiện của một sao chổi sáng trên bầu trời (điều này được biết đến từ các tác phẩm của các nhà sử học La Mã), do đó vào thời Trung cổ và thậm chí sau đó tại các tòa án châu Âu đã có ý kiến ​​​​cho rằng sự xuất hiện của một sao chổi sáng có thể báo trước cái chết của những người trong ngôi nhà trị vì. Sao chổi sáng năm 1664 khiến vua Pháp Louis XIV, quen thuộc với chúng ta từ cuốn tiểu thuyết “The Vicomte de Bragelonne” của Dumas, và vị vua Bồ Đào Nha thời đó, Alfonso VI, lo sợ rằng sao chổi đã đến với mình nên đã bắn vào nó từ một quả dưa hấu.

Điều gây tò mò là “quan điểm của Trung Quốc” về sao chổi hoàn toàn khác với “quan điểm của châu Âu”. Theo người Trung Quốc cổ đại, sao chổi là sứ giả, mang theo ý muốn của hoàng đế đi khắp “các tỉnh sao”. Các hành tinh là người cai trị các tỉnh và các ngôi sao là chính quyền địa phương. Sao chổi di chuyển từ tỉnh này sang tỉnh khác làm lu mờ công việc của chính phủ.

Tuy nhiên, người ta không nên nghĩ rằng nghiên cứu khoa học về sao chổi đã bắt đầu vắng bóng từ thời cổ đại. Đã có trong biên niên sử Trung Quốc cổ đại, một sự thật khoa học cơ bản được phản ánh làm nền tảng cho những ý tưởng hiện đại về vật lý của sao chổi, đó là đuôi của sao chổi luôn hướng theo hướng ngược lại với Mặt trời. Nhà triết học và nhà văn La Mã Luizio Seneca cũng nhận thức được điều này. Cho đến thế kỷ 17, khoa học bị thống trị bởi quan điểm của Aristotle, người có thẩm quyền được công nhận về mọi vấn đề của lịch sử tự nhiên. Aristotle tin rằng sao chổi nằm ngoài tầm kiểm soát của các Actrom, vì theo ý kiến ​​​​của ông, hiện tượng này (sao chổi) phát sinh trong bầu khí quyển của trái đất: hơi của trái đất bốc lên, bốc cháy, va chạm với “quả cầu lửa” và đuôi sao chổi là ngọn lửa do gió điều khiển. Tuy nhiên, vào năm 1577, nhà quan sát khéo léo nhất thời bấy giờ, Tycho Brahe, đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng quan điểm của Aristotle là sai lầm. Nếu sao chổi ở trong bầu khí quyển trái đất, tức là tương đối gần Trái đất, thì khi quan sát nó đồng thời từ hai điểm khác nhau trên bề mặt trái đất, Tycho Brahe và các học trò của ông sẽ nhìn thấy nó bên cạnh những ngôi sao khác nhau. Nhưng điều này đã không xảy ra - sao chổi đang ở điểm chiếu lên cùng một điểm trên bầu trời đầy sao, điều đó có nghĩa là góc “người quan sát số 1 - sao chổi - người quan sát số 2” (cái gọi là thị sai) là rất nhỏ, nghĩa là sao chổi ở rất xa Trái đất và trong mọi trường hợp đều đã ở bên ngoài bầu khí quyển Trái đất. Kể từ đó, việc nghiên cứu sao chổi cuối cùng đã trở thành trách nhiệm của các Actrom.

Sau khi Galileo là người đầu tiên hướng kính viễn vọng do ông chế tạo lên bầu trời, một nghề mới đã xuất hiện trong thiên văn học - “người bắt sao chổi”. Thực tế là một sao chổi mờ trông giống như một đốm sương mù nhỏ trên bầu trời. Nhưng không phải mọi điểm sương mù đều được coi là sao chổi. Bây giờ chúng ta biết rằng một số vật thể thiên văn trông như thế này: tinh vân hành tinh và tinh vân khuếch tán, cụm sao cầu và cụm mở, các thiên hà. Khi sao chổi còn ở xa Mặt trời, nó cũng hầu như không di chuyển trên bầu trời từ đêm này sang đêm khác nên rất khó để phân biệt nó với những đốm “tĩnh” này. Quan sát phải khá khéo léo. Nhà thiên văn học người Pháp Charles Messier (1730–1817) lần đầu tiên trong lịch sử thiên văn học đã biên soạn một danh mục các tinh vân như vậy (hầu hết các vật thể) một cách chính xác để không nhầm lẫn chúng với sao chổi. Nó vẫn là một trong những nổi tiếng nhất

12

người ta có thể nói, một danh mục “máy tính để bàn” về các nhà thiên văn học. Các vật thể trong danh mục Messier được ký hiệu bằng chữ M. Vật thể M1 là ý nghĩa của Tinh vân Con cua, ở trung tâm của nó, như chúng ta biết bây giờ, Messier lần đầu tiên bị nhầm với một sao chổi mới và chính xác là để tránh những sai sót tiếp theo, ông đã biên soạn danh mục các dấu hiệu của mình. “Điều trớ trêu của số phận” là, nói một cách đơn giản, trong khoảng 200-250 năm, có thể nói, nguyên nhân và kết quả đã được đặt vào đúng chỗ. Bây giờ chúng ta biết rằng sao chổi rất có thể chỉ có nguồn gốc từ hệ mặt trời của chúng ta, nơi chúng dường như có nguồn gốc. Mặt trời là một ngôi sao hoàn toàn bình thường trong Thiên hà của chúng ta (có khoảng 10¹¹ ngôi sao trong đó). Có rất nhiều thiên hà giống như của chúng ta. Thông thường chúng tạo thành các cụm (số lượng thiên hà trong cụm lên tới hàng trăm, thậm chí hàng nghìn). Ngày nay chúng ta thấy khoảng 20 cụm như vậy. Và nếu vào thời của Messier, các thiên hà và tinh vân chỉ là những nơi khó chịu trên con đường “bắt sao chổi”, thì giờ đây các vật thể trong danh mục Messier (và các danh mục tương tự khác) là đối tượng nghiên cứu quan trọng nhất, vì chúng cho phép người ta đánh giá cấu trúc và mức độ xấu xa của Vũ trụ, các kích thước nhìn thấy được ngày nay được tính bằng hàng tỷ năm ánh sáng (1 năm ánh sáng≈10¹⁸ cm).

Có vẻ như, trong bối cảnh của những vấn đề lớn như vậy, liệu có ai luôn quan tâm đến những chi tiết cụ thể như Hệ Mặt trời (kích thước của nó khó vượt quá hàng trăm đơn vị thiên văn và 1 đơn vị thiên văn là ≈1,5·10⁻⁵ năm ánh sáng), Mặt trời và một phần rất đặc biệt - sao chổi? Hóa ra họ có thể. Thực tế là câu hỏi về nguồn gốc của hệ mặt trời có mối liên hệ chặt chẽ với câu hỏi về nguồn gốc của sự sống trên Trái đất và trong Vũ trụ nói chung, với câu hỏi về sự tồn tại của các nền văn minh bên ngoài. Những vấn đề này không kém phần cơ bản so với những vấn đề về sự xấu xa của Vũ trụ. Đối với lời giải của họ, bạn cần biết các điều kiện ban đầu mà Hệ Mặt trời được hình thành. Và hóa ra sao chổi có thể cung cấp những thông tin cần thiết về điều này.

Theo các khái niệm hiện đại, tất cả các vật thể của Hệ Mặt trời (và đặc biệt là các sao chổi) đều hình thành trong một quá trình độc ác duy nhất của đám mây khí và bụi tiền mặt trời. Hiện tại không có quan điểm duy nhất được chấp nhận rộng rãi về việc điều này xảy ra như thế nào. Điều này là do sự không chắc chắn lớn về các điều kiện hình thành ban đầu và sự thất bại sau đó của đám mây trước mặt trời. Chẳng hạn, người ta tin rằng sự xuất hiện của các hệ hành tinh xung quanh các ngôi sao là một hiện tượng bình thường, và về mặt này, ngôi sao của chúng ta - Mặt trời - không phải là một điều gì đó đặc biệt. (Bạn có thể tìm thấy thảo luận chi tiết hơn về vấn đề này trong cuốn sách xuất sắc của I. S. Shklovsky “Vũ trụ, Sự sống, Tâm trí.”) Tuy nhiên, vào thời điểm cuối cùng xuất hiện của nó, các điều kiện mà Hệ Mặt trời xuất hiện trong Thiên hà của chúng ta là ở mức tầm thường. Điều này là do vị trí của Mặt trời trong Thiên hà.

Thiên hà của chúng ta là một thiên hà xoắn ốc. Theo các khái niệm hiện đại, các nhánh xoắn ốc của các thiên hà là các sóng nén. Thiên hà đang mục nát. Trong trường hợp này, vận tốc góc Ω phụ thuộc vào khoảng cách R đến tâm của nó, nghĩa là Ω = Ω(R). Và sóng nén quay với vận tốc góc không đổi Ω_B. Rất thuận tiện, có một vòng tròn bán kính R_K như vậy trong đĩa thiên hà, tốc độ góc quay trùng với tốc độ góc của sóng nén (nghĩa là đẳng thức Ω(R_K) = Ω_B đúng). Một vòng tròn như vậy được gọi là rút ngắn. Trong mỗi thiên hà (bao gồm cả thiên hà của chúng ta) chỉ có một vòng tròn rút ngắn.

Hóa ra Mặt trời trong Thiên hà của chúng ta gần như nằm trên một vòng tròn rút ngắn và vị trí của Hệ Mặt trời theo nghĩa này bị loại trừ. Có thể vì tính chất độc quyền này mà các điều kiện mà hệ mặt trời hình thành không bình thường. Có thể điều này có

13

ý nghĩa quan trọng của vấn đề sản xuất cuộc sống. Do Mặt trời quay gần như đồng bộ với mô hình xoắn ốc của Thiên hà nên chúng ta chỉ có một lần duy nhất trong thời gian tồn tại của Hệ Mặt trời là vượt qua nhánh xoắn ốc - một nơi cực kỳ nguy hiểm đối với mọi sinh vật, vì chính trong các nhánh xoắn ốc mà siêu tân tinh phun trào, tạo ra những dòng bức xạ điện từ mạnh đến mức có thể hủy diệt sự sống. Ví dụ, theo I. S. Shklovsky, chính do vụ nổ của siêu tân tinh gần đó đã xảy ra sự tuyệt chủng hàng loạt của loài khủng long trên Trái đất.

Từ ví dụ trên, có thể thấy rõ tầm quan trọng của việc biết các điều kiện ban đầu mà Hệ Mặt trời được hình thành, chúng bình thường hay bất thường như thế nào trong Thiên hà, thành phần hóa học của đám mây trước khi nó chết, các điều kiện vật lý trong đó, v.v. Thông tin về những điều kiện ban đầu này, ít nhất là về thành phần hóa học và điều kiện vật lý, có thể được cung cấp bởi sao chổi. Khối lượng của sao chổi rất nhỏ so với khối lượng của các hành tinh trong Hệ Mặt trời (dường như chúng ở mức $10^{-5} \div 10^{-12}$ khối lượng của Trái đất). Điều này có nghĩa là trọng lực của chính họ thấp. Vì vậy, sao chổi hầu như không tiến hóa kể từ thời điểm chúng ra đời cho đến “ngày nay”. Nói cách khác, các điều kiện vật lý trong sao chổi và thành phần hóa học của chúng vẫn giữ nguyên (hoặc gần như giống nhau) như trong tinh vân khí-bụi sơ cấp nơi Mặt trời và các hành tinh được hình thành. Sự tiến hóa đã ảnh hưởng đến những vật thể lớn - chính Mặt trời, các hành tinh, nhưng hầu như không chạm đến những vật thể nhỏ - sao chổi, thiên thạch.

Hơn nữa, một trong những giả thuyết hiện đại thường kết nối nguồn gốc sự sống trong Thiên hà với sao chổi. Nó thuộc về nhà vật lý nổi tiếng người Mỹ Dyson. Ý tưởng của ông là sự sống tập trung trên bề mặt Trái đất, trong sinh quyển. Nếu chúng ta cho rằng sự sống luôn chỉ có thể phát sinh trên bề mặt Mặt trời trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - nhất phù hợp với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - phù hợp nhất với sao chổi này trong Thiên hà - sao chổi phù hợp nhất trong Thiên hà - sao chổi phù hợp nhất trong Thiên hà - các kết nối cho thấy sự dư thừa này là hậu quả của sự phân rã của đồng vị phóng xạ $^{26}$Al (đồng vị ổn định là $^{27}$Al). Chu kỳ bán rã của nó là $T=0,72 \cdot 10^6$ năm. Chất phóng xạ $^{26}$Al đến từ đâu để hoàn thiện tinh vân? Đây là câu hỏi. Tuy nhiên, rõ ràng là nó phải chết khoảng một triệu năm trước khi các thiên thạch bắt đầu đông đặc lại. Bây giờ sự xuất hiện của anh ấy có liên quan đến một khả năng có thể xảy ra

14

vụ nổ của siêu tân tinh gần đó*). Tuy nhiên, nếu $^{26}$Al hiện diện trong tinh vân tiền mặt trời, thì nó cũng có trong vật liệu hình thành sao chổi. Điều này có nghĩa là các phân tử hữu cơ đơn giản nhất tạo nên hạt nhân sao chổi đã được chiếu xạ bởi đồng vị $^{26}$Al, đồng vị này phân hủy do tính phóng xạ tự nhiên của nó. Các thí nghiệm trong phòng thí nghiệm cho thấy khi được chiếu xạ, các phân tử như vậy có khả năng tự tổ chức, hình thành axit amin và cơ sở của axit nucleic, và từ đây rất gần với sự xuất hiện của sự sống.

Những ý tưởng này không phải ngẫu nhiên, thậm chí có thể là sao chổi. Để kiểm tra chúng, trước đáp số nhiều câu hỏi thú vị, cần có các thí nghiệm trực tiếp trong không gian và đặc biệt là một “điểm hẹn” với sao chổi, một “cuộc thăm dò” không được trình bày về chúng.

Sao chổi theo quan điểm khoa học hiện đại là gì? Khối lượng của sao chổi rất nhỏ. Như đã đề cập, chúng có thể nằm trong khoảng $10^{15} \div 10^{22}$ g (Khối lượng Trái đất≈6·10$^{27}$ g). Trong trường hấp dẫn của khối lượng khổng lồ của Mặt trời ($\approx 2 \cdot 10^{33}$ g), chúng chuyển động theo định luật vạn vật hấp dẫn, dọc theo các quỹ đạo là những tiết diện hữu hạn, tức là những đường cong thu được khi một hình nón cắt một mặt phẳng. Đó là hình tròn, hình elip, parabol, hyperbol. Mặt trời nằm ở tiêu điểm của quỹ đạo. Trường hấp dẫn của các hành tinh lớn (Sao Mộc và Sao Thổ) làm xáo trộn quỹ đạo của chúng, làm thay đổi chúng, do đó sao chổi di chuyển sang bên phải theo quỹ đạo hình elip có thể chuyển sang quỹ đạo hyperbol hoặc parabol. Các sao chổi có quỹ đạo hình elip (sự xuất hiện của một vòng tròn trong điều kiện như vậy là cực kỳ khó xảy ra) định kỳ quay trở lại Mặt trời. Những sao chổi như vậy được gọi là định kỳ. Không có nhiều người trong số họ - vài người hơn bảy mươi.

