Kvant 1985, số 1 · Trang

ISSN 0130-2221
1
1985
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
KBANM
4
1984
KBANM
1
1978
KBANM
1
1979
E hv

bằng tốt nghiệp

KHOA HỌC PHỔ BIẾN
Tạp chí Vật lý và Toán học
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ
VÀ HỌC VIỆN SƯ PHÁP
KHOA HỌC LIÊN XÔ

Đây là bản sao của Dill, từ năm 1985 đã trao giải cho những người chiến thắng trong các cuộc thi do tạp chí của chúng tôi tổ chức (Bài toán «Kvant», cuộc thi cờ vua, v.v.). Nó mô tả các nhân vật ngụ ngôn của Pyphasor và Archimedes, được mượn từ cuốn sách giáo khoa toán học đầu tiên của Nga, do Leonty Magnitsky viết và xuất bản tại Moscow năm 1703.

TRONG PHÒNG:

2 «Kvant» – 15 năm
3 Gửi độc giả của chúng tôi
4 L. V. Tarasov. Nghề bình yên của chùm tia laze
10 O. V. Lyashko. Tại sao sức đề kháng không giảm?
16 F. N. Sklokin. Trắng tay hoặc không tin vào mắt mình

IN THIS ISSUE:

Kvant is fifteen
To our readers
L. V. Tarasov. Peaceful professions of the laser ray
O. V. Layshko. Why the resistance does not decrease
F. N. Sklokin. White haze, or Don’t believe your own eyes

vòng tròn toán học
N. V. Vasiliev, V. L. Gutenmacher. Các cặp số và phép tính với chúng

Mathematics circle
N. V. Vassiliev, V. L. Gutenmacher. Các cặp số và phép tính với chúng

Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10
Mathematica 8, 9, 10
Trường học yêu thích bài toán

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Mathematics 8, 9, 10
Selected school problems

Kaleidoskon «Kvant»

Kvant’s kaleidoscope

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Nhiệm vụ
S. S. Krotov. Về áp suất và định luật Pascal, hay Tại sao pho mát có lỗ tròn

Kvant for younger school children
Problems
S. S. Krotov. On pressure and Pascal’s law, or Why does cheese have round holes

tin tức khoa học
Top Quark và Tiger Cub Top

Science news
Top-quarks and Top the little tiger

Bài tập «Kvant»
Nhiệm vụ M901—M905; F913—F917
Lời giải bài toán M884, M885; F894—F897

Kvant’s problems
Problems M901—M905; P913—P917
Solutions M884, M885; P894—P897

Thông tin
Trường hè tình anh em dành cho lập trình viên trẻ
Tuyển sinh mới vào Trường Toán Báo chí Toàn Liên minh
Tuyển sinh mới vào bộ phận thư tín của Cơ khí nhỏ
Trường Vật lý và Công nghệ Tương ứng tại MISiSe

Information
Young programmer’s summer school in Bratislava
Entrance requirements to the All-Union mathematics correspondance school
Entrance requirements to the Maly Mechmat correspondance school
The MISIS physico-technical correspondance school

Các lựa chọn thi tuyển sinh
Đáp số, gợi ý, lời giải
«Kvant» mỉm cười (40)
Trang cờ vua
Ảo mộng trên bàn cờ (trang bìa thứ 3)

College entrance examinations
Answers, hints, solutions
Kvant smiles (40)
The chess page
Science fiction on the chessboard (3rd cover page)

3

Gửi độc giả của chúng tôi

Nhiều tạp chí được xuất bản ở nước ta: Chúng cần thiết cho các nhà toán học và vật lý, nhà sinh học và bác sĩ, nhà địa lý và địa chất, kỹ sư thuộc nhiều chuyên ngành khác nhau, giáo viên và tất nhiên, … học sinh. Nhưng học sinh vẫn chưa có tạp chí khoa học của riêng mình. Đã đến lúc lấp đầy khoảng trống này. Đối với những học sinh quan tâm đến toán học và vật lý, chúng tôi muốn «Kvant» trở thành tạp chí khoa học đầu tiên của các em.

Tất nhiên, chúng tôi đang trông cậy vào những học sinh chỉ đơn giản là “trở nên giỏi hơn” về toán và vật lý hoặc có thể tiến bộ hơn. Nhưng hiện nay, nhu cầu của đất nước là rất lớn đối với những người trẻ tuổi tham gia vào khoa học với niềm đam mê và vượt ra ngoài những yêu cầu bắt buộc của trường học. Ở Liên Xô vào cuối năm 1968 có hơn 800.000 nhân viên khoa học, trong đó có hơn 80.000 chuyên gia về khoa học vật lý và toán học. Tổng số nhà khoa học, kỹ sư, nhà kinh tế, v.v., những người phải nắm vững các phương pháp toán học và nghệ thuật thí nghiệm vật lý bằng vết mổ và phát minh của chính họ, sẽ sớm lên tới hàng triệu người. Đất nước chúng ta cam kết đảm bảo rằng học sinh được học

Thiếu khả năng giải quyết các vấn đề toán học và vật lý, họ đã kịp thời suy nghĩ về việc lựa chọn một con đường nghiên cứu sâu hơn mà khả năng và sở thích của họ sẽ không bị uổng phí. Vì vậy, mọi cơ hội sẽ được tạo ra để học tập thành công về toán học và vật lý. Các trường vật lý và toán học đặc biệt được tổ chức, các lớp tự chọn bổ sung được tổ chức cho học sinh lớn hơn và các kỳ thi Olympic vật lý và toán học được thành lập. Đây là toàn bộ trường hợp và «Kvant». Tạp chí sẽ chứa rất nhiều tài liệu phù hợp cho công việc trong giới học đường. Nhưng bạn có thể tự mình làm việc với tạp chí.

Chúng ta phải ủng hộ ngay từ này - làm việc. Trong tạp chí, bạn sẽ tìm thấy cả các trang mùa xuân và tài liệu dành cho so sánh_LEGACIOUS_MATHEMATICS_WORKS. Nhưng tài liệu chính của tạp chí đã được mở rộng để bao gồm cả học sinh sẽ làm việc trên tạp chí đó. Bạn cần phải giải các bài toán, đọc các bài báo bằng giấy và bút chì trên tay và cố gắng tự mình thực hiện lại các thí nghiệm được mô tả.

Hầu hết các tài liệu của tạp chí đều hướng đến đối tượng học sinh trung học, nhưng chúng tôi hy vọng rằng các em học sinh từ lớp 6-7 cũng sẽ tìm thấy những điều thú vị trên tạp chí.

Đừng lo lắng nếu bạn thấy mình khó tiếp cận và khó khăn. Chọn một tài liệu tạp chí khác, nói lời tạm biệt, nhưng sau một thời gian hãy cố gắng quay lại với những tài liệu mà ban đầu bạn đã bỏ qua.

Tóm lại, tại sao tạp chí được gọi là «Kvant». Có một thời, sự xuất hiện của ý tưởng lượng tử đã gây ra những thay đổi sâu sắc trong khoa học vật lý. Chúng tôi muốn rằng sự xuất hiện của tạp chí mới cũng sẽ mang lại những tiến bộ lớn hơn và thậm chí là một bước nhảy vọt đáng chú ý trong việc tiếp thu khoa học hiện đại của học sinh. Hãy để chúng tôi nhắc lại một lần nữa: để hy vọng của chúng tôi trở thành hiện thực, chúng tôi cần độc giả ngay lập tức tham gia tích cực cùng chúng tôi.

Chúng tôi chúc bạn thành công!

tuyển tập biên tập
(«Kvant», Số 1, 1970)

Nghề bình yên của chùm tia laze

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
L. V. TARASOV

Chùm tia laser được sử dụng trong hàn và cắt kim loại, trong các hoạt động phẫu thuật (từ khoang lớn đến các hoạt động tốt nhất trên võng mạc), các quy trình kỹ thuật tinh vi trong điện tử, các cuộc gọi vi mô trong lắp đặt phản ứng tổng hợp nhiệt hạch. Bây giờ mọi cậu bé đều biết từ “laser”.

Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
Viện sĩ A. P. Aleksaidrov
(từ bài phát biểu tại Đại hội XXVI của CPSU)

Sau khi tạo ra tia laser, con người có thể tập trung năng lượng ánh sáng mạnh mẽ một cách bất thường và gửi nó theo hướng này hay hướng khác trong không gian. Dòng năng lượng ánh sáng này có thể liên tục hoặc ở dạng xung lực mạnh nối tiếp nhau. Bạn có thể kiểm soát cả tốc độ lặp lại của xung laser và các thông số của chúng - năng lượng, thời lượng. Chùm tia laser có thể được hình thành trên bề mặt được chiếu xạ thành một điểm sáng có đường kính lên tới 1-10 micron. Công nghệ laser hiện đại dễ dàng giúp tập trung cường độ ánh sáng $10^5$—$10^6$ W/cm² trên bề mặt ma trận. Nói cách khác, sự chiếu xạ khoa học có kích thước ~1 micron trên bề mặt ma trận sẽ nhận được năng lượng cỡ 0,1 J mỗi giây. Ở cường độ cao như vậy, kim loại bắt đầu nổi. Ngày nay, không khó để cung cấp cường độ ánh sáng cao hơn nữa: $10^6$—$10^8$ W/cm². Trong trường hợp này xảy ra sự bay hơi mạnh của nền được chiếu xạ.

Chùm tia laser mạnh có thể là một vũ khí đáng gờm nhưng nó có thể được sử dụng thành công cho mục đích hòa bình. Các nhà khoa học và kỹ sư Liên Xô đã chỉ ra một cách thuyết phục rằng có bao nhiêu ngành nghề chùm tia laser tròn. Họ đã chứng minh tính hiệu quả và hứa hẹn của việc sử dụng tia laser để xử lý vật liệu, trong y học, trong công nghệ máy tính hiện đại, trong các thiết bị đo lường và điều khiển chính xác cũng như cho nghiên cứu khoa học. Tuy nhiên, trong số những phát minh vĩ đại nhất của thế kỷ 20, tia laser có thể và nên là một lao động của tình yêu chứ không phải của một người lính.

Trong một chỉ số, thậm chí không thể nói ngắn gọn về tất cả các ngành nghề liên quan đến tia laze trên thế giới. Ở đây chúng ta sẽ chỉ giới hạn ở hai chủ đề: xử lý vật liệu bằng chùm tia laze và việc sử dụng tia laze trong y học.

Chùm tia laser - công cụ mới để xử lý vật liệu

Trên mặt đồng hồ đeo tay Poljot có dòng chữ: “23 viên đá”. Hướng lên-

Việc cài đặt laser Rubin-2 được sử dụng để điều khiển các thiết bị điện tử.

