Kvant 1984, số 4 · Trang

QUANTUM
4
1984

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Họa sĩ A. E. Ostaev đã lấy bề mặt hai chiều không định hướng làm cơ sở cho bức vẽ này. Các bề mặt khác cũng có thể được nhìn thấy bên trong tạp chí trong phần “Trang bìa của chúng tôi”.

1

khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

4 1984
Được thành lập vào năm 1970

Nhà xuất bản “Khoa học”. Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học

TẠI NHÀ:

2 Cuộc thám hiểm không gian tiếp tục
4 A. A. Ruzmaikin. Về bản chất của từ trường vũ trụ
11 V. V. Rozhdestvensky. Bạn có thể đếm được không?

The study of outer space continues
A. A. Ruzmaikin. On the nature of cosmic magnetism
V. V. Rozhdestvenski. Do you know how to count?

tin tức khoa học
16 A. Vâng. Parshin. Sóng kết tinh
17 Khoa học-83

Science news
A. Ya. Parshin. Crystalization waves
Science-83

vòng tròn toán học
18 MB Balk, V. G. Boltyansky. Làm sáng trọng tâm lời giải

Mathematics circle
M. B. Balk, V. G. Boltyanski. Centre of mass helps solving

Trường học ở «Kvant»
23 Vật Lý 8, 9, 10
26 B. S. Eppel. Đạo hàm một hàm phức
28 trường học yêu thích bài toán

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
B. S. Eppel. The chain rule

Selected school problems

«Kvant» cho học sinh nhỏ
29 nhiệm vụ
30 B. A. Rosenfeld. Tên của các hình dạng hình học đến từ đâu?

Kvant for younger school-children
Problems
B. A. Rozenfeld. Where did the names of geometric figures come from?

Bài tập «Kvant»
32 Nhiệm Vụ M856 - M860; F868 — F872
35 Lời giải bài toán M841 — M845; F852 — F857

Kvant’s problems
Problems M856 — M860; P868 — P872
Solutions M841 — M845; P852 — P857

Trò chơi, câu đố
42 AV Balko. Chuỗi có cổ phần đang chạy

Games and puzzles
A. V. Byalko. A chain with a running link

Xưởng của người nộp đơn
46 S. M. Kozel, A. A. Sheronov. Nhiệt dung của khí lý tưởng

College applicant’s section
S. M. Kozel, A. A. Sheronov. Heat capacity of ideal gazes

Information
Moscow university physics correspondence school

Các lựa chọn thi tuyển sinh

College entrance examination problems

Đáp số, gợi ý, lời giải
Bìa của chúng tôi (41)
Trộn (44, 45, 49, 50, 51)
Trang cờ vua
Giải vô địch máy tính thế giới lần thứ tư (trang bìa thứ 3)

Answers, hints, solutions
Our cover page (41)
Miscellaneous (44, 45, 49, 50, 51)
The chess page
Fourth world computer chess championship (3rd cover page)

Bức ảnh được sao chép trên trang đầu tiên của trang bìa được chụp bởi nhà du hành vũ trụ A. S. Ivachenkoov và V. V. Kovalenok.
Đây là cách họ nhìn Trái đất qua góc nhìn rộng của trạm quỹ đạo Salyut-6.

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1984

Cuộc thám hiểm không gian tiếp tục

Mỗi năm đều mang đến những thành công mới trong việc thám hiểm không gian cho khoa học Liên Xô. Rất nhiều điều đã được thực hiện trong lĩnh vực này vào năm ngoái.

Các phi hành gia Vladimir Lyakhov và Aleksadr Aleksadrov đã làm việc 150 ngày trên trạm quỹ đạo Salyut-7. Đặc biệt, họ đã thực hiện một chương trình nghiên cứu sâu rộng về tài nguyên thiên nhiên của Trái đất, theo đó, cùng với các phi hành gia, họ tiến hành kiểm tra các tàu, máy bay và trạm mặt đất đặc biệt. Ví dụ, vào tháng 9 năm 1983, một thí nghiệm phức tạp “Intercosmos - Biển Đen” đã được thực hiện, trong đó các quan sát “đa tầng” về trạng thái của biển và bầu khí quyển phía trên nó ở nhiều độ sâu và độ cao khác nhau được thực hiện đồng thời.

Một thành tựu nổi bật là việc lắp đặt thêm các tấm pin mặt trời tại trạm Salyut-7, giúp tăng đáng kể nguồn cung cấp điện cho trạm. Đây là một bước tiến lớn hướng tới công việc lắp đặt trong tương lai về lắp ráp các cấu trúc kỹ thuật phức tạp trong không gian. Trong bức ảnh trên, bạn có thể thấy nhà du hành vũ trụ A. Aleksadrov trong quá trình tái nhập vũ trụ.

Việc nghiên cứu các quy trình kỹ thuật khác nhau trong điều kiện không trọng lực và chân không sâu, được thực hiện tại trạm Salyut-6 và Salyut-7 trong các chuyến bay vào vũ trụ dài ngày, giúp bắt đầu sản xuất vật liệu bán dẫn có giá trị, tinh thể có đặc tính khác thường và dược chất mới.

Nghiên cứu về hành tinh Venus tiếp tục thành công. Trong năm qua, người ta đã thu được thông tin rất có giá trị đối với khoa học hành tinh về thành phần và cấu trúc của bầu khí quyển sao Kim, sau đó là bề mặt của hành tinh này theo thứ tự xích đạo (bức ảnh cho thấy toàn cảnh một phần bề mặt của sao Kim thu được từ mô-đun đi xuống của trạm Venera-14). Hóa ra bề mặt hành tinh đã nóng lên tới 460 ° C. Bầu khí quyển của Sao Kim ở trạng thái cơ bản gồm carbon dioxide và nitơ và tạo áp suất 90 atm lên bề mặt hành tinh.

Năm 1983, hai tàu vũ trụ của Liên Xô đã đi vào quỹ đạo của các vệ tinh của Sao Kim.

trạm khoa học “Venera-15” và “Venera-16”. Chúng phức tạp hơn nhiều so với người tiền nhiệm của chúng. Cả hai trạm đều được lắp đặt radar nhìn từ bên, giúp nghiên cứu địa hình bề mặt hành tinh ở các vùng cực không thể tiếp cận trước đây. Như vậy, trong tương lai gần, khoa học của chúng ta sẽ có bản đồ chi tiết về bề mặt Sao Kim ở tất cả các khu vực của nó. Từ những gì chúng ta đã biết về hành tinh này, nó có những dãy núi khổng lồ và độ cao của những ngọn núi tiếp cận đôi khi lên tới 13 km, cao hơn nhiều so với Everest.

Các trạm “Venera-15” và “Venera-16” cũng được trang bị thiết bị cho phép ghi lại bức xạ nhiệt của các lớp khác nhau của bầu khí quyển sao Kim nằm phía trên lớp mây, ở độ cao từ 65 đến 95 km so với bề mặt hành tinh. Chính ở những độ cao này, cái gọi là “hiệu ứng nhà kính” xảy ra - sự hấp thụ của bầu khí quyển một phần nhiệt đáng kể rời khỏi bề mặt Sao Kim vào không gian bên ngoài. Đây là nguyên nhân dẫn đến sự nóng lên thêm của hành tinh. Có giả thuyết cho rằng hiệu ứng tương tự có thể xảy ra trong bầu khí quyển Trái đất dưới tác động của các sản phẩm đốt nhiên liệu. Điều này có thể dẫn đến những thay đổi không mong muốn trong khí hậu của chúng ta. Nghiên cứu về hiện tượng này rất được các nhà khí tượng học và khí hậu học quan tâm.

Một thí nghiệm nghiên cứu nhiệt độ của các tầng khí quyển khác nhau của sao Kim đã được các nhà khoa học Liên Xô cùng với các nhà khoa học CHDC Đức chuẩn bị.

Năm 1983, các đài quan sát vũ trụ Astron và Prognoz-9 của Liên Xô được phóng với mục đích khám phá độ sâu xa xôi của Vũ trụ. Astron được thành lập bởi kính viễn vọng quang học lớn nhất nằm bên ngoài bầu khí quyển trái đất. Kính thiên văn khám phá chi tiết các loại sao khác nhau, cũng như các thiên hà và chuẩn tinh xa xôi. Các ngôi sao đã được phát hiện trong bầu khí quyển có lượng uranium, chì và vonfram nhiều gấp hàng trăm lần so với bầu khí quyển của Mặt trời. Một số thiên hà có mức độ bức xạ cực tím cao chưa được biết đến đã được ghi nhận.

Kính thiên văn tia X lắp trên Astron cũng hoạt động thành công. Nó sử dụng siêu tân tinh để nghiên cứu siêu tân tinh, cũng như các ngôi sao tia X đang bùng cháy - vụ nổ*. Kính thiên văn này cho phép bạn ghi lại hiệu ứng “bật” nguồn tia X trong chòm sao Hercules.

Chính quyền Mỹ hiện tại đã nhiều lần tuyên bố mong muốn chuyển cuộc chạy đua vũ trang vốn đã cực kỳ nguy hiểm ra ngoài vũ trụ và chuẩn bị cho các “cuộc chiến tranh giữa các vì sao” trong tương lai chống lại các quốc gia xã hội chủ nghĩa. Liên Xô đang tích cực đấu tranh để ngăn chặn việc bố trí bất kỳ loại vũ khí nào trong không gian gần Trái đất. Chúng tôi hướng tới không gian yên bình, được nghiên cứu thông qua nỗ lực chung của các nhà khoa học từ các quốc gia khác nhau.

*) Xem “Quant”, 1983, số 8.

5

sự hình thành một chất (sắt nóng chảy với hỗn hợp cacbon, lưu huỳnh, silicon) trong lớp vỏ lỏng của lõi Trái đất (đây là lớp hình cầu nằm trong khoảng từ 0,19 đến 0,55 bán kính Trái đất). Trong các ngôi sao khí (chẳng hạn như Mặt trời của chúng ta), từ trường được tạo ra ở lớp vỏ bên ngoài, bị ion hóa một phần khoảng 1/10 bán kính của ngôi sao.

Vì vậy, từ trường vũ trụ được tạo ra bởi dòng điện chạy trong môi trường dẫn điện. Theo cách tương tự, trường được tạo ra trong cuộn dây của nam châm điện (Hình 1, 6). Nhưng để duy trì dòng điện trong nam châm điện thì cần có nguồn năng lượng bên ngoài. Trong khi đó, trong điều kiện không gian, “pin” EMF hoạt động do tác dụng hóa học hoặc nhiệt thường yếu hoặc hoàn toàn không có. Nguồn từ trường chính trong điều kiện không gian là sự chuyển động của chính môi trường dẫn điện.

Từ trường vũ trụ không phải là hằng số. Ví dụ, trường quy mô lớn của Mặt trời gần như thay đổi cực theo định kỳ cứ sau 11 năm. Liên quan đến những thay đổi này là tính chu kỳ của hoạt động mặt trời, biểu hiện dưới dạng các đốm đen, quầng sáng mặt trời, quầng sáng và các hiện tượng khác. Trong những năm gần đây, tính tuần hoàn đã được phát hiện ở nhiều ngôi sao. Từ trường của Trái đất gần chúng ta cũng không ổn định. Sau một khoảng thời gian dài - xấp xỉ tính bằng năm - nó thay đổi hướng 180°: cực bắc từ trở thành cực nam và ngược lại.

Tại sao từ trường thay đổi trong môi trường dẫn điện?

