Kvant 1988, số 2 · Trang

khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Quan sát và chụp ảnh
các quá trình chảy nhanh

1988

Trong phòng:

2 Vâng. V. Zeldovich, M. Yu. Khlopov. Lý thuyết đường đi của electron
9 V. A. Prudkovsky. Về hộp thiếc, lò xo và máy cán
14 M. I. Bashmanov. Hình ảnh toán học ở vị trí
17 D. V. Fuchs. Về thước thơ
Vấn đề «Kvant»
26 Bài toán M1086—M1090, F1098—F1102
27 Problems M1086—M1090, P1098—P1102
28 Lời giải bài toán M1066—M1069, F1078—F1082
«Kvant» cho học sinh nhỏ
37 Bài toán
38 A. S. Yarsky. Về người dùng dành cho chiến binh
Kính vạn hoa «Kvant»
40 Phản xạ và khúc xạ
Thông tin
45 Câu lạc bộ máy tính “XUÂN”
Phòng thí nghiệm «Kvant»
46 S. M. Belousov, R. N. Gerasimov. Quan sát và chụp ảnh quá trình bảo vệ nhanh
Trường học ở «Kvant»
Toán 6-10:
50 Tổng các góc
52 Về độ phân giải đa giác và định lý Euler
55 Tổng các góc của một đa giác hình cầu
56 trường học yêu thích bài toán
Xưởng của người nộp đơn
57 A. I. Chernochan. Các kết nối động học trong các bài toán động lực học
63 M. R. Liberzon. Lập thể bài toán với quả bóng
66 phương án thi tuyển sinh
73 Đáp số, gợi ý, lời giải
Pha trộn (25, 36)
bìa của chúng tôi
1 Bức ảnh ghi lại một trong những khoảnh khắc giọt nước rơi xuống nước. Làm thế nào bạn có thể có được một bức ảnh như vậy được mô tả trong phần “Phòng thí nghiệm «Kvant»”.
2 “Cấm sinh sản” - đây là cách mà họa sĩ da trắng René Magritte (1898-1967) gọi bức tranh của mình. Từ quan điểm của quang học hình học, việc “sao chép” như vậy thực sự bị cấm. Gương và mắt “làm việc” theo định luật phản xạ và khúc xạ. Bạn có quen với những nhân chứng này không? “Kính vạn hoa «Kvant»” sẽ giúp bạn tự kiểm tra.
3 trang cờ vua.
4 Câu đố “Nhẫn Rubik”.
© Nhà xuất bản Nuka.
Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1988

2

Khi bài báo này đang chuẩn bị xuất bản thì một trong những tác giả của nó đã qua đời – nhà vật lý lý thuyết nổi tiếng của Đảng Lao động, Ykov Borisovich Zeldovich, qua đời. Ông là một người có tài năng phi thường và sự uyên bác, người đã có những đóng góp to lớn cho nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau. Ông cũng làm rất nhiều việc để giáo dục thế hệ trẻ và tiếp thu kiến ​​thức khoa học.

CÁCH LÝ THUYẾT ĐIỆN TỪ

Viện sĩ Y. V. ZELDOVICH,
Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
M. Yu. KHLOPOV

Điện tích

Ngay từ thời cổ đại, người ta đã biết rằng nếu bạn làm mất một mảnh hổ phách, nó có khả năng hút các vật thể nhỏ. Sự thật buồn cười này đã bị thất lạc giữa những hiện tượng tự nhiên đa dạng mà các nhà tư tưởng cổ đại quan tâm… Sau đó, thuật ngữ “điện” xuất hiện, và vào thế kỷ 18, người ta đã xác định rằng có hai loại vật thể nhiễm điện. Hai vật cùng loại thì đẩy nhau, hai vật khác loại thì hút nhau.

Nhà khoa học người Mỹ B. Frankin (1706-1790), nghiên cứu về điện, đã thu hút sự chú ý đến hiện tượng xuất hiện với ông ở các nước khác. Một quả bóng tích điện đặt bên trong một khối kim loại tích điện không chịu bất kỳ tác dụng nào từ điện tích của khối đó. Frankin đã chia sẻ sự bối rối của mình về điều này với J. Priestley (1733-1804), và ông đồng ý rằng có lẽ thực tế là lực điện tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa các điện tích - hoàn toàn tương tự với định luật vạn vật hấp dẫn của Newton, được biết đến rộng rãi vào thời đó. Đặc biệt, từ định luật này, người ta đã suy ra rằng giới hạn của lực tác dụng từ phía của một quả cầu đồng nhất lên vật nằm bên trong nó bằng 0.

Theo định luật Newton, lực bằng mod etyl hai

Trong nhà xuất bản “Khoa học” trong bộ “Thư viện «Kvant»”, cuốn sách của Y. V. Zeldovich (theo M. Yu. Khlonov) “Vở kịch về ý tưởng trong kiến ​​thức về thiên nhiên” đang được chuẩn bị xuất bản. Bài viết mà chúng tôi cung cấp cho độc giả ngày hôm nay là kết quả công sức của các tác giả trong cuốn sách này.

Điện tích

Ngay từ thời cổ đại, người ta đã biết rằng nếu bạn làm mất một mảnh hổ phách, nó có khả năng hút các vật thể nhỏ. Sự thật buồn cười này đã bị thất lạc giữa những hiện tượng tự nhiên đa dạng mà các nhà tư tưởng cổ đại quan tâm… Sau đó, thuật ngữ “điện” xuất hiện, và vào thế kỷ 18, người ta đã xác định rằng có hai loại vật thể nhiễm điện. Các vật cùng loại đẩy nhau hai vật khác loại - chúng hút nhau.

Nhà khoa học người Mỹ B. Frankin (1706-1790), nghiên cứu về điện, đã thu hút sự chú ý đến hiện tượng xuất hiện với ông ở các nước khác. Một quả bóng tích điện đặt bên trong một khối kim loại tích điện không chịu bất kỳ tác dụng nào từ điện tích của khối đó. Frankin chia sẻ sự bối rối của mình về điều này với J. Priestley (1733-1804), và ông đồng ý rằng có lẽ lực điện này tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa các điện tích - hoàn toàn tương tự với định luật vạn vật hấp dẫn của Newton, được biết đến rộng rãi vào thời đó. Đặc biệt, từ định luật này, người ta suy ra rằng ranh giới của lực tác dụng từ phía của một quả cầu đồng nhất lên một vật, theo đúng nghĩa đen là một ví dụ sinh động về điện

3

dòng điện ba chiều. Nhưng trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta không thường xuyên gặp phải những cơn bão điện như vũ bão. Khi nói đến dòng điện, chúng ta thường nghĩ đến dòng điện trong dây dẫn, mang ánh sáng từ bóng đèn, giọng nói của bạn bè trên điện thoại, các sự kiện thế giới trên TV. Tuy nhiên, trong vật lý, dòng điện “im lặng” của dây xuất hiện muộn hơn nhiều so với dòng điện phóng điện. Các thí nghiệm đầu tiên nghiên cứu dòng điện được thực hiện đặc biệt với sự phóng điện. Trong khi nghiên cứu sự phóng điện của tia sét hoặc bình Leyden - nguyên mẫu của tụ điện hiện đại - Franklin và nhà vật lý người Ý G. Beccaria (1716-1781) đã quan sát thấy tác dụng từ của dòng điện. Các vật bằng sắt đặt cạnh dây dẫn mà dòng điện đi qua bị nhiễm từ. Rõ ràng là các hiện tượng điện và từ có mối liên hệ nào đó.

Sự tương đồng trong hoạt động của các dải nam châm và điện tích là rõ ràng - các cực giống nhau, các điện tích giống nhau, bị đẩy, không giống như các điện tích bị hút. Các phương pháp thí nghiệm do Coulomb phát triển cho phép ông đo lực tương tác giữa hai nam châm. Hóa ra nó tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách; như trong trường hợp lực tương tác điện của hai điện tích, Coulomb đã đưa ra giả thuyết rằng lực từ tỉ lệ với tích của “điện tích từ” của các sọc. Tuy nhiên, có một sự khác biệt giữa điện tích và “điện tích từ” của cực nam châm. Khi cơ thể được nhiễm điện, chúng ta thu được một điện tích cô lập có dấu hiệu xác định được. Và do từ hóa, không thể có được một dải từ riêng biệt - bạn nhất thiết phải có hai cực đối diện cùng một lúc. Một vật thể bị từ hóa không thể có “điện tích” cô lập của một dấu nhất định.

Nhưng sự khác biệt không quá khó hiểu. Truyền thống cơ học Newton quá yếu. Dường như tự nhiên là giữa hai vật nhỏ, mọi lực, bất kể bản chất của chúng, đều tác dụng giống nhau - dọc theo một đường thẳng nối hai vật; và theo khoảng cách thì mọi lực đều giảm như nhau - tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa hai vật. Một nghiên cứu hấp dẫn là nghiên cứu duy nhất trong tất cả các khoảng cách - hấp dẫn, điện, từ. Khi đó sự khác biệt về lực sẽ chỉ xuất hiện ở những nơi khác nhau trong ảnh hưởng của chúng: lực hấp dẫn tỉ lệ với tích của khối lượng cơ thể, lực điện tỉ lệ với điện tích, lực từ tỉ lệ với điện tích từ.

Vào đầu thế kỷ 19, nhờ phát minh ra pin điện của A. Volt (1745-1827), người ta đã có thể nghiên cứu tác dụng của dòng điện một chiều. Thay vì dòng điện phóng điện ngắn hạn, các phòng thí nghiệm nhận được dòng điện liên tục trong dây nối các cực của pin. Trong hai mươi năm, có sẵn dòng điện liên tục, các nhà vật lý đã tìm kiếm cường độ từ của dòng điện. Lực tác dụng theo đường thẳng giữa nam châm và dòng điện.

Benjamin Franklin.

4

Và họ đã không tìm thấy nó. Và vào năm 1820, một bài báo của nhà vật lý người Đan Mạch H. Oersted (1777-1851) đã xuất hiện. Chỉ có vài trang văn bản Latin. Oersted mô tả sự lệch của kim nam châm dưới tác dụng của dòng điện một chiều chạy trong dây thẳng. Lực không tác dụng dọc theo đường thẳng nối dây và nam châm. Lực từ của dòng điện hóa ra không phải là lực đẩy hay lực hút mà là “quay”.

Nghiên cứu của Oersted được tiếp tục và phát triển bởi nhà vật lý và toán học người Pháp A. M. Ampere (1775-1836). Ông đã xây dựng lý thuyết đầu tiên về điện động lực học (thuật ngữ Ampere), được coi là sự tiếp nối công trình của Newton. Nhưng cách mô tả tác dụng ở khoảng cách xa của Newton đã khác xa vết nứt đầu tiên – tính đồng nhất của cách mô tả như vậy đang bị vi phạm. Một thời gian nữa sẽ trôi qua, và chính ý tưởng hành động từ xa sẽ bị bác bỏ trong các tác phẩm của Faraday và Maxwell.

Hướng điện và tiềm năng

Định luật Coulomb xác định lực tương tác giữa các điện tích. Nhưng sự tương tác này diễn ra như thế nào? Người ta có thể nói một cách đơn giản rằng hai điện tích tác dụng lên nhau ở khoảng cách xa theo định luật Coulomb, mà không cần suy nghĩ xem những sợi dây vô hình nào nối các điện tích, những lò xo vô hình nào hút các điện tích khác nhau và giãn nở giống nhau. Đây là điều mà Newton đã làm vào thời của ông, khi nghiên cứu thần học: “Tôi vẫn không thể suy ra lý do cho những đặc tính này của lực hấp dẫn từ hiện tượng này, nhưng tôi sẽ không bịa ra các giả thuyết… Chỉ cần lực hấp dẫn thực sự tồn tại và tác dụng theo những định luật mà chúng ta đã đặt ra là đủ và hoàn toàn đủ để giải thích mọi chuyển động của các thiên thể và biển cả.” Nhưng để đơn giản hóa việc tính toán lực tương tác giữa các vật tích điện không chính xác, hóa ra là thuận tiện, thuần túy về mặt hình thức, việc đưa ra một đặc tính nhất định của không gian xung quanh điện tích - độ định hướng điện $\vec{E}$ - lực tác động lên điện tích

Mặt dây chuyền Charles Augustin.

điện tích quan sát được sẽ tác dụng lên điện tích của đơn vị thử nghiệm được đặt tại một điểm nhất định. Nếu chúng ta đặt một điện tích $q$ vào thời điểm này thì một lực $\vec{F} = q\vec{E}$ sẽ tác dụng lên nó. Cường độ điện trường là một vectơ. Nói chung, nó thay đổi từ điểm này sang điểm khác - cả về giá trị tuyệt đối và hướng.

Chúng ta có thể gán cho mỗi điểm trong không gian xung quanh một nguồn lực điện nhất định (điện tích chính xác, vật tích điện hoặc hệ vật tích điện) một đặc tính khác - điện thế - thế năng tương tác của một điện tích đơn vị thử nghiệm đặt tại điểm này với nguồn lực. Khi di chuyển một điện tích của đơn vị thử nghiệm từ điểm này sang điểm khác, lực điện thực hiện có giá trị tuyệt đối bằng hiệu điện thế của hai điểm. Nếu chúng ta chọn giá trị của điện thế tại một điểm nào đó trong không gian làm điểm bắt đầu của giá trị ngưỡng của điện thế và (điều này là tự nhiên nhất) thì chúng ta đặt giá trị

5

Nếu điện thế trong đó bằng 0, thì bằng cách xác định công của lực điện khi di chuyển một điện tích đơn vị từ điểm này đến bất kỳ điểm nào khác, từ đó chúng ta xác định được điện thế của bất kỳ điểm nào trong không gian.

Có một yếu tố sản xuất trong định nghĩa về tiềm năng. Rốt cuộc, chúng tôi đã không tính toán điện thế tại điểm cắt ban đầu - chúng tôi chỉ đơn giản đặt nó bằng 0. Nếu chúng ta đặt nó bằng 0 và một số giá trị $\varphi_0$, thì điện thế của tất cả các điểm khác trong không gian sẽ thay đổi theo giá trị $\varphi_0$. Hóa ra điện thế được định nghĩa một cách mơ hồ - nó được xác định tùy thuộc vào việc lựa chọn giá trị tiềm năng tại điểm cắt và chúng ta có thể chọn giá trị này theo ý muốn - công của lực điện không phụ thuộc vào nó.

Trong vật lý, cùng với những đại lượng đo được, còn có những đại lượng rất tiện lợi nhưng không thể đo lường được trực tiếp. Những đại lượng này có thể được thay đổi (chuyển đổi) theo cách mà hậu quả vật lý không thay đổi. Ví dụ: các giá trị tọa độ của một điểm $x$, $y$, $z$ phụ thuộc vào việc lựa chọn gốc và cách định hướng các trục tọa độ. Nhưng khoảng cách đo trực tiếp giữa các điểm không phụ thuộc vào việc lựa chọn gốc tọa độ hoặc hướng của trục tọa độ. Một đại lượng thuận tiện không kém, nhưng tùy thuộc vào việc lựa chọn điểm bắt đầu của giá trị giới hạn, là điện thế.

Vì vậy, có hai đặc điểm của không gian xung quanh một vật tích điện. Họ nói về điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta đặt một đơn vị điện tích thử nghiệm vào các điểm khác nhau trong không gian. Một - tính định hướng điện - nói về các lực điện tác dụng lên điện tích này tại các điểm khác nhau trong không gian; cái còn lại - điện thế - nói về thế năng mà một điện tích như vậy sẽ có ở các điểm khác nhau.

Cả hai đặc điểm đều có liên quan với nhau. Mô tả toán học về các đặc tính của lực điện dẫn đến một số kỹ thuật thuận tiện - tính toán lực điện tác dụng lên một điện tích nhất định ở khoảng cách xa, nhưng bằng cách nào đó làm biến đổi không gian xung quanh nó. Hóa ra là thuận tiện khi quy tác dụng của một điện tích nhất định lên các điện tích khác vào một trạng thái không gian đặc biệt bao quanh một điện tích nhất định – điện trường của nó. Điện thế là đặc tính vô hướng của trường này. Điện áp là một đặc tính vector.

Như chúng ta sẽ sớm thấy, điện trường không chỉ là một thiết bị toán học tiện lợi mà còn là một thực tế vật lý.

Ở đây chúng tôi lưu ý những điều sau đây. Có vẻ như điện thế là một giá trị thuận tiện hơn. Việc liên kết một số (điện thế) với mỗi điểm sẽ dễ dàng hơn nhiều so với việc chỉ định vectơ điện áp tại mỗi điểm -

6

ity, tức là ba số (ba hình chiếu của vectơ này). Nhưng trước hết, điện thế phải được xác định với độ chính xác đến một hằng số. Và thứ hai, có những điện trường có thể xác định được điện áp nhưng không xác định được điện thế. Những trường như vậy xuất hiện trong điện động lực học, một nhánh của vật lý nghiên cứu về các điện tích chuyển động. Trường tĩnh điện là trường của các điện tích đứng yên - bạn có thể nhập điện thế tĩnh điện của nó. Mọi người đều sẽ làm vậy, nếu các điện tích đang chuyển động, thì điện thế như vậy sẽ đơn giản thay đổi theo thời gian theo sự lan rộng của các điện tích. Nhưng điện tích dẫn động là dòng điện và dòng điện cũng có tác dụng từ. Và điều này, như chúng ta sẽ thấy sau, cũng có thể dẫn đến hiệu ứng điện. Và tác động cũng sẽ không còn tiềm năng nữa.

Cảm ứng điện từ

Nếu dòng điện có tác dụng từ thì nam châm có thể là nguồn tạo ra dòng điện không? Có thể “nấu từ trường thành điện” được không? Đây là câu hỏi do nhà vật lý người Anh M. Faraday (1791-1867) đặt ra, và việc tìm kiếm đáp số đã đưa ông đến việc phát hiện ra hiện tượng cảm ứng điện từ - sự xuất hiện của dòng điện trong mạch dẫn khi từ thông qua mạch thay đổi.

Nghiên cứu hiện tượng này ở những khía cạnh khác nhau, Faraday đưa ra khái niệm “đường cong từ tính”. “Dưới các đường cong từ của Japanmayu có các đường sức từ, mặc dù bị biến dạng do ở gần các cực; những đường này được vẽ bằng mạt sắt; Các mũi tên từ sẽ nằm tiếp tuyến với chúng,” đây là cách Faraday định nghĩa “các đường cong từ”. Ngày nay chúng ta gọi chúng là đường cảm ứng từ. Ngược lại với truyền thống, Faraday đã đưa ra ý nghĩa vật lý cho khái niệm hình thức

Andre Marie Amner.

trường lực. Những gì thường chỉ được coi là một đặc điểm có điều kiện của không gian, thuận tiện cho việc mô tả khoảng cách, Faraday bắt đầu coi đó là một môi trường vật lý thực sự. “Faraday nhìn thấy trong tâm trí mình những đường lực truyền qua không gian nơi các nhà toán học nhìn thấy các tâm lực uốn cong ở khoảng cách xa. Faraday nhìn thấy một môi trường mà họ không nhìn thấy gì ngoài khoảng cách. Faraday đang tìm kiếm nguồn gốc của hiện tượng trong các quá trình thực tế xảy ra trong môi trường,” J. C. Maxwell (1831–1879) viết ba mươi năm sau trong phần giới thiệu cuốn “Chuyên luận về Điện và Từ” của ông.

Nhưng những thông điệp rõ ràng bằng trực giác của Faraday không thể thuyết phục được những người cùng thời với ông. Tuy nhiên, đây là những kết quả thực nghiệm, những kết quả khác là cách giải thích lý thuyết do Faraday đưa ra. “Tôi tuyên bố rằng tôi khó có thể tưởng tượng được rằng có ai đó có kiến ​​thức thực tế và định lượng về sự phù hợp giữa quan sát và tính toán dựa trên

7

con ngựa hành động ở khoảng cách xa, có thể do dự ít nhất trong giây lát trong việc lựa chọn giữa một mặt là tác dụng đơn giản và chính xác này với một cái gì đó rất không rõ ràng và không xác định, chẳng hạn như các đường lực, mặt khác,” như nhà khoa học nổi tiếng Eri đã viết vào năm 1855. Ý kiến ​​này đã thu hút nhiều sự chú ý từ các nhà vật lý đang tìm cách giải thích các hiện tượng điện từ trên cơ sở các định luật tác dụng ở khoảng cách xa.

Cần phải dịch những thông điệp định tính của Faraday sang ngôn ngữ toán học, sang ngôn ngữ của các phương trình. Và điều này đã được thực hiện bởi Scot J.C. Maxwell vĩ đại.

Điện từ trường

Vì vậy, vào giữa thế kỷ 19, hai cách tiếp cận đối lập nhau để mô tả hiện tượng điện từ đã xuất hiện. Câu hỏi được đặt ra là liệu nam châm hay vật tích điện có tác dụng trực tiếp ở khoảng cách xa hay không hay liệu có một phương tiện nào đó truyền tác dụng của nam châm này (hoặc dây dẫn dòng điện) sang vật khác hay vật tích điện này sang vật khác.

“Khi chúng ta quan sát thấy một vật thể tác động lên một vật thể khác ở khoảng cách xa, thì trước khi chấp nhận rằng hành động này là trực tiếp và gián tiếp, chúng ta thường điều tra xem liệu có bất kỳ mối liên hệ vật chất nào giữa các vật thể đó hay không; và nếu chúng ta thấy rằng các vật thể được kết nối bằng các sợi chỉ, gốc rạ hoặc bất kỳ cơ chế nào có khả năng cung cấp cho chúng ta giải thích về các hành động có thể quan sát được của vật thể này đối với vật thể khác, thì chúng ta thích giải thích các hành động bằng các liên kết trung gian này hơn là thừa nhận khái niệm hành động trực tiếp ở khoảng cách xa.

Vì vậy, khi chúng ta cầm một sợi dây, làm chuông rung, các phần liên tiếp của dây đầu tiên được kéo căng rồi sau đó chuyển động, cho đến khi cuối cùng, chuông reo ở khoảng cách xa do một quá trình trong đó tất cả các phần trung gian của dây lần lượt tham gia.

Chúng ta có thể làm cho chuông rung ở khoảng cách xa theo một cách khác: ví dụ, bằng cách bơm không khí vào một ống dài, ở đầu kia của ống có một hình trụ có pít-tông, chuyển động của ống này được truyền đến chuông. Chúng ta cũng có thể sử dụng một sợi dây, nhưng thay vì giữ nó, chúng ta có thể nối nó ở một đầu với pin điện và đầu kia với nam châm điện, và do đó làm cho chuông kêu bằng điện.

Ở đây chúng tôi đã chỉ ra ba cách khác nhau để rung chuông. Nhưng tất cả các phương pháp này đều có điểm chung là có một đường kết nối liên tục giữa người gọi và chuông và tại mỗi điểm của đường dây này sẽ diễn ra một quá trình vật lý nhất định, kết quả là hành động được truyền từ đầu này sang đầu kia. Quá trình chuyển giao không diễn ra ngay lập tức mà diễn ra dần dần; sao cho sau khi một xung được truyền vào một đầu của đường dây nối, một khoảng thời gian nhất định trôi qua trong đó xung này sẽ truyền đi cho đến khi

8

James Thư ký Maxwell.

sẽ đến được đầu bên kia,” Maxwell viết trong bài báo “Về hành động ở khoảng cách xa”. Và ông còn lưu ý thêm: “Đối với những người không quen thuộc với các tính chất của không khí, việc truyền lực qua môi trường vô hình này sẽ có vẻ khó hiểu như bất kỳ ví dụ nào khác về tác dụng ở khoảng cách xa, tuy nhiên trong trường hợp này chúng ta có thể giải thích toàn bộ quá trình và xác định tốc độ mà tác động được truyền từ phần này sang phần khác của môi trường.

