Kvant 2017, số 4 · Trang

3

LỚN

VÀ

CHÍNH XÁC

ĐA GIÁC

$2^\circ$ (bổ đề về đỉnh thứ tư của hình bình hành). Nếu ba đỉnh của hình bình hành là các nút của một mạng nào đó thì đỉnh thứ tư cũng là nút của mạng này. $3^\circ$. Nếu chúng ta vẽ một đường thẳng đi qua hai nút mạng Q và R tùy ý, thì đường thẳng này sẽ đi qua vô số nút (xem hình1). Trong trường hợp này, tất cả khoảng cách giữa các nút lân cận nằm trên một đường thẳng sẽ bằng nhau. $4^\circ$. Nếu một hình bình hành có các đỉnh tại các nút của một mạng nhất định không chứa các nút khác ở các cạnh và bên trong chính nó thì nó sẽ tạo ra mạng này.

Bài tập

1. Chứng minh tính chất của $1 ^\circ - 4 ^\circ. 2.$ Cho a và b là số thực bất kỳ. Chứng minh rằng tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (ka, lb), trong đó k và l là số nguyên, là một mạng tinh thể.

Một tính chất quan trọng của mạng được phản ánh trong bài toán sau:

Vào ngày 23 tháng 4 năm 2017, Andrei Aleksandrovich Egorov, một nhà toán học, giáo viên và con người tuyệt vời, đã qua đời. Ông đã làm việc phần lớn cuộc đời sáng tạo của mình tại tạp chí «Kvant» và tại trường nội trú Kolmogorov (nay là SUSC), hào phóng chia sẻ với độc giả và sinh viên những hiểu biết sâu sắc và tầm nhìn sáng sủa về ngành khoa học yêu quý của mình. Trong hơn bốn mươi năm, Andrei Aleksandrovich đã viết bài cho tạp chí của chúng tôi, phục vụ trong ban biên tập của tạp chí này trong một phần tư thế kỷ và đứng đầu bộ phận toán học trong gần hai mươi năm. Các bài báo và sách của ông đã giúp hình thành và phát triển nhiều nhà toán học tương lai; các giáo viên phổ thông và giáo viên đại học sẽ nhớ đến Andrei Aleksandrovich với lòng biết ơn trong nhiều năm tới và tích cực sử dụng di sản sáng tạo của ông. Chúng tôi, những người làm việc bên cạnh Andrei Aleksandrovich, sẽ luôn nhớ đến một người có chuyên môn sâu sắc, thông minh, hóm hỉnh và uyên bác.

Hình 3

Tại một nút A nào đó của mạng có một thợ săn, và tại các nút khác có những con thỏ giống hệt nhau và có vị trí giống hệt nhau (hình3). Người thợ săn bắn ngẫu nhiên (quỹ đạo của viên đạn là một tia ló ra từ điểm A). Liệu anh ta có trở về nhà với chiến lợi phẩm không? (Thỏ rừng được coi là “béo”.)

Andrei Aleksandrovich Egorov (11/10/1939–23/04/2017), người đã nhớ (cập nhật) nhiều câu chuyện và luôn sẵn sàng kể chúng. Anh ấy là một người bạn thực sự, luôn sẵn sàng giúp đỡ. Chúng tôi sẽ nhớ anh ấy rất nhiều. Ban biên tập và ban biên tập tạp chí «Kvant»

4

KVANT 2017/№4

Rõ ràng là nếu quỹ đạo viên đạn đi qua một nút khác ngoài điểm A thì con thỏ ngồi ở nút này sẽ bị giết. Do đó, chỉ có trường hợp thú vị khi nút A là nút duy nhất trên quỹ đạo của viên đạn; hóa ra trong trường hợp này một số thỏ rừng sẽ bị giết. Chứng minh nằm trong bổ đề sau. $5^\circ$ (bổ đề về người thợ săn và thỏ rừng). Cho một tia l đi qua nút A của một mạng nào đó. Khi đó sẽ có một nút có khoảng cách từ đó đến tia l sẽ nhỏ hơn bất kỳ số nào được xác định trước $\varepsilon$.