5

Số lượng chân kính cũng có thể được nhìn thấy trên mặt số của những chiếc đồng hồ lên dây cơ khác. Những loại đá này là gì? Chúng ta đang nói về những viên đá ruby ​​​​được sử dụng trong bộ máy đồng hồ như ổ trục trượt. Để tạo ra một ổ đỡ như vậy, cần phải căn chỉnh một vết lõm nhỏ có đường kính chỉ 0,1 mm bằng hồng ngọc (một vật liệu rất cứng và đồng thời giòn). Trong nhiều năm, hoạt động này được thực hiện một cách cơ học bằng cách sử dụng các mũi khoan làm bằng dây mỏng được xử lý đặc biệt. Máy khoan thực hiện hơn 10.000 vòng quay mỗi phút và đồng thời thực hiện khoảng 100 chuyển động tịnh tiến. Mất khoảng 15 phút để khoan một viên đá.

Từ năm 1964, việc khoan lỗ cơ học năng suất thấp trên đá đồng hồ đã được thay thế rộng rãi bằng khoan laser. Tất nhiên, thuật ngữ “khoan laser” không nên hiểu theo nghĩa đen. Chùm tia laser không khoan lỗ - nó tạo ra lỗ do sự bay hơi tích hợp của vật liệu. Một lỗ trên đá hồng ngọc (có độ dày phôi là 1 mm) được đục bởi một loạt xung laser có năng lượng 0,1 J và thời lượng cỡ $10^{-4}$ s (nghĩa là có công suất tối đa cỡ $10^3$ W); khi tập trung xung laser vào một điểm sáng có đường kính 0,01 cm, nó sẽ cung cấp cường độ ánh sáng vào khoảng $10^7$ W/cm². Năng suất của hệ thống laser hoạt động ở chế độ tự động là một viên đá mỗi giây. Con số này cao hơn khoảng một nghìn (!) lần so với năng suất của việc khoan cơ học.

Trong nhiều dụng cụ thay đổi, trong các quy trình kỹ thuật đòi hỏi độ chính xác cao, cần có dây rất mỏng làm bằng đồng, đồng thau và vonfram. Để có được một sợi dây như vậy, kim loại được kéo qua các lỗ có đường kính thích hợp, cao trên vật liệu siêu cứng, chẳng hạn như kim cương (còn gọi là khuôn kim cương). Khuôn kim cương cho phép nối dây có đường kính chỉ 10 micron; Sợi dây này mỏng hơn mười lần so với toàn bộ sợi dây của một người. Nhưng làm thế nào để khoan một lỗ trụ trên một vật liệu siêu cứng như kim cương? Về mặt máy móc thì điều này khá khó thực hiện; Phải mất đến mười giờ để khoan một lỗ. Không khó chút nào để đục lỗ này bằng một loạt các xung laser công suất cao tập trung.

Như bạn có thể thấy, khoan laser có một số ưu điểm rất quan trọng: nó cho phép bạn tạo lỗ trên các vật liệu có độ cứng cao (ví dụ: kim cương) hoặc độ giòn tăng (ví dụ: gốm alumina); Có thể thu được các lỗ rất mỏng, đồng thời tỷ lệ giữa độ sâu của các lỗ được khoan bằng tia laser với đường kính của chúng đạt giá trị kỷ lục (so với các phương pháp khoan khác) - độ sâu của lỗ có thể vượt quá đường kính của nó gấp 10-50 lần. Trong mọi trường hợp, khoan laser đều mang lại hiệu quả cao. Cuối cùng, không giống như các mũi khoan thông thường, “mũi khoan laser” không bị gãy hoặc mòn.

Phát triển tổ chức truyền thông vi điện tử với cải tiến công nghệ sản xuất vi mạch. Một chùm tia laser có thể giúp ích rất nhiều ở đây. Lúc đầu, tia laser chỉ được sử dụng cho hàn vi mô. Do đó, với sự trợ giúp của tia laser ruby, đầu vào được gắn với các điểm tiếp xúc trên tấm silicon, nối dây mỏng với màng mỏng. Sau đó, họ bắt đầu sử dụng tia laser $\text{CO}_2$ (laser khí carbon) để tăng kích thước lỗ trên chất nền gốm cho vi mạch. Ngày nay, chùm tia laser ngày càng được sử dụng nhiều để điều chỉnh các thông số của mạch màng mỏng và chế tạo các phần tử mạch riêng lẻ. Bằng cách sử dụng tia laser, bạn có thể tạo ra toàn bộ mạch phim - với tất cả các điện trở, tụ điện và cuộn cảm có trong đó. Giả sử rằng một màng kim loại mỏng được phun lên đế điện môi của vi mạch. Bằng cách di chuyển một điểm laser tập trung dọc theo bề mặt của màng, có thể làm bay hơi một số khu vực nhất định của màng và từ đó tạo ra “mô hình” mong muốn của vi mạch.

6

Ngày nay, chùm tia laser được sử dụng rộng rãi để cắt vật liệu. Họ có thể cắt hầu hết mọi vật liệu: vải, giấy, gỗ, ván ép, cao su, nhựa, gốm sứ, tấm amiăng, thủy tinh, tấm kim loại. Với việc cắt bằng laze, bạn có thể có được những đường cắt gọn gàng trên các biên dạng phức tạp, với các cạnh nhẵn, không nung. Để cắt, người ta sử dụng tia laser phát liên tục hoặc tia laser tạo ra chuỗi xung ánh sáng với tốc độ lặp lại cao. Công suất bức xạ cần thiết phụ thuộc vào vật liệu được cắt và độ dày của phôi.

Để chứng minh ngày nay việc cắt laser được sử dụng rộng rãi như thế nào, đây là hai ví dụ. Ví dụ đầu tiên là cắt laser và cắt vải trong một nhà máy dệt hiện đại. Thiết bị này bao gồm một tia laser CO₂ 100 W tạo ra liên tục, một hệ thống tập trung và di chuyển cung laser, một máy tính và một hệ thống để căng và di chuyển mô. Trong quá trình cắt, chùm tia laser di chuyển dọc theo bề mặt vải với tốc độ lên tới 1 m/s. Đường kính của điểm sáng tập trung là 0,2 mm. Chuyển động của cung laser và vải được điều khiển bằng máy tính. Ví dụ, một thiết bị như vậy cho phép cắt vải thành 50 bộ quần áo trong vòng một giờ. Việc cắt được thực hiện không chỉ nhanh chóng mà còn có độ chính xác rất cao. Đồng thời đảm bảo chất lượng tốt của các cạnh cắt.

Một ví dụ khác là việc sử dụng công nghệ cắt laser trong ngành hàng không và đặc biệt là trong sản xuất tàu vũ trụ. Việc cắt các tấm titan, thép và nhôm tự động được thực hiện bằng cách sử dụng tia laser. Một tia laser CO₂ 3 kW tạo ra liên tục cắt tấm titan dày 5 mm với tốc độ 3,5 m/phút.

Cùng với việc cắt laser, hàn laser cũng được sử dụng rộng rãi hiện nay. Điều đáng chú ý là độ bền của mối hàn (chiều rộng của đường hàn vài mm) đạt đến mức độ bền của vật liệu được hàn. Thực hiện hàn laser tự động các thân tàu, thân tàu tự động và hàn đường ống dẫn khí. Ví dụ, tại nhà máy ô tô I. A. Likhacheva ở Moscow, sử dụng tia laser CO₂ 5 kW, họ tự động sản xuất máy hàn laser tự động cho trục cardan. Tuổi thọ của dịch vụ được tăng lên ba lần.

Hàn laser cạnh tranh thành công với các phương pháp hàn chiết tốt, chẳng hạn như hàn hồ quang. Điều này được xác nhận một cách thuyết phục bởi bảng trên trang này. Bảng hiển thị dữ liệu liên quan đến hàn hồ quang và hàn laser của một mét tuyến tính tấm thép có độ dày 20 mm.

8

Trong một trường hợp khác, chùm tia laser được sử dụng để đốt cháy các lỗ (ống dẫn) trên màng rễ và từ đó khôi phục dòng chảy bình thường của dịch nội nhãn. Tuy nhiên, rất nhanh chóng, người ta thấy rõ rằng việc “đốt cháy” màng rễ sẽ gây ra tình trạng viêm, loại bỏ các ống dẫn được tạo ra khá nhanh chóng. Nghiên cứu của y học Liên Xô do Viện sĩ Liên Xô AMH M. M. Krasov đứng đầu đã chỉ ra rằng không cần thiết phải thua mà phải “đâm thủng” các ống dẫn trong màng rễ. Điều này đòi hỏi xung laser phải cực kỳ ngắn. Trong cơ sở lắp đặt tia laser của Liên Xô “Yatagan” được sử dụng để điều trị bệnh tăng nhãn áp, sử dụng các xung laser chỉ kéo dài 10⁻⁷s. Toàn bộ hoạt động mất 10-15 phút.

Bắt đầu từ nửa sau thập niên 60, tia laser bắt đầu được sử dụng như một loại dao mổ trong phẫu thuật. Ở Liên Xô, việc sử dụng tia laser trong phẫu thuật thực tế bắt đầu vào năm 1966 tại Viện Phẫu thuật A. V. Vishnevsky (dưới sự lãnh đạo của Viện sĩ A. A. Vishnevsky của Liên Xô AMH). Dao mổ laser được sử dụng trong các ca phẫu thuật trên các cơ quan nội tạng của ngực và khoang bụng. Hiện nay, chùm tia laser được sử dụng để thực hiện phẫu thuật thẩm mỹ da, phẫu thuật trên ống dẫn trứng, dạ dày, ruột, thận, gan, lá lách và các cơ quan nội tạng khác. Họ đang thực hiện những bước đầu tiên để sử dụng tia laser trong phẫu thuật tim.

Thông thường, người ta sử dụng tia laser CO₂ liên tục có công suất vài chục batt. Bức xạ laser đi vào một hệ thống các ống giãn nở rỗng nối bản lề, qua đó ánh sáng lan tỏa, phản chiếu từ gương. Khi thoát khỏi hệ thống, bức xạ bùng phát dưới dạng chùm ánh sáng rất mạnh. Trong quá trình phẫu thuật, bác sĩ phẫu thuật cầm ống thoát trong tay và có thể trộn nó, tự do xoay nó theo các hướng khác nhau và từ đó đưa chùm tia laser đến vị trí mong muốn.

Dao mổ laser được sử dụng để cắt và khâu mô. Việc bóc tách mô được thực hiện bằng chùm tia tập trung. Với công suất bức xạ 20 W và đường kính điểm laser tập trung 1 mm, có thể đạt được cường độ khoảng 2,5 kW/cm2. Bức xạ xuyên vào mô ở độ sâu khoảng 50 micron. Do đó, mật độ năng lượng bức xạ thể tích để làm nóng mô đạt tới 500 kW/cm³. Đối với mô sinh học đây là một giá trị rất lớn. Đương nhiên, sự nóng lên và bay hơi nhanh chóng của mô xảy ra - việc cắt mô hiệu quả bằng chùm tia laze là điều hiển nhiên.

Nếu cường độ bức xạ giảm xuống 25 W/cm2 thì mô sẽ không bay hơi nhưng sẽ xảy ra hiện tượng đông tụ bề mặt (dày lên) của dịch mô. Quá trình này được sử dụng để khâu các mảnh vải đã cắt lại với nhau. Hàn sinh học được thực hiện do sự đông tụ của chất lỏng có trong các thành mổ xẻ của cơ quan được phẫu thuật và được ép đặc biệt vào khoảng trống giữa các phần mô được kết nối.

