Kvant 1989, số 1 · Trang

QUANTUM
khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Băng - X

1989

YAX DARGENT

G. DECHAMP

1

Trong phòng:

2 Kính gửi độc giả
3 Phỏng vấn Viện sĩ I. M. Gelfand
14 A. V. Zaretsky. băng-X

Từ lịch sử khoa học
13 L. N. Kryzhanovsky. Cột thu lôi, chính trị và… mũ

Vấn đề «Kvant»
21 Bài toán M1141—M1145, F1148—F1152
22 Lời giải bài toán M1116—M1120, F1128—F1132
29 Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

«Kvant» cho học sinh nhỏ
30 V. L. Gutenkhacher. Phân số - lạc đà - sàn gỗ

---

34 R. Bradbury. P có nghĩa là gói

40 Kính vạn hoa «Kvant»

Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10:
45 Sự cân bằng của hệ cơ học và phương pháp chuyển vị ảo
47 Một chất có bao nhiêu trạng thái?
49 Một số thay đổi liên quan đến hiệu ứng ảnh

vòng tròn toán học
52 S. M. Lvovsky, A. L. Toom. Có thể và không thể

Thế vận hội Olympic
56 V. V. Vasilov, A. A. Fomin. Olympic Toán quốc tế XXIX
59 O. F. Kabardin, V. A. Orlov. Olympic Vật lý Quốc tế lần thứ XIX

Thông tin
65 Mới tuyển sinh vào Trường Toán Báo chí Toàn Liên minh
66 Trường Vật lý và Công nghệ Tương ứng tại MIPT
69 Trường Vật lý và Công nghệ Tương ứng MISiSe
70 Tuyển sinh mới vào bộ phận thư tín của Cơ khí nhỏ

72 phương án thi tuyển sinh
75 Đáp số, gợi ý, lời giải

bìa của chúng tôi

1 Nước đá là một trạng thái tưởng chừng như đơn giản và được nhiều người biết đến của nước. Nhưng từ quan điểm vật lý, băng ở trạng thái của nó là một vật thể độc nhất. Về điều này - để trở thành A.V. Zaretskaya.

2 Bạn có nghĩ rằng giấy gói được gắn với những chiếc mũ của tín đồ thời trang Paris nửa sau thế kỷ 18 không? Gợi ý nằm trong ghi chú “Cột thu lôi, chính trị và… mũ.”

3 trang cờ vua.

4 Câu đố “Những quả bóng nghịch ngợm”.

© Nhà xuất bản Nuka.
Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1989

2

Bạn đọc thân mến!

CHÚC MỪNG NĂM MỚI! Đối với tạp chí «Kvant» đây là năm thứ 20 nó tồn tại. Nhiều người trong số những người khi còn là học sinh thường xuyên đọc tạp chí của chúng tôi và suy ngẫm về các bài báo cũng như nhiệm vụ của tạp chí này giờ đây đã trở thành nhà khoa học, giáo viên và kỹ sư. Chúng tôi hy vọng rằng những người đăng ký mới của chúng tôi sẽ tìm thấy nhiều điều thú vị và hữu ích trên tạp chí.

Mỗi số tạp chí đều chứa đựng nhiều loại tài liệu. Đây là những câu chuyện về những thành tựu của khoa học và những ứng dụng của nó, về lịch sử vật lý, toán học và những khám phá mới. Chúng tôi giới thiệu với độc giả những báo cáo lớn và các nhà khoa học nước ngoài, quan điểm và con đường đến với khoa học của họ.

Tạp chí này có rất nhiều nhiệm vụ cần thiết để rèn luyện tư duy uống rượu. Đây là những bài toán bận rộn dành cho người mới bắt đầu (“học sinh nhỏ tuổi”), trường được chọn nghiêm túc hơn bài toán, kỳ thi bài toán dành cho người nộp đơn, đòi hỏi sự hiểu biết lâu hơn về dữ liệu học thuật và các chu trình nghiên cứu bài toán, bài toán cho vòng tròn toán học. Một vai trò đặc biệt được trao cho phần “Bài toán Kvant”, nơi tổ chức các cuộc thi truyền thống hàng ngày để tìm ra lời giải bài toán tốt nhất từ ​​phần này. Phải nói rằng hầu hết các tài liệu trong tạp chí của chúng tôi đều được thiết kế để máy chủ có thể đọc “với một cây bút chì trên tay”.

Tạp chí sẽ tìm ra những nguồn tư tưởng không chỉ dành cho những “nhà lý thuyết” mà còn dành cho những “nhà thí nghiệm” - những người yêu thích các thí nghiệm vật lý.

Các tài liệu thường xuyên xuất hiện trên tạp chí, kể về các cuộc thi và Olympic khác nhau, về thư từ và các trường vật lý và toán học buổi tối, về những cuốn sách mới về toán học và vật lý.

Năm nay số lượng tạp chí của chúng tôi đã tăng thêm 16 trang. Chúng tôi mong muốn tận dụng cơ hội này để đáp ứng tốt hơn mong muốn của độc giả. Vì vậy, những người quan tâm đến máy tính và lập trình viên sẽ được hướng tới những bài viết về vấn đề toán học của lập trình, về việc sử dụng máy tính trong khoa học và trong cuộc sống. Nhiều sự chú ý sẽ được dành cho các lĩnh vực và thành tựu khác nhau trong khám phá không gian. Đặc biệt, chúng tôi sẽ cung cấp thông tin thường xuyên về công việc của Hiệp hội Hàng không Vũ trụ Thanh niên Trọng lượng, mới được thành lập trực thuộc Ủy ban Trung ương Komsomol. Trên các trang của «Kvant» cũng sẽ có nơi dành cho các tác phẩm hư cấu, chủ yếu là khoa học viễn tưởng.

Chúng tôi thực sự muốn «Kvant» trở thành bạn, trợ lý, giáo viên, chủ sở hữu của bạn. Và điều này là không thể nếu không có sự tham gia trực tiếp của bạn, không có “phản hồi” thử nghiệm. Chúng tôi đang chờ thư của bạn!

3

PHỎNG VẤN VỚI HỌC VIÊN
I. M. GELFANDOM

Hội thảo toán học của Gelfand, diễn ra vào tối thứ Hai tại Đại học Moscow trong 45 năm, đã nổi tiếng khắp toàn cầu. Cả sinh viên năm thứ nhất và các nhà khoa học nổi tiếng đều nghiên cứu tại hội thảo. Nhiều thế hệ nhà toán học xuất sắc đã được đào tạo qua hội thảo này.

Israel Moiseevich là người sáng lập Trường Toán học Tương ứng Toàn Nga và là chủ tịch Hội đồng Khoa học của trường. Trang chủ bài toán Ngôi trường này nhằm giúp đỡ những học sinh, không giống như cư dân Moscow, Leningrad và các thành phố lớn khác, thực tế bị thiếu tài liệu toán học và liên hệ với các nhà khoa học. Được thành lập cách đây 25 năm, Trường Toán Tương ứng Đa dụng là trường đầu tiên thuộc loại hình này ở nước ta; Sau đó, các trường tương ứng khác đã được mở theo gương của nó.

Cuộc gặp với Viện sĩ Gelfand luôn được lên kế hoạch như một cuộc phỏng vấn chung «Kvant». Chúng tôi đã chuẩn bị những câu hỏi mà chúng tôi cho rằng sẽ thú vị với cả người đọc và người đối thoại. Israel Moiseevich, sau khi xem qua danh sách các câu hỏi, nhận thấy rằng các câu hỏi này rất thú vị, nhưng ông… không cho rằng mình có đủ năng lực để trả lời chúng.

• Bạn hiểu không, tôi không cho rằng mình có quyền bày tỏ quan điểm của mình với độc giả trẻ. Để tôi kể cho bạn nghe cách chúng ta làm toán ở độ tuổi trùng với độ tuổi của hầu hết độc giả của Lượng tử - từ 13 đến 17 tuổi. Tôi không chắc bây giờ mình có nhớ tất cả bài toán mà tôi đang làm vào lúc này hay không, nhưng tôi đã nhớ bài toán mà tôi sẽ kể cho bạn nghe rất rõ. Đây là câu chuyện của I.M. Gelfand.

1*

4

Một trong những cuốn tiểu thuyết của Graham Greene có tên là “Kẻ thua cuộc có tất cả”). Tiểu sử toán học của tôi hạnh phúc một cách đáng ngạc nhiên, và trong nhiều năm, đó là sự ứng nghiệm của tuyên bố này. Làm sao tôi may mắn được? Tóm lại, thứ nhất, tôi không học ở trường đại học (hay bất kỳ cơ sở giáo dục nào), và thứ hai, do một số khó khăn trong cuộc sống ập đến với gia đình tôi, tôi thấy mình ở Moscow không có cha mẹ, thất nghiệp, lúc mười sáu tuổi rưỡi.

I. M. Gelfand trò chuyện với nhà toán học kiệt xuất người Pháp J.-P. Serre sau bài phát biểu tại hội thảo của Gelfand tại Đại học quốc gia Moscow. Tháng 4 năm 1984.

Tôi sẽ cố gắng hiểu ý nghĩa của cụm từ “kẻ thua cuộc sẽ có tất cả” nhờ sự trợ giúp của một câu chuyện của một nhà văn người Anh khác, Somerset Mose. Nhân vật chính của câu chuyện, một người hầu của nhà thờ nào đó, đã thất bại: trong quá trình chứng nhận nhân sự của nhà thờ, hóa ra anh ta không biết chữ và bị đuổi việc. Anh ta bắt đầu làm công việc bán sirah, sau đó mua một ki-ốt có bàn, sau đó là một số ki-ốt khác… và tạo dựng sự nghiệp thương mại rực rỡ, trở thành người giàu nhất thành phố của mình, đó là Zer. Và thế là họ phỏng vấn anh ấy – giống như bạn đang phỏng vấn tôi bây giờ – và anh ấy nói với nhà báo rằng anh ấy mù chữ. Nhà báo khốn khó sẽ thốt lên: “Nếu bạn biết chữ thì bạn sẽ đạt đến đỉnh cao nào!” Ngay sau đó là đáp số: “Tôi sẽ là mục sư của nhà thờ.”

Vì vậy, vào tháng 2 năm 1930, ở tuổi 16 rưỡi, khi đến Mátxcơva để thăm họ hàng xa, tôi thất nghiệp một phần, nhận bất kỳ công việc tạm thời nào, chủ yếu ngồi trong Thư viện Lênin và “tiếp thu” những kiến ​​​​thức mà tôi chưa nhận được ở trường và ở một trường dạy nghề độc lập. Trong thư viện, tôi gặp các sinh viên đại học và bắt đầu tham dự các cuộc hội thảo. Ở tuổi 18, tôi đã đi dạy, và ở tuổi 19, tôi học cao học, và tiểu sử toán học sâu hơn của tôi theo một khóa học thông thường, thường xuyên, ở đây nó phù hợp với xu hướng chính thống được khắc sâu cho các nhà toán học.

Nhưng tôi không muốn kể cho người đọc «Kvant» về phần này của cuộc đời tôi, mà là về phần trước - về cách tôi học toán ở độ tuổi từ 13 đến 17. Tôi muốn nói về điều này vì hai lý do. Thứ nhất, theo niềm tin sâu sắc của tôi, ở phần lớn các nhà toán học chuyên nghiệp trong tương lai, tài năng toán học bộc lộ chính xác trong khoảng thời gian từ 13 đến 16 tuổi**), mặc dù tất nhiên, có những biến động, từ sự phát triển sớm hơn đến sự phát triển muộn hơn nhiều (từ 20 đến 30 tuổi và thậm chí 40 tuổi), điều này được quan sát thấy ở một số nhà toán học giỏi. Thứ hai, thời kỳ này hình thành

*) Kẻ thua mất tất cả
**) Israel Monseevich đã nói rất chi tiết về điều này trong một cuộc phỏng vấn đăng trên Izvestia vào ngày 3 tháng 12 năm 1987.

5

Val là cách tôi làm toán. Tất nhiên, đối tượng nghiên cứu có thể khác nhau
được tạo ra, nhưng hình ảnh nghệ thuật của toán học phát triển vào thời điểm đó
là cơ sở cho sự lựa chọn bài toán, điều đã thu hút tôi cho đến ngày nay.
Chúc một ngày tốt lành. Đối với tôi, dường như không thể hiểu được động lực này
hiểu từng thuật toán trong cách nhận biết và chọn chủ đề của tôi
bận. Vì động lực này, họ thực sự đã phát triển rất khác nhau.
do đó nó là hợp lý.

Hội thảo của Gelfand. Đối với mỗi
bảng thứ hai từ trái sang -
sự phát triển của hội thảo là nổi tiếng
nhà toán học Mỹ
R. McPherson. 1981

Điều đầu tiên tôi nhớ là hồi lớp 5-6. Sau đó tôi nhận ra rằng có một nhiệm vụ
những câu hỏi hình học không thể giải được bằng đại số. Tôi đã làm một cái bàn
đối mặt với tỷ lệ giữa chiều dài dây cung và chiều dài cung mỗi 5°. Chỉ có rất nhiều tư thế
Tôi đã học được rằng có các hàm lượng giác (không phải đại số!)
và về cơ bản thì tôi đã biên soạn các bảng lượng giác.

Cũng trong khoảng thời gian đó, tôi đã giải một bài toán đại số sơ cấp.
Tôi không học môn đại số, không biết lý thuyết nhưng đôi khi tôi phải quyết định
khó bài toán, ví dụ, tôi sử dụng các công thức viết tắt (tôi không biết) -
phép nhân. Nếu tôi không thể giải mã được cách giải quyết một vấn đề nhất định,
à, tôi đã xem xét đáp số, học được từ các nhận định của bài toán và xây dựng lại các câu trả lời
đổ phương pháp của họ lời giải. Đặc biệt, sau đó tôi đã hiểu và nhớ hoàn toàn
cuộc sống, rằng một lĩnh vực mới có thể được làm chủ bằng cách giải quyết bài toán, và không có gì phải xấu hổ khi
hãy nhìn vào đáp số, bởi vì khi giải quyết bất kỳ vấn đề nào, chúng tôi luôn
có một giả thuyết về đáp số. Các lớp toán nhìn chung tương tự như lời giải
bài toán, trong đó có điều gì đó được biết về đáp số. Những toán học này
Tất nhiên, bot khác với việc đào tạo cần thiết để thực hiện một cuộc thi
không có việc làm để vào đại học.

Vào đầu lớp 6 tôi nhận thấy bài toán trong hình học, trong đó
tam giác vuông thường xuất hiện với các cạnh bằng 3, 4, 5 và thậm chí
cạnh 5, 12, 13. Tôi muốn tìm tất cả các hình tam giác vuông với
cả hai cạnh, và tôi đã tìm ra công thức đã hứa cho các cạnh của họ, tức là tôi đã tìm thấy tất cả Pi-
Bộ ba Fagorian. (Tất nhiên, lúc đó tôi không biết thuật ngữ này.) Thật không may,
Bây giờ tôi không nhớ mình đã làm điều đó như thế nào.

Tôi học toán trong thời gian bị ốm và trong những ngày nghỉ. Bây giờ tôi đã thay thế
Thật đáng kinh ngạc khi các em học sinh có thể làm được nhiều điều mạnh mẽ khi phải nghỉ học vì bệnh tật
Những ngôi nhà. Vì vậy, sau vài ngày bị bệnh, tôi
để nó ở nhà.

Chúng ta học hình học theo Kiselev, chưa bị hư hỏng bởi những nội dung tiếp theo
xử lý. Một số định lý được đưa ra dưới dạng bài toán. Tôi đã đạt được lời hứa của mình
cuốn sổ (trong những năm đó không dễ dàng như vậy), viết trên mỗi trang

6

điều kiện của định lý và chứng minh gần như đầy đủ các trang trong suốt mùa hè. Đây là cách tôi học cách viết các bài báo toán học.

Tôi sẽ bỏ lỡ một khoảng thời gian lớn. Tôi sẽ chỉ đề cập đến một cuốn sách về đại số Davydov với các phương pháp sắc nét lời giải bài toán để tính cực đại và cực tiểu bằng các phương pháp cơ bản (tức là không sử dụng phép tính vi phân). Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất của $ab$ nếu cho $a+b$; tìm một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất trong một khoảng thời gian nhất định; tìm giá trị lớn nhất của tích các số không âm $a_1a_2...a_n$, nếu tổng của chúng $a_1+a_2+...+a_n$ cho trước; các hình vuông được cắt ra từ một hình vuông ở một cạnh nhất định và một hộp được làm từ phần còn lại; Cần cắt bao nhiêu hình vuông để thể tích của hộp là lớn nhất?

Tôi rất ấn tượng về tổ hợp và quần thể sinh vật của Newton, điều mà tôi đã nghĩ đến từ lâu.

Tôi sống ở một thị trấn nhỏ chỉ có một trường học. Giáo viên toán của tôi là một người rất tốt bụng, mặc dù có vẻ nghiêm khắc tên là Titarenko. Anh ta có bộ ria mép Zaporozhye lớn. Tôi chưa bao giờ gặp một giáo viên nào tốt hơn anh ấy, mặc dù tôi biết nhiều hơn anh ấy và anh ấy hiểu điều đó. Anh ấy rất yêu thương tôi và động viên tôi bằng mọi cách có thể. Động viên là điều quan trọng nhất đối với một người thầy phải không?

Việc cung cấp sách về toán học là rất đáng kể. Tôi thấy trong các quảng cáo có những cuốn sách về toán cao cấp và tôi tưởng tượng toán cao cấp là một thứ gì đó rất thú vị. Bố mẹ tôi không thể đặt mua những cuốn sách này - không có tiền. Nhưng ở đây tôi lại gặp may mắn. Năm 15 tuổi, tôi được đưa đến Odessa để phẫu thuật viêm ruột thừa. Tôi nói với bố mẹ rằng tôi sẽ không đến bệnh viện cho đến khi họ mua cho tôi những cuốn sách về toán cao cấp. Cha mẹ đồng ý và mua khóa học toán cao cấp của Belyaev để học cao hơn bằng tiếng Ukraina. Tuy nhiên, chỉ có đủ tiền cho phần đầu tiên, với phần trình bày về phép tính vi phân và hình học giải tích trên mặt phẳng.

Tôi thật may mắn vì đã không bắt đầu với một khóa học đại học chuyên sâu. Đó là một cuốn sách rất cơ bản. Trình độ của cuốn sách Belyaev có thể được đánh giá qua phần giới thiệu về nó. Đặc biệt, nó nói rằng có ba loại chức năng: phân tích, được xác định bằng công thức; thực nghiệm, được đưa ra bằng bảng; tương quan. Nhiều năm sau, tôi đã biết được hàm tương quan là gì từ một sinh viên học lý thuyết xác suất.

Vào ngày thứ ba sau ca phẫu thuật, tôi cầm cuốn sách này lên và đọc, xen kẽ với việc đọc tiểu thuyết của E. Zola, trong chín ngày (sau ca phẫu thuật đó là 12 ngày). Trong thời gian này tôi đã đọc nó.

Từ cuốn sách tôi có hai ý tưởng tuyệt vời. Thứ nhất, mọi bài toán hình học trên mặt phẳng và trong không gian đều có thể được viết bằng công thức. Tuy nhiên, tôi đã nghi ngờ điều này trước đây. Tôi cũng đã biết về sự tồn tại của những đường cong tuyệt vời như hình elip.

Ý tưởng thứ hai - nó đã cách mạng hóa thế giới quan của tôi - đó là có một công thức tính sinhus: sin $x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$ -…

Trước đó, tôi tin rằng có hai loại toán học - đại số và hình học, và toán hình học thuộc về “siêu việt” đối với đại số. Lấy ví dụ, công thức tính vòng tròn - có một số “hình học” l. Hoặc giả sử sinhus - nó được xác định thuần túy về mặt hình học.

Khi tôi phát hiện ra rằng sinhus có thể viết đại số dưới dạng một chuỗi thì rào cản đã sụp đổ, toán học trở nên thống nhất. Và bây giờ tôi nhận thấy các nhánh khác nhau của toán học cùng với vật lý toán học là một tổng thể duy nhất.

Tất nhiên, tôi tin rằng bài toán được giải quyết tự động đến mức cực đoan và mặc dù chúng mất đi sức hấp dẫn nhưng bạn vẫn có trong tay một thiết bị mạnh mẽ cho lời giải của chúng.

7

Trong khi nghiên cứu phép tính vi phân, tôi được biết rằng còn có phép tính vi phân liên quan đến diện tích và thể tích. Nhưng tôi không biết nó bao gồm những gì: rốt cuộc thì tôi không có tập thứ hai của khóa học của Belyaev!

Ở đây tôi muốn nhớ một bài toán khác. Khi chúng tôi nghiên cứu thể tích vật quay ở trường vào mùa thu năm sau, bạn cùng lớp của tôi, nhà toán học nổi tiếng sau này là D.P. Milman, đã thu hút sự chú ý của tôi đến điều sau đây bài toán: tìm thể tích của một vật thể tạo thành khi một đường tròn quay quanh một tiếp tuyến

Trao bằng tiến sĩ danh dự của Đại học Lyon cho I. M. Gelfand. Tháng 6 năm 1984.

Nô-ê. Đối với lời giải cái bài toán này, tôi chia hình tròn thành các dải và tính tổng chênh lệch thể tích của các hình trụ quay tương ứng. Vì vậy tôi đi đến nhu cầu tìm tổng

$$\cos \varphi + \cos 2\varphi + \cos 3\varphi + \dots + \cos n\varphi.$$

(*)

Điều xảy ra tiếp theo, như mọi khi, là sự kết hợp giữa sự khéo léo và sự ngu ngốc. Tôi đã bỏ qua lỗi sai của lời giải cơ bản bằng cách sử dụng lượng giác tổng quát, nhưng sử dụng công thức $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$ (công thức này được gọi là công thức Euler, nhưng tôi không biết điều đó). Tôi nhận được công thức này từ loạt bài về sin, cosin và $e^x$, điều này khiến tôi vô cùng ấn tượng. Tiếp theo, việc còn lại là tìm tổng của cấp số nhân $e^{i\varphi} + e^{2i\varphi} + \dots$ và lấy tổng (*) từ nó, đó là điều tôi đã làm.

Về điều này bài toán, tôi có thói quen nghĩ về bài toán và sau đó là lời giải. Cụ thể: anh ấy đã di chuyển vòng tròn ra khỏi đường thẳng và nhận ra rằng khi quay, sẽ thu được một vật giống như một vòng tròn cao su, trên đó

*) $i$ — đơn vị tối thiểu ($i^2 = -1$); về số phức có thể được đọc, ví dụ, trong «Kvant» (1983, số 2, trang 16).

9

Thêm các đẳng thức này, tôi nhận được

$$F(n+1) - F(1) = S_0 + \frac{S_1}{2!} + \frac{S_2}{3!} + \dots,$$

trong đó $S_0$ là số tiền tôi quan tâm và

$$S_1 = f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n),$$

$$S_2 = f''(1) + f''(2) + \dots + f''(n),$$

Sau đó tôi viết ra hệ thống

$$F(n+1) - F(1) = S_0 + \frac{S_1}{2!} + \frac{S_2}{3!} + \frac{S_3}{4!} + \dots,$$

$$f(n+1) - f(1) = S_1 + \frac{S_2}{2!} + \frac{S_3}{3!} + \dots,$$

$$f'(n+1) - f'(1) = S_2 + \frac{S_3}{2!} + \dots,$$

tức là một hệ vô hạn với vô số ẩn số $S_0, S_1, S_2$, … Tôi đã đề cập rằng cuốn sách của Kagan có định thức vô hạn, vì vậy tôi có thể sử dụng “quy tắc Cramer” để tìm $S_0$:

$$S_0 = \frac{1}{1}$$

Tôi đã mở rộng tử số của “phân số” này sang cột đầu tiên, thu được

$$S_0 = B_0(F(n+1) - F(1)) + B_1(f(n+1) - f(1)) + B_2(f'(n+1) - f'(1)) + \dots,$$

(1)

trong đó $B_0 = 1, B_1, B_2, \dots$ là các định thức số của cấp vô hạn. Biểu thức thu được được gọi là công thức Euler-Maclaurin, nhưng tất nhiên là tôi không biết về nó. Để tính toán nó, cần phải tìm các hệ số $B_0, B_1, B_2, \dots$.

Để làm được điều này, tôi đã áp dụng những cân nhắc mà ngày nay được gọi là “chức năng”. Cụ thể là, lợi dụng thực tế là các hệ số $B_0, B_1, \dots$ không phụ thuộc vào $f$, tôi đã chọn một hàm $f$ sao cho phía bên trái của hệ hình thành một cấp số nhân (mà tôi đã biết cách tính tổng). Hàm $f(x) = e^{\alpha x}$ phù hợp cho việc này, thay nó vào công thức (1), tôi nhận được (thực hiện các phép tính!)

$$B_0 + \alpha B_1 + \alpha^2 B_2 + \dots = \frac{\alpha}{e^{\alpha}-1},$$

tức là anh ta thu được tích của hàm cho các số được yêu cầu $B_0, B_1, B_2, \dots$ (chúng được gọi là số Bernoulli và đa thức $S_0$ cho $f(x) = x^p$ được gọi là đa thức Bernoulli).

Từ khoảng thời gian này tôi nhớ thêm hai bài toán. Hàm đầu tiên nảy sinh từ bài toán trong bài toán đại số của chúng ta: Biểu diễn $x_1^2 + x_2^2$ và $x_1^3 + x_2^3$ theo các hệ số của phương trình bậc hai có nghiệm là $x_1$ và $x_2$. MỘT SỰ TỔNG HỢP TỰ NHIÊN LÀ VẤN ĐỀ: Biểu thị tổng $x_1^2 + \dots + x_n^2$ và $x_1^3 + \dots + x_n^3$, trong đó $x_1, \dots, x_n$ là nghiệm của phương trình $x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0$, thông qua

10

hệ số bản ngã. Định lý Bezout đã giúp ích cho tôi ở đây, điều mà tôi học được từ sách giáo khoa của Davydov. Tôi đã đi xa hơn và đặt cho mình một bài toán tổng quát hơn: biểu thị tổng lũy ​​thừa bậc $k$ của các nghiệm của một phương trình đại số bậc $n$ theo các hệ số của phương trình này. Tôi đã giải được bài toán này (đáp số được gọi là công thức Newton).

bài toán thứ hai mà tôi đang giải quyết sau đó nảy sinh khi tôi phát hiện ra rằng cos $ix$ là một số thực, hoặc

$$\cos ix = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$$

Tôi đã suy nghĩ về sự thật bất ngờ này và chứng minh định lý đầy hứa hẹn sau: mọi hàm số thực chẵn đều lấy giá trị thực trên trục tối thiểu.

