Kvant 1987, số 7 · Trang

ISSN 0130—2221
lượng tử
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
In Quadrante Orientali, circa 5 et Limit Bore.
20
1987

1

Trong phòng:

khoa học đại chúng
vật lý và toán học
Tạp chí của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Yu. P. Soloviev. Số học của đường cong elip
A. A. Panov. Cây gia phả
V. S. Ashavsky. Bề mặt tinh thể
S. I. Valyansky. Đơn vị: từ hệ thống này sang hệ thống khác
S. S. Khilkevich, O. A. Zaitseva. Làm thế nào để xây dựng một quỹ đạo?

Nhà xuất bản “Khoa học”.
Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học

tin tức khoa học
Microcop đường hầm

Kính vạn hoa «Kvant»

Lịch của chúng tôi
Van der Waals và phương trình của ông

Vấn đề «Kvant»
Bài toán M1051—M1055, F1063—F1067
Lời giải bài toán M1031—M1035, F1043—F1045, F1047

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
A. P. Savin. Bài toán để cắt

vòng tròn toán học
O. T. Izhboldin, L. D. Kurlyandchik. Tách đơn vị

Trò chơi và câu đố
V. N. Dubrovsky. Thay Đổi

Thông tin
Máy tính trên bờ sông Ob
Các chương trình trẻ ở Leningrad
Trường thông tin tại NSU

Đáp số, gợi ý, lời giải
Bìa của chúng tôi (tr. 53)
«Kvant» mỉm cười (trang 58)
Trang cờ vua
Những nhân vật trở về nhà (trang bìa thứ 3)

Trang đầu tiên của trang bìa tái hiện một trong những bản đồ mặt trăng của nhà chiêm tinh nổi tiếng người Ba Lan Jan Hevelius, được xuất bản trong tác phẩm nổi tiếng “Selenography” của ông vào năm 1647. Bạn sẽ tìm thấy câu chuyện về Hevelius trong phần “Trang bìa của chúng tôi”.

Trang thứ hai của trang bìa hiển thị một mảnh bản đồ Mặt trăng hiện đại do Viện Thiên văn Nhà nước mang tên biên soạn. P.K. Sternberg và Dịch vụ cấu trúc liên kết của Liên Xô.

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1987.

4

điểm cuối cùng (16/9; 7/9) dựng một tiếp tuyến khác của đường cong (4) cho đến khi nó cắt nó tại điểm hữu tỉ thứ ba, v.v. Nhưng Diophantus đã không thực hiện bước này. Và phải mất hơn 1.500 năm các nhà toán học mới có thể tận dụng triệt để những ý tưởng của Diophantus.

Đường cong bậc ba
Theo đúng cách tiếp cận hình học đã thảo luận ở trên, chúng ta sẽ tập trung chú ý không phải vào phương trình lời giải của bậc ba mà vào câu hỏi tương đương sau: các điểm hữu tỷ của đường cong trong mặt phẳng được cho bởi phương trình bậc ba là gì

$$f(x, y) = ax^3 + bx^2y + \dots + hx + iy + j = 0$$
với hệ số nguyên?

Tất cả các đường cong như vậy có thể được chia thành hai lớp lớn. Lớp đầu tiên bao gồm các đường cong có điểm sắc nét (như điểm (0; 0) của đường cong $y^2 = x^3$), tự giao nhau (hình 3), cũng như các đường cong mà $f(x, y)$ được biểu thị dưới dạng $f(x, y) = f_1(x, y) \cdot f_2(x, y)$,

trong đó $f_1(x, y), f_2(x, y)$ là các đa thức bậc thấp hơn (hình 4). Hãy để chúng tôi nói rằng những đường cong như vậy là suy biến. Lớp thứ hai được hình thành bởi các đường cong không suy biến bậc ba với các hệ số nguyên - những đường cong như vậy được gọi là elip. Lớp học (tổng quát nhất) này sẽ khiến chúng ta quan tâm. Chúng ta sẽ xem xét các đường cong elip được cho ở dạng chính tắc, tức là các phương trình

$$y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c$$
(6)

với các hệ số nguyên $a, b$ và $c$, trong đó đa thức $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ không có nhiều nghiệm.

Điều này không vi phạm tính tổng quát: mọi đường cong không số ít $f(x, y) = 0$ bậc ba đều có thể được rút gọn về dạng (6) bằng một số phép biến đổi; Hơn nữa, nếu các hệ số $f(x, y)$ là số nguyên, thì bài toán để tìm các điểm hữu tỷ trên đường cong $f(x, y) = 0$ có thể giảm xuống thành bài toán tương tự cho đường cong (6) với các số nguyên $a, b$ và $c$.

Biểu diễn đồ họa của đường cong elip
Trước hết chúng ta hãy tìm hiểu xem đường cong (6) trông như thế nào. Để có được biểu diễn đồ họa của nó, bạn cần vẽ biểu đồ của hàm $y = \sqrt{x^3 + ax^2 + bx + c}$ và phản ánh đối xứng nó trên trục $Ox$. Để xây dựng đồ thị của $y = \sqrt{x^3 + ax^2 + bx + c}$, trước tiên chúng ta xây dựng đồ thị của hàm $y = x^3 + ax^2 + bx + c$. Người ta biết rằng một đa thức bậc ba (không có nhiều nghiệm) có thể có một hoặc ba nghiệm thực. Theo giả định, tất cả các gốc này đều khác nhau. Đồ thị của $y = x^3 + ax^2 + bx + c$ trông giống như biểu đồ trong hình 5, $a$ và $b$. Và bây giờ không khó để có được đồ thị của hàm số $y = \sqrt{x^3 + ax^2 + bx + c}$

5

(hình 6, a) và do đó, dạng của đường cong elip $y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c$ (hình 6, b) đối với trường hợp đường cong 5, a. Trường hợp đường cong 5, b xin nhường cho bạn đọc; đường cong kết quả bao gồm hai phần (xem hình 9).

Hãy lưu ý sự cản trở sau đây. Đồ họa của các hàm $y = \sqrt{P(x)}$ và $y = -\sqrt{P(x)}$ được “dán lại với nhau” tại các điểm $x_1, x_2, x_3$ “một cách mượt mà”, tức là không có góc. Điều này xảy ra vì tiếp tuyến của đồ thị $y = \sqrt{P(x)}$ tại các điểm $x_1, x_2, x_3$ là đường thẳng đứng; nói cách khác, độ dốc của nó tiến tới vô cùng. Điều này dễ dàng được chứng minh bằng cách đếm một hàm tùy ý $y = \sqrt{P(x)}$.

Bổ sung điểm
trên đường cong elip

Phương pháp cát tuyến áp dụng cho đường cong elip $C$ dẫn đến kết quả sau: hóa ra các điểm trên đó có thể được “cộng thêm”. Chúng tôi xác định thao tác thêm điểm trên $C$, bắt đầu từ hình ảnh đồ thị của nó (xem hình 7). Hãy lấy hai điểm $P$ và $Q$ trên $C$ và vẽ một đường thẳng đi qua chúng. Đường này có điểm giao nhau thứ ba với đường cong $C$. Chúng ta hãy phản ánh điểm này từ trục $Ox$ và điểm kết quả bằng tổng của $P$ và $Q$ (ký hiệu $P+Q$, hình 7). Đường thẳng đi qua các điểm không phải lúc nào cũng cắt đường cong $C$ ở điểm thứ ba - bên phải, một đường thẳng đứng. Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét tình huống này chi tiết hơn.

Hãy nghiên cứu tính chất của phép cộng điểm trên đường cong elip. Chúng ta hãy lấy ví dụ về các tính chất của phép cộng số. Hoạt động giao hoán này, tức là $a+b=b+a$, cũng có tính kết hợp, tức là, $(a+b)+c=a+(b+c)$. Ngoài ra, thao tác này có số 0, tức là một số $O$ sao cho $a+O=a$ với bất kỳ $a$ nào, và cuối cùng, với mọi số $a$ nó có số đối của nó, tức là một số $(-a)$ sao cho $a+(-a)=0$.

Nhưng còn đường cong elip thì sao? Trước hết là thao tác cộng điểm giao hoán. Trên thực tế, để tính $Q+P$, chúng tôi sử dụng tổng trực tiếp tương tự như đối với $P+Q$. Vì vậy, $Q+P=P+Q$.

Tính kết hợp của việc cộng các điểm trên đường cong elip cũng đúng, nhưng điều này không dễ chứng minh. Sự thật tuyệt vời này - hãy cố gắng hiểu nó về mặt hình học -

6

Hình 8.

đến mặt phẳng và gọi nó là điểm ở vô cực. Nó phải đáp ứng yêu cầu gì? Bất kỳ đường thẳng đứng nào cũng có xu hướng vô tận từ trên xuống dưới. Chúng tôi sẽ yêu cầu tất cả các điểm vô cực này phải có cùng một điểm $E$, tức là chúng tôi sẽ giả sử rằng $E$ là điểm giao nhau của tất cả các đường thẳng đứng. Yêu cầu này xác định chính xác điểm $E$—điểm 0 đối với phép tính cộng của chúng ta. Theo quy ước của chúng ta, một đường thẳng đứng đi qua điểm $P$ đi qua $P$ và $E$. Do đó, điểm $R$ giao điểm của đường này với đường cong elip thỏa mãn sự tương ứng $P+R=E$, tức là nó đối diện với $P$. Mặt khác, $R$ là một điểm đối xứng với $P$ so với trục $Ox$. Điều này có nghĩa là bất kỳ điểm nào $P$ đều có điểm đối diện - $P=R$. Vì vậy, chúng ta tin rằng phép cộng một điểm trên đường cong elip có cùng tính chất như phép cộng các số.

Cách tính điểm $P+P$? Khi các điểm khác nhau, chúng tôi đã vẽ một cát tuyến. Vì chúng đã hợp nhất nên rõ ràng là chúng ta cần kiểm tra tiếp tuyến (hình 9).

Bạn nên làm gì để tìm 3$P$? Rất đơn giản, chúng ta lấy tổng của 2$P$ và $P$. Như 4$P=3P+P$, 5$P=4P+P$, v.v.

Tìm kiếm điểm hợp lý
Được trang bị phép cộng, bây giờ chúng ta hãy giải quyết các điểm hữu tỉ. Giả sử $P=(x_1, y_1)$, $Q=(x_2, y_2)$ là hai điểm hữu tỉ trên đường cong elip $y^2=x^3+ax^2+bx+c$, trong đó $a, b, c$ là số nguyên và để đường thẳng đi qua $P$ và $Q$ cắt đường cong này tại một điểm khác $R=(x_3; y_3)$. thì $R$ cũng là điểm hữu tỉ.

Tuyên bố này được chứng minh khá đơn giản. Nếu như

$$y=kx+d$$

là phương trình đường thẳng đi qua các điểm $P$ và $Q$ thì $k$ và $d$ là các số hữu tỉ, vì chúng có thể được biểu diễn qua tọa độ $(x_1; y_1)$ và $(x_2; y_2)$ của các điểm $P$ và $Q$ bằng công thức

$$k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}, \quad d=y_1-kx_1=\frac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}.$$

Thay (7) vào phương trình đường cong elip, chúng ta thu được $x$ phương trình bậc ba với các hệ số hữu tỉ

$$(kx+d)^2=x^3+ax^2+bx+c,$$

tức là

$$x^3+(a-k^2)x^2+(b-2kd)x+c-d^2=0.$$

Theo định lý Vieta

$$x_1+x_2+x_3=k^2-a.$$

Vì $x_1$ và $x_2$ là hữu tỉ, nên $x_3$ sẽ hữu tỉ, và do đó $y_3=kx_3+d$.

Từ chứng minh này ta có ngay công thức tính tọa độ của điểm $P+Q$. Theo định nghĩa, $P+Q$ thu được từ $R$ bằng cách phản chiếu từ trục $Ox$, có nghĩa là có thể tìm thấy tọa độ $(u; v)$ của điểm $P+Q$ bằng cách sử dụng các công thức

$$u=k^2-a-x_1-x_2, \quad v=-ku-d=-[k(u-x_1)+y_1].$$

Thay thế ở đây các giá trị $k$ và $d$, chúng ta nhận được

$$u=\frac{(y_1-y_2)^2}{(x_1-x_2)^2}-(a_1+x_1+x_2),$$

$$v=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x_1-u)-y_1.$$

Rõ ràng là nếu $x_1=x_2$, những công thức này không có ý nghĩa. Trong trường hợp này, phương trình cát tuyến (7) phải được thay thế bằng phương trình tiếp tuyến và tiến hành theo sơ đồ trước đó. Kết quả là chúng tôi nhận được

$$u=-2x_1+a-(\frac{3x_1^2+2ax_1+b}{2y_1})^2,$$

$$v=y_1+\frac{3x_1^2+2ax_1^2+b}{2y_1}(u-x_1).$$

Do đó, khi biết ít nhất một điểm hữu tỷ $P$ trên đường cong elip, chúng ta có thể tìm thấy các điểm 2$P$, 3$P$, v.v. bằng cách sử dụng các công thức đã chỉ ra. Hãy xem xét một ví dụ. Hãy để cơn khủng hoảng

7

Phương trình đã cho là $y^2 = x^3 - 2$ và $P = (3; 5)$. Khi đó $2P = \left(\frac{129}{100}; -\frac{383}{1000}\right)$ là một điểm hữu tỉ mới. Bây giờ chúng ta có thể tính toán $3P, 4P$, v.v. Lưu ý rằng khối lượng tính toán tăng nhanh theo từng bước. Nếu chúng ta biểu thị bằng $u_n$ tọa độ đầu tiên của điểm $nP$, thì

$$u_1 = 3, \quad u_2 = \frac{129}{100}, \quad u_3 = \frac{164323}{29241},$$

$$u_4 = \frac{2340922881}{58675600}, \quad u_5 = \frac{307326105747363}{160280942564521}.$$

Hơn nữa thậm chí còn nhanh hơn. Ví dụ: $u_{11}$ có 71 ký tự.

Hiện tại không có quy trình tổng quát thấp hơn nào được biết đến để tìm tất cả các phương trình lời giải hữu tỉ $y = x^3 + ax^2 + bx + c$. Trong ví dụ được phân tích $y^2 = x^3 - 2$ một lời giải (3; 5), chúng tôi chỉ chọn; trong trường hợp tổng quát, không có phương pháp nào cho phép chúng ta tìm ra lời giải này đầu tiên. Tìm một phương trình elip hữu tỷ lời giải bằng cách sử dụng một quy trình hiệu quả là một trong những vấn đề lớn nhất trong lý thuyết số. Tuy nhiên, nếu có một lời giải, bạn có thể tìm những cái còn lại bằng công thức (8) và (9).

Thứ tự điểm
trên đường cong elip
Khi đạt được điểm $nP$ từ một điểm nhất định $P$, có thể xảy ra hai trường hợp. Trong trường hợp đầu tiên, ở bước $n$ chúng ta nhận được số 0, tức là có một số $n$ sao cho $nP = E$. Nếu với mọi $m < n$ $mP \neq E$ thì điểm $P$ được cho là có cấp hữu hạn $n$. Ví dụ: trên đường cong $y^2 = x^3 + 4$ điểm $P = (0; 2)$ có cấp 3, trên đường cong $y^2 = x^3 + 1$ điểm $P = (2; 3)$ có ​​cấp 6, trên đường cong $y^2 = x^3 - 43x + 166$ điểm $P = (3; 8)$ có cấp 7. Chúng ta có thể đặt câu hỏi: có bao nhiêu điểm hữu tỉ có cấp hữu hạn và những cấp này là gì?

Năm 1976, nhà toán học người Mỹ B. Mazur đã thu được một kết quả nổi bật khi chỉ ra rằng nếu $P$ là một điểm hữu tỉ có trật tự $n$, thì $n \leqslant 10$ hoặc $n = 12$; mặt khác, có nhiều nhất 16 điểm hữu tỉ có bậc hữu hạn trên một đường cong elip.

Trường hợp thứ hai là khi tất cả các điểm $2P, 3P, 4P$ v.v. đều khác nhau. Năm 1901, nhà toán học người Pháp A. Poincaré (1854-1912) đã đưa ra giả thuyết rằng luôn có thể tìm thấy một số hữu hạn các điểm hữu tỉ $P_1, \dots, P_r$ mà mọi điểm hữu tỉ $P$ đều được biểu diễn thông qua chúng, tức là được biểu diễn dưới dạng

$$P = n_1P_1 + \dots + n_rP_r + Q,$$

trong đó $n_1, \dots, n_r$ là các số nguyên được xác định duy nhất bởi điểm $P$ và $Q$ là điểm có cấp hữu hạn. Bản thân các điểm $P_1, \dots, P_r$ không được thể hiện qua nhau. Số $r$ được gọi là ranzem của đường cong.

