Kvant 1986, số 4 · Trang

QUANTUM
4
1986

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

9.33 đã vào
Trái đất
tôi đã rời đi
9,42 V
Tốt.
Tôi sẽ dán những con ngựa lại với nhau.
Cho tôi một ít đất
trên BC+1
12. IV 61 - GAGARIN

Trang này hiển thị ở các góc nhìn khác nhau một bề mặt hình yên ngựa được các nhà toán học gọi là parabol hyperbol. Nó có thể được chỉ định trong hệ tọa độ không gian Oxyz của phương trình z=xy - khi đó nó trông như được hiển thị trong hình ở trên cùng bên trái. Điều này có thể nhận thấy hình từ cuốn sách tuyệt vời của D. Hilbert và S. Kohn Vossen “Hình học trực quan” (M.: “Nauka”, 1981, trang 23), mà chúng tôi khuyên tất cả những người yêu thích hình học nên mua.

Xin lưu ý, hãy nhìn vào chân dung của bề mặt z=xy, ví dụ, nằm trên nó (ví dụ trên trục tọa độ 0x và 0y). Người ta chứng minh rằng qua mỗi mặt có đúng hai đường thẳng chứa các mặt trong đó. Hơn nữa, toàn bộ bề mặt được hình thành bởi một họ đường vô tận nối hai đường giao nhau cố định. Có hai gia đình như vậy; các đường thẳng tạo nên chúng được gọi là đường sinh trực tuyến; chúng có thể được nhìn thấy ở hình ở trên cùng bên phải.

Một parabol hyperbol không chỉ là trò giải trí cho những người yêu thích hình học. Nó rất thường được sử dụng trong kiến ​​trúc để tạo mái và trần nhà: sự hiện diện của các đường sinh thẳng giúp tạo ra một bề mặt cong màu đỏ, không thể tích từ các phần tử bề mặt chung (được đính kèm). Một tòa nhà có mái như vậy được hiển thị ở vị trí hình hướng xuống. Tòa nhà bể bơi Olympic ở Moscow có cùng mái nhà.

Parabolon hyperbol còn có những ứng dụng khác ít được biết đến hơn. Ví dụ, trong sinh học. Vì vậy, hình ở trên cùng bên phải từ bài viết của N. M. Aglom về di truyền quần thể từ số báo này «Kvant».

1

TRONG PHÒNG:

2. G. M. Grechko. Kính gửi độc giả «Kvant»

3. T.K. Breus. Lại hẹn hò với sao Hỏa

4. I. M. Yaglom. Di truyền quần thể và hình học

5. V. A. Bronisten. Mặt trăng di chuyển như thế nào?

6. A. V. Byalko. Chuyến bay tới Mặt trời
   G. M. Grechko. Gửi tới độc giả của Lượng tử
   T. K. Breus. Một cuộc hẹn hò khác với sao Hỏa
   I. M. Yaglom. Di truyền quần thể và hình học
   V. A. Bronshten. Mặt trăng di chuyển như thế nào
   A. V. Byalko. Flight to the Sun

7. Phòng thí nghiệm «Kvant»
   A. A. Borovoy. Mao mạch và làm ướt
   Kvant’s lab
   A. A. Borovoy. Mao mạch và độ ẩm

8. Trường học ở «Kvant»
   Matematika 10
   Trường học yêu thích bài toán
   Kvant’s school
   Mathematics 10
   Selected school problems

9. «Kvant» cho học sinh nhỏ
   Nhiệm vụ
   A. P. Savin. Hình giúp lý luận
   Kvant for younger school children
   Problems
   A. P. Savin. Drawings help your reasoning

10. Kính vạn hoa «Kvant»
    Kvant’s kaleidoscope

11. Vấn đề «Kvant»
    Nhiệm vụ M976 - M980; F988 — F992
    Lời giải bài toán M956 — M960; F968 — F972
    Kvant’s problems
    Problems M976 — M980; P988 — P992
    Solutions M956 — M960; P968 — P972

12. Nghệ thuật lập trình
    Yu. V. Kotov. Chúng ta hãy nhìn vào màn hình
    The art of programming
    Yu. V. Kotov. Looking at the display

13. Các phần tử bán dẫn của công nghệ máy tính
    VIII. Đăng ký
    Semiconducting elements in computers
    VIII. Registers

14. Xưởng của người nộp đơn
    A. I. Vuzdin, S. S. Krotov. Các quá trình nhiệt trong chất khí
    College applicant’s section
    A. I. Buzdin, S. S. Krotov. Heat processes in gases

15. Các lựa chọn thi tuyển sinh
    Entrance examination problems

16. Thông tin
    Trường Vật lý Tương ứng tại Đại học quốc gia Moscow
    Information
    Moscow university physics correspondence school

17. Đáp số, gợi ý, lời giải
    Pha trộn (4)
    Trang cờ vua
    số liệu cố định
    (trang bìa thứ 3)
    Answers, hints, solutions
    Miscellaneous (4)
    The chess page
    Motionless pieces
    (3rd cover page)

(C) Nhà xuất bản “Nuka”. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1986

2

Các bạn thân mến!

Hôm nay chúng ta gặp 25 sự khởi đầu của việc con người bị giam cầm vào không gian. Một phần tư thế kỷ trước, vào ngày 12 tháng 4 năm 1961, Yuri Gagarin là người đầu tiên đặt chân lên con đường phía dưới đã trở thành đường cao tốc ngày càng đông đúc người qua lại.

25 năm là quá ít và quá nhiều. Chưa đủ - bởi vì những sự kiện trong những năm đó rất sống động và khó quên, những sự kiện ngày nay dường như mới xảy ra. Rất nhiều - bởi vì trong suốt một phần tư thế kỷ, các thế hệ đã thay đổi cả trong thế giới công nghệ và giữa con người với nhau.

Trong những lần bị giam cầm đầu tiên ngoài không gian, anh là người duy nhất ở trên con tàu, và ý nghĩa chính của nó là kiểm tra con tàu và bản thân anh trong những điều kiện khắc nghiệt. Trong thời gian vũ trụ của tập đầu tiên đang chờ đợi tập hợp thứ hai, bản thân công nghệ vũ trụ và nghiên cứu bài toán đã thay đổi nhiều đến mức cần phải đào tạo lại nhiều hơn một hoặc hai lần. Đơn giản là không thể bay hai lần trong một chương trình tương tự. Mỗi sự giam cầm đều là sự giam cầm vào những điều chưa biết. Làm việc trong không gian, các thí nghiệm khoa học kỹ thuật chỉ là những bước đầu tiên, không phải lúc nào cũng tự tin…

Ở Serodnya, sau một phần tư thế kỷ, một thế hệ công nghệ vũ trụ mới và một thế hệ vũ trụ mới đã xuất hiện. Bây giờ chúng không chỉ lớn hơn về số lượng mà còn bay lớn hơn (cả dài hơn và nhanh hơn). Bạn luôn có thể nói về tính chuyên nghiệp, khả năng “tái sử dụng” của không gian hoặc trường học chịu trách nhiệm chuẩn bị cho họ.

Với sự phát triển của các tổ hợp quỹ đạo, phạm vi thử nghiệm khoa học rộng hơn trong các điều kiện độc đáo của không gian đã mở ra. Giờ đây, phi hành đoàn vũ trụ là một nhóm gồm những người thử nghiệm, trong đó sự hỗ trợ và hỗ trợ lẫn nhau không loại trừ khả năng chuyên môn hóa sâu về các vấn đề riêng lẻ.

Một ví dụ là việc nghiên cứu các hiện tượng quang học trong không gian gần Trái đất. Những đám mây dạ quang và xà cừ, những “râu” phát sáng của bầu khí quyển tổng hợp và cực quang phía trên đường chân trời, vị trí của Mặt trời và những ngôi sao lấp lánh lúc bình minh và hoàng hôn - đây không phải là một bảng màu hoàn chỉnh gồm các hiện tượng kỳ lạ của bầu khí quyển phía trên. Có lần tôi may mắn được tham gia một thí nghiệm trên các trạm quỹ đạo và những tài liệu quan sát chung thu được trong thời gian này đã hình thành nên nội dung của nhiều công trình khoa học. Việc xử lý kết quả của những quan sát này mang lại lợi ích đáng kể.

Và thật vui khi biết rằng kết quả của thí nghiệm đang cần được đáp ứng, cũng thật buồn khi biết các kế hoạch đang được thực hiện để điều chỉnh vũ trụ cho phù hợp với các mục tiêu của khoa học. Thật đáng xấu hổ khi quỹ được chi cho các chương trình quân sự và sự hiện diện của vũ khí hủy diệt hàng loạt dẫn đến sự ngờ vực.

Tôi tin rằng nhân loại trên thế giới sẽ vượt qua được những kế hoạch nguy hiểm, chúng ta sẽ là nhân chứng và người tham gia nhiều thí nghiệm khoa học hòa bình ngoài vũ trụ.

Trân trọng

G. M. Grechko /

3

Một lần nữa chứng kiến ​​​​với sao Hỏa

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
T. K. BREUS

Sao Kim và Sao Hỏa là hàng xóm gần nhất của Trái đất. Cùng với Sao Thủy, chúng tạo thành cái gọi là nhóm hành tinh trên mặt đất, giống nhau về tính chất (khối lượng, kích thước, thành phần) và rõ ràng là về nguồn gốc và sự tiến hóa.

Xin thưa, không có hành tinh nào khác trong hệ mặt trời lại kết nối con người với nhiều truyền thuyết, giả thuyết kỳ lạ và những tưởng tượng táo bạo như hành tinh Sao Hỏa. Vì có màu hơi đỏ nên sao Hỏa có vẻ đáng ngại đối với đối tượng của chúng ta. Trên thực tế, chính tên của hành tinh và các vệ tinh của nó có liên quan đến điều này: dịch từ tiếng Hy Lạp, “Mars” có nghĩa là giàu có, “Phobos” và “Deimos” có nghĩa là sợ hãi và kinh hoàng. Không có gì đáng ngạc nhiên khi hai vệ tinh của Sao Hỏa được dự đoán bởi các nhà thiên văn học Laputian tuyệt vời trong cuốn “Những chuyến du hành của Gulliver” nổi tiếng của J. Swift thực sự đã được phát hiện một thế kỷ rưỡi sau bởi nhà thiên văn học người Mỹ A. Hall! Và những “kênh đào trên sao Hỏa” được phát hiện bởi nhà thiên văn học người Ý G. Schipaprelli, điều này làm nảy sinh hy vọng lạc quan về sự tồn tại của “những người anh em trong tâm trí” trên sao Hỏa, hóa ra lại là những cấu trúc địa chất tự nhiên - tiếng Nga của “những dòng sông khô cạn”!

Giờ đây, khi số lượng trạm vũ trụ được gửi lên sao Hỏa đã lên đến hàng chục, phải thừa nhận rằng những người mơ mộng và lạc quan đều thất vọng; chúng ta đã học được rất nhiều điều từ chuyên môn hóa, nhưng những bí ẩn và giả thuyết vẫn không hề giảm bớt, mặc dù chúng không còn kỳ lạ như trước. Những chuyến thám hiểm màu xám đầu tiên trên Sao Hỏa do các trạm Sao Hỏa quốc tế tự động của Liên Xô thực hiện vào năm 1971. Và hiện Liên Xô đang chuẩn bị một dự án không gian mới để khám phá Sao Hỏa và hai vệ tinh của nó. Dự án này được gọi là “Phobos”. Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô đã mời các tổ chức khoa học của các nước xã hội chủ nghĩa cũng như Đức, Áo, Phần Lan, Thụy Điển và Cơ quan Vũ trụ Châu Âu tham gia dự án.

Hai tàu vũ trụ sẽ được phóng từ Sân bay vũ trụ Baikonur vào tháng 7 năm 1988 và sẽ khám phá Mặt trời cũng như các đặc tính của môi trường liên hành tinh trong hai trăm ngày trên đường tới Sao Hỏa. Sau đó, các thiết bị này sẽ trở thành vệ tinh nhân tạo của Sao Hỏa và sẽ dạy chúng “sống” trong quỹ đạo tròn trong đó vệ tinh tự nhiên Phobos của nó quay quanh Sao Hỏa. Một trong những thiết bị sẽ học cách “săn lùng” Phobos, dần dần tiếp cận nó để xem xét nó từ “các quan điểm khác nhau”. Thiết bị thứ hai sẽ đi theo thiết bị đầu tiên hoặc hướng tới Deimos.

Cả hai vệ tinh của Sao Hỏa dường như đều là các tiểu hành tinh bị Sao Hỏa bắt giữ. Các tiểu hành tinh, giống như sao chổi, không trải qua những thay đổi địa chất đáng kể kể từ khi hình thành hệ mặt trời. Vì lý do này, việc nghiên cứu các tiểu hành tinh và sao chổi giúp có thể đánh giá các điều kiện hình thành các thiên thể trong hệ mặt trời và quá trình tiến hóa tiếp theo của chúng. Và điều này rất quan trọng để hiểu được nguồn gốc và sự tiến hóa của Trái đất, những vấn đề của đời sống tự nhiên.

Bước đầu tiên trên con đường này đã được thực hiện - tàu vũ trụ Vega chạm trán với sao chổi Halley. Rõ ràng, trong dự án Phobos, việc làm quen trực tiếp với thiên thể - Phobos - sẽ được thực hiện.

Có rất nhiều điều để nói về những nhiệm vụ thú vị của dự án Phobos. Từ quỹ đạo của một vệ tinh nhân tạo của Sao Hỏa, nghiên cứu sẽ được thực hiện trên chính hành tinh này - địa hình, bề mặt, bầu khí quyển, v.v. Ngoài ra còn có bài toán nghiên cứu các đặc tính của Sao Hỏa với tư cách là một hành tinh nói chung. Một thí nghiệm như vậy, được gọi là Điều kiện Plasma, sẽ khám phá tầng trong của Sao Hỏa.

Giống như Trái đất, tầng trong của Sao Hỏa bao gồm plasma chứa các electron và ion. Trong tầng trong của Trái đất và các hành tinh khác, nồng độ các hạt ô nhiễm đầu tiên tăng lên -

4

tăng dần khi tăng độ cao, đạt cực đại ở một độ cao nhất định rồi bắt đầu giảm.

Dự án Phobos dự định thu được sự phân bố độ cao của nồng độ electron ở các tầng trên của tầng điện ly của Sao Hỏa. Bản thân việc nghiên cứu tầng điện ly rất quan trọng vì các đặc tính của nó quyết định phần lớn đến “sự sống” của hành tinh. Ngoài ra, kiến ​​thức về “cấu trúc” tầng điện ly của hành tinh sẽ giúp trả lời câu hỏi: Sao Hỏa có từ trường riêng không?

Kể từ khi phát hiện ra gió mặt trời - những dòng plasma do Mặt trời phát ra vào không gian liên hành tinh - người ta thấy rõ rằng các hành tinh không tồn tại trong khoảng trống của không gian.

Gió mặt trời thổi qua các hành tinh là một môi trường cực kỳ hiếm chỉ chứa một vài hạt hoặc vài chục hạt trên 1 cm$^3$. Tuy nhiên, nếu hành tinh này không có màn hình – từ trường riêng của nó – thì hai plasma – mặt trời và hành tinh (tầng điện ly) – sẽ tương tác mạnh mẽ với nhau. Kết quả của sự tương tác này, một ranh giới rõ ràng trên của tầng điện ly được hình thành, ngăn cách hai plasma - tầng điện ly và mặt trời. Plasma tầng điện ly dưới “áp suất” của gió mặt trời hóa ra bị ép từ phía Mặt trời. Đây chính xác là những gì đang xảy ra trên sao Kim, nơi không có từ trường riêng.

Một bức tranh hoàn toàn khác được quan sát gần Trái đất. Trái đất có một lá chắn bảo vệ - từ trường riêng của nó, có tác dụng “ngăn chặn” luồng gió mặt trời ở xa bề mặt trái đất. Do đó, tầng điện ly của Trái đất được bảo vệ khỏi gió mặt trời và hoạt động phần lớn độc lập với nó.

Chuyện gì đang xảy ra trên sao Hỏa? Sao Hỏa có từ trường riêng nhưng rất yếu, yếu hơn Trái Đất cả chục nghìn lần. Nhưng nó vẫn tồn tại! (Sao Kim là hành tinh không có từ tính duy nhất được nghiên cứu cho đến nay). Tuy nhiên, vẫn chưa rõ liệu từ trường của sao Hỏa có đóng vai trò là lá chắn tương tự cho hành tinh này như từ trường của Trái đất đối với Trái đất hay không. Nếu có, thì tầng điện ly phía trên của Sao Hỏa sẽ hoạt động theo cách tương tự (hoặc theo cách tương tự) như của Trái đất. Nếu không, nếu từ trường của Sao Hỏa nhỏ đến mức gió mặt trời không “lấn át” sự hiện diện của nó, thì tầng điện ly của Sao Hỏa sẽ tương tự như của Sao Kim.

Đáp số Câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác đã được các chuyên gia từ chuyên gia về Sao Hỏa và Phobos giải đáp.

Di truyền học
quần thể
và hình học

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
I. M. YAGLOM

Toán học
và phi toán học

Trong số tất cả các ngành khoa học, toán học chiếm một vị trí hiện đại, đặc biệt chỉ thuộc về nó. Khoa học tự nhiên - vật lý, hóa học, thiên văn học, sinh học, địa chất, khoáng vật học,… - nghiên cứu thế giới chúng ta đang sống; Các ngành nhân văn - văn học, phê bình văn học, pháp luật (luật), lịch sử, đạo đức, khoa học tự nhiên, xã hội học,… - nghiên cứu xã hội loài người dưới những biểu hiện khác nhau của nó, tức là cũng là một cái gì đó thực sự tồn tại, có thể quan sát được và thậm chí có thể thử nghiệm. Ngược lại, toán học sử dụng một số cấu trúc thiên văn, chẳng hạn như số $\sqrt{2}$ hoặc (cũng không thực sự tồn tại trong tự nhiên!) một đường không có chiều rộng mà chỉ có chiều dài; Các đối tượng của toán học có thể được xác định một cách chính xác nhất bằng cách xác định, chẳng hạn như trong hình học, một danh sách đầy đủ các tiên đề mà các đối tượng này phải thỏa mãn. Đồng thời, vai trò nổi bật của toán học gắn liền với việc ứng dụng nó vào cả khoa học tự nhiên và nhân văn, với khả năng “mô hình hóa toán học” của các vật thể trong thế giới thực. Trong mô hình toán học, một mối quan hệ như vậy được tạo ra giữa các đối tượng này và các khái niệm toán học nhất định, trong đó mối quan hệ giữa các khái niệm này truyền tải khá chính xác mối quan hệ giữa những “vật” thực mà chúng ta quan tâm. Điều này giúp chúng ta có thể nghiên cứu những “thứ” này bằng cách sử dụng lý luận toán học thuần túy. Chúng tôi sẽ minh họa sơ đồ chung này cho việc sử dụng toán học ở đây bằng cách sử dụng ví dụ nghiên cứu các hiện tượng di truyền, hay chính xác hơn là di truyền quần thể.

Di sản

Theo sơ đồ cổ điển đơn giản nhất của G. Mendel*), chúng ta sẽ tập trung vào một đặc điểm di truyền được xác định bởi một cặp gen; chẳng hạn, dấu hiệu đó là màu lông (đen hoặc nâu) của chuột lang. Mỗi gen chịu trách nhiệm về tính trạng này có thể là một trong hai loại - G hoặc g: một trong số chúng, được ký hiệu bằng chữ in hoa G, chỉ định phiên bản trội (chiếm ưu thế) của tính trạng (trong ví dụ của chúng tôi là màu đen), loại còn lại - g - phiên bản tiếp nhận (bị ức chế) của tính trạng. Điều này có nghĩa là ngoại hình của lợn nấm H bị trộn lẫn

*) Nhà tự nhiên học người Áo Gregor Johann Mendel (1822-1884), người từng là tu viện hiện nay trên lãnh thổ Nivenian Tiệp Khắc, đã đặt nền móng cho học thuyết hiện đại về di truyền (di truyền học).

