Kvant 2009, số 2 · Trang

1

BƯỚC ĐỀU

THÁNG TƯ

KHOA HỌC PHỔ BIẾN

2009

©

Yu№2

VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TẠP CHÍ

XUẤT BẢN TỪ THÁNG 1 NĂM 1970

Trong phòng:

2 6

Người sáng lập: Viện Hàn lâm Khoa học Nga, Quỹ Hỗ trợ Khoa học và Giáo dục Cơ bản (Quỹ Osipyan), ISSP RAS

TỔNG BIÊN TẬP

S.S. Krotov

14

Các mẫu điện. A. Snarsky, K. Slipchenko, A. Palti Bài toán Erdős–Szekeres trên đa giác lồi. V. Koshelev, A. Raigorodsky Thế giới âm thanh bí ẩn này. E. Sokolov

19

TIN KHOA HỌC Người tổ chức va chạm

21 22

VẤN ĐỀ LƯỢNG TỬ Bài toán M2124–M2130, F2130–F2137 Lời giải bài toán M2101–M2110, F2118–F2122

29 30

K M Sh Bài toán Chúng ta nhìn thấy gì trong gương? A.Tolpygo

32

KALEIDOSCOPE “QUANTA” Mặt phẳng tessellation

34

TRƯỜNG TRONG “QUANTUM” Vòng tròn Excircle. A. Blinkov, Yu. Blinkov

38

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA” Bóng nảy. V. Mayer

40 41

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC Cắt thành hình tam giác. A. Bất đẳng thức Spivak và… chuyển giao song song. M. Gorelov

46 50

THỰC HÀNH DÀNH CHO ỨNG VIÊN “Cạm bẫy” quyền lực của Archimedes. Kỳ thi Thống nhất Bang M.Romashka-2009 môn vật lý. M. Demidova, A. Chernoutsan

BAN BIÊN TẬP

A.Ya.Belov, Yu.M.Bruk, A.A.Varlamov, A.N.Vilenkin, V.I.Golubev, S.A.Gordyunin, N.P.Dolbilin (phó tổng biên tập), V.N.Dubrovsky, A.A.Egorov, A.V.Zhukov, A.R.Zilberman, V.V.Kveder (phó chủ tịch ban biên tập), P.A. Kozhevnikov, V.V. Kozlov (phó chủ tịch ban biên tập), S.P. Konovalov, A.A. Leonovich, Yu.P. Lysov, V.V. Proizvolov, N.H. Rozov, A.B. Sosinsky, A.L. Stasenko, V.G. Surdin, V.M. Tikhomirov, V.A. Tikhomirova, V.M. Uroev, A.I. Chernoutsan (phó tổng biên tập)

BAN BIÊN TẬP

A.V.Andzhans, V.I.Arnold, M.I.Bashmkov, V.I.Bernik, V.G.Boltyansky, A.A.Borovoy, N.N.Konstantinov, G.L.Kotkin, S.P.Novikov, L.D.Faddeev

BAN BIÊN TẬP 1970

TỔNG BIÊN TẬP

I.K.Kikoin

PHÓ TỔNG BIÊN TẬP THỨ NHẤT

54

MỘT. Kolmogorov

55

L.A. Artsimovich, M.I. Bashmkov, V.G. Boltyansky, I.N. Bronshtein, N.B. Vasiliev, I.F. Ginzburg, V.G. Zubov, P.L. Kapitsa, V.A. Kirillin, G.I. Kosourov, V.A. Leshkovtsev, V.P. Lishevsky, A.I. Markushevich, MD Millionshchikov, N.A. Patrikeeva, N.H. Rozov, A.P. Savin, I.Sh. Slobodetsky, M.L. Smolyansky, Ya.A. Smorodinsky, V.A. Nhà chế tạo, Ya.E. Schneider

Cục

59

Đáp số, gợi ý, lời giải

I II III IV

Minh họa bài “Mô hình điện” Tuyển tập câu đố Trang cờ Đi bộ cùng vật lý

TRÊN BÌA

lượng tử

© 2009, RAS, Quỹ Osipyan, «Kvant»

OLYMPIADS Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XXXV dành cho học sinh môn toán Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XLIII dành cho học sinh vật lý

CÔNG TY CP TECHSNABEXPORT tham gia tài chính trong việc xuất bản tạp chí «Kvant»

6

KVANT 2009/№2

Bài toán Erdos–Szekeres trên đa giác lồi

V. KOSHELEV, A. RAIGORODSKY

Lời chia tay

Bài toán, mà chúng tôi muốn nói đến trong bài viết này, được coi là một trong những viên ngọc quý của hình học tổ hợp. Sự đơn giản đặc biệt trong công thức của nó khiến cho một học sinh có thể tiếp cận một câu chuyện về nó, đồng thời tính không tầm thường của lời giải và vô số mối liên hệ của nó với các lĩnh vực toán học khác ngay lập tức đưa người nghe quan tâm đến vị trí hàng đầu của tổ hợp hiện đại. Bài toán điều này nảy sinh vào năm 1934, và mặc dù khả năng đếm nhanh không phải là một đặc điểm nổi bật của một nhà toán học, trái với niềm tin phổ biến, nhưng mỗi chúng ta sẽ ngay lập tức nhận ra rằng năm nay đánh dấu đúng 75 năm kể từ ngày sinh của bà. Đó không phải là một cuộc hẹn hò tròn trịa sao? Nào, hãy ăn mừng nó nào.