Giả thuyết Poincaré đã được chứng minh bởi L. Mordell người Anh vào năm 1922, nhưng bằng chứng của ông không cung cấp bất kỳ cách nào để tính thứ hạng. Hiện vẫn chưa rõ liệu có đường cong elip nào ở cấp độ cao hơn hay không. Người ta chỉ biết rằng thứ hạng được ước tính thông qua các hệ số $a, b, c$ của phương trình $y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c$, do đó các đường cong có thứ hạng cao hơn phải có hệ số lớn hơn. Ví dụ: trong số các đường cong xếp hạng $r \geqslant 8$ là đường cong được tìm thấy gần đây

$$a = -3^2 \cdot 1487 \cdot 1873,$$

$$b = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 151 \cdot 14551 \cdot 33353,$$

$$c = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 151^2 \cdot 193 \cdot 273 \cdot 156307.$$

Kết luận: đường cong bậc tùy ý
Ở đây, chúng tôi giới hạn bản thân ở các đường cong (và do đó có các phương trình khác nhau) bậc 2 và 3. Nhưng còn độ $n \geqslant 4$ thì sao? Trong trường hợp này, việc phân biệt một loại đường cong “không được biểu diễn” có độ $n$ cũng là điều tự nhiên (đại diện điển hình là đường cong $x^n + y^n = 1$). Ở $n > 3$ hình ảnh thay đổi đáng kể. Trở lại năm 1931, nhà toán học người Anh L. Mordell đã đưa ra một giả thuyết - trên những đường cong như vậy, số điểm hữu tỷ luôn hữu hạn. Giả thuyết của Mordell hữu ích hơn trong sự chú ý của các nhà toán học hàng đầu trên thế giới. Một đóng góp đáng kể cho lời giải của nó được thực hiện bởi các nhà toán học Liên Xô I. P. Shafarevich, Yu. I. Manin, S. Yu. Arakelov, A. N. Parshin, Yu. G. Zarkhin, vinh dự lời giải năm 1983 đã thuộc về một nhà khoa học trẻ đến từ Đức, Gerd Faltigs. Vì điều này, vào năm 1986, tại Đại hội các nhà toán học ở Berkeley (Mỹ), ông đã được trao Huy chương Fields, giải thưởng cao quý nhất dành cho các nhà toán học.

8

CÂY PHỔ PHÁP

A. A. PANOV

Bài viết này sẽ nói về toán học kinh điển - thuật toán Euclid và bộ ba Pythagore. Thuật toán Euclid được mô tả trong Eklid’s Elements (khoảng năm 300 trước Công nguyên) và có lẽ đã được biết đến từ rất lâu trước đó. Lịch sử của bộ ba Pythagore thậm chí còn có thể được truy nguyên xa hơn. Một tượng đài đáng chú ý của văn hóa nhân loại là chiếc bàn đất sét Avilonian cổ chứa mười lăm bộ ba Pythagore. Nó có từ năm 1700 trước Công nguyên. đ.

Ở đây chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng bụi với những nhân chứng cổ xưa này, nói về họ bằng “ngôn ngữ của cây cối” trực quan. Ngôn ngữ này tỏ ra hữu ích cho lời giải một số phương trình và chỉ ra mối liên hệ nào tồn tại giữa thuật toán Euclid và phương pháp xây dựng bộ ba Pythagore do nhà toán học người Anh A. Hall đề xuất gần đây.

Thuật toán Euclid
Thuật toán Euclid được sử dụng để tìm ước chung nhất (GCD) của hai số tự nhiên.

Cho $(m, n)$ là một cặp số nguyên dương:

1. nếu $m=n$ thì số $d=m=n$ là ước chung nhất của cặp số ban đầu, nếu $m \neq n$ thì về 2);
2. thay thế số lớn hơn bằng hiệu của nó bằng số nhỏ hơn và chuyển về 1).

Bạn có thể được dẫn đến phiên bản sau của bước 2 nhiều hơn:

2’) thay số lớn hơn bằng số dư của nó khi chia cho số nhỏ hơn và tiến tới 1),
nhưng đây là vấn đề về hương vị.

Bài toán 0. Chứng minh rằng cả hai thuật toán 1), 2) và 1), 2’) đều dẫn đến cùng một kết quả.

Gợi ý. Hãy nhớ rằng phép chia là phép trừ lặp đi lặp lại.

Trong mọi trường hợp, bản thân Euclid nói về thuật toán của mình là “sự khác biệt không đổi giữa ít hơn và nhiều hơn” (“Các nguyên tắc”, Quyển 7, Mệnh đề P, do D. D. Morduchai-Boltovsky dịch). Thuật toán này, dựa trên phép trừ lặp đi lặp lại, sẽ là đối tượng nghiên cứu của chúng tôi.

Hãy để chúng tôi chứng minh hoạt động của thuật toán bằng một ví dụ cụ thể. Hãy để $(m, n)=(20, 12)$. Sau đó, viết các hành động của thuật toán từ phải sang trái, chúng ta thu được chuỗi sau:

$(4, 4) \leftarrow (8, 4) \leftarrow (8, 12) \leftarrow (20, 12)$.

Điều này có nghĩa là GCD $(20, 12)=4$. Làm tương tự với cặp $(5, 3)$ ta được sợi dây chuyền

$(1, 1) \leftarrow (2, 1) \leftarrow (2, 3) \leftarrow (5, 3)$.

Rõ ràng là mỗi số trong chuỗi thứ hai được lấy từ số tương ứng trong chuỗi thứ nhất bằng cách chia cho 4.

Sau khi hiểu ví dụ này, hãy trả lời câu hỏi sau.

Bài toán 1. Đặt $d=НОД (M, N)$. Hãy đặt $m=M/d, n=N/d$. Gcd của $(m, n)$ là gì và điểm giống nhau giữa hành động của thuật toán Euclide trên cặp $(M, N)$ và trên cặp $(m, n)$ là gì?

Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ giới hạn các cặp $(m, n)$ có GCD là $(m, n)=1$. Chúng ta sẽ gọi những cặp như vậy là cặp đơn giản.

Gia phả của các cặp vợ chồng đơn giản
Hãy xem một ví dụ khác. Hãy áp dụng thuật toán Euclide cho cặp đơn giản $(3, 4)$:

$(1, 1) \leftarrow (2, 1) \leftarrow (3, 1) \leftarrow (3, 4)$.

Chuỗi này có một phần chung với chuỗi dành cho cặp $(5, 3)$ và do đó chúng có thể được kết hợp:

$(3, 1) \leftarrow (3, 4)$
$(2, 3) \leftarrow (5, 3)$

Bạn có thể thêm một cặp đơn giản khác $(3, 2)$ và hình ảnh về điều kiện là:

$(3, 1) \leftarrow (3, 4)$
$(2, 1) \leftarrow (2, 3) \leftarrow (5, 3)$
$(1, 2) \leftarrow (3, 2)$

10

Dường như tất cả các cặp đơn giản đều phải có một bức tranh tổng quát. Để tìm ra cấu trúc của nó, chúng ta có thể thêm một vài cặp đơn giản hơn. Bằng cách này hay cách khác, tại một thời điểm nào đó, câu hỏi đúng phải xuất hiện trong đầu chúng ta: đường đi có một cặp đơn giản $(m, n)$; mũi tên có thể đi tới nó từ cặp nào?

Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu từ cặp $(M, N)$ trong thuật toán Euclide có mũi tên chỉ đến cặp $(m, n)$ thì $M=m+n$, $N=n$ hoặc $M=m$, $N=m+n$.

bài toán này gợi ý rằng chúng ta cần đưa ra hai phép biến đổi $t_1$ và $t_2$ để đưa cặp $(m, n)$ thành cặp
$$t_1(m, n)=(m+n, n),$$
$$t_2(m, n)=(m, m+n).$$
(1).

Bây giờ chúng ta có thể di chuyển theo thứ tự ngược lại. Hãy bắt đầu với cặp $(1, 1)$ và áp dụng cả hai phép biến đổi $t_1$ và $t_2$ cho nó ($t_1$ tác động lên mũi tên hướng lên, $t_2$ trên mũi tên hướng xuống). Chúng tôi nhận được hai cặp mới - $(2, 1)$ và $(1, 2)$. Đối với mỗi người trong số họ, chúng tôi lại áp dụng $t_1$ và $t_2$, v.v.

Mỗi cặp ở đây tạo ra hai cặp mới và quá trình này tiếp tục lần đầu tiên đến vô tận. Như bạn mong đợi, hình 1 chứa toàn bộ hình ảnh trước đó dưới dạng các mảnh vỡ, chỉ có các mũi tên ở đây hướng về hướng khác.

Hình 1.

Bài toán 3. Chứng minh rằng mọi cặp $(m, n)$ trên hình 1 đều đơn.

Bài toán 4. Chứng minh rằng mọi cặp đơn đều chứa trên hình 1 và chỉ một lần.

Sau bài toán này đến những gì được mô tả trong hình 1, việc gọi cây gia phả của các cặp đơn giản là điều đương nhiên.

Bài toán 5. Để cặp $(m, n)$ nằm trên cây phả hệ tại hình 1. Có một đường dẫn duy nhất nối nó với cặp ban đầu $(1, 1)$. Chứng minh rằng việc di chuyển dọc theo đường đi này theo các mũi tên tương ứng với việc áp dụng thuật toán Euclide cho cặp $(m, n)$.

Vì vậy, cây phả hệ trên hình 1 chứa tất cả các cặp đơn giản. Áp dụng thuật toán Euclide cho cặp $(m, n)$ tương đương với việc di chuyển dọc theo cây theo hướng mũi tên.

Phương trình $XY=Z^2$
Bây giờ chúng ta hãy thay đổi chủ đề và cố gắng tìm tất cả các phương trình số nguyên lời giải $(X, Y, Z)$
$$XY=Z^2.$$

Chúng tôi chỉ hạn chế tích cực $X, Y, Z$. Ví dụ: $X=3$, $Y=12$, $Z=6$.

Có vẻ như, những gì để nói về? Đối với một $Z$ cho trước, việc tìm một phương trình lời giải là tính chất phân tách số $Z^2$ thành hai thừa số và với mỗi thừa số $Z$ người ta thậm chí có thể tính được số lời giải.

Bài toán 6. Chúng ta hãy sửa $Z$ và đường dẫn $Z=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_l^{a_l}$—sự phân tách $Z$ thành các thừa số đơn giản. Chứng minh rằng số lời giải của phương trình (2) bằng $(2a_1+1)(2a_2+1)...(2a_l+1)$.

Tuy nhiên, tôi muốn đưa ra một quan điểm khác.

Bài toán 7. Đặt $(X, Y, Z)$ — lời giải của phương trình (2); chứng minh rằng với $d>0$ bộ ba $(dX, dY, dZ)$ cũng bằng lời giải. Đặt $(X, Y, Z)$ — lời giải của phương trình (2) và gcd $(X, Y)=d$; chứng minh rằng $(X/d, Y/d, Z/d)$ cũng là lời giải của phương trình (2) và đồng thời gcd $(X/d, Y/d)=1$.

Do đó, khi tìm kiếm tất cả lời giải $(X, Y, Z)$ của phương trình (2), chúng ta có thể giới hạn chỉ những phương trình có GCD $(X, Y)=1$; Hãy gọi chúng là nguyên thủy. Tất cả phần còn lại được lấy từ những cái nguyên thủy bằng phép nhân đơn giản.

Bài toán 8. Đặt $(X, Y, Z)$ là lời giải nguyên thủy của phương trình (2). Chứng minh rằng tồn tại một cặp đơn giản $(m, n)$ sao cho $X=m^2$, $Y=n^2$, $Z=mn$.

Bây giờ rõ ràng là các sự tương ứng $X=m^2$, $Y=n^2$, $Z=mn$ (3) cung cấp sự tương ứng một-một giữa các cặp đơn giản $(m, n)$ và các nghiệm nguyên thủy $(X, Y, Z)$ của phương trình (2).

Điều này có nghĩa là chúng ta có thể tận dụng tối đa kết quả trước đó của mình trên các cặp đơn giản. Ví dụ: bằng cách sử dụng sự tương ứng (3), chúng tôi thay thế từng cặp đơn giản $(m, n)$ bằng hình 1 bằng nghiệm nguyên thủy tương ứng $(X, Y, Z)$. Cây kết quả đương nhiên có thể được gọi là cây gen của phương trình lời giải nguyên thủy (2). Nó chứa mọi thứ mà không có

11

ngoại lệ là nguyên thủy lời giải. Có thể đề xuất một cách trực tiếp và thuận tiện hơn để xây dựng cây này.

Nhiệm vụ 9. Để cặp $(m, n)$ tạo lời giải $(X, Y, Z)$ bằng cách sử dụng (3). Hãy để chúng tôi biểu thị lời giải được tạo bởi cặp $t_1(m, n) = (m+n, n)$ bởi $T_1(X, Y, Z)$ và lời giải, được tạo bởi $t_2(m, n) = (m, m+n)$ bởi $T_2(X, Y, Z)$. Chứng minh rằng

$$T_1(X, Y, Z) = (X+Y+2Z, Y, Y+Z),$$
$$T_2(X, Y, Z) = (X, X+Y+2Z, X+Z).$$

Tất cả điều này có nghĩa là cây phả hệ trên hình 2 phát sinh trực tiếp từ phép biến đổi $T_1$ và $T_2$. Chúng ta bắt đầu từ lời giải (1, 1, 1) tiếp theo và bắt đầu áp dụng các phép biến đổi $T_1$ và $T_2$ trên đó. Mũi tên đi lên tương ứng với hành động $T_1$, mũi tên đi xuống tương ứng với hành động $T_2$.

Hình 2.

Hình 2 trông rất hấp dẫn và cho phép chúng ta hình dung rõ ràng về cấu trúc của tập hợp tất cả các phương trình lời giải nguyên thủy (2). Tuy nhiên, phương trình $XY=Z^2$, như chúng ta đã nói, cho phép một cách tiếp cận đơn giản hơn. Vì vậy, hãy chuyển sang xem xét một ví dụ có ý nghĩa hơn.

Bộ ba Pythagoron

Vậy phương trình
$$X^2+Y^2=Z^2.$$
Số nguyên dương lời giải $(X, Y, Z)$ của nó được gọi là bộ ba Pythagoron. Ví dụ đầu tiên về bộ ba Pythagore tất nhiên là bộ ba (3, 4, 5). Chúng tôi cũng muốn xây dựng một cây lời giải cho phương trình này - một cây gia phả của bộ ba Pythagore, tương tự như cây trong hình 2. Làm thế nào để thực hiện điều này? Nếu chúng ta làm theo những gì đã được thực hiện cho phương trình $XY=Z^2$, thì chúng ta cần:

(I) trong số tất cả các bộ ba Pythagore, hãy chọn những bộ nguyên thủy;

(II) đối với các bộ ba Pythagore nguyên thủy $(X, Y, Z)$ viết các tương ứng phù hợp $X=X(m,n), Y=Y(m,n), Z=Z(m,n)$ với các tương ứng tương tự (3);

(III) xây dựng cây phả hệ cho các cặp $(m, n)$ và thay thế mỗi cặp $(m, n)$ trên đó bằng bộ ba $(X(m, n), Y(m, n), Z(m, n))$ do nó tạo ra.

Những gì được kết nối với điểm (I) và (II) đã được biết đến từ lâu. Chúng tôi sẽ báo cáo những sự thật cần thiết mà không có bất kỳ bình luận hay bằng chứng nào, giới thiệu cho người đọc, nếu cần, bài viết của S. M. Voronin và A. G. Kulagin («Kvant», 1987, Số 1, trang 11).

Bộ ba Pythagore $(X, Y, Z)$ được gọi là nguyên thủy nếu GCD $(X, Y)=1$ và $X$ là số lẻ và $Y$ là số chẵn. Ví dụ, bộ ba (3, 4, 5) là nguyên thủy.

Người ta biết rằng với bất kỳ bộ ba Pythagore $(x, y, z)$ nào đều có một bộ ba Pythagore nguyên thủy duy nhất $(X, Y, Z)$ và một số tự nhiên duy nhất $d$ sao cho $(x, y, z)=(dX, dY, dZ)$ hoặc $(x, y, z)=(dY, dX, dZ)$. Do đó, sau khi liệt kê tất cả các bộ ba Pythagoron nguyên thủy, chúng ta có cơ hội liệt kê tất cả các bộ ba Pythagoron tổng quát.

Một cặp số nguyên $(m, n)$ được gọi là nguyên thủy nếu $m>n, n>0$, gcd $(m, n)=1$ và các số $m, n$ có các số chẵn lẻ khác nhau. Ví dụ: cặp (2, 1) là nguyên thủy.

Người ta biết rằng sự tương ứng $X=m^2-n^2, Y=2mn, Z=m^2+n^2$ (4) cung cấp sự tương ứng một-một giữa tập hợp tất cả các cặp nguyên thủy và tập hợp tất cả các bộ ba Pythagore nguyên thủy. Ví dụ, cặp (2, 1), với sự trợ giúp của các tương ứng (4) sẽ tạo ra bộ ba (3, 4, 5).

Đối với điểm (III) trong chương trình xây dựng cây phả hệ của chúng tôi, nó đã được thực hiện bởi nhà toán học người Anh A. Hall.