8

Lai tạo với “con lai”. Bây giờ hãy để các cá thể của quần thể $P = P(d, h, r)$ chỉ lai với các cá thể lai H. Lập luận như trong ví dụ đầu tiên, chúng ta thu được rằng một nửa số con cái sẽ nhận gen $G$ từ bố mẹ lai, và nửa còn lại - $g$, và trong mỗi nửa này, các cá thể có gen thứ hai (được thừa hưởng từ bố mẹ từ quần thể $P$) sẽ là $G$, sẽ tạo thành chia sẻ $\Gamma$, và những cá nhân có gen thứ hai $g$ sẽ chiếm phần chia sẻ $\gamma$. Do đó, đối với dân số tổ tiên $P'(d', h', r')$ chúng ta có

$$d' = \frac{\Gamma}{2} = \frac{d}{2} + \frac{h}{4}, \quad h' = \frac{\Gamma}{2} + \frac{\gamma}{2} = \frac{1}{2}, \quad r' = \frac{\gamma}{2} = \frac{r}{2} + \frac{h}{4}.$$

So sánh tọa độ của các điểm $P'(\Gamma/2, 1/2, \gamma/2)$ và $P_0(\Gamma, 0, \gamma)$, chúng tôi tin chắc rằng điểm $P'$ được lấy từ $P$ với tâm $H$ và hệ số 1/2 (hình 4). Điều này có nghĩa là phép biến đổi $f_2$, dịch $P$ thành $P'$, có thể được biểu diễn dưới dạng thành phần của phép chiếu theo hướng $h$ lên một đường thẳng nối trung điểm $M$ và $N$ cạnh DH và HR của tam giác của chúng ta và một hình học có tâm ở giữa $T$ của đoạn MN và đoạn thẳng hệ số 1/2.

Từ cách biểu diễn này, có thể thấy ngay rằng phép biến đổi di truyền $f_2$ ngay lập tức biến đổi tam giác DHR (tập hợp tất cả các quần thể) thành đường giữa MN (tập hợp các quần thể bao gồm một nửa các giống lai) và có một điểm cố định duy nhất (một quần thể ổn định giữ nguyên thành phần của nó) - điểm $T$ (1/4,

Graph

Hình 4.

Các thế hệ kế tiếp $P'$, $P'' = f_2(P')$, … được biểu diễn bằng các điểm của đường thẳng MN; mỗi người trong số họ đi vào bước tiếp theo với tâm $T$ và hệ số 1/2 (tất nhiên không cần thiết kế chúng nữa). Vì vậy, các quần thể $P'$, $P''$, … tiếp cận vô thời hạn quần thể ổn định $T$.

Bài toán 3. Giả sử $f_{abc}$ là một phép biến đổi di truyền dẫn đến sự lai giữa quần thể $P(d, h, r)$ với quần thể cố định $P(a, b, c)$ (tất nhiên là $a,b,c \geq 0$ và $a+b+c=1$); ví dụ: $f_{100}$ và $f_{010}$ là các phép biến đổi $f_1$ và $f_2$ được thảo luận trong văn bản. Viết các công thức của phép biến đổi $f_{abc}$ và tìm hiểu ý nghĩa hình học của nó, tìm quần thể ổn định. Điều gì xảy ra khi phép biến đổi $f_{abc}$ được lặp lại nhiều lần?

Panmixia.
Định luật Hardy-Weinberg

Các biến đổi di truyền $f_1$ và $f_2$ được thảo luận ở trên chủ yếu mang tính chất giáo dục. Sự biến đổi di truyền $P' = f(P)$ có ​​ý nghĩa lớn hơn nhiều đối với di truyền quần thể, trong đó quần thể con cháu $P'$ thu được trong mệnh đề về sự hình thành các cặp hoàn toàn ngẫu nhiên từ quần thể $P$ - phương pháp hình thành các cặp giao phối này về mặt sinh học được gọi là panmixey (sự pha trộn hoàn toàn các cá thể trong quần thể). Trong trường hợp này, người ta tin rằng ở phần nữ và nam trong quần thể $P(d, h, r)$ tỷ lệ cá thể của mỗi loại D, H, R là như nhau (và tất nhiên là bằng $d, h, r$). Rõ ràng là việc lựa chọn khoa học các cặp giao phối và việc lựa chọn một cặp gen tiếp theo được truyền cho con cháu (một gen từ bố mẹ) có thể được thay thế bằng sự lựa chọn ngẫu nhiên trực tiếp một cặp gen từ bộ gen của quần thể $P$. Trong trường hợp này, tần suất phát sinh các cặp $GG$ (tức là tỷ lệ $d'$ cá thể trội trong quần thể di truyền $P'$) sẽ bằng $\Gamma^2$, tần số của các cặp $Gg$ và $gG$ (tỷ lệ các cá thể lai $h$) sẽ là $2\Gamma\gamma$ và các cặp $gg$ (tỷ lệ $r'$ cá nhân đánh giá lại) - $\gamma^2$. Vì thế,

$$d' = \Gamma^2 = (d + h/2)^2, \quad h' = 2\Gamma\gamma = 2(d + h/2)(h/2 + r), \quad r' = \gamma^2 = (h/2 + r)^2$$

(lưu ý rằng $d' + h' + r' = (\Gamma + \gamma)^2 = 1$).

Các công thức trong khuôn khổ thể hiện một trong những quy luật cơ bản của dân số

9

di truyền học - cái gọi là định luật Hardy-Weinberg, theo nghĩa đen, bất kỳ bài trình bày nào về bộ môn này, vốn rất quan trọng ngày nay, đều bắt đầu; chúng cho thấy thành phần của quần thể thay đổi như thế nào trong điều kiện “pha trộn thực sự” - trong trường hợp không có bất kỳ yếu tố bổ sung nào điều chỉnh sự hình thành các cặp giao phối.

Chúng ta hãy tìm hiểu ý nghĩa hình học của phép biến đổi $f$ (tức là định luật Hardy-Weinberg). Trước hết, chúng ta hãy lưu ý rằng thành phần nhóm gen của quần thể $P'$ và $P$ là như nhau, vì $\Gamma' = d' + h'/2 = \Gamma^2 + \Gamma\gamma = \Gamma(\Gamma + \gamma) = \Gamma$.

Như chúng ta đã biết, điều này có nghĩa là các điểm $P$ và $P'$ nằm trên một đường thẳng vuông góc với cạnh $DR$. Bây giờ chúng ta đặt $DP_0 = x$ (hình 5), rồi $\gamma = r_0 = x \sin 60^\circ = x\sqrt{3}/2$, do đó,

$$h' = 2\Gamma\gamma = 2(1 - \gamma)\gamma = \sqrt{3}x(1 - x\sqrt{3}/2).$$

Như đã biết, trong hệ tọa độ (hình chữ nhật) thông thường (hình 5) phương trình này cho $0 \leq x \leq DR = 2/\sqrt{3}$ xác định một parabol P khác; Lưu ý rằng trong “tọa độ so với tam giác $DHR$” của chúng ta, nó có phương trình $h^2 = 4dr$ (vì $h'^2 = 4\Gamma^2\gamma^2 = 4d'r'$). Dễ dàng kiểm tra parabol này đi qua các điểm $D, R$ và $T$ (giữa đường giữa $MN$) và chạm vào các đường $DH, RH$ và $MN$ tại các điểm này.

Như vậy, điểm $P' = f(P)$ nằm ở giao điểm của đường vuông góc $DR$ vẽ qua $P$ và các parabol được chỉ ra, nói cách khác,

$$\begin{array}{c} H \\ M \\ T \\ R \\ P' \end{array}$$

Hình 5.

phép biến đổi $f$ là hình chiếu song song của tam giác $DHR$ lên cung $\Pi$ parabol theo hướng $h$.

Do đó, P được cố định ngay lập tức, nghĩa là tất cả các quần thể $P$ ($d, h, r$) đều sao cho $h^2 = 4dr$ ổn định dưới phép biến đổi di truyền $f$. Kết quả thứ hai, theo một nghĩa nào đó, là nghịch lý: nó cho thấy rằng trong một quần thể đủ lớn, không có đột biến và chọn lọc (nhân tạo hoặc tự nhiên), quá trình tiến hóa luôn xảy ra theo một bước. Việc lai ghép tiếp theo giữa các cá thể trong những điều kiện như vậy không làm thay đổi thành phần tương đối của quần thể: nếu $P' = f(P)$, $P'' = f(P')$, v.v., thì $P' = P'' = \dots$ Tuy nhiên, do cuộc sống, các điều kiện lý tưởng hóa để lai giống không bao giờ xảy ra: chúng luôn chỉ được đáp ứng ít nhiều một cách gần đúng. Do đó, luật Hardy-Weinberg chỉ quy định giá trị gần đúng đầu tiên cho việc thực hiện các điều kiện giao nhau, điều này không thể đạt được với sự trợ giúp của các điều kiện tiếp theo của mô hình toán học (ví dụ: xem bài toán 4.). Tất nhiên, kết quả thu được với sự giúp đỡ của họ mỗi lần phải được so sánh với kết quả được quan sát trong tự nhiên.

Bài toán 4. Hãy để ranh giới của cặp trong quần thể $P$ hình thành hoàn toàn ngẫu nhiên (như trong panmixini), nhưng các loài nấm khác nhau về vòng đời của quần thể di truyền, chỉ phần $k$ là còn tồn tại (với $k > 1$ điều này có nghĩa là chỉ phần $(1/k)$ của các cá thể thuộc loại $D$ và $R$ sẽ được giữ nguyên). Mô tả phép biến đổi hình học tương ứng của tam giác $DHR$. Nó hoạt động như thế nào ở $k = 0$ (sự tuyệt chủng hoàn toàn của các loài nấm) và ở $k = \infty$ (sự tuyệt chủng hoàn toàn của các cá thể $D$ và $R$)?

Định luật Hardy-Weinberg được phát hiện độc lập vào năm 1908 tại Cambridge bởi nhà toán học trẻ người Anh Godfrey Harold Hardy và tại Vienna bởi bác sĩ Wilhel Weinberg. (Các sử gia khoa học vinh quang đã chứng minh rằng cách đây 5 năm, quy luật tương tự - dưới nhiều hình thức khác - đã được nhà sinh vật học người Anh W. E. Castle chỉ ra, tác phẩm của ông, một

10

tuy nhiên, nó không được thay thế theo bất kỳ cách nào.) Điều thú vị cần lưu ý là chuyên gia xuất sắc trong lĩnh vực lý thuyết số G.H. Hardy là một chiến binh lão luyện về khoa học “số”: trong tác phẩm khoa học “Lời xin lỗi của một nhà toán học” (thật không may, cuốn sách thú vị này chưa được dịch sang tiếng Nga), ông đã chứng minh một cách nóng nảy tính ưu việt của toán học “số” sáng sủa và giàu ý tưởng so với khoa học “ứng dụng”, hoàn toàn có vẻ nhàm chán đối với ông; Chà, khóa học về phân tích toán học của Hardy được gọi một cách khiêu khích là “Khóa học về số học”. Tuy nhiên, ngày nay, hơn 90% tổng số đề cập đến tên Hardy trong tài liệu khoa học và giáo dục không liên quan đến các tác phẩm xuất sắc về nội dung lý thuyết của ông, mà với “tội lỗi” duy nhất của ông - với công trình ứng dụng được thực hiện khi còn trẻ về di truyền dân số, nội dung mà chúng tôi vừa trình bày.

Hãy nói về tương lai

Ở trên, chúng ta đã xem xét sơ đồ di truyền đơn giản nhất, khi một đặc điểm nào đó, biểu hiện ở hai biến thể, được xác định bởi một cặp gen, mỗi gen có thể thuộc hai loại. Tuy nhiên, số lượng gen, số lượng các loại khác nhau và quy luật biểu hiện bên ngoài của chúng có thể khác nhau. Bây giờ chúng ta sẽ nói ngắn gọn về một trong những hệ thống phức tạp hơn để truyền các đặc tính di truyền.

Có những đặc điểm di truyền đã biết xảy ra ở phụ nữ ít thường xuyên hơn ở nam giới. Ví dụ, chúng bao gồm bệnh máu khó đông (máu không đông máu) và mù màu (không có khả năng phân biệt giữa một số màu nhất định, thường là đỏ và xanh lục). Thứ hai trong số more_NEW này lần đầu tiên được mô tả bởi nhà hóa học nổi tiếng người Anh J. Dalton (1766-1844); Theo tên của ông, sau này nó được gọi là “mù màu”. Bản thân Dalton tin rằng nó còn MỚI hơn đối với nam giới. Ở đây anh ấy đã sai, điều này không có gì đáng ngạc nhiên: theo thống kê, tỷ lệ này ở nam giới là 8% và chỉ 0,5% ở nữ giới. Lý do cho sự khác biệt này được giải thích ở cái gọi là nhiễm sắc thể X. Nhiễm sắc thể này, cùng với nhiễm sắc thể khác - nhiễm sắc thể Y - xác định giới tính của một người*): trong các tế bào của cơ thể phụ nữ, nó có hai

*) Điều này cũng đúng với các loài động vật có vú và côn trùng khác.

Tháng ẩn danh
A₁
A₂
Trái đất
Giai đoạn

Sự khác biệt giữa tháng sizeric và tháng sIUgic
Lutsa
Trái đất
Mặt trời

tháng Rakont
Những tháng mùa đông ở Pioissosk
Ω₁
Ω₂ (tăng)
đầm

Mặt trăng di chuyển như thế nào?

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. A. BRONSHTEN

Chắc hẳn nhiều độc giả «Kvant» sẽ ngạc nhiên: câu hỏi dễ quá! Mọi người đều biết rằng Mặt trăng, vệ tinh tự nhiên duy nhất của Trái đất, chuyển động theo hình elip, cứ 27,3 ngày thực hiện một vòng. Và chuyển động này diễn ra tuân thủ chặt chẽ các định luật Kepler, là hệ quả của định luật vạn vật hấp dẫn do Newton phát hiện ra. Tất cả điều này là đúng, nhưng…

Lý thuyết về chuyển động của Mặt trăng hóa ra là một trong những lý thuyết bài toán phức tạp nhất của cơ học thiên thể, lời giải trong đó cần hai thế kỷ rưỡi (chỉ tính từ Newton). Các nhà khoa học tuyệt vời như Euler, Clairaut, d’Alembert đã nỗ lực rất nhiều để phát triển lý thuyết này…

Vậy những khó khăn đó là gì? Làm thế nào để vượt qua sự táo bạo của họ?

Bốn tháng âm lịch

Chuyển động của Mặt trăng được nghiên cứu bởi các nhà thiên văn học của Babylon cổ đại. Họ cẩn thận ghi lại khoảnh khắc nhật thực và nguyệt thực. Dựa trên những dữ liệu này, nhà thiên văn học Hy Lạp cổ đại Hiparchus (thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên) đã xác định khoảng thời gian của các thời kỳ chính đặc trưng cho chuyển động của Mặt trăng. Theo truyền thống, chúng ta sẽ gọi chúng là “tháng”.

Bốn tháng như vậy đã được biết đến từ thời cổ đại. Tháng thiên văn hay tháng thiên văn là thời kỳ Mặt trăng quay quanh Trái đất; nó được xác định bởi sự chuyển động của Mặt trăng so với các ngôi sao cố định. Tháng giao hội là khoảng thời gian giữa hai lần trăng non (hoặc nửa mặt trăng) liên tiếp. Tháng dị thường là khoảng thời gian giữa hai lần Mặt trăng đi qua liên tiếp trong chu kỳ quỹ đạo của nó. Cuối cùng, tháng draconic là khoảng thời gian giữa hai lần Mặt trăng đi qua nút tăng dần của quỹ đạo của nó - điểm giao nhau của quỹ đạo với mặt phẳng hoàng đạo (teler chúng ta biết rằng đây không gì khác hơn là mặt phẳng quỹ đạo của Trái đất, nhưng vào thời Hiparchus, Trái đất được coi là đứng yên và mặt phẳng hoàng đạo được coi là mặt phẳng của quỹ đạo mà Mặt trời di chuyển quanh Trái đất).

Hyparchus đã tính toán, dựa trên dữ liệu được quan sát bởi các nhà thiên văn học về những nơi bị che khuất, rằng cứ sau 345 năm, vị trí của Mặt trời, Mặt trăng, điểm cận điểm và các nút của quỹ đạo mặt trăng lại được lặp lại; nói cách khác, chu kỳ 345 năm chứa một số nguyên của cả bốn tháng. Khoảng thời gian của các tháng âm lịch bắt nguồn từ chu kỳ Hiparchus chỉ khác nhau một phần nhỏ của một giây so với các giá trị mà các nhà thiên văn học hiện nay thu được, sau khi tích lũy các quan sát trong 21 thế kỷ nữa (các giá trị này được đưa ra ở trang 14).

Tại sao tháng giao hội lại dài hơn tháng thiên văn thì không khó giải thích. Sự thay đổi các pha của Mặt Trăng phụ thuộc vào vị trí của Mặt Trăng so với Mặt Trời. Mặt Trăng cùng với Trái Đất quay quanh Mặt Trời. Hướng chuyển động này trùng với hướng chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất. Kết quả là, chuyển động của Mặt trăng dọc theo quỹ đạo “gần Trái đất” của nó xảy ra như thể có độ trễ: sự lặp lại của các pha mặt trăng xảy ra không phải qua tháng thiên văn mà sau một khoảng thời gian dài hơn, được gọi là tháng giao hội. Không khó để có được sự tương ứng sau đây giữa thời lượng của các tháng thiên văn (S) và giao hội (P):

$$\frac{1}{S} = \frac{1}{P} + \frac{1}{T},$$

trong đó $T$ là khoảng thời gian của năm trên trái đất (tính bằng ngày).

Thực tế là tháng dị thường là độ dài của một thiên văn về cơ bản nhận thức được rằng bản thân quỹ đạo của Mặt Trăng nói chung được biểu thị (trong mặt phẳng của chính nó), và đường nối điểm cận điểm và đỉnh của quỹ đạo (nghĩa là trục chính của hình elip Mặt Trăng) được gọi là đường đỉnh tuyến tính, quay cùng hướng với Mặt Trăng di chuyển. Vì thế Mặt Trăng liên tục đến để “bắt kịp” cận điểm của nó.

Ngược lại, tháng Draconic ngắn hơn tháng thiên văn. Điều này có nghĩa là

đường nút quay về hướng chuyển động của Mặt trăng.

Lý do cho sự quay của trục chính của hình elip mặt trăng và các nút mặt trăng chỉ được tìm ra vào thế kỷ 18, sau khi Newton tạo ra lý thuyết về lực hấp dẫn phổ quát. Và thông qua lý thuyết này, quỹ đạo của các vệ tinh nhân tạo của Trái đất đã đạt được tuổi trẻ thứ hai. Nhưng - điều đầu tiên trước tiên.

Bất bình đẳng mặt trăng

Với tên của nhà thiên văn học Hy Lạp cổ đại Claudius Ptolemy (khoảng 100 - c. 165), nó thường đại diện cho toàn bộ hệ thống địa tâm của thế giới, mà Copernicus, Giordano Bruno, Galileo và Kepler đã chiến đấu chống lại. Nhưng Ptolemy đã có đóng góp to lớn cho sự phát triển của thiên văn học, đặc biệt là lý thuyết về chuyển động của Mặt trăng. Đúng là lúc đó chúng ta chỉ có thể nói về lý thuyết động học, hoặc chưa biết nguyên nhân và định luật chuyển động thực sự của các thiên thể.