Tại sao chúng ta không thể thừa nhận rằng phương pháp giao tiếp chuyển động quen thuộc chỉ thông qua việc kéo và kéo tay là một ví dụ điển hình và rõ ràng về bất kỳ hành động nào giữa các cơ thể, ngay cả trong những trường hợp khi chúng ta không thể nhận thấy bất cứ điều gì giữa các cơ thể dường như tham gia vào hành động này?

Các công trình của Faraday và Maxwell đã khẳng định tính chất vật lý của trường điện từ. Không gian xung quanh các khoản phí dường như đang chờ đợi. Hóa ra nó ở trạng thái đặc biệt và có những đặc tính đặc biệt. Việc phát hiện ra hiện tượng cảm ứng điện từ khiến người ta có thể tiếp cận những tính chất này. Hiện tượng điện và từ hóa ra thực sự có mối liên hệ với nhau. Nhưng mối liên hệ này chỉ được bộc lộ trong các quy trình không chuẩn, thông qua những thay đổi về đặc tính điện và từ theo thời gian.

Một điện tích đứng yên chỉ được bao quanh bởi một điện trường. Điện tích chuyển động được bao quanh bởi cả điện trường và từ trường. Nếu dòng điện không đổi thì từ trường không đổi. Ngược lại, một trường như vậy chỉ tác dụng lên các điện tích chuyển động – dòng điện. Như vậy, trường dòng điện một chiều chỉ thực hiện tác dụng từ của dòng điện. Đó là một vấn đề khác khi dòng điện xoay chiều. Trong trường hợp này, từ trường cũng biến đổi. Và định luật cảm ứng điện từ xác định tác dụng điện của một trường như vậy - nó (trường) hóa ra là nguồn của điện trường làm di chuyển các điện tích trong dây dẫn, gây ra dòng điện trong dây này.

Vì vậy, điện trường có thể tồn tại bên ngoài sự kết nối trực tiếp với các điện tích - nguồn của nó có thể là từ trường xoay chiều. Điện trường này tác dụng lên điện tích. Điều này có nghĩa là nó có thể được đặc trưng bởi lực tác dụng lên một điện tích thử nghiệm đơn vị, tức là bằng tính định hướng điện. Và lực này sẽ thực hiện công lên một điện tích thử nghiệm chuyển động trong một điện trường như vậy. Nhưng không giống như trường hợp tĩnh điện - trường điện tích đứng yên - trong điện trường của từ trường xoay chiều, công của lực điện phụ thuộc vào đường di chuyển của điện tích thử nghiệm. Trong trường này, công việc theo một vòng khép kín không bằng không. Do đó, không thể liên hệ độ lớn của điện thế với từng điểm trong không gian—công thực hiện để di chuyển một điện tích thử nghiệm đơn vị từ một điểm ban đầu nhất định đến một điểm cho trước. Giá trị này không có ý nghĩa -

(Cuối cùng xem trang 25)

9

GIỚI THIỆU VỀ CÓ THỂ,
MÙA XUÂN
VÀ MÁY CÁN

Tiến sĩ khoa học kỹ thuật
V. A. PRUDKOVSKY

Giả sử rằng bạn đã phải mở lon nhiều lần. Và đôi khi bạn tự hỏi: liệu tấm kim loại dùng để làm chiếc lọ có thể mỏng hơn được không? Sau đó, ví dụ, từ vật liệu làm một lon thiếc, có thể tạo ra hai hoặc thậm chí ba lon. Có chuyện gì vậy? Tại sao các nhà luyện kim không tiết kiệm kim loại? Hãy cố gắng tìm ra nó.

Lon thiếc được làm từ thép tấm mỏng - thiếc. Tấm thiếc được sản xuất bằng cách cán nguội. Phải nói rằng đã hơn 500 năm trôi qua kể từ khi đề cập đáng tin cậy sớm nhất về việc sử dụng cán để làm biến dạng kim loại. Năm 1486, nghệ sĩ, kiến ​​trúc sư, nhà khoa học và kỹ sư vĩ đại Leonardo da Vinci đã mô tả một nhà máy cán để sản xuất các dải vàng và bạc mỏng làm đồ trang sức. Một nhà máy như vậy có hai cuộn trơn có đường kính khoảng 40 mm, được quay bằng tay. Bản chất của quá trình cán về cơ bản không thay đổi kể từ đó (hình 1, a). Một dải kim loại được kéo vào khe hở giữa các con lăn quay theo các hướng khác nhau, độ dày của dải này ($h_0$) lớn hơn kích thước của khe hở này ($S_0$). Dưới tác động của các cuộn, dải trải qua biến dạng dẻo và thay đổi hình dạng và sẽ nhô ra khỏi các cuộn với độ dày dường như bằng kích thước của khoảng cách giữa chúng (đồng thời tăng chiều dài và giữ nguyên chiều rộng $B$). Tuy nhiên, trên thực tế, chỉ có phần kim loại của dải cán ($h_1$) luôn lớn hơn độ nhiễm bẩn giữa các cuộn. Tại sao?

Sự biến dạng của dải sẽ xảy ra do lực tác dụng của các cuộn lên nó. Mỗi cuộn tác dụng lên dải và theo định luật thứ ba của Newton, dải tác dụng lên cuộn với một lực như nhau; gọi là lực cản của vật bị biến dạng hay đơn giản là lực cản của vật bị biến dạng. Dưới tác động của lực này, biến dạng đàn hồi của các cuộn và các bộ phận khác của máy cán xảy ra, khoảng cách thiết lập ban đầu giữa các cuộn tăng lên và độ dày của dải cán tăng lên. Nói cách khác, chúng ta luôn có được độ dày

Hình 1.
2 Lượng tử số 2

10

Mất mát lớn hơn một chút so với khoảng cách ($S_0$) giữa các cuộn. Để giảm sự biến dạng của các cuộn làm việc, các cuộn hỗ trợ (hình 1.6) được sử dụng.

Được rồi, bạn nói, khi đó bạn cần tạo khoảng cách giữa các cuộn nhỏ hơn độ dày yêu cầu của phần cứng và đạt được độ dày cần thiết. Hợp lý! Mặc dù đây chỉ là một cách.

Nhưng nó thực sự đơn giản như vậy? Độ dày của hộp thiếc “bình thường” cứng là 0,2-0,25 mm. Khoảng cách nào nên được lắp đặt giữa các cuộn để có được độ dày tấm này? Khoảng cách nào cần được đặt để có được một tấm có độ dày 0,1 mm?

Trước tiên chúng ta hãy xem nhà máy cán (hình 2) được chế tạo như thế nào. Các con lăn (1), dải biến dạng, không thể xuất hiện trong không khí. Chúng được gắn trên các ổ trục (2) cùng với các cuộn đỡ (3) trong một khung gọi là khung máy cán (4). Khoảng cách cần thiết giữa các cuộn trong quá trình cán được đặt bằng vít, được gọi là vintimi vintimi đẩy (5).

Lực cản biến dạng tác dụng lên các cuộn làm việc từ phía của dải cán gây ra biến dạng đàn hồi không chỉ của các cuộn này mà còn của các cuộn đỡ, cũng như vít chịu áp, vít máy nghiền và các bộ phận khác của máy cán. Trong trường hợp này, máy cán hoạt động giống như một hình tròn, mặc dù không có thiết kế bình thường.

Qua một khóa học vật lý, người ta biết rằng mọi lò xo đều có độ cứng, độ cứng này xác định mức độ biến dạng của nó dưới tác dụng của lực tác dụng. Độ cứng của máy cán phụ thuộc vào điều gì nếu chúng ta xem xét nó?

hoạt động như một chiếc lò xo? Để đơn giản hóa, chúng ta có thể nói rằng (giống như độ cứng của lò xo) nó phụ thuộc vào thiết kế của nó. Ví dụ, máy nghiền có hai cuộn có sự thay đổi đáng kể về độ cứng so với máy nghiền có bốn cuộn, trong đó có hai cuộn hỗ trợ. Ngoài ra còn có các loại máy nghiền cứng hơn, với số lượng cuộn hỗ trợ lớn hơn.

Bây giờ đã rõ: để xác định kích thước của khe hở cần thiết để đạt được độ cứng của một độ dày nhất định, bạn cần biết giá trị độ cứng của máy cán. Làm thế nào để tìm thấy cô ấy? Tất nhiên, có các phương pháp tính toán, nhưng đối với một nhà máy hiện có thì việc thay đổi nó sẽ dễ dàng hơn.

Sử dụng vít áp lực, chúng tôi đặt một số khoảng cách $S_0$ giữa các cuộn phôi. Bây giờ, bằng cách sử dụng thiết bị đệm, mỗi lần chúng ta sẽ tăng khoảng cách này lên giá trị $\Delta S$ và đo lực đàn hồi của máy nghiền bằng đường kính. Ở hình 3, kết quả của một số phép đo được trình bày dưới dạng biểu đồ sự phụ thuộc của lực đàn hồi $F_y$ vào kích thước khe hở giữa các cuộn phôi. Sự phụ thuộc này được mô tả bằng một đường thẳng, vì biến dạng của các bộ phận của máy cán là đàn hồi và định luật Hooke có giá trị.

Tiếp tuyến của góc $\alpha$ đặc trưng cho độ cứng của máy nghiền. Tg $\alpha$ càng lớn thì độ cứng càng lớn. Tất nhiên, lý tưởng nhất là góc $\alpha$ phải có xu hướng $\pi/2$, nhưng… tất cả các vật thể đều bị biến dạng.

Bây giờ hãy xem điều gì xảy ra trong quá trình cán thực sự. Chúng ta đã nói rằng, theo định luật thứ ba của Newton, các cuộn tác dụng lên dải được cuộn với một lực có cùng độ lớn như dải tác dụng lên các cuộn. Chúng ta gọi lực này là lực cản của vật bị biến dạng. Nhưng làm thế nào để tìm thấy độ lớn của nó? Rõ ràng, đối với một máy cán có độ cứng nhất định thì biến dạng đàn hồi của nó sẽ phụ thuộc vào lực cản của dải biến dạng được cán. Nếu các dải nhôm, đồng và thép được cán trên cùng một máy nghiền thì biến dạng đàn hồi của máy nghiền sẽ khác nhau trong từng trường hợp cụ thể. Khi cán nhôm sẽ ít hơn, khi cán đồng sẽ nhiều hơn và khi cán thép sẽ còn nhiều hơn nữa. Tại sao? Chúng ta hãy nhớ lại sơ đồ khoảng cách của kim loại. Sơ đồ cũng được vẽ cho nhôm, đồng và thép. Với sự giúp đỡ của họ, bạn có thể tính toán lực cản biến dạng cho từng kim loại hoặc hợp kim cụ thể. Như vậy, lực này chủ yếu phụ thuộc vào vật liệu của dải cán.

Nhưng khi lăn, điều xảy ra là ở trạng thái cơ bản của kim loại giữa các cuộn chứ không phải khoảng cách. Giả sử rằng chúng ta đã cuộn một dải có độ dày $h_0$ và chiều rộng $B$ theo các giá trị $\Delta h$ và ghi lại lực $F_c$ mà chúng ta cần cho việc này. Ở hình 4, kết quả của một số lần bán sỉ được trình bày dưới dạng biểu đồ lực $F_c$ so với độ dày dải $h$. Sự phụ thuộc này không còn tuyến tính nữa vì xảy ra biến dạng dẻo của dải. Lực $F_c$, theo một số giả định, không gì khác hơn là lực cản của dải bị biến dạng.

Hãy suy nghĩ về cách chúng ta nên hành động

Hình 3.
Hình 4.

12

Tiếp tục uống rượu. Một mặt, dựa trên các thí nghiệm được thực hiện trên máy cán không có dải, chúng tôi nhận thấy độ cứng của máy cán. Mặt khác, dựa trên thí nghiệm cán dải ở dạng cuộn, chúng tôi đã tìm thấy các giá trị về khả năng chống biến dạng của nó. Bây giờ chúng ta có thể trả lời câu hỏi được đặt ra trước đó: nên lắp khoảng cách $S_0$ nào giữa các cuộn để có được độ dày dải bằng $h_1$? Giả sử rằng chúng ta muốn thu được một dải có độ dày $h_1$ trên máy cán, độ cứng của nó được xác định bởi giá trị tg $\alpha$ từ hình 3. Để làm điều này, trước tiên chúng ta phải tìm từ biểu đồ phụ thuộc $F_c(h)$ về khả năng chống biến dạng của dải, tương ứng với việc cán nó từ độ dày $h_0$ đến $h_1$. Tiếp theo, cần đánh đồng lực này với độ đàn hồi của máy nghiền (theo định luật thứ ba của Newton) và xét đến độ cứng của máy nghiền, xác định giá trị khe hở cần thiết $S_0$.

Hình 5 nêu rõ thao tác này được thực hiện như thế nào. Trên hình đồ thị phụ thuộc của $F_y(S)$ và $F_c(h)$ được đưa ra cùng nhau. Từ điểm $A$ đến hình 5, $\delta$ khôi phục đường vuông góc giao điểm với đường cong $L_2$ (điểm $B$). Từ điểm $B$ ta vẽ một đường ngang đến giao điểm với đường vuông góc, khôi phục từ điểm $K$ (hình 5, $a$), khoảng cách tương ứng $S_1$ giữa các cuộn sẽ bằng độ dày của dải $h_1$ ($S_1=h_1$). Qua điểm $D$ của giao điểm của phương ngang $BD$ và phương thẳng đứng $KD$ ta vẽ một đường thẳng $L_1$, song song với $L_0$ và xác định cánh tay của máy cán có độ cứng cho trước tg $\alpha$. Khi đó, điểm $E$ giao điểm của đường thẳng $L_1$ với trục $S$ cho chúng ta giá trị cần thiết $S_0$ cho khoảng cách giữa các cuộn, giá trị này phải được đặt trước khi cán để có được độ dày dải cho trước bằng $h_1$.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng chúng ta cần thu được một dải có độ dày $h_2$ (xem hình 5, $\delta$). Thực hiện lý luận tương tự, chúng ta thấy mình đang ở điểm $E'$, tương ứng với khoảng cách âm giữa các cuộn. Do đó, chúng tôi không thể thực hiện quy trình cán như vậy và máy cán này cho phép, trong giới hạn đạt được độ dày dải tối thiểu có thể, bằng $h_{np}$. Do đó, mỗi máy cán có độ dày dải tối thiểu riêng, tùy thuộc vào tính chất của kim loại cán và kích thước của dải. Không thể có được dải có độ dày nhỏ hơn giới hạn này trên máy nghiền này.

Nếu bạn cần một dải mỏng hơn thì sao?

Nhìn vào hình 5. Bằng cách tăng góc $\alpha$, bạn có thể giảm độ dày dải tối đa có thể. Điều này có nghĩa là cần phải tăng độ cứng của máy nghiền, trước hết là độ cứng của các cuộn, vì tỷ trọng biến dạng của chúng trong biến dạng đàn hồi của toàn bộ máy nghiền là rất lớn. Chúng tôi đã nói điều đó rồi

13

điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng các cuộn hỗ trợ, số lượng trong việc thực hiện các nhà máy lên tới mười tám (chín cho mỗi cuộn công việc).

Như bạn sẽ đồng ý, lon thiếc không phải là sản phẩm chính được làm từ thép dải. Ví dụ, đối với ống hình ảnh của TV màu, cần có một dải thép đặc biệt dày 0,15 mm với độ lệch cho phép so với độ dày này là ±3 mm. Tất nhiên, công nghệ sản xuất dải như vậy khác biệt đáng kể so với công nghệ sản xuất dải công nghệ sản xuất đồ hộp. Máy cán cũng có tầm quan trọng lớn.

Khi chế tạo tụ điện và miếng đệm trong đầu từ cho các thiết bị cỡ nhỏ, cần phải có giấy bạc (băng mỏng nhất) bằng nhôm, tantalum và đồng beryl có độ dày 1-3 micron. Làm thế nào để có được một dải ruy băng như vậy? Cần lưu ý rằng, theo quy luật, nó khá hẹp, chiều rộng 400-600 mm (trong khi dải dành cho lon có chiều rộng 1,5 m). Tất nhiên, đối với dải hẹp hơn, điện trở của dải bị biến dạng sẽ nhỏ hơn đối với dải rộng. Để cuộn một dải hẹp và mỏng như vậy, người ta sử dụng máy cán hai mươi trục rất cứng; việc lăn được thực hiện thành hai cuộn làm việc dài 400–1200 mm, mỗi cuộn nằm trên một đường thẳng của các cuộn đỡ. Nói chung, máy cán tấm được xác định bởi chiều dài của cuộn (chiều rộng dải); vì vậy khi họ nói “mill 1700”, điều này có nghĩa là chiều dài phần làm việc của cuộn là 1700 mm.

Có một cách khác để giảm độ dày dải tối đa có thể. Nó bao gồm sự thay đổi hình dạng của đường cong $L_2$ (xem hình 5, 6), tức là lực cản của vật bị biến dạng giảm đi. Điều này có thể đạt được bằng nhiều cách khác nhau: thay đổi điều kiện ma sát giữa các cuộn và dải bằng cách sử dụng chất bôi trơn, làm căng dải trong khi lăn, giảm chiều rộng của nó, v.v.

Một quá trình xử lý nhiệt nhất định đối với kim loại (ủ) được thực hiện, làm giảm điện trở của vật liệu bị biến dạng, nhân tiện, vật liệu này được sử dụng rộng rãi trong sản xuất băng phim. Tuy nhiên, tất cả các biện pháp liên quan đến việc tăng độ cứng của máy nghiền và giảm sức cản của máy bị biến dạng, theo quy luật, đều liên quan đến chi phí bổ sung. Vì vậy, một dải cho kinesops có giá cao hơn đáng kể so với một dải để sản xuất lon. Giá của những dải ruy băng mỏng nhất của một số kim loại đôi khi đắt hơn 20 lần so với giá vàng có cùng khối lượng. Vì vậy, bạn cần phải suy nghĩ: cái gì có lợi hơn - cán thiếc dày hơn và rẻ hơn hoặc thiếc mỏng hơn và đắt hơn. Rõ ràng, trong từng trường hợp cụ thể, bạn cần sử dụng các khả năng thực tế.

Cách đây không lâu, tại Nhà máy luyện kim Karaganda, một nhà máy mới đã được đưa vào thử nghiệm, có thể sản xuất tấm thiếc có độ dày 0,18 mm. Các tấm hợp kim nhôm mỏng đang bắt đầu được sử dụng làm lon. Khả năng chống biến dạng của nhôm trong quá trình cán thấp hơn so với khi cán. Vì vậy, vấn đề với lon sẽ được giải quyết. Nhưng vấn đề, như chúng tôi đã nói, không chỉ liên quan đến lon, mặc dù đôi khi bạn không thể làm gì nếu không có chúng. Vấn đề là khác nhau. Vấn đề biến dạng dụng cụ trong quá trình tạo hình kim loại là một vấn đề rất nghiêm trọng. Trong trường hợp của chúng tôi, công cụ này là dạng cuộn và cán là một trong những quá trình tạo hình kim loại. Có rất nhiều quy trình như vậy và chúng đang dần thay thế việc cắt kim loại vì chúng tiết kiệm hơn và ít chất thải hơn. Tuy nhiên, độ chính xác về kích thước của sản phẩm trong quá trình xử lý áp suất, đặc biệt ở trạng thái nguội, phụ thuộc đáng kể vào độ cứng của dụng cụ và bản thân các bộ phận xử lý. Nhiệm vụ tăng độ cứng vẫn còn xa lời giải và đang chờ đợi.

14

Toán học và vị trí, nhà vật lý và nhà thơ trữ tình… Không, «Kvant» không có ý định thổi bùng ngọn lửa âm ỉ của cuộc bút chiến này. Ví dụ, chúng tôi tin rằng nguyên lý tự nhiên sâu sắc vốn có trong sự tồn tại của các ngành khoa học toán học sẽ đưa chúng đến gần hơn với cả âm nhạc và vị trí. Minh chứng cho điều này là những bài viết được đăng tải dưới đây. Tác giả của chúng - những nhà toán học nghiên cứu nổi tiếng - đóng một vai trò bất ngờ là “vị trí nhà nghiên cứu”. Bài viết đầu tiên mô tả những tác phẩm bất ngờ nảy sinh từ các tư thế khi họ chuyển sang các chủ đề khoa học trong quá trình sáng tạo của mình. Và phần thứ hai chứng tỏ tính độc đáo của cách tiếp cận toán học hình thức đối với lý thuyết đa dạng hóa. Trong đó, tác giả tìm hiểu cấu trúc của quy tắc xác định độ lớn của phong cách Nga.

HÌNH ẢNH TOÁN HỌC TRONG THƠ

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
M.I BASHMAKOV

14

15

Có nhiều bằng chứng cho thấy nghệ thuật đã truyền cảm hứng cho con người làm khoa học như thế nào. Điều đáng ngạc nhiên hơn là khoa học có thể là nguồn cảm hứng nghệ thuật. Lật qua một tuyển tập thơ về các tư thế của Nga từ đầu thế kỷ này, tôi bắt gặp những mối liên hệ sâu sắc và có lẽ không phải lúc nào cũng có ý thức giữa hình ảnh toán học và tư duy về tư thế.

Đối với bất kỳ người nào, lối vào toán học là khái niệm về con số. Sự kỳ diệu của những con số được phản ánh rộng rãi trong nghệ thuật. Nhưng hãy nghe những dòng sau đây của Nikolai Gumilyov:

Và đối với cuộc sống thấp kém có những con số,
Giống như chăn nuôi,
Bởi vì mọi sắc thái ý nghĩa
Số thông minh truyền tải.

GIỚI THIỆU BÀI THƠ
KÍCH THƯỚC

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
D. V. FUCHS

Xã hội mà đa số người Nga
những bài thơ tuân theo silabotonic
Tôi đang xây dựng. Nói một cách đại khái, điều này có nghĩa là trong
mỗi dòng thơ giữa đồng
các âm tiết được nhấn mạnh ở giữa sẽ nằm ở vị trí
điều tương tự (cố định cho
của bài thơ này) số lượng không nhấn mạnh
âm tiết và trọng âm đầu tiên xuất hiện
cùng một âm tiết theo thứ tự. TRÊN-
Ví dụ, trong những bài thơ được viết bởi nhiều người nhất
vị trí rộng rãi của Nga
thước đo - iambic - mỗi âm tiết chẵn
dòng nên được nhấn mạnh, và lẻ
ny - không căng thẳng:

Anh yêu em, sự sáng tạo của Petra…
Tuy nhiên, thật dễ dàng để nhận thấy rằng chúng ta đã hình thành
Quy định này cần được làm rõ -
I. Hãy thử sử dụng nó chẳng hạn

17

18

đặt dấu trong các dòng tiêu chuẩn của tiếng Nga:

Chú tôi đã rửa sạch những quy tắc trung thực,
Coddá không phải là một trò đùa, chúng tôi biết…

Chúng tôi thấy sự thất bại ở cả hai hướng:
Vinh quang của tôi hoàn toàn không bị căng thẳng, nhưng có hai điều trong số đó trong lời nói.
Nếu chúng ta đọc sâu hơn khi đọc “Eugene Onegin” (hay “Người kỵ sĩ bằng đồng”), chúng ta sẽ thấy rằng những sai lệch so với quy tắc này vẫn không hoàn toàn tùy tiện. Trên thực tế, chỉ có một hạn chế. Để hình thành nó, hãy đặt các âm tiết trong mỗi dòng theo thứ tự. Khi đó, nếu một hoặc nhiều từ của một từ nào đó nhận số chẵn thì trong số các từ đó phải có một âm tiết được nhấn mạnh của từ đó.
Câu “bài thơ được viết bằng iambic” có nghĩa chính xác là điều kiện này được đáp ứng. Như một bài tập, hãy đảm bảo rằng “Eugene Onegin” được viết bằng iambic, nhưng “Vasily Terkin” thì không. (Một độc giả siêng năng đã đi đủ xa trong nghiên cứu về Eugene Onegin có thể thấy bối rối bởi dòng thứ 26 của nó. Anh ta sẽ tìm thấy lời giải thích trong đoạn tiếp theo, mặc dù được viết bằng chữ in nhỏ.)