Phả hệ của bộ ba Pythagore

Trong một ghi chú ngắn xuất bản năm 1970 trên Công báo Toán học, A. Hall gợi ý

12

Sau đây là phương pháp xây dựng cây phả hệ cho các cặp nguyên thủy và bộ ba Pythagore nguyên thủy. Ba phép biến đổi $t_1, t_2$ và $t_3$ được giới thiệu:

$$t_1(m, n) = (2m - n, m),$$
$$t_2(m, n) = (2m + n, m),$$
$$t_3(m, n) = (m + 2n, n).$$

Sử dụng các phép biến đổi này, bắt đầu từ cặp (2, 1), một cây phả hệ sẽ được xây dựng. Ở đây hướng đi lên tương ứng với phép biến đổi $t_1$, hướng ngang tương ứng với phép biến đổi $t_2$ và hướng đi xuống tương ứng với phép biến đổi $t_3$.

Bài toán 10. Để cặp $(m, n)$ tạo ra bộ ba số Pythagore $(X, Y, Z)$ bằng cách sử dụng các phép tương ứng (4). Bộ ba số Pythagore do cặp $t_1$ $(m, n)$ tạo ra được ký hiệu là $T_1(X, Y, Z)$; bộ ba được tạo bởi cặp $t_2$ $(m, n)$, đến $T_2(X, Y, Z)$; cuối cùng là bộ ba được tạo bởi cặp $t_3$ $(m, n)$ đến $T_3(X, Y, Z)$. Chứng minh rằng

$$T_1(X, Y, Z) = (X - 2Y + 2Z, 2X - Y + 2Z, 2X - 2Y + 3Z),$$
$$T_2(X, Y, Z) = (X + 2Y + 2Z, 2X + Y + 2Z, 2X + 2Y + 3Z),$$
$$T_3(X, Y, Z) = (-X + 2Y + 2Z, -2X + Y + 2Z, -2X + 2Y + 3Z).$$

Bây giờ, bằng cách sử dụng phép biến đổi $T_1, T_2, T_3$, chúng ta sẽ xây dựng một cây gia phả khác, nhưng nó đã bắt đầu bằng bộ ba (3, 4, 5).

Kết quả đáng chú ý của Hall là cây phả hệ trên hình 3 chứa tất cả các cặp nguyên thủy không có ngoại lệ; Điều này có nghĩa là cây phả hệ trên hình 4 chứa tất cả các cặp (2, 1) không có ngoại lệ.

Mỗi cặp $(m, n)$ đến hình 3 khớp chính xác một mũi tên. Đối với phép biến đổi $u_1, u_2, u_3$, điều này tương ứng với thực tế sau.

Bài toán 13. Đặt cặp $(M, N)$ là nguyên thủy và $(M, N) \neq (2, 1)$. Chứng minh rằng khi đó chỉ có một trong ba cặp $(m, n) = u_i(M, N)$, $i = 1, 2, 3$ là nguyên thủy. Đồng thời $m + n < M + N$.

Và cuối cùng, cái cuối cùng

Bài toán 14. Chứng minh rằng mọi cặp nguyên thủy đều có trên cây phả hệ tại hình 3 và chỉ một lần (cũng như mọi bộ ba Pythagogian nguyên thủy tại hình 4).

Các nhà phả hệ khác

Năm 1978, một bài báo của E. Selmar được đăng trên tạp chí toán học Scandinavian Nomat, trong đó người ta khẳng định rằng có

13

thêm hai cây gen chứa tất cả các bộ ba Pythagore nguyên thủy không có ngoại lệ hoặc lặp lại (hình 5).

Đầu tiên trong số chúng được xây dựng bằng cách sử dụng phép biến đổi
$$T_1(X, Y, Z) = (2X - Y + Z, 2X + 2Y + 2Z, 2X + Y + 3Z),$$
$$T_2(X, Y, Z) = (2X + Y + Z, 2X - 2Y + 2Z, 2X - Y + 3Z),$$
$$T_3(X, Y, Z) = (2X + Y - Z, -2X + 2Y + 2Z, -2X + Y + 3Z).$$

Thứ hai - sử dụng phép biến đổi
$$T_1(X, Y, Z) = (X - 2Y + 2Z, 2X - Y + 2Z, 2X - 2Y + 3Z),$$
$$T_2(X, Y, Z) = (2X + Y + Z, 2X - 2Y + 2Z, 2X - Y + 3Z),$$
$$T_3(X, Y, Z) = (-2X + 3Y + 3Z, -6X + 2Y + 6Z, -6X + 3Y + 7Z).$$

Xe ba bánh Pythagore luôn thu hút sự chú ý của các nhà toán học trong hàng ngàn năm. Nhưng chúng tôi thấy rằng chủ đề này vẫn chưa cạn kiệt và những sự thật thú vị mới tiếp tục được khám phá ở đây.

Tóm tắt
Liên quan đến những gì đã nói, có một số câu hỏi cần được đặt ra, nếu không được giải quyết thì ít nhất cũng phải hỏi. Ví dụ: tại sao đối với điều khiển $XY = Z^2$ lại có hai mũi tên từ mỗi lời giải và ba mũi tên trên cây phả hệ cho $X^2 + Y^2 = Z^2$? Hơn nữa, tại sao ba cây gen được xây dựng để kiểm soát $X^2 + Y^2 = Z^2$ và chỉ một cây để kiểm soát $XY = Z^2$, và có những cây khác cho những điều khiển này không? Cuối cùng, làm thế nào để tìm ra các phép biến đổi $T_1$, $T_2$, $T_3$, cho phép người ta xây dựng cây gen cho xe đạp Pythagore?

Việc xây dựng cây gia phả để kiểm soát $XY = Z^2$ của chúng tôi liên quan trực tiếp đến thuật toán Euclide và dường như khá có động lực, điều này không thể nói về điều khiển $X^2 + Y^2 = Z^2$. Tuy nhiên, có một mối liên hệ giữa các bộ phận này giúp biện minh cho những nỗ lực thực hiện cho một trong số họ những gì đã được thực hiện cho bộ phận kia. Thật vậy, chúng ta hãy viết điều khiển $X^2 + Y^2 = Z^2$ dưới dạng $Z^2 - X^2 = Y^2$ và phân tích vế trái: $(Z - X)(Z + X) = Y^2$. Sau khi thực hiện thay thế $U = Z - X$, $V = Z + X$, $W = Y$, chúng ta đạt được mức kiểm soát $UV = W^2$. Vì vậy, có một sự thay thế chuyển điều khiển $X^2 + Y^2 = Z^2$ sang điều khiển $XY = Z^2$.

Ngoài ra còn có mục tiêu là một loạt điều khiển có thể được thay thế, chuyển đổi chúng thành $XY = Z^2$. Các biện pháp kiểm soát như vậy sẽ là $X^2 + Y^2 = 2Z^2$ và $X^2 + 3Y^2 = Z^2$. Bạn cũng có thể thử xây dựng cây phả hệ cho các phòng ban này.

Cần phải nói thêm về một bộ điều khiển thay thế nữa - bộ điều khiển Markov:
$$X^2 + Y^2 + Z^2 = 3XYZ.$$

Nó đã có một thuộc tính vốn có của chúng ta - tất cả lời giải của nó, ngoại trừ hai thuộc tính rất thấp (1, 1, 1) và (2, 1, 1), được tổ chức thành cây gen. Điều này được mô tả chi tiết trong bài báo phóng đại của M. G. Kerin («Kvant», 1985, No. 4, p. 13). Cây này khá giống với cây gia phả để quản lý $XY = Z^2$. Có mối liên hệ nào giữa các điều khiển này không? Những điều khiển nào khác có thuộc tính tương tự?

Vì vậy, có điều gì đó khác để suy nghĩ ở đây.

14

BỀ MẶT
PHA LÊ

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V.S.ASHAVSKY

1915 Chiến tranh thế giới thứ nhất đã diễn ra được một năm. Đức là cường quốc đầu tiên sử dụng tác nhân chiến tranh hóa học. Khi ý tưởng này được biết đến, nhà khoa học xuất sắc Nikolai Dmitrievich Zelinsky đã phát triển một thiết bị đặc biệt giúp bảo vệ con người khỏi các tác nhân chiến tranh hóa học. Thiết bị này - mặt nạ phòng độc carbon - đã cứu sống hàng nghìn binh sĩ Nga.

Thiết bị do Zelensky phát triển là nguyên mẫu của mặt nạ phòng độc hiện đại. Phần chính của mặt nạ phòng độc là một hộp chứa đầy bột than. Chúng ta hãy cố gắng tìm hiểu tác dụng của loại bột như vậy dựa trên cơ sở nào và tại sao nó có thể bảo vệ khỏi tác động của khí độc.

Người khổng lồ nhỏ

Hãy tưởng tượng rằng trong hộp mặt nạ phòng độc, cùng với bột than, chỉ đơn giản là có một cục than có cùng khối lượng. Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn đi vào khu vực tấn công bằng khí độc với mặt nạ phòng độc như vậy? Nó sẽ bảo vệ chống lại khí độc? Hóa ra là không. Đó là tất cả về bột.

Điều gì phân biệt bột với một cục than rắn?

Mặt nạ phòng độc sử dụng carbon được điều chế đặc biệt, được gọi là than hoạt tính. Loại than này khác với than thông thường ở chỗ nó có diện tích bề mặt trên một đơn vị khối lượng lớn hơn nhiều. Các hạt của nó có nhiều lỗ rỗng và hơi giống gỗ bị sâu ăn. Diện tích bề mặt của than hoạt tính trên một đơn vị khối lượng, gọi là diện tích bề mặt riêng, hóa ra lớn hơn hàng triệu lần diện tích bề mặt riêng của một miếng rắn. Một gam than hoạt tính có diện tích bề mặt hơn 1000 m2. Hãy nghĩ về điều này: một miếng dính nhỏ, được chuẩn bị đặc biệt và nghiền thành bột, sẽ có được bề mặt khổng lồ! Trong loại bột này, một phần đáng kể các phân tử và nguyên tử xuất hiện trên bề mặt. Và thực tế này quyết định tác dụng bảo vệ của mặt nạ phòng độc: chính bề mặt của các nguyên tử than đã “giữ” các nguyên tử khí độc, loại bỏ chúng khỏi không khí, đi vào khối hô hấp.

Tại sao các nguyên tử trên bề mặt có thể hấp thụ khí độc nhưng với số lượng lớn thì không? Tuổi thọ của các nguyên tử trên bề mặt khác với tuổi thọ của nó ở dạng khối như thế nào? Hãy cố gắng tìm ra nó.

Tại sao các nguyên tử lại khó chịu trên bề mặt?

Người ta biết rõ rằng tinh thể có một mạng có trật tự và đối xứng, trong đó mỗi nguyên tử chiếm một vị trí được xác định chặt chẽ. Các nguyên tử của tinh thể tương tác với nhau và mỗi nguyên tử, do sự tương tác như vậy, tạo thành các “kết nối” ổn định với các nguyên tử lân cận. Số lượng các nguyên tử lân cận gần nhất trong một mạng tinh thể nhất định được gọi là số tọa độ và là một đặc tính của tinh thể. Bất kể chúng ta chọn nguyên tử ở đâu bên trong tinh thể, nó sẽ luôn có một số lân cận bằng số tọa độ. Nếu nguyên tử ở trên bề mặt thì sao?

Hãy tưởng tượng một tinh thể nằm trong chân không. Bề mặt không có các nguyên tử ở tất cả các mặt -

15

một mặt, các nguyên tử hoàn toàn không có (hình 1). Nói cách khác, các nguyên tử trên bề mặt có số tọa độ khác với các nguyên tử bên trong tinh thể. Ví dụ, các nguyên tử bên trong một tinh thể có mạng hình khối (chẳng hạn như trong hình 1) có sáu lân cận, nhưng các nguyên tử trên bề mặt chỉ có năm. Do đó, một số kết nối có thể có ở bề mặt của các nguyên tử vẫn chưa được sử dụng và năng lượng của những nguyên tử đó lớn hơn các nguyên tử sống bên trong tinh thể. Sự tồn tại của bề mặt năng lượng là bất lợi vì nó làm tăng năng lượng của toàn bộ tinh thể. Các nguyên tử bề mặt có xu hướng đi vào bên trong tinh thể, bao quanh chúng bằng các nguyên tử của chính chúng, sử dụng mọi liên kết có thể có và do đó làm giảm năng lượng của chúng. Tuy nhiên, bất kỳ tinh thể thật nào cũng chiếm một diện tích không gian hạn chế, bề mặt là điều cần thiết và cần phải có người ở trên đó. Hơn nữa, các nguyên tử xuất hiện trên bề mặt không phải vì bất kỳ “hành vi sai trái” nào mà là do tình cờ. Như câu nói nổi tiếng của chú chó: “Một số có thể may mắn, một số có thể không”.

Như vậy, chúng ta thấy rằng sự hình thành bề mặt gắn liền với sự hao phí năng lượng nhất định và đặc điểm chính của bề mặt là năng lượng bề mặt - năng lượng cần thiết để tạo ra bề mặt của một đơn vị diện tích.

Người ta biết rằng các tính chất cơ, điện và các tính chất khác của tinh thể có thể phụ thuộc vào hướng. Hiện tượng này được gọi là dị hướng và là hệ quả của sự sắp xếp trật tự của cấu trúc tinh thể. năng lượng bề mặt - tính chất dị hướng. Như bạn có thể thấy từ hình 2, các bề mặt có thể được tạo theo nhiều cách. Ví dụ, bằng cách tách một tinh thể dọc theo các mặt phẳng 1–1, 2–2 hoặc 3–3, chúng ta thu được các bề mặt có cấu trúc khác nhau đáng kể—số lượng nguyên tử trên một đơn vị diện tích trên bề mặt 1–1 lớn hơn trên bề mặt 2–2. Số lượng nguyên tử khác nhau có nghĩa là năng lượng bề mặt khác nhau. Giá trị năng lượng bề mặt trên một đơn vị diện tích đối với các bề mặt khác nhau của cùng một tinh thể có thể khác nhau rất nhiều, vài chục phần trăm.

Hình 2.

(Không giống như tinh thể, mỗi chất lỏng có giá trị riêng của bề mặt năng lượng từ xa—sức căng bề mặt—không phụ thuộc vào hướng. Đây là một trong những biểu hiện của tính đẳng hướng của chất lỏng.)

Dadorbtion

Ví dụ về mặt nạ phòng độc mà chúng ta bắt đầu cuộc trò chuyện là một minh họa rõ ràng về một hiện tượng gọi là hấp phụ. Sự hấp phụ (từ các từ tiếng Latin ad - “on” và sorbeo - “hấp thụ”) là sự hấp thụ một chất từ ​​môi trường bề mặt khí hoặc lỏng thông qua quá trình phân hủy (hấp phụ) các hạt môi trường và chúng trở nên liên kết với bề mặt. Tất nhiên, oxy, nitơ và các thành phần không khí khác được hấp phụ trên than. Bề mặt của than được bão hòa với các khí này ngay cả trong quá trình nấu - xét cho cùng, than luôn tiếp xúc với khí quyển và các phân tử khí tạo nên không khí đã được cung cấp để chiếm tất cả những chỗ có sẵn cho chúng trên bề mặt.

16

ness. Tuy nhiên, không phải tất cả các phân tử đều được giữ chắc chắn như nhau trên đó. Một số liên kết chặt chẽ, một số khác, chỉ cần tác động nhẹ nhất, không thể giữ và rời khỏi vị trí của chúng nữa, nhường chỗ cho các phân tử “thân thiện” hơn. Khi than tiếp xúc với khí độc, một cuộc tranh giành lãnh thổ thực sự bắt đầu giữa các phân tử. Mỗi loại khí có xu hướng chiếm không gian trên bề mặt và đẩy các loại khí khác ra khỏi nó. Người chiến thắng trong cuộc đấu tranh này là người được thiệt hại “yêu” hơn, được chấp nhận mạnh mẽ hơn.

Anh ấy chọn những vết thương khác của mình một cách rất sắc bén. Việc lấp đầy liên kết tự do bằng một nguyên tử hoặc phân tử lạ sẽ làm giảm sự phá hủy năng lượng của tinh thể. Sự thay đổi năng lượng phụ thuộc vào nguyên tử (hoặc phân tử) nào chiếm liên kết tự do. Năng lượng bị hư hỏng càng giảm do sự gắn kết của một nguyên tử nhất định thì nguyên tử này càng có liên quan đến thiệt hại. Nếu các khí bị ràng buộc bởi hư hỏng gần như bằng nhau thì chúng sẽ được giữ lại trên hư hỏng với số lượng xấp xỉ bằng nhau. Nếu một trong số chúng “thân thiện” hơn nhiều so với những cái khác, thì nó sẽ nhận thấy gần như toàn bộ thiệt hại, loại bỏ các phân tử của khí khác khỏi nó. May mắn thay, nhiều loại khí độc bị ràng buộc chặt chẽ bởi sự phá hủy của than đến mức vai trò của việc tiếp xúc không được tính đến - một lượng rất nhỏ được hấp thụ bởi than. Các phân tử của chất độc hại vẫn còn trên bề mặt than và các phân tử oxy đi qua, cho phép thở.