*) Trong các vụ nổ siêu tân tinh, nhiệt độ tăng cao đến mức quá trình tổng hợp nhiệt hạch của các nguyên tố hóa học, đặc biệt là nhôm phóng xạ, bắt đầu trong chất của chúng. Các sản phẩm được hình thành do quá trình tổng hợp như vậy, tách ra trong một vụ nổ, có thể “làm ô nhiễm” đám mây chứa đầy mặt trời gần đó.

Sao chổi Borelli có một chu kỳ rất dài, cứ 493 năm lại trải qua một chu kỳ. Sao chổi Encke có chu kỳ ngắn nhất - 3,3 năm. (Sao chổi thường mang tên của những cư dân đầu tiên của chúng.) Tổng cộng, hiện nay có hơn 500 quỹ đạo sao chổi đã được biết đến. Người ta có thể nghĩ rằng vì hầu hết các sao chổi đều di chuyển theo quỹ đạo mở nên chúng được sinh ra bên ngoài Hệ Mặt trời, ở đâu đó trong Thiên hà. Tuy nhiên, không phải như vậy. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng, trên thực tế, quỹ đạo chính của tất cả các sao chổi đều là hình elip, hầu hết chúng dần dần biến thành hyperbol và parabol dưới ảnh hưởng của vị trí kề nhau của Sao Mộc và Sao Thổ. Điều này có nghĩa là sao chổi có nguồn gốc từ hệ mặt trời. Hiện nay, quan điểm phổ biến nhất của nhà thiên văn học người Hà Lan Jan Oort, theo đó, ở biên giới của Hệ Mặt trời, ở khoảng cách xấp xỉ 15.000 AU. Nghĩa là, từ Mặt trời, có một đám mây sao chổi (còn gọi là đám mây Oort) - một “hồ chứa”, từ đó, dưới tác động của lực hấp dẫn của các ngôi sao lân cận trong thời gian, bất kỳ sao chổi nào nổ ra và lao về phía Mặt trời. Chúng tôi ghi lại nó như một sao chổi khác. Trước đây, có một giả thuyết hay cho rằng đám mây sao chổi xuất hiện từ tàn tích băng giá của hành tinh thứ mười trong hệ mặt trời - Phaethon, từng tồn tại giữa quỹ đạo của Sao Hỏa và Sao Mộc và đã bị phá hủy bởi vụ nổ. Sau đó, lời giải thích như vậy bắt đầu có vẻ không còn ngẫu nhiên nữa. Sao chổi cũng sẽ phát sinh như một sản phẩm phụ trong quá trình hình thành các hành tinh, là kết quả của các quá trình khác trong đám mây DOS chứa đầy khí và bụi. Tuy nhiên, điều quan trọng là chúng rất có thể phát sinh trong Hệ Mặt trời, tiến hóa ít và do đó mang thông tin về các điều kiện ban đầu.

Sao chổi từ quan điểm vật lý là gì? Hầu như toàn bộ khối lượng của sao chổi tập trung ở nhân của nó. Lõi dường như là một hỗn hợp rắn của đá, băng và các loại hóa chất khác nhau.

15

kết hợp (metan, aminak, nước, v.v.), các hạt nhỏ, v.v. Kích thước của hạt nhân có thể dao động từ vài km đến hàng chục km. Khi chúng tiếp cận điểm cận nhật, hạt nhân sao chổi bị “biến” thành bầu khí quyển bao gồm nhiều phân tử và hạt bụi khác nhau. Khí quyển xuất hiện do lõi bị tia nắng mặt trời đốt nóng - khi bị nung nóng, băng bốc hơi và các hạt nhỏ cũng được giải phóng trong quá trình bốc hơi. Kích thước của bầu khí quyển gần điểm cận nhật là rất lớn. Ví dụ, sao chổi Halley năm 1910 có phần đầu (tức là lõi + khí quyển) có đường kính trên 100.000 km. Đầu của một sao chổi điển hình thường tạo ra một hoặc nhiều đuôi, luôn hướng ra xa Mặt trời.

Thành phần hóa học của khí quyển sao chổi (đầu và đuôi) được xác định từ quang phổ của chúng. Các phân tử được quan sát phổ biến nhất ở đầu sao chổi là carbon phân tử (C₂), cyanogen (CN), carbon triatomic (C₃) và các phân tử khác. Đuôi sao chổi được chia thành ba loại dựa trên thành phần của chúng. Đuôi loại I bao gồm các phân tử plasma - ion hóa N₂⁺, CO⁺ và các electron - với nồng độ n ≈ 10 100 hạt/cm³. Quang phổ của đuôi loại II và III là liên tục. Đuôi loại III có nhiều bụi, đuôi loại II rõ ràng là hỗn hợp - khí và bụi.

Các phân tử trung tính và các hạt bụi trong khí quyển của sao chổi chuyển động dưới tác dụng của hai lực trái dấu nhau: lực hấp dẫn của Mặt trời và lực đẩy của áp suất ánh sáng mặt trời*). (Lực hút của hạt nhân sao chổi không đáng kể so với lực này.)

Việc đuôi của sao chổi hướng về hướng ngược lại với Mặt trời có nghĩa là lực đẩy từ Mặt trời chiếm ưu thế so với lực hút. Gia tốc của phần ở đuôi thường thay đổi theo tỷ lệ gia tốc lực hút mặt trời g₀ ở một khoảng cách nhất định. Ở đuôi loại II và III, gia tốc của các bộ phận là ~(1  20)g₀, ở đuôi loại I - theo thứ tự (100  1000)g₀. Áp suất bức xạ có thể cung cấp những gia tốc như vậy cho các hạt bụi và phân tử không? Một hạt bụi - vâng. Với các phân tử, tình hình phức tạp hơn. Về mặt toán học, tính toán cho thấy gia tốc tối đa có thể có mà một phân tử có thể nhận được dưới tác động của áp suất bức xạ là 56g₀. Điều này đủ để giải thích hành vi của loại đuôi thứ hai. Nhưng không phải là lần đầu tiên.

Gia tốc cao trong chất thải loại I, cấu trúc phản lực chặt chẽ, cấu trúc thể tích thay đổi nhanh chóng

Hình ảnh sao chổi Bradfield chụp năm 1979 ở Soccoro, New Mexico. Có một khoảng thời gian là 27,5 phút giữa lần phơi sáng đầu tiên (trên cùng) và lần phơi sáng cuối cùng. Trong thời gian này, đuôi của sao chổi, có chiều dài khổng lồ 1,5 triệu km, đã nhanh chóng tự định hướng lại, quay toàn bộ. Các bức ảnh cho thấy tỷ lệ (tuyến tính và góc cạnh).

Đuôi sao chổi loại plasma thường biểu hiện chuyển động dao động và xoắn ốc. Sự quay toàn bộ của đuôi được quan sát thấy ở sao chổi Bradfield là một hiện tượng cực kỳ hiếm. Những lý do cho nó vẫn chưa đủ rõ ràng.

16

Chúng được xác định không phải bởi áp suất bức xạ mà bởi lực điện từ.

Không gian liên hành tinh trong đó các sao chổi di chuyển chứa đầy cái gọi là gió mặt trời, tức là plasma liên tục chảy từ Mặt trời - các proton và electron, mang theo một phần từ trường mặt trời (do tính dẫn điện cao của chúng). Gia tốc cao và cấu trúc phản lực của đuôi loại I là do sự tương tác của các ion N₂⁺, CO⁺ và các electron mà chúng bao gồm với gió mặt trời.

Chưa kể đến những vấn đề chức năng tồn tại lâu dài chưa được giải quyết, chẳng hạn như sự biến dạng của Hệ Mặt trời, sự sống trong đó, v.v. mà sao chổi và nghiên cứu có thể làm sáng tỏ, ngay cả về mặt vật lý của các hiện tượng quan sát được ở sao chổi, cũng có rất nhiều điều không chắc chắn. Danh sách những hiện tượng khó hiểu như vậy còn dài và chúng tôi sẽ không đưa ra ở đây.

Như vậy, những chuyến thám hiểm sao chổi ngoài phạm vi tâm lý thú vị còn có ý nghĩa khoa học vô cùng to lớn. Chúng cần thiết cho tất cả những người quan tâm đến tính chất vật lý của nhiều hiện tượng khó hiểu được quan sát thấy ở sao chổi và những người quan tâm đến các vấn đề chức năng về sự biến dạng của Hệ Mặt trời và các hệ thống tương tự như nó trong Thiên hà của chúng ta, vấn đề về sự biến dạng của sự sống trên Trái đất và trong Vũ trụ nói chung. Tất nhiên, câu hỏi về những chuyến thám hiểm nào của sao chổi đã và đang được lên kế hoạch trong những năm gần đây là chủ đề của một cuộc thảo luận riêng. Ở đây tôi đã nói ngắn gọn về điều gần gũi nhất trong số đó - chuyến thám hiểm tới Sao chổi Halley. Sao chổi này là định kỳ. Đã đăng ký vào biên niên sử

Một sao chổi chưa biết đang hướng về Mặt trời (1979).

18

tình hình sắp tới của sao chổi để quan sát sẽ có thể quan sát được. Sao chổi gần điểm cận nhật sẽ ở phía sau Mặt trời và có thể quan sát được nó trong khoảng thời gian ngắn vào lúc bình minh và sau khi mặt trời lặn. Ngoài ra, sao chổi Halley, không giống như hầu hết các sao chổi, có cái gọi là chuyển động ngược - nó bay trên quỹ đạo theo hướng ngược lại với chuyển động quay của Trái đất quanh Mặt trời. Điều này làm cho thí nghiệm “Giotto” trở nên rất khó khăn, vì máy tự động và sao chổi sẽ hỗ trợ lẫn nhau như thể đang trong một quá trình va chạm với tốc độ tương đối 75 km/s, nên thời gian bay gần nhân sao chổi sẽ rất ngắn, nó được tính bằng giây. Trong thời gian này, bạn cần có thời gian để thực hiện một chương trình khoa học khổng lồ: cố gắng hình thành hạt nhân, thiết lập thành phần hóa học và đồng vị của khí quyển sao chổi, mức độ ion hóa, cường độ của từ trường, v.v.

Sơ đồ trên về chuyến bay của tàu vũ trụ đến điểm hẹn với Sao chổi Halley được lấy từ dự án ECA đã công bố. Vòng tròn bên ngoài là quỹ đạo của Trái đất và Mặt trời nằm ở tâm vòng tròn. Vụ phóng dự kiến ​​diễn ra vào ngày 10 tháng 7 năm 1985. Cỗ máy bay theo đường xoắn ốc quanh Mặt trời và gặp sao chổi vào ngày 13 tháng 3 năm 1986 sau khi vượt qua điểm cận nhật của nó. Hình vẽ thể hiện vị trí của Trái đất,

máy tự động và sao chổi vào những ngày cụ thể.

Song song với “Giotto”, Liên Xô sẽ thực hiện chuyến thám hiểm riêng tới sao chổi Halley. Dự án của cô ấy rất hóm hỉnh. Tác giả của nó là học giả R.Z. Sagdeev, giám đốc Viện Nghiên cứu Vũ trụ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Bản chất của dự án là sử dụng máy tự động, được cho là sẽ được gửi tới Sao Kim vào năm 1984, để gặp sao chổi Halley. Thực tế là, không giống như Trái đất, Sao Kim sẽ ở vị trí rất tốt so với sao chổi gần điểm cận nhật của nó. Do đó, một thao tác nhỏ trong trường hấp dẫn của Sao Kim sẽ đủ để hướng các ô tô tự động thực hiện nghiên cứu của họ bài toán gần hành tinh này tới sao chổi Halley. Một dự án như vậy hầu như không đòi hỏi thêm chi phí tiền mặt.

Nếu các chuyến thám hiểm tới sao chổi Halley tiếp tục thành công thì chỉ riêng sao chổi này trong lịch sử loài người là điều không thể phủ nhận.

20

đối với chúng ta $\pi^+$ và $\pi^-$ (meson π là các hạt hạt nhân có thời gian tồn tại ngắn với khối lượng xấp xỉ 300 lần khối lượng của electron):

$$\gamma + \gamma \rightarrow \pi^+ + \pi^-$$

hay proton và phản proton? Hoặc, thậm chí rộng hơn, liệu sự biến đổi ánh sáng (lượng tử gamma) thành vật chất và phản vật chất (thành nguyên tử và phản nguyên tử, phân tử và phản phân tử) có nên tiếp tục không? Tất nhiên, việc tạo ra các phản phân tử trong các chùm photon-photon va chạm vẫn còn quá xa vời, nhưng khả năng nghiên cứu chi tiết phản ứng tạo ra một cặp pi-meson đã thu hút nhiều sự quan tâm hơn từ các nhà vật lý.

Làm thế nào việc biến đổi (hoặc ngưng tụ) ánh sáng thành vật chất có thể được thực hiện trên thực tế? Trước hết, chúng ta hãy lưu ý rằng sự biến đổi như vậy mâu thuẫn với một thực tế đã được xác định rõ ràng: các sóng ánh sáng truyền qua nhau mà không có tương tác (nguyên lý chồng chất của sóng điện từ). Hóa ra nguyên lý chồng chất không phải lúc nào cũng được thỏa mãn; đối với trường điện từ mạnh thì nó bị vi phạm - sau khi đi qua nhau, các chùm ánh sáng sẽ thay đổi. Bây giờ một vấn đề mới nảy sinh: để quan sát các phản ứng như

$$\gamma + \gamma \rightarrow \pi^+ + \pi^-$$

cần phải đẩy hai chùm $\gamma$-lượng tử dày đặc vào nhau. Thật không may, các chùm photon dày đặc hiện chỉ có thể thu được từ tia laser, nhưng tia laser $\gamma$ vẫn chưa được phát minh. Laser thông thường phát ra các photon có năng lượng quá thấp so với mục đích của chúng ta. Làm thế nào để giải quyết vấn đề này?

Hóa ra là có một cách giải quyết rất hay mà ngày nay người ta có thể đạt được sự biến đổi ánh sáng thành vật chất: sử dụng các chùm electron-nositron va chạm để tạo ra các chùm $\gamma$ cần thiết. Hãy cố gắng giải thích bản chất của ý tưởng này.

Như đã biết, chùm tia $\gamma$ có thể được biểu diễn dưới dạng dòng photon năng lượng cao hoặc dưới dạng sóng điện từ của phần lớn.

Trong một sóng như vậy, hướng $\vec{E}$ của điện trường và cảm ứng $\vec{B}$ của từ trường vuông góc với nhau và tốc độ $\vec{v}$ của chuyển động sóng (Hình 1). Nhưng trường điện từ của một electron tương đối tính (và positron), tức là một electron chuyển động với tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng $c$, có các tính chất gần như giống nhau. Hãy để chúng tôi giải thích tại sao lại như vậy. Để làm điều này, hãy xem điện trường… một tụ điện chuyển động. Đúng, chính xác là một tụ điện, bởi vì với sự trợ giúp của ví dụ đơn giản này, sẽ dễ dàng liên hệ trường chiết tốt của một electron đứng yên với trường của một electron chuyển động.