Những bước đầu tiên

Sản xuất bài toán

Chúng ta hãy xem xét một tập hợp hữu hạn các điểm X trên mặt phẳng và đặt câu hỏi chẳng hạn như sau: có đúng là trong tập hợp X sẽ luôn có ba điểm là các đỉnh của một tam giác không? Thoạt nhìn, câu hỏi có vẻ buồn cười. Rõ ràng là nếu có một hoặc hai điểm trong X thì không còn gì để nói; nếu X ³ 3 (số lượng của X không nhỏ hơn ba), thì có vẻ như ba phần tử bất kỳ trong tập hợp đều đóng vai trò là các đỉnh của một tam giác. Nó là như vậy, nhưng không hoàn toàn: nếu ba điểm từ tập X nằm trên cùng một đường thẳng thì sao? Khi đó sẽ khó có thể nói về một hình tam giác có các đỉnh trong đó. Và tình huống trong đó tất cả các điểm trong tập hợp của chúng ta được “xâu chuỗi” trên một đường thẳng là hoàn toàn không tốt. Nói tóm lại, đáp số đối với câu hỏi là tiêu cực một cách bất ngờ. Tuy nhiên, nếu ngay từ đầu chúng ta giả định rằng trong tập X không có ba điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng, thì logic tự nhiên sẽ đúng và, với điều kiện X ³ 3, chúng ta có thể đảm bảo sự hiện diện của các tam giác trong X. Được rồi, chúng ta đã sắp xếp các tam giác. Vậy làm thế nào mọi thứ có thể tồn tại với $выпуклыми^{1}$ tứ giác, bạn-

1 Một tập hợp được gọi là lồi nếu cùng với hai điểm bất kỳ của nó, nó chứa toàn bộ đoạn thẳng nối chúng.

ngũ giác lồi, v.v.? Về lý thuyết, chúng ta muốn thu được đáp số ở dạng giống như trong trường hợp tam giác, cụ thể là: với mỗi n O ¥, n ³ 3, cần tìm một giá trị “biên” $g ( n ) О^{¥}$ sao cho trong mọi tập X không chứa bộ ba điểm trên cùng một đường thẳng và có ít nhất g ( n ) phần tử, có n đỉnh của một n-giác lồi và do đó với g ( n ) - 1 thuộc tính được mô tả không được đáp ứng. Ở đây g ( 3 ) = 3, và g ( 4 ), g ( 5 ), v.v. bằng bao nhiêu? Nói chung, những đại lượng này có tồn tại không (hay nói đúng hơn là chúng có hạn)? Rốt cuộc, rất có thể xảy ra rằng, chẳng hạn, với bất kỳ m nào cũng có một tập X có kích thước m trong đó không có đỉnh của hình thập giác lồi. Ai biết? Bài toán Erdős–Szekeres mà bây giờ chúng ta chuyển sang nghiên cứu, chính xác là việc tìm các giá trị của g ( n ). Dưới đây chúng tôi sẽ cho bạn biết rất nhiều điều thú vị về nó, nhưng bây giờ chúng tôi sẽ ghi chú nhỏ. Đối với công thức của bài toán, điều rất quan trọng là giả sử rằng các tập X không chứa bộ ba điểm trên cùng một đường thẳng. Trên thực tế, một tính chất như vậy hoạt động rất thường xuyên trong hình học, và do đó một thuật ngữ đặc biệt đã được phát minh ra cho nó: một tập X có tính chất này được cho là ở vị trí tổng quát. Nguồn gốc của thuật ngữ này là do theo nghĩa tự nhiên nào đó, “gần như tất cả” các tập hợp trên mặt phẳng đều ở một vị trí tổng quát - do đó có tính tổng quát. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không đưa ra nhận xét chi tiết hơn ở đây, nếu không chúng tôi sẽ đi quá xa lộ trình chính của mình. Điều chính là từ bây giờ, khi xem xét các tập hợp điểm trên mặt phẳng, chúng ta sẽ giả sử rằng chúng ở vị trí tổng quát: đơn giản là chúng ta không quan tâm đến các tập hợp khác.

Hãy giải quyết các hình tứ giác

Hiển nhiên, g ( 4 ) > 3 (không có chỗ nào để một tứ giác xuất hiện tại ba điểm). Có lẽ g(4) = 4? Tất nhiên là không. Chỉ cần nhìn vào hình 1 là đủ để hiểu điều này: các điểm được mô tả trong hình đều ở vị trí tổng quát, tuy nhiên, trong số chúng không có đỉnh của tứ giác lồi. Vì vậy, g ( 4 ) ³ 5. Hãy chứng minh rằng g ( 4 ) = 5, tức là hãy đảm bảo rằng trong bất kỳ

9

NHIỆM VỤ

ERDES

–

SEKERESHA

anh ta đã giao một số tiền nhất định cho bài toán của mình, do đó xếp hạng bài toán theo “độ khó”. Tôi nghĩ số tiền lớn nhất mà anh ấy từng đưa ra là 3.000 USD. Và về giả thuyết 1, ông đã viết ngay trước khi qua đời vào năm 1996 rằng ông chắc chắn sẽ trả 500 USD để chứng minh điều đó. Điều buồn cười là ông không đưa tiền để bác bỏ giả thuyết: rõ ràng, ông tin chắc vào tính đúng đắn của nó và không muốn kích thích sự chuyển động sai lầm của tư duy toán học, theo quan điểm của mình. Với giả thuyết 1, những nỗ lực chứng minh nó và những vấn đề nhiều mặt nảy sinh xung quanh vấn đề này, công việc thực sự nghiêm túc về vấn đề này bắt đầu. Và chúng ta sẽ nói về điều này sau. Trước hết: chúng ta đã chỉ ra ở đâu đó g(n) < ¥ cho mỗi n chưa?