Công thức Langmuir và than hoạt tính

Tiến bộ đáng kể trong nghiên cứu sự hấp phụ đã đạt được nhờ công trình của nhà vật lý-hóa học người Mỹ I. Langmuir (1881-1957). Năm 1932, ông được trao giải Nobel cho công trình nghiên cứu hiện tượng hư hỏng. Langmore thu được một công thức cho phép người ta tính lượng chất hấp phụ tùy thuộc vào áp suất của nó trong môi trường. Để có được công thức này không khó chút nào.

Hình ảnh vi mô về thiệt hại của than hoạt tính.

Khi suy ra công thức Langmuir, chúng ta sẽ giả định rằng tất cả các nguyên tử gây hại là như nhau và mỗi nguyên tử trong số chúng có thể hấp phụ một số lượng phân tử (hoặc nguyên tử) của môi trường được xác định chặt chẽ và không có sự tương tác giữa các phân tử bị hấp phụ, tức là phân tử bị hấp phụ không ảnh hưởng đến sự hấp phụ của các phân tử khác. Để một phân tử khí được hấp phụ trên khuyết tật, phải xảy ra hai hiện tượng độc lập: phân tử khí phải rơi vào khuyết tật của chất hấp phụ và phải có liên kết tự do tại điểm hư hỏng này. Xác suất $w_1$ của sự kiện đầu tiên tỷ lệ thuận với số lượng tác động của các phân tử khí lên chất hấp phụ bị hư hỏng trong một đơn vị thời gian và con số này tỷ lệ thuận với áp suất khí $p$; vậy $w_1 \sim p$. Xác suất $w_2$ của sự kiện thứ hai tỷ lệ thuận với số lượng sự kiện độc lập gây ra sự hư hỏng của chất hấp phụ. Nếu tại một thời điểm nhất định $\theta$ trong số tất cả các liên kết tự do bị chiếm giữ bởi các phân tử bị hấp phụ, thì $w_2 \sim (1 - \theta)$. Xác suất $W$ của một sự kiện phức tạp - sự hấp phụ - bằng tích của xác suất của hai sự kiện độc lập này, tức là $W \sim p(1 - \theta)$. Nếu chúng ta biểu thị số lượng bộ phận hấp thụ sát thương trên một đơn vị thời gian là $N$, thì

$$N \downarrow = \alpha p(1 - \theta),$$

trong đó $\alpha$ là hằng số phụ thuộc vào nhiệt độ.

Phân tử bay khỏi chỗ bị hư hại khi năng lượng của nó đủ để xé nó ra. Xác suất của sự kiện khác như vậy tỷ lệ thuận với tổng số phân tử bị hấp phụ trên vùng hư hỏng. Do đó, số lượng phân tử thoát khỏi thiệt hại trong một đơn vị thời gian là

$$N_{\uparrow} = \beta \theta,$$

17

trong đó $\beta$ là hằng số, cũng phụ thuộc vào nhiệt độ.

Ở trạng thái cân bằng, số lượng phân tử đến và rời khỏi bề mặt trong một đơn vị thời gian phải bằng $(N_1 = N_2)$:

$$a p(1 - \theta) = \beta \theta.$$

Từ đây xuất hiện các liên kết trên bề mặt bị chiếm giữ bởi các phân tử bị hấp phụ:

$$\theta = \frac{b p}{1 + b p},$$

trong đó hệ số $b = \alpha / \beta$ phụ thuộc vào nhiệt độ (vì $\alpha$ và $\beta$ phụ thuộc vào $T$). Nếu số lượng vị trí tự do trên bề mặt chất hấp phụ là $z$ (thường lấy số lượng liên kết tự do trên một đơn vị khối lượng của chất hấp phụ), thì số lượng phân tử bị hấp phụ

$$\Gamma = z \frac{b p}{1 + b p}.$$

Đây là công thức Langmuir.

Hằng số $z$ là đại lượng đặc trưng cho bề mặt. Chính ở $z$ mà khả năng hấp phụ cao của than hoạt tính nằm ở chỗ - xét cho cùng, bề mặt riêng càng lớn thì $z$ càng lớn. Đối với chất hấp phụ có diện tích bề mặt riêng $1000 \text{ m}^2/\text{г}$, giá trị $z$ xấp xỉ $10^{22} \text{ g}^{-1}$.

hình 3 hiển thị biểu đồ $\Gamma$ so với $p$ đối với hai chất hấp phụ khác nhau. Đây được gọi là các đường đẳng nhiệt hấp phụ Langmuir (đường đẳng nhiệt - vì quá trình hấp phụ được coi là xảy ra ở nhiệt độ không đổi). Ở áp suất tương đối thấp ($b p \ll 1$) $\Gamma$ tỷ lệ thuận với $p$; ở áp suất cao ($b p \ll 1$), bão hòa xảy ra - tất cả các liên kết tự do trên bề mặt đều bị chiếm giữ và không còn chỗ cho các nguyên tử và phân tử mới của môi trường - xét cho cùng, bề mặt không phải là vô hạn. Rõ ràng chất 1 hấp phụ tốt hơn chất 2.

Graph

Hình 3.

2 «Kvant» № 7

18

Bề mặt khắp nơi
Trong nhiều quy trình, bề mặt đóng vai trò quyết định. Tuy nhiên, ví dụ nổi bật nhất về điều này là các quá trình xúc tác (từ tiếng Hy Lạp κατάλυσις - “sự hủy diệt”).

Chất xúc tác là những chất có thể ảnh hưởng đến tốc độ phản ứng hóa học mà không cần tham gia vào phản ứng đó. Hoạt tính của chất xúc tác rắn chủ yếu được xác định bởi tính chất bề mặt của chúng. Về vấn đề này, tôi muốn đề cập đến một hiện tượng thú vị.

Các nguyên tử hấp thụ năng lượng từ bề mặt có thể nổi lên bề mặt không chỉ từ môi trường mà còn từ vùng bên trong tinh thể. Hãy tưởng tượng một tinh thể gồm hai loại nguyên tử (hai thành phần). Các điều kiện cho sự tồn tại của các nguyên tử trên bề mặt và trong khối, như chúng ta đã biết, là khác nhau. Do đó, hoàn toàn có khả năng nồng độ tương đối của các nguyên tử trên bề mặt và trong khối cũng khác nhau. Các nguyên tử làm giảm năng lượng bề mặt có xu hướng nổi lên bề mặt và số lượng tương đối của chúng trên bề mặt tăng lên. Quá trình này được gọi là sự tách biệt (từ sự phân biệt trong tiếng Anh - “tách”). Nồng độ nguyên tử của một trong các thành phần trên bề mặt có thể cao hơn hàng nghìn lần so với nồng độ của nó trong thể tích. Ví dụ, trong một hợp kim bao gồm các nguyên tử Fe và Bi, nồng độ Bi trên bề mặt là 10%, trong khi nồng độ của nó trong thể tích chỉ là 0,1%. Sự tách lớp phải được tính đến trong quá trình xúc tác, vì tốc độ phản ứng hóa học trên bề mặt chất xúc tác rắn phụ thuộc rất nhiều vào nồng độ bề mặt của các chất.

Bề mặt là đại diện được ủy quyền và là người bảo vệ vật liệu khi chúng tương tác với môi trường. Rốt cuộc, bề mặt chủ yếu được hỗ trợ bởi môi trường. Kẻ thù tồi tệ nhất của bề mặt kim loại là sự ăn mòn. Bề mặt bài toán đầu tiên - chống lại sự tấn công dữ dội của kẻ thù này. Một lượng nhỏ tạp chất, ít hơn hàng trăm lần so với lượng cần thiết để phủ lên bề mặt một lớp đơn chất, có thể làm tăng đáng kể khả năng chống ăn mòn của bề mặt kim loại.

“Bề mặt được phát minh bởi ma quỷ,” nhà vật lý lỗi lạc, một trong những người tạo ra cơ học lượng tử, W. Pauli (1900-1958), từng nói. Những từ này rõ ràng gắn liền với những khó khăn to lớn của nghiên cứu bề mặt.

Các phương pháp thu thập thông tin về bề mặt—cấu trúc, thành phần hóa học, v.v.—rất phức tạp và những tiến bộ cơ bản trong lĩnh vực này chỉ mới được thực hiện trong thập kỷ qua. Hãy đưa ra một ví dụ đơn giản: cần xác định nồng độ của một chất trong tinh thể. Để thực hiện phép đo như vậy bằng các phương pháp hóa học truyền thống, cần tối thiểu 0,001 g chất. Nếu diện tích bề mặt của mẫu được phân tích là 1 cm2 (thực tế không thể thu được diện tích lớn hơn mà không phá hủy mẫu), thì có thể xác định nồng độ trung bình của chất trong một lớp dày khoảng 1000 khoảng cách quốc tế.

Các phương pháp hiện đại có thể nghiên cứu một lớp bề mặt với độ dày chỉ bằng một khoảng cách cơ học! Chúng giúp ta có thể nhìn thấy các nguyên tử, nghiên cứu vị trí tương đối của chúng và tương tác với nhau. Bằng cách sử dụng các phương pháp này, có thể dễ dàng xác định rằng trong quá trình tách lớp, tất cả sự khác biệt giữa nồng độ bề mặt và nồng độ thể tích đều tập trung ở một lớp bề mặt rất mỏng - chỉ dày một vài khoảng cách cơ học.

Tiến bộ trong nghiên cứu bề mặt trong thập kỷ qua chủ yếu gắn liền với sự thành công của các lĩnh vực vi mô và việc tạo ra các thiết bị mới. Đáp số cho câu hỏi quan trọng nhất - bề mặt bao gồm những yếu tố nào? - điều đó không thể đạt được chỉ vài năm trước đây, nhưng ngày nay, với sự trợ giúp của kính hiển vi đường hầm, người ta có thể phân biệt các nguyên tử riêng lẻ trên bề mặt, nằm ở khoảng cách chỉ vài angstrom với nhau.

Nhà vật lý Intai vĩ đại Enrico Fermi (1901-1954) cho biết: “Các bề mặt rất thú vị, nhưng có quá ít”. Thật vậy, chỉ một phần rất nhỏ của chất này thuộc về bề mặt. Nhưng ý nghĩa của nó trong đời sống vật chất là rất lớn.

19

microcoppe đường hầm

Năm 1986, giải Nobel Vật lý được trao cho các nhà vật lý người Thụy Sĩ G. Binnick và G. Rohrer, những người phát minh ra microcoppe đường hầm quét - thiết bị được thảo luận trong bài viết này.

Một trong những hiệu ứng “hiệu quả” nhất của cơ học lượng tử là hiệu ứng đường hầm. Đặc biệt, nó nằm ở chỗ các electron có thể “rò rỉ” từ dây dẫn này sang dây dẫn khác, ngăn cách với dây dẫn đầu tiên bằng một lớp điện môi hoặc chân không mỏng.*) Hiện tượng này có nguồn gốc từ tính chất sóng của các electron,

Hình ảnh mỏ vonfram đang được sử dụng trong máy đào đường hầm siêu nhỏ. SIM được làm từ màn hình của một vi đồng điện tử; tỷ lệ phần bên trái của hình ảnh là 400 nm, phần bên phải là 40 µm.

*) Trong trường hợp tổng quát, hiệu ứng đường hầm bao gồm việc một hạt đi qua hàng rào thế khi năng lượng của nó nhỏ hơn chiều cao của hàng rào. Đây là một hiện tượng có bản chất lượng tử cơ bản, không thể xảy ra trong cơ học cổ điển.

nhờ đó một electron có thể được phát hiện với một xác suất nhất định bên ngoài dây dẫn.

Hiệu ứng đường hầm nổi tiếng đã hữu ích hơn cho vòng đời của nhiều thiết bị và thiết bị hữu ích. Một trong số chúng - diode đường hầm - đã trở thành một phần tử vô tuyến phổ biến. Và giờ đây, hiệu ứng đường hầm tạo thành cơ sở cho một loại microcoppa mới, loại này sẽ bước vào thế giới có kích thước bằng một phần đường kính của nguyên tử. (Hãy nhớ lại rằng đường kính của nguyên tử vào cỡ một angstrom: 1A=10⁻¹⁰ m.) Microcoppe đường hầm có độ phóng đại không đổi vượt quá 100 triệu và cho phép bạn nghiên cứu chi tiết cấu trúc nguyên tử của bề mặt của vật thể rắn.

Cho đến gần đây, máy thu dây là một chiếc microcoppe điện tử có độ phóng đại lên tới 1 triệu. Trong đó, không giống như một vi đồng quang học thông thường, vai trò của chùm ánh sáng được thực hiện bởi một dòng điện tử được điều khiển bởi quang học điện tử - một chất tương tự của hệ thống đường quang. Trong microcoppa đường hầm, bạn sẽ không tìm thấy các yếu tố truyền thống cho microcoppa. Nó chứa đựng những mâu thuẫn có mục đích tương tự như đường nét, và nó hoạt động không theo nguyên tắc “nhìn thấy” mà theo nguyên tắc “cảm nhận”.

Độ nhạy của các nguyên tố, theo nghĩa đen là “mò mẫm” bề mặt, là sự vắng mặt của vonfram mỏng nhất, cột mỏng nên cuối cùng chỉ còn vài nguyên tử. Sử dụng cơ chế có độ chính xác cao, đầu nhọn được đưa vuông góc với bề mặt đang nghiên cứu cho đến khi các electron chui hầm đáng chú ý (10⁻⁹ A) xuất hiện qua khe hở đầu-bề mặt. Sau đó, cái gọi là peso-green bắt đầu công việc của chúng - những tấm làm bằng gốm sứ đặc biệt có thể thay đổi chiều dài khi có điện trường tác dụng.*)

*) Hoạt động của một đồng peso như vậy dựa trên hiệu ứng ngược của đồng peso - sự xuất hiện các biến dạng cơ học trong tinh thể rắn dưới tác động của điện trường.

Hệ thống cơ điện của cell nhựa tự động duy trì khoảng cách từ đầu đến bề mặt không đổi và bằng 10 Å. Sự thay đổi khoảng cách một lượng nhỏ sẽ làm cho dòng điện trong đường hầm lệch khỏi giá trị cài đặt và mạch phản hồi điện tử cung cấp tín hiệu điện đến tế bào nhựa, làm di chuyển các bề mặt tương đối sắc nét của dòng điện trong đường hầm đến gần hoặc ra xa giá trị cài đặt, sao cho dòng điện trong đường hầm và do đó khoảng cách của các bề mặt sắc nét không thay đổi. Hoạt động hiệu quả của hệ thống tự động hóa đảm bảo rằng dòng điện trong đường hầm thay đổi rất mạnh theo kích thước của khe hở. Do đó, việc thay đổi khe hở bề mặt đầu thêm 2 Å sẽ làm tăng dòng điện xuyên hầm lên 1000 lần.

Bằng cách áp dụng tín hiệu điện tới các phần tử khác của hệ thống, các phần tử sắc nét sẽ di chuyển dọc theo hai tọa độ trong mặt phẳng bề mặt. Bằng cách này, bề mặt được “quét” một cách tuần tự, hoặc như

Hình ảnh nổi nguyên tử của một phần bề mặt silicon. Chiều cao rốn 1,3 A tương ứng với “bề mặt” của từng nguyên tử.

họ nói nó được quét (từ bản quét tiếng Anh - cánh đồng hạt). Vì vậy, microcoppe đường hầm còn được gọi là microcoppe quét.

Do hoạt động của toàn bộ hệ thống, các đặc tính sắc nét với độ chính xác cao 0,01 A được áp dụng cho bề mặt đang được nghiên cứu. Thông tin về địa hình của bề mặt tại các điểm khác nhau của nó được ghi vào bộ nhớ máy tính và sau khi xử lý, bao gồm lọc, tức là thiết bị tạo nhiễu và tín hiệu giả, được hiển thị trên màn hình máy tính dưới dạng “bản đồ địa hình” của bề mặt.

(Cuối cùng xem trang 52)

20

ĐƠN VỊ:
TỪ HỆ THỐNG ĐẾN HỆ THỐNG

S. I. VALYANSKY

Vào ngày 15 tháng 12 năm 1832, công trình của nhà toán học nổi tiếng thế giới Carl Friedrich Gauss đã được trình bày cho Hiệp hội khoa học Göttingen để thảo luận. Nó có tên là “Sự tăng cường lực từ của Trái đất được giảm đến mức tuyệt đối” và ngắn, chỉ có 37 trang. Tuy nhiên, công trình khiêm tốn này lại đóng một vai trò to lớn trong sự phát triển của khoa học tự nhiên. Để cảm nhận được vai trò này, chúng ta sẽ phải lật lại lịch sử, nhớ lại một số khoảnh khắc trong “tiểu sử” của nam châm.

