Kvant 1985, số 10 · Trang

ISSN 0130-2221
10
1985
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Trên màu đen và trắng
những bức ảnh viizu
phần hiển thị
đầu tiên trên thế giới
điện tử
tính toán
ô tô,
được thiết kế
vào năm 1942 và được đặt tên
ABC bởi người tạo ra nó
J. Atanasov.
Lên trên về màu sắc
bản in cho thấy
“MS điện tử 1201.2”,
hiện đại
Bảng đơn Liên Xô
tích hợp sẵn
máy vi tính,
và bên dưới - hoàn toàn
nhỏ xíu
chip đơn
máy vi tính
“Điện tử C5-31.”

Tôi tự hỏi cái gì
chiếc xe cuối cùng
kích thước bưu chính
thương hiệu, theo số lượng
bộ nhớ và hiệu suất
theo nhiều bậc độ lớn
thượng đẳng
sự vụng về của anh ấy
tổ tiên
máy tính ABC.

Về lịch sử hình thành
những chiếc máy tính đầu tiên, xem bài viết
Bl. H. Sendova
và N.H. Rozova
trong căn phòng này
tạp chí.

1

TRONG PHÒNG:

2 V. A. Nhà chế tạo. Những bước đi đầu tiên của Niels Bohr trong khoa học
8 Bl. Kh. Sendov, N. Kh. Rozov. Lịch sử ra đời của máy tính
V. A. Fabrikant. Những bước đi đầu tiên của Niels Bohr trong khoa học
Bl. Kh. Sendov, N. Kh. Rozov. How the computer was born

TIN KHOA HỌC
Một loại phóng xạ khác
Science news
One more kind of radioactivity

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC
15 S. V. Gashkov. Bất đẳng thức về diện tích và chu vi của đa giác lồi
Mathematics circle
S. V. Gashkov. Bất đẳng thức về diện tích và chu vi của đa giác lồi

Trường học ở «Kvant»
21 Toán 8, 9, 10
24 trường học yêu thích bài toán
Kvant’s school
Mathematics 8, 9, 10
Selected school problems

«Kvant» cho học sinh nhỏ
25 nhiệm vụ
26 A. V. Semenov. Đào tạo: có hại, hữu ích, thú vị…
Kvant for younger school children
Problems
A. V. Semenov. Friction: harmful, useful, interesting…

Bài tập «Kvant»
29 Nhiệm vụ M946—M950; F958—F962
34 Lời giải bài toán M926—M930; F938—F942
Kvant’s problems
Problems M946—M950; P958—P962
Solutions M926—M930; P938—P942

Kính vạn hoa «Kvant»
Kvant’s kaleidoscope

Nghệ thuật lập trình
42 A. P. Ershov. Ngôn ngữ thuật toán
The art of programming
A. P. Ershov. The algorithmic language

Các phần tử bán dẫn của công nghệ máy tính
46 II. Transistor trường
Semiconduct elements in computers
II. Field transistors

Xưởng của người nộp đơn
48 A. R. Zilberman. Hãy lặp lại những rung động
College applicant’s section
A. R. Zilberman. Reviewing oscillations

Thế vận hội
52 XI Optimida toàn tiếng Nga dành cho học sinh
Olympiads
The 11th All-Russian school olympiad

Đáp số, gợi ý, lời giải
Bìa của chúng tôi (41)
«Kvant» mỉm cười (20)
Trộn (19, 24, 28, 40, 41, 55)
Trang cờ vua
Cờ vua lục giác (trang bìa thứ 3)
Answers, hints, solutions
Our cover page (41)
Kvant smiles (20)
Miscellaneous (19, 24, 28, 40, 41, 55)
The chess page
Hexagonal chess (3rd cover page)

Bàn cờ phi giáo dục được tái hiện trên trang đầu tiên của trang bìa không phải là trò đùa của nghệ sĩ. Cờ tình dục được chơi trên những bàn cờ sáu quân ba mặt như vậy. Bìa thể hiện khoảng cách ban đầu của quân đen, quân trắng đặt tương tự, hướng quân đen. Cách chơi cờ như vậy được giải thích ở giữa “Trang Cờ vua” của chúng tôi.

2

Những bước đầu tiên
Niels Bohr trong khoa học

Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
V. A. VẢI

Tôi coi công trình của Bohr là thành tựu vĩ đại nhất của tư tưởng con người.
Rutherford, 1936

Năm nay, vào ngày 7 tháng 10, nhân loại đã kỷ niệm 100 năm ngày sinh của một trong những người sáng lập ngành vật lý hiện đại, Niels Bohr. Điều quan trọng cần nhấn mạnh là những lời của Rutherford, được trích dẫn như một đoạn văn, được ông nói ra sau khi lý thuyết nguyên tử của Bohr được thay thế bằng cơ học lượng tử phức tạp. Không hề làm giảm đi công lao của Heisenberg, Schrödinger và Dirac trong việc tạo ra cơ học lượng tử, Rutherford đã nhấn mạnh một cách đúng đắn vai trò của Bohr.

Dirac, người đã hoàn thành phần lớn việc xây dựng cơ học lượng tử và đặt nền móng cho điện động lực học lượng tử, đã đánh giá vai trò của Bohr trong một bài giảng mà ông đọc năm 1975: “Tôi tin rằng sự xuất hiện ý tưởng của Bohr là bước đi hoành tráng nhất trong lịch sử phát triển của cơ học lượng tử”.

Phải nói rằng vai trò của Bohr rất độc đáo. Cái gọi là mô hình nguyên tử của Bohr ít được phổ biến, mặc dù bản thân Bohr khá hoài nghi về mô hình này và nhận ra sự mâu thuẫn của nó. Quan trọng hơn nhiều là những ý tưởng cơ bản mà Dirac đã nghĩ đến.

Bohr cũng có công lớn khi là thầy của một nhóm lớn các nhà khoa học lỗi lạc, trong đó có nhà vật lý kiệt xuất Liên Xô Landdu. Điều này không chỉ nhờ vào thiên tài khoa học vĩ đại mà còn nhờ những phẩm chất tuyệt vời của ông. Anh ấy là một người đàn ông có lòng tốt, sự thuần khiết và nghĩa vụ đặc biệt. Cả các nhà khoa học trẻ và đã thành danh đều đến Bohr. Ông đã tiến hành những cuộc thảo luận thực sự sâu sắc với họ, dẫn đến những kết quả mới quan trọng. Những lời cha nói về Bor khi anh còn nhỏ đã trở thành sự thật: “Mọi người sẽ đến Nils và lắng nghe anh ấy”.

Sinh viên, Thạc sĩ, Tiến sĩ

Năm 1903, Niels Bohr vào Đại học Copenhagen, nơi cha ông Christinan Bohr là giáo sư sinh lý học. Khóa học vật lý tại trường đại học này do Giáo sư Kristinen giảng dạy. Mối quan tâm sâu rộng và cách tiếp cận chủ đề kịp thời của ông chắc chắn đã đóng một vai trò rất lớn trong việc hình thành Niels Bohr với tư cách là một nhà vật lý.

Điều thú vị là các sinh viên đã sớm cảm nhận được Niels Bohr. Tuy nhiên, một sinh viên đã viết trong một bức thư gửi cho người anh họ của cô ấy gửi vào năm 1904: “Nói về thiên tài, tôi gặp một người trong số họ mỗi năm.

3

ngày. Đây là Niels Bohr, người mà tôi đã kể cho bạn nghe: khả năng phi thường của anh ấy ngày càng trở nên rõ ràng.”
Năm 1905, Hiệp hội Khoa học Hoàng gia Đan Mạch công bố một cuộc thi dành cho công trình vật lý hay nhất. Ý tưởng là nghiên cứu sự rung động của chất lỏng để tạo ra phương pháp xác định hệ số sức căng bề mặt (chúng ta đang nói về sự phát triển công trình của nhà vật lý nổi tiếng người Anh Rayleigh). Mái chèo đã giải quyết thành công các vấn đề lý thuyết, nhưng thí nghiệm đã được thực hiện thành công chỉ với một chất lỏng - nước. Tầm quan trọng của các kết quả lý thuyết của Bohr đã được ghi nhận bằng huy chương vàng, mặc dù đối thủ cạnh tranh của ông, cũng được trao huy chương vàng, đã phát triển một phương pháp thí nghiệm đơn giản hơn và xác định được hệ số căng bề mặt của một loạt chất lỏng.

Sau khi tốt nghiệp đại học năm 1907, Bohr tiếp cận Kristinsen để tìm chủ đề cho luận văn thạc sĩ của mình. Ông ấy khuyên tôi nên theo đuổi lý thuyết điện tử của kim loại. Bohr lắng nghe và nhanh chóng viết thư cho em trai Harald rằng công trình về lý thuyết điện tử của Lorentz đã mê hoặc ông. Nhưng niềm đam mê không ngăn được Bohr khám phá ra những thiếu sót cơ bản của lý thuyết điện tử cổ điển. Năm 1909, Bohr nhận bằng thạc sĩ và ngay lập tức bắt tay vào làm luận án tiến sĩ, đây là sự tiếp nối công trình nghiên cứu lý thuyết của ông.

Luận án tiến sĩ, được trình bày vào ngày 12 tháng 4 năm 1911, một phần, chứa bằng chứng về sự bất khả thi cơ bản trong việc tạo ra một lý thuyết về các tính chất từ ​​của vật chất dựa trên các khái niệm thuần túy cổ điển. Vì luận án chỉ được xuất bản bằng ngôn ngữ dành cho trẻ em nên kết quả của nó không được phổ biến rộng rãi, và 8 năm sau, van Leuven người Hà Lan đã tiến hành lại chứng minh tương tự (định lý Bohr-van Leuven). Điều quan trọng cần khẳng định là ở đây Bohr lần đầu tiên đã đích thân đạt đến giới hạn ứng dụng của vật lý cổ điển.

Việc bảo vệ luận án diễn ra vào ngày 13 tháng 5 cùng năm. Tuần báo “Chính trị” đã đăng một bài mô tả ngắn gọn bài phát biểu của Giáo sư Kristinsen tại buổi bào chữa này: “Ông ấy nói với phong thái nói chung là dễ chịu, kể một số câu chuyện hài hước và bày tỏ sự tiếc nuối rằng luận án của Bohr không được xuất bản bằng tiếng nước ngoài. Ở Đan Mạch chúng tôi hiếm có người có năng lực như vậy về lý thuyết điện tử, có thể đánh giá một luận văn về chủ đề này.” Người ta còn viết thêm: “Tiến sĩ Bohr, một chàng trai trẻ lanh lợi và nhút nhát, đã không tham gia tích cực vào cuộc thảo luận, điều này đã phá vỡ mọi kỷ lục do thời lượng ngắn của nó.”

Kristinsen đã đúng, và vì vậy Bohr, ngay sau khi được bảo vệ, đã vui vẻ đến Cambridge để thực tập kéo dài một năm.

Bohr tới Rutherford

Bản thân “cha đẻ của điện tử”, J. J. Thomson, đã làm việc tại Cambridge. Không có người có năng lực hơn trong lĩnh vực này khiến Bohr quan tâm. Tuy nhiên, vì một số lý do, Bohr không thể thiết lập quan hệ kinh doanh với Thomson.

Nhưng tại Cambridge, vào tháng 10 năm 1911, Bohr gặp Rutherford lần đầu tiên, người đến từ Manchest để dự bữa trưa hàng ngày ở Cavednitsa. Bohr nhớ lại: “Mặc dù tôi không thể gặp Rutherford trong dịp này, nhưng tôi vô cùng ấn tượng trước sự quyến rũ và nghị lực của anh ấy - những phẩm chất mà nhờ đó anh ấy có thể đạt được những thành tựu gần như đáng kinh ngạc ở bất cứ nơi nào anh ấy làm việc.”

N. Bohr và L. D. Landu tại “Lễ hội Archimedes” tại Đại học quốc gia Moscow.

4

Vào tháng 11, Bohr tới Manchester để thăm một trong những đồng nghiệp của cha anh. Người đồng nghiệp hóa ra là bạn thân của Rutherfort và đã giới thiệu Bohr với anh. Bohr sau này viết: “Trong một cuộc trò chuyện, trong đó Rutherford nói với sự nhiệt tình thực sự về nhiều triển vọng mới cho sự phát triển của vật lý học, ông ấy đã vui lòng đồng ý với yêu cầu của tôi rằng tôi nên tham gia vào nhóm làm việc trong phòng thí nghiệm của ông ấy sau khi tôi được cho là sẽ hoàn thành việc học ở Cambridge vào đầu mùa xuân năm 1912”. Rutherford chỉ yêu cầu thương lượng việc di chuyển với G.G. (biệt danh của Thomson) để thủ tục này không giống như kết quả của việc một nhân viên chuyển từ người quản lý này sang người quản lý khác. Theo Thomson, nó có được nó mà không gặp nhiều khó khăn.

Nếu ở Cambridge Bohr rất quan tâm đến mô hình nguyên tử của Thomson, theo đó các electron mang điện tích âm được đưa vào một đám mây mang điện tích dương “giống như nho khô trong một chiếc bánh cupcake”, thì ở Manchest, ông đã nhanh chóng giải phóng mình bằng mô hình nguyên tử hạt nhân của Rutherfor, được tạo ra chỉ một năm trước, trong đó các điện tích dương và âm dường như được đặt ở những vị trí khác nhau. Trong mô hình này, một hạt nhân nhỏ mang điện dương được bao quanh bởi một đám mây electron chuyển động theo quỹ đạo kín xung quanh hạt nhân (giống như các hành tinh quay quanh Mặt trời). Mô hình của Rutherfor có một lỗi máy chủ - nó không thể giải thích được tính ổn định của cấu trúc nguyên tử, điều này thể hiện rõ ràng ở mỗi bước.

Bohr nhiệt tình hòa mình vào bầu không khí của phòng thí nghiệm Manchester và bắt đầu cố gắng giải quyết mâu thuẫn này. Rutherford nhanh chóng đánh giá cao chiều sâu trong cách tiếp cận của Bohr và ủng hộ ông hết mình. Bohr đã có ý tưởng áp dụng cho lời giải bài toán đã chỉ ra các khái niệm lượng tử do Planck và Einstein phát triển. Tuy nhiên, người ta vẫn chưa biết Bohr lần đầu tiên làm quen với ý tưởng này ở đâu và khi nào (một chi tiết đặc trưng là trong khóa học vật lý lý thuyết của Christansen, xuất bản bằng tiếng Đức năm 1910, không có một từ nào về lượng tử!).

Tác phẩm chính của Bohr

Vào tháng 9 năm 1912, Bohr trở lại Copenhagen và tiếp tục nỗ lực áp dụng các khái niệm lượng tử vào mô hình nguyên tử hành tinh, nhưng rất khó đạt được tiến bộ. Đầu tháng 2 năm 1913, người bạn đại học của ông, nhà quang phổ Hansen, vô tình ghé thăm ông. Trước cuộc gặp này, Bohr tỏ ra không quan tâm đến cấu trúc quang phổ vạch để nghiên cứu và hấp thụ các nguyên tố khác nhau. Sau này ông nói: “Chúng được nhìn nhận giống như những hoa văn đẹp đẽ trên cánh bướm - người ta có thể ngưỡng mộ vẻ đẹp của chúng, nhưng không ai nghĩ rằng sự đều đặn trong màu sắc của chúng có thể dẫn đến

N. Bohr và W. Pauli, quan sát con quay.

5

theo dấu vết của các định luật sinh học cơ bản." Hansen đặt câu hỏi: “Lý thuyết của bạn giải thích các công thức quang phổ như thế nào?” Bohr, vào thời điểm đó, như chúng ta đã thấy, đã được đào tạo bài bản về lĩnh vực vật lý lý thuyết, đã không hiểu chuyện gì đang xảy ra. Anh ta không biết gì về bất kỳ công thức quang phổ nào. Hansen nói, “Bạn cần xem những công thức này. Họ mô tả quang phổ nguyên tử một cách đơn giản đến đáng kinh ngạc.” Bohr thực hiện lời khuyên này một cách ngạo mạn mà không coi trọng nó. Tuy nhiên, theo ông, ngay khi nhìn thấy công thức của Balmer (nhà vật lý và toán học người Thụy Sĩ) thuần túy thực nghiệm vào cuối thế kỷ 19, ông đã biểu thị một dãy tần số cho một số vạch trong vùng khả kiến của quang phổ của nguyên tử hydro. Sau đó một thời gian, các mẫu tương tự đã được phát hiện ở những phần vô hình của quang phổ hydro.

Sau khi làm quen với công thức của Balmer, mọi việc nhanh chóng diễn ra suôn sẻ và vào tháng 3 năm 1913, Bohr đã hoàn thành công trình mà ông gọi là “Về cấu trúc của nguyên tử và phân tử”. Cùng năm đó, theo gợi ý của Rutherford, nó đã được xuất bản trên tạp chí “Phylosophical Magazine” của Anh dưới dạng ba bài báo. Chúng ta sẽ hạn chế chỉ xem xét bài đầu tiên, quan trọng nhất trong “bộ ba” bài viết của Bohr - “Sự liên kết của các electron dương bằng một hạt nhân”.

Thường có khoảng cách giữa tiến độ thực tế của nghiên cứu và cách trình bày của tác giả trong bài viết cuối cùng. Nhà sinh học nổi tiếng người Mỹ, người đoạt giải Nabel Cent-Györdy đã mô tả một phần tình huống đang nổi lên bằng đồ họa (xem hình), trong đó thời gian được vẽ trên một trục và “sự thật” trên trục kia. Dòng 2 thể hiện quá trình nghiên cứu thực tế, khi các giai đoạn phát triển của “sự thật” được thay thế bằng các giai đoạn suy tàn của nó (tức là ảo tưởng) và dòng 1 lý tưởng mô tả cách trình bày quá trình tương tự trong tác phẩm cuối cùng.

