Phương trình trạng thái khí

25

Phương trình trạng thái khí

V. E. BELONUCHKIN

Phương trình trạng thái của khí lý tưởng (hay đơn giản là phương trình trạng thái khí, hay phương trình Mendeleev-Clapeyron) mô tả mối quan hệ giữa các thông số trạng thái - áp suất, nhiệt độ và thể tích - của một trong những hệ vật lý đơn giản nhất. Đối tượng rất đơn giản nên phương trình trạng thái của nó khá đơn giản:

$$pV = \frac{m}{\mu} RT,$$

trong đó $p$ là áp suất khí, $V$ là thể tích của nó, $m$ là khối lượng, $\mu$ là khối lượng mol, $T$ là nhiệt độ, $a$ là hằng số khí phổ quát.

Vì vậy, theo phương trình, áp suất của một loại khí lý tưởng tỷ lệ thuận với nhiệt độ của nó. Điều này nên được hiểu như thế nào? Chẳng hạn, điều này có nghĩa là khi nhiệt độ tăng thì áp suất khí luôn tăng và khi nhiệt độ giảm thì áp suất khí giảm? Tất nhiên là không. Điều này chắc chắn chỉ đúng nếu cả thể tích, khối lượng và khối lượng mol đều không thay đổi. Hơn nữa, đối với một khối lượng cố định của khí được xác định, khi nhiệt độ tăng, áp suất có thể không tăng mà giảm nếu thể tích mà khí chiếm giữ tăng đủ nhanh. Các tình huống khác cũng có thể xảy ra. Xin vui lòng thảo luận về các vấn đề cụ thể để thuận tiện nhất (tất cả bài toán được lấy từ thư viện tuyển sinh của Viện Vật lý và Công nghệ Moscow).

Bài toán 1. Nhiệt độ và áp suất của khối khí lý tưởng thay đổi như hình 1.

Sunke 1. Thể tích chứa khí có thay đổi không? Chính xác thì thế nào?

Như có thể thấy trên hình, áp suất tăng tuyến tính khi nhiệt độ tăng. Có lẽ âm lượng vẫn không đổi? Nếu không, làm thế nào bạn có thể phân biệt được lịch trình quy trình trong đó âm lượng không thay đổi?

Với một thể tích không đổi, áp suất không chỉ tăng khi nhiệt độ tăng mà còn tăng tỷ lệ thuận với nhiệt độ. Và đồ thị tỷ lệ thuận với các đồ thị tuyến tính khác ở chỗ nó đi qua gốc tọa độ. Do đó, trong sơ đồ ở tọa độ $p-T$, đường đẳng cự là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Hình 1. Hình 2.

Chúng ta hãy vẽ các đường đẳng lượng qua giao điểm của điểm 1 và 2 (Hình 2). Isochores thì khác; Điều này có nghĩa là ở trạng thái 1 và 2, âm lượng là khác nhau. Cái nào lớn hơn? Cách dễ nhất để xác định điều này là bằng biểu đồ. Hãy kết nối hai đường đẳng nhiệt này, ví dụ: bằng đường đẳng nhiệt 1-3 (hoặc đường đẳng nhiệt 1-4, hoặc bất kỳ đường đẳng nhiệt hoặc đường đẳng nhiệt nào khác). Trong phần 1–3, nhiệt độ tăng ở áp suất không đổi. Rõ ràng là âm lượng sẽ tăng lên.

Vậy điểm 2 nằm trên isochore có thể tích lớn, nghĩa là khi chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 2, thể tích của khí tăng lên.

Nhưng đồ thị trong Hình 1 không thể mô tả một quá trình có thể tích không đổi sao? Tuy nhiên, hãy làm rõ câu hỏi.

Bài toán 2. Có một tổng thể trong một bình có thể tích không đổi. Một máy đo áp suất và nhiệt kế được gắn vào bình. Chỉ số của thiết bị thay đổi theo Hình 1. Có thể nói gì về trạng thái của khí?

26

Cụ thể, áp suất trong bình cao hơn hay thấp hơn áp suất khí quyển?

Trong trường hợp này, thể tích của khí không thay đổi và áp suất không tỷ lệ thuận với nhiệt độ. Điều này có thể thực hiện được không?

Chúng ta hãy chuyển sang phương trình Mendeleev-Clapeyron. Ngoài các tham số p, V và T còn có m và μ. Khối lượng mol của gel không nên thay đổi - khí gel là đơn chất và không thể phân ly. Không nên có bất kỳ sự ngưng tụ nào khi nhiệt độ tăng lên. Rõ ràng, khả năng duy nhất là thay đổi khối lượng m của gel khí.

