Kvant 1985, số 4 · Trang

QUANTUM
4
1985

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Số này xuất bản
chú thích “Trên các máy cơ đơn giản.”
Nó nói về
cơ chế đó
từ xa xưa
được con người sử dụng.
Nhìn vào cái được hiển thị ở đây
khắc cổ,
cố gắng xác định cái nào
cụ thể là các cơ chế
lúc đó được thuê để làm việc
tại cảng.

TRONG PHÒNG:

2 Ngày khoa học Liên Xô
V. R. Pochuev. Tính toán gần đúng và công thức Taylor
A. L. Stasenko. Về chức năng phân phối

Soviet science day
V. R. Pochiev. Approximate calculations and the Taylor formula
A. L. Stasenko. On distribution functions

12 Mặt trời rung động

Science news
The pulsating Sun

13 Vòng tròn toán học
MG Crane. Phương trình Diophantine
A. A. Markova

Mathematics circle
M. G. Krein. A. A. Markov’s Diophantine equation

17 Vật Lý 8, 9, 10
Mathematica 10
Trường học yêu thích bài toán

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Mathematics 10
Selected school problems

29 «Kvant» cho học sinh nhỏ
Nhiệm vụ
L. I. Tuchinsky. Liệu điều không thể có thể thành có thể?

Kvant for younger school children
Problems
L. I. Tuchinski. Can the impossible be?

32 Kính Vạn Hoa «Kvant»

Kvant’s kaleidoscope

36 Vấn đề «Kvant»
Bài toán M916—M920; F928—F932
Lời giải bài toán M896—M900; F908—F912

Kvant’s problems
Problems M916—M920; P928—P932
Solutions M896—M900; P908—P912

48 Hội thảo của người nộp đơn
A. A. Bolibrukh, V. M. Uroev, M. I. Shabunin.
Các tỉ số trong tam giác

College applicant’s section
A. A. Bolibrukh, V. M. Uroev, M. I. Shabunin.
Metric relations in the triangle

53 Thông tin
Trường Vật lý Tương ứng tại Đại học quốc gia Moscow

Information
Moscow university physics correspondence school

54 phương án thi tuyển sinh

College entrance examination problems

59 Đáp số, gợi ý, lời giải

Answers, hints, solutions

Trang bìa của chúng tôi (35)
«Kvant» nụ cười (47)
Pha trộn (11, 46)
Trang cờ vua
Các hình ở vị trí của chúng (trang bìa thứ 3)

Our cover page (35)
Kvant smiles (47)
Miscellaneous (11, 46)
The chess page
The pieces are at their own places (3rd cover page)

2

Ngày khoa học Liên Xô

Trong suốt nhiều thập kỷ, khoa học Liên Xô đã đi một chặng đường ấn tượng, đăng quang với nhiều thành tựu nổi tiếng thế giới. Con đường này có thể được minh họa bằng tuyên bố của những người sáng tạo khoa học xuất sắc của chúng ta. Họ không chỉ nói về những đặc điểm của khoa học xã hội hóa mà còn nói về những đặc điểm quan trọng nhất của nhà khoa học Xô Viết.

Tiến bộ kỹ thuật và tiến bộ xã hội có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Tháng 10 là cơ sở cho những biến đổi xã hội to lớn, từ đó có tác động sâu sắc đến cuộc cách mạng khoa học và công nghệ.

Viện sĩ M. V. KELDYSH

Khoa học Liên Xô, không hề cực đoan, kết hợp chủ nghĩa thực tiễn lành mạnh, mạnh mẽ, được xác định bởi bài toán xây dựng xã hội chủ nghĩa, với logic nội tại của tư duy khoa học, đòi hỏi lời giải vấn đề khoa học để xây dựng công thức chính xác.

Viện sĩ S. I. VAVILOV

Chính sự tiến bộ của kiến ​​thức chức năng đã làm thay đổi các quan điểm dường như đã được thiết lập trong khoa học, mở ra những lĩnh vực mới trong khoa học và công nghệ, thay đổi hoàn toàn công nghệ, dẫn đến sự xuất hiện của các vật liệu mới và mở ra cơ hội sử dụng những hiện tượng hiện đại, mới, thường bất ngờ trong các lĩnh vực không liên quan gì đến lĩnh vực nghiên cứu ban đầu.

Viện sĩ A. P. ALEXANDROV

… sự phát triển của khoa học không chỉ là kết quả của quá trình thiên tài của các cá nhân, mà là thành quả của sự làm việc có tổ chức và có mục đích của nhiều con người giản dị nhưng rất thực tế, tận tâm và chăm chỉ.

Viện sĩ A. I. BERG

Trong trường hợp tổ chức của toán học ứng dụng, trong sự thống nhất biện chứng giữa cái trừu tượng và cái cụ thể, đặc điểm sống động và có ý nghĩa triết học nhất của toán học Xô Viết xuất hiện.

Viện sĩ P. S. ALEXANDROV

… vật lý hiện đại là một loại Janus hai mặt. Một mặt, nó là một ngành khoa học có cái nhìn cháy bỏng, cố gắng đi sâu vào các định luật vĩ đại của thế giới toán học. Mặt khác, nó là công nghệ cơ bản, nơi hội thảo của những ý tưởng kỹ thuật táo bạo, trụ cột quốc phòng và động lực của tiến bộ công nghiệp không ngừng.

Viện sĩ L. A. ARTSIMOVICH

… để khám phá, có khả năng phân tích triết học sâu sắc, làm giàu với khái niệm về những gì đang xảy ra trên toàn bộ mặt trận khoa học rộng lớn, với sự hiểu biết về sự tồn tại của các quá trình, dấu hiệu và giá trị xã hội, một nhà nghiên cứu như vậy, trong số những thứ khác, có cái nhìn rộng hơn về các vấn đề trong lĩnh vực khoa học của mình, nhìn thấy những gì thoát khỏi tầm nhìn của một số nhà khổ hạnh chuyên nghiệp.

Viện sĩ R.V. KHOKHLOV

Khoa học là di sản chung của con người, và bài toán của một nhà khoa học chân chính là làm phong phú thêm kho kiến ​​thức sẵn có cho mọi người.

Viện sĩ A. N. KOLMOGOROV

Nhà khoa học Liên Xô là người lãnh đạo đất nước mình nên lý tưởng sống và làm việc của ông trùng khớp với lý tưởng mà mọi công dân nước mình đều hướng tới. Công trình khoa học của ông được thúc đẩy bởi cùng một mục đích đã thúc đẩy cả đất nước.

Viện sĩ P. L. KAPITSA

Tôi tin rằng lý trí của con người sẽ thắng thế và con người sẽ không cho phép sử dụng những thành tựu khoa học vào những mục đích không phù hợp với chủ nghĩa nhân văn và đạo đức con người.

Bài toán các nhà khoa học sẽ không chỉ tham gia vào việc phát triển nghiên cứu khoa học mà còn tham gia vào cuộc đấu tranh sử dụng chúng vì lợi ích của người dân trên thế giới.

Viện sĩ I. I. ARTOBOLEVSKY

3

Tính toán gần đúng và công thức Taylor

V. R. POCHUEV

Bài viết này bắt đầu bằng các phép thay thế đơn giản về các phép tính số học gần đúng, điều này đương nhiên dẫn đến công thức thay thế của Taylor. Đặc biệt, công thức này được thiết lập theo phương pháp của trường, sau đó được sử dụng để tính gần đúng các giá trị của hàm.

Hai ví dụ để khởi động

Giả sử chúng ta cần tính tích

$$p = 1,03 \times 2,01$$

với độ chính xác 0,001. Việc tính toán như thế này là điều đương nhiên

$$p = (1 + 0,03) \cdot (2 + 0,01) \approx 2 + 0,06 + 0,01 = 2,07.$$

Ở đây chúng ta đã bỏ qua bốn số hạng $0,01 \times 0,03 = 0,0003$, vì nó kém hơn độ chính xác quy định.

Ký hiệu được sử dụng sẽ trở nên rõ ràng hơn nếu bạn biểu thị số 0,01 bằng $x$. Khi đó phép tính của chúng ta chỉ đơn giản là phép tính hàm số (đa thức)

$$f(x) = (1 + 3x)(2 + x) = 2 + 7x + 3x^2$$

khi giá trị là $x = 0,01$ hoặc $p = f(0,01)$. Khi viết đẳng thức gần đúng $f(x) \approx 2 + 7x$, chúng ta bỏ qua số hạng bậc cao hơn (thứ hai) $3x^2$.

Hãy xem xét một ví dụ phức tạp hơn một chút: hãy tính tích với độ chính xác 0,01

$$q = 2,12 \times 1,97.$$

Bây giờ ký hiệu số 0,1 bằng $x$, ta thấy rằng tính $q$ tức là tìm giá trị của hàm

$$g(x) = (2 + x + 2x^2)(2 - 3x^2)$$

tại $x = 0,1$. Mở ngoặc, chúng ta nhận được

$$g(x) = 4 + 2x - 2x^2 - 3x^3 - 6x^4.$$

Có thể bỏ qua các số hạng có $x^3$ và $x^4$ vì tại $x = 0,1$, $x^3 = 0,001$ và $x^4 = 0,0001$ nằm ngoài độ chính xác yêu cầu là 0,01. Vì thế,

$$q = g(0,1) \approx 4 + 2(0,1) - 2(0,1)^2 = 4,18.$$

Hãy phân tích hành động của chúng tôi

Sự thành công của các phép tính dựa trên thực tế là tích mong muốn $p$ (hoặc $q$) gần với số chính xác $A$ và sau đó được biểu thị dưới dạng giá trị của một số hàm $f(x)$ cho $x$ nhỏ, với $f(0)$ bằng $A$.

Vì vậy, trong ví dụ đầu tiên, ước tính sơ bộ cho $p \approx 1 \cdot 2 = 2 = A_1$ và độ lệch của hệ số com so với một và hai là nhỏ. Tương tự, trong ví dụ thứ hai, ước tính sơ bộ cho $q \approx 2 \cdot 2 = 4 = A_2$, và một lần nữa độ lệch của hệ số com so với hai là nhỏ. Trong mỗi

4

Trong trường hợp thứ hai, độ lệch của các hệ số này được đo bằng “đơn vị x”, trong đó $x$ là 0,01 và trong trường hợp thứ hai - bằng `các “đơn vị x” khác, trong đó $x'$ là 0,1.

Tiếp theo, hàm đã chọn $f(x)$ (hoặc $g(x)$) được chia thành hai phần - hiện có và phụ:

$$f(x) = f_1(x) + f_2(x), \quad f_1(x) = 2 + 7x, \quad f_2(x) = 3x^2, \quad g(x) = g_1(x) + g_2(x), \quad g_1(x) = 4 + 2x - 2x^2, \quad g_2(x) = -3x^3 - 6x^4,$$

trong đó các phần thiết yếu $f_1(x)$ (và $g_1(x)$) là đa thức bậc một và bậc hai, biểu thị kết quả với độ chính xác cần thiết, còn $f_2$ và $g_2$ là không đáng kể.