Trong một thời gian dài phát triển của khoa học thiên văn, người ta tin rằng các thiên thể chỉ có thể chuyển động đều theo hình tròn. Nếu chuyển động trông phức tạp hơn thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng sự kết hợp của các chuyển động trong một số vòng tròn. Đây chính xác là những gì Ptolemy đã làm với Mặt trăng.

Chuyển động của Mặt trăng trên bầu trời không đồng đều. Để biểu diễn nó như một sự kết hợp của các chuyển động đều xung quanh một vòng tròn, trước tiên cần phải xác định độ lớn của những sai lệch so với chuyển động đều, hay còn gọi là các bất đẳng thức. Và vào thời Ptolemy, và thậm chí cả thời Kepler và rất lâu sau này, người ta thường gọi “bất đẳng thức” là các thành phần riêng lẻ của độ lệch vị trí của Mặt trăng so với vị trí của một điểm tưởng tượng chuyển động đều dọc theo đường hoàng đạo với chu kỳ bằng tháng giữa. Vì vậy, từ “bất bình đẳng” trong thiên văn học có nghĩa hoàn toàn khác với ý nghĩa của nó trong toán học. Tuy nhiên, trong khoa học hiện đại, người ta luôn gặp những ví dụ tương tự ở mỗi bước. Vì vậy, từ “nguyên tố” có nghĩa là một thứ trong hóa học, nhưng là một thứ hoàn toàn khác trong kỹ thuật điện. Không ai có thể nhầm lẫn giữa hạt nhân của sao chổi, hạt nhân của tế bào sống và hạt nhân của nguyên tử. Và bây giờ chúng ta sẽ gặp một ví dụ khác về việc sử dụng các thuật ngữ quen thuộc với chúng ta theo một nghĩa khác.

Tất cả các vị trí trên bầu trời của Mặt trăng, Mặt trời, các ngôi sao và hành tinh có từ thời Ptolemy đã thay đổi trong hệ tọa độ lấp đầy kinh độ và vĩ độ địa lý. Và những tọa độ này được gọi gần như giống nhau: kinh độ thiên văn và vĩ độ thiên văn. Chỉ vĩ độ của các thiên thể không có trục của mặt phẳng hoàng đạo (hãy nhớ rằng vào thời đó, đây là tên của mặt phẳng chứa quỹ đạo của Mặt trời quay quanh Trái đất) và kinh độ - từ điểm không rõ ràng về mùa xuân, tại đó Mặt trời đi qua đường xích đạo thiên cầu mỗi năm một lần. Sau khi đưa ra định nghĩa về sự bất bình đẳng của mặt trăng, Ptolemy chủ yếu xem xét sự bất bình đẳng về kinh độ, suy ra vĩ độ từ độ nghiêng của quỹ đạo mặt trăng, bằng 5° - đây chính xác là cách góc này được xác định bởi Hipparchus, “một người làm việc chăm chỉ và là người tôn thờ sự thật,” như Ptolemy đã gọi ông. (Theo số liệu hiện đại thì Hipparchus đã nhầm chỉ ở 8 phút cung).

Ptolemy trình bày bất đẳng thức tổng quát E của chuyển động của Mặt Trăng theo kinh độ bằng công thức sau (theo ký hiệu hiện đại):

$$E = 6^\circ 15' \sin l + 1^\circ 18' \sin (2D - l) + 19' \sin 2l.$$

16

hoàng đạo. Nhưng khi ông cố gắng suy ra tốc độ trộn lẫn của cận điểm mặt trăng, ông nhận được kết quả bằng một nửa kết quả quan sát được.

Đúng vậy, lý thuyết về chuyển động của Mặt trăng hóa ra lại là một vấn đề khó giải đáp đối với cả bản thân Newton và hàng loạt người theo ông. Khó khăn chính là gì?

Chúng ta biết rằng lực chính tác dụng lên các hành tinh là lực hút của Mặt trời. Dưới tác dụng của lực này, hành tinh này phải có hình elip Keplerian. Sức hút của các hành tinh khác, có khối lượng nhỏ hơn khối lượng Mặt trời hàng nghìn, hàng trăm nghìn và hàng triệu lần, chỉ dẫn đến những sai lệch nhỏ so với hình elip Kepler mà chúng ta gọi là nhiễu loạn. Những nhiễu loạn này rất nhỏ và dễ tính toán. (Được biết, từ những nhiễu loạn trong chuyển động của Sao Thiên Vương, các nhà thiên văn học J. Adams và W. Lever đã tính toán độc lập vị trí và quỹ đạo của một hành tinh chưa được biết đến trước đây gây ra những nhiễu loạn này - hóa ra đó là Sao Hải Vương.)

Trong trường hợp của Mặt trăng, tình hình lại khác. Mặt trăng trong hình ảnh của nó quay quanh Trái đất liên tục chịu sự xáo trộn từ vật thể nặng nhất của hệ mặt trời - Mặt trời. Ngoài ra, những nhiễu loạn này thay đổi theo vị trí dị thường (với sự thay đổi khoảng cách từ Mặt trăng đến Trái đất) và trong suốt cả năm (với sự thay đổi khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời).

Cuộc thi của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg

Ba phần tư thế kỷ đã trôi qua kể từ khi tác phẩm bất hủ “Khoa học toán học về sinh lý học tự nhiên” của Newton được xuất bản. Và mặc dù bản thân Newton đã cố gắng phát triển các lý thuyết về chuyển động của Mặt trăng, nhưng lý thuyết của ông không mang lại độ chính xác cần thiết. Nhưng vào những năm đó, lý thuyết về chuyển động của Mặt trăng có ý nghĩa thực tiễn: kinh độ thiên văn của Mặt trăng được dùng để xác định kinh độ địa lý của một nơi trên Trái đất. Vì Mặt trăng di chuyển trên bầu trời trung bình 13° mỗi ngày nên vị trí của nó trên bầu trời vào một giờ nhất định phụ thuộc vào kinh độ của địa điểm. Các thủy thủ và du khách đã sử dụng điều này để xác định kinh độ địa lý.

Và vào năm 1750, Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg đã công bố một cuộc thi dành cho nghiên cứu hay nhất về chủ đề sau: “Để cho thấy liệu tất cả những bất đẳng thức quan sát được trong chuyển động của Mặt trăng có phù hợp với lý thuyết của Newton hay không, và đâu là lý thuyết thực sự của tất cả những bất đẳng thức này, để có thể sử dụng nó để xác định một cách hoàn toàn chính xác vị trí của Mặt trăng bất cứ lúc nào”.

Công thức này không được chọn một cách tình cờ. Chúng ta nhớ rằng Newton đã thất bại trong việc xác định về mặt lý thuyết tốc độ hòa trộn của cận điểm mặt trăng. Năm 1745, hai nhà toán học nổi tiếng người Pháp, Alexis Claude Clairaut (1713-1765) và Jean Leron d’Alembert (1717-1783), đã cố gắng giải bài toán tương tự bài toán. Cả hai đều là thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Paris, những đối thủ rõ ràng trong khoa học, đang nghiên cứu vấn đề mặt trăng một cách hoàn toàn bất bình đẳng. Khi quyết định bài toán về chuyển động của cận điểm mặt trăng, cả hai đều đi đến kết luận giống như Newton: chu kỳ quay của trục chính của hình elip mặt trăng về mặt lý thuyết sẽ dài gấp đôi thời gian quan sát. Cả hai nhà khoa học thậm chí còn cho rằng định luật Newton không chính xác và cần phải sửa đổi. Chính kết luận này của một trụ cột gồm các nhà khoa học có uy tín đã khiến Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg thông báo về một cuộc thi với công thức trên.

Nhưng vài tháng trước khi công bố cuộc thi, vào tháng 5 năm 1749, Clairaut đã tìm ra nguyên nhân dẫn đến “sự khác biệt” giữa lý thuyết của Newton và các quan sát. Lý thuyết không có lỗi. Thực tế là biểu thức phân tích (dưới dạng công thức) cho hỗn hợp cận điểm được đưa ra bởi các lý thuyết là một chuỗi lũy thừa có dạng $k_0 + k_1 m + k_2 m^2 + \dots + k_n m^n + \dots$, trong đó $m$ là tỷ lệ hỗn hợp hàng ngày của Trái đất và Mặt trăng dọc theo quỹ đạo của chúng ($m \approx 1/13$), $k_n$ là các hệ số số. Giá trị của $m$ nhỏ so với giá trị thống nhất và mỗi thành viên tiếp theo của chuỗi nhỏ hơn nhiều so với thành viên trước đó. Cả Newton, d’Alembert và Clairaut đều từng tính toán giá trị trộn lẫn cận điểm, giới hạn bản thân họ chỉ ở số hạng đầu tiên của chuỗi. Điều này, giống như thỏa thuận Clairaut, dẫn đến kết quả của sự khác biệt giữa tốc độ trộn lẫn được tính toán trên lý thuyết và tốc độ thực tế của cận điểm mặt trăng. Có tính đến thứ hai trong biểu thức trộn

thành viên, Clairaut đã thu được một kết quả đáng khích lệ: sự khác biệt giữa lý thuyết và mức giảm LOB quan sát được hơn ba lần. Clairaut càng lấy nhiều số hạng thì sự khác biệt với dữ liệu quan sát được càng có xu hướng bằng không.

Năm 1752, Clairaut trình bày trước Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg một chủ đề lớn mang tên “Lý thuyết về Mặt trăng, bắt nguồn từ một Nguyên lý duy nhất về lực hấp dẫn, tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách”. Tác phẩm này đã được trao giải thưởng và xuất bản ở St. Petersburg. Trong đó, Clairo quyết định bài toán xây dựng một hình elip, đó thực sự là quỹ đạo của Mặt trăng. Trong công trình của mình, Clairaut lần đầu tiên chứng tỏ rằng sự bất đẳng thức tia sáng biểu hiện không chỉ ở kinh độ và đường đi của Mặt trăng, mà còn ở khoảng cách từ nó đến Trái đất. Trong các công thức của lý thuyết Clairaut, mỗi đại lượng (kinh độ, khoảng cách và khoảng cách) được biểu thị bằng tổng của 20 số hạng của chuỗi.

Công việc của Clairaut đóng vai trò là động lực cho nghiên cứu mới. D’Alembert quyết định kiểm tra kết luận của Clairaut và đi đến kết quả tương tự, mặc dù theo một cách khác. Một thành viên chính thức của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, Leonhard Euler (1707-1783), đã cải tiến lý thuyết của Clairaut, giúp việc biên soạn các bảng chuyển động của Mặt trăng trở nên thuận tiện hơn. Những bảng như vậy đã sớm được nhà thiên văn học người Đức Tobias Mayer biên soạn. 20 năm sau, Euler lại quay sang lý thuyết chuyển động của Mặt Trăng. Năm 1772, ông xuất bản tác phẩm có tựa đề “Lý thuyết về chuyển động của Mặt trăng, được giải thích theo một cách mới”. Thật vậy, trong tác phẩm này, một cách xây dựng lý thuyết mặt trăng về cơ bản mới đã được đề xuất.

Về nguyên tắc, những ý tưởng chứa đựng trong lý thuyết mặt trăng thứ hai của Euler giúp có thể đạt được mô tả chính xác nhất về chuyển động của Mặt trăng. Tuy nhiên, những ý tưởng này đã đi trước thời đại - sự phát triển của khoa học vào thời điểm đó là chưa đủ để có được lời giải bài toán cuối cùng trên cơ sở chúng. Và các lý thuyết về mặt trăng tiếp tục được phát triển theo con đường “nguyên mẫu” ban đầu.

Làm thế nào để xây dựng lý thuyết?

Lý thuyết về mặt trăng đầu tiên của Clairaut, d’Alembert và Euler thuộc lớp phân tích. Trong các lý thuyết này, các biểu thức cho tọa độ của một thiên thể (hoặc cho các thành phần trong quỹ đạo của nó) được rút ra dưới dạng lời giải phương trình chuyển động do lý thuyết của Newton đưa ra. Việc xây dựng những lý thuyết như vậy sau đó đòi hỏi công sức rất lớn. Người tạo ra một trong những lý thuyết phân tích hay nhất, nhà thiên văn học người Pháp Charles Delaunay (1816-1872), đã dành 20 năm làm việc liên tục cho nó. Nhưng lý thuyết của Delaunay không chỉ có thể áp dụng cho Mặt trăng mà còn có thể áp dụng cho bất kỳ vệ tinh nào khác của hành tinh, bao gồm cả vệ tinh nhân tạo của Trái đất.

Trong lý thuyết số, toàn bộ một loạt các phần tử quỹ đạo được lấy từ quan sát và sau đó được tinh chỉnh trong quá trình tính toán. Lý thuyết số tốt nhất về chuyển động của Mặt trăng là lý thuyết của nhà thiên văn học người Đức P. A. Hansen (1795-1874), trên cơ sở đó các bảng về chuyển động của Mặt trăng được biên soạn, đã phục vụ các nhà thiên văn học trong gần nửa thế kỷ - cho đến đầu những năm hai mươi của thế kỷ chúng ta.

Thành công lớn hơn nhiều đã đến với các lý thuyết phân tích số, nền tảng của lý thuyết mặt trăng thứ hai của Euler. Trong trường hợp này, chỉ một số đại lượng được lấy từ quan sát và thay thế vào phương trình chuyển động đến lời giải của chúng.

Năm 1888, nhà thiên văn học người Mỹ George Hill (1838–1914) đã sử dụng ý tưởng của Euler để xây dựng lý thuyết của ông về chuyển động của Mặt trăng. Ông đã cố gắng thu được tốc độ chuyển động của điểm cận nhật của quỹ đạo mặt trăng bằng phương pháp phân tích. Tất cả các bất đẳng thức về chuyển động của Mặt trăng đều được ông chia thành các lớp, tùy thuộc vào số lượng được đưa vào bất đẳng thức này hay bất đẳng thức khác. Vì vậy, nó luôn luôn được “chia” thành nhiều bài toán riêng biệt, mỗi phần được giải quyết riêng biệt. Lý thuyết của Hill được hoàn thiện bởi nhà thiên văn học người Mỹ Ernest Brown (1866-1938). Ông đã cố gắng vượt qua từng khó khăn còn lại của lý thuyết và đạt được độ chính xác đáp ứng được các quan sát của mũi và giữa thế kỷ XX. Biểu thức cho kinh độ của Mặt trăng trong lý thuyết của Brown chứa 552 số hạng, cho bán kính của Mặt trăng - 487 số hạng và cho bán kính vectơ của Mặt trăng - 304 số hạng. Đã từng

(Về phần kết, xem trang 48)

18

Poleg
tới mặt trời

Ứng viên
khoa học vật lý và toán học
A. V. BYALKO

Khi nào người phàm sẽ
quá cao
Có lẽ nó đã
bay,
Vì thế mặt trời sẽ chết
mắt của chúng tôi
Nó có thể đến gần hơn
Nhìn,
Sau đó mọi người sẽ mở ra
các nước
Đại dương luôn nóng…
Ở đó có những tia lửa
phấn đấu
Và không có bờ biển.
Có những hơi thở bốc lửa
quay tròn
Bộ vật lộn
thế kỷ,
Có đá như nước
sôi,
Nóng đấy Domdi
gây ồn ào…

M. V. Lomonsov

Có câu nói: “Bề mặt thú vị nhất là khuôn mặt con người”. Chúng ta hãy tự hỏi: khuôn mặt con người có thể được so sánh với bề mặt nào trong tự nhiên về mặt nội dung và khả năng biến đổi khó lường? Có một đối thủ mạnh - bề mặt của Mặt trời.

Đăng ảnh Mặt Trời lên trang. 19. Thật không may, nó không thể đưa ra ý tưởng đầy đủ về vẻ đẹp và sự phức tạp của ngôi sao của chúng ta. Bề mặt của nó rất rẻ; không thể tìm thấy hai khu vực giống hệt nhau trên đó; và tất cả sự đa dạng này liên tục thay đổi. Ngoài ra, bề mặt mặt trời có quang phổ thay đổi - khi quan sát dưới ánh sáng có bước sóng khác nhau, quang phổ sẽ khác nhau. Điều này xảy ra vì bức xạ có bước sóng khác nhau mà chúng ta nhận được từ Mặt trời được hình thành ở các độ cao khác nhau trong bầu khí quyển mặt trời.

Các hiện tượng trên bề mặt Mặt trời - sự xuất hiện và chuyển động của các đốm, sự biến mất của chúng, các tia sáng mặt trời, các vụ nổ mạnh, v.v. - phản ánh các quá trình phức tạp xảy ra ở các lớp bên trong của ngôi sao của chúng ta. Những gì xảy ra trên Mặt trời ở quy mô nguyên tử đã được biết đến. Chẳng hạn, người ta đã biết ánh sáng tương tác với từng nguyên tử như thế nào, các nguyên tử tương tác với nhau như thế nào. (Mặt trời có 99,9% nguyên tử là hydro và heli.) Tuy nhiên

20

Chúng ta hãy tính toán (điều này sẽ hữu ích cho chúng ta sau này) một trường như vậy từ Trái đất đến Mặt trời sẽ tồn tại trong bao lâu.

Quỹ đạo rơi trên Mặt trời - một đoạn thẳng - là trường hợp giới hạn của quỹ đạo hình elip thon dài với bán cầu chính bằng một nửa bán kính quỹ đạo Trái đất. Theo định luật thứ ba của Kepler, bình phương chu kỳ quay của các vật thể trên quỹ đạo có liên hệ với lập phương của các quỹ đạo bán tĩnh lớn. Điều này có nghĩa là thời gian $t$ rơi xuống Mặt trời (tức là trận mưa rào của chu kỳ quay dọc theo quỹ đạo kéo dài với bán cầu chính $R_\oplus/2$) có thể được xác định từ điều kiện $(2t)^2/T_\oplus^2 = (R_\oplus/2)^3/R_\oplus^3$, trong đó $T_\oplus$, $R_\oplus$ là chu kỳ quay và bán kính quỹ đạo của Trái đất. Vì $T_\oplus$ là 1 năm, $t = 1/4\sqrt{2}$ năm ≈ 0,177 năm.

Thời gian trực tiếp hóa ra không dài, nhưng than ôi, tốc độ ban đầu của nó vẫn chưa đạt được. Làm thế nào bạn có thể di chuyển trường về phía Mặt trời với chi phí năng lượng của chính chúng ta và với cùng tốc độ xuất phát của chúng ta? Trường kinh tế nhất sử dụng trường hấp dẫn của Sao Mộc để giảm tốc độ của trạm trên quỹ đạo quanh Mặt trời. Nhưng để thực hiện thao tác này, bạn cần bay lên Sao Mộc với một tốc độ nhất định. Và để làm được điều này, điều cần thiết là sau khi vượt qua lực hấp dẫn của trái đất, trạm sẽ đi vào quỹ đạo, có tốc độ ban đầu so với Mặt trời $v_0=40,5$ km/s; do đó, so với Trái Đất, tốc độ của trạm lúc này sẽ là 10,5 km/s. Vì vậy, trường bắt đầu với gia tốc của tên lửa cùng hướng với tốc độ chuyển động của Trái đất trên quỹ đạo của nó. Tốc độ khởi động nên được cung cấp cho tên lửa là bao nhiêu?