Vậy tại sao g(n) luôn tồn tại?

Đôi lời về định lý Ramsey

Trong toán học, mọi thứ đều có mối liên hệ với nhau và đôi khi đối với lời giải bài toán từ một lĩnh vực, cần phải áp dụng các cân nhắc từ các lĩnh vực mà thoạt nhìn có vẻ rất xa nó. Vì vậy, nó ở đây: chúng ta sẽ sớm thấy rằng bài toán Erdos–Szekeres có quyền truy cập trực tiếp vào định lý Ramsey cổ điển trong tổ hợp. Chúng ta hãy nhớ nó là gì, dần dần chuyển từ những trường hợp đặc biệt đơn giản sang những tình huống chung phức tạp hơn một chút. Vì vậy, chắc hẳn nhiều độc giả đã từng nghe câu nói kinh điển này của trường phái: trong sáu người bất kỳ, có ba cặp người quen hoặc ba cặp người lạ. Tuyên bố này rất dễ chứng minh và mọi người đều có thể dễ dàng tự mình đưa ra lý luận tương ứng. Nhân tiện, chúng ta hãy lưu ý rằng tuyên bố tương tự đối với năm người nói chung là không đúng. Sẽ thuận tiện (và được chấp nhận) khi hình thành tình huống được mô tả dưới dạng biểu đồ. Thật vậy, chúng ta thực sự đang nói về việc xem xét một biểu đồ hoàn chỉnh có sáu đỉnh “người”, tô màu tất cả các cạnh $C_{6}^{2} = 15$ của nó là màu đỏ và xanh lam (cạnh màu đỏ có nghĩa là mọi người biết nhau, cạnh màu xanh lam có nghĩa là mọi người không biết nhau) và đảm bảo rằng biểu đồ có một hình tam giác với tất cả các cạnh màu đỏ hoặc biểu đồ có một hình tam giác với tất cả các cạnh màu xanh lam. Trong trường hợp này, một lần nữa, đối với một đồ thị hoàn chỉnh có năm đỉnh, con số như vậy không phù hợp. Và đây là một tuyên bố tổng quát hơn một chút bằng ngôn ngữ đồ thị. Với mọi số tự nhiên s, t, luôn tồn tại số tự nhiên nhỏ nhất $m_{0}$ có tính chất sau. Dù m ³ $m_{0}$ là gì và bất kể màu đỏ và xanh lam của các cạnh của một đồ thị hoàn chỉnh trên m đỉnh là gì, thì đồ thị đó có một đồ thị con hoàn chỉnh trên s đỉnh với tất cả các cạnh màu đỏ hoặc đồ thị có đồ thị con hoàn chỉnh trên t đỉnh với tất cả các cạnh màu xanh. Ví dụ: với s = t = 3 chúng ta có $m_{0} = 6$. Bây giờ hãy lưu ý rằng các cạnh của một đồ thị tất nhiên là các tập con gồm hai phần tử của tập các đỉnh của nó.

VỀ

Lồi

ĐA GIÁC

Điều gì sẽ xảy ra nếu từ bây giờ chúng ta bắt đầu vẽ không phải các cạnh mà là các tập hợp con ba, bốn,…, k phần tử của một tập hợp nhất định? Làm thế nào mà điều này tệ hơn? Không có gì! Và cuối cùng, đây là toàn bộ định lý Ramsey. Định lý Ramsey. Với mọi số tự nhiên $k, l_{1},^{K}, l_{r}$ đều có số tự nhiên nhỏ nhất $m_{0}$ có tính chất sau. Dù m ³ $m_{0}$ là gì, nếu mỗi tập con phần tử k của tập {1, …, m} được tô màu bằng một trong r màu có “tên” 1, …, r, thì có i O { 1, K r ​​​​} và một tập con phần tử $l_{i}$ T M { 1, K, m } sao cho tất cả các tập con phần tử k của nó đều có màu tên là i. Kết quả về đồ thị rút ra từ định lý này cho $k = 2, r = 2, l_{1} = s, l_{2} = t.$ Ở đây cũng có một sự tinh tế logic nhỏ mà về mặt lý thuyết, một người đọc tò mò sẽ nhận thấy ngay: điều gì sẽ xảy ra nếu $k > l_{i}$ đối với một số i? Giả sử, vẫn giữ k = 2, r = 2, nhưng $l_{1} = 1, l_{2} = 100.$ Trong trường hợp này, nguyên tắc “tất cả cá sấu ở sông Tumcha đều có màu đỏ” có tác dụng. Vấn đề là có thể nói bất cứ điều gì về các phần tử bị thiếu và do đó, ở đây $m_{0} = 1.$ Lý do tương tự được áp dụng trong các trường hợp tương tự khác. Chứng minh định lý Ramsey thu được bằng cách sử dụng quy nạp lặp lại và, vì tính sơ cấp, vẫn cần quá nhiều chỗ để trình bày trong ghi chú của chúng tôi. May mắn thay, đây là một thực tế cổ điển nên việc tìm ra bằng chứng đầy đủ của nó không khó. Bạn đọc có thể tham khảo cả tác phẩm gốc [5], [2] và nhiều nguồn thông dụng khác như [6], [7], [8]. Lưu ý rằng đối với đại lượng $m_{0}$ xuất hiện trong định lý, ký hiệu tiêu chuẩn ít nhiều $R_{k} ( l_{1},^{K}, l_{r} )$ sẽ được sử dụng. Đặc biệt, chúng tôi đã nói rằng $R_{2} ( 3, 3 ) = 6$ và $R_{2} ( 1, 100 ) = 1$. Nhân tiện, rất ít sự bình đẳng chính xác như vậy được biết đến. Cách dễ nhất để tìm danh sách chúng là trên Wikipedia (xem [9]), nơi có liên kết tới bài đánh giá [10]. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng định lý Ramsey để chứng minh g(n) < ¥.