Để chứng minh điều này, cần phải làm rõ “chức năng” là gì. Tôi đã nghĩ về việc nên gọi một hàm là gì và chấp nhận định nghĩa sau: hàm là tổng của một bậc vô hạn hội tụ của một chuỗi. Sau đó, việc chứng minh định lý gần như hiển nhiên.

Rõ ràng, bài toán này là điều cuối cùng tôi nghĩ đến trước khi đến Moscow. Tôi đã giải được nó vào mùa hè năm 1929, và trong sáu tháng tiếp theo, thời điểm rất khó khăn đối với tôi và gia đình, tôi không có thời gian dành cho toán học.

Khoảng thời gian học tập tiếp theo của tôi ở Moscow, không giống như những gì đã được mô tả, không phải là một “thử nghiệm thuần túy”. Ở Moscow, tôi đã phải chịu nhiều ảnh hưởng khác nhau và sự phát triển của tôi không còn đi theo con đường riêng của nó nữa. Trong thời gian này, như tôi đã nói, tôi đã tự học trong thư viện mang tên. V.I. Lenin, sống sót nhờ thu nhập chính thức. Tuy nhiên, thời gian thậm chí còn bị kiểm soát ở Leninka. Tôi đã gặp một số sinh viên toán đại học. Một trong số họ nói với tôi rằng mối quan tâm của tôi đối với các biểu thức có dạng $f(n+1)-f(n)$ gắn liền với cả một ngành khoa học gọi là lý thuyết sai phân hữu hạn, và gợi ý rằng tôi cần đọc cuốn sách “Differenzenkalkül” của Nörlund về chủ đề này. Cuốn sách đó bằng tiếng Đức, nhưng tôi có thể hiểu được nó nhờ sự trợ giúp của từ điển.

Tôi bắt đầu đi dự các buổi hội thảo ở trường đại học, và rồi tôi thấy mình bị áp lực tâm lý nặng nề. Tôi thấy rằng cách làm toán của tôi không hiệu quả. Những điều mới đã xuất hiện trong toán học - những yêu cầu mới liên quan đến tính chặt chẽ của chứng minh, mối quan tâm lớn đến lý thuyết hàm số thực (TFV). (Tôi lưu ý rằng ngày nay cả mức độ nghiêm ngặt này và TFDP đều bị coi là lỗi thời và lỗi thời, nhưng sau đó…)

Sau đó, tôi nhận ra rằng điều rất quan trọng là một hàm số không nhất thiết phải sai, một hàm liên tục không nhất thiết phải khả vi, một hàm khả vi không cần phải khả vi hai lần, v.v.; rằng ngay cả khi một hàm có tất cả các bậc tùy ý thì chuỗi Taylor của nó không nhất thiết phải hội tụ và ngay cả khi nó hội tụ, tổng của nó không nhất thiết phải trùng với giá trị của hàm! Nếu sự trùng hợp này xảy ra, thì một hàm như vậy được gọi là hàm giải tích, và loại hàm này, những người theo TFDP lập luận, hẹp đến mức nằm ngoài các khoảng chính của toán học. Và tôi chỉ xem xét các chức năng như vậy!

Dưới áp lực của quan điểm này, tôi đã đọc một cuốn sách giáo khoa “hiện đại, nghiêm ngặt” về phân tích của Vallée Poussin, tương tự như những cuốn sách giáo khoa ngày nay được sử dụng tại Đại học Cơ học Quốc gia Moscow, nhưng tốt hơn chúng. Vì vậy, tôi hiểu về một thợ cơ khí năm thứ nhất đầy thiện cảm, người chỉ được phép tiếp cận vẻ đẹp của phân tích toán học sau thời gian thử việc một năm, một bài kiểm tra về “sự biện minh nghiêm ngặt” của phân tích.

Nhưng ngay cả ở đây tôi cũng may mắn. Tôi bắt đầu đọc cuốn sách giáo khoa tuyệt vời của I. I. Pri-

12

đồng hồ làm ra chiếc hộp (xem hình). Nên cắt hình vuông có kích thước bao nhiêu để có thể tích tối đa của hộp?

Rõ ràng là bạn không thể cắt những hình vuông quá nhỏ, vì chiếc hộp sẽ trở nên quá nhỏ. Bạn không thể cắt những hình vuông quá lớn, vì khi đó hộp sẽ quá hẹp. Bạn nên cắt bao nhiêu?

Gợi ý: thể tích của hộp $V = x(a - 2x)^2$. Woo-
dem tìm kiếm tối đa $4V = (4x)(a - 2x)(a - 2x)$,
tức là tích lớn nhất của ba số có tổng bằng 2a.

5. Zadchacha. Tính tổng của $\cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx$ và $\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx$.

6. Trong khi tính thể tích và diện tích bề mặt của một vật thể quay, I.M. Gelfand đã khám phá ra các định lý đáng chú ý của Guldin:

thể tích của vật quay của một hình phẳng quanh một trục không cắt nó bằng tích của diện tích hình này và chiều dài của hình tròn mô tả bởi trọng tâm;

Diện tích bề mặt của vật quay bằng tích của chiều dài ranh giới của hình và chiều dài của vòng tròn được mô tả bởi trọng tâm của ranh giới này.

Zadchacha. Các trọng tâm của hình bán nguyệt và hình bán nguyệt cách tâm bao nhiêu?

7. Để làm quen với định thức, chúng ta hãy giải hệ phương trình tuyến tính:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2. \end{cases}$$

Nếu $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$, thì lời giải của nó sẽ cho công thức:

$$x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1}, y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}.$$

Đại lượng $a_1b_2 - a_2b_1$ trong mẫu số được ký hiệu là $\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix}$ và được gọi là định thức. Các chữ số cũng chứa các định thức $\begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}$ và $\begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix}$.

Tương tự cho hệ thống lời giải

$$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1, \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2, \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$$

mẫu số sẽ chứa định thức bậc ba. yếu tố quyết định

$$\begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix}$$

cân bằng $a_1(b_2c_3 - b_3c_2) + a_2(b_3c_1 - b_1c_3) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1)$. Lưu ý rằng có định thức bậc hai trong ngoặc đơn. Ký hiệu này của định thức được gọi là phân rã của nó trong cột đầu tiên.

Có thể thống nhất một năm nào của biến $a_1, a_2, \dots, d_4$ định thức cấp 4 bao gồm:

$$\begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{matrix}.$$

Khó khăn hơn nhiều để đoán những dấu hiệu của những năm này là gì.

Bảng số vuông được gọi là ma trận (vuông), và các định thức tương ứng được gọi là định thức ma trận. Điều thú vị là bây giờ I.M. Gelfand đang bị cuốn hút bởi câu hỏi: định thức của ma trận bậc ba sẽ bằng bao nhiêu? Khi nhận được đáp số, người ta sẽ thấy anh ấy kể về điều đó trên trang «Kvant».

8. Zadchacha. Chứng minh rằng

$$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6$$

Và

$$1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = n^2(n+1)^2/4.$$

Thật tuyệt vời $1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + \dots + n)^2$. Tôi tự hỏi liệu điều này có thể được chứng minh trực tiếp không?

Số Bernoulille cho phép tính tổng tổng $1^p + 2^p + \dots + n^p$ dưới dạng đa thức ở $n$ bậc $p+1$.

9. Vấn đề. a) Biểu thị tổng bình phương của các nghiệm của phương trình $x^2 + px + q = 0$ theo các hệ số của nó.

6. Điều tương tự cũng áp dụng cho tổng lập phương của các nghiệm của phương trình này.

b) Tương tự - đối với tổng bình phương và lập phương của các nghiệm của phương trình

$$x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0.$$

Gợi ý: sử dụng công thức của Vieta:

$$a_1 = -(x_1 + x_2 + \dots + x_n), \quad a_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_n-1x_n, \quad a_3 = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + \dots + x_n-2x_nx_1x_n),$$ trong đó $x_1, x_2, \dots, x_n$ là nghiệm của phương trình.

Giải bài toán tổng quát bài toán về cách biểu diễn tổng lũy ​​thừa của các nghiệm của một phương trình thông qua các hệ số của nó, I. M. Gelfand đã chứng minh được công thức của Newton:

$$p_k + a_1p_k-1 + a_2p_k-2 + \dots + a_k-1p_k = 0, \quad k \leq n, \quad p_k + a_1p_k-1 + a_2p_k-2 + \dots + a_np_k-n, \quad k > n.$$

Ở đây $p_k$ biểu thị tổng lũy ​​thừa $i$ của các nghiệm $x_i^1 + x_i^2 + \dots + x_i^n$.

Các công thức của Newton có thể được coi là một hệ phương trình tuyến tính cho $p_i$ với các hệ số $a_1, a_2, \dots, a_n$. Nếu giải hệ này, bạn sẽ nhận được công thức Variant, biểu thị trực tiếp tổng bậc của các phương trình thông qua các hệ số của nó. Trong toán học hiện đại, làn da này đã có sự phát triển vượt bậc.

13

Cột thu lôi, chính trị và…
mũ

Một người yêu khoa học đến từ Philadelphia (Pennsylvania), Benjamin Franklin, sau này là nhà ngoại giao và là thành viên của nhiều học viện khoa học, bao gồm cả St. Petersburg, đã viết trong tạp chí công việc của mình vào năm 1749 ý tưởng về một thí nghiệm nhằm xác nhận bản chất điện của hiện tượng giông bão, và vào năm 1750, trong một lá thư gửi nhà khoa học người Anh Peter Collinson, ông đã đề xuất một cột thu lôi - một thanh kim loại nối đất nhô lên phía trên vật thể được bảo vệ.

Vào mùa xuân năm 1752, thí nghiệm theo kế hoạch của Franklin đã được thực hiện thành công ở Pháp - tia lửa được tách ra từ một cột kim loại lắp trong buồng trên chất cách điện khi có giông bão. Một thời gian sau (cùng năm) tại Philadelphia, Franklin đã tự mình thực hiện một thí nghiệm với một “con diều điện” - ông đã tạo ra tia lửa từ một sợi dây ướt từ mép gờ, trên đó một con diều có đầu kim loại được thả ra và Franklin, đang ở trong một nơi trú ẩn, được giữ bằng một dải ruy băng lụa buộc vào nó. Những cột thu lôi đầu tiên đã sớm xuất hiện, mặc dù việc triển khai chúng diễn ra tương đối suôn sẻ. Thường là bởi chúng tôi, không phải bởi những người sắc bén. Một tình huống nảy sinh làm nảy sinh cuộc đấu tranh giữa những người thẳng thắn và những người sắc bén trong Gulliver’s Travels của Jonathan Swift (ấn bản đầu tiên của cuốn sách được xuất bản năm 1726). Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn (viện khoa học) phản đối cải tiến nhỏ do Wilson đề xuất. Tuy nhiên, vua George III vào năm 1777, trong cuộc chiến tranh với các thuộc địa Mỹ đang đấu tranh giành độc lập từ Anh, đã ra lệnh thay thế những cột thu lôi nhọn bằng những cột thu lôi cùn để không sử dụng phát minh của kẻ thù.

(Tiếp theo trang 20)

14

Những bông tuyết dưới kính lúp
dường như lớn hơn nhiều
họ thực sự là gì
và chờ đợi những bông hoa sang trọng
hoặc ngôi sao thứ mười.
Hãy xem nó đã được thực hiện tốt như thế nào! —
Kai nói. - Người tuyết tự hào
thú vị hơn hoa thật!
Và độ chính xác là bao!
Ôi, giá như
họ không hề trốn tránh!

G.-H. Andersen.
“Nữ hoàng tuyết”

15

Đối với mọi người, băng dường như luôn là biểu tượng của vẻ đẹp, độ chính xác và kích thước. Nhưng vẻ đẹp như súp, vẻ đẹp mang trong mình sự lạnh lùng, xấu xa và đôi khi là cái chết. Không có gì ngạc nhiên khi Dante tưởng tượng rằng băng phải ở ngay trung tâm Trái đất, ở bước cuối cùng dẫn đến Địa ngục, và kho báu của Satan được giấu trong một chiếc rương băng.

Không còn nghi ngờ gì nữa, việc người nghệ sĩ khám phá các hiện tượng tự nhiên và quy luật của thế giới trải qua nhận thức đầy cảm xúc của anh ta về thế giới xung quanh. Một nhà khoa học phải bình tĩnh, cả khi lựa chọn đối tượng nghiên cứu cũng như khi phân tích nhiều dữ liệu (và đôi khi trái ngược nhau).

Tại sao băng có thể thú vị từ quan điểm vật lý?

Công thức hóa học của nước đá là H₂O. Khi nguội đi, nước đóng băng, hay chính xác hơn là kết tinh. Hiện tại, mười ba (!) dạng cấu trúc khác nhau của băng đã được phát hiện. Ngay cả khi con số này bị một số người coi là không may mắn, nó vẫn đặt băng vào một vị trí đặc biệt - không một chất nào, chỉ đơn giản là về thành phần hóa học, có thể giống với những chuyển pha thông thường như vậy. Đây là lý do đầu tiên để xem xét kỹ hơn đối tượng này.

hình 1 hiển thị gần như toàn bộ sơ đồ pha của H₂O. Nó đã được nghiên cứu khá kỹ, mặc dù nó vẫn còn nhiều đốm trắng. Chỉ cần nói rằng Ice-X và Ice-XI chỉ được phát hiện cách đây vài năm. Loại băng mà tất cả chúng ta quen thuộc cũng được chỉ ra trong sơ đồ - đây là băng-I, hay chính xác hơn là băng-Iₙ. Ở áp suất thường và 0 °C, mật độ riêng của nó là 0,917×10³ kg m⁻³, nó nhẹ hơn nước, tức là trong quá trình kết tinh, mật độ của nước giảm.

Đặc tính hoàn toàn không được biết đến này của băng (xét cho cùng, quá trình kết tinh thường dẫn đến sự gia tăng mật độ) có tầm quan trọng to lớn đối với sự sống trên Trái đất. Lớp vỏ băng hình thành trên bề mặt nước tạo ra một cột cách nhiệt hiệu quả, do đó các hồ chứa hiếm khi đóng băng đến toàn bộ độ sâu của chúng. Tôi thậm chí không muốn nghĩ điều gì sẽ xảy ra với thế giới dưới nước nếu băng nặng hơn nước một chút!

Hình 1. Hình 2.

18

đề cử trên hình 3, b, dẫn đến vi phạm đoạn 3.

Nhưng người ta biết rằng băng không phải là chất điện môi lý tưởng mà có độ dẫn điện và độ dẫn proton hoàn toàn khác. Đọc, proton có thể di chuyển! Vậy quy tắc BFP có sai không? Câu trả lời đúng là: chúng hầu như luôn đúng, nhưng chính những ngoại lệ đối với những quy luật này mới là nguyên nhân gây ra các tính chất điện tuyệt vời của băng.

Vào cuối những năm 50, nhà vật lý Sa hoàng Jacquard đã đề xuất một cách rất hay để mô tả các tính chất điện này bằng sự chuyển động của các khuyết tật tự do phát sinh chính xác khi các quy tắc BFP bị vi phạm. Đây là một cơ chế dẫn điện rất khó hiểu, vì vậy chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn.

Hãy “làm hỏng” mạng băng bằng cách vi phạm quy tắc thứ 2 của BFP: chúng ta loại bỏ một proton khỏi một nguyên tử oxy và thêm nó vào một nguyên tử oxy khác - như trong hình 3, b. Chúng ta sẽ nhận được cái gọi là khiếm khuyết ion (chúng được chỉ định là OH⁻ và H₃O⁺). Bây giờ chúng ta hãy làm hỏng mạng bằng cách vi phạm quy tắc 3, như thể hiện trong hình 3, f. Trong trường hợp này, các khiếm khuyết về định hướng sẽ phát sinh (còn gọi là khiếm khuyết L và D).

Các khuyết tật luôn tồn tại trong cấu trúc của băng, nhưng có rất ít khuyết tật - trong băng tinh khiết về mặt hóa học ở nhiệt độ -10 ° C, cứ 3 × 10¹¹ phân tử nước thì có khoảng 10⁵ khuyết tật định hướng và chỉ một vài khuyết tật ion.

Ở hình 4, nó cho thấy chuyển động của proton có thể xảy ra như thế nào. Hãy xem xét độ khuyết ion H₃O⁺. Proton 1 di chuyển đến vị trí được chỉ định bởi dấu thập. Trước đây, ion H₃O⁺-ion ở nguyên tử oxy I, nhưng bây giờ nó sẽ ở nguyên tử oxy II. Tiếp theo, proton 2 di chuyển đến vị trí cũng được đánh dấu bằng dấu thập - bây giờ là H₃O⁺ ở nguyên tử III, v.v. Chúng ta thấy rằng mỗi lần các proton khác nhau chuyển động, như thể truyền dùi cui cho nhau. Và kết quả là ion H₃O⁺ “tự di chuyển” hoàn toàn. hình 4, b hiển thị mạng băng sau khi ion H₃O⁺ di chuyển từ vị trí I sang vị trí X.

Để rõ ràng, chúng tôi lấy một lưới băng vuông phẳng giả định. Trong mạng này, mỗi nguyên tử oxy có các oxy lân cận tương đương rõ ràng, như trong mạng ba chiều, và do đó tất cả các kết luận thu được ở đây đều có giá trị đối với mạng băng thực sự. Cố gắng tự mình tìm ra cách di chuyển của các khuyết tật OH⁻-ion, L- và D.

Hóa ra ở một số chất khác cơ chế dẫn truyền cũng giống như vậy. Ngày nay, ngay cả những nghiên cứu rất cần thiết cũng đi theo nghiên cứu về cơ chế dẫn điện của băng, vì ở một số đối tượng sinh học, sự chuyển dịch rất giống với chuyển động của proton trong băng.

Lý thuyết của Jaccard đòi hỏi rất nhiều, nhưng mỗi năm số lượng các sự kiện thực nghiệm đòi hỏi phải đào sâu hơn nữa các ý tưởng hiện có ngày càng tăng. Những giả thuyết mới, và đôi khi rất thiếu học thức, xuất hiện. Theo một trong những giả thuyết táo bạo này, các hạt mang điện thực sự trong băng là các electron “gắn” làm khuyết các proton đang chuyển động. Cho dù điều này là như vậy, thời gian sẽ trả lời.

19

Các đặc tính khối lượng của băng là khá cần thiết và thậm chí đã tuyệt chủng, nhưng các đặc tính của bề mặt băng vẫn còn đáng ngạc nhiên.

Đánh thức bất kỳ người nào vào lúc nửa đêm và hỏi băng tan ở nhiệt độ nào? “Tất nhiên là ở 0°C.” Nhưng câu hỏi “bề mặt băng bắt đầu tan ở nhiệt độ nào?” không thể được trả lời một cách rõ ràng ngay cả bởi các chuyên gia về vật lý băng.

Từ quan điểm khoa học cơ bản, các nghiên cứu về bề mặt băng là vô cùng thú vị. Nhưng những nghiên cứu này đều có tầm quan trọng thực tế như nhau, nếu không muốn nói là lớn hơn. Chuyển động của tàu phá băng, tàu thuyền và máy bay chống đóng băng, hoạt động xây dựng ở các vùng cực và vùng cực, sự chuyển động của sông băng - trong tất cả các trường hợp này, điều quan trọng là phải biết điều gì xảy ra trên bề mặt băng, tức là tại bề mặt tiếp xúc giữa băng - kim loại, nhựa, các nhóm khác nhau, v.v. Cần phải biết cơ chế bám dính của băng với các vật liệu cấu trúc khác nhau, tính chất và cường độ ma sát cũng như các đặc điểm tương tự. Và những vật liệu có hệ số ma sát tối thiểu đối với các thiết bị thể thao khác nhau cần thiết biết bao!

Nhân tiện, tại sao nhiều vật liệu lại trượt tốt trên băng như vậy?

Câu hỏi này có vẻ đơn giản đối với nhiều người. Suy cho cùng, trượt tốt là khi có một lớp nước giữa cơ thể và mặt băng. Và khi một cơ thể ấn mạnh vào băng, nó sẽ tan chảy - dưới áp suất, sự tan chảy bắt đầu ở nhiệt độ thấp hơn.

Hãy tìm ra nó. Như sau trong sơ đồ vật lý, nhiệt độ tan chảy của băng tăng thêm 1 độ khi áp suất tăng thêm Δp=10⁷ Pa. Đặt khối lượng của sườn núi là M=60 kg, và tiết diện của sườn núi S=3·200 mm²=6·10⁻⁴ m2; thì áp suất bổ sung sẽ là Δp=Mg/S=10⁶ Pa. Điều này có nghĩa là dưới sườn núi, điểm nóng chảy chỉ là… 0,1 °C. Nhưng trượt tuyết ở -10°C thì sao? Vâng, lời giải thích cho việc trượt tốt rõ ràng là một điều gì đó khác.

Người ta tin rằng ở phạm vi nhiệt độ cực cao, có một lớp gần như id mỏng trên bề mặt băng kết tinh (“gần như” có nghĩa là “gần như” hoặc “như thể”). Không chắc lớp màng mỏng này là một chất lỏng thông thường. Tuy nhiên, nhiều đặc tính của nó rất gần với đặc tính của nước. Trong một số thí nghiệm, sự tồn tại của lớp gần như id có thể được theo dõi ngay cả ở -30 °C, tức là 30 độ trước khi tan chảy!

Có lẽ sự hiện diện của lớp tựa id gây ra hệ số ma sát nhỏ? Một đề xuất như vậy có thể giải thích rất nhiều điều, nhưng thật không may, bản chất thực sự phức tạp hơn nhiều và vẫn chưa được hiểu rõ.

Nhân tiện, cuộc tranh luận giữa các khái niệm “lớp gần như id” và “sự tan chảy do áp suất” đã diễn ra trong hơn một thế kỷ. Nguồn gốc của cuộc tranh chấp này là các nhà vật lý thay thế - Faraday và anh em nhà Thomson (một trong số họ được mọi người biết đến với cái tên Lord Kelvin). Vâng, vâng, những nhà khoa học nổi tiếng thế giới này cũng nghiên cứu về băng.

Tôi không nghi ngờ gì rằng tất cả các bạn đều chơi bóng tuyết. Nhưng bạn có bao giờ thắc mắc tại sao việc tách một quả cầu tuyết lại dễ dàng đến vậy không? Tuyết không phải là bột, không phải là đĩa mà là những tinh thể băng nhỏ (!) Rốt cuộc, bạn không thể tạo ra một “quả cầu tuyết” từ các mảnh kim loại, nhưng bạn có thể tạo ra một quả cầu tuyết từ băng. Bạn không nghĩ vậy à?

Nhưng Michael Faraday, hơn một trăm năm trước, dường như đã bắt đầu suy nghĩ. Năm 1850, ông thu hút sự chú ý đến một thực tế sau: các mảnh băng sẽ đóng băng nếu chúng tiếp xúc với nhau ở nhiệt độ khoảng 0 ° C. Tại sao? Để giải thích sự thật này Faraday đã đề xuất

20

RẰNG CÓ LỚP ĐẶC BIỆT - CỬA LỎNG - TRÊN BỀ MẶT LBDA.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét hình 5, và tôi nghĩ bạn sẽ hiểu ngay tại sao sự hiện diện của một lớp gần như chất lỏng lại dẫn đến sự đóng băng của hai mảnh băng.

Chính nhờ sự hiện diện của một lớp gần như chất lỏng mà tôi cố gắng giải thích độ dẻo rất cao của băng và sự chuyển động của sông băng.

Quyền lực của Faraday rất lớn nhưng ông lại gặp phải đối thủ - James Thomson (anh trai của Lãnh chúa Kelvin). Ông đã thu hút sự chú ý đến phần được biết đến lúc bấy giờ của sơ đồ pha của băng và đã chứng minh về mặt lý thuyết rằng băng sẽ tan chảy khi nó trượt xuống. Điều này có nghĩa là nếu bạn bóp hai viên đá, chúng sẽ hợp nhất lại (xem hình 6).

Faraday đã tiến hành một loạt thí nghiệm bác bỏ quan điểm

Khi Georg thay cột thu lôi của mình, một cột thu lôi đã xuất hiện trên ngọn tháp của Pháo đài Peter và Paul ở St. Petersburg (có lẽ là cột thu lôi đầu tiên ở nước ta).

Cần lưu ý rằng trên thực tế hình dạng của cột thu lôi thường không quan trọng. Nhưng nếu đỉnh của cột thu lôi ở một khoảng cách rất xa so với mặt đất đến mức có thể so sánh với chiều cao của một đám mây giông (ví dụ, trong trường hợp cột thu lôi trên các tòa nhà chọc trời cao nhất), thì có thể quan sát thấy một luồng phóng điện yên tĩnh từ đầu cột thu lôi không biến thành tia sét, như Franklin đã giả định khi ông ủng hộ một cột thu lôi “yên tĩnh” có đầu nhọn. Franklin đã viết với độ chính xác đáng kinh ngạc vào năm 1767: “Một cây gậy được mài sắc sẽ ngăn chặn tia sét đánh vào đám mây hoặc khi đánh vào sẽ dẫn nó xuống đất mà không gây hư hại cho tòa nhà”.

(Cuối cùng, xem trang 33)

21

Nhiệm vụ
M1141—M1145, F1148—F1152

M1141. Một hình thang được bao quanh một vòng tròn. Chứng minh rằng ít nhất một trong các đường chéo của nó tạo thành một góc không quá 45° với đáy.

H. M. Sedrakin

M1142. Bảng $m \times n$ chứa đầy các số $mn$ sao cho trong mỗi hàng và trong mỗi cột, các số này tạo thành một cấp số cộng. Tổng của bốn số ở các góc của bảng là $s$. Tổng của tất cả các số trong bảng là bao nhiêu?