Để thừa nhận lực hấp dẫn của trái đất, khi phóng nó cần được cung cấp động năng tương ứng với tốc độ vũ trụ thứ hai $v_{\text{II}}=\sqrt{2gR_\oplus} \approx 11,2$ km/s.*) Nhưng hãy cẩn thận - bạn không cần cộng tốc độ vũ trụ thứ hai vào 10,5 km/s để có được tốc độ ban đầu! Từ

*) Trong số Matrovskaya «Kvant» năm nay trong phần “Trường học ở «Kvant»” đã xuất bản ghi chú “Tốc độ vũ trụ thứ hai”. Chúng tôi khuyên độc giả nên làm quen với nó. (Ghi chú của biên tập viên)

Theo định luật bảo toàn năng lượng, chúng ta thấy rằng tốc độ ban đầu tính từ bề mặt Trái đất trong trường hợp của chúng ta bằng $v_{\text{ct.}} = \sqrt{(v_0 - v_\oplus)^2 + 2gR_\oplus} \approx 15,5$ km/s.

Nhân tiện, bạn có biết địa điểm phóng nằm ở đâu trên bề mặt trái đất (từ các thông điệp năng lượng) không? Đây là núi lửa Klimanjaro ở Tanzania, ngọn núi cao 5,9 km gần như nằm trên đường xích đạo. Xét đến tính liên tục của Trái đất, đỉnh núi lửa là điểm xa nhất trên bề mặt Trái đất tính từ tâm (xa hơn Everest!). Có gia tốc rơi tự do thấp nhất trên Trái đất. Tuy nhiên, đỉnh núi lửa luôn phủ đầy tuyết và chưa có kế hoạch xây dựng sân bay vũ trụ ở đó.

Hãy tiếp tục lĩnh vực của chúng tôi. Nó đi qua một phần của quỹ đạo hình elip, băng qua quỹ đạo của Sao Hỏa và tiến gần đến quỹ đạo của Sao Mộc (hình 1). Mục tiêu trung gian của trường là Sao Mộc, hành tinh lớn nhất trong hệ mặt trời. Nó phải làm trạm giảm tốc độ, giảm vận tốc so với Mặt trời - khi đó trạm bắt đầu rơi về phía Mặt trời. Để có mặt tại điểm giao nhau của các quỹ đạo tại thời điểm tiếp cận trạm Sao Mộc, tại thời điểm phóng nó phải ở điểm lệch hình 1 với thời gian bằng 0. Đảm bảo rằng tại thời điểm đi qua quỹ đạo của Sao Hỏa, nó ở đủ xa so với trạm tự động và không làm biến dạng quỹ đạo của nó.

Hình 1. Trường quỹ đạo hướng về Mặt trời với tốc độ xuất phát tối thiểu. Dọc theo quỹ đạo - trường thời gian tính theo năm. Tại thời điểm giao nhau với quỹ đạo của Sao Mộc, 1,35 năm sau khi phóng, trạm giảm tốc độ về 0 so với tốc độ Mặt trời. Sau đó tàu vũ trụ rơi tự do về phía Mặt trời.

21

Hình 2. Quỹ đạo của tàu khi tiếp cận Sao Mộc trong hệ thống báo cáo liên kết với Sao Mộc. Bên phải là sơ đồ tốc độ: a) trước khi sáp nhập; b) sau khi sáp nhập.

Khi ở trong trường hấp dẫn của Sao Mộc, trạm sẽ di chuyển theo một quỹ đạo hyperbol sẽ từ chối hành tinh này (hình 2). Trong trường hợp này, sự cô lập của định luật bảo toàn năng lượng, tốc độ đến gần Sao Mộc và di chuyển ra xa nó tại các điểm đối xứng của hyperbol sẽ giống nhau về giá trị tuyệt đối, nhưng về hướng thì chúng có thể khác nhau. Do đó, trạm phải đi vào quỹ đạo quay quanh Sao Mộc với tốc độ (so với Sao Mộc) $u_1$, có giá trị tuyệt đối bằng tốc độ của chính hành tinh đó (so với Mặt trời) $v_1 = 13,1$ km/s. Hướng của đường xiên phải sao cho khi di chuyển ra xa Sao Mộc tại một điểm đối xứng với điểm bắt đầu của đường xiên thì hướng vận tốc của trạm $\vec{u}_2$ ($|\vec{u}_2| = |\vec{u}_1| = |\vec{u}_4|$) ngược với hướng chuyển động của Sao Mộc dọc theo quỹ đạo của nó. Khi đó, tại thời điểm này, tốc độ của trạm so với Mặt trời sẽ bằng 0 - và dưới tác động của lực hút nhỏ của Mặt trời ở khoảng cách lớn như vậy, người kế nhiệm của chúng ta sẽ bắt đầu tiếp cận Mặt trời một cách rất chậm. Những điều kiện này được đáp ứng trong trường hợp tốc độ của trạm so với Mặt trời khi bắt đầu tiếp cận Sao Mộc bằng $v_1 = 14,3$ km/s (xem hình 2). Và điều kiện này lần lượt xác định tốc độ ban đầu của trạm trên quỹ đạo - 40,5 km/s.

Vì vậy, trong hệ thống báo cáo liên quan đến Sao Mộc, quỹ đạo của trạm gần hành tinh này là một hyperbola. Và trong hệ thống báo cáo liên quan đến Mặt trời, phần quỹ đạo này trông như được hiển thị trong hình 3.

Dòng điện hướng về Mặt trời này sẽ tiếp tục trong bao lâu? Chúng ta đã tính thời gian Mặt trời rơi theo đường thẳng. Trong trường hợp này, khi quá trình rơi bắt đầu từ quỹ đạo của Sao Mộc, cần lấy chu kỳ quay dọc theo quỹ đạo của Sao Mộc $T_u = 11,86$ năm (trái đất) cùng với năm Trái đất. Kết quả là mùa thu sẽ mất $T_u / 4\sqrt{2} \approx 2,1$ năm. Chúng ta hãy thêm vào điều này thời gian bay dọc theo phần hình elip của quỹ đạo (trước “cuộc gặp” với Sao Mộc) - hóa ra là bằng 1,35 năm. Tổng cộng, toàn bộ chuyến bay tới Mặt trời sẽ mất gần 3,5 năm.

Khi nhìn vào đường bay sẽ nảy sinh sai lầm rằng đây là cách Sao Mộc hướng trạm vũ trụ về phía Mặt Trời. Trên thực tế, bộ máy tất nhiên là do con người chỉ đạo. Trước khi tiếp cận Sao Mộc, bạn cần điều chỉnh quỹ đạo - ngay cả một sai lầm nhỏ khi chọn khoảng cách bay gần Sao Mộc hoặc tốc độ với nó cũng có thể phá hỏng toàn bộ chương trình nghiên cứu

(Cuối cùng xem trang 24)

Hình 3. Quỹ đạo của tàu khi tiếp cận Sao Mộc trong hệ thống báo cáo liên kết với Mặt Trời. Thời gian được phân bố dọc theo các cánh tương ứng với thời điểm hợp nhất lớn nhất.

22

Mao mạch và làm ướt

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. BOROVOY

Bạn quyết định rời khỏi thị trấn. Hãy thu dọn đồ đạc của bạn, xem có quên thứ gì không. Và đây… có những chậu hoa trên cửa sổ. Không thể mang chúng theo bên mình và không ai có thể tưới hoa khi bạn vắng mặt. Phải làm gì? Đổ đầy nước vào khay chậu hoa? Phương pháp tưới nước này không phù hợp với tất cả các loại cây - nhiều loại cây không chịu được độ ẩm quá mức. Và quan trọng nhất, nó được thiết kế trong một khoảng thời gian ngắn - vài ngày, một tuần.

Câu hỏi này không mới. Những người trồng hoa từ lâu đã nghĩ ra nhiều thiết kế “mùn cưa tự động” hoạt động đáng tin cậy và lâu dài, thậm chí cả liều lượng nước để tưới hoa.

Bạn có thể dễ dàng tự làm chiếc cưa tự động đơn giản nhất (hình 1). Nước được đổ vào một thùng chứa có nắp đậy. Một đầu của dây garô bằng gạc cuộn chặt được hạ xuống bình này, đầu còn lại được chôn xuống đất. Nước chảy vào cây qua một sợi dây và tốc độ dòng chảy của nó có thể được điều chỉnh bằng cách thay đổi độ dày của dây, độ dốc của dây, v.v. Dây phải được đặt bên trong một ống cao su, khi đó nước sẽ ít tràn ra và bay hơi trên đường tạo màu.

Cả trong bó và trong đất lấp đầy chậu, và một phần trong bản thân cây, nước di chuyển và được giữ lại do một hiện tượng gọi là mao dẫn.

Mao dẫn là một ống mỏng, tổng đường kính trong của nó nhỏ hơn một milimet. Nếu một ống mao dẫn làm bằng thủy tinh nguyên chất được hạ xuống một bình chứa nước thì mức chất lỏng trong đó sẽ cao hơn trong bình (hình 2). Ống càng mỏng thì sự khác biệt này càng lớn. Điều này xảy ra do làm ướt kính sạch bằng nước. Trong một bình thủy tinh rộng, mặt nước chỉ uốn cong ở các thành bình.

Trong đất, các mao mạch hình thành giữa các hạt đất. Nhờ đó, độ ẩm có thể tăng lên một độ cao đáng kể: lên tới 2 mét trong cát và cao hơn nhiều trong đất sét nguyên chất. Quá trình này diễn ra chậm và đôi khi kéo dài vài tuần hoặc thậm chí vài tháng. (Hãy cố gắng tự mình nghĩ ra và tiến hành các thí nghiệm trong đó bạn có thể quan sát được

23

sự dâng lên của nước trong mao mạch đất.)
Nếu bề mặt bên trong của ống không bị chất lỏng làm ướt thì mức của nó trong mao quản thấp hơn so với trong bình rộng (hình 3). Hình dạng bề mặt chất lỏng gần thành bình cũng sẽ thay đổi.

Điều thú vị là, việc làm ướt (hoặc không làm ướt) quyết định cách một giọt chất lỏng hoạt động trên bề mặt chất lỏng khác. Ví dụ, một giọt dầu hướng dương hoặc dầu hỏa lan truyền trên mặt nước thành một lớp mỏng, cho đến lớp đơn phân tử (nghĩa là chỉ dày một phân tử!) Hành vi làm ướt chất lỏng này cho phép nhà vật lý người Anh Lord Rayleigh ước tính kích thước của một phân tử.

Anh ta nhỏ một giọt dầu ô liu lên một mặt nước rộng và trước tiên phải đảm bảo rằng vết dầu phủ lên bề mặt một lớp đều, không có “mảng” dầu và “cửa sổ” nước. Để làm được điều này, Rayleigh đã sử dụng những mảnh long não nhỏ. Nếu một mảnh như vậy chạm vào mặt nước, nó sẽ bắt đầu “ném lung tung”. Thực tế là long não hòa tan trong nước, đồng thời sức căng bề mặt của nước giảm. Nhưng sự hòa tan xảy ra không đồng đều: một mặt các hạt nhanh hơn, mặt khác - chậm hơn và sự khác biệt về lực căng bề mặt bắt đầu tác động lên một mảnh long não, khiến nó chuyển động. Bạn có thể dễ dàng quan sát hiện tượng này, nhưng để thí nghiệm thành công, bạn không được dùng tay chạm vào nước và các mảnh long não (tốt nhất bạn nên dùng dao cạo sạch chúng ngay trên mặt nước). Nhưng long não không tan trong dầu và hoạt động bình tĩnh.

Vì vậy, sau khi đảm bảo rằng màng dầu đồng nhất, nhà khoa học đã xác định bán kính của vết $R$ và tìm thấy độ dày của nó $l$:

$$l = \frac{V}{\pi R^2},$$

trong đó $V$ là thể tích của một giọt dầu. Nếu chúng ta giả định rằng giọt dầu đã lan rộng thành một lớp đơn phân tử thì độ dày của vết là kích thước đặc trưng của phân tử dầu. Giá trị kết quả gần bằng $10^{-9}$ m.

Việc làm ướt thường giúp ích cho chúng ta: chúng ta bôi trơn các bộ phận bị hỏng của máy, chất bôi trơn dạng lỏng bao bọc bề mặt kim loại và giữ nó ở đó; oloo nóng chảy làm ướt đồng, đồng thau, nhôm nguyên chất trong quá trình hàn; keo trải đều trên bề mặt vật liệu được dán.

Hầu như tất cả các thiết bị chiếu sáng cổ xưa, bắt đầu từ những chiếc đèn cổ trong đó bấc được ngâm trong dầu mỏ, dầu thực vật hoặc mỡ, cho đến đèn dầu hỏa, cũng sử dụng hiện tượng làm ướt: chất dễ cháy bốc lên qua các mao mạch của bấc và thoát dần ra ngoài.

Việc quan sát hành vi không thể học được này của chất lỏng khi nó di chuyển ngược lại lực hấp dẫn đã truyền cảm hứng cho nhiều nhà phát minh tạo ra thiết bị di động Perpetuum, một chuyển động vĩnh viễn sẽ khai thác các đặc tính của mao mạch. Các dự án rất đa dạng và xuất hiện không chỉ ở thời cổ đại hay thời Trung cổ mà thậm chí còn vào đầu thế kỷ 20. Thông thường, ý tưởng như sau: chất lỏng (thường là nước) sẽ dâng lên qua bấc từ bình dưới lên bình trên, sau đó chảy xuống qua ống hoặc khay, dẫn đến

24

chuyển động của nước tan chảy (hình 4).
Câu hỏi tại sao bấc, khi đã nâng được nước lên một độ cao nhất định, lại mất khả năng hấp thụ và giữ lại chất lỏng và liên tục xả nước ở bình phía trên, không hiểu sao lại không khiến người nghệ sĩ bận tâm.
Thiết bị Samo không những không hoạt động mãi mà thậm chí còn không hoạt động.
Làm ướt đóng một vai trò rất đặc biệt trong điều kiện không trọng lượng.
Đây là những gì phi công-nhà du hành vũ trụ A. A. Serebrov* đã nói :)

“Hãy tưởng tượng bài toán: uống chất lỏng vào bình mà không bị hao hụt. Trên tàu vũ trụ, nước được cung cấp từ vòi theo từng phần 25 cm³. Xuất hiện trước mắt, những phần này tập hợp thành những giọt hình cầu, như chúng phải ở trạng thái không trọng lượng; Những giọt này, do nhiều ảnh hưởng ngẫu nhiên khác nhau, sau đó bị nghiền nát thành những giọt nhỏ hơn…

Nếu bạn hành động như trên Trái đất và uống nước từ vòi vào cổ bình, thì nó sẽ bắt đầu đẩy không khí ra khỏi bình, trong đó các giọt có kích thước khác nhau lơ lửng - nói cách khác, nó sẽ tự đẩy ra ngoài.

Nếu một tia tốc độ thấp hướng thẳng vào thành bình, thì nước làm ướt thành bình sẽ bám vào nó. Sau đó sẽ không có giọt lơ lửng - ít nhất là cho đến khi tàu bị rung chuyển. Bằng cách này, bạn có thể uống chất lỏng vào bình mà không bị thất thoát.

*) Đây là câu trả lời từ cuộc phỏng vấn của A. A. Serebrov với tạp chí «Kvant» (xem số Appel năm 1983).

CHUYẾN BAY
tới mặt trời

(Để bắt đầu, xem trang 18)

Mặt trời. Một sự điều chỉnh khác, sau khi chụp cận cảnh Sao Mộc, cho phép xác định lỗi cuối cùng và thiết lập chính xác khoảng cách mà trạm sẽ tự động đi qua gần Mặt trời.

Một trong những ý tưởng chính của phương pháp này - thay đổi tốc độ của trạm vũ trụ khi hợp nhất với một hành tinh trung gian - đã được sử dụng trong thực hành bay vào vũ trụ. Ví dụ mới nhất về điều này là

sự tiếp cận của tàu vũ trụ Vega tới Sao Kim, sau đó hướng tới sao chổi Halley.

---

Chúng ta cần nhớ các hiện tượng vật lý xảy ra trên Mặt trời. Không thể đoán trước được hết hậu quả của kiến ​​thức này. Để so sánh, chúng ta hãy nhớ lại thời đại của những khám phá địa lý vĩ đại, khi nhân loại làm quen với hành tinh của mình. Rất có thể trong tương lai thời đại của chúng ta sẽ được gọi là kỷ nguyên của những khám phá không gian vĩ đại. Chuyến bay đầu tiên tới Mặt trời chắc chắn sẽ là một trong những chuyến bay vinh quang nhất của nó.

25

Toán 10
Ghi chú này dành cho học sinh lớp mười. Nó phác thảo một số thông tin hữu ích về số e.

Đạo hàm logarit

Trong sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 9-10” trên trang. 208 một công thức cho hàm logarit tùy ý được rút ra. Công thức này thu được ở đó bằng cách sử dụng định lý về hàm nghịch đảo tùy ý và công thức cho hàm mũ tùy ý. Trong lưu ý này, chúng ta sẽ thu được công thức cho hàm logarit không tổng hợp tùy ý - tìm giới hạn tương ứng.

Không, trước tiên chúng ta sẽ xác định
Số e

Xét đồ thị cong của hàm y = $\frac{1}{x}$, đoạn [1; t] trục Ox và các đường thẳng x=1, x=t (hình 1). Diện tích của gradient cong này là hàm của t—chúng tôi biểu thị nó bằng S(t). Hàm này trên khoảng [1; ∞] trả về và liên tục.

Chứng minh tính liên tục của hàm S(t) được ngầm ẩn trong đoạn 59 sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của giải tích 9-10”: nó cho thấy hàm S(t) khả vi; mọi hàm khả vi đều liên tục. Mặt khác, tính liên tục của S(t) có thể được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của hàm liên tục. Hãy thử điều này.

Vì S(2)<1 (hình 2) và S(4)>1 (hình 3; $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1$), nên giữa các số 2 và 4 chỉ có một số duy nhất - nó được ký hiệu bằng chữ e, sao cho S(e)=1.

Chúng ta. 200 của sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 9-10”, số e được định nghĩa khác. Có thể chứng minh rằng hai định nghĩa này là tương đương nhau.

Vì e>0 và khác 1 nên logarit cơ số e có thể được xác định. Các logarit này được gọi là logarit tự nhiên và được ký hiệu là ln, nghĩa là ln a=log_e a. Vì e>1,

hàm y=ln x trên khoảng ]0; ∞[ trả về.

Hai bất đẳng thức quan trọng

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n bất đẳng thức sau đây đúng:

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}. \quad (1)$$

Suy ra từ bất đẳng thức (1) rằng

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

(đây là cách xác định số e trong các khóa học đại học về phân tích toán học).

Thật vậy, chúng ta lấy bất kỳ số nào ε>0 và đặt N=[$\frac{e}{\epsilon}$]. Khi đó với mọi số tự nhiên n>N, bất đẳng thức sau đúng:

$$n > \frac{e}{\epsilon} \quad \text{и}$$

$$\left| \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n - e \right| = e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \left(1 + \frac{1}{n} - 1\right) < \frac{e}{n} < \epsilon.$$

Chúng ta hãy sửa bất kỳ số tự nhiên n nào, đặt q=1+$\frac{1}{n}$ và dis-

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

27

Nhiệm vụ

1. Du khách vui vẻ đã đi bộ đến cuộc biểu tình. Ngày đầu tiên du khách đi được 1/3 quãng đường, ngày thứ hai đi được 1/3 quãng đường còn lại, ngày thứ ba du khách đi được 1/3 quãng đường mới còn lại. Kết quả là khách du lịch còn 32 km để đi. Từ nhà du khách đến nơi tập trung bao nhiêu km?

2. Ở số 6 của tạp chí «Kvant» trong “Nhiệm vụ «Kvant»” bài toán về toán học sẽ được xuất bản với các số từ M986 đến M990. Số đầu tiên có số trùng với ba chữ số cuối của năm tạp chí được xuất bản. Và trong số tạp chí nào, số bài toán trong toán học trùng khớp hoàn toàn với số năm? (Giả định rằng mỗi số sẽ xuất bản năm bài toán về toán học và tạp chí sẽ được xuất bản hàng tháng.)