Xác định kích thước. Chúng tôi quy định rằng văn bản (câu thơ) được đề cập được chia thành các dòng, các dòng được chia thành các từ bao gồm các từ (chúng tôi bỏ qua các từ như “in” hoặc “to”). Các âm tiết trong mỗi dòng được đánh số liên tiếp, bắt đầu từ dòng đầu tiên. Một trong các từ của mỗi từ được nhấn mạnh (đây là âm tiết mà trọng âm rơi vào khi đọc trực tiếp từ đó).

Như mọi khi xảy ra với các tiên đề, tuyên bố này chỉ phản ánh gần đúng thực tế. Thứ nhất, có những từ có hai (hoặc nhiều?) trọng âm: tự khoanh vùng, tuần hoàn kép, v.v. Tuy nhiên, đây là những từ dài, vụng về, hiếm thấy trong thơ. Thứ hai, trong một số từ, chẳng hạn như hoặc, qua một dấu chấm, v.v., trọng âm có thể chuyển sang một âm tiết khác. Điều này thường xảy ra trong thơ ca, một ví dụ là việc nhắc đến dòng thứ 26 trong “Eugene Onegin” - Hoặc họ đã tỏa sáng, độc giả của tôi; Hãy nhớ lại: Qua rừng, Qua biển, thầy phù thủy chở các chàng trai. Sự chuyển trọng âm như vậy cũng có thể xảy ra trong lời nói thông tục - chẳng hạn: “Một dòng sông chảy qua, có rất nhiều khoảng trống xuyên qua nó,” và bạn sẽ nghe thấy rằng trọng âm trong từ rơi vào âm tiết thứ hai. Thứ ba, và cuối cùng, một số nhóm từ, chẳng hạn như “bài tập về nhà” trong cụm từ “Bài tập về nhà”, tạo thành cái gọi là nhóm nhịp điệu nên được đánh đồng với các từ. Để biết chi tiết, xem bài viết của A. N. Kolmogorov và A. V. Prokorov “Mô hình dòng nhịp điệu trong lời nói tiếng Nga, sự thích ứng với việc nghiên cứu các thước đo của stixa cổ điển tiếng Nga” trong tuyển tập “Sáng tác thơ Nga” (M.: Nauka, 1985). Chúng tôi bỏ qua tất cả những bất thường này ở đây, đưa ra quy tắc sau: tất cả các quy tắc được đưa ra dưới đây đều có ngoại lệ, chỉ cần những ngoại lệ này là ít.

Sửa hai số tự nhiên n và k ≤ n rồi đánh dấu vào mỗi dòng các số k, k+n, k+2n, …; những âm tiết này theo định nghĩa được coi là những từ mạnh có kích thước (n, k). Một chuỗi được gọi là có kích thước (n, k) nếu điều kiện sau là đúng:

• Các học giả thơ ca thường gọi tình trạng này là quy tắc cấm mua lại quá mức. Chúng lần đầu tiên được thể hiện rõ ràng bởi nhà văn nổi tiếng R. Jacobson ở những năm hai mươi, sau đó được nghiên cứu và phát triển trong các tác phẩm thơ của A. N. Kolmogorov và các học trò của ông (ví dụ, xem bài báo trích dẫn ở trên).

19

Ví dụ, iambic, đã thảo luận ở trên, là (2,2)-mét.

Một tác phẩm có kích thước (n, k) nếu mỗi dòng có kích thước (n, k). Khi đọc một bài thơ, các âm tiết mạnh được nhấn mạnh với trọng âm ít nhiều rõ rệt. Nhưng chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa: không nên nhầm lẫn, chứ đừng nói đến việc đặt sang một bên, những âm tiết mạnh và nhấn mạnh. Âm tiết mạnh không cần phải nhấn mạnh (âm tiết đầu tiên của từ là từ dòng thứ hai của “Eugene Onegin”), nhưng âm tiết được nhấn mạnh không cần phải mạnh (từ không nằm trong cùng một dòng). Quy tắc được đặt trong khuôn khổ chỉ ra chính xác khi nào một âm tiết mạnh phải được nhấn mạnh, nghĩa là khi một âm tiết có một số nhất định trong một dòng thực sự được nhấn mạnh khi đọc chính xác.

Cụ thể hơn, (n, k)-mét được gọi là kích thước phức tạp với nhịp mạnh thứ k.

Bài tập 1. a) Chứng minh rằng nếu trong một dòng có cỡ (n, k) có một âm tiết mạnh thuộc về một từ có không quá n âm tiết thì âm tiết này được nhấn mạnh. b) Nếu trong một dòng không có từ nào nhiều hơn n âm tiết thì điều kiện của dòng này phụ thuộc vào cỡ (n, k) tương đương với tất cả các âm tiết mạnh đều được nhấn mạnh.

Hãy lưu ý rằng thuật ngữ của chúng tôi không hoàn toàn nhất quán với thuật ngữ được sử dụng trong thơ ca. Đặc biệt, cái mà chúng ta gọi là kích thước thường được gọi là mét, và kích thước cũng bao gồm số lượng âm tiết mạnh trong một dòng, hay như người ta nói, số lượng tiếng rên rỉ. Ví dụ: iambic là mét, và iambic pentameter là mét.

Kích thước cổ điển. Kích thước cổ điển của vị trí tiếng Nga, theo định nghĩa, là kích thước hai âm tiết và ba âm tiết. Vì vậy, kích thước cổ điển là năm. Đây là tên của họ:

| Kích cỡ | Tên | Bản dịch tên (từ tiếng Hy Lạp) |
| :— | :— | :— |
| (2,1) | trochee | Plyazova |
| (2,2) | tiếng Iambic | ?
| (3,1) | Dactyl | Ngón tay * |
| (3,2) | amphibrachium | Gấp đôi** |
| (3,3) | Anapaest | Đảo ngược *** |

Chúng ta tìm thấy ví dụ về ba trong số năm nhịp cổ điển trong các bài thơ trong sách giáo khoa của Pushkin:
tiếng Iambic:

Tôi nhớ một khoảnh khắc tuyệt vời…
Một lời cuối cùng…
Đó là khoảng thời gian buồn, rất tập trung…

*) Ngón tay có ba đốt: đốt thứ nhất dài, hai đốt còn lại ngắn.
**) Nhịp mạnh được bao quanh bởi hai nhịp phiến (ngắn).
***) Chia sẻ ngược.

Trochee:
Cơn bão phấn bao phủ…
Nhà vua và nhà vua ngủ quên…
Tôi sẽ bước đi trên thế giới này bao lâu…

Lưỡng cư:
Tôi đang ngồi sau song sắt trong một ngục tối ẩm ướt…
Caucasus ở phía dưới tôi. Một cái ở trên…
Oleg vĩnh cửu bị bẩn như thế nào…

Lermontov sẽ giúp chúng tôi với dactyl:
Tukini thiên đường, những trang vĩnh cửu…

Và ở Nekrasov, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy các ví dụ về tất cả các kích cỡ ba âm tiết:
Dactyl:
Trên đời có một vị vua, vị vua này rất tàn nhẫn…
Mazai không dành một ngày mà không đi săn…

Lưỡng cư:
Savraska uvaya trong nửa đống tuyết…
Có những người đổi tiền ở các ngôi làng ở Nga…

Anapaest:
Hãy đi đến Volda, tiếng rên rỉ của nó vang vọng…
Tại sao bạn lại nhìn đường…

Kích thước nào tốt hơn? Nếu bạn hỏi một người bạn: “Bạn đã đăng ký tạp chí «Kvant» chưa?” (nhân tiện, việc này có thể được thực hiện ngay bây giờ), khi đó, rất có thể, bạn sẽ nhấn mạnh vào các từ “đã đăng ký” và «Kvant», không nhấn mạnh các từ “bạn”, “trên” và “tạp chí”. Tổng cộng, 2 trọng âm trên 9 âm tiết. Tôi nghĩ đây là tiêu chuẩn cho lời nói thông tục: một trọng âm cho 4-5 âm tiết. Nếu bạn đang trả lời một bài học hoặc đọc một bài phát biểu từ một tờ giấy thì sẽ có nhiều điểm nhấn hơn (hiện tượng này được mô tả bằng từ “lầm bầm”). Khi bạn đọc thơ “có diễn cảm”, bạn sẽ càng bị căng thẳng hơn: khoảng một phần ba tổng số từ sẽ bị căng thẳng. Hoàn cảnh này đã khiến một số nhà phê bình ở nửa sau thế kỷ trước kết luận rằng các mét thích hợp nhất để chuyển ngữ tiếng Nga là các mét ba âm tiết.

Thật vậy, mét ba âm tiết chiếm một vị trí quan trọng trong sự sáng tạo của các tư thế vào thời điểm này, chủ yếu bởi Nekrasov và vòng tròn của ông. Nhưng một điều khác cũng đúng. Pushkin hầu như không bao giờ sử dụng thể thơ ba âm tiết: 80% thơ của ông được viết bằng iambic, 15% bằng trochee, và rất ít thơ ở thể thơ ba âm tiết, và hầu hết là những bài thơ nhại, epigram, v.v. (Công bằng mà nói, phải nói rằng trong số ít bài thơ của Pushkin viết bằng thể thơ ba âm tiết, có một số bài rất nổi tiếng; ngoài những bài kể trên, bạn có thể gọi Ring out, những kỹ năng quan trọng… Tôi thấy thật điên rồ, trên một khăn choàng đen… và những thứ khác bằng neokoryble Nhân tiện, trong số các mét ba âm tiết, Pushkin là một đại diện rõ ràng.

21

Hãy bắt đầu với $n=1$. Rõ ràng, bất kỳ văn bản nào cũng phải tuân theo (1,1)-mét: tất cả các âm tiết đều mạnh. Đọc những bài thơ như vậy có nghĩa là tụng kinh (shai-bu-shai-bu!). Những bài thơ thuộc loại này tồn tại, ví dụ: No-eat-nebet-men-shoi-sy-nok (Nekrasov), Ko-siko-ca-no-ka-ro-ca (Tvardovsky). Nhưng chúng rất hiếm.

Các kích thước có $n>3$ thú vị hơn, đặc biệt là với $n=4$ và 5.

Sự kết hợp của các kích cỡ. Trước khi chuyển sang chúng, chúng ta hãy tự hỏi: liệu cùng một chuỗi có thể chịu được hai kích cỡ khác nhau không? Định nghĩa của chúng tôi không loại trừ khả năng này. Ví dụ: một dòng chỉ bao gồm các từ đơn âm tiết, có kích thước bất kỳ.

Quy tắc 2. a) Chứng minh rằng dòng phụ thuộc cả iambic và trochee đều bao gồm các từ đơn âm tiết. 6) Chứng minh rằng một chuỗi 9 từ phụ thuộc vào hai mét ba âm tiết khác nhau có ít nhất 6 từ.

Về mặt thực tế, điều này có nghĩa là không thể kết hợp các mét hai âm tiết khác nhau, cũng như các mét ba âm tiết khác nhau. Có vẻ như việc kết hợp đồng hồ hai âm tiết với đồng hồ ba âm tiết sẽ dễ dàng hơn, mặc dù trong trường hợp này có những hạn chế về độ dài của từ.

Quy tắc 3. Chứng minh rằng nếu một dòng phụ thuộc cả trochee và dactyl thì âm tiết thứ 4 là một phần của từ đơn âm tiết hoặc từ có ít nhất 4 từ.

Nabokov đưa ra một ví dụ về một dòng phụ thuộc vào iambic và amphibrach: Bí ẩn và siêu phàm. Nhưng một dòng chưa phải là một bài thơ. Hơn nữa, những âm tiết mạnh của mét hai âm tiết và ba âm tiết kết hợp trong một bài thơ sẽ hoàn toàn khác, và bài thơ này (nếu có) có thể được đọc theo hai cách hoàn toàn khác nhau. Có thể nói rằng bạn sẽ không tìm thấy một bài thơ như vậy trong bất kỳ tuyển tập tích cực nào.

Một điều nữa là sự kết hợp giữa mét hai âm tiết và mét bốn âm tiết, và lý do là 4 chia hết cho 2. Ví dụ, điều gì để một dòng có chủ đề iambic cũng phải tuân theo, chẳng hạn như (4,2)-mét? Điều cần thiết là trong một từ có nhiều hơn một âm tiết chẵn, trọng âm rơi vào một âm tiết có số không chia hết cho 4. Loại bỏ chữ “không” cuối cùng và bạn nhận được điều kiện của iambic (4,4)-mét. Vì có thể không có nhiều từ chứa nhiều từ có bốn âm tiết trong một bài thơ, điều kiện trình bày này

22

có vẻ khá khả thi. Ví dụ, lưu ý rằng trong số 14 dòng của dòng đầu tiên của “Eugene Onegin”, 13 dòng tuân theo mét (4,4) và 7 dòng tuân theo mét (4,2). Ngược lại, cần phải làm gì để một chuỗi phụ thuộc vào (4,2)-mét tuân theo iambic? Điều cần thiết là trong những từ không chứa những từ mạnh có nhịp (4,2) mà chứa (khi đó là âm tiết chẵn) thì âm tiết này phải xa. (Ví dụ: nếu âm tiết thứ 3 và thứ 4 của một dòng như vậy tạo thành một từ, thì trong từ này, trọng âm sẽ rơi vào âm tiết thứ 4 chứ không phải âm tiết thứ 3.) Và điều này có vẻ khá khả thi.

Kích thước bốn âm tiết. Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang xem xét của họ. Mỗi mét bốn âm tiết, chúng ta sẽ gán một mét hai âm tiết phù hợp với nó: đối với mét (4,1) và (4,3), mét, theo định nghĩa, được coi là mét ba, đối với mét (4,2) và (4,4) - iambic. Hơn nữa, nếu một dòng tuân theo vận luật bốn âm tiết, chúng ta sẽ nói vận luật của nó là một vận luật bốn âm tiết không độc lập nếu nó cũng tuân theo vận luật hai âm tiết liên hợp, và ngược lại là một vận luật độc lập.

Hãy bắt đầu với đồng hồ bốn âm tiết độc lập. Tôi phải thừa nhận rằng tôi không biết bất kỳ ví dụ thuyết phục nào về thơ Nga phụ thuộc vào vận luật bốn âm tiết độc lập. Có lẽ là không có - người ta có thể đi đến kết luận như vậy bằng cách đọc bài báo “Những bài hát Nga” của nhà thơ L. E. Lyapina trong tuyển tập “Sự đa dạng tiếng Nga” đã được trích dẫn. (Hoa mẫu đơn là tên khoa học của mét bốn âm tiết, và mét năm âm tiết được gọi một cách khoa học là penton.) Tại sao lại như vậy? Để tìm kiếm đáp số, chúng ta hãy thử xây dựng một chuỗi tuân theo một mét bốn âm tiết độc lập:

Tôi đã viết bốn mươi bài báo trên tạp chí «Kvant». Đường này tuân theo (4,3)-mét, nhưng không tuân theo trochee. Đọc nó gây ra những khó khăn rõ ràng: trọng âm trong từ bốn mươi và nhật ký của mỗi trạm không đúng chỗ. Có chuyện gì vậy? Thực tế là, như đã nói, khoảng một phần ba số từ trong một bài thơ cần được nhấn mạnh; Vì vậy, những từ mạnh mẽ vẫn chưa đạt được và ít nhất phải tăng thêm trọng âm yếu cho chúng. Vì lý do chính trị, những trọng âm này muốn được đặt ở giữa khoảng giữa các âm tiết mạnh, và điều này có nghĩa là kích thước bốn âm tiết có xu hướng phụ thuộc.

Đồng hồ bốn âm tiết không độc lập là một hiện tượng rất phổ biến. Nếu bạn nghi ngờ sự tồn tại của nó (cũng như các nhà thơ neokoto - các cuộc bút chiến với họ là nội dung chính của bài viết trên của L. E. Lyapina), hãy hỏi bất kỳ sinh viên nào của trường âm nhạc - và anh ta sẽ nói với bạn rằng nhịp bốn âm tiết được tìm thấy rất thường xuyên trong âm nhạc, đặc biệt là trong các bài hát:

Có phải tôi đang ở trên cánh đồng chứ không phải là một ngọn cỏ…
Ôi tôi yêu những con bò nhỏ của tôi biết bao…
(tất cả đây là một mét không độc lập (4.3); nó, giống như nhịp ba nhịp, rất đặc trưng của bài hát Nga). Nếu điều này không thuyết phục được bạn, hãy xem qua Pushkin. Đây là một mẫu nhịp (4,2) từ những bài thơ thời trẻ của ông:

Trong lò nướng Helikon
Tôi đã từng cởi quần áo;
Nhân danh Apollo
Được đặt tên là Tibullus…

Đối với tôi, bài “Con đường mùa đông” nổi tiếng của Pushkin (Trên con đường buồn tẻ mùa đông…) dường như cũng được viết bằng vần bốn âm tiết; tuy nhiên, nhà soạn nhạc Sviridov đề nghị đọc những câu thơ này dưới dạng hai âm tiết.

Hơn nữa, thông thường (người ta có thể nói, như một quy luật), chỉ một phần của bài thơ phụ thuộc vào nhịp bốn âm tiết, và việc chuyển từ nhịp bốn âm tiết sang nhịp một âm tiết rồi quay lại có thể là điều không thể chịu đựng được hoặc mang tính tượng hình. Có thể dễ dàng nhận thấy điều này, chẳng hạn như trong tư thế “Ai sống tốt ở Rus” của Nekrasov (kích thước không độc lập (4.2)).

Kích thước năm âm tiết. Vì đồng hồ năm âm tiết chỉ có thể độc lập. Tìm nó ở đâu? Có vẻ như những câu thơ thậm chí còn lôi cuốn và du dương hơn những bài hát và ca từ tiếng Nga của Nekrasov. có lẽ truyện dân gian sẽ phù hợp? Và chính xác, nhiều dòng lệ thuộc vào nhịp điệu năm âm tiết:

Ồ, dobi esi, nấm mốc ngon quá…
hoặc
Đó không phải là chồng với vợ, đó không phải là anh em với em gái - Một loại nấm mốc với thiếu nữ đỏng đảnh.
Một nhịp điệu năm âm tiết nhất quán hơn (mặc dù cũng không phải là không có sự lạc đề) có thể được tìm thấy trong các bản nhái theo phong cách câu chuyện, chẳng hạn như các câu ghép được viết bởi những người thợ chuyên nghiệp, chẳng hạn như trong “Merchant Kalashnikov” của Lermontov:

Chúng ta đã cùng nhau và sẵn sàng như thế nào
Máy bay chiến đấu dũng cảm của Moscow

23

Đến dòng sông Moscow, đến tiếng hú của nắm đấm…
Và nhà vua đến cùng đoàn tùy tùng của mình,
Với các boyar và lính canh…
Nhân tiện, tất cả điều này đều có kích thước (5.3).

Mọi thứ dường như đã rõ ràng. Nhưng hãy để tôi cho bạn một ví dụ hoàn toàn khác. Vào năm cuối đời, Gumilyov đã viết tư thế “Rồng”, bao gồm 12 phần, mỗi phần 5 câu. Tôi sẽ đưa ra đầy đủ phần đầu tiên mô tả cảnh mặt trời mọc trên bờ biển và bạn sẽ xác định kích thước.

Vì những làn sóng trong lành của đại dương
Con bò đực đỏ đã nuôi sống gia đình.
Và con nai của sương mù trắng xóa
Dưới bờ gấp.

Bên dưới bờ gấp,
Trong bóng tối ồn ào ẩm ướt
khoai lang bạc
Họ định cư trên rêu.

Con bò đỏ thay đổi khuôn mặt
Ở đây tôi dang rộng đôi cánh của mình,
Và một con chim khổng lồ bay lên,
Nuốt chửng không gian.

Và với kẻ thù của thần tượng màu xanh
Theo ba bầu trời rộng mở
Anh ta bước ra, một tay bắn súng và một người chơi đàn lia,
Nắm giữ chìa khóa của những bí mật và phép lạ.

Thổi gió để sóng hát
Vì vậy, trong rừng họ ăn thân cây,
Thổi gió vào ống khói của hẻm núi,
Hát ca ngợi anh.

Đáp số: (5,3)-kích thước.

Thật vậy, giả sử rằng bài thơ đã cho tuân theo (n, k)-mét. Trong tất cả 20 dòng, âm tiết thứ 3 và thứ 8 được nhấn mạnh (theo cách nói riêng của chúng). Có 7 dòng trong đó từ chứa âm tiết thứ 3 có nhiều hơn 3 âm tiết. Điều này có nghĩa là âm tiết thứ 3 mạnh hoặc n ≥5. Điều tương tự cũng đúng với âm tiết thứ 8. Hơn nữa, âm tiết thứ 3 và thứ 8 đồng thời chỉ mạnh ở kích thước năm âm tiết. Dễ dàng kiểm tra xem bài thơ có thực sự tuân theo mét (5,3) và không tuân theo các mét năm âm tiết khác hay không. Chúng tôi loại trừ các kích thước có n>5 khỏi việc xem xét (xem bên dưới).

Để thuyết phục, tôi sẽ thêm rằng trong số 20 dòng của chúng ta, 5 dòng tuân theo kích thước (3,3), 3 tuân theo kích thước (4,1), 1 tuân theo kích thước (4,4), tất cả 20 tuân theo kích thước (5,3), 10 tuân theo kích thước (5,5) (đây là chi phí cho định nghĩa của chúng ta, xem trang 18) và không có dòng nào tuân theo bất kỳ kích thước (n, k) nào khác với n, không lớn hơn 5. Một cỗ máy sẽ cung cấp cho chúng ta những thông tin như vậy nếu chúng ta nhờ đến sự trợ giúp của nó.

Nhưng đâu là giai điệu du dương lôi cuốn của “Thương nhân Kalashnikov” trong “Rồng”? Lý do chính cho sự vắng mặt của nó là ở hầu hết mọi dòng của “Rồng”, ngoài trọng âm chính ở âm tiết thứ 3 và thứ 8, còn có một sự xóa bỏ bổ sung khá rõ ràng ở âm tiết thứ 6. Những nhấn mạnh khác có thể được tìm thấy trong các bài thơ khác của Gumilyov, được viết bằng năm âm tiết, cũng như trong Akhmatova và Tsvetaeva. Theo một nghĩa nào đó, ở đây người ta cũng có thể nói về sự thiếu độc lập của nhịp điệu (năm âm tiết), nhưng không thể làm rõ ý nghĩa này nếu vẫn ở trong khuôn khổ của lực lượng thực vật học.

Ví dụ, những bài thơ của Tsvetaeva rất khó tiếp cận với định nghĩa về vận luật đã được đưa ra ở đầu bài viết mà chúng ta luôn sử dụng. Nhiều bài thơ của cô được viết bằng nhịp riêng với số cấp số cộng cố định nhưng không phải của các âm tiết mạnh, chẳng hạn như 3, 6, 8, như trong bài thơ.

Thịt Ony đi tới polchi:
Giờ của các nhà sư và những chú chim canh gác,
Giờ của những kẻ âm mưu - và những chàng trai trẻ,
Giờ của tình yêu và giết chóc.*)

*) Những kích thước như vậy được gọi là các khối không mặt.