Bohr, vốn là một người thẳng thắn, không thể làm được điều này, mặc dù ông đã sửa lại bài viết của mình nhiều lần. Bohr còn được đặc trưng bởi

“Lịch trình”
Szent-Gyorgy.

mà ông đề cập đến những người đi trước không thành công, những người đã cố gắng áp dụng nó để giải thích các tính chất của nguyên tử.

Phần mở đầu của bài viết hàm chứa một ý nghĩa rất quan trọng liên quan đến vai trò của hằng số lượng tử Planck trong lý thuyết nguyên tử. Ý nghĩa này mang tính chất hiện đại và gắn liền với cái gọi là chiều hướng lý thuyết. Tuy nhiên, một trong những người tiên phong trong việc áp dụng các phương pháp lý thuyết chiều trong vật lý là Rayleigh (với sự phát triển các công trình của ông, khi còn là sinh viên, Bohr đã bắt đầu hoạt động khoa học của mình).

Nếu một hệ đại lượng cơ bản nhất định được chọn, ví dụ như trong cơ học - độ dài, thời gian và khối lượng, thì thứ nguyên của các đại lượng cơ bản được viết thông qua thứ nguyên của các đại lượng cơ bản. Vì vậy, thứ nguyên của chiều dài được ký hiệu là [l]=L, sau đó thứ nguyên của diện tích [S]=L² và thể tích [V]=L³. Thứ nguyên của thời gian [t]=T, tương ứng với thứ nguyên của tốc độ [v]=LT⁻¹ và gia tốc [a]=LT⁻². Vì thứ nguyên của khối lượng [m]=M nên thứ nguyên của lực [F]=MLT⁻². Và vân vân.

Bohr thu hút sự chú ý đến thực tế là trong mô hình nguyên tử Rutherford chỉ có hai tham số - câu đố e và khối lượng electron m, từ đó không thể hình thành các đại lượng xác định cấu trúc của nguyên tử và có thứ nguyên chiều dài. Nếu chúng ta cộng hằng số Planck h thì khả năng như vậy sẽ xuất hiện.

Chúng ta hãy tái hiện lại một số tính toán còn thiếu trong bài báo của Bohr, điều này sẽ giúp hiểu được ý tưởng của ông. Trong trường hợp này, chúng ta, giống như Bohr đã làm trong các phần tiếp theo của bài viết, sẽ sử dụng cái gọi là hệ đơn vị nhà máy điện tuyệt đối (AGSE). Nó sử dụng centimet, gram và giây làm đơn vị cơ học cơ bản (do đó có các chữ cái SGS). Thứ nguyên của bí ẩn electron trong hệ này được xác định dễ dàng nhất từ ​​định luật Coulomb (định luật cơ bản của nhà máy điện), viết nó ở dạng đơn giản nhất F=e²/r²=[F]=MLT⁻²,

8

Lịch sử ra đời của máy tính

Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Bulgaria
Vl. X. SENDOV,
Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
N. X. ROZOV

Bài “Tiền sử về sự ra đời của máy tính” (xem «Kvant», 1985, số 9) nói về con đường hàng thế kỷ của con người từ việc đếm ngón tay đến máy đo số học. Bây giờ chúng ta sẽ tiếp tục hành trình xuyên suốt lịch sử - từ sự xuất hiện của ý tưởng lý thuyết về “máy đếm” cho đến việc tạo ra những chiếc máy tính thực sự đầu tiên. Giai đoạn phát triển này của công nghệ máy tính, ngay trước thời đại máy tính hiện đại, mất khoảng một thế kỷ.

Trên bờ vực của sự hiện thực hóa và điều tuyệt vời

Cuộc cách mạng công nghiệp vĩ đại, được đánh dấu bằng sự chuyển đổi dần dần nhưng ổn định từ công việc sửa chữa thủ công quy mô nhỏ sang sản xuất máy móc quy mô lớn, theo thời gian đã ảnh hưởng đến tất cả các lĩnh vực công nghệ và tạo động lực mạnh mẽ cho sự tiến bộ hơn nữa của khoa học. Đó là thời đại của những khám phá vĩ đại, những phát minh kiệt xuất, những ý tưởng hiệu quả. Sự tiến bộ cuối cùng không thể tự biểu hiện ở dạng tính toán, liên quan đến các vấn đề thương mại, công nghiệp và khoa học kỹ thuật.

Kể từ đầu thế kỷ 19, sự chú ý chính của sinh viên quan tâm đến việc tạo điều kiện và hỗ trợ tính toán là tập trung vào việc cải tiến toàn diện các thiết bị đếm ngày càng trở nên phổ biến. Mục đích chính của thiết bị đếm (ví dụ thành công nhất là máy đo số học Odner) là thực hiện độc lập bất kỳ phép tính số học nào trên các số.

Có thể tạo ra một cỗ máy không chỉ thực hiện các phép tính số học riêng lẻ mà còn “biết cách” tự động thực hiện toàn bộ chuỗi tính toán cần thiết cho lời giải bài toán nói chung không? Việc đặt câu hỏi này ngày nay có vẻ hoàn toàn tự nhiên và hợp lý, nhưng một trăm năm mươi năm trước, ngay cả suy nghĩ này cũng không tầm thường và được đánh dấu bằng việc phát hiện ra một hướng đi mới trong nghiên cứu khoa học. Người được định mệnh thể hiện và lần đầu tiên cố gắng thực hiện các chức năng

9

Ý tưởng về máy tính là của Charles Babage người Anh (1791-1871).

Một nhà toán học lỗi lạc, một kỹ sư tài năng, một nhà phát minh đa năng, một nhà khoa học tự nhiên nổi tiếng, một nhà nghiên cứu ham học hỏi, C. Babage, với nhiều sở thích và hoạt động hoàn thành, đã dành cả cuộc đời mình không mệt mỏi và kiên trì làm việc để phát triển và thiết kế máy tính.

Năm 1822, ông chế tạo một mô hình máy mà ông gọi là “máy sai phân” và bắt đầu tạo ra một máy sai phân lớn được thiết kế để tính toán các bảng khoa học và thiên văn. Tuy nhiên, công việc này chưa bao giờ được hoàn thành vì nhiều lý do.

Năm 1834, C. Babidge bắt đầu nghiên cứu sản phẩm chính của mình - một chiếc máy tính mà ông gọi là “phân tích” và được cho là có thể tự động giải quyết tất cả các vấn đề tính toán. bài toánmà các kỹ sư và nhà toán học đã gặp phải. Dự án hoành tráng về một cỗ máy như vậy, được tác giả phát triển với độ chi tiết đáng kinh ngạc, đã đi trước thời đại đến mức việc triển khai nó trên thực tế không thể không trở thành phi thực tế.

Chính xác thì bước tiến của Ch. Babidge trong sự phát triển của công nghệ máy tính? Trước hết, các máy của Babage, cả phân tích và khác biệt, được thiết kế không để thực hiện từng phép tính số học theo lệnh riêng lẻ của con người, nhận được mỗi lần sau khi hoàn thành thao tác trước đó, mà để thực hiện toàn bộ quá trình trao đổi tính toán mà không cần sự can thiệp của con người ở các giai đoạn trung gian. Hơn nữa, nếu công cụ sai phân tập trung vào một chương trình hành động không thay đổi, được xác định đầy đủ với các số cho trước, thì công cụ phân tích cho phép thực hiện các chương trình tính toán khác nhau tùy thuộc vào bài toán được xem xét. Trong ngôn ngữ hiện đại, công cụ sai phân là một máy tính chuyên dụng có chương trình cố định và công cụ phân tích là một phép tính tự động phổ quát.

Charles Babidge là tác giả của dự án máy tính phần mềm phổ thông đầu tiên.

Cần lưu ý rằng công cụ phân tích của Babage là một tập hợp các đơn vị chuyên biệt: thiết bị nhập thông tin ban đầu (dữ liệu ban đầu), thiết bị lưu trữ (bản ghi nhớ), thiết bị số học (thực hiện các phép toán trên số), thiết bị điều khiển (đảm bảo thực hiện các thao tác theo trình tự yêu cầu), thiết bị nhập thông tin đã xử lý (kết quả). Nói cách khác, cỗ máy này, tiền thân của kiến ​​trúc máy tính hiện đại, hầu như có tất cả các thành phần cấu trúc cơ bản hiện tại.

Tuy nhiên, anh ấy là một đứa trẻ ở thời đại của mình! - Công cụ phân tích, giống như tất cả các thiết bị tính toán trước nó, là (và không thể không) là một máy tính cơ học thuần túy. Rốt cuộc, hàng thế kỷ nghiên cứu trong lĩnh vực điện đã trôi qua trong nửa đầu; công việc sử dụng nó chỉ mới bắt đầu. Đó là lý do tại sao những ý tưởng tuyệt vời của Charles Babage về mục đích, cấu trúc logic và nguyên lý hoạt động của máy tính hóa ra lại mắc kẹt trong quần áo, định trước sự điên rồ

10

triển vọng của những nỗ lực đưa những cỗ máy như vậy vào cuộc sống. Tuy nhiên, ở đây cũng vậy, Ch. Babidge đang cố gắng nói một từ mới: dự án đã được thiết lập sẵn, đưa một cỗ máy tương tự vào hoạt động phải là động cơ hơi nước.

Đệ nhất phu nhân của Vương quốc Máy tính

Như lịch sử sau đó cho thấy, một trong những Ch. Ý tưởng khác của Babidge là hệ thống điều khiển máy tính sử dụng thẻ đục lỗ do ông đề xuất. Ý tưởng sử dụng những tấm thẻ có đục lỗ đáp án (thẻ đục lỗ) trở nên phổ biến sau khi nhà phát minh người Pháp Joseph Marie Jacquard (1752-1834) sử dụng chúng để tự động hóa hoạt động của máy dệt vào năm 1804. Tuy nhiên, lần đầu tiên, Ch. Babidge đã phải tham gia vào việc phát triển chi tiết nhiều vấn đề liên quan đến việc đưa dãy số và chuỗi lệnh vào máy bằng thẻ đục lỗ.

Việc điều khiển máy tính là rất/không thể nếu không có sự phát triển của lý thuyết mô tả hợp lý các tập hợp các thao tác mà máy phải thực hiện ở lời giải khác nhau bài toán. Vì vậy, sự xuất hiện của một hướng đi mới trong khoa học – lập trình – là điều tất yếu. Công lao tạo ra xu hướng này thuộc về Augusta Ada Lovelace (1815-1852), con gái của nhà thơ vĩ đại người Anh George Byron.

Lady Lovelace, người thể hiện khả năng toán học phi thường, rất quan tâm đến tác phẩm của Charles Babage và hiểu sâu sắc ý tưởng của ông. Trong ấn phẩm năm 1843 của mình, được coi là tác phẩm đầu tiên về lý thuyết lập trình, bà đã bày tỏ một số suy nghĩ và nguyên tắc vẫn giữ được ý nghĩa của chúng cho đến ngày nay, và một số thuật ngữ do ông đề xuất đã trở nên cố định trong ngôn ngữ khoa học. Về mặt lịch sử, cô cũng sở hữu chương trình cụ thể khá phức tạp đầu tiên - để tính cái gọi là số Bernoulli bằng thuật toán được phát triển đặc biệt (tất nhiên, cô không thể thử chương trình này trên thực tế do thiếu máy móc).

Nói về lập trình, người ta không thể không lưu ý thêm hai sự thật có từ thế kỷ 19 và đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong sự phát triển của ngành khoa học này. Đầu tiên là “phát minh” ra một lệnh đặc biệt của C. Babidge, ngày nay được gọi là lệnh chuyển tiếp có điều kiện (họ còn gọi là phân nhánh) và có ý nghĩa đặc biệt trong lập trình hiện đại. Lệnh này cho phép chính máy tự động xác định trình tự hoạt động tiếp theo tùy thuộc vào kết quả thu được ở một bước nhất định của công việc. Điều này mở ra khả năng hướng dẫn máy thực hiện không chỉ các hoạt động tranh luận mà còn cả các hoạt động logic.

Tuy nhiên, để tiến lên theo con đường này, cần phải phát triển một bộ máy phân tích công thức-toán học của các phát biểu logic. Lý thuyết được đề xuất vào năm 1847 bởi nhà toán học người Anh George Boole (1815-1864) và được gọi là đại số Boolean hóa ra chính xác là một bộ máy như vậy.

11

Đây là sự thật lịch sử thứ hai của thế kỷ 19, được xác định trước bởi việc sử dụng máy tính cho lời giải các vấn đề logic và tự động hóa lý luận.

Một thời hy vọng, một thời tìm kiếm

Ch. Babidge qua đời, công cụ phân tích của ông vẫn là một dự án chưa hoàn thành… Nhưng ý tưởng chính của ông - tạo ra một máy tính tự động có điều khiển chương trình để thực hiện các phép tính khoa học và kỹ thuật - đã không thể thực hiện được. Vì đó là một tầm nhìn đột phá về những nhu cầu cấp thiết của sự phát triển liên tục của nền văn minh.

Vào cuối thế kỷ này, số lượng mẫu mã và sửa đổi của máy đo số học và các thiết bị đếm khác (bàn phím, máy ghi âm, v.v.) đã tăng lên nhanh chóng và việc sản xuất và sử dụng rộng rãi chúng bắt đầu. Máy đo số học đã tạo điều kiện thuận lợi và giảm thiểu đáng kể công việc thường ngày và tiện dụng nhất - thực hiện các phép tính số học. Tuy nhiên, lời giải thực tế của bất kỳ toán học cụ thể nghiêm túc nào bài toán, thu được đáp số thực trong đó dưới dạng dữ liệu số, chủ yếu là thông thường và cần thiết trong các ứng dụng, vẫn là một khoảng cách hoàn toàn, không phải là một nhiệm vụ đơn giản và tốn nhiều công sức, đòi hỏi các nhóm máy tính lớn thành công lâu dài.

Ví dụ, một trong những vị trí chính kết nối toán học với cuộc sống là các phương trình vi phân. Đương nhiên, việc tìm kiếm lời giải (hoặc, như các nhà toán học nói, nội hóa) các phương trình như vậy là một đối tượng điển hình của công việc tính toán. Đây là những gì đã nói về điều này trong cuốn sách “Giải thích số của các phương trình vi phân”, được xuất bản chỉ cách đây nửa thế kỷ, vào năm 1932: “Người đọc nên nắm chắc ý chính: lời giải của các phương trình này trong phần lớn các trường hợp là một phép toán cực kỳ khó khăn trên thực tế, một phần tương đối lớn thời gian cần thiết để tính toán…”

Điều đó hoàn toàn rõ ràng: giải quyết mâu thuẫn ngày càng gia tăng giữa trình độ phát triển của toán học

lý thuyết lý thuyết và khả năng thực hiện nó.link Chỉ có máy tính mới có thể nhìn thấy những khó khăn to lớn trong cách thực hiện các phép tính mà công nghệ và khoa học, kinh tế và quản lý không cần đến. Những điều này trước hết giải thích rằng sự quan tâm ngày càng tăng đối với việc thiết kế máy tính, nổi lên rõ ràng vào cuối thế kỷ 19, sau đó bắt đầu tăng mạnh. Thông qua nỗ lực của từng kỹ sư, nhà vật lý, nhà toán học, nhà phát minh và thường là của cả nhóm, nhiều kết quả đáng chú ý đã đạt được. Không thể không ủng hộ rằng, ở một mức độ lớn, những kết quả này là không thể nếu không có những khám phá và nghiên cứu được thực hiện vào thời điểm đó về vật lý, cơ học, công nghệ, không có trình độ sản xuất công nghiệp và văn hóa kỹ thuật có thể tiếp cận được.

Những loại máy tính nào được thiết kế và tạo ra trong nửa đầu thế kỷ của chúng ta? Hơn nữa, chỉ liệt kê mô hình của họ sẽ chiếm quá nhiều không gian. Do đó, chúng tôi sẽ chỉ giới hạn trong danh sách ngắn gọn các tính năng cơ bản, chính của chúng và một số ví dụ.

Một nhóm lớn bao gồm các máy tính cơ điện chuyên dụng, được biểu thị bằng một máy tính cơ học, được điều khiển bởi một bộ truyền động điện và được điều khiển bằng các xung điện. Máy lập bảng (bắt đầu: máy đếm và phân tích, hoặc máy đếm và đục lỗ), được sử dụng chủ yếu để cơ giới hóa lời giải bài toán thống kê và kế toán, đã trở nên đặc biệt phổ biến. Máy lập bảng đầu tiên được phát triển vào năm 1884 bởi kỹ sư người Mỹ Herman Hollerith (1860-1929).

Máy tính cơ điện được chế tạo để tập trung vào các bài toáns thực tế quan trọng khác. Phải thừa nhận rằng một số trong số đó là những ý tưởng thiết kế hoàn hảo một cách tự nhiên hơn và cách sử dụng kỹ thuật lý tưởng. Trong số đó, phải kể đến chiếc máy đầu tiên dùng tích phân các phương trình vi phân, được phát minh bởi nhà toán học nổi tiếng Liên Xô và đồng nghiệp.

12

học giả nô lệ A. N. Krylov (1863-1945). Chúng tôi lưu ý thêm rằng vào năm 1915, công ty Ascania (Werlin) đã sản xuất một chiếc máy tính để xác định thời gian thủy triều ở bờ biển phía bắc nước Đức. Cỗ máy bao gồm một dây ren phức tạp gồm hàng trăm bánh răng bằng đồng và không cồng kềnh đến thế. Để lập lịch thủy triều trong năm, anh ấy đã phải “chuyển bánh răng” trong tám giờ - khá nhanh vào thời điểm đó. Nhưng điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là chiếc xe đã phục vụ một cách trung thực và chính xác trong suốt 60 năm - cho đến năm 1975!