Điện trường do một điện tích tạo ra sẽ biến mất nếu điện tích này bị trung hòa bởi một điện tích trái dấu. Trong một plasma bao gồm số lượng điện tích dương và âm chuyển động bằng nhau, mọi điện tích dư thừa cùng dấu vô tình xuất hiện ở bất kỳ khu vực nào sẽ nhanh chóng bị trung hòa. Rõ ràng là độ dẫn điện của plasma càng cao thì thời gian trung hòa điện trường càng ngắn. Từ trường trong plasma được tạo ra bởi các điện tích chuyển động, tức là dòng điện. Rõ ràng, khi những thay đổi hiện tại, lĩnh vực này sẽ thay đổi.

Trước tiên chúng ta hãy thảo luận xem dòng điện thay đổi như thế nào không phải trong plasma mà trong các dây kim loại thông thường có trong mỗi phòng.

Xét một vòng dây có bán kính $r$ có tiết diện $\pi l^2$ có điện trở suất $Q$ (Ohm m). Trước tiên, hãy nối cuộn dây với pin và cho dòng điện $I$ (A) chạy qua nó, tạo ra từ trường $B$ (T) trong không gian xung quanh cuộn dây. Trường tối đa đạt được ở trung tâm của cuộn dây. Nó vuông góc với mặt phẳng của nó và có độ lớn bằng $B_{\max} = I/2r$. Năng lượng từ trường của hệ thống này có thể được ước tính là

$$W \approx \mu_0 \frac{B^2_{\max}}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \quad (\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \Gamma_{\mathrm{H}} \cdot \mathrm{m}).$$

Hình 1. Từ trường của Trái đất (a) ở bên ngoài giống như từ trường của nam châm vĩnh cửu. Tuy nhiên, bản chất của các lĩnh vực này là khác nhau. Từ tính của nam châm được giải thích bằng tính chất lượng tử phức tạp của các hạt tạo nên vật rắn. Từ trường Trái đất được tạo ra bởi dòng điện chạy trong lõi chất lỏng. Về vấn đề này, từ trường của trái đất tương tự như từ trường của nam châm điện (b).

6

ka, hãy đóng mục tiêu lại. Thoạt nhìn, dòng điện sẽ lập tức dừng lại do điện trở của dây dẫn $R$. Tuy nhiên, trên thực tế dòng điện sẽ không biến mất ngay lập tức. Tốc độ phân rã của nó quyết định sự mất đi Joule nhanh chóng $N = I^2 R$ (J/s). Dòng điện được hỗ trợ bởi năng lượng từ tính được lưu trữ trong cuộn dây. (Lưu ý rằng năng lượng từ trường lớn hơn nhiều so với động năng của các hạt mang dòng điện - electron.) Năng lượng này biến mất theo thời gian

$$\tau \approx \frac{W(\Delta x)}{N(\Delta x/c)} \sim 10^{-6} \sigma l^2(c),$$

trong đó $\sigma = 1/\varrho$ là độ dẫn điện của vật liệu cuộn dây.

Chúng ta hãy ước tính thời gian phân rã trường $t$ đối với một dây đồng có bán kính tiết diện ngang $l = 1$ cm. Độ dẫn điện của đồng là khoảng $6 \cdot 10^7 (\Omega \cdot \Omega)^{-1}$. Chúng tôi hiểu rằng nó chưa đến một phần trăm giây.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang plasma vũ trụ. Độ dẫn điện của nó thường giống như độ dẫn điện của kim loại xấu, nhưng diện tích chiếm giữ của dòng điện là rất lớn. Trong trường hợp này, thời gian đặc trưng của sự thay đổi trường trở nên rất lớn. Ví dụ, ở lớp vỏ trên của Mặt trời, độ dẫn điện của plasma là khoảng $10^6 (\Omega \cdot \Omega)^{-1}$ (ở nhiệt độ phòng, thủy ngân có khoảng $\sigma$, thấp hơn và cao hơn). Bán kính của Mặt trời là ~700 nghìn km, tức là $7 \cdot 10^8$ m. Do đó, thời gian biến mất của trường được tạo ra bởi dòng điện chạy trong một lớp vỏ có kích thước bằng 1/10 bán kính có độ lớn bằng $10^{15}$ s, hay khoảng 100 triệu năm! Tất nhiên, ước tính là rất gần đúng. Nhưng hãy so sánh với phần nhỏ của giây đối với dây đồng. Hóa ra, điện trở thông thường trên thực tế không làm thay đổi từ trường quy mô lớn từng được tạo ra. Vậy làm thế nào chúng ta có thể giải thích điều đó, chẳng hạn, từ trường mặt trời thay đổi trong khoảng thời gian ngắn hơn - 11 năm?

Nguyên nhân là do môi trường đang chuyển động. Chuyển động của môi trường trong đó có các điện tích dương và âm tự do tương đương với chuyển động của vật dẫn. Sách giáo khoa “Vật lý 9” cho thấy chuyển động của một dây dẫn trong từ trường đi kèm với sự xuất hiện của các chuyển động điện của lực và nếu hai đầu của dây dẫn đó đóng lại thì sẽ xuất hiện dòng điện trong mạch. Dòng điện thứ cấp này tự tạo ra một từ trường, từ trường này khi được thêm vào từ trường ban đầu sẽ làm thay đổi nó. Điều đáng chú ý là do sự thay đổi như vậy trong một plasma dẫn điện hoàn hảo, điện trở của nó bằng 0, tổng từ thông $\Phi = BS$ (S là diện tích của mạch) sẽ không thay đổi. Điều này có nghĩa là từ trường được tạo ra bởi một dây dẫn chuyển động dường như cũng chuyển động theo nó. Từ trường như vậy thường được gọi là từ trường đóng băng trong plasma. Người ta có thể hình dung rõ ràng một từ trường trong một môi trường dẫn điện chuyển động, trong đó trên bề mặt của một sợi dây nhẹ được ném thành một dòng: sợi dây không chỉ được truyền mà còn bị giãn ra nếu các hạt chuyển động trong dòng chuyển động ra xa nhau.

Khi bị đóng băng, toàn bộ chuyển động của plasma mang theo các đường sức từ. Chuyển động của một số phần của plasma so với các biến dạng khác của đường sức từ: chúng giãn ra và uốn cong. Đường từ trường ban đầu đi qua hai phần gần nhau của plasma, sẽ tiếp tục đi qua các hạt giống nhau, tức là đi theo chuyển động của chúng (Hình 2). Số lượng đường sức từ hình thành nên một khu vực bất kỳ, bao phủ một vòng khép kín gồm các hạt chất lỏng chuyển động, không thay đổi (ở mức $\varrho = 0$). Cảm ứng từ $B$ của trường có thể xảy ra trong quá trình biến dạng, khi các khu vực có cùng hướng từ trường đến gần nhau và yếu đi khi các khu vực có hướng ngược lại của trường đến gần hơn. Điều này có thể được nhìn thấy từ

Hình 2. Từ trường thay đổi khi di chuyển một phần của plasma dẫn điện lý tưởng từ vị trí 1 - 2 sang vị trí 1’ - 2'.

7

đẳng thức $B = \Phi/S$: nếu $\Phi$ không thay đổi thì $B$ thay đổi theo tỷ lệ nghịch với $S$.

Một cách đơn giản để tăng cường từ trường là loại bỏ lớp plasma (nghĩa là giảm giá trị $S$). Ý tưởng này được sử dụng để đưa ra lời giải thích đơn giản nhất cho từ trường khổng lồ của sao xung. Sao xung là một sao neutron nhỏ gọn có bán kính $r$ khoảng 10 km. Nếu chúng ta giả sử rằng một ngôi sao neutron được hình thành do sự đi xuống của một ngôi sao bình thường có bán kính $r_0$ khoảng 1 triệu km, thì trong quá trình đi xuống, bán kính của nó giảm theo hệ số $10^5$. Bảo toàn từ thông được giới thiệu.

$$\pi r_0^2 B_0 = \pi r^2 B,$$

trong đó $B_0$ là trường của ngôi sao ban đầu, $B$ là trường của sao xung. Do đó, trong quá trình dốc xuống, trường được tăng cường $(r_0/r)^2 = 10^{10}$ lần. Do đó, từ trường khiêm tốn của một ngôi sao bình thường có cảm ứng từ, chẳng hạn 0,01 T, biến thành một từ trường có cảm ứng từ $10^8$ T.

Mặt khác, chuyển động của plasma dẫn đến sự uốn cong và vướng víu của các đường dây từ. Và đối với các cánh đồng quy mô nhỏ, như chúng ta đã thấy, tổn thất Joule trở nên đáng kể.

Hóa ra có thể có những chuyển động của plasma mà hiệu ứng của một trường quy mô lớn thành công chiếm ưu thế hoặc ít nhất là không thua kém sự suy yếu. Trong trường hợp này, plasma chuyển động hoạt động như một máy phát điện.

Điều tự nhiên là người ta gọi một cỗ máy như vậy là “động lực học” (máy phát điện từng được gọi là máy phát điện). Hoạt động của máy phát điện thường được thể hiện bằng ví dụ về khung mang dòng điện quay trong từ trường của nam châm.

Máy phát điện thủy từ

Động lực học trong môi trường dẫn mà chúng ta đang nói đến, không giống như máy phát kỹ thuật, hoạt động mà không cần dây dẫn, cuộn dây và quan trọng nhất là không có từ trường bên ngoài vốn phải có trong máy phát thông thường *). Vì nguồn năng lượng trong máy phát điện này chỉ là thủy điện
chuyển động động của plasma, nó được gọi là “thủy từ”. Để kích hoạt dianon thủy từ, chỉ có từ trường ban đầu yếu bằng 0. Nhìn chung, trường yếu tồn tại do các hiệu ứng tương tác khác nhau giữa các phần tích điện của plasma.

Ý tưởng giải thích từ trường của Trái đất và Mặt trời bằng chuyển động thủy từ được nhà vật lý nổi tiếng người Anh J. Larmore đưa ra vào năm 1919. Nhưng liệu một dianono thủy từ tự kích thích có thể “hoạt động” mà không cần nguồn EMF bên ngoài? Câu trả lời tích cực đáp số cho câu hỏi này là tốt nhất nên sử dụng một ví dụ được viện sĩ Ya chứng minh lần đầu tiên vào năm 1971. B. Zeldovich tới những người tham gia hội nghị chuyên đề ở Krakow.

Chúng ta hãy lấy một dây garô dạng vòng bao gồm các vòng cao su riêng lẻ (Hình 3, a). Để dây cao su bắt chước các đường nam châm có cùng hướng (đặt nó bằng mũi tên rất tiện lợi). Chúng ta hãy cuộn sợi dây thành hình số tám (Hình 3, b), đặt một vòng của hình số tám lên vòng kia và kéo căng sợi dây đôi đến cùng kích thước (Hình 3, c). Hãy chú ý đến hướng mũi tên; họ giống nhau. Do đó, số lượng đường sức từ đi qua bất kỳ tiết diện nào của bó đã tăng gấp đôi. Bằng cách lặp lại quá trình gấp và kéo dãn, mỗi lần bạn có thể nhân đôi số lượng đường sức từ trong bó cho đến khi độ đàn hồi của cao su đáp ứng được điều này. Lưu ý rằng nếu bạn bắt đầu từ một điểm nào đó trong dây garô ban đầu, bạn có thể quay lại điểm đó bằng cách đi vòng một vòng. Sau khi nhân đôi số lần quay trở lại cùng một điểm, cần phải thực hiện hai vòng tròn. Vì vậy, gói nhân đôi không hoàn toàn tương đương với gói ban đầu. Để loại bỏ điều này, mỗi lần bạn có thể cắt sợi dây ở điểm shiba của hình số tám và khâu các vòng tròn được giải phóng, sau đó gấp chúng thành một sợi đôi, tương đương với sợi ban đầu.