Hai thủ thuật

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng g(n) £ $R_{4} ( n, 5 )$. Thật vậy, đặt X là tập hợp các điểm bao gồm ít nhất $R_{4} ( n, 5 )$ phần tử. Hãy tô màu đỏ và xanh lam cho bốn điểm trong đó: nếu bốn điểm này là các đỉnh của một tứ giác lồi thì ta khai báo bốn điểm đó là màu đỏ; ngược lại chúng ta nói nó có màu xanh. Theo định lý Ramsey, có thể có hai lựa chọn. Trong một trong số chúng có năm điểm thuộc X, trong đó tất cả bốn điểm đều có màu xanh lam, tức là không có một tứ giác nào có thể tạo ra một tứ giác lồi. Nhưng điều này là vô nghĩa, vì nó mâu thuẫn với khẳng định của Klein rằng g ( 4 ) = 5. Điều này có nghĩa là chỉ còn lại phương án, trong đó có n điểm trong X không có bốn điểm màu xanh. Nói cách khác, mọi tứ giác tạo bởi những điểm này đều lồi. Điều này chỉ có thể thực hiện được nếu bản thân n điểm này là

14

KVANT 2009/№2

Thế giới âm thanh bí ẩn này

E.SOKOLOV

Thật tuyệt vời vào một buổi tối tháng 8 yên tĩnh để ngồi trên bờ sông Oka cao và dốc và ngắm nhìn thế giới xung quanh. Cái nóng ban ngày đã dịu đi, mùi cỏ cắt, đàn ruồi bu trong tia nắng xiên, suy nghĩ bay xa, rất xa… Và rồi một ngày, khi tôi đang ngắm hoàng hôn trong tâm trạng sung sướng đến thế, tôi nghe thấy tiếng động cơ máy bay trên đầu. Trong một lúc, tôi nhìn vào đám mây từ phía sau có âm thanh vang lên, nhưng chiếc máy bay không xuất hiện. Và đột nhiên, qua khóe mắt, tôi nhận thấy một chiếc máy bay vụt qua khe hở giữa các đám mây, nhưng hoàn toàn không ở nơi tôi mong đợi (hình1).

Nếu tàu đã đi qua, liệu bạn có còn lang thang trong rừng nữa không? Nhưng đường sắt chỉ cách đó 50 mét. Chỉ có điều bạn không thể nhìn thấy gì, nhưng bạn có thể nghe rõ tiếng tàu. – Và trong đại dương, ngay cả trong làn nước trong, bạn không thể nhìn thấy gì xa hơn 20 mét. Nếu không có sóng siêu âm, tàu ngầm sẽ vào cảng nước ngoài như quê hương. Còn cá heo thì sao? Còn cá nhà táng thì sao? Còn dơi thì sao? “Vậy hãy tóm tắt lại nhé,” tôi xen vào cuộc tranh luận. – Mọi người có đồng ý rằng thế giới âm thanh có thể quan trọng và hữu ích như thế giới hữu hình không? Và nếu vậy thì hãy cùng tìm hiểu xem thế giới âm thanh bí ẩn này hoạt động như thế nào nhé. Để làm được điều này, chúng ta cần rất ít: một công thức và tư duy logic.

Công thức đầu tiên và tư duy logic

Hình 1

“Đúng, tôi nhầm rồi! - tôi nghĩ. - Tất nhiên, người ta có thể dễ dàng nhận ra rằng điểm mà chúng ta nhìn thấy máy bay và điểm mà chúng ta nghe thấy máy bay là những điểm hoàn toàn khác nhau. Rốt cuộc, vào thời điểm âm thanh truyền đến chúng ta từ điểm A, máy bay đã di chuyển đến điểm B.” Trong bữa tối, tôi kể lại sự việc này với các học sinh của mình - những người tham gia trại hè - như một ví dụ cho thấy rằng trong mọi vấn đề, dù đơn giản, người ta cũng nên sử dụng tư duy logic, không nên chỉ dựa vào thói quen. Và sau một thời gian, Câu hỏi chính đầu tiên đã ra đời. Như thường lệ, Alexander bắt đầu. – Hóa ra điều thú vị là: những gì chúng ta thấy và những gì chúng ta nghe là những thứ hoàn toàn khác nhau. Vậy thì từ đó Thế giới chúng ta nhìn thấy và Thế giới chúng ta nghe thấy là những Thế giới hoàn toàn khác nhau!? “Vậy thì sao, cứ nghĩ về điều đó đi,” Tatyana can thiệp. “Chúng ta sống bằng cách dựa vào thị lực của mình.” - Và ai đã lạc giữa đám trẻ ngày hôm qua và nếu không thì

Hãy bắt đầu, như thường lệ, với sự đơn giản hóa hợp lý. Giả sử rằng trên một hành tinh Yalmez nào đó, phẳng như một cái bàn, không có núi, không có rừng, không có mây mà âm thanh có thể được phản xạ mà chỉ có một người quan sát ở điểm H và một chiếc máy bay đang bay theo đường thẳng với tốc độ không đổi v ở độ cao h (hình2). Chúng ta sẽ lấy thời điểm $ког-_{Рис.} 2$ làm tham chiếu thời gian bằng 0 và mặt phẳng sẽ ở ngay phía trên người quan sát. Với sự lựa chọn này, định luật chuyển động của máy bay sẽ có dạng

$x_{c} ( t ) = vt$.