Vì vậy, chúng ta hãy xem xét điện trường của một tụ điện phẳng trong hai hệ thống báo cáo quán tính: trong hệ thống $K$, trong đó tụ điện chuyển động và trong hệ thống $K'$, nơi nó kết thúc. Đầu tiên hãy để tốc độ của tụ điện $\vec{v}$ song song với các bản của nó (Hình 2, a). Chúng ta hãy biểu thị bằng $q$ điện tích của tụ điện và $S'$ diện tích của các bản tụ trong hệ thống $K'$. Khi đó điện trường $\vec{E'}$, vuông góc với vectơ $\vec{v}$, bằng $E' = E'_\perp = q / (\varepsilon_0 S')$. Trong quá trình chuyển đổi trong hệ thống $K$, điện tích tất nhiên vẫn giữ nguyên, nhưng diện tích của các tấm $S$ thay đổi. Từ lý thuyết đặc biệt về trích xuất tương đối các vật được chiết có phương ngang đối với phương

21

Khi vectơ $\vec{v}$ thay đổi, kích thước của các vật chuyển động không thay đổi nhưng các vật chuyển động liên tục giảm đi $1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ lần. Điều này có nghĩa là trong trường hợp của chúng ta diện tích $S = \sqrt{1-v^2/c^2} S'$ và điện trường

$$E_\perp = \frac{E'_\perp}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{q/(\varepsilon_0 S')}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

Tương tự, đối với trường hợp tốc độ của tụ điện phân phối lại diện tích của nó (Hình 2, b), kích thước của diện tích không thay đổi và điện trường song song với vectơ $\vec{v}$ vẫn giữ nguyên trong cả hai hệ quy chiếu:

$$E_\parallel = E'_\parallel = q/(\varepsilon_0 S').$$

Các công thức thu được cho trường hợp một phần của tụ điện phẳng có giá trị đối với bất kỳ trường điện nào (trong hệ thống $K'$). Chúng ta hãy áp dụng chúng cho electron tương đối tính. Trong hệ thống $K'$, nơi electron kết thúc, trường $\vec{E}'$ của nó có dạng nổi tiếng - nó có dạng hình cầu và đối xứng (Hình 3, a). Trong hệ $K$, trong đó electron chuyển động với tốc độ $\vec{v}$, trường mà nó tạo ra không còn đối xứng nữa—theo hướng vuông góc với vectơ $\vec{v}$ thì trường đó mạnh hơn (Hình 3, b). Tốc độ $v$ càng lớn thì tỷ lệ $E_\perp/E_\parallel$ càng lớn và điện trường của electron sẽ ngày càng chuyển động ngang.

Cuối cùng, một từ trường ngang $\vec{B}$ xuất hiện xung quanh electron đang chuyển động (cũng như xung quanh một dây dẫn có dòng điện), các đường cảm ứng của nó có dạng vòng tròn với tâm nằm trên đường chuyển động của electron.

Như vậy, trong trường của electron chuyển động, các vectơ $\vec{E}$ và $\vec{B}$ phân bố lại lẫn nhau và hướng $\vec{v}$ chuyển động của electron.

Nói cách khác, trường này gần giống như trường sóng điện từ. Do đó, trường điện từ của hạt tích điện tương đối tính có thể được coi là dòng photon đi kèm với hạt này.

U nhiều hơn ở bên phải 3. Tìm điện trường tạo ra hạt tích điện tương đối tính cách nó một khoảng $a$ theo hướng vận tốc và ở khoảng cách $b$ theo hướng vuông góc. Tốc độ hạt $\vec{v}$, điện tích $q$.

Chính những photon đi cùng với các electron và positron bay về phía nhau (trong các chùm electron-rositron va chạm) có thể được sử dụng làm chùm photon-photon va chạm với năng lượng cao. Đổi lại, các photon này sau khi tương tác có thể biến thành các hạt khác: $e^+$ và $e^-$, $\pi^+$ và $\pi^-$, v.v.

Sự ra đời đầu tiên của một cặp electron-rositron mới thông qua các va chạm trung gian của chùm tia Gamma (Hình 4, a) được quan sát thấy vào năm 1971 tại Viện Vật lý Hạt nhân thuộc Chi nhánh Siberia của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, và sau đó (và tại các máy gia tốc khác) ở Ý và Hoa Kỳ.

Các đỉnh sinh ra meson pi (Hình 4, b) đã được nghiên cứu từ năm 1979 tại các máy gia tốc lớn nhất ở Đức và Mỹ.

Gần đây, các thí nghiệm đã bắt đầu ở Novosibirsk trên máy gia tốc mới sử dụng chùm electron-rositron va chạm VEPP-4. Chương trình thử nghiệm cũng bao gồm nghiên cứu chi tiết về các quá trình biến đổi (ngưng tụ) bức xạ điện từ thành các hạt khác.

22

V. Dubrovsky

Thuật toán khối ma thuật

Không dễ để đối phó với “khối ma thuật Hungary” - câu đố phổ biến nhất thế kỷ 20. Vì vậy, những người thiếu kiên nhẫn, mất hy vọng thành công, thường ngừng làm quen với nó, nghiền nát nó thành từng mảnh. Người ta nói rằng sau khi “khối lập phương” xuất hiện ở Nhật Bản, tính tùy tiện trong lao động thậm chí còn giảm đi, và ở Mỹ món đồ chơi này hiện được bán kèm theo một chiếc rìu nhựa: nếu bạn không giải được thì hãy đập nó đi!
«Kvant» áp dụng cho khối Rubik có khả năng cao hơn và phía máy chủ, bằng chứng là bài viết được xuất bản dưới đây.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách giải khối lập phương - câu đố nổi tiếng của E. Rubik*). Nói đúng ra, chúng tôi không trình bày thuật toán lời giải (nghĩa là một bộ quy tắc chính xác để chuyển màu của tất cả các mặt từ tùy ý sang liên kết đơn) ở đây - thuật toán như vậy đã được xuất bản vào năm «Kvant» (1980, số 12, trang 17). Thay vào đó, chúng tôi đưa ra một danh sách lớn các kết hợp hữu ích, chỉ ra từng cách thực hiện (trình tự các lượt) và kết quả (các khối nhỏ nào được trình bày và cách trình bày). Trong số những cách kết hợp khác nhau dẫn đến cùng một kết quả, chúng tôi đã cố gắng chọn cách kết hợp ngắn nhất. Ở cuối bài viết, chúng tôi chỉ ra rằng một khối ma thuật có thể được đưa về trạng thái ban đầu (với các cạnh đơn) trong 79 lượt hoặc ít hơn.

*) Nếu bạn không có bản sao của khối lập phương, bạn có thể xây dựng nó bằng cách sử dụng hướng dẫn trong số liệu thống kê của M. Evgraf năm «Kvant» 1982, Số 3.

Chỉ định hoạt động

Hãy chỉ định từng mặt của khối ma thuật: F (phía trước), T (phía sau), B (trên cùng), H (dưới cùng), Π (phải), L (trái) (xem hình). Xoay mặt X theo chiều kim đồng hồ theo n · 90° sẽ được ký hiệu là X^n, ví dụ quay mặt phải 90°, 180°, 270° được viết là Π, Π^2, Π^{-1}=Π^3. Như vậy, mỗi thao tác (chuỗi quay các mặt) tương ứng với các “từ” từ các chữ cái F, T, B, H, Π, L với độ *), được đọc và thực hiện từ trái sang phải.

Chỉ định kết quả của hoạt động

Chúng ta sẽ viết ra bằng một công thức duy nhất cả chuyển động của những chiếc cốc nhỏ và sự thay đổi hướng của chúng trong không gian.

Để ghi lại chuyển động của các cốc nhỏ, chúng ta đánh số lại các khối góc và các đỉnh tương ứng với các số từ 1 đến 8, các đỉnh ở giữa (và các cạnh tương ứng) với các số từ 1 đến 12 (xem hình; bản ghi của tất cả các phép toán được xem xét trong thống kê tham khảo cách đánh số hiển thị trong hình này).

Giả sử rằng do kết quả của thao tác F, khối góc đầu tiên đã di chuyển đến vị trí của i_1, i_1 đến vị trí của i_2, v.v. Mỗi lần một số mới sẽ xuất hiện trong chuỗi này và một thời điểm chắc chắn sẽ đến khi

*) Một cách thú vị để ghi nhớ những “từ” như vậy được đưa ra trong bài “Khối Hungary” trên tạp chí “Khoa học và Đời sống”, số 3, 1981 (tr. 131).

23

khối lập phương được đánh số $i_{n1}$ sẽ trở về vị trí của khối đầu tiên (tại sao?). Các khối 1, $i_1$, …, $i_{n1}$ tạo thành một chu trình hoạt động $F$, ký hiệu là $(1i_1 \dots i_{n1})$. Nếu chưa phải tất cả các khối góc đều chưa bước vào chu kỳ này ($n_1 < 7$), thì hãy lấy bất kỳ khối nào còn lại (số trống $i_{n1+1}$) và lặp lại quy trình tương tự - chu kỳ thứ hai $(i_{n1+1} \dots i_{n2})$ sẽ xuất hiện. Cuối cùng, bản ghi các hình khối góc hóa ra bị phân hủy thành các chu trình độc lập (nghĩa là không có phần tử chung): $(1i_1 \dots i_{n1}) \cdot (i_{n1+1} \dots i_{n2})$.

Tình hình tương tự với các hình khối trung bình. Chúng ta sẽ viết các chu trình tương ứng trong ngoặc vuông; Vì vậy, ký hiệu [2 7 6] có nghĩa là phần thứ hai ở giữa và khối lập phương tiến tới phần thứ bảy, phần thứ bảy đến phần thứ sáu, phần thứ sáu đến phần thứ hai.

Giả sử, nhờ một số thao tác, khối ở giữa thứ $i$ thay thế cho khối thứ $j$. Nó có thể được định vị ở nơi này theo hai cách. Nếu hướng của mũi tên gắn vào cạnh của nó (xem Hình 1) hóa ra ngược với hướng mũi tên của khối thứ $j$, thì trong chu trình tương ứng, chúng ta đặt dấu trừ sau số $i$. Việc không có dấu hiệu có nghĩa là hướng của các mũi tên trùng nhau. Do đó, mục nhập $[2^{-7}+6^{-}]$ (hoặc $[2^{-7}6^{-}]$, chúng ta thường bỏ qua “dấu cộng” cho các khối ở giữa) có nghĩa là khối ở giữa thứ hai di chuyển vào khối thứ bảy với các mũi tên đối diện, khối thứ bảy vào khối thứ sáu với các mũi tên trùng nhau, khối thứ sáu vào khối thứ hai với các mũi tên ngược chiều. Mục nhập $[2^{-}]$ có nghĩa là khối ở giữa thứ hai vẫn giữ nguyên nhưng đã chuyển sang $180^{\circ}$.

Khối góc có thể được định vị ở một vị trí mới bằng cách cọ xát theo nhiều cách khác nhau. Theo đó, trong mục chu kỳ sau số khối này sẽ có dấu +, dấu - hoặc không ghi gì cả. dấu hiệu không được viết nếu mặt ngang của khối góc cho trước vẫn nằm ngang sau khi thực hiện thao tác. Nếu không, để đưa mặt này về vị trí nằm ngang ở một vị trí mới, chúng ta sẽ phải xoay khối lập phương quanh đường chéo một khoảng $120^{\circ}$. Nếu xoay ngược chiều kim đồng hồ thì đặt +, nếu theo chiều kim đồng hồ thì đặt -. Giả sử các mục $(5^{+})$, $(5)$, $(5^{-})$ có nghĩa là khối thứ năm vẫn giữ nguyên vị trí nhưng được xoay lần lượt theo $120^{\circ}$, $0^{\circ}$, $240^{\circ}$ theo chiều kim đồng hồ.

Giải thích về bảng (xem trang 24)

Khi ghi lại một thao tác, đầu tiên chúng ta sẽ viết một dãy các phép quay (một lớp chữ F, T, V, N, P, L kèm theo độ), sau đó là dấu ~, sau đó là kết quả, viết dưới dạng chu trình có dấu. Các ví dụ sẽ giúp bạn nắm vững hệ thống ghi âm này; kiểm tra xem $\Pi \sim (1^{+2}-3^{+4})$ [1234], $B^{-} \sim (1276)$ [2$-9-8-7^{-}]$,$\Phi^{2} \sim (15)$ (46) [16] [57], $\Pi\Phi \sim (1^{+2}-3^{-5}-6^{+})$ (4+) [1234567], $\Pi^{2}\Phi^{2} \sim (135)$ (264) [136] [24] [57].

Bảng này liệt kê 47 phép toán được tìm thấy trong trò chơi khối lập phương, đôi khi bằng cách thử và sai, nhưng chủ yếu là nhờ sự trợ giúp của một số phép tính đại số khá thú vị mà việc thiếu không gian không cho phép tái hiện ở đây. Các hoạt động $C_{15}$ và $C_{19}$ được lấy từ “Tạp chí Trường Trung học Hungary”, $C_{18}$ - từ bài viết nêu trên trong “Khoa học và Cuộc sống”.

Sơ đồ thuật toán

Giai đoạn đầu tiên: lắp ráp “cột” $2 \times 2 \times 3$. Chúng ta hãy tạo một “cột” tập hợp tất cả các khối nhỏ không nằm ở hai mặt liền kề của một khối lớn để xác định F và P. Để sắp xếp chính xác tất cả các khối trong một “cột”, không cần thủ thuật đặc biệt nào. Ví dụ: chúng ta hãy đưa ra các thao tác trong đó khối ở giữa thứ nhất di chuyển đến vị trí thứ 8 và trong một trường hợp được giữ nguyên, còn trường hợp kia thay đổi góc quay của nó, với tất cả các khối của “cột”, tất nhiên, ngoại trừ khối thứ 8, vẫn còn nguyên: $A_1 = \Pi TB^2 T^{-1}$, $A_2 = \Phi^{-1} TB T^{-1}$. Giai đoạn này có thể được hoàn thành trong khoảng 25 bước.

Giai đoạn thứ hai: mở rộng các khối ở giữa ở các mặt F và P. Dễ dàng chứng minh rằng với bất kỳ dãy lần lượt nào, số khối ở giữa có hướng mũi tên không trùng với hướng “đúng” (như trong hình) luôn là

25

Ki của tất cả các viên xúc xắc ở giữa sẽ được định hướng chính xác. Điều này đòi hỏi không quá 8 lần di chuyển.

Giai đoạn thứ ba: sắp xếp các hình khối ở giữa. Ở giai đoạn này, chỉ các mặt F và P sẽ được xoay, do đó “cột” và hướng chính xác của các mũi tên của các hình khối ở giữa sẽ tự động được lưu. Có thể chứng minh (điều này dễ dàng đối với những ai đã quen với các hoán vị dễ hiểu) rằng vì mục đích này, chuyển động của 7 khối ở giữa được viết dưới dạng một tập hợp không quá ba chu kỳ có độ dài 3 và có thể thêm một vòng quay nữa; do đó, 7 khối lập phương ở giữa của các mặt Ф và П có thể được sắp xếp chính xác bằng cách sử dụng không quá ba thao tác loại $C_1 - C_{10}$. Phân tích chi tiết hơn cho thấy giai đoạn này không cần quá 14 nước đi.