Trong điều kiện tự nhiên, hoạt động nhân đôi có thể thực hiện các chuyển động của một môi trường trong đó từ trường ban đầu yếu bị “đóng băng”. Không khó để tưởng tượng những chuyển động của

*) Trong các máy phát điện lớn hiện đại, dòng điện tạo ra trường được lấy từ chính máy phát điện - theo nghĩa này, sự giống nhau là rất lớn. Tuy nhiên, cách sắp xếp cuộn dây và thiết kế của những máy phát điện như vậy đã được phát minh.

8

Xoay không đều

Chuyển động đơn giản nhất, đặc trưng của tất cả các hành tinh, ngôi sao và thiên hà, là chuyển động quay. Tuy nhiên, nếu tất cả các bộ phận của cơ thể quay với cùng một vận tốc góc, nghĩa là chuyển động quay đều, thì các đường sức từ sẽ quay cùng với cơ thể và thực tế không thay đổi. Đối với sự uốn cong, kéo dài và quay của các mối quan hệ tuyến tính của chuyển động của các phần lân cận của plasma, nghĩa là chuyển động quay phải không đồng đều. Rõ ràng là các vật rắn quay đều, nếu không thì chúng sẽ co lại. Một vật thể lỏng hoặc khí có khả năng thực hiện chuyển động quay không đều. Các quan sát về Mặt trời đã chỉ ra rằng các phần xích đạo của ngôi sao của chúng ta hoàn thành một vòng quay nhanh hơn vài ngày so với các vùng quay tròn. Bằng chứng gián tiếp chỉ ra rằng các vùng bên trong, không thể quan sát trực tiếp, của Mặt trời thậm chí còn quay nhanh hơn. Sự quay không đồng nhất của đĩa khí của Thiên hà: đồng thời, các bộ phận bên trong của nó thực hiện nhiều vòng quay hơn các bộ phận bên ngoài.

Để hình dung sự quay không đồng đều, hãy tưởng tượng rằng trước mặt bạn là một số vòng tròn đồng tâm gồm các carcel (Hình 4, a). Chẳng hạn, những vòng tròn ở gần vòng tròn trung tâm là những vòng tròn nhanh nằm xa trung tâm hơn.

Hãy đặt một số người lên carelia sao cho tất cả họ đều nằm dọc theo cùng một đường kính. Hãy đưa cho họ một sợi dây cao su gắn vào hai đầu của đường kính mô phỏng một đường sức từ và bật vòng quay. Dễ dàng kiểm chứng rằng chỉ sau vài vòng dây cao su (đường dây từ) sẽ xoắn thành hình xoắn ốc (Hình 4, b). Ban đầu, đường thẳng nằm dọc theo đường kính, nhưng bây giờ nó đã trở nên gần với đường tròn. Do đó, chuyển động quay không đồng nhất đã biến từ trường hướng tâm thành một trường hướng gần như dọc theo phương vị.

Bạn có thể sử dụng một đường dây từ làm vạch xuất phát, đường này “chệch” từ trên xuống dưới và bị uốn cong theo hướng quay. Trong trường hợp này, việc xoắn sẽ tạo thành hai bánh xe có từ trường ngược chiều nhau. Tuy nhiên, một trong các bánh xe sẽ nằm phía trên các carcel, bánh còn lại ở bên dưới. Nhưng, như trong trường hợp trước, nó đứng dậy

10

Hình 6. Lớp plasma quay với mật độ giảm dần lên trên. Sự quay của toàn bộ lớp sẽ truyền thêm tốc độ bắt cho dòng xoáy dâng lên và phồng lên.

vòng tròn quay). Điều này có nghĩa là xoáy được truyền thêm một vòng quay bổ sung do chuyển động quay chung của lớp gây ra.

Rõ ràng, tác động của sự xuất hiện của một chuyển động quay chung là giống nhau đối với tất cả các thao tác nâng xoáy - cả thuận tay phải và tay trái. Trên một xoáy đi xuống và do đó lướt đi, chuyển động quay chung tác động theo hướng ngược lại, nhưng dấu của vinata sẽ giống như dấu của xoáy nâng lên. Vitor, hành động xoay chung của con cú

Hình 7. Tác động kết hợp của chuyển động quay cấp độ thấp và chuyển động xoắn ốc lên từ trường. Xoay từ trường ban đầu ($B_0$) xoắn trường phương vị ($B_\varphi$). Chuyển động xoắn ốc nâng các vòng của trường này lên, chúng mở, xoay, kéo dài và hợp nhất, tạo ra một trường mới, hướng song song hoặc phản song song với trường ban đầu $B_0$.

sự phong phú của xoáy ở lớp bên dưới sẽ dẫn đến thực tế là sẽ có nhiều vít có dấu hiệu do chuyển động quay chung quyết định. Nhưng một tình huống với các xoáy thuận tay trái chiếm ưu thế so với các xoáy thuận tay phải, như có thể dễ dàng xác minh, sẽ không còn có tính chất đối xứng gương nữa.

Sự hỗn loạn như vậy được gọi là xoắn ốc. Bất chấp sự hỗn loạn của nó, trung bình vẫn có một số khúc mắc bổ sung. Tính xoắn ốc là đặc tính có tổ chức được phân biệt bằng sự nhiễu loạn trong các vật thể vũ trụ quay với mật độ thấp (trong lõi của các hành tinh, trong các ngôi sao và thiên hà).

Rõ ràng là sự nhiễu loạn xoắn ốc trong các thiên thể vũ trụ tác động cùng với chuyển động quay âm. Như chúng ta đã thấy (Hình 4), phép quay dưới mức biến một trường hướng dọc theo đường kính thành một trường hướng gần như dọc theo góc phương vị, hay chính xác hơn là dọc theo một đường xoắn ốc. Sự nhiễu loạn xoắn ốc tạo ra nhiều vòng gần trường phương vị và xoay chúng theo các hướng khác nhau (Hình 7). Nhưng vì các vít có cùng dấu chiếm ưu thế, nên sau khi thêm các vòng, vẫn còn một trường xuyên tâm không chung của hướng xác định. Nếu hướng tâm mới trùng với hướng ban đầu thì trường được tăng cường. Khi hướng của trường kết quả ngược lại với hướng ban đầu thì trường có thể “đảo ngược”. Điều này giúp chúng ta có thể hiểu được hiện tượng đảo ngược hướng trường lặp đi lặp lại được quan sát thấy ở Mặt trời và các ngôi sao khác. Lưu ý rằng trong trường hợp của hình 8, chúng ta nhận được một máy phát điện có từ trường tăng liên tục mà không đảo chiều.

Không nên bỏ qua rằng máy phát điện thủy từ hoạt động trong điều kiện có sự vướng víu hỗn loạn mạnh và phá hủy các đường dây từ. Do đó, sự tăng trưởng hoặc duy trì của trường xảy ra trong bối cảnh liên tục ra đời và chết đi của từ trường cũ.

Máy phát điện thủy từ được sử dụng rộng rãi để mô tả từ trường của các ngôi sao, hành tinh và thiên hà. Một phần, máy phát điện thủy từ dường như là “động cơ” chính của hoạt động lặp lại của mặt trời.

11

Bạn có thể đếm được không?

V. V. ROZHDESTVENSKY

Những thập kỷ gần đây được đặc trưng bởi sự phát triển nhanh chóng và phổ biến của công nghệ máy tính. Máy tính điện tử, máy tính để bàn, máy bỏ túi và các thiết bị tính toán khác có thể giảm đáng kể thời gian của tất cả các loại tính toán. Và đôi khi bạn có thể nghe học sinh nói rằng “khả năng đếm” bây giờ là không cần thiết chút nào. Nhưng nghịch lý thay, công nghệ lại mang đến sự hỗ trợ hiệu quả nhất cho những ai có thể tính toán chính xác.

Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ cho người đọc những khó khăn nảy sinh trong thực tế

Những ví dụ khó hiểu

Ví dụ 1. Khi tính biểu thức $x=1/3\cdot 3/5\cdot 5/7\cdot 7/8\cdot 8$ trên máy tính thực với độ chính xác đến hai chữ số thập phân, cùng với đơn vị dự kiến ​​ta được $x=0,88$. Nếu tính $1/8\cdot 8/7 \times 7/5\cdot 5/3\cdot 3$ thì kết quả là 0,90.

Ví dụ 2. Khi cộng các số $1+1/2+1/3+1/4+\ldots+1/250\ 000$ với chữ số thập phân thứ năm trên máy tính từ trái sang phải thì kết quả là 12,88777 và từ phải sang trái kết quả là 12,95821; chúng tôi thấy rằng sự khác biệt trong các câu trả lời lớn hơn từng điều khoản của đa số.

Ví dụ 3: Giá trị gần đúng của $\sqrt{290}$ là 17,029 (sai số nhỏ hơn 0,0004). Khi tính phân số $1/(\sqrt{290}-17)$ có chữ số thập phân thứ ba thì kết quả là 34,483. Tuy nhiên, nếu phân số được chuyển về dạng $\sqrt{290}+17$ thì kết quả của phép cộng sẽ là 34,029, với sai số nhỏ hơn 0,0004. Do đó, đáp số 34.483 thành phố khó khăn hơn.

12

Ví dụ 4. Giải pháp hệ thống
$$\begin{cases} x+5y=17, \\ 1,5x+7,501y=25,503 \end{cases}$$

là một cặp số (2; 3). Nếu bạn thay đổi số 25.503 chỉ 0,003 -
$$\begin{cases} x+5y=17, \\ 1,5x+7,501y=25,5, \end{cases}$$

thì nghiệm sẽ là cặp (17; 0). Nếu trong hệ thống ban đầu, số 7.501 được thay thế bằng 7.499 -
$$\begin{cases} x+5y=17, \\ 1,5x+7,499y=25,503, \end{cases}$$

thì nghiệm sẽ là (32; - 3).

Những ví dụ như thế này có thể khiến người mới bắt đầu làm quen với máy tính bối rối. Để điều hướng chính xác các tình huống tích cực, bạn cần biết:

1. lỗi là gì và chúng đến từ đâu?
2. làm thế nào để mô tả số lượng lỗi,
3. cách tổ chức các phép tính một cách chính xác.

Phân loại lỗi

Lỗi có thể được chia thành ba loại*).

1. Lỗi có trong thông tin nguồn. Dữ liệu ban đầu trong bất kỳ bài toán nào thường là các cấu trúc xuất hiện thường xuyên hoặc các giá trị thu được do đo lường. Nhưng bất cứ thiết bị đo nào cũng có độ phân giải nhất định. Ví dụ, trên cân thương mại, không thể phát hiện ra sự khác biệt 1 g, vì vậy nếu bạn trả tiền cho 100 g dầu, có hại gì khi tin rằng bạn sẽ nhận được chính xác 100 g chứ không phải 101 g hay 99 g? Lỗi đo lường cũng có thể phát sinh do kết quả đọc của thiết bị không chính xác hoặc do xem sơ bộ.

