Kvant 2016, số 4 · Trang

10

KVANT 2016/№4

so với quang học vật lý"), đọc năm 1803. (Bài giảng của Baker là một giải thưởng được trao hàng năm bởi Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn vì những đóng góp cho sự phát triển của khoa học tự nhiên. Young đã nhận được giải thưởng này ba lần.) Chùm ánh sáng và mặt sóng. Trong quang học hình học, một trong những đối tượng nghiên cứu chính là một nguồn điểm, từ đó các tia sáng phân kỳ theo các hướng khác nhau. Theo thuật ngữ hiện đại, đây là thứ giống như một đèn LED nhỏ, mà chúng ta nhìn từ khoảng cách vài mét mà không phân biệt kích thước của nó. Một tình huống khác cũng quan trọng khi một nguồn có kích thước giới hạn nằm ở một khoảng cách khổng lồ so với chúng ta. Khi đó các tia phát ra từ nó thực tế là song song. Một nguồn như vậy được gọi là ở khoảng cách vô cùng, và chùm tia phát ra từ nó là song song. Chính xác là những chùm tia đó đến từ các ngôi sao ở xa, và hầu như chùm tia như vậy đến từ mặt trời. của một nguồn điểm, mặt sóng là một hình cầu (vòng tròn), tâm của nó trùng với vị trí của nguồn Trên hình 20, rõ ràng là đối với mỗi chùm ánh sáng này, hai mặt sóng bất kỳ đều cách đều nhau.

Hình 21. Sóng ánh sáng, các mặt trước liền kề cách đều nhau, khoảng cách giữa chúng bằng bước sóng

Nếu truyền trong không gian thì đó là sóng cầu. Nhưng hình giống nhau có thể được nhìn nhận theo cách khác. Chúng ta có thể giả sử rằng mặt sóng ban đầu là một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình và đi qua tâm của nó. Sau đó chúng ta đang xử lý một sóng hình trụ. Sự can thiệp. Hình 21 cực kỳ đơn giản. Điều gì xảy ra khi bạn chồng hai trong số hình này bằng một sự thay đổi? Nói cách khác, điều gì xảy ra khi hai sóng đơn sắc có cùng bước sóng chồng lên nhau? Hóa ra hình ảnh ngay lập tức bị biến đổi - chúng ta quan sát thấy sự giao thoa. Ở hình 22, hai nguồn được dịch chuyển theo chiều ngang so với nhau một vài bước sóng. Ngay cả khi điểm quan sát cách xa cả hai nguồn một chút thì các mặt sóng đến điểm đó gần như song song. Và gần điểm mà các mặt trước đến với sự dịch chuyển của một số nguyên bước sóng, chúng đơn giản trùng khớp. Một mặt, biên độ của sóng ở đó tăng gấp đôi, mặt khác, ở gần điểm này chúng ta thấy rất nhiều màu trắng. Sơn màu trắng

Hình 20. Dầm và mặt trước vuông góc, mặt trước cách đều nhau

những thứ kia. các đoạn tia sáng chứa giữa các mặt trước này bằng nhau. Sóng ánh sáng đơn sắc. Nếu chúng ta có một chùm tia sáng đơn sắc thì chúng ta có thể nói rằng sóng ánh sáng tương ứng là một tập hợp các mặt sóng cách nhau một khoảng bằng bước sóng. Đối với một nguồn điểm, nó sẽ có dạng như hình 21. Nếu chúng ta giả sử rằng sóng ánh sáng truyền trong mặt phẳng hình thì đương nhiên người ta gọi nó là hình tròn. Nếu sóng từ một nguồn điểm

Hình 22. Giao thoa (Thí nghiệm Jung, vành Newton, cung cấp cao hơn)

11

CẦU VỒNG

DESCARTES–NEWTON– TRẺ

vùng màu là vùng giao thoa tăng cường nơi cường độ ánh sáng tăng lên. Nếu các mặt sóng đến một điểm quan sát nhất định với sự dịch chuyển của một số lẻ nửa sóng, thì ở đó các sóng sẽ triệt tiêu lẫn nhau và mặt phẳng trở thành hoàn toàn có màu đỏ. Ở đây chúng tôi quan sát các khu vực có sự can thiệp mang tính hủy diệt. Có thể nói, vào ngày hình 22, các khu vực có giao thoa mang tính xây dựng được mã hóa bằng màu trắng và các khu vực có giao thoa mang tính hủy diệt được mã hóa bằng màu đỏ.

Bài tập 8. Chứng minh rằng trên hình 22 vùng giao thoa tăng cường và triệt tiêu nằm dọc theo các hyperbol, tiêu điểm của chúng là hai nguồn điểm mà từ đó sóng tròn phân kỳ. Để chứng minh thực tế này, hãy sử dụng định nghĩa hình học của hyperbol.

Trong các bài giảng của Young xuất bản năm 1807, có một hình tương tự, mà ông sử dụng vừa để mô tả sự giao thoa của sóng nước vừa để mô tả sự giao thoa của sóng ánh sáng. Thí nghiệm khe đôi Young và vành Newton. Đây là hai trong số những thí nghiệm giao thoa nổi tiếng nhất được Young giải thích và chúng tôi sẽ minh họa bằng hình $22._{i}$ Bạn có thể tưởng tượng rằng hai khe trong thí nghiệm của Young là hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình 22, từ đó hai sóng hình trụ truyền đi. Chúng ta đặt một màn hình phẳng trong không gian vuông góc với mặt phẳng hình và song song với đường thẳng nối các nguồn. Các sóng hình trụ giao thoa và, như hình 22 hiển thị, sự xen kẽ giữa sáng và tối $полос._{i}$ sẽ xuất hiện trên màn hình. Bây giờ hãy tưởng tượng rằng chúng ta đang xét hai nguồn điểm mà từ đó hai sóng cầu lan truyền. Chúng ta đặt màn hình phẳng vuông góc với đường thẳng nối các nguồn. Lần này, hai sóng hình cầu giao thoa nhau, và như hình 22 cho thấy, các vòng sáng và tối xen kẽ sẽ xuất hiện trên màn hình. Đây đại khái là cách các vòng Newton được hình thành. Chỉ ở đó, nó không giao thoa với các sóng hình cầu phân kỳ mà là các sóng hội tụ - mỗi sóng ở trung tâm riêng của nó. Cầu vồng của Jung - vòng cung có trật tự cao hơn. Trên thực tế, cầu vồng cũng là một mảnh của hình 22. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh điều này. Trước tiên, chúng ta hãy quay lại Hình 7 và 8 (xem phần đầu tiên của bài viết) và phóng không phải 101 chùm tia khi thả mà là