Hãy giới thiệu biểu tượng “khoảng nhỏ”

Trong các trường hợp được xem xét trong phân tích toán học, công thức ghi ngắn hơn và biểu cảm hơn sau đây thường được sử dụng:

$$f(x) = 2 + 7x + o(x), \quad g(x) = 4 + 2x - 2x^2 + o(x^2).$$

Ở đây ký hiệu $o(x)$ (đọc “khoảng nhỏ từ $x$”) biểu thị một số hàm của $x$ (chúng tôi không quan tâm đến dạng chính xác của nó), có xu hướng về 0 nhanh hơn $x$, nghĩa là, sao cho

$$\lim_{x \to 0} \frac{o(x)}{x} = 0.$$

Tương tự, $o(x^2)$ là một hàm nào đó của $x$ có xu hướng về 0 nhanh hơn $x^2$, tức là

$$\lim_{x \to 0} \frac{o(x^2)}{x^2} = 0.$$

Tổng quát $o(x^n)$, cho $n \ge 1$, là ký hiệu cho hàm của $x$ có ​​thuộc tính sau:

$$\lim_{x \to 0} \frac{o(x^n)}{x^n} = 0.$$

Bằng cách sử dụng các tính chất số học của các giới hạn (xem Đại số và phần đầu của phân tích 9-10, các đoạn văn), có thể dễ dàng thiết lập các quy tắc sau đây cho phép bạn chuyển đổi các biểu thức phức tạp chứa o nhỏ thành các biểu thức đơn giản hơn:

(a) $o(x^n) + o(x^n) = o(x^n)$,
(b) $x \cdot o(x^n) = o(x^{n+1})$,
(c) $x^{n+1} = o(x^n)$, v.v.
(Ví dụ: để đặt (a),

$$\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{o(x^n)}{x^n} &= 0. \end{align*}$$

cần chứng minh rằng tổng của hai hàm số, mỗi hàm số đều có xu hướng bằng 0, bản thân nó cũng có xu hướng bằng 0; và điều này ngay lập tức tuân theo quy tắc về tổng các giới hạn.)

Hãy rút ra một số công thức gần đúng

Hãy sử dụng các ký hiệu $o(x)$, $o(x^2)$, … và các thuộc tính của chúng để rút ra một số công thức hữu ích cho các phép tính gần đúng.

Ví dụ 1. Hãy chứng minh công thức:

$$(1+x)^3 = 1 + 3x + o(x).$$

(Thuật ngữ $o(x)$ cho chúng ta biết rằng công thức này có thể được sử dụng nếu bình phương $x$ có thể bị bỏ qua trong các phép tính của chúng ta.)

Bằng chứng. Sử dụng công thức tính tổng khối

$$(1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3,$$

nhưng $x^2 = o(x)$ (quy tắc (d)); $3x^2 = o(x)$ (quy tắc (b)); $x^3 = o(x)$ (quy tắc (d), (c)). Đó là lý do tại sao

$$(1+x)^3 = 1 + 3x + o(x) + o(x) = 1 + 3x + o(x).$$

Vì vậy, chúng ta có thể viết với độ chính xác 0,01:

$$(1,012)^3 \approx 1 + 3 \cdot 0,012 = 1,036.$$

Ví dụ 2. Hãy chứng minh công thức:

$$\frac{1}{1-q} = 1 + q + q^2 + \dots + q^n + o(q^n).$$

Bằng chứng được đưa ra ngay sau đây từ một cách tiếp cận dễ kiểm chứng

$$\frac{1}{1-q} = 1 + q + q^2 + \dots + q^n + \frac{q^{n+1}}{1-q}.$$

Chúng ta hãy sử dụng công thức (2) để tính gần đúng phân số $r = 201/203$. Biểu diễn phân số này dưới dạng

$$r = \frac{1 + \frac{1}{200}}{1 + \frac{3}{200}},$$

chúng ta hãy xem xét chức năng

$$h(x) = \frac{1+x}{1+3x}; \quad h\left(\frac{1}{200}\right) = h(0,005) = r.$$

Lấy (2) $n=2$, $q=-3x$; Sau đó

$$\frac{1}{1+3x} = 1 - 3x + 9x^2 + o(x^2),$$

5

$$h(x) = \frac{1}{1+3x} = 1 - 2x + 6x^2 + o(x^2).$$

Vì vậy, $r = h(0,005) \approx 1 - 0,01 + 0,000150 = 0,990150$.

Bài tập

1. Viết và thiết lập công thức cho $(1+x)^7$ với độ chính xác $o(x^2)$.
2. Viết và thiết lập công thức cho $1/(1+q)$ với độ chính xác $o(q^n)$.

Tính toán gần đúng các căn thức

Khi tính toán gần đúng các căn thức, chúng ta sẽ phân biệt giữa trường hợp “tốt” và trường hợp “xấu”. Trong trường hợp “tốt”, dưới dấu căn bậc hai có một số hơi khác so với số bình phương hoàn hảo; số được tính $\lambda$ có dạng $\sqrt{a^2 + a^2}$, trong đó $a$ nhỏ so với $a^2$. Để minh họa trường hợp này, hãy xem xét ví dụ sau.

Ví dụ 3. Hãy tìm giá trị gần đúng của căn bậc $\lambda = \sqrt{99}$.

Hãy biểu thị $\lambda$ là
$$\lambda = \sqrt{100-1} = 10\sqrt{1-0,01}$$
và xét hàm $r(x) = \sqrt{1+x}$ sao cho $\lambda = 10r(-0,01)$. Giả sử rằng đối với $x$ nhỏ có một công thức gần đúng
$$r(x) = a + bx + cx^2 + o(x^2).$$

(3) Tìm $a, b$ và $c$. Trước hết, hướng $x$ về 0, chúng ta thu được: $a = 1$. Bây giờ hãy bình phương cả hai vế của đẳng thức (3):
$$1 + x = a^2 + 2abx + (b^2 + 2ac)x^2 + o(x^2).$$

Đánh đồng các hệ số của cùng lũy ​​thừa $x$ ở cả hai vế của đẳng thức cuối cùng, chúng ta thu được $a^2 = 1; 2ab = 1; b^2 + 2ac = 0$. Xét rằng $a = 1$, chúng ta tìm thấy: $b = 1/2; c = -1/8$. Vì thế,
$$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2).$$

(4) Như vậy,
$$\lambda = 10r(-0,01) \approx 10(1-0,005 - 0,0000125) = 10(0,9949875) = 9,949875.$$

Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra cách hành động trong một trường hợp “xấu”. Như một minh họa, chúng ta hãy nhìn vào

Ví dụ 4. Hãy tìm giá trị gần đúng của căn bậc $\mu = \sqrt{2}$.

Rõ ràng là công thức (4) mà chúng tôi tìm thấy, mang lại $\sqrt{2}$ cho $x = 1$, hoàn toàn không phù hợp để tính căn thức, vì $x$ không nhỏ và chúng tôi không thể tính được rằng các số hạng ở vế phải của (4) giảm nhanh chóng. Để tạo ra một trường hợp “tốt”, chúng ta chọn hai hình vuông hoàn chỉnh có tỷ lệ là 2. Các hình vuông đó chẳng hạn là 25 và 49. Sau đó
$$\mu = \sqrt{2} = \frac{7}{5} \sqrt{\frac{50}{49}} = \frac{7}{5} v.$$
Phép tính $v$ đã là một trường hợp “tốt”, vì bên dưới dấu căn có một số gần bằng 1 (một hình vuông hoàn hảo). Hãy viết $v$ dưới dạng:
$$v = (1-0,02)^{-\frac{1}{2}}$$
và xét hàm $S(x) = 1/\sqrt{1+x}$. Sau đó $v = S(-0,02)$. Chúng ta hãy lại giả sử rằng có một công thức có dạng
$$S(x) = a + bx + cx^2 + o(x^2).$$
Hướng $x$ về 0, chúng ta thu được $a = 1$. Chúng ta bình phương cả hai vế và nhân với mẫu số,
$$1 = (1+x)(a^2 + 2abx + (b^2 + 2ac)x^2 + o(x^2)),$$
$$1 = a^2 + (a^2 + 2ab)x + (b^2 + 2ab + 2ac) \times x^2 + o(x^2).$$
Chúng ta đánh đồng các hệ số của cùng lũy ​​thừa $x$ ở cả hai vế của đẳng thức cuối cùng, chúng ta nhận được $a^2 = 1, a^2 + 2ab = 0, b^2 + 2ab + 2ac = 0$. Xét rằng $a = 1$, chúng ta tìm thấy: $b = -1/2; c = 3/8$. Vì thế,
$$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + o(x^2).$$

Như vậy,
$$\mu = \sqrt{2} = (7/5)S(-0,02) \approx 1,4(1+0,01+0,00015) = 1,41421.$$
Công thức Taylor cho đa thức Cho một đa thức bậc $n$:
$$p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n$$
Khi đó công thức sau giữ nguyên:
$$p(x) = p(0) + p'(0)x + \frac{1}{2!}p''(0)x^2 + ... + \frac{1}{n!}p^{(n)}(0)x^n,$$

6

trong đó $p^{(n)}$ biểu thị hàm đạo hàm bậc $n$ $p$ và ký hiệu $n!$ (đọc là “en giai thừa”) được giải mã như sau: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

Ví dụ: tại $n = 2$, $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$, do đó $p'(x) = 2a_2x + a_1$, $p''(x) = 2a_2$, do đó, $p'(0) = a_1$, $p''(0) = 2a_2$ và do đó, thực sự,

$$p(x) = p(0) + p'(0)x + \frac{1}{2}p''(0)x^2 = a_0 + a_1x + a_2x^2.$$

Trong trường hợp tổng quát, công thức (6) được kiểm tra trực tiếp. Tôi khuyên người đọc đừng lười biếng và hãy tiếp tục kiểm tra này, bắt đầu “khởi động” với trường hợp $n = 3$.

Công thức Taylor cho hàm số

Sử dụng quy tắc (6) và (d), công thức (6) có thể được viết lại thành

$$p(x) = p(0) + p'(0)x + \frac{p''(0)x^2}{2} + \dots + \frac{p^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + o(x^{n-1}).$$

Công thức này hữu ích cho các phép tính gần đúng khi $x^n$ không đáng kể. Tuy nhiên, chúng ta quan tâm đến nó ở đây vì một lý do khác: hóa ra công thức này không chỉ đúng với đa thức $p(x)$, mà còn đúng với các hàm tùy ý $f(x)$ (miễn là chúng có $f'(x)$, $f''(x)$, …, $f^{(n+1)}(x)$ tùy ý bao gồm $n+1$). Thư từ

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$$

được gọi là công thức Taylor (hoặc Maclaurin) theo tên hai hệ số toán học người Anh thế kỷ 17-18, mặc dù về bản chất nó cũng được Newton biết đến. Chúng ta sẽ không chứng minh công thức này ở dạng tổng quát nhưng cũng sẽ thu được các khai triển bằng cách sử dụng các phương pháp đơn giản hơn, như chúng ta đã làm trước đó.

Công thức Taylor
cho các hàm hữu tỷ phân số (phương pháp hệ số không xác định)

Phân số hữu tỉ là bất kỳ hàm nào biểu diễn

xử lý dưới dạng tỉ số của hai đa thức. Chúng ta hãy xem một ví dụ cụ thể về cách thu được khai triển Taylor cho các hàm như vậy.