Đối với chúng ta, một chiếc máy bay đang bay bây giờ chỉ đơn giản là một nguồn âm thanh, được tạo ra bởi các bộ phận động cơ rung khi hoạt động và các luồng phản lực hỗn loạn và lan truyền theo mọi hướng với tốc độ âm thanh c. Một người quan sát, noi gương những người lái tàu ngầm, tốt hơn nên được gọi là người lắng nghe, lắng nghe cẩn thận tiếng gầm rú của máy bay lao tới chỗ anh ta, và chúng ta bắt đầu tìm hiểu những gì anh ta nghe thấy. Chúng ta sẽ thu được công thức làm việc chính nếu dịch những từ đã nói ở trên sang ngôn ngữ toán học: “vào thời điểm âm thanh truyền đến chúng ta từ điểm A, mặt phẳng sẽ chuyển sang điểm B”. Hãy làm theo cách này. Đặt mặt phẳng lúc $\tau$ tại điểm A có tọa độ $x_{c} = v\tau$. Âm thanh phát ra lúc này bắt đầu lan ra mọi hướng.

20

KVANT 2009/№2

Tuy nhiên, vào cuối những năm 80, rõ ràng là để hoàn thành việc xác minh mô hình chuẩn và một số vấn đề khác nảy sinh, năng lượng của hạt cần phải có cường độ cao hơn - lên tới 10 TeV. Giai đoạn tiếp theo của cuộc đua giành năng lượng đã bắt đầu. Một siêu máy va chạm đã được thiết kế ở Hoa Kỳ, việc xây dựng nó thậm chí còn bắt đầu, nhưng vào năm 2002, nguồn tài trợ của chính phủ đã bị dừng lại. Ngược lại, tại CERN vào ngày 16 tháng 12 năm 1994, người ta quyết định lời giải tạo ra một máy va chạm mới. Năm 1999, việc xây dựng nó bắt đầu, nhờ một đường hầm khổng lồ đã được xây dựng - nó chứa một máy gia tốc electron-positron. Tên của thiết bị mới cũng ra đời - Máy Va chạm Hadron Lớn hay gọi tắt là LHC. Chi phí gần đúng cũng đã được xác định - 4 tỷ euro. Việc tài trợ đã bắt đầu và tiến hành thành công, với sự tham gia của 20 quốc gia Châu Âu. Sự tham gia tài trợ của chúng tôi tương đối nhỏ và gián tiếp - 60 triệu đô la cho Viện nghiên cứu hạt nhân chung ở Dubna để trả công lao động của các nhà khoa học Nga (và các nước CIS), những người đã tham gia nhóm quốc tế để tạo ra các công cụ trong đó kết quả của các vụ va chạm hạt sẽ được phân tích. Nga được đưa vào dự án với tư cách là nước quan sát viên (tuy nhiên, Mỹ và Nhật Bản có cùng tư cách). Thời hạn đưa LHC vào hoạt động đã bị vi phạm - một số tai nạn nhỏ đã xảy ra, nguyên nhân là do đánh giá thấp “độ bền”, tức là khả năng chịu được quá tải lớn của vật liệu. Máy va chạm dự kiến ​​​​sẽ ra mắt vào mùa thu này. Các đặc điểm chính của máy va chạm như sau. Đường hầm chính, trong đó có các kênh dành cho các hạt gia tốc, không chỉ là một vòng tròn mà là bốn vòng cung được nối với nhau bằng các đoạn thẳng, nơi các hạt được gia tốc bởi điện trường tần số cao, quỹ đạo của chúng được tinh chỉnh và các hạt gặp nhau. Ở những khu vực này có máy dò - thiết bị phân tích kết quả va chạm. Tổng chiều dài của đường hầm khoảng 27 km, chiều ngang khoảng 8 km, độ sâu của đường hầm khoảng 100 m (để làm giảm bức xạ vũ trụ gây nhiễu). Đường hầm nằm ở biên giới Thụy Sĩ-Pháp, gần Geneva. Điều tò mò là thủy triều do Mặt trăng gây ra (chúng không chỉ tồn tại trong đại dương mà còn trong vỏ trái đất) ở đây có phạm vi dao động lên tới 0,5 m, khiến chiều dài của đường hầm tăng thêm 1 mm. Tuy nhiên, cần phải tính đến tác động tưởng chừng như cực kỳ nhỏ này. LHC không phải là máy va chạm proton-phản proton mà là máy va chạm proton-proton. Những khó khăn trong việc tạo ra các chùm phản proton hẹp ở mức năng lượng cần thiết cỡ 7 TeV lớn đến mức việc thực hiện chuyển động ngược chiều của proton trong đường hầm ở hai kênh riêng biệt có hướng từ trường ngược nhau hóa ra lại dễ dàng hơn. Đầu tiên, proton được gia tốc đến năng lượng thấp trong một vòng nhỏ có đường kính khoảng 50 m, sau đó trong một vòng có đường kính khoảng một km đến năng lượng 0,45 TeV. Dòng proton này sau đó tách thành hai, và hai dòng di chuyển theo những đường ngược nhau vào đường hầm chính, nơi chúng sẽ được gia tốc lên 7 TeV (hay đạt tốc độ 0,999999991 tốc độ ánh sáng). Máy dò được lắp đặt tại bốn điểm gặp nhau của proton trong các hành lang khổng lồ dưới lòng đất (cao tới 20 mét). Một trong những thiết bị này được thiết kế để nghiên cứu sự va chạm không phải của proton mà của các ion nặng – ion chì. Trong máy dò, các sản phẩm va chạm cuối cùng làm phát sinh các xung dòng điện được truyền qua hàng triệu dây dẫn đến các thiết bị máy tính chiếm không gian rộng lớn đã có trên bề mặt. Lượng thông tin này là petabyte ($( 10^{15}$ byte) mỗi giây. Các thiết bị máy tính lọc thông tin và chỉ những thông tin tốt nhất