Chùm tia laser như phẫu thuật

10

Tại sao sức đề kháng không giảm?

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
O. V. LYASHKO

Mặc dù bài viết này chỉ giải bài toán vật lý thuần túy nhưng trước mắt bạn là một bài toán. Để hiểu nó, không cần có kiến ​​thức vật lý về máy chủ; Bài viết không đặt mục tiêu mô tả chi tiết các hiện tượng vật lý sâu sắc đến mức nào. Như thường thấy trong các ứng dụng của khoa học toán học, ở đây một mô hình toán học của tình huống đang được xem xét được xây dựng và một công cụ toán học được phát triển, việc sử dụng nó mang lại một lời giải đơn giản cho bài toán ban đầu và cũng cho phép chúng ta trả lời nhiều câu hỏi khác, không chỉ trong vật lý - mà còn trong kinh tế và hình học.

Hãy xem xét một mục tiêu điện bao gồm các điện trở và thay đổi tổng điện trở $R$ của mạch giữa hai điểm $A$ và $B$ của nó. Bây giờ chúng ta giả sử rằng một trong các điện trở đã cháy hết và điện trở của nó tăng lên *). Chúng ta hãy thay đổi điện trở $R$ một lần nữa giữa $A$ và $B$. Bạn có nghĩ rằng khi đó điện trở $R$ 1) có thể đã tăng lên không? 2) không thay đổi? 3) nó có giảm không?

1. Rõ ràng là sức đề kháng có thể tăng lên. Ví dụ: nếu mục tiêu bao gồm một hoặc nhiều điện trở mắc nối tiếp thì tổng điện trở của mạch bằng tổng các điện trở có trong mạch; do đó, nếu một trong các số hạng tăng lên thì tổng cũng sẽ được trả về (Hình 1).

2. Sau khi suy nghĩ một chút, bạn có thể nghĩ ra một ví dụ trong đó tổng điện trở không thay đổi. Hai mạch điện cũng được hiển thị trong Hình 2. Trong cả hai mạch, việc tăng điện trở $R_0$ không làm thay đổi tổng điện trở (hãy nghĩ xem tại sao).

3. Nhưng những nỗ lực đưa ra một ví dụ khi sức đề kháng tổng thể giảm đi không dẫn đến thành công. Vậy có thể được không?

“Tất nhiên là không,” một người đọc tỉnh táo sẽ trả lời đúng (trong mọi trường hợp, đó là cách tất cả các dấu hiệu của tôi trả lời). Nhưng khi được hỏi tại sao điều này không thể xảy ra, tôi chắc chắn không nghe thấy đáp số từ họ. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên. Đáp số cho câu hỏi này, tức là một bằng chứng toán học nghiêm ngặt rằng khi một trong các điện trở của bất kỳ mạch điện trở nào tăng thì tổng điện trở của nó sẽ giảm

11

Nó không thể khâu được, nó không đơn giản chút nào. Nó dựa trên một nguyên tắc sâu sắc, có thể gọi là nguyên tắc hành động tối thiểu).

Bản chất của nó là thế này: nhiều quá trình vật lý xảy ra theo cách mà một số đại lượng đạt giá trị tối thiểu. Vì vậy, ví dụ, một màng xà phòng trải dài trên một mạch dây trong không gian sẽ chọn từ tất cả các định dạng có thể có một định dạng có diện tích tối thiểu. Một tia sáng trong môi trường có chiết suất thay đổi sẽ chọn trong số tất cả các quỹ đạo có thể có một quỹ đạo mà tại đó thời gian truyền đi của nó là nhỏ nhất (“Nguyên lý Fermat”). Một giọt nước thích hợp chảy xuống từ một ngọn núi lồi sẽ chọn đường đi giữa các cấp độ nhất định có chiều dài ngắn nhất, v.v.

Do đó, để giải bài toán tương ứng (tìm hình dạng của phim, hoặc quỹ đạo của tia hoặc đường đi của giọt nước), bạn cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm tương ứng (diện tích, thời gian hoặc độ dài). Tất nhiên, đây là lúc cần đến toán học: một công thức toán học dựa trên nguyên tắc các kỹ thuật toán học tối thiểu để sử dụng nó.

Tôi nghĩ người đọc sẽ không quan tâm nhiều đến việc xác lập sự thật mà đến những kỹ thuật và nguyên tắc này. Tuy nhiên, một độc giả tò mò có lẽ sẽ tự hỏi mình câu hỏi sau: làm thế nào người ta có thể đưa ra một “bằng chứng toán học chính xác” về một sự kiện (trong trường hợp này là một sự kiện vật lý) không liên quan gì đến toán học?

Cơm. 3.

mặc? Chúng ta hãy thử nhìn về phía trước để phác thảo đáp số đầu tiên cho câu hỏi này.

Khi một nhà toán học xử lý lời giải áp dụng bài toán, anh ta thường bắt đầu bằng việc xây dựng một mô hình toán học về nó. Để làm được điều này, anh ta phải nêu bật những khái niệm cơ bản cần thiết để mô tả bài toán và loại bỏ những khía cạnh của hiện tượng không cần thiết cho lời giải của nó. Kết quả là, một mô tả trừu tượng bài toán sẽ xuất hiện, trong đó nó được hiện thực hóa và thay thế bằng các trừu tượng toán học (điểm, đường, số, hàm) và các định luật chi phối những hiện tượng này được thể hiện dưới dạng phương trình. Như vậy, mạch điện của chúng ta sẽ biến thành một “đồ thị căng”, điện trở sẽ trở thành những con số, định luật Ohm và các quy tắc Kirchhoff sẽ được viết dưới dạng một “hệ phương trình cơ bản”. Chúng ta sẽ quên rằng lớp cách điện của dây dẫn được làm bằng nhựa màu vàng, dây dẫn và điện trở được làm bằng một loại kim loại nào đó, dòng điện là “các electron chạy”: tất cả những điều này sẽ trở nên không đáng kể đối với chúng ta. Nhưng có lẽ tôi đã đi quá xa. Điều đầu tiên trước tiên.

Một đồ thị căng thẳng (hoặc mạch điện)

Chúng ta hãy liên kết với mỗi mạch điện một đồ thị căng, nghĩa là một tập hợp hữu hạn các điểm trên một mặt phẳng hoặc không gian (chúng được gọi là các đỉnh) và một số tập hợp các điểm nối với nhau (các cạnh của đồ thị), trên đó các số được viết (các cạnh bị căng). Ví dụ, các mạch điện ở Hình 2 được liên kết với các đồ thị ở Hình 3; một ví dụ phức tạp hơn về đồ thị được hiển thị trong Hình 4.

Ta đánh số các đỉnh từ 1 đến n; đỉnh có số i sẽ được ký hiệu là ⟨i⟩. Chúng tôi sẽ xem xét

13

đến đỉnh thứ nhất $\langle 1 \rangle$, $\varphi_1 - \varphi_n$ là hiệu điện thế ở đầu vào và đầu ra, do đó, theo định luật Ohm, $R$ là tổng điện trở của mạch.

Sự tồn tại của điện thế hài (hoặc tính toán mạch điện trở)

Phép tính toán học bài toán của mạch điện trở được cấp điện như sau. Cho một biểu đồ Г có tải $R_{ij}$ và các giá trị tiềm năng được chọn $\varphi_1, \varphi_n$ ở đầu vào và đầu ra; cần phải tìm một điện thế hài với các giá trị đã cho này ở đầu vào và đầu ra, tức là giải hệ cơ bản (1) đối với các ẩn số $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{n-1}$ với $\varphi_1, \varphi_n$ đã cho.

Qua thực tế, các nhà vật lý biết rằng quy tắc đầu tiên của Kirchhoff (tức là hệ (1)) là đủ để tính bất kỳ mạch điện trở nào. Tất nhiên, đối với các nhà toán học, điều này là chưa đủ - họ cần một định lý tổng quát tương ứng. Và nó đây:

Định lý 1. Đối với mọi đồ thị Г có tải dương $R_{ij}$ và mọi giá trị của điện thế $\varphi_1, \varphi_n$ ở đầu vào và đầu ra đều có điện thế hài $\varphi$.

Tôi không đưa ra cách chứng minh trực tiếp định lý bằng hai kỹ thuật. Những câu hỏi, chúng ta sẽ không cần nó trong tương lai. Thứ hai, để chứng minh chặt chẽ, cần có một số khái niệm về “đại số tuyến tính”, một môn học không được học ở trường trung học thông thường. Ý tưởng của chứng minh là hệ chính chỉ có $n-2$ ẩn số $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{n-1}$ và cùng số phương trình (tuyến tính), hơn nữa, các phương trình này độc lập nên chỉ có lời giải.

Trận chiến

1. Tìm một cách chứng minh khác cho Định lý 1 dựa trên định lý chính (xem trang 14).

2. Kiểm tra xem trong trường hợp đồ thị $2,a$ và $2,6$ dòng điện thực lẻ dọc theo các cạnh có điện trở $R_0$ (nghĩa là hiệu điện thế ở hai đầu của các cạnh này bằng 0).

3. Chứng minh trong trường hợp tổng quát rằng tại $\varphi_1 = \varphi_n$ dòng điện tổng (xem công thức 2)) bằng không.

4. Soạn hệ phương trình cơ bản cho đồ thị trong Hình 4 và ước tính bằng tay khoảng thời gian cần thiết để thực hiện lời giải. Nếu bạn có lập trình, hãy nghĩ cách kết nối máy tính của bạn với bài toán này.

5. Nhân đôi một trong các điện trở trên biểu đồ $2,a$ và đếm tổng điện trở của nó được thông báo là bao nhiêu.

6. Chứng minh rằng phương trình (1), (2) và định luật Ohm bao hàm (2).

Đối với bất kỳ đồ thị tải (mạch điện) Г nào có đỉnh $\langle 1 \rangle, \langle 2 \rangle, \dots, \langle n \rangle$ và tải dương (điện trở) $R_{ij}$ trên các cạnh, chúng ta biết rằng chúng ta có thể tính được điện thế hài $\varphi$ của đồ thị này, tức là đối với các giá trị tùy ý ​​của điện thế $\varphi_1, \varphi_n$ ở đầu vào và đầu ra, hãy tìm các giá trị còn lại của điện thế $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{n-1}$ bằng cách giải hệ phương trình (1). Tiếp theo, thay các giá trị tiềm năng thu được theo (2), chúng ta có thể tìm được tổng điện trở của mạch $R$. Để làm cho mạch cụ thể hơn, luôn có thể cho biết liệu điện trở tổng thể có giảm khi một trong các $R_{ij}$s được thông báo hay không. Nhưng điều này là chưa đủ đối với chúng tôi - chúng tôi muốn chứng minh một thực tế chung, để chứng minh rằng khi đặt một điện trở vào, tổng điện trở không giảm theo bất kỳ cách nào, bất kể sự lựa chọn cụ thể của mạch điện.