Giai đoạn thứ tư: sắp xếp và mở các khối góc. Đối với phần còn lại, sắp xếp và xoay chính xác 6 khối góc có mặt F và P. Như trên, chúng ta có thể chứng minh rằng chuyển động cần thiết của 6 khối góc được viết dưới dạng một bố cục không quá ba chu kỳ có độ dài 3, do đó, để đặt đúng 6 khối góc, chúng ta cần không quá ba thao tác kiểu $Y_1 - Y_{14}$. Sau đó, sử dụng thao tác $Y_{15} - Y_{18}$, phải, nhiệm vụ hay tranh chấp?

Những thành tích này rất gợi nhớ đến trạng thái của những người bảo vệ - một phòng khởi động, do đó, phía sau có một bảng điểm khổng lồ, những phần tập hợp sức mạnh (hay suy nghĩ?) trước khi đến gần bộ máy, trọng tài, tiếng vỗ tay của khán giả… Chỉ cùng với những người bảo vệ, một chiếc bàn nhỏ với máy ghi thời gian điện tử cảm ứng được lắp đặt để trợ giúp, bảng điểm không hiển thị kilôgam mà là giây, cùng với tiếng sấm của bàn ủi có một tiếng cọt kẹt khe khẽ, và các vận động viên cử tạ thì không. khác biệt. Đây,

Tại Budapest, vào ngày 5-6 tháng 6, giải đen đen đầu tiên trên thế giới về “khối Rubik ma thuật” đã được tổ chức. Nó có sự tham dự của các học giả từ 19 quốc gia trên ba châu lục - chủ yếu là học sinh và sinh viên toán học.

Cuộc thi diễn ra như thế này: trước mặt khán giả, người tham gia tiếp theo dạy cách rút một khối ra khỏi vali chứa đầy các hình khối đã được làm sẵn, nghiên cứu nó trong 15 giây, có thể, giống như một nhà thôi miên, phát lại phần đầu của sự kết hợp trong tâm trí mình thêm vài giây nữa, sau đó chứng minh sự hoàn hảo của thuật toán và tất nhiên là cả trán của các ngón tay của anh ấy. Ba loạt nỗ lực đã được thực hiện; Thời gian tốt nhất đã được tính đến. Việc tuân thủ các quy tắc được giám sát bởi zhori, đứng đầu là chính nhà phát minh.

câu đố - Giáo sư E. Rubicom.

Kết quả được “đại kiện tướng khối” thể hiện cho thấy ngay cả thời điểm tệ nhất cũng chỉ trên 55 giây một chút. (Để so sánh, giả sử rằng một người chưa qua đào tạo đã quen với khối lập phương, sử dụng bản ghi thuật toán, dành khoảng hai giờ để lắp ráp.) Cũng có một số vấn đề: nhà vô địch Phần Lan đã quá vội vàng trong một nỗ lực của mình đến mức anh ta lần lượt làm vỡ hai khối lập phương. Và vị trí đầu tiên thuộc về Ming Tai, mười sáu tuổi người Mỹ, thời gian của anh là 22,95 giây!

Vậy “khối ma thuật” là gì - một trò chơi, một bài toán toán học hay… một kiểu lập luận mới?

V.N.

26

V. Surdin

nhật thực
Ngày 31 tháng 7 năm 1981

Hiện tượng thiên văn hiếm gặp trung bình là ấn tượng nhất - nhật thực. Tôi chắc chắn rằng hàng nghìn nhân chứng của nhật thực toàn phần được quan sát vào ngày 31 tháng 7 năm 1981 tại Liên Xô sẽ đồng ý với tuyên bố này. Vào ngày này, bóng của mặt trăng bao phủ một quãng đường dài 8250 km trên Trái đất, trong đó khoảng 7100 km là trên đất liền; Hiếm khi có một vệt nhật thực trị giá hàng trăm đô la trên đất liền. Điều đáng chú ý là dọc theo đường đi của nó, bóng của mặt trăng bao phủ khắp lãnh thổ nước ta: từ bờ biển Georgia qua Bắc Kavkaz, Kazakhstan và Nam Siberia đến biên giới phía đông Liên Xô. Bóng tối xa xôi của Mặt trăng lướt qua bề mặt Thái Bình Dương và kết thúc hành trình của nó gần Quần đảo Hawaii. Bóng của mặt trăng bao phủ toàn bộ con đường dài này chỉ trong 2,9 giờ và tại mỗi điểm riêng lẻ trên bề mặt Trái đất, thời gian nhật thực toàn phần không vượt quá 129 giây. Tuy nhiên, tác giả của ghi chú này cùng với một nhóm các nhà thiên văn học và địa vật lý đã may mắn quan sát được vầng hào quang mặt trời trong 155 giây từ máy bay Yak-40, bay theo bóng mặt trăng.

Đường kính của bóng mặt trăng trên bề mặt Trái đất không vượt quá 270 km. Trong lần nhật thực ngày 31 tháng 7, kích thước tối đa của bóng là 108 km. May mắn thay, bóng của mặt trăng đi qua nhiều đoạn của Tuyến chính Baikal-Amur. Nhiều nhà thiên văn nghiệp dư cũng như các nhà thiên văn học và địa vật lý chuyên nghiệp đã tập trung tại thủ đô Tynda của BAM để quan sát nhật thực. Nhưng vào sáng ngày 31 tháng 7, thời tiết ở Tynda rất tệ: mây bắt đầu gần như phủ kín mặt đất và kéo dài đến độ cao 7 km. Mọi người đang chờ đợi buổi trưa, khi nhật thực được cho là sẽ bắt đầu. Những linh cảm là nhẹ nhàng nhất. Có vẻ như hy vọng của chúng tôi về chiếc máy bay cũng không thành hiện thực: do điều kiện thời tiết nên nó không được phép cất cánh. Không lâu trước nhật thực, sương mù gần mặt đất tan dần, và sau sự thuyết phục tuyệt vọng từ người điều phối, chúng tôi được phép cất cánh. Chúng tôi đã nhìn thấy và hình thành quầng mặt trời ở độ cao 7770 m trên nền bầu trời gần như đen.

Khi họ phát hiện ra sau khi hạ cánh, ở Tynda, nhật thực bắt đầu trong điều kiện hoàn toàn nhiều mây, nhưng theo đúng nghĩa đen là vài phút trước thời điểm nhật thực toàn phần, các đám mây nhanh chóng tan đi và quầng mặt trời xuất hiện trên bầu trời gần như quang đãng. Vì sự kiên nhẫn của họ, những người quan sát đã được thưởng một bức ảnh đáng kinh ngạc về quầng ngọc trai sáng xuất hiện chỉ trong 2 phút xung quanh các đĩa Mặt Trăng và Mặt Trời, gặp nhau trong một thời gian ngắn, rồi lại phân tán trong một thời gian dài trong vũ điệu thiên thể phức tạp của chúng.

Có lẽ người đọc sẽ đặt câu hỏi: liệu hiện tượng tự nhiên hiếm gặp này có xứng đáng để có cơ hội khiến mọi người bận rộn đi đến những nơi xa xôi, đôi khi không có người ở và ở những nơi không có người ở này gần như là những đài quan sát thiên văn thực sự với những thiết bị đắt tiền phức tạp, và tất cả những điều này chỉ trong vài phút chiêm ngưỡng vầng hào quang mặt trời? Và đó có phải chỉ là tình yêu? Hóa ra là nhiều nhà thiên văn học không đi xem nhật thực chưa bao giờ nhìn thấy quầng sáng của Mặt trời, mặc dù thời tiết rất tuyệt vời. Luôn luôn, từ giây đầu tiên đến giây cuối cùng

27

Trong thời gian nhật thực, các nhà khoa học dành nhiều thời gian bên các thiết bị của mình, thậm chí ngại rời mắt đi một lúc để nhìn vào quầng hào quang.

Đáp số không còn nghi ngờ gì nữa đối với câu hỏi này: nó đáng giá. Thực tế là trong những phút ngắn ngủi, làm lu mờ cuộc thăm dò thiên văn, người ta có thể thu được tài liệu quan sát được có giá trị nhất về cấu trúc và điều kiện vật lý ở các tầng trên của bầu khí quyển mặt trời. Nghiên cứu cũng không thể được thực hiện vào những giờ chung: ánh sáng chói của đĩa mặt trời cản trở. Vì vậy, nhật thực sẽ vẫn là một đặc điểm đáng mong đợi đối với các nhà thiên văn học và tất cả những người yêu thích khoa học thiên thể trong một thời gian dài.

Để kết luận, chúng tôi mời bạn giải quyết một số bài toán liên quan đến nhật thực và nguyệt thực. Bảng dưới đây cung cấp dữ liệu về các hành tinh và vệ tinh của chúng. Một số dữ liệu này được cung cấp cho bạn tại lời giải bài toán. Nhiệm vụ và

1. Tại sao nhật thực toàn phần thường xảy ra vào mùa hè hơn là mùa đông?

2. Tại sao nhật thực dài nhất lại xảy ra ở các nước nhiệt đới?

3. Có nhật thực trên sao Hỏa? trên Sao Mộc?

4. Các hành tinh được chỉ định có bị nhật thực các vệ tinh hay không?

5. Liệu thực sự có thể bắt kịp bóng của mặt trăng di chuyển trên bề mặt Trái đất?

6. Có thể quan sát nhật thực từ trạm quỹ đạo Salyut? Ước tính thời gian của nhật thực.

7. Có thể nhìn thấy cả Mặt trăng và Mặt trời từ một điểm trên bề mặt trái đất vào thời điểm nguyệt thực toàn phần không?

8. Khi nào đường kính góc của Mặt trăng lớn hơn: khi nào nó ở đỉnh cao hay gần đường chân trời?

9. Có thể quan sát nhật thực ở Bắc Cực?

<table><thead><tr><th>Hành tinh</th><th>Bán kính xích đạo (km)</th><th>Khoảng cách trung bình tới Mặt trời (triệu km)</th><th>Một số vệ tinh</th><th>Bán kính vệ tinh (km)</th><th>Khoảng cách trung bình tới hành tinh (nghìn km)</th><th>Thời gian điều trị (ngày)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Trái đất</td><td>6378</td><td>149,6</td><td>Mặt trăng</td><td>1738</td><td>384,4</td><td>27,3</td></tr><tr><td rowspan=“2”>Sao Hỏa</td><td rowspan=“2”>3398</td><td rowspan=“2”>227,9</td><td>phobos</td><td>~10</td><td>9,38</td><td>0,32</td></tr><tr><td>Deimos</td><td>~6</td><td>23,5</td><td>1,26</td></tr><tr><td rowspan=“4”>Sao Mộc</td><td rowspan=“4”>71 900</td><td rowspan=“4”>778,3</td><td>Io</td><td>1816</td><td>421,6</td><td>1,78</td></tr><tr><td>Châu Âu</td><td>1563</td><td>670,9</td><td>13,55</td></tr><tr><td>Ganymede</td><td>2638</td><td>1070</td><td>7,16</td></tr><tr><td>Callisto</td><td>2410</td><td>1880</td><td>16,69</td></tr></tbody></table>

28

A. Khodulyev

Phân tán chip

Từ biên tập viên

Ghi chú này được dành riêng cho bài toán sau đây của M. Kontsevich (từ số 11, 1981), được độc giả công nhận là một trong những môi trường tốt nhất được xuất bản trong Sách Vấn đề Lượng tử năm ngoái:

M715. Góc bên phải được chia thành các ô. Trên một số ô có chip và sự sắp xếp của các chip có thể được biến đổi như sau: nếu đối với một số chip, ô liền kề trên cùng và ô liền kề bên phải còn trống thì một chip được đặt vào các ô này và chip cũ sẽ bị loại bỏ. Đầu tiên, một con chip được đặt vào ô góc. Có thể giải phóng các góc của a) ba, b) sáu, c) mười ô, được hiển thị trong Hình 1, a, b, c, khỏi bộ đếm bằng cách sử dụng một số phép biến đổi đã chỉ định không?

Chúng tôi cũng thực sự thích điều này bài toán - chúng tôi tìm thấy trong đó nhiều tính năng sẽ được chia sẻ trong các tài liệu mới được gửi tới tạp chí: một công thức trực quan khuyến khích bạn thực hiện một thí nghiệm và sau đó xây dựng một lý thuyết chung; một đối tượng nghiên cứu đặc trưng của toán học ứng dụng và rời rạc hiện đại (một mạng chứa đầy các số 1 và 0, các quy tắc chuyển tiếp cục bộ); sự xuất hiện tự nhiên trong lời giải của toàn bộ các khái niệm và cấu trúc toán học quan trọng (bất biến, tổng vô hạn, nhúng bài toán vào một số “phần mở rộng” của nó, thuật toán hữu hạn, v.v.). Chúng tôi đặc biệt khuyên những ai chưa quyết định bài toán M715 hãy suy nghĩ ít nhất một giờ trước khi đọc bài viết (“chúng tôi đã cố tình gửi phần chính” Hình 8 đến cuối bài viết). Đối với những người còn lại, những người đã trải qua sự hài lòng này, chúng tôi đề xuất chứng minh những sự thật chưa được chứng minh từ phần thứ hai của bài viết, trong đó đưa ra một lý thuyết nhỏ cho phép chúng tôi nghiên cứu khả năng giải được “trò chơi Kontsevich” trong trường hợp tổng quát nhất.

Lời giải bài toán M715. bất biến

Để xác định trình tự di chuyển mong muốn, thuận tiện nhất là sử dụng cờ đam và bàn cờ thông thường. Bằng cách đặt quân cờ ở góc dưới bên trái và thử nghiệm một chút, bạn có thể dễ dàng tìm thấy lời giải bài toán a). Trong bài toán này, bạn có thể giải phóng vùng màu hồng, chẳng hạn như trong Hình 2 - trong 4 nước đi (1,1), (2,1), (2,2), (1,2). (Bản ghi nước đi cho biết tọa độ của ô mà chip bị loại bỏ khi thực hiện một nước đi. Ví dụ: nước đi (2,1) có nghĩa là một chip được loại bỏ khỏi trường (2,1) và các chip mới được đặt trên các trường (2,2) và (3,1).

Hình 1.

30

Hãy bắt đầu cả hai loạt bài này cùng nhau thông qua $L$ - xem hình. 3, trong đó $L$ được đánh dấu bằng màu xanh lam) sẽ luôn chỉ có một chip, mỗi chip sẽ đóng góp vào tổng $s_{\text{кон}}$ không vượt quá 1/8 (vì chúng phải nằm bên ngoài $B$). Tổng các số của các chip còn lại phải nhỏ hơn $s(K \setminus B \setminus L) = 3/4$. Do đó, $s_{\text{кон}} < s(K \setminus B \setminus L) + 2 \cdot \frac{1}{8} = 1$, và điều này đã mâu thuẫn với thực tế là $s_{\text{нач}} = 1$.

Nhiệm vụ a), b), c) đã được giải quyết, nhưng thật thú vị khi tìm hiểu cách sử dụng bất kỳ bài toán tương tự nào. Ví dụ: có thể giải phóng vùng $\Gamma$ như trong Hình 4 không? Ở đây $s(K \setminus \Gamma) = 1\frac{1}{2}$ và thậm chí tính đến tính duy nhất của các chip ở hàng ngang và hàng dọc đầu tiên, bạn chỉ có thể nhận được $s_{\text{кон}} < 1\frac{1}{8}$.

Tuy nhiên, việc giải phóng khu vực này đã không thể thực hiện được.