M1143. Khối lượng của mỗi quả nặng trong số 101 quả cân xếp xung quanh một hình tròn là một số tự nhiên và tổng khối lượng của chúng là 300 g. Chứng minh rằng từ bộ này có thể chọn được một hoặc nhiều quả cân nằm trên một hàng có tổng khối lượng là 200 g.

B. B. Prozovolyov

M1144. Đặt $a_1, a_2, \dots, a_n$ là số không âm. Số nào lớn hơn:

$$\sqrt{a_1^{1988} + a_2^{1988} + \dots + a_n^{1988}}$$ hoặc $$\sqrt{a_1^{1989} + a_2^{1989} + \dots + a_n^{1989}}$$

A. I. Shekhorsky

M1145*. Từ điểm $P$ kẻ hai tiếp tuyến PB và PC với đường tròn và $\angle BPC > 90^\circ$. Lấy điểm A trên cung nhỏ BC. Chứng minh diện tích tam giác cắt khỏi góc BPC bởi tiếp tuyến với đường tròn tại điểm A không vượt quá diện tích tam giác ABC.

V. Yu. Progasov

F1148. Một hình trụ có một sợi ren quấn quanh, đầu thứ hai được cố định, được đặt trên một mặt phẳng nghiêng nhẵn tạo một góc $\alpha$ với đường chân trời, như hình hình 1. Tại thời điểm sợi dây thẳng đứng, tốc độ góc quay của hình trụ bằng $\omega$. Xác định giá trị bằng nhau ở thời điểm này: a) vận tốc của trục hình trụ; b) tốc độ của một điểm trên hình trụ chạm vào mặt phẳng nghiêng. Bán kính của hình trụ là $R$.

S. S. Krotov

F1149. Những dây dẫn bằng đồng mỏng, trần, dài được ném ngẫu nhiên vào đường ray của đường ray đồ chơi, đóng đường ray lại. Ước tính điện trở giữa các thanh ray nếu khoảng cách giữa chúng là $l = 5$ cm, đường kính của dây dẫn là $d = 0,2$ mm, chiều dài của nó là $h = 30$ cm, dây dẫn bị ném $N = 100$.

A. P. Zilberman

F1150. Một vật được cung cấp một loại khí đơn nguyên tử lý tưởng được bao bọc bên trong một bong bóng dầu. Tìm nhiệt dung của khí (trên 1 mol) trong quá trình này, nếu có thể tránh được áp suất của bong bóng.

A. A. Sheronov

F1151*. Vôn kế tĩnh điện là một tụ điện phẳng, một trong các bản của nó

22

Cố định bất động, còn tấm kia có thể di chuyển, vẫn song song với tấm thứ nhất. Tấm di động được gắn vào tường bằng lò xo có độ cứng $k=10$ N/m. Khoảng cách ban đầu giữa các tấm là $d=3$ cm, diện tích mỗi tấm là $S=0,5$ m2. Tính thang đo vôn kế. Điện áp tối đa có thể thay đổi với nó là bao nhiêu? Hãy xem xét riêng trường hợp khi mức đào tạo cao là rất nhỏ và khá lớn.

A. R. Zilberman

F1152. Phía sau thấu kính ở khoảng cách $l=4$ cm (tiêu cự lớn), một gương phẳng được đặt vuông góc với trục quang chính. Phía trước ống kính, cũng vuông góc với trục quang chính, có một tờ giấy ca rô (hình 2). Trên tấm này, hình ảnh của các ô của nó thu được ở hai vị trí của tấm so với thấu kính. Các vị trí này khác nhau $l=9$ cm. Xác định tiêu cự của thấu kính.

E. P. Kuznetsov

Lời giải bài toán
M1116—M1120, F1128—F1132

Đáp số: a) 74; b) 6) $2S+2$.
Một miếng vá có kích thước $m \times n$ ô chứa $f=(m+1)(n+1)$ nút. Đối với một khu vực nhất định $mn=S$ giá trị

$$f=S+m+n+1=S+m+\frac{S}{m}+1$$

lấy giá trị lớn nhất $2S+2$ cho $m=1$ hoặc $m=S$ (đối với hình chữ nhật có kích thước $1 \times S$). Đối với $m$ ($1<m<S$) khác, giá trị của $f$ nhỏ hơn $2S+2$. Điều này suy ra từ bất đẳng thức $m+\frac{S}{m}<S+1$, tương đương với bất đẳng thức tiếp theo $(m-S)(m-1)<0$. Lưu ý rằng tuyên bố tổng quát hơn là đúng: cho trước $S$ (S là số nguyên hoặc số kết quả), trong tất cả các đa giác có đỉnh tại các nút giấy ca rô, đa giác không có nút bên trong chứa số lượng nút lớn nhất. Điều này tuân theo công thức của Pick cho ô $S$ của các đa giác như vậy*: $S=i+\frac{r}{2}-1$, trong đó $i$ là số nút nằm bên trong đa giác và $r$ là số nút trên ranh giới của nó: tổng số nút là $i+r \leq 2i+r=2S+2$. (Bất bình đẳng chỉ trở thành bình đẳng ở $i=0$.)

V. L. Gugenaher

M1117. Một hình tam giác tùy ý được đưa ra. Chứng minh rằng: a) Có thể dựng được ba đường tròn tâm tại các đỉnh bằng cách

Điểm $K, L, M$ là điểm tiếp tuyến của các cạnh của một tam giác cho trước $ABC$ với đường tròn nội tiếp (xem hình; nếu $OK=OL=OM$ là bán kính của đường tròn nội tiếp

*) Xem bài “Xung quanh công thức chọn”, «Kvant», 1974, số 12.

23

các loại thuốc tiếp xúc nhau theo cặp (tại các điểm K, L, M); b) nếu qua giữa mỗi cung KL, LM, MK nằm bên trong tam giác, vẽ một tiếp tuyến với nó thì tạo thành bốn hình tam giác, diện tích của một trong số đó (hình ở giữa) bằng tổng diện tích của ba hình còn lại.

Đường thẳng vẽ qua trung điểm $C'$ cho KL (có tâm C) cắt từ $\triangle ABC$ một tam giác đều có diện tích bằng tứ giác $CKOL$: chiều cao $CC'$ cắt tam giác đều này thành hai tam giác vuông bên trái, bằng $\Delta KCO = \Delta LCO$. Ở đây cũng cần lưu ý rằng tiếp tuyến này (tại hình có màu đỏ) luôn cắt các cạnh CA và CB (góc COB tù, vì tổng hai góc B và C của tam giác ABC nhỏ hơn $90^\circ$ nên cạnh huyền CO của tam giác COK nhỏ hơn CB; tương tự là $\angle COA > 90^\circ$, nên $CO < CA$). Một sự sắp xếp lại tương tự cho hai tiếp tuyến màu đỏ còn lại biến các tam giác đều có đường cao $AA'$ và $BB'$ thành tứ giác $ALOM$ và $BMOK$. Như vậy, tổng diện tích của ba tam giác đều có đáy màu đỏ bằng diện tích tam giác $ABC$. Điều này ngụ ý tuyên bố cuối cùng bài toán: diện tích không được bao phủ bởi các hình tam giác bằng diện tích được bao phủ bởi chúng hai lần.

A. A. Gorbachev

M1118. a) Chứng minh rằng phương trình $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$ (*) có vô số nghiệm của bốn số $(x, y, z)$ không có ước chung lớn hơn 1.
b) Có bao nhiêu lời giải có $z=1988$?

a) Viết lại phương trình (*) dưới dạng
$$xy+yz+zx=0.$$
Lưu ý rằng nếu một trong các ẩn số là 0 thì một số ẩn số khác cũng bằng 0; trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ không xem xét lời giải tầm thường như vậy. Đặt $d$ là ước số chung nhất của $x$ và $y$, $x=da$, $y=ab$. thì $z=-xy/(x+y)=-dab/(a+b)$, trong đó $a, b$ và $a+b$ là cặp nguyên tố cùng nhau, vì vậy $d$ chia hết cho $a+b:d=k(a+b)$. Từ đây chúng ta thu được công thức tổng quát cho số không tầm thường lời giải:
$$x=ka(a+b), y=kb(a+b), z=-kab,$$
trong đó $a, b, k$ là số nguyên và $a$ và $b$ là nguyên tố cùng nhau. Đối với $k=1$, chúng ta thu được tất cả các lời giải khác nhau có thể có từ các số không có ước chung lớn hơn 1.
b) Đáp số: 16. Câu hỏi tóm tắt là có bao nhiêu cách biểu diễn 1988 dưới dạng tích $-ab$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên tố cùng nhau. Kể từ năm 1988 = $4 \cdot 7 \cdot 71$, trong vai $a$ chúng ta có thể lấy tích của một số số - 1, 4, 7, 71 (khi đó $b$ sẽ là tích của những số còn lại; tích của “tập rỗng” đương nhiên được coi là 1.)
S. G. Mamikonyan, N. V. Vasiliev

M1119. Chúng ta gọi một ngôi sao $k$ là một hình trên một mặt phẳng gồm các tia $k$ có điểm bắt đầu chung là phân chia mặt phẳng thành $k$ bằng nhau

24

mọi góc độ (360°/k).
Với k>2 thì mệnh đề sau đây đúng: với bất kỳ k điểm nào của một mặt phẳng tổng quát (không có ba điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng) đều tồn tại một ngôi sao k, mỗi góc trong số k góc của nó chứa chính xác một trong k điểm này?

Hình 1.

Hình 2.

Zadatnik, Kanma

Với k=4, hãy xem xét hai trường hợp. Nếu các điểm nằm ở các đỉnh của một tứ giác lồi thì tâm của ngôi sao 4 có thể được coi là giao điểm của các đường chéo của nó và các tia có thể hướng dọc theo đường phân giác của các góc giữa chúng (hình 2). Nếu một trong các điểm D nằm bên trong tam giác ABC với ba đỉnh còn lại và ∠ADB>90°, thì với tư cách O, chúng ta có thể chọn giao điểm của đoạn DC và một hình bán nguyệt nhất định, đường kính của A₁B₁ nằm hoàn toàn trên đoạn AB và các tia có thể hướng dọc theo các đường thẳng OA₁ và OB₁ (hình 3).

Để chứng minh rằng với k=5 (và k>5) mệnh đề sai, chỉ cần đưa ra một ví dụ; 5 điểm nằm trên một cung có giá trị α<72° là phù hợp. Trong thực tế, nếu cung α cắt bốn điểm của các tia của một ngôi sao 5 có tâm O thì α>72°. (vì tổng nửa cung AB′ và A′B trên hình 4 bằng ∠AOB′=36°.

M. Khovanov

M1120. a) Dãy số a₀, a₁, a₂, … được cho bởi dãy số Fibonacci tương ứng a₀=0, a₁=1, a₂=1, a₃=2, …, với các điều kiện: aₙ+1=aₙ+aₙ-1, n=1,2,…

b) Chứng minh mệnh đề tương tự cho dãy Fibonacci a₀=0, a₁=1, a₂=1, a₃=2, …, với điều kiện: aₙ+1=aₙ+aₙ-1, n=1,2,…

Chúng ta hãy chứng minh mệnh đề tổng quát: nếu dãy a₀=0, a₁, a₂, … các số nguyên sao cho

GCD(aₘ, aₖ)=GCD(aₘ-k, aₖ) (1)

với mọi m>k ≥1 thì

GCD(aₘ, aₖ)=aₖ, (2)

trong đó d=GCD(m, k).

Thật vậy, với bất kỳ cặp giá trị ban đầu m, k nào, thao tác lặp lại

(m, k)→(m-k, m)

(từ số lớn hơn của cặp, số nhỏ hơn bị trừ) dẫn đến nhạt (d, 0), trong đó d=gcd(m, k); Đây là một phiên bản của thuật toán Euclid tìm ước tổng quát nhất của các số m, n được trình bày trong sách giáo khoa với thông tin dành cho lớp 9 (thông thường thuật toán Euclid được gọi là dạng “rút gọn”, gồm một dãy chia có dư.

Do đó, từ đẳng thức (1) suy ra rằng

GCD(aₘ, aₖ)=GCD(aₘ, a₀)=GCD(aₘ, 0)=aₖ

• đây là (2).

a) Đặt P(P(P(…(P(x))…))=Pₙ(x); đây là đa thức có hệ số nguyên và aₘ=Pₘ(a₀) và aₘ=Pₘ-k(aₖ) với m>k. Lưu ý rằng Pₙ(x)=aₙ+xQₙ(x), trong đó Qₙ(x) cũng là đa thức có số nguyên Hãy kiểm tra (1): với m>k ≥1.

GCD(aₘ, aₖ)=GCD(Pₘ-k(aₖ), aₖ)=GCD(aₘ-k+

25

F1128. Một vòng mỏng đồng chất có khối lượng M, bán kính R nằm trên một mặt phẳng nằm ngang. Đường kính nằm ngang của vòng là một ống nhẹ, nhẵn, trong đó đặt một quả bóng có khối lượng m, gắn vào vòng bằng hai lò xo có độ cứng k (hình 1). Giữ cho vòng không chuyển động, quả bóng bị lệch sang trái một lượng x, sau đó hệ được để lại cho các thiết bị riêng của nó. Tôi sẽ loại bỏ gia tốc của tâm vòng tại thời điểm ban đầu. Không có sự trượt của vòng.

hình 2 thể hiện các lực tác dụng lên quả bóng và vòng.

Giả sử gia tốc của tâm vòng bằng a. Khi đó phương trình biểu thị định luật II Newton cho chuyển động thi công của vòng (theo hình chiếu theo phương ngang) sẽ có dạng:

$$Ma = 2kx - F_{тр}$$

Ở đây 2kx là tổng lực của cả hai lò xo, $F_{тр}$ là lực ma sát từ mặt ngang.

Nếu gia tốc của tâm vòng bằng a thì gia tốc theo phương thẳng đứng của quả bóng sẽ bằng $ax/R$ và phương trình chuyển động của quả bóng (theo hình chiếu theo phương thẳng đứng) được viết là:

$$ma \frac{x}{R} = mg - N.$$

Ở đây N là phản lực tác dụng lên thành ống trơn. Cuối cùng, hãy viết phương trình mô tả chuyển động quay của vòng quanh tâm:

$$MRa = F_{тр}R + Nx.$$

Giải hệ ba phương trình, ta được

26

F1129. Một cuộn dây có hình dạng giống như một cực hẹp (hình 1) được đặt trên một nam châm vĩnh cửu hình trụ trong vùng cực của nó. Nếu đường đi của cuộn dây dao động điều hòa dọc theo trục OO’ với biên độ $A=1$ mm (nhỏ hơn nhiều so với kích thước của nam châm và cuộn dây) và tần số $f=1000$ Hz, thì một sức điện động cảm ứng có biên độ $\mathcal{E}_0=5$ V được tạo ra trong đó. Lực nào sẽ tác dụng lên một cuộn dây đứng yên nếu có dòng điện $I=200$ mA chạy qua nó?

Khi cuộn dây chuyển động dọc theo trục của nam châm thì dòng cảm ứng từ qua cuộn dây thay đổi. Kết quả là xuất hiện trong đó một suất điện động cảm ứng $\mathcal{E}=N\Delta\Phi/\Delta t$, trong đó $N$ là số vòng dây, $\Phi$ là dòng cảm ứng từ qua một vòng dây.

Để tính $\Phi$ chúng ta tiến hành như sau. Chúng ta hãy kéo căng một bề mặt nào đó lên một cuộn dây và đếm số đường cảm ứng từ trường $\bar{B}$ giao nhau với bề mặt này. Trong trường hợp này, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng bề mặt ở dạng hình trụ có nắp (hình 2). Trong trường hợp này, chúng ta sẽ lưu ý rằng khi trộn cuộn dây, nắp vẫn giữ nguyên nhưng khoảng cách giữa nó và cuộn dây thay đổi. Để cuộn dây di chuyển xuống $\Delta x$. Sau đó, một “dây đai” có diện tích $2\pi R\Delta x$ được thêm vào bề mặt bên của hình trụ, trong đó $R$ là bán kính của cuộn dây. Tương ứng với $\Phi$ được thêm $\Delta\Phi$ - từ thông qua “vành đai” này:

$$\Delta\Phi=2\pi R\Delta x\cdot B_r,$$

trong đó $B_r$ là hình chiếu hướng tâm (tức là vuông góc với bề mặt bên của hình trụ) của vectơ $\bar{B}$. Như vậy,

$$\mathcal{E}=N\cdot 2\pi R\frac{\Delta x}{\Delta t}B_r=N\cdot 2\pi RvB_r,$$

trong đó $v$ là tốc độ cuộn dây. Với dao động điều hòa, biên độ vận tốc

$$v_0=\omega x_0=2\pi fA,$$

Và

$$\mathcal{E}_0=N\cdot 2\pi R\cdot 2\pi fAB_r.$$

Mặt khác, lực cần thiết bằng

$$F=\sum\Delta F=\sum N\cdot I\Delta l\cdot B_r=N\cdot 2\pi RIB_r.$$

Từ hai đẳng thức cuối cùng ta thu được

$$F=\frac{\mathcal{E}_0I}{2\pi fA}\approx 0,16\text{ H.}$$

M. M. Tsyplin

F1130. Mạch dao động gồm một tụ điện chân không có điện dung $C$, khoảng cách giữa các bản tụ là $d$ và một cuộn cảm. Phần tự nhiên của dao động trong mạch bằng $\omega_0$. Điều gì sẽ là của riêng bạn

Chúng ta hãy viết năng lượng của hệ tại một thời điểm tùy ý:

$$W=\frac{LI^2}{2}+\frac{CU^2}{2}+\frac{mv^2}{2}-\frac{qUx}{d},$$

trong đó $L$ là độ tự cảm của cuộn dây, $I$ là dòng điện trong cuộn dây, $U$ là điện áp trên tụ điện, $v$ là tốc độ của hạt, $x$ là tọa độ của nó. Phương trình chuyển động của hạt trong điện trường của tụ điện có dạng:

27

Tần số nếu một tần số chính xác tự do của khối lượng $m$ và điện tích $q$ được đặt giữa các bản của tụ điện? Cũng không có sức lực. Các tác động biên và cường độ của “thiết bị tĩnh điện” đã được khẳng định.

$$ma = \frac{qU}{d}.$$

Nếu $U$ thay đổi theo định luật điều hòa $U = U_0 \cos \omega t$ thì
$$v = \left( qU_0 / (md\omega) \right) \sin \omega t,$$
$$x = -\left( qU_0 / (md\omega^2) \right) \cos \omega t,$$
$$I = -CU_0 \omega \sin \omega t.$$

Theo định luật bảo toàn năng lượng
$$W = U_0^2 \left( \frac{L}{2} (C\omega)^2 + \frac{m}{2} \left( \frac{q}{m\omega d} \right)^2 \right) \sin^2 \omega t +$$
$$+ U_0^2 \left( \frac{C}{2} + \frac{q^2}{m(\omega d)^2} \right) \cos^2 \omega t = \text{const.}$$

Điều này chỉ có thể thực hiện được nếu hệ số $\cos^2 \omega t$ và $\sin^2 \omega t$ bằng nhau. Từ đây chúng ta có được
$$\omega^2 = \omega_0^2 / 2 + \left( \left( \omega_0^2 / 2 \right) \right)^2 + \left( q\omega_0 / d \right)^2 / (mC)^{1/2}.$$

Hãy để chúng tôi đánh giá những điều kiện nào có thể áp dụng với một “lựa chọn tĩnh điện”* (như đã thực hiện ở trên). Lực này, có độ lớn bằng $q^2 x / (\varepsilon_0 d^3)$, phải nhỏ hơn nhiều so với lực tĩnh điện “thông thường” $qU/d$, do đó
$$\frac{q^2}{\varepsilon_0 d^3 m\omega^2} \ll 1.$$

Vì diện tích của các bản tụ điện là $S \gg d^2$ và $C = \varepsilon_0 S / d$ nên công thức (*) có giá trị nếu việc đưa một hạt vào tụ điện không làm thay đổi nhiều tần số dao động trong mạch.

A. V. Andrianov, D. A. Kuptsov

F1131. Rất khó để xác định tốc độ gió ở Smerya bằng các thiết bị khí tượng thông thường (vì Smerya không có kích thước lớn và di chuyển) và không có tính chất đới. Người ta đề xuất đo nó từ xa bằng cách sử dụng một đài phát thanh cầm tay (vì có rất nhiều bụi và các vật thể nhỏ bên trong lò phản xạ, nó phản xạ các điện áp phóng xạ). Radar phát ra sóng vô tuyến ở tần số $f_0 = 10^{10} \text{ Гц}$. Phổ phản xạ từ Mertz được biểu thị bằng hình ($\Delta f = f - f_0$). Tìm tốc độ gió tối đa ở Smereta.

Tần số của tín hiệu phản xạ khác với tần số của bộ phát do hiệu ứng Doppler. Sự thay đổi tần số tối đa sẽ xảy ra nếu tốc độ của vật thể phản xạ vôn vô tuyến hướng chính xác về phía radar (hoặc ra xa nó).

Chúng ta sẽ giả sử rằng radar gửi các xung vô tuyến ngắn có tần số lặp lại $f_0$ và tần số của các xung mà nó nhận được là $f_1$. Thời gian giữa các lần đến ăng-ten radar của xung thứ $n$ và $(n+1)$ bằng
$$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{f_0} + T_{n+1} - T_n,$$
trong đó $T_n$ là thời gian lan truyền của xung $n$ từ radar đến vật phản xạ và quay trở lại, $T_{n+1}$ là thời gian lan truyền của xung $(n+1)$.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $L_n$ khoảng cách từ radar đến vật thể phản xạ tại thời điểm phát ra xung $n$ và bằng $L_{n+1}$ cùng khoảng cách tại thời điểm phát ra xung $(n+1)$. Rõ ràng là
$$T_n = \frac{2L_n}{v + c}, \quad T_{n+1} = \frac{2L_{n+1}}{v + c},$$

*) Bạn có thể đọc về cách xác định lực này cho một số trường hợp cụ thể trong ghi chú “Phương pháp cách ly tĩnh điện” (Kvant, 1987, số 3, trang 39). (Ghi chú của biên tập viên)

28

trong đó $v$ là tốc độ gió mong muốn trong cơn lốc xoáy, $c$ là tốc độ lan truyền của sóng vô tuyến (tốc độ ánh sáng). Hiệu $L_n - L_{n+1}$ bằng độ dịch chuyển của vật phản xạ trong khoảng thời gian bằng $1/f_0$:

$$L_n - L_{n+1} = \frac{v}{f_0}.$$

Từ đây chúng ta có được

$$f_1 = f_0 \frac{(c + v)}{(c - v)} \approx f_0 \left(1 + \frac{2v}{c}\right),$$

Và

$$v \approx \frac{c}{2} \frac{\Delta f}{f_0} \approx 100 \text{ m/c.}$$

D. A. Kuptsov

F1132. Gần đây người ta đã xác định rằng sự tuyệt chủng của các loài động vật trên Trái đất đặc biệt dữ dội trong những khoảng thời gian định kỳ kéo dài $T = 6,2$ triệu năm. Mô hình này được giải thích bằng giả thuyết được đề xuất bởi sự tồn tại của ngôi sao Nemesis, một vệ tinh của Mặt trời. Ngôi sao mờ nhạt và do đó vô hình này di chuyển theo quỹ đạo nằm trong cái gọi là “vành đai Oort”, chứa nguồn cung cấp sao chổi (hình 1). Bằng cách làm xáo trộn chuyển động của sao chổi, Nemesis tạo ra một “ngôi nhà sao chổi” trên Trái đất, khoảng thời gian đó gần như trùng khớp với thời gian Nemesis ở bên trong vành đai Oort.

Xác định nửa a lớn hơn của quỹ đạo của Nemesis và chu kỳ quay của nó quanh Mặt trời, nếu giả sử rằng điểm cận nhật của quỹ đạo ở khoảng cách 0,15a tính từ Mặt trời. Diện tích của hình elip là $S = \pi ab$, trong đó $a$ và $b$ là hình elip.

Trong khoảng thời gian $T = 6,2$ triệu năm, vectơ bán kính của Nemesis chiếm diện tích được bảo vệ bởi hình 2. Đây là một nửa diện tích của hình elip trừ đi diện tích của tam giác có đáy $2b$ và chiều cao 0,85 $a$. Diện tích của hình này rất dễ tính là $(\pi ab/2 - 0,85ab)/\pi ab = 0,23$ diện tích của toàn bộ hình elip. Ta-

Hình 1.

Hình 2.

Phần nào của thời kỳ này là thời gian của Nemesis bên trong vành đai Oort (điều này tuân theo định luật thứ hai của Kepler). Do đó, tổng thời gian quỹ đạo của Nemesis quanh Mặt trời là $T_x = 27$ triệu năm.

So sánh, với sự trợ giúp của định luật thứ ba của Kepler, chuyển động của Trái đất và Nemesis, chúng ta thu được sự bán hiện diện lớn hơn của vệ tinh vô hình của Mặt trời:

$$a = \left( T_x/T_0 \right)^{2/3} R_0 = \left( 27 \cdot 10^6 \right)^{2/3} a.e. = 9 \cdot 10^4 a.e. \approx 13,5 \cdot 10^{12} \text{km.}$$

Ở đây $T_0$ là năm Trái đất và $R_0$ là bán kính quỹ đạo Trái đất, bằng một đơn vị thiên văn (1 AU), hay 150 triệu km.

V. E. Belonuchkin

29

Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

Hầu hết độc giả đã gửi lời giải bài toán M1091—M1115, F1103—F1117 quản lý bài toán M1091, M1093, M1094, M1096, M1097, M1101, M1102, M1105, F1104, F1106, F1109—F1111, F1114—F1116. Dưới đây chúng tôi công bố họ của những người viết đúng lời giải và những người còn lại bài toán (các số sau họ là chữ số cuối cùng của các số đã giải bài toán).

