Kvant 1983, số 3 · Trang

QUANTUM
3
1983

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

8

1 - Cuộn Faradel;
2 — Động cơ điện Yakova;
3, 4 - bộ chọn và bộ cộng hưởng Hertz;
5, 6-7 - Máy phát và máy thu của Popov.

Những thiết bị vật lý này có thể được coi là nguyên mẫu của động cơ điện và đài phát thanh mạnh mẽ hiện đại.

Tiến bộ trong công nghệ gắn bó chặt chẽ với những thành tựu và khám phá của vật lý.

Đọc về điều này trong bài viết của I. K. Kikoshna.

TRONG PHÒNG:

2. I. K. Kikoshn. Vật lý và tiến bộ khoa học công nghệ
3. Rudolf Mössbauer trả lời câu hỏi của ban biên tập tạp chí «Kvant»
4. Yu. A. Samarsky. Hiệu ứng Mössbauer (hoặc sự hấp thụ hạt nhân cộng hưởng của lượng tử γ trong tinh thể)
5. V. G. Boltyansky. Phương thức tương tác
   I. K. Kikoshn. Tiến bộ vật lý và công nghệ
   Rudolph Mössbauer answers Kvant’s questions
   Ju. A. Samarski. The Mössbauer effect (or the resonance nuclear absorbion of γ-quan-tums in crystals)
   V. G. Boltianski. The iteration method

tin tức khoa học
15. V. A. Bronshten. Sao Diêm Vương bí ẩn
Science news
V. A. Bronshten. Mysterious Pluto

Phòng thí nghiệm «Kvant»
22. A. A. Borovoy. Kính vạn hoa ngày Cá tháng Tư
Kvant’s lab
A. A. Borovoy. April fool’s day kaleido-scope

vòng tròn toán học
26. M. I. Bashmanov. Chuyển động đồng đều
Mathematics circle
M. I. Bashmakov. Uniform motion

Trường học ở «Kvant»
31. S. A. Yursky. Quả cầu dẫn điện trong bài toán tĩnh điện
Kvant’s school
S. A. Yurski. Conducting spheres in electro-static problems

«Kvant» cho học sinh nhỏ
38. Bài toán
39. S. L. Tabachnikov. Khách mời của chúng ta là một đài phát thanh toán học
Kvant for younger school-shildren
Problems
S. L. Tabachnikov. Our guest — the mathematical radio circle

Vấn đề «Kvant»
42. Người chiến thắng cuộc thi «Kvant»
43. Bài toán M791—M795; F803—F807
47. Lời giải bài toán M770, M775—M779; F788—F792
54. Danh sách độc giả gửi đúng lời giải
Kvant’s problems
Prizewinners of the Kvant contest
Problems M791—M795; P803—P807
Solutions M770, M775—M779; P788—P792
List of readers who have sent correct solutions

Nghệ thuật lập trình
55. Kỹ thuật lập trình tiêu chuẩn. Bài học 6
The art of programming
Standard programming methods. Lesson 6

Xưởng của người nộp đơn
60. Đáp số, gợi ý, lời giải
Trang bìa của chúng tôi (25)
Pha trộn (56)
Trang cờ vua
Số liệu được an toàn (trang bìa thứ 3)
College applicant’s section
Answers, hints, solutions
Our cover page (25)
Miscellaneous (56)
The chess page
Secure pieces (3rd cover page)

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1983

3

Phòng tuabin của nhà máy thủy điện Krasnoyarsk.

Một trong những động cơ điện đầu tiên được tạo ra bởi học giả St. Petersburg B. S. Jacobi.

Hiện tượng điện từ là cơ sở cho việc tạo ra điện báo điện từ, sau này trở thành loại hình liên lạc chính giữa các thành phố và quốc gia. Máy điện báo điện từ đầu tiên được tạo ra bởi thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Nga P. L. Schilling.

Năm 1831, nhà vật lý người Anh Faraday đã có một khám phá dẫn đến một cuộc cách mạng trong các lĩnh vực vật lý và công nghệ chính. Chúng ta đang nói về việc khám phá ra hiện tượng cảm ứng điện từ. Hiện tượng này nằm ở chỗ xung quanh một từ trường thay đổi theo thời gian sẽ xuất hiện một điện trường kín và một suất điện động tương ứng. Lực điện động này, giống như bản thân điện trường, tỷ lệ thuận với sự thay đổi nhanh chóng của từ trường. Trước Faraday, các nhà vật lý đã nói về chất lỏng điện và chất lỏng từ. Khái niệm trường, cả điện và từ, lần đầu tiên được Faraday đưa ra. Việc phát hiện ra hiện tượng cảm ứng điện từ đã giúp tạo ra dòng điện. Về cơ bản, bất kỳ nhà máy điện hiện đại nào cũng là một câu hỏi nằm trên quy mô lớn của các thí nghiệm trong phòng thí nghiệm của Faraday.

Việc phát hiện ra cảm ứng điện từ được toàn bộ thế giới khoa học coi là một chấn động khoa học lớn và mang lại cho Faraday danh tiếng trên toàn thế giới. Có một truyền thuyết gắn liền với điều này. Thủ tướng Agglia khi đó đã biết về phát hiện của Faraday từ báo chí. Để làm quen hơn với khám phá hiện có về từ vị ngữ trên toàn thế giới, Thủ tướng đã đến thăm phòng thí nghiệm của Faraday. Faraday đã trình diễn cho anh ta những thí nghiệm nổi tiếng của mình bằng cách sử dụng các dụng cụ nguyên thủy tự chế (chúng hiện được trình diễn trong các lớp vật lý ở bất kỳ trường trung học nào). Sau khi xem thí nghiệm, Thủ tướng kêu lên và quay sang Faraday: “Và những món đồ chơi trẻ em này đã mang đến cho bạn chế độ nô lệ như vậy ?!” Truyền thuyết kể rằng câu cảm thán này được theo sau bởi đáp số Faraday sau: “Thưa ông, tôi nghĩ rằng ông sẽ trích thuế từ những đồ chơi này!”

4

Đây chỉ là truyền thuyết, nhưng trên thực tế, đã ba thập kỷ sau, những nhà máy điện công nghiệp đầu tiên đi vào hoạt động, người ta tin rằng chủ sở hữu của những nhà máy này đã nộp thuế. Máy phát điện vẫn đóng vai trò là nguồn điện chính, nếu không có nó thì khó có thể tưởng tượng được cuộc sống của xã hội hiện đại. Vào những năm 70, nhiều thế kỷ trôi qua, nhà vật lý vĩ đại người Aghigli Maxwell, người có thể gọi là Newoton trong lĩnh vực điện học, đã nghiên cứu kỹ lưỡng nhiều thí nghiệm do Ampere, Faraday và các nhà vật lý khác thực hiện, đã có thể khái quát hóa các kết quả thu được và viết phương trình toán học tương ứng (phương trình Maxwell) *). Từ những phương trình này tuân theo tất cả các định luật trong lĩnh vực điện từ mà ý tưởng của ông thu được. Hơn nữa, Maxwell còn đồng ý rằng nếu tôi vi phạm hiện tượng cảm ứng điện từ do Faradam phát hiện thì sẽ xuất hiện một hiện tượng mới, trái ngược với hiện tượng mà Faradam phát hiện ra. Nếu Faraday phát hiện ra rằng sự thay đổi trong từ trường gây ra sự xuất hiện của điện trường, thì hiện tượng mà Maxwell dự đoán về mặt lý thuyết là sự thay đổi trong điện trường gây ra sự xuất hiện của từ trường xung quanh nó, và hướng của từ trường này cũng tỷ lệ thuận với tốc độ biến đổi của điện trường. Điều này có nghĩa là từ trường biến thiên không thể tồn tại nếu không có điện trường phát sinh xung quanh nó, giống như điện trường biến thiên, giống như điện trường biến thiên, dễ dàng quan sát được bởi dòng điện chúng gây ra trong một dây dẫn kín. Phát hiện từ trường

*) Chính Maxwell đã gọi Ampere là “Newoton điện”.

le, xuất hiện khi điện trường thay đổi, rất khó, vì lực từ rất nhỏ so với lực điện. Điều này đòi hỏi điện trường tối đa có thể đạt được về mặt kỹ thuật phải thay đổi với tốc độ rất nhanh. Vì vậy, để phát hiện từ trường bằng các thiết bị hiện đại nhạy nhất, cần phải có một điện trường có cường độ $10^6$ V/cm giảm về 0 trong khoảng hàng tỷ phần của giây. Một thí nghiệm như vậy là khả thi trong phòng thí nghiệm.

Kết luận chính mà Maxwell đưa ra từ các phương trình của ông là một trường điện từ, biến đổi tuần hoàn theo thời gian, sẽ lan truyền trong không gian theo kiểu giống như sóng - chẳng hạn, giống như cách sóng âm lan truyền từ một dây dao động hoặc một nguồn âm thanh khác. Nhưng theo Maxwell, tốc độ truyền sóng điện từ phải bằng tốc độ truyền ánh sáng, tức là 300.000.000 m/s, lớn hơn khoảng một triệu lần tốc độ âm thanh trong không khí. Chính hoàn cảnh này mà Maxwell đã đi đến thống nhất chung rằng ánh sáng được biểu diễn bằng sóng điện từ (lý thuyết điện từ của ánh sáng).

Lúc đầu, hầu hết các nhà vật lý đều tin rằng các phương trình của Maxwell có bản chất thuần túy là toán học và ý tưởng của ông về nguồn cung cấp ánh sáng điện từ không có đủ cơ sở. Ngay sau khi công trình của Maxwell xuất hiện, nhà vật lý nổi tiếng người Đức Helmholtz đã hướng dẫn nhân viên trẻ Hertz thử nghiệm thực nghiệm những kết luận tưởng chừng như nghịch lý của Maxwell.

Năm 1888, Herzo công bố kết quả quang học của mình, một sự xác nhận nhanh chóng cho kết luận của Maxwell. Ông đã tạo ra một mức độ thử nghiệm bao gồm một tụ điện, với các tấm được kết nối với một máy phát điện áp cao, dẫn đến một máy phát điện xoay chiều định kỳ có tần số cao, nghĩa là thời gian

6

Rudolf Mössbauer
trả lời câu hỏi của biên tập viên tạp chí
«Kvant»

Năm 1958, nhà vật lý người Đức Rudolf Mössbauer đã khám phá ra các phương pháp mới để nghiên cứu các chất - quang phổ Mössbauer và Mössbauerography, được sử dụng trong nhiều lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, hóa học, sinh học và y học.

Vào tháng 9 năm 1982, Giáo sư Mössbauer được bầu làm thành viên nước ngoài của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Chúng tôi đã gặp anh ấy và yêu cầu anh ấy trả lời các câu hỏi của chúng tôi.

— Theo bạn, vấn đề cấp bách nhất của vật lý là gì?

Có rất nhiều vấn đề trong vật lý. Người ta có thể mong đợi tiến bộ lớn nhất trong lĩnh vực hạt cơ bản. Ở đây, các câu hỏi về tính ổn định của khối lượng proton, neutrano và sự tồn tại của đơn cực Dirac được nêu bật. Tất nhiên, có rất nhiều vấn đề trong vật lý thiên văn và vũ trụ học. Mặt khác, cũng cần lưu ý rằng lý sinh là một lĩnh vực quan trọng. Ví dụ, bây giờ chúng ta đang bắt đầu nghiên cứu diamicca của các phân tử sinh học lớn. Cuối cùng, vấn đề quan trọng nhất mà tôi sẽ coi là một khía cạnh nhất định của các vấn đề kỹ thuật là phản ứng tổng hợp nhiệt hạch có kiểm soát. Nhiều khám phá được thực hiện một cách tình cờ; rất khó để dự đoán thời điểm thực tế của lời giải các vấn đề riêng lẻ.

• Làm thế nào bạn trở thành một nhà vật lý?

Ở trường tôi thích cả toán và vật lý; Tôi cũng quan tâm đến hóa chất. Thích thử nghiệm. Tôi rất quan tâm đến điện tử. Cùng với một nhóm đồng chí, chúng tôi đã chế tạo được điện thoại và bộ khuếch đại. Chính niềm đam mê điện tử đã ảnh hưởng quyết định đến sự lựa chọn của tôi và tôi đã trở thành nhà vật lý.

— Bạn có khuyên những người trẻ nên học vật lý và trở thành nhà vật lý không?

Chắc chắn. Vật lý nghiên cứu các hiện tượng cơ bản. Giáo dục vật lý giúp bạn dễ dàng đào tạo lại nếu có nhu cầu chuyển sang các lĩnh vực nghiên cứu khác, chẳng hạn như sinh học hoặc hóa học. Các định luật vật lý được sử dụng ở mọi nơi trên thế giới.

— Nền giáo dục hiện đại nên như thế nào?

Tôi tin rằng không cần thiết phải thay đổi hệ thống giáo dục theo đúng nghĩa đen; nó cần phải được điều chỉnh cho phù hợp với nhu cầu của khoa học hiện đại. Trong giáo dục thể chất, điều rất quan trọng là phải nhớ những điểm cơ bản và không tập trung quá nhiều vào chi tiết. Giờ đây, các thiết bị điện tử, máy tính mini và máy tính hiện đại sẽ xâm chiếm cuộc sống của mỗi người theo đúng nghĩa đen. Thực tế này cũng cần được tính đến ngay cả ở giai đoạn giáo dục đầu tiên.

– Một nhà vật lý cần môn toán gì?

Mặc dù các nhà vật lý thường dựa vào những cân nhắc trực quan trong công việc của họ nhưng tầm quan trọng của toán học là điều cần thiết. Một nhà vật lý càng hiểu biết nhiều về toán học thì anh ta càng có thể làm việc thành công hơn. Bạn cần phải giỏi toán thực tế. Toán học là ngôn ngữ của vật lý. Tuy nhiên, người ta nên phân biệt giữa nhu cầu về toán học đối với một nhà vật lý lý thuyết và một nhà vật lý thực nghiệm. Có nguy cơ tham gia quá nhiều vào máy tính. Nhiều bạn trẻ ỷ lại vào họ đến mức không còn nghĩ đến bản thân mình nữa.

— Mong muốn của bạn với tư cách là độc giả «Kvant».
Xem xét hiện tại và có kết quả. Bạn học được rất nhiều trong những năm học tập. Khi nghiên cứu toán học và vật lý, đừng quên rằng đây chỉ là một phần của khoa học và văn hóa phổ quát của con người.

7

Hiệu ứng Mössbauer hoặc sự hấp thụ hạt nhân cộng hưởng của lượng tử γ trong tinh thể

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học Yu. A. SAMARSKY

Một chút về sự cộng hưởng

Ngay cả những người ở xa vật lý cũng nhận thức rõ về nhiều hiện tượng cộng hưởng. Ai chưa từng thử quay số radio, điều chỉnh theo làn sóng mong muốn? Hay kính ở khung cửa sổ không bị hóa gỗ do xe điện chạy qua? Chắc hẳn nhiều người còn nhớ câu chuyện dân gian kể về một đại đội lính đang hành quân quanh một địa điểm và vô tình rơi đúng lúc do rung động của chính nó, đổ sụp theo địa điểm đó xuống sông.

Trong những trường hợp này và nhiều trường hợp khác, sự cộng hưởng—sự tăng mạnh về biên độ dao động—xảy ra khi tần số của tác động bên ngoài lên hệ trùng với tần số dao động tự nhiên của hệ này. Nếu bạn chơi một nốt nhạc trên một nhạc cụ gần đàn piano, đàn piano sẽ phản ứng với âm thanh của nốt cụ thể đó: tần số âm thanh do nhạc cụ phát ra (tần số tác động bên ngoài) trùng với tần số dao động tự nhiên; các dây đàn piano tương ứng.

Đối với mạch thu của máy thu vô tuyến, ảnh hưởng bên ngoài là vôn vô tuyến từ trạm phát và tần số tự nhiên được xác định bởi các thông số của mạch - điện trở, điện cảm và điện dung mà chúng ta thay đổi bằng cách xoay núm điều chỉnh.

