Bài toán

35

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

TRẺ EM HỌC SINH

Bài toán

Cho phân số 2/3. Bạn được phép thực hiện các thao tác sau nhiều lần theo thứ tự bất kỳ: cộng 2013 vào tử số hoặc cộng 2014 vào mẫu số. Có thể thu được phân số bằng 3/5 chỉ bằng các phép tính này không? K.Kokhas

4. Một nhà thiết kế điên rồ đã tạo ra một chiếc đồng hồ với 150

Harry Potter có 100 viên bi trong hộp - đỏ, trắng và xanh lục. Ba trong số chúng rất kỳ diệu, chúng thay đổi màu sắc theo thời gian (sang bất kỳ màu nào trong ba màu này). Một ngày nọ, Harry Potter nhìn vào hộp và thấy có nhiều quả bóng đỏ hơn quả trắng và nhiều quả bóng trắng hơn quả xanh. Một phút sau nhìn lại, anh thấy mọi thứ đã ngược lại: có nhiều màu xanh hơn màu trắng và nhiều màu trắng hơn màu đỏ. Lần đầu tiên nhìn vào hộp, anh ấy nhìn thấy bao nhiêu quả bóng trắng? D. Maksimov với những mũi tên. Kim thứ nhất quay với tốc độ một vòng/giờ, kim thứ hai quay 2 vòng/giờ,…, kim thứ 150 quay 150 vòng/giờ. Đồng hồ được bắt đầu từ vị trí mà tất cả các kim đều hướng thẳng lên trên. Khi hai hoặc nhiều kim gặp nhau trong quá trình vận hành đồng hồ, các kim sẽ rơi ra ngay lập tức. Sau khi khởi động bao lâu thì kim quay với tốc độ 74 vòng/giờ sẽ rơi ra? K.Kokhas

Minh họa của D. Grishukova

Các quý ông luôn nói sự thật với những người họ biết và nói dối với người lạ. Khi 50 quý ông tụ tập lại, mỗi người nói với mỗi người một câu: Tôi có số người quen chẵn ở công ty này hoặc tôi có số người quen lẻ ở công ty này. Có lẽ cụm từ đầu tiên đã được nói chính xác 2013 lần? A. Solynin

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6–8. Những bài toán này đã được đưa ra tại vòng khu vực của Olympic LXXX St. Petersburg dành cho học sinh môn toán.

a) Cắt một hình chữ nhật ca rô có kích thước 9 x 10 hình vuông thành nhiều hình vuông sao cho trong số đó có đúng hai hình vuông có cạnh lẻ. Các vết cắt nên đi dọc theo các cạnh của tế bào. b) Một hình chữ nhật ca rô có kích thước 19 x 20 ô được cắt thành nhiều hình vuông (các vết cắt đều dọc theo các cạnh của ô). Trong số đó có thể có bao nhiêu hình vuông có cạnh lẻ nhỏ nhất? K. Sukhov

37

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

lớp 6

1. Chứng minh rằng trong một số tự nhiên có sáu chữ số chia hết cho 101, có thể hoán đổi hai chữ số để tạo thành một số có sáu chữ số cũng chia hết cho 101. 2. Có 20 số tự nhiên liên tiếp. Có thể nào số thứ nhất chia hết cho 1, số thứ hai cho 2, số thứ ba cho 3, …, số thứ mười chín cho 19 và số thứ hai cho 400? 3. Trong một số tự nhiên không có tận cùng bằng 0, hai số 0 bị gạch bỏ liên tiếp. Kết quả là số đó giảm đi k lần, trong đó k là số tự nhiên. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của k. 4. Có thể tô màu mỗi số tự nhiên xanh lam, xanh lá cây hoặc đỏ sao cho có đủ ba màu đó và màu của tổng của hai số có màu khác nhau bất kỳ không trùng với màu của các số hạng? 5. Bộ Tuyên truyền tuyển dụng những nhân viên trung thực (luôn nói sự thật) và những kẻ nói dối bệnh hoạn (luôn nói dối). Mọi nhân viên đều biết về những người khác, dù anh ta là người trung thực hay dối trá. Bộ trưởng Bộ Tuyên truyền mới được bổ nhiệm hỏi từng cấp dưới về một số cấp dưới khác xem anh ta là người trung thực hay dối trá. Đồng thời, Bộ trưởng không hỏi 2 lần về bất kỳ cấp dưới nào. Sau cuộc khảo sát, Bộ trưởng đã trục xuất khỏi Bộ tất cả những nhân viên được cho là trung thực. Bộ trưởng có thể còn lại đúng 2013 cấp dưới? 6. Thời tiền sử, ven biển đảo tròn có 2013 ngôi làng và cứ hai làng lân cận được nối với nhau bằng hai con đường một chiều khác nhau, theo các hướng khác nhau. Người lãnh đạo thợ xây có thể xây dựng đường một chiều mới giữa hai làng bất kỳ và cũng có thể xây dựng một ngôi làng mới ở giữa bất kỳ con đường nào. Chứng minh rằng tại bất kỳ thời điểm nào cũng có một đường tuần hoàn đi qua một số làng chẵn và đi qua mỗi làng nhiều nhất một lần. 7. Quân mã (được biểu thị ở hình bằng chữ K) có thể di chuyển theo tám hướng. Chúng ta hãy gọi các bước di chuyển đến các ô được đánh dấu số 1 là Kazan và các bước di chuyển đến các ô được đánh dấu số 2 - Vyatka. Một hiệp sĩ có thể đi vòng quanh bàn cờ $8\times 8,$ bằng cách đi thăm từng ô của nó đúng một lần và nước đi cuối cùng sẽ quay trở lại ô ban đầu để Kazan và Vyatka di chuyển luân phiên nhau không? 8. Có 100 đường thẳng được vẽ trên một mặt phẳng. Hóa ra trong bốn cái bất kỳ có hai cái song song. Chứng minh rằng trong bảy số bất kỳ có ba số thẳng hàng. 9. Bên trong một hình vuông có cạnh 20, vẽ một số đoạn có tổng chiều dài là 160, chia hình vuông thành nhiều hình chữ nhật. Trong trường hợp này, các đầu của mỗi đoạn được vẽ thuộc về