Hình 23. Tia và mặt trước vuông góc, mặt trước cách đều nhau

Tổng cộng là 11. Và ngay lập tức vẽ các mặt sóng vuông góc với tia sáng (hình23). Ở lối vào của một giọt bán kính đơn vị, chúng ta có một chùm tia song song và theo đó, một nhóm các mặt trước song song với nhau, cách nhau một bước sóng. Đi vào giọt nước, các tia bị khúc xạ và các mặt trước bị cong. Hơn nữa, bên trong giọt nước, khoảng cách giữa các mặt trước giảm n lần, trong đó n = 4/3 là chiết suất của nước. Nhưng bước sóng ánh sáng giảm chính xác như nhau. Vì vậy, trong nước các mặt sóng cũng cách đều nhau và khoảng cách giữa chúng cũng bằng bước sóng ánh sáng. Bây giờ chúng ta hãy quan sát các mặt sóng khi chúng thoát ra khỏi điểm rơi. Mỗi mặt trước như vậy bao gồm hai cung (xem hình23). Cung lớn vuông góc với các tia phát ra có chiều cao đi vào của giọt từ 0 đến 0,86 bán kính giọt (xem hình7). Và cung nhỏ hơn vuông góc với tia đi ra có chiều cao đi vào từ 0,86 đến 1 (xem hình8). Hệ thống các cung lớn cũng tương tự như các cung tròn có tâm chung nằm ở bên phải giọt nước. Hệ thống các cung tròn nhỏ hơn cũng tương tự như các cung tròn nhưng có tâm chung nằm ở phía dưới của giọt nước. Do đó, các mặt trận mới nổi tạo thành một mảnh của một mô hình nhất định tương tự như mô hình được hiển thị trong hình 22 và phải can thiệp. Lý do duy nhất chúng tôi không thấy hiện tượng giao thoa là vì chúng tôi lấy bước sóng quá lâu ở mức hình. Ngay khi bước sóng giảm xuống, hình ảnh giao thoa sẽ ngay lập tức xuất hiện (hình24). Ở đây, vân giao thoa ánh sáng liền kề với các điểm góc của mặt trước sóng tạo thành một góc $42^\circ$ và xác định hướng của tia đầu tiên

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này nên được gửi đến địa chỉ sau: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 4–2016” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2429” hoặc “F2435”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2429–M2432, M2433a, M2434, M2435 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic Toán toàn Nga XLII dành cho học sinh. Bài toán F2440 đã được trao tại Olympic quốc tế XXIII “Tuymaada” (vật lý).

Bài toán M2429–M2435, F2435–F2442

M2429. Có 30 đội trong Hiệp hội Bóng rổ Quốc gia, mỗi đội chơi 82 trận đấu thường xuyên trong mùa giải với các đội khác mỗi năm. Liệu ban quản lý Hiệp hội có thể chia các đội (không nhất thiết phải bằng nhau) thành các giải Đông và Tây và lên lịch thi đấu sao cho các trận đấu giữa các đội từ các giải khác nhau chiếm đúng một nửa tổng số trận đấu? A. Gribalko

M2430. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 chín (không nhất thiết phải khác nhau) tạo thành các số có chín chữ số; Mỗi chữ số được sử dụng đúng một lần trong mỗi số. Số số 0 lớn nhất có thể tận cùng bằng tổng của chín số này là bao nhiêu? N. Agakhanov

M2431. Đường tròn $\omega$ tiếp xúc với các cạnh của góc BAC tại các điểm B và C. Đường thẳng l cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại các điểm K và L. Đường tròn $\omega$ cắt l tại các điểm P và Q. Chọn các điểm S và T trên đoạn BC sao cho KS P AC và LT P AB. Chứng minh rằng các điểm P, Q, S, T cùng thuộc một đường tròn. I. Bogdanov, P. Kozhevnikov

M2432. Hình vuông được chia thành $n^{2} \ge 4$ hình chữ nhật $2 ( n - 1 )$ bằng các đường thẳng, trong đó n – 1 song song với một cạnh của hình vuông, n – 1 còn lại song song với cạnh kia. Chứng minh rằng có thể chọn 2n hình chữ nhật có phân vùng sao cho với hai hình chữ nhật được chọn bất kỳ, một trong số chúng có thể được đặt bên trong hình chữ nhật kia (có thể xoay trước). S. Berlov

M2433. Cho một đa thức bậc ba f(x). Hãy gọi một chu trình là bộ ba số phân biệt ( a, b, c ) sao cho f ( a ) = b, f ( b ) = c và f ( c ) = a. Được biết, họ đã được tìm thấy

tám chu kỳ $( a_{i}, b_{i}, c_{i} ), i = 1, 2,$…, 8, bao gồm 24 số khác nhau. Chứng minh rằng trong tám số có dạng $a_{i} + b_{i} + c_{i}$ có ít nhất: a) ba số khác nhau; b) bốn cái khác nhau. A. Golovanov, F. Petrov

M2434. Đường tròn $\omega$ nội tiếp tam giác ABC có AB < AC. Đường tròn ngoại tiếp của tam giác này tiếp xúc với cạnh BC tại $A '$. Điểm X được chọn trên đoạn $A ' A$ sao cho đoạn $A ' X$ không cắt nhau $\omega$. Các tiếp tuyến từ X đến $\omega$ cắt đoạn BC tại các điểm Y và Z. Chứng minh rằng tổng XY + XX không phụ thuộc vào việc chọn điểm X. I. Mitrofanov