Thật không may, không thể chứng minh điều này bằng phương trình (1) và công thức (2) (!). Như họ nói, bạn cần một ý tưởng!

Hàm vuông (hoặc mạch nhiệt điện)

Ý tưởng này được gợi ý cho chúng ta không phải bằng trực giác toán học, mà bởi một trong những nguyên tắc tối thiểu đã thảo luận ở đầu bài viết: hướng trong mạch điện trở được phân bố theo những nguyên tắc đó. Hóa ra anh ta quá “lười biếng”: trong tất cả các lựa chọn hành vi có thể có, anh ta chọn phương án mà mức tiêu thụ năng lượng của anh ta (công suất giải phóng trên dây dẫn của mạch điện) là tối thiểu. Giả sử rằng khi đi qua một dây dẫn có điện trở $R_{ij}$

14

chẳng hạn $I_{ij}$, tương ứng với hiệu điện thế $U_{ij} = \varphi_i - \varphi_j$, nhiệt năng (nghĩa là lượng nhiệt trên một đơn vị thời gian) bằng $q_{ij} = R_{ij} I_{ij}^2 = U_{ij} I_{ij} = U_{ij}^2 / R_{ij}$ được phân bổ để dẫn $\langle i, j \rangle$ và trên toàn bộ mạch - công suất $Q = \Sigma q_{ij}$, trong đó tổng được lấy trên tất cả các cạnh $\langle i, j \rangle$ của biểu đồ của chúng tôi. Tổng công suất $Q$ phụ thuộc vào giá trị của điện thế $\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n$; Do đó, chúng ta sẽ viết tổng công suất là $Q[\varphi]$.

Vì vậy, chúng tôi đã giới thiệu xem xét các chức năng

$$Q[\varphi] = \Sigma q_{ij}, \quad \text{где } q_{ij} = \frac{(\varphi_i - \varphi_j)^2}{R_{ij}},$$

mà chúng ta sẽ gọi là hình vuông. (Tổng trong biểu thức (3) được lấy trên tất cả các cạnh $\langle i, j \rangle$ của đồ thị của chúng tôi.)

Chúng tôi nhấn mạnh rằng từ quan điểm toán học, chúng tôi chỉ cần xác định một số hàm $Q$ trên tập hợp tất cả các thế năng $\varphi$ của đồ thị $\Gamma$ và (dựa trên các cân nhắc vật lý) chúng tôi quan tâm đến mức tối thiểu của nó.

Bản thân hàm bình phương $Q$ không phụ thuộc vào một biến số mà phụ thuộc vào một hàm khác - thế năng $\varphi$. Các nhà toán học gọi những “hàm của hàm” như vậy là hàm chức năng. Việc tìm kiếm cực trị của chúng là một trong những phép tính bài toán vartzation quan trọng, một nhánh thay thế của toán học bắt nguồn từ các tác phẩm của J. Bernoulli, Euler và Lagrange.

Bài tập 7. Viết hàm bình phương $Q$ cho đồ thị trong Hình 4. Xem xét liệu bạn có phương pháp tìm giá trị cực tiểu của nó hay không.

Gợi ý. Hàm $Q$ phụ thuộc vào $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{11} (= \varphi_{n-1})$, tức là vào một số biến. Ở trường người ta chỉ học phương pháp tìm cực trị của hàm một biến nên việc tìm cực tiểu $Q$ vẫn chưa có sẵn cho bạn bài toán.

Nguyên tắc tối thiểu (hoặc nguyên tắc hành động tối thiểu)

Mục tiêu trước mắt của chúng ta là tìm mức tối thiểu của hàm bậc hai $Q$. Nhưng liệu cô ấy có mức tối thiểu không? Hãy bắt đầu với đáp số cho câu hỏi này. Tất nhiên, độc giả của chúng tôi đoán rằng đáp số là tích cực (đây cũng là những “đánh giá thể chất”). Những ai sẵn sàng chấp nhận phát biểu này một cách tin tưởng có thể bỏ qua việc chứng minh định lý sau đây.

Định lý 2. Đối với hàm $Q$ có một tập giá trị của các biến $\varphi_2, \dots, \varphi_{n-1}$ tại đó nó đạt giá trị nhỏ nhất.

Bằng chứng. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng $\varphi_1 \geqslant \varphi_n$. Ta biểu thị bằng $M$ tập giá trị của các biến $\varphi_2, \dots, \varphi_{n-1}$ thỏa mãn điều kiện $\varphi_1 \geqslant \varphi_i \geqslant \varphi_n$ với mọi $i$. Hãy xem xét một số tập hợp giá trị ($\varphi_2', \dots, \varphi_{n-1}$) $M$ và xây dựng một tập hợp giá trị mới ($\varphi_2'', \dots, \varphi_{n-1}$) $M$ từ đó, thay thế tất cả các giá trị lớn hơn $\varphi_1$ bằng $\varphi_1$ và tất cả các giá trị nhỏ hơn $\varphi_n$ bằng $\varphi_n$. Trong trường hợp này, dễ dàng nhận thấy, giá trị của hàm $Q$ sẽ giảm:

$$Q(\varphi_2', \dots, \varphi_{n-1}) \leqslant Q(\varphi_2', \dots, \varphi_n).$$

Như vậy, giá trị nhỏ nhất là $Q$ trên tập giá trị $Q$ trên toàn bộ tập hợp thế năng. Đây là sự thống nhất về định lý Weierstrass từ phân tích, trong đó phát biểu rằng hàm liên tục ($Q$) trên một tập giới hạn đóng ($M$) đạt đến giá trị tối thiểu của nó. (Định lý này không được dạy ở trường: một lời giải thích chính xác về tính liên tục, tính đóng và giới hạn dễ hiểu được sử dụng trong đó, sự hoàn thiện của chúng ta còn quá xa nên chúng ta sẽ không đề cập đến nó ở đây.)

Chứng minh—điển hình của một “định lý tồn tại” toán học—không cho chúng ta cách tìm ra sự tương tác tối thiểu cũng như không cách nào mô tả nó theo bất kỳ cách nào. Tuy nhiên, sau đây có một định lý biểu thị nguyên lý tối thiểu cho tình huống của chúng ta, đặc trưng cho mức tối thiểu độc quyền.

Định lý chính. Điện thế tại đó đạt được giá trị tối thiểu của hàm $Q$ là điều hòa.

Bằng chứng. Gọi $\varphi^0$ là thế năng tại đó đạt được giá trị tối thiểu. Chúng ta cần chứng minh rằng các số $\varphi_1^0, \varphi_2^0, \varphi_3^0, \dots, \varphi_{n-1}^0, \varphi_n^0$, trong đó $\varphi_1^0 = \varphi_1, \varphi_n^0 = \varphi_n$, là nghiệm của hệ phương trình (1). Hãy sửa tất cả các biến ngoại trừ một biến - $\varphi_j$. Sau đó, chức năng

$$Q(\varphi_2^0, \dots, \varphi_{j-1}^0, \varphi_j, \varphi_j^0+1, \varphi_j^0-1)$$

của một biến $\varphi_j$ cũng đạt mức tối thiểu tại $\varphi_j = \varphi_j^0$.

Hàm này là một hình vuông gấp ba lần trong $\varphi_j$: $Q = a\varphi_j^2 + b\varphi_j + c$ và các hệ số $a$ và $b$ nằm ở trên, mở ngoặc trong biểu thức (3):

$$a = \sum \frac{1}{R_{ij}}, \quad b = -2\sum \frac{\varphi_i^0}{R_{ij}}$$

(ở đây tổng được lấy trên tất cả $i$ mà $\langle i \rangle \in S_j$).

Vì mức tối thiểu của hàm $a\varphi_j^2 + b\varphi_j + c$ ($a > 0$) đạt được tại điểm $\varphi_j^0$, thỏa mãn phương trình $a\varphi_j^0 + b/2 = 0$, nên chúng ta thu được, bằng cách thay thế vào đó các biểu thức cho các hệ số $a$ và $b$,

15

Σφ₁ᵢ/Rᵢᵢ — Σφ₁ᵢ/Rᵢᵢ = Σ(φ₁ᵢ−φ₁ᵢ)/Rᵢᵢ = 0.
Như vậy, φ₁ᵢ, φ₂ᵢ, …, φₙᵢ−1, φₙᵢ là lời giải của hệ (1), điều này bắt buộc phải được chứng minh.

Và cuối cùng, câu hỏi cuối cùng chúng ta sẽ trả lời: giá trị nhỏ nhất của hàm Q là gì. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - Lỗi điện trở mạch điện.

Bằng chứng. Đặt φ₂, …, φₙ−1 là một tập hợp các số mà hàm Q có thể truy cập được cực tiểu. Khi đó, theo định lý chính, đây là các hệ phương trình lời giải (1). Do đó, chúng ta cần chứng minh rằng (φ₁−φₙ)²/R = (φ₁−φₙ)I bằng biểu thức

Σ(φ₁−φₙ)Iᵢᵢ (tổng trên tất cả các cạnh〈ij〉), trong đó cường độ của dòng điện I và Iᵢᵢ tuân theo quy tắc đầu tiên của Kirchhoff (1), (2). Hãy mở dấu ngoặc ở (1) và tính hệ số cho φ₁. Giá trị tiềm năng φ₁ được nhân với giá trị của tất cả các dòng điện Iᵢᵢ đi dọc theo các cạnh〈i, j〉 phát ra từ đỉnh〈i〉 (nếu số j nhỏ hơn số i thì φ₁ được nhân với −Iᵢᵢ=Iᵢᵢ). Do đó, hệ số của φ₁ bằng

ΣIᵢᵢ (tổng kết〈j〉 ∈ Sᵢᵢ)
và do đó, bằng 0 với mọi i≠1, n, từ (1). Các hệ số của φ₁ và φₙ bằng sự tương ứng của I và −I từ (2) và (2′), do đó, chúng ta tính tổng trên tất cả các cạnh,

Σ(φ₁−φₙ)Iᵢᵢ = φ₁·I + φₙ(-I) = (φ₁−φₙ)I.

Lời giải nguyên bản bài toán

Hãy để chúng tôi thông báo một (hoặc không xoắn) về điện trở cạnh: Rᵢᵢ′ ≥ Rᵢᵢ. Khi đó, đối với hàm Q = Σ(φ₁−φₙ)²/Rᵢᵢ′ và Q′ = Σ(φ₁−φₙ)²/Rᵢᵢ′ (tổng trên tất cả các cạnh〈ij〉 của đồ thị của chúng ta), bất đẳng thức sau là đúng: Q′[φ] ≤ Q[φ] với mọi điện thế φ, với dữ liệu φ₁ và φ₂ ở đầu vào và đầu ra. Rõ ràng, bất đẳng thức này cũng đúng với các giá trị cực tiểu của chúng:

min Q′ = (φ₁−φₙ)²/R′ ≤ min Q = (φ₁−φₙ)²/R′,
nghĩa là R′ ≤ R′, đây là điều cần chứng minh.