Nhóm còn lại bao gồm các máy tính cơ điện phổ thông có điều khiển chương trình. Những máy này đã sử dụng một kỹ thuật mới - rơle điện từ. Máy vận hành đầu tiên trong lịch sử thuộc loại này là máy Ts-3, do kỹ sư người Đức Konrad Zuse chế tạo vào năm 1941, nhưng sự kết thúc của nước Đức dưới thời Hitler đã dẫn đến thành tựu này của khoa học Đức không nhận được danh tiếng kịp thời và không có tác động đến sự phát triển của công nghệ máy tính.

Máy móc tiên tiến nhất của nhóm này, được gọi là “Mark-1”, được tạo ra vào năm 1937-1944 dưới sự lãnh đạo của nhà vật lý người Mỹ Howard Aiken. Cô ấy đóng vai trò quan trọng trong lời giải một số vấn đề chính trong thiết kế máy tính. Dưới đây là một số đặc điểm của nó. “Mark-1” nặng 4,5 tấn, chiếm diện tích 17x2,5 m và là sự kết hợp phức tạp của một số lượng lớn rơle và các bộ phận cơ khí được kết nối bằng 800 km dây điện. Việc nhập dữ liệu ban đầu - các số có 23 chữ số nói chung (thập phân) được thực hiện bằng thẻ đục lỗ và hướng hoạt động của máy được cung cấp bằng băng đục lỗ giấy. Phép tính cộng (trừ) mất 0,3 giây, trong khi phép nhân và chia lần lượt cần 5,7 giây và 15,3 giây.

Cuối cùng, chúng ta hãy đề cập đến một nhóm máy tính analog (hoặc máy sóng liên tục) thậm chí còn lớn hơn. Hoạt động của những chiếc máy này dựa trên ý tưởng xây dựng - theo dữ liệu ban đầu - một mô hình mạch (chủ yếu là điện), sự thay đổi một trong các đặc tính vật lý (ví dụ: điện áp) sẽ xác định con sói mong muốn. Những máy này hoạt động đặc biệt tốt ở lời giải bài toán, nơi điều quan trọng chủ yếu là thu được sự thể hiện định tính hoặc đồ họa về sự thay đổi của những điều chưa biết. Tuy nhiên, chúng thực tế không phù hợp cho các tính toán đặc biệt.

Vì vậy, những thành công đạt được trong việc chế tạo máy tính là không thể phủ nhận. Tuy nhiên, những chiếc máy này không có cách nào có thể đáp ứng được nhu cầu tính toán khổng lồ đã phát triển vào giữa thế kỷ 20. Thiết kế của chúng cực kỳ tốn kém và cồng kềnh không thể chấp nhận được, tốc độ hoạt động vẫn quá thấp, dung lượng bộ nhớ rõ ràng là không đủ và việc kiểm soát quá trình tính toán hóa ra không linh hoạt trong thực tế. Sự phát triển sâu hơn nữa của công nghệ máy tính và việc sử dụng rộng rãi nó không thể được đảm bảo một cách khách quan chỉ bằng cách cải thiện việc thực hiện các ý tưởng hiện có.

Một ý tưởng mới về cơ bản là cần thiết…

“ABC” - máy tính điện tử đầu tiên

Một ý tưởng mới về cơ bản là thay thế tất cả các bộ phận cơ khí của máy, tất cả các rơle điện từ bằng các bộ phận điện tử.

14

thiết bị ngoại vi trên thẻ đục lỗ. Và việc ABC không bao giờ thành công trong hoạt động là một trong những hậu quả bi thảm của sự kiện bi thảm nhất thế kỷ chúng ta, Chiến tranh thế giới thứ hai. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng cả ý tưởng và công trình của J. Atanasov về máy tính điện tử đều đã được một số nhà khoa học biết đến, trong đó có J. Mauchly.

Những sự thật liên quan đến công việc của J. Atanasov trên máy tính điện tử chỉ được biết đến rộng rãi vào những năm 60, và một thời gian sau, ưu tiên của ông đã chính thức được công nhận.

Sau khi chiếc máy tính điện tử hoạt động đầu tiên xuất hiện vào năm 1945, một thời kỳ phát triển nhanh chóng của công nghệ điện toán điện tử đã bắt đầu. Lịch sử của thời kỳ này là một chủ đề để thảo luận riêng. Và để kết thúc bài viết này, chúng tôi muốn nhắc các bạn về chiếc máy tính điện tử đầu tiên của Liên Xô “MESM”. Nó được xây dựng vào năm 1951 dưới sự lãnh đạo của học giả Sergei Alekseevich Lebedev (1902-1974) và nhân tiện, đây là chiếc máy tính điện tử đầu tiên ở Châu Âu.

Một loại biến đổi phóng xạ nổi tiếng khác của hạt nhân nặng được tìm thấy trong tự nhiên (phân rã alpha và beta, phân hạch tự phát của hạt nhân, v.v.), một loại mới đã được thêm vào - phân rã với bức xạ của hạt nhân đồng vị carbon nặng hơn hạt nhân gel (hạt alpha).

Gần đây hơn, năm nay, các nhân viên của Viện nghiên cứu hạt nhân chung (Dubna), cũng như một nhóm các nhà vật lý người Mỹ, đã phát hiện ra một loại phân rã khác, với bức xạ từ một hạt nhân thậm chí còn nặng hơn - hạt nhân neon.

Ví dụ, đồng vị uranium có số khối 233 phân rã:

$$\begin{align*} 233U &\rightarrow 209Pb + 24Ne \\ 233U &\rightarrow 208Pb + 25Ne \end{align*}$$

— sự phân rã xảy ra khi phát ra một đồng vị neon có số khối 24 hoặc 25. Người ta vẫn chưa rõ đó là loại quá trình phân rã nào.

Xác suất của sự phân rã như vậy là rất thấp: cứ khoảng 10^{12} hạt alpha phát ra sẽ đi đến hạt nhân neon. Nếu không có sự phân rã alpha của uranium, hạt nhân uranium sẽ sống trung bình khoảng 10^{17} năm, chờ đợi sự phân rã neon của nó (chu kỳ bán rã của đồng vị uranium-233 với bức xạ hạt alpha là 1,62×10^5 năm).

Một đồng vị khác của uranium cũng phân rã - với số khối là 232:

$$\begin{align*} 232U &\rightarrow 208Pb + 24Ne \\ 232U &\rightarrow 208Pb + 25Ne \end{align*}$$

Xác suất hạt nhân neon thoát ra trong trường hợp này cũng nhỏ hơn khoảng 10^{12} lần so với xác suất hạt alpha thoát ra.

Sự phân rã tương tự của một hạt nhân khác đã được phát hiện - hạt nhân protactinium:

$$\begin{align*} 231Pa &\rightarrow 207Tl + 24Ne \\ 231Pa &\rightarrow 207Tl + 24Ne \end{align*}$$

Thalium-207 thu được được chuyển đổi thành chì-207 (thời gian tồn tại trung bình của thalium-207 là 6,8 phút) với sự phát xạ của một electron (phân rã beta). Xác suất phân rã neon của protactinium nhỏ hơn khoảng 10^{11} lần so với xác suất phân rã alpha của nó.

Như chúng ta thấy, tất cả các phân rã mới được phát hiện đều kết thúc bằng các đồng vị chì, đồng thời cũng kết thúc tất cả các chuỗi phóng xạ tự nhiên - các họ uranium, thorium và Actinium. Thiên nhiên đã tìm ra một cách khác - một giải pháp thay thế - để chuyển đổi các nguyên tố khác nhau thành chì ổn định.

TÔI Ở VỚI.

15

Bất đẳng thức về diện tích và chu vi của đa giác lồi

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. V. GASHKOV

Có lẽ người đọc biết rằng trong số tất cả các hình có chu vi nhất định, hình tròn có diện tích lớn nhất.

Nếu không, chúng tôi khuyên bạn nên đọc bài viết của V.V. Trofimov “Công chúa Dido, máy đo đường đẳng nhiệt và phim xà phòng” trên số thứ năm của tạp chí năm nay.

Ở đây chúng tôi sẽ giới thiệu cho người đọc các tính chất cực trị tương tự của các $n$-giác đều, phân biệt chúng với tất cả các $n$-giác khác, và do đó, chúng tôi sẽ thu được một số bất đẳng thức thú vị liên quan đến diện tích và chu vi của $n$-giác, bán kính của các đường tròn “nội tiếp” và “nội tiếp” cũng như các đặc điểm khác của nó. Để xây dựng và chứng minh một cách chính xác những phát biểu này, chúng ta sẽ phải xác định một số khái niệm phụ trợ và đối với các tam giác, những phát biểu được đề cập có thể được xây dựng ngay bây giờ.

Sự quản lý

1. Trong số các hình tam giác nội tiếp một đường tròn cho trước, hình tam giác đều có diện tích (và chu vi) lớn nhất.
2. Trong số các hình tam giác ngoại tiếp một hình tròn cho trước, hình có diện tích (và chu vi) lớn nhất là hình đều.
3. Trong các hình tam giác có chu vi cho trước, hình có diện tích lớn nhất là hình đều.
4. Trong số các hình tam giác có chiều cao tối thiểu nhất định, diện tích (và chu vi) lớn nhất là đều.
5. Trong số các tam giác có cạnh lớn nhất cho trước, diện tích (và chu vi) lớn nhất là đều.

Phân tích sâu hơn sẽ chứng minh các mệnh đề 1-5 cho các $n$-giác lồi tùy ý.

Đa giác lồi là gì?

Định nghĩa 1. Đa giác $P$ được gọi là lồi nếu nó nằm trên một cạnh của mỗi đường thẳng đi qua hai đỉnh liền kề bất kỳ của nó. Những đường thẳng như vậy được gọi là tiếp tuyến của đa giác $P$, do đó, tiếp tuyến là đường thẳng chứa một số cạnh của nó. Hơn nữa, chỉ các đa giác lồi mới được xem xét và sự xuất hiện của các đa giác mới được thảo luận đặc biệt.

Sự quản lý
6. Chứng minh rằng một đa giác lồi trùng với giao điểm của các nửa mặt phẳng tiếp tuyến của nó. Một nửa mặt phẳng được gọi là tiếp tuyến với $P$ nếu nó chứa $P$ và được giới hạn bởi tiếp tuyến với $P$.

7. Chứng minh rằng một đường thẳng có các điểm chung với một đa giác lồi sẽ cắt nó thành hai đa giác hoặc đi qua đỉnh của nó sao cho nó nằm hoàn toàn trên một trong các nửa mặt phẳng được xác định bởi đường thẳng đang xét.

Định nghĩa 2. Đường thẳng đi qua đỉnh của đa giác lồi sao cho nằm hoàn toàn về một phía của đường thẳng này gọi là đường hỗ trợ của đa giác đó. Mọi tiếp tuyến đều là một điểm hỗ trợ, nhưng không phải mọi điểm hỗ trợ đều là tiếp tuyến (xem hình 1).

Bài tập 8. Chứng minh một đa giác lồi có đúng hai đường thẳng hỗ trợ song song với một phương cho trước. Những đường này giới hạn dải chứa đa giác này.

Định nghĩa 3. Dải được giới hạn bởi các đường thẳng song song gọi là dải tham chiếu; dải đỡ mà ít nhất một trong các đường biên của nó tiếp tuyến được gọi là dải tiếp tuyến (xem hình 2).

16

Bạn thực sự muốn nói.
9. Chứng minh rằng một đa giác lồi trùng với giao điểm các đường tiếp tuyến của nó.
10. Chứng minh rằng một đa giác không lồi nằm trong một đa giác lồi có diện tích lớn hơn và chu vi nhỏ hơn.

Đường kính và chiều rộng của đa giác

Các khái niệm sẽ được định nghĩa ở đây là cần thiết để xây dựng một định lý tổng quát hóa các câu lệnh điều khiển trong Phần 4 và 5.

Định nghĩa 4. Đường kính của đa giác là khoảng cách lớn nhất giữa các đỉnh của nó.

Đúng 11. Chứng minh rằng khoảng cách lớn nhất giữa các điểm của a) một tam giác, 6) một n-giác tùy ý bằng đường kính của nó.

Định nghĩa 5. Chiều rộng của đa giác là chiều rộng nhỏ nhất của các sọc lớn nhất của nó.

bạn đang làm việc
12. Chứng minh rằng chiều rộng của dải đỡ bất kỳ không nhỏ hơn chiều rộng của đa giác (từ đó suy ra chiều rộng nhỏ nhất của dải đỡ bằng chiều rộng của đa giác).
Rõ ràng, chiều rộng của một hình tam giác bằng chiều cao lớn nhất của nó.
13. Chứng minh rằng chiều rộng H, đường kính D và chu vi P của một n-giác đều liên hệ với nhau bởi các đẳng thức $2n \mathrm{tg} \frac{\pi}{2n} H = P = 2n \sin \frac{\pi}{2n} D$ (nếu n lẻ), $n \mathrm{tg} \frac{\pi}{n} H = P = n \sin \frac{\pi}{n} D$ (nếu n chẵn).
Gợi ý: xem hình (3 a, 6)

Đẳng giác và các tính chất cực trị khác của đa giác đều

Hãy chứng minh định lý sau
Định lý 1. a) Trong số n-giác lồi nằm trong một đường tròn cho trước, diện tích (và chu vi) lớn nhất là n-giác đều nội tiếp đường tròn này.
6) Trong số n-giác chứa một đường tròn cho trước, diện tích lớn nhất là

(và chu vi) có một n-giác đều được mô tả xung quanh vòng tròn này.
c) Trong số n-giác có chu vi cho trước, n-giác đều có diện tích lớn nhất.

Để chứng minh định lý, chúng ta sẽ cần năm phát biểu phụ trợ mà chúng tôi cung cấp cho người đọc để chứng minh như một bài tập.

bạn đang làm việc
14. Nếu một đa giác lồi chứa một giây thì chu vi của đa giác thứ nhất lớn hơn chu vi của đa giác thứ hai.
15. a) Một đa giác đều nội tiếp trong một đường tròn có các góc bằng nhau, nghĩa là đa giác đều.
6) Một đa giác đều ngoại tiếp một đường tròn có các cạnh bằng nhau, tức là đa giác đều.
16. Trong số các tam giác có đáy và góc ở đỉnh cho trước, tam giác cân có diện tích (và chu vi) lớn nhất.
17. a) Trong các tam giác có đường tròn ngoại tiếp và góc ở đỉnh cho trước thì tam giác cân có diện tích đáy lớn nhất.
6) Trong số các tam giác có một góc ở đỉnh và một đường tròn bên ngoài tiếp xúc với đáy và kéo dài hai cạnh thì tam giác cân có đáy lớn nhất.
18. Trong số các tam giác có đáy và chu vi cho trước, tam giác cân có diện tích (và góc ở đỉnh) lớn nhất.

Cuối cùng chúng ta hãy chứng minh định lý. Hãy bắt đầu từ điểm a). Lưu ý rằng nếu n-giác không nội tiếp một khoảng bằng một hình tròn thì nội tiếp trong hình tròn này và có diện tích lớn hơn (xem Bài tập 14) thì có chu vi lớn hơn (xem hình 4). Nếu n-giác nội tiếp trong đường tròn không đều thì (xem Bài tập 15 a)) nó sẽ tìm các cạnh không bằng nhau liền kề, trên hình 5 được ký hiệu là AB và BC. Gọi B’ là trung điểm của cung AC (xem hình 5). Khi đó B ≠ B’, |AB’| = |B’C| và từ Bài tập 16, n-giác được hiển thị trong hình 5 với đỉnh B’ cùng với B

18

Hình 8.

Đối với những gì tiếp theo, chúng ta sẽ cần một số khái niệm phụ trợ thú vị. Đoạn văn sau đây được dành cho phần trình bày của họ.

Pha trộn và đối xứng đa giác

Các khái niệm trình bày dưới đây được đưa vào hình học bởi G. Minkowski, người đã sử dụng chúng trong các nghiên cứu nổi tiếng của ông về các tập lồi.

Định nghĩa 6. Hỗn hợp (một nửa tổng) của hai tập hợp chính xác là tập hợp trung điểm của tất cả các đoạn có các đầu cuối thuộc tập hợp đó (một đầu thuộc tập thứ nhất, đầu kia thuộc tập thứ hai). (Tại hình 8, hỗn hợp các đoạn AB và CD được hiển thị.)

Bài tập 19. a) Hỗn hợp các đường thẳng song song là đường thẳng chia đôi các đường thẳng nằm giữa chúng.

6. Hỗn hợp các đoạn thẳng song song là đường giữa của hình thang (hình bình hành) được tạo bởi các đoạn thẳng đó.

b) Hỗn hợp các dải song song có chiều rộng $H_1$ và $H_2$ là dải có chiều rộng $\frac{H_1+H_2}{2}$ song song với chúng.

d) Hỗn hợp các đường tròn có bán kính $R_1$ và $R_2$ là đường tròn có bán kính $\frac{R_1+R_2}{2}$.

20. Dải tham chiếu trộn hai đa giác là hỗn hợp các dải tham chiếu của các đa giác này song song với nó.

Tuyên bố sau đây bài toán rất quan trọng cho những gì tiếp theo.