M2435. Một điểm X được chọn bên trong một hình 100 lồi không nằm trên bất kỳ cạnh hoặc đường chéo nào của nó. Ban đầu, các đỉnh của đa giác không được đánh dấu. Petya và Vasya thay phiên nhau đánh dấu các đỉnh chưa được đánh dấu của 100-gon, Petya bắt đầu và đánh dấu hai đỉnh cùng một lúc bằng nước đi đầu tiên của mình, sau đó mỗi người đánh dấu một đỉnh bằng nước đi tiếp theo. Người thua cuộc là người có điểm di chuyển X nằm bên trong đa giác có các đỉnh được đánh dấu. Chứng minh rằng Petya có thể giành chiến thắng dù Vasya di chuyển thế nào. S. Berlov, F. Petrov

F2435. Một hòn đá được ném với vận tốc ban đầu $v_{0}$ một góc $\alpha$ so với phương ngang và nó luôn di chuyển ra xa điểm ném. Ở góc độ nào $\alpha$ điều này có thể thực hiện được? Không có ma sát. A.Zilberman

F2436. Cầu nối hai bờ sông trong mặt cắt có dạng vòng cung lồi hướng lên trên có bán kính R = 200 m. Khoảng cách giữa các trụ đỡ cuối cùng của cầu trên bờ sông là R/2 = 100 m. Con đường bên bờ êm ả hòa vào mặt cầu. Tre- hệ số

20

KVANT 2016/№4

Các giải đấu bóng đá và tiến trình số học

Vào năm 2012, bài toán sau đây đã được đề xuất tại Olympic Toán học LXXV Moscow. 75 đội tham dự giải bóng đá một vòng (thắng – 3 điểm, hòa – 1, thua – 0). Khoảng cách điểm nhỏ nhất có thể có giữa đội đầu tiên và đội cuối cùng là bao nhiêu nếu không có hai đội bằng điểm nhau? Vì khoảng cách tối thiểu giữa các đội liền kề là một điểm nên hiển nhiên khoảng cách giữa đội đầu tiên và đội cuối cùng không thể dưới 74 điểm. Tuy nhiên, thật khó để hiểu liệu ước tính này có thể đạt được hay không. Để tìm hiểu, điều tự nhiên là bạn nên bắt đầu bằng cách xem xét các giải đấu có số lượng người tham gia ít. Sau khi xem qua tất cả các giải đấu có 2 hoặc 3 người tham gia, thật dễ dàng để đảm bảo rằng những giải đấu bạn đang tìm kiếm không nằm trong số đó. Nhưng có thể xây dựng một giải đấu như vậy cho 4 đội (Bảng 1).

Bảng 1

Các nỗ lực cũng thành công đối với một số giá trị tiếp theo của số lệnh n. Do đó, nảy sinh giả định rằng các giải đấu tương ứng tồn tại với mọi n > 3. Điều này thực sự là như vậy; chính xác hơn, tuyên bố sau đây là đúng. Đối với $n \ge 4$ bất kỳ, sẽ có một giải đấu vòng tròn gồm n đội, trong đó các đội ghi được n – 2, n – 1, n, …, 2n – 3 điểm. Hãy chứng minh bằng quy nạp. Với n = 4, chúng ta đã xây dựng được giải đấu cần thiết. Giả sử rằng chúng ta có một giải đấu như vậy dành cho n đội và chúng tôi sẽ hướng dẫn cách thêm một đội mới vào giải đấu đó. Hãy sắp xếp các đội cũ theo thứ tự điểm giảm dần và để đội mới thắng đội nhất, thua đội thứ hai và thứ ba, thắng đội thứ tư, thua đội thứ năm và thứ sáu, v.v. (với thời gian là 3) cho đến khi cô ấy còn một, hai hoặc ba đội để thi đấu (tùy theo số dư của n khi chia cho 3). Trong trường hợp đầu tiên, đội mới đấu với đội cuối cùng với tỷ số hòa. Trận thứ hai, anh ta hòa với người áp chót và thua người cuối cùng, ở trận thứ ba, anh ta hòa với người cuối cùng, thua người áp chót và thắng người thứ ba từ dưới lên. Bằng cách tính toán trực tiếp, chúng tôi tin chắc rằng trong cả ba trường hợp, chúng tôi đều nhận được sự phân bổ số điểm mà chúng tôi cần.

điểm d tự nhiên mà các đội ghi được có thể tạo thành một cấp số cộng với chênh lệch d? Để hoàn thiện, chúng ta có thể đặt d là 0, trong trường hợp đó rõ ràng giải đấu mong muốn tồn tại (ví dụ: nếu tất cả các trận đấu đều kết thúc với tỷ số hòa). Với mọi n, trường hợp d = 3 có thể xảy ra (nếu đội thứ nhất thắng tất cả mọi người, đội thứ hai thắng tất cả mọi người ngoại trừ đội đầu tiên, v.v.). Cũng rõ ràng là sự khác biệt không thể lớn hơn 3 (tại sao?). Vì vậy, điều còn lại đối với chúng ta tiếp theo là nghiên cứu trường hợp d = 2. Hãy bắt đầu lại với các giá trị nhỏ của n. Đối với n = 2 và n = 3 thì không có giải đấu bắt buộc, đối với n = 4 thì có (Bảng 2).