Bây giờ chúng ta sẽ kiểm tra bài toán thuộc loại này: đầu tiên, các mã thông báo điền vào bộ $H$; bạn cần giải phóng tập hợp $F$ trong một số lần di chuyển (ở đây $H$ và $F$ là bất kỳ tập hợp ô hữu hạn nào từ $K$). Hãy gọi nó là vấn đề giải phóng ($H, F$).

Vị trí và di chuyển tổng quát

Trước hết, rất thuận tiện để loại bỏ việc cấm di chuyển khỏi ô $(i, j)$ khi nó trống hoặc khi các ô $(i, j+1)$, $(i+1, j)$ bị chiếm (được đưa ra trong các điều kiện bài toán của quy tắc

31

ngăn cản bạn thay đổi thứ tự di chuyển, điều này rất khó hiểu). Nhưng sau đó chúng ta sẽ phải khái quát hóa khái niệm vị trí một cách rộng rãi. Bây giờ chúng ta sẽ giả định rằng trong ô $(i, j)$ có thể có bất kỳ số nguyên $A_{ij}$ nào của chip - không chỉ dương mà còn âm và đối với mỗi vị trí $A$ chỉ đối với một tập hợp ô hữu hạn, số $A_{ij}$ khác 0. Một bước di chuyển (tổng quát hóa) ở vị trí như vậy là một sự thay thế đồng thời
$$A_{ij} \rightarrow A_{ij} - 1, A_{i+1,j} \rightarrow A_{i+1,j} + 1, A_{i+1,j} \rightarrow A_{i+1,j} + 1.$$
Chúng ta sẽ gọi các vị trí trước đó (trong đó $A_{ij}=1$ hoặc $A_{ij}=0$) và di chuyển bình thường.

Hình 5 cho thấy một động thái dẫn đến một vị trí không bình thường từ một vị trí bình thường. Ở cuối Hình 5, vị trí tương tự được hiển thị bằng ký hiệu số mới.

Kết quả của việc di chuyển từ hình vuông $(i, j)$ là trừ đi các đơn vị từ $A_{ij}$ và cộng các đơn vị vào $A_{i+1,j}$ và $A_{i,j+1}$; kết quả của một số phép trừ và phép cộng như vậy rõ ràng không phụ thuộc vào thứ tự chúng được thực hiện.

Thực tế thay thế sau đây diễn ra, cho phép chúng tôi sử dụng các nước đi tổng quát cho lời giải mà chúng tôi quan tâm bài toán: nếu một vị trí bình thường $P$ có thể được chuyển sang một vị trí bình thường khác $Q$ bằng một chuỗi các nước đi tùy ý (có thể không bình thường) $\{d_1, d_2, \dots, d_n\}$, thì $P$ có thể được chuyển sang $Q$ và một số nước đi bình thường theo trình tự có được bằng cách sắp xếp lại chuyển động của một trình tự nhất định. (Chứng minh đi!)

Tiếp theo, cùng với các bản phát hành bài toán $(H, F)$, chúng ta sẽ xem xét “bài toán chuẩn hóa” sau: cho một vị trí $A$, trong đó tất cả là $A_{ij} \geq 0$ và một số là $A_{ij}>1$; phải mất vài động tác để đưa nó trở lại bình thường. Để giảm bài toán dẫn đầu xuống vị trí thứ hai, chúng ta tạo thành một vị trí $A_{ij}=H_{ij}+F_{ij}$ (hãy biểu thị nó là $A=H+F$), nói cách khác, đối với các chip $H$, chúng ta thêm một chip nữa ở mọi nơi trong $F$ - sau đó trong $F \cap H$ sẽ có hai chip. Hóa ra bài toán giải phóng $(H, F)$ tương đương với bài toán chuẩn hóa $H+F$. (Chứng minh đi!)

Lời giải “bài toán g” (Hình 4)

Bằng cách thêm một mã thông báo vào các ô của vùng $\Gamma$, chúng ta thu được sự chuẩn hóa bài toán như trong Hình 6.

Chúng tôi khuyên bạn nên tiếp tục với những nước đi tiếp theo trên bàn cờ. Cờ kiểm tra chung sẽ làm được - bạn sẽ không nhận được cờ kiểm tra trừ. Nhìn vào vị trí, chúng ta thấy có hai quầy tính tiền trên hình vuông $(1,1)$. Một trong số chúng phải được loại bỏ; điều này chỉ có thể được thực hiện bằng cách di chuyển $(1,1)$. Điều này có nghĩa là nước đi $(1,1)$ phải có trong bất kỳ lời giải nào, tức là đây là nước đi cần thiết. Chúng ta có thể cho rằng nó được thực hiện đầu tiên. Hãy làm điều đó. Chúng ta có được vị trí hiển thị trong hình thứ hai trong Hình 7. Các bước di chuyển tiếp theo (cần thiết) được hiển thị trong cùng một hình ảnh. Kết quả của việc thực thi chúng là vị trí ban đầu xuất hiện trở lại (chỉ di chuyển một ô lên trên và một ô sang phải). Theo đó, bài toán d) ban đầu là không thể quyết định được (hãy suy nghĩ kỹ về điều này!).

Thuật toán chung

Bằng cách sử dụng các bước di chuyển và chuẩn hóa tổng quát, chúng tôi có thể phân chia

Hình 7. (Về phần kết, xem trang 55.)

32

Thí nghiệm tại nhà với ánh sáng phân cực

Thay vì giới thiệu
Các thí nghiệm được mô tả trong bài viết này hoàn toàn không giống với những thí nghiệm thường được thực hiện ở trường học (hoặc thậm chí ở trường đại học). Ở đó, thông qua kinh nghiệm, họ kiểm tra tính đúng đắn của một số sự tương ứng phát sinh từ các định luật đã biết hoặc bằng cách thay đổi một phần đại lượng có trong những sự tương ứng này, họ tính toán những đại lượng khác. Ví dụ, theo định luật Hooke và định luật thứ hai của Newton, chu kỳ dao động ngoài của tải bằng $T = 2\pi\sqrt{m/k}$. Bạn có thể đo độc lập khối lượng của tải $m$ và độ đàn hồi của lò xo $k$, tính chu kỳ $T$ và so sánh nó với giá trị được thay đổi bằng thực nghiệm. Bạn cũng có thể đo chu kỳ và khối lượng của tải trọng và tính toán các lò xo.

Những thí nghiệm như vậy là rất cần thiết và liên tục được thực hiện không chỉ trong giáo dục mà còn trong các phòng thí nghiệm khoa học. Tuy nhiên, các thí nghiệm với các cách tiếp cận vấn đề khác cũng không kém phần quan trọng đối với khoa học. Giả sử bạn bị nhiễm một tác dụng không xác định nào đó, và nó kích động bạn bị đánh. Bạn bắt đầu khám phá những yếu tố và điều kiện mà hiệu ứng này phụ thuộc vào. Hơn nữa, cuộc nói chuyện không phải là kiểm tra bất kỳ luật nào, bởi vì vẫn chưa có gì để kiểm tra. Luật pháp vẫn chưa được biết đến và có thể không được thiết lập sớm. Nhưng bạn sẽ có đóng góp của mình cho sự phát triển của khoa học: lý thuyết trong tương lai sẽ phải ràng buộc các kết quả của bạn. Và điều này không làm cạn kiệt tầm quan trọng của nghiên cứu như vậy. Cho đến khi xuất hiện một lý thuyết hoàn chỉnh, một số kết luận quan trọng có thể được rút ra. Ngoài ra, hiệu ứng được phát hiện thậm chí có thể được ứng dụng thực tế. Ít nhất chúng ta hãy nhớ đến kim nam châm, nó đã được sử dụng như một cuộc hành trình rất lâu trước khi người ta hiểu được bản chất của từ tính.

Điều gì khiến chúng tôi quan tâm?

Một tia sáng mặt trời chiếu vào tấm kính và… không bị phản chiếu. Chúng tôi nhìn thấy những đốm bụi sáng trên bề mặt kính, nhưng không có chú thỏ nào trên tường. Khi chúng tôi đưa một miếng mica không dây vào các tia đi tới kính, một sự phản chiếu xuất hiện và trường nhìn được tô màu bằng tất cả các màu radgia. Chúng lung linh, hòa vào nhau khi rẽ hay khoe mica. Trong các thí nghiệm của mình, chúng tôi đã thực hiện được những điều này và một số khám phá khác. Chúng tôi là tôi và hai tám tác phẩm kinh điển.

Hãy nói ngay rằng đối với các thí nghiệm, chúng tôi đã sử dụng những chiếc kính thông thường nhất, nhưng ánh sáng đã được “chuẩn bị” theo một cách đặc biệt. Nếu không, hãy nói về mọi thứ theo thứ tự.

Chúng tôi tìm thấy hầu hết mọi thứ chúng tôi cần cho các thí nghiệm ở nhà. Ngoại lệ

Một giấy gói bằng giấy bóng kính nhàu nát được chụp dưới ánh sáng phân cực. Ảnh của I. Borisevich và A. Shuka.

33

Các tấm bao gồm các tấm mica (kích thước vài cm với độ dày 0,2-0,3 mm) và kính (tấm ảnh 9x12 cm, được rửa sạch từ nhũ tương, rất tiện lợi). Chúng tôi không sử dụng bất kỳ kiến ​​thức sâu sắc nào về bản chất của ánh sáng, ngoại trừ một điều: ánh sáng đó là sóng. Chúng tôi đã biết được loại sóng nào - liên tục hoặc ngang - từ việc phân tích kết quả thu được.

Sự biến mất của ánh sáng phản xạ

Trì hoãn “hiệu ứng mica” sang phần sau, chúng tôi đề cập đến tác động của sự biến mất của sự phản chiếu và sự hiện diện của nghiên cứu có phương pháp của nó.

Chúng ta lần đầu tiên nhận thấy hiện tượng này khi nhìn ảnh các vật sáng ngoài cửa sổ sau hai lần phản xạ. Cái đầu tiên ở trên kính cửa sổ, cái thứ hai ở trên tấm kính mà một người trong chúng tôi đang cầm trên tay. Đo vị trí của kính và dùng mắt theo dõi hình ảnh của một vật thể (ví dụ: một đám mây sáng ở thấp phía trên đường chân trời), chúng tôi phát hiện ra rằng với một số hình ảnh, hình ảnh dường như mờ đi, mất đi độ sáng rất nhiều. Hình học của đường truyền tia sáng trong trường hợp này được thể hiện trong Hình 1. Chúng ta sẽ thường gặp nó, và để ngắn gọn, chúng ta sẽ gọi nó là hình học số 1. Lưu ý rằng các mặt phẳng của phản xạ thứ nhất và phản xạ thứ hai vuông góc với nhau (chúng ta sẽ gọi mặt phẳng phản xạ là mặt phẳng trong đó tia tới và tia phản xạ và vuông góc với bề mặt thủy tinh nằm), và góc tới của các tia trên cả hai kính (chúng không có mặt phẳng vuông góc với bề mặt thủy tinh) gần bằng 60° so với mắt.

Hiểu rằng độ sáng của hình ảnh được xác định bởi lượng ánh sáng phản chiếu từ kính thứ nhất và kính thứ hai, chúng tôi đặt câu hỏi: tại thời điểm nào trong hai phản xạ - phản xạ thứ nhất hay kính thứ hai - độ phản xạ ánh sáng giảm? Bằng cách kiểm tra các vật thể được phản chiếu một lần trong thủy tinh, chúng tôi tin chắc rằng ở bất kỳ góc tới nào của tia tới, sự phản xạ của chúng không thể hiện mức tối thiểu. Ví dụ, khi tăng góc tới

Hình 1. Hình học số 1. Mặt phẳng của phản xạ thứ nhất và thứ hai vuông góc với nhau. Thực tế không có ánh sáng phản chiếu từ tấm kính thứ hai.

Độ sáng của hình ảnh liên tục tăng lên. Vì vậy, chúng tôi xác định rằng tỷ lệ ánh sáng phản xạ trong kính thứ hai giảm nếu các tia phản xạ bởi kính thứ nhất trong hình học số 1 chiếu vào nó. Đây là bí quyết “chuẩn bị” ánh sáng đặc biệt của chúng tôi.

Sau đó chúng tôi tiếp tục thí nghiệm của mình.

Hiệu quả phụ thuộc vào cái gì và như thế nào?

Trước hết, chúng ta đổi nguồn sáng và lặp lại thí nghiệm ở hình học số 1. Chúng ta lấy một chiếc đèn sợi đốt (công suất 60 W) đặt sao cho khi ngồi lên ghế thì dây tóc có ở đó. phía trên đầu gối một chút. Hình ảnh phản chiếu đầu tiên là trong tấm kính từ giá sách mà chúng tôi đặt thẳng đứng, và hình ảnh thứ hai - từ tấm kính mà người ngồi trên ghế cầm trên tay trước mặt ngang với dây tóc đèn. Theo dõi sự phản chiếu của sợi chỉ bằng mắt, tôi nhanh chóng tìm được vị trí mà sợi chỉ mờ đi gần như hoàn toàn. Sự phản chiếu bị yếu đi bởi mắt ít nhất vài lần*). Chúng tôi lặp lại thí nghiệm với một nguồn sáng khác - một ngọn nến - và đảm bảo rằng hiệu ứng không phụ thuộc vào nguồn sáng.

Sau đó, chúng tôi tiến hành thí nghiệm với các vật phản xạ khác. Ngoài kính, vật liệu đầu tiên được sử dụng là cửa tủ sơn mài và

*) Trong phần tiếp theo, để cho ngắn gọn, chúng ta sẽ không nói về sự phản xạ giảm mạnh mà nói về sự biến mất của nó.

35

sự phản ánh. Ngược lại, dựa trên thực nghiệm thực nghiệm này, chúng ta đi đến kết luận về bản chất ngang của sóng ánh sáng. (Điều đáng chú ý là chúng ta thậm chí không cần phải suy nghĩ xem chính xác cái gì “dao động” trong ánh sáng, mặc dù tất nhiên chúng ta biết rằng ánh sáng đó là sóng điện từ.)

Điều gì xảy ra khi ánh sáng bị phản xạ hai lần?

Hình ảnh phản chiếu kép trình bày với chúng ta như sau. Ánh sáng chiếu vào gương phản xạ đầu tiên được gửi đi bởi một số lượng lớn các bộ phận khác nhau của vật thể phát sáng. Các dao động trong các “sứ giả” ánh sáng này vuông góc với hướng truyền của chúng, nhưng mặt khác hướng của chúng là nhất quán và xét về trung bình thì có xác suất bằng nhau (Hình 3). Mỗi dao động như vậy có thể được phân tách thành hai: một bắt nguồn từ mặt phẳng tới, dao động kia vuông góc với nó (Hình 4). Nếu góc tới là tối ưu thì chỉ một trong số chúng bị phản xạ. (Cái nào vẫn chưa rõ ràng, vì vậy các hướng trong Hình 4 là tùy ý.) Trong trường hợp này, ánh sáng phản xạ được cho là thẳng hàng hoặc bị phân cực. Kết quả của phản xạ thứ hai phụ thuộc vào hướng của hướng dao động và mặt phẳng tới: trong hình học số 2 có sự phản xạ, nhưng trong hình học số 1 thì không có.