Bài toán 2. Hỗn hợp của hai đa giác $P_1$ và $P_2$ là một đa giác $P$, với mỗi cạnh của nó có một cạnh song song với nó là một trong các đa giác $P_1$ hoặc $P_2$ và đối với bất kỳ cạnh nào

20

NỤ CƯỜI SỐ LƯỢNG

Niels Bohr và Tạp chí Vật lý vui nhộn

Năm 1935, nhân dịp sinh nhật lần thứ 50 của Niels Bohr, nhân viên của viện trưởng Viện Vật lý Lý thuyết đã xuất bản tập đầu tiên của tuyển tập sách hướng dẫn “Tạp chí Vật lý Jcular”. Lời nói đầu của tuyển tập đã nêu:

“Sự kiện trọng đại mà chúng ta đang chuẩn bị kỷ niệm là một dịp tuyệt vời để cuối cùng thực hiện bước đi đã được chuẩn bị sẵn bởi sự phát triển nhanh chóng của khoa học của chúng ta và trong đó nhu cầu tổ chức và hợp pháp hóa một lĩnh vực vật lý khá cũ - Vật lý Jocular - đã bị bỏ qua từ lâu. Vì những lý do vẫn chưa được làm rõ, nó vẫn tạo ra một sự tồn tại khốn khổ trong bối cảnh chung của sự phát triển nhanh chóng của khoa học. Như biện pháp đầu tiên, chúng tôi đã tiến hành xuất bản bộ sưu tập này, đánh dấu sự ra đời của một tạp chí định kỳ mới, và nó sẽ được dành tặng dành riêng cho khía cạnh hài hước của cuộc sống đa diện của thế giới vật lý.”

Bộ sưu tập thực sự đã trở thành định kỳ và được xuất bản… 10 năm một lần (tập thứ hai được xuất bản nhân kỷ niệm 60 năm N. Bohr, tập thứ ba nhân kỷ niệm 70 năm). Một tuyển tập tương tự mang tên “Tạp chí Vật lý chưa rõ ràng” được phát hành nhân kỷ niệm 50 năm nhà vật lý người Anh P. Peierlas. Ở đây chúng tôi đặt hai tài liệu từ những bộ sưu tập này.

N. Bohr và người phương Tây

Niels Bohr thích đi xem phim, và trong tất cả các thể loại mà ông chỉ nhận ra một thể loại - cao bồi miền Tây. Thật khó để tưởng tượng điều gì đã thu hút Bohr đến với những bức tranh này. “Tôi có thể dễ dàng thừa nhận,” anh nói, “rằng nữ anh hùng xinh đẹp, đang chạy trốn để lấy mạng, có thể gặp nguy hiểm.”

dọc theo một con đường núi đầy lá và nguy hiểm. Ít có khả năng xảy ra hơn nhưng vẫn có khả năng là nơi phía trên vực thẳm sẽ sụp đổ ngay lúc cô bước lên đó. Rất khó có khả năng vào giây phút cuối cùng cô ấy sẽ tóm được một ngọn cỏ và treo mình trên vực thẳm, nhưng tôi thậm chí có thể đồng ý với khả năng này. Nó đã rất khó khăn rồi

nhưng bạn vẫn có thể tin rằng đúng lúc đó chàng trai đẹp trai sẽ đi ngang qua và giúp đỡ người phụ nữ bất hạnh. Nhưng đối với một người quay phim cầm máy ảnh xuất hiện vào lúc đó, sẵn sàng ghi lại tất cả những sự kiện thú vị này lên phim—xin lỗi, tôi không tin điều đó!”

21

Matematika
8, 9, 10

Ghi chú được công bố dưới đây là dành cho học sinh lớp mười. Tuy nhiên, phần đầu tiên của nó có thể hữu ích cho học sinh lớp 8 và lớp 9.

Vectơ trong bài toán hình học

1. Tính song song và tỷ lệ của các phân đoạn

Bài toán 1. Điểm K, L, M, N là trung điểm các cạnh BC, CD, DE, EA của ngũ giác ABCDE, điểm P và Q là trung điểm của các đoạn KM và LN. Chứng minh hai đoạn thẳng PQ và AB song song và tìm tỉ số độ dài của chúng (trang 1).

Hãy để chúng tôi dịch câu lệnh bài toán sang ngôn ngữ vector.

Sự song song của các đoạn PQ và AB được viết bằng đẳng thức $\overrightarrow{PQ} = k \cdot \overrightarrow{AB}$, trong đó $k$ là một số thực. Sau khi tính $k$, ta tìm được tỉ số độ dài của các đoạn PQ và AB.

Công thức chính trong lời giải của bài toán này hóa ra là $\overrightarrow{OZ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{OY})$, trong đó $Z$ là trung điểm của đoạn XY và $O$ là một điểm tùy ý.

Lời giải. $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OL} + \overrightarrow{ON}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{OM}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OE})\right) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.

Suy ra hai đoạn PQ và AB song song và tỉ số của chúng là $\frac{1}{4}$.

Trong lời giải đã cho, chúng tôi đã sử dụng “công thức sai phân” hai lần

$\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}$, cho phép bạn biểu diễn bất kỳ vectơ nào theo các vectơ được vẽ từ cùng một điểm.

Dưới đây là một số ví dụ về cách viết cùng một câu lệnh bằng ngôn ngữ hình học và vectơ:

1. Các điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng.
2. Điểm M chia đoạn AB liên quan đến $|AM|:|MB| = l:k$
3. M là giao điểm các đường trung tuyến (trọng tâm) của tam giác ABC.
4. ABCD - đường song song.

Trong hai trường hợp cuối, các câu lệnh hình học và vectơ là tương đương với điều kiện là các điểm A, B, C không nằm trên cùng một đường thẳng.

Bài toán 2. Chứng minh rằng trung điểm hai đáy và giao điểm của các đường chéo của hình thang cùng nằm trên một đường thẳng (Hình 2).

Lời giải. Gọi M, N là trung điểm BC và AD của hình thang ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Từ sự đồng dạng của các tam giác AOD và BOC ta có: $\frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OD|}{|OB|}$. Chỉ định những điều này

22

2. Tâm của hệ thống điểm

Khái niệm trọng tâm có thể dễ dàng được chuyển từ một tam giác sang một hệ điểm hữu hạn tùy ý trong không gian:

Điểm M được gọi là trọng tâm của hệ gồm n điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$ nếu $\overrightarrow{MA}_1 + \overrightarrow{MA}_2 + \dots + \overrightarrow{MA}_n = \overrightarrow{0}$.

Sử dụng công thức sai phân, đẳng thức cuối cùng có thể được viết lại như sau: $(\overrightarrow{OA}_1 - \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OA}_2 - \overrightarrow{OM}) + \dots + (\overrightarrow{OA}_n - \overrightarrow{OM}) = \overrightarrow{0}$ (O là điểm tùy ý),

$\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_n - n \cdot \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{0}$,

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{n} (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_n)$.

Từ công thức cuối cùng, suy ra rằng mọi hệ điểm hữu hạn đều có một trọng tâm. Hơn nữa, trọng tâm của một hệ gồm một điểm chính là điểm này, trọng tâm của một cặp điểm là chính giữa đoạn nối chúng. Việc tìm trọng tâm của một số lớn được tha thứ theo nguyên tắc sau: nếu $M_1$ là trọng tâm của hệ k điểm $A_1, A_2, \dots, A_k$, và $M_2$ là trọng tâm của hệ l điểm $B_1, B_2, \dots, B_l$ và các hệ này không có điểm chung thì trọng tâm của hệ k + l điểm $A_1, A_2, \dots, A_k, B_1, B_2, \dots, Bl$ là điểm M thuộc đoạn $M_1M_2$ và chia nó trong quan hệ $|M_1M_2| = l:k$.

Thật vậy, hãy để $k \cdot \overrightarrow{M_1M} = l \cdot \overrightarrow{MM_2}$.

Sử dụng công thức sai phân, ta có:

$k (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OM}_1) = l (\overrightarrow{OM}_2 - \overrightarrow{OM}_1)$,

$k \cdot \overrightarrow{OM} - k \cdot \overrightarrow{OM}_1 = l \cdot \overrightarrow{OM}_2 - l \cdot \overrightarrow{OM}_1$,

$(k + l) \cdot \overrightarrow{OM} = k \cdot \overrightarrow{OM}_1 + l \cdot \overrightarrow{OM}_2$,

$\overrightarrow{OM} = \frac{k}{k + l} \overrightarrow{OM}_1 + \frac{l}{k + l} \overrightarrow{OM}_2$.

Theo công thức (1)

$\overrightarrow{OM}_1 = \frac{1}{k} (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_k)$,

$\overrightarrow{OM}_2 = \frac{1}{l} (\overrightarrow{OB}_1 + \overrightarrow{OB}_2 + \dots + \overrightarrow{OB}_l)$,

Vì thế

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{k + l} (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_k)$,

và chúng tôi đã có được thứ chúng tôi cần.

Áp dụng nguyên lý này cho ba đỉnh của một tam giác, ta thấy trọng tâm của tam giác nằm trên

23

một đoạn nối đỉnh với tâm của hai đỉnh khác, tức là với điểm giữa của cạnh đối diện và chia đoạn này theo tỷ lệ 2: 1, tính từ đỉnh. Điều này dẫn đến định lý nổi tiếng về phép đo mặt phẳng: các đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm và được chia cho điểm này theo tỷ lệ 2:1, tính từ các đỉnh.

Người ta chứng minh tương tự rằng các đoạn nối các đỉnh của một tam giác với trọng tâm của các mặt đối diện cắt nhau tại một điểm—trọng tâm của tam giác—và tại điểm này được chia theo tỷ lệ 3:1, tính từ các đỉnh.

3. Tính khoảng cách và góc

Sau khi đã cho bộ ba vectơ không đồng phẳng trong không gian - một cơ sở, có thể mở rộng bất kỳ vectơ nào vào cơ sở này một cách duy nhất. Biết tích vô hướng của các vectơ cơ sở, chúng ta có thể dễ dàng tính tích vô hướng của bất kỳ vectơ nào, cũng như độ dài và góc giữa chúng.

Nhiệm vụ 4. Cho $\vec{a}\vec{b} = 1$, $\vec{a}\vec{c} = 2$, $\vec{b}\vec{c} = 0$, $\vec{a}^2 = \vec{b}^2 = 4$, $\vec{c}^2 = 2$.

Tìm $|\vec{p}|$, $|\vec{q}|$, $(\vec{p}, \vec{q})$ nếu $\vec{p} = 2\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{q} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Lời giải: Hãy viết lại các điều kiện bài toán dưới dạng “bảng nhân” (Bảng 1). Chúng tôi tìm thấy: $|\vec{p}| = \sqrt{\vec{p}^2} = \sqrt{(2\vec{a} - \vec{b})^2} = \sqrt{4\vec{a}^2 - 4\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{16} = 4$;

$|\vec{q}| = \sqrt{\vec{q}^2} = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{c} + 2\vec{b}\vec{c}} = \sqrt{16} = 4$.

Từ định nghĩa tích vô hướng ta có:

$$\cos(\vec{p}, \vec{q}) = \frac{\vec{p}\vec{q}}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|} = \frac{2(\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{16} = \frac{2\vec{a}^2 + \vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{c} - \vec{b}^2 - \vec{b}\vec{c}}{16} = \frac{9}{16},$$

từ đâu $(\vec{p}, \vec{q}) = \arccos \frac{9}{16}$.

Bài toán 5. Đáy của đặc điểm $ABCA_1B_1C_1$ là hình tam giác đều. Cạnh bên $AA_1$ lớn gấp đôi cạnh của đế và tạo thành các góc $A_1AB = 90^\circ$, $A_1AC = 60^\circ$. O là tâm tam giác $ABC$. Tìm trên đường $CC_1$ một điểm $K$ sao cho đường thẳng $B_1K$ và $A_1O$ vuông góc.

Lời giải. Vị trí của điểm $K$ trên đường thẳng $CC_1$ được xác định bởi giá trị của hệ số $x$ trong đẳng thức $\vec{C}_1\vec{K} = x \cdot \vec{C}_1\vec{C}$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $a$ độ dài cạnh của cơ sở nhận biết, chọn làm cơ sở bộ ba vectơ $\vec{m} = \vec{AB}$, $\vec{n} = \vec{AC}$, $\vec{p} = \vec{AA}_1$ (hình 5), sau đó chúng ta biên soạn một “bảng nhân” (Bảng 2).

Chúng ta hãy phân tách các vectơ $\vec{A}_1\vec{O}$ và $\vec{B}_1\vec{K}$ thành cơ sở $(\vec{m}, \vec{n}, \vec{p})$: $\vec{A}_1\vec{O} = \vec{A}_1\vec{A} + \vec{A}O = -\vec{p} + \frac{1}{3}(\vec{m} + \vec{n}) = \frac{1}{3}(\vec{m} + \vec{n} - 3\vec{p})$, $\vec{B}_1\vec{K} = \vec{B}_1\vec{A}_1 + \vec{A}_1\vec{C}_1 + \vec{C}_1\vec{K} = \vec{m} + n - x\vec{p}$. Viết ra các điều kiện vuông góc với các số nguyên tố $A_1O$ và $B_1K$:

$(\vec{m} + \vec{n} - 3\vec{p})(-\vec{m} + \vec{n} - x\vec{p}) = 0$, chúng tôi thu được bằng cách sử dụng bảng 2: $11a^2x - 3a^2 = 0$, từ đâu $x = \frac{3}{11}$.

Bài tập

1. Trong khối địa hình $ABCD$ các điểm $E$ và $F$ là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn thẳng $CE, DE, AF$ là các đỉnh của hình bình hành.

2. Điểm $A, B, C, D, E, F$ không nằm trong cùng một mặt phẳng. Chứng minh rằng nếu các đường thẳng $AB$ và $DE, BC$ và $EF, CD$ và $AF$ song song thì $|AB| = |DE|, |BC| = |EF|, |CD| = |AF|$.

3. Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm đáy của các tứ giác của hình bình hành cắt nhau tại một điểm. Họ chia sẻ quan điểm này ở khía cạnh nào?

4. Chứng minh rằng trung điểm của các tứ giác được thảo luận ở bài tập trước là các đỉnh của hình bình hành.

24

Tìm tỉ số diện tích của hình bình hành này với diện tích đáy của hình gốc.

5. Đáy của prima $SABCD$ là một hình vuông, mỗi cạnh bên có kích thước gấp đôi cạnh của đế. Tìm góc giữa hai đường thẳng SM và BN, trong đó M và N là trung điểm của các cạnh AB và SC.

6*. Tiếp điểm a và b cắt nhau tại điểm O. Từ một điểm M tùy ý khác O, các đường thẳng MA và MB vuông góc với các đường thẳng a và b. Từ điểm A và B, các đường vuông góc $AA_1$ được hạ xuống đường thẳng b và $BB_1$ lên đường thẳng a. Chứng minh điều đó.

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Với n tự nhiên nào thì phân số $\frac{8n+71}{5n+46}$ có thể rút gọn được?

2. Giải phương trình $x^2 + \frac{9x^2}{(x+3)^2} = 16$.

3. Một đường tròn bán kính R có hai đường kính có góc giữa chúng bằng a. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đáy các đường vuông góc rơi từ một điểm tùy ý trên đường tròn đến các đường kính này không phụ thuộc vào vị trí của điểm trên đường tròn, hãy tìm nó.

4. Chứng minh rằng số $n^2+5n+16$ không chia hết cho 169 với mọi số tự nhiên n.

5. Vẽ một hình vuông nếu cho 4 điểm: một điểm trên mỗi đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông.

lớp chín
6. Phân tích nhân tử của biểu thức $(1+x+x^2+x^3+\dots+x^n)^2-x^n$, trong đó n là số tự nhiên, n ≥ 3.

7. Các đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm H. Biết rằng $|HC|=|AB|$. Tìm góc ở đỉnh C.

8. Trong không gian dữ liệu có hai đường thẳng a và b. Vẽ một đường thẳng cắt cả hai đường thẳng đã cho và: a) đi qua điểm M cho trước không nằm trên a và b; b) song song với đường thẳng l đã cho. Trong trường hợp nào lời giải có thể xảy ra?

9. a) Trong điều kiện nào các đường thẳng $y=k_1x+b_1$ và $y=k_2x+b_2$ vuông góc?

6. Tìm khoảng cách ngắn nhất từ ​​điểm parabol $y=x^2-8x+16$ đến đường thẳng $y=-2x+1$.

10. Trong không gian dữ liệu có hai đường thẳng a và b cắt nhau. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn AB có độ dài d cho trước sao cho A ∈ a, B ∈ b.

lớp mười
11. Làm thế nào để đặt một hình tứ giác đều trong không gian sao cho hình chiếu trực giao của nó lên một mặt phẳng cho trước có diện tích lớn nhất? Tìm giá trị của mặt phẳng này nếu cạnh của tứ giác có độ dài a.

12. Giải phương trình $\log_2^2(x+y)+\log_2^2(xy)+1=2\log_2(x+y)$.

13. Chứng minh công thức Simpson: diện tích trống của tiết diện một vật thể theo mặt phẳng $P_x$ được vẽ vuông góc với trục tọa độ Ox đi qua điểm này với tọa độ x, được biểu thị tại $x \in [a; b]$ bởi một đa thức trong x không lớn hơn bậc ba (vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $P_a$ và $P_b$); thì thể tích của vật V có thể được tính bằng công thức

$$V = \frac{h}{6} (S_a + 4S_{cp} + S_b),$$

trong đó h = b - a, $S_a = S(a)$, $S_b = S(b)$, $S_{cp}$ là diện tích của phần “giữa” - phần của mặt phẳng $P_{(a+b)/2}$, tương ứng với tọa độ $x_0 = (a+b)/2$.