Ví dụ 5. Sử dụng công thức Taylor, chúng ta mở rộng hàm lên $o(x^3)$

$$f(x) = \frac{1+x}{1+x+x^2}.$$

Cách đầu tiên. Xét hàm $g(x) = \frac{1}{1+x+x^2}$. Hãy giới thiệu một biến mới $t = x+x^2$. Sử dụng công thức (2), trong đó $q = -t$, chúng ta có thể viết

$$g(x) = \frac{1}{1+t} = 1-t+t^2-t^3+o(t^3) = 1-(x+x^2)+(x+x^2)^2-(x+x^2)^3 + o(x^3) = 1-x+x^3+o(x^3).$$

Vì thế,

$$f(x) = (1+x)(1-x+x^3+o(x^3)) = 1-x^2+x^3+o(x^3).$$

Phương pháp thứ hai (phương pháp hệ số không xác định). Cho phép

$$f(x) = \frac{1+x}{1+x+x^2} = a+bx+cx^2 + dx^3 + o(x^3)$$

Hãy nhân cả hai vế với mẫu số:

$$1+x = (1+x+x^2)(a+bx+cx^2+dx^3 + o(x^3))$$

$$1+x = a+(a+b)x+(a+b+c)x^2 + (b+c+d)x^3+o(x^3).$$

Chúng ta đánh đồng các hệ số của cùng lũy ​​thừa $x$ ở cả hai vế của đẳng thức cuối cùng, chúng ta nhận được $a=1, a+b=1; a+b+c=0; b+c+d=0$. Do đó, $a=1, b=0, c=-1, d=1$, và chúng ta đi đến kết quả tương tự.

Công thức Taylor
cho các hàm lượng giác

Mục tiêu của chúng tôi là chứng minh công thức sau mà không sử dụng công thức Taylor tổng quát (7).

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5),$$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4).$$

8

Về chức năng phân phối

(hoặc Cách tưới vườn bằng gió)

Tiến sĩ khoa học kỹ thuật
A. L. STASENKO

“Trên sân ga, ở cuối tàu, hành khách phải được phân bổ đều dọc theo chiều dài của tàu…”
(Trích “Quy tắc sử dụng tàu điện ngầm Moscow mang tên V.I. Lênin”)

Cụm từ trong epigraph, ý nghĩa “hàng ngày” của nó hoàn toàn rõ ràng, gợi nhớ đến khái niệm về hàm phân phối, phổ biến trong vật lý. Chúng ta bắt đầu với các hàm phân phối ở mức lời giải lý thuyết và thực tế bài toán, trong đó các hệ có số lượng hạt lớn được xem xét. Để rút ra sự tương đồng giữa yêu cầu của “Quy tắc” và khái niệm về hàm phân phối, chúng ta hãy “dịch” biểu đồ sang ngôn ngữ toán học.

Chúng ta hãy chia sân ga (chính xác hơn là phần sân ga gần nơi tàu dừng) tuần tự thành các đoạn có chiều dài $\Delta x_1$, $\Delta x_2$, …, $\Delta x_k$, …, $\Delta x_m$. Ta biểu thị số lượng hành khách chờ tàu ở mỗi đoạn bằng $\Delta n_1$, $\Delta n_2$, …, $\Delta n_k$, …, $\Delta n_m$. Khi đó, “Quy tắc” yêu cầu tỷ lệ $\Delta n_i$ đến $\Delta x_i$ phải giống nhau đối với mọi $i=1, 2, ..., k, ..., m$, nghĩa là

$$\frac{\Delta n_i}{\Delta x_i} = f_0 = \text{const.}$$

Chúng tôi biểu thị mối quan hệ này bằng chữ cái $f$ để nhấn mạnh rằng, trên thực tế, nó cũng có thể là một loại chức năng nào đó của $x$; nhưng trong trường hợp này, nếu công dân cư xử tốt trên nền tảng thì chức năng này sẽ tồn tại vĩnh viễn ($f_0$). Trên hình 1 đồ thị của nó được hiển thị - một đường thẳng.

Nhưng sau đó tàu đến, và thậm chí trước khi cửa các varon mở ra, “rất nhiều” công dân đã tụ tập xung quanh họ. Khi đó, sự phân bố của họ dọc theo sân ga không còn đồng nhất và nó có thể được biểu diễn một cách định tính dưới dạng đường cong $f(x)$, như trong hình 1. Nếu số lượng công dân không thay đổi trong khi chờ tàu, thì thực tế này bằng cách nào đó sẽ được phản ánh trong hai biểu đồ này. Thật vậy, trong khi chờ đợi ở mỗi phần $\Delta x_i$ của sân ga, theo (1), số lượng công dân bằng

$$\Delta n_i = f_0 \cdot \Delta x_i;$$

Điều này có nghĩa là để tìm tổng số hành khách trên toàn bộ sân ga, bạn cần cộng số lượng của họ trên từng khu vực. chúng tôi nhận được

$$N = \sum_{i=1}^{m} \Delta n_i = \sum_{i=1}^{m} f_0 \cdot \Delta x_i = f_0 \sum_{i=1}^{m} \Delta x_i = f_0 \cdot L,$$

trong đó $L$ là chiều dài của sàn. Như có thể thấy từ hình 1, $f_0$ L là diện tích chuyển động trực tiếp $f_0$ và chiều dài $L$. Và đây là tổng số hành khách $N$. Sau khi tàu đến, sự phân bố trên sân ga thay đổi và trở thành một số hàm $f(x)$, tổng của tất cả các giá trị $f(x_i) \cdot \Delta x_i$ cũng là diện tích dưới đường cong $f(x)$ và vẫn là tổng số công dân $N$:

$$\sum_i f(x_i) \cdot \Delta x_i = N.$$

Chỉ là phương trình $f(x)$ là một hằng số $f_0$ và trong công thức (2) chúng tôi đã lấy nó làm dấu tổng, nhưng bây giờ điều này không thể thực hiện được - trong mỗi phần $\Delta x_i$

9

số lượng công dân của họ (họ đã được phân phối lại).

“Bah! - nhà toán học sẽ kêu lên (anh ta chỉ đơn giản là có nghĩa vụ phải thốt lên như vậy), - nhưng những gì được viết trong (1), trong giới hạn, khi các đoạn $\Delta x_i$ ngày càng nhỏ hơn, sẽ biến thành thứ được gọi là đạo hàm của $n$ bởi $x$:

$$f(x_i) = \lim_{x_i \to 0} \frac{\Lambda n_i}{\Lambda x_i} = \frac{dn}{dx},$$

và những gì được viết ở (3) được tính vào tích phân $f(x)$ trên toàn bộ chiều dài $L$ của nền:

$$N = \lim_{x_i \to 0} \sum_{i=1}^{m} f(x_i) \Delta x_i = \int_0^L f(x) dx.$$

Và nếu anh ấy kêu lên như vậy thì anh ấy sẽ hoàn toàn đúng.

Vì vậy, việc phân bổ công dân dọc theo sân ga trong khi chờ tàu có thể được mô tả bằng hàm $f(x) = \frac{dn}{dx}$, đương nhiên được gọi là hàm phân bổ hành khách dọc theo chiều dài của sân ga.

Bây giờ, có lẽ độc giả sẽ thốt lên: “Tại sao, theo cách này, vận tốc tổng quát nhất của một điểm vật chất, tức là đạo hàm của sự dịch chuyển theo thời gian, có thể là

$$\vec{v} = \frac{\vec{ds}}{dt} = \lim_{t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t},$$

• gọi là phân bố chuyển vị điểm theo thời gian; tăng tốc -

$$\vec{a} = \frac{\vec{dv}}{dt} = \lim_{t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

• phân bố tốc độ theo thời gian; và tổng mật độ của một chất, nghĩa là đạo hàm của khối lượng theo thể tích -

$$\varrho = \frac{dm}{dV} = \lim_{V \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta V},$$

— phân bố khối lượng theo thể tích!?” Tất cả những điều này đều đúng, tuy nhiên từ “phân phối” lại mang ý nghĩa riêng của nó trong vật lý và trong cuộc sống hàng ngày. Ví dụ, họ nói về sự phân bố của các phân tử khí theo mô đun vận tốc ($\frac{dn}{dv} \frac{\text{молекул}}{\text{м/с}}$); về sự phân phối sản phẩm trong dân chúng ($\frac{dm}{dn} \frac{\text{кг}}{\text{человек}}$), chứ không phải về đạo hàm của khối lượng sản phẩm theo số lượng công dân; về sự phân bố học sinh theo độ tuổi ($\frac{dn}{dt} \frac{\text{школьников}}{\text{лет}}$). Có lẽ, ở đâu đó trong lớp 10, phân bố cuối cùng này có dạng như trong hình 2: giá trị lớn nhất của hàm $f(t)$ tương ứng với (xấp xỉ) 17 năm; khó có thể xảy ra ở lớp 10 của một người nào đó (sau đây gọi là rất có năng lực) từ mẫu giáo hoặc ở tuổi nghỉ hưu - vì vậy hàm phân phối có xu hướng về 0 khá nhanh ở hai bên giá trị tối đa.

Một hàm rất thú vị (có lẽ đặc biệt đối với học sinh lớp 10) là hàm phân phối số người nộp đơn theo số bài toán mà họ đã giải được trong kỳ thi tuyển sinh. Theo quy định, hàm đồ họa này có thể được biểu thị bằng đường cong I hoặc đường cong II trên hình 3. Nếu đó là đường cong I, thì mức tối thiểu của nó tại điểm A dễ dàng cho phép người ta thiết lập “giá” của một đánh giá thỏa đáng - tất cả những người theo dõi từ điểm A đều không vượt qua. Nếu đây là đường cong II thì giám khảo phải suy nghĩ xem giải bài toán bao nhiêu là đủ để đánh giá đạt yêu cầu.

Tầm quan trọng của hàm phân bố trong vật lý được chứng minh bởi thực tế là

10

Nhiều trong số chúng gắn liền với những thay đổi của các nhà khoa học tuyệt vời: chẳng hạn như phân bố Bolshman và Maxwell (phân tử khí theo tốc độ), phân bố Planck (bức xạ lượng tử theo tần số của chúng), phân bố Fermi (năng lượng điện tử).

Bây giờ, sau khi đã học được ý nghĩa của các hàm phân phối, hãy giải một hàm hữu ích bài toán. Giả sử chúng ta cần tưới nước đều cho một mảnh đất nằm ngang, chẳng hạn như một vườn rau hoặc cánh đồng rộng lớn. Tất nhiên, điều này có thể được thực hiện với sự trợ giúp của xô hoặc bình tưới, như người ta nói, “đi bộ”; Bạn có thể lái xe giữa các hạt mưa đá trên máy kéo, đế là một bộ phận đặc biệt - một ống ngang có lỗ và vòi cung cấp nước (đây là cách chế tạo “tàu khu trục nhỏ”, thường có thể được nhìn thấy trên đồng ruộng). Nhưng chúng tôi sẽ cố gắng sử dụng gió, loại gió hầu như luôn thổi trong không gian rộng mở.

Hãy đặt một ống nằm ngang được trang bị vòi phun ở độ cao $h$ so với mặt đất. Thông qua đường ống này, nước được cung cấp dưới áp suất, được “phun” thành những giọt bay theo mọi hướng. Bán kính của các giọt có thể khác nhau và chúng ta có thể kiểm soát tập hợp các giọt, tức là chức năng phân bố của chúng trên bán kính của chính chúng ($f(r) = \frac{dn}{dr}$).

bài toán của chúng tôi: tìm chức năng $f(r)$ để khu vực được tưới được tưới đều (nghĩa là khối lượng nước bằng nhau rơi trên bất kỳ khu vực nào có diện tích giống hệt nhau).