Theo quan điểm của họ, dữ liệu quan trọng nhất được truyền đến mạng toàn cầu kết nối hàng chục nghìn máy tính trên ba lục địa. Như vậy, LHC không chỉ là một đường hầm mà là một nhà máy hoành tráng với nhiều xưởng. Bây giờ hãy nói về đặc điểm của thí nghiệm. Proton sẽ bay thành từng chùm. Mỗi cục máu đông là một chiếc kim chứa $10^{11}$ hạt có chiều dài 3 cm và độ dày 16 micron (giống như sợi tóc mỏng nhất). Trong quá trình chạy thử, chỉ một bó như vậy sẽ được tăng tốc trong toàn bộ đường hầm và khi nó chuyển sang chế độ vận hành, 2808 bó sẽ được tăng tốc. Điều này có nghĩa là 600 triệu kim sẽ va chạm vào máy dò mỗi giây. Để đảm bảo chuyển động của các proton được gia tốc trong vòng tròn, cần có từ trường có cảm ứng lên tới 20 Tesla và dòng điện hàng chục nghìn ampe phải chạy trong cuộn dây của nam châm điện. Các dây dẫn của cuộn dây chỉ có thể chịu được dòng điện như vậy ở trạng thái siêu dẫn, đòi hỏi phải duy trì nhiệt độ chỉ khác một chút so với độ không tuyệt đối. 60 tấn helium lỏng sẽ cung cấp nhiệt độ không cao hơn 1,9 K, nhưng trước đó 10.100 tấn nitơ lỏng sẽ hạ nhiệt độ xuống 80 K. Áp suất trong các kênh đường hầm không được vượt quá $10 -^{8}$ Pa. Thí nghiệm đã có sự tham gia của 3.000 nhà nghiên cứu cố định và 6.500 nhà khoa học đến thăm. Số lượng cán bộ kỹ thuật, kỹ thuật đông hơn gấp mấy lần. Và tại sao tất cả điều này là cần thiết? Các nhà vật lý hàng đầu không tiết kiệm những câu chữ (chưa kể đến các nhà báo giả khoa học): “đây sẽ là một điều gì đó vĩ đại”, “cuộc cách mạng sắp tới trong vật lý”. Cụ thể hơn? Than ôi, phạm vi của bài viết này không cho phép chúng ta xem xét những kỳ vọng này ở cấp độ khoa học nghiêm túc và việc đơn giản hóa sự thô tục hóa là không thể chấp nhận được ở đây. Chúng tôi sẽ hạn chế chỉ liệt kê các mục tiêu dự định chính của thử nghiệm. 1) Khám phá và thiết lập một số tính chất và thông số của hạt cơ bản gọi là boson Higgs. Hạt này hoàn toàn “cần thiết” trong mô hình chuẩn lý thuyết của thế giới vi mô. Nếu nó vẫn chưa được phát hiện thì cần phải xem xét lại toàn bộ nền vật lý hiện đại một cách nghiêm túc. 2) Tìm kiếm siêu hạt - nghi phạm chính là nội dung chính của “vật chất tối” được phát hiện gần đây, chiếm tới 95% tổng khối lượng của Vũ trụ. 3) Khám phá các chiều ẩn giấu của hình học thế giới ngoài ba chiều thông thường. Đặc biệt, trong lý thuyết hiện đại về thế giới vi mô, số chiều là 11. Những nghiên cứu này cũng có thể liên quan đến việc phát hiện ra lỗ đen ảo. Điều này, không phải không có sự giúp đỡ của các nhà báo giả khoa học, đã khiến công chúng vô cùng sợ hãi. Nhưng trên thực tế, hoàn toàn không có gì phải sợ - thứ nhất, khối lượng của những vật thể này không đáng kể, thứ hai, chúng là ảo, tức là nằm trong một số không gian nhất định của các chiều không gian khác. 4) Tiếp tục nghiên cứu (trong các thí nghiệm với các ion chì được gia tốc) về các tính chất của trạng thái quark-gluon (plasma quark-gluon), trong đó vật chất của Vũ trụ được định vị ngay sau khi nó ra đời. Và tiếp theo là một dự án toàn cầu (với sự tham gia của Hoa Kỳ và Nhật Bản) nhằm xây dựng một máy gia tốc thậm chí còn tham vọng hơn, lần này là máy va chạm tuyến tính electron-positron, dự kiến ​​sẽ được phóng vào năm 2020. Ước tính sơ bộ chi phí của nó ít nhất là 8 tỷ USD. Thật vậy, theo nhận xét thích hợp của Viện sĩ L. Artsimovich, “khoa học là một cách để thỏa mãn trí tò mò của các nhà khoa học mà gây tổn hại cho xã hội”. L. Belopukhov