Vì áp suất tăng chậm hơn so với trong quá trình đẳng tích đối với một khối lượng không đổi, nên khối lượng của khí phải giảm; nghĩa là khí phải chảy ra khỏi bình. Điều này có nghĩa là áp suất trong bình lớn hơn áp suất khí quyển, nếu không khí sẽ không thoát ra ngoài.

Phương trình Mendeleev-Clapeyron cho phép bạn so sánh không chỉ các trạng thái khác nhau của một loại khí mà còn cả trạng thái của các loại khí khác nhau. Đây là một ví dụ.

Bài toán 3. Sét hòn là một quả cầu khí phát sáng mờ nhạt lơ lửng tự do trong không khí. Được tạo ra bởi mô hình Stakhanov (một trong những mô hình được xây dựng để giải thích bản chất và hoạt động của quả cầu sét), khí bên trong quả cầu là một hợp chất phức tạp, một phần trong đó bao gồm ion nitơ liên kết với một số phân tử nước. Các electron bị mất bởi nitơ sẽ được nước bắt giữ, do đó mỗi phân tử phức tạp nói chung trở nên trung tính. Xác định có bao nhiêu phân tử nước liên kết với mỗi nitơ, nếu nhiệt độ bên trong quả bóng là t=600°C, và nhiệt độ của không khí xung quanh là t0=20°C.

Vì sét hòn bay lơ lửng trong không khí nên mật độ khí thành phần của nó bằng mật độ của không khí xung quanh. Áp suất trong sét dường như cũng bằng áp suất khí quyển. Hai điều kiện này cùng nhau cho

$$\frac{p}{\varphi} = \frac{p_0}{\varphi_0},$$ hoặc $$\frac{pV}{m} = \frac{p_0V_0}{m_0}$$

(ở đây tất cả các đại lượng không có chỉ số đều đề cập đến hợp chất và có chỉ số - đề cập đến không khí).

Sử dụng phương trình trạng thái khí, chúng ta thu được

$$\frac{T}{\mu} = \frac{T_0}{\mu_0},$$

từ đó, khi biết khối lượng mol của không khí ($\mu_0=29 \cdot 10^{-3}$ kg/mol), chúng ta tìm được khối lượng mol của hợp chất phức:

$$\mu = \mu_0 \frac{T}{T_0} \approx 86 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль.}$$

Khối lượng mol của nitơ nguyên tử là $14 \cdot 10^{-3}$ kg/mol, và của nước là $18 \cdot 10^{-3}$ kg/mol; do đó, mỗi nitơ liên kết bốn phân tử nước.

Các điều kiện bên ngoài nơi chứa khí có thể được thay đổi theo nhiều cách khác nhau, nhưng mỗi lần trạng thái của khí có thể được mô tả bằng phương trình trạng thái khí.

Bài toán 4. Liên kết hình trụ S=10 cm² được đóng lại bằng một pít-tông lớn. Có khí bên trong. Tàu bắt đầu được nâng lên với gia tốc 2g. Khi nhiệt độ của khí bằng nhiệt độ ban đầu thì thể tích của khí dưới pít-tông giảm 1,5 lần. Tìm khối lượng của piston. Áp suất bên ngoài $p_0=10^5$ Pa.

Ở trạng thái đứng yên, lực của piston cân bằng sự chênh lệch áp suất khí bên trong bình và bên ngoài:

$$mg = (p - p_0)S.$$

Khi khớp chuyển động, lực tác dụng lên pít-tông truyền cho nó một gia tốc 2g hướng lên trên:

$$2mg = (1,5p - p_0)S - mg,$$ hoặc

$$3mg = (1,5p - p_0)S$$

(ở nhiệt độ không đổi, thể tích sẽ giảm 1,5 lần; điều này có nghĩa là áp suất cũng sẽ tăng 1,5 lần). Giải chung hai phương trình thu được, ta thu được

$$m = \frac{p_0S}{3g} \approx 3,4 \text{ кг.}$$

27

Chúng tôi đã xem xét một số ví dụ về việc sử dụng phương trình trạng thái khí (tất nhiên, chúng không vượt quá phạm vi bài toán trong đó phương trình Mendeleev-Clapeyron được sử dụng). Tuy nhiên, không kém phần quan trọng là câu hỏi khi nào phương trình này không thể được sử dụng, hay nói cách khác, phạm vi ứng dụng của nó là gì.