Trước hết, chúng ta cần tìm hiểu xem những giọt nước bay ra khỏi đường ống sẽ di chuyển như thế nào. Tất nhiên, tất cả chúng đều có một loại tốc độ ban đầu nào đó; nhưng nếu những giọt nước đủ nhỏ, chúng sẽ nhanh chóng giảm tốc độ trong không khí và khi không có gió, chúng sẽ rơi dưới đường ống xuống một dải đất hẹp song song với đường ống. Để làm rõ điều vừa nói, hãy xem xét một giọt nước có bán kính $r$ được phóng ra từ một ống xoáy thẳng đứng. Chuyển động của giọt nước sau đó xảy ra dưới tác dụng của trọng lực $mg$ và lực cản $f_c$ từ không khí. Lực cản $f_c$ phụ thuộc vào tốc độ rơi và bán kính của nó - nó lớn hơn, $v$ lớn hơn và $r$ càng lớn, đặc biệt, đối với những giọt nhỏ $f_c = bvr$, trong đó $b$ là một hệ số tỷ lệ nhất định. (Lực này được gọi là lực Stokes - theo tên nhà vật lý và toán học người Anh thế kỷ 19 J. Stokes, người đã nghiên cứu chuyển động của các vật thể trong môi trường lỏng. Sự phụ thuộc $f_c(v, r)$ này đúng chính xác trong những điều kiện rất thấp với sự thay đổi của các nhà khoa học đáng chú ý: chẳng hạn, có phân bố Bolshman và Maxwell (của các phân tử khí theo vận tốc), phân bố Planck (bức xạ lượng tử theo tần số của chúng), phân bố Fermi (electron theo năng lượng).

Bây giờ, sau khi đã học được ý nghĩa của các hàm phân phối, hãy giải một hàm hữu ích bài toán. Giả sử chúng ta cần tưới nước đều cho một mảnh đất nằm ngang, chẳng hạn như một vườn rau hoặc cánh đồng rộng lớn. Tất nhiên, điều này có thể được thực hiện với sự trợ giúp của xô hoặc bình tưới, như người ta nói, “đi bộ”; Bạn có thể lái xe giữa các hạt mưa đá trên máy kéo, đế là một bộ phận đặc biệt - một ống ngang có lỗ và vòi cung cấp nước (đây là cách chế tạo “tàu khu trục nhỏ”, thường có thể được nhìn thấy trên đồng ruộng). Nhưng chúng tôi sẽ cố gắng sử dụng gió, loại gió lần đầu tiên thổi gần như hoàn toàn trong không gian rộng mở.

Hãy đặt một ống nằm ngang được trang bị vòi phun ở độ cao $h$ so với mặt đất. Thông qua đường ống này, nước được cung cấp dưới áp suất, được “phun” thành những giọt bay theo mọi hướng. Bán kính của các giọt có thể khác nhau và chúng ta có thể kiểm soát tập hợp các giọt, tức là chức năng của cùng một khu vực rơi vào cùng một khối lượng nước).

Trước hết, chúng ta cần tìm hiểu xem những giọt nước bay ra khỏi đường ống sẽ di chuyển như thế nào. Tất nhiên, tất cả chúng đều có một loại tốc độ ban đầu nào đó; nhưng nếu những giọt nước đủ nhỏ, chúng sẽ nhanh chóng giảm tốc độ trong không khí và khi không có gió, chúng sẽ rơi dưới đường ống xuống một dải đất hẹp song song với đường ống. Để làm rõ điều vừa nói, hãy xem xét một giọt nước có bán kính $r$ được phóng ra từ một ống xoáy thẳng đứng. Chuyển động của giọt nước sau đó xảy ra dưới tác dụng của trọng lực $mg$ và lực cản $f_c$ từ không khí. Lực cản $f_c$ phụ thuộc vào tốc độ rơi và bán kính của nó - nó lớn hơn, $v$ lớn hơn và $r$ càng lớn, đặc biệt, đối với những giọt nhỏ $f_c = bvr$, trong đó $b$ là một hệ số tỷ lệ nhất định. (Lực này được gọi là lực Stokes - theo tên nhà vật lý và toán học người Anh thế kỷ 19 J. Stokes, người đã nghiên cứu chuyển động của các vật thể trong môi trường lỏng. Sự phụ thuộc $f_c(v, r)$ này đúng chính xác trong các điều kiện thấp với sự thay đổi của các nhà khoa học đáng chú ý: chẳng hạn, có phân bố Bolshman và Maxwell (của các phân tử khí theo tốc độ), phân bố Planck (bức xạ lượng tử theo tần số của chúng), phân bố Fermi (electron theo năng lượng).

Bây giờ, sau khi đã học được ý nghĩa của các hàm phân phối, hãy giải một hàm hữu ích bài toán. Giả sử chúng ta cần tưới nước đều cho một mảnh đất nằm ngang, chẳng hạn như một vườn rau hoặc cánh đồng rộng lớn. Tất nhiên, điều này có thể được thực hiện với sự trợ giúp của xô hoặc bình tưới, như người ta nói, “đi bộ”; Bạn có thể lái xe giữa các hạt mưa đá trên máy kéo, đế là một bộ phận đặc biệt - một ống ngang có lỗ và vòi cung cấp nước (đây là cách chế tạo “tàu khu trục nhỏ”, thường có thể được nhìn thấy trên đồng ruộng). Nhưng chúng tôi sẽ cố gắng sử dụng gió, loại gió lần đầu tiên thổi gần như hoàn toàn trong không gian rộng mở.

Hãy đặt một ống nằm ngang được trang bị vòi phun ở độ cao $h$ so với mặt đất. Thông qua đường ống này, nước được cung cấp dưới áp suất, được “phun” thành những giọt bay theo mọi hướng. Bán kính của các giọt có thể khác nhau và chúng ta có thể kiểm soát tập hợp các giọt, tức là chức năng của cùng một khu vực rơi vào cùng một khối lượng nước).

Trước hết, chúng ta cần tìm hiểu xem những giọt nước bay ra khỏi đường ống sẽ di chuyển như thế nào. Tất nhiên, tất cả chúng đều có một loại tốc độ ban đầu nào đó; nhưng nếu những giọt nước đủ nhỏ, chúng sẽ nhanh chóng giảm tốc độ trong không khí và khi không có gió, chúng sẽ rơi dưới đường ống xuống một dải đất hẹp song song với đường ống. Để làm rõ điều vừa nói, hãy xem xét một giọt nước có bán kính $r$ được phóng ra từ một ống xoáy thẳng đứng. Chuyển động của giọt nước sau đó xảy ra dưới tác dụng của trọng lực $mg$ và lực cản $f_c$ từ không khí. Lực cản $f_c$ phụ thuộc vào tốc độ rơi và bán kính của nó - nó lớn hơn, $v$ lớn hơn và $r$ càng lớn, đặc biệt, đối với những giọt nhỏ $f_c = bvr$, trong đó $b$ là một hệ số tỷ lệ nhất định. (Lực này được gọi là lực Stokes - theo tên nhà vật lý và toán học người Anh thế kỷ 19 J. Stokes, người đã nghiên cứu chuyển động của các vật thể trong môi trường lỏng. Sự phụ thuộc $f_c(v, r)$ này đúng chính xác trong các điều kiện thấp với sự thay đổi của các nhà khoa học đáng chú ý: chẳng hạn, có phân bố Bolshman và Maxwell (của các phân tử khí theo tốc độ), phân bố Planck (bức xạ lượng tử theo tần số của chúng), phân bố Fermi (electron theo năng lượng).

Bây giờ, sau khi đã học được ý nghĩa của các hàm phân phối, chúng ta hãy giải một hàm hữu ích bài toán, với tốc độ không đổi $u$. Có thể chứng minh rằng trong trường hợp này, bất kể tốc độ ban đầu của những giọt nhỏ bị đẩy ra là bao nhiêu thì chúng đều nhanh chóng bị hút vào tốc độ ngang $u$ và tốc độ dọc $v = a r^2$. Vì cả hai chuyển động của giọt nước - rơi và bị gió cuốn đi - đều giống nhau nên tất cả các giọt sẽ chuyển động theo đường thẳng (hình 4).

Thời gian di chuyển tới mặt đất càng dài, bán kính rơi càng nhỏ: $t(r) = \frac{h}{v(r)} = \frac{h}{a r^2}$, do đó những giọt nhỏ (bán kính $r_1$) sẽ rơi xuống đất đối với nguồn này so với những giọt lớn hơn (bán kính $r_2 > r_1$):

$$x(r) = u \cdot t(r) = u \frac{h}{a r^2}.$$ (4)

Tất cả các giọt sẽ rơi ở khu vực nào $\Delta x$, bán kính của chúng khác với bán kính $r$ đã cho một lượng nhỏ $\Delta r$? Vì, như có thể thấy từ (4), $\Delta x / \Delta r = -\left(u \frac{2h}{a}\right) \frac{1}{r^3}$ (chúng tôi đã tiếp tục lấy đạo hàm hàm $x(r)$),

$$\Delta x = -\left(u \frac{2h}{a}\right) \frac{1}{r^3} \cdot \Delta r$$

(dấu trừ chuẩn bị cho một sự thật mà chúng ta đã biết: nếu bán kính giọt nước lớn hơn $r$ ($\Delta r > 0$) thì nó sẽ rơi gần nguồn hơn ($\Delta x < 0$) và ngược lại).

11

Hình 4.

Bây giờ hãy xem khối lượng nước sẽ rơi trên diện tích Δx là bao nhiêu. Gọi số giọt có bán kính nằm trong khoảng từ r đến r+Δr bằng Δn(r). Chúng ta sẽ chọn giá trị Δr nhỏ sao cho khối lượng của các giọt có thể coi là bằng nhau và bằng m(r) = $\frac{4}{3} \pi r^3 \varphi$. Khi đó khối lượng nước mà những giọt nước này mang xuống đất bằng

$$\Delta M = m(r) \cdot \Delta n(r) = \frac{4}{3} \pi r^3 \varphi \cdot \Delta n(r).$$

Cuối cùng, chúng tôi đưa ra yêu cầu về tính đồng nhất của giọt:

$$\frac{\Delta M}{\Delta x} = -\frac{4 \pi r^3 \varphi r^3}{6 uh} \frac{\Delta n(r)}{\Delta r} =$$

$$= -\frac{2 \pi \varphi}{3 uh} r^6 \frac{\Delta n(r)}{\Delta r} = C,$$

(5)

trong đó C là hằng số. Nhưng $\frac{\Delta n(r)}{\Delta r}$ trong giới hạn ($\Delta r \rightarrow 0$) là hàm phân phối giọt nước trên bán kính của chúng mà chúng ta đang tìm kiếm!

Vì vậy, $f(r) = \lim_{\Delta r \rightarrow 0} \frac{\Delta n(r)}{\Delta r} = K \frac{1}{r^6}$, tức là, $f(r) \sim r^{-6}$.

Đây là một chứng nghiện rất lớn. Giả sử chúng ta đã chọn hai khoảng bán kính giọt Δr giống nhau trong vùng lân cận của hai giá trị khác nhau tương ứng với các giọt nhỏ ($r_1$) và lớn ($r_2$). Giả sử bán kính của chúng khác nhau theo hệ số hai: $r_2 = 2r_1$. Sau đó từ

(6) kết luận như sau: trong khoảng Δr này, số lượng giọt Δn(r) phải lớn hơn $(r_2/r_1)^6 = 2^6 = 64$ lần số lượng giọt lớn ($\Delta n(r_2)$).