24

Bốn, năm, tiếp theo là gì? Tiếp theo - 6. Có mét sáu âm tiết không? Có lẽ. Vì vậy, mặc dù với một chút tự nhiên, người ta có thể gọi kích thước sáu âm tiết của các vị trí riêng lẻ trong “Thương gia Kalashnikov”:

Họ chôn ông ấy bên kia sông Moscow…
Giữa Tula, Ryazan, Vladimir…

Nhưng số 6 có quá nhiều ước số, và nhịp sáu âm tiết rất có thể sẽ chia thành hai hoặc ba âm tiết (các dòng trên cũng không ngoại lệ). Hầu như bất kỳ bài thơ nào viết bằng thể thơ ba âm tiết sẽ phụ thuộc vào thể thơ sáu âm tiết, nhưng điều này không ảnh hưởng đến âm thanh của câu thơ.

Nói chung, nói về (n, k)-mét với n lớn, trước tiên, cần lưu ý rằng các âm tiết mạnh cách nhau rất xa khó có khả năng tạo ra một nhịp điệu nhất định của câu thơ, và thứ hai, hãy tính đến hoàn cảnh số học thuần túy sau đây.

Bài tập 4. Gọi m là số từ trong dòng. a) Nếu n ≥k>m thì xâu hoàn toàn tuân theo kích thước (n, k) (không có từ mạnh - so sánh với trường hợp n=k=1, tr. 21). 6) Nếu k<m<k+n thì điều kiện phụ thuộc vào cỡ (n, k) không phụ thuộc vào n và tính chất của âm tiết thứ k bị loại bỏ.

Vì vậy, nên giả định (điều này có thể được thêm vào định nghĩa của chúng tôi) rằng số từ trong các dòng của một bài thơ phụ thuộc vào kích thước (n, k) (ít nhất là trong hầu hết các dòng) không nhỏ hơn k+n. (Ví dụ, thật vô nghĩa khi tìm kiếm các chiều (5,5) trong “Dragon” của Gumilyov - xem trang 23.)

Trong thực tế, tất cả điều này có nghĩa là không có kích thước (n, k) nào có n lớn hơn 5, vì vậy chúng ta có thể kết thúc cuộc trò chuyện của mình. Ngoài biên giới của nó, có rất nhiều sai lệch so với giáo trình vốn rất giàu đời sống của người Nga. Nhưng những lạc đề này cũng nằm ngoài phạm vi tiếp cận số học của chúng ta đối với các vận luật thơ.

Bài tập 5. Xác định độ lớn của các bài thơ sau:

a) Bây giờ bạn sẽ phải ném một đoạn iambic.
Ngày nay lông vũ của chúng ta là lưỡi lê và răng của một cái nĩa,
Các bit được nuốt lại tập trung hơn “Poltava”
Và tình yêu còn lớn hơn tình yêu của Onegin.
(Mayakovsky)

6. Tôi mơ bắt được những cái bóng lướt qua,
   Những bóng tối trôi qua trong ngày đã cho,
   Tôi leo lên tòa tháp, và những bậc thang run rẩy,
   Và những bậc thang rung chuyển dưới mũi tôi.
   (Balmont)

25

Lễ hội tháng Ba

Ba bức ảnh này được chụp cùng lúc hoặc những ván trượt này được đặt cạnh nhau. Nhưng hãy nhìn xem chúng khác nhau thế nào! Một cái nhẹ, nhô lên trên tuyết xung quanh, giống như đường ray. Người còn lại, tối tăm, bị chôn vùi trong tuyết. Và cái thứ ba, được cày một nửa, hoàn toàn khác thường: những rìa băng mỏng, rõ ràng, như thể lơ lửng trong không trung, giống như một “cây cầu pha lê” trên lớp tuyết bẩn…

Điều gì giải thích cho sự đa dạng của các loại dấu vết sai lầm như vậy? Chúng tôi mời bạn suy nghĩ về điều này và kỷ niệm những ngày lễ tháng Ba. Và trong một trong những số tiếp theo của tạp chí, tác giả của bức ảnh, Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học A. V. Mitrofanov, sẽ chia sẻ những thông điệp của mình về chủ đề này.

Con đường của lý thuyết điện từ

(Xem phần đầu ở trang 2)

Xét cho cùng, công phụ thuộc vào đường chuyển động của điện tích. Điện trường được tạo ra bởi cảm ứng điện từ không thể được đặc trưng bởi điện thế. Lĩnh vực này không có tiềm năng.

Để kết luận, chúng ta lưu ý ý nghĩa cơ bản của thực tế là nguồn điện trường là từ trường xoay chiều chứ không phải từ trường không đổi.

Trên thực tế, nếu từ trường không đổi là nguồn của điện trường thì có thể xuất hiện một “máy chuyển động vĩnh viễn”. Trong các dây dẫn đặt trong một trường như vậy, trong trường hợp này sẽ có một dòng điện chạy qua, từ đó sẽ tạo ra một từ trường, từ đó sẽ tạo ra

sẽ có dòng điện trong các dây dẫn mới, v.v. Kết quả là, một sợi dây có dòng điện sẽ trở thành một nguồn năng lượng vô tận. Do đó, việc một từ trường không đổi không có tác dụng điện nhất thiết phải xuất phát từ sự tất yếu của “chuyển động không ngừng”.

Lý thuyết của Maxwell không chỉ thống nhất những kiến ​​thức khoa học khác nhau về các hiện tượng điện và từ được tích lũy từ giữa thế kỷ 19. Trên cơ sở đó, lý thuyết về ánh sáng như bức xạ điện từ đã được phát triển và lý thuyết về sóng điện từ được xây dựng. Từ các phương trình của Maxwell đã nảy sinh ra thuyết tương đối và kết hợp với vật lý lượng tử - vật lý nguyên tử, lý thuyết siêu dẫn và điện động lực học lượng tử.

Mầm mống của lý thuyết điện từ của Maxwell đã phát triển thành một cây hùng mạnh của vật lý cơ bản hiện đại.

3 Lượng tử số 2

26

Bài toán

M1086—M1090, F1098—F1102

M1086. Với một số, được phép thực hiện hai thao tác: “tăng 2 lần” và “tăng 1”. Hỏi số nhỏ nhất tính từ số 0 là bao nhiêu: a) số 100? b) số n?

M1087. Khoảng cách là tam giác ABC, điểm M trong mặt phẳng của tam giác này và các hình chiếu A₁, B₁, C₁ của điểm M lên các độ cao lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng a) tồn tại một và chỉ một điểm M sao cho các đoạn AA₁, BB₁ và CC₁ bằng nhau;
b) với điểm M như vậy, độ dài các đoạn AA₁, BB₁, CC₁ bằng đường kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

A. Kh. Jafarov

M1088. Chứng minh rằng nếu các số p, q, r là số hữu tỉ và pq+qr+pr=1 thì (1+p²)(1+q²)(1+r²) là bình phương của một số hữu tỉ.

Istvan Varga (Romania)

M1089. Trong tứ giác lồi ABCD có diện tích S, các đường chéo cắt nhau tại điểm O. Gọi K, L, M, N là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác AOB, BOC, COD và DOA. Chứng minh rằng tích chu vi của tứ giác ABCD và KLMN không nhỏ hơn 4S.

D. Yu. Burago, F. L. Nazarov

M1090. Chứng minh rằng a) với mọi số dương a, b và c thì trên đó đúng là không có địa chỉ của bạn (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xét nghiệm lời giải).

Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán đề xuất xuất bản được ghi trong một phong bì riêng gồm hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề Quata”, bài toán mới trong vật lý hoặc “… mới bài toán trong toán học”).

Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết mã số trường và lớp mà bạn là giáo viên.

F1098. Một khẩu súng lục của trẻ em, có thể được coi là một vũ khí có khối lượng hữu hạn gắn vào một bức tường cố định, bắn một quả bóng, tạo cho nó vận tốc v. Nếu bạn bắn một quả bóng có khối lượng gấp đôi nó, tốc độ của nó sẽ là v√2/3. Vận tốc của một quả bóng có khối lượng gấp ba lần nó là bao nhiêu?

P. I. Zubkov

F1099. Có hai pít-tông (hình 1) trong một ống cố định nằm ngang với mặt cắt ngang S mở ở hai đầu. Ở trạng thái ban đầu, piston bên trái được nối với một bức tường cố định bằng một lò xo không biến dạng có độ cứng k. Áp suất khí p₀ giữa các piston bằng áp suất bên ngoài, khoảng cách H từ piston bên phải đến mép ống bằng khoảng cách giữa các piston. Piston bên phải được kéo từ từ về phía mép ống. Lực nào phải tác dụng lên piston để giữ nó ở vị trí cực đại? Nhu cầu buổi sáng ít, nhiệt độ không đổi.

V. P. Borodin

27

Chúng tôi đã xuất bản các bài toán về cuộc thi của Kvant hàng tháng kể từ số đầu tiên của tạp chí của chúng tôi. Đây là những vấn đề không chuẩn, nhưng cách giải của chúng không đòi hỏi thông tin nào nằm ngoài phạm vi giáo trình trung học của Liên Xô. Những bài toán khó hơn được đánh dấu sao (*). Sau khi trình bày vấn đề, chúng ta thường chỉ ra ai đã đề xuất vấn đề đó cho chúng ta. Không cần phải nói cũng biết rằng không phải tất cả những vấn đề này đều là những ấn phẩm đầu tiên. Giải pháp cho vấn đề này (bằng tiếng Nga hoặc tiếng Anh) có thể được đăng không muộn hơn ngày 1 tháng 5 năm 1988, tới địa chỉ sau: Liên Xô, Moscow, 103006. Moscow K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant».

Please send the solutions of physics and mathematics problems, as well as problems from different issues, under separate

F1100. Một ống có chiều dài vừa đủ, được ngâm trong bình có nước, được bịt kín từ phía trên. Trong trường hợp này, mức chất lỏng trong mao mạch là $\Delta h=4$ cm. Độ ẩm tương đối của không khí trên bề mặt nước trong bình là bao nhiêu nếu nhiệt độ không khí xung quanh là $20^{\circ}\text{C}$?

L. G. Markovich

F1101. Một thanh ngang nhẹ có chiều dài $2a$ có thể quay tự do quanh một trục thẳng đứng đi qua điểm giữa của nó. Những quả bóng lớn giống hệt nhau được gắn trên một thanh và có thể di chuyển dọc theo thanh mà không bị ma sát và phản xạ đàn hồi từ các điểm dừng ở hai đầu của thanh (hình 2). Đầu tiên, các quả bóng được cố định ở khoảng cách $a/2$ tính từ trục. Thanh được quay đến vận tốc góc $\omega_0$, sau đó các quả bóng được thả ra đồng thời. Những quả bóng sẽ di chuyển theo quỹ đạo nào? Sẽ mất bao lâu để thanh quay quay hết một vòng? Xây dựng đồ thị phụ thuộc $\omega(t)$. Kích thước của quả bóng nhỏ hơn nhiều so với chiều dài của thanh.

A. Yu. Alekseev

F1102. Một chùm tia laze chiếu tới một tấm phẳng song song có đục lỗ, một bề mặt của tấm này được sơn để có thể tán xạ ánh sáng theo mọi hướng. Hình ảnh sau đây hiển thị trên tấm: một chấm sáng ở trung tâm, một vòng tròn tối có đường viền rõ ràng và một quầng sáng xung quanh nó. Giải thích hiện tượng đó.

A. M. Shalazin

Problems

M1086—M1090, P1098—P1102

M1086. Two operations may be carried out with numbers: doubling and adding 1. In what least number of these operations can the number 0 be transformed into the number a) 100? b) n?

M. V. Sapir

M1087. The point $M$ in the plane of triangle $ABC$ is perpendicularly projected to the points $A_1, B_1, C_1$ of the altitudes drawn from the vertices $A, B, C$ respectively. Prove that

a) there exists one and only one point $M$ for which the line segments $AA_1, BB_1, CC_1$ are equal;

b) the lengths of the segments $AA_1, BB_1, CC_1$ for such a point $M$ equal that of the diameter of the incircle of ABC.

A. H. Djafarov

M1088. Prove that if $p, q, r$ are rational numbers and $pq+qr+pr=1$, then $(1+p^2)(1+q^2)(1+r^2)$ is the square of a rational number.

Ishtvan Varga (Rumania)

M1089. In the convex quadrilateral $ABCD$ of area $S$ the diagonals intersect at the point $O$. Suppose $K, L, M, N$ are the centres of the incircles of triangles $AOB, BOC, COD, DOA$. Prove that the product of the perimeters of $ABCD$ and $KLMN$ is no less than $4S$.

D. Yu. Burago, F. L. Nazarov

29

rằng từ chúng có thể chọn được ba điểm, khoảng cách theo cặp giữa chúng được xây dựng bằng 1.

Sử dụng hình 1, ta thấy tam giác ABC là tam giác vuông có các đỉnh A, B và C. Các cạnh AB và AC bằng nhau và góc ACB bằng 90 độ.

M1067. Chứng minh rằng với các số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ thì ta có bất đẳng thức

$$\frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} + \frac{z}{1-z^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Hãy chứng minh điều đó

$$\frac{t}{1-t^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2} t^2$$

với tất cả $t, 0 \leq t < 1$. Trên khoảng này bất đẳng thức (*) tương đương với bất đẳng thức

$$f(t) = \frac{3\sqrt{3}}{2} t(1-t^2) \leq 1,$$

điều này được chứng minh bằng cách sử dụng một nghiên cứu tiêu chuẩn về hàm $f(t)$. (Đạo hàm $f'(t) = \frac{3\sqrt{3}}{2}(1-3t^2)$ có nghiệm duy nhất $t = 1/\sqrt{3}$ trên [0; 1] và $f(0) = f(1) = 0 < f(1/\sqrt{3}) = 1$. Do đó $1/\sqrt{3}$ là điểm cực đại của $f(t)$ trên [0; 1].).

Nhờ dấu (*), vế trái chứng minh bất đẳng thức bất đẳng thức, hơn

$$\frac{3\sqrt{3}}{2}(x^2 + y^2 + z^2) = \frac{3\sqrt{3}}{2};$$

sự bình đẳng chỉ đạt được ở mức $x = y = z = 1/\sqrt{3}$.

V. E. Matizen

M1068. Cho góc AOB (A và B là các điểm trên hai cạnh của góc). Vẽ đường thẳng l đi qua đỉnh O sao cho

bài toán này có hình học gọn gàng lời giải với cách diễn giải bất ngờ bằng ngôn ngữ số phức. Nhưng trước tiên, hãy đưa ra điều đơn giản nhất - lượng giác lời giải.

Lưu ý rằng các mặt phẳng đang xét không thay đổi

31

= KB cos α · BL sin α, nhưng KB · BL = BQ₁² = OA² và OA² sin α = AC = CO = 2S₀OAC.

Tất cả các cấu trúc trụ cột này được kết nối như thế nào? Số phức giúp tìm ra lời giải thích. (Ở đây chúng tôi dựa vào việc độc giả đã quen thuộc với các số phức và cách giải thích hình học của chúng.) Giả sử các điểm O, A và B được gán các số 0, a và b. Chúng ta sẽ xác định đường thẳng mong muốn l theo điểm z của nó, |z|=1 (hình 6). Vì 2OC = |a/z + a/ē|, 2AC = |a/z - ē/ē|, diện tích S_AOC = |a²/z² - ē²/ē²|/8 và tương tự S_BOD = |b²/z² - ē²/ē²|/8. Các số nằm dưới dấu mẫu trong hai đẳng thức cuối đều là cực tiểu nên đẳng thức S_AOC = S_BOD tương đương với điều kiện ē²/ē² - ē²/ē² ± (b²/z² - b²/ē²), hoặc (b²±a²)/z² = (b²±a²)/ē².

Điều này có nghĩa là z² = ±t(b²±a²), trong đó t là một số thực dương nào đó, tức là z₁,₂ = r√b²±a² và z₃,₄ = ir√b²±a², trong đó r = 1/|√b²±a²|. Các số b¹+a² và b²−a² lần lượt xác định đường thẳng chứa đường trung tuyến của tam giác OAB₁ và đường thẳng song song với AB₁ từ cách dựng đầu tiên (xem hình 2); căn bậc hai đã biết được trả lời bằng cách vẽ bisectrix của các góc AOM và AOM’. Công thức thứ hai (xem hình 4, 5) thu được nếu chúng ta phân tích các biểu thức căn thức: b²−a² = (b−a)(b+a), b²+a² = (b−ia)(b+ia). Các số b±a và ba±ia là các điểm P₁, P₂, Q₁ và Q₂, đồng thời trung bình hình học √uv của hai số u và v chỉ định bisectrix của góc giữa các vectơ u và v. Ví dụ: z₁ = r√b²+a² nằm trên bicsectrix của góc Q₁OQ₂.

R. O. Burdin, V. N. Dubrovsky

M1069. Một số thành phố chỉ cho phép ghép đôi khối lượng hình vuông (nếu hai gia đình đổi hình vuông thì họ không tham gia trao đổi hình vuông khác trong cùng một ngày). Chứng minh rằng mọi khối lượng phức tạp có bình phương của nhiều họ đều có thể hoàn thành trong hai ngày. (Giả định cả trước và sau mỗi lần trao đổi, gia đình đều sống ở một ô riêng).

Hình 5.

Hình 6.

Hình 1.

Hãy biểu diễn mỗi hình vuông như một điểm trên mặt phẳng và di chuyển từ hình vuông này sang hình vuông khác dưới dạng một mũi tên nối các điểm tương ứng. Rõ ràng là tại bất kỳ thời điểm nào cũng có một mũi tên bắt đầu và một mũi tên kết thúc. Do đó, nếu chúng ta rời khỏi bất kỳ đỉnh nào và di chuyển dọc theo các mũi tên, chúng ta sẽ luôn chạm tới các điểm mới cho đến khi quay trở lại điểm đầu của đường đi (điều này là không thể tránh khỏi, vì số điểm là hữu hạn). Hãy làm tương tự bắt đầu từ các điểm khác. Chúng ta sẽ thấy rằng tất cả các mũi tên tạo thành một số bánh xe kín không giao nhau - chu trình (hình 1). Vì vậy, chỉ cần chứng minh khẳng định bài toán cho bình phương “trao đổi tuần hoàn” là đủ.

Giả sử chúng ta cần thực hiện trao đổi A₁→A₂→…→Aₙ→A₁ - để chuyển các đối tượng thuê của hình vuông A₁ thành hình vuông A₂, A₂ - thành A₃, v.v. Vào ngày đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện các trao đổi theo cặp A₁↔A₁−1, A₂↔A₁−2, …, tức là A₁↔A₁−k (chúng tôi giả định rằng A₀=A₁); các cư dân của hình vuông Aₙ và thậm chí n, Aₙ/2, vẫn chưa di chuyển. Vào ngày thứ hai - trao đổi A₁↔Aₙ, A₂↔A₁−1, …, tức là A₁↔A₁−k. Do đó, cư dân của hình vuông Aₙ sẽ chuyển sang hình vuông Aₙ+1−(n−k)=Aₙ+1 với k=1, …, n−1 và từ hình vuông Aₙ đến Aₙ+1−n=A₁, đó là những gì chúng ta cần. Sơ đồ trao đổi này được minh họa rõ ràng bởi hình 2. Nếu

32

F1078. Một con đường dài có tải ở cuối được ném qua một khối và buộc vào mũi của một chiếc thuyền mô hình có thể trôi dọc theo một kênh dài thẳng với nước (hình 1). Thuyền và tải được thả ra, và tốc độ của thuyền (tính bằng cm/s) được ghi lại dưới dạng giây song công. Thật không may, chỉ có phần cuối của mục này được lưu: 5, 65; 6, 44; 6, 96; 7, 31; 7, 54; 7, 70; 7, 80; 7, 86; 7, 91. Sử dụng số liệu này, hãy xác định vận tốc của thuyền sau khi thả 0,1 giây.

Hình 2.

A1, …, An là các đỉnh của n-giác đều tâm O, khi đó dãy hoán vị đầu tiên tương ứng với phép đối xứng qua trục OAn, dãy thứ hai tương ứng với phép đối xứng qua trục OM, trong đó M là trung điểm của cạnh AnA1. Không khó để chứng minh rằng thành phần (thực hiện tuần tự) của hai trục tương đối đối xứng cắt nhau tại điểm O một góc α là phép quay quanh O một góc 2α; trong trường hợp của chúng ta ở góc 2π/n. Trong trường hợp này, các đỉnh của đa giác được sắp xếp lại theo một chu trình.

N. N. Konstantinov, A. I. Shirelman

Khi một vật thể thuôn di chuyển với tốc độ thấp trong chất lỏng, một lực cản sẽ xuất hiện tỷ lệ thuận với tốc độ của vật thể này. Nếu khối lượng của thuyền và tải trọng bằng M và m tương ứng thì tốc độ của thuyền tại thời điểm cho trước là v và gia tốc của nó là a thì (theo định luật II Newton) phương trình chuyển động của thuyền có dạng:

(M+m)a=mg-Av, (*)

trong đó A là hằng số nhất định đặc trưng cho lực cản.

Phương trình () mô tả chuyển động có gia tốc thay đổi. Để tìm sự phụ thuộc của tốc độ vào thời gian, nói chung cần phải diễn giải (). Tuy nhiên, ta cần tìm vận tốc của thuyền chỉ sau một thời gian ngắn kể từ khi nó bắt đầu chuyển động. Trong trường hợp này, sự đóng góp của số hạng thứ hai ở vế phải của phương trình () có thể bị bỏ qua và chúng ta có thể giả sử rằng con thuyền đang chuyển động với gia tốc ban đầu a0 nào đó. Bản thân phương trình chuyển động được xem xét về cách sử dụng dữ liệu bài toán cho lời giải của nó. Sự phụ thuộc của gia tốc a vào tốc độ v là phương trình của đường thẳng có tọa độ a, v. Do đó, ngoại suy () về các giá trị v→0, ta thu được gia tốc ban đầu a0.

Để xây dựng sự phụ thuộc a(v), gia tốc vận tốc tại mỗi khoảng thời gian 1 s có thể được coi là bằng gia tốc. Tốc độ chuyển động ở mỗi khoảng thời gian được chỉ định có thể được lấy làm giá trị trung bình của nó. Sự phụ thuộc a(v) thu được theo cách này là

a (cm/s²) 0,79 0,52 0,35 0,23 0,16 0,1 0,06 0,05
v (cm/s) 6,04 6,71 7,14 7,42 7,62 7,75 7,83 7,88

• hiển thị trên hình 2 (đường liền nét). Gia tốc ban đầu a0, thu được từ đồ thị ở v→0, là ~3,5 cm/s².

Vậy sau 0,1 s kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc của thuyền xấp xỉ 0,35 cm/s.

A. A. Sheronov

34

$$T = \frac{V}{v} = \frac{1 + R_{\text{ш}} / R_{\text{x}} + R_{\text{ш}} / R_{\text{r}}}{p_{\text{x}} / R_{\text{x}} + p_{\text{r}} / R_{\text{r}}} = \frac{t_1 t_3}{t_1 + t_3} \left( \frac{t_2}{t_1} + \frac{t_4}{t_3} - 1 \right) = 10.8 \text{ min.}$$

V. E. Skorovarov

F1080. Tuy nhiên, bình có thành mỏng liên tục được bơm ra ngoài bằng máy bơm, do có vết nứt nhỏ trên thành bình nên áp suất không đổi $p_y = 0.001$ mmHg được thiết lập trong đó. Nghệ thuật. Bên ngoài, áp suất khí quyển bình thường là $p_0 = 760$ mmHg. Nghệ thuật, độ ẩm không khí tương đối $\varphi = 80\%$. Tìm áp suất hơi nước trong bình. Áp suất hơi bão hòa của nước ở nhiệt độ nhất định là $p_n = 17.5$ mmHg. Nghệ thuật.