Toán học
D. Aladzhanov (làng Ermolino, vùng Kaluga) 04; N. Andrianov (Điện) 92, 98, 00, 03, 04; A. Akimov (Evpatoria) 98, 04; A. Hakobyan (Yerevan) 04; Sh. Aleksayan (Lininakan) 04; I. Arzhantsev (Kyiv) 92, 98, 04; V. Baranovsky (Omsk) 92, 98, 03, 04; S. Bashmkov (Sevastopol) 04; N. Bulusak (làng Menyava, vùng Ivano-Frankivsk) 98; A. Boldanov (Stayy Oskol) 92, 03, 04; P. Borodin (Kirov) 98; J. Brener (Sergevka) 04; S. Butvina (Zhitomir) 92, 95, 98, 03, 04; Yu. Vavulov (Safonovo) 04; V. Vạn Xuân (Moscow) 04; Ts. Vasiliev (Sofia, NRV) 04; Yu. Velikina (Dnepropetrovsk) 04; S. Voloshin (Podgorodnoe) 04; K. Volchenko (Donetsk) 03; M. Thế giới (Leningrad) 92; M. Vyborov (Kyiv) 92; E. Gabrielovich (Minsk) 98; Yu. Vàng (Odesca) 04; P. Grigoriev (Riga) 92; Yu. Grinfeld (Moscow) 92, 98, 00, 03, 04; A. Gurman (Odesca) 04; A. Davydov (làng Elfimovo, vùng Gorky) 04; Kh. Jafarov (làng Turkba AzSSR) 98; D. Tarsier (Reytov) 92; V. Drobovtsev (Moscow) 92; V. Dubrov (Minsk) 92, 98, 03, 04; E. Duda (Kharkov) 92; A. Efimuk (Minsk) 03, 04; V. Zhilinskaya (Vilnos) 92, 98-00; I. Zelenko (Saratov) 03, 04; S. Zelik (Kramatorsk) 92, 98, 04; I. Zuk (Essen, Đức) 00, 04; V. Ivleev (Dzhezkazan) 92; M. Iznagev (Moscow) 04; S. Izmalkov (Kharkov) 04; A. Imashova (Leningrad) 98; I. Iopne (Moscow) 92, 98, 00; D. Kabysh (Moscow) 98; E. Ghazaryan (Tilisi) 92; V. Kaloshin (Kharkov) 92, 95, 98, 00; L. Kaminstein (Kyiv) 92, 03, 04; D. Kamushadze (Tilisi) 04; N. Kaputkina (Moscow) 92, 98, 03; S. Kasamyan (quận Oktemberg của Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết Armenia) 92; K. Kasimov (Tselinograd) 04; I. Kirillov (Ust-Kamenogorsk) 04; S. Kovatsenko (Vinnitsa) 92, 98, 03, 04; O. Kovrizhkin (Maikop) 92; D. Kozhevnikov (Onutin) 92; A. Kozachko (Vinnitsa) 92, 98, 03, 04; I. Kokoev (Tilisi) 04; G. Kolesnichkiy (Tilisi) 04; M. Kolede (Omsk) 92, 98, 04; V. Koloshin (Kharkov) 03, 04; P. Kononenko (Ivanovo) 92; D. Korzhnev (Kyiv) 04; D. Korzhin (Ivanovo) 03, 04; A. Korotky (Dneprodzerzhinsk) 04; A. Korshkov (Mozyr) 92, 98, 03, 04; G. Kropin (Leningrad) 98, 04; A. Kryukov (Saratov) 98, 04; T. Kulikova (Zvenigorod) 92, 95, 98, 03, 04; N. Lapusta (Ternovopol) 04; V. Levshin (Moscow) 98; S. Lesik (Donetsk) 92, 95, 98, 03, 04; Yu. Litvinova (Kyiv) 98; M. Loba (Lviv) 04; E. Lomovtseva (Belorets) 92; G. Magleridze (Rustavi) 04; A. Maly

(Tiếp theo trang 51)

30

PHÂN SỐ - LẠ ĐẠO -
SỞ HỮU

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. L. GUTENMACHER

Điều thường xảy ra là cùng một phép toán bài toán xuất hiện một cách tự nhiên trong các tình huống hiện đại - từ câu đố đến các phép tính ứng dụng. Hôm nay chúng ta gần như đang nói về một trong những bài toán này.

Số học bài toán

Tìm tất cả các bộ tứ số tự nhiên (p, q, r, s) sao cho đẳng thức ở bên phải là

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1.$$

Chúng tôi sẽ giả định rằng $p \leq q \leq r \leq s$. Khi đó số nhỏ nhất - $p$ - không lớn hơn 4 (nếu không thì $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} < 1$) và tất nhiên không nhỏ hơn 2. Do đó, chúng ta cần xét ba trường hợp: $p=2$, $p=3$, $p=4$.

Hãy để $p=2$. Sau đó $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = \frac{1}{2}$. Hãy ước tính lại số nhỏ nhất - $q$. Nó không thể nhiều hơn 6 (nếu không thì $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} < \frac{1}{2}$) và ít nhất phải là 3.

Bây giờ vào đẳng thức $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = \frac{1}{2}$ chúng ta thay thế bốn khả năng

32

tương ứng bằng $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{7}$*). Thẩm phán thêm một trong những con lạc đà của mình (hóa ra là 42) và chia lần lượt 21, 14, 6 con lạc đà cho hai anh em (tổng cộng là 41 con) và đưa con lạc đà của anh ta về.

Thực tế bài toán

Cách đơn giản nhất trong các loại sàn gỗ “thông thường” là chia mặt phẳng thành các hình vuông (hình 1). Thật thú vị khi biết có bao nhiêu tấm sàn như vậy: mỗi đỉnh của tấm sàn liền kề với bốn đa giác đều và tất cả các đỉnh của thiết bị đều giống nhau (điều sau có nghĩa là tấm sàn có thể được di chuyển sao cho bất kỳ
*) Bốn số đầu tiên nổi bật so với tất cả các số còn lại ở chỗ nó chứa nhiều số nhất - 42, với 42 = 2·3·7. Trong số các bộ ba số có tổng nghịch đảo là 1, phần đầu của bộ tứ của chúng ta có cùng tính chất: (2, 3, 7). Hóa ra trong số paterok sẽ có (2, 3, 7, 43, 1806), trong đó 1806 = 2·3·7·43; trong số sáu - (2, 3, 7, 43, 1807, 3263443), và sau đó nó sẽ giống nhau. Đây là một định lý rất khó mà các độc giả lớn tuổi của chúng tôi đã gặp trong số 7 của tạp chí «Kvant» năm 1987 trong bài “Phân vùng các đơn vị”.

Nếu đỉnh đã cho của nó đi đến bất kỳ đỉnh nào khác và tất cả các đường thẳng đều trùng nhau). Đây là một bài toán hoàn toàn thiết thực.

Chúng ta biết rằng tổng các góc của một $n$-giác đều là $180^\circ(n-2)$ và một góc của nó bằng

$$\frac{180^\circ(n-2)}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}.$$

Hãy để các góc của bốn đa giác đều được kết hợp ở đỉnh của sàn gỗ: $p$-gon, $q$-gon, $r$-gon và $s$-gon. Tổng của bốn góc này phải là $360^\circ$. Hãy viết điều kiện này:

$$180^\circ - \frac{360^\circ}{p} + 180^\circ - \frac{360^\circ}{q} + 180^\circ - \frac{360^\circ}{r} + 180^\circ - \frac{360^\circ}{s} = 360^\circ.$$

Dễ hiểu rằng sự đẳng thức này dẫn tới sự tương ứng quen thuộc

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1.$$

33

Nếu chúng ta giả sử rằng $p \leq q \leq r \leq s$, thì chúng ta biết cả bốn điều này - có 14 điều trong số đó. Vì chúng ta đang nói về đa giác, chúng ta cần loại bỏ bốn đa giác đó ở vị trí $p=2$. Sẽ còn bốn bốn:

(4,4,4,4), (3,4,4,6), (3,3,6,6), (3,3,4,12).

Hình tứ giác đầu tiên tương ứng với một sàn gỗ có các hình vuông giống hệt nhau (mỗi đỉnh liền kề với 4 hình tứ giác đều - xem hình 1).

Bốn thứ hai (3,4,4,6) đại diện cho hai khả năng xây dựng phần trên (hình 2, $a$, $\delta$), nhưng đối với sàn gỗ chính xác, bạn chỉ có thể hoàn thành sàn gỗ ở hình 2, $a$ - hóa ra là hình 2, $\delta$.

Bốn phần thứ ba (3,3,6,6) cũng tương ứng với hai cách sắp xếp đa giác:

Cột thu lôi, chính trị và…
mũ

(Để bắt đầu, xem trang 13)

Sĩ quan truyền thông Séc Prokop Diviš theo các quy tắc của tipula không chính thức “pháp sư điện” (magus electricus). Năm 1754, ông chế tạo cột thu lôi đầu tiên ở châu Âu và ông đã phát minh ra nó một cách độc lập với Franklin. Nhưng hãy tua nhanh về một vài năm trước.

Năm 1750, giáo sư người Vienna Joseph Franz quyết định cho Divish xem trải nghiệm về điện của mình. Franz có một máy phát điện tĩnh điển hình vào thời đó - một quả cầu thủy tinh có thể đo được với dây dẫn (ổ cắm) ở dạng ống hoặc thanh kim loại treo trên dây lụa. Để kiểm tra bất kỳ thí nghiệm điện nào, cần phải quay một quả cầu thủy tinh, sau đó quả cầu này được nhiễm điện nhờ ma sát và truyền đến sàn gỗ.

Divish đến gặp Franz trong bộ tóc giả theo yêu cầu của thời trang. Nhưng bộ tóc giả có một bí mật: nó được bao phủ khắp người bằng những mảnh dây thép. Từ lâu, người ta đã biết rằng sự vắng mặt của kim loại sẽ “lấy đi điện” (đây là một trong những hiện tượng dựa trên hoạt động của cột thu lôi). Dựa đầu vào người soát vé, Divish nhờ đó đã chuyển hướng tàu điện. Có lẽ, Divish đã trải qua những sai lầm khó chịu, khiến một cặp đôi rơi xuống đất xuyên qua cơ thể anh ta, nhưng tại sao không chịu đựng điều đó chỉ vì một trò đùa vui vẻ!

ki! Franz không an toàn: anh ta không thể tính phí cho người soát vé. Anh ta không bao giờ có thể làm ngạc nhiên “pháp sư điện”.

Nếu Divish thực hiện việc vay mượn từ việc cắt dây (tất nhiên là theo cách ẩn giấu), thì anh ta đã tránh được những sai lầm đáng xấu hổ. Một ý tưởng kiểu này nảy sinh vào nửa sau thế kỷ 18. Chúng ta đang nói về một chiếc mũ cột thu lôi. hình (xem trang 2 của trang bìa) trưng bày những người mẫu Paris với khả năng chống sét cá nhân dưới dạng dây xích ở giữa kéo xuống ngón chân từ một thanh kim loại gắn trên mũ. Vào thế kỷ 18, đây không phải là chuyện đùa.

L. N. Krizhanovsky

35

Câu chuyện về nhà văn khoa học viễn tưởng đáng chú ý của Mỹ chủ yếu nhắm đến những người coi chuyến bay vào vũ trụ là giấc mơ chính của cuộc đời và bức ảnh yêu thích của họ là khung cảnh bầu trời đầy sao. Tuy nhiên, nói một cách ngắn gọn, dành cho tất cả những người mà “R có nghĩa là tên lửa”.
Đây là tên của phần mới của tạp chí của chúng tôi. Trong đó, chúng tôi sẽ xuất bản nhiều tài liệu khác nhau dành cho việc khám phá và khám phá không gian bên ngoài, công việc của Hiệp hội Hàng không Vũ trụ Thanh niên Toàn Liên minh.

R LÀ CHO ROCKET

R. BRADBURY

Thứ to lớn này, mà chúng ta áp mặt vào, cảm thấy gió nóng lên, và ép mình mạnh hơn vào nó, quên mất mình là ai và từ đâu đến, chỉ mơ về việc chúng ta có thể là ai và chúng ta có thể đi đâu…

Nhưng chúng tôi là con trai - và chúng tôi thích là con trai; và chúng tôi sống ở một thành phố nhỏ ở Florida - và chúng tôi thích thành phố này; và chúng tôi đến trường - và chúng tôi chắc chắn thích trường học; và chúng tôi trèo cây và chơi bóng đá, và chúng tôi cũng quý mến cha mẹ mình…

Tuy nhiên, đôi khi - hàng tuần, hàng ngày, hàng giờ trong phút hoặc giây đó khi chúng ta nghĩ về ngọn lửa, các vì sao, và về giới hạn mà chúng mong đợi chúng ta - đôi khi chúng ta lại thích tên lửa hơn.

Hàng rào. Tên lửa.
Mỗi sáng thứ bảy…
Các chàng trai tụ tập gần ngôi nhà ẩm ướt.
Mặt trời vừa mới mọc, và họ đã đứng đó, la hét, cho đến khi hàng xóm bước ra với súng điện từ cửa sổ - họ nói, im đi, nếu không chúng ta sẽ chết cóng trong một giờ, rồi tự trách mình!

• Ồ, đi tới tên lửa, cắm đầu vào kyuzu! - các chàng trai hét lên đáp số. Họ la hét và trốn an toàn đằng sau xưởng sản xuất của chúng tôi: rốt cuộc, ông già Wickard ở nhà bên cạnh đã bắn không sót một nhịp.

Vào buổi sáng thứ bảy mát mẻ, ôn hòa này, tôi đang nằm trên giường, nghĩ về việc ngày hôm trước mình đã trượt bài kiểm tra ngữ nghĩa như thế nào thì người đứng đầu Vatga bất ngờ đến với tôi. Lúc đó chưa đến bảy giờ, gió mang theo sương mù dày đặc từ Đại Tây Dương, và các bộ chọn dịch vụ thời tiết đặt ở mọi góc phố mới bắt đầu kêu vo vo, xua tan mớ hỗn độn này bằng những tia sáng của chúng: bạn có thể nghe thấy chúng hú nhẹ nhàng và bí mật.

Tôi lê mình đến cửa sổ và nhìn ra ngoài.

• Được rồi, cướp biển không gian! Tắt động cơ!

• Chào! - Tu viện Ralph hét lên. - Chúng tôi vừa được biết: lịch ra mắt đã được thay đổi! Lunar, với động cơ X-L-3 mới, sẽ bắt đầu sau một giờ nữa!

• Đức Phật, Muhammad, Allah và các nhân vật có thật và bán thần thoại khác! - Tôi vừa nói vừa nhảy ra khỏi cửa sổ nhanh nhẹn đến mức hai anh chàng ngã xuống cỏ sau cú va chạm.

Tôi lập tức mặc áo liền quần, nhanh chóng xỏ giày, nhét viên nang dinh dưỡng vào túi sau - hôm nay chúng ta sẽ không có thời gian để ăn, nuốt thuốc, bụng cồn cào - và đi thang máy chân không từ tầng hai xuống tầng một.

Trên bãi cỏ, cả năm anh chàng đều cắn môi, nhảy lên nhảy xuống thiếu kiên nhẫn, gầm gừ giận dữ.

“Người cuối cùng được thêm vào đường ray đơn,” tôi hét lên, lao qua họ với tốc độ 5 nghìn dặm một giờ, “sẽ là người sao Hỏa mắt bọ!”

Ngồi trong cabin của con tàu một ray, huýt sáo đưa chúng tôi đến Sân bay vũ trụ, cách thành phố hai mươi dặm - chỉ mất vài phút đi xe - tôi cảm thấy như có bọ đang bò trong bụng mình. Hãy cho một cậu bé mười lăm tuổi được phóng thêm một lần nữa. Hầu như mỗi tuần, các tên lửa chở hàng cỡ nhỏ lục địa đến và đi đúng lịch trình, nhưng lần phóng này… Một vấn đề hoàn toàn khác - sức mạnh, sức mạnh… Mặt trăng và hơn thế nữa…

“Đầu tôi quay cuồng,” Priory nói và đánh vào tay tôi.

Tôi đánh lại anh ta.

• Tôi cũng vậy. Chà, nói cho tôi biết, có thứ bảy trong tuần không?

Chúng tôi trao đổi những nụ cười lớn, hiểu biết. Về mặt tinh thần, chúng tôi đã trải qua tất cả các giai đoạn chuẩn bị. Những tên cướp biển khác đều là những người tốt. Sid Rossen, Mac Leslie, Earl Marney - họ, giống như tất cả các chàng trai, nhảy, chạy và cũng yêu thích tên lửa, nhưng không hiểu sao tôi lại nghĩ rằng họ khó có thể làm được điều đó

36

những gì Ralph và tôi sẽ làm một ngày nào đó. Ralph và tôi mơ thấy những vì sao; đối với chúng tôi chúng đáng được khao khát hơn một nắm kim cương trắng xanh của nước tinh khiết nhất.

Chúng ta cùng người cãi nhau, cười cùng người cười, nhưng trong tâm hồn vẫn tĩnh lặng; và bây giờ căn nhà hình thùng, xào xạc, dừng lại, chúng tôi nhảy ra ngoài, vừa la vừa cười, chạy, nhưng chúng tôi chạy bình tĩnh và thậm chí có phần chậm chạp: Ralph dẫn trước tôi, và mọi người chỉ về một hướng, đến hàng rào quý giá, chia ra dọc theo dây, đuổi nhanh những người đang tụt lại phía sau, nhưng không nhìn lại họ; và cuối cùng mọi thứ đã được lắp ráp, và tên lửa hùng mạnh phóng ra từ dưới mái vòm nhựa, đốt cháy một chiếc lều xiếc khổng lồ giữa các vì sao, và đi dọc theo những đường ray sáng bóng đến điểm phóng, được hộ tống bởi một cần cẩu cổng khổng lồ, gợi nhớ đến một con thằn lằn có cánh loạn thần, đã nuôi dưỡng con quái vật bốc lửa này, làm mát và nuôi dưỡng nó, và bây giờ sự ra đời của nó sắp diễn ra trong cái nóng đỏ rực mang theo tia chớp trên bầu trời.

Tôi ngừng thở. Tôi thậm chí không kịp thở cho đến khi tên lửa chạm tới bãi bê tông, kèm theo những chiếc máy kéo bọ cánh cứng và những chiếc xe tải lớn cồng kềnh chở đầy người, và xung quanh, loay hoay với các cơ chế, những người thợ máy bọ ngựa trong bộ đồ abset đang kêu ríu rít, vo ve, kêu ríu rít với nhau, những chiếc điện thoại vô tuyến có thể nhìn thấy được và chúng tôi không nghe thấy được, nhưng chúng tôi nghe thấy mọi thứ trong tâm trí, trong trái tim, trong tâm hồn mình.

“Chúa ơi,” cuối cùng tôi nói.

“Toàn năng, toàn năng,” Ralph Priory đứng cạnh tôi nói.

Những người khác cũng nói điều gì đó theo hướng này.

Và làm sao bạn có thể không ngưỡng mộ nó! Mọi thứ mà con người hằng mơ ước trong nhiều thế kỷ đều bị tháo dỡ, sàng lọc và rèn thành một - giấc mơ trân quý nhất, tuyệt vời nhất, có cánh nhất. Dù phác thảo ra sao - một ngọn lửa cứng lại, một hình thức hoàn hảo… Một ngọn lửa đông cứng, sẵn sàng cho băng djali bí mật ở đó, giữa đồng cỏ bê tông; thêm một chút nữa, nó sẽ gầm lên và thức dậy, và cái đầu Ngân Hà hùng mạnh, tráng lệ, thiếu suy nghĩ này sẽ trở nên nghèo nàn, đến nỗi các ngôi sao sẽ rơi xuống như một trận hỏa hoạn thiên thạch. Và nếu một Bao Than cản đường, lạy Chúa, ngay khi anh ta thở dài, anh ta sẽ lập tức nhảy sang một bên!

Cô ấy đánh tôi ngay trong hơi thở, đánh tôi mạnh đến mức tôi nhầm lẫn một cơn ghen tuông, ghen tị và khao khát dâng trào, như thể đến từ một điều gì đó còn dang dở. Và cuối cùng, khi được bao quanh bởi sự im lặng, một cỗ xe tự hành chở các phi hành gia băng qua cánh đồng, tôi đi cùng họ, đội những chiếc mũ bảo hiểm màu trắng kỳ dị, những chiếc mũ bảo hiểm áp suất hình cầu và một kiểu sơ suất nghiêm trọng - giống như một đội băng tự giới thiệu với công chúng trước một cuộc họp huấn luyện tại một máy ghi âm địa phương nào đó. Nhưng họ đang bay lên mặt trăng - bây giờ mỗi nơi đều có một tên lửa bay đến đó - và chỉ có những người xem tập trung xung quanh không gian rộng lớn, chúng tôi, những chàng trai, là những người duy nhất có nhiều khả năng phóng và khởi hành an toàn hơn.

“Chết tiệt,” tôi nói. - Tôi sẽ không bỏ ra bất cứ thứ gì chỉ để hát cùng họ. Bạn có thể tưởng tượng…

Mack nói: “Tôi sẽ trao vé thường niên cho việc đó.

• Vâng… tôi sẽ không hối tiếc bất cứ điều gì.

Không cần phải nói, đây quả là một sự kiện tuyệt vời đối với bọn trẻ chúng tôi, như thể bị đình chỉ giữa trận đấu buổi sáng và màn pháo hoa buổi chiều đầy nội tâm và mạnh mẽ mà chúng tôi đã sớm mong đợi.

Và bây giờ mọi sự chuẩn bị đã hoàn tất. Tên lửa hết nhiên liệu và mọi người bỏ chạy khỏi nó theo nhiều hướng khác nhau, giống như những con kiến ​​chạy trốn khỏi một thần tượng bằng kim loại. Và Giấc mơ mở cửa sổ, gầm lên và lao lên trời. Và bây giờ cô ấy biến mất cùng với tiếng hú của tử cung, và tất cả những gì còn lại của cô ấy là một vùng nóng trong không khí, được truyền qua mặt đất đến chân chúng ta và lên chân đến tận tim. Và nơi cô đứng bây giờ là một hố đen tan chảy và một đám khói tên lửa, như thể một đám mây tích đã bị đóng đinh xuống đất.

• Cô ấy đi rồi! - Tu viện hét lên.

Và tất cả chúng tôi bắt đầu thở gấp trở lại, chuẩn bị sẵn sàng cho vị trí đó, như thể chúng tôi vừa bị choáng váng bởi một khẩu súng lục bán nguyệt khổng lồ nào đó.

“Tôi muốn lớn lên càng nhanh càng tốt để có thể hát trên một tên lửa như vậy.”

Tôi cắn môi. Tôi đang ở đâu, đầu xanh; Hơn nữa, trong không gian, việc làm theo ứng dụng không được chấp nhận. Chờ cho đến khi họ đưa bạn đi. Cuối cùng cũng có người, như Sidney, nói:

• Được rồi, giờ chúng ta đi xem phim truyền hình nhé.

Mọi người đều đồng ý - tất cả mọi người ngoại trừ Priory và tôi. Chúng tôi nói không, và mọi người rời đi, cười nói, chỉ còn lại Priory và tôi nhìn vào nơi con tàu vũ trụ vừa đỗ.

Nó đã lấy đi sở thích của chúng tôi đối với mọi thứ khác, sự khởi đầu này. Vì anh ấy mà tôi đã trượt môn ngữ nghĩa vào ngày thứ Hai.

37

Và tôi không quan tâm chút nào.
Những lúc như vậy tôi đã nói lời cảm ơn đến người đã phát minh ra chất cô đặc. Khi chúng ta căng thẳng trong bụng, điều cuối cùng tôi muốn làm là ngồi xuống bàn và ăn hết bữa ăn ba món. Không thèm ăn, một số viên nén cô đặc đã thay thế hoàn hảo cả viên đầu tiên và viên sáng tạo hơn.
Suốt ngày và cho đến tận đêm khuya, tôi bị ám ảnh dai dẳng và dai dẳng bởi cùng một suy nghĩ. Đến mức mỗi đêm tôi phải dùng đến liệu pháp xoa bóp gây buồn ngủ kết hợp với những giai điệu êm đềm của Tchaikovsky để nhắm mắt lại ít nhất một lúc.
“Xin thương xót, chàng trai trẻ,” giáo viên của tôi nói hôm thứ Hai, “nếu chuyện này tiếp tục, chúng tôi sẽ phải cho điểm tổng thể của cậu vào cuộc họp tiếp theo của ủy ban tâm lý.”
“Xin lỗi,” tôi đáp.
Anh ấy nhìn tôi chăm chú.

• Đầu cậu có bị tắc nghẽn gì không? Rõ ràng, một cái gì đó rất đơn giản, và hơn nữa, có ý thức.
  Tôi đã sống cuộc sống của tôi.
• Đúng vậy, thưa ông, có ý thức nhưng không đơn giản. Và nó rất phức tạp. Nhưng nói chung, chúng ta có thể nói bằng một từ - gói…
  Anh mỉm cười.
• P nghĩa là gói hàng phải không?
• Đúng vậy, thưa ông, đại loại thế.
  “Nhưng chúng ta không thể cho phép điều này ảnh hưởng đến thành tích của cậu, chàng trai trẻ ạ.”
  “Thưa ngài, ngài có nghĩ rằng tôi phải chịu một cuộc kiểm tra nội bộ điển hình không?”
• Không không. “Thầy giáo sắp xếp các tờ giấy, trên đầu có viết họ của tôi bằng chữ lớn.
  Bụng tôi thắt lại. Anh ấy lại nhìn tôi.
• Xét cho cùng, Christophe, cậu là số một trong lớp chúng tôi, người được yêu thích nhất của chúng tôi, đó là những gì anh ấy đã nói.
  Anh nhắm mắt lại, suy nghĩ.
  “Chúng ta cần suy nghĩ cẩn thận về điều này,” ông kết luận. Anh vỗ vai tôi nói thêm: “Được rồi, mượn tiếp đi.” Và không cần phải đau buồn.
  Anh bước đi khỏi tôi.
  Tôi đã cố gắng tập trung vào việc học nhưng không thể. Cho đến hết giờ thầy vẫn nhìn tôi, lướt qua các bàn của tôi và cắn môi trầm ngâm. Khoảng hai giờ, anh ấy quay số trên điện thoại nói chuyện của mình và nói chuyện với ai đó trong khoảng năm phút.
  Tôi không thể hiểu được những gì anh ấy đang nói.
  Nhưng khi đặt điện thoại xuống, anh ấy nhìn tôi rất lạ.