3. Sau khi chiên trứng trên chảo xong, tôi cầm tay cầm đặt chảo lên bàn nhưng chảo rất nóng. Tôi quấn tay cầm bằng một mảnh ba mảnh; nhưng trời vẫn nóng. Sau đó tôi làm ướt triochka bằng nước. Lần này tôi sẽ cảm thấy thế nào?

4. Túi sữa được bóc ra từ bình giấy hình trụ (xem hình). Kết quả là một paramid hình tam giác. Để dễ vận chuyển, các cạnh của paramida là các hình cân, nhưng không phải là hình tam giác đều. Giả sử một cái túi được làm bằng giấy, tất cả các mặt của chúng đều là những hình tam giác đều. Bây giờ làm thế nào chúng ta có thể cắt nó thành một bình hình trụ, chiều cao của nó bằng một nửa chiều dài của gân paramida?

5. Giải mã các cạnh số được viết bằng hình.

Những nhiệm vụ này được gợi ý cho chúng em bởi A.P. Savin, một học sinh lớp 9 của trường. Số 2, Gayvoron Valery Zhuravlev, S. S. Krotov, V. V. Proizvolov, I. V. Alekseev-Astafye.

Hình
giúp
lý do

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. P. GAVIN

Một ngày nọ, hàng xóm nhờ tôi giúp sắp xếp lại đồ đạc trong căn hộ của họ. Bà nội trợ trẻ bắt đầu vui vẻ lãnh đạo “đội công nhân”, gồm chồng, bố và tôi.

“Chúng ta hãy đặt một chiếc tủ búp phê dựa vào bức tường này và bên cạnh nó là một chiếc TV,” Natasha ra lệnh. Chúng tôi cùng nhau xếp chồng lên tủ - bát đĩa được ném ra khỏi đó kêu vang. Sau nhiều lần “Một, hai, lấy đi”, “Nào, nào,” chiếc tủ búp phê đã được lắp vào đúng vị trí đã chỉ định. Tuy nhiên, chiếc bàn cạnh giường ngủ với TV không nằm trong không gian dành cho nó. Chúng tôi chuyển tủ sang một bên để đặt bàn cạnh giường ngủ có TV nhưng kết quả là tủ đã chặn mã vào cửa.

Chúng tôi mất ba tiếng đồng hồ để chuyển đồ đạc từ phòng này sang phòng khác. Đồng thời, nảy sinh những tình huống chẳng hạn như để đặt một cây đàn piano trong văn phòng, người ta phải lấy bàn cà phê và tất cả ghế ra, gửi vào bếp và chỉ trả lại sau khi lắp đàn piano vào. Niềm vui sẵn sàng “vượt núi” thay thế cho quyết tâm cao độ. Nhân vật chính trong những câu chuyện cười của chúng tôi là Sisyphus*). Đến một lúc nào đó, các tòa tháp đột nhiên trở về vị trí ban đầu, và tất cả những người đàn ông đều kêu lên với nhau. “Đây là cách tốt nhất!”

Câu chuyện này đã dạy cho tôi một bài học. Và khi bố mẹ quyết định mua thêm

*) Theo thần thoại Hy Lạp, Sisyphus được một người đàn ông giàu có tạo ra để đẩy một hòn đá lên núi, nhưng trước khi chạm tới đỉnh, hòn đá lần nào cũng lăn xuống.

Đây là kabitem.

Một tủ sách (có nghĩa là sắp xếp lại đồ đạc trong căn hộ), tôi vẽ sơ đồ căn hộ trên giấy, cắt những mảnh hình chữ nhật phù hợp với kích thước của đồ nội thất hiện có và chiếc tủ mới rồi bắt đầu thử nghiệm. Sau khi nghiên cứu cách sắp xếp đồ đạc mới, tôi thiết lập trình tự sắp xếp lại:

1. Từ hành lang, móc treo được tháo ra bếp.
2. Tủ quần áo được mang ra hành lang.
3. Chiếc tủ được chuyển từ phòng khách sang phòng ngủ.
4. Một chiếc tủ được đặt thay cho tủ búp phê.
5. Chiếc móc áo quay trở lại hành lang.
6. Ghế sofa được chuyển vào bếp.
7. Một chiếc tủ được đặt thay cho ghế sofa.
8. Ghế sofa di chuyển vào phòng ngủ.

Trong lúc đợi xe với chiếc tủ, tôi băn khoăn không biết có thể sắp xếp lại thứ gì đó trước khi đóng đinh chiếc tủ xuống không. Tôi đã vẽ một sơ đồ (hình 1), từ đó tôi nhận ra rằng thao tác 1 và 3 không phụ thuộc vào các thao tác khác. Sau khi suy nghĩ một chút, tôi nhận ra rằng trình tự các hành động có thể được thay đổi để không chỉ các thao tác 1 và 3 mà cả các thao tác 6, 7, 8 cũng có thể hoàn thành trước khi tủ đến. Vì vậy, hình đã giúp tôi tìm ra một hoán vị hợp lý.

Một tình huống phức tạp hơn có cùng bản chất đã được thảo luận cách đây rất lâu trong tạp chí của chúng tôi (xem «Kvant», 1971, số 6, trang bìa thứ 4). Đây được gọi là “Trò chơi Escott” (xem hình 2, a). Nhiệm vụ là di chuyển từng khối một trong không gian cho đến khi khối 1 và 2 được đặt vào vị trí có khối 7 và 10 như trong hình 2, b. (Việc xoay các khối sẽ không bị cắt, ngay cả khi còn chỗ để làm như vậy.) Một số tạp chí sau đó giới thiệu lời giải của câu đố này, bao gồm 66 bước di chuyển. Ikolniki - thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Nhỏ của Crimea - đã tạo ra câu đố của Escott, nhưng không ai chú ý đến việc nó được xuất bản lời giải trên «Kvant». Trong nhiều năm, không ai có thể tìm thấy “ngoài mảnh vỡ của bài toán” này.

trên gr.p. A Kisunok số 2 5
Gậy
Duyệt qua
quá nóng!

Mặc dù Trò chơi của Escott được gọi là trò chơi nhưng chúng ta vẫn quen với những trò chơi có ít nhất hai người tham gia. Tất nhiên, mỗi người trong số các bạn đều chơi trò “tac-tac-shelf” - khi ở trong hình vuông 3x3, hai người chơi lần lượt viết một biểu tượng - ký hiệu × và ký hiệu còn lại - ký hiệu 0. Người chiến thắng là người có nước đi tạo ra ba dấu hiệu liên tiếp.
Tôi nghĩ bạn đã thực sự quen thuộc với trò chơi này, rằng bạn có thể chơi hòa với bất kỳ đối thủ nào, chơi với cả “quân chéo” và “trung đoàn”

(nghĩa là bắt đầu trò chơi hoặc chơi thứ hai). Do đó, chúng ta hãy xem xét một phiên bản hơi khác của “mũi khâu chéo”.
Hãy để mỗi người trong số hai người chơi có thể đặt cả “chữ thập” và “poly” (tất nhiên, chỉ một biểu tượng) trong bất kỳ nước đi nào. Ai thắng trong trường hợp này?
Chơi trò chơi này với bạn bè của bạn. Cô ấy sẽ làm cho bạn thoải mái. Ở đây, nếu chơi đúng thì người mới bắt đầu sẽ thắng. Làm sao? Đầu tiên, anh ấy đặt một số loại biểu tượng (chẳng hạn như “chữ thập”). Sau đó… Hãy xem hình 3 và bạn sẽ thấy trò chơi sẽ như thế nào

Azton - lớn nhỏ
“mũi khâu chéo”
Hình №3

Hình №4

Người chơi đầu tiên phải chiến đấu để giành chiến thắng trước bất kỳ câu trả lời nào của người chơi thứ hai. (Chúng tôi đã rút ngắn hình một chút, loại bỏ các vị trí khác với vị trí được đưa ra trên hình bằng cách lật bàn cờ hoặc đối xứng.) Bây giờ bạn có thể giành chiến thắng trước bất kỳ đối thủ nào nếu bạn đi trước. Các nhà toán học nói rằng thuật toán lời giải đã được đưa ra.

Các thuật toán ở xung quanh chúng ta. Hãy mở sách dạy nấu ăn. Ở đây, mỗi sàng chứa một danh sách trình tự hành động (thuật toán) cần được thực hiện để chế biến một món ăn cụ thể. Ví dụ ở đây là một cái rây bánh khoai tây.

1. Khoai tây được nấu chín (không luộc) để khoai tây nghiền khô hoàn toàn.
2. Làm tan chảy bơ.
3. Chà kỹ khoai tây nghiền với bơ nóng.
4. Đánh 4 quả trứng.
5. Thêm từng cái một vào máy xay nhuyễn, không ngừng xay.
6. Xay riêng 4 lòng đỏ có thêm đường.
7. Kết hợp chúng với hỗn hợp khoai tây.
8. Đánh lòng trắng còn lại vào bia cứng.
9. Kết hợp chúng với hỗn hợp khoai tây và trứng, cố gắng đánh đều nhất có thể.
10. Thêm bột nở$^1$.
11. Đậy kín trên đĩa chịu nhiệt trong lò. Cho 10 củ khoai tây lớn: 300 g bơ, 8 quả trứng, 3 thìa đường, 0,5 thìa bột nở.

Sẽ rất thuận tiện khi mô tả Hình của sàng này dưới dạng sơ đồ (xem hình 4). Ở đây không rõ liệu các hoạt động 2, 4, 6 và 8 có thể được thực hiện độc lập với các hoạt động khác hay không. Bạn có thể tiết kiệm thời gian chuẩn bị món ăn này nếu

$^1$) Bột nở bao gồm hỗn hợp baking soda, amoni cacbonat và muối tartaric. Nó có thể được thay thế bằng hỗn hợp baking soda và axit xitric thành những phần bằng nhau.

Có thể thực hiện các thao tác này khi không có khoai tây không?

Chuỗi hình tương tự của các hoạt động riêng lẻ đã trở nên phổ biến trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống, đặc biệt là trong xây dựng. Ở đó chúng được gọi là sơ đồ mạng. Việc sử dụng sơ đồ mạng cho phép bạn giảm thời gian thi công, chỉ ra thời gian chính xác của từng hoạt động thi công và tính toán nhu cầu về máy móc, con người và vật liệu.

Việc tính toán hiện nay được thực hiện bằng máy tính điện tử (máy tính) theo một chương trình - thuật toán định trước; Những hành động này ở đây rất thuận tiện để hiển thị đồ họa dưới dạng vòng tròn và mũi tên. hình như vậy được gọi là “sơ đồ khối”.

Chúng ta hãy xem xét chuỗi tác dụng tại lời giải của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$.

1. Hãy tính $A = b^2$.
2. Hãy tính $B = ac$.
3. Hãy tính $C = 4B$.
4. Hãy tính $D = A - C$.
5. Hãy tính $E = \sqrt{D}$.
6. Hãy tính $F = -b + E$.
7. Hãy tính $G = -b - E$.
8. Hãy tính $H = 2a$.
9. Hãy tính $x_1 = F/H$.
10. Hãy tính $x_2 = G/H$.
11. Nhập $x_1, x_2$.

Lưu đồ của thuật toán này được trình bày ở hình5.

Trên hầu hết các máy tính hiện đại, các thao tác được thực hiện tuần tự: thứ 1, thứ 2, v.v. Nhưng đã có những máy tính có thể thực hiện đồng thời một số thao tác. Và do đó tăng tốc công việc.

31

Nhiệm vụ

M976—M980; F988—F992

M976. Từ đỉnh $A$ của hình vuông $ABCD$ hai vòng được vẽ, tạo thành một góc $45^\circ$ giữa chúng. Một cạnh $BC$ tại điểm $E$, đường chéo $BD$ tại điểm $P$, mặt kia cắt cạnh $CD$ tại điểm $F$, đường chéo $BD$ tại điểm $O$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $AEF$ gấp đôi diện tích tam giác $APO$.

E. G. Gotman

M977. Có thể thu được $x$ bằng cách sử dụng các phép tính cộng, trừ và nhân từ các đa thức $f(x)$ và $g(x)$ nếu a) $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x^2+2$; b) $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x^2-2$; c) $f(x)=2x^2+x$, $g(x)=2x$; d) $f(x)=2x^2+x$, $g(x)=x^2$.

S. I. Kublanovsky

M978. Có thể đặt hai hình tam giác đều có cạnh lớn hơn $\sqrt{2}/3$ trong một hình vuông có cạnh 1 mà không chồng lên nhau không?

E. A. Karlov, I. K. Dimitrov (Bulgaria)

M979. Đặt $k$ và $n$ là các số tự nhiên, $k \leqslant n$. Giả sử tập $k$ gồm các số dương $a_1,a_2,...,a_k$ chỉ nhỏ hơn 1 nếu đối với bất kỳ phân vùng $n=n_1+n_2+\dots+n_k$ nào của số $n$ thành các số nguyên không âm thì ít nhất một trong các số $a_i n_i$ là số nguyên ($i=1,2,...,n$).

a) Đối với $k$ và $n$ nào có bộ độc quyền?

b) Những bộ này là gì?

E. A. Gorin

M980. Một điểm $O$ được lấy bên trong một đa giác lồi, 6) một đa giác có các đỉnh $A_1,A_2,...,A_n$. Chứng minh rằng trong số các góc $n(n-1)/2$ $A_i O A_k$ ($i,k=1,2,...,n$) ít nhất $n-1$ có giá trị từ $90^\circ$ đến $180^\circ$.

V. G. Boltyasky

F988. Một vận động viên khúc côn cầu trượt băng trên một chiếc ván trượt. Được biết, băng tan dưới sườn núi đến độ sâu $h=0,03$ mm. Chiều rộng sườn $d=2$ mm. Tìm lực ma sát giữa ván trượt và ván trượt. Nhiệt dung riêng của băng tan là $\lambda=3,3 \cdot 10^5$ J/kg, mật độ của băng là $\rho=0,9$ g/cm$^3$. Coi độ dẫn nhiệt của nước đá là nhỏ.

M. G. Gavrilov (Cuối cùng, xem trang 34)

32

Kính vạn hoa «Kvant»
Nhận thấy rằng tất cả các ngành khoa học toán học - mặc dù đối tượng của chúng là khác nhau - đều tạo ra lẫn nhau theo cách chúng không coi gì khác hơn là những mối quan hệ và tỷ lệ khác nhau, tôi nghĩ rằng sẽ tốt hơn nếu tôi bắt đầu chỉ xem xét những mối quan hệ này nói chung… và sau đó áp dụng chúng cho tất cả các chủ đề khác mà chúng phù hợp.
Rene Descartes

Nhà toán học và nhà khoa học tự nhiên người Pháp Rene Descartes (1596-1650) là một trong những người sáng lập khoa học và triết học châu Âu thời hiện đại. Descartes là một phần của việc sáng tạo ra hình học giải tích; ông là một trong những người sáng tạo ra đại số, cơ học và quang học hiện đại. Descartes là người đầu tiên trong thời hiện đại đặt ra vấn đề vũ trụ học.
Ở con người Descartes, nhà tổ chức, nhà khoa học vĩ đại và nhà triết học sâu sắc đã thống nhất với nhau. Là người tạo ra phương pháp duy lý trong khoa học, Rene Descartes nhấn mạnh rằng “khoa học đích thực có thể được tìm thấy trong chính con người hoặc trong cuốn sách vĩ đại của thế giới”.

Về mát mẻ

Ở Hy Lạp cổ đại, hình tròn và chu vi được coi là vương miện của sự hoàn hảo. Thật vậy, tại mỗi điểm, vòng tròn được “cấu trúc” theo cùng một cách, điều này cho phép nó “tự di chuyển”. Trên mặt phẳng chỉ có đường thẳng mới có tính chất này. Một trong những tính chất thú vị nhất của hình tròn là hình tròn, với một chu vi nhất định, sẽ giới hạn diện tích tối đa.

Trong tiếng Nga, từ “tròn” còn có nghĩa là mức độ cao của một cái gì đó: “một học sinh hoàn toàn xuất sắc”, “một đứa trẻ mồ côi hoàn toàn” và thậm chí là “một kẻ ngốc nghếch hoàn toàn”.
bài toán cổ điển cũng gắn liền với hình tròn, nó đã trở thành biểu tượng của một vấn đề không thể giải quyết được. Đây là bài toán bình phương một hình tròn, nghĩa là dựng một hình vuông có kích thước bằng một hình tròn cho trước bằng cách sử dụng compa và thước kẻ. Bài toán điều này không thể giải quyết được trong hơn hai nghìn năm. Chỉ đến thế kỷ 19, một số nhà toán học xuất sắc – Lambert, Liouville, Hermit và Weierstrass – mới thiết lập được hệ thống Novozem.

Công thức hữu ích

Không khó lắm để tìm được độ dài của đoạn thẳng kia và diện tích của nó nếu biết bán kính của đường tròn và góc chắn cung của đoạn đó. Nhưng nếu những đại lượng này không được biết thì sao?

$$p \approx \frac{8l-L}{3}, S \approx \frac{2}{3}hL.$$
Ở đây $p$ là độ dài cung của đoạn, $S$ là diện tích của nó, $L$ là độ dài của dây cung, $h$ là chiều cao của đoạn, $l$ là độ dài của đoạn $AC$ (xem hình). (Khi các góc chắn bởi cung của đoạn thẳng nhỏ hơn $60^\circ$, các công thức này sẽ đưa ra sai số không vượt quá 1,5%.)

33

chúng tôi là người thứ hai Vòng tròn thứ ba sẽ chạm vào hai dữ liệu và vòng tròn thứ hai, v.v. Có thể ở một số nhà gỗ, vòng tròn tiếp theo chạm vào vòng tròn đầu tiên, như trên hình 1. Tuyên bố của Steiner là nếu đối với một số vòng tròn ban đầu (đầu tiên) thu được một số nguyên như vậy thì một số nguyên tương tự sẽ được hình thành cho bất kỳ lựa chọn nào khác của vòng tròn đầu tiên. Đồng thời, số lượng hình tròn trong một số nguyên sẽ không phụ thuộc vào hình tròn nào chúng ta lấy làm hình tròn đầu tiên.

Định lý thứ hai là của nhà toán học và cơ khí người Pháp J. Victor Poncellet (1788–1867) và phát biểu như sau:

Giả sử lần nữa có hai vòng tròn rời nhau

Hình 1.

ness. Chúng ta sẽ giả sử rằng một trong số chúng ở bên trong cái kia. Chúng ta hãy chọn một điểm nhất định trên đường tròn bên ngoài và vẽ một tiếp tuyến từ điểm đó với đường tròn bên trong. Từ giao điểm mới của tiếp tuyến này với đường tròn bên ngoài, chúng ta vẽ một tiếp tuyến khác với đường tròn bên trong, v.v. (hình 2). Và kết luận: nếu tại một số nhà gỗ, chúng ta đến điểm xuất phát, thì đây

Hình 2.

quá trình sẽ “đóng” khi bất kỳ điểm nào khác trên vòng tròn bên ngoài được chọn làm điểm bắt đầu.

Định lý thứ ba được chứng minh bởi các nhà toán học hiện đại người Mỹ W. L. Black, G. K. Howland và W. Howland và được gọi là “định lý zigzar”:

Chúng ta hãy lấy một ít lần nữa

Hình 3.