Người xưa đã biết đến sự tồn tại của một loại “hòn đá” chấp nhận sắt và những nỗ lực giải thích khả năng chấp nhận của loại đá này đã được thực hiện từ hơn 2000 năm trước. Ứng dụng thực tế đầu tiên của nam châm là la bàn. Không có quan điểm rõ ràng về địa điểm và thời gian phát minh ra la bàn. Nhưng ít nhất là từ thế kỷ 13, la bàn đã được biết đến ở châu Âu. Với sự xuất hiện của nó, những khám phá bắt đầu liên quan đến bản chất của từ tính trên mặt đất. Người ta ngay lập tức phát hiện ra rằng kim nam châm không chỉ hướng chính xác về phía ánh sáng; rằng độ lệch của mũi tên so với hướng này (độ lệch từ) thay đổi tùy thuộc vào vị trí quan sát; rằng mũi tên không được lắp đặt theo chiều ngang và góc tạo với phương thẳng đứng cũng phụ thuộc vào vị trí quan sát.

Điều gì giải thích sự định hướng của kim nam châm? Lực từ là gì? Người đầu tiên cố gắng trả lời những câu hỏi này là nhà vật lý người Anh William Gilbert (1544-1603). Là một nhà thí nghiệm nhạy bén, Hilbert đã đặt nền móng cho từ tính và đặc biệt là từ tính trên trái đất. Ông cho rằng Trái đất là một nam châm lớn, và theo nghĩa này, nó giống như một quả cầu vật liệu từ tính. Để xác nhận giả thuyết này, nhà khoa học đã chế tạo một mô hình nhỏ của Trái đất - một quả cầu sắt - và cho thấy khi di chuyển dọc theo bề mặt của một quả cầu như vậy, kim từ được định hướng chính xác như thực tế.

Vấn đề định hướng đã khiến các nhà khoa học tự nhiên phải đối mặt với một vấn đề mới bài toán: Rõ ràng là để sử dụng thành công la bàn (la bàn là một trong những công cụ điều hướng chính) cần phải có bản đồ độ vĩ từ. Để biên soạn một bản đồ như vậy, Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn (Viện Hàn lâm Khoa học Anh) năm 1698 đã trang bị

21

một cuộc thám hiểm hải quân đặc biệt do nhà thiên văn học và nhà địa vật lý Edmund Halley dẫn đầu (cũng chính là Halley (1656-1742), người đã đặt tên cho sao chổi nổi tiếng). Sau nhiều năm làm việc chăm chỉ, đây là kết quả: Halley đã xuất bản một bản đồ “từ tính” về Đại Tây Dương và Thái Bình Dương. (Trên đó, nhà nghiên cứu lần đầu tiên kết nối các điểm có cùng giá trị xích vĩ của một đường. Terer là một cách thể hiện rộng rãi các đặc điểm khác nhau của bề mặt trái đất, đặc biệt là về mặt khí tượng.)
Các sự kiện đã phát triển hơn nữa như thế nào? Hiểu được tầm quan trọng của các phép đo từ tính đối với sự phát triển của khoa học, du lịch và quân sự, ba Viện Hàn lâm Khoa học - St. Petersburg, Paris và Berlin - đang công bố một cuộc thi dành cho công trình hay nhất giải thích hiện tượng từ trường trên mặt đất.
Với việc phát hiện ra định luật Coulomb, một giai đoạn mới trong nghiên cứu từ trường Trái đất đã bắt đầu. Theo sau nhà khoa học - nhà địa chất, nhà địa lý, nhà du hành nổi tiếng người Đức - Alexander Humboldt, kể từ năm 1800, hầu hết tất cả các chuyến thám hiểm đều đưa việc đo từ trường tại các điểm khác nhau trên Trái đất vào một trong các hạng mục của chương trình. Nhân tiện, các thủy thủ nổi tiếng của Nga cũng đã thực hiện các phép đo như vậy. Đó là vào giữa thế kỷ 18. Nhiều loại bưu thiếp giáo dục được Học viện gọi tên. Một số công trình cơ bản về nghiên cứu từ trường mặt đất đã được thực hiện vào thời điểm này. Và trong số đó có công trình của nhà vật lý và kỹ sư người Pháp Charles Auguste Coulomb về phép đo chính xác lực điện và lực từ.
Sau khi tiến hành một loạt thí nghiệm có độ chính xác đáng kinh ngạc vào thời điểm đó, Coulomb đã chứng minh rằng lực tương tác giữa các vật tích điện tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng và tỉ lệ thuận với điện tích của chúng. Bằng cách tương tự với điện tích, để mô tả đặc tính từ của vật chất, Coulomb đã sử dụng khái niệm điện tích từ và chỉ ra rằng lực tương tác giữa các vật thể bị từ hóa phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng và độ lớn của điện tích từ giống như lực tương tác điện trong trường hợp vật thể tích điện.) Do đó, nhờ các thí nghiệm của Coulomb, người ta có thể đo được giá trị tuyệt đối của lực từ.
Với việc phát hiện ra định luật Coulomb, một giai đoạn mới trong nghiên cứu từ trường Trái Đất đã bắt đầu. Theo sau nhà khoa học - nhà địa chất, nhà địa lý, nhà du hành nổi tiếng người Đức - Alexander Humboldt, kể từ năm 1800, hầu hết tất cả các chuyến thám hiểm đều đưa việc đo từ trường tại các điểm khác nhau trên Trái đất vào một trong các hạng mục của chương trình. Nhân tiện, các thủy thủ nổi tiếng của Nga cũng đã thực hiện các phép đo như vậy. Đó là vào giữa thế kỷ 18. Nhiều loại bưu thiếp giáo dục được Học viện gọi tên. Một số công trình cơ bản về nghiên cứu từ trường mặt đất đã được thực hiện vào thời điểm này. Và trong số đó có công trình của nhà vật lý và kỹ sư người Pháp Charles Auguste Coulomb về phép đo chính xác lực điện và lực từ.
Sau khi tiến hành một loạt thí nghiệm có độ chính xác đáng kinh ngạc vào thời điểm đó, Coulomb đã chứng minh rằng lực tương tác giữa các vật tích điện tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng và tỷ lệ thuận với điện tích của chúng. Bằng cách tương tự với điện tích, để mô tả đặc tính từ của vật chất, Coulomb đã sử dụng khái niệm điện tích từ và chỉ ra rằng lực tương tác giữa các vật thể bị từ hóa phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng và độ lớn của điện tích từ giống như lực tương tác điện trong trường hợp vật thể tích điện.) Do đó, nhờ các thí nghiệm của Coulomb, người ta có thể đo được giá trị tuyệt đối của lực từ.
Với việc phát hiện ra định luật Coulomb, một giai đoạn mới trong nghiên cứu từ trường Trái Đất đã bắt đầu. Theo sau nhà khoa học - nhà địa chất, nhà địa lý, nhà du hành nổi tiếng người Đức - Alexander Humboldt, kể từ năm 1800, hầu hết tất cả các chuyến thám hiểm đều đưa việc đo từ trường tại các điểm khác nhau trên Trái đất vào một trong các hạng mục của chương trình. Nhân tiện, các thủy thủ nổi tiếng của Nga cũng đã thực hiện các phép đo như vậy. Đó là vào giữa thế kỷ 18. Nhiều loại bưu thiếp giáo dục được Học viện gọi tên. Một số công trình cơ bản về nghiên cứu từ trường mặt đất đã được thực hiện vào thời điểm này. Và trong số đó có công trình của nhà vật lý và kỹ sư người Pháp Charles Auguste Coulomb về phép đo chính xác lực điện và lực từ.
Sau khi tiến hành một loạt thí nghiệm có độ chính xác đáng kinh ngạc vào thời điểm đó, Coulomb đã chứng minh rằng lực tương tác giữa các vật tích điện tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng và tỷ lệ thuận với điện tích của chúng. Bằng cách tương tự với điện tích, để mô tả đặc tính từ của vật chất, Coulomb đã sử dụng khái niệm điện tích từ và chỉ ra rằng lực tương tác giữa các vật thể bị từ hóa phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng và độ lớn của điện tích từ giống như lực tương tác điện trong trường hợp vật thể tích điện.) Do đó, nhờ các thí nghiệm của Coulomb, người ta có thể đo được giá trị tuyệt đối của lực từ.
() Nghiêm túc mà nói, chúng ta biết rằng điện tích không tồn tại trong tự nhiên. Nhưng đã có lúc, việc đưa ra khái niệm này hóa ra lại rất hữu ích cho việc phát triển ý tưởng về từ tính.

22

quan sát sau nhiều thế kỷ, người ta có thể tìm ra liệu lực từ có thay đổi độ lớn hay không, giống như người ta đã chứng minh rằng hướng của chúng thay đổi. Để tăng độ tin cậy của các thay đổi, Biyu đề xuất có một số mũi tên và thực hiện các thay đổi độc lập, mỗi lần từ hóa các mũi tên một lần nữa cho đến khi bão hòa. Nhưng ngay cả ở thời của ông, họ cũng hiểu rằng đây không phải là cách thoát khỏi tình huống này. Câu hỏi về độ tin cậy của kết quả của những thay đổi vẫn còn bỏ ngỏ. Tôi muốn tìm ra một cách không phụ thuộc vào “ý thích bất chợt” của bàn tay, vào khả năng từ hóa của chúng.

Năm 1828, Gauss gặp A. Humboldt. Một cuộc trò chuyện dài giữa hai nhà khoa học vĩ đại nhất trong thời đại của họ đã kết thúc với việc Gauss trở nên quan tâm đến các hiện tượng từ trường trên mặt đất và quyết định cố gắng tạo ra một lý thuyết về hiện tượng này. Nhưng trước khi tiếp tục với lời giải bài toán, cần phải phát triển các định nghĩa khoa học chính xác về các đặc điểm của từ trường Trái đất - độ lệch, độ nghiêng và tính định hướng. Và để làm được điều này cần phải phát triển cơ sở của những thay đổi từ tính. Gauss chỉ có thể bắt đầu công việc dự định của mình vào mùa thu năm 1831, khi nhà vật lý 27 tuổi đến từ Halle Wilhelm Weber được mời đến Đại học Göttingen. Gauss gặp ông tại nhà Humboldt vào năm 1828, và với sự xuất hiện của nhà khoa học trẻ tại trường đại học, ông đã có được một trợ lý tài năng và có cùng chí hướng.

Đây là những sự kiện đã xảy ra trước đó với một ner ethane, đây gọi là sự thay đổi trực tiếp, nếu không thì sự thay đổi là gián tiếp. Sử dụng sự phụ thuộc giữa các đại lượng vật lý, chúng ta có thể lấy một số đại lượng làm đại lượng cơ bản và phần còn lại - những đại lượng tùy ý - có thể thu được bằng cách kết hợp các đại lượng cơ bản đã chọn. Do đó, trước khi bắt tay vào sự thay đổi gián tiếp của đại lượng từ thông qua sự thay đổi lực và chuyển động của các vật từ hóa tương tác, Gauss phải tìm ra đại lượng nào trong cơ học có thể được chọn là cơ bản và đại lượng nào là tùy ý.

Dựa trên các định luật và định nghĩa của cơ học, Gauss đã chỉ ra rằng trong

23

Trong phần vật lý, chỉ cần giới thiệu ba đại lượng cơ bản là đủ và tất cả các đại lượng cơ học khác có thể được thay đổi với sự trợ giúp của chúng (tức là được biểu thị thông qua điểm cơ bản). Đi qua các bộ ba đại lượng khác nhau có thể coi là cơ bản, ông đã chứng minh được rằng trong cơ học, thuận tiện nhất là sử dụng chiều dài, khối lượng và thời gian làm các đại lượng chính. Ngoài ra, còn có các giai đoạn và phương pháp đo đơn giản cho những đại lượng này.

Tiếp theo, cần phải chế tạo một thiết bị bằng cách đo các thông số cơ học để có thể xác định đặc tính từ tính của các vật thể bị từ hóa. Để làm điều này, Gauss đã lợi dụng hoàn cảnh sau đây. Chu kỳ dao động của kim từ hóa trong từ trường Trái đất phụ thuộc vào cường độ từ tính của trái đất, cũng như các tính chất từ ​​và cơ học của kim. Do đó, bằng cách đo và so sánh chu kỳ dao động của các kim khác nhau với các tính chất cơ học đã biết, người ta có thể biết được định luật tương tác của các điện tích từ để xác định cường độ từ trường của trái đất. Vì vậy, quá trình đo đại lượng từ dẫn đến việc đo các đại lượng cơ học, do đó, có thể biểu thị thông qua các đại lượng cơ bản - chiều dài, khối lượng và thời gian.

Gauss đề xuất sử dụng miligam, milimet và giây của ngày mặt trời trung bình làm đơn vị đo chính. Ông chọn những đơn vị này không phải ngẫu nhiên. Trong cuộc Cách mạng vĩ đại của Pháp, một ủy ban đặc biệt được thành lập

hệ thống ric. Tuy nhiên, khi thực hiện các phép đo từ tính, ông sử dụng miligam và milimet rất thuận tiện - đơn vị đo phải là miligam, milimet và giây. Hệ thống do Gauss đề xuất bắt đầu được gọi là “tuyệt đối” *).

*) Có sự hiểu lầm với tên này. Tiêu đề tác phẩm của Gaus là “Sức căng của lực từ trái đất, giảm đến mức tuyệt đối”.
Nhưng “tuyệt đối” không đề cập đến chủ đề về các đơn vị đo cơ bản mà Gauss biểu thị các đại lượng từ, mà chỉ có nghĩa là một đại lượng từ được đo một cách tuyệt đối, chỉ sử dụng ba giai đoạn cơ bản của đại lượng cơ học, và không liên quan đến một lực từ nào đó, được thực hiện theo từng giai đoạn. Lưu ý rằng trong tác phẩm này Gaus đã đề xuất các đặc tính và đơn vị điện cho các đặc tính cơ học. Những bài toán thực tế này được thực hiện bởi V. Weber.

24

Năm 1862, Hiệp hội vì sự tiến bộ của khoa học Anh, với các thành viên bao gồm các nhà khoa học như Lord Kelvin và J. Clair Maxwell, đã đặt ra bài toán: để phát triển các đơn vị đo lường cơ bản và đạo hàm cho các lĩnh vực vật lý khác nhau. Nhưng… cô không tìm thấy điều gì tốt hơn ý tưởng của Gauss về việc chọn độ dài, khối lượng và thời gian làm đại lượng chính. Nhưng người ta đã đề xuất thay đổi phần nào đơn vị đo của chúng, “gán” centimet, gam và giây làm đơn vị chính. Và một điều nữa: chính Ủy ban có thẩm quyền này đã đề xuất đơn vị lực - dyne và đơn vị năng lượng - erg. Trên thực tế, hệ thống đơn vị GHS nổi tiếng đã được phát triển. Đối với các đơn vị điện và từ, ý tưởng kết nối các đơn vị cơ và điện từ của Gauss thông qua các quy trình đo lường (hệ thống SGSE và SGSM) đã được sử dụng.

Lần đầu tiên, Ủy ban đã mang lại một số sự rõ ràng cho hệ thống các đơn vị điện và từ, nhưng thật không may, trên thực tế, việc sử dụng hệ thống như vậy rất bất tiện vì một số giá trị hóa ra quá lớn và một số giá trị khác lại quá nhỏ. Vì vậy, tôi sẽ vi phạm hệ thống tuyệt đối của lời giải cái gọi là hệ thống đơn vị thực tế. Ở đây, người ta đã có thể sử dụng làm đơn vị cơ bản là bội số của 10” đơn vị cơ bản của hệ tuyệt đối, trong đó n có thể là số nguyên dương hoặc số nguyên âm. Đây là một bước tiến lớn.

Xét cho cùng, các hiện tượng điện và từ bắt đầu được ứng dụng ngày càng nhiều trong công nghệ và trong cuộc sống hàng ngày, điều đó có nghĩa là cần phải có những cách thuận tiện để so sánh các kết quả khác nhau mà các nhà nghiên cứu khác nhau thu được để sau đó tái tạo chúng một cách chính xác. Đây là lý do tại sao lời giải Ủy ban Anh là trung tâm phục vụ của Đại hội Điện đầu tiên ở Paris vào năm 1881. Vì Đại hội có tính chất quốc tế nên lời giải được nó thông qua có ý nghĩa quốc tế. Và những lời giải này dựa trên đề xuất của Hiệp hội vì sự tiến bộ khoa học Anh, tức là ý tưởng của Gauss.

Bây giờ chúng tôi sử dụng cái gọi là hệ thống SI. Không giống như các hệ thống hiện có trước đây, số lượng đơn vị giữa hai hệ thống, số lượng đại lượng cơ bản trong đó, đã được tăng lên. Thực tế là các hệ thống nhất định

tìm kiếm thông qua các thủ tục đo lường (hệ thống SGSE và SGSM).