Bây giờ, khi biết chiều dài của khu vực được tưới L = x_max - x_min (xem hình 4), bạn có thể sử dụng công thức (4) để tìm bán kính nhỏ nhất và lớn nhất của các giọt r_min và r_max, tổng số của chúng (công thức (2)) và tổng khối lượng nước “được cấp” trên một đơn vị thời gian bởi nguồn (một phần, hằng số C trong công thức (5) cũng bao gồm chiều rộng của khu vực - xét cho cùng, rõ ràng là tổng khối lượng của lượng nước phải tỷ lệ thuận với chiều rộng của khu vực được tưới, nhưng để loại bỏ suy nghĩ tầm thường này, chúng ta có thể giả sử rằng chúng ta đã thực hiện các phép tính trên một đơn vị chiều rộng của nó hoặc trên một đơn vị chiều dài đường ống). Tất cả những tính toán thực tế này có thể được thực hiện vì chúng ta đã tìm ra bản chất của hàm phân bố kích thước giọt nước. Và không nhất thiết phải dùng giọt nước để tưới: có thể hòa tan để chống côn trùng hoặc cỏ dại gây hại, hoặc huyền phù các hạt giống nhỏ, hoặc giọt sơn để phủ lên diện tích rộng, hoặc…

Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy chức năng phân bổ kích thước giọt nước cần được nhà thiết kế “cung cấp” bằng cách sử dụng một bộ vòi phun.

Chúng tôi đã không dạy điều gì trong lời giải của mình? Nhiều thứ: ví dụ như gió không phải lúc nào cũng thổi đều mà theo từng cơn; và ngay cả khi đồng đều, thì tốc độ của nó so với mặt đất cũng phần nào thay đổi; những giọt đó, đặc biệt là những cái nhỏ (chúng phải ở trạng thái “bay” một lúc), có thể bốc hơi, v.v. Mỗi mô hình vật lý đều có khuôn khổ riêng, trong đó nó hợp lệ và ngoài khuôn khổ đó, nó đòi hỏi nhiều thông số kỹ thuật hơn, nhiều điều kiện hơn và thậm chí có thể “không hoạt động” chút nào.

Chúng tôi khuyên bạn nên mua

Năm 1985, những cuốn sách sau đây được xuất bản trong bộ sách khoa học đại chúng dành cho học sinh “Thư viện «Kvant»” của nhà xuất bản “Nuka”:

Tập. 37. G. S. Voronov. Tấn công vào pháo đài nhiệt hạch.

Tập. 39. V. V. Braginsky, A. G. Polnarev. Lực hấp dẫn đáng kinh ngạc.

Tập. 40. S. S. Khilkovich. Vật lý ở xung quanh chúng ta.

Tập. 41. G. A. Zveniggorodsky. Bài học lập trình đầu tiên.

(Về phần kết xem trang 53)

12

Mặt trời rung động

“Một vòng tròn mặt trời, một vòng tròn nhỏ,” mọi người đều biết Mặt trời là gì và có thể miêu tả nó. Mặt trời hoạt động như thế nào?

“Tôi làm một cục bông gòn, ngâm trong cồn rồi kẹp lại. Nó cháy không tốt nhỉ?” - đây là cách phù thủy Goodwin “vĩ đại và khủng khiếp” mô phỏng Mặt trời từ cuốn sách “The Wizard of the Emerald City” của A. Volkov.
Ý tưởng này không tệ, nhưng tất nhiên, mặt trời như vậy sẽ tắt sau vài phút nữa.

Ngày nay các nhà vật lý biết rằng Mặt trời thực sự “cháy” bằng nhiên liệu nhiệt hạch. Hạt nhân hydro (proTON) kết hợp với neutron tạo thành hạt nhân gel và giải phóng năng lượng khổng lồ. Nhưng đây là nguyên tắc chung và nhiều chi tiết của quy trình vẫn chưa thể xác định được. Hơn nữa, có rất nhiều mâu thuẫn trong khoa học về lightILE của chúng tôi.

Chẳng hạn, người ta đã biết rằng các phản ứng nhiệt hạch tạo ra neutrino - những hạt nhẹ nhất và khó nắm bắt nhất trong họ hạt cơ bản. Bất chấp sự khó nắm bắt đáng kinh ngạc của neutrino, các nhà vật lý đã học cách đăng ký chúng và sau khi học được, họ quyết định tìm hiểu xem có bao nhiêu trong số chúng bay từ Mặt trời. Hóa ra dòng neutrino ghi được từ Mặt trời nhỏ hơn ba lần so với mức cần thiết nếu tính theo giả thuyết về các phản ứng nhiệt hạch. Có chuyện gì vậy?

Có những câu hỏi khác. Tuy nhiên, một trong số chúng có liên quan đến sự thay đổi luồng ánh sáng do Mặt trời gửi tới Trái đất; các nhà vật lý tin rằng trong quá trình tồn tại của hành tinh chúng ta, năng lượng bức xạ của Mặt trời lẽ ra phải tăng ít nhất 20-30%, nhưng nhà địa chất và cổ khí hậu học (các chuyên gia về khí hậu của các thời đại trước) tin rằng điều này đã không xảy ra.

Mọi người đều đồng ý về một điều: cần phải chú ý đến Mặt trời và nghiên cứu cẩn thận về nó.

Họ bắt đầu tra cứu và, như những gì xảy ra trong khoa học, cùng nhau đáp số phát hiện ra những mâu thuẫn mới bất ngờ trước những câu hỏi được đặt ra. Mọi chuyện bắt đầu từ việc các nhà vật lý người Mỹ R. Dicke và G. Goldenberg quyết định kiểm tra xem Mặt trời có thực sự là một quả bóng hay không. Từ kết quả đo của họ cho thấy Mặt trời bị dẹt. “Phát hiện” này hoàn toàn không phù hợp với bất kỳ lý thuyết nào và họ bắt đầu kiểm tra lại nó ở các quốc gia khác nhau.

Nghiên cứu kỹ lưỡng theo hướng này đã bắt đầu khoảng mười năm trước tại Đài quan sát vật lý thiên văn Crimean của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Các nhà vật lý thiên văn Liên Xô dưới sự lãnh đạo của Viện sĩ A. B. Severny cũng đã phát hiện ra một hiện tượng chưa từng được biết đến trước đây - sự dao động trong đường kính của Mặt trời. Hóa ra Mặt trời nở ra và co lại theo định kỳ, tức là nó dao động. Tần số của “xung mặt trời” là 160 phút một lần và biên độ của xung hướng về trung tâm của các lớp bên ngoài. Một “subtok” như vậy có thể dẫn đến sự xuất hiện của một sóng hình cầu từ tâm đến bề mặt Mặt trời. Đúng, số lượng tính toán dựa trên mô hình như vậy cho chu kỳ xung là 120 phút, nhưng theo đánh giá đầu tiên thì sóng này là thỏa đáng.

Đây là lý do tại sao sự chú ý chặt chẽ đến Mặt trời không trả lời được những câu hỏi mà các nhà khoa học đang phải đối mặt mà lại dẫn đến việc phát hiện ra một khu vực hoàn toàn mới về “thời kỳ mang thai mặt trời” - helioseistolgin. Giờ đây, bằng cách nghiên cứu các xung động của bề mặt Mặt trời, chúng ta có thể hy vọng có được thông tin mới về cấu trúc của các lớp bên trong của nó.

A. V. Semenov

13

Phương trình Diophantine
A. A. Markova

Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô M. G. KERIN

Bài viết này kể câu chuyện về một phương trình với số chẵn và cho kết quả lời giải của nó. Lời giải chỉ sử dụng các tính chất đơn giản nhất của số và định lý Vieta cho tam thức bình phương, do đó có thể sử dụng phép toán tròn một. Nó dựa trên loạt bài bài toán “để chứng minh”, phần phân tích mà chúng ta sẽ tạo thành chủ đề của một bài học toán. (Bằng chứng chi tiết có thể được tìm thấy ở cuối số tiếp theo của tạp chí.)

Năm 1879, tại Đại học St. Petersburg, một chàng trai trẻ 23 tuổi đã hoàn thành luận án thạc sĩ mang tên “Về dạng hình vuông nhị phân của định thức dương”. Nó giải quyết được những câu hỏi khó nhất trong lý thuyết số và xác định một hướng đi mới trong lý thuyết này. Tác giả của nó là học giả nổi tiếng tương lai Andrei Andreevich Markov (1856-1922).

Luận án dựa trên hai bài báo của ông xuất bản ở Đức vào năm 1879 và 1880 trên một trong những tạp chí toán học nổi tiếng nhất thế giới - “Mathematische Annalen”. Mặc dù vậy, phải hơn 30 năm trôi qua, tác phẩm của Markov mới được “phát hiện” ở phương Tây. Năm 1913, nhà toán học vĩ đại người Đức Georg Frobenius (1849–1917) đã xuất bản một chủ đề có tựa đề “Về số Markov”. Trong lời nói đầu của nó, ông đã viết rằng những câu hỏi về thực tế là nghiên cứu của A. A. Markov là “cực kỳ có thể thay thế được và quan trọng”, chúng dường như vẫn còn ít được biết đến. G. Frobenius giải thích sự phức tạp trong cách trình bày của họ (A. A. Markov đã sử dụng một cách có hệ thống bộ máy phân số liên tục, vốn không được ưa chuộng vào thời điểm đó trong những vấn đề này)*.

Tất nhiên, bài viết này không nhằm mục đích đưa ra ít nhất một số ý tưởng về nghiên cứu toàn cầu của A. A. Markov. Nhưng thực tế là trong các công trình của mình, A. A. Markov đã bất ngờ đi đến một phương trình Diophantine phụ (bây giờ được gọi là chúng ta có nó), có dạng

$$x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz.$$

Và bây giờ - một cảm giác! A. A. Markov đã thu được mô tả của tất cả lời giải của phương trình (1), chỉ sử dụng các phương tiện toán học phổ thông (trong số đó, định lý Vieta cho tam thức bậc hai đóng một vai trò). Nhưng trước khi chúng ta phân tích lời giải của phương trình (1), cần nói một vài từ nói chung:

Về phương trình Diophantine

Như đã biết, phương trình Diophantine cho biến số nguyên $x, y, ..., w$ là phương trình có thể rút gọn về dạng

$$P(x, y, ..., w) = 0,$$

trong đó $P$ là một số đa thức trong các biến được chỉ định có hệ số nguyên.

Đôi khi những câu hỏi tương đối đơn giản sẽ dẫn đến phương trình Diophantine. Ví dụ: giải câu hỏi làm thế nào có thể chia số lượng $n$ kopecks thành các đồng xu có mệnh giá 1, 2, 3 và 5 kopecks, chúng ta đi đến phương trình Diophantine:

$$x + 2y + 3z + 5w = n^*$$.

Rõ ràng, ở Babylon cổ đại, bài toán được sinh ra để xây dựng một tam giác vuông có các cạnh tỉ lệ theo cặp. Khả năng tương xứng của các cạnh có nghĩa là người ta sẽ tìm thấy một thang đo trong đó các cạnh huyền và cạnh huyền sẽ được biểu thị bằng các số tự nhiên $x, y$ và $z$, nhưng sau đó

$$*) О непрерывных (или целых) дробях можно прочитать в «Кванте», 1983, № 5, c. 16 и № 6, c. 26. **) О решении этого уравнения см. «Кванте», 1984, № 5, c. 11.$$

14

$$x^2 + y^2 = z^2.$$

Do đó, bài toán của Babylon bao gồm bài toán xây dựng tất cả các bộ ba số tự nhiên $x, y, z$ thỏa mãn phương trình trước đó. Những người theo trường phái Pythagore đã tìm ra cách xây dựng tất cả lời giải của nó. Nhưng có lẽ phương pháp này thậm chí còn được tìm thấy sớm hơn ở Babylon và Ấn Độ. Bằng cách này hay cách khác, các phương trình lời giải $(x, y, z)$ $x^2 + y^2 = z^2$ thường được gọi là bộ ba Pythagore).