Hãy xét chế độ Đứng yên, khi áp suất của hơi nước và không khí khô trong bình không thay đổi theo thời gian. Chúng ta hãy biểu thị áp suất ở trạng thái ổn định của hơi nước trong bình bằng $p_{y\pi}$ và bằng $p_{yB}$ áp suất ở trạng thái ổn định của không khí khô. Áp suất ổn định của không khí ẩm trong bình $p_y$ bằng tổng của các áp suất riêng phần này:

$$p_y = p_{y\pi} + p_{yB}.$$

(1)

Vì nhiệt độ không khí không thay đổi nên điều kiện duy trì áp suất cho từng thành phần đòi hỏi số lượng phân tử của mỗi khí (hơi hoặc không khí khô) đi vào bình trong một đơn vị thời gian bằng số lượng phân tử khí rời khỏi bình trong cùng một thời gian. Số lượng phân tử khí đi qua một vết nứt nhỏ tỷ lệ thuận với tích số nồng độ của chúng và tốc độ chuyển động nhiệt trung bình của các phân tử khí này. Đổi lại, đây là tích của nhiễu loạn áp suất tỷ lệ chia cho $\sqrt{\mu}$, trong đó $\mu$ là khối lượng mol của khí. Số lượng phân tử khí được đưa vào bình trong một đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với áp suất của khí này trong bình. Do đó, bỏ qua các phân tử rời khỏi bình qua vết nứt vi mô ($p_y \ll p_H \frac{\varphi}{100}$), đối với các phân tử hơi nước và không khí khô, chúng ta có thể viết:

$$\frac{p_{0\pi}}{\sqrt{\mu_{\pi}}} \sim p_{y\pi}, \frac{p_{0B}}{\sqrt{\mu_{\beta}}} \sim p_{yB}.$$

(2)

Thay $p_{yB}$ từ (2) vào (1), ta tìm được áp suất ổn định của hơi nước trong bình:

$$p_{y\pi} = \frac{p_y}{1 + \frac{p_{0B}}{p_{0\pi}} \sqrt{\frac{\mu_{\pi}}{\mu_{\beta}}}} = \frac{p_y}{1 + \sqrt{\frac{\mu_{\pi}}{p_{0}} - \frac{p_H \varphi}{100}}} \approx \frac{\varphi p_H p_y}{100 p_0} \sqrt{\frac{\mu_{\beta}}{\mu_{\pi}}} \approx 2.34 \cdot 10^{-5} \text{ мм рт. ст.}$$

V. V. Mozhaev

35

F1081. Để làm sạch không khí khỏi bụi, trong điều kiện bình thường lắng xuống rất chậm, bạn có thể lợi dụng thực tế là bụi đã bị ô nhiễm.
Trong thí nghiệm đầu tiên, một hình trụ thủy tinh (hình 1) chứa không khí bụi được đặt trong một điện trường $E_1=1\times 10^4$ V/m, hướng dọc theo trục hình trụ. Sau thời gian $t_1=2$ phút, toàn bộ bụi có trong xi lanh lắng xuống đáy. Trong thí nghiệm thứ hai, một sợi dây mỏng được kéo dọc theo trục của hình trụ và nối với nguồn điện áp cao. Được biết, trong trường hợp này điện áp trường là $E \sim 1/r$, trong đó $r$ là khoảng cách đến trục. Điện áp nguồn được chọn sao cho điện áp điện trường trên thành trụ, như trong thí nghiệm đầu tiên, là $1 \cdot 10^4$ V/m. Giả sử các hạt bụi giống hệt nhau và điện tích của các hạt bụi bằng nhau, hãy xác định thời gian để tất cả bụi lắng xuống thành ống trụ trong thí nghiệm thứ hai. Có rất ít bụi trong không khí nên có thể bỏ qua thể tích điện tích.

F1082. Trong mạch điện ở hình 1, các công tắc K đóng. Tìm cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây. Tìm điện áp cực đại tại

36

tụ điện $C_1$. Sự không hoàn chỉnh của các phần tử mạch có thể được chuyển đổi.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

$$\frac{LI^2_{\max}}{2} + \frac{C_1 U_0^2}{2} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \frac{U_0^2}{2} + A_1.$$

Điện tích chạy qua pin bằng độ thay đổi điện tích trên tụ điện $C_1$, và

$$A_1 = \Delta q \cdot U_0 = \left( C_1 U_0 - \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U_0 \right) U_0.$$

Như vậy,

$$I_{\max} = \frac{C_1 U_0}{\sqrt{L(C_1 + C_2)}}.$$

Câu hỏi thứ hai phức tạp hơn một chút. Tổng điện áp trên tụ điện bằng điện áp pin và không đổi. Do đó, tại thời điểm điện áp $U_1$ trên tụ $C_1$ là cực đại thì điện áp $U_2 = U_0 - U_1$ trên tụ $C_2$ phải nhỏ nhất (và âm), có nghĩa là tại thời điểm này dòng điện qua cuộn dây phải bằng 0 (hình 3). Hãy viết lại định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{C_1 U_1^2}{2} + \frac{C_2 (U_0 - U_1)^2}{2} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \frac{U_0^2}{2} + A_2,$$

Ở đâu

$$A_2 = \left( C_1 U_1 - \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U_0 \right) U_0.$$

Từ đây tìm được giá trị điện áp cực đại trên mỗi tụ điện $C_1$:

$$U_{1\max} = U_0 \left( 1 + \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right).$$

A.R. Zilberman

Vấn đề nghiên cứu

Phép biến đổi bậc nhị thức

Chứng minh rằng với $n$ lẻ thì hiệu $(x + y)^n - x^n - y^n$ được biểu diễn dưới dạng đa thức $P_n(u, v)$ của hai biến $v = x^2 y + y^2 x$, $u = x^2 + y^2 + xy$. (Đối với một số $n$ các đa thức này được liệt kê trong bảng. Lưu ý rằng $P_n$ chỉ có khoảng $n/6$ hệ số khác 0 và tất cả chúng đều dương.) Suy ra sự tương ứng giữa các hệ số của đa thức, cho phép bạn tính thứ tự tuần tự của chúng; Chúng tôi sẽ hiển thị một sự tương ứng như vậy bằng cách sử dụng ví dụ lấy từ bảng: $196 = 2 \cdot 133 - 85 + 15$.

Cố gắng tìm các mẫu khác thỏa mãn các hệ số của đa

các thành viên. Sẽ rất thú vị khi tìm thấy các cách biểu diễn tương tự cho số chẵn $n$, cũng như cho các đa thức có số lượng biến lớn.

Cửa Farrai, Budapest

37

Nhiệm vụ

1. Trang lịch bị che một phần bởi trang trước (xem hình). Phần nào của nó nên mở hoặc đóng?

2. Một số đã lập phương số nguyên $A$. Chứng minh rằng ít nhất một trong các số $A^3-A$ hoặc $A^3+A$ chia hết cho 10.

3. Tại sao chim thêu lông trong thời tiết lạnh?

4. Một số có ba chữ số bắt đầu bằng số 7. Từ đó, các số có ba chữ số khác có được bằng cách di chuyển số này đến cuối số. Số kết quả nhỏ hơn số trước 117. Bạn đang nhìn vào số mấy?

5. Viết các số 1, 2, …, 9 vào các ô (mỗi ô một lần) sao cho tích lớn nhất.

Những nhiệm vụ này được giao cho chúng tôi bởi: A. M. Domashenko, G. A. Galperin, A. P. Savin, N. K. Antonovich, L. P. Motsalov.

37

38

VỀ LỢI ÍCH CỦA TOÁN HỌC
DÀNH CHO CÁC chàng cao bồi

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. S. YARSKY

Bill đến gặp ông Cohn ngay sau bữa trưa. Vào thời điểm này, mặt trời ở Texas biến tất cả pho mát Texas thành pho mát chế biến, toàn bộ nước Texas thành nước đun sôi và khiến tất cả người dân Texas mơ về một cái chết nhanh chóng và ít đau đớn hơn.

Khi nhiệt độ của Bill giảm xuống dưới nhiệt độ sôi của sắt và toàn bộ băng trong nhà đã khô hẳn, Bill cuối cùng cũng có thể phát âm được những từ:

• Ông thấy đấy, ông Cohn, tất cả là vì Stenili này! Có thể nói tôi và anh ấy là bạn bè. Và cho đến gần đây họ chỉ tranh cãi một lần.

• Thế nào rồi? - Ông Cohn đã cố gắng hết sức để tỉnh táo.

“Ông thấy đấy, ông Cohn, Stanily đang đi đâu đó để làm giàu, ở Natchez - đây là nơi cưỡi ngựa trên sông Hồng. Tôi đã đến đó và nói với ông ấy:

“Có lẽ sẽ phải đi bảy ngày trên lưng ngựa.”

“Ừ,” Stenili nói, “còn Baton Rouge thì sao?”

“Một ngày,” tôi nói.

– Còn Lafayette thì sao?

– Khoảng bốn ngày. Và con đường không hề dễ dàng.

• Và cho đến khi… - và sau đó anh ta kể tên một thị trấn khác - bao lâu?

“Tôi chưa đến đó,” tôi nói, “nhưng tôi nghĩ khoảng mười hoặc mười hai ngày.”

“Bill, anh biết đấy,” Stanily nói, “tất cả bốn thành phố này đều nằm như thể có trật tự - ở trên cùng của đường hình chữ nhật.”

• Thế thì sao? - tôi nói.

• Nếu không thì! - Stenili trả lời. “Tôi biết nó còn bao xa…” ở đây anh lại đặt tên cho thị trấn đó.

“Cái gì,” tôi nói với anh ấy, “anh có ở đó không?”

“Không,” anh ấy nói, “tôi không hề.”

• Thế làm sao anh biết được?

“Tôi biết,” anh ấy nói, “phải mất khoảng tám ngày để đến đó!”

Vâng, từng lời một, thưa ông Cohn, tôi đã lấy chiếc cốc của mình ra và… đúng tám ngày sau, tôi thấy mình ở thị trấn này, nếu tôi chưa bao giờ gặp lại anh ấy. Và tám ngày sau, Stenili giải thích với tôi rằng có một loại “định lý” nào đó…*). Hoá ra lẽ ra tôi có thể đến Sông Hồng để làm điều này.

“Stenily của bạn là một cậu bé thông minh!” sức nóng dường như đã giảm bớt một chút và ông Cohn đã vui lên một chút.

“Mặc dù anh ấy không ngu ngốc,” Bill cười khúc khích khó chịu.

Và vì vậy, ông Cohn, cách đây vài ngày, Stanili này đến gặp tôi, bắt đầu nói về thời tiết, về giá gia súc, rồi ông ấy nói:

“Nghe này, Bill, anh có nghĩ rằng có một con ngựa trong khu vực của chúng tôi mà anh không thể xử lý được, nhưng nó sẽ đi theo ý tôi không?”

Không ngần ngại, tôi nói với anh ấy:

“Chà, Stenili, trên một con ngựa như vậy, và cứ như vậy, tôi sẽ giúp bạn đến nghĩa trang gần nhất.”

Và anh ấy một lần nữa cho riêng mình:

*) Nếu ABCD là hình chữ nhật và S là một điểm tùy ý thì SA2 + SC2 = SB2 + SD2.

39

“Đối với tôi, Bill, dường như có một con ngựa như vậy.”

“Được rồi,” tôi nói, “tôi cá mười ăn một rằng không có con ngựa nào như vậy cả.” Hãy đưa đô la của bạn ra và đừng lừa tôi.

“Hãy dành thời gian, Bill,” anh ấy nói, “và chuẩn bị sẵn mười đô la.” Đáp số ở cuối. Nhìn!

Sau đó, anh ấy lấy cuốn sổ mà tôi đang theo dõi, mở nó ra một trang trống và viết:

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a-c}{b-d}.$$

Tôi, ông Cohn, hỏi ông ấy:

• Nghe này, Stanley, tại sao anh lại bắt đầu đếm từ mười - ở đây bên phải, trong ngoặc đơn?

“Đây là khoản nợ của bạn với tôi,” anh ấy nói, “nó nên ghi vào đâu nếu không có trong sổ cái?”

“Anh đang vội,” tôi bảo anh. “Đúng là đã lâu rồi tôi không đến trường, nhưng con ngựa số mười của cậu bị què cả bốn chân.” Và bạn sẽ nhận được mười phần mười của tôi không sớm hơn khi con vật này bước được ít nhất một bước.

“Nó sẽ thực hiện bước này,” Stanley nói và viết:

$$\frac{8}{2} - \frac{9}{3} = \frac{8-9}{2-3}.$$

“Kiểm tra,” anh ấy nói, “hóa đơn được xuất trình và rút ra…

Hãy nói cho tôi biết, ông Cohn, ông đã bao giờ thấy một người nào làm trò ngu và ngay lập tức thừa nhận điều đó chưa? Bạn đã thấy mười đô la không cần thiết chưa?…

“Nghe này, Stanley,” tôi nói, “tôi cá với anh thêm mười lần nữa rằng việc thiến của anh sẽ không tiến thêm bước nào nữa!”

“Bỏ nó ra,” anh ấy nói, “và đây là biên nhận của bạn:

$$\frac{5}{3} - \frac{9}{9} = \frac{5-9}{3-9} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}.$$

Việc thua hai cuộc đua liên tiếp chưa bao giờ xảy ra với tôi trước đây, ông Cohn. Nhưng sau đó tôi nhớ lại thỏa thuận của mình với Stanley và quyết định rằng vẫn chưa mất tất cả.

“Nghe này, Stanley,” tôi nói với anh ấy, “con ngựa này chỉ có thể đi, tôi không tranh cãi.” Nhưng bạn đã nói rằng tôi sẽ không thể đến kịp. Tôi cá với bạn hai mươi so với hai mươi của bạn, rằng chiếc Mustang này cũng sẽ phù hợp với tôi.

“Được chấp nhận,” Stanley trả lời.

Vì vậy, ông Cohn, tôi cũng thua cuộc đua này… Ông, ông Cohn, ở trường của ông và trong một tuần không thể kiếm được nhiều như thằng nhãi Stanley kiếm được trong vài giờ… Và quan trọng nhất, tôi không thể hiểu con ngựa què là loại quỷ gì, tức là tôi muốn nói - công thức sai sẽ cho kết quả đúng đáp số? Đây chính xác là những gì tôi đến với bạn!…

---

• Khoa học đòi hỏi sự hy sinh! - ông Cohn nói. - Và bạn, Billy, là một trong những nạn nhân này!… Trước hết, ai đã nói với bạn rằng công thức sai không thể cho kết quả đúng? Vô nghĩa! Hơn nữa, kẻ nói dối lớn nhất trên thế giới có thể nói sự thật!.. Thứ hai, trong khi bạn ở đây thổi hết cuộc đua này đến cuộc đua khác, tôi đã tìm thấy bóng dáng xấu hổ của bạn. Hãy nhìn vào công thức

$$\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \left( 2 - \frac{b}{d} \right).$$

Việc tôi đến đó bằng cách nào không quan trọng. Điều quan trọng là đây là cùng một công thức (10). Tất nhiên là có phần biến đổi. Billy, bạn có thể lấy bất kỳ b và d nào, tính a và c từ chúng - và thế là xong! Đơn giản và không rắc rối
(Về phần kết xem trang 42)

40

Kaleidokon, Klim

Tôi muốn tin rằng những
người thích tìm hiểu nguyên nhân của các hiện tượng…
sẽ tìm thấy sự hài lòng trong
làm quen với nhiều thứ khác nhau
đây là những suy nghĩ về bản thân tôi…

H. Guilens.
“Chuyên luận về ánh sáng”

1. Tại sao bong bóng xuất hiện trong nước?

2. Có thể thắp lửa bằng băng không?

3. Tại sao một người nhìn kém ngay cả trong nước sạch?

4. Một nhà thủy sinh đang bơi dưới nước được một con cá trên bờ nhìn thấy, và một người đánh cá chỉ có thể nhìn thấy một nhà thủy sinh trong một số trường hợp hiếm hoi. Tại sao?

5. Đặc tính nào của một chất chưa biết phải được xác định để tìm ra tốc độ ánh sáng trong đó?

6. Một người đến gần một gương phẳng với vận tốc 2 m/s. Anh ta đang tiếp cận hình ảnh của mình với tốc độ bao nhiêu?

7. Xây dựng một hình ảnh phẳng của một người -
   le trong trường hợp hiển thị ở hình.

8. Điều gì giải thích sự tỏa sáng của đá quý?

9. Tại sao bạn không thể nhìn thấy các ngôi sao vào ban ngày?

10. Có bao nhiêu hình ảnh của điểm A (xem hình)

41

7. Chùm tia chiếu khó nhìn thấy trong sương mù, nhưng tệ hơn khi thời tiết lạnh. Tại sao?

…những phép đo rất chính xác về sự khúc xạ ánh sáng trong các môi trường khác nhau được thực hiện bởi Ptolemy Claus (140 AD). Tuy nhiên, ông không thể thiết lập sự tương ứng giữa các nút giả và các nút khúc xạ.

…phản xạ toàn phần trong tinh thể đơn tinh thể tự nhiên hoàn hảo hơn phản xạ từ gương kim loại được chế tạo đặc biệt, hai hệ thống toàn diện sẽ tạo ra một vị trí nhất định bằng năng lượng của chùm tia cung cấp.

… vôi đậu nành, và không chỉ trong giới khoa học, Nuyuton trong suốt cuộc đời của ông được đánh dấu nhiều nhất bởi nghiên cứu quang học đậu nành, và công trình e20 khác thường nhất là “Otika”, trong nhiều thập kỷ vẫn là nguồn năng lượng cho chính nó và trong quang học, một điều gì đó mới mẻ và thú vị.

Sự phản xạ và khúc xạ

Những khái niệm này, thoạt nhìn rất đơn giản, nhưng lại là những biểu diễn sâu sắc và toàn diện của một trong những nhánh quan trọng nhất của vật lý—quang học. Có một số lĩnh vực trong vật lý mà ngay từ khi bắt đầu phát triển, chỉ có những kết quả khoa học quan trọng mới đạt được và vẫn giữ được ý nghĩa cho đến ngày nay. Đó là lý do tại sao nghiên cứu về quang học có ảnh hưởng rất lớn đến sự hình thành các nhánh khác của khoa học tự nhiên, buộc các nguyên lý cơ bản của vật lý cổ điển phải thay đổi và đóng vai trò quan trọng trong sự xuất hiện của thuyết tương đối và thuyết lượng tử. Chúng tôi hy vọng rằng số phát hành hiện tại của “Kaeidoscon” sẽ giúp bạn có cái nhìn khác về một số hiện tượng và thiết bị quen thuộc, chẳng hạn như đường thẳng hoặc fortaparat, và có thể nó sẽ khuyến khích bạn suy nghĩ về cơ chế thị giác của con người - nói chung, nó sẽ giúp bạn khám phá những điều mới mẻ và thú vị trong quang học.

về giới hạn và khúc xạ (xuất bản những năm gần đây)

1. “Trang trại lý trí” - 1984, số 1, tr. 36;
2. “Các trường hợp và sự tiếp tục của trang trại” - 1984, số 8;
3. “Một số thí nghiệm với obezhem” - 1984, số 11;
4. “Cầu vồng là gì” - 1984, số 12, tr. 20;
5. “Tia và Sóng” - 1985, số 11, tr. 23;
6. “Thiết bị Ottoshche” - 1986, số 10;
7. “Điều gì sẽ xảy ra nếu…” - 1986, số 12.
8. “Có lần Jacques the Zoulova đã làm vỡ một chiếc đèn lồng…” - 1987, số 12.

42

kho bạc! Ví dụ? Vui lòng. Kể tên hai số bất kỳ. Hai và bảy? Tuyệt vời. Chúng tôi lấy $b=2$, $d=7$ và tính toán:

$$\frac{a}{c} = \frac{2}{7} \left( 2 - \frac{2}{7} \right) = \frac{2}{7} \cdot \frac{12}{7} = \frac{24}{49}.$$

Bây giờ lấy $a=24$, $c=49$ hoặc $a=48$, $c=98$… Kiểm tra:

$$\frac{24}{2} - \frac{49}{7} = \frac{24-49}{2-7};$$

$$\frac{48}{2} - \frac{98}{7} = \frac{49-98}{2-7}.$$

Nhân tiện, có thể gấp đôi, gấp ba hoặc thậm chí gấp bốn cả mẫu số hoặc tử số:

$$\frac{24}{6} - \frac{49}{21} = \frac{24-49}{6-21}.$$

Ông Cohn đã dịch bản dux một cách hài lòng. Bill cẩn thận xem lại những gì mình đã viết và tóm tắt:

• Hai mươi từ giấc ngủ. Tôi không thể giành lại tất cả những điều này nữa!
• Nói thế thôi! - Ông Cohn phẫn nộ. “Tất nhiên, Stanley của bạn có thể biết mô hình mà tôi đã phát hiện ra.” Nhưng có lẽ anh ta sẽ không thể làm được một điều gì - đơn giản vì điều đó là không thể! Hãy hỏi anh ấy, Bill, câu hỏi này: con ngựa số 10 có thể ngẩng đầu lên được không?!! Và nói một cách đơn giản, hãy cộng đẳng thức (10) tại $a>c$! Nhưng đừng quên, Bill, tất cả $a, b, c$ và $d$ đều là số nguyên dương. Bạn hiểu không?

Có thể BÌNH ĐẲNG (10) cho $a>c$ không?

Khuôn mặt u ám của Bill sáng lên phần nào.

“Nếu mọi việc đúng như ông nói, ông Cohn, thì tôi sẽ đưa anh ta đi kiếm đô la mỗi giờ trong khi anh ta đang vắt óc suy nghĩ.” Năm giờ một lần là hợp lý.

“Đừng đợi, Bill,” ông Cohn phản đối. “Chúng ta đang nói về odox suốt đời!” Thậm chí năm mươi xu một giờ cũng sẽ tương đương với mười hai đô la một ngày!…

Ông Cohn suy nghĩ một lúc.

“Bill, anh biết đấy, hãy giao nhiệm vụ bất khả thi này cho người giàu hơn Stanley.” Nếu không, ý tưởng đó sẽ không tồn tại được dù chỉ ba ngày.

“Đây vốn là vấn đề của tôi rồi,” Bill nói. “Tuy nhiên, tôi muốn tìm hiểu tại sao con ngựa này không thể ngẩng đầu lên?… Và còn một điều nữa.” Anh Cohn, nhỡ anh ấy cũng biết chuyện này thì sao?

“Vậy,” ông Cohn bắt đầu chửi bới, “thì hãy để anh ta tìm các phân số tối giản $a/b$ và $c/d$ và bảo toàn điều kiện (10)!”

Có thể BÌNH ĐẲNG (10) cho $a>c$ không?

“Được rồi,” Bill nói, “nhưng nếu anh ấy ăn đầy thứ đó thì sao?”
“Vậy đó,” ông Cohn ngắt lời, “hãy thay đổi bản ghi!” Nói cho tôi biết, Billy, bạn có thích phân số không?

$$\frac{19}{95}?$$

“Một phân số cũng giống như một phân số…” Bill im lặng một lúc. “Nghe như nó đang co lại…

“Đúng,” ông Cohn hét lên, “nó đang co lại!!! Nhưng làm thế nào!!! Những con số giống nhau chỉ bị gạch bỏ - số cuối cùng trong tử số và số đầu tiên trong mẫu số:

$$\frac{19}{95} = \frac{1}{5}.$$

Kiểm tra!!! Và đây là nhiều hơn nữa cho bạn:

$$\frac{16}{64} = \frac{1}{4}.$$

Và một điều nữa:

$$\frac{49}{98} = \frac{4}{8}.$$

Một biểu hiện kỳ ​​lạ xuất hiện trên khuôn mặt của Bill. Anh ta lấy một cây bút chì và

43

Người đàn ông vẫy tay bắt đầu viết:
$$\frac{5}{55} = \frac{77}{77} = \frac{333}{333}.$$

“Nhìn này, ông Cohn,” anh ta nói nhẹ nhàng, “tôi đã tự mình nghĩ ra điều này…
“Những ví dụ này thật tầm thường,” ông Cohn nói một cách dứt khoát, “và chúng tôi loại chúng ra khỏi cuộc thảo luận.” Vì vậy, hãy để Stanley của bạn nghĩ ra một phân số khác có thể rút gọn theo cách này, và sao cho nó tất nhiên không bao gồm các số giống nhau. Biết đi, Bill: ngay cả khi những số nổi tiếng là số có hai chữ số, thì cũng chỉ có bốn phân số như vậy! Tôi đã viết cho bạn về họ. Và hãy để cái thứ tư là cột của Stanley…

Ông Cohn không nêu tên phân số nào?
Và-sữa và ODY?