14. Cho một hình chữ nhật song song, đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh 10, cạnh $AA_1$ có độ dài 40. Gọi P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của CD, E là điểm thuộc PQ và cách cạnh AB một khoảng bằng 1. Tìm độ dài đường đi ngắn nhất đi dọc theo bề mặt song song này và nối điểm E với điểm F, đối xứng với điểm E so với tâm song song

15. Giải phương trình $\sqrt{a-x}+\sqrt{b-x} = \sqrt{a+b}-2x$.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi V. M. Ivlev

Góc sưu tầm

Niels Bohr và nhà sưu tập tem

Có mười ma trận và khối bưu điện dành riêng cho Albert Einstein. “Số phận sưu tầm” của một nhà vật lý kiệt xuất khác của thế kỷ 20, Niels Bohr và Bohr, lại diễn ra khác. Con tem duy nhất có chân dung của Bohr được phát hành tại quê hương ông, Đan Mạch, vào năm 1963, để vinh danh nền tảng 50 năm tuổi của lý thuyết cấu trúc nguyên tử. Nó cũng thể hiện mô hình giản đồ của nguyên tử hydro và cung cấp công thức xác định năng lượng của các photon phát ra: $hv=E_2-E_1$.

Chúng tôi tái sản xuất thương hiệu này ở đây.

V.R.

Nhiệm vụ

1. Sắp xếp lại hai kết quả phù hợp để phương trình hiển thị ở hình trở thành đúng.

2. Biểu thức G·R·U·Z·I·YA / T·B·I·L·I·S·I’ là gì, nếu chữ cái tương ứng với các số và các chữ cái giống nhau có cùng số và các chữ cái khác nhau có số khác nhau?

3. Một buổi tối mùa thu đẹp trời, tôi đang đi bộ đến ga dọc theo một con đường quê. Bùn bay ra từ dưới ủng của tôi đọng lại trên ống quần của tôi. Đến ga, tôi phát hiện bên trong quần mình bẩn tới đầu gối. Nhưng bùn bắn tung tóe không cao đến thế. Tại sao tôi lại trở nên bẩn thỉu như vậy?

4. Số 6116 có tính chất sau: cho dù bạn lấy cặp chữ số nào thì chữ số cuối cùng của tổng của chúng cũng bằng chữ số cuối cùng của tổng hai chữ số còn lại. Có bao nhiêu số có bốn chữ số có tính chất này?

5. Tôi bọc khối lập phương của trẻ em bằng giấy sạch, chia mỗi cạnh thành bốn ô vuông và cố gắng viết một số nguyên vào mỗi ô vuông sao cho tổng của số này và bốn số trong các ô vuông liền kề sẽ bằng 13 (xem hình; các ô vuông liền kề là những ô có một cạnh chung). Tuy nhiên, không có gì làm việc cho tôi. Có lẽ bạn sẽ thành công? Hay điều này là không thể thực hiện được?

Những nhiệm vụ này được đề xuất cho chúng tôi bởi: Seryozha Altunji, học sinh lớp 7, L. A. Shteingari, A. P. Savin, M. I. Muzafarov, V. V. Proizvolov.

27

Trenitsa: có hại, hữu ích, thú vị…
A. V. SEMENOV

Bạn đã bao giờ xem danh mục xe trượt tuyết của bạn mình chưa? Tất nhiên - vâng. Và, tất nhiên, bạn đã nhận thấy rằng trượt một chiếc xe trượt tuyết trên băng là một niềm vui, trên tuyết thì cần thiết hơn, và nếu bạn đi qua đường nhựa trơ trụi, không có tuyết thì việc kéo chiếc xe trượt đó thật khó khăn. Và tại sao? Chắc hẳn mọi người sẽ trả lời ngay: cần phải luyện tập thêm khi di chuyển trên đường nhựa. Và anh ấy sẽ đúng. Nhưng hãy xem xét đào tạo chi tiết hơn một chút.

Bạn nghĩ sao, nếu các bề mặt tiếp xúc không chuyển động thì giữa chúng có thể có lực căng không? Hãy suy nghĩ cẩn thận, tham khảo kinh nghiệm hàng ngày của bạn…

Tất nhiên là có thể. Nếu không có lực ma sát, chúng ta sẽ không thể đứng được dù trên một ngọn đồi hơi bằng phẳng; không vật nào có thể đứng trên mặt phẳng nghiêng - do tác dụng của trọng lực, nó sẽ trượt xuống. Chính sự rèn luyện đã cản trở chúng ta khi chúng ta cố gắng di chuyển một vật nào đó. Kiểu luyện tập này được gọi là luyện tập nghỉ ngơi, trái ngược với ma sát trượt, xảy ra khi các bề mặt chuyển động tương đối với nhau.

Vì vậy, khi một cơ thể, chẳng hạn như một chiếc hộp, đang đứng trên sàn, và chúng ta đang cố gắng gặp nó, chúng ta sẽ bị sức mạnh của hòa bình chế ngự. Khi chúng ta thành công và chiếc hộp chuyển động dọc theo sàn thì lực ma sát trượt tác dụng.

Có sự khác biệt đáng kể giữa ma sát nghỉ và ma sát trượt. Độ mạnh của ma sát nghỉ phụ thuộc vào lực mà chúng ta tác dụng lên vật, cố gắng di chuyển nó khỏi vị trí của nó. Chúng ta tác dụng một lực nhỏ - và lực ma sát tĩnh nhỏ, vừa đủ để cân bằng lực tác dụng. Chúng tôi tăng cường độ - và cường độ ma sát nghỉ tăng lên. Nhưng với một chút nỗ lực, tôi đã lấy được chiếc hộp ra khỏi đường đi; nó trượt trên sàn. Trong trường hợp này, lực ma sát trượt thực tế không đổi và bằng lực ma sát tĩnh cực đại. Việc nhìn thấy thi thể khó đến mức nào? Nói cách khác, sức mạnh lớn nhất của sự tĩnh lặng là gì? Nó phụ thuộc vào cái gì?

Các nhà khoa học đã suy nghĩ về những câu hỏi này (và về đào tạo nói chung là gì) từ nhiều thế kỷ trước. Những phản ánh về lực ma sát được tìm thấy trong các ghi chú của Leonardo da Vinci. Nhưng cấu trúc của đáp số, dưới dạng định luật, được hình thành vào năm 1699 bởi nhà vật lý người Pháp Amonton. Một trăm năm sau Amonton, các định luật về lực căng đã được Coulomb khám phá lại và ngày nay chúng thường được gọi là định luật Amonton-Coulomb.

Nguyên tắc chính của các định luật này có thể được phát biểu như sau: lực ma sát tĩnh cực đại ($f_{\max}$) giữa các bề mặt của hai vật tỷ lệ thuận với độ lớn của lực ($N$) mà hai vật ép vào nhau:

$$f_{\max} = \mu N.$$

Đối với một hộp đứng trên sàn, lực $N$ bằng trọng lực, trên mặt phẳng nghiêng lực ép sẽ nhỏ hơn và lực ma sát tương ứng cũng nhỏ hơn. Hệ số tỷ lệ $\mu$ phụ thuộc vào vật liệu làm nên bề mặt và cách chúng được xử lý. Điều đáng ngạc nhiên là lực ma sát không phụ thuộc vào diện tích bề mặt của quá trình ma sát.

Nói về ma sát, chúng ta luôn nhấn mạnh đến “tác hại” của hành động của nó: do ma sát, không khí bị hư hỏng, lốp số tự động bị mòn, các bộ phận của máy bị mòn. Họ đang đấu tranh với việc huấn luyện có hại này và cố gắng giảm bớt nó. Nhưng việc đào tạo thực sự hiệu quả hơn, hiệu quả hơn và hữu ích hơn.

Trước hết là nhờ lực ma sát mà bạn và tôi có thể đi được trên mặt đất. Hãy nhớ rằng: việc đi bộ xuống đường địa ngục có thể khó khăn biết bao. Tất cả điều này xảy ra do lực ma sát trong quá trình chuyển động giảm: trên băng ít hơn trên đường nhựa. Và chỉ nhờ đào tạo

28

Khi một vật nằm trên một mặt phẳng nằm ngang thì lực ép nó lên mặt phẳng này bằng trọng lực. Nếu bề mặt không nằm ngang mà tạo một góc nào đó với trọng lực thì góc này càng lớn ($a_2 > a_1$ và $N_2 < N_1$) thì lực ép càng nhỏ. Và theo đó, mặt phẳng nghiêng càng lớn thì lực trượt ($F_{τp_2} < F_{τp_1}$) càng nhỏ.

Tủ không chuyển động cho đến khi lực “chuyển động” tác dụng lên nó bằng μN. Cho đến thời điểm này, lực đứng yên luôn cân bằng với cảnh “chuyển động”, còn tủ vẫn đứng yên.

Chúng ta có thể leo cầu thang sao cho chân không trượt trên bậc và tay không trượt trên lan can.

Ở hình ở trang 26, họa sĩ cố gắng chứng tỏ điều gì sẽ xảy ra nếu lực ma sát đột ngột biến mất. Nhưng anh đã không thể lường trước được hết hậu quả của vụ mất tích thực sự thảm khốc này. Hãy tự mình suy nghĩ những gì người nghệ sĩ đã không lường trước được.

Không còn nghi ngờ gì nữa, đây là một lý thuyết điên rồ, nhưng câu hỏi đặt ra là liệu nó có đủ điên rồ để trở thành sự thật hay không!

N. Bor

… Quá trình sản xuất phô mai phải đối mặt với khoảng cách dịch vụ lớn nhất, đòi hỏi phải đảm bảo sự gia tăng giá trị tương đối giữa các dân tộc, để các mối nguy hiểm được loại bỏ miễn phí và các quốc gia trên thế giới trở nên hùng mạnh, thông qua các điều kiện chung, để cải thiện phúc lợi của người dân trên cơ sở đạt được tiến bộ khoa học.

N. Bor

29

Nhiệm vụ

M946—M950; F958—F962
M946. Hai parabol nằm trên một mặt phẳng sao cho trục của chúng vuông góc với nhau và các parabol cắt nhau tại bốn điểm. Chứng minh rằng bốn điểm này cùng thuộc một đường tròn.
L. P. Kuptsov

M947. Các số được viết thành một dòng trên bảng
$$1\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{1}{4}\cdot\cdot\cdot\frac{1}{10}\frac{1}{11}\frac{1}{12}.$$
a) Chứng minh rằng dù ta đặt dấu “+” và “-” vào giữa các số này như thế nào thì tổng thu được vẫn không bằng 0.
b) Số chữ số nhỏ nhất phải xóa khỏi bảng là bao nhiêu để sau khi đặt dấu “+” và “-” giữa các số còn lại thì thu được tổng bằng 0?

M948. Tam giác đều ABC được bao phủ hoàn toàn bởi năm hình tam giác nhỏ hơn bằng nhau*). Chứng minh rằng tam giác ABC có thể che được hoàn toàn bởi 4 tam giác như vậy (các tam giác này có thể di chuyển được).
V. V. Proizvolov

M949. Cho các quả cân năm 1985 có khối lượng 1 g, 2 g, 3 g, …, 1984, 1985. Có thể chia chúng thành 5 nhóm sao cho số quả cân và tổng khối lượng của chúng ở cả 5 nhóm đều bằng nhau không?
E. P. Eroshenkov

M950. Hai mươi lăm cô lùn chia sẻ mảnh vườn ở Thành phố Hoa. Mỗi ô là một hình vuông $1 \times 1$ và tất cả các ô cùng nhau tạo thành một hình vuông $5 \times 5$. Mỗi người lùn đang cãi nhau với không quá ba người lùn. Chứng minh rằng có thể phân bố các ô sao cho các ô của hai người thấp bé cãi nhau không liền kề nhau. (Liền kề là những khu vực có một mặt chung.)
S. V. Kongazin

F958. Một trạm vũ trụ có khối lượng M và vệ tinh đồng hành có khối lượng m đang chuyển động quanh

*) Trong bài toán này, tam giác được xét cùng với diện tích bên trong của nó.

30

Trái Đất chuyển động theo quỹ đạo tròn có bán kính là 1,25R, trong đó R là bán kính Trái Đất. Tại một số thời điểm, vệ tinh bị đẩy ra khỏi trạm theo hướng chuyển động của nó và đi vào quỹ đạo hình elip với điểm viễn địa ở khoảng cách 10R tính từ tâm Trái đất. Với tỷ lệ m/M nào thì vệ tinh sẽ gặp trạm sau khi hoàn thành một vòng quanh Trái đất?

A. A. Biryukov, V. V. Danilyuk

F959. Ở độ ẩm không khí tương đối r₁=50%, nước uống trong đĩa bay hơi ngoài trời trong thời gian t₁=40 phút. Sẽ mất bao lâu để nước bay hơi nếu r₂=80%?

F960. Để có được hai cuộn dây hoàn toàn giống hệt nhau, chúng được quấn đồng thời trên một lõi không từ tính bằng cách sử dụng các dây gấp lại với nhau (hình 1). Một trong các cuộn dây được nối qua phím K với pin B có điện áp U₀, cuộn dây thứ hai với điện trở R. Chìa khóa được đóng lại. Tính cường độ dòng điện qua điện trở. Vẽ đồ thị cường độ dòng điện chạy qua pin theo thời gian.

Sau thời gian t chìa khóa được mở. Bao nhiêu nhiệt sẽ được giải phóng trong điện trở bắt đầu từ thời điểm này?

Độ tự cảm của mỗi cuộn dây là L. Pin được coi là lý tưởng. Bỏ qua điện trở của các dây.

F961. Để duy trì nhiệt độ nước không đổi trong bể cá có dòng chảy, hãy sử dụng hai lò sưởi giống hệt nhau (hình 2). Ở chế độ bình thường, một trong số chúng được sử dụng và nếu lò sưởi thứ hai được kết nối song song thì lượng nước lạnh tiêu thụ phải tăng lên 3 lần. Lưu lượng nước lạnh sẽ thay đổi như thế nào nếu các máy sưởi được mắc nối tiếp? Tốc độ dòng nước lạnh sẽ là bao nhiêu nếu bật một vòng xoắn ốc có công suất P=100 W? Nhiệt độ nước lạnh t₁=10 °C, nhiệt độ nước trong bể cá t₂=27 °C. Nước được trộn nhanh chóng.

A. R. Zilberman

F962. Các nguồn điểm nằm trên trục quang chính của thấu kính tạo thành dây tóc phát sáng đều (đi qua tiêu điểm của thấu kính). Tìm định luật thay đổi E(x) của độ rọi tại các điểm nằm trên cùng một trục ở phía bên kia của thấu kính và cách nó một khoảng x lớn (x≫F, trong đó F là tiêu cự của thấu kính).

M. A. Vorontsov, V. E. Kuntstsyn

TỐC ĐỘ

Kaleyskoe

nâng cao và gọi

1. Đồ thị mô tả sự phụ thuộc thời gian của tốc độ của hai vật đẩy chuyển động nguyên thủy trong cùng một khoảng thời gian. Cơ thể nào có tốc độ trung bình lớn hơn trong thời gian này?

… nếu một hòn đá, được thả ra từ đỉnh cột buồm của một con tàu bụi bặm với tốc độ cao của một con tàu, rơi đúng vào vị trí mà nó rơi khi con tàu chìm hoàn toàn, thì trải nghiệm rơi này sẽ giúp ích gì cho câu hỏi lời giải con tàu đang đứng yên hay đang rơi?
G. Gallia

“Đối thoại về hai hệ thống quan trọng nhất của thế giới”

2. Chiếc thuyền được kéo bằng một sợi dây vào bờ. Xác định vận tốc chuyển động của người tại thời điểm dây có góc nghiêng là a thì tốc độ kéo của dây là v_B.

3. hình hiển thị vị trí của điểm tham gia mômen sóng ngang theo thời gian (v là vectơ vận tốc sóng). Các vectơ vận tốc quá khứ của các điểm a, b, c và d tại thời điểm này có hướng như thế nào?

34

in sequence? How much water must be used when one heater of power $P=100$ Wt is working? The temperature of the water source is $t_1=10^\circ\text{C}$, the aquarium water temperature is $27^\circ\text{C}$, its water mixes very rapidly.

A. R. Zilberman

P962. Point sources, located on the principal optical axis of a lens, constitute a uniformly lighted string (passing through the lens’ focus). Find the rule $E(x)$ expressing the luminosity at points of the optical axis on the opposite side of the lens, when the distance $x$ from the lens is large ($x \gg F$, where $F$ is the lens’ focal distance).

M. A. Vorontsov, V. E. Kunitsin

Lời giải bài toán

M926 — M930; F938 — F942

Thật thuận tiện để biểu diễn điều kiện bài toán về mặt hình học. Chúng ta hãy đánh dấu các điểm $A(x; y)$ và $B(u; v)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Góc $AOB$ đúng vì $OA \cdot OB = xu + yv = 0$. Ngoài ra, $OA^2 = x^2 + y^2 = 1$ và $OB^2 = 1$, do đó điểm $B$ thu được từ điểm $A$ bằng cách xoay quanh $O$ theo $\pm 90^\circ$ (xem hình) và $x = \cos \alpha$, $y = \sin \alpha$, trong đó $\alpha$ là góc giữa vectơ $OA$ và trục $Ox$, nghĩa là $u = \cos (\alpha \pm 90^\circ) = \pm \sin \alpha = \mp y$, $v = \sin (\alpha \pm 90^\circ) = \pm \cos \alpha = \pm x$. Kể từ đây,

$$x^2 + u^2 = x^2 + y^2 = 1,$$
$$y^2 + v^2 = y^2 + x^2 = 1,$$
$$xy + uv = xy - xy = 0.$$

Hãy để chúng tôi trình bày thêm một biểu thức đại số thuần túy nữa, lời giải. Hành động tương tự

$$(x^2 + y^2 - 1)^2 + (u^2 + v^2 - 1)^2 + 2(xu + yv)^2 = x^4 + y^4 + u^4 + v^4 + 2 - 2(x^2 + y^2 + u^2 + v^2) + 2(x^2y^2 + u^2v^2 + x^2u^2 + y^2v^2) + 4xuyv = (x^2 + u^2 - 1)^2 + (y^2 + v^2 - 1)^2 + 2(xy + uv)^2$$

phía bên trái, theo điều kiện, bằng 0; Do đó, vế phải cũng bằng 0, tức là ba đẳng thức đang được chứng minh là đúng.