Sự phụ thuộc, niềm vui và sự hối tiếc - mọi thứ hòa quyện vào nhau trong diện mạo này. Một chút buồn và rất nhiều niềm vui. Vâng, đôi mắt rất biểu cảm.
Tôi ngồi đó và không biết nên cười hay nên khóc.
Cùng ngày hôm đó, Tu viện Ralph và tôi đi học về sớm. Tôi kể cho Ralph chuyện đã xảy ra, anh ấy cau mày: đó là thói quen của anh ấy.
Tôi trở nên hoảng hốt. Và chúng tôi bắt đầu khơi dậy nỗi lo lắng này cùng nhau.

• Gì thế, Chris, bạn có nghĩ họ sẽ gửi bạn đi đâu đó không?
  Cabin monorail bị chèn ép. Đây là điểm dừng của chúng tôi. Chúng tôi rời đi. Và họ bước chậm rãi về phía ngôi nhà.
  “Tôi không biết,” tôi trả lời.
  “Thật kinh tởm,” Ralph nói.
  “Có lẽ tôi cần gặp bác sĩ tâm thần để ông ấy có thể đọc được suy nghĩ của tôi, Ralph?” Nhưng việc học tập của bạn cũng không thể bị lãng phí được.
  Chúng tôi ở lại nhà tôi và ngắm nhìn nó rất lâu. Sau đó Ralph nói một điều:
• Ban ngày không có sao nhưng chúng ta vẫn nhìn thấy phải không Chris?
  “Đúng,” tôi nói. “Chúng tôi thấy.”
  “Chúng ta sẽ giữ chặt, được chứ, Chris?” Mẹ kiếp, tôi không thể đuổi cậu khỏi trường bây giờ được. Chúng tôi là bạn bè. Nó sẽ không công bằng.
  Tôi không trả lời vì một cục nghẹn nghẹn trong cổ họng.
• Mắt cậu bị sao vậy? - Tu viện hỏi.
  “Ồ, không có gì, tôi đã nhìn chằm chằm vào mặt trời quá lâu rồi.” Chúng ta vào nhà thôi, Ralph.
  Chúng tôi rên rỉ dưới làn nước phun trong khi tắm, nhưng không hiểu sao lại không có nhiều nhiệt tình, ngay cả khi chúng tôi bật nước lạnh như băng.
  Khi chúng tôi đứng trong không khí khô hanh, bị gió nóng thổi vào, tôi có thời gian để suy nghĩ. Tôi lý luận, văn học có rất nhiều người đấu tranh với những đối thủ khắc nghiệt, không thể hòa giải. Bộ não, cơ bắp - tất cả đều quay lại chiến đấu chống lại đủ loại chướng ngại vật cho đến khi thắng hoặc thua. Nhưng tôi không có dấu hiệu xung đột bên ngoài. Việc nó đè nặng lên tôi bằng hàm răng sắc nhọn đè nặng lên tôi từ bên trong, và ngoài tôi ra, chỉ có bác sĩ tâm lý mới xoa dịu được mọi vết xước của tôi. Tất nhiên, điều này không làm mọi việc dễ dàng hơn với tôi chút nào.
  “Ralph,” tôi nói khi chúng tôi bắt đầu mặc quần áo, “tôi đang bị cuốn vào một cuộc chiến.”
  -Cậu ở một mình à? anh ấy hỏi.
  “Tôi không thể lôi kéo bạn vào,” anh giải thích.

38

hoặc tôi. - Vì đây là chuyện hoàn toàn cá nhân. Đã bao nhiêu lần mẹ nói: “Chris, chưa lớn đâu, mắt con to hơn bụng rồi”?

• Một triệu lần.
• Hai triệu. Bây giờ hãy diễn đạt lại điều đó, Ralph. Hãy nói theo cách khác: “Đừng tưởng tượng nhiều quá, Chris, trí tưởng tượng của bạn quá lớn so với cơ thể bạn.” Vì vậy, cuộc chiến giữa trí tưởng tượng và cơ thể không thể theo kịp.
  Priory dè dặt gật đầu.
• Tôi hiểu anh, Christophe. Tôi hiểu những gì bạn nói về chiến tranh cá nhân. Theo nghĩa này, cũng có một cuộc chiến đang diễn ra trong tôi.
  “Tôi biết,” tôi nói. - Đối với những người khác, đối với tôi, có vẻ như mọi chuyện sẽ trôi qua. Nhưng đối với anh và tôi, Ralph, tôi nghĩ điều này sẽ không bao giờ biến mất. Tôi nghĩ chúng ta sẽ chờ đợi suốt thời gian.
  Chúng tôi ngồi phơi nắng trên mái nhà, trải sân hiên và bắt đầu làm bài tập về nhà. Không có gì có tác dụng với Priory. Tôi cũng vậy. Priory nói một cách khô khan những điều tôi không đủ can đảm để nói.
  — Chris, Ủy ban Du hành vũ trụ đang lựa chọn người. Những người quan tâm không áp dụng. Họ đang chờ đợi.
• Tôi biết.
  “Họ đã chờ đợi kể từ ngày tim họ lỡ nhịp khi nhìn thấy Moon Pack, họ đã chờ đợi nhiều năm, từ nơi này sang nơi khác mỗi tháng họ sẽ tìm thấy mọi thứ, rằng một buổi sáng đẹp trời, một chiếc trực thăng màu xanh sẽ từ trên trời hạ cánh xuống bãi cỏ trong vườn của họ, một phi công thông minh, gọn gàng sẽ trèo ra khỏi buồng lái, nhanh chóng trèo lên hiên nhà và nhấn nút chuông. Chiếc trực thăng này đang chờ cho đến khi tròn một tuổi. Và vào sinh nhật thứ 20 của bạn, họ uống một ly rượu và ném nó đi cười lớn: họ nói, à, kệ nó đi, nó không thực sự cần thiết.
  Chúng tôi ngồi im lặng, cân nhắc sức nặng lời nói của anh. Họ ngồi và im lặng. Nhưng rồi anh lại lên tiếng:
  “Tôi không muốn làm anh thất vọng như vậy, Chris.” Tôi mười lăm tuổi, giống như bạn. Nhưng nếu tôi quay một vòng mà phi hành gia vẫn không bấm chuông trường nội trú nơi tôi sống, tôi…
  “Tôi biết,” tôi nói, “tôi biết.” Tôi đã nói chuyện với một người đã lãng phí thời gian của họ. Nếu điều này xảy ra với chúng ta, Ralph, thì… chúng ta sẽ uống rượu cùng nhau, rồi chúng ta sẽ đi làm người bốc dỡ trên tên lửa vận tải của tuyến châu Âu.
  Ralph ngã gục và tái mặt.
• Đối với người vận chuyển…

Có ai đó bước nhanh và nhẹ nhàng dọc hiên nhà, và chúng tôi nhìn thấy mẹ tôi. Tôi mỉm cười.

• Chào cô!
• Xin chào. Xin chào Ralph.
• Chào Jen.
  Nhìn cô ấy, tôi sẽ không cho cô ấy quá hai mươi lăm đến hai mươi sáu năm, mặc dù cô ấy đã sinh ra và nuôi dưỡng tôi và đã phục vụ nhiều năm ở Cục Thống kê Nhà nước. Gầy gò, duyên dáng, hay cười: Tôi tưởng tượng khi còn sống chắc hẳn cha cô đã yêu cô biết bao. Vâng, ít nhất tôi còn có mẹ. Weedy Ralph được nuôi dưỡng trong một trường nội trú…
  Jen đến chỗ chúng tôi và đặt tay lên tình yêu của Ralph.
  “Trông anh tệ quá,” cô nói. “Có chuyện gì à?”
  Ralph giả vờ mỉm cười.
• Không, không, mọi chuyện vẫn ổn.
  Jen không cần bất kỳ lời nhắc nhở nào.
  “Ở lại với chúng tôi, Tu viện trưởng,” cô gợi ý. “Chúng tôi nhớ bạn.” Đúng không, Chris?
• Thật là một câu hỏi!
  “Đáng lẽ tôi nên được gửi trở lại trường nội trú,” Ralph phản đối, mặc dù không tự tin lắm. “Nhưng vì bạn đang hỏi và Chris cần trợ giúp về ngữ nghĩa nên tôi sẽ giúp anh ấy.”
  “Tuyệt vời,” tôi nói.
  “Nhưng trước tiên tôi có vài việc phải làm.” Tôi nhanh chóng đến đó và quay lại bằng tàu một ray, quay lại sau một giờ nữa.
  Khi Ralph bấm vào, mẹ của nhiều người quan trọng nhìn tôi, rồi dùng ngón tay cử động nhẹ nhàng nhìn vào tóc tôi.
• Anh ấy sẽ kê đơn gì đó, Chris.
  Tim tôi thắt lại; nó muốn im lặng một lúc. Nó đang chờ đợi. Tôi mở miệng nhưng Jen nói tiếp:
• Vâng, anh ấy sẽ kê đơn gì đó ở đâu đó. Hôm nay tôi nhận được hai cuộc gọi ở nơi làm việc. Giáo viên của bạn gọi đầu tiên. Vậy thì… không, tôi không thể nói được. Tôi không muốn nói bất cứ điều gì cho đến khi nó xảy ra…
  Trái tim tôi lại lên tiếng, chậm rãi và nóng bỏng.
• Trong trường hợp đó, đừng nói với tôi nhé, Jen. Những cuộc gọi này…
  Cô ấy im lặng nhìn tôi. Cô ấy siết chặt tay tôi bằng lòng bàn tay mềm mại và ấm áp.
  “Anh vẫn còn quá trẻ, Chris.” Rất rất trẻ.
  Tôi ngồi im lặng.
  Đôi mắt cô sáng lên.
  -Anh chưa bao giờ gặp bố mình, Chris. Đắng khủng khiếp. Bạn biết anh ấy là ai phải không?

39

“Tất nhiên là tôi biết,” tôi nói. “Anh ấy làm việc trong phòng thí nghiệm hóa học và hầu như không bao giờ rời khỏi ngục tối.

“Đúng, anh ấy làm việc sâu dưới lòng đất, Chris,” Mẹ xác nhận. Và vì lý do nào đó cô ấy nói thêm: “Và tôi chưa bao giờ nhìn thấy các ngôi sao.”

Tim tôi gào thét trong lồng ngực. Anh ta hét to và chói tai.

• Mẹ… mẹ…

Lần đầu tiên sau nhiều năm, tôi gọi to mẹ cô ấy.

Khi tôi thức dậy vào sáng hôm sau, căn phòng tràn ngập ánh nắng, nhưng chiếc ghế dài mà Priory, vị khách của chúng tôi, đã hứa ngủ, lại trống rỗng. Tôi đã lắng nghe. Không có ai té nước trong phòng tắm và máy sấy không kêu ầm ĩ. Ralph không có ở nhà.

Tôi tìm thấy một tờ giấy ghim trên cửa.

Hẹn gặp các bạn ở trường chiều nay. Lời chửi thề của bạn khiến tôi muốn làm điều gì đó cho cô ấy. Sáng nay cô ấy nhận được cuộc gọi và nói rằng cô ấy cần tôi giúp đỡ. Xin chào. Tu viện.

Priory chạy việc vặt cho Jen. Lạ lùng. Jen nhận được một cuộc gọi vào sáng sớm nay. Tôi bước lại ghế sofa và ngồi xuống.

Tôi còn đang ngồi thì nghe tiếng hét từ bên ngoài:

• Này, Chris! Tôi đã ngủ quên!

Tôi nhìn ra ngoài cửa sổ. Một số người trong nhóm chúng tôi đang đứng trên bãi cỏ.

• Tôi xuống ngay đây!
• Không, Chris.

Giọng của mẹ. Yên tĩnh và có một số sắc thái khác thường. Tôi quay lại. Cô ấy đứng ở ngưỡng cửa phía sau tôi, khuôn mặt tái nhợt, hốc hác như thể có thứ gì đó đang hành hạ cô ấy.

“Không, Chris,” cô lặp lại nhẹ nhàng. - Bảo họ đi mà không có bạn, bạn sẽ không can thiệp vào việc học… hôm nay.

Những người cấp thị thực có lẽ vẫn tiếp tục ồn ào nhưng tôi không nghe thấy họ. Lúc đó, đối với tôi chỉ còn tôi và mẹ tồn tại, gầy gò, xanh xao, căng thẳng… Xa xa, những chiếc máy rung của dịch vụ thời tiết bắt đầu vo ve, ầm ầm.

Tôi từ từ quay lại và nhìn các chàng trai. Cả ba người đều ngước lên - môi hé nở một nụ cười nửa miệng bất cẩn, những ngón tay thô ráp cầm cuốn sổ ngữ nghĩa.

• Chào! - một người trong số họ hét lên. Đó là Sidney.

• Xin lỗi, Sydney. Xin lỗi các bạn. Hãy bước đi mà không có tôi. Hôm nay tôi sẽ không thể ăn ở trường được. Gặp lại sau nhé, được chứ?

• Được rồi, Chris!

• Sao vậy, cậu ốm à?

• Không. Chỉ là… Nói tóm lại, hãy đi mà không có tôi. Rồi tôi gặp nhau.

Tôi đứng đó như choáng váng. Cuối cùng, từ những khuôn mặt thắc mắc ngước lên, anh liếc nhìn về phía cửa. Mẹ không có ở đó. Cô ấy đã đi xuống tầng một rồi. Tôi nói khi mọi người đã bình tĩnh lại đáng kể và tiến về phía đường ray đơn.

Tôi không dùng đến cảm giác nâng vị mà từ từ bước xuống chiếc lá.

“Jen,” ​​tôi nói, “Ralph đâu?”

Jen giả vờ mải mê chải mái tóc nâu dài bằng chiếc lược rung.

• Tôi hiểu rồi. Tôi cần anh ấy rời đi.

– Tại sao tôi không đến trường, Jen?

• Làm ơn, Chris, đừng hỏi.

Trước khi tôi có thể nói bất cứ điều gì, tôi đã tạo ra một âm thanh trong không khí. Anh ta xuyên qua những bức tường khá dày đặc của ngôi nhà chúng tôi và đi vào bè của tôi, nhanh và mỏng, giống như một mũi tên từ một bản nhạc điêu luyện.

Tôi nhấp một ngụm. Mọi nỗi sợ hãi, do dự và nghi ngờ của tôi ngay lập tức biến mất.

Ngay khi nhận ra âm thanh đó, tôi nghĩ ngay đến Tu viện Ralph. Ôi, Ralph, giá như anh có thể ở đây lúc này. Tôi đã không tin chính mình.

Tôi nghe âm thanh này, không chỉ nghe bằng tai mà còn nghe bằng cả cơ thể, bằng cả tâm hồn và không tin.

Gần hơn, gần hơn… Ôi, tôi sợ anh ấy bắt đầu rời xa. Nhưng anh ấy đã không rời đi. Hạ giọng xuống, nó bắt đầu hạ xuống gần ngôi nhà, phân tán ánh sáng và bóng tối bằng những cánh hoa xoay khổng lồ, và tôi biết đó là một chiếc trực thăng có màu bầu trời. Tiếng vo ve dừng lại, và trong sự im lặng tiếp theo, mẹ tôi nghiêng người về phía trước, thả chiếc lược rung ra khỏi tay và hít một hơi thật sâu.

Trong sự im lặng tiếp theo, tôi nghe thấy tiếng bước chân trên hiên nhà. Những bước đi tôi đã chờ đợi bấy lâu nay.

Có người bấm chuông.

Tôi biết ai.

Và anh ấy bướng bỉnh nghĩ về một điều: “Ralph, tại sao anh nhất định phải rời đi khi chuyện này đã xảy ra? Tại sao vậy? Tại sao vậy?

Nhìn người phi công, người ta sẽ nghĩ rằng anh ta sinh ra đã mặc đồng phục. Cô vừa khít với anh như một hình ảnh đáng kinh ngạc, như làn da thứ hai - làn da màu bạc: sọc xanh ở đây, vòng tròn xanh ở kia. Nghiêm khắc và hoàn hảo, như một hình thức phải có, đồng thời - là hiện thân của sức mạnh vũ trụ.

40

Kaleysky, Klim"

1989
1989

“Kaleisky” này là năm mới: nó được tạo thành từ một nhiệm vụ trong đó con số 1989 là “hành động cá nhân” chính. Chúng tôi được giao nhiệm vụ III. S. Abasov, N. K. Antonovich, I. Gshurbekov, D. F. Grigori, A. P. Savin, Y. Faizullaev, D. V. Fuks.

41

1. Tổng 1 + 2 + … + n, với một số n, có thể kết thúc vào năm 1989 không?
2. Trong khi làm hoa giấy, Vasya cắt một tờ giấy thành 4 phần, một số mảnh thu được lại được cắt thành 4 phần, v.v. Liệu một lúc nào đó có thể có 1989 mảnh không?
3. Các cạnh của 1989-gon chính xác không bị giới hạn tiếp tục, do đó mặt phẳng được chia thành nhiều phần. Những phần này nhiều hơn một triệu hay ít hơn?
4. Năm 1989 tôi tròn một trăm tuổi, tổng cộng các con số của năm sinh của tôi. Tôi sinh năm bao nhiêu?
5. Giải bài toán số học:
   XYZT
   • XYZ
     X
     1989
6. Một hộp hình chữ nhật, ngang và dọc, được chia thành 1989 ô bằng các tấm ván và các quả bóng (có thể nhiều hơn một) được đặt trong một số ô. Có thể làm như vậy để có 300 quả bóng ở mỗi hàng ngang và 100 quả bóng ở mỗi hàng dọc không?
7. Bảy số chín được viết liên tiếp: 9999999. Đặt nimus giữa chúng sao cho biểu thức tốt nhất bằng 1989.
8. Hình tam giác được cắt thành hai đa giác bằng cách sử dụng tia sét, một trong các đa giác thu được lại được cắt thành hai, v.v. Số lần cắt nhỏ nhất phải được thực hiện là bao nhiêu để tổng số đỉnh của đa giác thu được là 1989?
9. Số 1989 có tận cùng là chữ số nào?

42

P có nghĩa là gói

(Để bắt đầu, xem trang 34)

Tên anh ấy là Trần. Anh ta nói một cách tự tin, trôi chảy một cách tự nhiên, không vòng vo.
Tôi đứng im lặng, còn mẹ ngồi trong góc trông như một cô gái bối rối. Tôi đứng và lắng nghe.
Trong tất cả những gì đã nói, tôi chỉ nhớ một số điều kỳ lạ.
-…điểm xuất sắc, IQ cao. Nhận thức A-1, tò mò AAA. Niềm đam mê cần thiết để theo đuổi thực sự và kiên nhẫn là tám năm dài…

• Vâng, thưa ngài.
  —…chúng tôi đã nói chuyện với giáo viên ngữ nghĩa và tâm lý học của bạn…
• Vâng, thưa ngài.
  -…và đừng quên, cậu Christopher…
  Ông Christopher!
  -…và đừng quên, cậu Christopher, không ai được biết rằng cậu đã được Ủy ban Du hành vũ trụ lựa chọn.
• Không ai?
• Tất nhiên là bạn và giáo viên của bạn biết về điều này. Nhưng ngoài họ ra, không ai nên biết. Bạn đã hiểu rõ tôi chưa?
• Vâng, thưa ngài.
  Trent kín đáo mỉm cười, chống tay lên hai bên.
• Anh ấy muốn hỏi bạn - tại sao lại thế này? Tại sao bạn không thể chia sẻ với bạn bè của bạn? Tôi sẽ thông báo. Đây là một loại phòng thủ tâm lý. Mỗi năm chúng tôi chọn ra khoảng mười nghìn thanh niên từ dân số hàng tỷ đô la trên Trái đất. Ba nghìn người trong số họ tốt nghiệp ngành du hành vũ trụ trong tám năm, với chuyên ngành này hay chuyên ngành khác. Những người còn lại đến và trở về nhà. Họ bỏ học nhưng những người xung quanh không cần biết chuyện đó. Nhìn chung, tình trạng bỏ học sẽ xảy ra trong nửa đầu năm học. Thật không dễ chịu chút nào khi trở về nhà, gặp gỡ bạn bè và báo cáo với họ rằng công việc thay thế nhất trên thế giới lại quá khó khăn đối với bạn. Vì vậy, chúng tôi làm mọi thứ để sự trở lại không đau đớn. Có một lý do khác. Cũng là tâm lý. Điều quan trọng đối với con trai là phải chịu trách nhiệm, vượt trội hơn đồng đội của mình về một mặt nào đó. Bằng cách nghiêm cấm bạn nói với bạn bè rằng bạn đã được chọn, chúng tôi đã tước đi một nửa sự hài lòng của bạn. Và bằng cách này, chúng tôi kiểm tra xem điều gì là quan trọng nhất đối với bạn: tham vọng nhỏ nhặt hay bản thân không gian. Nếu bạn chỉ nghĩ đến việc nổi bật thì bạn đang đi đúng hướng. Nếu không gian là sự công nhận của bạn, nếu nó là tất cả đối với bạn, thì xin chào mừng bạn.
  Anh gật đầu chào mẹ.
• Cảm ơn bà Christopher.
  “Thưa ngài,” tôi nói. “Một câu hỏi.” Tôi có một người bạn, Tu viện Ralph. Anh ấy sống ở một trường nội trú…
  Trần gật đầu.
• Đương nhiên, tôi không thể cho bạn biết chi tiết về anh ấy, nhưng anh ấy đã đăng ký với chúng tôi. Đây có phải là người bạn tốt nhất của bạn? Và tất nhiên là bạn muốn anh ấy ở bên bạn. Tôi sẽ kiểm tra hồ sơ của anh ấy. Bạn nói thử ở trường nội trú nhé? Điều này không tốt lắm. Nhưng… chúng ta sẽ xem.
• Nếu có thể, xin vui lòng. Cảm ơn.
• Hãy đến gặp tôi ở Kostodrome vào lúc 5 giờ thứ bảy, ông Christopher. Cho đến lúc đó, không nói một lời với ai.
  Anh chào. Và anh ấy đã rời đi. Và tôi cất cánh vào đó trên chiếc trực thăng của mình, và ngay lúc đó mẹ tôi đã đứng rất gần tôi.
  “Ôi, Chris, Chris…” cô ấy cứ lặp lại, và chúng tôi bám chặt vào nhau, thì thầm điều gì đó, nói điều gì đó, và mẹ tôi nói điều này quan trọng biết bao đối với chúng tôi, đặc biệt đối với tôi, thật có thể thay thế được, và thật giống như ngày xưa, khi một người nhịn ăn, và thề im lặng, không nói chuyện với ai, chỉ cầu nguyện và cố gắng trở nên xứng đáng, rồi đi đến một tu viện nào đó, đâu đó trong bột màu, rồi trở lại với mọi người, làm gương và mang lại điều tốt lành. tới mọi người. Vì vậy, bây giờ, cô ấy nói, cô ấy kết luận, cô ấy khẳng định, đây cũng là một loại trật tự cao, và tôi sẽ trở thành một phần tử của nó, tôi sẽ không đóng góp cho nó nữa, nhưng tôi sẽ đóng góp cho Vũ trụ, tôi sẽ trở thành tất cả những gì mà cha tôi mơ ước trở thành, nhưng không thể, đã không sống…
  “Tất nhiên, tất nhiên,” tôi lẩm bẩm. “Tôi sẽ treo nó lên, hứa với tôi, tôi sẽ treo nó lên…” Tôi ấp úng. “Jen, làm sao… làm sao chúng ta nói với Ralph đây?” Chúng ta nên đối phó với anh ta như thế nào?
  “Rồi cậu sẽ biết, thế thôi, Chris.” Hãy nói với anh ấy như vậy. Ngắn gọn và rõ ràng. Đừng nói với anh ấy bất cứ điều gì cả. Anh ấy sẽ hiểu.
• Nhưng Jen, cậu…
  Cô mỉm cười dịu dàng.
• Vâng, Chris, tôi sẽ cô đơn. Nhưng tôi vẫn còn công việc và Ralph vẫn ở đó.
• Anh muốn nói…
• Tôi sẽ đón cậu ấy ở trường nội trú. Anh ấy sẽ sống ở đây khi bạn rời đi. Đó là điều bạn muốn nghe từ tôi phải không Chris?
  Tôi gật đầu, mọi thứ trong tôi như tan chảy.
• Vâng, đó chính xác là điều tôi muốn nghe.

43

• Nó sẽ là một đứa con ngoan, Chris. Gần như tốt như bạn.
• Xuất sắc!
  Chúng tôi đã nói với Tu viện Ralph. Họ nói rằng tôi sẽ đi du học ở Châu Âu một năm và mẹ tôi muốn anh ấy sống với chúng tôi và làm con trai bà cho đến khi tôi trở về nhà. Chúng tôi buột miệng nói ra như thể lời nói đang đốt cháy lưỡi mình. Khi chúng tôi nói xong, đầu tiên Ralph bắt tay tôi, rồi hôn lên má mẹ tôi và nói:
• Tôi sẽ rất vui. Tôi sẽ rất hạnh phúc.
  Thật kỳ lạ, Ralph thậm chí còn không thèm tìm hiểu xem tại sao tôi vẫn biết chính xác nơi nào và khi nào tôi định trả lại nó. Anh ấy chỉ nói:
• Chúng ta đã chơi rất vui vẻ cùng nhau phải không? - và ngồi xuống, như thể sợ tiếp tục cuộc trò chuyện.
  Đó là tối thứ sáu, Priory, Jen và tôi đến xem một buổi hòa nhạc tại Nhà hát Xanh ở trung tâm khu phức hợp cộng đồng của chúng tôi, sau đó, hỗn hợp, trở về nhà và chuẩn bị đi ngủ.
  Tôi không có đóng gói gì cả. Priory tình cờ ghi nhận điều này nhưng không hỏi tại sao. Nhưng sự thật là trong 8 năm tiếp theo, người khác đã chăm sóc thiết bị cá nhân của tôi. Không có gì để đóng gói.
  Giáo viên ngữ nghĩa gọi điện và mỉm cười chúc tôi mọi điều tốt lành và trìu mến.
  Cuối cùng, chúng tôi đi ngủ nhưng tôi không thể ngủ được suốt một tiếng đồng hồ, tôi cứ nghĩ rằng đây có thể là đêm cuối cùng của tôi với Jen và Ralph. Tối hôm qua.
  Và tôi chỉ là một cậu bé mười lăm tuổi…
  Tôi đã bắt đầu buồn ngủ thì Tu viện trưởng, trong bóng tối, nhẹ nhàng xoay chiếc ghế dài đối diện với tôi và trịnh trọng bước đi:
• Chris?
  Tạm dừng.
• Chris, anh vẫn còn thức à? - Điếc, như sinh thái xa xôi.
  “Tôi không ngủ,” tôi trả lời.
• Bạn có nghĩ vậy không?
  Tạm dừng.
• Đúng.
  “Anh… anh đã ngừng chờ đợi rồi phải không Chris?”
  Tôi hiểu ý anh ấy. Và anh không thể trả lời.
  “Tôi mệt quá, Ralph,” tôi nói.
  Anh ta trả lời, nằm ngửa xuống và nói:
• Tôi đã nghĩ vậy. Bạn không còn chờ đợi nữa. Ôi trời, tuyệt quá, Chris. Tuyệt vời.
  Anh đưa tay ra và đánh nhẹ vào bắp tay tôi.