Nếu các báo cáo là từ góc tới tối ưu trên gương phản xạ đầu tiên, thì cả hai hướng dao động sẽ được biểu thị trong ánh sáng phản xạ, nhưng ở các mức độ khác nhau và ánh sáng sẽ bị phân cực không hoàn toàn mà một phần. Đó là lý do tại sao, khi đi chệch khỏi hình học số 1 của Hình 3 hoàn chỉnh. Trong ánh sáng tự nhiên, các hướng dao động bằng nhau.

Hình 4. Thủy tinh chỉ phản xạ một thành phần dao động - vuông góc với mặt phẳng tới. Ánh sáng phản xạ bị phân cực.

Sự biến mất của ánh sáng phản xạ không xảy ra.

Hóa ra ánh sáng truyền qua cũng bị phân cực

Có được bức tranh về hiện tượng này, chúng tôi bắt đầu thể hiện nhiều ý tưởng khác nhau trên cơ sở nó và thử nghiệm chúng bằng thực nghiệm. Đây là một trong số đó. Ánh sáng từ đèn chiếu ở một góc tối ưu lên một số tấm kính xếp chồng lên nhau, sau đó chiếu vào một tấm kính khác, gọi là máy phân tích (Hình 5). Nếu hình ảnh của chúng ta đúng thì rõ ràng ánh sáng truyền qua cũng sẽ bị phân cực, nhưng theo hướng vuông góc với sự phân cực của ánh sáng phản xạ. Không giống như ánh sáng phản xạ, sự phân cực của ánh sáng truyền qua sẽ không hoàn toàn, nhưng càng có nhiều tấm trong ngăn xếp thì độ phân cực sẽ càng lớn: xét cho cùng, ánh sáng của một phân cực bị phản xạ một phần và “được chụp ảnh” từ mỗi chúng. Thật vậy, chúng tôi quan sát thấy rằng trong hình học thể hiện trên Hình 5, ánh sáng từ kính máy phân tích bị phản xạ kém hơn so với trường hợp mặt phẳng phản xạ vuông góc với mặt phẳng tới (hình học này không được thể hiện trong hình).

Về cơ bản, cùng một thí nghiệm này có thể được tổ chức hơi khác một chút. Sử dụng ánh sáng phân cực (nghĩa là phản xạ ở góc mong muốn), chúng tôi đã xác minh rằng cách phát âm của một chồng đĩa phụ thuộc rất nhiều vào hướng của hướng phân cực và mặt phẳng tới.

36

Hình 5. Ánh sáng không phân cực chiếu vào một chồng đĩa thủy tinh. Ánh sáng truyền qua bị chi phối bởi các dao động nằm trong mặt phẳng tới. Ánh sáng này phản chiếu kém từ kính thứ hai.

Trong trường hợp hiển thị trong Hình 6, a, mười chiếc kính hầu như không làm giảm độ sáng của ánh sáng và trong trường hợp, như trong Hình 6, b, chúng giảm độ sáng khoảng một nửa.

Sự xuất hiện và biến mất của mica nhiều màu

Chúng tôi bắt đầu thí nghiệm với mica bằng cách lặp lại chúng trong hình học số 1, với một chiếc đèn làm nguồn sáng. Sau khi điều chỉnh hệ thống đến mức tối thiểu phản xạ sâu hơn có thể, chúng tôi đã giới thiệu tấm mica

Hình 6. Ánh sáng phân cực chiếu vào một chồng tấm kính. Trong trường hợp a) - phản xạ yếu và phát âm cao; trong trường hợp b) - phản xạ mạnh, họ phát âm không tốt.

thành các tia đi từ gương phản xạ này sang gương phản xạ khác, do đó ánh sáng phân cực tiếp xúc quá mức với bề mặt của nó. Điều này dẫn đến việc tạo màu cho mica theo nhiều màu khác nhau, mặc dù dải màu kém hơn so với thí nghiệm với ánh sáng ban ngày. Chúng tôi đã quan sát thấy khi mica quay quanh một trục trùng với các tia sáng, các màu sắc thay thế nhau theo chu kỳ.

Nếu bạn nhìn trực tiếp vào ánh sáng phân cực truyền qua mica, tức là phản xạ thứ hai, thì không nhìn thấy màu sắc. Khi mica được di chuyển, vùng giữa đèn và tấm phản quang thứ nhất cũng không có màu sắc.

Ngoài mica, chúng tôi đã thử các vật liệu bền khác. Hóa ra thủy tinh và tấm mica không mang lại tác dụng gì, nhưng màng cellulon trong gói cũng cho tác dụng tương tự. Khi phim được xoay, sự phản xạ tăng và giảm theo chu kỳ (điều này tạo ra một vòng quay hoàn chỉnh nhiều lần), nhưng trong trường hợp này hầu như không có sắc thái màu.

Cuối cùng, chúng tôi lấy một tấm mica mỏng hơn nhiều, bóc một lớp khỏi tấm dày hơn. Mica lan truyền khá dễ dàng và sau một chút luyện tập, chúng tôi đã làm được điều đó. Lớp bong ra hoàn toàn rắn chắc và mỏng hơn đáng kể hơn 0,1 mm. Nếu bạn cố giữ nó ở góc ngang, nó sẽ bị hỏng dưới sức nặng của chính nó. Tác dụng của mica mỏng hóa ra cũng tương tự

37

về tác dụng của giấy bóng kính: khi quay mica, độ sáng của hình ảnh dây tóc đèn (sau lần phản xạ thứ hai) thay đổi định kỳ nhưng không có sai sót.

Có thể rút ra kết luận gì từ “hiệu ứng mica” quan sát được?

1. Trong hình học số 1, ánh sáng tới gương phản xạ thứ hai và bị phân cực sao cho không xảy ra hiện tượng phản xạ. Khi mica được đưa vào, sự phản chiếu sẽ xuất hiện. Điều này có nghĩa là các dao động theo một hướng khác xuất hiện trong sóng ánh sáng truyền qua nó. Nói cách khác, mica làm thay đổi trạng thái phân cực của ánh sáng.

2. Mica hoạt động khác nhau dưới ánh sáng có bước sóng khác nhau (màu sắc khác nhau), nhưng điều này thể hiện ở những lớp không quá mỏng.

Bằng cách sử dụng những đặc tính này của mica, chúng tôi có thể tăng đáng kể độ màu khi phát hiện sự phân cực một phần của ánh sáng. Hơn nữa, ở mức độ phân cực thấp, việc đưa mica vào các tia tới trên máy phân tích thủy tinh sẽ tạo ra màu đặc trưng khi phản xạ ánh sáng, màu này thay đổi theo chuyển động quay của mica. Do màu sắc cao của mắt, với phương pháp phát hiện sự phân cực này, không cần phải lo lắng về việc tìm ra chính xác vị trí tương ứng của mặt phẳng tới, điều này tất nhiên giúp đơn giản hóa việc quan sát.

Ví dụ, bằng cách sử dụng “cải tiến” này, chúng tôi đã xác định được rằng các đám mây chiếu sáng một bên sẽ gửi các tia phân cực một phần (Hình 7). Chúng tôi cũng quan sát thấy sự phân cực của bầu trời không mây. Hiệu ứng trong trường hợp này không đặc biệt lớn và được thể hiện rõ nhất nếu bạn đứng nghiêng về phía Mặt trời, sao cho

Hình 7. Một miếng mica hoặc giấy bóng kính làm tăng màu sắc phát hiện phân cực.

các tia tán xạ bởi khí quyển sẽ tới gần như vuông góc với đường nối Mặt trời và thủy tinh.

3. Khi nghĩ về “hiệu ứng mica”, chúng tôi kết luận rằng hiệu ứng này có liên quan gì đó đến thực tế là sự tương tác của mica với ánh sáng phụ thuộc vào hướng. Chính xác hơn: mica có các tính chất khác nhau theo các hướng khác nhau, và do đó kết quả của ánh sáng truyền qua nó phụ thuộc vào cách các dao động trong sóng ánh sáng được định hướng so với các hướng đó. Thật vậy, khi tấm được quay tương đối so với trục của chùm ánh sáng, chỉ có hướng của trục tinh thể của mica thay đổi theo hướng dao động. Thủy tinh, giống như thủy tinh, dường như không có hướng đặc biệt nào, nghĩa là vị trí của chúng giống nhau đối với mọi hướng.

Chúng tôi không thể tiến xa hơn trong việc hiểu những vấn đề này, nhưng chúng tôi có thể xác nhận tính đúng đắn của ý tưởng chung thông qua thử nghiệm. Để làm điều này, chúng tôi đã phá vỡ tính đối xứng bên trong của ortec một cách giả tạo với sự trợ giúp của các hướng cơ học. Trong hình học số 1, trong các tia tới trên tấm kính thứ hai, chúng tôi đặt một dải Ortex có kích thước $2 \times 20 \times 200$ mm. Hóa ra là nếu bạn uốn cong và xoắn dải này, thì ở một số nơi sẽ xuất hiện hiện tượng nhật thực đặc trưng của trường nhìn và biến mất khi được hướng về cùng một hướng. Sau đó, chúng tôi quyết định “đóng băng” các hướng dẫn. Sử dụng bàn ủi, chúng tôi làm mềm một phần nhỏ ở phần giữa của dải, tác dụng một lực kéo và không cần tháo nó ra, nhanh chóng làm nguội dải dưới vòi nước chảy. Ví dụ, Orteklo bắt đầu cư xử giống như một bộ phim giấy bóng kính.

Lưu ý rằng nghiên cứu của chúng tôi được thực hiện theo sơ đồ cổ điển: quan sát - nghiên cứu thực nghiệm - giả thuyết - thực nghiệm. Trên thực tế, chúng tôi đã lặp lại con đường mà khoa học đã đi. Sự phân cực của ánh sáng khi phản xạ được nhà vật lý người Pháp Malus phát hiện vào năm 1808, ba năm sau ông và nhà khoa học người Pháp Bu đã phát hiện ra sự phân cực của quá khứ

38

ánh sáng, và vào năm 1815, nhà vật lý người Anh Brewster đã tìm ra những điều kiện trong đó ánh sáng phản xạ bị phân cực hoàn toàn. Nhiều năm sau, nhà vật lý người Nga Stoletov đã sử dụng một chồng các tấm phẳng song song để tăng cường hiệu ứng phân cực.

Khi chúng tôi hoàn thành tất cả các thí nghiệm, chúng tôi phải đối mặt với nhiều câu hỏi hơn lúc đầu. Dưới đây là một số trong số họ:

• Tại sao ánh sáng tự nhiên bị phân cực khi phản xạ?
  — Tại sao mây và bầu trời gửi ánh sáng phân cực?
  — Chính xác thì điều gì sẽ xảy ra với ánh sáng phân cực trong các vật liệu như mica?

— Có thể sử dụng ánh sáng phân cực để nghiên cứu định lượng trạng thái quang phổ không?

Nói một cách dễ hiểu, các thí nghiệm được thực hiện bằng cách sử dụng hai tấm kính và miếng mica đã mở ra phạm vi rộng cho những suy nghĩ và nghiên cứu mới.

tin tức khoa học

Astroporia và biên niên sử cổ đại

Có lẽ khó có thể coi những gì tôi quan sát được cách đây 2000 năm là tin tức; tuy nhiên, tin tức đặc biệt này chỉ được biết đến gần đây. Tuy nhiên, khi một nhà thiên văn học lần đầu tiên phát hiện ra một thiên hà mới, ông ấy đã nói rất đúng về phát hiện này, mặc dù thiên hà này đã tồn tại rất lâu trước sự kiện khoa học đáng chú ý này.

Khám phá sẽ được thảo luận được thực hiện trên các trang của biên niên sử cổ đại Trung Quốc Shi Ji (“Hồ sơ lịch sử”) *). Nó được viết vào năm 95 trước Công nguyên bởi Tư Mã Thiên. Shi Ji chứa thông tin về lịch sử, nông nghiệp và khoa học của Trung Quốc. Ngoài ra còn có phần mô tả các quan sát thiên văn, đặc biệt là màu sắc của một số ngôi sao. Thật vậy, nếu bạn nhìn kỹ các ngôi sao và so sánh chúng với nhau, bạn có thể thấy chúng khác nhau về màu sắc.

Trong Shi Chi có viết rằng màu của Sirrius (α Canis Major) là màu trắng, Antares (α Scorpiona) là màu đỏ, Betelgeuse (α Orion) là

*) Một phần “Hồ sơ lịch sử” đã được dịch sang tiếng Nga.

Tư Mã Thiên (thợ hấp trên cây).

màu vàng và Belatrica (γ Orion) - xanh lam. Tất cả những ngôi sao này đều là những ngôi sao sáng nhất và có thể được nhìn thấy trên bầu trời đầy nắng của chúng ta. Hóa ra, màu sắc của ba ngôi sao đã được chỉ định chính xác (tầm nhìn của các nhà thiên văn học rất sắc nét!), chỉ có màu sắc của Betelgeuse mới gây hoang mang.

Hiện nay người ta đã biết rõ rằng đây là một ngôi sao biến quang, cụ thể là sao khổng lồ ánh sáng đỏ, và màu của nó không phải là màu vàng mà là màu đỏ. Nhưng, rõ ràng, các ngôi sao cổ xưa cũng không nhầm lẫn ở đây.

Theo những ý tưởng hiện đại, Betelgeuse hiện đang trong giai đoạn mở rộng nhanh chóng.

Hơn 2000 năm, bán kính của nó đã tăng gần gấp đôi và hiện nay gấp khoảng 300-400 lần bán kính Mặt trời. Khi ngôi sao nở ra, nó nguội đi; và nếu bây giờ nhiệt độ bề mặt của nó là khoảng 3000 độ, thì vào thời điểm Shi Ji được viết ra, lẽ ra nó phải là 1000-2000 độ nữa. Tuân thủ và màu của nó sẽ có màu vàng hơn.

Vì vậy, trong biên niên sử cổ xưa đã có sự xác nhận rõ ràng về sự xấu xa của ngôi sao, một hiện tượng dường như nằm ngoài phạm vi quan sát của con người. Nó một lần nữa chứng minh rằng bất kỳ hệ quả nào của các công trình lý thuyết một ngày nào đó sẽ được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm.

Gần đây, một bằng chứng thú vị khác của các học giả cổ đại đã được phát hiện trong các sách cổ của Trung Quốc. Vào mùa hè năm 365 trước Công nguyên, Jan De nhìn thấy một điểm sáng gần Sao Mộc. có thể đó là một trong những vệ tinh của Sao Mộc, chẳng hạn như Ganymede hay Callisto? Ít nhất đây là cách các nhà sử học giải thích về nơi này.

Tất nhiên, các tác giả cổ đại thú vị không phải lúc nào cũng thuyết phục. Ai biết được họ có sai không.

TÔI Ở VỚI.

39

Bài toán

M751—M755; F763—F767

M751. Trên một đường tròn có 3k điểm bù trừ được chia thành 3k cung, trong đó k cung có độ dài 1, k cung khác có độ dài 2 và k cung còn lại có độ dài 3. Chứng minh rằng trong số các điểm lệch có hai đường kính đối diện nhau. (9)

V. Proizvolov

M752. Một bảng vuông gồm $n \times n$ ô chứa đầy các số nguyên. Hơn nữa, trong các ô có một cạnh chung, các số được viết cách nhau không quá 1. Chứng minh rằng có ít nhất một số xuất hiện trong bảng:
a) không ít hơn $[n/2]$ lần ([a] là phần nguyên của a);
b) không ít hơn $n$ lần. (8)

A. Berzin

M753. Các số a, b, c nằm trên khoảng $]0, \pi/2$ [và thỏa mãn các đẳng thức:
$\cos a = a,$
$\sin \cos b = b,$
$\cos \sin c = c$.