Hãy thử khái quát hóa bài toán của chúng ta cho trường hợp ba chiều - chứng minh rằng nếu ba vectơ có độ dài 1 trong không gian có tọa độ $(x_1; x_2; x_3)$, $(y_1; y_2; y_3)$, $(z_1; z_2; z_3)$ vuông góc từng cặp thì các vectơ $(x_1; y_1; z_1)$, $(x_2; y_2; z_2)$ và $(x_3; y_3; z_3)$ cũng có độ dài 1 và vuông góc từng cặp.

S. V. Duzhin

a) Hãy chứng minh rằng thông qua một số hữu hạn các phép toán “loại a” - thay thế các đoạn giao nhau $AC$ và $BD$ bằng các đoạn không giao nhau $AB$ và $CD$ - chúng ta sẽ đi đến một cấu hình trong đó sẽ không còn các đoạn giao nhau nữa.

Chúng ta hãy xem xét tổng $s$ độ dài của các đoạn cấu hình. Đối với mỗi thao tác loại $a$ nó giảm:

$$AB + CD < AC + BD$$

(đối với lượng giác $APB$ và $CPD$, trong đó $P$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ - hình 1, các bất đẳng thức $AB < AP + PB$ và $CD < CP + PD$ thỏa mãn; cộng chúng lại, ta thu được (*)).

Mặt khác, đại lượng $s$ chỉ có thể nhận một số hữu hạn các giá trị, bởi vì

35

vì chỉ có một số hữu hạn các cấu hình khác nhau của các đoạn có đỉnh tại các điểm cho trước. Do đó, trong một số hữu hạn các bước, chúng ta sẽ đi đến một cấu hình mà với nó không còn có thể thực hiện thao tác làm giảm s nữa.

lời giải này cung cấp giới hạn trên rất sâu cho số lượng thao tác $T_n$ tối đa có thể được thực hiện trên một cấu hình ở $n$ điểm - chúng tôi chỉ có thể nói rằng nó nhỏ hơn số lượng tất cả các cấu hình, tức là $2^{n(n-1)^2}$ ($n(n-1)/2$ là số phân đoạn riêng biệt có điểm cuối tại $n$ điểm nhất định).

Hãy để chúng tôi trình bày ý tưởng về một lời giải khác, đưa ra ước tính tốt hơn đáng kể. Chúng ta hãy xem xét việc phân chia tùy ý $f$ các điểm này thành hai tập hợp không trống, mỗi tập hợp nằm hoàn toàn trên một phía của một đường thẳng nào đó $l$. Có hữu hạn, vô số đường thẳng như vậy cho một phân vùng nhất định, nhưng luôn có thể thu được một trong số chúng bằng cách xoay theo chiều kim đồng hồ đường thẳng nối hai điểm cuộn $A$ và $B$ ở một góc rất nhỏ quanh giữa đoạn $AB$ (hình 2); Hãy biểu thị đường thẳng này $l_f$. Số đoạn thẳng $l_f$, và do đó số khoảng cách của các phân vùng “lồi” không vượt quá số cặp điểm $n(n-1)/2$.

Chúng ta hãy gọi sự cân bằng của một cấu hình là tổng số $b$ giao điểm của các đoạn của nó với tất cả các đường $l_f$; rõ ràng là $0 \leq b \leq (n(n-1)/2)^2$. Trong thao tác loại $a$, số giao điểm của bất kỳ đường nào $l_f$ với các đoạn của cấu hình không tăng và đối với ít nhất một đường thì nó giảm đi 2. Do đó, $T_n \leq n^2(n-1)^2/8$. Sẽ rất thú vị nếu có được ước tính chính xác hơn nữa cho $T_n$.

6. Chúng ta hãy đưa ra một ví dụ cho thấy rằng đối với một thao tác “loại $\delta$”—thay thế các phân đoạn giao nhau $AC$ và $BD$ bằng $AB$ và $BC$ có một kết thúc chung—quá trình có thể “đi theo chu kỳ” và do đó tiếp tục vô thời hạn. Chúng ta hãy đặt 18 điểm tại các đỉnh của một 18 giác đều và biểu thị bằng $D(k,l)$ một cấu hình gồm 36 đoạn, trong đó mỗi điểm trong số 18 điểm được kết nối với thứ $k$ và $l$ từ nó trong một hàng.

Để hoàn thành đường dẫn $D(4,8) \rightarrow D(5,9) \rightarrow D(6,7) \rightarrow D(4,8)$ (hình 3) trong 54 thao tác, chỉ cần thực hiện từng thao tác được mô tả trong hình 4 18 lần (xoay ảnh $20^\circ$ mỗi lần) là đủ.

Rõ ràng, cũng có những ví dụ có số điểm $n$ và độ dài chu kỳ $T$ nhỏ hơn đáng kể so với $n=18$ và $T=54$.

N. B. Vasiliev, V. E. Kolosov

36

M928. Trong rạp chiếu phim $N+1$. Lúc đầu, $N$ những người có vé chỉ chỗ ngồi (bao gồm cả Igor) ngồi ngẫu nhiên ở $N$ chỗ ngồi, không ăn vé của mình. Khán giả $(N+1)$ đến cuối cùng muốn thế chỗ; nếu nó bị chiếm giữ - một mặt ở đó, anh ta cũng làm như vậy, v.v. cho đến khi chỗ mà ý thức cần được tự do. Xác suất để Igor phải đổi chỗ là bao nhiêu? (Nói cách khác, tỷ lệ môi trường của tất cả các vị trí có thể có của khán giả là vô hình đối với Igor?)

Đáp số: 1/2. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng có nhiều vị trí có lợi cho Igor cũng như có nhiều vị trí không có lợi và sự tương ứng lẫn nhau đã được thiết lập giữa hai vị trí đó.

Giả sử rằng với một số vị trí ban đầu là $P$ $N$ khán giả ở $N+1$ ghế, Igor đã chuyển sang một ghế trống. sau đó bạn nhận được một vị trí mới $P'$. Do đó, tất cả các vị trí có thể được chia thành các cặp $(P, P')$ và nó đủ để chứng minh rằng trong mỗi cặp, một vị trí có lợi cho Igor (nó không có giá trị) và vị trí kia không có lợi.

Nếu $P$ là một vị trí thuận lợi, thì khán giả cuối cùng tham gia chuyển nhượng (tức là có vé cho một ghế trống) ở vị trí $P'$ xứng đáng là Igor. Điều này có nghĩa là $P'$ là một vị trí vô hình. Nếu $P$ là một vị trí không trực quan, thì khán giả xứng đáng với Igor sẽ không có ai xứng đáng ở vị trí $P'$, vì vậy việc chuyển nhượng sẽ kết thúc ở đó, tức là $P'$ là vị trí có lợi cho Igor.

I. V. Alekseev-Astafev

M929. Các số tự nhiên $a, b, c, d$, e thỏa mãn điều kiện $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4$. Chứng minh rằng ít nhất $a$ ba trong số chúng là số chẵn, $b$ ba chia hết cho 5, $b$ hai chia hết cho 10.

Định lý nhỏ Fermat
Đối với mọi số nguyên $n$ và số nguyên tố $p$, số $n^p - n$ chia hết cho $p$.

Đáp án: 1/2. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng có nhiều vị trí có lợi cho Igor cũng như có nhiều vị trí không có lợi và sự tương ứng lẫn nhau đã được thiết lập giữa hai vị trí đó.

Giả sử rằng với một số vị trí ban đầu là $P$ $N$ khán giả ở $N+1$ ghế, Igor đã chuyển sang một ghế trống. sau đó bạn nhận được một vị trí mới $P'$. Do đó, tất cả các vị trí có thể được chia thành các cặp $(P, P')$ và nó đủ để chứng minh rằng trong mỗi cặp, một vị trí có lợi cho Igor (nó không có giá trị) và vị trí kia không có lợi.

Nếu $P$ là vị trí thuận lợi thì khán giả cuối cùng tham gia chuyển nhượng (tức là có vé ngồi ghế trống), tại vị trí $P'$ sẽ không có người đứng nên việc chuyển tuyến sẽ kết thúc ở đó, tức là $P'$ là vị trí thuận lợi cho Igor.

I. V. Alekseev-Astafev

a) Lưu ý rằng số $n^4$ khi $n$ là số chẵn thì chia hết cho 16 và khi $n$ là số lẻ thì khi chia cho 16 thì dư 1. (Thật vậy, khi $n=2k+1$
$n^4-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)=$
$=8k(k+1)(2k^2+2k+1)$,
và $k(k+1)$ luôn chia hết cho 2.)
Do đó, phần dư của $a^4+b^4+c^4+d^4+e^4$ chia cho 16 bằng số số lẻ giữa $a, b, c, d$. Và vì nó phải trùng với phần còn lại tương tự của $e^4$, nên chúng ta thấy rằng điều kiện bài toán chỉ có thể được thỏa mãn nếu tất cả các số đều là số chẵn hoặc nếu số $e$ và chính xác một trong các số khác là số lẻ. Điều này cũng chứng minh khẳng định a).

6. Đối với số dư khi chia số $n^4$ cho 5, phát biểu tương tự như đã chứng minh ở điểm a là đúng: số dư này bằng 0 hoặc 1, tùy thuộc vào việc $n$ có chia hết cho 5 hay không. (Thật vậy, nếu $n=5k±1$ thì $n^2-1=5k(5k±2)$ chia hết cho 5; nếu $n=5k±2$ thì $n^2+1=5k(5k±4)+5$ chia hết cho 5. Do đó, $n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)$ luôn chia hết cho 5 nếu $n$ không phải là bội số của 5. Mệnh đề này là trường hợp đặc biệt của cái gọi là định lý nhỏ Fermat, công thức của định lý này đã cho ở lề.)

Bây giờ, theo cách tương tự như trong lời giải ở a), chứng minh rằng tất cả các số $a, b, c, d, e$ đều chia hết cho 5 hoặc số $e$ và có chính xác một trong các số còn lại không chia hết cho 5, tức là có 6).
c) Xét ba trường hợp.

1. Số $e$ là số chẵn. Từ lời giải bài toán a) suy ra rằng tất cả các số khác cũng là số chẵn và từ lời giải bài toán 6) có ít nhất ba trong số chúng chia hết cho 5 và do đó chia hết cho 10.

2. Số $e$ chia hết cho 5. Trường hợp này được xử lý tương tự như trường hợp trước: tất cả

38

cho $f_0 = e_1 - e_0$ và $f_1 = e_2 - e_0$ từ tập $F$, hiệu $f_1 - f_0 = e_2 - e_1$ của chúng cũng phải thuộc về tập $F$, điều này mâu thuẫn với giả định của chúng tôi.

Kết quả mâu thuẫn chứng tỏ khẳng định bài toán.

Lập luận theo cách tương tự như trong lời giải đã cho, không khó để chứng minh rằng mệnh đề bài toán đúng cho bất kỳ phân vùng nào của các số $N$ đầu tiên $1, 2, ..., N$ thành các tập hợp $k$ cho

$$N = N_k = k! \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{k!} \right)$$

($n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$). Các giá trị của $N_k$ cho $k = 1, ..., 6$ được tính trong lề. Rõ ràng là với mọi $N \geqslant N_k$ mệnh đề bài toán sẽ đúng với tập $k$; trong trường hợp của chúng tôi $1985 > 1957 = N_6$. Lưu ý rằng tổng trong ngoặc đơn ở bên phải của (3) tại $k \to \infty$ sẽ rất nhanh chóng bị giảm xuống cơ số logarit tự nhiên - số $e = 2,718$… Nó có thể kiểm tra xem $N_k = [k! e]$, nhưng thật không may, công thức đẹp đẽ này không cho giá trị phù hợp nhỏ nhất $N$ cho một $k$ đã cho; ví dụ: đối với $k = 3$ giá trị nhỏ nhất là 14, không phải 16. Ở đây có thể ước tính bài toán thú vị nhưng có vẻ khó khăn về giá trị nhỏ nhất này. Chẳng hạn, có đúng là nó luôn lớn hơn $ck!$, trong đó $c$ là một hằng số nào đó không? Ước tính được biết đến nhiều nhất cho đến nay vẫn là $(3^k - 1)/2$ của A. Khodleva (xem lời giải bài toán M540, «Kvant» Số 12, 1979, trang 23).

A. D. Valtsev, V. N. Dubrovsky

F938. Phi công của một tàu vũ trụ di chuyển với tốc độ $v = 1$ km/s, sau đó với tốc độ của một tàu vũ trụ có đường kính $d = 7$ km, khi vẫn còn khoảng cách $l = 8,5$ km trên bề mặt của nó. Phi hành gia ngay lập tức bật động cơ khẩn cấp, trong một thời gian ngắn động cơ này sẽ truyền cho con tàu thêm tốc độ $\Delta v = 300$ m/s, hướng do phi hành gia đặt ra. Liệu một con tàu có thể tránh được va chạm?

♦

Để tránh va chạm, phi hành gia cũng phải thay đổi tốc độ của tàu sao cho góc giữa hướng ban đầu “hướng về tiểu hành tinh” và hướng đi mới lớn hơn góc $\alpha_0$ xác định bởi các điều kiện (hình 1)

$$\sin \alpha_0 = \frac{d/2}{l + d/2} = \frac{d}{2l + d} \approx 0,292.$$

Độ lệch tối đa so với hướng ban đầu khi truyền thêm tốc độ $\Delta v$ cho tàu được đảm bảo trong trường hợp vectơ $\vec{\Delta v}$ vuông góc với vectơ $\vec{v}_1 = \vec{v} + \vec{\Delta v}$ (hình 2), tức là khi

Hình 1.

Hình 2.

$$\sin \alpha = \frac{\Delta v}{v} = 0,3.$$

Điều này có nghĩa là khi bật động cơ khẩn cấp, phi hành gia có thể thay đổi hướng đi của con tàu một góc $\alpha > \alpha_0$ và sẽ không xảy ra va chạm với tiểu hành tinh.

A. V. Andrianov

F939. Đáy tàu nghiêng một góc $\alpha = 45^\circ$ so với đường chân trời. Đáy có hình bán cầu lồi bán kính $R$

♦

Xét một vật có dạng nửa quả cầu có bán kính $R$. Giả sử nó ở vị trí Q và hướng theo hướng

39

(hình 1). Chiều cao của lượng chất lỏng này so với mặt lồi bằng N. Lực thẳng đứng nào do chất lỏng tác dụng lên phần lồi của đáy? Mật độ của chất lỏng là q.

Hình 1.

Hình 2.

Các chấm của Stran giống như chỗ phình ra ở đáy của một chiếc bình nhất định.

Theo định luật Archimedes, vật này chịu tác dụng của một lực nổi $\vec{F}$, hướng thẳng đứng lên trên và bằng mô đun

$$F = \varrho g V = \varrho g \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \varrho g \pi R^3.$$

Mặt khác, lực $\vec{F}$ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai lực áp suất từ ​​chất lỏng: lực $\vec{F}_1$, tác dụng lên “đế” của một nửa quả bóng và lực $\vec{F}_2$, tác dụng lên bề mặt bên của nó (hai khả năng so sánh được thể hiện trong hình 2):

$$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2.$$

Chúng ta quan tâm đến hình chiếu của lực $\vec{F}_2$ lên trục tung (chúng ta ký hiệu là X và hướng nó lên trên):

$$F_{2x} = F - F_{1x} \quad (\text{для одного сличая})$$

hoặc

$$F_{2x} = F_{1x} - F \quad (\text{для другого сличая}).$$

Để tìm mô đun và hình chiếu của lực $\vec{F}_1$, chúng ta lưu ý rằng áp suất tăng tuyến tính theo độ sâu và do đó chúng ta có thể sử dụng giá trị trung bình của nó:

$$F_1 = p_{cp} S = \varrho g (H + R) \pi R^2,$$
$$F_{1x} = \varrho g (H + R) \pi R^2 \cos \alpha.$$

Sau đó, đối với ngoại lệ chúng tôi nhận được

$$F_{2x} = F - F_{1x} = \frac{2}{3} \varrho g \pi R^3 - \varrho g (H + R) \pi R^2 \cos \alpha$$

hoặc

$$F_{2x} = F_{1x} - F = \varrho g (H + R) \pi R^2 \cos \alpha - \frac{2}{3} \varrho g \pi R^3.$$

Ở góc $\alpha = 45^\circ$, phép so sánh đầu tiên hóa ra là không thể: $2/3 < \cos \alpha = \sqrt{2}/2$, do đó $F_{2x} < 0$, không thể xảy ra trong tình huống này. Vì vậy, so sánh thứ hai vẫn là:

$$F_{2x} = \varrho g \pi R^2 \left( (H + R) \cos \alpha - \frac{2}{3} R \right).$$

L. G. Markovich

F940. Tại sao vữa đất sét được sử dụng trong lò gạch để uốn gạch mà không phải là xi măng (mặc dù nó cứng hơn)?

Có thể xảy ra sự chênh lệch nhiệt độ lớn và không đồng đều về thời gian và thể tích trong lò. Nếu gạch và vữa được làm bằng các vật liệu khác nhau (tức là từ các vật liệu có hệ số giãn nở nhiệt khác nhau) thì khi nhiệt độ thay đổi (làm mát, sưởi ấm) chúng sẽ thay đổi thể tích khác nhau (giãn nở, co lại). Điều này sẽ dẫn đến xuất hiện ứng suất bên trong lớn tại các điểm tiếp xúc giữa gạch và vữa; Kết quả là lò sẽ bị nứt.

V. A. Ilyin

F941. Trong từ trường có dòng điện thẳng một chiều, chúng ta thấy khung hình vuông ABCD (xem.

