Cuộc phiêu lưu mới của Pinocchio

28

KVANT 2014/№2

Cuộc phiêu lưu mới của Pinocchio

Truyện cổ tích hình học

S. DVORYANINOV

KHI BURATINO RẤT NHỎ, bố Carlo đã đưa cậu đi dạo. Nhưng Pinocchio đã lớn lên và bắt đầu đi học tiểu học. Và ông già Carlo vừa nhận được rất nhiều đơn đặt hàng sản xuất đồ nội thất bằng gỗ, công việc của ông tăng lên và thời gian rảnh rỗi theo đó cũng giảm đi. Đó là lúc Pinocchio bắt đầu đòi được đi dạo một mình. – Papa Carlo, thị trấn của chúng ta được bao quanh bốn phía bởi những khu rừng, lùm cây và công viên xinh đẹp trông giống như những khu rừng! Ở đó thật tuyệt vời! Hãy để tôi đi đến đó! Và để không bị lạc, tôi sẽ mang theo một chiếc la bàn! “Chà,” cha anh trả lời, “con không nhỏ, nhưng cha sẽ không đưa cho con một chiếc la bàn mà là một thiết bị định vị GPS.” Ngày mai, để bắt đầu, hãy ghé thăm Square Forest và tôi sẽ thiết lập công cụ điều hướng để nó chỉ cho bạn hướng vuông góc với các cạnh của khu rừng này. Và thế là Pinocchio đến Square Forest sau giờ học. - Ồ, chuyến đi thế nào rồi? – Bố Carlo hỏi anh. Bạn có thích nó không? - Vâng, tất nhiên rồi, chỉ có điều tôi đã đi trên cùng một con đường từ mép này sang mép kia hai lần, qua lại (hình1,a). Rời khỏi điểm bắt đầu S và quay trở lại điểm đó. Tôi có thể chọn một con đường thú vị hơn không? - Có thể. Hãy đến Rừng Tứ Giác vào ngày mai. Và người điều hướng sẽ chỉ cho bạn hướng đi dọc theo các đường chéo của hình tứ giác này. Buratino bước ra khỏi cổng thành, ngay lập tức thấy mình đang ở bìa rừng và bật hoa tiêu. Tôi đến một bên của hình tứ giác, rồi đến bên kia, v.v., luôn chuyển động song song

Hình 1

các đường chéo của tứ giác (hình1,b). Và thật ngạc nhiên, anh đã tìm lại được chính mình ngay từ đầu cuộc hành trình - ở điểm xuất phát S! “Papa Carlo,” Pinocchio nói vào buổi tối, “Hôm nay tôi thật may mắn: tôi đã bắt đầu cuộc hành trình của mình ở một điểm tuyệt vời, trùng với điểm cuối của cuộc hành trình của tôi!” – Ở đây có gì bất thường? Nếu bạn bắt đầu tại bất kỳ điểm nào trên cạnh và di chuyển song song với các đường chéo của tứ giác, bạn sẽ luôn quay lại điểm xuất phát. – Được rồi, ngày mai tôi sẽ kiểm tra câu nói này, tôi sẽ bắt đầu từ một điểm khác. Hãy xem liệu tôi có quay lại từ đầu không. – Cho dù có quay lại, bạn cũng chỉ xác nhận lời nói của tôi chứ không chứng minh được lời nói. Và nói chung, cho dù có bao nhiêu ví dụ để xác nhận tuyên bố, chúng cũng không chứng minh được điều gì. Sau đó trong vài ngày nữa, Buratino đi bộ qua Rừng Tứ giác, bắt đầu cuộc hành trình của mình ở những điểm khác nhau, nhưng luôn quay lại điểm xuất phát.

Bài toán 1. Kiểm tra phát biểu của Papa Carlo về tứ giác của bạn và cố gắng chứng minh điều đó.