Bằng chứng. Chúng ta biểu thị các điểm giao nhau của tia l với các đường thẳng nghiêng của lưới bằng $A_{0} = A, A_{1}, A_{2},^{…}, A_{n},^{…}$ (xem hình 3,a). Chúng ta hãy kết hợp tất cả các hình bình hành ở phía bên phải mà các điểm này nằm với hình bình hành ABCD, khi đó mỗi điểm $A_{n}$ sẽ đi đến một điểm nào đó $A_{n} '$ trên cạnh BC (xem hình 3,b). Với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào đều có các điểm $A '_{m}$ và $A '_{m} +_{k}$ sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn $\varepsilon$.

Bây giờ hãy chứng minh rằng khoảng cách từ điểm $A_{k}$ đến một trong các nút mạng nhỏ hơn $\varepsilon$ (cụ thể, nếu $A '_{m}$ trùng với $A '_{m} +_{k}$ thì $A_{k}$ sẽ là nút mạng). Kết quả. Với mọi số vô tỷ $\alpha > 0$ và mọi số dương $\varepsilon$ đều có m và n tự nhiên sao cho $m \alpha - n < \varepsilon$.

Bằng chứng. Chúng ta hãy chọn hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng và vẽ một đường thẳng $y = \alpha x$. Do tính vô tỉ của $\alpha$, điểm duy nhất có tọa độ nguyên trên đường thẳng này sẽ là gốc tọa độ. Đường thẳng $y = \alpha x$ cắt từng đường thẳng đứng x = m tại điểm $( m, m\alpha )$. Theo Bổ đề $5^\circ$ có một nút ( m, n ) của mạng nguyên sao cho khoảng cách (theo chiều dọc) từ nó đến điểm $( m, m\alpha )$ sẽ nhỏ hơn $\varepsilon$, đây là điều cần phải chứng minh.

Dễ dàng thấy rằng trong số tất cả các khoảng cách từng cặp có thể có giữa các nút của bất kỳ mạng nào đều có khoảng cách nhỏ nhất (chứng minh điều đó!). Tính chất này, cùng với tính chất $2^\circ$ của mạng, có thể được coi là định nghĩa của mạng.

Định lý. Cho tập M trên mặt phẳng có các tính chất sau: a) khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó không nhỏ hơn một số dương d nào đó; b) Nếu ba điểm A, B, C của tập M là các đỉnh của một hình bình hành ABCD nào đó thì đỉnh D thứ tư của hình bình hành này thuộc tập M. Khi đó M là một mạng.

Bằng chứng. Chúng ta lấy một điểm B tùy ý thuộc tập M. Gọi A là điểm từ M gần B nhất (hình4,a; điểm như vậy tồn tại vì tất cả khoảng cách theo cặp giữa các điểm của tập M đều lớn hơn d).

Hình 4

Vẽ một đường thẳng đi qua các điểm A và B. Trong số các điểm của tập M không nằm trên đường thẳng này, ta chọn điểm gần nhất với điểm B - điểm C - và dựng hình bình hành ABCD. Theo tính chất b), điểm D cũng thuộc tập M. Ta dựng một mạng sinh bởi hình bình hành ABCD. Hãy chứng minh rằng tập M trùng với mạng đã xây dựng. Từ tính chất b) của tập M suy ra rằng tất cả các nút của mạng này đều thuộc về nó. Bài tập 3. Chứng minh điều đó. Do đó, bạn chỉ cần kiểm tra xem trên ranh giới cũng như bên trong hình bình hành ABCD có điểm nào của tập M khác với các đỉnh của nó hay không. Điều này gần như hiển nhiên: nếu điểm S nằm bên trong hình bình hành (hình4,b), thì ít nhất một trong các góc ASB, BSC, CSD và ASD sẽ bằng

