Trục tam giác Ptolemy

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Trục Ptolemaic của một tam giác là điểm Gergonne của tam giác là giao điểm của ba đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác và các điểm tiếp tuyến của các cạnh đối diện với đường tròn nội tiếp (hình2,a), và điểm Nagel là giao điểm của ba đoạn thẳng nối nhau

K. KOZERENKO, P. FAKANOV

HÃY VẼ TAM GIÁC, CHÈN một vòng tròn $\omega$ vào đó và mô tả một vòng tròn Ω xung quanh nó. Nếu bây giờ chúng ta xóa hình tam giác, chúng ta sẽ không thể khôi phục nó nữa: có vô số họ hình tam giác “bị kẹp” giữa các vòng tròn đã cho (hình1). Đây là trường hợp đặc biệt của định lý Poncelet nổi tiếng (ví dụ, xem

Hình 2

Hình 1

bài viết của V. Protasov trong «Kvant» Số 5–6 năm 2014), do đó chúng tôi đồng ý gọi các tam giác thuộc họ này là tam giác Poncelet (đối với một cặp đường tròn Ω và $\omega ).$ Thật thú vị khi theo dõi chuyển động của các điểm đáng chú ý của tam giác khi tam giác Poncelet “quay” giữa hai đường tròn cho trước. «Kvant» đã đề cập đến chủ đề này hơn một lần. Trong bài viết tuyệt vời của V. Dubrovsky và V. Senderova “Bẫy cho tam giác” («Kvant» Số 3 năm 1999) quỹ đạo của trực tâm, tâm khối lượng (điểm giao nhau của các đường trung tuyến) và tâm của đường tròn chín điểm của tam giác Poncelet đã được chỉ ra Trong bài viết của A. Zaslavsky, D. Kosov và M. Muzafarov “Quỹ đạo của các điểm đáng chú ý của tam giác Poncelet”. («Kvant» Số 2 cho năm 2003), ngoài ra, quỹ đạo của các điểm Nagel và Gergonne đã được tìm thấy. Hãy nhớ lại rằng các đỉnh của tam giác và các điểm tiếp tuyến của các cạnh đối diện với đường tròn $(рис.2,б).^{1}$ Tất cả quỹ đạo của các điểm đáng chú ý được đề cập là các đường tròn có tâm nằm trên đường tâm của các đường tròn Ω và $\omega$ Ở đây có một số điểm tương đồng với hệ địa tâm. Ptolemy (tất cả các hành tinh đều quay theo các vòng tròn có tâm lần lượt nằm trên đường tròn), sự tương tự này được đặt tên là “Trục Ptolemaic”. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tập trung lại vào các điểm Gergonne và Nagel của tam giác Poncelet và đưa ra mô tả về các vòng tròn mà chúng di chuyển dọc theo. bằng chứng.

1 Về chủ đề này, xem thêm dự án được đề xuất tại Hội nghị Mùa hè của Giải đấu các Thành phố năm 2014: http://www.turgor.ru/lktg/2014/6/ index.htm

42

KVANT 2017/№2

Hình 4. Cốc trong suốt có đèn LED tích hợp

Hình 2. Cốc đôi

sức mạnh của Magnus, hành động như vậy thật không thể tin được! Để làm cho điều này trở nên rõ ràng, chúng tôi lấy một vài chiếc cốc trong suốt, gắn một đèn LED có pin vào chúng và quay chuyến bay của chúng trong bóng tối với tốc độ màn trập dài - ảnh được hiển thị trên hình 4. Bạn có thể thấy rằng do lực cản của không khí, tốc độ góc quay của những chiếc cốc rơi xuống và cùng với đó là lực Magnus tác dụng lên những chiếc cốc giảm đi. Lực Magnus giống như lực nâng trên cánh máy bay. Lực nâng cũng vuông góc với hướng chuyển động của máy bay, và máy bay giấy mà nó tác dụng cũng tạo thành những vòng tròn trong không khí. Cách tính

Hình 3. Cốc đang bay

quỹ đạo của máy bay chịu ảnh hưởng của lực nâng đã được mô tả ở điểm «Kvant» trong bài “Chuyến tàu lượn và chuyển động của Zhukovsky trên các cánh đồng chéo” (2016, số 1). Phương pháp tương tự có thể được áp dụng để tính quỹ đạo của chiếc cốc bay chịu tác dụng của lực Magnus. Lần đầu tiên chúng tôi nhìn thấy những chiếc cốc bay trên kênh YouTube tuyệt vời Home-Made Science với Bruce Yeany. Có một video tuyệt vời tên là Cup Flyers, với phần trình diễn chuyến bay. Hãy nhớ xem và học cách tự mình khởi động những chiếc cốc này nhé. Dải có người lái và Big Mouth. Chúng ta đã nói rằng lực ma sát làm chậm chuyển động quay của những chiếc cốc và lực Magnus không còn hỗ trợ chúng bay nữa. Nhưng có những vật thể bay có thể duy trì tốc độ quay của chúng một cách độc lập - tự động xoay. Đơn giản nhất trong số đó là một dải giấy hình chữ nhật. Được thả tự do, dưới những điều kiện nhất định, nó thể hiện chuyển động quay một cách độc lập quanh trục dài của nó. N.E. Zhukovsky nhận thấy rằng một dải bay như vậy bị ảnh hưởng bởi lực của Magnus. Đồ chơi mới được phát hành - Sọc có thể điều khiển và Miệng to (hình5) - đã cải thiện chất lượng bay. Dải có người lái đại diện cho sự hợp tác