Lấy việc thu sóng vô tuyến làm ví dụ, sẽ thuận tiện hơn khi thảo luận về một khía cạnh khác của hiện tượng cộng hưởng. Ngoài tần số mà chúng ta muốn điều chỉnh máy thu, độ chính xác của cài đặt là rất quan trọng. Với một bộ thu tốt, chỉ cần xoay nhẹ núm xoay cũng sẽ thay đổi đáng kể các điều kiện của bộ thu. Điều này có nghĩa là mạch thu có sự cộng hưởng mạnh. Giá trị đặc trưng cho độ sắc nét của cộng hưởng được gọi là hệ số phẩm chất Q và được xác định bằng tỷ số giữa tần số cộng hưởng vₚ và độ rộng Δv của khoảng tần số có thể quan sát được hiện tượng cộng hưởng (Hình 1):

$$Q = \frac{v_p}{\Delta v}.$$

Trong các mạch vô tuyến hiện đại, hệ số chất lượng xấp xỉ 200 300.

Sự cộng hưởng trong nguyên tử

Hệ cộng hưởng điển hình còn là nguyên tử, phân tử và hạt nhân nguyên tử.

Nayka về các định luật chuyển động của các vi phần - cơ học lượng tử - đã có thể giải thích nhiều hiện tượng xảy ra trong nguyên tử, và đặc biệt là khả năng các nguyên tử hấp thụ và phát ra các photon chỉ với một năng lượng nhất định.

Hình 1. Hình ảnh điển hình của đường cong cộng hưởng. Trong trường hợp của chúng tôi, nó mô tả sự phụ thuộc của biên độ dao động A của mạch thu vào tần số v của trạm phát. Dao động mạnh nhất trong mạch sẽ xảy ra ở tần số v = vₚ. Giá trị Δv được lấy ở nửa độ cao của đường cong được gọi là độ rộng của đường cong cộng hưởng.

10

Nền tảng. Sự chuyển đổi như vậy xảy ra một cách tự phát. Năng lượng cơ bản được mang đi bởi các photon. Năng lượng này thường nằm trong khoảng từ vài trăm đến vài triệu electron, tức là lớn hơn nhiều bậc độ lớn so với năng lượng của ánh sáng khả kiến. Đây là cách phát sinh bức xạ γ. Phổ quan sát được của tia γ luôn rời rạc, điều này cho phép chúng ta nói về tính rời rạc của các mức hạt nhân. Sơ đồ các mức năng lượng cho các chuyển tiếp hạt nhân được mô tả giống hệt như sơ đồ các chuyển tiếp trong nguyên tử. Giống như trong nguyên tử, do thời gian sống hữu hạn nên mức kích thích của hạt nhân có độ rộng tự nhiên Γ (xem Hình 3). Sự mờ đi của các mức kích thích của hạt nhân dẫn đến sự xuất hiện độ rộng của các vạch quang phổ của bức xạ γ.

Hạt nhân nguyên tử không những có thể phát ra mà còn có thể hấp thụ các photon. Quá trình này chỉ có thể xảy ra đối với lượng tử γ của năng lượng nhất định và do đó cũng có tính chất cộng hưởng.

Dường như có thể dễ dàng quan sát thấy sự hấp thụ cộng hưởng của tia γ. Để làm được điều này, chỉ cần cho một dòng lượng tử γ phát ra từ nguồn phóng xạ đi qua một chất hấp thụ chứa cùng hạt nhân đó ở trạng thái không bị kích thích (mặt đất) là đủ. Tuy nhiên, điều này không đúng. Thực tế là năng lượng $E_\gamma$ do lượng tử γ mang đi hóa ra nhỏ hơn năng lượng chuyển tiếp giữa các cấp độ và không đủ để kích thích hạt nhân hấp thụ. Mặc dù một phần nhỏ nhưng đáng chú ý của năng lượng bị hạt nhân nguồn mang đi, theo định luật bảo toàn động lượng, hạt nhân này bắt đầu chuyển động theo hướng ngược lại với hướng phát xạ của lượng tử γ (giống như ordine sau khi bắn).

Chúng ta hãy thực hiện một số ước tính đơn giản cho một hạt nhân (nguyên tử) tự do.

Cho hạt nhân phát xạ tự do và ban đầu kết thúc, lượng tử γ phát ra tương ứng với quá trình chuyển đổi hạt nhân từ mức kích thích thứ nhất xuống mức cơ bản (Hình 3). Theo định luật bảo toàn động lượng, sau khi phát ra một lượng tử γ, hạt nhân sẽ nhận được động lượng giật lùi có giá trị tuyệt đối bằng động lượng của $\gamma$-lượng tử: $p_\gamma = p_\gamma = E_\gamma/c$. Kết quả là hạt nhân bắt đầu chuyển động với tốc độ $v_\gamma = p_\gamma/m_\gamma$, mang theo năng lượng giật lùi $R$, bằng

$$R = \frac{m_\gamma v_\gamma^2}{2} = \frac{p_\gamma^2}{2m_\gamma} = \frac{E_\gamma^2}{2m_\gamma c^2}. \quad (4)$$

Theo định luật bảo toàn năng lượng, $E_\gamma + R = E_{21}$, trong đó $E_{21}$ là khoảng cách (chênh lệch năng lượng) giữa mặt đất và mức kích thích đầu tiên của hạt nhân. Vì luôn luôn $R \ll E_\gamma$ nên trong công thức (4) $E_\gamma$ có thể thay thế bằng năng lượng chuyển tiếp $E_{21}$:

$$R \approx \frac{E_{21}^2}{2m_\gamma c^2}. \quad (5)$$

Hãy để chúng tôi ước tính các giá trị của $R$. Ví dụ: chúng ta hãy xem khoảng cách giữa hạt nhân của đồng vị $^{119}\text{Sn}$, có $E_{21} = 2,38 \cdot 10^4$ eV, thời gian tồn tại của mức kích thích là $\tau = 1,8 \cdot 10^{-8}$ s và chiều rộng tự nhiên của mức là $\Gamma_2 = h/2\pi t = 3 \cdot 10^{-8}$ eV. Năng lượng giật lùi trong trường hợp này là

$$R \approx \frac{E_{21}^2}{2m_\gamma c^2} \approx \frac{(2,38 \cdot 10^4)^2 (\text{эВ})^2}{2 \cdot 119 \cdot 10^9 \text{эВ}} \approx 2,5 \cdot 10^{-3} \text{эВ}.$$

Năng lượng tiêu hao cho sự giật lùi của hạt nhân đã hấp thụ lượng tử γ hóa ra hoàn toàn giống nhau. Hình ảnh này được hiển thị trong Hình 4: vạch phát xạ được dịch chuyển $R$ sang bên trái của $E_2$ và đường hấp thụ được dịch chuyển một lượng tương tự sang bên phải của $E_2$ (khoảng cách dọc theo trục $E$).

Sự dịch chuyển $R$ có ảnh hưởng gì đến sự hấp thụ cộng hưởng của lượng tử γ? Bản thân độ lớn của $R$ dường như không được quan tâm nhiều; điều quan trọng là phải tương ứng với độ rộng Г của đường cộng hưởng. Dễ dàng thấy rằng sự hấp thụ cộng hưởng chỉ có thể xảy ra nếu quang phổ phát xạ và hấp thụ trùng nhau, nghĩa là với điều kiện là

$$2R \leq \Gamma. \quad (6)$$

Và điều kiện này hầu như không bao giờ được thỏa mãn đối với các chuyển tiếp γ tự do

11

Hình 4.

hạt nhân, nghĩa là trong trường hợp năng lượng liên kết của hạt nhân trong một chất có thể bị bỏ qua. Do đó, đối với hạt nhân tự do đang xét $^{119}$Sn, chiều rộng Γ là năm bậc độ lớn, tức là nhỏ hơn R theo hàng nghìn lần. Rõ ràng là trong trường hợp này không thể quan sát được sự hấp thụ cộng hưởng của lượng tử γ.

Tại sao khi đó năng lượng giật lại không tạo ra sự cộng hưởng quang học quan sát được đối với vạch natri màu vàng? Hay là không có sự trở lại nào cả? Tất nhiên, lợi nhuận cũng tồn tại ở đó, nhưng hãy xem độ lớn của nó là bao nhiêu. Khối lượng của nguyên tử natri là 22 a. e.m., và năng lượng giật lại bằng

$$R = \frac{(hv)^2}{2M_{\text{Na}}c^2} = \frac{(2,1)^2 (\text{эВ})^2}{2 \cdot 22 \cdot 10^9 \text{эВ}} \approx 10^{-10} \text{эВ}$$

Nó hóa ra nhỏ không đáng kể so với chiều rộng tự nhiên của cấp $\Gamma \approx 4,4 \cdot 10^{-8} \text{эВ}$.

Cộng hưởng γ được quan sát như thế nào? Về nguyên tắc, có thể bù cho sự dịch chuyển năng lượng 2R bằng hiệu ứng Doppler, bao gồm việc thay đổi tần số bức xạ và do đó thay đổi năng lượng của photon khi nguồn (hoặc chất hấp thụ) di chuyển *). Thật vậy, nếu chuyển động giật lại phá hủy sự cộng hưởng, thì chuyển động ngược lại, bù đắp cho sự giật lại, sẽ khôi phục nó. Nhưng tốc độ di chuyển nên là bao nhiêu?

Chúng ta hãy xem xét trường hợp lõi hấp thụ kết thúc và lõi phát xạ di chuyển về phía nó. Gọi tần số của hạt nhân nguồn đứng yên bằng $v_\gamma$. Khi đó, khi hạt nhân này chuyển động với tốc độ $v$ thì tần số bức xạ của nó sẽ thay đổi và so với lõi hấp thụ đứng yên sẽ bằng $v = (1 + v/c) v_\gamma$. Theo đó, năng lượng của photon phát ra sẽ là $E = hv = (1 + v/c) hv_\gamma = (1 + v/c) E_\gamma$, trong đó $E_\gamma = hv_\gamma$ là năng lượng của photon được phát ra từ lõi hấp thụ đứng yên.

Vì vậy, khi hạt nhân nguồn chuyển động “về phía trước”, năng lượng của các photon do nó phát ra và rơi xuống hạt nhân hấp thụ đứng yên tăng một lượng

$$\delta E = E - E_\gamma = E_\gamma \frac{v}{c}.$$ (7)

Nếu hóa ra $\delta E = 2R$, thì nên quan sát thấy cộng hưởng γ. Sử dụng công thức (7), dễ dàng tính được tốc độ $v$ thì điều kiện này được thỏa mãn:

$$\dot{v} = c \frac{2R}{E_\gamma}.$$ (8)

Do đó, đối với hạt nhân $^{119}$Sn, tốc độ này xấp xỉ 60 m/s.

Các thí nghiệm trên các hạt nhân khác dựa trên ý tưởng này được P. Moon và A. Storust thực hiện vào năm 1953. Họ quan sát một nguồn có hạt nhân thủy ngân bị kích thích trên cánh tay của máy ly tâm. Cánh tay được quay, và sau đó người ta quan sát thấy sự cộng hưởng trong bộ hấp thụ thủy ngân đang đứng yên. Tốc độ chuyển động cần thiết để bù lại lực giật hạt nhân trong thủy ngân ngang bằng tốc độ âm thanh! Các thí nghiệm tương tự về cộng hưởng γ có ứng dụng hạn chế, phức tạp về mặt kỹ thuật và do đó rất hiếm khi được thực hiện.

Điều này tiếp tục cho đến năm 1958, khi vị trí của hướng tâm thay đổi nhờ phát hiện của nhà vật lý trẻ người Đức Rudolf Mössbauer. Khám phá này là Mössbauer đã tìm ra cách tránh tiêu tốn một phần năng lượng cho sự giật lùi của hạt nhân và quan sát thấy cộng hưởng γ mà không bị giật lại. Nếu thí nghiệm của Munn và Storust chỉ ra cách bù đắp cho độ giật thì thí nghiệm của Mössbauer chỉ ra cách phá hủy nó.

12

Để giúp súng không bị dịch chuyển khi nó nhô ra và từ đó truyền toàn bộ năng lượng của điện tích sang viên đạn, việc đỡ súng và kết nối nó với một vật thể to lớn nào đó là rất quan trọng. Nhưng chúng ta nên tựa vào cái gì để hạt nhân phát ra hoặc hấp thụ lượng tử γ, và làm thế nào chúng ta có thể làm cho nó bất động? Hóa ra là dưới những điều kiện nhất định, hạt nhân có thể được “cố định” trong mạng tinh thể. Chính mạng tinh thể, trong đó các hạt nhân được “liên kết” chắc chắn với nhau bằng chuỗi liên kết hóa học, đóng vai trò như một vật thể khổng lồ ngăn cản sự phân tách.

Quá trình hấp thụ và phát xạ lượng tử γ của hạt nhân xảy ra trong mạng tinh thể diễn ra như thế nào?

Một trường hợp đơn giản hơn nhiều là khi năng lượng phân tách vượt quá năng lượng liên kết của hạt nhân trong mạng, năng lượng này khá lớn - lên tới 10–30 eV. Công thức (4) cho thấy trường hợp như vậy chỉ xảy ra ở mức năng lượng cao γ-lượng tử ($E_\gamma > 1$ MeV). Trong trường hợp này, việc liên kết các hạt nhân trở nên không quan trọng và về cơ bản chúng ta đang xử lý một hạt nhân tự do.

Khi γ-quanta với $E_\gamma < 1$ MeV được phát ra, năng lượng của cá thể không được giữ lại để xé hạt nhân ra khỏi mạng tinh thể, và động lượng của hạt nhân ở dạng này hay dạng khác được truyền đến toàn bộ tinh thể. Thông thường, năng lượng của sự phân tách biến thành dao động âm thanh của mạng. Quá trình này rất dễ thấy. Kết quả là lõi được tách ra khỏi vị trí của nó nhưng không mất kết nối với mạng. Nó truyền xung lực của mình đến các hạt nhân lân cận, chúng truyền nó sang các hạt nhân lân cận - và một sóng cơ học xuất hiện trong mạng tinh thể.

Người ta biết rằng mạng tinh thể là một hệ lượng tử, giống như nguyên tử, không thể phát sinh một cách tùy tiện. “Do sự lượng tử hóa năng lượng của chính tinh thể, nó chỉ có thể hấp thụ năng lượng ở những phần riêng biệt. Khi nhiệt độ giảm, xác suất xuất hiện các mức riêng của tinh thể cũng giảm, do đó, khi γ-lượng tử năng lượng thấp ($E_\gamma \lesssim 100$ keV) được phát ra, một số chuyển đổi xảy ra theo cách mà xung lực được cảm nhận riêng biệt bởi toàn bộ tinh thể nói chung,” R. Mösbacher viết ở nước ông. Vì vậy, đã nảy sinh một trường hợp trong tinh thể khi không có rung động nào xảy ra cả! Sau đó, toàn bộ lưới điện sẽ bị giật lại. Trong công thức (5), xác định năng lượng của một hạt nhân riêng biệt, khối lượng của toàn bộ tinh thể bây giờ được thay thế. Kết quả là, năng lượng của sự phân tách được hiểu là có độ lớn 20 bậc và hóa ra nhỏ hơn nhiều so với độ rộng đường truyền Γ. Trong trường hợp này, cộng hưởng γ được quan sát tương đối dễ dàng.

Tính đàn hồi này, tức là không có sự phân tách, phát xạ và hấp thụ lượng tử γ trong tinh thể, được gọi là hiệu ứng Mösbacher.

Tất nhiên, chúng ta không thể truy tìm từng nguyên tử hoặc lượng tử γ được lấy. Tất cả các quá trình được xem xét đều có tính chất ngẫu nhiên. Do đó, rõ ràng là ngay cả ở nhiệt độ thấp, không phải tất cả các hạt nhân trong tinh thể đều phát ra lượng tử γ mà không bị phân tách mà chỉ một phần nhỏ trong số chúng phát ra. Nhiệt độ càng thấp thì tỷ lệ hạt nhân phát ra lượng tử γ “cộng hưởng” càng lớn. Trong các thí nghiệm đầu tiên của Mösbacher, trong đó pridinium phóng xạ $^{191}$Ir được sử dụng làm nguồn tia γ, ở nhiệt độ nitơ lỏng $T \approx 80$ K, tỷ lệ lượng tử cộng hưởng không vượt quá một số quá trình. Hiện nay, người ta đã biết các hợp chất phóng xạ có bức xạ, ngay cả ở nhiệt độ phòng, chiếm gần một nửa tổng lượng bức xạ. Để thực hiện quang học cộng hưởng γ với các nguồn như vậy, chúng hoàn toàn không cần làm mát.