Một tuần sau, Pinocchio đến Rừng Tam Giác. Tên rất rõ ràng: khu rừng có hình tam giác. – Papa Carlo, hãy cài đặt hoa tiêu để con quay trở lại điểm xuất phát của cuộc hành trình một lần nữa. - Pinocchio hỏi. – Tôi đã quen với những chuyến đi như vậy, và bài hát nói: nhưng thật tuyệt khi được trở về dưới mái nhà của mình! – Được rồi, ngày mai hoa tiêu sẽ đưa các bạn song song với các cạnh của Rừng Tam Giác. Buratino lại đến bìa rừng và lên đường. Sau hai lượt, anh lại thấy mình ở bức tường thành, nhưng không phải nơi anh bắt đầu cuộc hành trình (hình1,c). “Người định hướng chắc chắn đã đi lạc đường,” Buratino gợi ý. – Xảy ra trường hợp công nghệ thất bại. Chà, tôi sẽ kiểm tra và đi bộ xuyên rừng một lần nữa. Tuyến đường mới của anh bao gồm ba đoạn mới song song với các cạnh của tam giác. Nhưng rồi, ở cuối hành trình, điểm về đích của anh lại trùng với điểm xuất phát! - Không, máy định vị đang hoạt động. Như Papa Carlo đã hứa, di chuyển song song với các cạnh của tam giác, tôi sẽ luôn quay trở lại điểm đầu của con đường. Chỉ có cách của tôi

29

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

TRẺ EM HỌC SINH

bây giờ bao gồm sáu phân đoạn! – Pinocchio kết luận. “Con nói đúng,” bố Carlo xác nhận trong bữa tối hôm đó. – Hành trình của bạn có thể gọi là một thí nghiệm toán học. Thí nghiệm dẫn bạn đến một số giả thuyết. Bây giờ hãy chứng minh rằng giả thuyết này là đúng.

Bài toán 2. Chứng minh rằng, đi từ một điểm tùy ý trên cạnh của một tam giác song song với các cạnh của nó, sau khi đi qua sáu đoạn thẳng chắc chắn chúng ta sẽ quay về điểm xuất phát.

“Tuy nhiên,” Papa Carlo tiếp tục, “ở bìa Rừng Tam giác có một điểm mà sau khi bắt đầu con đường vào thời điểm này, bạn sẽ quay lại đó sau khi chỉ đi qua ba đoạn thẳng.” – Thôi, ngày mai tôi sẽ cố gắng tìm và đoán một điểm như vậy! “Đừng vội,” Papa Carlo phản đối. - Trên một đoạn có vô số điểm. Không thể kiểm tra và xác minh tất cả chúng. Bạn đã học những kiến ​​thức cơ bản về hình học rồi phải không? Hãy lấy giấy, bút chì và tìm điểm này! Buratino đã làm được điều đó.

Bài toán 3. Tìm một điểm trên cạnh của tam giác mà từ đó xuất hiện một đường gãy ba mắt xích khép kín với các đỉnh ở các cạnh và các mắt xích song song với các cạnh của tam giác.