Tôi sẽ tìm một điểm trên vòng tròn bên ngoài và đặt đầu la bàn vào điểm đã chọn, chúng ta sẽ tạo một vết khía trên vòng tròn bên trong. Hãy đặt đầu la bàn tại điểm kết quả trên vòng tròn bên trong và sử dụng cùng một điểm của la bàn, tạo một vết khía trên vòng tròn bên ngoài. Từ điểm kết quả, chúng ta lại “uốn cong” có cùng bán kính vào đường tròn bên trong, rồi lại uốn cong vào đường tròn bên ngoài, v.v. Bằng cách nối các điểm thu được liên tiếp, chúng ta tạo thành một đường đứt nét ngoằn ngoèo (hình 3). Và kết luận là nếu đường đứt nét này đóng ở một căn nhà gỗ nào đó thì nó sẽ đóng ở bất kỳ điểm nào khác (chúng ta để nguyên góc la bàn). Số đoạn của đường gãy cũng sẽ được giữ nguyên.

A.P.

Nhiệm vụ
và CÂU ĐỐ

1. Lấy một mảnh giấy hình chữ nhật có thể che được bằng một hình tròn có bán kính 1. Chuyển tờ giấy (hình 1). Có thể

Hình 1.

bây giờ chúng ta có nên che nó bằng cùng một vòng tròn không?

V. V. Proizvolov

2. Vẽ một tiếp tuyến ngoài AB và hai tiếp tuyến trong của hai đường tròn, giao nhau của chúng là AB tại các điểm C và D (hình 2). Chứng minh rằng AC=DB.

G. A. Galperin

3. Giải bài toán số:

bán kính
vòng cung
số liệu

34

F989. Một mô hình xe bánh xích được đặt trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α=30° rồi thả ra. Tìm gia tốc của mô hình. Chiều dài mô hình l=50 cm, chiều cao h=2 cm. Các đường ray được làm bằng cao su, khối lượng của chúng bằng 80% tổng khối lượng của mô hình. Ma sát trong cơ cấu của mô hình là không đáng kể.

A. I. Buzdin

F990. Động cơ nhiệt là một xi lanh chứa đầy khí có một pít-tông, chuyển động của nó bị giới hạn bởi các điểm dừng AA và BB (hình 1). Khí được đốt nóng từ từ cho đến khi piston chạm vào điểm dừng BB, sau đó đế lò xo được trộn từ vị trí BB sang vị trí GG. Sau đó, bình được làm nguội từ từ cho đến khi pít-tông chạm vào điểm dừng AA. Sau đó đế lò xo được trộn lại thành BB, làm nóng xi lanh trở lại v.v. Tìm hiệu suất của động cơ này. Hình trụ chứa đầy glia; diện tích piston S=10 cm2; độ cứng của lò xo là k=10 N/m, chiều dài của lò xo ở trạng thái không dãn là l₀=60 cm. Áp suất bên ngoài được coi là bằng không.

A. R. Zilberman

F991. Trong mạch hiển thị ở hình 2, U₀=2,4 V, R=600 Ohm, r=200 Ohm, điốt D₁ và D₂ có cùng đặc tính dòng điện-điện áp (hình 3). Tìm dòng điện qua diode D₂.

R. Z. Alexandrov

F992. Khi quay một cadar trong bộ phim “Gulliver in the Land of the Lilliputians”, diễn viên đóng vai Gulliver được đặt cách máy quay phim bằng ống kính tiêu cự ngắn 4 m và diễn viên đóng vai Lilliputian được đặt ở khoảng cách 40 m. Ống kính máy ảnh nên hướng về phía nào để hình ảnh của các nhân vật trên phim được rõ nét như nhau?

Tại sao ống kính tiêu cự ngắn được sử dụng cho thể loại nhiếp ảnh này? Hãy ước tính tiêu cự của một ống kính như vậy nếu bạn biết rằng việc chụp ảnh ba chiều (không kết hợp) người từ khoảng cách 5 m được thực hiện với ống kính có tiêu cự 50 cm và độ sâu trường ảnh 0,5 m.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

Problems

M976—M980; P988—P992

M976. Two rays, forming an angle of 45°, are drawn from the vertex A of the square ABCD. One intersects side BC at the point E and the diagonal BD at the point P, the other intersects side CD at the point F and the diagonal BD at the point O. Prove that the area of triangle AEF is twice that of APO.

E. G. Gotman

36

Lời giải bài toán

M956. Vẽ bốn đường tròn có cùng bán kính trên mặt phẳng sao cho ba đường tròn đi qua một điểm A và ba đường tròn đi qua điểm B. Chứng minh rằng bốn điểm giao nhau theo cặp của chúng, khác A và B, là các đỉnh của một hình bình hành.

M957. Chứng minh rằng từ năm 1985 các số tự nhiên khác nhau đều có thừa số nguyên tố nằm trong 9 số nguyên tố 2,3,…,23, có thể chọn được 4 số có tích là lũy thừa bậc 4 của một số nguyên.

M956—M960; F968—F972
Hãy cho một trong nhiều lời giải bài toán.
Chúng ta hãy biểu thị tâm của các vòng tròn bằng $O_1, O_2, O_3, O_4$ và các điểm giao nhau theo cặp của chúng bằng $K, L, M, N$ (xem hình). Vì các đường tròn bằng nhau nên điểm $P$ giao điểm của dây chung $AK$ của các đường tròn $O_1$ và $O_2$ với tâm tuyến tính $O_1O_2$ chia cả hai đoạn $AK$ và $O_1O_2$ làm đôi. Tương tự, các đoạn $O_3O_2$ và $AL$ có chung điểm giữa $Q$. Do đó, đoạn $PQ$ là đường trung bình của hai tam giác - $O_1O_2O_3$ và $AKL$, tức là $\overrightarrow{O_1O_3}=2\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{KL}$. Nó được chứng minh theo cách tương tự rằng $\overrightarrow{O_1O_3}=\overrightarrow{NM}$, và từ đẳng thức $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{O_1O_3}=\overrightarrow{NM}$ suy ra rằng $KLMN$ là hình bình hành.

Hãy tự chứng minh rằng $A$ và $B$ là giao điểm đường cao của các tam giác $BKL$ và $AMN$; thông tin này có thể được sử dụng cho lời giải bài toán khác (xem nhận xét kết luận ở lời giải bài toán M951 ở số trước «Kvant»).

V. N. Dubrovsky

Hãy chứng minh rằng từ những số này ta có thể chọn được khá nhiều cặp $(a,b)$ sao cho tích $ab$ là bình phương của một số nguyên; chính xác hơn: từ $N$ số (có 9 thừa số nguyên tố) bạn có thể chọn ít nhất $(N-2^9)/2$ cặp như vậy. Ở chúng ta có bài toán $N=1985$, vì vậy chúng ta có thể phân biệt ít nhất $(1985-512)/2$, tức là ít nhất 737 cặp $(a,b)$. Sau đó, đến $N=737$ với số nguyên $\sqrt{ab}$ người ta có thể áp dụng lại lý luận tương tự và thu được một cặp $(\sqrt{ab}, \sqrt{cd})$—thậm chí $(737-512)/2+1/2=113$ các cặp như vậy—rằng tích $\sqrt{ab} \cdot \sqrt{cd}$ là bình phương của số nguyên, nghĩa là, $abcd$ là lũy thừa thứ tư của số nguyên.

Nó vẫn còn để chứng minh sự thật đã nêu. Theo định lý cơ bản của số học, mọi số tự nhiên đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố. Tích $ab$ của hai số nguyên

$$a=2^{\alpha_1}3^{\alpha_2}...23^{\alpha_9} \text{ и } b=2^{\beta_1}3^{\beta_2}...23^{\beta_9}$$

sẽ là một bình phương hoàn hảo khi và chỉ khi số mũ $\alpha_i$ và $\beta_i$ có cùng số chẵn lẻ (đối với mỗi $i$ từ 1 đến 9); trong trường hợp này, chúng ta sẽ gọi các tập $(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_9)$ và $(\beta_1,\beta_2,...,\beta_9)$ là có thể so sánh được. Từ $N$ bộ chỉ báo tương ứng với $N$ số cho sẵn (với bộ 2,3,…,23), chúng ta sẽ chọn lần lượt từng cặp bộ so sánh được, miễn là có thể. một bộ không có cặp chỉ còn lại nhiều nhất là $2^9$, vì chỉ có $2^9$ bộ chỉ báo không thể so sánh được theo cặp (mỗi vị trí trong số 9 vị trí có thể có số chẵn hoặc số lẻ - tổng cộng $2^9$ tùy chọn).

bài toán này, được đề xuất bởi Mongoley trong lần tối ưu hóa quốc tế mới nhất, là một trường hợp đặc biệt của bài toán sau, có vẻ như rất khó. Hãy để những điều tự nhiên được ban tặng

38

hệ số chẵn $P_2$ có cùng bậc $x$, hệ số mới phát sinh ở số hạng bậc $q$ lớn hơn đa thức $x^qP_2(x)$ nên $w(i_1) \leqslant W(P_1) \leqslant W(P)$.

Chúng ta hãy đưa ra một lý do nữa - bằng quy nạp trên $i_1$. Đối với $i_1=0$ tuyên bố của chúng tôi là hiển nhiên $(w(0)=1)$.

Hãy chứng minh rằng nếu nó đúng với một số $i_1=j_1$ thì nó cũng đúng với $i_1=2j_1$ và $i_1=2j_1+1$. Để làm điều này, bằng cách sử dụng giả định chỉ số và các công thức (2), (3) và (4) trong các trường, chúng tôi nghiên cứu riêng các hệ số cho lũy thừa chẵn và lẻ $x$ trong các đa thức $(1+x)^{i_1}$ và $P(x)$. Việc thiết lập, tùy theo tính chẵn lẻ, $i_8$, $i_8=2j_8$ hoặc $i_8=2j_8+1$ và áp dụng các công thức ở lề, ta viết đa thức $P(x)$ dưới dạng $F_1(x^2)+xF_2(x^2)$.

Nếu $i_1=2j_1$ thì theo (2), $w(i_1)=w(j_1)$. Hơn nữa, nếu $i_2>i_1+1$ thì ký hiệu $P(x)$ bắt đầu bằng $(1+x^2)^{j_1}$ và bao gồm các hệ số có lũy thừa chẵn $x$ trong trọng số $P(x)$ (tức là trọng số $F_1(x)$) không nhỏ hơn $w(j_1)$. Nếu $i_2=i_1+1$, thì bằng cách sử dụng (4), chúng ta bắt đầu viết $P(x)$ từ $(1+x^2)^{j_1}$ và, theo giả định chỉ định, sự đóng góp của $W(F_2)$ hệ số cho lũy thừa lẻ $x$ vào trọng số $P(x)$ không nhỏ hơn $w(j_1)$.

Nếu $i_1=2j_1+1$, thì theo (3), $w(i_1)=2w(j_1)$ và bao gồm trong trọng số $P(x)$ cả lũy thừa lẻ và lũy thừa lẻ $x$ không nhỏ hơn $w(j_1)$, vì vậy $W(P) \geqslant 2w(j_1)=w(i_1)$.

Cuối cùng, chúng tôi phác thảo lời giải tôn trọng nhất, sử dụng quy tắc chung để mô tả tất cả các hệ số lẻ của đa thức $(1+x)^i$. Hãy biểu thị $i$ là

$$i=2^{m_1}+2^{m_2}+\dots+2^{m_r}, m_1<m_2<\dots<m_r;$$

cách biểu diễn như vậy luôn tồn tại và cách biểu diễn duy nhất $(m_1,...,m_r)$ là các số có ký hiệu kép của số $i$, trong đó có 1). Sau đó, theo công thức (1) trên các trường $(1+x)^i=(1+x^{q_1})\dots(1+x^{q_r})$, trong đó $q_i=2^{m_i}$. Do đó, hệ số $C_i^k$ của đa thức $(1+x)^i$ cho $x^k$ là số lẻ khi và chỉ khi k bằng tổng con lẻ của tổng (*). Biểu thị bằng $M(i)$ tập số mũ $\{m_1,...,m_r\}$ trong khai triển kép $i$, điều kiện này có thể viết là $M(k)\subset M(i)$. Do đó, hệ số $x^k$ của đa thức $P(x)$ là số lẻ khi và chỉ khi tập hợp $B=M(k)$ chứa trong một số lẻ các đa thức $A_s=M(i_s)$, $s=1,2,...,n$; Chúng ta cũng sẽ gọi nhiều $B$ lẻ. Vì vậy, chúng ta cần chứng minh sự kiện tổ hợp sau: số lượng tất cả các tập con của số nhiều $A_1$ không nhỏ hơn số lượng tất cả các số nhiều lẻ. Để làm điều này, chỉ cần liên kết tất cả $C \subset A_1$ các tập hợp con lẻ riêng biệt $F(C)$ là đủ.

Nếu bản thân $C$ là số lẻ, chúng ta đặt $F(C)=C$. Nếu không, chúng tôi thêm vào $C$ một tập hợp được chọn như sau. Hãy cùng nhìn vào mọi thứ $A_s$. chứa $C(s \geqslant 2)$ - số của chúng là số lẻ - và tập hợp $D_s$, bao gồm tất cả các phần tử $A_s$ không có trong $A_1$. Trong số những bộ này có thể có những bộ giống hệt nhau; Chúng ta chỉ để lại những bản được thể hiện bằng số lẻ, từ chúng, chúng ta chọn bản lẻ lớn nhất (không chứa ở các bản khác) $D_h$ và đặt $F(C)=C \cup D_h$. Dễ dàng nhận thấy toàn bộ tập hợp $F(C)$ đều lẻ và khác biệt $(F(C) \cap A_1=C)$.

Nếu bạn viết các hệ số $(1+x)^i$, thay thế chúng bằng 0 và các hệ số lẻ bằng 1, rồi biên soạn một bảng từ các hàng như vậy, bạn sẽ nhận được “tam giác nhị phân Pascal” hiển thị ở lề. Hãy cố gắng hiểu cấu trúc của nó và sử dụng nó để làm theo giải pháp mới nhất.

N.V. Vasiliev, D.V. Fuks

M959. Ở trong nước, kết nối hàng không đã được thiết lập giữa một số thành phố. Chứng minh rằng có thể đóng không quá 1/(k - 1) phần avatoria sao cho trong k thành phố bất kỳ có hai thành phố không tiếp giáp nhau nếu

39

Để làm điều này, hãy lưu ý rằng số lượng $n$ hãng hàng không nội địa (đối với phân vùng “tối thiểu” đã chọn) rời khỏi bất kỳ thành phố nào $A$ không lớn hơn số lượng $n_i$ hãng hàng không dẫn đầu từ thành phố này đến bất kỳ nhóm thành phố nào $G_i$ ($i=1,...,k-1$): nếu hóa ra là $n > n_i$, chúng tôi sẽ chuyển thành phố $A$ cho nhóm $G_i$ và do đó làm giảm số lượng hãng hàng không nội địa xuống $n - n_i$. Do đó, tổng số hãng hàng không rời thành phố $A$ ít nhất là $(k-1)n$. Tổng hợp những bất bình đẳng như vậy cho tất cả các thành phố và tính đến việc mỗi hãng hàng không kết nối hai thành phố, chúng tôi thu được $2N \geq 2(k-1)N_{\text{вн}}$. Bây giờ chúng ta hãy đóng cửa tất cả các hãng hàng không nội địa trong phân vùng “tối thiểu” của chúng ta. Sau đó, trong số $k$ thành phố bất kỳ, ít nhất hai thành phố sẽ thuộc một nhóm và sẽ không được kết nối với nhau và không quá $N/(k-1)$ hãng hàng không sẽ đóng cửa.

A. A. Razborov

M960. Nếu hiệu giữa lập phương của hai số tự nhiên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên nào đó $n$ thì số $n$ được biểu thị dưới dạng tổng bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp.

a) Chứng minh khẳng định này.
b) Đây là một ví dụ về các số đó: $8^3 - 7^3 = (2^2 + 3^2)^2$; Hãy cho ít nhất một ví dụ nữa.
b) Chứng minh rằng có vô số số đó.

a) Đặt $(m+1)^3 - m^3 = n^2$. Mở dấu ngoặc đơn và nhân cả hai vế của đẳng thức với 4, chúng ta thu được $3 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4m + 4 = 4n^2$ hoặc $3(2m+1)^2 = (2n+1)(2n-1)$. (1)

Vì các số $2n+1$ và $2n-1$ là nguyên tố cùng nhau nên đẳng thức (1) chỉ có thể xảy ra khi một trong các số này là số chính phương tự nhiên và số còn lại là số chính phương bộ ba. Nhưng số $n$ là số lẻ ($n^2$ là hiệu giữa các số có số chẵn lẻ khác nhau), vì vậy $2n+1$ cho số dư 3 khi chia cho 4 và bình phương của một số nguyên hoặc chia hết cho 4 hoặc để lại số dư 1 khi chia cho 4; do đó, hình vuông hoàn hảo là $2n-1$; nghĩa là $2n-1 = (2l+1)^2$ hoặc $n = 2l^2 + 2l + 1 = l^2 + (l+1)^2$.

6), c) Đặt $2n=a$, $2m+1=b$ vào đẳng thức (1), ta viết lại dưới dạng $a^2 - 3b^2 = 1$.

Rõ ràng, với mọi lời giải $(a, b)$ của phương trình này có $b$ lẻ (và do đó là $a$ chẵn) sẽ có một cặp $(m, n)$ tương ứng thỏa mãn điều kiện bài toán. Hãy để chúng tôi chỉ ra từng người một lời giải $(a, b)$ người ta có thể xây dựng một chuỗi vô hạn lời giải như thế nào. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chung để xây dựng lời giải phương trình được gọi là $\Pi_1 x^2 - dy^2 = 1$, đã được thảo luận chi tiết trong bài viết của N.B. Vasiliev và V.L. Gutenmacher “Các cặp số và hành động với chúng” (Kvant, 1985, số 1, trang 20).

Đặt $(a_1, b_1)$ là một số lời giải (2). Chúng ta hãy xác định các số $a_k$ và $b_k$ bằng đẳng thức $(a_1 + b_1\sqrt{3})^k = a_k + b_k\sqrt{3}$. Rõ ràng là khi đó $(a_1 - b_1\sqrt{3})^k = a_k - b_k\sqrt{3}$, do đó $a_k^2 - 3b_k^2 = (a_k + b_k\sqrt{3})(a_k - b_k\sqrt{3}) = ((a_1 + b_1\sqrt{3})(a_1 - b_1\sqrt{3}))^k = (a_1^2 - 3b_1^2)^k = 1$.

Do đó, các cặp $(a_k, b_k)$ cho tất cả $k$ cũng thỏa mãn phương trình (2). Hơn nữa, nếu $b_1$ lẻ thì $(a a_1$ chẵn), thì nếu $k$ lẻ thì số $b_k$ được biểu thị là $a_1 \cdot A + b_1^k (k-1)/2$ và cũng là số lẻ.

Do đó, bắt đầu bằng $(a_1, b_1) = (2, 1)$ và tính tuần tự các lũy thừa lẻ

40

(2+\sqrt{3})^3=26+15\sqrt{3}, (2+\sqrt{3})^5=362+209\sqrt{3},…, ta được một tập hợp vô hạn lời giải (2): $(a_3, b_3)=(26, 15), (a_5, b_5)=(362, 209),..., а из них — решения исходной задачи:$(m, n)=(7, 13), (104, 181),…, tương ứng với $8^3-7^3=(2^2+3^2)^2$ (ví dụ từ điều kiện bài toán 6)), $105^3-104^3=(9^2+10^2)^2$ (đáp số đến bài toán 6)), v.v.