Bảng 2

Nhưng với n = 5 thì không thể xây dựng được một giải đấu. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng điều này thực sự là không thể. Nếu số điểm ghi được tạo thành một cấp số cộng với hiệu là 2 thì tổng của chúng được chia cho 5. Vì tổng số trận trong một giải đấu năm đội là 10, nên chúng ta thu được rằng tổng số điểm ghi được là 30 nếu tất cả các trận đấu kết thúc với chiến thắng cho một trong các đội và mỗi trận hòa sẽ giảm tổng số điểm này đi 1. Do đó, 0, 5 hoặc 10 trận đấu phải kết thúc với tỷ số hòa. Nếu không có trận hòa thì số điểm mỗi đội là bội số của 3 và không thể chênh lệch 2, còn 10 trận hòa thì tất cả các đội đều ghi được 4 điểm. Hãy xem xét trường hợp 5 trận hòa. Khi đó tổng số tiền là 25, tức là các đội phải ghi được 9, 7, 5, 3 và 1 điểm. Nhưng chỉ có một cách để ghi 9, 7, 5 và 1 điểm trong bốn ván đấu: lần lượt là ba thắng và một thua; hai trận thắng, một trận hòa và một trận thua; một trận thắng, hai trận hòa và một trận thua; một trận hòa và ba trận thua. Vì tổng số trận thắng phải bằng tổng số trận thua nên đội còn lại phải có số trận thắng và thua bằng nhau, điều này là không thể với 3 điểm. Tiếp tục xem xét các giá trị nhỏ của n, chúng tôi tin chắc rằng với n = 6, n = 7 và n = 8 thì tồn tại các giải đấu bắt buộc (Bảng 3, 4, 5).

Bảng 3

Bài tập 1: Kiểm tra.

Bây giờ hãy khái quát hóa bài toán và đặt câu hỏi sau. M2419. Có n đội tham gia vào một giải đấu bóng đá một vòng. Một đội thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm. Tại cái gì

Sau khi thử nghiệm thêm một vài giá trị của n, chúng ta có thể hình thành giả thuyết sau. 1) Với tất cả các số chẵn n = 2m, $m \ge 2$, có một giải đấu trong đó các đội ghi được m – 1, m + 1, m + 3, …, 5m – 3 điểm.

21

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

“QUANTA”

Bảng 4

Bảng 5

Bảng 7

Thao tác cộng hai lệnh có thể được thực hiện với n lẻ bất kỳ. Hãy để tất cả các đội cũ, ngoại trừ hai đội cuối cùng, ghi 3 điểm trước đội mới, và hai đội cuối cùng - mỗi đội một điểm, và nếu số dư của chia n cho 3 là 0 hoặc 2 thì cả hai đội này đều ghi điểm trước một trong các đội mới, và nếu là 1 thì với các đội khác. Sau đó, bạn có thể phân phối điểm giữa các đội mới để một trong số họ ở vị trí đầu tiên và đội kia ở vị trí thứ ba.

Bài tập 3. Chứng minh điều đó.

2. Đối với tất cả $n = 2m + 1, m \ge 3$ lẻ, có một giải đấu mà các đội ghi điểm m – 1, m + + 1, m + 3, …, 5m – 1 điểm. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng đây thực sự là trường hợp. Hãy bắt đầu với trường hợp chẵn. Vì chúng tôi đã xây dựng các giải đấu cho 4, 6 và 8 đội nên chỉ cần chỉ ra cách thêm sáu đội mới vào giải đấu đồng đội 2k là đủ. Hãy để mỗi đội trong k đội cũ đứng đầu thua đội mới đầu tiên và thắng năm đội mới còn lại, và để mỗi đội cũ k cuối bảng, ngược lại, thắng đội mới đầu tiên và thua năm đội mới còn lại. Các đội mới chơi với nhau, như trong ví dụ về 6 đội. Không khó để xác minh rằng kết quả sẽ là sự phân bổ điểm mong muốn.

Bài tập 2. Kiểm tra.

Hãy chuyển sang trường hợp kỳ lạ. Đầu tiên, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách thêm hai đội nữa vào giải đấu bảy đội. Cho các đội mới đấu với các đội cũ như trong Bảng 6 (dòng trên cùng là số điểm mà các đội cũ ghi được trong các trận đấu với nhau).

Bảng 6

Khi đó các đội cũ có 17, 15, 13, 11, 9, 5 và 3 điểm, còn các đội mới có 19 và 4 điểm. Nếu bây giờ đội A mới đầu tiên thua đội B thì chúng ta sẽ có được giải đấu mong muốn cho 9 đội. Bây giờ chúng ta hãy thêm hai đội nữa vào giải đấu này (Bảng 7). Và một lần nữa để đội mới C đầu tiên thua đội mới thứ hai D. Kết quả là chúng ta có được giải đấu mong muốn gồm 11 đội.

Tuy nhiên, vì chúng tôi đã có các giải đấu dành cho 7, 9 và 11 đội nên việc tiến hành tương tự như trường hợp chẵn sẽ dễ dàng hơn và thêm sáu đội mới vào giải đấu đồng đội 2k+1. Hãy để mỗi đội trong số k cũ đứng đầu thua đội mới đầu tiên và đánh bại những đội còn lại, và để mỗi đội ở k cuối bảng, ngược lại, thắng đội mới đầu tiên và thua năm đội còn lại. Cuối cùng, để đội cũ trung bình thua ba đội mới đầu tiên và giành chiến thắng trước ba đội mới còn lại. Để các đội mới chơi với nhau như trong Bảng 8.

Bảng 8

Kết quả là chúng ta có được sự phân bổ điểm mong muốn. Tuyên bố đã được chứng minh đầy đủ.

Bài tập 4. Hãy chắc chắn về điều này.

Bây giờ chúng ta có thể tóm tắt và đưa ra kết quả đáp số hoàn chỉnh cho câu hỏi được đặt ra: với d = 0 và d = 3, giải đấu bắt buộc tồn tại với mọi n, với d = 1 - với mọi n, ngoại trừ 2 và 3, với d = 2 - với mọi n, ngoại trừ 2, 3 và 5. Để kết luận, chúng tôi khuyên bạn nên suy nghĩ xem đáp số sẽ thay đổi như thế nào nếu, thay vì bóng đá, chúng ta xem xét các giải đấu trong các môn thể thao khác, chẳng hạn như bóng chuyền, khi If một trong hai đội thắng với tỷ số 3:0 hoặc 3:1, đội thắng và đội thua lần lượt nhận được 3 và 0 điểm, còn nếu tỷ số là 3:2 - 2 và 1. A. Zaslavsky