Bài toán về việc tìm tất cả lời giải Ngay cả một phương trình Diophantine có vẻ đơn giản cũng thường phức tạp. Được biết, không có một cách thống nhất (thuật toán tổng quát) nào để tìm hiểu ngay cả khi phương trình Diophantine có lời giải là số nguyên hay không **). Việc tìm kiếm lời giải các phương trình Diophantine cụ thể vẫn tiếp tục cho đến ngày nay; ở đây, với sự trợ giúp của bộ máy phức tạp của hình học đại số hiện đại, những điều kiện quan trọng đã được đưa ra trong những năm gần đây ***). Tuy nhiên, điều thú vị hơn đối với chúng ta là phương trình Markov (1) được giải một cách cơ bản - hãy quay lại nó.

Cây phả hệ của phương trình Markov

Bộ ba số nguyên thứ tự $(a, b, c)$ được gọi là *giải của phương trình Diophantine với các biến $x, y, z$ nếu phương trình này trở thành một đẳng thức số thực sự là $x=a, y=b, z=c$. Chúng ta sẽ gọi các số $a, b, c$ lời giải $(a, b, c)$ tọa độ lời giải. Đối với phương trình Markov (1), chúng ta đồng ý chỉ xem xét những lời giải không có tọa độ bằng 0, nói cách khác, chúng ta sẽ loại trừ bộ ba $(0, 0, 0)$ khỏi lời giải (dễ dàng thấy rằng nếu một trong các tọa độ lời giải của phương trình (1) bằng 0 thì các tọa độ còn lại lời giải bằng 0).

Vế trái của (1) dương với mọi lời giải $(a, b, c)$, do đó tất cả $a, b, c$ đều dương hoặc hai

*) Về bộ ba Pythagore và khoảng lời giải của một số phương trình Diophantine khác, xem: A. O. Gelfond. Lời giải Phương trình số nguyên, tái bản lần thứ 4. - M.: Nauka, 1973. O. Ore. Lời mời đến với lý thuyết số. - M.: Nauka, 1980. - (Series: Thư viện Lượng tử).
**) Xem Kvant, 1970, số 7, tr. 39.
***) Xem Kvant, 1983, số 3, tr. 19.

trong số đó là tiêu cực. Trong trường hợp sau, việc chuyển đổi từ $(a, b, c)$ sang $(|a|, |b|, |c|)$ dẫn đến lời giải của phương trình (1) có tọa độ dương. Ngược lại, nếu tất cả tọa độ lời giải $(a, b, c)$ đều dương thì bằng cách thay đổi dấu của hai tọa độ bất kỳ, chúng ta lại thu được lời giải. Do đó, trong phần tiếp theo, không mất tính tổng quát, chúng ta sẽ chỉ xét lời giải $(a, b, c)$ với tọa độ dương.

Từ phương trình đối xứng (1), suy ra rằng nếu $(a, b, c)$ - lời giải của phương trình (1), thì nghiệm sẽ là:

$$(a, b, c), (c, a, b), (b, c, a),$$
$$(b, a, c), (a, c, b), (c, b, a),$$

nghĩa là, cùng với $(a, b, c)$, các nghiệm sẽ là tất cả các bộ ba thu được bằng các hoán vị khác nhau của tọa độ của một lời giải đã cho.

Theo quan điểm này, chúng ta có thể đồng ý rằng tất cả sáu phương trình lời giải Markov, thu được từ nhau bằng hoán vị, đều được coi là một nghiệm, nghĩa là, chúng ta giả sử rằng đối với lời giải chỉ tồn tại các giá trị của tọa độ chứ không phải thứ tự của chúng.

Phương trình Markov có lời giải (1, 1, 1) hiển nhiên. Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu làm thế nào, khi biết một số lời giải, chúng ta có thể tìm thấy lời giải khác. Nếu $(a, b, c)$ - lời giải phương trình Markov, thì chúng ta có thể nói rằng a là nghiệm của phương trình bậc hai

$$\Phi_a(x) = x^2 + b^2 + c^2 - 3bcx = 0.$$

Nhưng theo định lý Vieta thì phương trình này sẽ có thêm một nghiệm $x=a'$, sao cho

$$a + a' = 3bc, \quad aa' = b^2 + c^2.$$

Rõ ràng, $a' > 0$ và $(a', b, c)$ cũng là nghiệm của phương trình (1). Nó được gọi là giải lân cận dọc theo tọa độ a. Rõ ràng, nếu $(a', b, c)$ là lân cận của lời giải đối với $(a, b, c)$, thì $(a, b, c)$ là nghiệm lân cận của $(a', b, c)$ dọc theo tọa độ $a'$.

Tương tự, lời giải, lân cận tại tọa độ 1 lời giải $(1, 1, 1)$, được giới thiệu. Để làm được điều này bạn cần giải phương trình bậc hai

15

$$x^2 + 1^2 + 1^2 - 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot x = 0.$$

Ngoài nghiệm $x=1$, phương trình này còn có nghiệm $x=2$. Do đó, thu được lời giải (2, 1, 1) khác.
Trong phần tiếp theo, lời giải (1, 1, 1) và (2, 1, 1) sẽ đóng một vai trò quan trọng. Chúng ta hãy gọi họ, theo Markov, là số ít.

Số ít lời giải được phân biệt với tập hợp tất cả lời giải bởi thuộc tính sau.

Bài toán 1. Nếu hai tọa độ của phương trình lời giải $(a, b, c)$ Markov bằng nhau, thì trong trường hợp này và chỉ trường hợp này lời giải là số ít. Chứng minh điều đó.

Số ít đầu tiên lời giải (1, 1, 1) chỉ có một hàng xóm lời giải. Số ít thứ hai lời giải có ​​hai lân cận: một trong số chúng là (1, 1, 1), số còn lại (láng giềng dọc theo tọa độ 1), được lấy từ phương trình

$$2^2 + y^2 + 1^2 = 3 \cdot 2 \cdot y \cdot 1$$

và có dạng (2, 5, 1). Lần lượt, lời giải (2, 5, 1) có ba hàng xóm: một, tất nhiên (2, 1, 1) và hai hàng xóm mới - (13, 5, 1) và (2, 5, 29). Nói chung, mọi lời giải $(a, b, c)$ không số ít tạo ra ba cái lân cận

$$(a', b, c), (a, b', c), (a, b, c')$$

ở đâu (so sánh với (2))

$$a' = 3bc - a, b' = 3ac - b, c' = 3ab - c.$$

Bài toán 2. Nếu lời giải $(a, b, c)$ không số ít thì một trong các lân cận của nó lời giải có tọa độ tối đa nhỏ hơn và hai tọa độ còn lại có tọa độ tối đa lớn hơn. Chứng minh điều đó.

Định lý Markov. Bất kỳ lời giải nào của phương trình (1) đều được chứa bởi một số nguyên lân cận lời giải với nghiệm số ít (1, 1, 1).

Bằng chứng. Cho $(a, b, c)$ - lời giải là một phương trình Markov khác số ít. Sau đó, nó có một láng giềng lời giải $(a_1, b_1, c_1)$ với tọa độ tối đa nhỏ hơn (bài toán 2). Nếu lời giải này cũng không phải là số ít thì nó sẽ tạo ra lời giải $(a_2, b_2, c_2)$ với tọa độ tối đa nhỏ hơn, v.v. Vì không thể chỉ định một dãy số tự nhiên giảm vô hạn nên quá trình này phải kết thúc khi chúng ta đến một số lời giải $(a_n, b_n, c_n)$, có tọa độ bằng nhau, tức là (bài toán 1) số ít. Nếu là (1, 1, 1) thì định lý đã được chứng minh, nhưng nếu là lời giải (2, 1, 1), thì vẫn phải nhớ rằng nghiệm lân cận của (2, 1, 1) dọc theo tọa độ 2 sẽ là (1, 1, 1). Định lý đã được chứng minh.

Từ định lý Markov, suy ra rằng, bắt đầu từ số ít lời giải (1, 1, 1) và lần lượt chuyển sang các nghiệm lân cận có tọa độ cực đại lớn, chúng ta thu được tất cả các phương trình lời giải Markov. Thao tác này tạo ra bảng sau - cây gia phả (xem hình). Bảng này cho phép, đối với một hành động số hữu hạn $N (\geqslant 1)$ nhất định, tìm tất cả các phương trình lời giải Markov có tọa độ không vượt quá $N$.

Bài toán 3. Chứng minh rằng với mỗi lời giải của phương trình Markov thì tọa độ là cặp nguyên tố cùng nhau.

Phương trình Markov đặc biệt

Chúng ta hãy đặt ra câu hỏi sau đây, thoạt nhìn có vẻ như đối với các quốc gia. Nếu tổng bình phương của ba số tự nhiên được chia cho tích của chúng thì thương có thể bằng bao nhiêu?

Câu hỏi này tương đương với câu hỏi sau: $k$ Diophantines tự nhiên nào thực hiện phương trình

$$X^2 + Y^2 + Z^2 = kXYZ$$

(3)

16

có số khác không lời giải? Tại $k=3$ phương trình này trùng với phương trình Markov. Dễ dàng nhận thấy rằng khi $k=1$ phương trình (3) có lời giải, ví dụ (3, 3, 3). Sau khi phân tích phương trình (3), Hurwitz và Frobenus đi đến một kết quả đáng kinh ngạc: phương trình (3) có lời giải chỉ khi $k=3$ Và $k=1$. Kết quả này cũng có thể thu được bằng các phương pháp cơ bản.

Hãy bắt đầu với trường hợp $k=1$. Trong trường hợp này, hóa ra việc tìm kiếm lời giải của phương trình (3) cho $k=1$ trùng khớp với việc tìm kiếm lời giải của phương trình Markov.

Bài toán 4. Cho $A, B, C$ là số tự nhiên. Khi đó, phần còn lại của việc chia số $A^2+B^2+C^2$ cho 3 bằng số các số thứ Tư $A, B, C$ không chia hết cho 3, nếu có ít hơn ba số đó và bằng 0 trong các trường hợp khác. Chứng minh điều đó.

Bài toán 5. Tất cả các phương trình lời giải $(A, B, C)$

$$X^2+Y^2+Z^2=XYZ$$

thu được bằng công thức

$$A=3a, B=3b, C=3c,$$

trong đó $(a, b, c)$ là phương trình lời giải Markov tùy ý

$$x^2+y^2+z^2=3xyz.$$

Chứng minh điều đó.

Chúng ta hãy chuyển sang trường hợp $k=2$.

Bài toán 6. Cho $A, B, C$ là số tự nhiên. Khi đó phần dư của phép chia số $A^2+B^2+C^2$ cho 4 bằng số các số không chia của phương tiện $A, B, C$. Chứng minh điều đó.

Bài toán 7. Chứng minh rằng phương trình (3) không có lời giải cho $k=2$.

Định lý. Phương trình (3) có lời giải khác 0 chỉ cho $k=1$ và $k=3$.

Bằng chứng. Với $k=1$, lời giải phù hợp với Bài toán 5. Đối với $k=2$, phương trình (3) không có lời giải do bài toán 7. Vẫn còn phải xem xét trường hợp $k>3$.