Một đặc điểm đáng chú ý của cộng hưởng γ là hệ số chất lượng cực cao của nó. Do đó, đối với đồng vị thiếc $^{119}$Sn có năng lượng γ-lượng tử $E = 2,38 \cdot 10^4$ eV và độ rộng mức cộng hưởng $\Gamma = 3 \cdot 10^{-8}$ eV, hệ số chất lượng bằng

$$Q = \frac{E}{\Gamma} \approx 0,8 \cdot 10^{12}.$$

Giá trị này tốt hơn gần 20 nghìn lần so với giá trị cộng hưởng quang học.

13

vạch natri màu vàng. Đối với hạt nhân sắt $^{57}$Fe, hệ số chất lượng cộng hưởng γ cao gấp ba lần, còn đối với kẽm $^{67}$Zn thì bằng $2 \cdot 10^{15}$!

Hệ số chất lượng cao của cộng hưởng γ đã biến nó thành một công cụ có độ chính xác đặc biệt. Ví dụ, đối với thiếc, chỉ cần sử dụng hiệu ứng Doppler là đủ để thay đổi năng lượng của lượng tử γ thêm một phần nghìn tỷ để vượt quá độ rộng tự nhiên của mức kích thích và phá hủy sự cộng hưởng. Phương pháp quan sát sự hấp thụ cộng hưởng của lượng tử γ, do Mössbauer đề xuất, dựa trên điều kiện “lệch lệch” này. Hãy xem xét nó.

Giả sử hạt nhân nguồn và hạt nhân hấp thụ ở trong những tinh thể giống hệt nhau và ở cùng nhiệt độ. Khi đó vạch phát xạ trùng hoàn toàn với vạch hấp thụ tuyến tính và số lượng lượng tử γ được hấp thụ cộng hưởng bởi chất hấp thụ sẽ đạt cực đại khi nguồn và chất hấp thụ đứng yên ($v=0$). Nếu bây giờ bộ hấp thụ (hoặc nguồn) được cấp một tốc độ nhỏ thì sẽ xảy ra sự dịch chuyển trong đường phát xạ và hấp thụ (được gọi là sự dịch chuyển bổ sung) và sự cộng hưởng sẽ bị gián đoạn. Sự phá hủy cộng hưởng này xảy ra ngay cả ở tốc độ không đáng kể.

Hãy để chúng tôi ước tính các giá trị vận tốc cho $^{119}$Sn. Thay thế vào công thức (8) thay vì độ rộng đường $R$ tự nhiên $\Gamma=3 \cdot 10^{-8}$ eV, chúng tôi thấy rằng để phá vỡ sự cộng hưởng, chỉ cần trộn chất hấp thụ hoặc nguồn ở tốc độ cỡ milimet trên giây là đủ! (Thay vì 60 m/s để đạt được sự cộng hưởng trên các hạt nhân tự do.) Do đó, bằng cách thay đổi năng lượng của lượng tử γ bằng hiệu ứng Doppler, người ta có thể thoát khỏi sự cộng hưởng hoặc phục hồi nó.

Hình 5 thể hiện sơ đồ của một trong những thiết lập thử nghiệm đầu tiên của Mössbauer để quan sát sự hấp thụ cộng hưởng γ trên hạt nhân truyền $^{191}$Ir với năng lượng γ-lượng tử $E_{\gamma}=129$ keV.

Nguồn phóng xạ nằm phía sau tấm chắn chì có thể quay đều theo hình tròn theo hướng dài*). γ-lượng tử do nguồn phát ra khi nó di chuyển dọc theo phần quỹ đạo, bù lại bằng đường đậm trong Hình 5, rơi vào một vật hấp thụ đứng yên (lá sơ cấp). Bộ đếm lượng tử γ được lắp phía sau bộ hấp thụ. Nhờ một thiết bị đặc biệt, bộ đếm ghi lại lượng tử γ chỉ đi qua bộ hấp thụ khi nguồn nằm trong phần “làm việc” của quỹ đạo. Khi tốc độ góc của chuyển động quay thay đổi, nguồn chuyển động sẽ tiến về phía vật hấp thụ hoặc ra xa nó với các hệ thống tốc độ được điều khiển khác nhau.

Thí nghiệm đã nghiên cứu sự phụ thuộc của số lượng tử γ đi vào bộ đếm trên một đơn vị thời gian vào tốc độ của nguồn. Để xây dựng đồ thị nghiên cứu, nguồn chuyển động sẽ tiếp cận vật hấp thụ hoặc từ nó với các hệ thống tốc độ được kiểm soát khác nhau.

Sự chuyển động của nguồn hướng tới hoặc ra xa điểm hấp thụ, do hiệu ứng Doppler, dẫn đến sự trộn lẫn các vạch phát xạ theo hướng năng lượng cao hơn. Nốt Rê-

*) Điều thú vị cần lưu ý là khi bắt đầu nghiên cứu hiệu ứng Mössbauer, các nhà vật lý đã sử dụng một đĩa xoay, một giá đỡ máy, một bộ khuếch tán loa, v.v. để di chuyển một nguồn hoặc bộ hấp thụ ở tốc độ thấp.

14

Kết quả đo được trình bày trên Hình 6.

Đường cong như vậy được gọi là phổ Mössbacher hay phổ cộng hưởng γ. Độ rộng vạch cộng hưởng đo được trong thí nghiệm là kết quả của sự chồng chất của các vạch nguồn và vạch hấp thụ. Với bộ hấp thụ và nguồn mỏng và khi không có rung động, chiều rộng của các đường bằng hai lần chiều rộng tự nhiên 2G. Bằng cách đo chiều rộng này, người ta có thể xác định thời gian tồn tại của trạng thái kích thích.

Nghiên cứu tiếp theo cho thấy rằng mọi tác động bên ngoài làm thay đổi năng lượng ban đầu của hạt nhân đều có thể được bù lại bằng chuyển động tương đối. Khi đó độ lớn của sự thay đổi có thể được xác định bằng giá trị của tốc độ tương đối cần thiết để khôi phục lại sự cộng hưởng.

Do đó, khám phá của Mössbacher sẽ góp phần ghi lại những thay đổi năng lượng (cụ thể là những thay đổi chứ không phải giá trị tuyệt đối của năng lượng này) của lượng tử γ và hình thành nền tảng của một lĩnh vực hoàn toàn mới - quang phổ Mössbacher, trong đó các nhà khoa học Liên Xô đã có đóng góp đáng kể.

Hiện nay, hiệu ứng Mössbacher đã được phát hiện ở hơn 40 nguyên tố trong bảng tuần hoàn.

Các ứng dụng của hiệu ứng Mössbacher rất nhiều và chủ yếu dựa trên việc sử dụng quang phổ Mössbacher làm nguồn thông tin có giá trị về vật thể đang nghiên cứu. Chúng ta hãy xem xét ngắn gọn một số ứng dụng.

Cho đến gần đây, thật khó để tưởng tượng rằng người ta có thể nhận thấy những thay đổi về năng lượng của quá trình chuyển đổi hạt nhân tùy thuộc vào bản chất của môi trường hóa học của hạt nhân. Tuy nhiên, hóa ra là khi lượng tử γ được phát ra và hấp thụ bởi các hạt nhân là một phần của hợp chất hóa học, thì cực đại của vạch hấp thụ có thể được quan sát thấy ở tốc độ khác 0. Điều này được giải thích như sau. Năng lượng của quá trình chuyển đổi hạt nhân phụ thuộc vào lực tương tác tĩnh điện giữa hạt nhân và các electron xung quanh nó. Nhưng sự đóng góp của sự tương tác này quá nhỏ nên không thể quan sát trực tiếp được. Tuy nhiên, trong các thí nghiệm nghiên cứu hiệu ứng Mössbacher, tình hình đã thay đổi. Trong trường hợp này, lực tĩnh điện tác dụng lên các mức năng lượng của hạt nhân không nên được so sánh với năng lượng của chuyển tiếp γ mà với độ rộng của các đường của vị trí cộng hưởng.

Sự pha trộn mức tối đa của phổ Mössbacher được thay thế. Do đó, những thay đổi như vậy cung cấp thông tin về bản chất của các tính chất hóa học.

Ứng dụng của hiệu ứng Mössbacher trong vật lý chất rắn hóa ra lại quan trọng và hiệu quả. Hạt nhân nguyên tử là những nam châm nhỏ tương tác với từ trường và điện trường của các electron xung quanh. Những tương tác như vậy ảnh hưởng đáng kể đến quang phổ Mössbacher và do đó có thể được nghiên cứu chi tiết. Với sự trợ giúp của hiệu ứng Mössbacher, lần đầu tiên người ta có thể đo lường nội bộ (Để kết thúc, hãy xem trang 30)

15

Sao Diêm Vương bí ẩn

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. A. BRONSHT.EN

Vào năm 1930, tức là cách đây hơn 50 năm, hành tinh thứ chín trong hệ mặt trời, hành tinh xa Mặt trời nhất, Sao Diêm Vương, đã được phát hiện. Tương đối nhanh chóng, các định nghĩa thiên văn xác định các yếu tố quỹ đạo của một hành tinh mới - khoảng cách trung bình đến Mặt trời, mức độ giãn dài (độ lệch tâm) của quỹ đạo và độ nghiêng so với mặt phẳng quỹ đạo Trái đất.

Hóa ra việc xác định các đặc điểm vật lý của Sao Diêm Vương - kích thước, khối lượng, mật độ của nó trở nên khó khăn hơn nhiều. Trong một thời gian dài, vì lý do nào đó, người ta tin rằng Sao Diêm Vương thực tế không khác gì Trái đất về kích thước và khối lượng. Những ước tính như vậy thậm chí còn được đưa vào sách tham khảo thiên văn. Tuy nhiên, vào năm 1950, các phép đo thiên văn đã đo đường kính của đĩa Sao Diêm Vương và nhận thấy nó xấp xỉ 5000 km (hãy nhớ rằng đường kính của Trái Đất là ≈ 12.750 km). Mười lăm năm sau, các quan sát về sự che khuất của một ngôi sao mờ của Sao Diêm Vương cho thấy đường kính của hành tinh này thậm chí còn nhỏ hơn, trong mọi trường hợp không vượt quá 4400 km.

Vào đầu những năm 70, các nhà khoa học đã cố gắng làm rõ khối lượng của Sao Diêm Vương bằng hình dáng mà nó tạo ra trong chuyển động của hành tinh lân cận, Sao Hải Vương. Họ đi đến ước tính khối lượng bằng 0,11 khối lượng Trái đất. Nhưng rõ ràng ngay rằng ước tính này là phụ thuộc, vì với đường kính thậm chí 4400 km, nó đã dẫn đến giá trị lớn phi thực tế cho mật độ trung bình của Sao Diêm Vương - khoảng 15 g/cm³ *) (trong số các hành tinh của Hệ Mặt trời, Trái đất có mật độ cao nhất - 5,5 g/cm³).

Việc phát hiện ra mặt trăng của Sao Diêm Vương, tên là Charon, vào năm 1978 đã giúp xác định khối lượng của hành tinh này dựa trên chu kỳ quỹ đạo và bán kính quỹ đạo của vệ tinh. Hóa ra nó chỉ nặng bằng 0,002 lần khối lượng Trái đất (nghĩa là nhỏ hơn sáu lần so với khối lượng Mặt trăng). Đó là lý do tại sao mọi nỗ lực xác định khối lượng của Sao Diêm Vương bằng cách xuất hiện trong chuyển động của Sao Hải Vương đều thất bại trước đó - với khối lượng không đáng kể như vậy, Sao Diêm Vương không thể ảnh hưởng đến chuyển động của cơ thể nặng hơn 7500 lần của nó.

Gần đây một phương pháp mới để đo đường kính của các thiên thể đã được phát minh. Điều này giúp có thể xác định kích thước của Sao Diêm Vương với độ chính xác cao hơn trước. Hóa ra đường kính của nó dao động từ 3000 đến 3600 km (con số này nhỏ hơn khoảng một lần rưỡi so với đường kính của Sao Thủy, vốn được coi là hành tinh nhỏ nhất trong hệ mặt trời).

Từ ước tính về khối lượng và đường kính, mật độ của Sao Diêm Vương là từ 0,5 đến 0,8 g/cm³. Cho đến lúc đó, Sao Thổ được coi là hành tinh dày đặc nhất: mật độ trung bình của nó là 0,7 g/cm³. Làm rõ kích thước của Sao Diêm Vương sẽ cho thấy liệu nó có được ưu tiên hơn Sao Thổ về mật độ thấp nhất hay không.

Và một kỷ lục độc đáo khác được “lập” bởi Pluto. Vệ tinh Charon của nó là hành tinh duy nhất chuyển động xét về khối lượng. Trước đây, người ta tin rằng tỷ lệ cao nhất giữa khối lượng của hành tinh so với khối lượng của vệ tinh là trong hệ Trái đất-Mặt trăng, trong đó nó bằng 81.

Gần đây hơn, người ta phát hiện ra rằng độ sáng của Sao Diêm Vương đang dao động và cũng sẽ yếu đi mạnh mẽ, bất chấp hành tinh này đang tiến gần đến Mặt trời (nó sẽ vượt qua cận điểm vào năm 1990). Cho đến nay không có lời giải thích cho điều này. Có thể nghiên cứu trong tương lai về vấn đề vẫn chưa có.

*) Trong thiên văn học, người ta thường biểu thị mật độ của các thiên thể bằng g/cm³ chứ không phải bằng đơn vị SI. (Ghi chú của biên tập viên)

16

Phương thức tương tác

Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
V. G. BOLTYANSKY

I

Vài nghìn năm trước ở Babylon cổ đại, một phương pháp đơn giản đã được phát minh để tính gần đúng căn bậc hai.

Giả sử chúng ta muốn tính $\sqrt{a}$ (trong đó $a > 0$), tức là tìm nghiệm dương của phương trình $x^2 = a$.

Phương trình này tương đương với phương trình sau:

$$x = \frac{a}{x}.$$

(1)

Bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng chúng ta có một số giá trị gần đúng $x_0$

số $\sqrt{a}$. Theo (1), $x_0$ phải được so sánh với số $\frac{a}{x_0}$: xét cho cùng, nếu $x_0$ và $\frac{a}{x_0}$ trùng nhau thì $x_0$ là giá trị chính xác của $\sqrt{a}$. Tuy nhiên, nếu $x_0 \neq \sqrt{a}$ thì một trong các số $x_0$, $\frac{a}{x_0}$ nhỏ hơn và các số khác lớn hơn $\sqrt{a}$ (vì tích của các số này là $a$), tức là $\sqrt{a}$ nằm giữa $x_0$ và $\frac{a}{x_0}$. Có thể gợi ý rằng giá trị trung bình số học của những con số này

$$x_1 = \frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{a}{x_0} \right)$$

là số gần đúng tốt hơn của số $\sqrt{a}$ so với số gần đúng ban đầu $x_0$.

Phép tính gần đúng $x_1$ này có thể được cải thiện theo cách tương tự, đó là lấy trung bình số học của các số $x_1$ và $\frac{a}{x_1}$

$$x_2 = \frac{1}{2} \left( x_1 + \frac{a}{x_1} \right),$$

sau đó bạn có thể lấy xấp xỉ trung bình

$$x_3 = \frac{1}{2} \left( x_2 + \frac{a}{x_2} \right)$$

và vân vân.

Độ chính xác của phương pháp Vivilon là gì? Đối với đáp số, chúng tôi sẽ thực hiện các phép tính sau cho câu hỏi này:

$$x_n - \sqrt{a} = \frac{1}{2} \left( x_{n-1} + \frac{a}{x_{n-1}} \right) - \sqrt{a} =$$

17

$$\frac{1}{2} \left( \sqrt{x_{n-1}} - \sqrt{\frac{a}{x_{n-1}}} \right)^2 = \frac{1}{2x_{n-1}} \left( x_{n-1} - a \right)^2. \quad (2)$$

Đẳng thức (2) giúp biểu diễn sai số của phép tính gần đúng $x_n$ (tức là số $|x_n - \sqrt{a}|$) theo sai số của phép tính gần đúng trước đó $x_{n-1}$.

Bài tập

1. Chứng minh rằng tất cả các xấp xỉ của số $\sqrt{a}$ tìm được bằng phương pháp Babylon, có lẽ ngoại trừ xấp xỉ ban đầu $x_0 > 0$, đều là các xấp xỉ có dư thừa.
2. Chứng minh rằng với mọi $x_0 > 0$ thì chuỗi xấp xỉ $(x_n)$ tìm được bằng phương pháp Babylon có xu hướng $\sqrt{a}$.
3. Chuỗi này sẽ có xu hướng tới giới hạn nào nếu một số âm nào đó được lấy là $x_0$?