Tuy nhiên, loại trừ hai nguồn sai sót cuối cùng do nguyên tắc chủ quan gây ra, vẫn phải chấp nhận thực tế rằng sai sót trong dữ liệu gốc là không thể tránh khỏi và do tính chính xác của dụng cụ đo. Cuối cùng, việc thao tác với dữ liệu gốc không đảm bảo rằng kết quả sẽ chính xác hơn dữ liệu. Một tuyên bố như sau: “diện tích được vẽ trên giấy

*) Các nguồn sai sót khác nhau phát sinh trong quá trình xử lý dữ liệu thử nghiệm và điều gì sẽ xảy ra nếu tránh được chúng cũng được mô tả trong bài báo “Lừa dối hay ảo tưởng?” của A. N. Zaidel? («Kvant», 1983, số 5, trang 24).

của một đường tròn có bán kính được thay đổi bằng thước là 3206,9569 mm2,” ít nhất là ngây thơ.

2. Lỗi làm tròn. Đây là những lỗi công nghệ có đặc điểm tương đương gần đúng. Thực tế là không có “phương tiện” tính toán nào, dù là máy tính hay con người, có thể thực hiện các phép tính số học với chuỗi vô hạn. Do đó, tất cả dữ liệu và kết quả trung gian phải được ghi lại bằng một bộ số giới hạn và do đó thường không chính xác.

3. Hạn chế lỗi. Rất nhiều phép tính được mô tả là một chuỗi sàng lọc kết quả vô tận hoặc có quy mô lớn về mặt thiên văn. Đương nhiên, người ta sẽ xử lý quá trình như vậy vào một lúc nào đó và hài lòng với giá trị gần đúng cuối cùng thu được. Một ví dụ là quá trình tính toán $\sqrt{a}$ bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp:

$$x_1 = (a+1)/2, \dots, x_{n+1} = (a/x_n + x_n)/2, \dots$$

Vì vậy chúng tôi thấy rằng sai sót là điều không thể tránh khỏi. Điều này có nghĩa là cần phải giảm số lượng chúng để đánh giá nhằm thu được kết quả với độ chính xác cần thiết.

Truyền bá lỗi

Vì các quy trình tính toán cuối cùng đều bắt nguồn từ việc thực hiện bốn phép tính số học, nên hãy xem điều gì xảy ra với các lỗi khi thực hiện các hành động này.

Để đơn giản, chúng ta sẽ giả định rằng tất cả các đại lượng đang được xem xét (có thể là dữ liệu ban đầu, kết quả trung gian hoặc kết quả cuối cùng) đều dương. Giá trị chính xác của chúng sẽ được ký hiệu là $x, y, \dots$ và các giá trị gần đúng tương ứng sẽ được ký hiệu là $x, y, \dots$.

Đặc điểm của độ chính xác gần đúng là sai số tuyệt đối (hoặc sai số) $\Delta_x = x - x_i$ và sai số tương đối $\omega_x = \Delta_x/x$. Bảng 1 chứa các công thức biểu thị sự phụ thuộc của sai số tuyệt đối và tương đối của kết quả các phép tính số học vào lỗi dữ liệu (bạn hãy tự kiểm tra các công thức này!).

Đối với những thay đổi thực tế về giá trị tuyệt đối và phép tính, giá trị chính xác của giá trị tuyệt đối và

13

Sai lầm tuyệt đối
Lỗi tương đối

$\Delta_{x+y} = \Delta_x + \Delta_y$
$\Delta_{x-y} = \Delta_x - \Delta_y$
$\Delta_{x\cdot y} = x\Delta_y + y\Delta_x + \Delta_x\Delta_y$
$\Delta_{x/y} = \left( \frac{\Delta x}{y} - \frac{x}{y} \right)\frac{\Delta y}{y}$
: $\left( 1 + \frac{\Delta y}{y} \right)$

lỗi tương đối không xác định (vì không xác định được giá trị chính xác của đại lượng đang xem xét). Tuy nhiên, khi biết độ chính xác của dụng cụ đo, các quy tắc làm tròn kết quả trung gian, v.v., thường có thể đảm bảo rằng sai số tuyệt đối hoặc tương đối không vượt quá giá trị tuyệt đối của các giá trị không phải số bát phân - giới hạn của các sai số này. Nếu giới hạn sai số cho các giá trị $x$ và $y$ được đưa ra thì từ các công thức trong Bảng 1, có thể dễ dàng thu được giới hạn sai số cho $x+y$, $x-y$, $xy$ và $x/y$ (xem Bảng 2, giả định rằng $|\Delta_x| \leq \Delta_1$, $|\Delta_y| \leq \Delta_2$, $|\omega_x| \leq \omega_1$, $|\omega_y| \leq \omega_2$).

Bảng 2
Giới hạn lỗi tuyệt đối
Giới hạn lỗi tương đối

$|\Delta_{x+y}| \leq \Delta_1 + \Delta_2$
$|\Delta_{x-y}| \leq \Delta_1 + \Delta_2$
$|\Delta_{x\cdot y}| \leq x\Delta_2 + y\Delta_1 + \Delta_1\Delta_2$
$|\Delta_{x/y}| \leq \frac{y\Delta_1 + x\Delta_2}{y^2}$
: $\left( 1 + \frac{\Delta y}{y} \right)$

Trong bảng này, công thức tính sai số tuyệt đối của thương $\Delta_{x/y}$ nổi bật: nó bao gồm chính sai số $\Delta_y$ và ranh giới của nó $\Delta_2$, do đó, $|\Delta_{x/y}|$ có thể trở thành lớn tại $\Delta_y < 0$, ngay cả khi $\Delta_1$ và $\Delta_2$ nhỏ.

Phân tích các ví dụ

Bây giờ chúng ta hãy cố gắng hiểu điều gì giải thích cho những “điều kỳ lạ” mà chúng ta gặp phải trong các ví dụ được đưa ra ở đầu bài viết.

Ví dụ 1. Theo quy tắc số học tổng quát trong tích của phân số $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{1}$, bạn có thể sắp xếp lại tử số và mẫu số theo ý muốn mà không làm thay đổi kết quả. Từ ví dụ của chúng tôi, rõ ràng là trong số học các phép tính gần đúng, điều này không còn đúng nữa. Để hiểu sự khác biệt trong kết quả phát sinh như thế nào, hãy lấy một ví dụ đơn giản - chúng tôi tính biểu thức $(1 \cdot 3)/3$ theo hai cách (chính xác đến hai chữ số thập phân). chúng tôi có
$$1,0 \times 3,0 = 3,0, \quad 3,0 \times 3,0 = 1,0,$$
nhưng mặt khác,
$$1,0/3,0 = 0,33, \quad 0,33 \times 3,0 = 0,99.$$
Nếu có nhiều phép tính số học thì sự khác biệt trong các câu trả lời có thể còn lớn hơn.

Ví dụ 2 cho thấy kết quả của phép cộng gần đúng một số số có thể phụ thuộc vào thứ tự xảy ra. Hãy xem xét một ví dụ đồ họa hơn. Hãy tính tổng
$$100 + 0,1 + 0,1 + \dots + 0,1,$$
2000 lần
làm tròn tất cả các kết quả đến ba chữ số gần nhất. (Hãy nhớ rằng các giá trị là tất cả các chữ số trong ký hiệu của một số, bắt đầu bằng số khác 0 đầu tiên từ bên trái; giả sử, trong các số 0,017 và 1,7, mỗi số có hai chữ số, trong số 170 có ba chữ số.) Nếu chúng ta cộng từ trái sang phải, trước tiên chúng ta nhận được $100 + 0,1 = 100,1$ và sau khi làm tròn lại 100; Kết quả này rất phi tuyến tính và sẽ không thay đổi trong tương lai. Khi cộng từ phải sang trái, ta được tuần tự: $0,1 + 0,1 = 0,2, \quad 0,2 + 0,1 = 0,3, \quad \dots \quad 99,9 + 0,1 = 100$. Một nghìn số hạng tiếp theo sẽ không làm thay đổi kết quả, nhưng với phép cộng cuối cùng, chúng ta nhận được $100 + 100 = 200$. Đây đã là mức tốt nhất, nhưng vẫn còn xa so với đáp số 300 chính xác, có thể đạt được bằng cách cộng số lượng các số 0,1, do đó cũng là số 0,1 và sau đó là ba số hàng trăm. Ví dụ này làm cho quy tắc ngón tay cái sau đây khá rõ ràng:

tổng của một số lượng lớn các thuật ngữ phải được tổ chức theo cách sao cho

16

Sóng kết tinh

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. Y. PARSHIN

Có thể kích thích sóng trên bề mặt vật rắn giống như sóng thông thường trên mặt nước không? Bề mặt của chất lỏng, như chúng ta biết, có thể trộn lẫn và trải qua những rung động đơn giản do dòng chảy. Trong một vật thể rắn, quá trình như vậy là không thể (thậm chí cả chất rắn!). Tuy nhiên, hóa ra là có thể làm cho bề mặt của một vật thể rắn, chẳng hạn như tinh thể, chuyển động, trong khi khiến vật thể đó đứng yên. Để làm được điều này, chỉ cần tinh thể phát triển hoặc nổi là đủ - trong trường hợp này, bề mặt của nó liên tục bị trộn lẫn, mặc dù bản thân chất trong thể tích của tinh thể vẫn hoàn toàn bất động.

Nhưng bạn có biết rằng bằng cách này có thể kích thích các dao động tự do trên bề mặt tinh thể gây ra bởi sự thay đổi định kỳ của các quá trình nóng chảy và kết tinh? Ví dụ, hãy tưởng tượng bề mặt phẳng của một tinh thể băng ở trạng thái cân bằng với nước ở 0°C. Điều gì xảy ra nếu bạn phá vỡ trạng thái cân bằng ở một nơi nào đó bằng cách tạo một lỗ (hoặc phần nhô ra) trên bề mặt? Liệu sóng kết tinh (tan chảy) có phát sinh trong trường hợp này giống như sóng hình thành khi một hòn đá rơi xuống nước?

Hóa ra - không, điều này là không thể đối với các chất thông thường. Thực tế là các sóng mà chúng ta quan tâm, giống như mọi dao động tự do nói chung, chỉ có thể tồn tại trong những điều kiện mà tổn thất năng lượng không thể đảo ngược đủ nhỏ. Những tổn thất này làm cho dao động bị giảm đi và năng lượng dao động biến thành nhiệt. Nếu tổn thất cao, chuyển động sẽ trở nên không tuần hoàn, nghĩa là dao động hoàn toàn không xảy ra. Sự phát triển và trôi nổi của các tinh thể thông thường luôn đi kèm với sự tổn thất năng lượng rất lớn (chủ yếu do nhiệt dung riêng cao của phản ứng tổng hợp). Do đó, trong thí nghiệm tưởng tượng của chúng tôi cùng với các sóng kết tinh, chúng tôi sẽ chỉ quan sát thấy lỗ trống ban đầu phát triển quá mức rất chậm.

Thế nhưng sóng kết tinh vẫn tồn tại! Đúng vậy, chúng chỉ có thể được quan sát thấy ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối (dưới 1 K) và chỉ ở helium, một chất hoàn toàn độc đáo về tính chất vật lý của nó. Những tính chất này là một chủ đề cần được thảo luận rất cẩn thận, nhưng ở đây chúng ta sẽ chỉ đề cập đến hai trong số chúng có liên quan trực tiếp nhất đến câu hỏi về sóng kết tinh.