Vâng, tôi gần như quên mất. Nếu chúng ta lặp lại chữ số cuối cùng trong một số nhiều lần và chữ số đầu tiên trong mẫu số cùng một số lần thì chữ viết tắt không chính xác của chúng ta sẽ cho kết quả chính xác. Xem và kiểm tra:

$$\frac{19}{95} = \frac{199}{995} = \frac{1999}{9995} = \frac{1}{5}.$$

Yêu cầu Stanley thử đếm bằng lời những gì bằng
$$\frac{1666666666}{6666666664}?$$

Bill, tôi nghĩ thế này là đủ với anh rồi chứ?

1000 lần
1666…6
666…64
1000 lần
3000 lần
4999…9
999…98
4/8
3000 lần

• Vâng, ông Cohn, cảm ơn ông. Nhưng,” Bill xấu hổ đứng dậy, “Tôi có… tôi bây giờ… cho đến khi tôi giành lại được…
• Bao nhiêu? - Ông Cohn hỏi vắn tắt.

Bill hoàn toàn xấu hổ, lau mặt và hít một hơi thật sâu.

• Nếu có thể thì ba bảy mươi ba.
• Ba đô la? - Ông Cohn cười khúc khích ngạc nhiên. - Lấy bốn mươi - lần đầu tiên.
• Không, ông Cohn, theo như tôi nghĩ, tôi cần chính xác ba bảy mươi ba!… Đúng vậy. Cảm ơn ông Cohn…

---

Khoảng một tuần sau, đúng như dự đoán, Stanley xuất hiện tại nhà ông Cohn. Sự xuất hiện của anh ta cho thấy Stanley không còn có thể đóng vai trò là nguồn thu nhập cho Bill hay bất kỳ ai khác nữa.
“Tôi rất vui được gặp ông,” ông Cohn nói, “hãy tuyên thệ.” Nào, hãy nói cho tôi biết, bạn thế nào rồi?

• Làm sao tôi có thể nói với ông, ông Cohn, mọi việc đang diễn ra tốt đẹp… Tôi muốn cho ông thấy một điều.
  Stanley đến bên bàn, lấy một tờ giấy và viết:
  $$\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}.$$

44

“Một điều khá khó khăn,” anh nói. - Số được lấy ra từ gốc không chính xác nhưng kết quả vẫn đúng… Nhưng thủ thuật này không có tác dụng với tôi: Bill hiểu mọi thứ trong năm phút và thậm chí còn viết cả công thức tổng quát! Điều này làm xáo trộn tất cả các kế hoạch của tôi… Ồ, đó không phải là điều chúng ta đang nói đến. Thật ra, tôi muốn… à…

HÓA ĐƠN ĐÃ Vẽ CÔNG THỨC NÀO?

• Tôi nên đưa anh bao nhiêu, Stanley? - Ông Cohn hỏi thẳng.
  “Nếu điều đó không làm phiền bạn quá nhiều, hãy đưa cho tôi,” Stanley dịch hai chữ đó, “ba đô la bảy mươi ba xu.” Tôi sẽ trở lại sau vài ngày nữa.
  “Bạn biết đấy, Stanley,” ông Cohn nhận xét, đưa tiền ra, “đây là lần thứ hai tôi nghe thấy con số vô lý này - 3,73.” Rốt cuộc nó có ý nghĩa gì?

“Ừ, không có gì đâu, ông Cohn, chuyện nhỏ thôi…” Stanley đỏ mặt, lẩm bẩm điều gì đó khó hiểu rồi vội vàng hỏi.

---

Vài ngày sau, ông Cohn buộc phải đến thị trấn gần nhất để công tác. Gần cửa hàng, một quảng cáo đập vào mắt anh:

MỚI
M. Ya. người làm vườn
Toán học trực tiếp cho hàng triệu người
Ứng dụng hữu ích và chiếm dụng
Giá: 3 đô la 73 xu
Và ở góc có người viết:

$$\frac{3\frac{1}{4}}{4\frac{1}{3}} = \frac{3}{4}.$$

CÔNG THỨC GÌ ĐẰNG SAU Từ viết tắt này?

45

Câu lạc bộ máy tính “SPRITE”

Bốn năm trước, khi máy tính ở trường còn hiếm như rau ngoại - khoai tây vào thời Peter I, một chương trình tự chọn về lập trình đã bắt đầu ở trường chúng tôi. Loại rau quý hiếm không mọc ở đây: để làm việc trên một chiếc máy tính thực sự, chúng tôi đã đến trung tâm máy tính của Viện Sư phạm Sverdlovsk. Một năm sau, chiếc máy tính của trường không còn gây tò mò nữa, và chiếc máy tính đầu tiên của chúng tôi xuất hiện ở trường - “Điện tử D3-28”. Cái đầu tiên, rồi cái kia. Một năm sau, toàn bộ 12 “Robot” mới đã xuất hiện tại trường. Một lớp học trưng bày đã phải được khẩn trương thành lập cho các em bé mới nở. Tuy nhiên, bây giờ không có gì đáng ngạc nhiên hơn khoai tây chiên cho bữa tối.

Nếu bạn đến lớp trưng bày của trường Sverdlovsk số 121 để họp mặt câu lạc bộ máy tính SPRITE, bạn có thể tham gia một bài giảng về “Máy tính trong y học” hoặc một cuộc tranh luận về âm nhạc hiện đại, một cuộc gặp gỡ với một chuyên gia đồ họa máy tính hoặc một cuộc trò chuyện về sự sáng tạo của các chương trình ấn tượng của Pháp, hoặc một buổi tối về các vị trí.

Mỗi năm đều có những chàng trai mới đến với câu lạc bộ của chúng tôi. Họ đến để học cách lập trình và làm chủ công nghệ mới. Việc đào tạo người trẻ nhất được thực hiện theo phương pháp “Novosibirsk” của A.P. Ershov - G.A. Zvenigorodsky. Để làm được điều này, chúng tôi đã chuyển vào các cỗ máy trường học của mình những người biểu diễn “Ant” và “Sword”, được mô tả trong cuốn sách “Những bài học đầu tiên về lập trình” của G. A. Zvenigorodsky (M.: Nauka, 1986. Series: Thư viện «Kvant»). Bài học dành cho người cao tuổi và hơn thế nữa

những người tham gia có kinh nghiệm trải qua hình thức hội thảo, khi mọi người lần lượt nghiên cứu một chủ đề và giải thích phần còn lại. Các thành viên lớn tuổi của câu lạc bộ dạy những người trẻ hơn. Kolya Mokhov, sinh viên tốt nghiệp của chúng tôi, hiện là sinh viên đại học, học lớp 10, học cùng một nhóm học sinh lớp 5. Ngày nay nó đã trở thành một truyền thống.

Chân dung nhóm với Robotrom.

Trong hai hoặc ba năm, những người tham gia câu lạc bộ đã làm việc thành công bằng nhiều ngôn ngữ lập trình trên nhiều máy khác nhau. Nhiều người trong số họ bắt đầu tự tạo chương trình và có thể thực hiện thành thạo toàn bộ công việc - từ việc thiết lập bài toán cùng với khách hàng đến hoàn thành tài liệu. Tuy nhiên, một trong những lĩnh vực công việc chính của chúng tôi là phát triển các chương trình đào tạo ở nhiều môn học khác nhau. Trong suốt ba năm, các chương trình đã được tạo ra cho các bài học về toán, hóa học, khoa học máy tính, tiếng Nga và tiếng Anh. Nhiều người trong số họ đã tìm thấy ứng dụng trong các trường học và cao đẳng.

Các thành viên trong câu lạc bộ của chúng tôi là những người thường xuyên tham gia và là người chiến thắng trong các cuộc thi lập trình, hội nghị khoa học và thực tiễn dành cho học sinh và các cuộc thi chuyên môn.

kỹ năng nghề nghiệp được tổ chức tại thành phố. Họ cũng đã tham gia hội nghị Leningrad “Tin học trường học”.

Trong kỳ nghỉ hè, học sinh trung học của chúng tôi làm lập trình viên tại các trung tâm máy tính. Tại các trường học hè dành cho lập trình viên trẻ ở Novosibirsk, chúng tôi đã tìm được nhiều bạn bè và những người có cùng chí hướng. Chúng tôi đặc biệt kết bạn với các thành viên của câu lạc bộ máy tính “Ảo” từ thành phố Kursk.

46

Quan sát và chụp ảnh các quá trình nhanh xảy ra

S. M. BELOUSOV, R. N. GERASIMOV

Cuốn sách “Không thể tiếp cận bằng mắt” của J. Darius đã đưa chúng tôi đến với tác phẩm này, trong đó chúng tôi đọc về nhiếp ảnh tốc độ cao và xem những bức ảnh thú vị.

Chúng tôi quyết định lắp ráp một thiết lập cho phép chúng tôi chụp ảnh các quá trình nhanh chóng. Và cái gì

Bài viết này do học sinh Leningrad viết, nói về công trình sâu rộng và thú vị được thực hiện bởi các tác giả - sinh viên lớp 9 Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad - trên cơ sở Viện Nghiên cứu Vật lý của Đại học bang Leningrad.

Nếu những quá trình này cũng có thể được quan sát trực tiếp bằng mắt thì chúng tôi đã lắp đặt một thiết bị hoạt nghiệm. Sơ đồ khối cài đặt của chúng tôi được hiển thị trong hình 1.

Quá trình giọt nước rơi trên mặt nước được lấy làm đối tượng nghiên cứu.

Giọt tiếp theo rơi xuống nước làm gián đoạn chùm tia laze, làm tối điốt quang. Một xung điện từ photodiode đạt đến bộ đếm thời gian (độ trễ có thể điều chỉnh), cần thiết để có thể quan sát được các giai đoạn khác nhau của quá trình đang nghiên cứu. Xung trễ đi vào bộ khuếch đại hình thành, mở ra, khuếch đại nhiều lần và đốt cháy đèn flash.

Để giọt nước không bị nhòe trong ảnh, cần có thời gian phơi sáng khá ngắn. Thời gian này (τ) có thể được ước tính dễ dàng dựa trên các thông báo sau. Một giọt nước rơi từ độ cao H=20cm xuống nước có vận tốc ở mặt nước

48

Ảnh 1. τ=0.
Ảnh 2. τ=9 ms.
Ảnh 3. τ=19 ms.
Ảnh 4. τ=34 ms.
Ảnh 5. τ=59 ms.
Ảnh 6. τ=96 ms.
Ảnh 7. τ=135 ms.
Ảnh 8. τ=154 ms.
Ảnh 9. τ=169 ms.
Ảnh 10. τ=188 ms.
Ảnh 11. τ=228 ms.
Ảnh 12. τ=262 ms.

48

49

biểu đồ S1-64. Xung hiện tại xảy ra khi giọt nước đi qua chùm tia laze dẫn đến khởi động quá trình quét A. Sau một thời gian $T$, được xác định bởi vị trí của các nút “thời gian quét A” và “độ trễ quét B”, máy hiện sóng sẽ tạo ra xung kích hoạt quét bị trễ (quét B). Xung này được cung cấp cho đầu vào của bộ kích hoạt bên ngoài của bộ tạo xung G5-63. Xung do máy phát điện tạo ra được đưa vào mạch đánh lửa của đèn flash. Thời gian trễ được đặt bằng chiết áp nhiều vòng trong phạm vi từ 0 đến 400 μs và không có độ chính xác 1 μs.

Chúng tôi chụp ảnh một giọt nước rơi xuống nước từ những độ cao khác nhau. Thành công và đầy đủ nhất là loạt ảnh chụp những giọt nước rơi từ độ cao 37,5 cm. Các bức ảnh của loạt ảnh này diễn ra tuần tự, giống như các giai đoạn của một quá trình ban đầu. Trong các bức ảnh, bạn có thể thấy một chiếc thước có vạch chia milimet; nó thiết lập quy mô. Tất cả các bức ảnh được chụp ở cùng một tỷ lệ. Thời gian $t$, được nêu trong chú thích của các bức ảnh, đã không còn xuất hiện kể từ thời điểm những giọt nước chạm vào nhau. Việc chụp ảnh được thực hiện bằng máy ảnh Zenit trên phim Aerophoto (1400 chiếc).

Dưới đây là mô tả ngắn gọn về bức ảnh.

Khi rơi xuống nước, giọt nước dao động nên có dạng không phải hình cầu. Một giọt nước lơ lửng trên mặt nước được chụp trong ảnh 1 và 2. Một giọt nhỏ có thể nhìn thấy phía trên giọt nước trong ảnh 1. Đây được gọi là quả bóng Plato, xảy ra khi một giọt nước được tách ra khỏi ống nhỏ giọt.

Khi chạm vào nước, giọt nước sẽ ép chất lỏng bên dưới dọc theo các cạnh của nó thành một hình trụ mỏng. Ảnh 2 cho thấy sự bắt đầu của quá trình này. Chất lỏng ở các cạnh của một hình trụ ngày càng tăng có lợi hơn về mặt năng lượng so với việc hình thành các giọt. Từ các thông điệp đối xứng, rõ ràng là các giọt phải được phân bố đều dọc theo các cạnh của hình trụ. Đó là lý do tại sao họ có được những bức ảnh màu đỏ như ảnh 3, trong đó hình trụ trông giống như một chiếc vương miện.

Dưới tác dụng của trọng lực và sức căng bề mặt, vương miện bắt đầu rơi ra (ảnh 4). Khi vương miện rơi ra hoàn toàn, một lỗ nước sẽ hình thành ở vị trí của nó; sau một thời gian sẽ hình thành một hố nước.

Ka sụp đổ và một chiếc stolnik bắt đầu mọc ra từ trung tâm của nó (ảnh 5).

Cột phát triển và lốp đi và đến một lúc nào đó đạt đến độ cao cao nhất (ảnh 6).

Dưới tác dụng của lực bề mặt, một cây cầu được hình thành trên cột và cột vỡ ra thành những giọt rơi trở lại chất lỏng. Các giai đoạn phân rã cột thành giọt liên tiếp được thể hiện trong ảnh 7-9. Trong quá trình quan sát hoạt nghiệm, chúng tôi nhận thấy tùy theo độ dày và chiều cao của cột mà nó vỡ thành số lượng giọt khác nhau. (Sự sụp đổ của cột là do khi các giọt hình thành, tổng năng lượng bề mặt của chúng nhỏ hơn năng lượng của cột.) Hóa ra số lượng giọt mà cột phân hủy không phụ thuộc vào hệ số căng bề mặt mà chỉ được xác định bằng tỷ lệ giữa đường kính và chiều cao của cột.

Sau khi những giọt nước từ cột bị phân hủy rơi xuống nước, một hố nước lại hình thành và cột bị hút vào từ giữa (ảnh 10-12).

Văn học

1. J. Daris. Không thể tiếp cận bằng mắt - M.: Mir, 1986.
2. Vâng. E. Geguzin. Làm rơi. - M.: Nauka, 1973.
3. Cuộc sống trong phòng thí nghiệm tại nhà. - M.: Nauka, 1984. - (Loạt bài: Thư viện «Kvant», số 4).
4. Vâng. E. Geguzin. Bong bóng. - M.: Nauka, 1985. - (Loạt bài: Thư viện «Kvant», số 4).
5. Album chất lỏng và chất khí chảy. - M.: Mir, 1986.

50

Toán 6-10

Các ghi chú được xuất bản dưới đây được thống nhất bởi một chủ đề chung: chúng nói về tổng các góc của một đa giác - lồi và tùy ý, phẳng và “hình cầu”. Trong quá trình này, định lý Euler về bản đồ trên mặt phẳng (và trên mặt cầu) và định lý Euler nổi tiếng hơn về đa giác, rút ​​ra từ nó, sẽ được thảo luận. Mặc dù ghi chú đầu tiên dành cho học sinh lớp 6-8, ghi chú thứ hai là deactylassic và ghi chú thứ ba là deactylassic, chúng tôi vẫn khuyên bạn nên đọc ngược lại. Cả ba ghi chú đều được chuẩn bị bởi N.V. Vasiliev và V.L. Gutenmakher.

Tổng các góc
Tổng các góc của tam giác

Một trong những kiến ​​thức hình học đầu tiên chúng ta học là định lý cho rằng trong bất kỳ tam giác nào tổng các góc bằng 180°. Thực tế này có thể được xác minh bằng thực nghiệm: cắt một hình tam giác tùy ý từ giấy, xé hai góc khỏi nó và gắn vào góc thứ ba - chúng cùng nhau tạo thành một góc đảo ngược 180°. Chứng minh định lý (hình 1) dựa trên cùng một ý tưởng - gom ba góc ở một đỉnh: nếu một đường thẳng đi qua đỉnh của một tam giác, song song với cạnh đối diện - đáy thì hai góc tạo thành sẽ bằng hai góc ở đáy.

Về “định đề thứ năm” của Euclid

Trong lập luận này của chúng tôi, chúng tôi đã sử dụng “định đề thứ năm” của Euclid - một tiên đề phát biểu rằng chỉ có một đường thẳng song song với một điểm cho trước và đi qua một điểm cho trước. Các cặp góc chéo của các đường thẳng song song bằng nhau*), và điều này dẫn đến định lý về tổng các góc của một tam giác. Tất nhiên, từ định lý về tổng các góc của một tam giác, người ta có thể rút ra “định đề thứ năm” - chúng tương đương với nhau. Phải mất hơn hai nghìn năm người ta mới phát hiện ra rằng phủ định của tiên đề thứ năm - khả năng vẽ nhiều đường thẳng đi qua một điểm mà không cắt điểm này - cùng với tất cả

*) Xem “Hình học 6-10” (Moscow: “Prosveshcheniye”, 1986), tr. 41.

51

các tiên đề hình học khác dẫn đến một lý thuyết nhất quán mới: hình học Lobachevsky. Trong hình học Lobachevsky, tổng các góc của một tam giác luôn nhỏ hơn 180°. Trong hình học này, hình tam giác càng lớn thì chênh lệch giữa 180° và tổng các góc của tam giác càng lớn - sự chênh lệch này tỷ lệ thuận với diện tích của tam giác.

Hình học trong thế giới gần gũi với chúng ta khá phù hợp với hình học chung của Euclid. Tuy nhiên, hình học của lobachevsky hóa ra lại có mối liên hệ sâu sắc với thuyết tương đối. Bạn có thể đọc về hình học Lobachevsky trong bài viết “Mô hình Poincaré” của K. L. Samarov, V. M. Uroev trong «Kvant» số 6 năm 1984.

Định lý góc ngoài

Bạn có thể ghép các góc của một hình tam giác với nhau theo cách khác với cách ở hình 1, bằng cách kéo dài một cạnh của nó ra ngoài đỉnh và vẽ một tia từ đỉnh này song song với cạnh đối diện (hình 2). Như vậy, người ta đã chứng minh rằng góc ngoài của một tam giác (giáp kề với góc trong) bằng tổng hai góc trong không hề hài hước với nó. Về cơ bản đây là một phiên bản của định lý về tổng các góc của một tam giác. Định lý về góc ngoài của tam giác được dùng để chứng minh đa phát biểu. Chúng ta chỉ nhớ lại một điều được sử dụng đặc biệt thường xuyên: độ lớn của góc ở tâm bằng một nửa độ lớn của cung mà góc này nằm trên đó, tức là vị trí độ lớn của góc ở tâm nằm trên cùng một cung (trong sách giáo khoa “Hình học 6-10” của A.V. Pogorelov, thực tế này hoàn thành môn học lớp 6).

Về kích thước của góc

Trong cuộc sống bị xúc phạm, ở góc độ khái niệm là một hình hình học sắc nét (góc bàn, góc nhà). Khi nói về việc kiểm chứng bằng thực nghiệm định lý về tổng các góc của một tam giác, chúng ta muốn nói đến góc là một phần của mặt phẳng nằm giữa hai tia (một tờ giấy). Việc cộng các góc—áp dụng góc này với góc khác—đã dẫn chúng ta tới một góc phi giáo dục có các cạnh nằm trên cùng một đường thẳng: góc quay 180°.

Áp dụng một số góc có thể dẫn đến một số loại hình hai lớp. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: một góc, ví dụ, 380° là gì? Những góc như vậy sẽ được xem xét trong khóa học lượng giác (xem “Đại số - 8”, trang 131); Chúng rất thuận tiện để sử dụng khi đo lượt.

Ví dụ, hãy xem xét cách xoay núm radio được sử dụng để điều chỉnh nó. Xoay bàn tay này vài độ, chúng ta sẽ có được làn sóng mong muốn. Đồng thời, việc xoay 20° từ một điểm nào đó không giống như xoay 380° để điều chỉnh đài, mặc dù vị trí tương ứng của núm là như nhau. Hơn nữa, bạn có thể xoay bàn tay của mình theo hướng này hay hướng khác - do đó, bạn cần phải nhập, ngoài các góc dương (tương ứng với các góc quay ngược chiều kim đồng hồ), còn cả các góc âm. Tổng của hai góc sẽ là góc quay có được nếu bạn xoay tay trước sang một góc rồi sang góc thứ hai.

Chúng ta hãy thử xét từ quan điểm này trước tiên tổng các góc của một tam giác và sau đó là một đa giác.

Tổng các góc của một đa giác

Hãy tưởng tượng một chiếc thước trượt dọc theo các cạnh của một hình tam giác (hình 3, a). Gần mỗi đỉnh, thước sẽ quay đến một đỉnh bằng góc ngoài của tam giác và sau khi đi một vòng tròn quanh tam giác - chẳng hạn như ngược chiều kim đồng hồ - thước sẽ quay về vị trí ban đầu, thực hiện một vòng hoàn toàn - 360°. Vì vậy, tổng các góc ngoài của một tam giác là 360° (hình 3, b).

Lý do tương tự cũng áp dụng cho mọi lồi $n$-than-

52

biệt danh: tổng các góc ngoài của nó là 360° (hình 4).

Vì mỗi góc ngoài cộng với góc trong liền kề của nó cộng lại bằng 180°, nên tổng tất cả các góc trong của một n-giác là 180°n−360°=180°(n−2).

Kết quả này được chứng minh khác trong sách giáo khoa: một n-giác lồi có thể chia thành n−2 hình tam giác bằng các đường chéo vẽ từ một đỉnh; tổng tất cả các góc của chúng, hiển nhiên bằng tổng tất cả n góc của một n-giác, lớn hơn (n−2) lần tổng các góc của một tam giác.

Bất kỳ, không nhất thiết phải lồi, n-giác có tổng các góc bằng nhau. Nhưng bằng chứng có phần phức tạp hơn.

Nếu bạn đang cố gắng đi xung quanh một đa giác “phức tạp” dọc theo một đường viền và tính tổng các góc ngoài - góc quay, thì trước tiên, bạn sẽ cần tính đến các hướng quay: góc quay ngược chiều kim đồng hồ được coi là dương và các phép quay theo chiều kim đồng hồ được coi là âm (các phép quay như vậy tương ứng với các góc trong lớn hơn 180°); thứ hai, không quá rõ ràng là do đi ngang qua đa giác (một đường đa giác không tự giao nhau), nên toàn bộ góc quay sẽ là một góc quay hoàn toàn 360°. Lưu ý khi đi quanh đường đứt đoạn tự giao nhau tại hình 5 - điểm của ngôi sao góc - thước thực hiện hai vòng đầy đủ, tức là tổng các góc ngoài tại các đỉnh của ngôi sao

Hình 3.

Hình 4.

Hình 5.