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Bài toán

Có 4 phần, mỗi phần được dán lại với nhau từ bốn hình khối và sơn màu riêng. Chúng được sử dụng để làm một viên gạch 2 ¥ 2 ¥ 4 không có lỗ (như hình hình). Phần màu trắng trông như thế nào? Văn hóa dân gian

Bảy cô gái đứng thành một hàng, như trong hình, cầm kẹo. Những cô gái bạn nhìn thấy ở bên phải Tanya có 13 viên kẹo, bên phải Ksyusha - 33, bên phải Anya - 23, bên phải Ira - 8, bên phải Valya - 27, bên phải Nadya - 16. Katya có bao nhiêu viên kẹo? Văn hóa dân gian

Malvina ra lệnh cho Pinocchio cắt hình vuông thành 7 hình chữ nhật (không nhất thiết phải khác nhau), mỗi hình có cạnh lớn gấp đôi cạnh kia. Nhiệm vụ này có thực hiện được không? Văn hóa dân gian

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6–8. Bài toán 1–3 được xuất bản cùng với tạp chí «Kvant», bài toán 4 và 5 được lấy từ Cuộc thi hùng biện Toán Moscow lần thứ XIV dành cho lớp 6–7.

Minh họa của D. Grishukova

Hai chiếc xe đua - đỏ và xanh - chạy từ thành phố A đến thành phố B trên cùng một con đường, xuất phát và về đích cùng một lúc. Đồng thời, xe xanh không bao giờ vượt xe đỏ. Có phải ít nhất 90% thời gian xe xanh đi nhanh hơn xe đỏ? Văn hóa dân gian

Cửa hàng bán hộp bút chì. Trong số đó có ít nhất năm hộp có giá khác nhau (không có hộp nào có giá giống nhau). Dù Vasya mua hai hộp bao nhiêu thì Petya luôn có thể mua hai hộp với số tiền như nhau. Số hộp bút chì nhỏ nhất cần bán là bao nhiêu? N. Martynova

23

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

TRẺ EM HỌC SINH

Giải đấu toán học XXII mang tên A.P. Savin

Giải đấu XXII A.P. Savin được tổ chức từ ngày 26 tháng 6 đến ngày 2 tháng 7 năm 2016 tại trung tâm giải trí Berendeyev Polyany (vùng Kostroma) dành cho học sinh hoàn thành lớp 6–9. Chúng tôi đã viết thêm về các giải đấu này, chẳng hạn như trong «Kvant» Số 1 năm 2015. Nếu có thắc mắc về việc tham gia, vui lòng liên hệ với chủ tịch ban tổ chức, A.D. Blinkov, qua email flashov@mccme.ru.

Yêu thích bài toán

1 (7). Một chồng mười chín tờ giấy được gấp làm đôi và ghim lại với nhau bằng hai chiếc kẹp giấy nhỏ để tạo thành một cuốn sổ tay. Trên “bìa” Sasha vẽ các đường dọc và ngang (từ mép này sang mép kia mà không chạm vào kẹp giấy). Khi anh ấy cắt cuốn sổ theo những đường này, nó đã vỡ thành 2016 mảnh riêng biệt. Sasha có thể vẽ được bao nhiêu dòng nhỏ nhất? A. Khachaturian

2 (7–8). Bắt đầu với một số tự nhiên nhất định, Petya, với mỗi bước, tăng hoặc giảm số đó theo một số chữ số của nó (có thể bằng số 0), phép cộng và phép trừ xen kẽ nghiêm ngặt. Hoạt động đầu tiên là phép cộng. Từ số tự nhiên nhỏ nhất mà Petya có thể có được năm 2016 như thế này là bao nhiêu? A. Shapovalov

3 (8). Một đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD và tiếp xúc với các cạnh AB, AD lần lượt tại các điểm K và M. Đường thẳng CK cắt đường tròn lần thứ hai tại điểm N. Tìm góc BMN. M. Volchkevich

4 (8). Trong tam giác nhọn ABC có đường phân giác $BB '$. Điểm N là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABB $'$ và đường phân giác ngoài của góc A, điểm M là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BB ' C$ và đường phân giác ngoài của góc C. Đường thẳng NM cắt đoạn $BB '$ tại điểm K. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ANK và CMK cắt nhau tại $BB '$. L.Popov

Các lớp mà nó được cung cấp được chỉ định trong ngoặc đơn sau số bài toán.

5 (8). Trong một hình lục giác lồi đều, sáu đường chéo bằng nhau. Có phải tất cả các góc của nó nhất thiết phải bằng nhau? M. Evdokimov

6 (7–8). Có thể cắt một khối lập phương thành các hình khối có kích thước khác nhau 2016 sao cho số hình khối của mỗi kích thước bằng nhau không? A. Shapovalov, I. Raskina

7 (7). Hỏi số ô vuông nhỏ nhất của một bàn cờ phải bôi nhựa đường để năm quân xe không tấn công lẫn nhau không thể xếp được vào các ô sạch là bao nhiêu? E. Bakaev

8 (7–8). Các ô vuông có kích thước $10 \times 10$ chứa đầy các con số. Chúng ta gọi một góc gồm bốn ô có thứ tự nếu ở góc này, mỗi số trong số hai số lân cận đều lớn hơn một trong các số lân cận của nó và nhỏ hơn số kia. Số lượng góc được sắp xếp lớn nhất (có thể chồng lên nhau) có thể xuất hiện trên bảng là bao nhiêu? E. Bakaev

9 (6–7). Có một đống 55 quả hạch trên bàn. Petya và Vasya thay phiên nhau đi bộ, Petya bắt đầu. Trong một lượt, bạn cần chia một trong các đống hiện có thành hai đống nhỏ hơn và thêm hai đống đai ốc nữa bằng một trong những đống đã nhận được (số lượng đai ốc bổ sung là không giới hạn). Những người không thể di chuyển sẽ bị phạt. Liệu có cậu bé nào có thể chơi theo cách chắc chắn không bị phạt không? A. Shapovalov