Thứ nhất, helium là chất duy nhất có thể tồn tại ở trạng thái lỏng xuống độ không tuyệt đối và chỉ kết tinh ở áp suất cao (trên 25 atm). Thứ hai, sự tăng trưởng và trôi nổi của tinh thể

Đánh bắt gelae ở nhiệt độ rất thấp đi kèm với tổn thất năng lượng thấp và nhiệt độ càng thấp thì tổn thất càng nhỏ. Do đó, các tinh thể gel có thể phát triển và tan chảy ở mức tuyệt vời, theo tiêu chuẩn chung, tốc độ và điều rất quan trọng là ngay cả dưới những tác động cực kỳ yếu từ bên ngoài. Và đây là điều kiện chính cần thiết cho sự tồn tại của sóng kết tinh.

Nhìn vào tinh thể gel hiển thị trong ảnh. Một tinh thể có kích thước khoảng 3 mm, phát triển ở nhiệt độ 0,5 K, treo trên tường của buồng thí nghiệm, “nhắm” vào nó bằng mặt trái của nó. Trên tất cả các mặt khác, nó được bao quanh bởi gel lỏng dưới áp suất 25 atm. Sóng kết tinh thú vị trên cột tinh thể như vậy cũng đơn giản như sóng thú vị trong cốc nước—tất cả những gì bạn cần làm là lắc máy ảnh một chút. Đây chính xác là khoảnh khắc được ghi lại trong bức ảnh.

Điều đáng tò mò là không phải tất cả các bề mặt tinh thể đều có khả năng kết tinh cực nhanh. Các bộ phận được định nghĩa là được định hướng tương đối so với các trục tinh thể học (ba “đặc điểm” định hướng như vậy hiện đã được biết đến) trông giống như các mặt phẳng lý tưởng và các đường tĩnh mạch hoàn toàn bất động, nghĩa là chúng hoạt động giống như bề mặt của một tinh thể thông thường có một mặt tự nhiên. Nhân tiện, sự hiện diện của những cạnh “đặc biệt” này cho thấy rõ ràng rằng chúng ta đang thực sự xử lý một tinh thể và một tinh thể chất lượng cao ở đó. Tất cả các khu vực khác của bề mặt đều kriglen và rung nhanh khi có tác động nhỏ nhất từ ​​bên ngoài (trong trường hợp này, chu kỳ dao động là khoảng 0,01 s và biên độ của chúng là ~ 0,1 mm).

21

1B, 5C (vì vậy $E = \frac{1A+1B}{2}, D = \frac{1B+5C}{6}$) và ký hiệu là $Z$ barycenter của ba điểm vật chất này. Sau đó
$$Z = \frac{1A+1B+5C}{7} = \frac{(1A+1B)+5C}{7} = \frac{2E+5C}{7},$$
và do đó $Z \in [CE]$; hơn nữa,
$$Z = \frac{1A+1B+5C}{7} = \frac{1A+(1B+5C)}{7} = \frac{1A+6D}{7},$$
nghĩa là, $Z \in [AD]$. Do đó, $Z$ là giao điểm của các đoạn $CE$ và $AD$.
Từ đẳng thức $Z = \frac{1A+6D}{7}$, theo quy luật đòn bẩy, suy ra $|AZ|:|ZD| = 6:1$.
Hai ví dụ tiếp theo cho thấy rằng đôi khi thuận tiện khi đặt nhiều khối lượng vào cùng một điểm.
Ví dụ 3. Trong tam giác CAB (Hình 4), vẽ đường trung tuyến $CD$. Trên các mặt $CA$ và $CB$, các điểm $K$ và $L$ cũng được chọn, tức là $|CK|=4|KA|, 2|CL|=|LB|$.
Điểm $P$ giao điểm của đường $KL$ và $CD$ chia đường trung tuyến $CD$ về mặt nào? Điểm $P$ chia đoạn $KL$ theo tỷ lệ nào?

Lời giải. Chúng ta hãy xem xét một hệ thống các điểm vật chất 1C, 4A, 4B, 8C (vì vậy $K = \frac{1C+4A}{5}, D = \frac{4A+4B}{8}, L = \frac{4B+8C}{12}$) và ký hiệu là $P$ barycenter của hệ thống này. Sau đó
$$P = \frac{1C+4A+4B+8C}{17} = \frac{(1C+4A)+(4B+8C)}{17} = \frac{5K+12L}{17},$$
nghĩa là, $P \in [KL]$;
$$P = \frac{(4A+4B)+(1C+8C)}{17} = \frac{8D+9C}{17},$$
nghĩa là, $P \in [CD]$.

Do đó, $P$ là giao điểm của các đoạn $KL$ và $CD$. Từ các đẳng thức được viết ra, theo quy tắc, suy ra rằng $|KP|:|PL| = 12:5, |CP|:|PD| = 8:9$.

Ví dụ 4. Đáy của SABCD paramid là hình bình hành $ABCD$ (Hình 5). Mật độ a của một đoạn tính từ ba cạnh bên $SA, SB, SC$ tương ứng với phần thứ ba, phần tư, phần năm (tính từ đỉnh $S$). Phần nào của đoạn nằm ở xương sườn thứ tư?

Lời giải. Gọi $A_1, B_1, C_1$ là giao điểm của mặt phẳng $a$ với các cạnh $SA, SB, SC$. Chúng ta hãy đặt tại các điểm $A, B, C$, nơi xuất hiện các cạnh này, khối lượng tương ứng 1, - 1,1 (sao cho tâm khối của ba điểm vật chất thu được là điểm cuối $D$ của cạnh thứ tư, xem bài toán 5). Tiếp theo, tại điểm $S$, chúng ta đặt ba khối lượng sao cho cùng với các điểm vật chất 1A, $(-1)B, 1C$ đã lấy, chúng có các điểm $A_1, B_1, C_1$ là tâm khối lượng. Vì theo điều kiện
$$|SA_1|:|A_1A| = 1:2, |SB_1|:|B_1B| = 1:3, |SC_1|:|C_1C| = 1:4,$$
chúng tôi nhận được
$$A_1 = \frac{1A+2S}{3}, B_1 = \frac{(-1)B+(-3)S}{-4}, C_1 = \frac{1C+4S}{5}.$$
Chúng ta hãy biểu thị bằng $Z$ trọng tâm của cả sáu điểm vật chất 1A, $(-1)B, 1C, 2S, (-3)S, 4S$. Sau đó
$$Z = \frac{(1A+2S)+((-1)B+(-3)S)+(1C+4S)}{4} = \frac{3A_1+(-4)B_1+5C_1}{4},$$
điều đó cho thấy rằng $Z \in \alpha$. Kế tiếp,
$$Z = \frac{(1A+(-1)B+1C)+(2S+(-3)S+4S)}{4} = \frac{1D+3S}{4},$$
điều đó cho thấy rằng $Z \in \alpha$. Do đó, $Z$ là điểm giao nhau mong muốn của mặt phẳng $a$ với cạnh $SD$. Từ đẳng thức $A'$ điểm giao nhau của đường $AZ$ từ phía $BC$. Chứng minh rằng $A'$ là tâm khối của hai chất điểm $m_BB$ và $m_CC$.
13. Đặt khối lượng $m_A, m_B, m_C$ tại các đỉnh $A, B, C$ của một số tam giác. Chúng ta hãy biểu thị bằng $A'$ barycenter của các điểm vật chất $m_BB$ và $m_CC$, bằng $B'$ barycenter của các điểm vật chất $m_CC$ và $m_AA$, và bằng $C'$ barycenter của các điểm vật chất $m_AA$ và $m_BB$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AA', BB', CC'$ cắt nhau tại một điểm.
14. Đặt $k$ điểm $m_1A, \dots, m_kA_k$ được dịch chuyển trong hệ thống (1) và đặt $C$ là barycenter của các điểm vật chất bị dịch chuyển và $D$ là barycenter của các điểm bị đổ $m_{k+1}A_{k+1}, \dots, m_nA_n$ (giả định rằng $m_1+...+m_k \neq 0, m_{k+1}+...+m_n \neq 0$). Chứng minh barycenter của hai điểm vật chất $(m_1+...+m_k)C$ và $(m_{k+1}+...+m_n)D$ trùng với barycenter $Z$ của hệ ban đầu (1).
15. Trong bốn điểm $A, B, C, D$, không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm $M$ và $N$ là trung điểm của các đoạn thẳng $AB$ và $CD$, $Z$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$, $P$ là giao điểm các đường trung tuyến của tam giác $BCD$. Các điểm $A, Z, P$ có nằm trên cùng một đường thẳng không?

22

16. Trong một tứ giác $ABCD$, đoạn thẳng $KL$ nối hai cạnh đối diện, đoạn thẳng $MN$ nối hai cạnh đối diện còn lại và đoạn thẳng $PQ$ nối hai đường chéo. Chứng minh rằng các đoạn $KL, MN$ và $PQ$ cắt nhau tại một điểm $Z$ và mỗi đoạn đều được chia đôi tại điểm này.

17. Trong tứ giác $ABCD$, giao điểm các đường trung tuyến của tam giác $BCD, ACD, ABD, ABC$ được ký hiệu là $A', B', C', D'$. Chứng minh rằng mỗi đoạn $AA', BB', CC', DD'$ đi qua điểm $Z$, một khoảng cách bài toán, và chia cho điểm này theo tỉ lệ 3:1, tính từ các đỉnh của tứ giác.

18. Có ba đoạn trong một tứ giác, mỗi đoạn nối một trong các đỉnh với giao điểm của các đường trung tuyến của các cạnh đối diện. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng này cắt nhau tại một điểm $Z$ và mỗi đoạn thẳng được chia đôi tại điểm này.

19. Trong tứ giác của tứ giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ các trung điểm $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ của chúng lần lượt lệch nhau. Giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $B_1B_3B_5$ có ​​trùng với giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $B_2B_4B_6$ không?

20. Trên các cạnh của hình lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ trung điểm $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ của chúng lần lượt lệch nhau. Giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $B_1B_3B_5$ có ​​trùng với giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $B_2B_4B_6$ không?

21. Cho 6 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác với các đỉnh tại mỗi hoặc ba điểm này được nối bằng một đoạn thẳng với giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác với các đỉnh tại ba điểm còn lại. Chứng minh rằng tất cả 10 đoạn thẳng có thể có theo cách này đều có chung điểm giữa.

22. Các cạnh đối diện $AB$ và $DC$ của tứ giác $ABCD$ được ngăn cách bởi các điểm $M$ và $N$ theo cùng tỷ lệ $k$ (tức là $\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{DN} = k\overrightarrow{NC}$); $P$ và $Q$ là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$. Trong mỗi tỷ lệ, mỗi đoạn $MN$ và $PQ$ có được chia cho giao điểm của chúng không?

23. Các liên kết đối diện $AB$ và $DC$ của đường đứt nét khép kín không gian $ABCD$ lần lượt được phân tách bằng các điểm $M, N, P, Q$ theo tỷ lệ $\alpha : \beta$, $\beta : \gamma, \gamma : \delta, \delta : \alpha$, trong đó $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ là các số dương. Chứng minh rằng các điểm $M, N, P, Q$ nằm trong cùng một mặt phẳng. Trong mỗi tỷ lệ, các đoạn $MP$ và $NQ$ được chia cho điểm giao nhau của chúng?

24. Mỗi liên kết của đường đứt đoạn không gian khép kín $A_1A_2 \dots A_{2n}A_1$ cắt mặt phẳng $\alpha$ tại một điểm và liên kết $A_iA_{i+1}$ được chia cho điểm giao nhau $c$ cho mặt phẳng $\alpha$ trong quan hệ $k_i (i=1, 2, \dots, 2n-1)$. Trong mỗi quan hệ, liên kết $A_{2n}A_1$ được chia cho giao điểm $c$ cho mặt phẳng $\alpha$?