Mô hình khí lý tưởng dựa trên giả định rằng năng lượng tương tác của các phân tử nhỏ so với động năng của chúng. Các phân tử được coi như những quả bóng đàn hồi chỉ tương tác khi tiếp xúc trực tiếp. Kích thước của những quả bóng này không đáng kể so với chiều dài không gian trống của chúng.

Tất nhiên, một mô hình như vậy là rất khó khăn. Thật vậy, chẳng hạn, làm thế nào chúng ta có thể xác định được kích thước của các phân tử? Tất nhiên, thật hợp lý khi hiểu cái gọi là đường kính hiệu dụng của các phân tử là khoảng cách mà tại đó chuyển động của các phân tử thay đổi đáng kể. Rõ ràng là với định nghĩa như vậy, kích thước của các phân tử phải phụ thuộc vào nhiều điều kiện, đặc biệt là nhiệt độ. Kinh nghiệm xác nhận điều này - nó cho thấy rằng khi nhiệt độ tăng thì đường kính hiệu dụng của các phân tử giảm. Điều này có thể hiểu được: khi nhiệt độ tăng, động năng của các phân tử tăng lên, các phân tử phải đến gần nhau sao cho thế năng tương tác của chúng có cùng độ lớn với động năng (chuyển động của chúng sẽ không thay đổi đáng kể). Đúng, hóa ra ước tính này là yếu và không quá vô nghĩa khi nói về các giá trị không đổi cụ thể của kích thước phân tử.

Những sai lệch đáng kể so với hoạt động của khí lý tưởng trong khí thực bắt đầu khi không thể giả định rằng các phân tử không tương tác trong hầu hết thời gian, nghĩa là khi chiều dài không gian tự do của các phân tử - từ hàm lượng đến hàm lượng - trở nên tương đương với kích thước của các phân tử. Trong trường hợp này, các phân tử chủ yếu nằm gần nhau và không thể bỏ qua sự tương tác của chúng nữa.

Trong những điều kiện nào điều này xảy ra? Trước khi trả lời câu hỏi này, hãy xem xét cách tiếp cận sau.

Bài toán 5. Ước tính chiều dài tự do của các phân tử không khí trong điều kiện bình thường. Đường kính của các phân tử được lấy bằng $d = 3,7 \cdot 10^{-10}$ m.

Một phân tử va chạm với một phân tử khác nếu khoảng cách giữa tâm của chúng nhỏ hơn đường kính của các phân tử $d$. Để phân tử di chuyển dọc theo đường $l$ trong một thời gian. Đồng thời, cô va chạm với các phân tử có tâm nằm trong một hình trụ bị gãy (gấp khúc tại các điểm va chạm) có chiều dài $l$ và tiết diện $\pi d^2$. Số lượng phân tử trong tập này $n l \pi d^2$ ($n$ là số lượng phân tử trên một đơn vị thể tích) là tổng số phần trăm. Hãy tính từ va chạm này sang va chạm khác, tức là độ dài va chạm tự do của các phân tử:

$$\lambda = \frac{l}{n l \pi d^2} = \frac{1}{n \pi d^2} = \frac{RT}{N_A p \pi d^2} \approx 8,75 \cdot 10^{-8} \text{ м}$$

(ở đây áp suất $p = 10^5$ Pa, nhiệt độ $T = 273$ K, số Avogadro $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}$ mol$^{-1}$). Giá trị thực nghiệm cho các điều kiện như vậy là $6,20 \cdot 10^{-8}$ m. Sự khác biệt của kết nối chủ yếu là do chúng tôi coi tất cả các phân tử, ngoại trừ phân tử được chọn, là bất động. Một phân tích chi tiết, ngoài phạm vi của một khóa học ở trường, cho thấy rằng việc tính đến chuyển động tương đối của các phân tử sẽ dẫn đến sự thay đổi độ dài của khoảng trống tự do theo hệ số $1/\sqrt{2}$. Nhân kết quả thu được ở thời điểm này, chúng ta được $6,19 \cdot 10^{-8}$ m.

Không phải bây giờ chúng tôi quan tâm nhiều hơn đến mặt khác của vấn đề. Trong điều kiện bình thường, chiều dài proton tự do gấp khoảng 200 lần đường kính phân tử và mô hình khí lý tưởng hoạt động khá tốt. Nhưng nếu áp suất tăng 100-200 lần (và nhiệt độ không thay đổi), chiều dài của mẫu tự do sẽ tương đương với chiều dài của các phân tử. Điều này có nghĩa là với như vậy