Để ước tính tốc độ mà các số $x_0, x_1, x_2, \dots$ tiếp cận $\sqrt{a}$, chúng tôi tính toán $\sqrt{19}$ bằng cách lấy dự đoán ban đầu $x_0 = 4$. Được trang bị một máy tính vi mô$^*$), chúng tôi tìm thấy

$$x_0 = 4,0000000; \quad x_1 = 4,3750000; \quad x_2 = 4,3589285; \quad x_3 = 4,3588989; \quad x_4 = 4,3588989.$$

Như chúng ta có thể thấy, phép tính gần đúng thứ tư không khác biệt (trong các phép tính với bảy chữ số thập phân) so với phép tính gần đúng thứ ba. Chấp nhận điều đó là điều đương nhiên $\sqrt{19} \approx 4,3588989$.

Người đọc có thể lập luận rằng không cần phải “rào vườn”: có máy tính vi mô trong tay, người ta có thể quay số 19 và sau đó chỉ cần nhấn một nút $\sqrt{19}$, ngay lập tức nhận được kết quả tương tự $\sqrt{19} \approx 4,3588989$. Tuy nhiên, bạn sẽ đồng ý rằng chúng tôi không quan tâm nhiều đến ý nghĩa của $\sqrt{19}$ bằng giá trị của phương pháp Babylon. Chúng hóa ra khá quan trọng: sau lần lặp lại thứ ba của thao tác odotype (hoặc, như người ta nói, sau lần utepashi thứ ba), chúng tôi đã nhận được giá trị $\sqrt{19}$ với bảy dấu hiệu đúng (xem bài toán 4).

$^*$ Đối với những người không có máy tính vi mô trong tay, họ sẽ phải đếm bằng tay hoặc tin vào những gì được viết.

3 bài toán
4. Chúng ta hãy sử dụng phương pháp Babylon để tính các giá trị gần đúng liên tiếp $x_0 > 0, x_1, x_2, \dots$ của số $\sqrt{a}$ với $k$ chữ số thập phân, nghĩa là chúng ta làm tròn chữ số $(k+1)$ mỗi lần. Chứng minh rằng nếu phép tính gần đúng ổn định tại điểm $x_n$ (tức là $x_{n+1} = x_n$ trong phạm vi $10^{-k}$, nhưng $x_n \geq x_{n-1} + 10^{-k}$), thì sai số của phép tính gần đúng $\sqrt{a} \approx x_n$ nhỏ hơn 0,75 $\cdot 10^{-k}$.
5. Bạn cần phải làm bao nhiêu điều thú vị để thực hiện phép tính bằng phương pháp Babylon với $k$ chữ số thập phân, để có được số $\sqrt{a}$ với $k$ chữ số thập phân chính xác?

Để cho người đọc thấy sự vượt trội của trí thông minh của con người so với bất kỳ máy móc nào (đặc biệt là so với máy tính vi mô, thứ chỉ thực hiện ý muốn của con người, với sự trợ giúp của anh ta), chúng tôi sẽ thực hiện các phép tính với mười lăm chữ số thập phân. Với mục đích này, chúng tôi sử dụng giá trị gần đúng tìm được của số $\sqrt{19}$ cho giá trị gần đúng ban đầu mới $x_0$ (nghĩa là chúng tôi đặt $x_0 = 4,3588989$) và tính giá trị gần đúng tiếp theo $x_1 = \frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{19}{x_0} \right)$ bằng phương pháp Babylon. Hãy đặt $\frac{19}{x_0} = x_0 + h$, nghĩa là

$$19 = (x_0)^2 + x_0 h. \quad (3)$$

chúng tôi có

$$(x_0)^2 = (4,3588989)^2 = (4,358 + 8,989 \cdot 10^{-4})^2 = 4,358^2 + 2 \cdot 4,358 \cdot 8,989 \cdot 10^{-4} + 8,989^2 \cdot 10^{-8}.$$

Vì máy vi tính của chúng tôi tính toán chính xác tích của hai số bốn nên chúng tôi cộng vế phải để tính chính xác. Bây giờ, khi đã ký tên dưới ba phân số thập phân thu được

$$18,992164 \quad 0,0078348124 \quad 0,00000080802121$$

chúng ta có thể (thủ công, điều này không hề khó khăn chút nào) tìm tổng của chúng.

$$(x_0)^2 = 19 - 37,957879 \cdot 10^{-8}$$

và do đó, thay vào (3), chúng ta có

$$4,3588989 h = 37,957879 \cdot 10^{-8},$$

từ đâu (sử dụng vi tính-

21

xấp xỉ tăng dần - ở trạng thái này, một lý do khác là đối với lời giải máy tính bài toán thực tế bị giới hạn trong việc tìm các giá trị ở trạng thái ổn định bằng cách sử dụng máy tính thực hiện các phép tính với số lượng dấu đủ lớn. Thật khó để nói cái nào tốt hơn: dành thời gian máy tính tốn kém để kiểm tra độ chính xác của lời giải như một bài toán hoặc giải một số lượng lớn bài toán thực tế, đạt được độ chính xác tốt “như một quy luật” lời giải…

Bài toán và

14. Áp dụng phương pháp tích phân để điều khiển (6), trong đó $f(x)=0,9999x+0,0004$. Chứng minh rằng nếu quá trình tương tác lời giải, được thực hiện với bốn chữ số thập phân, dừng ở điểm $x_n$, thì sai số của phép gần đúng $x^* \approx x_n$ được áp dụng bằng một, nghĩa là không chỉ các chữ số thập phân không rõ ràng mà còn toàn bộ phần của phép tính gần đúng $x_n$. (Những thông báo này được sử dụng để xây dựng Ví dụ 1; trong ví dụ này $0,9999<f'(x)<1$ tại $x>0,12$.)

15. Đặt hàm $f$ thỏa mãn các điều kiện $f(a)>a$, $f(b)<b$ và $|f'(x)|<q<1$ cho $x \in [a; b]$. Khi đó phương trình (6) có nghiệm duy nhất $x^*$ trên khoảng $[a; b]$. Chứng minh rằng với phương trình lời giải (6) phương pháp tích phân

$$|x_{n+1}-x_n| \leq |x_1-x_0| \cdot q^n$$

$$|x^*-x_n| \leq |x_1-x_0| \cdot \frac{q^n}{1-q}.$$

16. Áp dụng các ước tính này cho hàm (5).

17. Giải phương pháp tích phân phương trình $0,6095+0,274 \sin x=x$ (sử dụng máy vi tính). Sau bao nhiêu lần lặp thì quá trình dừng lại? Phép tính gần đúng thu được có bao nhiêu dấu đúng?

18. Giải phương pháp tích phân của phương trình $\sqrt{1+x}=x$ bằng cách lấy $x_0=0$. So sánh kết quả thu được với nghiệm thu được bằng cách “đánh giá” lời giải của phương trình vô tỉ này. Chứng minh rằng phép tính gần đúng thứ $n$ có dạng

$$x_n = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \ldots + \sqrt{1}}} \quad (n \text{ единиц}).$$

IV

Các bài toán 8, 10 và 15 chỉ ra các điều kiện để phương pháp tích phân được hoàn thiện và đạt được mục tiêu. Nếu những điều kiện này không được đáp ứng thì sao?

Chúng ta hãy xem xét phương trình $g(x)=0$, trong đó $g(a)<0$, $g(b)>0$, hàm $g$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $[a; b]$ và $g'(x)>0$ tại $x \in [a; b]$. Do đó, hàm $g$ trả về khoảng $[a; b]$ và phương trình $g(x)=0$ có một nghiệm duy nhất $x^*$ trên khoảng này. Để làm được điều này, chúng ta có thể áp dụng phương pháp tích phân, ta biểu thị bằng $p_1$ và $p_2$ các số dương $p_1 \leq g'(x) \leq p_2$ trên đoạn $[a; b]$. Khi đó, nhịp độ bây giờ là phương trình $g(x)=0$ theo phương trình tương đương $x+a \cdot g(x)=x$, trong đó $a$ được chọn sao cho hàm

$$f(x)=x+a \cdot g(x)$$

thỏa mãn các điều kiện bài toán 15. (Kiểm tra xem điều này có đúng không, ví dụ: đối với $a=-\frac{2}{p_1+p_2}$, $q=\frac{p_2-p_1}{p_2+p_1}$.) Do đó, chúng tôi đã thay thế phương trình $g(x)=0$ bằng phương trình tương đương $f(x)=x$ mà phương pháp tích phân đã được áp dụng.

Nếu $g'(x)<0$ tại $x \in [a; b]$, kỹ thuật tương tự sẽ được áp dụng. (Trong trường hợp này, $p_1$ và $p_2$ là âm và $a=-\frac{2}{p_1+p_2} > 0$.)

Ví dụ 2. Giải phương trình tích phân

$$x^2-x=\cos x.$$

Đối với $0 \leq x \leq 1$ bên trái là không dương và bên phải là dương; do đó không có nghiệm nào trên đoạn $[0; 1]$. Viết lại phương trình dưới dạng

$$x^2-x-\cos x=0,$$

chúng ta lưu ý rằng hàm $g$, ở phía bên trái, có đạo hàm $g'(x)=2x-1+\sin x$, tại $x \geq 1$ là dương, nghĩa là $g$ trở về $[1; +\infty]$. Vì $g(1)<0$ và $g(2)>0$, trên tia $[1; +\infty]$ có chính xác một nghiệm của phương trình đang xét và nó nằm trên đoạn $[1, 2]$. Sử dụng máy tính vi mô trên đoạn $[1, 2; 1, 3]$. Hàm $g'$ trả về $[1; +\infty]$ (vì đạo hàm $g''(x)=2+cos x$ của nó là dương). Do đó, $p_1 \leq g'(x) \leq p_2$ trên đoạn $[1, 2; 1, 3]$, trong đó $p_1=g'(1,2) \approx 2,332$, $p_2=g'(1,3) \approx 2,564$. Vì vậy, $a=-\frac{2}{p_1+p_2} \approx -0,401$. Lấy $a=-0,4$ để đơn giản, ta được phương trình (Về phần kết, xem trang 37)

22

Kính vạn hoa ngày Cá tháng Tư

A. A. BOROVOY

Ngày đầu tiên của tháng Tư đang đến gần - ngày của những trò đùa vui nhộn, những trò lừa bịp và những trò lừa dối nho nhỏ. Tôi cũng muốn mua phòng thí nghiệm Kvana cho kỳ nghỉ này. Trong một thời gian khá dài, chúng tôi đã tranh luận về cách đánh lừa người đọc một cách tế nhị hơn, và cuối cùng quyết định hành động theo lời giải: để họ không tin bạn, bạn phải nói sự thật trung thực. Do đó, nếu câu chuyện của chúng tôi cho bạn thấy nhiều quốc gia hơn, đừng lười biếng và hãy kiểm tra những gì được nói trong thực tế trước khi hét lên: “Chúc mừng ngày 1 tháng 4!” Tôi không tin ai cả!”

Cái ống hút quen thuộc

Thiết bị đơn giản này để bơm chất lỏng từ tàu này sang tàu khác đã được biết đến từ thời xa xưa. Nhiều thiết kế ống hút khác nhau được phát minh bởi Heron of Alexandria, người sống cách đây hai nghìn năm.

Một siphon đơn giản hoạt động như thế nào? Hãy tưởng tượng rằng bạn cần đổ chất lỏng từ bình này sang bình khác, nằm bên dưới bình đầu tiên (Hình 1). Vì lý do nào đó, việc nghiêng bình và đổ chất lỏng ra ngoài mép là điều bất tiện. Trong trường hợp này, một ống mềm được lấy và hạ xuống với một đầu vào bình trên và đầu kia vào bình dưới. Đây là một ống hút (không phải ngẫu nhiên mà từ “siphon” trong tiếng Hy Lạp có nghĩa là “ống”, “máy bơm”). Để nó bắt đầu hoạt động, trước tiên nó phải được đổ đầy chất lỏng. Để làm điều này, họ thường sử dụng một phương pháp đơn giản (nhưng không phải lúc nào cũng dễ chịu): hạ một đầu ống vào chất lỏng, sau đó hút không khí ra khỏi nó, ấn đầu kia và nhanh chóng nhúng vào bình thứ hai.

Vì vậy, để làm việc với nền bạn cần:

• ít nhất một tàu;
• một ống chứa đầy chất lỏng, trong đó khuỷu “dòng chảy ra” được hạ xuống bên dưới chất lỏng trong bình;
• áp suất khí quyển.

Dù bạn có tin hay không, hầu hết mọi thứ được liệt kê thực sự không cần thiết chút nào.

Hãy bắt đầu với áp suất khí quyển. Có thực sự cần thiết để làm việc với điện thoại? Nhiều người lập luận: “Nó hoàn toàn cần thiết vì nó hỗ trợ chất lỏng và ngăn không cho nó làm gãy ống bên trong ở chỗ uốn cong”. Theo cách riêng của nó, tuyên bố này là một trò đùa Cá tháng Tư. Nếu bạn đặt một ống hút dưới chuông máy bơm, nó sẽ hoạt động mà không cần áp suất khí quyển, miễn là chất lỏng không sôi và bọt khí không chặn mặt cắt ngang của ống. Cột chất lỏng không bị vỡ do lực liên kết phân tử.

Bây giờ về việc đổ đầy chất lỏng trước. Một số ống không cần phải đổ đầy - chúng tự làm việc đó.

Tạo ống như trong Hình 2. Tốt nhất là làm từ một chồng

23

(dù khó), nhưng cũng có thể làm được từ thiếc. Dùng ngón tay đóng đầu hẹp lại, hạ đầu rộng vào bình phía trên và thả mạnh ngón tay ra. Xi phông bắt đầu đổ nước. Tại sao điều này xảy ra không khó hiểu chút nào. Hãy tự mình thử nó.

Có một loại ống “tự nạp” khác - bấc. Nếu các bình được nối với nhau bằng ống bấc thì chất lỏng sẽ chảy qua nó, mặc dù chậm. Đây là lúc hiện tượng mao dẫn phát huy tác dụng.

Vẫn còn phải nói rằng bản thân ống không phải lúc nào cũng cần thiết. Vì vậy, trong cuốn sách “Pháo hoa vật lý” của J. Walker, bạn có thể đọc về chất lỏng “tự chảy”: “Một số chất lỏng, chẳng hạn như polystylene lỏng, có thể tự chảy ra khỏi bình, chỉ cần bạn cho phép hoạt động của một “ống hút” như vậy, đổ ra một phần chất lỏng…”. Vì không chắc chắn rằng polystylene lỏng có được lưu trữ trong nhà bạn hay không, bạn nên thử các chất lỏng khác. Bạn có thể đạt được hiệu quả mong muốn.

Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng có một khái niệm về một chất lỏng tuyệt vời có thể chảy ra khỏi bình và tự dâng lên dọc theo thành bình. Đây là helium lỏng, hay chính xác hơn là helium II. Đây là tên gọi của chất lỏng này ở nhiệt độ dưới 2,17 K, khi nó phát triển những đặc tính hoàn toàn đáng kinh ngạc. Và trên hết - tính siêu chảy, tức là hoàn toàn không có tính lưu động *). Đây là những gì L. D. Landdu và A. I. Kitaigorodsky viết về hiện tượng này trong cuốn sách “Vật lý cho mọi người”:

“… Helium II có khả năng tự mình “leo ra” từ thủy tinh hoặc ống nghiệm, nơi nó có xơ vải.

Hình 3 thể hiện sơ đồ của thí nghiệm này. Ống nghiệm chứa gel II được đặt trong ống chân không trên bể gel. “Không có lý do rõ ràng,” khí heli dâng lên dọc theo thành ống nghiệm dưới dạng một mặt phẳng độc lập hoàn hảo, mỏng nhất và chảy qua mép; Có giọt nước nhỏ giọt từ đáy ống nghiệm.

*) Độ nhớt của chất lỏng là do ma sát xảy ra giữa các lớp chất lỏng liền kề trong quá trình chuyển động tương đối của chúng.

Hình 2.

Chúng ta phải nhớ rằng nhờ lực mao dẫn… các phân tử của bất kỳ chất lỏng nào làm ướt thành bình sẽ leo lên thành bình này và tạo thành trên đó một màng mỏng, chiều rộng của màng này có độ lớn bằng một phần triệu cm. Bộ phim này là vô hình đối với mắt và thường không hiển thị bất cứ điều gì đối với chất lỏng nhớt nói chung.