25. Trên các cạnh của tam giác $ABC$, các điểm $M$ và $N$ cũng được lấy, tức là $\overrightarrow{CN} = \alpha\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CM} = \beta\overrightarrow{CB}$. Gọi $S$ là giao điểm của đường $AM$ và $BN$. Tính các tỉ số $|AS|:|AM|, |BS|:|BN|$.

26. Trên các cạnh $KL$ và $LM$ của tam giác $KLM$, các điểm $A$ và $B$ cũng được lấy, tức là $|LA| = 3|AK|, |BJ| = 4|BM|$. Tính tỉ số diện tích của các hình tam giác $KLM$ và $KLC$, trong đó $C$ là giao điểm của các đường $AM$ và $KB$.

27. Trên các cạnh $AB, BC, CA$ của tam giác $ABC$ các điểm $C_1, A_1, B_1$ cũng được lấy, tức là $|AC_1| = \frac{1}{3}|AB|, |BA_1| = \frac{1}{3}|BC|, |CB_1| = \frac{1}{3}|CA|$. Khi các đoạn $AA_1, BB_1, CC_1$ giao nhau, một hình tam giác $A_2B_2C_2$ được hình thành. Tìm tỉ số diện tích của các hình tam giác $A_2B_2C_2$ và $ABC$.

Gợi ý. Trên mỗi mối quan hệ, các phân đoạn $BB_1$ và $CC_1$ (và tương tự, đối với điểm $B_2$ và $C_2$).

29. Diện tích hình bình hành $ABCD$ là 1. Điểm $M$ chia cạnh $BC$ theo tỷ lệ 3:5. Tính diện tích tứ giác $CMPD$, trong đó $P$ là giao điểm của các đường $AM$ và $BD$.

30. Trên cạnh $AB$ của hình bình hành $ABCD$ lấy một điểm $M$ cắt bỏ phần $\frac{1}{n}$ của cạnh này, tức là $|AM| = \frac{1}{n}|AB|$. Phần nào của đường chéo $AC$ bị cắt bởi đường thẳng $DM$?

31. Một đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ tương ứng tại các điểm $A', B', C'$. Chứng minh rằng các đoạn $AA', BB'$ và $CC'$ cắt nhau tại một điểm. Gợi ý. Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu: $|AC'| = |AB'| = p, |BC'| = |BA'| = q, |CA'| = |CB'| = r$ (Hình 6). Hãy tải các đỉnh $A, B, C$ với khối lượng $1/p, 1/q, 1/r$. Đảm bảo rằng $C'$ là tâm bary của hai vật liệu của điểm $\frac{1}{p} A$ và $\frac{1}{q} B$, và do đó (theo định lý nhóm khối lượng) tâm bary $Z$ của hệ vật chất của điểm $\frac{1}{p} A, \frac{1}{q} B, \frac{1}{r} C$ nằm trên đoạn $CC'$. Tương tự, kiểm tra $Z \in [AA']$ và $Z \in [BB']$.

32. Một đường tròn nội tiếp góc $PAQ$ và tiếp xúc với các cạnh của góc tại các điểm $P$ và $Q$. Đường $BC$ ($B \in [AP], Q \in [AQ]$) chạm vào đường tròn tại điểm $T$. Các đường $BQ$ và $CP$ cắt nhau tại điểm $M$. Các điểm $M, T, A$ có nằm trên cùng một đường thẳng không?

33. Trên các cạnh của tam giác $ABC$ hoặc trên các cạnh dọc đã chọn cũng có các điểm $A_1, B_1, C_1$, tức là $\overrightarrow{BA_1} = \alpha\overrightarrow{A_1C}, \overrightarrow{CB_1} = \beta\overrightarrow{A_1A}, \overrightarrow{AC_1} = \gamma\overrightarrow{C_1B}$. Chứng minh rằng nếu $\alpha\beta\gamma = -1$ thì các điểm $A_1, B_1, C_1$ nằm trên cùng một đường thẳng (định lý Menelaus).

Gợi ý. Khoảng cách của bốn điểm hệ thống vật liệu $1A, \gamma B, (-1)A, \alpha\gamma C$.

34. Chứng minh rằng nếu ký hiệu của bài toán trước thỏa mãn đẳng thức $\alpha\beta\gamma = 1$ thì các đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ cắt nhau tại một điểm hoặc song song (định lý Ceva).

Gợi ý. Tải các đỉnh $A, B, C$ với khối lượng $1, \gamma, \alpha\gamma$ và chứng minh rằng tại $1 + \gamma + \alpha\gamma \neq 0$ tâm khối lượng của ba vật liệu điểm này thuộc về mỗi đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$.

35. Đáy của hình bình hành $ABCD$ Mặt phẳng $\alpha$ cắt các đoạn của các cạnh bên $SA, SB, SC$ lần lượt là một nửa, hai phần ba, ba phần tư (tính từ đỉnh $S$). Phần nào nó cắt ra từ sườn bốn bên?

24

và hình chiếu của quả bóng thứ hai

$$u_{2x} = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_2.$$

Dễ dàng nhận thấy hình chiếu vận tốc của quả bóng thứ nhất luôn dương, còn hình chiếu vận tốc của quả bóng thứ hai có thể dương hoặc âm. Nếu khối lượng của quả bóng tới nhỏ hơn khối lượng của quả bóng nằm yên ($m_2 < m_1$) thì $u_{2x}$ là âm. Điều này có nghĩa là sau một va chạm, quả bóng sẽ thay đổi hướng vận tốc của nó (nảy ra khỏi quả bóng rèn, như trong Hình 3). Với tỷ lệ khối lượng nghịch đảo ($m_2 > m_1$), hình chiếu là $u_{2x} > 0$ và hướng chuyển động của quả bóng tới sau va chạm không thay đổi (quả bóng rèn bật ra). Nếu khối lượng của cả hai quả bóng bằng nhau ($m_1 = m_2$), thì $u_{1x} = v_2$ và $u_{2x} = 0$. Điều này có nghĩa là quả bóng thứ hai sau khi va chạm với quả bóng thứ nhất đã truyền động lượng cho nó và nó dừng lại.

Do đó, từ các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng, chúng ta thu được rằng, khi biết vận tốc của các vật trước va chạm, chúng ta có thể xác định vận tốc của chúng sau va chạm. Tình huống như thế nào trong sự kiện thủ đô, khi các quả bóng đã chạm vào nhau nhưng chưa tách ra?

Khi va chạm, các quả bóng bị biến dạng. Lúc đầu biến dạng của chúng tăng lên, sau đó giảm đi. Tại thời điểm biến dạng lớn nhất, các quả bóng chuyển động cùng nhau với tốc độ như nhau. Khoảng cách thời điểm này chi tiết hơn. Chúng ta hãy biểu thị tốc độ chuyển động khớp của chúng bằng $\vec{u}$ và giả sử, để đơn giản, khối lượng của các quả bóng là như nhau ($m_1 = m_2 = m$). Theo định luật bảo toàn động lượng

$$mv_2 = 2mu_x.$$

Theo sau đó là $u_x = u = v_2/2$. Như vậy, vận tốc của cả hai quả bóng khi chúng chuyển động cùng nhau bằng một nửa vận tốc của một quả bóng trước khi va chạm.

Đối với động năng của các quả bóng, tại thời điểm chúng chuyển động với cùng tốc độ thì nó bằng $2mu^2/2 = mu^2 = mv_2^2/4$. Và trước sự kiện, obikhshariya của các quả bóng bằng $mv_2^2/2$. Kết quả là động năng giảm đi một nửa. Cô ấy đã biến mất đi đâu? Có sự vi phạm định luật bảo toàn năng lượng ở đây như thoạt nhìn có vẻ như vậy?

Tất nhiên, năng lượng vẫn như cũ. Vấn đề là trong quá trình va chạm, cả hai quả bóng đều bị biến dạng nên chúng có thế năng tương tác đàn hồi. Chính do độ lớn của thế năng này mà động năng của các quả bóng giảm đi. Lúc đầu, khi độ biến dạng tăng lên, thế năng tăng lên và tại thời điểm chuyển động chung của các quả bóng, nó đạt giá trị cực đại (trong trường hợp của chúng ta, bằng một nửa năng lượng của vật). Sau đó độ biến dạng giảm đi và thế năng tích trữ lại chuyển thành động năng。

Chuyển động của các hạt mang điện trong điện trường và từ trường

Trước tiên chúng ta hãy xem xét chuyển động của một hạt có điện tích $q$ và khối lượng $m$ trong một điện trường không đổi đều có hướng $\vec{E}$. Ví dụ, trường trong trường hợp này không phụ thuộc vào tọa độ hoặc thời gian (ví dụ, trường như vậy sẽ phát sinh trong một tụ điện phẳng tích điện, so với nguồn). Do đó, một lực không đổi $\vec{F} = q\vec{E}$ tác dụng lên một hạt tích điện từ trường, truyền cho hạt một gia tốc không đổi $\vec{a} = \vec{F}/m = q\vec{E}/m$. Nếu hạt có tốc độ ban đầu là $\vec{v}_0$, như trong Hình 1, thì chuyển động của nó trong một trường như vậy tương tự như chuyển động của một vật được ném nghiêng một góc so với đường chân trời trong một trường trọng lực đều, trong đó gia tốc của vật cũng không đổi và bằng $\vec{g}$. Sách giáo khoa “Vật lý 8” cho thấy quỹ đạo chuyển động trong một trường như vậy là tương tự nhau - một hình parabol.

Khi một hạt tích điện chuyển động trong từ trường đều không đổi thì nó chịu tác dụng của lực Lorentz

26

sóng dây tóc, cường độ của nó tỉ lệ với bình phương gia tốc.

Luật này cũng yêu cầu phát ra sóng điện từ trong ống RENTEN. Các electron, truyền trong chân không sâu trong không gian giữa cực âm và anome, được điện trường gia tốc đến tốc độ cao, sau đó giảm tốc mạnh khi chúng va chạm với anome. Trong trường hợp này, xảy ra gia tốc đáng kể và các electron phát ra sóng điện từ. Loại bức xạ này được gọi là bremsstrahlung.

Hóa ra, khi các electron giảm tốc, chúng phát ra toàn bộ phổ sóng điện từ với các tần số (hoặc bước sóng) khác nhau. Phổ này là liên tục, nhưng nó bị giới hạn ở một tần số tối đa nhất định $v_{\text{max}}$ (giới hạn tần số như vậy chỉ có thể được giải thích theo quan điểm của lý thuyết lượng tử).

Tần số cao nhất (và theo đó, bước sóng nhỏ nhất) được xác định từ điều kiện động năng của electron $eU$ (U là hiệu điện thế giữa anome và cathode) bằng năng lượng của lượng tử phát ra:

$$eU = hv_{\text{max}},$$

Ở đâu

$$v_{\text{max}} = \frac{eU}{h},$$

và theo đó, bước sóng tối thiểu

$$\lambda_{\text{min}} = \frac{c}{v_{\text{max}}} = \frac{ch}{eU} \cdot$$

trong đó $h$ là hằng số Planck và $c$ là tốc độ ánh sáng. Với hiệu điện thế vài chục kilovolt, bước sóng tối thiểu đạt tới phần nhỏ angstrom ($1\mathring{\mathrm{A}} = 10^{-10}\text{ m}$). Bức xạ có khối lượng ngắn như vậy có khả năng xuyên thấu cao và được gọi là bức xạ RENTen.