Giả sử rằng đối với một số phương trình $k>3$ (3) có lời giải $(a, b, c)$. Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng tọa độ $a, b, c$ của lời giải này là riêng biệt theo từng cặp. Ví dụ: đặt $b=c$; thì $a^2=kab^2-2b^2=(ka-2)b^2$, nên $a=bd$, trong đó $d$ là số nguyên. Do đó $b^2d^2=(kbd-2)b^2$, $d^2=kbd-2$, $2=d(kb-d)$. Do đó, 2 chia hết cho $d$ và do đó, $d=1$ hoặc 2. Trong cả hai trường hợp, $kb=3$, điều này mâu thuẫn với điều kiện $k>3$.

Vì vậy, đối với bất kỳ lời giải nào của phương trình (3) tại $k>3$ thì tọa độ sẽ khác nhau theo từng cặp. Không có giới hạn, chúng ta thường có thể giả sử rằng $a>b>c$. Đối với lời giải $(a, b, c)$ sử dụng tam thức bậc hai

$$\Psi_a(x)=x^2+b^2+c^2-kxbc$$

tạo thành một hàng xóm tại tọa độ $a$ lời giải $(a', b, c)$. Bởi vì

$$\Psi_a(b)=2b^2+c^2-kb^2c<3b^2-kb^2<0,$$

ta thấy rằng $b$ nằm giữa các nghiệm $a$ và $a'$ của đa thức $\Psi_a(x)$, tức là $a>b>a'$. Do đó, lời giải $(a', b, c)$ có tọa độ tối đa nhỏ hơn tọa độ tối đa là lời giải $(a, b, c)$. Vì vậy, với mỗi lời giải $(a, b, c)$ chúng ta có thể xây dựng lời giải $(a_1, b_1, c_1)$ với tọa độ tối đa nhỏ hơn. Việc xây dựng này có thể được lặp lại, thu được lời giải $(a_2, b_2, c_2)$ với tọa độ tối đa thậm chí còn nhỏ hơn. Vì mỗi tọa độ lời giải khác nhau theo từng cặp nên quá trình này có thể được tiếp tục vô thời hạn và thu được chuỗi vô hạn lời giải của phương trình (3) với tọa độ tối đa ngày càng nhỏ hơn. Nhưng điều này là không thể vì tọa độ là số tự nhiên. Định lý đã được chứng minh.

Kết quả. Đối với bất kỳ phương trình lời giải $(a, b, c)$ Markov nào, các số $a, b, c$ là cặp số nguyên tố cùng nhau.

Bằng chứng. Ví dụ: nếu $a$ và $b$ có ước chung $d$ ($>1$), thì theo phương trình (1), số $d$ cũng sẽ là ước số của số $c$. Do đó, tồn tại các số tự nhiên $X, Y, Z$ cũng bằng $a=dX, b=dY, c=dZ$ và theo (1) sẽ có $X^2+Y^2+Z^2=3dXYZ$, điều này mâu thuẫn với định lý vừa chứng minh.

Tổng quát hóa trực tiếp phương trình Markov cho trường hợp biến $n$ ($n \geqslant 3$) là phương trình

$$x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2=nx_1x_2\dots x_n.$$

Dễ dàng nhận thấy rằng một số mệnh đề trên áp dụng cho trường hợp này (có một lời giải $x_1=1, x_2=1, \dots, x_n=1$ số ít, với mỗi lời giải đều có các lời giải lân cận, v.v.). Tuy nhiên, tác giả không biết rằng lý thuyết trạm biến áp hoàn chỉnh của phương trình (7) đã được trình bày ở đâu đó. Việc tìm kiếm một lý thuyết như vậy có thể trở thành nền tảng của một nghiên cứu độc lập nhỏ.

17

Vật lý 8, 9, 10

Bài báo được xuất bản dưới đây, “Về những cỗ máy đơn giản,” dành cho cuốn kinh điển thứ tám, “Dia- và thuận maznetics” dành cho cuốn kinh điển thứ chín, và “Cuộc đời của Rutherford và Hiện tượng phóng xạ” dành cho cuốn kinh điển thứ mười.
Nguyên liệu được chuẩn bị bởi N.K. Belkin.

Về máy cơ đơn giản

Sự cân bằng của cơ thể và công của các lực. Thoạt nhìn, có vẻ như hai khái niệm “cân bằng” và “công việc” không tương thích với nhau. Suy cho cùng, một lực chỉ tác dụng khi nó tác dụng lên một vật chuyển động; sự cân bằng dường như có liên quan đến việc không có chuyển động. Tuy nhiên, có một mối liên hệ giữa sự cân bằng của một cơ thể và công của các lực tác dụng lên nó. Hãy minh họa điều này bằng ví dụ về đòn bẩy.

Đòn bẩy là một trong những máy cơ đơn giản cổ xưa nhất. Như đã biết, để một đòn bẩy được cân bằng, tổng đại số các mô men của các lực tác dụng lên nó phải bằng 0:

$$F_1 d_1 = F_2 d_2,$$

hoặc $$\frac{F_1}{F_2} = \frac{d_2}{d_1}.$$

Ở đây $F_1$ và $F_2$ là các lực được biến đổi thành đòn bẩy, $d_1$ và $d_2$ là các lực phẳng (hình 1).

Tuy nhiên, điều kiện cân bằng có thể được biểu diễn khác nhau. Chúng ta sẽ giả sử rằng điểm tựa đòn bẩy $O$ là một trục cố định (chính xác hơn là hình chiếu của nó lên mặt phẳng vẽ), xung quanh đó đòn bẩy của chúng ta có thể quay. Khi bước ngoặt $a$ và $b$ tôi áp dụng

$$F_1 s_1 = F_2 s_2,$$

hoặc $$\frac{F_1}{F_2} = \frac{s_2}{s_1}.$$

Như vậy, hoạt động của đòn bẩy dựa trên các quy tắc sau:

tỉ số của lực tác dụng bằng nhau

18

tỷ lệ nghịch của độ dịch chuyển của các điểm ứng dụng của chúng.

Hoá ra quy luật này chứa đựng “bí mật” của tác dụng đòn bẩy. Ví dụ, nếu một tải được nâng lên nhờ sự trợ giúp của đòn bẩy (hình 2), thì công dương của lực $\vec{F}$ (công lên “đầu vào”) bằng công âm của trọng lực $m\vec{g}$ (công lên “đầu ra”). Nhưng từ hình 2 rõ ràng là chuyển động của tải nâng nhỏ hơn chuyển động của đầu đòn bẩy tác dụng lực $\vec{F}$. Theo công thức (3), mô hình trọng lực tác dụng lên tải trọng có cùng số lần lớn hơn $F$. Tỷ số giữa lực “đầu ra” và lực “đầu vào” (theo mô hình) được gọi là tỷ số truyền của đòn bẩy (đôi khi còn gọi là độ lợi cơ học của đòn bẩy). Như người ta nói, đòn bẩy cho phép “chiến thắng” bằng sức mạnh. Nhưng bạn phải trả giá cho mỗi chiến thắng. Và cái giá phải trả là sự “tổn thất” về độ dịch chuyển: độ dịch chuyển “ở đầu vào” lớn hơn độ dịch chuyển “ở đầu ra” gấp nhiều lần độ dịch chuyển “ở đầu ra”, và lực “ở đầu ra” lớn hơn rất nhiều lần lực “ở đầu vào”.

Quy tắc này, không chỉ áp dụng cho đòn bẩy mà còn cho tất cả các máy cơ đơn giản khác, được gọi là “quy tắc vàng của cơ học”.

Một loại máy đơn giản khác là mặt phẳng nghiêng. Công thức (3) không chỉ đúng với đòn bẩy. Một thiết bị khác, còn gọi là máy cơ đơn giản, là mặt phẳng nghiêng nhẵn. Ví dụ: nếu bạn cần nâng một vật nặng $m$ đến độ cao $h$, khi đó với chuyển động thẳng đứng đều, một lực phải tác dụng lên tải trọng bằng trọng lực của tải trọng đó $m\vec{g}$. Nhưng nếu bạn di chuyển tải trọng này đều dọc theo một mặt phẳng nghiêng có chiều dài $l$, thì có đủ lực cho việc này, ít hơn rất nhiều lần $m\vec{g}$, bao nhiêu lần $l$ hơn $h$. Do đó, mức tăng lực (số truyền) bằng tỷ lệ $l/h$. Nhưng $l/h=1/\sin \varphi$, do đó độ tăng lực đối với mặt phẳng nghiêng bằng $1/\sin \varphi$, Ở đâu $\varphi$ - góc nghiêng của mặt phẳng so với đường chân trời.

Mặt phẳng nghiêng, giống như đòn bẩy, đã được con người sử dụng từ xa xưa. Các loại mặt phẳng nghiêng cũng đã được biết đến từ lâu - nêm và vít. Cái nêm rất phức tạp với nhau

Đế là hai mặt phẳng nghiêng, trục vít là mặt phẳng nghiêng quấn quanh một thanh. Ví dụ về thiết bị vít, kích được hiển thị ở hình 3. Từ hình 3, rõ ràng là để thay tải ở độ cao $h$ (bước vít), đầu của tay cầm chịu lực phải di chuyển một đường bằng $2\pi R$, trong đó $R$ là khoảng cách từ trục vít đến đầu tay cầm. Rõ ràng là độ tăng lực trong trường hợp này bằng tỷ lệ $2\pi R/h$. Do đó, lực “đầu vào” nhỏ hơn $2\pi R/h$ lần so với lực “đầu ra”.

Một loại đòn bẩy là một khối. Một loại máy truyền thông khối đơn giản quan trọng khác. Bản thân khối cố định là một loại đòn bẩy, nhưng là một đòn bẩy tương đương, không mang lại bất kỳ lợi ích nào. Nhưng nhiều hệ khối cố định và di động khác nhau được biết đến như những thiết bị giúp cho việc thay thế lực lớn bằng lực nhỏ giống như đòn bẩy và mặt phẳng nghiêng có thể thực hiện được.

hình 4 thể hiện một hệ thống ròng rọc điển hình. Lực $F$ tác dụng lên đầu tự do của dây $A$ được truyền qua các ròng rọc dây $B$, $C$ và $D$. Mỗi người trong số họ cũng tác dụng lên tải trọng một lực $F$. chúng cùng nhau tác dụng với một lực $3F$. Như vậy, lực “ra” thứ hai lớn hơn lực “vào”. Tuy nhiên, khi tải được di chuyển đi, chẳng hạn như 1 mét, thì mỗi sợi dây $B$, $C$ và $D$ bị rút ngắn đi 1 mét, do đó đầu tự do của sợi dây $A$ phải được cắt đi 3 mét. Đây là một khoản “thanh toán” cho tiền thắng có hiệu lực.

---

Như vậy, cơ sở của mọi “kỹ thuật” của máy cơ đơn giản là đòn bẩy và mặt phẳng nghiêng. Từ xa xưa-

19

Đường kính và tham số

Như đã biết, cảm ứng từ trường trong một chất có thể được nghe thấy hoặc suy yếu so với chân không. Trong trường hợp đầu tiên, chất này được gọi là tham số, trong trường hợp thứ hai - diamagnet.*) Lý do cho tính thuận và nghịch từ là gì?

Tóm lại, bản chất của tham số có thể được giải thích như sau. Trong nguyên tử (hoặc phân tử), các electron chuyển động theo những quỹ đạo khép kín (quỹ đạo). Những chấm điện nhỏ này, được gọi là chấm phân tử, tạo ra từ trường. Trong trường hợp không có từ trường bên ngoài, do chuyển động nhiệt của các nguyên tử, các mặt phẳng quỹ đạo được định hướng ngẫu nhiên, do đó cảm ứng từ trường của chính nó do tất cả các nguyên tử tạo ra tính trung bình là bằng không.