Bức tranh về sự hoàn hảo sẽ thay đổi nếu chúng ta đang xử lý một loại gel không có sức sống… Thông qua thành thủy tinh hoặc ống nghiệm, màng bề mặt tạo thành một ống hút mà qua đó khí heli tràn qua mép bình.>

Hành vi của helium lỏng chỉ có thể được hiểu theo quan điểm của cơ học lượng tử.

Bạn thấy mức độ kín cần thiết trong một ống hút thông thường.

24

Ảo ảnh quang học

Ủy viên hội đồng nhà nước thực tế, giám đốc Văn phòng Khảo nghiệm, Kozma Petrovich Prutkov, khuyên: “Nếu bạn đọc dòng chữ “trâu” trên chuồng voi, đừng tin vào mắt mình.

Người khôn ngoan không hoàn toàn đúng. Về cơ bản, bạn có thể và nên tin vào đôi mắt của mình, vì một người nhận được nhiều thông tin nhất về thế giới xung quanh thông qua thị giác. Đúng, đôi khi thông tin này có vẻ hoàn toàn không hợp lý và đôi khi nó lại hoàn toàn không chính xác.

Hãy làm một thí nghiệm rất đơn giản. Đặt ngón cái và ngón trỏ của bạn sao cho có một khoảng trống giữa chúng và nhìn qua ánh sáng của đèn. Khi khoảng cách trở nên rất hẹp, một sọc đen sẽ xuất hiện ở giữa. Đây là gì - ảo ảnh quang học?

Chúng ta hãy điều kiện kinh nghiệm một chút. Để làm điều này, hãy mở một mảnh giấy nhôm (ví dụ: giấy gói kẹo sô cô la) và dùng dao cạo cắt một đường dài 4-5 cm trên đó. Nếu bây giờ bạn nhìn qua vết cắt này bằng một mắt dưới ánh sáng của bóng đèn mờ, bạn cũng có thể thấy một sọc đen ở giữa. Ngoài ra, các sọc tối bên yếu hơn cũng sẽ xuất hiện.

Các thí nghiệm thực sự rất đơn giản, nhưng việc giải thích chúng không hề dễ dàng. Thật thú vị khi nghĩ rằng đường đi của các dải giao tiếp tối với sự nhiễu xạ của ánh sáng - sự bẻ cong của sóng - bị biến đổi. (Tuy nhiên, có thể tác dụng sinh lý cũng đóng một vai trò quan trọng ở đây.)

Nhưng khi nào thì đôi mắt thực sự đánh lừa chúng ta? Tại sao điều này lại xảy ra? Thiên nhiên theo đuổi mục tiêu gì?*)

Chúng ta hãy nói ngay rằng sự lừa dối không phải do hệ thống quang học của mắt mà là do hệ thần kinh, bộ não con người, “sửa chữa” và “phát minh” ra rất nhiều thứ. Đây là cách một hình nón ba chiều xuất hiện từ một mẫu phẳng (Hình 4) hoặc các sọc tương phản xuất hiện trên đường viền màu đen và trắng, dường như đang cố gắng tạo ra sự chuyển tiếp ánh sáng sắc nét hơn.

Để quan sát các dải này (gọi là dải Mach), chúng ta sẽ làm thí nghiệm sau. Một chiếc đĩa làm bằng bìa cứng màu trắng có vẽ hình bằng mực đen (Hình 5) được đưa vào chế độ quay nhanh. Điều tự nhiên là bạn sẽ thấy một vòng tròn màu trắng ở trung tâm, sau đó là màu xám và cuối cùng là màu đen với sự chuyển tiếp ánh sáng tương đối mượt mà. Tuy nhiên, trên thực tế, bức tranh có vẻ hơi khác: vòng tròn màu trắng ở giữa được bao quanh bởi một vòng sáng hẹp, và trên viền của vòng đen có thể nhìn thấy một sọc đen có mật độ tối đa. Đây là các dải Mach.

Trong một số trường hợp, sự xuất hiện của chúng rất hữu ích. Ví dụ, chúng cho chúng ta cơ hội đọc và cảm nhận rõ ràng từng chữ cái. Độ trắng của tờ giấy bên cạnh mỗi chữ cái sáng hơn và viền của các chữ cái đen hơn thực tế.

Vì chúng ta đang nói về những chiếc đĩa quay và những ảo ảnh quang học liên quan đến chúng nên chúng ta không thể không nhớ đến một chiếc đĩa khác - cái gọi là đĩa Benham. Nó có thể được sử dụng để tạo ra các màu đỏ, xanh dương và xanh lục bằng cách chỉ trộn các màu trắng và đen. Hiệu ứng này thường được viết trong nhiều ấn phẩm phổ biến khác nhau (ví dụ, xem tạp chí “Khoa học và Đời sống”: 1970, số 11 hoặc 1971, số 10), vì nó rất dễ quan sát.

*) Đối với những ai luôn quan tâm đến vấn đề này và những câu hỏi tương tự liên quan đến mức trung bình vật lý, hãy đọc cuốn sách “Con mắt và Mặt trời” của S. I. Vavilov. Ấn bản mới nhất của cuốn sách tuyệt vời này vừa được xuất bản gần đây.

25

Phóng điện trong phòng thí nghiệm

Bức ảnh sao chép trên trang đầu tiên của trang bìa được chụp trong phòng thí nghiệm giáo dục của Khoa Chỉ đạo Kỹ thuật của Lênin và Huân chương của Viện Năng lượng Cộng hòa Tháng Mười, một trong những trường đại học kỹ thuật hàng đầu trong nước.

Bức ảnh cho thấy một phần của phòng thí nghiệm lắp đặt, với sự trợ giúp của các phương pháp bảo vệ thiết bị điện áp cao được phát triển. Đặc biệt, nó sử dụng sự phụ thuộc của điện áp do dạng sương mù của quá trình phóng điện vào điện dung của khe phóng điện.

Một điện cực hình bán cầu có thể nhìn thấy được ở phía trước. Phía sau là một tấm kính, xa hơn nữa là một mặt phẳng bằng kim loại. Một điện áp cao được tạo ra giữa điện cực và mặt phẳng. Sự phóng điện phát sinh dọc theo bề mặt kính, trải qua các giai đoạn khác nhau liên tiếp (đầu tiên là quầng sáng, sau đó là tia lửa điện và cuối cùng là phóng điện hồ quang). Bức ảnh cho thấy quá trình chuyển đổi phóng điện hào quang thành phóng điện tia lửa điện.

26

Chuyển động đồng đều

M.I BASHMAKOV

Ở đây chúng ta sẽ xét một đường thẳng, một chuyển động không đều, tức là chuyển động dọc theo một đường thẳng cố định với tốc độ không đổi. Sau khi chọn hướng của đường thẳng này, ta có thể viết phương trình chuyển động dưới dạng

$$s = vt,$$

(1)

trong đó $t$ là thời gian chuyển động, $s$ và $v$ là hình chiếu của vectơ chuyển vị và vận tốc lên trục đã chọn. Khi đó $s$ và $v$ có thể thuộc cả giá trị dương và giá trị âm.

Tốc độ trung bình

Công thức (1) thường được viết dưới dạng $v = s/t$. Mối quan hệ $v = s/t$ cũng có ý nghĩa đối với chuyển động không đều (chuyển động có tốc độ thay đổi), nhưng trong trường hợp này, theo định nghĩa, $v$ là tốc độ trung bình của chuyển động.

Khi khởi động, không cần lập phương trình, hãy trả lời các câu hỏi sau:

1. Nửa đoạn đường đầu, ô tô đi với vận tốc 30 km/h, ô tô thứ hai đi với vận tốc 50 km/h. Xe thứ hai đi hết quãng đường với vận tốc 40km/h. Xe nào mất ít thời gian nhất trong toàn bộ hành trình?

2. Trong nửa thời gian đầu, ô tô thứ hai đi với vận tốc 30 km/h, ô tô thứ hai đi với vận tốc 50 km/h. Xe thứ hai chuyển động trong khoảng thời gian như nhau vì vận tốc của nó luôn là 40 km/h. Xe nào đã đi đường dài?

(Đáp số được chỉ định trong chú giải ở Hình 1).

Những lỗi có thể xảy ra khi trả lời các câu hỏi về chuyển động đều có liên quan đến thực tế là đôi khi chúng ta bỏ qua bản chất của mối quan hệ giữa hai đại lượng $s$, $v$ và $t$ với một phần ba cố định.

Đối với một chuyển vị cố định, mối quan hệ giữa thời gian và tốc độ tỷ lệ nghịch. Ngoài ra, nếu chuyển động $2s > 0$ bao gồm hai phần giống hệt nhau $s$, được chuyển động với tốc độ không đổi (nhưng khác nhau), phần đầu tiên theo thời gian $t_1$, phần thứ hai theo thời gian $t_2$, thì tốc độ trung bình $v = 2s/(t_1 + t_2)$ nhỏ hơn trung bình số học của tốc độ trên mỗi phần, bằng

$$\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{s}{t_1} + \frac{s}{t_2} \right) = \frac{s(t_1 + t_2)}{2t_1t_2}.$$

(Thật vậy, sự khác biệt

$$\frac{s(t_1 + t_2)}{2t_1t_2} - \frac{2s}{t_1 + t_2} = \frac{s(t_1 - t_2)^2}{2t_1t_2(t_1 + t_2)}$$

rõ ràng là dương, tức là $v < \frac{v_1 + v_2}{2}$).

Vậy trong bài toán 1 tốc độ trung bình của ô tô thứ nhất nhỏ hơn $(30 + +50)/2$ km/h = 40 km/h, nghĩa là ô tô thứ hai (đi với tốc độ 40 km/h) sẽ đến nơi nhanh hơn.

Trong một thời gian chuyển động cố định, mối quan hệ giữa chuyển động và tốc độ tỷ lệ thuận. Do đó, nếu trong hai khoảng thời gian $t$ giống hệt nhau có chuyển động đồng đều với tốc độ khác nhau $v_1$ và $v_2$, thì tốc độ trung bình $v$ dọc theo toàn bộ đường đi sẽ bằng trung bình số học của tốc độ trên từng đoạn đường riêng lẻ. (Thật sự,

$$v = \frac{s_1 + s_2}{2t} = \frac{1}{2} \left( \frac{s_1}{t} + \frac{s_2}{t} \right) = \frac{v_1 + v_2}{2}).$$

Vì vậy, trong bài toán 2, tốc độ trung bình của ô tô thứ nhất bằng tốc độ của ô tô thứ hai $(50 + 30)/2 = 40)$ và do đó chúng thực hiện cùng một chuyển động trong cùng một thời điểm.

28

anh ta một lần nữa; Ngoài công thức (1), bạn sẽ cần một công thức chung để cộng tốc độ:

$$v_k = v_{k\theta} + v_p,$$

khẳng định rằng tốc độ $v_k$ của catarr trên sông bằng tổng tốc độ của nó trong nước đứng $v_{k\theta}$ và tốc độ của sông $v_p$.

Trong bài toán với cathar, chúng ta phải đối mặt với sự chồng chất của hai chuyển động đồng nhất - chuyển động của catarrh và chuyển động của nước trên sông. Có rất nhiều điều thú vị và bất ngờ liên quan đến tình huống này bài toán. Hãy thử giải bài toán này mà không cần tính toán:

5. Một người đi dọc theo thang cuốn đi lên theo hướng chuyển động và đếm số bước mình đã leo. Vận tốc của một người so với thang cuốn đứng yên là $v$. Đồ thị của số $s$ số bước anh ấy leo lên phụ thuộc vào tốc độ $v$ như thế nào?

Trước khi vẽ đồ thị, hãy tự trả lời câu hỏi: hàm trả về hay hủy khi tốc độ tăng $v$? Một bản phác thảo thô của đồ thị được thể hiện trong Hình 3.

Hãy nghiên cứu tình hình chi tiết hơn. Chúng ta hãy biểu thị tổng số bước của thang cuốn (đứng yên) bằng $s_0$, tốc độ của thang cuốn là $v_3$, tốc độ của một người đi lên là $v$ và số bước mà một người leo lên là $s$. Các đại lượng này có liên hệ với nhau bởi mối quan hệ

$$\frac{s}{v} = \frac{s_0 - s}{v_3}$$

(chúng tôi đã so sánh thời gian để một người đi lên và thời gian để thang cuốn đi lên).

Từ đây là

$$s = \frac{s_0 v}{v + v_3} = \frac{s_0 + s_0 v_3 - s_0 v_3}{v + v_3} = s_0 - \frac{s_0 v_3}{v + v_3}.$$

Hãy vẽ đồ thị của hàm số

$$s = s_0 - \frac{s_0 v_3}{v + v_3},$$

giả sử rằng $v$ có thể nhận bất kỳ giá trị nào (kể cả âm). Đồ thị được thể hiện trong Hình 4.

Nhìn vào biểu đồ (và ghi nhớ các điều kiện bài toán), trả lời các câu hỏi sau:

a) Điều gì xảy ra với $s$ khi $v$ tăng vô hạn?

b) Làm thế nào chúng ta có thể giải thích rằng $s$ tăng vô hạn khi $v$ tiến đến $(-v_3)$? Hãy tưởng tượng rằng bạn đứng ở bậc đầu tiên của thang cuốn đi lên và bắt đầu đi xuống với tốc độ tương đương với tốc độ của thang cuốn. Bạn sẽ đi bao xa? Bạn có thể đi qua bao nhiêu bước?

d) Đồ thị của hàm số (2) sẽ thay đổi như thế nào nếu chúng ta thay thế đồng thời $v$ bằng $kv$ và $v_3$ bằng $kv_3$?

Đáp số cho câu hỏi cuối cùng - đồ thị không thay đổi - có nghĩa là số bậc thang leo lên chỉ phụ thuộc vào tốc độ tương đối của người và thang cuốn.

Để kết thúc phần này, chúng tôi cung cấp thêm hai bài toán.

6. Một người đi lên thang cuốn, đếm 100 bước và chuyển động với vận tốc gấp đôi.

29

đếm được 120 bước. Thang cuốn cố định có bao nhiêu bậc?

7. Một người đi dọc theo đường ray xe điện cứ 7 phút lại phải đi vòng một xe điện và cứ 5 phút lại có một xe điện đi về phía người đó. Xe điện chạy bao lâu một lần?

Chuyển động tuyến tính Cusno

Sự đơn giản của công thức $s=vt$ là do điểm trên đường thẳng mà vật chuyển động tọa lạc tại thời điểm $t=0$ được chọn làm gốc. Nếu chúng ta dịch chuyển gốc tọa độ $s_0$ (sang trái hoặc phải, tùy theo dấu), phương trình chuyển động đều sẽ có dạng $s=s_0+vt$. (3)

Trên biểu đồ (Hình 5), chuyển động được mô tả bằng một đường thẳng (giao trục $s$ tại điểm $s_0$), độ dốc của đường này phụ thuộc vào tốc độ $v$. Độ dốc dương (góc nhọn) tương ứng với vận tốc dương (nghĩa là chuyển động theo hướng dương của trục $s$), âm - chuyển động theo hướng ngược lại.

Công thức (3) hữu ích trong trường hợp chúng ta mô tả chuyển động tuyến tính thô trên một đồ thị, nghĩa là chuyển động đều (nhưng ở các tốc độ khác nhau) trong các khoảng thời gian liền kề. Trên biểu đồ, một chuyển động như vậy được mô tả dưới dạng một đường đứt nét, mỗi liên kết của đường này được chỉ định bởi một hàm loại (3) trong khoảng thời gian tương ứng (Hình 6, $a$). Nếu chúng ta mô tả tốc độ của chuyển động đó như là một hàm của thời gian $v=v(t)$, thì chúng ta thu được hàm (bước) không đổi cousnon (Hình 6, $b$). Mối quan hệ giữa đồ thị của hàm vận tốc không đổi cousnon và hàm đường dẫn cousnon tuyến tính được thể hiện rõ ràng trên Hình 6.

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng những thông báo này để giải bài toán bài toán khó hơn (olympid), mà thoạt nhìn không liên quan gì đến chuyển động đều.

8. Có 10 số được viết trong một vòng tròn, tổng của chúng bằng 0. Chúng tôi bắt đầu với một trong số chúng, chẳng hạn như $a_1$ và tuần tự thêm chúng vào một vòng tròn (giả sử theo chiều kim đồng hồ).