TRẺ EM HỌC SINH

các đoạn thẳng hoặc các cạnh khác của hình vuông và không có hai đoạn thẳng nào có nhiều hơn một điểm chung. Chứng minh rằng có ít nhất một hình chữ nhật có chu vi không nhỏ hơn diện tích của nó. 10. Mười học sinh đã gửi tin nhắn SMS cho nhau vào buổi tối. Mỗi người gửi tin nhắn văn bản cho đúng năm sinh viên khác. Số học sinh không nhận được một tin nhắn SMS lớn nhất là bao nhiêu?

lớp 7

1. Với mọi số nguyên phân biệt từng cặp x, y và z, hãy chứng minh bất đẳng thức

$( x - y )^{3} + ( y - z )^{3} + ( z - x )^{3} \ge 6$.

2. Có 100 số tự nhiên liên tiếp được viết trên bảng. Vasya nhân 50 số: 25 số lớn nhất và 25 số nhỏ nhất. Sau đó anh nhân 50 số còn lại. Liệu tổng các tích thu được có thể bằng 100 không? (tức là $1 \cdot 2 \cdot$ … $\cdot$ 100)? 3. Viết một số tự nhiên lên bảng. Mỗi phút, gấp đôi số ước tự nhiên của nó được cộng vào (đếm 1 và chính số đó) và số kết quả được viết lên bảng thay vì số ban đầu. Số lượng ô vuông chính xác lớn nhất có thể xuất hiện trên bảng trong 24 giờ là bao nhiêu? 4. Trên con đường nối nhà Winnie the Pooh và nhà Heo Con, một con Cú đậu ở giữa đường và Cọp định cư ở một nơi khác. Đi ngang qua nhà Cú, bị ấn tượng bởi những gì mình nhìn thấy, Winnie the Pooh giảm tốc độ đi 20% so với tốc độ thường ngày. Đi ngang qua nhà Tigger, ấn tượng với những gì mình nhìn thấy, Winnie the Pooh tăng tốc độ lên 20% so với tốc độ thông thường. Hoá ra sự xuất hiện của những người hàng xóm mới cũng không làm thay đổi được thời gian Winnie the Pooh đến được Piglet và trở về nhà. Tigger có thể sống ở đâu? Winnie the Pooh bước ra khỏi nhà của Piglet với tốc độ tương đương với tốc độ mà nó đến gần. 5. Diego muốn bao phủ hình vuông $6\times 6$ bằng mười tám quân domino $1\times 2.$ Anh ta có thể sắp xếp ba quân domino trong hình vuông (không chồng chéo) để phần còn lại của hình vuông có thể được bao phủ bởi các quân domino còn lại theo cách duy nhất không? 6. Với giá trị tự nhiên k nào thì một hình tam giác có thể cắt được thành k hình tứ giác có diện tích bằng nhau? 7. Trong tam giác nhọn ABC vẽ đường phân giác BD. Trong tam giác ADB vẽ đường cao DE và trong tam giác BCD vẽ đường trung tuyến DF. Suy ra BC + FD = 2BE. Tìm góc DFC. 8. Có 32 ô vuông được đánh dấu trên bàn cờ. Hỏi số lượng lớn nhất các hiệp sĩ có thể đảm bảo được đặt trên các ô này mà không chạm vào nhau là bao nhiêu? 9. 300 học sinh đến tham dự trại hè. Hóa ra số cặp sinh ba quen biết theo cặp của học sinh nhiều hơn số cặp quen biết của học sinh. Chứng minh rằng có một cậu học sinh biết ít nhất năm người khác. 10. Năm lớp một trường trung học cơ sở Prostokvashinsky