Khi một chất được đặt trong từ trường ngoài, các mặt phẳng quỹ đạo của electron (giống như khung có dòng điện) quay một phần sao cho vectơ cảm ứng của trường tạo ra cộng vào vectơ cảm ứng của trường ngoài. Kết quả là tổng cảm ứng từ lớn hơn cảm ứng của từ trường bên ngoài.

Thời kỳ nghịch từ phức tạp hơn. Để hiểu được, chúng ta hãy nhớ lại hiện tượng cảm ứng điện từ (Vật lý 9, § 92, 93). Khi từ thông thay đổi trong mạch điện sẽ xuất hiện dòng điện cảm ứng trong mạch điện. Theo định luật Lenz, dòng điện này có hướng sao cho từ trường mà nó tạo ra làm thay đổi từ thông. Trong một mạch không có điện trở, ví dụ như trong một mạch siêu dẫn hoặc trong một “mạch” được hình thành bởi một electron chuyển động trên quỹ đạo của nó trong nguyên tử, dòng điện cảm ứng không bị phân rã. Nó tồn tại miễn là có từ trường bên ngoài tồn tại. Từ trường của dòng điện cảm ứng có hướng ngược chiều với từ trường bên ngoài nên tổng cảm ứng từ trong chất đó giảm đi.

Mỗi chất thể hiện cả hai tác dụng. Một mặt, từ trường bên ngoài định hướng quỹ đạo của các electron và hiệu ứng tổng thể của điều này bị giảm đi. Mặt khác, nó làm thay đổi tốc độ của các electron trong quỹ đạo của chúng và tác động tổng thể của điều này, theo định luật cảm ứng điện từ, bị suy yếu.

Sự giảm từ trường thường rất nhỏ, và do đó hiện tượng nghịch từ chỉ xuất hiện ở những chất mà nguyên tử của chúng không tạo ra từ trường riêng (và do đó, không có hiệu suất tham số).

Nguyên tử nghịch từ đơn giản nhất có thể được hình dung như sau: hai electron quay quanh hạt nhân theo cùng một quỹ đạo nhưng ngược chiều nhau. Trong trường hợp này, từ trường do các electron tạo ra bù trừ lẫn nhau và sự quay của mặt phẳng quỹ đạo không dẫn đến sự giảm từ trường. Nhưng hiệu quả nghịch từ được thể hiện đầy đủ. Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn.

Cho mỗi electron trong nguyên tử, khi không có từ trường ngoài, chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính $R$ với tốc độ $v_0$. Khi từ trường được bật lên sẽ xuất hiện một điện trường làm thay đổi tốc độ của electron. Giả sử bây giờ là $v$. Nếu chúng ta giả sử rằng vectơ cảm ứng từ $\vec{B}$ vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo, thì lực Lorentz, có độ lớn bằng $F_{\vec{L}}evB$, tác dụng lên electron ở trạng thái từ trường.

Hãy viết định luật II Newton về chuyển động của một electron trên quỹ đạo trước và sau khi bật sàn từ

20

Thí nghiệm của Rutherford và hiện tượng phóng xạ

Các thí nghiệm của Rutherford, được mô tả ở § 93 của Vật lý 10, có liên quan kép đến hiện tượng phóng xạ. Một mặt, trong các thí nghiệm này, các hạt alpha tích điện dương nhanh phát ra từ các chất phóng xạ được sử dụng để bắn phá các nguyên tử của các nguyên tố nặng. Do đó, phóng xạ là dành cho các thí nghiệm. Mặt khác, kết quả thí nghiệm của Rutherford dẫn đến việc tạo ra mô hình hành tinh của nguyên tử, giúp người ta có thể tiếp cận cách giải thích về chính hiện tượng phóng xạ, vốn trước đây cực kỳ bí ẩn.

Từ các thí nghiệm của Rutherford, người ta phát hiện ra rằng nguyên tử của bất kỳ nguyên tố nào đều bao gồm một hạt nhân tích điện dương, kích thước của hạt nhân này nhỏ hơn nguyên tử mười hoặc thậm chí hàng trăm nghìn lần và các electron tích điện âm tạo thành vỏ electron. Hóa ra điện tích của hạt nhân, nếu biểu thị dưới dạng điện tích của electron, lấy bằng 1, thì bằng số thứ tự của nguyên tố trong bảng tuần hoàn. Trong ký hiệu ký hiệu của hạt nhân, điện tích của chúng được biểu thị bằng một số sê-ri, được viết dưới dạng chỉ số dưới khi ký hiệu cho nguyên tố. Chỉ số trên biểu thị khối lượng của hạt nhân, được biểu thị bằng đơn vị khối lượng nguyên tử. Ví dụ, hạt nhân của nguyên tử sắt và vàng được viết tượng trưng như sau:

$$\frac{56}{26}\text{Fe}; \frac{197}{79}\text{Au}.$$

Phóng xạ là một hiện tượng hạt nhân. Quá trình xảy ra ở phần nào của nguyên tử - hạt nhân hay vỏ electron - dẫn đến sự phát xạ bức xạ phóng xạ (bức xạ alpha, beta và gamma)?

Không khó hiểu rằng tất cả đều xoay quanh lõi nguyên tử. Trước hết, điều này có thể được nhận thấy từ thực tế là một trong những loại bức xạ - bức xạ alpha - là một dòng gồm các hạt tích điện dương nhanh, và đơn giản là không có trong vỏ electron. Đúng, một loại bức xạ khác - bức xạ beta, bao gồm các electron - về nguyên tắc

21

cũng có thể đến từ lớp vỏ electron. Tuy nhiên, thứ hai, năng lượng của các hạt beta quá cao (lên tới hàng triệu electron) nên rõ ràng lớp vỏ electron không thể cung cấp năng lượng như vậy. Ví dụ, người ta đã biết rằng trong các phản ứng hóa học trong đó các nguyên tử tham gia với lớp vỏ electron của chúng, năng lượng trên mỗi nguyên tử xấp xỉ 1 eV. Năng lượng của lượng tử ánh sáng khả kiến, chắc chắn phát sinh trong lớp vỏ electron, cũng vào khoảng 1 eV. Chỉ có năng lượng của lượng tử xuyên qua các tia (chúng cũng được phát ra từ lớp vỏ electron) mới có thể đạt tới thậm chí mười nghìn electron. Lớp vỏ electron không thể truyền các electron “của riêng” nó tới các electron.

Do đó, cả hạt alpha và hạt beta chỉ có thể được phát ra do một số quá trình trong hạt nhân nguyên tử. Điều tương tự cũng có thể nói về bức xạ Gamma.

Sự biến đổi phóng xạ. Vì vậy, bức xạ phóng xạ được phát ra từ hạt nhân nguyên tử của các nguyên tố phóng xạ. Điện tích của hạt nhân bằng số thứ tự của nguyên tố trong bảng tuần hoàn. Khi đó, định luật bảo toàn điện tích suy ra rằng khi bất kỳ hạt nhân nào phát ra một hạt tích điện thì điện tích của hạt nhân đó phải thay đổi. Điều này có nghĩa là nó biến thành lõi nguyên tử của một nguyên tố khác chiếm giữ một ô khác của bảng.

Như chúng ta đã biết, hạt alpha có điện tích dương, gấp đôi điện tích của electron và có khối lượng bên trong lớn hơn đơn vị khối lượng nguyên tử. Do đó, hạt nhân phát ra hạt alpha biến thành hạt nhân của một nguyên tố nguyên tử, có số nguyên tử nhỏ hơn hạt ban đầu hai đơn vị và khối lượng của nó nhỏ hơn bốn đơn vị. Ví dụ, nếu một nguyên tố phóng xạ hoàn chỉnh có số sê-ri 84 và khối lượng nguyên tử tương đối là 218 phát ra hạt alpha thì nó sẽ biến thành hạt nhân của một nguyên tử của nguyên tố chiếm ô số 82 của bảng (đây là chì) có khối lượng nguyên tử tương đối là 214:

$$\text{Po} \rightarrow \text{Pb} + \alpha.$$

Vì hạt α đại diện cho hạt nhân của nguyên tử gel nên quá trình này có thể được viết khác:

$$\text{Po} \rightarrow \text{Pb} + \frac{1}{2} \text{He}.$$

Điều gì xảy ra, như người ta nói, chia lõi polonium thành hai phần - lõi chì và lõi gel.

Tình huống hơi khác khi hạt nhân phát ra hạt beta, tức là hạt electron nhanh. Nó không làm điện tích hạt nhân giảm mà làm điện tích tăng lên một đơn vị và,

23

Hình 1.

“khám phá” trong bức vẽ ở những vị trí rất cụ thể (tỷ lệ phần trăm còn lại phụ thuộc vào trí tưởng tượng vô tận của tác giả bài toán), và học sinh nên biết một đoạn của bức vẽ trông như thế nào, nơi có thể mong đợi một phương trình và phương trình nào nên được tìm kiếm ở đó.

Các nhà cung cấp chính của phương trình là hình tam giác và hình tròn (với dây cung, tiếp tuyến, cát tuyến) và các chất tương tự lập thể của chúng: tứ diện (hình chóp tam giác) và hình cầu. Các phần tử phụ trợ là các hình tứ giác đều một phần (hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông) và các đối tượng lập thể tương tự của chúng (hình bình hành, lăng kính). Các hình phẳng có nhiều phương trình hơn và dễ nhìn hơn, vì vậy bạn phải luôn cố gắng thu được các mảnh phẳng của bản vẽ. Hãy xem xét các mối quan hệ cơ bản được cung cấp cho chúng ta bởi hình tam giác, tứ diện, hình tròn và quả bóng.

1. Nói chung, một tam giác được xác định bởi 3 phần tử của nó (không phải bất kỳ phần tử nào). Nếu 3 phần tử đã cho xác định hoàn toàn một hình tam giác thì tất cả các phần tử khác có thể được biểu diễn thông qua chúng, điều này rất hữu ích khi biết các mối quan hệ cơ bản trong hình tam giác. Chúng ta biểu thị: $a, b, c$ - độ dài các cạnh, $a, \beta, \gamma$ - góc, $S$ - diện tích, $r, R$ - bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, $h_a, m_a, l_a$ - chiều cao, đường trung tuyến và đường phân giác vẽ từ góc $a$ (hình 1, a). Khi đó chúng ta có thể viết ra các quan hệ sau:

a) $a/\sin a = b/\sin \beta = c/\sin \gamma = 2R$ (định lý sin);
b) $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$ (định lý cosin);
c) $S = \frac{ah_a}{2} = \frac{(a+b+c)}{2} \cdot r =$
$$\sqrt{\frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2} \cdot \frac{a-b+c}{2} \cdot \frac{-a+b+c}{2}}$$
(Công thức Heron);
d) $h_a = \frac{2S}{a} = b \sin \gamma$;
e) $m_a^2 = a^2/4 + b^2 - ab \cos \gamma$
(theo định lý cosine từ $\triangle ACM$, hình 1, $\sigma$);
f) $l_a = \frac{b \sin \gamma}{\sin \left(\frac{a}{2} + \gamma\right)}$
(theo định lý sin từ $\triangle ACL$, hình 1, $\theta$).

Mối quan hệ a) - d) là cơ bản và cần được ghi nhớ. Các quan hệ e) - g) mang tính bổ trợ: chúng biểu thị độ dài đường trung tuyến và đường phân giác đi qua các phần tử chính của tam giác bằng cách áp dụng định lý sin hoặc đồng