A. P. Savin, V. N. Dubrovsky

F968. Ba bánh răng ăn khớp có bán kính $r_1, r_2$ và $r_3$ (hình 1) được gắn trên ba trục song song được nối với nhau bằng các thanh cứng. Trục B và C được gia công quanh một trục A cố định với vận tốc góc $\omega_0$; trong trường hợp này, kích thước của tam giác ABC không đổi và bánh răng có bán kính $r_3$ chuyển động tịnh tiến. Bánh răng có bán kính $r_1$ đang được sửa chữa với tốc độ góc bao nhiêu?

Hình 1.

hình 2 hiển thị vị trí của hệ thống sau thời gian $t$. Trong thời gian này, lần lượt các điểm $B$ và $C$ theo góc $\varphi=\omega_0 t$. Bánh răng có bán kính $r_3$, tùy theo điều kiện chuyển động, chuyển động tiến về phía trước. Điều này có nghĩa là trong thời gian $t$ bánh răng này đã quay toàn bộ quanh trục $A$ một góc $\varphi$. Và xung quanh trục của chính nó $C$ - cũng nghiêng một góc $\varphi$. Điều này có nghĩa là tất cả các tỷ số khác trên hình 2 đều bằng $\varphi r_3$ và tốc độ góc $\omega$ của bánh răng có bán kính $r_1$ được xác định bởi các điều kiện chuyển động.

Hình 2.

Từ đây

$\omega=\omega_0\left(1-\frac{r_3}{r_1}\right)$.

V. Vantselov (Bulgaria)

F969. Hai lon làm bằng cùng một vật liệu có hình dạng hình học giống nhau và tất cả các kích thước tuyến tính của một lon đều nhỏ hơn lon kia một lần (xem hình). Một lỗ được tạo ra ở hai trong số mỗi lon. Các lọ đồng thời được hạ xuống nước. Ngân hàng nào sẽ làm bạn hài lòng nhất? Bao nhiêu lần?

Do các lon ngâm trong nước được làm từ cùng một loại vật liệu nên lúc đầu, độ sâu ngâm của mỗi lon có quan hệ tuyến tính với kích thước. Tức là, nếu kích thước của các lon khác nhau $k$ lần $l_2=kl_1$, thì khoảng cách từ mặt nước đến mặt $h_2=kh_1$ khác nhau $k$ lần.

Vì độ giảm áp suất ở cả hai phía của kết nối phụ thuộc vào độ sâu ngâm $\Delta p=\rho_{\text{воды}}gh$ và tốc độ nước đổ vào bình qua kết nối có liên quan đến chênh lệch áp suất - $\Delta p=\frac{1}{2}q_{\text{воды}}v^2$, nên

$v^2=2gh$.

Lần lượt, tốc độ quyết định thời gian $t$, sau đó bình sẽ đổ đầy nước và di chuyển xuống đáy.

41

Do đó, các phụ thuộc (*) là mối quan hệ chính kết nối thời gian với các chiều tuyến tính thông qua gia tốc của áp suất tự do $g$, trong đó bài toán đóng vai trò là hằng số chiều duy nhất xác định độ trong của quá trình. Το là các đại lượng có thứ nguyên $m/c^2$, ví dụ $l/t^2$, chỉ được biểu thị qua $g$ và do đó không phụ thuộc vào $l$:

$$l_2/t_2^2 = l_1/t_1^2.$$

Kể từ đây,

$$t_2 = \sqrt{k} t_1.$$

I. K. Sobolev

F970. Trong một vùng hình cầu mờ đục có thành mỏng có một quả cầu có bán kính nhỏ hơn bán kính của vỏ vài lần. Đề xuất cách xác định khối lượng riêng của chất làm ra quả bóng. Khối lượng của vỏ chưa được biết.

Chúng ta hãy đo trọng lượng của quả cầu với quả bóng $P = (M + m)g$, trong đó $M$ và $m$ là khối lượng của quả cầu và quả bóng tương ứng. Chúng ta tác dụng một lực $F$ lên quả cầu (chúng ta đo lực), hướng thẳng đứng xuống dưới và tại thời điểm $t = 0$, chúng ta loại bỏ phần đỡ khỏi bên dưới quả cầu. Quả cầu bắt đầu chuyển động xuống dưới với gia tốc

$$g + a = \frac{Mg + F}{M}.$$

Khối lượng $m$ không được đưa vào công thức, vì quả bóng tại thời điểm $t = 0$ tách ra khỏi quả cầu và với gia tốc $a$ (so với quả cầu) chuyển động hướng lên trên. Sau khi đo gia tốc $a$, chúng ta tìm thấy khối lượng của quả cầu $M = F/a$. Phép đo gia tốc $a$ phải được hoàn thành trước khi quả bóng chạm vào quả cầu ở điểm cao nhất. Sau khi ghi lại thời điểm này (bằng âm thanh của va chạm hoặc bằng bước nhảy trong máy đo đường kính hiển thị đo lực $F$), chúng tôi tính được bán kính $r$ của quả bóng. Từ $S = a(\Delta t)^2/2$, trong đó $\Delta t$ là thời gian chuyển động của quả bóng, ta tìm được:

$$r = R - \frac{a(\Delta t)^2}{4}.$$

Ở đây $R$ là bán kính của hình cầu, có thể đo trực tiếp và đặt $S = 2(R - r)$. Bây giờ chúng ta biết cả bán kính của quả bóng và khối lượng của nó $\left(m = \frac{P}{g} - \frac{F}{a}\right)$, điều này cho phép chúng ta giải bài toán.

S. A. Khorozov

F971. Trong một từ trường có cảm ứng $\vec{B}$ thẳng đứng, một thanh kim loại được kéo gần trục thẳng đứng như hình hình. Tốc độ có điều kiện của bác sĩ là $\omega$, $R$ và $\alpha$ được đưa ra. Tìm hiệu điện thế ở hai đầu thanh.

Đối với lời giải chúng tôi sử dụng biểu thức cho emf ở dạng

$$\mathcal{E} = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}.$$

Trước hết, chúng ta lưu ý rằng suất điện động sẽ không đổi tại bất kỳ thời điểm nào, vì thanh luôn ở trong cùng điều kiện. Vì vậy, chúng ta có quyền xem xét toàn bộ lượt của nó:

$$-\Delta\Phi = \pi R^2 B,$$

$$\Delta t = \frac{2\pi}{\omega}$$

$$\mathcal{E} = \frac{\pi R^2 B}{2\pi} \omega = \frac{1}{2} BR^2 \omega,$$

nghĩa là nó chỉ phụ thuộc vào $R$ chứ không phụ thuộc vào $\alpha$.

L. G. Markovich

42

F972. Trong máy ảnh phim tốc độ cao dùng để quay các quá trình làm sạch nhanh, phim chuyển động liên tục với tốc độ v. Để tránh làm mờ hình ảnh, một lăng kính thủy tinh tứ diện có chiết suất n được lắp giữa phim và thấu kính, lăng kính này hoạt động với vận tốc góc không đổi (hình 1). Bỏ qua độ lệch tiêu cự của ảnh, xác định vận tốc góc mà ảnh trên phim không bị mờ. Xác định độ dày của lăng kính với điều kiện hình ảnh của một chiếc ô tô được phơi sáng trong phạm vi $-\alpha_0, \alpha_0$ góc quay của nó và kích thước tối thiểu của các chi tiết hình ảnh khác nhau là $\delta$.

Xét điểm $A$ trên trục quang. Ảnh $A'$ của nó cũng nằm trên trục quang tại vị trí của lăng kính, ảnh ở hình 1. Khi lăng kính quay một góc $\alpha$ thì ảnh $A'$ sẽ bị trộn theo chiều ngang $\xi(\alpha)$ so với mặt phẳng mà màng sôi chuyển động với tốc độ $v$ và một lượng $\Delta(\alpha)$ theo hướng chuyển động của phim (hình 2). Dịch chuyển theo chiều ngang làm cho hình ảnh bị mất nét. Theo các điều kiện, hiệu ứng này có thể được bỏ qua.

Hãy xem xét sự thay đổi $\Delta(\alpha)$ dẫn đến điều gì. So với phim, hình ảnh $A'$ chuyển động với tốc độ $u = \frac{\Delta(\alpha)}{t} - v$. Tốc độ quay $\omega$ của lăng kính được chọn sao cho ở các góc nhỏ $\alpha$ tốc độ $u$ gần bằng 0 và hình ảnh $A'$ không di động so với phim. Điều này giải thích mục đích của lăng kính quay - nó bù đắp cho những thay đổi của màng. Sự phụ thuộc của $\Delta(\alpha)$ vào $\alpha$ có dạng ($h$ – độ dày lăng kính)

$$\Delta(\alpha) = h \sin \omega t \left(1 - \frac{\cos \alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\right)$$

(tự suy ra công thức này, vận dụng định luật khúc xạ).

Tốc độ tức thời của ảnh $A'$ tại thời điểm ảnh nằm trên trục quang bằng

$$\frac{d\Delta(\alpha)}{dt} \bigg|_{t=0} = \frac{d\Delta(\alpha)}{d\alpha} \cdot \frac{d\alpha}{dt} \bigg|_{\alpha=0} = h \frac{n-1}{n} \omega$$

và theo điều kiện

$$h \frac{n-1}{n} \omega = v.$$

(*)

Khi $\alpha$ tăng, tốc độ tức thời giảm và điểm $A'$ trong quá trình lăng kính quay qua một góc $\alpha$ ($t=\alpha/\omega$) làm lộ ra một đoạn có độ dài $\Delta = \left(v - \frac{\Delta(\alpha)}{\alpha} \omega\right) \frac{\alpha}{\omega}$ trên phim. Hình ảnh trên phim không bị mờ nếu trong thời gian phơi sáng độ dài của đoạn này không quá $\delta$, tức là ở mức $\alpha=\alpha_0 \Delta=\delta$ hoặc $-\alpha_0 h \sin \alpha_0 \left(1 - \frac{\cos \alpha_0}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\right) + h \frac{n-1}{n} \alpha_0=\delta$.

Từ đây xuất hiện $h$:

$$h = \frac{\delta}{\alpha_0} \left(\frac{n-1}{n} - \sin \alpha_0 \left(1 - \frac{\cos \alpha_0}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\right)\right)^{-1}$$

Tính đến điều này (*), hình ảnh lăng kính trên phim không bị mờ:

$$\omega = \frac{v n}{n-1} \cdot \frac{\alpha_0}{\delta} \left(\frac{n-1}{n} - \sin \alpha_0 \left(1 - \frac{\cos \alpha_0}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\right)\right).$$

A. A. LanUDEC

43

Chúng ta hãy xem nó trên màn hình

Y. V. KOTOV

Có lẽ thiết bị phổ biến nhất trong các máy tính hiện đại, đặc biệt là đối với những người không chuyên, đã trở thành màn hình tia âm cực, khiến chiếc máy này có một số điểm tương đồng với tivi. Ngoài bàn phím và các thiết bị như “bút đèn”, “tấm che mặt” và “chuột”, chúng bắt buộc phải nhập dữ liệu vào máy tính, đọc và chỉnh sửa thông tin cũng như quản lý quá trình tính toán. Một số thiết bị như vậy sẽ được kết nối với các máy tính lớn, cho phép nhiều người dùng làm việc đồng thời. Tiếp theo, những chiếc máy tính để bàn loại nhỏ (còn gọi là máy tính cá nhân) được trang bị màn hình hoặc kết nối với tivi gia đình thông thường.

Thật không may, các chuyên gia bằng tiếng Nga không thể đưa ra thuật ngữ gốc tiếng Nga cho những màn hình có bàn phím như vậy và chúng được gọi là từ tiếng Anh “ispela”, đôi khi là “terminal”. Hiển thị là chữ và số. Cái đầu tiên chỉ có thể hiển thị trên màn hình của họ các chữ cái, số, ký hiệu và những gì chúng bao gồm - văn bản, chương trình, dữ liệu số. Màn hình đồ họa có tính phổ quát theo nghĩa là chúng hiển thị cả thông tin đồ họa (sơ đồ, đồ thị, hình vẽ) và thông tin chữ và số. Màn hình đồ họa hiện đại được chia thành hai nhóm lớn - vector và raster. Nếu trong các thiết bị vectơ, chùm tia điện tử sẽ trích xuất tuần tự các phần tử hình ảnh được lập trình - các đoạn, ký hiệu và đôi khi là các cung - thì trong các thiết bị raster, giống như trong TV, nó sẽ “làm bóng” màn hình bằng các đường liên tiếp, đồng thời thay đổi độ sáng của màn hình. Trên các màn hình raster đơn giản nhất, hình ảnh được tạo thành từ nhiều chấm nằm liên tiếp và nếu không có đủ các hàng này, chẳng hạn như 200, 300 thì chất lượng hình ảnh sẽ thấp. Màn hình raster tiên tiến hơn cũng giúp thu được hình ảnh màu. Có những loại ở mức trung bình và những loại có chất lượng “hình ảnh” tốt hơn đáng kể so với trên TV gia đình, vì hình ảnh được phân tách thành 1000 dòng trở lên và cũng không có hiện tượng nhiễu không thể tránh khỏi từ không khí.

Màn hình đồ họa giúp việc giao tiếp với máy trở nên đặc biệt trực quan và với các chương trình phù hợp, mọi lứa tuổi đều có thể truy cập được. Để tăng nhu cầu về máy tính cá nhân “gia đình”, toàn bộ ngành công nghiệp “trò chơi máy tính” đang phát triển ở phương Tây. Tất nhiên, trò chơi máy tính là một điều tốt; các em phát triển khả năng quan sát, phản ứng nhanh và giao tiếp; chúng rất hữu ích để có được những khoảnh khắc trong trò chơi. Chúng ta không nói về thiết kế có sự hỗ trợ của máy tính, nghiên cứu khoa học và các hoạt động phía máy chủ khác.

Mục đích của ghi chú này là để chỉ cho những độc giả Kwaンタ không có quyền truy cập vào các thiết bị đó cách màn hình hiển thị sẽ được triển khai trong quá trình giáo dục.

Các bức ảnh thể hiện ví dụ về hình ảnh thu được trên màn hình của thiết bị đầu cuối đồ họa “EC-7064” được kết nối với máy tính dòng EC tại Viện Kiến trúc Moscow và Viện Kỹ thuật Vô tuyến, Điện tử và Tự động hóa Moscow.

Trong bức ảnh đầu tiên, chúng ta thấy - ở phía bên trái màn hình - một vật trang trí được đánh máy bằng bút ánh sáng từ các phần tử tiêu chuẩn được vẽ bằng lập trình ở phía bên phải màn hình. Tại thời điểm ban đầu, chỉ có các chấm sáng ở phía bên trái màn hình; các nút của một lưới vuông gồm các ô 5x5 được đặt. Học sinh dùng bút chọn một hình điển hình từ “menu” mà mình thích rồi “cày” nó vào ô lưới mong muốn, dùng bút chỉ ra hai nút nằm theo đường chéo. Trong trường hợp này, bạn có thể “hàn” hình không chỉ theo hướng ban đầu mà còn có thể xoay theo một góc là bội số của một đường thẳng. Bạn có thể “vẽ” hai hoặc ba hình khác nhau vào một ô; bằng cách sử dụng các nút đầu cuối đặc biệt, bạn có thể xóa những cái đã nhập sai

44

hình, loại bỏ các điểm nút tham chiếu sau khi tạo thành vật trang trí, hiển thị thông tin trên băng giấy đục lỗ hoặc băng từ để vẽ vật trang trí trên máy vẽ. “Trò chơi” này cho phép bạn nắm vững chế độ “bố cục đồ họa”, khái niệm “bàn phím đồ họa” hoặc “menu”, đồng thời lặp lại các khái niệm dịch và xoay. Không chỉ học sinh năm thứ nhất mà ngay cả học sinh cấp THCS cũng thích thú với công cụ lập trình này.

Bức ảnh thứ hai cho thấy bài toán chuyên nghiệp hơn - sử dụng nguyên tắc “thiết kế ngôi nhà” tương tự. Điều này kết hợp những điều nhỏ nhặt khi làm việc với máy tính và các vấn đề về kiến ​​trúc và thẩm mỹ.

Trong bức ảnh thứ ba, chúng ta thấy hình ảnh một cơ chế đơn giản (tương tự như một bộ điều khiển robot), tay cầm của nó dùng để nắm hoặc thả một vật hình vuông. Các nút bàn phím điều khiển chuyển động của cơ cấu và hoạt động của tay kẹp. Chỉ cần nhấn nút tương ứng, bạn có thể xoay cần gạt này hoặc cần gạt kia theo hướng này hay hướng khác theo bước “lớn”, “trung bình” hoặc “nhỏ”. Mục tiêu là đặt một số đồ vật cạnh nhau hoặc chồng lên nhau trong ít bước nhất có thể. Để giúp bạn theo dõi bài tập của học sinh, điểm kiểm tra chụp sẽ để lại dấu trên màn hình. Điều thú vị là mặc dù bài toán rất đơn giản, ngay cả những giáo sư ngồi sau màn hình lần đầu tiên cũng không nắm vững ngay nghệ thuật điều khiển robot. Và còn nhiều cơ chế khác được mô hình hóa trong không gian!

Bây giờ hãy thử tưởng tượng cách xác định các hình dạng được hiển thị trong hai bức ảnh tiếp theo bằng ngôn ngữ đồ họa đặc biệt. Hình “bánh xe” bao gồm các đoạn, hình tròn và các hình khác. Nhưng nó cũng sử dụng sự lặp lại (“chu kỳ”) và các phép biến đổi tọa độ (xoay quanh một điểm nhất định). Để mô tả một bộ phận, bạn cần các số và mã đặc biệt để đặt kích thước và vị trí mong muốn của các bộ phận cấu thành của nó - chẳng hạn như các hình bình hành, hình nón cũng được nhận dạng, đồng thời, đặt và làm rõ góc mà bộ phận đó có thể nhìn thấy được (nói cách khác, đặt phép chiếu trục đo hoặc phối cảnh).

Trong bức ảnh thứ sáu, chúng ta thấy hình ảnh các vật thể giao nhau - trong trường hợp này là một hình nón và một hình elip. Việc xây dựng và nghiên cứu các đường giao nhau của một bề mặt là một trong những chủ đề truyền thống của môn hình học mô tả. Nhiều thế hệ học sinh đã xây dựng những đường thẳng như vậy bằng cách sử dụng compa và thước kẻ. Ở đây, các đường thẳng được vẽ bằng máy, nhưng kích thước của các vật thể (bề mặt) và vị trí của chúng phải được học sinh xác định bằng cách sử dụng các con số. Khi thi thể được trao

45

Giờ đây, bằng cách sử dụng các phím trên bàn phím, bạn có thể xem đối tượng từ các góc khác nhau và thay đổi tỷ lệ. Bạn cũng có thể thay đổi vị trí hoặc kích thước của các phần được chỉ định. Trong bức ảnh chúng ta thấy đường giao nhau bao gồm hai phần hình bầu dục. Bạn có thể cho tôi biết cách di chuyển hình nón sao cho đường giao nhau chỉ chứa một phần không?

Bức ảnh thứ bảy hiển thị đồ thị của các hình sin khác nhau. Mỗi sin sin được cho bởi một số số, trong đó có các hệ số có trong phương trình của nó. Bằng cách thay đổi hệ số này hoặc hệ số khác, học sinh có thể thấy nó ảnh hưởng như thế nào đến hình dạng của đường cong. Tất nhiên, hình sin là ví dụ đơn giản nhất, nhưng ngay cả với một điều kiện nhỏ về biểu diễn giải tích của hàm số, một nhà toán học không phải lúc nào cũng nói được hình dạng của đồ thị thay đổi như thế nào khi các đại lượng khác nhau thay đổi. Ở đây bạn có thể có được một dòng máy tính mới, đã được sửa đổi trong vài giây!