Sau đó cả hai chúng tôi đều ngủ thiếp đi.
Sáng thứ bảy đã đến. Bên ngoài cửa sổ, đầu bọn trẻ lăn lộn trong làn sương mù lúc bảy giờ. Tôi nhìn thấy cửa sổ phòng ông già Wickard gõ và tiếng súng dù của ông bắt đầu vang lên trong đầu bọn trẻ.

• Im đi! - anh hét lên, nhưng hoàn toàn không có ác ý. Đó là một trận đấu chung vào thứ Bảy. Bạn có thể nghe thấy tiếng những người bị cuốn đi trong đáp số.
  Priory thức dậy và hỏi:
• Chris, tôi có nên nói với họ rằng hôm nay anh sẽ không đi cùng anh ấy không?
  “Không thể nào,” Jen đi từ cửa ra vào đến cửa sổ đang mở, vầng sáng nhẹ trên tóc cô xua tan sương mù. “Tuyệt vời, watgaga!” Ralph và Chris sẽ ra ngoài bây giờ. Trì hoãn khởi động!
• Jen! - tôi kêu lên.
  Cô ấy đến gần Ralph và tôi.
• Hãy dành ngày Thứ Bảy của bạn như thường lệ với các chàng trai!
  “Tôi đang nghĩ đến việc đánh nhau với cô, Jen.”
• Có ngày nghỉ cho việc này không?
  Cô ấy nhanh chóng cho chúng tôi ăn sáng, hôn lên má chúng tôi và tiễn chúng tôi ra cửa trong vòng tay của Vatga.
• Hôm nay đừng đến gần Cosmodrome nhé các bạn.
• Anh là gì vậy, Chris… Tại sao?
  Khuôn mặt của họ phản ánh đủ loại cảm xúc. Lần đầu tiên trong lịch sử, tôi từ chối cấp phép vào Sân bay vũ trụ.
• Anh là người, Chris.
• Tất nhiên là anh ta đang chơi khăm.
  “Không,” Tu viện nói. “Anh ấy làm việc đó trên máy chủ.” Tôi cũng không muốn đến đó. Chúng tôi đi vào thứ bảy hàng tuần. Mệt mỏi vì nó. Tốt hơn chúng ta nên đi vào tuần tới.
• Ờ…
  Các unnie không vui nhưng họ không muốn đi mà không có chúng tôi. Họ nói sẽ không thú vị nếu không có chúng tôi.
• Thôi được rồi… Tuần sau đi nhé.
• Chắc chắn. Bây giờ chúng ta phải làm gì, Chris?
  Tôi đã nói với họ.
  Vào ngày này, chúng tôi chơi “đập lon” và những trò chơi khác mà chúng tôi đã bỏ từ lâu, sau đó chúng tôi đi đến một đoạn đường nhỏ rỉ sét của một tuyến đường sắt cũ bị bỏ hoang, lang thang trong khu rừng do một số loài chim hình thành, khỏa thân bơi lội và tôi cứ nghĩ về một điều: hôm nay là ngày cuối cùng.
  Mọi thứ chúng tôi từng ăn vào ngày thứ Bảy, chúng tôi đều nhớ hết. Tất cả các loại trò đùa và trò đùa. Và, ngoại trừ Ralph, không ai nghi ngờ đáp số của tôi, và với mọi

44

Mỗi phút trôi qua, “năm giờ” ấp ủ ngày càng đến gần hơn.
Lúc bốn giờ, tôi bảo mọi người “làm chứng”.
“Anh sắp đi rồi à, Chris?” Ờ, còn buổi tối thì sao?
“Hãy đến lúc tám giờ,” tôi nói. - Cùng đi xem bộ ảnh mới với Sally Ghiberti nhé!

• Đúng vậy.
• Chìa khóa để bắt đầu!
  Rồi tôi và Ralph về nhà.
  Mẹ không có ở nhà, nhưng trên giường tôi có một đoạn phim ghi âm mà trên đó mẹ đã để lại một phần của chính mình - nụ cười, giọng nói, lời nói của mẹ. Tôi đưa video vào máy chiếu và dán nó lên tường. Mái tóc nâu mềm mại, khuôn mặt trắng trẻo của mẹ, giọng nói trầm lặng của mẹ:
• Tôi không thích cầu xin, Chris. Tôi sẽ đến phòng thí nghiệm và làm việc ở đó. Chúc mừng sinh nhật bạn. Được ôm thật chặt. Khi tôi gặp lại anh… anh sẽ là một người đàn ông.
  Thế thôi.
  Priory đợi ngoài cửa và tôi phát video lần thứ tư.
• Tôi không thích cầu xin, Chris. Tôi sẽ đi… làm việc… vui vẻ. Thật chặt… ôm…
  Tôi cũng đã quay một video vào đêm hôm trước. Bây giờ tôi đặt nó vào máy chiếu và để lại - hai hoặc ba từ lạc lối.
  Priory bắt tôi phải đợi cho đến nửa chặng đường. Anh ấy không thể đi cùng tôi đến Sân bay vũ trụ. Đến ga tàu điện một ray tôi bắt tay anh ấy thật chặt và nói:
• Hôm nay chúng ta đã có một ngày tuyệt vời.
• Vâng. Bây giờ thì sao, cho đến thứ Bảy tuần sau?
  “Tôi ước gì tôi có thể trả lời là có.”
• Dù sao cũng trả lời “có”. Thứ bảy tới - rừng, băng nhóm, gói hàng, ông già Wickard với khẩu súng ngắn đáng tin cậy của ông. Chúng tôi cười với nhau.
• Đồng ý. Thứ bảy tới, vào sáng sớm. Và cậu hãy bảo trọng… chăm sóc mẹ của chúng ta, được chứ, Priory, cậu hứa chứ?
  “Thật là một câu hỏi ngu ngốc, đồ ngốc,” anh nói.
• Đúng thế, đồ ngốc.
  Anh nhấp một ngụm.
  – Chris.
• Đúng?
• Tôi sẽ đợi. Giống như bạn đã chờ đợi và bây giờ bạn không phải đợi nữa. Sẽ đợi.
  “Tôi không nghĩ anh sẽ phải đợi lâu đâu, Ralph.” Tôi hy vọng nó sẽ không lâu.
  Tôi đánh nhẹ vào tay anh ấy một cái. Anh ấy đáp lại bằng hiện vật.
  Cánh cửa monorail đóng lại. Kabi lao về phía trước và Priory ở lại phía sau.
  Tôi xuống ở trạm Kosmoport. Tòa nhà điều khiển cách đó khoảng năm trăm mét. Tôi đã đi bộ trên đoạn đường này suốt mười năm.
  “Khi tôi gặp lại bạn, bạn sẽ là một người đàn ông…”
  “Không nói một lời nào với bất cứ ai…”
  “Tôi sẽ đợi, Chris…”
  Tất cả những điều này giống như một nút chai trong trái tim, và bạn không muốn rời đi, và nó trôi nổi trước mắt bạn …
  Tôi nghĩ về giấc mơ của mình. Tên lửa mặt trăng. Giờ đây cô ấy sẽ không còn là một phần tâm hồn, giấc mơ của tôi nữa. Bây giờ tôi sẽ trở thành một phần của nó.
  Tôi bước đi, bước đi và bước đi, cảm thấy hoàn toàn vô nghĩa.
  Ngay khi tôi đến gần bộ điều khiển, tên lửa London buổi tối đã cất cánh. Cô ấy trượt xuống đất, lướt vào trong và khiến trái tim tôi rung động ngọt ngào.
  Và tôi ngay lập tức bắt đầu phát triển nhanh khủng khiếp.
  Tôi đưa mắt dõi theo tên lửa cho đến khi gót chân của ai đó nhấp nháy chào bên cạnh tôi.
  Tôi hóa đá.
• K. M. Christopher?
• Vâng, thưa ngài. Đã gọi, thưa ngài.
• Lối này, Christopher. Những câu hỏi này…
  Hàng rào mà cách đây một tuần chúng ta đã áp mặt vào, cảm thấy gió nóng dần, và càng ép mình vào đó nhiều hơn, quên mất mình là ai, từ đâu đến, chỉ mơ về việc mình có thể là ai và có thể đi đâu…
  Hàng rào mà một tuần trước chúng tôi đã ép vào mặt mình, những người thích là con trai, thích sống ở một thị trấn nhỏ ở Florida, và chắc chắn thích trường học, thích chơi bóng đá, và họ cũng thích bố và mẹ…
  Những chàng trai, hàng tuần, hàng giờ, phút, không ngừng nghĩ về ngọn lửa, các vì sao và sự bao la phía sau mà tất cả những điều này đang chờ đợi họ… Những chàng trai thích nhiều hơn.
  Mẹ, Ralph, chúng con sẽ gặp lại mẹ. Tôi sẽ quay lại.
  Mẹ! Ralph!
  Và tôi đi qua cổng và bước vào bên trong hàng rào.

Truyện này được in lại từ tuyển tập truyện giả tưởng của Ray Bradbury (M.: Văn học thiếu nhi, 1973). Bản dịch từ tiếng Anh của N. Gal và E. Kabalevskaya.

45

Vật lý 8, 9, 10

Ghi chú “Sự cân bằng của một hệ cơ học và phương pháp chuyển vị ảo” được công bố dưới đây dành cho trẻ 8 tuổi, ghi chú “Một chất có bao nhiêu trạng thái?” - dành cho học sinh lớp chín, “Một số thay đổi liên quan đến hiệu ứng ảnh” - dành cho học sinh lớp mười.

Cân bằng của hệ cơ học và phương pháp chuyển vị ảo

Ông nói rằng để xây dựng một trong những nhà thờ ở Thụy Sĩ, kiến ​​trúc sư của nó đã tìm thấy những khối đá cho phép ông nâng những vật nặng đặc biệt lên tầm cao. Ông đã thiết kế một tời xích rất phức tạp, nhưng lại bối rối trước vô số lực căng của dây cáp và không bao giờ có thể tính toán cần thuê bao nhiêu người để bảo trì nó. Để được giúp đỡ, kiến ​​trúc sư đã tìm đến nhà khoa học nổi tiếng Juhann Bernoulli (1667-1748). Hãy tưởng tượng sự ngạc nhiên của kiến ​​trúc sư khi Bernoulli, vừa mới nhìn vào bản vẽ, đã ngay lập tức đưa ra đáp số. Kiến trúc sư kinh ngạc xin tiết lộ bí quyết tính toán cột trụ…

Chúng ta cũng hãy thử (theo Bernoulli) thảo luận về các điều kiện cân bằng của một hệ cơ học từ một vị trí hơi khác so với vị trí đã được thực hiện trong chương tiếp theo của sách giáo khoa phổ thông “Vật lý 8”.

Rõ ràng, để tìm ra các điều kiện cân bằng của một hệ thống, các phản lực của các kết nối cơ học được điều khiển *). Các kết nối thường được gọi là những hạn chế được áp đặt đối với vị trí của các bộ phận riêng lẻ của hệ thống hoặc khả năng chuyển động của chúng.

*) Xem bài viết của A. I. Chernoutsan “Các kết nối động học trong các bài toán đường kính” trong số thứ hai của tạp chí năm 1988.

46

Ví dụ về các kết nối cơ học bao gồm một ren mà tải được treo trên đó, một bản lề kết nối các bộ phận riêng lẻ của một cơ cấu, một mặt phẳng đặt phần thân của hệ thống, v.v. Càng có nhiều kết nối trong một hệ thống (ví dụ: các ren trong khối ròng rọc do kiến ​​trúc sư của chúng tôi thiết kế), thì việc giám sát hoạt động của tất cả các phản lực phát sinh trong chúng càng khó khăn hơn.

Trong nhiều trường hợp, các kết nối cơ học có một số tính chất đáng chú ý mà Bernoulli đã sử dụng làm cơ sở cho phương pháp đơn giản và tinh tế của ông nhằm tìm ra các điều kiện cân bằng của một hệ cơ học. Tính chất này nằm ở chỗ tổng công của tất cả các phản lực phát sinh trong mối liên hệ của hệ đối với mọi sai lệch có thể đủ nhỏ so với vị trí cân bằng đều bằng 0.

Ở đây cần phải quy định cụ thể ý nghĩa của “bất kỳ sai lệch đủ nhỏ nào có thể xảy ra” của hệ so với vị trí cân bằng. Tất nhiên, trước hết, chuyển động của các điểm trong hệ thống xác định những sai lệch đó không được mâu thuẫn với các kết nối cơ học (các sợi không bị sờn, bản lề không bị gãy). Những chuyển động như vậy được gọi là nổi lên, hay ảo (có nghĩa là tinh thần). Chúng cần được phân biệt với các chuyển động thực sự xảy ra dưới tác động của các lực tác dụng. Các chuyển vị ảo không liên quan đến quá trình chuyển động của hệ - chúng chỉ được đưa vào nhằm xác định sự tương ứng của các lực tồn tại trong hệ và thiết lập các điều kiện cân bằng. Cần một lượng dịch chuyển nhỏ để các lực phản ứng có thể được coi là không thay đổi.

Các kết nối mà tổng công cơ bản của các phản lực đối với bất kỳ chuyển vị ảo nào bằng 0 được gọi là lý tưởng. Chúng tôi nhấn mạnh rằng không phải tất cả các kết nối đều lý tưởng. Vì vậy, nếu các phần của hệ nằm trên một mặt phẳng có ma sát, thì kết nối (mặt phẳng) này không còn lý tưởng nữa.

Chúng ta hãy xem xét cách thực hiện tính chất của các kết nối lý tưởng bằng cách sử dụng ví dụ về hệ thống các điểm tạo thành một vật rắn tuyệt đối. Bất kỳ điểm $A$ nào của vật đó đều được kết nối với tất cả các điểm khác bằng phản lực. Chúng ta hãy chọn một số điểm $B$ và biểu thị các phản lực tác dụng giữa các điểm bằng $\vec{F}_{AB}$ và $\vec{F}_{BA}$ (lực đầu tiên được áp dụng cho điểm $A$, lực thứ hai - đến $B$). Chúng ta hãy tạm quên tất cả các điểm khác trên cơ thể, ngoại trừ hai điểm được đánh dấu. Khi đó chúng ta còn lại một hệ gồm hai vật liệu điểm được nối với nhau bằng một thanh cứng không tương thích. Theo định luật thứ ba của Newton,

$$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}.$$

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện một số chuyển động ảo của các điểm $\Delta s_A$ và $\Delta s_B$ này. Chúng ta có thể giả sử rằng $\Delta s_A$ là chuyển vị tịnh tiến của toàn bộ vật rắn, chung cho tất cả các điểm và $\Delta s_B = \Delta s_A + \Delta s'$, trong đó $\Delta s'$ là chuyển vị tương ứng với biểu thức của điểm $B$ so với điểm $A$. Tổng công do các phản lực thực hiện trong quá trình dịch chuyển ảo này là

$$\Delta A = (\vec{F}_{AB} \cdot \Delta s_A) + (\vec{F}_{BA} \cdot \Delta s_B) = \left( (\vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BA}) \cdot \Delta s_A \right) + (\vec{F}_{BA} \cdot \Delta s').$$

Số hạng đầu tiên ở vế phải của đẳng thức này bằng 0 do điều kiện (*). Thuật ngữ thứ hai cũng bằng 0, vì độ dịch chuyển $\Delta s'$, tương ứng với biểu thức của điểm $B$ so với điểm $A$, vuông góc với lực $\vec{F}_{BA}$, lực này hướng dọc theo đường thẳng nối các điểm $A$ và $B$. Theo cách tương tự, có thể chứng minh rằng công ảo (tức là tổng công trong các chuyển vị ảo) của các phản lực đối với bất kỳ vật rắn nào khác đều bằng không. Do đó, bằng cách xem xét ví dụ, chúng tôi đã bị thuyết phục về tính hợp lệ của tính chất được thảo luận về các kết nối lý tưởng.

Để cuối cùng xây dựng được một nguyên lý cân bằng mới, chúng ta vẫn phải xem xét tác dụng ảo của các ngoại lực. Lưu ý rằng mỗi ngoại lực tác dụng lên hệ ở điều kiện cân bằng phải cân bằng với các phản lực gây ra bởi

47

bởi cô ấy. Pozny, nếu bây giờ chúng ta tính tổng công do các ngoại lực và phản lực thực hiện đối với bất kỳ sự dịch chuyển ảo nào, thì hóa ra nó bằng 0. Nhưng xét về phản lực, chúng ta đã biết rằng chúng không thực hiện công hoàn chỉnh nào. Do đó, đối với bất kỳ chuyển vị ảo nào, tổng công do các ngoại lực thực hiện cũng phải bằng 0.

Vì vậy, các điều kiện cân bằng của một hệ cơ học có thể được xây dựng dưới dạng cái gọi là nguyên lý chuyển vị ảo (có thể):

Để cân bằng một hệ cơ học với các kết nối lý tưởng, điều cần và đủ là tổng công của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ đối với bất kỳ chuyển vị ảo nào của hệ đều bằng 0.

Nhờ nguyên lý này do Johann Bernouli đưa ra năm 1717, để tìm điều kiện cân bằng không cần xét đến một số lượng lớn các phản lực. Chỉ cần chọn các chuyển vị ảo thuận tiện, tính tổng công tương ứng của chỉ các ngoại lực và đánh đồng nó bằng 0 là đủ.

Chúng ta hãy minh họa việc áp dụng nguyên lý này bằng một ví dụ đơn giản: chúng ta sẽ tìm lực đàn hồi của một lò xo mà từ đó treo một tải trọng có khối lượng $m$. Hãy chọn chính tải làm hệ thống. Có hai ngoại lực tác dụng lên nó - lực đàn hồi của lò xo $T$ và trọng lực của tải trọng $mg$. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đã dịch chuyển tải ở trạng thái cân bằng xuống một lượng nhỏ $\Delta x$. Khi đó công do lực hấp dẫn thực hiện sẽ bằng

$$\Delta A_1 = mg\Delta x,$$

và công do lực đàn hồi của lò xo thực hiện là

$$\Delta A_2 = -T\Delta x.$$

Theo nguyên tắc chuyển động ảo, tổng công của cả hai phải bằng 0:

$$\Delta A_1 + \Delta A_2 = mg\Delta x - T\Delta x = 0,$$

chúng ta lấy nó từ đâu

$$T = mg.$$

Tất nhiên, bài toán này có thể được giải theo cách thông thường - sử dụng các điều kiện cân bằng của vật thể. Hơn nữa, trong trường hợp này, cả hai phương pháp đều giống nhau về độ phức tạp. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, phương pháp dịch chuyển ảo dẫn đến lời giải nhanh hơn và đơn giản hơn, thậm chí đôi khi còn cho phép giải bài toán, về nguyên tắc không thể giải được trên cơ sở các điều kiện cân bằng tổng quát.

Cũng lưu ý rằng phương pháp dịch chuyển ảo có thể được sử dụng thành công cho lời giải không chỉ cơ học bài toán mà còn cho bài toán điện tử và vật lý phân tử.

A. A. Varlamov

Một chất có bao nhiêu trạng thái?

Trong bài viết này, chúng tôi muốn nói một chút về các trạng thái khác nhau của vật chất - trạng thái nổi tiếng nhất, ít được biết đến và rất ít được biết đến.

Bất kỳ cơ thể nào cũng là một số lượng lớn các phân tử chuyển động và tương tác với nhau. Mọi sự hoàn hảo đều có tính chất tự nhiên, đó là khi sự tương tác giữa các phân tử với nhau yếu thì các phân tử phải tạo thành chất khí; mặt khác, khi tương tác mạnh, nó là vật thể rắn; trong trường hợp trung gian - chất lỏng. Điều này chắc chắn là đúng. Chỉ trong vật lý thì không có số lượng lớn hay nhỏ có thể hiểu được nếu không so sánh với một vật nào đó. Trong trường hợp này, năng lượng tương tác của các phân tử phải được so sánh với động năng của chúng.

Từ lý thuyết động học phân tử, người ta biết rằng động năng trung bình dị năng của các phân tử $\bar{E}$ liên quan trực tiếp đến nhiệt độ $T$ của hệ: $\bar{E} = \frac{3}{2}kT$. Vì chúng ta chỉ quan tâm đến những cân nhắc về mặt định tính nên chúng ta có thể

48

chúng tôi sẽ không tính đến số điện thoại $^3/2$. Chúng ta hãy biểu thị năng lượng tương tác trung bình của các phân tử với môi trường của chúng bằng $U$. Hãy giới thiệu tham số $\varepsilon$, bằng tỉ số giữa năng lượng tương tác trung bình và động năng trung bình: $\varepsilon=U/kT$. Bây giờ chúng ta có thể viết ra các điều kiện cho sự tồn tại của chất khí, chất lỏng và chất rắn. Nếu $\varepsilon\ll 1$, chúng ta có chất khí (các phân tử chuyển động nhanh, hầu như không có tương tác với nhau). Khi $\varepsilon\gg 1$, hệ thống là chất rắn (các phân tử bị “kẹp” vào vị trí của chúng). Trường hợp trung gian, khi $\varepsilon\approx 1$, tương ứng với chất lỏng. Nhưng trong mỗi loại điều kiện rất lớn này lại có khá nhiều sự đa dạng.

Trước tiên chúng ta hãy tập trung vào cơ thể rắn. Từ điều kiện $\varepsilon\gg 1$, rõ ràng trạng thái của chất rắn được xác định chủ yếu bởi sự tương tác năng lượng của các phân tử. Như đã biết, bất kỳ hệ thống nào xuất hiện trước chính nó đều có xu hướng chiếm một vị trí sao cho thế năng của nó là tối thiểu (theo thế năng ở đây chúng ta phải nhớ chính xác năng lượng tương tác của các phân tử với nhau). Vì vậy, hóa ra năng lượng tối thiểu tương ứng với trạng thái khi các phân tử được sắp xếp chặt chẽ theo chu kỳ. Nói cách khác, trạng thái cân bằng ổn định không chỉ tương ứng với một vật thể rắn mà còn tương ứng với một tinh thể. Đây là loại chất rắn đầu tiên được nghiên cứu nhiều nhất. Các tính chất của tinh thể hoàn toàn được xác định bởi loại mạng tinh thể. Có các mạng gồm các cốc, lăng kính lục giác, các khối song song, v.v. Khi tinh thể bị nung nóng (ví dụ, ở áp suất khí quyển), sẽ có một nhiệt độ (chú ý! một nhiệt độ rất cụ thể) tại đó mạng tinh thể trở nên không ổn định. Bắt đầu bơi (rõ ràng là nhiệt độ bơi phải được xác định từ điều kiện $\varepsilon\approx 1$, tức là $kT_{\pi l}\approx U$).

Một loại chất rắn khác sẽ xuất hiện khi, khi nguội đi, chất lỏng mất tính linh động trước khi chúng có thời gian nhô vào mạng tinh thể. Bây giờ họ “muốn” tổ chức lại, nhưng họ không thể. Chính xác hơn là họ có thể, nhưng để làm được điều này họ cần rất nhiều thời gian. Chúng ta có được một chất rắn, nhưng không phải là tinh thể, mà là một cơ thể vô định hình. Một ví dụ điển hình của những vật thể như vậy là thủy tinh. Khi đun nóng, thủy tinh dần dần mềm đi và cuối cùng biến thành chất lỏng, nhưng không có điểm nóng chảy cụ thể.

Việc làm mát một chất lỏng nhất định sẽ tạo ra tinh thể hay vật thể vô định hình phụ thuộc rất nhiều vào tốc độ làm mát. Ví dụ, để thu được kim loại vô định hình, tốc độ làm nguội phải rất lớn (kim loại nóng chảy được phun lên bề mặt được làm mát bằng nitơ lỏng). Nhưng đây không phải là điều kiện duy nhất. Ví dụ, cho dù nó có tan chảy đến đâu, glycerin sẽ không tạo thành tinh thể (ngày nay lý do cho điều này vẫn chưa hoàn toàn rõ ràng).

Nếu chúng ta đang nói về các vật thể bao gồm các phân tử có hình dạng đơn giản, thì rõ ràng là không có khả năng nào khác. Nhưng may mắn thay, thế giới không đơn giản như vậy. Bạn biết rất rõ rằng có những đặc tính phân tử hạn chế (và không chỉ giới hạn) của các hình dạng phức tạp. Các chất được tạo ra từ các phân tử như vậy có thể ở trạng thái không hình thành và không thể phân loại là chất lỏng hoặc chất rắn. Dưới đây là một số ví dụ.