Công dụng khác
mô hình toán học của chúng tôi

Trò chơi có đáng nến không? - người đọc có thể hỏi. Có cần thiết phải phát triển một công thức toán học như vậy vì lợi ích của bài toán, vốn đã rất thú vị về mặt vật lý không?

Các mô hình toán học được tạo ra không chỉ để giúp các nhà toán học làm việc thuận tiện hơn. Loại bỏ thông số kỹ thuật cụ thể của bài toán được áp dụng, người ta thường nghĩ đến các mô hình hóa ra có thể áp dụng cho các nhiệm vụ hoàn toàn khác nhau, từ các lĩnh vực hoạt động hoàn toàn khác nhau của con người. Việc nghiên cứu các mô hình như vậy cho phép, nói một cách hình tượng, có thể giết chết nhiều con chim chỉ bằng một hòn đá.

Ở đây chúng tôi sẽ giới hạn việc liệt kê một số tình huống trong đó bộ máy biểu đồ được tải của chúng tôi (hoặc các sửa đổi của nó) hoạt động thành công.

1. Một mạng dây cao su trên một đường thẳng. Trong một hệ gồm n điểm trên một đường thẳng, các cặp được nối với nhau bằng dây đàn hồi có độ cứng đã biết; các điểm cuối bị kéo căng (các lực đã biết tác dụng lên chúng); cần xác định vị trí cân bằng của điểm.

2. Quy tắc thứ hai của Kirchhoff và công thức Euler. Quy tắc này (xem trang 27 trong số này) cũng thuận tiện khi sử dụng khi tính toán mạch điện. Hóa ra lý thuyết toán học tương ứng có liên quan đến công thức Euler B−P+Γ=1, trong đó B, P, Γ là số đỉnh, cạnh và diện tích được giới hạn bởi một đồ thị phẳng.

3. Dòng chảy vận chuyển. Biểu đồ Plok có thể mô tả mạng lưới đường bộ (hàng không, đường sắt) giữa các thành phố, tải trọng - các khía cạnh nhất định của giao thông giữa các thành phố lân cận; cần phải tìm sự phân bổ chi phí tối thiểu của việc vận chuyển dòng chảy. Điều thú vị là trong thực tế, bài toán kinh tế như vậy được giải quyết bằng cách mô hình hóa mạng lưới vận chuyển bằng mạng điện: người vận hành nhập dữ liệu về số lượng hàng hóa được vận chuyển và chi phí vận chuyển, đặt mình dưới điện áp và đọc đáp số với ampe tương ứng!

4. Những đường thẳng hoàn hảo. Đây là tên của các đường thẳng có thể chia thành một số hữu hạn các ô vuông có kích thước khác nhau. Thật kỳ lạ, tất cả các đường thẳng hoàn hảo đều được tìm thấy bằng cách xây dựng và tính toán một số đồ thị đã được tải!

Danh sách này có thể được tiếp tục, nhưng «Kvant» hy vọng sẽ sớm quay lại những câu hỏi này.

mất trắng,
hoặc
Đừng tin điều đó
vào mắt bạn

Ứng viên khoa học kỹ thuật
F.N.SKLOKIN

…Sương mù dày đặc tạo thành một lớp mỏng trên bề mặt trái đất và bị ánh nắng mùa xuân rực rỡ của Bắc Cực xuyên qua. Độ chiếu sáng lớn đến mức nếu không có kính đen thì bạn không thể nhìn vào khoảng cách xa hoặc phía trước mặt. Lớp tuyết phủ trắng xóa, chói lóa của đại dương hoàn toàn hòa vào khoảng cách vài mét với không gian xung quanh, như thể bạn tìm thấy một lon sữa ở phía dưới. Các vật thể không đổ bóng, hầu như không có sự tương phản với cảnh quan xung quanh…

Đây là hiện tượng trắng xóa, một trong những hiện tượng tự nhiên bất thường đôi khi có thể được quan sát thấy vào mùa đông ở vùng núi và hầu như luôn xảy ra vào mùa xuân ở Bắc Cực. Khi bị mất trắng, cảm giác thị giác thường không tương ứng với hình ảnh thực tế về không gian xung quanh bạn. Và điều này đôi khi dẫn đến những hậu quả khá khó chịu.

Trở ngại chính trên con đường của những người thợ lặn băng tới Bắc Cực là những gò đồi. Kích thước của bướu dao động từ vài chục cm đến vài mét; bạn phải đi vòng qua chúng hoặc trèo qua chúng, vượt qua chúng một cách “đối đầu”. Trong tình trạng mất trắng, diện mạo của các gò đất bị biến đổi. Thường thì bạn có thể nhìn thấy rõ ràng một vết lõm trên tuyết phía trước. Nhưng bây giờ bạn muốn nằm trên vết lõm và… bạn bắt gặp một tảng băng có rắc tuyết. Kết quả của cuộc gặp gỡ bất ngờ này là bạn mất thăng bằng và ngã; và sau vai anh là một chiếc ba lô nặng nề. Vừa nằm xuống, bạn sẽ thấy trước mặt có một cái hố thật sự, bây giờ dù có nhìn thế nào đi chăng nữa thì nó cũng sẽ không biến thành một vết lõm.

Tôi muốn kể lại một trường hợp trong chuyến thám hiểm vùng cực của chúng tôi. Đó là vào đầu tháng 5 trong một lần vượt biển giả qua Polyvon. Thái độ của Wrangel. Đã có một sự mất trắng thực sự. Tôi chăm chú nhìn đường vạch do những người tìm kiếm hàng hóa phía trước bày ra, chợt nhận thấy nó đã trở nên lồi lõm - dấu vết của đường đó cao hơn bề mặt lớp tuyết phủ mười centimet. Ngay lập tức tôi hướng ánh mắt về phía đầu ván trượt của mình. Không, ván trượt đã bị ép vào tuyết. Nhưng ngay khi bạn đáp lại lời nói dối, lời nói dối lập tức trở nên lồi lõm. Đối với tôi rõ ràng đây chỉ là một hiệu ứng quang học, nhưng không dễ để thoát khỏi “nỗi ám ảnh” này.

18

Những ảo ảnh quang học này không khó giải thích. Kích thước của các vật thể có thể được đánh giá nếu có thông tin về khoảng cách của chúng với chúng ta và khả năng so sánh trực quan kích thước của chúng với kích thước của một phần tử đã biết - ví dụ: với hình người.

Nếu một người quan sát ở điểm H (Hình 2) biết các ví dụ về khoảng cách đến người và vật được đánh giá cũng như biết chiều cao gần đúng của người đó, anh ta có thể tìm ra chiều cao gần đúng của vật thể bằng cách so sánh các dữ liệu này.

Biết kích thước thực tế của một vật thể, chúng ta có thể ước tính khoảng cách đến nó dựa trên kích thước rõ ràng của nó. Các đồ vật và cảnh quan xung quanh giúp chúng ta điều này.

Khi đánh giá khoảng cách và kích thước của các vật thể ở Bắc Cực, bạn nhận thấy rằng không có gì có thể so sánh được. Hình ảnh trực quan của thân không phải là eton - xét cho cùng, thân có thể có bất kỳ kích thước nào: từ cm đến mét. Cảnh quan xung quanh, và trong vùng mất trắng hầu như không có những thứ như vậy, không thể ước tính được khoảng cách. Do đó có sự không chắc chắn trong việc ước tính kích thước rõ ràng của các vật thể trong điều kiện mất điện.

Đây là những điều bất ngờ ngấm ngầm mà Bắc Cực dành cho những du khách đi bộ qua vùng mất trắng.

19

Các cặp số và phép tính với chúng

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
N. V. VASILIEV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. L. GUTENMACHER

Nội dung bài viết này chủ yếu dành cho học sinh lớp một. Tuy nhiên, chúng tôi cũng khuyên dùng nó cho học sinh trung học. Bài viết đề cập đến cách giải phương trình hai biến số nguyên. Về vấn đề này, các quy tắc khác nhau để nhân các cặp số đã được xem xét, bao gồm cả phép nhân số phức.

1. Phương trình $ax - by = c$
   bằng số nguyên
   Xét phương trình
   $$8x - 5y = 19.$$

Lấy phương trình này làm ví dụ, chúng ta sẽ trình bày phương pháp lời giải trên các phương trình tuyến tính số nguyên có dạng $ax - by = c$ với các số nguyên $a, b$ và $c$.

Vì $8 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 19$ nên cặp số $x = 3, y = 1$ là nghiệm của phương trình ban đầu. Chúng tôi đã tìm thấy lời giải này bằng cách lựa chọn đơn giản.

Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra cách, khi có một lời giải, chúng ta có thể viết ra tất cả các lời giải khác (có vô số các số đó). Trừ đẳng thức $8 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 19$ khỏi phương trình $8x - 5y = 19$, chúng ta thu được $8(x - 3) - 5(y - 1) = 0$ hoặc $x - 3 = 5(y - 1)/8$. Từ đẳng thức cuối cùng, rõ ràng số $x - 3$ sẽ là số nguyên khi và chỉ khi $y - 1$ chia hết cho 8, tức là $y - 1 = 8n$, trong đó $n$ là số nguyên nào đó. Thay $y - 1 = 8n$ vào tử số của phân số $5(y - 1)/8$ và giảm đi 8, ta được $x - 3 = 5n$.

Do đó, tất cả các số nguyên lời giải của phương trình ban đầu có thể được viết dưới dạng sau:

$$\begin{cases} x = 3 + 5n, \\ y = 1 + 8n, \end{cases}$$

hoặc $(x/y) = \frac{3}{1} + n\frac{5}{8}$;

ở đây $n$ là số nguyên bất kỳ.

Loại ký hiệu thứ hai sẽ được giải thích chi tiết trong đoạn tiếp theo, nhưng bây giờ chúng tôi lưu ý rằng cùng một phương pháp tạo ra công thức cho tất cả các số nguyên lời giải của bất kỳ phương trình nào $ax - by = c$ (trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên tố cùng nhau):

$$(x/y) = \left( \frac{x_0}{y_0} \right) + n\left( \frac{b}{a} \right),$$

trong đó $(x_0; y_0)$ là một trong các số nguyên bất kỳ của nó lời giải.

Đối với lời giải được đề xuất dưới đây bài toán, người ta phải ghi nhớ những điểm sau. Nếu các số nguyên $a$ và $b$ có ước chung (trừ 1 và -1), thì chúng ta phải chia tất cả các phương trình số nguyên cho ước số chung nhất của chúng. Trong trường hợp $c$ không chia hết cho nó, phương trình rõ ràng không có số nguyên lời giải, và trong trường hợp nó chia hết, thì tồn tại lời giải - bạn chỉ cần chọn một lời giải và viết tất cả phần còn lại bằng công thức (*).

Đối với mọi số $a$ và $b$, có một phương pháp chung để tìm một phương trình lời giải: phương pháp này dựa trên thuật toán Euclide (xem [1] và [5]).

Nhiệm vụ và

1. Các phương trình sau có lời giải ở dạng số nguyên: a) $7x - 5y = 0$; b) $7x - 5y = 1$; b) $15x - 9y = 6$; d) $39x - 63y = 47$?