Chúng tôi nhận được số tiền $a_1, a_1+a_2, a_1+a_2+a_3, \dots, a_1+a_2+\dots+a_{10}=0$. Chứng minh rằng bạn có thể chọn số bắt đầu sao cho tất cả các tổng này đều không âm.

Đối với lời giải, chúng ta tưởng tượng rằng $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ là tốc độ chuyển động trong mười khoảng thời gian bằng nhau mà chúng ta coi là thống nhất.

Giả sử rằng tại thời điểm ban đầu, đường đi bằng 0, chúng ta thu được rằng đường đi $s$ qua một đơn vị thời gian sẽ bằng $a_1$, sau hai đơn vị - $a_1+a_2$, v.v. Đồ thị của hàm như vậy được mô tả dưới dạng một đường đứt nét, bắt đầu và kết thúc trên trục $t$, vì theo điều kiện $a_1+a_2+\dots+a_{10}=0$ (Hình 7, $a$). Chúng ta có thể giả sử rằng chuyển động lặp lại theo định kỳ - sau mười đơn vị thời gian, tốc độ lại bằng $a_1$, v.v. Biểu đồ chuyển động sẽ được trình bày dưới dạng một đường đứt nét 10 đơn vị lặp lại định kỳ (Hình 7, $a$). Bắt đầu từ một điểm khác có nghĩa là

30

Chuyển gốc tọa độ tại một trong các đỉnh của đa tuyến. Tổng không âm có nghĩa là gì? Nó có nghĩa là tất cả các đỉnh của đường đứt nét đều nằm phía trên trục thời gian (hoặc trên trục đó). Đầu tiên, chúng tôi chọn điểm bắt đầu một cách tùy ý (Hình 7, a). Bây giờ rõ ràng là nếu chúng ta di chuyển gốc tọa độ đến đỉnh của đường đứt nét có giá trị nhỏ nhất và bắt đầu

Hiệu ứng Mössbauer

(Để bắt đầu, xem trang 7)

từ trường và điện trường trong nhiều kết nối. Điều này cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về cơ chế của những tương tác như vậy và tiến thêm một bước nữa trong việc tìm hiểu cấu trúc bên trong của chất rắn.

Để kết luận, chúng ta hãy xem xét một ứng dụng thú vị khác của hiệu ứng Mössbauer. Hóa ra là khi các photon di chuyển ngược lại lực hấp dẫn, năng lượng của chúng giảm đi, và do đó tần số ánh sáng (bước sóng tăng lên), tức là xảy ra cái gọi là sự dịch chuyển “đỏ” của quang phổ. Khi các photon di chuyển “ngang qua trường”, sự trộn lẫn “phylote” sẽ xảy ra. Sử dụng hiệu ứng Mössbauer cho phép chúng ta thực hiện một thí nghiệm màu đỏ cực kỳ tinh tế để xác định sự thay đổi năng lượng của γ-photon khi chúng chuyển động trong trường hấp dẫn.

Trong thí nghiệm của R. Pound và G. Rebka, nguồn và chất hấp thụ - sắt $^{57}$Fe - được đặt trong một tòa tháp ở độ cao cách nhau $H=22,6$ m: nguồn ở trên cùng và chất hấp thụ cùng với máy dò nằm ở chân tháp. Sau đó họ được đổi chỗ. Như phép tính mà chúng tôi mô tả ở đây cho thấy, trong trường hợp này sự thay đổi tương đối về tần số của lượng tử là $\approx 2,5 \times 10^{-15}$. Hiệu ứng Mössbauer cho phép thay đổi tần số dù là nhỏ như vậy.

Có thể nói chắc chắn rằng trong số những khám phá khoa học gần đây, hiệu ứng Mössbauer là một trong những khám phá hiệu quả nhất.

31

Quả cầu dẫn điện trong bài toán máy điện

S. A. YURSKY

Bề mặt hình cầu là một trong những bề mặt đơn giản nhất trong hình học. Gần bề mặt của nó trong tự nhiên có rất nhiều vật thể: Mặt trời và Trái đất, những giọt mưa và quả thanh lương trà, thậm chí cả các electron trong trí tưởng tượng của chúng ta cũng được vẽ dưới dạng những quả bóng nhỏ.

Vật thể hình cầu là một phần của bài toán trong các bài toán về máy điện. Điều này thường là do tính đối xứng hình cầu cho phép sử dụng đáng kể nhiều phép tính toán học mà không ảnh hưởng đến nội dung vật lý.

Trước khi tiến hành phân tích bài toán cụ thể, chúng ta sẽ thảo luận một số vấn đề chung của máy điện.

Trong một hệ vật thể cô lập, bất kể có thay đổi gì trong đó, tổng đại số của điện tích dương và điện tích âm vẫn không đổi.

Tương tác điện có thể được mô tả một cách định lượng. Trong trường hợp đơn giản nhất gồm hai điện tích chính xác $q_1$ và $q_2$, nằm trong chân không cách nhau $r$, lực tương tác giữa chúng được xác định bởi định luật Coulomb

$$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2},$$

trong đó $k$ là hệ số, tùy thuộc vào việc lựa chọn hệ đơn vị. Trong SI nó được viết là $k = 1 / (4\pi\varepsilon_0)$ (ở đây $\varepsilon_0$ là hằng số điện). Tất nhiên, các điện tích không chính xác cũng tác dụng lên nhau, nhưng cường độ tương tác của chúng không còn được xác định bởi công thức đã cho. Trong trường hợp này, các vật tích điện phải được chia thành các điện tích chính xác, tìm lực tương tác cho từng cặp điện tích, sau đó cộng tất cả các giá trị thu được.

Như bạn đã biết, các điện tích tương tác thông qua điện trường mà chúng tạo ra. Để mô tả định lượng trường này, các đặc tính năng lượng và hợp nhất được sử dụng: cường độ trường và thế năng của nó. Điện áp $\vec{E}$ của trường tại một điểm cho trước bằng lực tác dụng lên một điện tích dương đơn vị đặt tại điểm này, và thế năng $\phi$ của một điểm cho trước bằng công thực hiện bởi trường để di chuyển một đơn vị điện tích dương từ điểm này đến vô cực, hay tương tự, công của các ngoại lực làm di chuyển một đơn vị điện tích dương từ vô cực đến một điểm cho trước. Khi nói “vô cực”, chúng tôi muốn nói đến một vùng không gian thực sự cách xa mọi điện tích và không có trường trong đó.

Từ định nghĩa về tiềm năng ở trên, rõ ràng rằng chỉ có sự khác biệt tiềm năng giữa các điểm đang được xem xét là có tầm quan trọng thực tế chứ không phải giá trị tuyệt đối của tiềm năng của các điểm. Vì vậy, phần đầu của báo cáo tiềm năng có thể được chọn tùy ý. Theo quy luật, điện thế của một điểm ở vô cực hoặc điện thế của bất kỳ điểm nào được nối bằng dây dẫn với Trái đất (nghĩa là điểm nối đất) được coi là bằng 0. Về vấn đề này, chúng ta hãy nói một chút về các vật thể nối đất.

Trái đất là một vật thể dẫn điện có kích thước khổng lồ. Nó có điện tích âm đáng kể. Một điện tích không gian dương khác được chứa trong khí quyển, ở tầng cao cỡ hàng chục km. Tại bề mặt Trái đất, cường độ trường là ≈ 130 V/m. Coi Trái đất là một quả cầu dẫn điện và biết cường độ trường ở bề mặt, chúng ta có thể ước tính độ lớn điện tích của Trái đất:

32

$Q_3 \approx 6 \cdot 10^5$ C và thế năng của nó: $\varphi_3 \approx 8 \cdot 10^8$ V. Thuật ngữ “vật thể được nối đất” có nghĩa là nó được nối với Trái đất bằng một dây dẫn. Với kết nối như vậy, điện tích và thế năng của Trái đất thực tế không thay đổi, mặc dù một số điện tích có thể chuyển từ cơ thể sang Trái đất hoặc ngược lại. Vì Trái đất được so sánh với bất kỳ vật thể không gian nào trên trái đất đến vô cùng và thế năng của nó là không đổi, nên chúng tôi đồng ý coi thế năng này là bằng không. Vì vậy, nối đất dây dẫn có nghĩa là cho nó điện thế bằng không.

Để có được mô hình điện áp sạc

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

và tiềm năng

$$\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}.$$

Tất cả các dữ kiện thực nghiệm đều chỉ ra rằng điện trường có một tính chất thay thế: điện trường của một hệ các nguồn là tổng các trường của các nguồn riêng lẻ. Nói cách khác, trường của mỗi điện tích cố định không phụ thuộc vào sự có mặt của các điện tích khác. Để tìm cường độ thu được tại một điểm nhất định, chỉ cần cộng vectơ cường độ của trường được tạo ra tại điểm này bằng các điện tích riêng lẻ là đủ. Để tìm tổng thế năng, tại một điểm nhất định, chỉ cần lấy tổng đại số của các điện thế được tạo ra bởi mỗi điện tích riêng biệt là đủ, và điểm có điện thế bằng 0 tất nhiên phải chung cho mọi điện tích. Nguyên tắc tìm trường kết quả này được gọi là nguyên tắc chồng chất.

Điện trường thường được mô tả bằng đồ họa bằng cách sử dụng các đường sức căng (đường sức) hoặc sử dụng các bề mặt tiềm năng tương đương. Các đường sức luôn vuông góc với các bề mặt đẳng thế, do đó, khi biết một hình ảnh, bạn có thể dễ dàng thu được một hình ảnh khác.

Từ “dây dẫn” thường có nghĩa là vật dẫn điện, nghĩa là chứa điện tích tự do, thân có kích thước và hình dạng bất kỳ, thường là kim loại. Bên trong một dây dẫn đặt trong điện trường, hướng của điện trường luôn bằng 0 và mọi điểm của dây dẫn đều có cùng điện thế. Sự vắng mặt của trường trong vật dẫn không có nghĩa là từ trường bên ngoài không xuyên qua nó. Hoàn toàn ngược lại, nhờ sự xuyên qua của trường vào dây dẫn, các điện tích xuất hiện trên bề mặt của nó, trường bên trong dây dẫn bù cho trường bên ngoài. Vì vậy, các điện tích tự do trong vật dẫn chỉ có thể nằm trên bề mặt của nó.

Để mô tả khả năng tích lũy điện tích của dây dẫn, một đại lượng vật lý đặc biệt được đưa ra - công suất điện. Tụ điện có công suất điện lớn - một hệ thống gồm hai dây dẫn (được ngăn cách bởi một lớp điện môi mỏng) được tích điện với các điện tích bằng nhau nhưng khác nhau. Điện dung của tụ điện $C$ được gọi là tỷ số giữa điện tích $q$ của một trong các vật dẫn với hiệu điện thế $\Delta \varphi$ giữa chúng: $C = q / (\Delta \varphi)$. Nó phụ thuộc vào kích thước, hình dạng và vị trí tương đối của dây dẫn cũng như tính chất điện của chất điện môi.

Bây giờ hãy chuyển sang lời giải cụ thể bài toán.

Bài tập 1. Một quả cầu kim loại mỏng có bán kính $R$ đồng dạng với mặt phẳng $o$. Chứng minh rằng cường độ trường tại một điểm bất kỳ bên trong quả cầu bằng không. Tìm sự phụ thuộc của lực căng và thế năng vào khoảng cách $r$ (tính từ tâm quả cầu) bên trong và bên ngoài quả cầu. Xây dựng các đồ thị tương ứng.

Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng cường độ trường bên trong quả cầu bằng không. Để làm điều này, hãy lấy một điểm tùy ý $A$ và dựng hai hình nón đối xứng có các góc nhỏ giống hệt nhau ở đỉnh, như trong Hình 1. Các phần hình cầu nhỏ $S_1$ và $S_2$ được cắt ra trên bề mặt của hình cầu hình nón, có thể được coi là phẳng. Các hình nón giống nhau vì các góc ở đỉnh bằng nhau. Từ sự giống nhau suy ra rằng

34

những lĩnh vực không có lĩnh vực, không có công việc nào được thực hiện, tức là không có gì được thêm vào công việc đã hoàn thành. Điều này có nghĩa là đối với bất kỳ điểm nào bên trong quả cầu thì điện thế bằng điện thế trên bề mặt của nó. Sự phụ thuộc φ=φ(r) được thể hiện trên Hình 3, b.

Bài toán 2. Một điện tích nhọn +q được đặt ở tâm của một quả cầu dẫn điện không tích điện, bán kính bên trong là a và bán kính bên ngoài là b. Ở đâu và loại phí nào sẽ phát sinh? Hình ảnh mô hình các đường định hướng và thế năng điện trường từ khoảng cách r đến tâm quả cầu.

Hình ảnh cũng là hình ảnh của các đường định hướng bên trong và bên ngoài quả cầu khi điện tích +q trộn lẫn tại một điểm tùy ý bên trong quả cầu.

Khi đưa vào một điện tích +q, các điện tích được cảm ứng ở bề mặt bên trong và bên ngoài của quả cầu. Giả sử chúng lần lượt bằng q₁ và q₂. Người ta biết rằng các đường sức điện trường (đường định hướng) luôn bắt đầu bằng điện tích dương và kết thúc ở điện tích âm. Vì không có trường trong quả cầu chỉ dẫn các bức tường nên không có đường sức nào ở đó. Bên trong quả cầu, các đường sức bắt đầu tại điện tích q và kết thúc tại điện tích cảm ứng q₁

bề mặt bên trong. Suy ra tổng điện tích bên trong quả cầu bằng 0:

$$q + q_1 = 0, \quad q_1 = -q.$$

Đổi lại, từ mật độ electron của quả cầu dẫn điện đối với điện tích trên bề mặt bên ngoài của nó, chúng ta có

$$q_2 = -q_1 = q.$$

Do tính đối xứng nên các điện tích cảm ứng phân bố đều trên cả hai bề mặt của quả cầu. Hình ảnh của đường dây điện trông giống như trong Hình 4.

Để tìm cường độ và thế năng của trường do toàn bộ hệ điện tích tạo ra, chúng ta áp dụng nguyên lý chồng chất. Trường bên ngoài quả cầu trùng với trường tổng cộng của các điện tích điểm q, q₁ và q₂ đặt tại tâm quả cầu. Vì các điện tích cảm ứng có độ lớn bằng nhau và trái dấu: q₁ = -q₂, nên trường tổng chỉ được tạo ra bởi điện tích q:

$$\text{при } r > b \quad E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \quad \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}.$$

Không có trường bên trong quả cầu, cường độ bằng 0 và điện thế bằng nhau ở mọi điểm và bằng điện thế ở bề mặt ngoài của quả cầu:

$$\text{при } a < r < b \quad E = 0, \quad \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 b}.$$

Bên trong quả cầu, trường cũng trùng với trường chỉ có điện tích q (vì điện tích q₁ và q₂ bên trong

35

lĩnh vực lĩnh vực không được tạo ra; xem bài toán 1):

tại $r < a$ $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, $\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$.

Đồ thị phụ thuộc $E = E(r)$ và $\varphi = \varphi(r)$ được thể hiện trên Hình 5, a và 6.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét câu hỏi cuối cùng bài toán. Khi điện tích $+q$ được trộn từ tâm quả cầu đến một điểm khác, độ lớn của điện tích cảm ứng rõ ràng sẽ giữ nguyên, nhưng mật độ phân bố điện tích trên bề mặt bên trong sẽ thay đổi. Các điện tích âm sẽ được phân phối lại sao cho điện trường ở đỉnh các bức tường vẫn bằng 0. Mật độ của các điện tích này sẽ lớn hơn ở vị trí của bề mặt bên trong, nằm gần điện tích $+q$. Cũng trong khu vực này, quả cầu bên trong sẽ lớn hơn và cường độ của các đường lực sẽ lớn hơn. Vì quả cầu là một bề mặt có điện thế bằng nhau nên các đường sức bị cong để tiếp cận bề mặt đẳng thế theo một góc vuông. Các điện tích ở bề mặt bên ngoài không liên quan gì đến từ trường của quả cầu bên trong; ở đó tổng đóng góp của họ bằng không. Các khoản phí “bên ngoài” vẫn được phân bổ đều. Như vậy, trường của quả cầu bên ngoài không thay đổi; nó không phụ thuộc vào sự phân bố điện tích $+q$ của quả cầu bên trong. Hình ảnh của đường dây điện trong trường hợp này được thể hiện trong Hình 6.