(*) Sau khi đo thực nghiệm bước sóng tối thiểu $\lambda_{\text{min}}$ và điện áp $V$, chúng ta có thể xác định giá trị của hằng số Planck $h$ từ đẳng thức này. Từ những thí nghiệm như vậy người ta thu được giá trị $h = 6,62 \cdot 10^{-34}\text{Дж} \cdot \text{с}$.

Đạo hàm một hàm phức

V. S. EPPEL

Tất cả các ứng viên đều biết rằng $(\sin x)' = \cos x$. Tuy nhiên, những đẳng thức như $(\sin 2x)' = \cos 2x$ hoặc $(\sin^3 x)' = \cos^3 x$ mà người nộp đơn phạm phải là hoàn toàn không chính xác. Thực tế là hàm $\sin 2x$ và $\sin^3 x$ rất phức tạp và các hàm vi phân bài toán của chúng cũng phức tạp hơn. Ở đây chúng tôi sẽ chỉ ra cách giải quyết bài toán này một cách thực tế.

Các lỗi như $(\sin^3 x)' = \cos^3 x$ phát sinh khi người nộp đơn không biết cách giải mã mục $y = \sin^3 x$ và không thấy trong biểu thức đơn giản này là một hàm phức tạp - thành phần của hai hàm (xem “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 9-10”, đoạn 20). Trên thực tế, hàm $y = \sin^3 x$ có ​​được bằng cách thực hiện tuần tự hai thao tác: lấy màu xanh lam của góc $x$ và lập phương số kết quả $\sin x$:

$$x \rightarrow \sin x \rightarrow (\sin x)^3.$$

Trong ký hiệu của hàm $y = \sin^3 x$, bạn cần có khả năng nhìn thấy lần lượt hai hàm (sin và lũy thừa) mà nó được tạo thành. Điều này sẽ dễ thực hiện hơn nếu hàm này được viết là $y = (\sin x)^3$.

Để rõ ràng, ban đầu chúng tôi sẽ giúp người đọc nhận ra các chức năng phức tạp bằng cách sử dụng màu sắc. Trong ví dụ của chúng tôi

$$y = (\sin x)^3 \quad \text{или} \quad y = \sin^3 x$$

Trong trường hợp tổng quát, áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm phức (“Đại số và nguyên tắc phân tích 9-10”, đoạn 21)

$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

cần phải có khả năng “nhìn thấy” hàm này ở dạng $f(g(x))$. Để làm được điều này, màu sắc sẽ giúp chúng ta trước tiên. Khoảng cách giữa hai ví dụ.

Hãy phân biệt chức năng

$$y = \sin 2x = \sin u, u = 2x$$

(mỗi chức năng có màu riêng):

$$y' = (\sin u) \cdot (2x)' = (\cos u) \cdot 2 = 2\cos 2x.$$

27

(Nhưng không phải cos 2x.)
Hoàn toàn giống nhau
$$y = \sin^3 x = u^3, \quad u = \sin x;$$
$$y' = (u^3)' \cdot (\sin x)' = (3u^2) \cdot (\cos x) = 3 \sin^2 x \cos x.$$

(Nhưng không phải cos³ x.)
Trong thực tế, việc phân tích một thành phố tùy ý như vậy ngắn hơn và đơn giản hơn, ít nhất là không đưa u vào ký hiệu.

Nghệ thuật phân biệt một chức năng phức tạp nằm ở khả năng chỉ nhìn thấy một chức năng tại thời điểm phân biệt (cụ thể là chức năng đang được phân biệt tại một thời điểm nhất định), trong khi không chú ý đến những chức năng khác - tầm nhìn của họ vẫn mở cho đến thời điểm phân biệt.

Dưới đây là một vài ví dụ minh họa nữa, không giới thiệu chữ “u” trung gian, theo cách vi phân của một hàm phức tạp thường được thực hiện và viết bởi những người có kỹ năng thành thạo về vi phân đó. Chỉ có điều, như trước đây, chúng ta sẽ viết từng hàm khả vi và hàm tùy ý của nó bằng cùng một màu.

$$y = (2x^4 - 5x^2 + 6)^8;$$
$$y' = 8(2x^4 - 5x^2 + 6)^7 \cdot (8x^3 - 10x).$$
$$y = \sqrt{R^2 - x^2} = \left(R^2 - x^2\right)^{\frac{1}{2}};$$
$$y' = \frac{1}{2}\left(R^2 - x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$$

Hàm phức tiếp theo là
$$y = \sin^3 5x.$$

Có thể thấy ít nhất qua số lượng màu sắc, nó là sự kết hợp của ba chức năng: 1) màu xanh lam; 2) lũy thừa; 3) nhân với 5.

Hãy phân biệt nó:
$$y = \sin^3 5x;$$
$$y' = \left(3 \sin^2 5x\right) \cdot \left(\cos 5x\right) \cdot \left(5\right) = 15 \left(\sin^2 5x\right) \cos 5x.$$

Vì việc thay đổi vị trí của hợp chất không làm thay đổi tích nên không cần phải nói rằng bạn có thể sắp xếp các hàm để lấy vi phân theo bất kỳ thứ tự nào.

Một vài ví dụ nữa:
$$y = \mathrm{tg} x^3; \quad y' = \frac{3x^2}{\cos^2 x^3}.$$
Chức năng

chúng ta lấy vi phân dưới dạng tích của một hàm bằng công thức $(uv)' = u'v + v'u$:
$$y' = \left(x^2\right)' \left(\ln x^3\right) + \left(x^2\right)' \cdot \left(\ln x^3\right)' = 2x \ln x^3 + x^2 \cdot \frac{1}{x^3} \cdot \left(3x^2\right) = 2x \ln x^3 + 3x.$$

$$y = 2x^3 - 5x;$$
$$y' = 2x^3 - 5x \ln 2 \cdot \left(3x^2 - 5\right)$$

Ở sự khác biệt. Phân biệt bằng cách sử dụng ký hiệu nhiều màu khi cần thiết:

1. $y = (x^3 + 2)^4$; 2. $y = \sqrt{1 + 5x^2}$;

2. $y = e^{x^2 - 3x}$; 4. $y = \ln (2x^3 - 4x^2)$;

3. $y = \lg (2x^3 - 4x^2)$; 6. $y = 5^{\sin x}$;

4. $y = \log_{0.3}(8x^2 - 2x^3)$;

5. $y = \cos (2x - 1)$; 9. $y = \cos^2 3x$;

6. $y = \sqrt{\mathrm{tg} x}$; 11. $y = x \mathrm{tg}^2 x$;

7. $y = \sin \sqrt{ax}$; 13. $y = \ln \sin x$;

8. $y = 3^{\frac{1}{x}}$; 15. $y = \frac{1}{\cos 2x}$.

9. Chứng minh rằng hàm $y = c \sqrt{1 + x^2}$ đóng vai trò là nghiệm của phương trình vi phân $y' = xy / (1 + x^2)$.

Sửa đổi

1. Ở «Kvant» số 1 trên trang. 57 trong phương trình thứ hai bài toán 1 của đáp án 1, 15 bị in nhầm cùng với 55.
2. Trong đoạn cuối cùng trên p. 47 «Kvant» Số 2 phía trên chữ in đậm thứ 1, 4, 7 A và các chữ in đậm thứ 1, 3, 5, 6, 8 B nên có một dòng (A, B), bị thiếu do lỗi của nhà in.

28

Trường học yêu thích bài toán

Trong bối cảnh đó, trong phần “Trường học ở Kvant”, các bài tập toán liên quan đến khóa học ở trường sẽ được xuất bản. Không giống như “Sách giải toán Kvant”, ở đây chúng tôi sẽ đặt bài toán - “lớp toán học đường” khá nổi tiếng. lời giải của họ (thường ngắn nhưng không phải lúc nào cũng thuận tiện!) sẽ được xuất bản ở cuối số tạp chí tương tự. Bằng cách phân tích một cách có hệ thống những bài toán này, bạn sẽ làm quen với nhiều nguyên tắc hữu ích sẽ hữu ích cho bạn trong các bài kiểm tra và kỳ thi ở trường, khi đăng ký vào trường đại học hoặc tại Olympic. Chúng tôi hy vọng rằng Tuyển chọn trường bài toán sẽ được cả giáo viên và học sinh chuẩn bị trở thành giáo viên quan tâm.

lớp tám

1. Phân tích các biểu thức:
   a) $a^4 + 4b^4$;
   b) $a^4 + b^4$.
2. Chứng minh rằng có 4 điểm thuộc Gravenia—trung điểm hai đáy, giao điểm của hai đường chéo và giao điểm của phần kéo dài của các cạnh bên—tất cả đều nằm trên cùng một đường thẳng.
3. a) Cho hai đường thẳng song song và một đoạn $AB$ của một trong chúng nằm trên mặt phẳng. Vẽ trung điểm của đoạn $AB$ bằng một thước.
4. Hình nào được xác định trên mặt phẳng tọa độ bằng đẳng thức $|x| + |y| \leq 1$?
5. Khi máy xúc phải đào mộ. Lúc đầu, chiếc đầu tiên hoạt động miễn là chiếc máy xúc thứ hai và thứ ba có thể đào được một nửa số rãnh. Sau đó chiếc thứ hai làm việc trong khoảng thời gian bằng với thời gian mà chiếc máy xúc thứ nhất và thứ ba đào được một nửa số rãnh. Cuối cùng, sau đó, chiếc máy xúc thứ ba đã làm việc bằng thời gian của chiếc máy xúc thứ nhất và thứ hai để đào được một nửa số hào. Kết quả của công việc này là máy xúc đã đào được toàn bộ rãnh. Họ sẽ đào rãnh nhanh hơn bao nhiêu lần nếu tất cả họ làm việc cùng nhau thay vì riêng lẻ?

lớp chín
6. Hãy để $a + 4b = 2$. Giá trị tối đa mà sản phẩm $ab$ có thể nhận là bao nhiêu?
7. Một nhiệm vụ về kuntz thuần túy. Một Kunzets trung thực nhận thấy rằng trên chiếc cân mà anh ta sử dụng, một chiếc bát dài hơn chiếc kia một chút (vào thời điểm đó họ sử dụng chiếc cân có hai chiếc cốc ở đuôi tàu). Phải làm gì? Hứa với người mua là có tội nhưng tôi cũng không muốn ép mình! Lúc này, có một khách hàng bước vào cửa hàng và yêu cầu cân cho anh ta hai cân hạt. “Tôi sẽ cân quả hạch theo hai bước,” kuntz nghĩ. “Đầu tiên, tôi sẽ đặt một cân ngũ cốc lên chảo bên trái của cân và cho đủ số hạt vào chảo bên phải để cân bằng. Sau khi đưa số hạt này cho người mua, tôi sẽ đặt số pound ngũ cốc đó lên chảo bên phải của cân, bên trái tôi sẽ đổ đủ số hạt để cân lại.

8. Giả sử hàm $f(x)$ được tính theo công thức
   $$f(x) = (x^2 + 5x - 8)^{100} \cdot x^5.$$
   (1)

Nếu chúng ta thực hiện tất cả các hành động được chỉ ra ở phía bên phải của công thức (1) và các số hạng cho dưới đây, thì hàm $f(x)$ sẽ được viết dưới dạng đa thức:
$$f(x) = a_0x^{205} + a_1x^{204} + a_2x^{203} + \dots + a_{204}x + a_{205},$$
(2)
trong đó $a_0, a_1, a_2, \dots, a_{205}$ là một số số (hệ số của đa thức).
a) Tìm tổng của tất cả các hệ số
$$S = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{204} + a_{205}$$
của đa thức đã chỉ ra có lũy thừa lẻ $x$.
b) Tìm tổng các hệ số
$$S_4 = a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{205}.$$
9. Chứng minh rằng mọi hàm $f(x)$ xác định trên toàn bộ trục số đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ.
10. Cho một đường cao trong một địa hình (một đường thẳng tam giác tùy ý) vẽ từ đỉnh đi qua giao điểm của các đường cao của tam giác nằm ở đáy. Chứng minh rằng:
a) các cạnh giao nhau của một tam giác vuông góc với nhau;
b) các độ cao còn lại của giao điểm đường thẳng tam giác với các độ cao của ranh giới tương ứng;
b) Bốn đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm;
g) tổng bình phương chiều dài của mỗi cặp cạnh chéo là như nhau.