Sắp xếp các số này theo thứ tự tăng dần. (10)

S. Hesse

M754. a) Có đa thức $P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z)$ trong các biến x, y, z thỏa mãn đẳng thức $(x-y+1)^3P + (y-z-1)^3Q + (z-2x+1)^3R = 1?$ không?
b) Câu hỏi tương tự cho danh tính $(x-y+1)^3P + (y-z-1)^3Q + (z-x+1)^3R = 1.$ (10)

P. Gusyatnikov, Y. Nesterenko

M755. Chọn điểm M bên trong tứ diện. Chứng minh rằng nhìn thấy ít nhất một cạnh của tứ diện từ điểm M ở một góc có cosin không lớn hơn $-1/3$. (9)

S. Gashkov

40

F763. Trên một mặt phẳng nằm ngang có một vòng có bán kính $R$. Chiếc vòng tương tự di chuyển qua anh ta với tốc độ $v$ (Hình 1). Tìm sự phụ thuộc của tốc độ của điểm trên của “giao điểm” của các vòng vào khoảng cách giữa tâm của chúng. Các vòng mỏng; vòng thứ hai “vượt qua” gần vòng thứ nhất. (9)

S. Krotov

F764. Sóng xung kích là vùng có áp suất cao lan truyền với tốc độ cao theo hướng trục $X$ (Hình 2); tại thời điểm sóng tới, áp suất tăng mạnh từ giá trị $p_0$ lên $2p_0$. Trên đường truyền sóng có một hình nêm, kích thước của hình nêm như hình 3, khối lượng của hình nêm là $m$. Cái nêm sẽ đạt được tốc độ bao nhiêu ngay sau khi mặt sóng xung kích đi qua nó? Giả sử rằng tốc độ thu được của nêm nhỏ hơn nhiều so với tốc độ truyền sóng; thứ ba là không đáng kể. (8)

A. Buzdin

F765. Hiện nay, công suất của tất cả các nguồn năng lượng trên Trái đất được nhân loại sử dụng là $\Delta P = 10^{13}$ W, và công suất của năng lượng mặt trời đi vào Trái đất là $P_0 = 10^{17}$ W. Sự quá nhiệt $\Delta T$ của bề mặt Trái đất mà các nguồn năng lượng trên Trái đất dẫn đến điều gì? Giá trị tối đa cho phép $\Delta P_{\max}$ là bao nhiêu, nếu mức quá nhiệt tối đa từ các thông báo môi trường không được vượt quá giá trị $\Delta T_{\max} = 0,1$ K? Được biết, năng lượng phát ra trên một đơn vị thời gian của một vật bị nung nóng tăng 16 lần khi nhiệt độ tuyệt đối của vật đó tăng lên 2 lần. (10)

S. Kozel

F766. Đối với đèn sấy, một tụ điện phi tuyến đã được sử dụng (nó chứa đầy chất điện môi có hằng số điện môi phụ thuộc vào cường độ trường). Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của điện áp $U$ vào điện tích $Q$ của tụ điện được thể hiện trên hình 4. Tụ điện được sạc từ pin có $U_0 = 300$ V thông qua một điện trở có điện trở $R = 10$ kOhm. Tìm số lượng tìm kiếm tối đa trong 1 phút. Giả sử trong quá trình phóng điện tụ điện đã phóng điện hoàn toàn. Điện áp tìm kiếm ban đầu tối thiểu $U_1 = 250$ V. (9)

A. Zilberman

41

F767. Trong một trong những dự án thu được năng lượng điện, người ta đã đề xuất sử dụng dòng hải lưu và từ trường Trái đất. Dự án sẽ bao gồm những điều sau đây.

Hai tấm kim loại nằm ngang được nhúng chìm trong biển, đặt chồng lên nhau cách nhau $l=100$ m; diện tích mỗi tấm là $S=1$ km$^2$. Nước biển có điện trở suất $Q=0,25$ Ohm m, chảy giữa các mảng từ tây sang đông với tốc độ $v=1$ m/s. Từ trường Trái đất ở một nơi nhất định là đồng nhất, hướng từ nam lên bắc; cảm ứng từ trường là $B=10^{-4}$ T. Xác định công suất điện lớn nhất có thể giải phóng tới tải nối với các bản cực. (10)

A. Sheronov

Problems

M751—M755; P763—P767

M751. A circle is divided into $3k$ arcs by $3k$ points; $k$ arcs are of length 1, $k$ others of length 2 and the remaining $k$ are of length 3. Prove that at least two of the points are diametrically opposed. (9)

V. Proizvolov

M752. Integers are the entries in the $n \times n$ cells of a square table. Integers in cells with a common side differ by no more than 1. Prove that at least one number appears in the table

a) no less than $[n/2]$ times ([a] is the integer part of $a$); b) no less than $n$ times. (8)

A. Berzinsh

M753. The numbers $a, b, c$ in the interval $]0, \pi/2[$ satisfy the relations:

$$\cos a = a, \sin \cos b = b, \cos \sin c = c.$$

Write these numbers in increasing order. (10)

S. Gessen

M754. a) Do there exist polynomials

$$P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z)$$

in the variables $x, y, z$ satisfying the identity

$$(x-y+1)^3P + (y-z-1)^3Q + (z-2x+1)^3R = 1?$$

b) Same question for the identity

$$(x-y+1)^3P + (y-z-1)^3Q + (z-x+1)^3R = 1.$$ (10)

P. Gusyatnikov, Yu. Nesterenko

M755. The point $M$ is chosen arbitrarily inside a tetrahedron. Prove that at least one edge of the tetrahedron is seen from the point $M$ under an angle whose cosine is no greater than $1/3$. (9)

S. Gashkov

P763. Một vòng có bán kính $R$ đứng trên một mặt phẳng nằm ngang. Một chiếc vòng giống hệt nhau lăn qua nó với vận tốc $v$ (xem hình Hình 1). Tìm sự phụ thuộc của “điểm giao nhau” phía trên của các vòng vào khoảng cách giữa tâm của chúng. Các vòng mỏng; vòng thứ hai lăn qua vòng thứ nhất, gần như chạm vào nó. (9)

S. Krotov

43

Biên tập. Cái này lời giải về cơ bản dẫn đến sự quan sát được dành riêng bài toán M648; trong một tứ giác như vậy (nội tiếp đường tròn, có hai đường chéo vuông góc với nhau) thì chiều dài cạnh gấp đôi khoảng cách từ tâm đường tròn đến giữa cạnh đối diện. Ngoài ra còn có ngắn hơn đáng kể lời giải, được độc giả tìm thấy. Ví dụ: các đường vuông góc rơi từ tâm O lên các đường chéo AC và BD rơi vào trung điểm của chúng (Hình 2), và do đó mỗi phần mà đường đứt nét AOC chia tứ giác của chúng ta có diện tích $\frac{|AC| \cdot |BD|}{4}$.

M712. Chứng minh rằng mọi số dương đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của chín số có ký hiệu thập phân chỉ chứa các chữ số 0 và 7.

$$\pi = 3,14159265\dots$$

1,11111111…
1,01011111…
1,01011011…
0,01011011…
0,00011011…
0,00001010…
0,00001000…
0,00001000…
0,00001000…
3,14159265…

M713. M là tập hợp các điểm trên mặt phẳng. Điểm O của một mặt phẳng được gọi là “gần tâm đối xứng” của tập M nếu một điểm có thể bị loại khỏi M, mà đối với tập O còn lại là tâm đối xứng theo nghĩa tổng quát. Một tập hữu hạn có thể có bao nhiêu “gần tâm đối xứng”?

Hình 1.

• ● ● ● ● ●
• a)
• ● ● ● ● ●
• b)
• ● ● ● ● ●
• b)
• ● ● ● ● ●

Hình 2

Biên tập. Cái này lời giải về cơ bản dẫn đến sự quan sát được dành riêng bài toán M648; trong một tứ giác như vậy (nội tiếp đường tròn, có hai đường chéo vuông góc với nhau) thì chiều dài cạnh gấp đôi khoảng cách từ tâm đường tròn đến giữa cạnh đối diện. Ngoài ra còn có ngắn hơn đáng kể lời giải, được độc giả tìm thấy. Ví dụ: các đường vuông góc kẻ từ tâm O đến các đường chéo AC và BD rơi vào trung điểm của chúng (Hình 2), và do đó mỗi phần mà đường đứt nét AOC chia tứ giác của chúng ta có diện tích $\frac{|AC| \cdot |BD|}{4}$.

◆ Lưu ý rằng bất kỳ số dương nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của chín số chỉ chứa các chữ số 0 và 1 theo ký hiệu thập phân của chúng (số $\pi = 3,14159265\dots$ được biểu diễn dưới dạng này ở lề). Giả sử $a > 0$ là số đã cho. Biểu thị $\frac{a}{7}$ là tổng của chín số chỉ chứa các chữ số 0 và 1 trong ký hiệu thập phân của chúng và tính đến $a = 7 \cdot \left(\frac{a}{7}\right)$, chúng ta thu được biểu diễn mong muốn của số $a$.

Bài toán M712 rõ ràng đã được khái quát hóa: bất kỳ số dương nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các số q-1, ký hiệu q-ary của nó chỉ chứa các chữ số 0 và k (k<q).

E. Turkevich

◆ Một tập hợp hữu hạn các điểm trên một mặt phẳng có thể có 0, 1, 2, 3 “gần như tâm đối xứng” (xem Hình 1, a)—tương ứng. Chúng ta hãy chứng minh rằng một tập hữu hạn M trên một mặt phẳng không thể có nhiều hơn ba “gần tâm đối xứng”.

Trước hết, chúng ta lưu ý rằng tập M có một số hữu hạn các “gần tâm đối xứng”, vì chúng chỉ có thể là trung điểm của các đoạn nối các điểm của tập M. Bây giờ chúng ta hãy chọn một đường thẳng mà khi chiếu lên, các điểm của tập M và “gần tâm đối xứng” của nó không hợp nhất. Vì khi chiếu lên một đường thẳng, tâm đối xứng quay trở lại tâm đối xứng, nên đủ để chứng minh phát biểu của chúng ta về một tập hợp hữu hạn các điểm nằm trên cùng một đường thẳng.

Xét một tập hợp các điểm trên một đường thẳng có tọa độ $x_1 < x_2 < \dots < x_n$. Nếu chúng ta loại bỏ điểm đầu tiên thì tâm đối xứng của tập hợp còn lại chỉ có thể là điểm có tọa độ $(x_2 + x_n)/2$; nếu chúng ta loại bỏ điểm cuối cùng thì chỉ có điểm có tọa độ $(x_1 + x_{n-1})/2$; cuối cùng, nếu chúng ta loại bỏ một điểm không cực trị nào đó, thì tâm đối xứng của tập hợp còn lại chỉ có thể là điểm có tọa độ $(x_1 + x_n)/2$ (xem Hình 2; trong Hình 2, và chúng ta loại bỏ điểm ở giữa, tâm đối xứng của tập hợp còn lại rơi vào đó). Điều này có nghĩa là một tập hợp hữu hạn các điểm trên một đường thẳng, và do đó, bất kỳ tập hợp hữu hạn các điểm nào trên một mặt phẳng, không thể có nhiều hơn ba “gần như tâm đối xứng”.

V. Prasolov

44

M714. N người bạn học N tin tức cùng một lúc và mỗi người học được một tin tức. Họ bắt đầu gọi điện cho nhau và trao đổi tin tức. Mỗi cuộc trò chuyện kéo dài một giờ. Bạn có thể truyền tải bao nhiêu tin tức tùy thích chỉ trong một cuộc gọi. Số giờ tối thiểu cần thiết để mọi người biết tất cả tin tức là bao nhiêu? Xét ba trường hợp: a) N=64, 6) N=55, b) N=100.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $T(N)$ số giờ tối thiểu mà $N$ bạn bè có thể trao đổi tin tức. Điều thú vị là hàm $T=T(N)$ không hề đơn điệu. Điều này có thể được phát hiện bằng cách tìm các giá trị của $T(N)$ cho $N$ nhỏ - chúng được đưa ra trong bảng ở lề; Bên cạnh nó, trong Hình 1, hiển thị một phương pháp cho phép $N=4, 5, 6$ và 8 tìm hiểu tất cả tin tức trong $T(N)$ giờ. Tất nhiên, để giải bài toán, chúng ta không chỉ phải chỉ ra cách trao đổi tin tức trong $T(N)$ giờ mà còn phải chứng minh rằng điều này không thể thực hiện được trong ít giờ hơn—để có được ước tính cho $T(N)$. Chúng tôi sẽ dạy từ cô ấy.

Hãy xem xét một mục tin tức tùy ý. Sau giờ đầu tiên, không quá hai người bạn biết cô ấy, sau giờ thứ hai - không quá bốn người bạn, …, sau $k$ giờ thứ - không quá $2^k$ bạn bè. Do đó, nếu sau $T$ giờ tất cả $N$ bạn bè biết tất cả tin tức thì $2^T \geq N$ và $T \geq \log_2 N$. Vì $T$ là số nguyên nên $T \geq \log_2 N$. (Ở đây, $\Gamma a$ biểu thị số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $a$. Ký hiệu này hiện được sử dụng ngày càng thường xuyên, đặc biệt là chuyên ngành toán ứng dụng và tính toán; tuy nhiên, đối với phần nguyên tổng quát - “làm tròn xuống” - thay vì ký hiệu $[a]$, ký hiệu $[a]$ được sử dụng.) Nếu $N$ là số lẻ thì sẽ có một trong các số lẻ. $N$ bạn bè - hãy ký hiệu anh ấy là $A$ - người không tham gia vào các cuộc trò chuyện trong giờ đầu tiên. Áp dụng lý luận trên cho tin tức $a$ mà lúc đầu chỉ $A$ biết, chúng ta thấy rằng cần ít nhất $1 + \log_2 N$ giờ để trao đổi tất cả tin tức.

Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng ước tính tìm thấy

$$T(N) = \begin{cases} \Gamma \log_2 N, & \text{ если } N \text{ четно}, \\ \Gamma \log_2 N + 1, & \text{ если } N \text{ нечетно} \end{cases}$$

là có thể đạt được, tức là chúng tôi sẽ chứng minh rằng có thể tổ chức trao đổi tin tức theo cách mà sau $T(N)$ giờ tất cả bạn bè sẽ biết tất cả tin tức. Chúng ta hãy xem xét ba trường hợp.

1°. Cách dễ nhất là trình bày cách trao đổi tin tức trong $k$ giờ với giá $N=2^k$.

Chúng ta hãy liên kết với mỗi druse một bộ $k$ số 0 và 1 (“số nhị phân”); nhiều bộ như vậy từ $(0,0, ..., 0)$ đến $(1,1, ..., 1)$ chỉ là $2^k$. Hãy để những cặp bạn có số chỉ khác nhau ở một địa điểm $t$ nói chuyện với nhau vào giờ thứ $t$. Sau đó, nếu số của hai người bạn khác nhau ở $t_1, t_2, ..., t_s$ vị trí ($1 \leq t_1 < t_2 < ... < t_s \leq k$), thì do nói chuyện ở $t_1$, $t_2$, …, $t_s$ giờ họ sẽ biết tin tức của nhau. (Phương pháp này cho $N=4$ và $N=8$ được minh họa trong Hình 1.)