Bài toán 3. Hai quả cầu kim loại đồng tâm có bán kính $R_1$ và

$R_2$ có phí $q_1$ và $q_2$. Vẽ đồ thị lực căng và điện thế theo khoảng cách $r$ đến tâm của hệ.

Hãy xem xét trường hợp một tụ điện hình cầu ($q_1 = -q_2$) và tìm điện dung của nó.

Hãy để $q_1 > q_2$. Sau đó

$$\begin{align*} \text{при } 0 < r < R_1 & \left\{ \begin{array}{l} E = 0, \\ \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{R_1} + \frac{q_2}{R_2} \right); \end{array} \right. \\ \text{при } R_1 < r < R_2 & \left\{ \begin{array}{l} E = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0} r^2, \\ \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R_2} \right); \end{array} \right. \\ \text{при } r > R_2 & \left\{ \begin{array}{l} E = \frac{q_1 + q_2}{4\pi\varepsilon_0} r^2, \\ \varphi = \frac{q_1 + q_2}{4\pi\varepsilon_0} r. \end{array} \right. \end{align*}$$

Các đồ thị tương ứng được thể hiện trên Hình 7, a và 6.

Một tụ điện hình cầu có điện tích bằng nhau và trái dấu: $q_1 = -q_2$. Do đó, điện áp và điện thế ở vùng bên ngoài biến mất và giữa các bản ($\text{при } R_1 < r < R_2$) chúng có dạng

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} r^2, \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R_2} \right).$$

Các phụ thuộc $E = E(r)$ và $\varphi = \varphi(r)$ cho trường hợp này được trình bày trên Hình 8, a và 6. Để xác định hệ tụ điện cầu ta sẽ tìm hiệu điện thế trên

36

Xây dựng. Vì thế năng của quả cầu bên ngoài bằng 0 nên hiệu điện thế

$$\Delta \varphi = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right).$$

Do đó điện dung của tụ điện

$$C = \frac{q}{\Delta \varphi} = 4\pi \varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}.$$

Bài toán 4. Một quả cầu kim loại không tích điện bán kính r bao quanh một vỏ dẫn điện bán kính R có điện thế φ. Điện thế của vỏ sẽ bằng bao nhiêu nếu quả bóng được nối đất (Hình 9)?

Trước khi nối đất, thế năng vỏ φ được tạo ra bởi một số điện tích q: φ = $\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R}$. Vì quả bóng không bị tích điện nên nó có điện thế như nhau. Sau khi tiếp đất, điện thế của quả bóng trở thành bằng không. Điều này có nghĩa là một số loại điện tích đã xuất hiện trên đó. Chúng ta tìm thấy các giá trị của nó $q'$ từ điều kiện tổng điện thế tạo bởi điện tích q và $q'$ trên bề mặt quả bóng bằng 0:

$$\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{q'}{4\pi \varepsilon_0 r} = 0, \text{ и } q' = -\frac{r}{R} q.$$

Bây giờ thật dễ dàng tìm thấy một thế vỏ mới, được tạo ra bởi cùng điện tích q và $q'$:

$$\varphi' = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R} = \frac{q(R-r)}{4\pi \varepsilon_0 R^2} = \frac{R-r}{R} \varphi.$$

Bài toán 5. Sự cố trong không khí xảy ra trong điện trường có cường độ $E_M = 3 \cdot 10^4 \text{ B/cm}$. Có một tụ điện hình cầu tích điện không khí, lớp vỏ ngoài có bán kính R = 4 cm, bán kính lớp vỏ trong được điều chỉnh sao cho tụ điện không bị xuyên qua ở giá trị chênh lệch điện thế cao nhất có thể. Xác định sự khác biệt tiềm năng tối đa này.

38

Kvasht
dành cho học sinh nhỏ tuổi

Nhiệm vụ

1. Lenya và Kolya đến thăm Bora nhưng họ quên số căn hộ của anh ấy. Kolya nói rằng nếu bạn cộng 10 vào số này, bạn sẽ có được một khối lập phương chính xác, và Lenya nói rằng nếu bạn trừ số 10 khỏi số căn hộ, bạn sẽ có được một hình vuông chính xác. Borya sống ở căn hộ nào?

2. Masha cần chỉ khâu số 20. Cô ấy không có những sợi chỉ như vậy mà là những sợi chỉ hoành tráng số 40 và số 10. Cô ấy nên làm gì? (Biển số xe được định nghĩa là tỷ lệ giữa chiều dài của một sợi tính bằng mét với khối lượng của nó tính bằng gam, nghĩa là về mặt số lượng bằng chiều dài tính bằng mét của tờ 1 gam.)

3. Quả bóng được bơm căng bằng không khí và được cân trên một cái cân. Sau đó, họ lại thổi phồng nó lên và cân lại. Cân có đọc giống nhau không?

4. Số nào nên được đặt cùng với “?” theo thứ tự 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, 31, 100, ?, 10.000?

5. Đỉnh A của tam giác ABC được nối bằng một đoạn thẳng với điểm M ở cạnh đối diện của tam giác. Đỉnh B nối với điểm K trên cạnh của tam giác đối diện với đỉnh B. Các đoạn AM và BK có thể cắt nhau và chia đôi không?

Những nhiệm vụ này đã được cung cấp cho chúng tôi
N. V. Vasiliev, A. N. Vilenkin,
S. V. Kazakov, L. Z. Karelin, A. P. Savin

38

39

Khách mời của chúng ta là một đài phát thanh toán học

S. L. TABACHNIKOV

Hôm nay Giáo sư Scema và những người chủ đất cố định của ông: cậu bé Alpha và cô gái Beta đang đến thăm “Quait”. Họ là những người tham gia chương trình phát thanh “Vòng tròn phát thanh toán học của Scema”. Các lớp học của câu lạc bộ phát thanh phi giáo dục này sẽ được tổ chức mỗi tháng một lần vào thứ Tư lúc 16-00 theo chương trình phát thanh có trọng lượng đầu tiên. Và bây giờ Giáo sư Scema, Alpha và Beta sẽ giới thiệu với độc giả của “Quait” về chủ đề của một trong các lớp trong vòng tròn vô tuyến toán học của họ.

Sigma. Chúng ta sẽ bắt đầu với bài toán từ Im lặng dành cho học sinh tiểu học (số 1, 1981): Liên Xô có dân số 260 triệu người. Có vẻ như trên bản đồ của Liên Xô với tỷ lệ 1:1.000.000 (10 km trong một centimet), số người có thể chứa ít hơn một triệu lần so với toàn bộ lãnh thổ đất nước, tức là có thể chứa được 260 người. Tuy nhiên, từ kinh nghiệm, chúng tôi biết rằng ngay cả mười người cũng không thể làm được điều này một cách dễ dàng. Tại sao?

Alpha. Vâng, tôi đã quyết định điều này bài toán ngay lập tức! Rốt cuộc, con người sống trong những tòa nhà nhiều tầng, điều đó có nghĩa là trên một đơn vị bề mặt trái đất không phải có một mà là nhiều người.

Beta. Nhưng theo tôi, Alpha, bạn đã nhầm. Lấy ví dụ, một tòa nhà đông dân cư như một tòa nhà trường học. Vào ngày đầu tiên của tháng 9, mọi người trong tòa nhà này sẽ ra sân để tham dự buổi lễ khai giảng năm học. Ngoài ra, cư dân của những ngôi nhà khác có thể ở trong sân và trên đường phố - họ thậm chí sẽ không có bóng râm. Và vẫn sẽ có thảo nguyên, sa mạc và lãnh nguyên!

Sigma. Beta nói đúng. Bạn, Alpha, sẽ phải tìm một lời giải thích khác. Trong lúc chờ đợi, tôi sẽ thử so sánh diện tích các hình vuông ở cạnh 2 và 1.

Alpha. Tất nhiên, diện tích của cái thứ nhất sẽ lớn gấp bốn lần diện tích của cái thứ hai. Nói chung, khi kích thước của bất kỳ hình nào giảm N lần thì diện tích của nó giảm N2 lần. Không phải vô cớ mà diện tích thay đổi theo đơn vị vuông!

40

Beta. Bây giờ mọi thứ đã rõ ràng! Con người chiếm một phần diện tích nhất định trên Trái đất. Khi được mô tả trên bản đồ với tỷ lệ 1:1.000.000, diện tích của tất cả các hình đều giảm $(1\ 000\ 000)^2$ lần, tức là $10^{12}$ lần. Chính bằng con số này, chứ không phải bằng một triệu, mà các quốc gia đông dân nên bị chia cắt. Trong trường hợp này, bạn nhận được khoảng một phần tư nghìn người và không có nghịch lý nào xảy ra.

Sigma. Tốt lắm các bạn, các bạn đã hiểu ra rồi. Tôi chỉ cần nói thêm rằng tại lời giải bài toán bạn đã sử dụng cái gọi là thông báo tương tự. Chủ đề của bài học của chúng tôi chính xác là những thông điệp tương tự.

Bây giờ hãy giải một câu khác bài toán. Bắn được đổ vào hai thùng giống hệt nhau chứa đầy nước: bắn thô vào thùng thứ nhất và bắn mịn vào thùng thứ hai. Đổ càng nhiều đạn càng tốt vào mỗi thùng. Xô nào tạo ra nhiều nước hơn?

Alpha. Chà, tất nhiên, từ cái thứ hai, họ đổ một viên nhỏ vào đó!

Beta. Vậy thì sao?

Alpha. Vì phát bắn nhỏ nên khoảng cách giữa các khẩu súng ngắn riêng lẻ sẽ nhỏ. Do đó, các phân số nhỏ sẽ lắng đọng dày đặc hơn.

Beta. Mặc dù khoảng cách giữa các khẩu súng ngắn lớn là lớn nhưng khoảng cách giữa chúng sẽ nhỏ hơn. Vì vậy, vẫn chưa biết phần nào sẽ lắng đọng dày đặc hơn: nhỏ hay lớn.

Sigma. Thật vậy, bạn cần tìm ra phần nào sẽ lắng đọng dày đặc hơn: nhỏ hay lớn. Giả sử để đơn giản, tỷ lệ đường kính viên là hai. Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào thùng ảnh nhỏ được chụp qua ống nhòm với độ phóng đại gấp 2 lần. Chúng ta sẽ thấy gì?

Alpha. Chúng ta sẽ thấy một cái xô chứa đầy những cú đánh lớn. Khi tăng gấp đôi, cả thể tích của thùng và thể tích của từng phần sẽ tăng theo hệ số 8 $(8=2^3)$, nhưng tỷ lệ của chúng không thay đổi. Điều này có nghĩa là mật độ của phân số nhỏ và lớn sẽ giống nhau.

Beta. Hóa ra cùng một lượng nước sẽ được lấy ra khỏi xô. Tôi sẽ không nghĩ thế!

Sigma. Tuy nhiên, đây là đáp số chính xác. Và những tin nhắn tương tự đã giúp chúng tôi có được điều đó. Tôi chỉ muốn làm rõ một chút: đáp số của chúng tôi là đúng nếu kích thước của viên nhỏ hơn nhiều so với kích thước của thùng. Nếu các viên đạn lớn (hoặc thùng rất nhỏ), thì lý luận của chúng ta sẽ mất đi giá trị.

Nguyên nhân là do chúng ta đã sơ ý làm xáo trộn vị trí chính xác của các viên đạn gần thành thùng. Và nếu có nhiều viên hơn thì không thể bỏ qua ảnh hưởng của thành thùng nữa.

Beta. Giáo sư Sigma, bài toán nào khác có thể được giải quyết bằng thông báo tương tự?

Sigma. Thông điệp tương đồng đã được chứng minh là rất hữu ích trong sinh học. Và chúng lần đầu tiên được sử dụng để nghiên cứu cấu trúc của động vật bởi nhà khoa học vĩ đại người Ý của thế kỷ 16, Galileo Galilei. Galileo quan tâm đến câu hỏi một loài động vật rất lớn trên cạn, chẳng hạn như một con chó khổng lồ, có thể trông như thế nào. Trong một trong những cuốn sách của Galileo, bạn thậm chí có thể tìm thấy những bức vẽ về xương của một con chó tưởng tượng như vậy.

Alpha. Có nhiều điều để suy nghĩ ở đây? Phóng to bộ xương chung của con chó lên 10 lần và thế là xong!

Sigma. Không, nó không đơn giản như vậy. Sức mạnh của xương tỷ lệ thuận với diện tích mặt cắt ngang của chúng. Nếu kích thước tăng lên 10 lần thì diện tích này sẽ tăng lên 100 $(=10^2)$ lần. Điều này có nghĩa là xương của một con chó khổng lồ có thể chịu được tải trọng gấp trăm lần. Nhưng thực tế của vấn đề là tải không trả về 100 mà là 1000 lần. Rốt cuộc, tải trọng tỷ lệ thuận với khối lượng của động vật, tức là thể tích của nó. Âm lượng sẽ tăng 1000 $(=10^3)$ lần. Hóa ra là vậy

Người chiến thắng
cuộc thi «Kvant»

Hàng năm tạp chí của chúng tôi tổ chức một cuộc thi giữa các học sinh để giành được lời giải bài toán trên Bài toán Kvant. Theo quyết định của ban tổ chức Olympic toàn Liên đoàn, học sinh giành chiến thắng trong cuộc thi này được quyền tham gia ngay vòng 4 (cộng hòa) của Olympic toàn Liên đoàn.

Dưới đây là danh sách những người chiến thắng trong cuộc thi «Kvant» 1982 đã nhận được quyền tham gia Olympic Đảng Cộng hòa năm 1983. Tất cả đều được trao giải sách trong bộ “Thư viện «Kvant»” có tên tác giả.

Toán học

V. ALIVERDIEV - Baku, int. trường học. Số 1, lớp 10.
V. ARABIDZE - Tbilisi, Trường Vật lý và Âm nhạc được đặt theo tên. V. M. Komarova, lớp 10.
A. BERENSTEIN - Mátxcơva, tr. w. Số 1140, 10 lớp.
A. BIRGER - Ivanovo, tr. w. Số 6, 8 ô.
V. BULAVAS - Panevezys, tr. w. họ. Y. Balchikonisa, lớp 11.
G. NGƯỜI CHIẾN THẮNG - Sverdlovsk, tr. w. Số 9, 10 ô.
A. VINOGRADOV - Trường Vật lý số 18, lớp 10, Đại học Tổng hợp Matxcơva.
M. GARAEV - Fuzuli, làng. w. Số 2, 9 ô.
M. GORBUNOV - Minsk, tr. w. Số 19, 10 ô.
A. DEINEKA - Vinnitsa, s. w. Số 32, 10 ô.
A. DOBRIN - Kyiv, tr. w. Số 45, 10 ô.
O. EROSHKIN - Dnepropetrovsk, tr. w. Số 15, 10 ô.
M. ZAPLETIN - Alma-Ata, RFMSH, lớp 10.
K. ZYKOV - Mátxcơva, tr. w. Số 57, 10 ô.
A. IVCHENKO - Mogilev-Podolsky, tr. w. Số 1, 9 ô.
Y. KAKULOV - Tsalka, làng. w. Số 3, 10 ô.
A. KARPOVICH - Kyiv, tr. w. Số 39, 10 ô.
D. KORSHUNOV - Novosibirsk, tr. w. Số 25, 10 ô.
K. KOKHAS - Leningrad, tr. w. Số 239, 10 ô.
R. MISYAVICHIUS - làng. Povilayaskay Lit. SSR, làng Naumastskaya. sh., 10 cl.
F. NAZAROV - Leningrad, tr. w. Số 239, 9 ô.
L. ORIDOROGA - Donetsk, s. w. Số 64, 9 ô.
A. RODIONOV - Mátxcơva, tr. w. Số 444, 10 ô.
L. RUDYY - Kirovsk, tr. w. Số 6, 10 ô.
V. SADOWSKY - Tashkent, tr. w. Số 71, 10 ô.
A. SVIRIDOV - Trường Vật lý số 18, lớp 10, Đại học Tổng hợp Matxcơva.
S. STRUCOV - Voronezh, tr. w. Số 85, 9 ô.
S. TIPTSOV - Trường Vật lý số 2 KSU, lớp 10.
V. KHRYCHIKOV - Sevastopol, tr. w. Số 24, 9 ô.
U. EMMUS - Làng Nytsni, ESSR, làng Nyusskaya. sh., 11 ô
S. YUROVSKY - Trường Vật lý số 18, lớp 10, Đại học Tổng hợp Matxcơva.