10 (8). Một tam giác đều cạnh N được chia bởi các đường thẳng song song với các cạnh thành các tam giác đều cạnh 1. Tại đỉnh của tam giác ban đầu có một mảnh. Petya và Vasya đang chơi một trò chơi (Petya bắt đầu). Với mỗi lần di chuyển, bạn được phép di chuyển một quân cờ đến một nút liền kề (nằm ở khoảng cách 1) của lưới tam giác, trong đó quân cờ đó trước đó không được định vị. Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Cậu bé nào có thể đảm bảo chiến thắng? R. Krutovsky

Tài liệu do A. Blinkov chuẩn bị

24

KVANT 2016/№4

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 7–9”

Chúng tôi đang bắt đầu một cuộc thi khác về lời giải toán bài toán. Chúng được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh lớp 7-9, nhưng chúng tôi hoan nghênh sự tham gia của học sinh ở mọi lứa tuổi. Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý chậm nhất là vào ngày 1 tháng 12 năm 2016 qua email tới: savin.contest@gmail.com hoặc bằng thư thông thường tới: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu là “A.P. Savin Competition”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi về của bạn. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Chúng tôi chúc bạn thành công!

1. Có thể sắp xếp nhiều quả táo vào 10 đĩa sao cho trên hai đĩa bất kỳ có 5, 8 hoặc 11 quả táo cùng nhau và cả ba phương án đều xảy ra? Nếu vậy thì có thể có bao nhiêu quả táo? Liệt kê tất cả các khả năng. O. Zaitseva-Ivrii

2. Cho hình thang ABCD có điểm M là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh rằng nếu điểm M nằm trên phân giác của góc A thì nó cũng nằm trên phân giác của góc B. E. Bakaev

cùng một nơi. Có phải mọi đỉnh của khối lập phương đều phải kết thúc ở nơi nó bắt đầu không? b) Câu hỏi tương tự về tứ diện đều (cả bốn mặt đều là tam giác đều). Văn hóa dân gian

5. a) Mỗi ​​tên cướp biển trong số 12 tên cướp biển có một lượng cát vàng nhất định. Họ có thể gặp nhau theo hai hoặc ba người; Trong cuộc họp, tất cả số cát có sẵn cho những người tham gia cuộc họp đều được chia đều. Chứng minh rằng bọn cướp biển có thể đảm bảo rằng sau vài lần gặp nhau, mọi người đều có số cát bằng nhau.

6. Bốn nhà logic A, B, C và D ngồi quanh bàn tròn theo thứ tự đó (nếu bạn đi theo chiều kim đồng hồ). Chín lá bài giống nhau (sáu, bảy, …, vua, át) được trộn lẫn và bốn trong số đó được phân phát cho các nhà logic học (mỗi lá bài cho mỗi người). Tất cả các nhà logic học đều biết điều này, nhưng mọi người chỉ nhìn thấy bản đồ của riêng mình. Các nhà logic học cũng được hỏi câu hỏi tương tự: “Thẻ của bạn có cũ hơn người hàng xóm ở bên phải không?” Sau đó, A, B, C và D lần lượt nói (theo thứ tự đó) “Tôi không biết”. D có thẻ gì? (Các nhà logic học nghe thấy đáp số lẫn nhau.) M. Evdokimov

7. a) Khối lập phương được lăn dọc theo một mặt phẳng, xoay quanh các cạnh (không bị trượt). Sau vài lần lăn, khối lập phương đã ở đúng vị trí

Cuộc thi được tổ chức chung với tạp chí «Kvant».

b) Phát biểu tương tự có đúng với 13 người không, nếu được phép gặp nhau ở bất kỳ thành phần nào, chỉ cần không phải tất cả cùng nhau và chia cát đều nhau? Văn hóa dân gian

THÔNG TIN

Ngày Vật lý ở Dubna

Từ ngày 27 đến ngày 29 tháng 3 năm 2016, Ngày Vật lý do Khoa Vật lý và Toán học liên trường và Trung tâm Giáo dục và Khoa học của Viện Nghiên cứu Hạt nhân phối hợp tổ chức, đã được tổ chức tại Nhà Văn hóa Mir ở Dubna, Vùng Moscow. Ấn tượng đầu tiên về những gì đang diễn ra trong hội trường của Nhà Văn hóa là phong trào hỗn loạn, kiểu Brown. Có rất nhiều du khách, chủ yếu là trẻ em, di chuyển xung quanh, tò mò, đổ chất lỏng, phóng những quả bóng kim loại, quan sát hiệu ứng quang học. Trong số đó, bạn có thể nhận thấy (bằng những chiếc áo phông giống hệt nhau) những người tổ chức và tình nguyện viên. Đám đông khán giả bị thu hút bởi họ như nam châm - họ tiến lên, lắng nghe, cố gắng lặp lại và chuyển sang những người tiếp theo. Và chỉ sau khi làm quen chi tiết hơn với những người tham gia kỳ nghỉ, sự tương tự với mạng lưới thần kinh mới xuất hiện - mọi người bằng cách nào đó đều được kết nối với khoa học vật lý, nhưng mọi người đều đến với nó theo cách riêng của họ. Đây là một trong những thuật toán để tham gia vào thí nghiệm Dubna. Giáo viên vật lý của trường Moscow 2086 V.V. Shchavelev, người đã đến thăm Trường dành cho giáo viên tại CERN vào mùa thu năm ngoái, đã cùng các sinh viên của mình đến Dubna để chứng minh các thí nghiệm. Một trong những học sinh của ông, Dima Grigoriev, nói: “Tôi và lớp quyết định tạo ra một chất lỏng phi Newton. Đây là tinh bột được trộn với nước theo một tỷ lệ nhất định. Các phân tử tinh bột được giữ lại với nhau, và nếu bạn tác động lên bề mặt chất lỏng, bạn sẽ có cảm giác như đang tiếp xúc với một vật rắn. Và nếu bạn đặt tay vào chất lỏng, nó sẽ chìm xuống. Hóa ra đó là một hiệu ứng thú vị.” Và trên sân khấu của hội trường nhỏ có những vị khách đến từ Cộng hòa Séc, một trong những nhà thi đấu Ostrava. Tám học sinh lớp 9 và hai giáo viên dạy tiếng Nga cùng các em trình diễn các thí nghiệm với quả cầu plasma, giải thích các quy trình,

