Bài toán M2366—M2373; F2373—F2379

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này nên được gửi đến địa chỉ sau: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 1–2015” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2366” hoặc “F2373”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2366 – M2369, М2370а, M2373 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XXXVI, bài toán M2371, M2372 – tại XVIII A.N. Cúp tưởng niệm Kolmogorov.

Bài toán M2366–M2373, F2373–F2379

M2366. Kể từ đầu năm học, Andrei đã ghi điểm môn toán. Khi anh ấy nhận được một xếp hạng khác (2, 3, 4 hoặc 5), anh ấy gọi đó là điều bất ngờ nếu cho đến thời điểm đó nó xảy ra ít thường xuyên hơn mỗi xếp hạng có thể có khác. (Ví dụ: nếu ngay từ đầu năm anh ấy đã nhận được các điểm liên tiếp là 3,4,2,5,5,5,2,3,4,3, thì năm điểm đầu tiên và bốn điểm thứ hai sẽ là điều bất ngờ.) Trong cả năm học, Andrei nhận được 40 điểm - 10 điểm trong số năm, bốn, ba và hai (không biết theo thứ tự nào). Có thể nói chính xác có bao nhiêu xếp hạng bất ngờ đối với anh ấy? E. Bakaev

M2367. Chứng minh rằng trong mọi đa giác ngoại tiếp một đường tròn đều có ba cạnh để tạo thành một tam giác. T. Kazitsyna, B. Frenkin

M2368. Bên trong một tam giác vuông, người ta dựng hai đường tròn bằng nhau sao cho đường tròn đầu tiên tiếp xúc với một chân và cạnh huyền, đường tròn thứ hai tiếp xúc với chân kia và cạnh huyền, các đường tròn này cũng chạm vào nhau. Gọi M và N là điểm tiếp tuyến của đường tròn với cạnh huyền. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn MN nằm trên phân giác góc vuông của tam giác. E. Bakaev

M2369. Grisha viết 100 con số lên bảng. Sau đó, ông tăng mỗi số lên 1 và nhận thấy tích của cả 100 số không thay đổi. Anh ta lại tăng mỗi số lên 1, và một lần nữa tích của tất cả các số không thay đổi, v.v. Tổng cộng, Grisha đã lặp lại quy trình này k lần và tất cả k lần tích của các số đều không thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của k. I. Bogdanov, G. Galperin

M2370. Có phải tất cả các ước tự nhiên của số 100 đều có thể? (gồm 1 và chính số đó) chia: a) thành hai nhóm; b) thành 100 nhóm sao cho các nhóm có cùng số số và tích các số ở nhóm thứ nhất bằng tích các số ở nhóm thứ hai? c) Tìm mọi n tự nhiên sao cho có thể chia tất cả các ước của số n thành hai nhóm sao cho các nhóm có cùng số số và tích các số của nhóm thứ nhất bằng tích các số của nhóm thứ hai. M. Malkin

M2371. a) Chúng ta gọi tâm của một góc có ba ô là điểm thuộc cả ba ô của nó. Bàn cờ $99 \times 99$ được bao phủ hoàn toàn bằng ba góc vuông không chồng lên nhau, sau đó mỗi góc được xoay quanh tâm của nó $90^\circ$ (theo một trong hai hướng). Chứng minh rằng trong trường hợp này một số hình vuông trên bảng hóa ra bị che khuất bởi một góc duy nhất. b) Giải bài toán nếu mỗi góc có thể xoay quanh tâm của nó bằng $90^\circ$ hoặc $180^\circ$. A. Gribalko

$M2372^{*}$. Cho một hình cầu Ω và một điểm P bên trong nó. Ba cặp dây vuông góc $AA ', BB '$ và $CC '$ được vẽ qua P. Điểm $X, X '$ là hình chiếu của điểm P trên mặt phẳng ABC và $A ' B ' C '$. Chứng minh rằng mọi đường thẳng $XX '$ đều đi qua một điểm. A. Zaslavsky

$M2373^{*}$. Ở một số nước, cát vàng và bạch kim được đánh giá cao. Vàng có thể đổi lấy bạch kim, và bạch kim lấy vàng với tỷ lệ được xác định bởi các số tự nhiên g và p như sau: x gam cát vàng tương đương với y gam cát bạch kim, nếu xg = yp (các số x và y có thể không phải là số nguyên). Bây giờ tại ngân hàng