45

TOÁN HỌC

Để các tiếp tuyến vẽ tại các điểm A và B với đường tròn $\omega$ cắt đường thẳng $A_{1} B_{1}$ lần lượt tại các điểm X và Y và cắt nhau tại điểm Z (hình5). Hãy để chúng tôi chứng minh một bổ đề quan trọng cho những gì sau đây.

VÒNG TRÒN

Những cân nhắc được đề cập là một công cụ mạnh mẽ. Giả sử, từ các câu 3, 4, 5, ta suy ra rằng tam giác tạo thành bởi các tiếp tuyến được vẽ bởi $\omega$ tại các điểm A, B, C và tam giác trực giao là đồng nhất và đường thẳng OH (nó nối tâm của các đường tròn nội tiếp của các tam giác này) đi qua tâm đồng nhất. Ví dụ, bằng cách sử dụng các câu lệnh bổ trợ và Bổ đề 1, chúng ta có thể giải được bài toán khó bài toán sau đây.

Bài tập 4 (Yu. Blinkov, Giải đấu toán học A.P. Savin, 2008). Các đường thẳng MH, $A_{1} B_{1}$ và $ZC_{1}$ cắt nhau tại một điểm $( C_{1}$ – chân đường cao tính từ đỉnh C.) Chứng minh.

Hình 5

Bổ đề 1. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác XYZ. Bằng chứng. 1) Vì ZA = ZB nên ZM là phân giác của góc XZY (xem hình5). 2) Lưu ý rằng $MA = MB_{1}$, tức là M nằm trên đường trung trực của đoạn $AB_{1}$. Xét về mặt tiếp tuyến, góc XAC bằng góc B, nhưng theo Mệnh đề 3, góc $XB_{1} A$ cũng bằng góc B. Do đó, tam giác $XAB_{1}$ là tam giác cân và điểm X cũng nằm trên đường trung trực của đoạn $AB_{1}$, là đường phân giác của $\angle AXB_{1}$. Vì vậy, M nằm trên phân giác $\angle AXB_{1}$, theo yêu cầu.

Vâng, còn điểm P thì sao? Hóa ra nó có mối liên hệ trực tiếp nhất với thiết kế này. Bài toán 5 (Yu. Zaitseva, Olympic hùng biện về hình học ở Moscow, 2012). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC và XYZ tiếp xúc với điểm P. Đối với lời giải bài toán khó bài toán này, chúng ta lại cần nhớ lại hai sự kiện nữa và chứng minh bổ đề. Phát biểu 6. Các điểm $H_{a}, H_{b}$ và $H_{c}$ đối xứng với trực tâm so với các cạnh tương ứng của tam giác ABC, nằm trên đường tròn ngoại tiếp và tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác trực giao. Tuyên bố 7 (thuộc tính chính của symmedian). Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn. Các tiếp tuyến của đường tròn vẽ tại A và B cắt nhau tại điểm Z. Khi đó đường thẳng CZ chứa đường đối trung (đường đối xứng với đường trung tuyến CM so với phân giác của góc C) của tam giác ABC. Bổ đề 2. Điểm Z, P và $H_{c}$ nằm trên cùng một đường thẳng. Bằng chứng. Theo tính chất cơ bản của đường simedian thì PZ là đường trung tuyến của tam giác PAB. Vẫn phải hiểu rằng $H_{c}$ cũng nằm trên đường đối xứng. Rõ ràng là điểm $H '$ trong Câu 1 (đối xứng với H so với M) đối xứng với điểm $H_{c}$ so với đường phân giác vuông góc với AB (hình6). Khi đó các cung $AH '$ và $BH_{c}$ bằng nhau nên các đường thẳng $PH '$ (đường trung tuyến) và $PH_{c}$ đối xứng qua phân giác của góc APB. Bổ đề đã được chứng minh.