nói về phòng tập thể dục và đồng thời luyện nói tiếng Nga. Theo tất cả các tài khoản, M.S.Nitishinsky, một giáo viên tự chọn, được công nhận là người khởi xướng Ngày Vật lý. Năm nay, anh đã cố gắng lôi kéo trường Dubna, câu lạc bộ các nhà khoa học tương lai, Bảo tàng JINR, tổ chức toán học, trường máy tính quốc tế, Đại học Dubna và thư viện phổ thông vào chu trình toán học bài toán và các thí nghiệm vật lý. Chương trình lễ hội bao gồm phần trình diễn các thí nghiệm của học sinh cuối cấp và “Đường mòn của các nhà nghiên cứu”, nơi trẻ em sẽ phải tự mình làm thí nghiệm, một buổi biểu diễn khoa học với nitơ lỏng và các trận chiến toán học, một bài giảng về lịch sử của máy gia tốc do Phó Giám đốc JINR, Thành viên tương ứng của RAS G.V. Trubnikov và một giải đấu robot. BỆNH ĐA XƠ CỨNG. Cộng sự thân cận nhất của Nitishinsky là giáo viên vật lý Dubna I.A. Lomachenkov và A.A. Leonovich. Theo quan điểm của họ, mỗi năm ngày càng có nhiều thử nghiệm mới xuất hiện tại lễ hội và ngày càng có nhiều tình nguyện viên tham gia vào công việc. Nền tảng này không chỉ giúp học sinh tiếp thu kiến ​​thức về môn học mà tại đây giáo viên có thể chia sẻ những điểm nhức nhối, nhận lời khuyên cũng như “phát hiện” các kỹ thuật, phương pháp mới. Ngày Vật lý năm nay được tổ chức nhân dịp kỷ niệm 60 năm thành lập JINR. Một số lượng lớn du khách, Dubna và những người tham gia tham quan, cùng nhiều thử nghiệm khác nhau chỉ ra rằng đã tìm thấy vectơ phù hợp, hình thức giao tiếp phù hợp với học sinh. Theo một nghĩa nào đó, Ngày Vật lý là sự phản ánh các hoạt động của JINR đối với thế giới trẻ em và thanh thiếu niên, giới thiệu về mô hình của một trung tâm khoa học quốc tế, khi hoạt động nghiên cứu khoa học diễn ra trong một cộng đồng gồm các nhà khoa học đến từ các tổ chức khác nhau. Tài liệu do G. Myalkovskaya chuẩn bị, ảnh do E. Puzynina trình bày

46

KVANT 2016/№4

tới đường thẳng $BC '$ vẽ qua điểm L và đường thẳng AB tạo thành tam giác $\Delta$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn Ω.

M. Kungozhin

lớp 11

1. Xem bài toán 1 cho lớp 10.

2. Trong không gian, cho ba đoạn thẳng $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}$ và $C_{1} C_{2}$ không nằm trong cùng một mặt phẳng và cắt nhau tại một điểm P. Gọi $O_{ijk}$ là tâm của hình cầu đi qua các điểm $A_{i}, B_{j}, C_{k}$ và P. Chứng minh rằng các đường thẳng $O_{111} O_{222}, O_{112} O_{221}, O_{121} O_{212}$ và $O_{211} O_{122}$ cắt nhau tại một điểm.

P.Kozhevnikov

3. Một số cặp bìa cứng không chồng lên nhau hình tam giác cân hình chữ nhật có chân 1 được đặt trên một tờ giấy ca-rô có kích thước $100 \times 100$; Mỗi hình tam giác chiếm đúng một nửa của một ô. Hóa ra mỗi đoạn đơn vị của lưới (bao gồm cả các phần biên) được bao phủ bởi đúng một cạnh của tam giác. Tìm số ô lớn nhất có thể không chứa một hình tam giác nào.

D. Khramtsov

4. Tất cả các mặt phẳng có phương trình $x \pm y \pm z = n$ (đối với tất cả các số nguyên n) đều được vẽ trong không gian tọa độ. Họ chia không gian thành các khối tứ diện và bát diện. Để điểm $( x_{0}, y_{0}, z_{0} )$ có tọa độ hữu tỉ không nằm trong bất kỳ mặt phẳng vẽ nào. Chứng minh rằng

có một số nguyên dương k mà điểm $( kx_{0}, ky_{0}, kz_{0} )$ nằm hoàn toàn bên trong một số bát diện của viên gạch.

A. Glazyrin

5. Cho n là một số tự nhiên. Thẻ 2n + 1 chứa số nguyên khác 0; tổng của tất cả các số cũng khác 0. Cần phải thay dấu hoa thị trong biểu thức ∗ $x^{2} n +$ ∗ $x^{n} -^{1} +$ … + ∗ x + ∗ bằng các thẻ này để đa thức thu được không có nghiệm nguyên. Có cần thiết phải làm điều này không?

I. Bogdanov

6. Cả nước có n > 1 thành phố, một số cặp thành phố được kết nối bằng đường bay thẳng 2 chiều. Hơn nữa, giữa hai thành phố bất kỳ đều có một đường hàng không duy nhất (có thể có chuyển tuyến). Thị trưởng của mỗi thành phố X đã đếm số lượng đánh số như vậy của tất cả các thành phố có số từ 1 đến n sao cho trên bất kỳ đường bay nào bắt đầu từ X, số thành phố theo thứ tự tăng dần. Tất cả các thị trưởng, ngoại trừ một người, nhận thấy rằng kết quả tính toán của họ chia hết cho 2016. Chứng minh rằng kết quả của thị trưởng còn lại cũng chia hết cho 2016.