Vài ngày nữa trôi qua, Pinocchio đã đến Khu rừng Tam giác Đúng nghĩa. Nói cách khác, khu rừng này có hình dạng đều đặn, hay nói cách khác là một tam giác đều. Bây giờ người điều hướng chỉ ra hướng vuông góc với cạnh của hình tam giác. – Và tôi sẽ quay lại điểm xuất phát lần nữa? - Pinocchio hỏi vào buổi sáng. “Đúng, nhưng chỉ dành cho một điểm khởi đầu đặc biệt thôi,” Papa Carlo trả lời. – Có đúng hai điểm như vậy ở bìa rừng. Họ chia cạnh thành ba phần bằng nhau. Từ một cái bạn phải di chuyển theo chiều kim đồng hồ và từ cái kia ngược chiều kim đồng hồ. Sau khi hoàn thành ba đoạn thẳng, chắc chắn bạn sẽ quay lại điểm đầu của con đường. Pinocchio đã làm đúng điều đó (hình 1, g). Anh ta đi dọc theo một đường đứt ba đoạn (màu đỏ) và một đường đứt đoạn khác (màu xanh). Và một ngày nọ, anh quyết định tìm ra đường đi dọc theo các đường vuông góc đối với một điểm xuất phát tùy ý. Và vì vậy, sau khi đã bỏ một miếng bánh và một bình nước vào cặp đi học, điều gì sẽ xảy ra nếu chặng đường trở nên dài? – anh ta lên đường. Lúc đầu chẳng có gì thú vị cả. Sau khi vượt qua ba đoạn (chúng được hiển thị bằng màu xanh lam trên hình 2), anh lại thấy mình ở bìa rừng gần bức tường thành. Tại đây anh không dừng lại, tiếp tục di chuyển theo chỉ dẫn của hoa tiêu. Bây giờ anh ấy đã hoàn thành thêm ba phần màu xanh lam nữa. Ba đoạn tiếp theo trên con đường của anh ấy có màu đỏ. Mỗi lần đến rìa, anh ấy đều đánh dấu trên cát điểm mà anh ấy đã tìm thấy chính mình. Và vì vậy, khi di chuyển không mệt mỏi dọc theo một đường đứt đoạn vuông góc với các cạnh của tam giác, Buratino nhận thấy rằng con đường của mình chạy dọc theo đường đã thấy.

Hình 2

đến nơi của họ! Và những dấu vết mà anh ta tạo ra ở bìa rừng hóa ra ngày càng gần điểm xuất phát của con đường tam giác của anh ta, được hiển thị ở hình 1,g. Cuối cùng anh ta mệt mỏi và trở về nhà. - Papa Carlo, điều gì sẽ xảy ra nếu con tiếp tục đi theo đường vuông góc với các cạnh của một tam giác đều? – Pinocchio hỏi sau khi nói về những quan sát của mình. – Liệu cuối cùng tôi có đi theo một quỹ đạo hình tam giác khép kín không? Tôi sẽ đi bao nhiêu vòng trong rừng? “Đáp số vậy đấy, người du hành trẻ tuổi và người yêu hình học của tôi,” Papa Carlo bắt đầu. – Nói về mặt lý thuyết thì không thể đi vào quỹ đạo hình tam giác được. Đường dẫn của bạn sẽ bao gồm vô số liên kết. Nhưng bạn càng đi bộ lâu thì ba mắt xích liên tiếp trên con đường của bạn sẽ càng nằm gần các cạnh của tam giác mà bạn đã đi qua, di chuyển từ một điểm đặc biệt ở rìa. Theo đó, ở bìa rừng, bạn sẽ thấy mình ngày càng gần hơn với một điểm xuất phát đặc biệt, chia chiều dài của bìa rừng theo tỷ lệ 1:2. - Rất thú vị! - Buratino kêu lên. – Tôi có thể chứng minh điều này một cách chặt chẽ về mặt toán học không? - Thử! Điều này đòi hỏi kiến ​​thức về tiến triển hình học. Vì vậy, bằng chứng về những gì tôi đã nói với bạn có thể được đặt sang một bên bây giờ. Và việc tiến hành một thí nghiệm toán học trên giấy không hề khó khăn chút nào.

Bài toán 4. Vẽ lên giấy một số đường thẳng có thể có của đường đi có thể có của Pinocchio dọc theo đường vuông góc với các cạnh của một tam giác đều và đảm bảo rằng chúng thực sự tiếp cận một trong các đường tam giác ở hình 1,g.

Điều này kết thúc câu chuyện của chúng ta về chuyến đi bộ của Pinocchio qua những khu rừng xung quanh. Rồi trong cuộc đời anh ấy sẽ thực hiện nhiều hành trình thú vị khác nhau, trong đó hình học sẽ luôn giúp ích cho anh ấy. Nhưng chúng ta sẽ nói về chúng vào lúc khác.