Bức ảnh thứ tám thể hiện hình ảnh một bộ phận điển hình đang được thiết kế. Các thông số của nó được đưa ra dưới dạng một số số ở hai dòng ở cuối màn hình. Trong quá trình thiết kế tự động các bộ phận như vậy, các nhà thiết kế sẽ kiểm tra trên màn hình xem các bộ phận được tạo ra và bản vẽ làm việc của chúng sẽ trông như thế nào. Ở đây chúng ta thấy một bánh răng. Nếu một số tham số của nó thu được do tính toán động học của máy và tính toán cường độ, thì các tham số khác (ví dụ: chiều rộng của trùm) được xác định về mặt cấu trúc. Người thiết kế cũng kiểm tra xem chương trình đã đặt đúng kích thước và ký hiệu hay chưa; nếu cần, anh ta có thể điều chỉnh theo các quy tắc được xác định trước trong chương trình. Hình ảnh cuối cùng được hiển thị trên máy vẽ.

Cuối cùng, trong bức ảnh thứ chín có một vật thể phức tạp hơn được vẽ bởi máy vẽ. Nhân tiện, sức mạnh của những cỗ máy, vốn được coi là lớn gần đây, không còn đủ để hình thành và hiển thị nhanh chóng những hình ảnh phức tạp như vậy trên màn hình. Bạn phải đợi trước một màn hình tối trong một hoặc hai phút… và hy vọng vào sự phát triển nhanh chóng hơn nữa của thiết bị điện tử. Tuy nhiên, ngay cả bây giờ giá trị của những hình ảnh như vậy vẫn rất cao. Bằng cách thay đổi một hoặc nhiều số trong mô tả của một đối tượng, bạn có thể có được tùy chọn so sánh khác nhau về thành phần và tỷ lệ. Không khó để nhìn một vật thể từ các góc độ và khoảng cách khác nhau. Các “khung” đã chọn sẽ được chuyển sang giấy với độ chính xác và chi tiết cao hơn, đồng thời các bản vẽ máy thu được có thể được các nghệ sĩ và kiến ​​trúc sư vẽ bằng tay (vẽ, chi tiết).

46

VIII. Đăng ký

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học M. E. LEVINSHTEIN, Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học G. S. SIMIN, V. Y. SINDALOVSKY

Một máy tính thường được so sánh với một sinh vật sống. Trong cơ thể phức tạp này, vai trò của trái tim do bộ tạo đồng hồ đảm nhiệm, thiết lập nhịp điệu của máy và vai trò của bộ não do bộ xử lý điều khiển mọi hoạt động bắt nguồn từ máy tính. “Mắt” và “tai” của máy tính là thiết bị đầu vào thông tin, “hệ thần kinh” là một mạng lưới dây dẫn phức tạp hợp nhất các phần tử của máy tính thành một tổng thể duy nhất và “lời nói” là thiết bị nhập kết quả thu được.

Trong sinh vật phức tạp này, chúng tôi đã nghiên cứu hoạt động của các tế bào đơn lẻ - bóng bán dẫn. Chính từ những “tế bào” như vậy – bóng bán dẫn sinh học hoặc hiệu ứng trường – mà hầu hết các bộ phận của máy tính đều được cấu thành. Nếu không nghiên cứu cách cấu trúc và cách thức hoạt động của một tế bào thì không thể hiểu được toàn bộ công việc của một tổ chức. Nhưng mặt khác, rõ ràng là việc giới hạn bản thân chỉ làm quen với một tế bào đơn lẻ sẽ không tiến xa đặc biệt trong việc nghiên cứu về một sinh vật phức tạp.

Trong phần này và các ghi chú tiếp theo, chúng ta sẽ thảo luận, làm ví dụ, làm thế nào, dựa trên các mạch logic và flip-flop đơn giản nhất trên bóng bán dẫn mà chúng ta đã nghiên cứu, các mạch điện tử vô tuyến phức tạp hơn được tạo ra để đóng vai trò trực tiếp như các nút máy tính - đăng ký và bộ cộng.

Như chúng ta biết, tất cả thông tin được lưu trữ và xử lý trong máy tính được trình bày dưới dạng số được viết bằng hệ thống kép. Các thanh ghi được sử dụng trong máy tính để ghi, lưu trữ và đọc số.

hình hiển thị sơ đồ đăng ký đơn giản để ghi các số có bốn chữ số (trên thực tế, đăng ký của máy tính hiện đại có thể chứa tối đa 64 chữ số). Thanh ghi bao gồm các phần tử lưu trữ - flip-flop, mạch “AND” đầu vào cho phép ghi và mạch “AND” đầu ra cho phép đọc một số.

Hãy chú ý đến biểu tượng kích hoạt. Nó tương tự như ký hiệu của các mạch logic khác, nhưng có chữ “T” ở góc trên bên phải. Hai đầu vào của trigger được ký hiệu bằng các chữ cái S (từ tiếng Anh set - set) và R (từ từ reset - return, recovery). Sự khác biệt giữa các đầu vào là tương đối - chúng hoàn toàn chạy bằng điện.

Đây là cách RAM của máy tính hiện đại hoạt động. Mạch tích hợp silicon có thể nhìn thấy trên bảng mạch in. Thời gian ghi và đọc của bộ nhớ như vậy là 50–100 ns.

Khi thực hiện các phép tính với số lớn, chúng ta sử dụng cách biểu diễn số sau:

0.123826·10⁵ Cơ sở thứ tự nam châm của hệ thống số

Trong điện trở máy tính, nó được sử dụng theo cách tương tự để biểu diễn các số với điểm khác biệt duy nhất là cơ số của hệ thống số là 2 (hệ nhị phân), còn mantissa và thứ tự ký hiệu nằm trong hệ nhị phân.

Ghi số 4,5 vào điện trở máy tính 9-rd:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 0 1 1 1 0 0 1

ký thứ tự ký nam châm mantissa.

Chữ số đầu tiên của điện trở được phân bổ để ghi dấu của số (mantissa). Số 1 trong chữ số tương ứng với một phút, 0 - cộng. Chữ số thứ hai hiển thị dấu thứ tự. Trong ví dụ này, lệnh có dấu cộng. Bit 3 đến 5 được dành riêng để ghi thứ tự; trong ví dụ này thứ tự là +3. Các bit từ 6 đến 9 được sử dụng để viết mantissa kép. Đơn vị ở chữ số thứ 6 tương ứng với 2⁻¹, ở chữ số thứ 7 - 2⁻², ở chữ số thứ 8 - 2⁻³, v.v. Do đó, số được viết - (1·1/2 +0×(1/4+0·1/8+1·1/16)). 2³ = -4,5.

Trong ví dụ đã cho, mantissa có thể thay đổi từ

47

• $\frac{15}{16}$ đến + $\frac{15}{16}$ và thứ tự từ - 7 đến + 7. Trong máy tính dòng EC, các số từ $\approx 5,4 \cdot 10^{-79}$ đến $\approx 7,2 \cdot 10^{75}$ được lưu trữ trong các chốt 32 bit.

Trong tương lai gần, VIC silicon sẽ được thay thế bằng IC RAM dựa trên vật liệu bán dẫn. Bức ảnh cho thấy một tế bào của một IC như vậy có kích thước 62×65 micron. Các bóng bán dẫn hiệu ứng trường có trong mạch có cổng dài 1 micron. Con chip có dung lượng bộ nhớ 4 kbit chứa 26.600 bóng bán dẫn hiệu ứng trường và có kích thước 5,6 × 6 mm. Lót IS - 2 IS.

Dung lượng RAM không đủ cho lời giải phức tạp bài toán trên máy tính. Phần chính của thông tin được lưu trữ trong bộ nhớ ngoài, có dung lượng lớn hơn nhiều, mặc dù chậm hơn. Bức ảnh cho thấy một thiết bị bộ nhớ ngoài trên băng từ, hơi giống một magnetfon cuộn-qua-cuộn thông thường. Một đai dài 750 m có thể chứa tới 6 ml. Số 32-bit. Thời gian đọc toàn bộ băng là 6-7 phút.

Chennault là tương đương. Đầu vào $R$ được sử dụng để đặt trạng thái “không” ban đầu của flip-flop và đầu vào $S$ được sử dụng để cung cấp tín hiệu cần lấp đầy. Đầu ra của flip-flop, chẳng hạn như được đặt bằng “1” khi “1” được áp dụng cho $S$, được gọi là đầu ra chính (lựa chọn trên trên hình 1) và lựa chọn thứ hai, chẳng hạn như nó nghịch đảo với tín hiệu đầu vào, được gọi là bổ sung. Đảo ngược, như trong sơ đồ loại “KHÔNG”, được biểu thị bằng một vòng tròn.

Đầu vào “cài đặt không” $R$ của tất cả các flip-flop đều được kết nối; Trước khi ghi, tín hiệu “1” được áp dụng cho chúng, do đó tín hiệu “0” được đặt ở tất cả các đầu ra chính của bộ kích hoạt.

Hãy xem một số được ghi vào sổ đăng ký như thế nào. Mỗi mạch AND đầu vào có hai đầu vào. Một trong số chúng (thấp ở hình 1) là phổ biến cho tất cả các chương trình. Dây kết nối các đầu vào chung này được gọi là bus ghi (RW). Nếu điện áp bằng 0 được đặt vào bus ghi, thì tất cả đầu ra của mạch “AND” cũng sẽ có điện áp bằng 0, bất kể tín hiệu ở đầu vào “tín hiệu” thứ hai - đây là đặc tính của mạch “AND” (xem ghi chú ở số 1, 2 «Kvant», 1986). Tuy nhiên, nếu tín hiệu “1”—quyền ghi—được cung cấp cho bus ghi RAD, thì điện áp ở đầu ra của mạch “AND”, và do đó ở đầu vào $S$ của bộ kích hoạt, sẽ phụ thuộc vào tín hiệu nào được nhận tại thời điểm đó trên tín hiệu đầu vào thứ hai của mạch “AND”.

hình 1 lấy số 9 (1001) làm ví dụ. Ở chữ số thứ nhất và thứ tư ở đầu vào tín hiệu có tín hiệu “1”. Nếu cũng có tín hiệu “1” trên bus RAC, thì tín hiệu “1” sẽ được nhận ở đầu vào $S$ của flip-flop chữ số thứ 1 và thứ 4, tín hiệu này sẽ “lật” các flip-flop này. “1” sẽ được viết ở chữ số thứ 1 và thứ 4. Ở bit 2 và 3, trong đó có “0” ở đầu vào tín hiệu, cũng sẽ có “0” ở đầu ra của mạch “AND” và “0” vẫn được ghi trong bộ kích hoạt.

Hoạt động của mạch “AND” đầu ra tương tự như hoạt động của mạch đầu vào. Ngay khi tín hiệu “1” được áp dụng cho bus đọc (MF), tín hiệu “1” sẽ xuất hiện ở đầu ra của mạch “AND” trong các bit trong đó “1” được ghi ở đầu ra chính của bộ kích hoạt.

Trong các mạch thực hiện flip-flop. Ở những đầu ra này, cái gọi là “mã đảo ngược” của số được viết sẽ được tạo ra, trong đó “0” thay cho “1” và ngược lại. Mã ngược được sử dụng trong máy tính để thực hiện một số phép tính số học với số kép.

Tập hợp các bản ghi sử dụng máy tính để điền vào chương trình làm việc, dữ liệu ban đầu và trung gian của các phép toán được gọi là RAM. RAM của một trong những máy tính nội địa lớn “VESM-6” chứa 32768 (32768=2$^{15}$) thanh ghi, mỗi thanh ghi cho phép lưu trữ các số kép 48 bit.

RAM được yêu cầu phải rất nhanh vì nó phải có khả năng ghi và đọc số với tốc độ tương đương với tốc độ máy thực hiện phép tính. Trong số các giao diện mạch công nghiệp hiện đại, IC dựa trên bóng bán dẫn lưỡng cực silicon được chế tạo nhanh nhất. Vì vậy, RAM của các máy tính lớn được cấu tạo từ các mạch logic và flip-flop trên các bóng bán dẫn lưỡng cực.

Các thanh ghi của máy vi tính được thực hiện trên cơ sở các bóng bán dẫn MOS hữu ích. Tốc độ của bộ nhớ như vậy thấp hơn nhiều, nhưng các bóng bán dẫn MOS này tiêu thụ ít năng lượng hơn nhiều. Nhờ máy tính vi mô này, có thể đạt được hàng chục giờ hoạt động trên một cục pin thu nhỏ.

48

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
   $$2x^2 - 2xy + 5y^2 + 2x + 2y.$$
2. Tìm số tiền
   $$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + 7 \cdot 9 + \dots + 999 \cdot 1001.$$
3. Biết rằng $n-1$ chia hết cho 15 và 1001 chia hết cho $n+1$. Tìm $n$.
4. Trong tam giác vuông $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) chiều cao $CD$ được vẽ. Tìm: a) bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, nếu bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác $ACD$ và $BCD$ bằng $r_1$ và $r_2$; b) chu vi của tam giác $ABC$, nếu chu vi của tam giác $ACD$ và $BCD$ bằng $P_1$ và $P_2$.
5. Một điểm được lấy trên đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông $ABC$. Tìm tổng bình phương khoảng cách từ điểm này đến các đỉnh của tam giác nếu cạnh của tam giác là $a$.

lớp chín
6. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + \dots + 9x_9 + 10x_{10} = 55, \\ x_2 + 2x_3 + \dots + 9x_{10} + 10x_{11} = 55, \\ x_{10} + 2x_1 + \dots + 9x_8 + 10x_9 = 55. \end{cases}$$
7. Chứng minh bất đẳng thức

Không chỉ tính đến khả năng của mặt trời mà còn tính đến ảnh hưởng của Trái đất không hình cầu, lực hấp dẫn của các hành tinh và sự điều chỉnh tương đối nhỏ. Chưa hết, lý thuyết của Brown đã bộc lộ những trang có sự mâu thuẫn và đưa ra những khác biệt đáng chú ý, mặc dù rất nhỏ, với các quan sát. Vào những năm 40 của thế kỷ chúng ta, người ta đã khẳng định rằng lý thuyết một lần nữa không đáng trách ở đây, mà là do Trái đất quay không đều, và do đó thời gian không đồng đều, được xác định bởi chuyển động quay của hành tinh chúng ta. Với sự chuyển đổi sang thời gian phù du, trôi đều đặn (được xác định bằng đồng hồ nguyên tử), mọi khác biệt đã biến mất.

Sự phát triển của các tàu thăm dò không gian, bao gồm cả Mặt trăng, việc lắp đặt các gương phản xạ góc trên bề mặt Mặt trăng cho phạm vi laser sẽ làm tăng đáng kể độ chính xác của lý thuyết mặt trăng. Bây giờ chúng ta có thể xác định khoảng cách tới Mặt trăng với độ chính xác 25 cm. Sự cải tiến của máy tính đã mở ra những khả năng mới.

Một nhóm các nhà khoa học Pháp đã có thể sử dụng máy tính để kiểm tra lý thuyết của Delaunay và Hill-Brown và thu được tất cả các đại lượng cần thiết với độ chính xác đáng kinh ngạc: lên tới $1''$ ở các góc và với độ chính xác “laser” ở khoảng cách. Để làm được điều này, cần phải thu hút hàng nghìn thành viên tham gia vào các bản mở rộng. Tuy nhiên, điều này không đặc biệt khó khăn đối với máy tính. Lý thuyết được tạo ra theo cách này sau đó đã được áp dụng thành công vào việc nghiên cứu chuyển động của các vệ tinh nhân tạo của Trái đất.

Như vậy đã kết thúc lịch sử kéo dài hàng thế kỷ xây dựng lý thuyết về chuyển động của Mặt trăng. Bây giờ chúng ta đã biết điều gì ẩn chứa trong một cụm từ tưởng chừng đơn giản như vậy: “Mặt trăng chuyển động quanh Trái đất theo hình elip…”

49

Các quá trình nhiệt trong chất khí

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. I. BUZDIN,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. S. KROTV

Khi chuyển từ phần “Cơ học” sang phần “Vật lý phân tử và hiện tượng nhiệt”, học sinh không phải lúc nào cũng hiểu rõ nguyên lý biến đổi trong cách tiếp cận mô tả các hệ đang nghiên cứu.

Trong tất cả các vật thể tồn tại trong tự nhiên, sự chuyển động của các hạt nhỏ nhất (nguyên tử và phân tử) tạo nên các vật thể này đều diễn ra. Người ta gọi nó là chuyển động nhiệt và đặc điểm đặc trưng của nó là mất trật tự. Trong cơ học, chúng ta loại bỏ chuyển động bên trong này của các hạt và nghiên cứu chuyển động của toàn bộ cơ thể. Thông thường người ta có thể hoàn toàn bỏ qua các kích thước của một vật thể khi mô tả chuyển động của nó và coi vật thể của vật liệu là một điểm. Điểm vật chất là đối tượng chính của cơ học.

Ngược lại, trong vật lý các hiện tượng nhiệt, cần phải tính đến chuyển động hỗn loạn của một số lượng lớn các hạt tạo nên chất khí, chất lỏng và chất rắn (theo cấp số Avogadro $N_A \sim 10^{23}$ 1/mol). Trong trường hợp này, mối quan tâm chính là tìm các đại lượng trung bình mô tả toàn bộ trạng thái của hệ thống - nhiệt độ, áp suất, mật độ, v.v.

Sự chú ý lớn nhất ở trường đối với khí lý tưởng, thuộc về Mendeleev - Clapeyron

$$pV = \frac{m}{M}RT,$$

trong đó $p$ là áp suất, $V$ là thể tích, $m$ là khối lượng, $M$ là khối lượng mol của khí, $R$ là hằng số khí phổ quát, $T$ là nhiệt độ khí.

Bất kỳ quá trình nào trong đó có ít nhất một tham số đặc trưng cho trạng thái thay đổi của khí đều có thể được coi là quá trình tăng nhiệt. Vì vậy, ví dụ, trong quá trình sản xuất một lượng khí nhất định, nhiệt độ được duy trì không đổi, áp suất và thể tích thay đổi (nhưng $pV = \text{const}$, tương ứng với định luật Boyle-Mariotte).

Hãy nhớ rằng quy trình có các thông số khí là dành cho các quá trình đẳng tích và đẳng áp.

Bài toán 1. Quá trình nhiệt xảy ra với chất khí ở trạng thái kín trên sơ đồ $V$ - $T$ có ​​dạng hình tròn (hình 1). Nhiệt độ, thể tích và áp suất khí tối đa và tối thiểu ở những điểm nào?

Các điểm mà thể tích và nhiệt độ tối đa và tối thiểu được chỉ định dễ dàng. Đây là các điểm tiếp xúc của một vòng tròn nhất định với các đường thẳng ngang và dọc tương ứng - đường đẳng nhiệt và đường đẳng nhiệt. Đối với đáp số, khi được hỏi về áp suất, chúng ta sẽ xây dựng các đường đẳng áp trên cùng một sơ đồ.

Trong quá trình đẳng áp, thể tích của một chất khí tỉ lệ thuận với nhiệt độ của nó:

$$V = \frac{mR}{Mp}T,$$

do đó, các đường đẳng áp là những đường thẳng đi qua gốc tọa độ, độ dốc của chúng càng nhỏ thì áp suất càng lớn. Bây giờ rõ ràng là chúng ta phải vẽ các tiếp tuyến của đường tròn từ gốc tọa độ. Trong trường hợp này, tiếp tuyến dưới sẽ tương ứng với áp suất tối đa và tiếp tuyến trên sẽ tương ứng với áp suất tối thiểu.

Bài toán 2. Biểu đồ $p$ - $V$ thể hiện quá trình giãn nở của chất khí, trong đó chất khí chuyển từ trạng thái 1 với áp suất $p_0$ và thể tích $V_0$ sang trạng thái 2 với áp suất $p_0/2$ và thể tích