F.Petrov

7. Xem bài toán 8 cho lớp 9.

8. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến $AM_{A}, BM_{B}$ và $CM_{C}$ cắt nhau tại điểm M. Ta dựng đường tròn $Ω_{A}$ đi qua trung điểm của đoạn AM và tiếp xúc với đoạn BC tại điểm $M_{A}$. Các vòng tròn $Ω_{B}$ và $Ω_{C}$ được xây dựng tương tự nhau. Chứng minh rằng đường tròn $Ω_{A}, Ω_{B}$ và $Ω_{C}$ có điểm chung.

A. Yakubov

người chiến thắng Olympic

lớp 9

Abdrakhmanov Marat - Chelyabinsk, FML 31, Krymsky Stanislav - St. Petersburg, Academic Lyceum FTS, Lozhkin Mikhail - Izhevsk, IEML 29, Gerasimenko Arthur - Moscow, trường 2086, Ryabov Egor - Moscow, trường 2086;

lớp 10

Dmitrieva Maria - Moscow, Lyceum “Trường thứ hai”, Virachev Arseny - St. Petersburg, Tổng thống FML 239, Migrin Victor - St. Petersburg, Tổng thống FML 239, Zhukov Matvey - St. Petersburg, Tổng thống FML 239, Yagudin Amir - Kazan, Lyceum 131, Bogdanova Ekaterina – Moscow, Trường 1329, Glukhovsky Daniil – Moscow, Trung tâm Giáo dục “Trường học thứ năm mươi bảy”, Dolgikh Sergey – Rybinsk, Lyceum 2, Novikov Mikhail – Novosibirsk, Lyceum 9,

Dmitry Rybin - Yekaterinburg, Đại học Liên bang Ural được đặt theo tên của Tổng thống đầu tiên của Nga B.N. Yeltsin, Ykov Shubin - Naberezhnye Chelny, nhà thi đấu 26, Dmitry Yartsev - Chelyabinsk, FML 31, Nikita Dobronravov - Novosibirsk, Lyceum 130 được đặt theo tên của học giả M.A. Lavrentieva;

Lớp 11 Frolov Ivan - Moscow, trường 1329, Salimov Ruslan - Moscow, trường 1329, Osmankin Evgeniy - Novorossiysk, nhà thi đấu 5, Yurgin Grigory - Moscow, Lyceum “Trường thứ hai”, Veprev Georgy - Rybinsk, Lyceum 2, Karagodin Nikita - St. Petersburg, Tổng thống FML 239, Alekseev Yaroslav - St. Petersburg, FML 30 của Thống đốc St. Petersburg.

Ấn phẩm được biên soạn bởi N. Agakhanov, I. Bogdanov, P. Kozhevnikov, O. Podlipsky

52

KVANT 2016/№4

Hình 4

it), xác định khoảng cách trung bình s giữa các ô tô với tốc độ dòng chảy v và vẽ đồ thị phụ thuộc s ( v ). Để đơn giản hóa, bạn có thể giả sử rằng tất cả các ô tô đều chuyển động với cùng tốc độ và có cùng chiều dài L = 4 m. Ghi chú. Cường độ giao thông n là số lượng ô tô đi qua một người quan sát đứng yên trong một đơn vị thời gian.

M. Zamyatnin

lớp 8

Bài toán 1. Xe đạp và thuyền Một chiếc thuyền xuất phát từ bến A đến bến B ở hạ lưu sông, cùng lúc đó một người đi xe đạp xuất phát dọc bờ biển, chuyển động không đều. Khoảng cách giữa các trụ là L = 5 km. Thông tin về tốc độ của người đi xe đạp được truyền đến thuyền trưởng và anh ta phản ứng ngay lập tức, duy trì tốc độ của thuyền so với mặt nước bằng tốc độ của người đi xe đạp. Khi đến bến tàu B, thuyền nhanh chóng quay đầu và gặp người đi xe đạp ở khoảng cách s = 4 km tính từ bến tàu A. Thuyền trôi xuôi dòng bao lâu so với thời gian ngược dòng trước khi gặp người đi xe đạp? Tốc độ dòng chảy của sông u = 5 km/h.

D. Podlesny

Bài toán 2. Lên lịch với mứt Khi làm mứt, si-rô được đổ dần vào thùng lớn. Đối với phần đầu tiên có mật độ $\rho_{1}$, thêm phần thứ hai có mật độ $\rho_{2}$, sau đó thêm phần thứ ba có mật độ $\rho_{3}$. Biểu đồ (hình5) cho thấy mật độ trung bình của chất trong bể thay đổi như thế nào

Một người thử nghiệm xi-rô trẻ tuổi khi bình đầy. Thật không may, mứt làm sẵn đã bị rơi vào biểu đồ và một số thông tin đã biến mất. Tìm khối lượng của mỗi phần xi-rô. Hỏi thể tích $V_{0}$ của bể đã đầy bao nhiêu khi khối lượng riêng trung bình của chất chứa là $\rho_{0} = 1250$ kg $м^{3}$?

M. Zamyatnin

Bài toán 3. Eureka Người ta kể rằng một ngày nọ, Archimedes, khi tìm được điểm tựa, đã nâng mình và bồn tắm lên bằng hệ thống các khối (hình6). Khối lượng của bể nước là M = 120 kg, khối lượng của Archimedes là m = 90 kg. “Lực Archimedes” – lực mà Archimedes tác dụng lên sợi dây khi nâng là gì? Phần $ми-^{Рис.} 6$ tối thiểu nào trong thể tích của Archimedes có thể ở trên mặt nước? Coi mật độ trung bình của Archimedes xấp xỉ bằng mật độ của nước. Ma sát trong trục của các khối và khối lượng của các khối và dây có thể bỏ qua. Gia tốc trọng trường g = 10 N/kg.

M. Zamyatnin

Hình 5

Bài toán 4. Nhà thí nghiệm Thermoglyuk Chernikova Gluck đã lắp ráp một nhiệt kế trình diễn (hình7). Để làm điều này, anh ta lấy một bình thủy tinh có lắp một ống mỏng vào đó, diện tích mặt cắt ngang của nó là $S = 25 мм^{2}$. Người thí nghiệm đổ đầy cồn màu vào bình ở nhiệt độ phòng $t_{0}$. Sau khi lặn $в_{Рис.} 7$