40

hình). Khung được di chuyển đến vị trí mới, được hiển thị trong hình bằng đường chấm. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách: bằng cách quay đều quanh phía CD hoặc bằng cách dịch song song đều dọc theo AD. Phương pháp nào sẽ tạo ra nhiều nhiệt hơn nếu thời gian di chuyển khung đến vị trí mới nhìn chung là như nhau?

F942. Một sóng ánh sáng phẳng rơi bình thường lên màn E. Độ rọi của màn tại điểm M sẽ thay đổi như thế nào (xem hình) nếu đặt một tấm đục bán âm P trên đường đi của sóng, song song với màn?

Mặt sóng của sóng phẳng là mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Ánh sáng rơi bình thường lên tấm P, do đó mặt phẳng đặt tấm này là một trong các bề mặt sóng và nó có thể được coi là một tập hợp các nguồn thứ cấp giống hệt nhau dao động cùng pha. Độ rung thu được tại điểm M trên màn hình là sự chồng chất của các rung động đến từ các nguồn này.

Khi đưa tấm vào thì một nửa nguồn thứ cấp sẽ bị đóng lại. Do đó biên độ dao động tại điểm M sẽ giảm đi 2 lần. Độ rọi của màn hình tại điểm M tỷ lệ với bình phương của biên độ này. Do đó, khi đưa tấm này vào, độ chiếu sáng sẽ giảm đi 4 lần.

D. A. Kuptsov

Cứ như thể trái đất đang bị bào mòn và không còn nơi nào có thể nhìn thấy đất rắn để xây dựng. Đối với tôi, điều luôn có vẻ thuận tiện là cơ sở dao động và đầy mâu thuẫn này đủ để cho phép Bohr - một người có trực giác tuyệt vời và khả năng cảm nhận tinh tế - tìm ra các định luật quan trọng nhất của các vạch quang phổ và vỏ electron của nguyên tử, bao gồm cả ý nghĩa của chúng đối với hóa học. Tôi đã đạt được chất lượng này ngay cả bây giờ. Đây được gọi là âm nhạc trong lĩnh vực tư duy.

A. Einstein

Trong toàn bộ thế giới khoa học trong lịch sử của chúng ta, không có người nào có ảnh hưởng đến tự nhiên như Bohr. Trong tất cả các lý thuyết lý thuyết, lý thuyết của Bohr là quan trọng nhất.

P. Kapitsa

Tôi đến Liên Xô để gặp gỡ những người bạn cũ và tìm những người bạn mới, bởi vì nội dung của các nhà khoa học từ các quốc gia khác nhau không chỉ giúp ích cho sự phát triển của khoa học mà còn giúp ích cho sự nghiệp hòa bình.

N. Bor

Tôi vẫn học được khi nhìn vào một lò phản ứng hạt nhân.

N. Bor

Nếu tôi có thể làm bất cứ việc gì một cách khéo léo thì có lẽ tôi nên nghĩ… N. Bohr

Lý thuyết lượng tử không làm tôi bối rối trước những vấn đề của nó. Bây giờ vấn đề chính là tìm cách ngăn chặn sóng hạt nhân!

N. Bor

41

Chúng tôi tiếp tục xuất bản ảnh lập thể bài toán kèm theo các hình vẽ, bắt đầu từ số thứ 2 «Kvant» của năm nay (xem thêm bìa số 3, 5 và 6). Dưới đây là điều kiện của hai bài toán; Cái đầu tiên trong số chúng được trình bày tại kỳ thi ứng dụng tại Viện Vật lý và Công nghệ Moscow năm 1984. Cái thứ hai bài toán rất thú vị vì nó xem xét một cấu hình không dễ hình dung lắm. Để người đọc có cơ hội tự suy nghĩ về nó, chúng tôi sẽ đặt hình vẽ về nó trên trang bìa của một trong những số báo sau.

Bài toán 1. Ở đáy của SABCD nguyên thủy là hình chữ nhật ABCD, trong đó $|AC|=2|AB$. Chiều cao của đoạn thẳng đi qua điểm giao nhau của hình chữ nhật chéo. Hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng ABCD và tất cả các cạnh bên của hình nguyên thủy. Thể tích của khối nguyên thủy bắt đầu nếu bán kính của hình cầu là $R$ và góc SDC là $\alpha$.

Mặt phẳng đi qua điểm $S$, chạm vào hình cầu được chỉ định và cắt các đường thẳng

BD và AC lần lượt tại các điểm $P$ và $Q$ ($|DP| > |BP|$, $|AQ| > |CQ|$). Tìm tỉ số $|BP|:|BD|$ nếu:
a) $|BP| = |CQ|$,
b) $|CQ| = 3|AC|$.

Bài toán 2. Có sáu vật thể, hai quả bóng giống hệt nhau có bán kính $R_1$, hai quả bóng giống hệt nhau có bán kính $R_2$, một hình trụ rất dài có bán kính đáy $r$ và một mặt phẳng. Chúng được đặt trong không gian sao cho mỗi cái chạm vào năm cái còn lại (hình trụ chạm vào bề mặt bên của nó). Thể hiện $R_1$ và $R_2$ bằng cách sử dụng $r$.

trò chơi ô chữ

Chiều ngang: 7. Nhà vật lý Liên Xô, được trao giải Nobel. 8. Thiết bị đo áp suất khí quyển. 10. Chữ cái trong bảng chữ cái Hy Lạp. 11. Đại lượng vật lý. 13. Sản phẩm kết nối cơ học của bất kỳ chất nào. 17. Thiết bị đo hình cầu. 18. Ngôi sao, sao khổng lồ đỏ. 19. Thiết bị điều chỉnh dòng điện trong mạch điện. 21. Nhà du hành vũ trụ Liên Xô. 23. Phần năng lượng điện từ nhỏ nhất. 24. Quá trình lan truyền dao động trong không gian. 26. Tệp đính kèm để xử lý các đơn vị dài có tên. 28. Cho từ tọa độ Descartes của điểm. 29. Một tuyên bố được chấp nhận mà không có bằng chứng trong khuôn khổ bất kỳ lý thuyết khoa học nào.

Dọc: 1. Ống điện tử ba điện cực. 2. Hàm lượng giác. 3. Chất lỏng thích hợp, không dây. 4. Một trong những phần tử bóng bán dẫn. 5. Chất bao gồm các đại phân tử. 6. Hợp kim sắt và cacbon. 9. Nhà vật lý người Anh gốc ngoại. 12. Viện sĩ Nga đầu tiên. 14. Đơn vị đo góc khối. 15. Kim loại gọi là hàm lượng kháng cự. 16. Thiết bị chuyển đổi

sự hình thành dao động điện thành dao động âm. 20. Hành động và suy nghĩ không đúng đắn. 21. Hàm lượng giác. 22. Thiết bị đo dòng điện, điện áp và điện trở. 23. Khoáng chất, silic tự nhiên. 25. Khoáng chất cứng nhất. 26. Đơn vị đo chiều dài. 27. Là loại khí bảo vệ các sinh vật sống trên Trái đất khỏi tác hại của bức xạ mặt trời.

Biên soạn bởi G. N. Plotnikov

42

Ngôn ngữ thuật toán

Viện sĩ A. P. ERSHOV

Bài viết này tiếp tục phần trao đổi về các khái niệm cơ bản của khoa học thông tin của tác giả ở số trước «Kvant».
Như trước đây, bạn nên chú ý đến những từ in nghiêng - đây là những thuật ngữ mang tính thông tin. Nhưng những từ ngắn in đậm là những từ có ích; chúng chỉ xuất hiện trong các chương trình, thực hiện một số chức năng nhất định trong đó mà bạn nên hiểu.

Trong bài viết trước, chúng ta đã xem xét một số ví dụ về thuật toán. Bây giờ mục tiêu của chúng ta là học cách viết thuật toán “theo tất cả các quy tắc khoa học”. Nhưng trước khi hiểu các quy tắc ra lệnh, bạn nên hiểu lệnh có thể được sử dụng để làm gì. Do đó, chúng tôi sẽ bắt đầu bằng đáp số cho câu hỏi sau:

Người biểu diễn nên có những gì?

1°. Đếm. Người thực hiện không chỉ phải thực hiện nhanh chóng và chính xác cả bốn phép tính số học mà còn phải hiểu thứ tự thực hiện của chúng, “hiểu dấu ngoặc đơn” và tìm ra các giá trị số của các biến. Ví dụ: việc sử dụng tốt sẽ gần như ngay lập tức báo cáo rằng tại $x=0,17$ và $y=1,32$ biểu thức $(x^2+3x)(y^3+5xy)/\sqrt{x^2+xy}$ là 3,66409… và thậm chí sẽ nhanh chóng chỉ ra rằng $\cos 0,29^\circ=0,99998719$… hoặc $\sin(x^2+x)=0,003471$… tại $x=0,17^\circ$. KHÔNG CÓ CON SỐ LỚN HAY KHỐI LƯỢNG TÍNH TOÁN LỚN HƠN CHO NGÀI.

2°. Nhớ. Người biểu diễn có thể nhập dữ liệu được truyền đạt tới anh ta vào những vị trí nhất định (được anh ta biết) trong bộ nhớ của mình. Dữ liệu có thể là giá trị số hoặc văn bản (chữ). Đặc biệt, anh ta có thể nhập một số lệnh hoặc lệnh nối tiếp. Nếu cần thiết, nhà thầu có thể hủy dữ liệu này, thay thế hoặc thay đổi nó. Đặc biệt, các giá trị số thay đổi có thể bị thay đổi nhiều lần trong quá trình thực hiện thuật toán.

3°. Chọn. Người biểu diễn phải có lời giải quyết định về các hành động tiếp theo của mình tùy thuộc vào tình huống. Cụ thể, nó kiểm tra xem một số điều kiện được báo cáo có thỏa mãn hay không và nếu nó được thỏa mãn, nó sẽ sử dụng một lệnh nối tiếp. Sự lựa chọn giữa hai chuỗi lệnh chương trình này được gọi là điều kiện lệnh hoặc nhánh. Tất nhiên, người biểu diễn cũng phải kiểm tra nó.

43

4°. Lặp lại. Người thực thi lặp lại (nhanh chóng và có thể lặp đi lặp lại) cùng một chuỗi lệnh (vòng lặp) cho đến khi đáp ứng một điều kiện nhất định (điều kiện vòng lặp). Anh ta phải kiểm tra điều kiện này trước mỗi lần thực hiện chuỗi lệnh và nếu thấy nó bị vi phạm, anh ta phải chuyển sang điều kiện tiếp theo sau chu kỳ lệnh. Một người biểu diễn giỏi - ví dụ, một máy tính hiện đại - có thể làm việc theo chu trình theo cách này với tốc độ khổng lồ.

5°. Nhớ lại. Trong số các văn bản được ghi lại trong trí nhớ của người biểu diễn, có thể có nhiều dữ liệu khác nhau (số, chữ) mà anh ta phải có khả năng nhớ lại nếu cần. Đặc biệt, các thuật toán phụ trợ có thể được lưu trữ trong bộ nhớ. Người thực hiện tốt ghi nhớ (và thực hiện) từng lệnh một bằng cách hoàn thành mục đích (tên) của họ mà không yêu cầu lặp lại tất cả các lệnh của thuật toán phụ trợ. Chương trình ví dụ này được gọi là một cuộc gọi chương trình con.

6°. Niêm phong. Người thực hiện in (ví dụ: bằng bút chì trên giấy, trên thiết bị in hoặc trên màn hình hiển thị) lời giải bài toán (đáp số), nghĩa là kết quả của chương trình được xây dựng mang tính giáo dục ở đúng vị trí trong trí nhớ của anh ta trong quá trình làm việc. (Nói cách khác, khi làm việc ở chế độ tương tác với khách hàng, người biểu diễn máy tính sử dụng bản in trên màn hình không chỉ khi kết thúc tác phẩm mà còn trong suốt quá trình làm việc để đặt câu hỏi.)

Ví dụ về viết thuật toán

Dưới đây là ví dụ về cách viết thuật toán. Những ví dụ này được thực hiện theo các quy tắc của ngôn ngữ thuật toán được áp dụng trong sách giáo khoa của bạn. Chúng tôi đề xuất đọc chúng cẩn thận và hiểu cách chúng hoạt động, nghĩa là đóng vai trò là người thực thi thuật toán (đối với dữ liệu ban đầu được đề xuất - các giá trị của các đối số). Nếu cách này không hiệu quả ngay lập tức, bạn nên xem lại §§ 2-4 trong sách giáo khoa, đọc các ghi chú chung bên dưới và sau đó quay lại thực hiện các thuật toán. Một bình luận chi tiết lớn được cung cấp ở cuối bài viết. Sau khi đọc chúng, bạn sẽ kiểm tra xem bạn đã thực hiện đúng các thuật toán này chưa và bạn sẽ sẵn sàng viết các chương trình đơn giản bằng ngôn ngữ thuật toán hay chưa.

Đặc biệt, bạn sẽ có thể viết các thuật toán giải bài toán từ bài viết trước trong phần này («Kvant» #9) bằng ngôn ngữ thuật toán. Loại hình tham gia này (bài toán về robot) được trình bày ở trang tiếp theo, phần còn lại sẽ xuất hiện trong một trong những số sắp tới «Kvant».

45

Giải thích chung

Tất cả các mục nhập thuật toán trên đều bắt đầu bằng tiêu đề (được đánh dấu màu xanh lam). Tiêu đề bắt đầu bằng tiêu đề hoặc tên của thuật toán (nó được in bằng chữ in hoa sau thuật toán từ dịch vụ)) và danh sách các tham số (danh sách các đại lượng biến nằm trong ngoặc đơn sau tên của thuật toán). Tiếp theo (sau các từ của đối số) đây là những tham số đầu tiên cần nhập vào máy - nó sẽ điền chúng vào). Tiêu đề kết thúc bằng danh sách kết quả (chúng được liệt kê sau từ res). Chúng ta sẽ giả định rằng máy sẽ in các giá trị của chúng khi sử dụng thuật toán.

Sau khi điền là phần thân của chương trình. Nó bắt đầu bằng từ dịch vụ “bắt đầu”, theo sau là tất cả các lệnh kết thúc bằng từ “kết thúc”.

Trước tiên chúng ta hãy chú ý đến những lệnh mà máy tính. Có cả những phép tính rất đơn giản (ví dụ: các đơn vị được thêm vào) và những phép tính phức tạp hơn (skem (-b+\sqrt{d})/2a). Những phép tính này được viết theo cách thông thường nhất - cách bạn được dạy trong các bài học toán. Vì vậy, loạt thuật toán ghi này sẽ không gây khó khăn gì cho bạn. Tuy nhiên, cần chú ý đến lệnh gán (dấu :=). Ký hiệu x:=a có nghĩa là máy gán giá trị a cho tham số x (ở đây a có thể là số, văn bản hoặc tham số khác). Trong trường hợp này, máy sẽ cho bạn biết x bằng a. Nếu bây giờ cô ấy phải in x thì cô ấy sẽ in không phải chữ x mà là số (văn bản) a.

Trong phần nội dung của chương trình, để rõ ràng, chúng tôi đã đánh dấu tất cả các nhánh và phần lặp lại bằng màu sắc. Các nhánh được hiển thị ở đây được phân tách bằng mũi tên màu đỏ. Bản ghi nhánh bắt đầu bằng từ dịch vụ if và kết thúc bằng từ dịch vụ all. Sau từ nếu có điều kiện thì đến từ dịch vụ, tiếp theo là chuỗi lệnh đầu tiên, sau đó là giá trị từ dịch vụ và tiếp theo là chuỗi lệnh thứ hai. Chúng ta hãy nhớ lại rằng khi phân nhánh, máy sẽ kiểm tra các điều kiện, sau đó thực hiện chuỗi lệnh đầu tiên (nếu các điều kiện được đáp ứng) hoặc chuỗi lệnh thứ hai (nếu không). Chúng ta có thể nói rằng máy chọn các lệnh nối tiếp mà nó cần. Sau khi sử dụng xong, máy sẽ chuyển sang lệnh tiếp theo.

Sự lặp lại (hoặc chu kỳ) được đánh dấu ở đây bằng các vòng tròn màu vàng. Mỗi chu kỳ mở đầu bằng từ dịch vụ while và kết thúc bằng từ kts (kết thúc chu kỳ). Sau từ bây giờ có các điều kiện vòng lặp, sau đó là từ dịch vụ (bắt đầu vòng lặp), theo sau là một loạt lệnh vòng lặp. Hãy nhớ lại rằng khi sử dụng vòng lặp, máy sẽ chạy vòng quanh để kiểm tra các điều kiện; nếu thỏa mãn, máy sẽ thực hiện một loạt lệnh lặp và kiểm tra lại các điều kiện; nếu nó được đáp ứng một lần nữa, máy sẽ chạy đi kiểm tra chuỗi, v.v. cho đến khi các điều kiện bị vi phạm; sau đó cô ấy chuyển sang lệnh tiếp theo (sau từ kts); nếu không có điều kiện nào bị vi phạm, máy sẽ “hoạt động mãi mãi” - người ta nói rằng nó ở trong một vòng lặp. Để tránh vòng lặp, bạn cần chú ý thoát khỏi vòng lặp, tức là đảm bảo rằng các điều kiện của vòng lặp bị vi phạm.

Thuật toán phụ trợ (chương trình con) được phân biệt bằng tên của nó, cho biết danh sách các biến (trong ngoặc đơn); chỉ định một đối số và kết quả không tuân theo. Máy thực thi chương trình con và gán các giá trị phù hợp cho các biến trong danh sách của nó. Vì vậy, điều quan trọng là phải khớp chính xác tên của các biến này với tên của các biến trong chương trình chính.

Khi tất cả các lệnh chương trình được thực thi (trước từ dịch vụ cuối cùng con), máy sẽ in liên tiếp các giá trị nhận được của các biến đó xuất hiện trong tiêu đề sau từ dịch vụ res (các biến đó không gán bất kỳ giá trị nào). Dấu ngoặc kép đại diện cho giá trị của biến bằng chữ cũng không được in.