Một phương pháp khác, phù hợp với mọi $N$ chẵn, được mô tả bên dưới ở điểm 3°.

Hình 1. Những bức ảnh này (dành cho $N=4, 5, 6$ và 8 người bạn) cho thấy một trong những cách tối ưu để chia sẻ tin tức. Mức độ lan truyền của một trong các tin tức được thể hiện bằng màu đỏ.

45

2°. Cho $2^{k-1} < N < 2^k$, $N$ là số lẻ. Sau đó $\Gamma \log_2 N = k$, $N = 2^{k-1} + r$, ở đâu $0 < r < 2^{k-1}$. Chúng tôi sẽ chỉ cho bạn cách tất cả bạn bè của bạn có thể tìm hiểu tất cả tin tức trong $k+1$ giờ. Hãy chia những người bạn $N$ thành hai nhóm: nhóm thứ nhất bao gồm $2^{k-1}$ bạn bè và nhóm thứ hai bao gồm $r$ bạn bè. Trong giờ đầu tiên, mỗi người bạn của nhóm thứ hai nói chuyện với một người bạn của nhóm thứ nhất. Trong $k-1$ giờ tiếp theo $2^{k-1}$ những người bạn của nhóm đầu tiên trao đổi tin tức với nhau như được mô tả trong đoạn 1°; kết quả là mỗi người trong số họ sẽ biết tất cả các tin tức. Cuối cùng, vào giờ cuối cùng của mỗi buổi, một người bạn ở nhóm thứ hai lại nói chuyện với một số người bạn ở nhóm thứ nhất, khiến tất cả những người bạn ở nhóm thứ hai cũng biết hết tin tức.

3°. Đặt $2^{k-1} < N \leq 2^k$, $N = 2m$ là số chẵn. Sau đó $\Gamma \log_2 N = k$ và $2^{k-2} < m \leq 2^{k-1}$. Chúng tôi sẽ chỉ cho bạn cách tất cả bạn bè của bạn có thể tìm hiểu tất cả tin tức trong $k$ giờ.

Xét hai giác $m$ đều được đặt bởi một người bạn hình chữ nhật (xem Hình 2, trong đó $m=6$). Chúng ta sẽ giả định rằng mỗi đỉnh là một trong những người bạn (các đỉnh khác nhau là những người bạn khác nhau). Hai người bạn tại một thời điểm nào đó $t$ sẽ được gọi là hàng xóm nếu ảnh của họ tại thời điểm này thuộc các đỉnh của $m$-giác lớn nhất là một người bạn hình chữ nhật (ví dụ: tại $t=0$ các đỉnh $A$ và $B$ trong Hình 2). Hãy để $a$ là một số tin tức. (Chúng ta sẽ tô màu các đỉnh đại diện cho những người bạn biết tin tức $a$ tại thời điểm $t$.) Để tất cả các cặp bạn bè hàng xóm tại thời điểm $t=0$ nói chuyện với nhau trong giờ đầu tiên (xem Hình 2 tại $t=1$). Trong tương lai, trước khi bắt đầu giờ thứ $t$ ($t=2, 3, ..., k$), chúng ta sẽ xoay đỉnh $m$-gon theo chiều kim đồng hồ theo góc $2^{t-1} \cdot \frac{180^\circ}{m}$ và giả sử rằng vào giờ thứ $t$ tất cả các cặp bạn bè hàng xóm tại thời điểm này đang nói chuyện (Hình 2 cho thấy sự lan truyền của tin tức $a$ sau giờ thứ nhất, thứ hai và thứ ba giờ). Kết quả của những cuộc trò chuyện như vậy sẽ là sau $t$ giờ, các đỉnh $2^{t-1}$ của mỗi $m$-giác lớn nhất sẽ có màu. Kể từ $m \leq 2^{k-1}$, sau $k$ giờ hầu hết mọi thứ sẽ được sơn. Như vậy, sau $k$ giờ tất cả $N$ bạn bè sẽ biết bất kỳ tin tức nào $a$.

Tuyên bố của chúng tôi đã được chứng minh đầy đủ.

Vì vậy, đáp số đến điểm a), 6), trong bài toán: tương ứng của chúng tôi là $T(64) = 6$ giờ, $T(55) = 7$ giờ và $T(100) = 7$ giờ.

A. Anjan

M716.*) Từ điểm $M$ bên trong tam giác $ABC$ đã cho, các đường vuông góc $MA_1, MB_1, MC_1$ được hạ xuống các đường thẳng $BC, CA$ và $AB$. Đối với những điểm như vậy $M$ bên trong $\triangle ABC$ liệu giá trị $\frac{|BC|}{|MA_1|} + \frac{|CA|}{|MB_1|} + \frac{|AB|}{|MC_1|}$ có lấy giá trị nhỏ nhất không?

$\cdot$ Để $|BC| = a, |CA| = b, |AB| = c, |MA_1| = x, |MB_1| = y, |MC_1| = z$. Lưu ý rằng giá trị $ax + by + cz$ không đổi: đối với bất kỳ điểm $M$ nào bên trong một tam giác nhất định, nó bằng $2S$ - gấp đôi diện tích của nó (xem hình)*. Chúng ta hãy ước tính tích của giá trị giữa các lần rửa $f = \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$ và hằng số này:

$$f \cdot 2S = \left( \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} \right)(ax + by + cz) = a^2 + b^2 + c^2 +$$

$$+ ab \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) + bc \left( \frac{y}{z} + \frac{z}{y} \right) + ac \left( \frac{z}{x} + \frac{x}{z} \right) \geq$$

$$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = P^2,$$

*) Lời giải bài toán M715—trong ghi chú của A. Khodlev “Sự tái định cư của các Physeks” (trang 28).

46

ở đâu $P = a + b + c$. Chúng ta đã sử dụng bất đẳng thức hiển nhiên $\frac{u}{v} + \frac{v}{u} \geq 2$ ba lần, kết quả là bất đẳng thức này trở thành đẳng thức cho $u = v$. Như vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức
$$f = \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} \geq \frac{P^2}{2S}$$

đúng với mọi $x, y, z$ (sao cho $ax + by + cz = 2S$) và trở thành đẳng thức cho $x = y = z$, sao cho đạt được giá trị nhỏ nhất của biểu thức $f$ tại tâm của vòng tròn nội tiếp trong tam giác của chúng ta: chính xác là tại điểm này $x = y = z = \frac{2S}{P}$.

N. Vasiliev

M717. Cho các số tự nhiên $n$ và $r$, $1 \leq r \leq n$. Khoảng cách của toàn bộ phép nhân của một tập hợp con của $[1, 2, \dots, n]$ bao gồm $r$ số và trong mỗi lựa chọn là số nhỏ nhất. Chứng minh rằng trung bình số học của tất cả các số được chọn là $\frac{n+1}{r+1}$. (Ví dụ: với $n=3$, $r=2$, chúng ta có ba tập hợp con $[1, 2], [1, 3], [2, 3]$ và trung bình số học là $(1 + 1+2)/3 = 4/3$.)

◆ Trước hết, hãy lưu ý rằng tập hợp $[1, 2, \dots, n]$ có $C_n^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ tập hợp con bao gồm $r$ số. Chúng tôi trình bày hai thuộc tính của các số $C_n^k$), mà chúng tôi sẽ cần cho lời giải bài toán của chúng tôi:
$$1^\circ. C_n^k + C_n^{k+1} = C_n^{k+1};$$
$$2^\circ. C_n^k + C_n^{k-1} + \dots + C_k^k = C_n^{k+1}.$$

Chúng ta sẽ gọi các tập con của tập $[1, 2, \dots, n]$ gồm $r$ số $r$-tập hợp con. Dễ dàng nói rằng các phần tử nhỏ nhất của tập con $r$ của tập hợp $[1, 2, \dots, n]$ chỉ có thể là các số 1, 2, …, $(n-r+1)$. Ngoài ra, số $k$ ngay lập tức là số nhỏ nhất đối với $C_n^{k-1}$ các tập con như vậy (thực tế là mỗi tập con $r$ mà số $k$ là phần tử nhỏ nhất chứa, cùng với $k$ và $r-1$, một phần tử từ tập hợp $[k+1, k+2, \dots, n]$, bao gồm $n-k$ phần tử). Do đó tổng các số được chọn bằng
$$S = 1 \cdot C_n^{r-1} + 2 \cdot C_n^{r-1} + \dots + (n-r+1) C_n^{r-1},$$
(*)

và chúng ta cần chỉ ra rằng trung bình số học $\frac{S}{C_n^r}$ (tổng cộng có $C_n^r r$-tập hợp con) bằng $(n+1)/(r+1)$ hoặc $S = C_n^r \cdot (n+1)/(r+1) = C_n^{r+1}$.

Lợi dụng thực tế là $C_n^{k-1} = C_n^k - C_n^{k-1}$ (xem $1^\circ$), chúng ta biến đổi tổng $S$ như sau:
$$S = 1 \cdot C_n^{r-1} + 2 \cdot C_n^{r-1} + \dots + (n-r+1) C_n^{r-1} =$$
$$= 1 \cdot (C_n^r - C_n^{r-1}) + 2 \cdot (C_n^{r-1} - C_n^{r-2}) + \dots + (n-r) (C_n^{r+1} - C_n^{r+1}) + (n-r+1) C_n^{r+1} =$$
$$= C_n^r + C_n^{r+1} + \dots + C_n^{r+1},$$

Có tính đến tính chất $2^\circ$, chúng ta thu được $S = C_n^{r+1}$, theo yêu cầu.

bài toán này cũng có thể giải bằng quy nạp bằng cách xét tập $[1, 2, \dots, n+1]$ và lưu ý rằng
$$S(n+1, r) = S(n, r) + S(n, r-1)$$
(**)

(xem Hình 2); ở đây $S(m, k)$ biểu thị tổng các số nhỏ nhất của tập hợp con $k$ của tập hợp $[1, 2, \dots, m]$.

Giả sử sự bình đẳng đã được chứng minh
$$S(n, r) = C_n^{r+1}, S(n, r-1) = C_n^{r+1}$$

đối với các tập con $r$- và $(r-1)$ của tập hợp $[1, 2, \dots, n]$ (cơ sở quy nạp được chứa trong các điều kiện bài toán), chúng ta thu được, có tính đến (**) và tính chất $1^\circ$,
$$S(n+1, r) = C_n^{r+1} + C_n^{r+1} = C_n^{r+1},$$

đó là những gì được yêu cầu.

*) Bạn có thể làm quen với các con số $C_n^k$ - hệ số biompical - chi tiết hơn bằng cách đọc bài viết của N. Vasilyev, A. Zelevinsky “Đa thức Chebyshev và quan hệ truy hồi” («Kvant». 1982, số 1) hoặc tập tài liệu của V. A. Uspensky “Tam giác Pascal” (Toán học dễ đọc phổ biến, số 43, M., “Khoa học”, 1978); Một vài đường thẳng đầu tiên của tam giác này được hiển thị trong Hình 1.

48

M719. a) Với $n \geqslant 3$ nào có tập hợp $n$ số tự nhiên liên tiếp có tính chất sau: số lớn nhất trong các số này là ước của bội số chung nhỏ nhất của các số $n-1$ còn lại?
6) Với $n \geqslant 3$ nào thì có một tập hợp duy nhất gồm $n$ các số tự nhiên liên tiếp có các thuộc tính đã chỉ ra?

Bất kỳ số tự nhiên nào $n$ với một số $k$ đều thỏa mãn bất đẳng thức $2^k < n \leqslant 2^{k+1}$. thì $2^k < n < 3 \cdot 2^k < 5 \cdot 2^k$.
Hãy xem xét tập hợp
$$A = \{3 \cdot 2^k, 3 \cdot 2^{k-1}, \dots, 3 \cdot 2^k-n+1\}$$
của $n$ số tự nhiên liên tiếp. Vì $n-1 \geqslant 2^k$, trong số $n-1$ số tự nhiên liên tiếp từ $3 \cdot 2^k-n+1$ đến $3 \cdot 2^k-1$ có ít nhất một số, được thực hiện trên $2^k$. Đối với $n \geqslant 4$ thì ít nhất một trong số chúng chia hết cho 3. Do đó, số $3 \cdot 2^k$ là ước số của bội số chung nhỏ nhất của các số $n-1$ còn lại trong tập hợp $A$ với mọi $n \geqslant 4$.

Đối với $n \geqslant 6$, thật dễ dàng để xây dựng một ví dụ về một tập hợp khác có các thuộc tính được chỉ định:
$$B = \{5 \cdot 2^k, 5 \cdot 2^{k-1}, \dots, 5 \cdot 2^k-n+1\}$$
(hãy kiểm tra xem!). Do đó, đối với $n \geqslant 6$ có ít nhất hai bộ $A$ và $B$ có ​​các thuộc tính được chỉ định. Vẫn còn phải xem xét trường hợp $n=3$, 4 và 5.

Đối với $n=5$ cũng có hai bộ bắt buộc: $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ và $\{8, 9, 10, 11, 12\}$.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng với $n=4$ có một tập hợp duy nhất có các thuộc tính đã chỉ ra. Thật vậy, đặt tập $\{m, m+1, m+2, m+3\}$ có các thuộc tính cần thiết. Vì $m+3$ là ước số LCM nên $(m, m+1, m+2)$ chia hết cho $m+3$. Nhưng $m(m+1)(m+2) = (m+3)(m^2+2) - 6$; Điều này có nghĩa là 6 phải chia hết cho $m+3$, từ đó $m=3$ và chúng ta lấy ví dụ duy nhất về tập hợp bốn số tự nhiên liên tiếp có các thuộc tính sau: $\{3, 4, 5, 6\}$.

Cuối cùng, đối với $n=3$ không có tập hợp nào như vậy $\{m, m+1, m+2\}$: LCM của $(m, m+1) = m(m+1)$ ($m$ và $m+1$ là nguyên tố cùng nhau), nhưng $m(m+1)$ không chia hết cho $m+2$, vì $(m-1)(m+2) < m(m+1) < m(m+2)$.

A. Abramov

M720. Về hàm $f$, được xác định trên tập hợp tất cả các cặp số không âm $(x; y)$, đã biết như sau:

1°. $f(0, y) = y+1$
2°. $f(x+1, 0) = f(x, 1)$
3°. $f(x+1, y+1) = f(x, f(x+1, y))$
cho mỗi cặp $x \geqslant 0, y \geqslant 0$. Tìm giá trị của $f(4, 1981)$.

Dễ dàng nhận thấy điều đó $f(1,0) = f(0,1) = 2$. Áp dụng sự tương ứng $3^\circ$, ta tìm được
$$f(1, y) = f(0, f(1, y-1)) = f(1, y-1) + 1,$$
nó theo sau từ đâu
$$f(1, y) = f(1,0) + y + 2.$$
Tương tự như vậy chúng ta có được điều đó
$$f(2, y) = 2y + 3.$$
Bởi vì cái gì bằng $f(3,y)$. chúng tôi có
$$f(3,0) = f(2,1) = 5;$$
$$f(3,y) = f(2,f(3,y-1)) = 2f(3,y-1) + 3,$$
Vì thế
$$f(3,1) = 13, f(3,2) = 29, f(3,3) = 61, f(3,4) = 125, \dots$$