Một tính chất điển hình của chất lỏng là tính đẳng hướng của nó, tức là các tính chất giống nhau theo mọi hướng. Tuy nhiên, hiện nay người ta có thể sử dụng các tính chất cơ học, tốc độ truyền của các loại sóng khác nhau (đàn hồi hoặc điện từ), v.v. Vì vậy, khoảng một trăm năm trước, người ta đã phát hiện ra các chất lỏng không đẳng hướng - cái gọi là chất lỏng dị hướng. Kể từ đó, một lượng lớn chất lỏng đã được phát hiện (và được tạo ra một cách nhân tạo). Đặc điểm chính của chúng là ở một số hướng chúng có

49

đưa ra các tính chất của tinh thể (ví dụ, tính tuần hoàn của cấu trúc bên trong), trong khi ở những loại khác thì không. Đây là những tinh thể lỏng. Vì sự kết hợp của các đặc tính dường như không tương thích như tính lưu động và tính trật tự, chúng được gọi là mezofaz (mezo có nghĩa là trung gian; tức là các pha trung gian).

Các phân tử polymer dài có thể tạo thành một loại trạng thái khác, ví dụ như aspic hoặc cao su. Ở những trạng thái này, các phân tử dài được kết hợp thành chuỗi hoặc mạng phân nhánh. Kết quả là sẽ xuất hiện một cơ thể giống tuyến đặc biệt, được gọi là “gel”. Các điều kiện thuộc loại này cũng cực kỳ phổ biến trong tự nhiên.

Cuối cùng, chúng ta hãy tập trung rất ngắn gọn vào một số cảm giác về các trạng thái cực đoan của vật chất.

Khi một chất khí được làm nóng, động năng của các phân tử của nó tăng lên và có thể ở mức năng lượng truyền nguyên tử. Sau đó, khi các phân tử va chạm với nhau, các nguyên tử có thể đan xen vào nhau và chúng ta thu được hỗn hợp các hạt trung tính và được nạp (dương và âm). Điều rất quan trọng là lượng chất gây ô nhiễm dương và âm luôn bằng nhau, để nói chung khí trung hòa về điện. Đây là plasma, một trạng thái vật chất hoàn toàn đặc biệt với một đặc tính độc nhất.

Và để kết luận, hãy chuyển sang…
tới các vì sao. Ngôi sao là một đám mây khí và bụi khổng lồ có xu hướng co lại dưới tác dụng của lực hấp dẫn. Kết quả của sự suy giảm này là nhiệt độ trong lõi của ngôi sao tăng lên và đến một lúc nào đó, phản ứng nhiệt hạch sẽ xảy ra: hạt nhân hydro hợp nhất và biến thành heli. Năng lượng được giải phóng trong trường hợp này tiếp tục biến ngôi sao thành sẹo và ngôi sao ổn định (chính ở giai đoạn tiến hóa sao này mà Mặt trời tọa lạc). Nhưng dần dần hydro cháy hết và cho chúng tôi biết khả năng xảy ra. Áp suất khổng lồ phát sinh trong trường hợp này sẽ nghiền nát các nguyên tử. Xuất hiện một trạng thái trong đó các electron dường như chuyển động tự do trong trường hạt nhân trần. Nếu khối lượng của ngôi sao không quá lớn (nhỏ hơn 1,25 khối lượng mặt trời), thì tỷ lệ cụ thể tồn tại giữa các electron sẽ biến nó thành lực nén (lực đẩy này không liên quan đến lực điện mà hoàn toàn có bản chất lượng tử). Kết quả là một trạng thái hoàn toàn đặc biệt phát sinh với mật độ rất lớn (khoảng 60 t/cm³). Các ngôi sao sắp xếp theo cách này được gọi là sao lùn trắng (do chúng có ánh sáng xanh nhạt và kích thước nhỏ). Nếu khối lượng của ngôi sao lớn hơn (lớn hơn 1,5-2 khối lượng Mặt Trời) thì các electron không thể chống lại sự co lại do hấp dẫn. Kết quả là, chúng (electron) di chuyển vào hạt nhân và hợp nhất với proton, tạo thành neutron. Xuất hiện một chất không bao gồm hạt nhân nguyên tử mà bao gồm các neutron với mật độ cao rất lớn (≈2·10⁹ t/cm³). Đây là những ngôi sao neutron.

Có lẽ chúng ta sẽ dừng ở đó. Mặc dù, thành thật mà nói, danh sách các trạng thái vật chất đáng kinh ngạc tồn tại trong tự nhiên vẫn còn lâu mới cạn kiệt.

E. E. Gorodetsky

Một số thay đổi về hiệu ứng ảnh

Trong môn vật lý ở trường, các em đã làm quen với hiện tượng hiệu ứng quang điện, tức là sự phát xạ electron của một chất dưới tác dụng của ánh sáng và các định luật của nó (“Vật lý 10”, chương 10).

Điều chính trong lý thuyết về hiệu ứng quang điện là gì? Tất nhiên, giả thuyết về lượng tử ánh sáng - photon. Hiệu ứng quang điện có thể được biểu diễn dưới dạng kết quả của hai quá trình liên tiếp: 1) sự hấp thụ lượng tử ánh sáng của một electron, 2) sự phát xạ của một electron bên ngoài chất. Nếu nó xảy ra

50

Cả quá trình và hiện tượng đều được gọi chính xác hơn là hiệu ứng quang học bên ngoài. Nếu sự hấp thụ photon không dẫn đến sự phát xạ electron khỏi chất mà làm thay đổi độ dẫn điện của nó, thì chúng nói lên hiệu ứng quang điện bên trong (thường thấy trong chất bán dẫn). Hiệu ứng quang điện thực tế thường được gọi là hiện tượng hấp thụ photon bởi electron.

Câu hỏi đặt ra: hiệu ứng quang điện có thể xảy ra trên một electron tự do không? Thoạt nhìn - tại sao không? Rốt cuộc, chúng ta nói: photon bị electron hấp thụ. Chất đó có liên quan gì đến nó?
Hãy lấy một electron, chiếu đèn pin vào nó và nó bắt đầu “nuốt” các photon và tăng tốc chúng! Hóa ra sẽ không có việc gì xảy ra. Một electron tự do không thể hấp thụ một photon đơn lẻ. Đúng, nó sẽ di chuyển khỏi vị trí của nó, nhưng lý do sẽ không phải là sự hấp thụ mà là sự tán xạ các photon. Đây cũng là một quá trình rất thú vị - hiệu ứng Compton nổi tiếng, trong đó các tính chất lượng tử của ánh sáng được thể hiện rõ ràng, nhưng… không phải hiệu ứng ảnh.

Tại sao electron tự do không thể hấp thụ photon? Chúng ta hãy thực hiện, như các nhà toán học nói, một bằng chứng “bằng mâu thuẫn”. Cho một electron (đứng yên hoặc chuyển động) hấp thụ một photon tới nó, đồng thời tốc độ của nó thay đổi. Hóa ra một quá trình như vậy bị cấm bởi các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng. Điều này trở nên rất nghiêm trọng nếu bạn chọn một hệ thống báo cáo quán tính trong đó electron cuối cùng sẽ chết sau hiệu ứng quang điện. Xem cho chính mình. Chúng ta có gì ở trạng thái cuối cùng? Một electron đứng yên và không có gì khác. Và ở trạng thái ban đầu? Di chuyển một electron và một photon để khởi động. Năng lượng thực không được bảo toàn.

Điều này có nghĩa là hiệu ứng ảnh “theo mọi luật” chỉ có thể thực hiện được khi có sự có mặt của người tham gia thứ ba. Trong kim loại hình bán nguyệt, vai trò này được thực hiện bởi các ion của mạng tinh thể. Nhưng khi tính năng lượng (ví dụ, trong các phương trình của Einstein về hiệu ứng quang điện), chúng ta không tính đến chúng vì do khối lượng lớn nên chúng nhanh chóng chiếm một phần năng lượng rất nhỏ (có vai trò quan trọng trong định luật bảo toàn động lượng).

Hiệu ứng ảnh có thể xảy ra trên một nguyên tử (hoặc phân tử) - ví dụ: trong chất khí không? Hóa ra là có. Photon được hấp thụ bởi một trong các electron của nguyên tử và chỉ có xung lực được hạt nhân nguyên tử mang đi. Thật thú vị khi lưu ý rằng hiệu ứng quang điện lần đầu tiên được G. Herme phát hiện chính xác trong các thí nghiệm với chất khí (1887). Ông đã nghiên cứu sự đánh thủng về mặt điện của khe hở không khí giữa các điện cực và phát hiện ra rằng khi khe hở này được chiếu xạ bằng ánh sáng, sự đánh thủng xảy ra ở điện áp thấp hơn.

Tại sao trong môn vật lý ở trường chỉ có hiệu ứng ảnh bên ngoài được thảo luận chi tiết? Rốt cuộc, với bất kỳ hiệu ứng quang điện nào, hiện tượng lượng tử chính xảy ra - sự hấp thụ photon của electron. Vấn đề là các định luật về hiệu ứng quang học bên ngoài khá đơn giản và tương đối dễ nghiên cứu bằng thực nghiệm. Trong trường hợp này, các đặc tính định lượng của hiệu ứng quang có thể được tìm thấy cả từ các thí nghiệm về hiệu ứng quang bên ngoài và bằng các phương pháp độc lập. Hãy nói về điều này chi tiết hơn một chút.

phương trình Einstein

$$hv = A + \frac{mv^2}{2}$$

chứa hai đại lượng biến đổi trực tiếp: tần số ánh sáng $v$ và động năng cực đại của các electron bị đánh bật ra $mv^2/2$. Phương pháp quang học có thể tạo ra các chùm ánh sáng có tần số được chiết xuất tốt $v$. Để biết thông tin

51

o các electron phát ra (số lượng electron bị bật ra trong một giây, cũng như năng lượng cuối cùng tối đa) cực âm của đèn chân không được làm từ kim loại đang nghiên cứu. Vì dòng điện qua đèn bị các electron đánh bật một cách chính xác nên tất cả thông tin cần thiết có thể thu được từ đặc tính dòng điện-điện áp của đèn. Cụ thể, năng lượng cuối cùng cực đại của electron được biểu thị bằng điện áp trễ $U_3$:

$$\frac{mv^2}{2} = eU_3.$$

Nếu đối với các kim loại khác nhau, chúng ta vẽ đồ thị sự phụ thuộc thực nghiệm của $eU_3$ vào tần số ánh sáng $v$, thì theo phương trình Einstein, sẽ thu được các đường thẳng song song (xem hìnhok). Từ độ dốc của những đường thẳng này, người ta có thể tính được hằng số Planck $h$, và từ giao điểm của đồ thị với ong bắp cày, người ta có thể tìm ra hàm công $A$ và tần số giới hạn $v_{\min}$, gọi là giới hạn đỏ của hiệu ứng quang điện. Như bạn đã biết, lần đầu tiên khái niệm lượng tử hóa năng lượng ($E = hv$), cũng như hằng số $h$, được M. Planck đưa ra để giải thích các định luật về bức xạ nhiệt. Từ lý thuyết về hiệu ứng quang điện, người ta thu được giá trị tương tự (cho đến sai số thực nghiệm) $h$, điều này củng cố đáng kể vị thế của lý thuyết lượng tử.

Có thể thay đổi chức năng làm việc theo cách khác ngoài hiệu ứng ảnh không? Đáp số được điều khiển bởi chính nó - bạn cần bằng cách nào đó buộc các electron rời khỏi chất theo một cách khác mà không cần ánh sáng thông thường. Rõ ràng nhất là làm nóng loại vật liệu này, khiến các electron “bốc hơi” khỏi bề mặt của nó. Hiện tượng này được gọi là phát xạ nhiệt và được sử dụng trong các ống điện tử - điốt, triode, v.v. Quá trình phát xạ điện tử thực sự rất giống với sự bay hơi - chỉ những electron nhanh nhất, có năng lượng vượt quá công năng, mới có thể thoát ra.

Đối với hầu hết các kim loại, công năng theo thứ tự của một số electron. Nó nhiều hay ít? Chúng ta hãy ước tính năng lượng trung bình của chuyển động nhiệt của các electron bằng công thức thu được đối với khí đơn nguyên tử:

$$E = \frac{3}{2}kT.$$

Ở nhiệt độ phòng ($T \approx 300$ K), giá trị này bằng vài phần trăm của điện thế electron, tức là nhỏ hơn hàng trăm lần so với công. Điều này có nghĩa là số electron rời khỏi kim loại do chuyển động nhiệt ở nhiệt độ phòng là rất nhỏ (hiện tượng này có thể bỏ qua khi nghiên cứu hiệu ứng quang điện). Để quá trình “bay hơi” của điện tử trở thành một quá trình đáng chú ý, vật liệu này phải được nung nóng đến vài nghìn độ.

Bằng cách nghiên cứu sự phụ thuộc của số lượng electron phát ra vào nhiệt độ, có thể tính được hàm công. Các giá trị của hàm công được xác định theo cách này phù hợp tốt với các dự đoán của lý thuyết về hiệu ứng quang điện bên ngoài, đây là một xác nhận độc lập quan trọng về tính đúng đắn của các quy định chính của nó.

A. I. Chernovchan

Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

(Để bắt đầu, xem trang 29)

(Diepropetrovsk) 17; M. Dorozhova (làng Chernovogovka, vùng Moscow) 05–07.13; A. Dunaevsky (Moscow) 07.13; V. Dyadechko (Vinnitsa) 03-05,13-17; A. Efimchik (Minsk) 03; A. Zhuk (Rivne) 03—07.17; V. Zhuravlev (Donetsk) 13; V. Zavadsky (Minsk) 05.12-17; V. Zaitsev (Borisoglebsk) 05; A. Zalesky (Kharkov) 05—07.17; F. Zanin (Starey Oskol) 03.05; S. Zelensky (Semipalatinsk) 17; D. Zolotagev (Kharkov) 03.13; K. Zuev (Vologda) 03.05.13; A. Zuevov (Donetsk) 05; M. Iznatev (Slavyansk) 13; I. Iopne (Moscow) 03; S. Kazenas (Almaty) 03-07.13; V. Kamchaty (Kyiv) 03—07.17; M. Kapustin (Lviv) 05—07,13,17; A. Karpenko (Brest) 05; S. Kasamyan (quận Oktemberyan của Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Armenia) 05; D. Kirillov (Kalinerrad) 05; A. Kozhevnikov (Kaluga) 03-05.13; V. Kokolin (khu định cư Sobino, Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị Komi) 13; M. Kolpkov (làng Pochet, vùng Krasnoyarsk) 03–05.13; D. Komisarenko (Vinnitsa) 03.13-17; A. Komnik (Starey Oskol) 03-07; V. Kondratev (Kalinerrad) 05; S. Korenov (Vasilkov) 13; A. Korshkov (Mozyr)

(Cuối cùng xem trang 79)

52

Có thể và không thể

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. M. LVOVSKY,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. L. TOOM

Các công thức của trường học bài toán thường bắt đầu bằng những từ như “tính toán” hoặc “tìm”. Tuy nhiên, trong toán học thường có bài toán, trong đó không bắt buộc phải tính toán một cái gì đó mà để tìm hiểu xem một vật thể có một thuộc tính nhất định có tồn tại hay không. Công thức của bài toán như vậy thường bắt đầu bằng các từ “có thể không…” hoặc “có tồn tại không…”. Đáp số Tất nhiên, những câu hỏi như vậy phải có căn cứ. Nếu chúng ta khẳng định rằng điều gì đó có thể thực hiện được thì chỉ cần chỉ ra một cách cụ thể để thực hiện điều đó là đủ. Nếu chúng ta khẳng định rằng điều gì đó không thể làm được thì những tấm gương không còn đủ nữa; chúng ta phải đưa ra một bằng chứng. Không có công thức chung cho loại bằng chứng này; trong bài viết này chúng tôi sẽ chỉ cho bạn một số ví dụ có thể được sử dụng.

Đây là ví dụ đầu tiên về chủ đề “nên và không nên”.

Bài 1. Với số tự nhiên n nào có một đường thẳng đứt đoạn gồm n liên kết cắt mỗi liên kết của nó một lần? Tất cả các giao điểm phải được tìm thấy bên trong các liên kết chứ không phải ở các đỉnh; không có ba liên kết nào giao nhau tại cùng một điểm.

Lời giải. Trước hết, chúng ta lưu ý rằng đối với một số n đường đứt nét như vậy không tồn tại: ví dụ, với n=1, n=2, n=3, n=4. Mặt khác, với một số n có thể tìm thấy một đường đứt đoạn như vậy; ví dụ: hình 1 hiển thị đường đứt nét bắt buộc cho n=6. Chúng ta hãy chú ý đến các đặc tính sau của đường đứt đoạn này: các liên kết của nó tạo thành ba cặp và các liên kết của mỗi cặp giao nhau với nhau và với các liên kết khác

53

không giao nhau (tại hình 1 mỗi cặp liên kết được vẽ bằng một màu khác nhau). Thuộc tính này tuân theo điều kiện bài toán: nếu một đường gãy nào đó cắt mỗi liên kết của nó một lần thì mỗi liên kết sẽ tạo thành một cặp với liên kết cắt nó. Nhưng để các liên kết có thể chia thành từng cặp thì số lượng của chúng phải là số chẵn. Vì vậy, chúng tôi đã chứng minh rằng đối với $n$ lẻ, đường đứt nét yêu cầu không tồn tại. Hóa ra là đối với cả bốn đều tồn tại những đường đứt đoạn. Hãy nghĩ ra một cách chung để xây dựng một đường đứt đoạn như vậy cho thứ Năm hàng tuần $n \geq 6$. hình 2 sẽ giúp bạn điều này.

Bài toán 2. Có số tự nhiên nào khi nhân với 2 sẽ thành số chính phương, khi nhân với 4 sẽ trở thành lũy thừa 4 của một số nguyên?

Lời giải. Giả sử rằng một số $m$ như vậy tồn tại và phân tích nó thành thừa số nguyên tố. Trên thực tế, trong số các thừa số nguyên tố, chúng ta chỉ quan tâm đến số hai; vì vậy chúng tôi sẽ viết:

$$m = 2^k \cdot p,$$

trong đó $p$ là số lẻ. Theo điều kiện đầu tiên, số

$$2m = 2^{k+1} \cdot p$$

bình phương của một số nguyên, trong đó $k+1$ là số chẵn và sau đó $k$ là số lẻ. Theo điều kiện thứ hai, số

$$4m = 2^{k+2} \cdot p$$

lũy thừa thứ tư của một số nguyên, trong đó $k+2$ chia hết cho 4. Nhưng nếu $k$ là số lẻ thì $k+2$ là số lẻ và khi đó không thể chia hết cho 4. Kết quả mâu thuẫn cho thấy rằng một số ngoại lệ không tồn tại.

Hình 1.

Bài toán 3. Có thể đặt tối đa bao nhiêu điểm trong một hình vuông có cạnh 1 sao cho tất cả khoảng cách giữa các điểm này ít nhất là 0,5? (“Trong hình vuông” có nghĩa là “bên trong hoặc trên viền của hình vuông”).

bài toán này cũng nằm trong loạt bài bài toán “có thể hay không”. lời giải của nó phải bao gồm hai phần: bằng chứng cho thấy có thể sắp xếp rất nhiều điểm theo cách yêu cầu và không thể sắp xếp nhiều điểm hơn nữa. Không khó để hiểu cách sắp xếp điểm thứ chín theo đúng yêu cầu; đặt một điểm ở giữa hình vuông, bốn điểm - ở các đỉnh và bốn điểm nữa - ở giữa cạnh (hình 3, a). Giả định nảy sinh là không thể định vị được hơn chín điểm theo cách yêu cầu. Điều này được chứng minh như thế nào? Ví dụ, cách chứng minh này có vẻ rất hấp dẫn: xét khoảng cách trên của chín điểm (tại tâm, các đỉnh và trung điểm của cạnh) rồi thiết lập rằng một điểm khác được thêm vào chín điểm này sẽ cách ít nhất một trong chín điểm đầu tiên một khoảng cách nhỏ hơn 0,5. Tuyên bố này hoàn toàn chính xác (ví dụ: vì các vòng tròn có bán kính 0,5 với tâm ở điểm đầu tiên.chín điểm bao phủ toàn bộ hình vuông - hình 3, b), nhưng thật không may, nó không cho lời giải bài toán của chúng tôi. Trên thực tế, đâu có niềm tin rằng cách duy nhất để sắp xếp chín điểm cần thiết là hình 3 hả? Điều gì sẽ xảy ra nếu chín điểm có thể được sắp xếp theo cách khác, đến mức có thể cộng thêm mười điểm nữa vào chúng?

54

Hình 3.

Để chứng minh rằng không thể đặt nhiều hơn chín điểm trong một hình vuông theo cách thức yêu cầu, hãy sử dụng kỹ thuật này. Chia hình vuông của chúng ta thành 9 ô vuông bằng nhau với trạng thái 1/3 (hình 4). Nếu có nhiều hơn chín điểm trong một hình vuông lớn thì ít nhất hai trong số chúng sẽ rơi vào cùng một hình vuông nhỏ. Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của hình vuông rõ ràng không vượt quá độ dài đường chéo của hình vuông này. Nhưng đường chéo của hình vuông tính từ cạnh 1/3 là $\sqrt{2/3} \leq 0.5$. Điều này có nghĩa là không thể sắp xếp nhiều hơn chín điểm theo cách yêu cầu và đáp số đến bài toán 2 là chín điểm.

Phép cân nhắc mà chúng tôi đã sử dụng trong lời giải bài toán 2: “nếu có hơn 9 điểm được phân bố trên 9 ô vuông, thì ít nhất hai trong số các điểm này sẽ rơi vào một ô vuông” thường được gọi là “nguyên lý Dirichlet” để vinh danh nhà toán học thay thế người Đức P. G. Dirichlet (1805–1859).

Trong nhiệm vụ 2 và 3, tôi chứng minh phát biểu về sự tồn tại bằng cách xây dựng một ví dụ cụ thể. Trong bài toán 4 sẽ hành động khác đi.

Bài toán 4. Dãy số được xây dựng như sau. Số đầu tiên trong đó là hai. Mỗi số tiếp theo bằng tổng mười lũy thừa của các chữ số của số trước đó. Chứng minh rằng có hai số giống nhau trong dãy này.

Hãy xem chúng ta nhận được loại số nào trong dãy số này. Số thứ hai là $2^{10}=1024$. Số thứ ba là $1^{10}+2^{10}+4^{10}=1+1024+1024^2=1049601$.

Số thứ tư đã lớn đến mức có thể thấy rõ: “bằng tay” chúng ta sẽ không tìm được hai số giống nhau. Hơn nữa, người ta nảy sinh nghi ngờ liệu có đúng là chúng ta dễ chứng minh hay không? Thoạt nhìn, con số này đang tăng lên nhanh chóng và không thể lặp lại. Tuy nhiên, chúng ta đừng vội kết luận; Thay vì tính toán chính xác các con số của chúng ta, hãy xem có bao nhiêu chữ số trong ký hiệu của chúng.

Số thứ tư là $1^{10}+4^{10}+9^{10}+6^{10}+1^{10}$, nhỏ hơn $10^{10}+10^{10}+10^{10}+10^{10}=5 \cdot 10^{10}$. Tuy nhiên, $5 \cdot 10^{10}$ là một số được số hóa như nhau (là số năm theo sau là mười số không); Điều này có nghĩa là số thứ tư không có nhiều hơn các chữ số giống nhau. Số thứ năm là tổng mười lũy thừa của các chữ số của số thứ tư. Mỗi lũy thừa trong mười lũy thừa này nhỏ hơn $10^{10}$, tổng số chữ số không quá 11, nghĩa là số thứ năm nhỏ hơn số có mười hai chữ số $11 \cdot 10^{10}$. Nó sẽ trở thành năm, số thứ năm có không quá 12 chữ số. Lập luận tương tự, chúng ta thấy rằng số thứ sáu nhỏ hơn $12 \cdot 10^{10}$ và lại không có quá 12 chữ số. Do đó, bằng cách sử dụng lý luận tương tự, chúng tôi thấy rằng bản ghi của số thứ bảy, thứ tám và nói chung là tất cả các số tiếp theo trong dãy của chúng tôi chứa không quá 12 chữ số. Vì những số có không quá 12 chữ số là số hữu hạn nên chúng ta sẽ không thể tìm được những số khác với những số trước đó và một ngày nào đó chúng ta sẽ gặp hai số giống hệt nhau.

Tóm lại, chúng tôi cung cấp cho bạn bài toán đối với độc lập lời giải (bài toán 1-12 tạo thành một nhiệm vụ cho

55

học sinh lớp bảy muốn vào Thang Toán Tương ứng Toàn Liên minh - xem câu chuyện về ngôi trường này trên trang. 65).

Zadcic

1. Có ba giải pháp. Dung dịch thứ nhất chứa 2% chất A và 3% chất B. Dung dịch thứ hai chứa 5% chất A và 7% chất B. Dung dịch thứ ba chứa 11% chất A và 12,5% chất B.

Có thể trộn các dung dịch này theo tỷ lệ sao cho hỗn hợp thu được chứa 7,5% chất A và 7% chất B?

2. Các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 được viết thành một hàng. Có thể loại bỏ dấu ngoặc và ký hiệu của các phép toán để thu được biểu thức bằng 0 không?

3. Người tiên phong Seryozha đã đưa ra phép kiểm tra sau đây về khả năng chia hết cho 27: nếu tổng các chữ số của một số chia hết cho 27 thì chính số đó chia hết cho 27. Phép thử này có đúng không?

4. Có thể cắt một hình vuông thành 1989 hình vuông (không nhất thiết phải bằng nhau) không?

5. Số 1989 được lập phương và 3 được thêm vào kết quả; số kết quả lại được lập phương và 3 được thêm vào kết quả; số kết quả lại được lập phương, 3 lại được thêm vào kết quả, v.v. Kết quả là một chuỗi các số, mỗi số lớn hơn lập phương của số trước đó 3 đơn vị. Nó có thể chứa một số kết thúc bằng 8 không?

6. Có số tự nhiên nào khi nhân với 2 sẽ thành hình vuông, nhân với 3 sẽ thành lập phương, khi nhân với 5 sẽ thành lũy thừa năm và khi nhân với 7 sẽ thành lũy thừa bảy của một số nguyên?

7. Có số nào có nhiều chữ số mà tổng các chữ số chia hết cho 13 và tổng các chữ số của số lớn hơn một cũng chia hết cho 13? Nếu không, hãy chứng minh điều đó; nếu có, hãy liệt kê tất cả những con số đó.

8. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 2 và không có ước số nào khác ngoài chính nó và 1. Cần phải đặt một số nguyên tố vào mỗi ô của bảng vuông 4x4 sao cho ở mỗi hàng, mỗi cột tích các số bằng 1989. Làm được điều này có được không?

9. Có thể hòa tan các số trong các ô của một bảng hình chữ nhật sao cho tích các số ở mỗi hàng bằng hai và tích các số ở mỗi cột bằng ba?

10. Có thể sắp xếp năm số nguyên tố khác nhau trên một mặt phẳng sao cho mỗi số nguyên tố đó giao nhau một cách chính xác với ba số nguyên tố kia không?

11. Khoảng cách giữa điểm A và B là năm mươi km. Vào buổi trưa, ba người bạn khởi hành từ điểm A đến điểm B. Mỗi người đi với vận tốc 5 km/h. Họ có sẵn một chiếc xe đạp đường trường có thể chạy với tốc độ 10 km/h và một chiếc xe đạp đua có thể chạy với tốc độ 20 km/h. Mỗi chiếc xe đạp chỉ vừa một người; Xe đạp có thể được để trên đường mà không có người bảo vệ. Liệu cả ba có thời gian chỉ sử dụng hai chiếc xe đạp này để thêm điểm B đến sáu giờ tối không?

12. Có thể sắp xếp các điểm trên mặt phẳng 7 sao cho có thể tìm thấy ít nhất hai môi trường của ba điểm bất kỳ cách nhau 1 cm không?

13. 10 đội tham dự giải bóng đá; mỗi người chơi một trận với nhau. Theo kết quả giải đấu được công bố, đội xếp thứ 7 ghi được 11 điểm, đội xếp thứ 8 ghi được 6 điểm và đội xếp cuối ghi được 4 điểm. Điều này có thể là như vậy? (Đội thắng được 2 điểm, đội hòa - 1 điểm, đội thua - 0 điểm. Trong trường hợp số điểm bằng nhau thì số bàn thắng ghi được và số bàn thua được tính.)

14. Một dãy bốn mươi số được xây dựng như sau. Số thứ nhất bằng 0, số thứ hai bằng một. Mỗi số, ngoại trừ số thứ nhất và số thứ hai, đều bằng tổng của hai số trước đó. Liệu một thành viên bằng một triệu có thể xuất hiện theo trình tự như vậy không?

15. Phải lấy bao nhiêu hình tròn bán kính 1 để che hình vuông có cạnh 2?

16. Cần phải chuyển một số mảnh đá cẩm thạch có tổng khối lượng 14 tấn. Khối lượng chính xác của mỗi mảnh vẫn chưa được biết, nhưng khối lượng của mỗi mảnh không quá 400 kg. Phải đặt hàng bao nhiêu xe có sức chở 1500 kg để có thể tăng tải trọng này?

17. Ở đất nước Miggs, bạn có thể lái xe từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố nào dọc theo một con đường. Khi các con đường đi qua 4 thành phố của mỗi thành phố thì mỗi con đường có 2 con đường đi qua 3 thành phố và mỗi con đường còn lại có 2 thành phố. Cô gái Ellie cho biết tổng cộng đất nước này có 11 thành phố và 35 con đường. Chứng minh rằng cô ấy đã mắc sai lầm trong tính toán của mình.

18. Vòng tròn được chia thành n khu vực giống hệt nhau, mỗi khu vực chứa một quân cờ. Trong một lần di chuyển, bạn có thể thực hiện các thao tác sau: lấy bất kỳ quân cờ nào và sắp xếp lại chúng: một - ở khu vực liền kề theo chiều kim đồng hồ, quân còn lại - ở khu vực liền kề ngược chiều kim đồng hồ. Để làm gì thì có thể thu thập được tất cả các quân cờ trong một khu vực bằng cách sử dụng những nước đi như vậy?

19. Một hình vuông có cạnh 1 m có hình giọt nước có hai màu. Chứng minh rằng có thể tìm được ba điểm cùng màu là các đỉnh của một tam giác đều có cạnh ít nhất là 30 cm.

56

XXIX
Olympic Toán quốc tế

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. V. VAVILOV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. FOMIN

Kỳ thi Olympic Toán quốc tế XXIX được tổ chức từ ngày 9 đến ngày 21 tháng 7 năm 1988 tại Sydney và Canberra, Úc và là một phần trong chương trình cấp bang nhằm kỷ niệm 200 năm thành lập Liên bang Úc.

Tất nhiên, tất cả chúng tôi đều thực sự mong đợi cuộc thi Olympic này và đã chuẩn bị kỹ lưỡng cho nó trong suốt cả năm. Đất nước chúng ta có Sergei Berlov, Sergei Ivanov, Nikolai Filonov, Yury Khokhlov (cả bốn người đến từ Leningrad), Dmitry Ivanov (Dolgoprudny, vùng Moscow), Dmitry Tulykov (Zhdanov). Sergei và Dmitry Ivanov hiện đang học lớp 10 và có cơ hội thực sự được góp mặt vào đội Liên Xô tại XXX Olympiad diễn ra ở Đức năm 1989; Ngoài ra, đối với Sergei Ivanov, Olympic ở Úc đã là Olympic quốc tế thứ hai và anh ấy đã bổ sung thêm kết quả thay thế ở cả hai. Những người đứng đầu trại huấn luyện của đội và chính đội tại Thế vận hội là tác giả của bài báo này. Các thành viên trong ban biên tập của tạp chí «Kvant» đã hỗ trợ rất nhiều trong việc chuẩn bị cho nhóm.

Tại lễ khai mạc, Thành viên Liên minh Nghị viện về Việc làm, Giáo dục và Đào tạo John Downis cho biết: “Việc tham gia sự kiện quốc tế quan trọng này cho thấy những gì có thể đạt được khi các quốc gia trên thế giới cùng nhau cung cấp một môi trường thuận lợi cho giáo dục thanh niên… Bằng cách tham gia cuộc thi này, bạn đang khẳng định những nguyên tắc cốt lõi làm nền tảng cho hệ thống giáo dục trên toàn thế giới: nguyên tắc phấn đấu để đạt được sự xuất sắc trong mọi việc chúng ta làm; nguyên tắc hợp tác cả trong lớp học và trong mọi lĩnh vực của đời sống lao động; và nguyên tắc đơn giản nhưng rất quan trọng của sự chăm chỉ…"

Một số lượng kỷ lục các quốc gia tham gia XXIX IMO - 58, trong đó 50 quốc gia được đại diện bởi các đội học sinh và 8 quốc gia chỉ được đại diện bởi các quan sát viên. Olympic được tổ chức ở trình độ khoa học và tổ chức rất cao. Nó đã được hỗ trợ thành công nhờ công tác chuẩn bị sâu rộng, dẫn đầu bởi Thủ tướng Australia Robert Hawke, Bộ trưởng Bộ Việc làm, Giáo dục và Đào tạo John Downis, Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học David Curtis, Giám đốc Trường Cao đẳng Giáo dục Đại học Canber Roger Scott, Chủ tịch Giáo viên Toán công cộng Pháp lý Patrick Costello, Giám đốc IBM Australia Brain Finn và nhiều người khác.

Theo truyền thống lâu đời, Olympic quốc tế được tổ chức thành hai vòng, mỗi vòng có ba bài toán được đưa ra. Chuyến tham quan sẽ kéo dài 4,5 giờ làm việc và mỗi bài toán (bất kể độ khó) có giá trị 7 điểm.

Nhiệm vụ XXIX MMO
1 (Luxembourg). Cho hai đường tròn có tâm chung trên mặt phẳng, bán kính của chúng bằng r và R, r<R. Gọi P là điểm cố định trên đường tròn nhỏ và B là điểm biến thiên trên đường tròn lớn. Lấy BP lần thứ hai cắt đường tròn lớn tại điểm C. Vuông góc l với đường thẳng BC đi qua

57

Qua điểm $P$, đường tròn nhỏ cắt nhau lần thứ hai tại điểm $A$ (trong trường hợp $l$ là tiếp tuyến của đường tròn thì ta giả sử rằng $A=P$).

1. Tìm tập giá trị của biểu thức $BC^2+CA^2+AB^2$.

2. Tìm tập hợp các điểm là trung điểm của các đoạn $AB$.

2 (Tiệp Khắc). Cho $n$ là một số tự nhiên và $A_1, A_2, \dots, A_{2n+1}$ là tập con của một tập hợp $B$ nào đó. Giả sử rằng $a)$ mỗi bộ $A_i(i=1, 2, \dots, 2n+1)$ chứa chính xác $2n$ phần tử;

$b)$ mỗi bộ $A_i \cap A_j(1 \leq i < j \leq 2n+1)$ chứa chính xác một phần tử;

$c)$ bất kỳ phần tử nào của tập hợp $B$ lấy ít nhất hai phần tử từ tập hợp $A_i(i=1, 2, \dots, 2n+1)$.

Với những giá trị nào của $n$, mỗi phần tử của tập hợp $B$ có thể được gán một trong các số 0 hoặc 1 sao cho mỗi phần tử trong tập hợp $A_1, A_2, \dots, A_{2n+1}$ chứa các phần tử bằng $n$ tương ứng với số 0?

3 (Anh). Hàm $f$ được xác định trên tập hợp các số nguyên dương và thỏa mãn các điều kiện sau:

$$f(1)=1, f(3)=3, f(2n)=f(n),$$
$$f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n),$$
$$f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n).$$

Tìm số lượng tất cả các giá trị như vậy $n$, $1 \leq n \leq 1988$ sao cho $f(n)=n$.

4 (Ireland). Chứng minh rằng tập lời giải bất đẳng thức

$$\sum_{k=1}^{70} \frac{k}{x-k} \geq \frac{5}{4}$$

là tập các khoảng rời nhau có tổng độ dài là 1988.

5 (Hy Lạp). Gọi $AD$ là chiều cao trong tam giác vuông $ABC, <A=90^\circ$. Đường thẳng sơ cấp đi qua tâm của các đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$ và $ACD$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại các điểm $K$ và $L$. Chứng minh rằng

$$S_{ABC} \geq 2S_{AKL}.$$

6 (Đức). Đặt $a$ và $b$ là số nguyên dương sao cho $a^2+b^2$ chia hết cho $ab+1$ không có số dư. Chứng minh rằng $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ là bình phương của một số nguyên.

Hãy nói ngắn gọn về cách bài toán được chọn để tối ưu hóa, cách thành lập và hoạt động của ban giám khảo MMO. Mỗi quốc gia tham gia có cơ hội đề xuất không quá 6 bài toán giải pháp hoàn chỉnh, nếu có thể, phải bao gồm các phần khác nhau của khóa học toán ở trường và có mức độ khó khác nhau. Trong số tất cả bài toán người đăng ký tham gia cuộc thi, một ủy ban đặc biệt của quốc gia tiến hành tối ưu hóa sẽ chọn, theo quy định, 20-30 bài toán cho tầm xa

58

thảo luận thêm tại các cuộc họp bồi thẩm đoàn. Ban giám khảo MMO bao gồm các giám đốc khoa học của tất cả các quốc gia tham gia, cũng như ban giám khảo và người thay thế do các tổ chức chỉ định. Tất cả các vấn đề tại cuộc họp bồi thẩm đoàn đều được giải quyết bằng đa số phiếu đơn giản. Cuộc tranh luận lớn nhất trong ban giám khảo sẽ nảy sinh khi đánh giá độ khó bài toán. Ví dụ điển hình nhất ở đây là với bài toán trong phép đo lập thể - hầu hết các quốc gia không muốn đưa bài toán đó vào danh sách cuối cùng của bài toán Olympic.

Trong số 275 sinh viên tham gia MMO, có khoảng 100.000 sinh viên được trao huy chương vàng, bạc hoặc đồng (tỷ lệ xấp xỉ 1:2:3). Ở đội Liên Xô, N. Filonov (42), S. Ivanov (41), D. Tulykov (37) và D. Ivanov (36) được trao huy chương vàng, còn Y. Khokhlov (31) và S. Berlov (30) được trao huy chương bạc; Số điểm mà người tham gia ghi được (trong số 42 điểm có thể có) được ghi trong ngoặc đơn.

Trong cuộc thi đồng đội không chính thức (cũng như tại các kỳ Olympic thể thao), đội Liên Xô đã giành vị trí đầu tiên (217 điểm trên tổng số 252 điểm có thể). Tiếp theo là: Trung Quốc (201), Romania (201), Đức (174), Việt Nam (166), Mỹ (153), Đông Đức (145), Bulgaria (144), Pháp (128), Canada (124). Chúng tôi đặc biệt lưu ý rằng các đội của Bulgaria và CHDC Đức đã thi đấu với các đội chưa hoàn thiện - mỗi đội có 5 học sinh. Đội Australia ghi được 110 điểm, một thí sinh là Terence Tao giành huy chương vàng (34 điểm) và một thí sinh Jeffrey Bailey (20 điểm) giành huy chương bạc. Terence Tao lần thứ ba thi đấu ở đội tuyển quốc gia - năm ngoái ở Cuba anh đã giành được huy chương bạc, và năm 1986 ở Warsaw - huy chương đồng. Và điều quan trọng nhất là trong Thế vận hội năm nay anh ấy chỉ mới 13 tuổi và trong bữa trưa, tất cả những người tham gia MMO đều hét to lên với anh ấy, qua đó bày tỏ sự ngưỡng mộ và tôn trọng đối với anh ấy.

Các bài kiểm tra toán học diễn ra trong hai ngày và tất cả những ngày còn lại của thời gian lưu trú được dành để tìm hiểu về đất nước, các điểm tham quan, văn hóa và nghệ thuật, thiên nhiên, các sự kiện thể thao cá nhân đơn giản và được tổ chức tốt cũng như giao tiếp lẫn nhau giữa các thành viên của các đội khác nhau. Người ta có thể nói không ngừng về những trải nghiệm ngoại lai từ chuyến tham quan, về những người quen nảy sinh trong thời kỳ Olympic, địa điểm đảo ngược và sự hình thành của Southern Cross, giao thông bên trái, một con kangaroo, một con gấu túi - một con gấu nhỏ có kích thước bằng một cái gối, một con vẹt mào, sóc bay, v.v., v.v….

Chúng ta sẽ kết thúc bằng những câu chuyện từ bài phát biểu của Thủ tướng Australia, Roberta Hawke, tại lễ bế mạc rất trang trọng và cảm động của XXIX IMO: “Trong các lĩnh vực như tranh luận và nghệ thuật, có rất nhiều cơ hội để khuyến khích và phát hiện sớm tài năng, nhưng trong lĩnh vực trí tuệ thì điều này ít phổ biến hơn. Thế vận hội thực sự đại diện cho một cơ hội như vậy và trong bối cảnh việc theo đuổi sự xuất sắc là cực kỳ quan trọng không chỉ đối với các cá nhân cụ thể mà còn đối với các quốc gia nói chung. phát triển, từ đó có thể mang lại cuộc sống tốt đẹp hơn cho người dân ở tất cả các nước chúng ta…

Quan trọng như bản thân thành tựu toán học, tôi tin rằng sự trao đổi văn hóa diễn ra ở đây cũng quan trọng không kém. Tôi hy vọng rằng bạn sẽ tiếp tục duy trì những mối quan hệ đã được rèn giũa này sau khi rời Canberra, rằng bạn sẽ sử dụng tài năng của mình vì lợi ích của quê hương và toàn thế giới, cũng như vì sự thỏa mãn cá nhân và sự viên mãn của cuộc sống con người…

Cùng gửi những lời này và chúc các thành viên của đội Liên Xô thành công sáng tạo, sức khỏe tốt, làm việc chăm chỉ và quyết tâm trong cuộc sống tương lai.

59

XIX
Olympic Vật lý quốc tế

Tiến sĩ khoa học sư phạm
O. F. KABARDIN,
Ứng viên khoa học sư phạm
V.A.ORLOV

Năm nay, kỳ thi Olympic Vật lý quốc tế dành cho học sinh được tổ chức từ ngày 23/6 đến ngày 2/7 tại thành phố Bad Ischl (Áo). Số trang Olympic tăng lên hàng ngày (năm nay có hai quốc gia). Học sinh từ 27 quốc gia đã đến Áo: Úc, Úc, Bỉ, Bulgaria, Anh, Hungary, Việt Nam, Đông Đức, Iceland, Ý, Canada, Síp, Trung Quốc, Colombia, Cuba, Kuvet, Inderland, Na Uy, Ba Lan, Romania, Liên Xô, Mỹ, Phần Lan, Đức, Tiệp Khắc, Thụy Điển, Nam Tư.

Đại diện UNESCO và phóng viên các tạp chí dành cho học sinh Bỉ, Anh, Hungary, Nam Tư, Tiệp Khắc đã tham dự Olympic. Thật đáng tiếc khi không có đại diện của tạp chí «Kvant» tại Thế vận hội.*

Đội Liên Xô, dựa trên kết quả thi đấu tại Thế vận hội toàn Liên minh và kết quả của các trại huấn luyện mùa đông và mùa hè, bao gồm:

Yury Kravchenko tốt nghiệp trung học. Số 820 Mátxcơva,
Alexander Mazurenko - tốt nghiệp trung học. Số 50 Minsk,
Anton Malkin tốt nghiệp SS số 30 Leningrad,
Vadim Moroz tốt nghiệp Trường Vật lý số 45 ở Leningrad,
Konstantin Penenen - tốt nghiệp trung học. Số 63, Odessa.

*) Các biên tập viên cũng ghi nhớ điều này. Chúng tôi chỉ có thể hy vọng rằng sự tiếc nuối của chúng tôi được chia sẻ bởi Ủy ban Giáo dục Công cộng Nhà nước Liên Xô mới được thành lập gần đây. (Lưu ý ped.).

Chúng tôi cũng lưu ý rằng tất cả những người tham gia trại hè, bao gồm Dmitry Golovin, tốt nghiệp S.S. số 29 Tambov, Sergei Panafidin - tốt nghiệp trường phía bắc. Số 30 của Leningrad và Alexei Pushkin - tốt nghiệp trường phía Bắc. Số 57 ở Moscow, đăng ký không cần thi vào các trường đại học mà họ lựa chọn - MIPT, MSU, LSU.

Trưởng nhóm là tác giả của bài viết này - cộng tác viên nghiên cứu của Viện Nghiên cứu Nội dung và Phương pháp Giảng dạy của Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô.

Lễ khai mạc Olympic diễn ra tại tòa nhà của Trường Đào tạo Cán bộ Cao cấp ngành Du lịch. Các em học sinh được dẫn dắt bởi giám đốc của trường này, Master R. Ginzel, thị trưởng Bad Ischl, K. Saller, đại diện Ủy ban Quốc tế, Giáo sư Đại học Kỹ thuật Vienna P. Skalitsky, và người đứng đầu bộ phận Bộ Giáo dục, Nghệ thuật và Thể thao, Thạc sĩ L. Leitner. Giáo sư Đại học Vienna R. Dobrozemsky đã đọc một báo cáo sáng giá về chủ đề “Vật lý ở Úc”, trong đó nêu rõ rằng Úc đã mang đến cho thế giới không chỉ những nghệ sĩ, nhạc sĩ, tư thế xuất sắc mà còn cả những nhà vật lý xuất sắc không kém: H. Doppler, I. Loschmidt, L. Boltzmann, W. Hecca, E. Schrödinger, W. Pauli, E. Mach (“Mach nón” được dùng làm biểu tượng Thế vận hội).

Cuộc thi diễn ra như thường lệ trong hai vòng. Ở vòng lý thuyết, học sinh được cấp ba bài toán, ở vòng thử nghiệm - hai bài toán (5 giờ được dành để hoàn thành mỗi vòng). Dưới đây là các điều kiện của bài toán.

Chuyến tham quan lý thuyết

Bài toán 1. Xác định tốc độ bằng cách sử dụng dữ liệu hiệu quả.

Các quá trình phát xạ và hấp thụ photon có thể thuận nghịch, do đó, ngay cả sau quá trình nguyên tử hấp thụ photon, người ta vẫn có thể quan sát thấy sự phát xạ tự phát (huỳnh quang) của nó. Hiện tượng này được sử dụng trong các phương pháp phát hiện và nhận dạng hạt hiện đại, cũng như để tổng hợp quang phổ vận tốc hạt nguyên tử.

Trong một thiết lập thí nghiệm lý tưởng (hình 1), các hạt (các ion khởi tạo đơn lẻ) chuyển động với tốc độ v so với chùm tia

60

Hình 1.
tia laser có bước sóng thay đổi $\lambda$. Các hạt còn lại ($v=0$) có thể bị kích thích bởi bức xạ có bước sóng $\lambda_0=600$ nm. Chuyển động của hạt, theo nguyên lý Doppler, bị kích thích bởi bức xạ có hạt khác, do đó, để kích thích chúng, tia laser phải được điều chỉnh theo bước sóng khác $\lambda(v)$. Phổ vận tốc ion trong khoảng từ $v_1=0$ đến $v_2=6000$ m/s được thể hiện ở hình 2.

1. Sử dụng hiệu ứng Doppler cổ điển, xác định phạm vi bước sóng mà bức xạ laser phải có để kích thích tất cả các hạt. Hãy tưởng tượng sự phân bố định tính của số lượng photon bị hấp thụ tùy thuộc vào bước sóng laser.

Tính toán chặt chẽ của Vollee yêu cầu sử dụng công thức tương đối tính

$$v' = v \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}.$$

Ước tính sai số khi sử dụng phép tính gần đúng cổ điển.

2. Để các ion, trước khi bị kích thích, được gia tốc bởi một điện trường có điện áp $U$. Sự phụ thuộc của độ rộng của phổ vận tốc $\Delta v$ vào điện áp gia tốc $U$ là gì? Độ rộng của phổ vận tốc hạt tăng hay giảm do gia tốc của chúng?

3. Một ion có tỷ lệ điện tích trên khối lượng $e/m = 4 \cdot 10^6$ C/kg có hai bước sóng kích thích $\lambda_1=600$ nm và $\lambda_2=\lambda_1+10^{-3}$ nm. Chứng tỏ rằng hai tích phân bước sóng của phổ laser trùng nhau khi tất cả các ion đều bị kích thích. Có thể tách phổ kích thích của hai mức do sự gia tốc của các ion trong điện trường có hiệu điện thế $U$? Nếu có thì xác định giá trị điện áp tối thiểu.

Nhiệm vụ 2. Đĩa Maxwell
Một đĩa hình trụ đồng nhất (khối lượng $M=0,40$ kg, bán kính $R=0,060$ m, độ dày $d=0,010$ m) được treo trên hai sợi dây có chiều dài bằng nhau gắn vào trục của nó (bán kính $r$). Khối lượng và độ dày của ren cũng như khối lượng của trục có thể được biến đổi. Bằng cách nâng trọng tâm của đĩa lên, cuộn dây lên độ cao $H=1,0$ m, đĩa được phép hạ xuống (hình 3). Có thể truy cập ở vị trí thấp nhất, đĩa bắt đầu nâng lên trở lại. Trả lời các câu hỏi sau, giả sử để đơn giản rằng điểm $A$ luôn nằm trên cùng một đường thẳng đứng với điểm $P$ (hình 4).

1. Tốc độ góc nào mà đĩa phát triển?

Hình 2.
sau khi trọng tâm của nó đi qua đường đi $s$?

2. Động năng của chuyển động tịnh tiến của đĩa là bao nhiêu sau khi trọng tâm của nó đi được quãng đường $s=0,50$ m? Mối quan hệ giữa năng lượng này và các loại năng lượng khác là gì nếu bán kính của trục là $r=0,0030$ m?

3. Lực căng ở mỗi sợi dây khi đĩa được hạ xuống là bao nhiêu?

4. Tìm vận tốc góc của đĩa khi nó tăng lên theo góc quay $\varphi$ (hình 5). Thiết lập, ít nhất là về mặt chất lượng, các thành phần chuyển vị và vận tốc của trọng tâm của đĩa trong hệ tọa độ Descartes như là một hàm của góc $\varphi$.

5. Giá trị tối thiểu của lực căng tại đó sợi chỉ bị đứt là $T_{\min}=10$ N. Độ cao hạ thấp tối đa của đĩa mà tại đó sợi chỉ không bị đứt khi đĩa đang nâng lên là bao nhiêu?

Nhiệm vụ 3. Quá trình tái hợp trong quá trình phóng điện khí
Trong plasma nhiệt độ cao của sự phóng điện khí, có các nốt ban đầu được khởi tạo gấp $(Z-1)$ của các nguyên tử chứa $Z$ proton trong hạt nhân. Hãy để chúng tôi biểu thị các nguyên tử như vậy $A^{(Z-1)}$.

1. Chúng ta hãy xem xét trường hợp electron duy nhất trong nguyên tử $A^{(Z-1)}$ ở trạng thái cơ bản. Ở trạng thái này, chúng tôi xác định khoảng cách bình phương trung bình $r_0^2$ của electron đến hạt nhân là tổng độ bất định bình phương của tọa độ của nó $(\Delta x)^2, (\Delta y)^2$ và $(\Delta z)^2$. Chúng tôi định nghĩa bình phương trung bình của động lượng $P_0^2$ electron là tổng bình phương sai số của các hình chiếu của động lượng lên tọa độ của trục $(\Delta P_x)^2, (\Delta P_y)^2$ và $(\Delta P_z)^2$. Sản phẩm $(P_0^2) \cdot (r_0^2)$ thỏa mãn bất đẳng thức nào?

2. Ion $A^{(Z-1)}$ có thể bắt giữ electron thứ hai và đồng thời phát ra một photon. Viết các phương trình xác định tần số của bức xạ này. (Không cần tích số tần số được tính toán.)

3. Tính nội năng $A^{(-1)}$ dựa trên thực tế là ở trạng thái cơ bản, nó có giá trị tối thiểu. Thực hiện các phép tính gần đúng sau: a) sử dụng giá trị $r=r_0$ từ câu hỏi 1 trong biểu thức thế năng của electron; b) sử dụng bình phương động lượng trung bình $P_0^2$ từ giá trị gần đúng $(P_0^2) \cdot (r^2)=\hbar^2$ trong biểu thức động năng.

4. Tính theo cách tương tự năng lượng của hệ $A^{(-2)}$ sinh ra từ re