Lần đầu tiên, Ủy ban đã mang lại một số sự rõ ràng cho hệ thống các đơn vị điện và từ, nhưng thật không may, trên thực tế, việc sử dụng hệ thống như vậy rất bất tiện vì một số giá trị hóa ra quá lớn và một số giá trị khác lại quá nhỏ. Do đó, vi phạm các hệ thống tuyệt đối, chúng thuận tiện cho việc đo lường trong các lĩnh vực vật lý cụ thể mà trên thực tế, chúng được tạo ra. Và hệ SI được công nhận là phổ quát, thống nhất cho mọi ngành vật lý. Vì vậy, để tránh sự trùng lặp về kích thước của các đại lượng vật lý khác nhau, cần phải tăng số lượng các đại lượng cơ bản. Do đó, 6 đơn vị cơ bản đã xuất hiện trong hệ SI - ba đơn vị cơ, một điện từ, một nhiệt động và một quang. Vào tháng 10 năm 1971, một số khác đã được thêm vào chúng - đơn vị đo lượng chất - nốt ruồi.

Cần lưu ý rằng các định luật vật lý không phụ thuộc vào hệ thống mà chúng ta thực hiện các phép đo, mà phụ thuộc vào sự lựa chọn

25

một hệ thống đơn vị tiện lợi giúp đơn giản hóa đáng kể các phép tính khác nhau. Tại đây bạn có thể thực hiện phân tích với các hệ thống số khác nhau. Do đó, trong công nghệ máy tính, cho đến gần đây, hệ thống số tiện lợi nhất là hệ thống số kép, vì một trong những thành phần chính của máy tính - bộ kích hoạt - có hai trạng thái ổn định: không có điện áp ở đầu ra - 0, có điện áp - 1. Ở một số nơi, hệ thống số ở cơ số 3, 4, 5, v.v. có thể thuận tiện. Nhưng có một hệ thống được mọi người hiểu - hệ thập phân. Và nếu kết quả dành cho một số lượng lớn các chuyên môn khác nhau, thì nó phải được chuyển đổi sang hệ thập phân, mặc dù trong một chuyên môn cụ thể, hệ thống khác có thể thích hợp hơn. Đối với hệ thống đơn vị thay đổi cũng vậy. Ví dụ, ở Mỹ có một số chuyên ngành,

làm việc thiết kế các đường ống dẫn khí, đường ống dẫn nước, v.v., như một đơn vị diện tích, họ không sử dụng diện tích của một đơn vị hình vuông mà là diện tích của một đơn vị hình tròn. Đôi khi được xây dựng trong phương trình Newton về tương tác hấp dẫn của hai khối lượng $F = Gm_1m_2/r^2$, hằng số hấp dẫn $G$ bằng 1. Điều này dẫn đến sự thay đổi trong hệ đơn vị. Đặc biệt là giảm số lượng đơn vị cơ bản.

Chưa hết, hệ thống được chấp nhận rộng rãi nhất hiện nay là Hệ thống quốc tế - SI. Những lợi thế là gì?

Hệ thống SI cần thiết cho các chuyên ngành từ các lĩnh vực khác nhau của ngôn ngữ quốc tế - tiếng Latin. Các tác phẩm dành cho mục đích sử dụng nội bộ có thể được viết bằng ngôn ngữ mẹ đẻ của họ, nhưng những gì dành cho toàn bộ cộng đồng khoa học phải được viết bằng tiếng Latinh, khi đó tác phẩm trở nên thuận tiện cho mọi người đọc. (Nhân tiện, công trình của Gauss cũng được viết bằng tiếng Latinh.) Hệ thống SI là một loại hệ thống “lat”, có sẵn cho tất cả mọi người, nhưng không ai bắt buộc phải nấu ăn bằng ngôn ngữ đó ở nhà của họ.

Đây là cách kết thúc câu chuyện dài 37 trang viết cách đây hơn 150 năm.

26

LÀM THẾ NÀO ĐỂ XÂY DỰNG QUỸ ĐẠO?

Nhu cầu tính toán quỹ đạo của một chuyển động cụ thể của con người là rất thường xuyên. bài toán này xuất hiện cả trước khi một thổ dân Úc lẻn vào một đàn chim với chiếc boomerang và trước khi một nhà toán học tính toán vị trí của một con tàu vũ trụ.

Trong bài viết này, chúng tôi muốn nói về một phương pháp xây dựng gần đúng quỹ đạo của các chuyển động phức tạp, minh họa nó bằng các ví dụ cụ thể và cung cấp cho người đọc một số trò chơi dựa trên phương pháp này.

Hãy bắt đầu lại từ đầu

Không ngại bắt đầu và tôi vẫn đang hoàn thiện.
Trước khi bạn đọc xong một câu chuyện cổ tích, đừng chỉ trỏ.
V. Dal. Tục ngữ của người dân Nga

Ý tưởng chính của phương pháp này rất đơn giản và dựa trên mối quan hệ quen thuộc nối vectơ dịch chuyển của một điểm vật chất với vectơ tốc độ trung bình của nó. Chúng ta hãy nhớ lại rằng tốc độ trung bình $\vec{v}_{\text{cp}}$ của chuyển động không đều được gọi là đại lượng vật lý bằng tỷ lệ giữa chuyển động $\vec{s}$ của cơ thể trong một khoảng thời gian nhất định $\Delta t$ với khoảng thời gian của khoảng thời gian này:

$$\vec{v}_{\text{cp}} = \frac{\vec{s}}{\Delta t}.$$

Từ đây

$$\vec{s} = \vec{v}_{\text{cp}} \Delta t.$$

Cả tốc độ trung bình và độ dịch chuyển đều là các đại lượng vectơ, vì vậy trong các hình vẽ chúng được mô tả dưới dạng các đoạn có hướng. Trong trường hợp này, hướng của cả hai vectơ đều giống nhau nhưng độ dài khác nhau $\Delta t$ lần. Rõ ràng, với sự lựa chọn tỷ lệ thích hợp, có thể làm cho các đoạn có hướng mô tả tốc độ trung bình và độ dịch chuyển trùng nhau.

$$\vec{v}_0$$

Hình 1.

hoàn toàn - cả về hướng và chiều dài. Tất nhiên, chính hoàn cảnh này đã giúp chúng ta có thể nhanh chóng và phần nào xây dựng các quỹ đạo khác nhau một cách gần đúng.

Trước tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất – chuyển động thẳng đều. Giả sử tại thời điểm ban đầu vật ở điểm $A_0$ và có tốc độ $\vec{v}_0$ (hình 1). Vì (như chúng ta đã đồng ý) vectơ dịch chuyển trong khoảng thời gian $\Delta t$ trùng với vectơ vận tốc, nên sau khoảng thời gian này, vật sẽ ở điểm $A_1$, tại đó vectơ vận tốc ban đầu $\vec{v}_0$, bị trễ từ $A_0$, xuất hiện. Đặt một vectơ khác $\vec{v}_0$ từ điểm $A_1$, chúng ta thu được điểm $A_2$, tại đó phần thân kết thúc sau hai khoảng $\Delta t$. Tiếp tục quy trình này, chúng ta thu được một chuỗi các điểm $A_n$ mà tại đó vật sẽ nằm sau $n$ khoảng thời gian đã chọn kể từ khi bắt đầu chuyển động. Đi qua các điểm đó là quỹ đạo chuyển động thẳng đều.

Ý tưởng khái quát hóa phương pháp

Họ là những người đầu tiên xem xét khái quát hóa CRA cho trường hợp “người chơi nhiều tay”, tức là người chơi có nhiều hơn hai tay.

Từ bộ sưu tập “Vườn hoa toán học”

Trường hợp chuyển động thẳng đều được thảo luận ở trên là trường hợp đơn giản nhất, nhưng ý tưởng chính của phương pháp vẫn không thay đổi trong các tình huống phức tạp hơn.

Ý tưởng của phương pháp như sau.

Để ước chừng việc xây dựng quỹ đạo, chúng tôi chia toàn bộ thời gian chuyển động của cơ thể thành những khoảng nhỏ *),

*) Tùy thuộc vào các điều kiện chuyển động, khoảng thời gian của một khoảng thời gian “nhỏ” có thể thay đổi từ một phần micro giây đến hàng tỷ năm. Điều quan trọng là nó phải ít hơn nhiều so với thời lượng của quá trình được đề cập.

28

điểm $A_3$. Cơ thể sẽ kết thúc trong đó sau khoảng $\Delta t$ sau khi vượt qua điểm $A_2$, v.v. Công trình đưa ra một quỹ đạo gần đúng - một đường đứt nét, tương tự như parabol nổi tiếng, là quỹ đạo thực sự.

Lời giải cái bài toán này có vẻ không có gì đặc biệt, vì đáp số đã được biết trước từ khóa học vật lý ở trường. Hơn nữa, việc so sánh kết quả thu được với kết quả đã biết cho phép bạn kiểm tra phương pháp và việc xác minh luôn hữu ích.

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng xem xét bài toán phức tạp hơn và chưa được nghiên cứu ở trường về chuyển động của một vật thể trong trường trọng lực khi có lực cản không khí. Giả sử tại thời điểm ban đầu vật ở điểm $A_0$ và có tốc độ $\vec{v}_0$ (hình 4), và lực cản của không khí $\vec{F}_c$ liên hệ với vectơ vận tốc của vật $v$ bởi sự tương ứng $\vec{F}_c = -\alpha \vec{v}$ (α là hệ số không đổi). Cần phải xác định quỹ đạo của cơ thể sẽ như thế nào trong trường hợp này.

Gia tốc $\vec{a}$, gây ra bởi hai sự hợp nhất - trọng lực và lực cản, có thể được xác định từ định luật thứ hai của Newton. Tuy nhiên, để xây dựng, sẽ thuận tiện hơn khi biểu diễn gia tốc $\vec{a}$ dưới dạng tổng của hai thành phần: gia tốc $a_t = g$, do trọng lực truyền và gia tốc $\vec{a}_c = \vec{F}_c / m = -(\alpha / m)\vec{v}$. Nếu bạn mô tả sự phụ thuộc của $a_c$ vào $v$ dưới dạng biểu đồ, thì từ đó có thể dễ dàng xác định độ lớn của gia tốc $\vec{a}_c$ đối với bất kỳ giá trị nào của tốc độ cơ thể. Ví dụ, gia tốc này luôn ngược chiều với hướng của vectơ vận tốc $\vec{v}$.

Hãy bắt đầu xây dựng quỹ đạo. Sau một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ sau khi vật bắt đầu chuyển động từ điểm $A_0$ (xem hình 4), nó kết thúc ở điểm $A_1$. Để dựng vectơ vận tốc ở bước tiếp theo, bạn cần tắt vectơ vận tốc ban đầu $\vec{v}_0$ khỏi điểm $A_1$ và thêm vectơ gia tốc $\vec{a} = \vec{g} + \vec{a}_c$ vào đó (chúng ta đã biết cách dựng vectơ $\vec{g}$ và $\vec{a}_c$ riêng biệt). Kết quả của việc xây dựng, chúng ta thu được điểm $A_2$ - vectơ vận tốc mới sẽ hướng tới nó. Như vậy, sau hai khoảng thời gian kể từ khi vật bắt đầu chuyển động, nó sẽ kết thúc ở điểm $A_2$.

Lặp lại quy trình này, chúng ta nhận được điểm $A_3$, tại đó vật sẽ kết thúc sau một khoảng thời gian khác, sau đó là các điểm $A_4$, $A_5$, v.v. Lưu ý rằng gia tốc $\vec{a} = \vec{g} + \vec{a}_c$ sau mỗi khoảng thời gian phải được xác định lại, vì thành phần $\vec{a}_c$ phụ thuộc vào tốc độ và do đó không giữ nguyên trong quá trình chuyển động.

Đường đứt nét đi qua các điểm $A_0$, $A_1$, $A_2$, …, thể hiện quỹ đạo bay gần đúng của vật thể khi có lực cản không khí. Điểm đặc biệt của đường cong này là, không giống như một parabol (xem hình 3), nó không đối xứng so với phương thẳng đứng đi qua điểm bay: nhánh đi của quỹ đạo có hình tròn hơn nhánh đi lên. Bây giờ hãy xem mô hình mà chúng tôi đã tạo từ sách giáo khoa cầu lông*) hình 5, hiển thị đường bay của sóng cho các cú giao bóng khác nhau. Bạn có thấy không?

Hầu hết tất cả các quỹ đạo đều có một đặc điểm nổi bật - chúng không đối xứng. Điều này được sử dụng rất rộng rãi trong thể thao. Ví dụ, một quả giao bóng cao thường được giao ở độ cao bằng chiều cao trần nhà và sức mạnh của người chơi cho phép - đồng thời, ở đường cuối sân đối phương, quả còn rơi gần như thẳng đứng và quả còn trả lại không thể bị đánh trả mạnh vì bộ lông bị cản trở.

Bây giờ các điều kiện ngưng tụ là tự nhiên, chẳng hạn như thêm một lực khác tác dụng lên vật. Cung cấp

*) Rybkov D. P., Shtilman M. I. Những nguyên tắc cơ bản của cơ sở thể thao. (M., Văn hóa thể chất và thể thao, 1978.)

29

Hóa ra điều này cho phép chúng ta xem xét một bài toán o…

Ở đây, chúng tôi khuyên người đọc nên ngừng đọc trong vài phút, gấp một mảnh giấy thành một “máy bay” và chỉ ra những thủ thuật mà nó thực hiện trên không khi được phóng ở các tốc độ khác nhau và ở các góc khác nhau so với đường chân trời. Thứ nhất, điều này mang đến cho bạn cơ hội thư giãn một chút, và thứ hai, sau những thử nghiệm như vậy, bạn sẽ thích thú hơn nhiều khi đọc những gì được viết tiếp theo.

Máy bay giấy bay như thế nào?

Không có gì có thể được nói trước ở đây. Và điều này, tất nhiên, là thú vị nhất!

A. A. Mill. Vinits-Pooh và tất cả-tất cả

Các thí nghiệm được thực hiện có thể đã thuyết phục bạn rằng một chiếc máy bay giấy hoạt động phức tạp và thú vị hơn nhiều so với một hòn đá ném hoặc một quả cầu lông. Sau đó ném nó theo chiều ngang mọi lúc, sau đó, tùy thuộc vào tốc độ ban đầu, nó lao gần như thẳng đứng xuống sàn hoặc bay lên trần nhà. Hầu như không thể đoán trước quỹ đạo chuyến bay của nó, nhưng điều này không có nghĩa là không thể phân tích được hành vi của một chiếc ví rơi trong không khí.

Bài toán bay của một chiếc máy bay giấy là một phần của bài toán tổng quát hơn bài toán về chuyến bay không điều khiển được của một chiếc máy bay không có động cơ. bài toán này lần đầu tiên được lắp đặt và quyết định thay thế bởi nhà khoa học người Nga, người sáng lập ngành khí động học N. E. Zhukovsky (1847-1921). Ở đây chúng tôi sẽ chỉ phân tích phương án đó bài toán, mà chính Zhukovsky gọi là “bài toán tàu lượn”.

Hãy để một chiếc tàu lượn đối xứng (hình6) bay trong không trung. Ba lực tác dụng lên nó: trọng lực

$$\vec{F}_T$$, lực kéo $$\vec{F}_c$$ và lực nâng $$\vec{F}_n$$. Lực hấp dẫn $$\vec{F}_T = m\vec{g}$$ có độ lớn thay đổi và luôn hướng thẳng đứng xuống dưới. Lực kéo của kết nối với tốc độ $$\vec{v}$$ tương ứng với $$\vec{F}_c = -\alpha \vec{v}$$, tức là hoàn toàn giống như trường hợp trước. Lực nâng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng và hướng vuông góc với vectơ vận tốc và độ lớn của nó, theo cái gọi là. Định lý Zhukovsky liên hệ với tốc độ bởi sự tương ứng $$\vec{F}_n = \beta v^2$$. Cả ba lực đều tác dụng vào trọng tâm, nằm trong mặt phẳng thẳng đứng của khung máy bay đối xứng. Câu hỏi đặt ra là quỹ đạo bay sẽ như thế nào nếu tàu lượn được phóng từ điểm A₀ với tốc độ ban đầu $$\vec{v}_0$$ một góc φ so với đường chân trời (hình 7)?

Quỹ đạo được xây dựng theo cách giống hệt như trước, chỉ bây giờ để tìm tổng gia tốc, bạn sẽ phải thêm không phải hai vectơ mà là ba: $$\vec{g}, \vec{a}_c$$ và $$\vec{a}_n$$, trong đó gia tốc $$\vec{a}_c = \vec{F}_n/m$$ do lực nâng gây ra hướng vuông góc với vectơ vận tốc $$\vec{v}$$ và có độ lớn bằng ($\beta/m)v^2$. Để đơn giản hóa việc xây dựng, rất hữu ích khi sử dụng những giá trị cho trong hình 7 đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của $$a_c$$ và $$a_n$$ vào $$\vec{v}$$.