43

PHÒNG THÍ NGHIỆM

Hình 5. Dải có người lái và Miệng Lớn

Trận chiến là một hình chữ nhật làm bằng giấy mỏng, có bốn cánh và Miệng Lớn được dán đơn giản lại với nhau từ hai dải giấy. Quỹ đạo của chúng được mô tả trong hình 6. Chúng được cho là đang ở trạng thái tự quay ổn định, chuyến bay của chúng được hỗ trợ bởi sức mạnh của Magnus. Những đồ chơi này có thể được điều khiển, tức là cho chúng bay trong thời gian không giới hạn, đồng thời thay phiên nhau và thay đổi độ cao bay. Chi tiết có tại «Kvant» trong các bài “Manned Strip” (2013, số 4) và “Big Mouth in Flight” (2016, số 2). Dòng hát. Lần này, để chứng minh hiệu ứng Magnus, chúng tôi đề xuất

“QUANTA”

sử dụng thước gỗ thông thường dài 30 cm. Thước như vậy cũng có khả năng tự động xoay - quay độc lập dưới tác động của luồng không khí tới. Bạn sẽ cần tạo một lỗ ở một đầu của thước, luồn một sợi chỉ chắc chắn qua đó và buộc lại, sau đó tháo thước ra trước mặt bạn. Thước sẽ chuyển sang chế độ tự động xoay và bắt đầu xoay quanh trục của nó - điều này có thể được nhìn thấy dọc theo đường đi của đèn LED gắn ở đầu thước. Điều này có nghĩa là lực Magnus sẽ tác dụng lên thước, lực này sẽ đưa thước ra khỏi mặt phẳng thẳng đứng và buộc nó chuyển động dọc theo bề mặt của một hình nón nhất định. Khi hướng tự quay thay đổi theo chiều ngược lại thì lực Magnus cũng sẽ thay đổi hướng và hình nón sẽ nằm ở phía bên kia của mặt phẳng thẳng đứng. Hai hình nón này có thể nhìn thấy rõ ràng trên hình 7. Sự đảo ngược quá trình tự quay tự xảy ra - do độ xoắn của sợi tăng dần theo chu kỳ. Khi xoay, thước tạo ra âm thanh rung thấp và nhiều nhạc cụ cổ xưa thuộc các thời đại và dân tộc khác nhau được chế tạo dựa trên nguyên tắc này. Ngày nay, những nhạc cụ này được thống nhất dưới cái tên chung là “bullroarer”, và chiếc cổ nhất được tìm thấy có niên đại từ thế kỷ 17 trước Công nguyên. Vì thế những nhạc sĩ hàng đầu

Hình 6. Dải có người lái và Miệng to trong chuyến bay

44

KVANT 2017/№2

Hình 7. Hai hình nón của thước tự động quay

Những người thuộc thời kỳ đồ đá cũ có lẽ cũng đã quen thuộc với hiệu ứng Magnus. Bạn có thể nghe thấy bản nhạc này khi bạn xoay thước và nó bắt đầu tự động xoay, nhưng bạn có thể thấy bản nhạc này ngay bây giờ. Chúng tôi đã ghi lại âm thanh bằng cách đặt micrô gần đường dẫn của đèn LED, như trên hình 7, nhưng bạn cũng có thể sử dụng điện thoại di động. Vào hình 8, theo tọa độ thời gian-độ ồn, bản ghi âm thanh dài 32 giây và hai đoạn của nó được mô tả - một đoạn từ 16,6 đến 20,2 giây, đoạn còn lại từ 18,12 đến 18,42 giây. Bản ghi âm xác định rõ ràng 8 nhóm âm thanh, mỗi nhóm kéo dài 4 giây. Chúng tương ứng với sự quay của thước dọc theo hình nón này hoặc hình nón kia. Hãy chú ý đến biên độ âm thanh ở các nhóm lân cận - nhóm lớn xen kẽ với nhóm nhỏ. Điều này là do một hình nón được đặt gần micrô của điện thoại di động hơn. Tiếp theo, hình trình bày khoảng thời gian 16,6–20,2 giây, chứa nhóm thứ năm. Đỉnh cao tương ứng với đoạn thước đi qua gần micro. Có thể thấy chu kì quay của thước dọc theo hình nón hơi

Hình 8. Bản ghi âm và các mảnh vỡ của nó

ít hơn 0,3 giây. Chúng tôi cũng xác định khoảng thời gian 18,12–18,42 giây, chứa đỉnh thứ sáu từ nhóm thứ năm. Các gai hẹp tạo nên nó theo sau với khoảng thời gian khoảng 0,005 giây, tương ứng với tần số quay gấp đôi của thước quanh trục dài của nó.

Cuối cùng, chúng tôi sẽ bổ sung thêm một số video trong đó các nhà khoa học nói một cách thú vị về hiệu ứng Magnus. • Lực Magnus là gì? trên kênh Veritasium https://www.youtube.com/ watch?v=23fjvGUWJs • Các ứng dụng đáng ngạc nhiên của Hiệu ứng Magnus trên kênh Veritasium https://www.youtube.com/watch?v= 2OSrvzNW9FE • Hiệu ứng Coanda, Bernoulli và Magnus trên kênh Fizzics.org https://www.fizzics.org/physics-notes-and- video-lessons/free-physical-video-lessons/fluid-flow-video-lessons