29

KMS

Bài toán

4 đội tham gia giải bóng đá vòng tròn. Đội ghi được 3 điểm chiếm vị trí thứ hai “thuần túy”. Khôi phục kết quả của tất cả các trận đấu. Vị trí thứ hai rõ ràng có nghĩa là không còn đội nào có cùng số điểm và có đúng một đội có nhiều điểm hơn. Một trận thắng được tính 3 điểm, hòa được 1 điểm, thua được 0 điểm. A. Blinkov

mẹ sau 4 phút là một “đốm hình chữ nhật” có kích thước bằng $6\times 10$ ô đơn (xem hình bên phải). E. Sokolov

Lena đi dạo với chú chó con trong công viên. Ngay khi cô thấy mình đang ở đầu con đường dài 41 m chạy dọc công viên, cô bạn Katya đã xuất hiện ở cuối con đường này. Chú chó con bắt đầu vui vẻ chạy từ Lena đến Katya rồi chạy ngược lại nhiều lần cho đến khi những người bạn gặp nhau ở khoảng cách 13 m tính từ đầu đường. Tổng cộng, chú chó con đã chạy được 85 m. Anh ta đã chạy bao xa về một hướng và bao xa về hướng kia? G. Galperin

Nhà máy sản xuất bộ năm con voi trắng với nhiều kích cỡ và trọng lượng khác nhau. Nếu bạn sắp xếp những con voi theo chiều cao thì theo tiêu chuẩn, sự khác biệt về khối lượng của những con voi lân cận sẽ giống nhau. Liệu thanh tra viên có thể kiểm tra điều này bằng cách sử dụng cân chảo không có quả nặng không? Điều gì sẽ xảy ra nếu bộ gồm có bốn con voi? A. Shapovalov

Trên mặt phẳng có hai hình chữ nhật P và Q, giao điểm của chúng là một hình bát giác đều (không nhất thiết phải đều). Chứng minh rằng P và Q là các hình vuông có chung tâm. K. Matveev

Minh họa của D. Grishukova

Quan sát sự lan rộng của vết mực trên giấy thấm, Petya đã xây dựng định luật lan truyền vết mực: mỗi điểm mà vết mực chạm tới sẽ trở thành nguồn của các vết mực tròn thứ cấp (xem hình ở bên trái) và tốc độ phát triển của vết mực thứ cấp là 1 ô mỗi phút. Cho rằng luật này là công bằng, hãy tìm xem lĩnh vực nào sẽ được áp dụng

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6 – 8.

31

ĐẾN

dưới cùng: trong gương, sàn nhà sẽ ở trên cùng, cao nhất và mọi người sẽ đi lộn ngược trên đó. Nếu bạn muốn đổi chỗ cho bên phải và bên trái, bạn cũng có thể thực hiện cách này: đặt một chiếc gương ở bên cạnh. Đây chính xác là những gì đã xảy ra vào năm bài toán, khi bài báo bắt đầu: Tôi đang đi xe buýt vào đêm khuya và cửa sổ bên của xe buýt đóng vai trò như một tấm gương. Đồng thời, các con số đi theo thứ tự ngược lại: 2051 ® 1502. Khi phản chiếu, hai số biến thành số 5 và ngược lại, và trên đồng hồ trong gương tôi thấy 12:05. Điều gì sẽ xảy ra nếu chiếc gương đứng trước đồng hồ (hình5)? Trong trường hợp này, để nhìn thấy đồng hồ điện tử và ảnh trong gương cùng một lúc, cần phải

Hình 5

để đồng hồ trong suốt. Nhưng khi đó cả đồng hồ và gương đều có cùng số. Nếu đồng hồ mờ đục thì tôi sẽ không nhìn thấy những gì nó hiển thị, hoặc (nếu tôi đang ngồi giữa đồng hồ và gương) tôi sẽ phải quay đầu lại để nhìn nó từ phía bên kia. Trong khi đó, điều kiện chỉ nói “hướng ánh mắt”. Điều gì xảy ra với cuốn sách? Và điều gì xảy ra với một người “qua kính nhìn”? Ở đây phải tính đến hai yếu tố: (1) không thể có sự đối xứng trong không gian, (2) nhưng hai đối xứng có thể được thực hiện đồng thời. Và sự đối xứng thực sự “mặt sau của đầu”, bằng cách thực hiện hai phép đối xứng, ngay lập tức biến thành sự đối xứng “từ phải sang trái” mà chúng ta cho là đã quan sát được. Đây là cách nó xảy ra. Cuốn sổ không giống như biển số, mờ đục. Để hiển thị văn bản của cô ấy trong gương, bạn phải xoay văn bản của cô ấy về phía gương, tức là hoán đổi vị trí “trước” và “sau” của nó (bạn không còn giữ cuốn sách về phía mình giống như khi đọc: không phải với văn bản mà là mở bìa). Nhưng chúng ta không thể chỉ thay đổi mặt trước và mặt sau: trong không gian ba chiều của chúng ta không thể tạo ra sự phản chiếu chỉ trong một mặt phẳng, nhưng chúng ta có thể thực hiện nó đồng thời trên hai mặt phẳng. Sự phản xạ trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau cùng một lúc là một phép quay $180 ^\circ$. Vì vậy, thay vì phản chiếu cuốn sách (điều này là không thể), bạn xoay cuốn sách theo $180 ^\circ$, trước tiên thay đổi mặt trước và mặt sau, sau đó là bên phải và bên trái. Kết quả là, một người nhìn vào văn bản trong gương sẽ thấy rằng mặt trước và mặt sau của cuốn sách trong gương được đặt ở vị trí bình thường: trang mở ở ngay trước mắt, lẽ ra phải như vậy, nhưng bên phải và bên trái thực sự đã thay đổi vị trí. Có thể