46

II. Transistor trường

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
M. E. LEVINSHTEIN,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
G. S. SIMIN

Hoạt động của bóng bán dẫn hiệu ứng trường (FET) rất đơn giản (hình 1). Có ba điện cực nằm trên một tấm trường mỏng. Nếu một điện áp được đặt vào giữa điện cực 1 (nguồn) và 2 (cống), dòng điện sẽ chạy qua tấm, gọi là kênh. Lượng dòng điện chạy qua kênh thay đổi khi điện áp điều khiển được đặt vào điện cực thứ ba (cổng).*)

Các loại bóng bán dẫn hiệu ứng trường khác nhau (và có khá nhiều trong số chúng) khác nhau về nguyên lý hoạt động của cổng. Có những PT trong đó vai trò của cổng được thực hiện bởi một điểm nối $p$, một tiếp điểm dây dẫn trường kim loại, cấu trúc dây dẫn trường điện môi kim loại (cấu trúc MIS), v.v.

hình 2 hiển thị FET sử dụng $p$, một điểm nối hỗn hợp ngược, làm cổng. Như đã biết (“Vật lý 9” §79), tại ranh giới giữa các dây dẫn trường electron (loại $n$) và lỗ trống (loại $p$), một lớp đã cạn kiệt các hạt mang dòng tự do (lớp rào cản) được hình thành. Nếu chúng ta áp dụng chuyển đổi $p$ của điện áp chặn $U_3$: “phẳng” cho loại $n$ và “trừ” cho loại $p$, thì chiều rộng của lớp này sẽ tăng lên. Vì không có hạt tải điện tự do trong lớp rào cản nên không có dòng điện chạy qua nó. Do đó, việc tăng điện áp cổng dẫn đến làm khô kênh mà dòng điện chạy qua và ở điện áp nguồn không đổi, dòng điện qua bóng bán dẫn sẽ giảm. Thậm chí, điện áp cổng chặn hoàn toàn kênh và dòng điện về 0.

hình 3 trình bày một loại bóng bán dẫn khác, được sử dụng rộng rãi trong các máy tính hiện đại, đặc biệt là trong máy tính vi mô. Cấu trúc MIS được sử dụng làm cổng trong FET này. Cổng kim loại được ngăn cách với trường bạch kim bằng một lớp silicon dioxide SiO$_2$ mỏng (một phần trăm micron), đây là một chất điện môi tốt. Do đó, bóng bán dẫn loại này đôi khi còn được gọi là MOS-PT (dây dẫn trường oxit kim loại). Trên tấm silicon loại $p$, các vùng loại $n$ (hình 3, a) được tạo dưới cống và nguồn. Do đó, điện áp nguồn thoát $U_{cn}$ được áp dụng cho hai điểm nối $p$ nối tiếp. Bất kể cực tính của điện áp $U_{cn}$ khi không có điện áp trên cổng, một trong các điểm nối $p$ luôn bị khóa. Ở trạng thái này, điện trở của điểm nối $p$ rất cao và dòng điện chạy qua bóng bán dẫn gần bằng 0.

*) Vì điện trở kênh được điều khiển bởi điện trường của cổng nên các bóng bán dẫn loại này được gọi là bóng bán dẫn hiệu ứng trường.

Độ dài kênh tối thiểu có thể đạt được $L$ được xác định bởi sự hoàn thiện về mặt kỹ thuật. Đối với bóng bán dẫn hiệu ứng trường của thập niên 60 $L \approx 20$ µm. Để có một bóng bán dẫn MOS silicon hoàn hảo $L \approx 3$ µm. Các thiết bị có $L \lesssim 0,3$ micron đã được thu thập trong các phòng thí nghiệm nghiên cứu.

Thời gian chuyển mạch giới hạn riêng của “bóng bán dẫn 3 µm” là $3 \cdot 10^{-11}$ s. Tốc độ thực tế so sánh

47

Thời gian hoạt động của ô MIS logic nối tiếp hiện đại là 5·10⁻⁹ s. Thời gian chuyển mạch ngắn kỷ lục của bóng bán dẫn MOS đạt được vào năm 1984 là ~10⁻¹¹ s.

Ảnh vi mô của một đoạn MDP-BIS. Độ dài kênh của các phần tử lớn nhất là ~10 µm, nhỏ nhất là ~1 µm.

Với mật độ đóng gói rất lớn của các phần tử trên tấm bán dẫn (~10⁵) và kích thước nhỏ của các phần tử (1 μm), mỗi mảnh bụi bám trên tấm bán dẫn sẽ dẫn đến hỏng LSI.

Bác sĩ phẫu thuật thường làm việc trong những bộ đồ như vậy. Nhưng cô gái này không còn “hoạt động” nữa: cô ấy thực hiện một hoạt động để phá hủy BIS.

Nếu bạn đặt một điện thế dương tương đối nhỏ vào cổng $U_3$, thì ở phía bên kia của chất điện môi, trong kênh $p$, đóng vai trò là tấm thứ hai của tụ điện, các điện tích âm sẽ bắt đầu tích tụ. Một điện tích dương trên cổng làm cho các electron xuất hiện trong kênh, chúng bị hút bởi trường của điện cực kim loại. Ở một điện áp nhất định $U_3=U_0$, gọi là điện áp ngưỡng, trong một lớp hẹp dưới cổng, sự ngưng tụ của các electron do trường cảm ứng sẽ vượt quá nồng độ ban đầu của lỗ trống trong kênh $p$. Sẽ có sự thay đổi về đặc tính dẫn điện (đảo ngược). Thay vì chất bán dẫn loại $p$, chất bán dẫn loại $n$ sẽ xuất hiện trong lớp này. Kết quả là, sự chuyển tiếp $p$ giữa cống và nguồn biến mất và một kênh dẫn liên tục được hình thành (hình 3, 6). Ở trạng thái này, điện trở của bóng bán dẫn thấp.

Các PT trong trường hợp không có sự điều khiển trên cổng, kênh mở và điện trở thấp, được gọi là mở bình thường. Ngược lại, các PT trong đó nếu không có sự kiểm soát thì kênh sẽ bị đóng, được gọi là đóng bình thường. MDP-PT, nguyên tắc hoạt động là khoảng cách cao hơn (hình 3), dùng để chỉ PT đóng thông thường.

Để mạch chứa PT có hai trạng thái dễ dàng phân biệt “0” và “1”, và do đó có thể hoạt động như một phần tử của ô logic, chỉ cần bao gồm điện trở tải $R_H$ và nguồn điện áp $\varepsilon$ nối tiếp với bóng bán dẫn trong mục tiêu nguồn thoát nước là đủ.

Ví dụ, nếu một PT đóng thông thường được sử dụng trong mạch như vậy, thì khi không có điện áp ở cổng ($U_3=0$), điện trở của bóng bán dẫn rất cao và gần như toàn bộ điện áp nguồn $\varepsilon$ giảm trên bóng bán dẫn. Khi điện áp cổng vượt quá giá trị ngưỡng $U_0$, điện trở bóng bán dẫn thấp và toàn bộ điện áp giảm trên điện trở $R_H$. Hai trạng thái dễ dàng phân biệt này tương ứng với trạng thái “0” và “1” trong các mạch logic dựa trên bóng bán dẫn MOS. Tín hiệu cổng nhỏ (≈1 V) đủ để chuyển bóng bán dẫn từ trạng thái “0” sang trạng thái “1”.

Tham số quan trọng nhất của bóng bán dẫn với tư cách là một thành phần của mạch logic máy tính là tốc độ chuyển từ mở sang đóng và ngược lại. Tốc độ này được xác định bởi cả đặc tính của thiết bị và mạch điện mà thiết bị được bật. Về nguyên tắc, thời gian chuyển mạch ngắn nhất có thể đạt được xấp xỉ bằng thời gian truyền sóng mang m dọc theo kênh dưới tác động của điện áp đặt vào $U_{cn}$. Với độ dài kênh $L$ và tốc độ sóng mang $v$, thời gian di chuyển t là $\tau=L/v$. Tốc độ trôi của electron (hoặc lỗ trống) trong điện trường được biết là tỷ lệ thuận với điện áp trường $E$ ($v=\mu E$). Hệ số tỷ lệ $\mu$, có thứ nguyên $m^2/(B \cdot c)$, được gọi là tính linh động. Vì trường có cường độ mạnh trong kênh $E=U_{cn}/L$ nên cuối cùng chúng tôi thu được: $\tau=L^2/\mu U_{cn}$. Do đó, tốc độ nhanh tối đa lời giải của bóng bán dẫn hiệu ứng trường được xác định bằng độ ngắn của kênh bóng bán dẫn và khả năng di chuyển của các sóng mang trong vật liệu chế tạo bóng bán dẫn.

Bạn sẽ tìm hiểu về các loại bóng bán dẫn thực tế, tốc độ chuyển mạch và mật độ đóng gói của chúng trong các máy tính hiện đại từ cột bên cạnh.

48

Hãy lặp lại những rung động

A. R. ZILBERMAN

Dao động xảy ra trong một hệ được đưa ra khỏi trạng thái cân bằng ổn định. Trong nhiều trường hợp quan trọng trong thực tế, nếu lực trở về vị trí cân bằng phụ thuộc tuyến tính vào sự trộn thì thu được dao động điều hòa. Thông thường đây là những biến động “nhỏ”, khi sự cân bằng bị xáo trộn một chút.

Ví dụ đơn giản nhất là các dao động của ma trận toán học ở các góc lệch nhỏ so với phương thẳng đứng. Một ví dụ khác là sự dao động của một tải dưới tác dụng của lực đàn hồi của lò xo khi không có lực khác. Điều thú vị là các dao động hóa ra là điều hòa, ngay cả khi chúng không nhỏ - miễn là lò xo tuân theo điều kiện (định luật Hooke) $F=-kx$, trong đó $x$ là độ giãn dài của lò xo (độ dịch chuyển của tải khỏi vị trí cân bằng), $k$ là độ cứng của lò xo, $F$ là lực đàn hồi của lò xo.

Hãy xem xét ví dụ này chi tiết hơn. Cho vật nặng vào một lò xo nằm ngang, đầu thứ hai của lò xo được cố định và đặt trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Phương trình định luật II Newton đối với tải trọng có dạng

$$mx''=-kx,$$

hoặc

$$x''+\frac{k}{m}x=0$$

(1)

(ở đây $m$ là khối lượng của tải trọng, $x''$ là gia tốc của nó, chính xác hơn là hình chiếu của gia tốc lên trục hoành $X$). Giải pháp cho phương trình như vậy là hàm

$$x=x_m \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi_0)=$$

$$=x_m \cos(\omega_0 t+\varphi_0),$$

(2)

trong đó $x_m$ là biên độ, $\omega_0=\sqrt{k/m}$ là tần số riêng, $\varphi_0$ là pha dao động đầu tiên. Tần số được xác định bởi các tham số của hệ dao động $(k$ và $m)$, đồng thời biên độ và pha ban đầu phụ thuộc vào cách hệ thống được đưa ra khỏi trạng thái cân bằng một cách chính xác, nghĩa là các khoảnh khắc ban đầu của thời gian $t_0=0$ được xác định:

$$x_0=x(t_0)=x_m \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi_0)=$$

$$=x_m \cos \varphi_0,$$

$$v_0=v(t_0)=x'(t_0)=$$

$$=-x_m \sqrt{\frac{k}{m}} \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t_0+\varphi_0)=$$

$$=-x_m \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \varphi_0.$$

Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, chúng ta tìm thấy $\varphi_0$:

$$tg \varphi_0=-\sqrt{\frac{m}{k}} \frac{v_0}{x_0}, \varphi_0=\arctg\left(-\sqrt{\frac{m}{k}} \frac{v_0}{x_0}\right).$$

Cách dễ nhất để tìm giá trị $x_m$ là loại trừ các hàm lượng giác bằng phương pháp bình phương và cộng phương trình thông thường:

$$x_0^2+\frac{m}{k}v_0^2=x_m^2, \quad x_m=\sqrt{x_0^2+\frac{m}{k}v_0^2}.$$

Bạn có thể đặt tọa độ $x(t_1)$ và $x(t_2)$ làm khoảnh khắc thời gian “thuận tiện” $t_1$ và $t_2$ hoặc tốc độ $v(t_1)$ và $v(t_2)$ hoặc tọa độ $x(t_1)$ và tốc độ $v(t_2)$, v.v. Điều quan trọng là không có khoảnh khắc thời gian $t_1$ và $t_2$ cách nhau bởi một số nguyên các nửa chu kỳ.

Như vậy, khi biết phương trình chuyển động của hệ (phương trình (2)) và hai dữ liệu bổ sung, chúng ta sẽ mô tả đầy đủ chuyển động. Điều tương tự cũng có thể nói, chẳng hạn, về chuyển động có gia tốc theo trọng lực - gia tốc bằng cách xác định các lực, và cùng với tọa độ và tốc độ ban đầu, điều này cho phép chúng ta biết hoàn toàn mọi thứ về chuyển động đó.

Các phương trình tương tự như phương trình (1) thu được trong nhiều bài toán dao động—bạn chỉ cần chọn biến đúng. Hãy để chúng tôi minh họa điều này bằng một số điều kiện bài toán về tải trọng bên ngoài.

49

Nhiệm vụ 1. Tải trọng - một chiếc cốc cân có khối lượng $M$ - làm tăng độ cứng bên ngoài $k$, và xảy ra dao động khi một vật nặng có khối lượng $m$ được đặt vào cốc (nó đi theo đường $h$ trước khi va chạm và dính vào cốc). Mô tả chuyển động của cốc.

Chúng ta hãy hướng trục tọa độ $X$ và chọn gốc tọa độ 0 như trong hình 1. Xét rằng lúc đầu chiếc cốc ở trạng thái cân bằng, chúng ta viết

$$Mg - k(l - l_0) = 0$$

($l$ là chiều dài của lò xo có cốc treo, $l_0$ là không có cốc treo). Khi lệch $x$ so với vị trí ban đầu, khi vật nặng đã dính vào cốc thì phương trình chuyển động của hệ sẽ là:

$$(M + m)g - k(l - l_0 + x) = (M + m)x''.$$

Mở ngoặc và tính đến phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được

$$x'' + \frac{k}{M + m}x = \frac{mg}{M + m}.$$

Phương trình này rất giống với phương trình (1), chỉ có phần bên phải can thiệp - nó không bằng 0. Rõ ràng là tại sao điều này lại xảy ra: chúng ta đã lấy gốc tọa độ sai vị trí, bởi vì vị trí cân bằng của chiếc cốc nặng hơn đã di chuyển xuống dưới một khoảng $\Delta x = mg/k$. Nếu chúng ta giới thiệu một biến mới

$$x_1 = x - \Delta x = x - \frac{mg}{k},$$

thì phương trình của $x_1$ sẽ gần giống như (1):

$$x_1'' + \frac{k}{M + m}x_1 = 0$$

(hãy nhớ rằng với sự thay đổi biến như vậy, các biến tùy ý từ $x_1$ cũng giống như từ $x$).

Chúng tôi sẽ không quyết định ở đây bài toán

Hình 1.

Hình 2.

Cuối cùng, chúng ta đã làm được việc chính - chúng ta đã thu được phương trình dao động. Từ đó ta tìm được ngay tần số dao động:

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M + m}}.$$

Để mô tả đầy đủ chuyển động của hệ, trước tiên bạn phải giải bài toán về tác động không đàn hồi của tải lên cốc, sau đó tìm biên độ và pha ban đầu của dao động. Hãy tự mình thực hiện việc này (đáp số được đưa ra ở cuối số báo trên trang 59).

Tần số dao động điều hòa của hệ thống cũng có thể được tìm thấy từ các thông điệp năng lượng. Hãy chỉ ra điều này bằng ví dụ về mạch dao động lý tưởng (không tổn hao).

Chúng ta hãy biểu thị bộ tải tối đa (biên độ dao động của tải) bằng $q_m$ và dòng điện cực đại qua cuộn dây (biên độ dao động của dòng điện) bằng $I_m$. Dòng điện là tải tùy ý đầu tiên của các bản theo thời gian, do đó đối với các dao động điều hòa thì hệ thức này có giá trị

$$I_m = q_m\omega_0.$$

Tại thời điểm tải tối đa ($q = q_m$), dòng điện bằng 0 và tại $i = I_m$ tải biến mất về 0. Chúng ta hãy tìm năng lượng của mạch tại thời điểm đã chỉ định và đánh đồng chúng:

$$\frac{q_m^2}{2C} = \frac{LI_m^2}{2},$$

hoặc $$\frac{q_m^2}{2C} = \frac{Lq_m^2\omega_0^2}{2},$$

trong đó $C$ là điện dung của tụ điện, $L$ là độ tự cảm của cuộn dây. Từ đây

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Để biết ví dụ về ứng dụng phương pháp phân giải năng lượng, hai bài toán.

Bài 2. Tìm chu kỳ dao động thẳng đứng của một tải trọng có khối lượng $m$ trong hệ như hình hình 2. Xét khối lượng của khối $M$ tập trung ở trục của nó. Lò xo có độ cứng $k$, sợi dây không giãn.

Chúng ta hãy đánh đồng năng lượng của hệ ở vị trí cân bằng và ở vị trí cực trị, khi tốc độ của tải bằng không. Nhưng trước tiên, hãy tĩnh lặng một chút. Biểu thị chiều dài của lò xo không dãn bằng $l_0$ và chiều dài của nó ở vị trí cân bằng bằng $l$, ta viết

$$k(l - l_0) = Mg + 2mg$$

(xuống khối, tác động làm đổ mồ hôi của các sợi bằng trọng lượng của tải).