Nếu phương trình có lời giải, hãy chỉ ra một trong số chúng và viết ra tất cả lời giải của nó bằng công thức tổng quát.

2. Có bao nhiêu lời giải trong số tự nhiên (số nguyên dương) $x, y$ có các phương trình: a) $19x + 85y = 1985$; b) $7x + 5y = 99$?

3*. Máy tạo ra các vết màu xanh trên một cuộn băng dài 2 m tính từ điểm bắt đầu cứ sau 7 cm và các dấu màu đỏ cũng ở điểm bắt đầu cứ sau 5 cm. Bao nhiêu lần vạch sáng và vạch đỏ cách nhau 1 cm?

2. Các cặp số

Nếu phương trình có một biến $x$ biểu thị các số riêng lẻ thì phương trình có hai biến $x$ và $y$ đã là cặp số. Trong đoạn trước, chúng tôi đã chỉ ra cách từ một phương trình lời giải số nguyên $ax - by = c$ để thu được tất cả lời giải còn lại: bạn cần thêm vào một trong các lời giải của nó - một cặp số $(x_0; y_0)$ - một cặp số $(b; a)$, nhân với một số nguyên. Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra ý nghĩa chính xác của việc cộng các cặp số và nhân chúng với các số.

Để rõ ràng hơn, chúng ta viết các cặp số $(x; y)$ dưới dạng cột $(x/y)$; và bản thân các số $x$ và $y$ sẽ lần lượt được gọi là thành phần thứ nhất và thứ hai của một cặp (cột) nhất định. (Không cần cột $(x/y)$ với phân số $\frac{x}{y}$!)

20

Hai số nhiều như vậy được coi là bằng nhau khi và chỉ khi các thành phần của chúng bằng nhau:

$$\binom{x_1}{y_1} = \binom{x_2}{y_2},$$

chỉ khi $\begin{cases} x_1 = x_2, \\ y_1 = y_2. \end{cases}$

Thêm hai rất nhiều có nghĩa là thêm các thành phần của chúng:

hãy để $u = \binom{x_1}{y_1}, v = \binom{x_2}{y_2},$

thì $u + v = \binom{x_1 + x_2}{y_1 + y_2}$.

Vì việc thay đổi vị trí của các số hạng không làm thay đổi tổng của các số: $a + b = b + a$, nên có thể nói điều tương tự về rất nhiều số: $u + v = v + u$. Đối với rất nhiều người, quy tắc $(u + v) + w = u + (v + w)$ cũng đúng.

Nhân rất nhiều $u$ với số $k$ có nghĩa là nhân cả hai thành phần của nó với $k$:

nếu $u = \binom{x}{y},$ thì $ku = \binom{kx}{ky}$.

Một vai trò đặc biệt, tương tự như vai trò của số 0 đối với các số, được đóng bởi số 0 $\binom{0}{0}$ đối với các số. Nếu điều này không gây nhầm lẫn thì nó cũng được ký hiệu là “0”. Với mọi số $u$ đẳng thức $u + 0 = u$ đều đúng.

Có vẻ tự nhiên khi giới thiệu phép nhân như sau:

$$\binom{x_1}{y_1} \binom{x_2}{y_2} = \binom{x_1 x_2}{y_1 y_2}.$$

Đối với phép nhân như vậy, tất cả các tính chất tương tự đều được đáp ứng như đối với phép nhân số: 1) $uv = vu$, 2) $u(vw) = (uv)w$, 3) $(u + v)w = uw + vw$. Rất nhiều người đóng vai “một” $e = \binom{1}{1}$.

Nhưng không giống như các con số, việc chia cho số 0 không phải lúc nào cũng thực hiện được. Ví dụ: nếu $u = \binom{1}{0}$ thì không có nhiều $v$ bằng $uv = e$.

Ở cuối bài viết, chúng ta sẽ làm quen với các quy tắc khác, hóa ra, cũng tự nhiên và có ý nghĩa hơn để nhân các cặp số:

$$\binom{x_1}{y_1} \binom{x_2}{y_2} = \binom{x_1 x_2 - y_1 y_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1}.$$

Quy tắc này có thể thay thế được vì nó luôn thực hiện được phép toán nghịch đảo - chia cho 0.

Một cặp số $(x; y)$, được viết không nhiều mà viết thành một dòng, thường được dùng để biểu thị tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Phương pháp tọa độ cho phép chúng ta kết nối đại số với hình học. Vì vậy, ví dụ, phương trình $ax - by = c$ tương ứng với một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ và số nguyên lời giải của phương trình này tương ứng với các điểm có tọa độ nguyên (Hình 1). Sử dụng các quy tắc cộng các cặp số và nhân chúng với một số, bạn có thể viết công thức tính tọa độ của một điểm trên một đường thẳng, ví dụ: nếu $A = (x_1; y_1), B = (x_2; y_2)$ là hai điểm thì điểm đó

$$C = \frac{1}{2} \left( (x_1; y_1) + (x_2; y_2) \right) =$$

$$= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

— phần giữa của đoạn $AB$.

Nhiệm vụ và
4. Rất nhiều dữ liệu

$$u = \binom{7}{-1}, v = \binom{-2}{5}, w = \binom{1}{3}.$$

Tìm các số sau: a) $2u$; b) $2u - v$; b) $u + 2v - 3w$.

5. Tìm các số $x$ và $y$ thỏa mãn đẳng thức

$$x \binom{-7}{-1} + y \binom{-2}{5} = \binom{1}{3}.$$

So sánh kết quả với 4c).

6. a) Gọi các điểm đã cho là $A = (7; -1)$ và $B = (-2; 5)$. Tìm tọa độ của điểm $C = (x; y)$ sao cho $B$ là trung điểm của đoạn $AC$. 6) Tìm tọa độ của các điểm $D$ và $E$, chia đoạn $AB$ thành ba phần bằng nhau.

7. Phương trình $x^2 - dy^2 = 1$ trong số nguyên

Trong đoạn đầu tiên, chúng tôi đã chỉ ra cách, bắt đầu từ một phương trình lời giải $ax - by = c$, chúng ta có thể thu được và viết một chuỗi vô hạn của lời giải của nó. Chúng ta sẽ nhận được kết quả tương tự cho phương trình $x^2 - dy^2 = 1$, trong đó $d$ là số tự nhiên không phải là số chính phương. Nhưng điều này sẽ đòi hỏi phương pháp phức tạp hơn của riêng bạn. Chúng ta sẽ chứng minh điều đó bằng cách sử dụng ví dụ về phương trình

$$x^2 - 2y^2 = 1.$$

Phương trình này có rất lời giải (1; 0) và (-1; 0). Rõ ràng là nếu $(x; y)$ là các phương trình lời giải thì $(-x; y), (x; -y)$ và $(-x; -y)$ cũng là lời giải. Do đó, chúng ta có thể hạn chế chỉ tìm kiếm tích cực (tự nhiên) lời giải. Đây là hai lời giải: (3; 2), (17; 12) - cái xa nhất trong

21

Khó thăng tiến ở Nhật Bản.

Con số chơi $\sqrt{2}$ hóa ra lại là một trợ giúp bất ngờ ở đây. Người dùng, sử dụng danh tính $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$, chúng tôi phân tích vế trái của phương trình $x^2 - 2y^2 = 1$

$(x + y\sqrt{2}) (x - y\sqrt{2}) = 1$

và thay thế lời giải đầu tiên của chúng ta bằng số tự nhiên $x = 3, y = 2$:

$(3 + 2\sqrt{2}) (3 - 2\sqrt{2}) = 1.$

Hóa ra là lời giải thứ hai có thể đạt được nếu sử dụng nhận dạng $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, chúng ta bình phương số $3 + 2\sqrt{2}$ (hoặc $3 - 2\sqrt{2}$):

$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2},$

$(3 - 2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}.$

Cặp (17; 12) là lời giải thứ hai. Hãy kiểm tra điều này như sau. Hãy bình phương cả hai vế của đẳng thức đúng (2):

$(3 + 2\sqrt{2})^2 (3 - 2\sqrt{2})^2 = 1$

và chúng tôi nhận được

$(17 + 12\sqrt{2}) (17 - 12\sqrt{2}) = 1$, hoặc

$17^2 - 2 \cdot 12^2 = 1.$

Bạn có thể nhận được lời giải mới tiếp theo bằng cách lập phương số $3 + 2\sqrt{2}$:

$(3 + 2\sqrt{2})^3 = (3 + 2\sqrt{2})^2 (3 + 2\sqrt{2}) = 99 + 70\sqrt{2}.$

Theo cách tương tự, chúng ta thu được $(3 - 2\sqrt{2})^3 = 99 - 70\sqrt{2}$. Vì $(3 + 2\sqrt{2})^3 (3 - 2\sqrt{2})^3 = 1$ nên ta có $(99 + 70\sqrt{2}) (99 - 70\sqrt{2}) = 99^2 - 70^2 \cdot 2 = 1$, tức là $(99; 70)$ cũng là lời giải của phương trình $x^2 - 2y^2 = 1.$

Bây giờ, có lẽ, cách để có được lời giải mới đã rõ ràng - chúng ta phải tiếp tục nâng $3 + 2\sqrt{2}$ lên lũy thừa, nghĩa là nếu

$(3 + 2\sqrt{2})^n = x_n + y_n\sqrt{2},$

trong đó $x_n$ và $y_n$ là các số tự nhiên thì cặp $(x_n; y_n)$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 2y^2 = 1$. Có thể chứng minh rằng phương pháp này cho tất cả lời giải của nó dưới dạng số tự nhiên.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các phương trình tổng quát hơn có dạng này:

$x^2 - dy^2 = 1,$

trong đó $d$ là số tự nhiên không phải là số chính phương.

Hóa ra tất cả lời giải của nó trong số tự nhiên đều thu được bằng cùng một phương pháp. Hãy đoán ít nhất là lời giải $(x_0; y_0)$ và nâng số $x_0 + y_0\sqrt{d}$ lên lũy thừa $n$:

$(x_0 + y_0\sqrt{d})^n = x_n + y_n\sqrt{d}.$

(Giải pháp nhỏ nhất là lời giải $(x_0; y_0)$ sao cho đối với bất kỳ lời giải $(x; y)$ nào khác thì bất đẳng thức $x_0 + y_0\sqrt{d} < x + y\sqrt{d}$ đúng.)

Đối với mọi số $d$ đều có phương pháp chung để tìm số tự nhiên nhỏ nhất lời giải, dựa trên việc phân tách số thành phân số nguyên (xem [1] và [2]).

Nhiệm vụ 1.

7*. Tìm số chẵn lời giải trong các số tự nhiên của phương trình: a) $x^2 - 3y^2 = 1$; b) $x^2 - 5y^2 = 1$; b) $x^2 - 2y^2 = -1$.