720° là đúng (có nghĩa là tổng các góc trong của nó luôn bằng 180°×5−720°=180°; kiểm tra kết quả này bằng cách kiểm tra các hình tam giác và góc điểm lồi tạo nên ngôi sao).

Bạn có thể chứng minh định lý về tổng các góc của đa giác bất kỳ (không nhất thiết phải lồi) bằng phương pháp cắt. Nhưng nhiều hơn về điều đó trong bài viết tiếp theo.

Về độ phân giải đa giác và định lý Euler

Theo đa giác bây giờ chúng ta muốn nói đến một phần của mặt phẳng được cắt ra bởi một đường đứt nét không giao nhau. Hãy bắt đầu với thực tế là, như chúng ta đã làm trong ghi chú trước, chúng ta sẽ chứng minh định lý về tổng các góc của bất kỳ đa giác nào (không nhất thiết phải lồi) bằng phương pháp cắt.

Tất nhiên, trong trường hợp tổng quát không thể tìm được một đỉnh mà từ đó tất cả các đỉnh khác đều “nhìn thấy được” (như đối với đa giác lồi). Thậm chí còn không hoàn toàn rõ ràng rằng có thể tìm thấy ít nhất một đường chéo nằm hoàn toàn bên trong n-giác. Nhưng sự thật này là đúng.

Bổ đề. Từ bất kỳ đỉnh nào của newgon, góc tại đó lớn hơn 180°, bạn có thể vẽ một đường chéo nằm hoàn toàn bên trong đa giác này.

Chúng ta hãy xem xét tất cả các tia có thể phát ra từ một đỉnh như vậy bên trong đa giác (hình 1). Chúng “chiếu sáng”, có lẽ một phần, bằng

53

ít nhất hai cạnh của đa giác. Trên thực tế, tất cả các tia chiếu sáng một phía sẽ tạo thành một góc nhỏ hơn 180°. Vì vậy, một góc của đa giác (lớn hơn 180°) được chia thành ít nhất hai góc, được tạo thành bởi các tia chiếu sáng các cạnh khác nhau của đa giác. Khi đó tia phân cách hai góc như vậy hướng tới đỉnh của đa giác - dọc theo một đường chéo nằm hoàn toàn bên trong đa giác.

Bằng cách sử dụng bổ đề nhiều lần, bất kỳ $n$-giác nào cũng có thể được cắt thành hình tam giác. Nhưng chúng ta cũng cần để ý đến số lượng hình tam giác. Giống như nhiều định lý khác liên quan đến số tự nhiên tùy ý $n$, cách thuận tiện nhất để hình thành chứng minh là sử dụng quy nạp toán học.

Về quy nạp toán học

Ở đây chúng tôi sử dụng các nguyên tắc quy nạp toán học ở dạng này. Giả sử một phát biểu nào đó, trong công thức của số tự nhiên $n$, đúng với $n=n_0$, và từ thực tế là nó đúng với mọi $n$ sao cho $n_0 \leq n < N$, suy ra rằng nó đúng với $n=N$. Vậy thì nó đúng với tất cả tự nhiên $n \geq n_0$.

Hãy chứng minh phát biểu cần tìm bằng quy nạp.

Định lý. Tổng các góc của một $n$-gon tùy ý (không nhất thiết phải lồi) là 180°($n-2$).

Đối với $n=3$ điều này đúng. Hãy để tuyên bố của chúng tôi đúng với tất cả $n<N$ ($n \geq 3$). Hãy xem xét một neoctorium $N$-gon. Theo bổ đề, nó có thể được cắt theo đường chéo thành hai đa giác. Giả sử một trong số chúng có $K$ cạnh từ một $N$-giác lớn - tức là nó là $(K+1)$-giác, cái còn lại có $N-K$ các cạnh còn lại - và do đó nó là $(N-K+1)$-giác. Theo giả thuyết quy nạp, tổng các góc của chúng là $180^\circ(K-1)$ và $180^\circ(N-K-1)$. Cộng lại, chúng ta thấy rằng tổng tất cả các góc của $N$-giác là $180^\circ(K-1)+180^\circ(N-K-1)=180^\circ(N-2)$. Định lý đã được chứng minh.

Nhìn nhận lại, chúng ta có thể rút ra kết luận sau: đối với bất kỳ sự cắt nào

54

Hình 2.

Định lý bản đồ Euler. Cho B điểm được chọn trên mặt phẳng và chúng được nối với nhau bằng P đoạn thẳng để tạo thành một đa giác, chia thành M đa giác khác theo đúng cách (hình 2). Khi đó B—P+M=1.

Bằng chứng. Giả sử một đa giác lớn (bên ngoài) có n cạnh (và n đỉnh) và số cạnh của M đa giác mà nó được cắt vào là n1, n2, …, nM. Trong số các đỉnh B của bản đồ, có n đỉnh nằm trên đường biên và (B-n) nằm bên trong đa giác lớn. Tính tổng các góc của tất cả M đa giác theo hai cách, ta thu được đẳng thức $180^\circ(n_1-2)+...+180^\circ(n_M-2) = 180^\circ(n-2)+360^\circ(B-n)$,

Ở đâu
$$n_1+n_2+...+n_M-2M=2B-n-2.$$

Bây giờ chúng ta hãy lưu ý rằng trong tổng $n_1+n_2+...+n_M+n$ mỗi đoạn P tham gia hai lần - nó đóng vai trò là các cạnh của hai đa giác (tuyến tính
	B	P	Γ
khối lập phương	8	12	6
tứ diện	4	6	4
kim tự tháp 5 cạnh	6	10	6
bát diện	6	12	8
khối mười hai mặt	20	30	12

Hình 3.

Hình 4.

55

ra. Từ công thức $B-P+M=1$ cho bản đồ, chúng ta thu được công thức $B-P+\Gamma=2$ cho khối đa diện.

Định lý tổng quát Euler

Sử dụng tổng các góc để chứng minh định lý Euler là một kỹ thuật hay nhưng hơi giả tạo. Trên thực tế, định lý Euler cũng đúng trong một tình huống tổng quát hơn - ví dụ: đối với một bản đồ tùy ý có $B$ đỉnh, $P$ cạnh và $\Gamma$ quốc gia trên một hình cầu và bất kỳ đoạn đường cong nào cũng có thể đóng vai trò là “cạnh”, miễn là mỗi quốc gia có đường viền gồm nhiều cạnh liên tục (đặc biệt, không được có “lỗ hổng” bên trong quốc gia, áp dụng cho các quốc gia khác). Tuy nhiên, trong số những ý tưởng khả thi để chứng minh định lý ở mức tổng quát hơn như vậy là quy nạp, dựa trên việc “thu gọn” một trong các quốc gia về một điểm.

Chú ý sau đây đề cập đến tổng các góc của một đa giác trên một hình cầu và định lý Euler cho bản đồ trên một hình cầu.

Tổng các góc của một đa giác cầu

Trên một mặt cầu, chúng ta sẽ xét các đa giác có các cạnh là các cung tròn lớn. Một đa giác như vậy có thể thu được khi là giao điểm của một hình cầu với một góc đa diện có đỉnh nằm ở tâm hình cầu $O$ (hình 1). Độ lớn của góc của một đa giác trên một hình cầu đương nhiên được coi là góc giữa các tiếp tuyến với các “cạnh” của nó vẽ từ đỉnh; vì các tiếp tuyến vuông góc với bán kính vẽ lên đỉnh từ điểm $O$, nên góc của đa giác trên hình cầu bằng góc hai góc ở bán kính này.

Sự tương tự giữa “tổng các góc” và diện tích, mà chúng tôi đã đề cập ngắn gọn trong ghi chú trước, được thể hiện rõ ràng ở đây: một đại lượng được biểu diễn đơn giản thông qua đại lượng kia.

Định lý. Diện tích của đa giác trên hình cầu tỷ lệ thuận với hiệu giữa tổng các góc của nó và $180^\circ(n-2)$, trong đó $n$ là số đỉnh của đa giác.

Hệ số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào bán kính của hình cầu. Lấy bán kính hình cầu làm 1 (khi đó diện tích hình cầu bằng $4\pi$) và ta đồng ý

Hình 1.

góc được đo không phải bằng độ mà bằng radian ($180^\circ$ tương ứng với $\pi$ radian). Khi đó diện tích của $n$-giác trên một hình cầu bằng $\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n-\pi(n-2)$, trong đó $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ là các góc của nó.

Cụ thể, diện tích của một hình tam giác trên hình cầu đơn vị có các góc $\alpha, \beta, \gamma$ bằng $\alpha+\beta+\gamma-\pi$.

Hãy kiểm tra công thức $S=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ để biết đường viền của một hình cầu được cắt ra khỏi nó bằng các mặt phẳng vuông góc lẫn nhau đi qua tâm: đường viền này có ba góc $\pi/2$ mỗi góc và theo công thức thì diện tích của nó bằng $3\pi/2-\pi=\pi/2$ - thực tế, đây là $1/8$ một phần của $4\pi$, diện tích của tất cả các hình cầu.

Chứng minh định lý này cho tam giác cầu là đủ: công thức tổng quát có thể rút ra từ trường hợp cụ thể này giống như khi chứng minh định lý về tổng các góc của một mặt phẳng $n$-gon - bằng phép cắt và quy nạp toán học.

Tiếp tục các cạnh của hình tam giác hình cầu, chúng ta được ba hình tròn lớn chia hình cầu thành 8 hình tam giác (để tiện tưởng tượng ba mặt phẳng của những hình tròn lớn này giao nhau ở tâm $O$, chia không gian thành 8 góc tam giác - mỗi góc khắc một hình tam giác trên hình cầu). Chúng ta hãy biểu thị các góc của tam giác bằng $\alpha, \beta$ và $\gamma$, diện tích của nó bằng $S$, diện tích của các tam giác liền kề với nó (liền kề với các cạnh nằm đối diện với các góc $\alpha, \beta$ và $\gamma$ tương ứng) là $a, b$ và $c$ (hình 2). Cùng với mỗi hình tam giác, ba chúng ta

56

Hình vuông tạo thành một thùy - một phần của hình cầu được giới hạn bởi hai hình bán nguyệt lớn. Diện tích của một tiểu thùy như vậy rõ ràng tỷ lệ thuận với góc giữa các mặt phẳng của các hình bán nguyệt này: diện tích của một tiểu thùy có góc $\theta$ bằng $2\theta$ ($\theta=2\pi$ tương ứng với một hình cầu hoàn chỉnh). Vì vậy $S+a=2\alpha, S+b=2\beta, S+c=2\gamma$. Bây giờ hãy lưu ý rằng 8 hình tam giác trên hình cầu đối xứng từng cặp với nhau, vì vậy $a+b+c+S=2\pi$. Cộng ba đẳng thức đầu tiên và trừ đi tổng của bốn, chúng ta nhận được $2S=2\alpha+2\beta+2\gamma-2\pi$, từ đó $S=\alpha+\beta+\gamma-\pi$. Đây là công thức cần thiết cho một hình tam giác hình cầu.

Góc vững chắc. Trong vật lý (ít thường xuyên hơn, trong hình học), đỉnh của “góc đặc” được hình thành bởi một bề mặt đa diện (và nói chung là hình nón) có đỉnh $O$ rất hữu ích: góc khối thay đổi theo diện tích được khắc bởi bề mặt này trên hình cầu đơn vị có tâm $O$. (Đơn vị của đỉnh này được gọi là “steradian.”) Định lý của chúng tôi biểu diễn đỉnh của một góc đa diện đặc theo các đỉnh của góc nhị diện của nó.

Đối với bản đồ trên một mặt cầu tạo bởi hai đường tròn lớn, định lý Euler cũng có thể được chứng minh bằng cách tính tổng các góc. Trong trường hợp này, bạn cần sử dụng công thức biểu thị tổng các góc của đa giác thông qua diện tích và số cạnh của nó, $S=(сумма углов)-\pi(n-2)$, đồng thời lưu ý rằng tổng của tất cả các góc với nhau là $2\pi B$, trong đó $B$ là số đỉnh của bản đồ: $4\pi=2\pi B-\pi(2P-2\Gamma)$.

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Tổng số tiền $A$ rúp $B$ kopecks có thể là số nguyên $k$ lần số tiền $B$ rúp $A$ kopecks ($0\leq A<100, 0\leq B<100$) không? Nếu có thì bao nhiêu lần?
2. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên có tổng bình phương là 16.000.
3. Tìm hệ phương trình dương lời giải
   $$\begin{cases} xy(x+y)=6, \\ yz(y+z)=12, \\ zx(z+x)=30. \end{cases}$$
4. Dùng thước hai mặt $a$) vẽ đường phân giác của một góc cho trước, 6) nhân đôi một góc cho trước.
5. Trong một tam giác nhọn có các đỉnh khác nhau, hãy vẽ đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao. Giao điểm của chúng có thể nằm ở các đỉnh của một tam giác đều không?
   lớp chín
6. Giải phương trình $(16x^{200}+1)(y^{200}+1)=16(xy)^{100}$.
7. Trên một mặt phẳng có hai đường tròn không cắt nhau. Tìm tập hợp các điểm $A$ trên mặt phẳng sao cho bất kỳ đường thẳng nào đi qua $A$ cắt ít nhất một trong các đường tròn.
8. Trong một tam giác, $ABC$ có cạnh trung bình cách các cạnh còn lại bằng 1. Tìm các cạnh này nếu phân giác của góc $C$ cắt đường trung bình của góc $B$ theo một góc vuông.
9. Chứng minh rằng $\cos(\alpha)>\sin(\alpha)$ với mọi $\alpha$.
10. Các số tự nhiên $a, b, c, d$ thỏa mãn đẳng thức $a+b=c+d=1000$. Khi nào tổng $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}$ đạt giá trị lớn nhất?
    lớp mười
11. Tìm giá trị gần đúng của nghiệm của phương trình
    $$0,001x^3+x^2-1=0$$
    với độ chính xác 0,1.
12. Tìm thể tích của một hình không gian được hình thành bởi giao điểm của hai bề mặt hình trụ tròn có bán kính $R$, các trục của chúng cắt nhau $a$) một góc vuông, 6) một góc $a$.
13. Có thể đánh dấu 120 hình vuông có kích thước $1\times 1$ trong một hình chữ nhật có kích thước $20\times 25$ sao cho bất kỳ hình tròn nào có đường kính 1 bên trong hình chữ nhật cắt ít nhất một trong các hình vuông này không?
14. Chứng minh rằng nếu các số dương $x$ và $y$ liên hệ với nhau bởi $x^y+y^x=x^x+y^y$ thì $x=y$.
15. Các tiếp tuyến tại điểm $x=0$ của đồ thị hàm số $f(x), g(x)$ và $f(x)/g(x)$ cắt trục x một góc. Tìm giá trị lớn nhất của $f(0)$.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi G. A. Galperin

57

Các kết nối động học trong bài toán động

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. I. CHernOUTSAN

Trong các bài toán cơ học, thường nảy sinh tình huống khi một vật chuyển động không được tự do. Các ràng buộc có thể được tạo ra bởi các bề mặt cứng, các sợi không thể mở rộng, các thanh cứng, v.v. Trong những trường hợp đơn giản nhất, chúng tôi tự động tính đến các ràng buộc đó mà thường không hề quy định sự tồn tại của chúng. Ví dụ: chúng tôi hướng gia tốc của một vật trên mặt phẳng dọc theo mặt phẳng (có tính đến sự có mặt của bề mặt rắn), chúng tôi coi tốc độ của tàu kéo và sà lan là như nhau (có tính đến sự có mặt của một sợi cáp không thể đứt), v.v. Tuy nhiên, đôi khi cần phải thể hiện những hạn chế này dưới dạng một điều khiển đặc biệt, mà chúng tôi sẽ gọi là “khớp nối động học”. Hãy bắt đầu với điều này bài toán.

Bài toán 1. Tìm gia tốc của lăng trụ có khối lượng $m_1$ và hình lập phương có khối lượng $m_2$ như ở hình 1, a. Ví dụ thứ ba.

Hãy viết định luật II Newton cho mỗi vật (hình chiếu lên hướng trùng với gia tốc tương ứng):

$$m_1 g - N \sin \alpha = m_1 a_1,$$

$$N \cos \alpha = m_2 a_2.$$

Chúng tôi đã dạy điều đó theo định luật thứ ba của Newton, $\vec{N}_{12} = -\vec{N}_{21}$, tức là $N_{12} = N_{21} = N$. Hai phương trình được viết có chứa ba ẩn số. Phương trình thứ ba, mối quan hệ động học giữa $a_1$ và $a_2$, sẽ phản ánh thực tế là khối lập phương và lăng kính luôn tiếp xúc với nhau. Điều này có thể được thực hiện theo nhiều cách.

1. Chúng ta hãy xem xét hai vị trí đóng của hệ thống, cách nhau một khoảng thời gian $\Delta t$ (hình 1, 6). Trong tam giác $ABC$, cạnh $AB$ bằng biến lăng trụ $\Delta x_1$ và cạnh $BC$ bằng

58

di chuyển khối lập phương $\Delta x_2$. chúng tôi có
$$\Delta x_2 = \Delta x_1 \text{tg} \alpha.$$
Chia cả hai vế của đẳng thức cho $\Delta t$, ta được
$$v_2 = v_1 \text{tg} \alpha.$$
Vì sự tương ứng này có giá trị trong một thời điểm tùy ý, nên sự tương ứng mong muốn sẽ theo sau nó
$$a_2 = a_1 \text{tg} \alpha.$$ (3)
Chúng ta sẽ gọi phương pháp này để thu được kết nối động học là phương pháp trực tiếp.
2) Một cách khác để có được kết nối cần thiết là dựa trên việc chuyển sang hệ thống báo cáo hiện tại, nơi điều kiện liên hệ trở nên tầm thường. Trong hệ thống báo cáo liên quan đến nhận dạng (xem hình 1, 6), tốc độ của khối $\vec{v}_{\text{отн}}$ được hướng dọc theo bề mặt của nó, tức là nghiêng một góc $\alpha$ so với phương thẳng đứng. Viết định luật cộng vận tốc
$$\vec{v}_2 = \vec{v}_{\text{отн}} + \vec{v}_1$$
từ tam giác vector tương ứng chúng ta thu được
$$v_2 = v_1 \text{tg} \alpha, \text{и } a_2 = a_1 \text{tg} \alpha.$$
Chúng ta cùng nhau giải các phương trình (1)—(3) và tìm
$$a_1 = \frac{m_1}{m_1 + m_2 \text{tg}^2 \alpha} g,$$
$$a_2 = \frac{m_1 \text{tg} \alpha}{m_1 + m_2 \text{tg}^2 \alpha} g.$$
Trong phương pháp thứ hai bài toán này có vẻ hơi giả tạo. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, việc lựa chọn đúng hệ thống báo cáo có thể đơn giản hóa đáng kể vấn đề liên lạc động học. Đây là một ví dụ.
Bài 2. Một hình nêm có chiều cao $h$ với góc nghiêng $\alpha$ đứng trên một mặt phẳng nằm ngang (hình 2). Khối lượng nêm $m_1$. Bắt đầu từ đỉnh nêm

cho phép một khối có khối lượng $m_2$ trượt không ma sát. Tìm gia tốc của nêm và thời gian trượt của vật.
Hãy bắt đầu với định luật thứ hai của Newton. Hãy viết nó ra cho hình nêm chiếu theo hướng ngang và cho thanh bây giờ ở dạng vectơ:
$$N \sin \alpha = m_1 a_1,$$
$$\vec{N}_{21} + m_2 \vec{g} = m_2 \vec{a}_2.$$ (5)
Như trước đây, $\vec{N}_{12} = -\vec{N}_{21}, N_{12} = N$. Việc lựa chọn hướng của các trục cho khối gắn liền với việc giải bài toán kết nối động học.
Mối quan hệ động học giữa các gia tốc sẽ phản ánh thực tế là trong quá trình chuyển động, khối luôn ở trên bề mặt của nêm. Viết điều này dưới dạng một phương trình thẳng hóa ra lại khó khăn. Thay vào đó, hãy chuyển sang hệ thống báo cáo liên quan đến cái nêm. Trong hệ thống này, tốc độ của khối $\vec{v}_{\text{отн}}$ và gia tốc của nó $\vec{a}_{\text{отн}}$ được hướng dọc theo nêm. Khi đó từ định luật cộng vận tốc
$$\vec{v}_2 = \vec{v}_{\text{отн}} + \vec{v}_1$$ ta thu được định luật cộng gia tốc (xem hình 2)
$$\vec{a}_2 = \vec{a}_{\text{отн}} + \vec{a}_1.$$ (6)
Từ đó chúng ta có thể thấy rằng việc chuyển từ ẩn số $a_1$ và $a_2$ sang ẩn số $a_1$ và $a_{\text{отн}}$ sẽ thuận tiện hơn, từ đó giải được bài toán kết nối động học. Thay đẳng thức (6) vào phương trình (5) và chiếu phương trình này lên các hướng dọc theo bề mặt nêm và vuông góc với nó, chúng ta thu được
$$m_2 g \sin \alpha = m_2 (a_{\text{отн}} - a_1 \cos \alpha),$$
$$N - m_2 g \cos \alpha = -m_2 a_1 \sin \alpha.$$ (5′′)
Từ phương trình (4), (5′′) ta tìm được
$$a_1 = \frac{m_2 \sin \alpha \cos \alpha}{m_1 + m_2 \sin^2 \alpha} g,$$
$$a_{\text{отн}} = \frac{(m_1 + m_2) \sin \alpha}{m_1 + m_2 \sin^2 \alpha} g.$$

59

Đối với đáp số đối với câu hỏi thứ hai bài toán, chúng ta không cần tìm $a_2$, vì thời gian trượt được biểu thị chính xác theo $a_{\text{отн}}$:

$$\frac{a_{\text{отн}} t^2}{2} = \frac{h}{\sin \alpha}.$$

Từ đây là

$$t = \sqrt{\frac{2h}{a_{\text{отн}} \sin \alpha}} = \sqrt{\frac{2h(m_1 + m_2 \sin^2 \alpha)}{(m_1 + m_2) \sin^2 \alpha g}}.$$

Như đã đề cập, hạn chế chuyển động có thể được xác định không chỉ bởi sự tiếp xúc trực tiếp của các vật thể đang được xem xét, mà còn bởi sự hiện diện trong hệ thống của các phần tử được kết nối - thanh, sợi, v.v. Trong hầu hết các trường hợp, ngay cả khi điều này không được chỉ định trong các điều kiện, các phần tử được kết nối được coi là lý tưởng, tức là các sợi - không trọng lượng và không thể co giãn, thanh - không trọng lượng và hoàn toàn cứng nhắc, đối với các khối, ngoài việc không trọng lượng, việc không có ma sát cũng được coi là trục. (Trên thực tế, từ “không trọng lượng” có nghĩa là khối lượng của một phần tử nhất định không đáng kể so với khối lượng của các phần tử khác trong hệ, từ “không khối lượng” có nghĩa là việc loại bỏ một phần tử là nhỏ so với chuyển động của các phần tử trong hệ thống, v.v.) Trước khi xem các ví dụ cụ thể, chúng ta hãy tìm hiểu điều gì xảy ra sau các phần tử liên kết lý tưởng. Hãy xem xét ba trường hợp đặc biệt.

1. Sự không trọng lượng của sợi. Hãy viết định luật II Newton cho một đoạn sợi có khối lượng $\Delta m_{\text{н}}$ (hình 3, a):

$$T - T' = \Delta m_{\text{н}} a.$$

Vì $\Delta m_{\text{н}} = 0$ nên $T = T'$, tức là lực căng không thay đổi dọc theo sợi chỉ.

2. Khối không trọng lượng chuyển động và không có ma sát trên trục của nó. Để bung một khối không trọng lượng trong đó không có ma sát thì không cần mô men quay. Từ đó suy ra rằng độ căng của cùng một sợi ở cả hai mặt của khối là như nhau (hình 3, b), ngoài ra $T' - 2T = 0$, tức là $T' = 2T$.