Bài tập 3 (Yu. Blinkov, Giải đấu toán học A.P. Savin, 2011). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMA_{1}$ và $BMB_{1}$ đi qua các điểm X và $Y соответственно.^{6}$

Hơn nữa, chúng ta sẽ liên tục gặp các hình tam giác có các cạnh tương ứng song song. Hai tam giác như vậy là đồng nhất (nghĩa là có một tâm đồng nhất đưa một trong các tam giác này sang tam giác kia), hoặc có một phép dịch song song đưa một trong các tam giác này sang tam giác kia. Các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng cắt nhau tại tâm của tam giác đồng nhất. Hơn nữa, điều sau đây đúng: Phát biểu 5. Các đường thẳng nối các điểm tương ứng (ví dụ: giao điểm của các đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến, v.v.) của hai tam giác đồng dạng cắt nhau tại tâm đồng nhất.

6 Trước tiên, bạn có thể sử dụng phép tính góc để giải Bài tập 3 và rút ra Bổ đề 1 từ đó.

Hình 6

BÌA CỦA CHÚNG TÔI

Những tia nắng mùa đông

(Xem phần mở đầu trang 4 của bìa)

…Người ta biết rằng cầu vồng là hệ quả của sự khúc xạ và phản xạ nội tại của ánh sáng mặt trời trong những giọt nước li ti trôi nổi trong không khí sau cơn mưa. Vào mùa đông lạnh giá, thay vì những giọt nước, các tinh thể băng xuất hiện trong không khí, chúng trở nên đặc biệt nhiều ngay sau một đợt rét đậm. Những tinh thể này, như một quy luật, có hình dạng của các tấm phẳng hoặc lăng kính lục giác. Mọi người đều biết một mảnh giấy rơi như thế nào. Cú ngã của anh ấy là sự xen kẽ giữa nổi và trượt xuống (hình1), nhưng

con đường trở nên nhỏ bé. Hầu như không thể nhìn thấy quầng sáng và đồng thời chụp ảnh bằng cách hướng máy ảnh vào Mặt trời. Sau đó, bạn có thể che Mặt trời bằng một số vật thể, chẳng hạn như bằng tay. Trong thời tiết có gió, hướng mặt phẳng của các tinh thể là ngẫu nhiên. Điều này dẫn đến thực tế là độ sáng của tất cả các phần của quầng sáng trở nên giống nhau. Khi thời tiết lặng gió, các tinh thể băng lơ lửng trên mặt đất nên mặt phẳng của chúng tạo thành những góc rất nhỏ với phương ngang. Do đó, các phần của quầng sáng trên đường nằm ngang đi qua Mặt trời trở nên rất sáng. Các dân tộc ở Bắc Cực, nơi đặc biệt thường quan sát thấy hai quầng sáng hai bên này, gọi chúng là chó mặt trời - vì chiếc đuôi dài của chúng hướng sang hai bên (hình3).

Hình 1

Hầu hết thời gian mặt phẳng tấm được định hướng theo chiều ngang. Tất cả các vật thể phẳng, nhẹ đều hoạt động theo cách tương tự, và các tinh thể băng hình lục giác cũng vậy - chúng rơi từ từ, giảm thiểu góc giữa mặt phẳng của chúng và phương ngang. Khi ánh sáng từ Mặt trời đi qua một không gian chứa đầy tinh thể băng trên đường tới chúng ta, người ta có thể quan sát thấy một hiện tượng quang học tuyệt đẹp gọi là quầng mặt trời (hình2). Hầu hết các tia nắng mặt trời đều có trước

Hình 3

Sự phản chiếu từ các tinh thể nổi, mặt phẳng của chúng tạo ra các góc hơi khác so với phương ngang, dẫn đến thực tế là chúng ta nhìn thấy một cột mặt trời (hình4). Theo cơ chế xảy ra, hiện tượng này rất giống với đường đi của mặt trời trên mặt biển hơi gợn sóng.

Hình 2

Hình 4

vỡ trong lăng kính của các tinh thể băng, nó lệch đi một góc khoảng $22^\circ$. Do đó, nhìn vào Mặt trời, chúng ta thấy nó được bao quanh bởi một vòng màu trắng có đường kính góc $44 ^\circ$. Dễ dàng nhìn thấy quầng sáng nhất vào lúc bình minh, khi độ cao của Mặt trời thấp. Trong trường hợp này, tia nắng mặt trời truyền một phần đáng kể đường đi của chúng qua đám mây tinh thể băng. Khi Mặt trời ở vị trí cao, chiều dài của

Tại sao các tinh thể băng làm chệch hướng tia nắng mặt trời $22^\circ$? Để trả lời câu hỏi này, hãy xem xét đường đi của tia mặt trời xuyên qua một tinh thể (hình5). Rõ ràng, chỉ những tia tới mặt LM sau khúc xạ mới lệch khỏi hướng ban đầu. Do đó, để dễ tính toán, bạn có thể thay lăng kính lục giác của tinh thể băng bằng lăng kính tam giác có độ lệch