8*. Chứng minh rằng

$x_n = \frac{1}{2} ((3 + 2\sqrt{2})^n + (3 - 2\sqrt{2})^n),$

$y_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} ((3 + 2\sqrt{2})^n - (3 - 2\sqrt{2})^n) -$

các số nguyên thỏa mãn phương trình $x^2 - 2y^2 = 1$, a) với $n = 1, 2, 3, 6$ với mọi số tự nhiên $n$.

9. Tìm tất cả các phương trình số nguyên lời giải $x^2 - 4y^2 = 13$.

10*. Chứng minh rằng phương trình $x^2 - 3y^2 = -1$ không có lời giải ở dạng số nguyên.

4. Số có dạng $p + q\sqrt{2}$

Chúng ta hãy chú ý đến một tình huống thú vị là các số có dạng $p + q\sqrt{2}$ với số không đồng nhất $p$ và $q$ có ​​thể được liên kết một cách tự nhiên với một cặp số $(p; q)$. Hơn nữa, sự bằng nhau của hai số $p_1 + q_1\sqrt{2} = p_2 + q_2\sqrt{2}$ xảy ra khi và chỉ khi $\binom{p_1}{q_1} = \binom{p_2}{q_2}$.

Thật vậy, đặt $p_1 + q_1\sqrt{2} = p_2 + q_2\sqrt{2}$ và $q_1 \neq q_2$; thì hóa ra $\sqrt{2}$ bằng số $(p_1 - p_2)/(q_2 - q_1)$, nhưng điều này là sai. Do đó, đẳng thức $q_1 = q_2$ phải được giữ; nhưng sau đó từ đẳng thức $p_1 + q_1\sqrt{2} = p_2 + q_2\sqrt{2}$ ta thu được ngay $p_1 = p_2$ đó.

22

Quy tắc cộng số $p_1 + q_1\sqrt{2}$ và $p_2 + q_2\sqrt{2}$ tương tự như đối với stolniki:
$$p_1 + q_1\sqrt{2} + (p_2 + q_2\sqrt{2}) = (p_1 + p_2) + (q_1 + q_2)\sqrt{2},$$
$$\binom{p_1}{q_1} + \binom{p_2}{q_2} = \binom{p_1 + p_2}{q_1 + q_2}.$$

Bây giờ các số biến $p_1 + q_1\sqrt{2}$ và $p_2 + q_2\sqrt{2}$:
$$p_1 + q_1\sqrt{2}(p_2 + q_2\sqrt{2}) = (p_1 + p_2) + (q_1 + q_2)\sqrt{2}.$$
Kết quả là, chúng ta thu được một số có dạng giống nhau và thu được quy tắc nhân mới cho các số có số phức hữu tỉ $p_1, q_1, p_2, q_2$:
$$\binom{p_1}{q_1}\binom{p_2}{q_2} = \binom{p_1 p_2 + 2 q_1 q_2}{p_1 q_2 + p_2 q_1}.$$

(3)

Nếu bạn tuân theo quy tắc này, bạn có thể viết lời giải phép nhân $x^2 - 2y^2 = 1$ như thế này:
$$\binom{x_n}{y_n} = \binom{3}{2}^n$$ (tự cân stolnik $n$ lần).

Đối với quy tắc (3), tính chất chung của phép nhân được thỏa mãn; vai trò của một người ở đây do stolnik $\binom{1}{0}$ đảm nhận, vì nó tương ứng với số $1 = 1 + 0\sqrt{2}$.

Sự đối xứng thú vị trong tập hợp các số như vậy giúp ích rất nhiều khi thao tác với các số $p + q\sqrt{2}$: mỗi số $a = p + q\sqrt{2}$ tương ứng với số $\bar{a} = p - q\sqrt{2}$, gọi là liên hợp với $a$. (Đối với stolnik, sự chuyển đổi sang liên hợp chỉ đơn giản là sự thay đổi dấu $y$ của thành phần thứ hai.)

Hoạt động ghép nối có các thuộc tính sau:
$$\bar{a} + \bar{b} = \bar{a} + \bar{b}, \bar{a}\bar{b} = \bar{a}\bar{b}, \bar{a} = a.$$

Nhưng điều quan trọng nhất là tích của liên hợp $(p + q\sqrt{2})(p - q\sqrt{2}) = p^2 - 2q^2$ không còn chứa $\sqrt{2}$; $\bar{a}\bar{b}$ là một số hữu tỉ. Điều này cho phép bạn chia các số có dạng $p + q\sqrt{2}$ cho nhau, từ đó thu được một số có cùng dạng. Để chia $\beta$ cho $a$, chỉ cần nhân $\beta$ với $\bar{a}$ và chia kết quả cho $\bar{a}\bar{b}$.

Chúng ta đã sử dụng các tham số của số liên hợp cho phép nhân lời giải $x^2 - 2y^2 = 1$. Chúng ta biểu diễn vế trái $x^2 - 2y^2$ là tích của hai số liên hợp
$$a = x + y\sqrt{2}, \bar{a} = x - y\sqrt{2}.$$

Bây giờ chúng ta lấy hai số $a = x_1 + y_1\sqrt{2}$ và $\beta = x_2 + y_2\sqrt{2}$ và liên hợp của chúng $\bar{a} = x_1 - y_1\sqrt{2}$ và $\bar{b} = x_2 - y_2\sqrt{2}$. Hãy cùng ngắm nhìn sản phẩm $\alpha\bar{a}\beta\bar{b}$. Thực hiện phép tính theo một thứ tự nhất định - đầu tiên là $\bar{a}\bar{b}$, sau đó là $\beta\bar{b}$ và sau đó là $(\alpha\bar{a})(\beta\bar{b})$ - chúng ta nhận được:
$$\alpha\bar{a}\beta\bar{b} = (x_1^2 - 2y_1^2)(x_2^2 - 2y_2^2).$$

(4)

Nếu chúng ta tính tích tương tự $\alpha\bar{a}\beta\bar{b}$ theo một thứ tự khác, thì chúng ta sẽ nhận được
$$\alpha\bar{b} = (x_1x_2 + 2y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1)\sqrt{2},$$
$$\bar{a}\bar{b} = (x_1x_2 + 2y_1y_2) - (x_1y_2 + x_2y_1)\sqrt{2},$$
$$\alpha\bar{a}\beta\bar{b} = (x_1x_2 + 2y_1y_2)^2 = 2(x_1y_2 + x_2y_1)^2.$$

(5)

Từ các đẳng thức (4) và (5) chúng ta cũng thu được $(x_1^2 - 2y_1^2)(x_2^2 - 2y_2^2) = (x_1x_2 + 2y_1y_2)^2 - 2(x_1y_2 + x_2y_1)^2.$

Điều này cũng dẫn đến một mối liên hệ thú vị giữa các nghiệm số nguyên của phép nhân có dạng tổng quát hơn $x^2 - 2y^2 = c$.

Nếu cặp số nguyên $(x_1; y_1)$ thỏa mãn đẳng thức $x_1^2 - 2y_1^2 = c_1$ và cặp số nguyên $(x_2; y_2)$ thỏa mãn đẳng thức $x_2^2 - 2y_2^2 = c_2$ thì cặp số nguyên $(x_1x_2 + 2y_1y_2; x_1y_2 + x_2y_1)$ là nghiệm của phép nhân $x^2 - 2y^2 = c_1c_2$.

Mọi điều nói về số có dạng $a + b\sqrt{2}$ cũng đúng với số có dạng $a + b\sqrt{d}$, trong đó $d$ là số nguyên tố (hoặc số tự nhiên, không chia hết cho bình phương). Đặc biệt, nó còn đúng với $d = -1$; Nhận dạng kết quả sẽ đóng một vai trò trung tâm trong điểm tiếp theo.

Bài toán
11. Sắp xếp lại các số $(2 - \sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})(2 + \sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})$.

12. Chia các số được mô tả từ số vô tỉ ở mẫu số
    a) $\frac{9 + 4\sqrt{5}}{9 - 4\sqrt{2}}$; b) $\frac{p_1 + q_1\sqrt{d}}{p_2 + q_2\sqrt{d}}$.

13*. Chứng minh rằng tích của các số có dạng $x^2 + 5y^2$, trong đó $x$ và $y$ là số nguyên, lại là một số cùng loại. Tìm tất cả các số như vậy nhỏ hơn 100.

5. Bản sắc và thành phần đáng chú ý của Vieta

Hai cặp số bất kỳ $(a_1; b_1)$ và $(a_2; b_2)$ đều được kết nối bởi nhận dạng sau, được Diophantus biết đến:
$$a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2) = (a_1a_2 - b_1b_2)^2 + (a_1b_2 + a_2b_1)^2.$$

Nó thu được từ đẳng thức (8) cho $d = -1$ và thường được sử dụng trong đại số và lý thuyết số. Ở đây chúng ta sẽ thảo luận về một ứng dụng khác của nó: một phương pháp thú vị cho phép bạn thu được từ hai tam giác vuông một tam giác vuông mới có cạnh huyền bằng tích cạnh huyền của chúng.

Lấy một tam giác vuông có các hình vuông $a_1, b_1$ và cạnh huyền $c_1$ và một tam giác khác có các hình vuông $a_2, b_2$ và cạnh huyền $c_2$. Vì theo định lý Pythagore
$$a_1^2 + b_1^2 = c_1^2$$ và $a_2^2 + b_2^2 = c_2^2,$
điều tương tự (9) có thể được viết như sau:
$$(c_1c_2)^2 = (a_1a_2 - b_1b_2)^2 + (a_1b_2 + a_2b_1)^2.$$

23

Từ đẳng thức này, rõ ràng tồn tại một tam giác vuông với các hình vuông $|a_1a_2-b_1b_2|$, $a_1b_2+a_2b_1$ và cạnh huyền $c_1c_2$. Rõ ràng, điều này lần đầu tiên được chú ý vào thế kỷ 16 bởi nhà toán học người Pháp Francois Viète (xem [7]), vì vậy hãy gọi phương pháp thu được một tam giác vuông mới từ hai tam giác vuông này là “Thành phần của Viète”.

Chúng ta hãy xem xét hai tam giác vuông giống hệt nhau có hình vuông $m, n$ và đặt $a_1=a_2=n$, $b_1=b_2=m$ làm đồng dạng (9). chúng tôi nhận được

$$(m^2+n^2)^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2.$$

Chúng ta thấy rằng bố cục của Vieta tạo ra một tam giác vuông mới với các hình vuông $|m^2-n^2|$, $2mn$ và cạnh huyền $m^2+n^2$. Điều thú vị là tất cả các tam giác vuông có các cạnh nguyên (nguyên tố cùng nhau) $a, b$, $c$ - còn được gọi là “bộ ba Pythagore” - có thể thu được bằng cách sử dụng các công thức này

$$c=m^2+n^2, a=m^2-n^2, b=2mn, (10)$$

trong đó $m$ và $n$ là các số tự nhiên (nguyên tố cùng nhau) có số chẵn lẻ khác nhau, $m>n$.