Lớp thứ mười
11. a) Chứng minh rằng $\cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{3\pi}{5} = \frac{1}{2}$.
6) Chứng minh rằng $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
12. Hình nào được xác định trong không gian tọa độ bằng đẳng thức $|x| + |y| + |z| \leq 1$?
13. Giải các phương trình:
a) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^x + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^x = 2; b)$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^x + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^x = 2^x.
14. Rút gọn các biểu thức:
a) $\log_a tg \theta + \log_a tg 2^\theta + \dots + \log_a tg 88^\theta + \log_a tg 89^\theta; b)$\log_a sin 60^\circ + \log_a sin 61^\circ + \dots + \log_a sin 119^\circ + \log_a sin 120^\theta;
b) $\log_2 3 + \log_3 4 + \log_4 5 + \dots + \log_{n-2}(n-1)n.$
15. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm tùy ý nằm bên trong hoặc trên biên của một tam giác đều đến các mặt của nó bằng chiều cao của tam giác đó.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi J. M. Rabbot

29

Bài tập

1. Hệ thống ở hình trên sẽ quay với tỷ số bán kính bánh răng là bao nhiêu? Còn hệ thống trong hình tiếp theo thì sao?
2. Giải bài toán số:

$$\frac{ВАГОН}{+ВАГОН}$$

$$\frac{СОСТАВ}{COSTAB}$$

3. Mỗi cạnh của hình lập phương được chia thành 4 hình vuông và mỗi hình vuông được bao quanh bởi một trong ba màu: xanh, vàng hoặc đỏ sao cho các hình vuông có một cạnh chung được bao quanh bởi các màu khác nhau. Có thể có bao nhiêu hình vuông màu xanh, đỏ và vàng?
4. Hãy xem xét một số có hai chữ số, ví dụ 13. Nhân số này với 20 và cộng nó với số ban đầu - ta được số 273. Nhân số kết quả với 481 - ta được số 131.313, trong ký hiệu đó số 13 ban đầu được lặp lại ba lần. Tính chất tuyệt vời này đúng với mọi số có hai chữ số. Tại sao?
5. Đồng hồ điện tử hiển thị thời gian: giờ và phút. Bao nhiêu thời gian mỗi ngày con số 2 được khắc ở ít nhất một nơi? Tìm thời gian tương ứng của các số còn lại: 0, 1, 3, 4, …, 9.

Những nhiệm vụ này được giao cho chúng tôi bởi: P. V. Molodchik, S. N. Oleksnik, V. V. Proizvolov, A. P. Savin, V. P. Chichin.

32

Bài toán

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Các nhiệm vụ khó khăn nhất được đưa ra dấu hoa thị. Sau khi đào tạo, chúng tôi thường chỉ ra ai đã đề nghị cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả các nhiệm vụ này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 30 tháng 6 năm 1984 đến địa chỉ: 103006, Moscow, K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Nhiệm vụ «Kvant» Số 4 - 84” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M856, M857” hoặc “F868”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán đề xuất xuất bản được chỉ định trong một phong bì riêng biệt, được làm thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học.

CHÚ Ý!

Bài toán M846 nên được giải ở dạng tổng quát hơn: chứng minh rằng trung bình số học của độ dài các cạnh của một đa giác lồi tùy ý nhỏ hơn trung bình số học của độ dài các dizonal của nó. Thời hạn gửi lời giải được kéo dài đến ngày 30/6.

M856—M860; F868—F872

M856. a) Vẽ một tứ giác khi biết độ dài các cạnh và độ dài đoạn nối hai đường chéo.

6. Trong những điều kiện nào bài toán có lời giải?

I. Z. Titovich

M857. Trong số các số tự nhiên đầu tiên năm 1984 (từ 1 đến 1984), chúng tôi lưu ý những số có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của năm lũy thừa không âm của hai (nghĩa là năm số không nhất thiết phải khác nhau 1, 2, 4, 8, …). Những số nào lớn hơn: được đánh dấu hay không được đánh dấu?

S. Stadnichenko

M858. Với các giá trị các góc α, β và γ của một tam giác nhất định thì hệ thức được thỏa mãn

$$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin \gamma.$$

a) Tìm α, β, γ nếu biết tam giác đó là tam giác cân (xét mọi trường hợp).

6. Một tam giác có thể là cấp tính?

b)* Góc lớn nhất của một tam giác có thể nhận những giá trị nào?

P. B. Gusyatikov

M859. Tìm số dương nhỏ nhất α ​​sao cho với bất kỳ tam thức vuông f(x) nào thỏa mãn bất đẳng thức |f(x)|<1 với 0<x<br />1, thì bất đẳng thức |f’(1)|<α giữ nguyên.

V. P. Pikulin

M860.* a) Gọi O và R là tâm và bán kính của tam giác ABC, Z và r là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, K là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác với các đỉnh tại các điểm mà đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm Z nằm trên đoạn OK và |OZ|:|ZK|=3R/r.

6. Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC, $\vec{n}_a, \vec{n}_b, \vec{n}_c$ là các vectơ đơn vị vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác và hướng ra ngoài (Hình 1). Chứng minh rằng

$$a^3\vec{n}_a + b^3\vec{n}_b + c^3\vec{n}_c = 12S \cdot M\vec{O},$$

trong đó S là diện tích tam giác ABC, M là giao điểm của các đường trung tuyến. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp.

Chân Quán

33

F868. Các vòng $O$ và $O'$ được đặt trên các thanh cố định thẳng đứng $AB$ và $A'B'$. Một sợi chỉ không thể giãn được buộc vào vòng $O$, luồn qua vòng $O'$ và được cố định tại điểm $A'$ (Hình 2). Tại thời điểm $\angle AOO' = \alpha$, chuông $O'$ di chuyển xuống dưới với tốc độ $v$. Tìm tốc độ của vòng $O$ tại thời điểm này.

S. S. Krotov

F869. Chiều dài thẳng đứng của ống gạch được lấp đầy bằng gang. Đầu dưới của ống được duy trì ở nhiệt độ $T_1 > T_{nл}$ ($T_{nл}$ là điểm nóng chảy của gang), đầu trên được duy trì ở nhiệt độ $T_2 < T_{nл}$. Độ dẫn nhiệt của gang nóng chảy lớn hơn $k$ lần so với sắt đặc. Phần nào của kim loại ở trạng thái nóng chảy?

A. I. Buzdin

F870*. Một khí lý tưởng đơn nguyên tử giãn nở sao cho nhiệt độ mol của nó $c_x$ không đổi; trong trường hợp này, khí thực hiện công $A = 165$ J. Sau đó, khí được đốt nóng đẳng nhiệt đến nhiệt độ ban đầu, nhờ đó một lượng nhiệt $Q = 125$ J được cung cấp cho nó. Xác định $c_x$.

A. A. Sheronov

F871. Ban đầu, tụ điện không tích điện $C$ sẽ được nối với pin mắc nối tiếp có điện áp $U_0$ và cuộn dây có độ tự cảm $L$. Dòng điện qua cuộn dây lúc đầu tăng rồi giảm. Tại thời điểm dòng điện bằng 0, tụ điện bị ngắt khỏi mạch và được kết nối lại, hoán đổi đầu ra của nó. Sau đó cường độ dòng điện cực đại chạy qua cuộn dây là bao nhiêu? Dòng điện này sẽ thay đổi như thế nào nếu quá trình chuyển mạch được lặp lại 1984 lần? Bỏ qua điện trở của mạch.

A. R. Zilberman

F872. Một chiếc xe trượt dài, trượt trên mặt băng rất mịn, chạm vào nhựa đường và dừng lại trước khi đạt được một nửa chiều dài. Sau đó, chiếc xe trượt tuyết đột ngột trở lại tốc độ ban đầu và nó lại dừng lại. Thời gian phanh liên quan như thế nào trong trường hợp thứ nhất và thứ hai? Còn khoảng cách phanh thì sao?

S. S. Krotov

Problems

M856—M860; P868—P872

M856. a) Construct a quadrilateral knowing the lengths of its sides and that of the segment joining the midpoints of the diagonals.

b) Under what conditions does the problem have a solution?

I. Z. Titovich

35

isochorically heated to its initial temperature, which requires the amount of heat $Q=125$ J. Determine $c_x$.

A. A. Sheronov

P871. An initially uncharged capacitor of capacity $C$ is connected consecutively to a battery of EMF of tension $U_0$ and a coil of inductivity $L$. The current in the coil first increases, then decreases. At the moment when the current banishes, the capacitor is disconnected and then reconnected with the ends interchanged.

What maximal current will then flow through the coil. How will the current change if the reconnection process is repeated 1984 times? The circuit’s resistance is negligible.

A. R. Zilberman

P872. A long sled, sliding on very slippery ice, reaches an ice-free section of the road and stops before travelling half its length. Then a sharp push restores the sled’s previous velocity, and it stops again. What is the relationship between 1) the slowing down times in the first and second cases? 2) the distances travelled while slowing down?

S. S. Krotov

Lời giải bài toán

M841 — M845; F852 — F857

bài toán đơn giản này có một số lời giải. Chúng ta hãy chỉ đưa ra một trong số họ. Gọi $a$ và $b$ là độ dài của hai chân, $c$ độ dài cạnh huyền của tam giác đã cho $ABC$; $A_1, B_1$ và $C_1$ là các điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp nhìn từ phía bên (xem hình). Bằng định lý về sự bằng nhau của các tiếp tuyến vẽ đường tròn từ một điểm $|AB_1| = |AC_1|$, $|BC_1| = |BA_1|$ và $|CA_1| = |CB_1|$. Nó theo sau đó

$$|AC_1| = \frac{c+b-a}{2}, \quad |BC_1| = \frac{c+a-b}{2}.$$

Bởi vì

$$|AC_1| \cdot |BC_1| = \frac{1}{4} (c+b-a)(c-(b-a)) = \frac{1}{4} (c^2-(b-a)^2) = \frac{1}{4} (c^2-b^2-a^2+2ab) = \frac{ab}{2} = S_{\triangle ABC}$$

(chúng tôi đã sử dụng định lý Pythagore).

Trong trường hợp tam giác tùy ý $ABC$, phép tính tương tự sẽ dẫn đến công thức sau:

$$S_{\triangle ABC} = |AC_1| \cdot |BC_1| \cdot \text{ctg} (\widehat{C}/2).$$

V. N. Dubrovsky

a) Đây là một câu nói khá nổi tiếng - gợi ý cho điểm 6); nó có thể được chứng minh dễ dàng bằng cách sử dụng các công thức tiêu chuẩn để chuyển đổi tổng các sin và hiệu các cosin thành tích:

$$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = 2 \sin \frac{\gamma}{2} \left( \cos \frac{\gamma}{2} - \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \right) =$$

b) Các giá trị $\widehat{A}$, $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ của tam giác thỏa mãn