Việc xây dựng quỹ đạo tàu lượn, như bạn có thể thấy, mặc dù cồng kềnh nhưng không hề phức tạp. Hãy nhìn xem chúng ta có một đường cong tuyệt vời như thế nào! Tàu lượn của chúng tôi đã mô tả một “vòng chết” thực sự! Trong trường hợp này, chỉ có một vòng, nhưng về nguyên tắc, tàu lượn có thể mô tả một số vòng như vậy, sau đó nó chuyển sang chế độ vòng lặp “rung rinh” đặc trưng: nó rơi xuống, sau đó lấy lại độ cao và giảm dần biên độ của những “điểm lõm” như vậy, điều chỉnh chuyến bay của nó và di chuyển đều dọc theo một đường thẳng nghiêng nhất định.

30

Vì vậy, chúng tôi đã xây dựng một quỹ đạo và thu được mô tả về các đặc điểm đặc trưng nhất của chuyến bay của tàu lượn đối xứng, mặc dù thực tế là lời giải bài toán chính xác về tàu lượn (lời giải của một hệ phương trình vi phân phức tạp) là hoàn toàn không thể dịch sang ngôn ngữ dễ hiểu đối với học sinh.

Người đọc tinh ý có thể sẽ nhận thấy rằng máy bay giấy khác với chiếc tàu lượn lý tưởng ở một số khía cạnh mà chúng ta đã xem xét. Ví dụ, một chiếc máy bay có thể không đối xứng hoàn hảo: nó có thể có lực hấp dẫn, lực nâng và lực cản không khí khác nhau tác động lên cánh phải và cánh trái. Điều này dẫn đến thực tế là trong chuyến bay, một cánh của máy bay sẽ ở vị trí cao hơn cánh kia và máy bay bắt đầu, như thể đang ở trên một mặt phẳng nghiêng, “trượt” về phía cánh đã hạ xuống.

Với một cú “trượt” ngang như vậy, mũi và đuôi máy bay sẽ chịu lực cản không khí không đồng đều nên máy bay bắt đầu quay quanh một trục thẳng đứng, tức là nó sẽ không bay thẳng về phía trước mà quay sang phải hoặc sang trái. Tóm lại, ngoài việc xem xét sự “lắc lư” và “lắc lư” của tàu lượn trong mặt phẳng thẳng đứng, chúng ta còn thêm các ngã rẽ sang phải hoặc trái.

Vì các loại lực khác nhau tác dụng lên máy bay phụ thuộc vào tốc độ một cách khác nhau nên bán kính quay vòng và thậm chí cả hướng của nó cũng sẽ phụ thuộc vào tốc độ. Hành vi của máy bay rẽ phải ở tốc độ cao và sang trái ở tốc độ thấp hóa ra lại đặc biệt thú vị. Hãy phóng một số máy bay thuộc nhiều loại khác nhau, làm quen với chuyến bay của chúng - và bạn sẽ thấy rằng phần lớn hành vi của chúng giờ đây sẽ dễ hiểu hơn đối với bạn.

Về nguyên tắc, bằng cách sử dụng phương pháp được mô tả, có thể xem xét bài toán phức tạp hơn nữa liên quan đến sự phát triển của máy bay. Ví dụ, một chuyến bay trên máy bay. Để làm được điều này, chỉ cần nhớ rằng máy bay cũng là một chiếc tàu lượn, chỉ khác là có động cơ. Do đó, bằng cách cộng thêm các lực đã xét ở bài toán về độ rung của tàu lượn, một hằng số độ lớn của lực đẩy chuyển động $\vec{F}$, hướng dọc theo vectơ vận tốc, chúng ta sẽ có thể xây dựng được đường bay của máy bay. Nếu chúng ta tưởng tượng rằng một phi công ngồi trong buồng lái của chiếc máy bay này và điều khiển động cơ và thang máy (tức là thay đổi các giá trị $\vec{F}$ và tham số $\beta$), thì chúng ta thậm chí có thể mô phỏng quá trình bay lên của máy bay trong chuyến bay có kiểm soát. Bằng cách bật và tắt định kỳ động cơ của những chiếc máy bay như vậy, người đọc kiên nhẫn có thể tương đối dễ dàng đảm bảo rằng máy bay chuyển sang chế độ bay giống như sóng, gợi nhớ đến chuyến bay của chim ngực, chim yến và các loài chim nhỏ khác. Và bằng cách thay đổi khối lượng $m$ ở chế độ này và tăng các tham số $\alpha$ và $\beta$, bạn có thể thu được quỹ đạo tái tạo khá chính xác khả năng xaotic.

Kacheyskoe, Klima"

1. Tại sao nằm trên dây khí lại không cứng?

2. Có thể mà không cần đập vỡ hoặc đun sôi nó?

3. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

4. Vào thời điểm nào trong năm đường dây điện báo và điện thoại bị chùng nhất?

5. Tại sao chim Beanano đậu trên dây, chúng tôi phục vụ tu dashi?

6. Điều gì dẫn đến việc cây xanh kêu một cách dễ dàng gần con châu chấu?

7. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

8. Tại sao chim Beanano đậu trên dây, chúng tôi phục vụ tu dashi?

9. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

10. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

11. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

12. Cờ đỏ xuất hiện màu gì dưới ánh sáng xanh?

13. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

14. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

15. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

16. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

17. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

18. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

19. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

20. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

21. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

22. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

23. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

24. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

25. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

26. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

27. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

28. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

29. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

30. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

31. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

32. Tại sao bạn có thể đun sôi nước trong nồi hàn mà dụng cụ nấu nướng không bị lửa hàn?

14. Có đúng là “ban đêm mỏ đều là diêm sinh”?

15. Tại sao các bánh xe quay phía trên đôi khi hợp nhất lại cho mắt nhìn, trong khi các bánh xe phía dưới lại tách biệt?

16. Có thể sau khi lao xuống nước để đọc phông chữ sách ở đó không?

A. S. Pushkin

Thí nghiệm và quan sát

Trong số ra mùa hè này của “Kaleidoscon”, chúng tôi tạm thời vắng bóng truyền thống thảo luận về các khái niệm vật lý cơ bản và giới thiệu với bạn một số thí nghiệm. Để làm được điều này, bạn có thể sử dụng mọi thứ trong tầm tay theo đúng nghĩa đen hoặc quan sát cẩn thận các hiện tượng xung quanh mình. Bạn sẽ thấy rằng đằng sau nhiều sự kiện rất đơn giản thoạt nhìn là một vật lý hoàn toàn nghiêm túc đòi hỏi sự suy nghĩ và sự khéo léo. Đối với những người muốn tin một cách chính xác vào kết luận của mình không chỉ về mặt thực nghiệm mà còn về mặt lý thuyết, chúng tôi khuyên bạn nên xem số tiếp theo của tạp chí.

8. Gió có mang lại cái lạnh trong thời tiết nóng bức không?

9. Liệu thước kẻ hoặc que thăm mắt có giữ nguyên mọi thứ nếu bạn di chuyển nó không? Tại sao?

10. Tại sao một quả bóng xà phòng được đặt trên mũi, gần trong tầm tay hoặc quan sát cẩn thận các hiện tượng xung quanh bạn. Bạn sẽ thấy rằng đằng sau nhiều sự kiện rất đơn giản thoạt nhìn là một vật lý hoàn toàn nghiêm túc đòi hỏi sự suy nghĩ và sự khéo léo. Đối với những người muốn tin một cách chính xác vào kết luận của mình không chỉ về mặt thực nghiệm mà còn về mặt lý thuyết, chúng tôi khuyên bạn nên xem số tiếp theo của tạp chí.

34

Van der Waals và phương trình của ông
(nhân kỷ niệm 150 năm ngày sinh nhà khoa học)

Vào ngày 23 tháng 11 năm 1837, đứa con đầu lòng trong số 9 người con được sinh ra trong gia đình thợ mộc Leiden Jacobus Van der Waals - Johannes Diederik Van der Waals, nhà khoa học nổi tiếng tương lai người Hà Lan, một trong những người sáng lập ra ngành vật lý phân tử hiện đại.

Thu nhập khiêm tốn của một gia đình một trăm người không cho phép mơ ước được học cao hơn, vì vậy sau khi học tiểu học, Van der Waals đã tự mình trải qua toàn bộ con đường dài và khó khăn để đến với khoa học, như người ta thường nói bây giờ, không bị gián đoạn công việc, hoặc chỉ ở tuổi 40, ông mới chia tay một giáo viên trường chuyên nghiệp. Đúng vậy, anh vẫn có cơ hội, mặc dù đây là lần đầu tiên trong nhiều năm, được tham dự mười khóa giảng về toán học, thiên văn học và vật lý tại Đại học Leiden cổ đại.

Nhưng vào ngày 14 tháng 6 năm 1873, Van der Waals - lúc đó ông vẫn đang dạy vật lý tại một trong những trường học thực sự của Gaga - đến Đại học Leiden không phải để mở rộng kiến ​​thức bằng một bài giảng khác. Luận án tiến sĩ của ông “Về tính liên tục của trạng thái lỏng và khí” đã được lên lịch cho ngày này. Việc bảo vệ thành công nhưng luận văn của giáo viên Gaz không gây được sự nhiệt tình đặc biệt nào trong các thành viên hội đồng học thuật. Mười năm trôi qua, các nhà khoa học châu Âu bắt đầu nhận ra rằng công trình này - lưu ý, đây là nghiên cứu khoa học độc lập đầu tiên của Van der Waals, công bố khoa học đầu tiên của ông! - tác giả của nó đã đưa tên ông vào danh sách các tác phẩm kinh điển của khoa học. Năm 1910, van der Waals được trao giải Nobel Vật lý.

Nguồn gốc tác phẩm kinh điển này của nhà khoa học Hà Lan là gì? Trong ngôn ngữ của công thức đáp số câu hỏi này trông như thế này:

trước van der Waals, người ta đã biết phương trình trạng thái của khí lý tưởng
$$pV=RT,$$
(1)
trong “Tính liên tục” phương trình trạng thái của khí phản ứng lần đầu tiên xuất hiện
$$\left(p+\frac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT,$$
(2)
trong đó $V$ là thể tích của một mol khí ở nhiệt độ $T$ và áp suất $p$, $R$ là hằng số khí phổ quát, $a$ và $b$ là các hằng số thực nghiệm mô tả sự tương ứng giữa độ chấp nhận phân tử và thể tích nội tại của phân tử.

Khí lý tưởng, mặc dù cực kỳ hữu ích trong vật lý, nhưng lại là một mô hình lý thuyết cực kỳ đơn giản. Nó tương ứng với một loại khí có mật độ thấp đến mức sự tương tác giữa các phân tử và kích thước của các phân tử thực tế không có vai trò gì. Phương trình van der Waals (còn gọi là phương trình trạng thái của khí phản ứng) tương ứng với một mô hình khí thực tế hơn nhiều: các phân tử là những quả cầu rắn hoàn toàn có phạm vi rất nhỏ nhưng hữu hạn.

Van der Waals đã mô tả quá trình chuyển đổi từ phương trình (1) sang phương trình (2) là “sự đưa ra các hiệu chỉnh”. Và điều này thực sự đúng. Đầu tiên, cần tính đến rằng ngoài áp suất bên ngoài $p$ còn có áp suất “bên trong” $a/V^2$, phát sinh do áp suất liên phân tử và “có xu hướng” kéo các phân tử lao đi theo chuyển động nhiệt chưa từng có vào một cụm văn bản. Thứ hai, chúng tôi tính đến thực tế là không phải toàn bộ thể tích $V$ có ​​sẵn cho chuyển động nhiệt của các phân tử mà chỉ có không gian còn lại sau khi trừ đi thể tích của chính phân tử. (Trên thực tế, van der Waals đã vô cùng ngạc nhiên khi phát hiện ra rằng hằng số $b$, theo phép tính gần đúng đầu tiên, bằng bốn lần tổng thể tích nội tại của các phân tử chứa trong một phân tử).

Từ chung chung “sửa đổi” gắn liền với một điều gì đó không quá quan trọng, ít nhất là không cơ bản, không liên quan đến một sự thay đổi căn bản nào đó. Tuy nhiên, trong vật lý, sự liên kết theo thói quen này thường không được chứng minh. Và một ví dụ rõ ràng cho điều này là phép biến đổi van der Waals, đưa phương trình đã nghiên cứu (1), hợp lệ cho một đối tượng lý thuyết không tồn tại trong tự nhiên gọi là “khí lý tưởng”, thành phương trình (2), mô tả hành vi của một chất phản ứng trong phạm vi mật độ, không gian từ các giá trị tương ứng với độ hiếm của chất khí, đến các giá trị tương ứng với trạng thái lỏng.

Hơn nữa, từ chính các biểu thức của hiệu chỉnh tích lũy van der Waals, người ta có thể xác định cả lực phân tử và kích thước của các phân tử - những thông số thực hoàn hảo thậm chí còn không được thảo luận trong mô hình khí lý tưởng.

hình 1 hiển thị hình ảnh của phương trình van der Waals cho các nhiệt độ khác nhau. Rõ ràng là các giá trị lớn hơn của $V$ đề cập đến trạng thái khí và các giá trị nhỏ đề cập đến trạng thái lỏng. Bằng chứng là sản xuất 1, 2, 3,

35

ở nhiệt độ $T \ge T_k$ mỗi giá trị $p$ tương ứng với một giá trị $V$. Điều này có nghĩa là quá trình chuyển đổi từ trạng thái khí sang trạng thái lỏng diễn ra liên tục, và do đó ở nhiệt độ như vậy, khái niệm về khí và chất lỏng trở nên vô nghĩa. Nhiệt độ $T < T_k$ lại là một vấn đề khác. Trong trường hợp này, mỗi giá trị $p$ tương ứng với ba giá trị khác nhau $V$, sao cho một đoạn giống sóng xuất hiện trên các đường đẳng nhiệt (xem các đường đẳng nhiệt 4, 5, 6 trên hình 1).

Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn một đường đẳng nhiệt ở nhiệt độ nhất định $T < T_k$ (hình 2). Phần ec của đoạn lượn sóng của nó, được vẽ bằng một đường chấm, tương ứng với vị trí ngược lại: khi dốc, áp suất giảm xuống, điều này chưa từng có trong tự nhiên. Sự hiện diện của phần không thể thực hiện được ec có nghĩa là khi tạo ra sự thay đổi về thể tích, chất này không thể luôn đồng nhất - tại một thời điểm nào đó, nó phải tách thành khí và lỏng. Như vậy, đường đẳng nhiệt thực có dạng đường đứt nét $abfg$ với đoạn thẳng $bf$ trong vùng đoạn lượn sóng nối nhánh $ab$, tương ứng với trạng thái khí và nhánh $fg$, tương ứng với trạng thái lỏng. Bản thân mặt cắt ngang $bf$ tương ứng với quá trình chuyển khí thành lỏng (và ngược lại), xảy ra ở nhiệt độ nhất định và khi xác định áp suất không đổi. Ở mức “cao” nào, tức là ở áp suất nào, không thể xác định được một phần thẳng xuất hiện từ các phần van der Waals. Đáp số câu hỏi này được trả lời bằng quy tắc được thiết lập bởi J. Maxwell (1831-1879) và R. Clausius (1822-1888): tọa độ của phần $bf$ phải sao cho đảm bảo sự bằng nhau của các diện tích của “nửa sóng” $bcd$ và def nằm phía trên và với phần hơi xanh của nó.

Khi áp suất tăng, đoạn thẳng trở nên ngắn hơn và ở $T = T_k$ nó co lại đến “điểm tới hạn” $K$. Theo phần van der Waals $T_k = 8a/(27bR)$ và nó được trả lời bằng áp suất tới hạn $p_k = a/(27b^2)$. Ví dụ, đối với nước, $T_k = 647,3$ K và $p_k = 22,13$ MPa, từ đó $b = RT_k/(8p_k) = 30,4 \cdot 10^{-6}$ m$^3$/mol, và đối với “đường kính” của tôi, lực hút lẫn nhau rất yếu, nhưng có phạm vi tác dụng vô hạn. Bản thân Van der Waals nhấn mạnh rằng các phương trình hấp dẫn được xét đến trong các phương trình của ông hoàn toàn không phải là một ước tính tầm xa, mà kéo dài trên một khoảng cách chỉ giới hạn bởi vài triệu đường kính. Thực tế này sẽ không được quan tâm đặc biệt - bức tranh nào được vẽ cho nhà khoa học Hà Lan cách đây một thế kỷ có thực sự quan trọng đến vậy không! - nếu cuối cùng hóa ra trực giác vật lý của nhà khoa học vẫn không bị vượt qua ngay cả bởi những phương pháp toán học phức tạp nhất. Thật vậy, việc so sánh dữ liệu thực nghiệm với kết quả tính toán số trên máy tính cho thấy các vùng van der Waals cũng có thể đúng đối với các đặc tính trong phạm vi ngắn của lực hút liên phân tử và điều này không cần thiết đối với bất kỳ thể tích nào.

Điều gì đã xảy ra với Van der Waals sau khi luận án của ông được hoàn thành?