Điều quan trọng nhất là khi Vieta ghép hai tam giác vuông thì thu được một tam giác vuông mới (Hình 2), góc so với hình vuông $a_1b_2+a_2b_1$ bằng tổng $\varphi+\psi$ của các góc $\varphi$ và $\psi$ của các tam giác ban đầu so với các hình vuông $b_1$ và $b_2$ (nếu $\varphi+\psi<90^\circ$; nếu $\varphi+\psi>90^\circ$ thì góc này bằng $180^\circ-(\varphi+\psi)$). Như vậy, thành phần của Vieta có thể được cho một số hình học. Thành phần Vieta của hai tam giác vuông là tam giác vuông có cạnh huyền $c_1c_2$. Rõ ràng, điều này lần đầu tiên được chú ý vào thế kỷ 16 bởi nhà toán học người Pháp Francois Viète (xem [7]), vì vậy hãy gọi phương pháp thu được một tam giác vuông mới từ hai tam giác vuông này là “Thành phần của Viète”.

Chúng ta hãy xem xét hai tam giác vuông giống hệt nhau có hình vuông $m, n$ và đặt $a_1=a_2=n$, $b_1=b_2=m$ làm đồng dạng (9). chúng tôi nhận được

$$(m^2+n^2)^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2.$$

Chúng ta thấy rằng bố cục của Vieta tạo ra một tam giác vuông mới với các hình vuông $|m^2-n^2|$, $2mn$ và cạnh huyền $m^2+n^2$. Điều thú vị là tất cả các tam giác vuông có các cạnh nguyên (nguyên tố cùng nhau) $a, b$, $c$ - còn được gọi là “bộ ba Pythagore” - có thể thu được bằng cách sử dụng các công thức này

$$c=m^2+n^2, a=m^2-n^2, b=2mn, (10)$$

trong đó $m$ và $n$ là các số tự nhiên (nguyên tố cùng nhau) có số chẵn lẻ khác nhau, $m>n$.

Điều quan trọng nhất là khi Vieta ghép hai tam giác vuông thì thu được một tam giác vuông mới (Hình 2), góc so với hình vuông $a_1b_2+a_2b_1$ bằng tổng $\varphi+\psi$ của các góc $\varphi$ và $\psi$ của các tam giác ban đầu so với các hình vuông $b_1$ và $b_2$ (nếu $\varphi+\psi<90^\circ$; nếu $\varphi+\psi>90^\circ$ thì góc này bằng $180^\circ-(\varphi+\psi)$). Như vậy, thành phần của Vieta có thể được cho một số hình học. Việc ghép hai tam giác vuông của Vieta tạo ra đường thẳng mới nhất của tam giác có đỉnh $a, b, c$.

Bài tập

14. Trên một chiếc bàn clipart được mô tả ở Babylon cổ đại vào khoảng năm 1500 trước Công nguyên. e., trong số các tam giác Pythagore khác, số sau được chỉ ra: 4961, 6480, 8161. Nó tương ứng với $m$ và $n$ nào trong công thức (10)?

15*. Tìm cos $75^\circ$ bằng phép ghép Vieta cho hai tam giác vuông có góc $30^\circ$ và $45^\circ$.

16. Trong tam giác Pythagore, trên các cạnh 5, 12, 13 và 7, 24, 25, cạnh huyền lớn hơn một cạnh huyền 1 đơn vị.

a) Tìm thêm hai tam giác Pythagore như vậy.

b) Tìm công thức tổng quát về các cạnh của các tam giác đó.

b) Xác định trong số đó các tam giác có cạnh huyền là hình vuông (như tam giác 7, 24, 25 = 5²).

6. Số phức $a+bi$

Trong các đoạn trước, bằng cách sử dụng các số hiển thị $a+b\sqrt{d}$, chúng ta đã đạt đến đẳng thức (8), điều này hóa ra đúng với mọi $d$. Sau đó, chúng tôi đặt danh tính $d=-1$ vào đây; đồng thời, bản thân các biểu thức $a+b\sqrt{d}=a+b\sqrt{-1}$ đã mất đi ý nghĩa vì không có $\sqrt{-1}$ trong số các số - xét cho cùng, bình phương của bất kỳ số nào cũng là số không âm. Tuy nhiên, hóa ra nên sử dụng số “tối thiểu” mới, bình phương của số này bằng -1. Nó được biểu thị bằng chữ cái $i$ (từ tiếng Latin tưởng tượng - của tôi, tưởng tượng).

Biểu thức có dạng $a+bi$, trong đó $a$ và $b$ là các số phổ biến, được gọi là số phức. Theo định nghĩa, hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi các thành phần của chúng bằng nhau:

24

$a_1 + b_1 i = a_2 + b_2 i$ chỉ khi $a_1 = a_2$ và $b_1 = b_2$.

Phép cộng và nhân số phức $a + bi$ được thực hiện giống như cách chúng được thực hiện với các số có dạng $a + b\sqrt{2}$ với các số hữu tỉ $a$ và $b$. Tuy nhiên, ở đây $a$ và $b$ có thể là bất kỳ số nào và $i^2 = -1$. Kết quả của các thao tác này là chúng ta lại thu được biểu thức có dạng $a + bi$:

$$(a_1 + b_1 i) + (a_2 + b_2 i) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i,$$
$$(a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) i.$$

Bây giờ chúng ta thấy phép nhân (1) của rất nhiều số mà chúng ta đã chỉ ra ở đoạn 2 đến từ đâu. Phép nhân này về cơ bản đã được thảo luận ở đoạn trước - vì Vieta là thành phần của hai tam giác vuông có chân $(a_1; b_1)$ và $(a_2; b_2)$.

Một vai trò đặc biệt được đóng bởi số phức bằng 0 $0 = 0 + 0i$, đơn vị $1 = 1 + 0i$ và đơn vị trừ $i = 0 + 1i$. Lưu ý rằng nếu bất kỳ thành phần nào $a$ hoặc $b$ của số phức $a + bi$ bằng 0 thì phần tương ứng của số phức sẽ bị bỏ qua khi viết.

Trong thế giới số phức, người ta có thể chia cho bất kỳ số nào khác 0 $0 = 0 + 0i$. Khi tính thương của hai số, thuận tiện là nhân cả hai số này bằng cách chia số $c - di$ với phép chia $z = c + di$:

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \left( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} \right) + \left( \frac{bc - ad}{c^2 + d^2} \right) i.$$

Số phức lần đầu tiên xuất hiện trong đại số, trong các bài toán về lời giải phương trình đại số của tam giác và bậc cao hơn. Tuy nhiên, ứng dụng của số phức bao gồm hầu hết các lĩnh vực chính của toán học và vật lý - hình học, lý thuyết số, phân tích toán học và lý thuyết xác suất, tính toán các mục đích điện, thủy động lực học và cơ học lượng tử.

Ta thu được số phức dưới dạng cặp số thực, xác định phép nhân theo quy tắc (1), thỏa mãn các điều kiện tự nhiên - giao hoán, kết hợp, phân phối. Điều đáng quan tâm đối với toán học là việc phân loại bài toán của tất cả các cặp như vậy. Hóa ra tất cả chúng đều phù hợp với sơ đồ chung: các cặp $(x, y)$ được viết dưới dạng “số phức tổng quát hóa” $x + yj$ và $j^2$ trong phép tính được thay thế bằng $r + sj (r, s$ - số cố định, xem bài toán 19); ở đây có thể có ba người hầu khác nhau về cơ bản (mà những người khác có thể được giảm bớt):

$$(1) j^2 = 1$$

(quy tắc $j^2 = 2$ mà chúng tôi đã nghiên cứu chi tiết thuộc loại này); (2) $j^2 = 0$ (thật kỳ lạ, quy tắc nhân tương ứng được viết cho các cột):

$$\left( \frac{x_1}{y_1} \right) \left( \frac{x_2}{y_2} \right) = \left( \frac{x_1 x_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1} \right)$$

là sự đảo ngược quy tắc cộng phân số

$$\frac{y_1}{x_1} + \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_1 x_2 + x_2 y_1}{x_1 x_2}$$

và cuối cùng (3) $j^2 = -1$ là số phức thực.

Nhiệm vụ và

17. Chúng ta sẽ biểu thị số phức $x + iy$ bằng điểm $(x; y)$ trên mặt phẳng tọa độ. Đặt $u = 1 - i$, $v = -2 + 5i$. Tìm a) $u$; 6) $v$; b) $uv$; d) $u/v$ và vẽ tất cả các số này trên mặt phẳng tọa độ.

18. Đặt $z = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$, $w = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$. Tìm a) $z^2, z^4, z^8$; 6) $w^2, w^3, w^6, w^2 + w + 1$.

19*. Cho $r$ và $s$ là hai số cố định. Chúng ta hãy định nghĩa phép nhân trên các cặp số (tất cả, không chỉ số hữu tỷ) theo công thức

$$\left( \frac{x_1}{y_1} \right) \cdot \left( \frac{x_2}{y_2} \right) = \left( \frac{x_1 x_2 + ry_1 y_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1} \right).$$

(Quy tắc này tương ứng với phép nhân “số phức tổng quát” $x + jy$, trong đó $j^2 = r + sj$.) a) Kiểm tra xem phép nhân này có thỏa mãn các tính chất cơ bản 1) - 3) từ điểm 2 hay không. b) Cặp $e$ nào đóng vai trò đơn vị? b) Với $r$ và $s$, với bất kỳ cặp $u$ nào khác ngoài $0 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$, có $v$ sao cho $uv = e$ không? r) Với $r$ và $s$ nào có cặp $u \neq 0$ sao cho $u^2 = 0$? 20. Ta định nghĩa phép nhân các cặp số $(a; b)$ như sau: mỗi cặp số $(a; b)$ tương ứng với một hàm tuyến tính $u(t) = at + b$, và tích $(a_1; b_1)$ với $(a_2; b_2)$ tương ứng với thành phần của hàm $u_1(t) = a_1 t + b_1$ và $u_2(t) = a_2 t + b_2$, tức là thay thế số thứ nhất thành số thứ hai $u_2(u_1(t)) = a_2(a_1 t + b_1) + b_2 = a_2 a_1 t + a_2 b_1 + b_2$, hoặc

$$\left( \begin{array}{c} a_1 \\ b_1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_2 \\ b_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_1 a_2 \\ a_2 b_1 + b_2 \end{array} \right).$$

Định luật nào sau đây áp dụng cho phép nhân này: $uv = vu$, $(uv)w = u(vw)$, $u(v + w) = uv + uw$, $(u + v)w = uw + wv$?

Danh sách tài liệu bổ sung

1. Phương trình Gelfond A. O. Lời giải trong số nguyên. M.: Nauka, 1983. - (Bài giảng toán phổ thông, số 8).
2. Nesterenko Yu. V., Nikshin E. M. Tiểu luận về phân số nguyên. Kvant, 1983, số 5, 6.
3. Vaguten N. Số liên hợp. Kvant, 1980, số 2.
4. Ashmanov S. Số và đa thức. Kvant, 1980, số 2.
5. Đại số toán học tương ứng. M.: Nauka, 1981.
6. Pontryagin L. S. Số phức. Kvant, 1982, số 4.
7. Bashmkova I. G. Sự hình thành đại số. M.: Kiến thức, 1979.