M

Sh

Hình 6

Có thể lật sách theo cách khác sao cho bên phải vẫn ở bên phải, nhưng trên và dưới (hình6) sẽ thay đổi, nhưng thường thì không ai cầm ngược sách. Nếu điều này trở thành một thói quen trong chúng ta, có lẽ chúng ta sẽ có xu hướng nghĩ rằng sự lên xuống bị đảo ngược trong gương. Nhưng điều đó khó xảy ra. Rốt cuộc, còn có một lập luận chính khác: người đàn ông trong gương. Có phải anh ấy thực sự có vẻ như có tay phải ở bên trái? Nhưng ở đây, câu chuyện cũng giống như trong cuốn sách. Một người không thể tìm thấy chính mình trong một tấm gương soi. Nhưng thật dễ dàng để tưởng tượng cách đi vòng qua gương và đứng ở phía bên kia. Sau đó tâm lý bắt đầu. Một người gần như đối xứng với mặt phẳng chia anh ta thành hai nửa bên phải và bên trái. Và nó không đối xứng so với mặt phẳng chia nó thành hai nửa trước và sau. Phần sau đầu nằm đối xứng với khuôn mặt nhưng lại hoàn toàn khác. Nhưng tay trái khá giống tay phải. Hãy tưởng tượng rằng Vitya đang đứng trước một mặt phẳng nhất định mà chúng ta thường gọi là “tấm gương”, nhưng qua đó người ta có thể đi qua, và người anh em song sinh Mitya của anh ấy đã đi qua mặt phẳng này. Anh ấy đứng giống hệt Vitya (mũi hướng về phía bắc, quay đầu về phía nam). “Nhưng,” Vitya nghĩ, “anh ấy hoàn toàn khác với hình ảnh phản chiếu của tôi: xét cho cùng, trong gương tôi nhìn thấy mũi của mình chứ không phải phía sau đầu.” - Nào, quay lại đi! - anh ra lệnh cho Mitya. Mitya quay lại… Đây là nơi điều quan trọng nhất xảy ra. Một người không thể thực hiện một phản xạ (sao cho trái tim ở bên phải), nhưng anh ta có thể dễ dàng thực hiện hai phản xạ cùng một lúc: xét cho cùng, kết quả (thành phần) của hai phản xạ là một lượt, trong trường hợp này là một lượt $180^\circ.$ Vì vậy, Mitya quay, tức là được phản ánh đồng thời trên hai mặt phẳng: “trước-sau” (bắc và nam đổi chỗ) và “phải-trái” (thay đổi tây và đông). “Bây giờ,” Vitya nghĩ, “Mitya đã đứng dậy một cách chính xác, giống hệt như hình ảnh phản chiếu của tôi. Chỉ có tay phải của anh ấy đối diện với tay trái của tôi - trong gương thì sẽ không như vậy. Điều này có nghĩa là trong gương của tôi có đôi, chính bên phải và bên trái đổi chỗ cho nhau.” Không, Vitya thân mến! Gương đôi trán và sau đầu đổi chỗ; Bạn so sánh anh ta với Mitya, không nhận thấy rằng Mitya đã thực hiện một phản xạ kép. Sai lầm của bạn xuất phát từ đây.

33

Hình 9

Hình 12

Hình 12

Hình 13

Hình 10

Hình 11

chưa ai thành công trong việc tạo ra một hình vuông chỉ cho phép xếp gạch không định kỳ!

Bạn có biết rằng:

1. Mặt phẳng có thể được chia thành các hình bảy cạnh không lồi giống hệt nhau.

2. Nếu mặt phẳng được chia thành các hình bảy cạnh lồi thì trong số đó có một hình nhỏ tùy ý hoặc một hình lớn tùy ý. 3. Có một ví dụ về việc chia không gian thành 38 mặt lồi bằng nhau, nhưng không ai biết liệu số 38 có thể thay thế bằng số lớn hơn hay không. 4. Có một bộ ba đa giác lồi có thể được sử dụng để xếp một mặt phẳng theo vô số cách, nhưng mỗi cách này đều không tuần hoàn. Tuy nhiên, không ai biết liệu số 3 có thể rút gọn được hay không - đây là một bài toán mở. Trong không gian bài toán đã được giải quyết - có một khối đa diện có thể được sử dụng để lát toàn bộ không gian, nhưng chỉ không theo định kỳ. 5. Người ta chưa biết khối tứ diện nào có thể được sử dụng để bao phủ toàn bộ không gian. 6. Có 3 loại hình lục giác lồi và 14 loại hình ngũ giác lồi có thể dùng để bao phủ toàn bộ mặt phẳng. Bài toán về những cái không lồi là mở. 7. Không ai biết liệu có một thuật toán lấy đa giác làm đầu vào hay không và ở đầu ra cho biết liệu có thể xếp toàn bộ mặt phẳng bằng đa giác này hay không. S. Markelov Các bình luận về bài viết có thể được gửi tới tác giả tại markelov@mccme.ru.

Tài liệu của bài viết này có sẵn tại www.mccme.ru/ ~markelov. Bất cứ ai cũng có thể sao chép bài viết hoặc một phần của nó dưới bất kỳ hình thức nào mà không cần sự cho phép của tác giả.