3. Sự không trọng lượng của thanh. Điều kiện này có nghĩa là tổng lực và tổng mômen của các lực tác dụng lên thanh bằng không. Ví dụ, nếu hai lực tác dụng lên một thanh thì chúng bằng nhau về mô đun, ngược chiều và tác dụng dọc theo thanh (hình 3, c). (Không giống như sợi chỉ, thanh không chỉ có thể bị kéo căng mà còn có thể uốn cong.)

Tính không giãn và độ cứng của ren và thanh dẫn đến sự xuất hiện của các kết nối động học mà chúng ta sẽ phân tích riêng trong các nhiệm vụ sau.

Bài 3. Tìm gia tốc của các tải có khối lượng $m_1$ và $m_2$ sau khi cắt sợi chỉ trên (hình 4). Các chủ đề và khối được coi là lý tưởng.

Hãy chọn chiều dương của trục tung hướng xuống và viết định luật II Newton cho vật:

$$T + m_1 g = m_1 a_1,$$

$$m_2 g - 2T = m_2 a_2$$

(chúng ta đã học các thuộc tính của khối và luồng được mô tả ở trên).

60

Để tìm mối liên hệ động học giữa $a_1$ và $a_2$, chúng tôi áp dụng, như chúng tôi gọi nó, phương pháp trực tiếp. Hãy viết chiều dài của sợi dây dưới dạng
$$l = x_2 + \pi R + (x_2 - x_1),$$
trong đó $x_1$ là tọa độ của tải có khối lượng $m_1$, $x_2$ là tọa độ tâm của khối, $R$ là bán kính của nó và có tính đến chiều dài của ren không thay đổi khi tải di chuyển. Sau đó, đối với việc di chuyển hàng hóa, chúng tôi nhận được thư từ
$$2\Delta x_2 - \Delta x_1 = 0,$$
Ở đâu
$$2v_2 - v_1 = 0,$$
$$2a_2 - a_1 = 0.$$ (9)
Giải chung phương trình (7)–(9), ta tìm được
$$a_1 = 2a_2 = \frac{2(m_2 + 2m_1)}{m_2 + 4m_1} g.$$
(Lưu ý rằng $a_1 > g$. Hãy nghĩ xem tại sao đáp số lại xuất hiện như vậy.)
Bài toán 4. Một thanh không trọng lượng có khối lượng bằng nhau $m$ ở hai đầu được gắn bản lề trên một trục chia chiều dài của nó theo tỷ lệ 2:1 (hình 5). Thanh được giữ ở vị trí nằm ngang và đến một lúc nào đó được thả ra. Tìm gia tốc của các vật ngay sau đó, cũng như áp suất của thanh tác dụng lên trục tại thời điểm này.

Hãy viết định luật II Newton cho tải trọng, chọn chiều dương của các trục theo hướng có gia tốc tương ứng:
$$mg - N_1 = ma_1,$$
$$N_2 - mg = ma_2,$$ (10)
trong đó $N_1$ và $N_2$ là các lực tác dụng lên tải trọng từ phía thanh. Vì tổng mômen của các lực tác dụng lên thanh không trọng lượng bằng 0 nên
$$N_1 \frac{2}{3} l - N_2 \frac{1}{3} l = 0,$$
trong đó $l$ là chiều dài của thanh. Từ đây
$$N_2 = 2N_1.$$ (12)
Vẫn còn phải viết ra mối quan hệ động học giữa $a_1$ và $a_2$. Để làm điều này, chúng ta hãy mô tả trên hình 5 vị trí của thanh sau một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ sau khi bắt đầu chuyển động. Từ sự giống nhau ta có

Hình 5.
Hình 6.
$$x_1 = 2x_2,$$
Ở đâu
$$v_1 = 2v_2,$$
$$a_1 = 2a_2.$$ (13)
Giải các phương trình (10)–(13) cùng nhau, ta tìm được
$$a_1 = 2a_2 = \frac{2}{5} g,$$
$$N_2 = 2N_1 = \frac{6}{5} mg.$$
Vì tổng các lực tác dụng lên thanh không trọng lượng bằng 0 nên phản lực của trục (có độ lớn bằng lực ép lên trục) bằng
$$N = N_1 + N_2 = \frac{9}{5} mg.$$

---

Trong nhiều bài toán được thiết kế để áp dụng định luật bảo toàn năng lượng, cần phải tìm vận tốc của các vật tại một thời điểm nhất định. Trong trường hợp này, cần thiết lập mối liên hệ động học không phải giữa các gia tốc mà giữa vận tốc của các vật thể. Đối với lời giải như vậy bài toán, sẽ rất hữu ích khi sử dụng thực tế là tổng công được thực hiện bởi bất kỳ phần tử kết nối lý tưởng nào đều bằng không. Lý do vật lý cho điều này là không có năng lượng nào có thể được lưu trữ trong một nguyên tố như vậy - không phải động năng (khối lượng của nó bằng 0),

61

cũng không có thế năng (phần tử không bị biến dạng).

Tuyên bố cuối cùng đòi hỏi sự cam kết. Có thể chỉ ra rằng ngay cả với một biến dạng nhỏ của một thanh rất cứng (hoặc phần tử khác), thế năng biến dạng $E_p = kx^2/2$ của nó có thể lớn - xét cho cùng, nó tỷ lệ thuận với độ cứng của thanh $k$. Nhưng nếu chúng ta tính đến lực $F = kx$ phát sinh trong quá trình biến dạng vẫn hữu hạn ở $k \rightarrow \infty$ (nó được xác định bởi chuyển động của các vật gắn vào thanh), thì thế năng $E_p = F^2/(2k)$ nói chung $k$ hóa ra rất nhỏ.

Nhiệm vụ 5*). Một tải có khối lượng $M$ đầu tiên được giữ ở ngang các khối và sau đó được thả ra (hình 6). Giả sử các sợi dây và khối là lý tưởng, kích thước của các khối nhỏ so với khoảng cách 2l giữa chúng và đã biết khối lượng $m$ của các vật nặng ở hai đầu sợi dây, hãy tìm tốc độ tải tại thời điểm sợi dây tạo một góc $\alpha$ với phương thẳng đứng. Kết quả đáp số khám phá.

Tại thời điểm đang được xem xét, một tải có khối lượng $M$ được mang ở mức $H = l$ sttg $\alpha$ và các máy xúc có khối lượng $m$ đã tăng $h = l/\sin \alpha - l$ mỗi máy. Theo định luật bảo toàn năng lượng,

$$\frac{MV^2}{2} + 2\frac{mv^2}{2} - MgH + 2mgh = 0.$$ (14)

Ví dụ: để tìm mối liên hệ giữa $v$ và $V$, bạn có thể sử dụng phương pháp trực tiếp. Từ hình 6

$$l^2 + H^2 = L^2.$$

Vi phân theo thời gian (và xét đến $l' = 0$), ta thấy

$$2H \cdot H' = 2L \cdot L'.$$

Vì $L' = v$, $H' = V$ và $H/L = \cos \alpha$, chúng tôi có được kết nối cần thiết

$$v = V \cos \alpha.$$ (15)

Tuy nhiên, việc nhận trận đấu này sẽ dễ dàng hơn từ các tin nhắn sau. Vì việc xem xét $L$ từ một tải có khối lượng $M$ đến khối tại thời điểm đang xem xét tăng với tốc độ $v$ (ở tốc độ này sợi chỉ được kéo ra), nên hình chiếu của tốc độ $\vec{V}$ của tải trọng này lên hướng của sợi chỉ phải bằng $v$. Xét rằng tốc độ $\vec{V}$ được định hướng theo phương thẳng đứng, chúng ta thu được

$$\dots$$

(*) Cái này và cái bài toán tiếp theo có phần vượt quá mức bài toán thường được đưa ra trong các kỳ thi tuyển sinh đại học. Tuy nhiên, việc làm quen với họ không phải là điều vô ích đối với người nộp đơn.

Phương trình (15).

Từ phương trình (14) và (15) chúng ta tìm thấy

$$V = \sqrt{2gl \frac{M \cos \alpha + 2m(\sin \alpha - 1)}{\sin \alpha (M + 2m \cos^2 \alpha)}}.$$

Chúng ta hãy tìm hiểu xem trọng lượng trung tâm sẽ luôn giảm (chúng tôi coi các sợi chỉ rất dài) hay đến một lúc nào đó $\alpha$ nó sẽ dừng lại và bắt đầu tăng lên. Phương trình $V = 0$ (điều kiện dừng) được chuyển về dạng

$$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{2m - M}{2m + M},$$

tức là việc dừng và di chuyển ngược hàng hóa chỉ xảy ra ở $M < 2m$. Nếu $M > 2m$ thì tải trọng trung tâm sẽ liên tục thay đổi và tốc độ của nó sẽ tăng vô hạn ($V \rightarrow \infty$ với $\alpha \rightarrow 0$ - hãy tự kiểm tra điều này). Nếu $M = 2m$, thì khi tải trung tâm được hạ xuống, hệ thống tiến đến trạng thái cân bằng, gia tốc của tải có xu hướng bằng 0 và tốc độ của chúng có xu hướng về giá trị giới hạn $V_\infty = \sqrt{gl}$ (bạn hãy tự kiểm tra điều này).

Tôi muốn bạn chú ý đến một thực tế là khi sử dụng định luật bảo toàn năng lượng, lực căng của sợi dây hoàn toàn không được đưa vào tính toán.

Ví dụ cuối cùng minh họa các phương pháp thu được các kết nối động học khi di chuyển các thanh đặc (hoặc các kết nối rắn khác). Ví dụ, khi một vật rắn chuyển động thì khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó không thay đổi.

Bài 6. Một thanh không trọng lượng có chiều dài $l$ có khối lượng $m$ ở hai đầu trượt dọc theo hai cạnh của một góc vuông bằng hai chân (hình 7, a). Tìm tốc độ của tải trọng tại thời điểm thanh tạo một góc $\alpha$ với đường chân trời. Không có ma sát. Trong thời gian đầu

62

thời điểm thanh ở vị trí thẳng đứng.

Từ định luật bảo toàn năng lượng ta thu được

$$mg(l-y) = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2},$$

(16)

trong đó $y = l \sin \alpha$ là tọa độ của tải trọng thứ hai ở khoảng cách mô men. Để có được kết nối động học, bạn có thể sử dụng phương pháp trực tiếp, như đã được thực hiện trong bài toán trước đó (tự làm). Giao tiếp động học nhanh hơn và mượt mà hơn có được từ những tin nhắn như vậy. Vì khoảng cách giữa các tải không đổi nên tại mỗi thời điểm, tốc độ mà tải thứ nhất “di chuyển ra xa” khỏi tải thứ hai bằng tốc độ mà tải thứ hai “tiến tới” tải thứ nhất. Nói cách khác, hình chiếu vận tốc của tải trọng tác dụng lên thanh tại bất kỳ thời điểm nào đều giống nhau (xem hình 7, a):

$$v_1 \cos \alpha = v_2 \sin \alpha.$$

(17)

Thay (17) vào (16), ta tìm được

$$v_1 = \sqrt{2gl \sin^2 \alpha (1 - \sin \alpha)},$$

$$v_2 = \sqrt{2gl \cos^2 \alpha (1 - \sin \alpha)}.$$

Trong động học vật rắn, sự “phân tích” chuyển động phức tạp thành chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay thường được sử dụng. Để chứng minh phương pháp này, chúng tôi áp dụng nó để thu được mối quan hệ động học (17). Trong hệ quy chiếu liên quan đến tải trọng thứ nhất, thanh thực hiện chuyển động quay thuần túy. Điều này có nghĩa là trong hệ thống này tốc độ của tải thứ hai $v_{0\mathrm{T}}$ hướng vuông góc với thanh. Áp dụng định luật cộng vận tốc $v_2 = v_{0\mathrm{T}} + v_1$ (xem hình 7, b), ta thu được sự tương ứng (17).

Có vẻ như các biểu thức tìm được cho vận tốc cho kết quả đầy đủ lời giải bài toán. Tuy nhiên, bài toán này chứa đựng một cách tiếp cận có đi có lại mà chúng tôi sẽ phân tích theo luật.

Lời giải sẽ hoàn thành nếu trọng lượng thứ hai không thể nhấc lên khỏi bức tường thẳng đứng. (Ví dụ, để làm được điều này, có thể đặt các vật nặng lên các ống mềm và thanh phải được gắn bản lề vào chúng). Tuy nhiên, trong phiên bản bài toán của chúng tôi (xem hình 7, a) ở một góc nào đó, tải thứ hai sẽ tách ra khỏi bức tường thẳng đứng, sau đó tải trọng đáp số tìm thấy sẽ không thể áp dụng được. Thực tế là xung lực ngang của hệ chỉ được xác định bởi chuyển động của tải đầu tiên, tốc độ của tải này, theo biểu thức của $v_1$, tăng đến một góc nhất định, sau đó bắt đầu giảm. Điều này có nghĩa là tại một thời điểm nào đó lực ngang bên ngoài tác dụng lên hệ phải đổi hướng. Nhưng chỉ có một lực ngang duy nhất - phản lực của bức tường thẳng đứng, không thể thay đổi hướng của nó. Như vậy, tại thời điểm phản lực của tường bằng 0 thì tải trọng thứ hai được tách ra khỏi tường. Vi phân biểu thức của $v_1$ theo thời gian, ta thấy rằng $v_1$ lớn nhất là $\sin \alpha = 2/3$. Ở góc $\alpha = \arcsin (2/3)$ thanh sẽ được tách ra khỏi bức tường thẳng đứng.

Trận chiến

1. Tìm gia tốc của thanh và nêm như ở hình 8. Không có ma sát.
2. Tìm độ căng chỉ trong hệ như ở hình 9.
3. (dành cho những người yêu thích thủ đoạn và cạm bẫy). Gia tốc của tải trong hệ thống được hiển thị trong hình 10 là bao nhiêu?
4. Tìm gia tốc của nêm tại hình 11. Không có ma sát. Gợi ý. Áp dụng phương pháp được sử dụng ở lời giải bài toán 2 trong bài viết.

63

Steoremia bài toán với quả bóng

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
M. R. LIBERZON

Bài viết này thảo luận về bài toán sự kết hợp của các vật thể trong không gian bao gồm một hoặc nhiều quả bóng. Tập hợp các vật thể được chỉ định trong bài tập có thể khó mô tả trên bản vẽ, nhưng điều này là không cần thiết: ​​đối với lời giải, việc xây dựng các bản vẽ phẳng thu được các mặt phẳng trong phần của một hình không gian nhất định hoặc khi chiếu nó lên một mặt phẳng là đủ. Điều chính là chọn đúng mặt phẳng. Không có cách chung nào để đưa ra lựa chọn như vậy; tất nhiên, bạn phải cố gắng đảm bảo rằng các mặt phẳng cắt đi qua càng nhiều điểm nút càng tốt - tâm của các quả bóng, điểm tiếp xúc, v.v. - và trong quá trình thiết kế, độ dài và góc đã cho được giữ nguyên (hoặc thay đổi một cách có kiểm soát).

Chúng ta hãy nhớ lại một vài sự kiện hình học đơn giản thường được sử dụng khi chọn mặt phẳng.

Phát biểu 1. Bán kính bị vẽ về điểm tiếp xúc của hai quả cầu nằm trên cùng một đường thẳng. Khoảng cách giữa tâm tiếp tuyến của các quả bóng bằng tổng hiệu của bán kính của chúng.

Phát biểu 2. Nếu một mặt phẳng đi qua tâm tiếp tuyến của các quả cầu thì nó chứa một điểm tiếp tuyến.

Phát biểu 3. Cho quả bóng chạm vào mặt bên của một hình trụ tròn đứng. Nếu mặt phẳng đi qua hình trụ và tâm quả cầu thì nó chứa một điểm tiếp tuyến.

Phát biểu 4. Cho quả bóng chạm vào mặt bên của một hình nón tròn bên phải. Nếu mặt phẳng đi qua chiều cao của hình nón và tâm của quả cầu thì nó chứa một điểm tiếp tuyến.

Để làm ví dụ, chúng ta hãy xem xét một số bài toán được cung cấp vào các thời điểm khác nhau trong các bản giới thiệu tại Đại học Tổng hợp Moscow.

Bài tập 1. Trong không gian ngăn cách giữa một mặt cầu và một mặt phẳng đi qua tâm của nó, đặt ba quả cầu giống hệt nhau có bán kính r sao cho mỗi quả cầu tiếp xúc với hai quả còn lại là mặt cầu và mặt phẳng chỉ định. Đặt bán kính của bề mặt hình cầu.

Lời giải. Hình chiếu của tâm của các quả cầu này lên một mặt phẳng cho trước là các đỉnh của một tam giác đều có cạnh 2r; tâm của mặt cầu nằm ở tâm của tam giác này; khoảng cách từ tâm này đến bất kỳ đỉnh nào của tam giác là 2r/√3 (hình 1).

Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng đi qua tâm O của bề mặt hình cầu và tâm A của một trong những quả cầu này vuông góc với mặt phẳng đã cho. Phần này sẽ tạo ra hình được mô tả trên hình 2. Trên hình điểm M này là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng đã cho, P là điểm tiếp tuyến của quả cầu đã cho với tâm A và mặt cầu đã cho. Trong tam giác vuông AOM, độ dài của các chân đã biết: AM=r, MO=2r/√3. Dấu vết-

64

Vì vậy, $AO = \sqrt{r^2 + \frac{4r^2}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}r$ và chúng ta có thể tìm thấy bán kính cần thiết: $OP = OA + AP = \frac{\sqrt{21}}{3}r + r = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}r$.

Bài 2. Trong tam giác $ABC$ cạnh $AB$ bằng 2, cạnh $BC$ bằng 4 và $\angle B = 60^\circ$. Khi các quả bóng chạm vào mặt phẳng của tam giác $ABC$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ và chạm vào nhau theo cặp. Xác định bán kính của những quả bóng này.

Lời giải. Sử dụng định lý cosin, ta tìm được độ dài cạnh $AC$: nó bằng $\sqrt{12}$. Để các quả bóng chạm vào mặt phẳng của tam giác tại các điểm $A, B, C$ có tâm tại các điểm $O_1, O_2, O_3$ và bán kính của chúng bằng $x, y, z$. Chúng ta hãy vẽ ba mặt phẳng cát tuyến phụ phân bố lại cho mặt phẳng của tam giác $ABC$: một mặt đi qua các điểm $O_1$ và $O_2$ (phần hình của chúng ta theo mặt phẳng này được hiển thị trong hình 3), một mặt đi qua các điểm $O_2$ và $O_3$ và mặt thứ ba đi qua các điểm $O_1$ và $O_3$ (các phần của các mặt phẳng này của thiết bị tương tự nhau). Trong mỗi phần có một tam giác vuông, chiều dài cạnh huyền bằng tổng bán kính của hai quả bóng, một chân bằng hiệu của các bán kính này, chân còn lại bằng chiều dài cạnh tương ứng của tam giác.

KA $ABC$. Bằng cách viết định lý Pythagore cho mỗi tam giác này, chúng ta thu được một hệ gồm ba phương trình với ba ẩn số, từ đó chúng ta tìm thấy $x = \sqrt{3}/2, y = 2\sqrt{3}/3, z = 2\sqrt{3}$.

Bài 3. Một quả cầu có bán kính $R$ nằm trên một mặt phẳng. Cùng một mặt phẳng cắt nhau bởi một hình trụ tròn bên phải có bán kính $r$, và các đường sinh của hình trụ vuông góc với mặt phẳng. Tâm của quả bóng được đưa ra khỏi trục hình trụ một khoảng $\rho > R + r$. Tìm bán kính nhỏ nhất có thể có của một quả bóng có thể chạm vào hình trụ, mặt phẳng và quả bóng đã cho cùng một lúc.

Lời giải. Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng phụ đi qua các trục của hình trụ và tâm $Q$ của quả bóng đã cho. Tâm $O$ của quả bóng, có bán kính mà chúng ta đang tìm kiếm, nằm, rất indo, trong mặt phẳng này. Trong phần (hình 4) có một tam giác vuông $OKQ$, trong đó độ dài của tất cả các cạnh được biểu thị thông qua dữ liệu bài toán $R, r, \rho$ và bán kính mong muốn $x$. Định lý Pythagore đưa ra phương trình tính $x$; giải phương trình này ta được $x = (\sqrt{R + \rho} - r) - \sqrt{R})^2$.

Bài 4. Cho hình lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$). Ở góc $A$ của hình lập phương có một quả bóng có bán kính $R = 0,5$. Tìm bán kính của một quả bóng treo ở góc $C$ của một hình lập phương và chạm vào quả bóng đã cho, với điều kiện cạnh của hình lập phương đó là $a = 1,5$.

Lời giải. Đặt $Q$ là tâm của quả bóng treo ở góc $A$. Có ba quả bóng treo ở góc $C$ và chạm vào quả bóng đã cho. Tuy nhiên, trong số này liên quan đến đáy của khối lập phương $ABCD$

65

tại cùng điểm với quả bóng đã cho và chứa $O_1$ bên trong của nó. Điểm $O_1$ nằm trên điểm $Q$. Hai quả bóng nữa, bán kính mà chúng ta phải tìm, chạm vào quả bóng $Q$ từ bên ngoài và nằm ở hai phía đối diện của nó: quả nhỏ hơn gần đỉnh $C$, quả lớn hơn ở xa nó hơn. Chúng ta hãy biểu thị tâm của chúng lần lượt bằng các chữ cái $O_2$ và $O_3$.

(Lưu ý rằng chỉ quả bóng nhỏ nhất $O_2$ vừa vặn bên trong khối lập phương. Quả bóng ở giữa $O_1$ và quả bóng lớn $O_3$ “bò ra” ngoài ranh giới của nó và không thể chạm vào các mặt của khối lập phương mà chỉ chạm vào phần mở rộng của chúng.)

Hãy tìm bán kính của ba quả bóng này. Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng phụ đi qua các cạnh thẳng đứng $AA_1$ và $CC_1$. Trong mặt phẳng này là tâm của tất cả các quả bóng, các điểm tiếp xúc của chúng với nhau và với mặt phẳng $ABCD$. Hãy cân nhắc việc đánh dấu các quả bóng $O_2$ và $Q$ (hình 5) bằng mặt phẳng này. Trong tam giác $O_2KQ$, chỉ có chiều dài chân $KO_2$ là chưa biết. Nhưng $KO_2=MN$, và chúng ta tìm khoảng cách giữa các điểm $M$ và $N$ tính từ hình chiếu lên mặt phẳng cơ sở $ABCD$ (hình 6);

$$MN=AC-AM-NC=a\sqrt{2}-R\sqrt{2}-x\sqrt{2}=\sqrt{2}(a-R-x).$$

Sử dụng định lý Pythgor cho tam giác $O_2KQ$, ta thu được phương trình

$$(R+x)^2=(R-x)^2+2(a-R-x)^2,$$

có hai nghiệm (nhớ lại theo điều kiện $R=0,5$, $a=1,5$): $(3-\sqrt{5})/2$ và $(3+\sqrt{5})/2$.

Có hai gốc nghĩa là gì? Vẽ mặt cắt và hình chiếu cho các quả bóng $O_3$ và $Q$ tương tự như trong Hình 5 và 6. Đảm bảo rằng bán kính của quả bóng lớn $O_3$ được tìm thấy từ phương trình, phương trình này chỉ khác với phương trình được viết bằng dấu bên trong dấu ngoặc đơn ở bên phải. Sự khác biệt này được loại bỏ khi bình phương. Điều này có nghĩa là hai nghiệm thu được lần lượt là bán kính dài của các quả bóng $O_2$ và $O_3$.

Để tính bán kính của quả bóng $O_1$, chỉ cần xét hình chiếu lên mặt phẳng đáy $ABCD$, như hình minh họa