Năm 1875, ông được bầu làm học giả và hai năm sau ông nhận được chức giáo sư vật lý tại Đại học Amsterdam. Ông giữ chức vụ này cho đến năm 1908, khi theo một quy tắc bất khả xâm phạm, ông nghỉ hưu do đã 70 tuổi. Ngoài các phần về khí thực, van der Waals đã thu được một số kết quả khoa học quan trọng và tầm quan trọng của một số kết quả đó chỉ được đánh giá cao ở thời đại chúng ta. Hoạt động khoa học của ông tiếp tục cho đến năm 1916, sau đó sức sáng tạo và thể chất của ông bắt đầu suy yếu. Nhà khoa học qua đời vào năm 1922, trong thời đại mà những khoảng trống của vật lý phân tử đã chiếm giữ ông suốt cuộc đời đã được thay thế bằng lý thuyết lượng tử, vật lý nguyên tử và hạt nhân nguyên tử đang phát triển nhanh chóng. Nhưng nửa thế kỷ trôi qua, những vấn đề này lại trở thành tâm điểm chú ý của vật lý, và công trình của Van der Waals đã có một bước phát triển mới và cực kỳ hiệu quả.

V. E. Yavelov

36

Nhiệm vụ

M1051 — M1055, F1063 — F1067

M1051. Hai quân cờ được đặt ở góc dưới bên trái của bàn cờ hình vuông 8x8 theo hình vuông 3x3. Một con chip có thể nhảy qua bất kỳ con chip nào khác, phản xạ đối xứng với nó, nếu trường tương ứng trống. Có thể thu thập tất cả các chip dưới dạng hình vuông 3 × 3 bằng một số động tác như vậy không:
a) ở góc trên bên trái?
b) ở góc trên bên phải của bảng?

A. E. Briskin

M1052. Chứng minh rằng trong các tứ giác $n$ bị cắt khỏi một $n$-giác lồi bằng các đường chéo thì nhiều nhất $n/2$ có ​​thể ngoại tiếp được. Cho ví dụ về hình bát giác có 4 hình tứ giác như vậy.

N. M. Sedrakyan

M1053. Chứng minh rằng trong dãy số Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, trong đó mỗi số bằng tổng của hai số liền trước thì tại $m > 3$ sẽ có ít nhất 4 và nhiều nhất là 5 số $m$ chữ số.

M1054. Chứng minh rằng sáu điểm tiếp tuyến từng cặp của bốn mặt cầu luôn nằm trên cùng một mặt cầu hoặc trên cùng một mặt phẳng.

Yu. K. Koba

M1055. Có 21 điểm trên một vòng tròn. Chứng minh rằng trong số các cung có điểm cuối tại các điểm này có ít nhất 100 cung không vượt quá 120°.

A. F. Sidorenko

F1063. Người đi bộ cần đi từ điểm trường $A$ đến điểm trường $B$ trong thời gian ngắn nhất có thể, khoảng cách giữa đó là 1300 m. Cánh đồng được cắt ngang bởi một con đường thẳng sao cho điểm $A$ cách sân 600 m và điểm $B$ cách sân 100 m. Tốc độ di chuyển của người đi bộ qua cánh đồng là 3 km/h và đường bộ - 6 km/h. Người đi bộ nên đi theo con đường nào? Thời gian tối thiểu là bao lâu? Hãy xem xét trường hợp khi các điểm $A$ và $B$ nằm cùng một bên đường và khi chúng nằm ở hai phía đối diện nhau của đường.

S. S. Krogov

F1064. Sợi chỉ được gắn vào và quấn quanh vành của một chiếc vòng nặng. Nếu đầu kia được gắn vào trần nhà và vòng được thả ra, nó sẽ di chuyển xuống dưới, xoay và tháo sợi chỉ. Để ba vòng như vậy được kết nối “nối tiếp”, nghĩa là phần cuối của vòng tiếp theo được gắn vào trục của vòng trước (hình 1). Tất cả các vòng được thả ra cùng lúc và chúng bắt đầu chuyển động. Xác định gia tốc chuyển động của đỉnh vòng.

Phần trên của vòng sẽ chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu nếu số vòng nối thành chuỗi rất lớn?

Giả sử rằng khối lượng của vòng được phân bổ đều dọc theo vành của nó, kim đan không có trọng lượng, các sợi chỉ không trọng lượng và không thể co giãn và không cần luyện tập.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

F1065. Một cái nồi đổ vào 1 lít nước không thể đun sôi bằng cách đun nóng

38

if the number of successively connected wheels is very large. Assume that the wheel’s mass is uniformly distributed along the circumference, the strings are weightless and unstretchable and there is no friction.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminski

P1065. A pot containing 1 liter of water refuses to come to a boil on a 100 watt heater. How long can it take for the water to cool by 1 degree when the heater is turned off?

A. R. Zilberman

P1066. Imagine that a thin layer of soot, absorbing practically all the Sun’s emissions, is formed in the upper atmosphere as the result of massive forest fires. What will the Earth’s mean temperature become, if it is now 300 K?

A. L. Stasenko

P1067. Một quả cầu đặc trong suốt có bán kính $R$ được làm từ vật liệu có chiết suất $n$ chứa một lớp vỏ nhỏ $A$ (hình Hình 2 trên trang 37). Khi nhìn vào phần cứng, khoảng cách biểu kiến ​​từ nó đến tâm của quả cầu không phụ thuộc vào $\alpha$ để biết $\alpha$ đủ lớn (xem hình). Tìm khoảng cách thực sự từ phần cứng đến tâm của quả cầu.

G. V. Grigoriev

Lời giải bài toán

M1031 — M1035, F1043 — F1045, F1047

Chúng ta hãy dựng một điểm $B_1$, đối xứng $B$ so với đường thẳng $l$, sau đó $M$ nằm tại giao điểm của các đường $AB_1$ và $l$ (xem hình 2 ở trang 37). Khi nhìn vào phần cứng, khoảng cách biểu kiến ​​từ nó đến tâm của quả cầu không phụ thuộc vào $\alpha$ để biết đủ lớn $\alpha$ (xem hình). Tìm khoảng cách thực sự từ phần cứng đến tâm của quả cầu.

Góc $AMB$ là góc ngoài của tam giác đều $MBB_1$ bằng $2\angle AB_1B$. Mặt khác, các điểm $A, B$ và $B_1$ nằm trên một đường tròn có tâm $N$, do đó $\angle ANB = 2\angle AB_1B$ (góc ở tâm $ANB$ và góc nội tiếp $AB_1B$ nằm trên một cung $AB$).

L. D. Kurlyandchik

M1032. Các $n$ các số 2, 3, …, $n+1$ được viết ra, tích có trọng số của chúng là hai, ba, v.v. cho đến tích của tất cả $n$ của các số này. Chứng minh rằng tổng nghịch đảo của tất cả các số viết ra bằng $n/2$. (Ví dụ: tại $n=3$ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{3}{2}$.)

Rõ ràng, xét trong bài toán tổng nhỏ hơn tích 1

$$\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)...\left(1 + \frac{1}{n+1}\right).$$

Vì vậy, nó bằng

$$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} ... \frac{n+2}{n+1} - 1 = \frac{n+2}{2} - 1 = \frac{n}{2},$$

Q.E.D.

A. B. Anjans

39

M1033. Đường tròn của một tứ giác vuông (giới hạn mỗi cạnh là hai đường tròn và hai đoạn thẳng). Chúng ta hãy sơn hai trong số chúng, liền kề với các góc đối diện của hình vuông, màu đen, hai cái còn lại - màu đỏ. Chứng minh rằng: a) tổng các cung đỏ và cung xanh bằng nhau; b) tổng chu vi của các tam giác đỏ và tam giác xanh bằng nhau.

Hình 1. Hình 2.

M1034. Một miếng sôcôla hình chữ nhật được chia thành 50 phần hình vuông bằng các rãnh dọc và rãnh ngang. Hai từ chiều cao của một zett như vậy. Người mới bắt đầu trải sô cô la dọc theo một chỗ lõm nhất định thành hai phần hình chữ nhật. Sau đó, lần lượt cắt một trong các phần thu được thành hai phần dọc theo một chỗ lõm nhất định. Người nào bẻ được một miếng vuông (không có lỗ) bằng lông vũ, a) xuyên thủng, b) thắng. Người chơi nào có thể đảm bảo chiến thắng cho mình - người mới bắt đầu hoặc đối tác của mình?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25

Đáp số: Trong cả hai phiên bản của trò chơi, người mới bắt đầu sẽ thắng. Điều này cũng đúng với mọi sô cô la có mn miếng (có kích thước m×n), trong đó mn chẵn (ngoại trừ trường hợp sô cô la 2×n có n lẻ ở phương án 6) - ở đây đáp số phụ thuộc vào n.) Chúng ta sẽ xét ngay trường hợp tổng quát. Điều thú vị là chiến lược chiến thắng trong các phương án “ngược lại” a) và 6) gần như giống nhau.

a) Chiến lược đảm bảo người mới bắt đầu giành chiến thắng như sau. Ít nhất một trong các số m và n là số chẵn - gọi nó là m(m=2k). Với động tác đầu tiên, người mới bắt đầu chia sô cô la thành hai nửa bằng nhau (mỗi nửa n×k miếng). Sau đó, cứ mỗi giây anh ta lại chơi ở nửa còn lại của thanh sô cô la. Như vậy, sau mỗi lượt của ván đầu tiên, cả hai hiệp sẽ bị bẻ gãy theo cách giống hệt nhau. Rõ ràng là trong trường hợp này, cái đầu tiên sẽ không cắt được lát 1 × 1 bằng lát cắt thứ hai.

6. Ở đây, với m>2 và n>1, người mới bắt đầu có thể sử dụng chiến lược “đối xứng” tương tự cho đến khi chiến lược thứ hai tách ra khỏi dải có 1; người đầu tiên ngay lập tức bẻ được mảnh 1x1 của nó và giành chiến thắng.

Khi xuất bản bài toán, do hiểu lầm nên chúng tôi đã không đặt hình vẽ mô tả sô cô la từ các lát 5 × 10 bên cạnh các điều kiện; Do đó, nói đúng ra, chúng ta cũng cần xem xét trường hợp của một thanh sô cô la 2x25 (mặc dù rõ ràng là không có những thứ như vậy trong đời thực). Trong biến thể 6) của trò chơi, chiến lược “đối xứng” đối với thanh sô cô la 2×n là không phù hợp - không thể phân biệt được một dải có sọc số 1 (điều này ngay lập tức dẫn đến một lỗ), vì vậy sô cô la chỉ có thể bị bẻ “ngang”. Một trò chơi “phân chia” xuất hiện. Số n được viết trên bảng ở đầu; sau đó, với mỗi lần di chuyển, một trong các số sẽ bị xóa và các neoctor viết hai số tự nhiên, tổng của chúng sẽ bị xóa. Người buộc phải viết 1 sẽ thua (tức là vị trí mở đầu là tập hợp số 2 và 3). Câu hỏi ai thắng trong những trò chơi như vậy không hề đơn giản; một lý thuyết thú vị cho phép bạn tìm thấy đáp số mà không cần tìm kiếm nhiều sẽ được thảo luận ở một trong các số báo

40

«Kvant» vào năm tới. Hiện tại, chúng tôi sẽ chỉ báo cáo đáp số: với $n=25$ người mới bắt đầu sẽ thắng (một trong những nước đi đầu tiên đúng: $25=13+12$).

Đáp số cho số lẻ $mn$ trong trường hợp chung, chúng tôi không biết đối với tùy chọn a) hoặc tùy chọn 6) của trò chơi.

S.V. Fomin, N.V. Vasiliev

M1035. Trên đoạn [0; 1] điểm $x_0, x_1, x_2, ..., x_n$ lần lượt được dịch chuyển. Đối với mỗi điểm $x_k$ ($k=1, ..., n$), khoảng cách $d_k$ từ điểm đó đến điểm được đặt gần nhất trước đó sẽ thay đổi. Chứng minh rằng $d_1+d_2+...+d_n \leq 1 + \frac{\log_2 n}{2}$.

Hình 1.

Hình 2. Biến đổi của tập hợp $x_0, x_1,...,x_n$ khi dịch chuyển điểm $x_2$: mỗi giá trị $x_2, 0 \leq x_2 \leq 1$ tương ứng với một đoạn ngang, tại giao điểm của đoạn đó với các đường màu xanh lam là các điểm $x_i$.

Hình 3.

Trước tiên chúng ta hãy chỉ ra rằng bất kỳ tập hợp điểm $x_0, x_1, ..., x_n$ nào trên khoảng [0; 1] có thể thực hiện được mà không cần giảm số lượng

$$s = d_1 + d_2 + ... + d_n,$$

biến đổi thành một tập hợp, hai điểm đầu tiên là 0 và 1, và mỗi điểm tiếp theo là phần giữa của một trong các đoạn mà các điểm trước đó được chia [0; 1]. Rõ ràng là bạn có thể giới hạn bản thân trong các tập hợp các điểm khác nhau (nếu điểm $x_i$ trùng với một trong những điểm trước đó, bạn chỉ cần gạch bỏ nó - $d_i=0$ - và thêm một điểm mới vào cuối). Nhưng sẽ thuận tiện cho chúng ta nếu cho phép có sự trùng hợp ngẫu nhiên.

Đặt $x_i$ là điểm ngoài cùng bên trái và $x_k$ là điểm ngoài cùng bên phải của tập hợp. Rõ ràng, $s$ sẽ không giảm nếu chúng ta thay $x_i$ bằng 0 và $x_k$ bằng 1. Ngoài ra, với $i \geq 1$ chúng ta có thể hoán đổi $x_i=0$ và $x_{i-1}$ với nhau - trong trường hợp này tổng $d_{i-1}+d_i$ chỉ có thể tăng (hình 1) và các tổng còn lại $s$ sẽ không thay đổi. Do đó, từ nay trở đi chúng ta có thể giả sử rằng $x_0=0$ và $x_1=1$. Chúng tôi sẽ “cải thiện” bộ $x_0, ..., x_n$ hơn nữa. Hãy xem xét điểm $x_2$. Nếu $x_2=x_0$ hoặc $x_2=x_1$, hãy bỏ qua và đi tới $x_3$. Bây giờ hãy $x_2=x$, $0<x<1$. Chúng ta sẽ di chuyển điểm $x_2=x$ dọc theo đoạn [0; 1] và đồng thời một trong các phân đoạn [0; x] hoặc [x; 1] cùng với tất cả các điểm rơi trên đó $x_i$ kéo dài, và điểm còn lại - lướt qua (hình 2). Rõ ràng là tổng các số $d_i$ cho các điểm $x_i$ của đoạn [0; x] sẽ thay đổi tương ứng thành $x$ và đối với đoạn [x; 1] tỷ lệ thuận với 1—x, do đó tổng tổng, dưới dạng hàm của $x$, sẽ bằng

$$s = 1 + \min(x, 1-x) + lx + r(1-x)$$

($d_1=1, d_2=\min(x, 1-x), l$ và $r$ là hằng số). Hàm này tuyến tính trên các khoảng [0; 1/2] và [1/2; 1] và có điểm gấp khúc tại điểm $x=1/2$ (hình 3), do đó điểm tối đa của nó đạt được tại một trong các điểm $0, 1/2, 1$. Hãy di chuyển $x_2$ đến điểm tối đa, đồng thời sử dụng cây (hoặc tạo) thích hợp một tập hợp điểm $x_i$ trên các đoạn [0; $x_2$] và [$x_2; 1$]. Chúng ta sẽ thu được một tập hợp các điểm mà tổng $s$ không nhỏ hơn điểm ban đầu đầu tiên và điểm $x_2$ nằm ở giữa đoạn [$x_0; x_1$] ($x_2=1/2$) hoặc ở rìa của đoạn này. Hơn nữa, nếu $x_3$ không trùng với bất kỳ điểm nào trong số các điểm $x_0, x_1$, $x_2$, hãy xem xét một trong các đoạn [$x_0; x_2$] và [$x_2; x_1$] mà $x_3$ nằm trên đó. Như trên, chúng ta có thể thay đổi tập hợp điểm $x_i$ trên đoạn này để điểm $x_3$ trở thành điểm giữa hoặc điểm cuối của đoạn đó và tổng $s$ không giảm. Làm tương tự với các điểm sau, chúng ta sẽ đi đến một tập hợp trong đó $x_0=0$, $x_1=1$ và mỗi điểm tiếp theo trùng với điểm giữa của đoạn nối hai điểm liền kề hoặc với một trong các điểm này. Tất cả các điểm trùng với các điểm trước đó có thể bị gạch bỏ, sau đó vẫn còn lại một tập hợp $k$ điểm ($k \leq n$), thỏa mãn điều kiện được đặt ra ở đầu lời giải.

Đối với tập hợp điểm $d_1=1, d_2=1/2, d_3=1/4, d_4=1/4$ hoặc $1/8$ cho $i \geq 2$, mỗi số $d_i$ bằng $2^{-m}$ với một số tự nhiên $m$ và có nhiều nhất $2^{m-1}$ số $2^{-m}$. Rõ ràng là tổng của $n$ số đầu tiên có giá trị lớn nhất khi