Vật lý

E. BAGHDASARYAN - Baku, tr. w. Số 46, 9 ô.
G. BARANOV - Donetsk, s. w. Số 17, 10 ô.
A. DUNAEVSKY - Kyiv, tr. w. Số 39, 10 ô.
M. DYACHKOV - Làng Chernogolovka, vùng Mátxcơva, tr. w. Số 82, 10 ô.
S. EFIMOV - Baku, tr. w. Số 91, 10 ô.
R. ZHAMAITIS - Vilnius, tr. w. Số 9, 11 ô.
Y. ZVEGINTSEV - Kharkov, tr. w. Số 116, 10 ô.
M. ZIMANOV - Alma-Ata, RFMSH, lớp 9.
I. KALINOVSKY - Kyiv, tr. w. Số 145, 8 ô.
E. KANTSYPER - Tallinn, tr. w. Số 15, 10 ô.
S. CASTELLI - Bolgrad, tr. w. Số 1, lớp 10.
A. KORCHAGIN - Krasnoarmeysk, tr. w. Số 2, 10 ô.
G. LANDSBERG - Làng Protvino, vùng Mátxcơva, tr. w. Số 1, lớp 10.
O. LOPIN - Frunze, tr. w. Số 61, 10 ô.
D. MAKAROV - Làng Chernogolovka, vùng Moscow, làng. w. Số 82, 9 ô.
K. MAKARCHUK - Kyiv, tr. w. Số 145, 8 ô.
A. MALAY - Kaushany, tr. w. Số 4, 10 ô.
V. MOROZ - Minsk, tr. w. Số 16, 10 ô.
S. MUSAYEV - Baku, tr. w. Số 91, 10 ô.
M. PUSTILNIK - Sverdlovsk, tr. w. Số 9, 10 ô.
M. ROSENBERG - Leningrad, tr. w. Số 30, 10 ô.
V. ROMASHIN - Donetsk, tr. w. Số 17, 10 ô.
A. RYLYAKOV - Saratov, tr. w. Số 13, 10 ô.
F. SERZHENKO - Zaporozhye, tr. w. Số 28, 10 ô.
M. SKORIK - Kyiv, tr. w. Số 145, 9 ô.
V. FELDMAN - Saratov, tr. w. Số 13, 10 ô.
I. SHOYKHET - Tashkent, tr. w. Số 71, 10 ô.

44

6. Vectơ $\vec{PA}' + \vec{PB}' + \vec{PC}'$ vuông góc với mặt phẳng $ABC$.
   c) Từ điểm $O$, nằm bên trong khối đa diện $ABCD$, các đường vuông góc được hạ xuống trên mặt phẳng của các mặt của nó. Trên các đường vuông góc này tính từ điểm $O$, các đoạn được đặt có chiều dài bằng diện tích của các mặt tương ứng và các đầu của các đoạn này thuộc về các đỉnh của khối đa diện mới $A'B'C'D'$. (Tất nhiên, khi dịch song song, khối đa diện này không phụ thuộc vào việc chọn điểm $O$.) Chứng minh rằng bằng cách lặp lại cách xây dựng này cho khối đa diện $A'B'C'D'$, chúng ta thu được một khối đa diện sẵn sàng cho khối đa diện ban đầu với hệ số 3V, trong đó $V$ là thể tích của khối đa diện ban đầu $ABCD$. (Nếu $3V=1$, thì khối đa diện cuối cùng được lấy từ khối ban đầu bằng cách chuyển song song.)

V. N. Dubrovsky

M794. Hai đường tròn cắt nhau tại các điểm $A$ và $B$. Qua điểm $K$ của đường tròn thứ nhất vẽ các đường thẳng $KA$ và $KB$, cắt đường tròn thứ hai tại các điểm $P$ và $Q$ (Hình 2). Chứng minh rằng dây cung $PQ$ của đường tròn thứ hai vuông góc với đường kính $KM$ của đường tròn thứ nhất.

Alla Ivchenko, học sinh lớp 9 quy mô số 1
Mogilev-Podolsky

M795. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\sigma(n)$ tổng của tất cả các ước của số tự nhiên $n$ (Hình 3). Chứng minh rằng có vô số $n$ sao cho $a) \sigma(n) > 2n; 6) \sigma(n) > 3n$. Chứng minh rằng với mọi $n$ trong $^* \sigma(n) < n(\log_2 n + 2); \gamma) \sigma(n) < n(\ln n + 1)$.

V. F. Lev

F803. Một người leo lên dốc với góc đi lên $a$ với tốc độ không đổi $v_0$ và kéo một chiếc xe trượt có khối lượng $m$ trên một sợi dây nhẹ có chiều dài $l$, nằm trên một mặt cắt ngang (Hình 4). Tìm lực căng của sợi dây tại thời điểm nó tạo một góc $a$ với mặt phẳng nằm ngang. Bỏ qua lực của xe trượt trên mặt đường.

V. I. Chivilev

F804. Hai ngôi sao giống hệt nhau $A$ và $B$ quay dưới tác dụng của lực hút lẫn nhau ở một khoảng cách không đổi $R$ với nhau. Ở một khoảng cách không xác định $x$ tính từ các ngôi sao, một hành tinh ánh sáng $C$ di chuyển trong mặt phẳng quỹ đạo của chúng, với $|AC| = |BC| = x$ và hình tam giác $ABC$ vẫn giữ nguyên kích thước của nó. Tìm khoảng cách $x$.

G. L. Kotkin

F805. Thông qua một tụ điện phẳng chứa đầy chất điện môi có hằng số điện môi $e$ và điện trở suất $Q$, dòng điện chạy qua $i(t) = I_0 \cos \omega t$. Xác định am-

45

Tấm điện áp trên tụ điện. Khoảng cách giữa các tấm là $d$, diện tích mỗi tấm là $S$.

V. V. Mozhaev

F806. Trong mạch như hình 5, ngay sau khi tắt từ trường bên ngoài nơi đặt cuộn dây có độ tự cảm $L$, một dòng điện $I$ chạy qua một điện trở có điện trở $R_1$. Bỏ qua điện trở thuần của cuộn dây, xác định nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở có điện trở $R_1$ và trên điện trở có điện trở $R_2$. Từ trường có hướng vuông góc với mặt phẳng quay của cuộn cảm.

V. V. Mozhaev

F807. Một cục pin có EMF không đổi $\varepsilon_0$ được mắc nối tiếp với cuộn cảm $L$ và tụ điện emf $C$ thông qua phím $K$ (Hình 6). Tại thời điểm ban đầu phím $K$ mở, tụ chưa tích điện. Xác định giá trị dòng điện cực đại trong mạch sau khi đóng phím. Bỏ qua điện trở Ohm trong mạch.

Problems

M791—M795; P803—P807

M791. On his birthday Pete was given a microcalculator which carries out the following operations: for any numbers $x$ and $y$ it computes $x+y$, $x-y$, $x+1$ and $1/x$ (when $x \neq 0$). Pete says he uses his calculator to:
a) compute the square of any number in 6 operations or less;
b) multiply any two numbers in 20 operations or less. How does he do it?

S. B. Gashkov

M792. Find the positive integer solutions of the equations
a) $3^x+1=2^y$; b) $3^x-1=2^y$; c)*
Find all positive integers $n$ for which both fractions $1/n$ and $1/(n+1)$ have finite decimal expansions. d)*
Prove that for any prime $p>3$ and any integer $m>1$ neither of the numbers $p^m+1$ and $p^m-1$ is a power of 2.

S. N. Bychkov, V. V. Prasolov, L. D. Kurlyandchik

M793.* Ba đoạn thẳng $PA', PB', PC'$ được dựng vuông góc với các mặt $PBC$, $PCA$, $PAC$ của tứ diện $PABC$; độ dài của các đoạn bằng diện tích của các mặt này và các điểm $A'$ và $A$, $B'$ và $B$, $C'$ và $C$ nằm trên các cạnh đối diện của mặt phẳng chứa các mặt này (xem hình Ảnh 1). Chứng minh rằng
a) Repeating this construction for the tetrahedron $PA'B'C'$ (from vertex $P$), we obtain a tetrahedron homothetic to $PABC$ with coefficient $3V/4$, where $V$ is the volume of $PABC$.

47

Lời giải bài toán

M770, M775—M779; F788—F792

Đầu tiên là lời giải. Chúng ta có thể giả sử rằng độ dài cạnh đáy là 1. Gọi $x \geq y \geq z$ là độ dài của các cạnh PA, PB và PC. Rõ ràng là $x+y \geq x+Z \geq y+z \geq 1$.

Theo định lý cosine (xem hình 1)

$$x^2+1=y^2+ax,$$
$$y^2+1=z^2+ay,$$
$$z^2+1=x^2+az,$$

ở đâu $a=2\cos \alpha (0<a<2)$. Nó theo sau đó

$$\begin{cases} x^2-y^2=y^2-z^2+a(x-y), \\ y^2-z^2=z^2-x^2+a(y-z), \\ z^2-x^2=x^2-y^2+a(z-x), \end{cases}$$

$(x+y-a)(x-y)=(y-z)(y+z),$
$(y+z-a)(y-z)=(z-x)(z+x),$
$(z+x-a)(z-x)=(x-y)(x+y). Легко видеть, что если какие-либо два из чисел$x, y, z$равны, то равны и все три числа. Предположим, что$x \neq y, y \neq z, x \neq z$. Переменная уравнения последней системы, получим после сокращений$$(x+y-a)(y+z-a)(z+x-a)=(y+z)(z+x)(x+y).$$Поскольку права часть (*) положительная, должна быть положительная и левая часть. При этом, если все три сомножителя положительных, то равенство (*) невозможно. Следовательно,$y+z-a<0; y+z-a<0, a+x-y-a>0$. Кроме того,$(x+z)+(y+z)>2>2a$. Поэтому$(y+z-a) \times (x+z-a)=(y+z)(x+z)-(x+z+y+z)a+a^2=(x+z) \times (y+z)+a(a-(h+z+y+z))<(x+z)(y+z)+a(a-2)<(x+z)(y+z).

Do đó vế trái của tích (*) nhỏ hơn vế phải. Sự mâu thuẫn.

Thứ hai lời giải. Chúng ta hãy dựng góc $a$ trên mặt phẳng. Một trong các cạnh của nó là đoạn $|OK|=1$, và ở phía bên kia, chúng ta đặt các đoạn $OP=x, |OQ|=y, |OR|=z$ sang một bên. Các hình tam giác thu được được chứa các cạnh của paramid, với $|PK|=y, |QK|=z, |RK|=x$.

Từ tam giác RQK ​​ta thu được $x=|RK|<|QR|+|QK|=y-z+z=y$, tức là $x<y$ - mâu thuẫn!

S. A. ValerIAN

M775. Với số tự nhiên nào $n \geq 3$ thì có các số tự nhiên $a_1, a_2, \dots, a_n$ hoặc $a_n-a_1$ khác nhau?

Đáp số: tại $n=4k$ hoặc $n=4k-1, k \in N$. Hãy xét tổng $S=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+\dots+|a_n-a_1|$. Theo điều kiện, tất cả $n$ số hạng cấu thành của nó đều khác nhau và nằm giữa các số 1 và $n$, do đó $S=1+2+\dots+n=n(n+1)/2$. Mặt khác, nếu chúng ta thay thế các hiệu của các hiệu của các số $a_i$ trong tổng này bằng các hiệu có các dấu tương ứng và cho các số tương tự, thì mỗi số $a_1, \dots, a_n$ sẽ được đưa vào tổng với hệ số 2, -2 hoặc 0 (vì bất kỳ số nào trong số chúng đều được chứa trong chính xác hai modil). Vì vậy, $S$ là số chẵn. Tuy nhiên, vì $n+1$ là các số có chẵn lẻ khác nhau nên số $n(n+1)/2$ sẽ là số chẵn khi và chỉ khi $n$ hoặc $n+1$ chia hết cho 4, tức là $n=4k$ hoặc $n=4k-1, k \in N$.

Trong trường hợp chung, cần phải chỉ định số: xem hình. 1 cho $n=4k$ và hình. 2 cho $n=4k-1$. Để thuận tiện, nhìn chung các số $a_i$ được sắp xếp xung quanh một vòng tròn; trong hình $1a_1=4k+1, a_2=1, a_3=4k, \dots, a_n=2k+1$ (không được sử dụng $k+1$), trong hình $2a_1=4k, a_2=1, a_3=4k-1, \dots, a_n=2k$ (không được sử dụng $3k$). Lưu ý rằng trong các hình tổng quát, khi di chuyển theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ $a_1$, các số được viết bên trong các vòng tròn,

48

Hình 2.

M776. Trên các đường chéo AC và CE của lục giác đều ABCDEF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho
$$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|CN|}{|CE|} = \lambda.$$
Biết rằng các điểm B, M và N nằm trên cùng một đường thẳng. Tìm λ.

M777. Phương trình $x^3 - 3xy^2 + y^2 = n$ được đưa ra. Chứng minh rằng
a) nếu n tự nhiên sao cho phương trình đã cho có số nguyên lời giải thì nó có ít nhất ba số nguyên lời giải;
b) với n = 2891 phương trình này không có số nguyên lời giải.

tăng, số viết bên ngoài giảm, số “nội” nhỏ hơn số “bên ngoài”. Từ đây dễ dàng suy ra rằng các tập hợp đã cho thỏa mãn điều kiện bài toán.

A. V. Anjan

♦ Đáp số: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Gọi $L$ là giao điểm của các đường chéo AC và BF (xem hình). Các đường chéo BF và CE song song nên các tam giác BLM và NCM đồng dạng; kể từ đây,
$$\frac{|BL|}{|NC|} = \frac{|LM|}{|CM|}.$$
Chúng ta hãy biểu thị độ dài của các đoạn trong đẳng thức này thông qua $\lambda$, coi độ dài của đường chéo AC bằng 1.
Từ sự giống nhau của các tam giác ABL và CFL suy ra $|BL|:|LF| = |AB|:|CF| = 1:2$. Do đó, $|BL| = 1/3$, vì $|BF| = |AC| = 1$. Tương tự như vậy, $|AL| = 1/3$. Rõ ràng là $|CN| = |AM| = \lambda$, $|CM| = 1 - \lambda$ và $|LM| = |AM| - |AL| = \lambda - \frac{1}{3}$. Như vậy,
$$\frac{1/3}{\lambda} = \frac{\lambda - 1/3}{1 - \lambda},$$
nghĩa là, $\lambda^2 = 1/3$ và $\lambda = 1/\sqrt{3}$.

A. P. Savin

♦ a) Hãy ký hiệu vế trái của phương trình bằng $P(x, y)$. Nó có thể được viết lại như thế này:
$$P(x, y) = x^3 - 3xy^2 + y^3 = (y - x)^3 + 3(y - x)x^2 - x^3 = -y^3 + 3y(x - y)^2 + (x - y)^3.$$
Vì vậy, $P(x, y) = P(y - x, -x) = P(-y, x - y)$. Do đó, nếu cặp số nguyên $(x, y)$ là nghiệm của phương trình của chúng ta thì hai cặp số nguyên $(y - x, -x)$ và $(-y, x - y)$ nữa cũng thỏa mãn nó. Tất cả các cặp này đều khác biệt, hoặc nói cách khác là $x = y = 0$, điều này là không thể với $n \neq 0$.

b) Để chứng minh phương trình $x^3 - 3xy^2 + y^3 = 2891$ không có số nguyên lời giải, chỉ cần chứng minh rằng vế trái không có số nguyên $x$ và $y$ nào khi chia cho 9 đều dư 2, vì $2891 = 9 \cdot 321 + 2$. Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng một bảng trong đó, đối với tất cả các số dư có thể có khi chia số $a$ cho 9, các số dư của các số $3a$ và $a^3$ đều được đưa ra.

| $a$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $3a$ | 0 | 3 | 6 | 0 | 3 | 6 | 0 | 3 | 6 |
| $a^3$ | 0 | 1 | 8 | 0 | 1 | 8 | 0 | 1 | 8 |

Từ hàng thứ hai và thứ ba của bảng, rõ ràng có thể lấy được số dư 2 ở vế trái khi và chỉ nếu số dư từ phép chia lần lượt của $x^3$, $3xy^2$ và $y^3$ cho 9