Bóng của tuyết lấp lánh

V. PTUSHENKO

HAI THÁNG TRƯỚC TÔI PHẢI XUẤT BẢN những bức ảnh chụp một hiện tượng tự nhiên bất thường - bóng tuyết (Khoa học và Đời sống, 2017, số 2), điều này bất ngờ thu hút được sự quan tâm lớn từ cả những người tôi biết và những người tôi không biết. Ví dụ, trên một trong những “diễn đàn khoa học” trên Internet, một cuộc thảo luận sôi nổi đã nổ ra về bản chất của hiện tượng này, điều mà tôi biết được từ những người tham gia diễn đàn đã tìm đến tôi để làm rõ chi tiết - điều kiện thời tiết, địa điểm và thời gian quan sát. Tôi nghĩ sẽ hữu ích nếu xem xét ít nhất một số giả thuyết được cộng đồng quan tâm đến khoa học đưa ra. Hữu ích cho cả việc tìm hiểu bản thân hiện tượng hóa ra rất hấp dẫn và như một ví dụ về “hạt giống” cho nghiên cứu trong tương lai mà những độc giả không hài lòng với việc chỉ trao đổi ý kiến ​​​​và sẵn sàng chi tiêu của riêng mình sẽ dám tiến hành.

thời gian đi tìm chân lý khoa học. Chỉ các ấn phẩm có sẵn trên Internet mới được sử dụng làm nguồn cung cấp số lượng vật lý cần thiết cho việc tính toán nhằm nhấn mạnh mức độ đơn giản của phân tích được đề xuất ở đây. Nhiều biến thể của cơ chế hình thành “dấu ấn” trên tuyết do những người tham gia thảo luận đề xuất (xem các bức ảnh được đưa ra trong bài báo và trên trang thứ tư của trang bìa) có thể được rút gọn thành bốn giả thuyết chính. 1) Hình ảnh trên tuyết là một cái bóng thật được chụp: mặt trời đột ngột ló dạng làm tan chảy (làm nóng) tuyết trên toàn bộ bề mặt cánh đồng, ngoại trừ những khu vực mà bóng đổ xuống. Sau đó, tuyết bắt đầu trôi, bông tuyết dính vào tuyết ấm hơn trên sân, nhưng không dính vào tuyết lạnh trong bóng râm. 2) Giả thuyết thứ hai cũng xem xét

11

BÓNG

lấp lánh

bề mặt tuyết bị mặt trời làm nóng không đều, nhưng gợi ý một cơ chế khác để hình dung sự phân bố nhiệt độ đang nổi lên: dưới ánh mặt trời, tuyết thiêu kết, tạo thành lớp vỏ băng và sau đó quá trình phong hóa của nó diễn ra chậm hơn so với các khu vực không bị thiêu kết trong bóng râm. 3) Giả thuyết thứ ba cũng cho rằng nguyên nhân là do bề mặt tuyết nóng lên không đều, nhưng vào thời điểm tuyết rơi: ở cả hai phía của bề mặt có bóng râm, trên ranh giới của tuyết ấm hơn và lạnh hơn, xuất hiện các luồng không khí đối lưu tăng dần ngăn cản bông tuyết rơi vào vùng bóng tối. 4) Cuối cùng, giả thuyết thứ tư cho rằng sự hình thành của bức tranh này là do sự phản chiếu của ánh sáng mặt trời từ cành và thân cây (giống như tia nắng chiếu vào tuyết, làm tan chảy tuyết) hoặc do bức xạ nhiệt từ thân và cành được đốt nóng bởi mặt trời. Ba giả thuyết đầu tiên đề xuất các cơ chế liên quan đến một yếu tố chung: bề mặt tuyết nóng lên không đều. Chúng tôi sẽ cố gắng đánh giá sự sưởi ấm này. Để làm điều này, chúng ta sẽ cần những dữ liệu sau, có thể dễ dàng tìm thấy trong sách tham khảo vật lý: cường độ bức xạ mặt trời gần bề mặt Trái đất mà không tính đến sự suy giảm của khí quyển (được gọi là hằng số mặt trời), mức độ suy giảm của bức xạ trong khí quyển, độ xícha của mặt trời, suất phản chiếu của tuyết (tỷ lệ ánh sáng phản chiếu bởi nó), cũng như một số đặc tính truyền nhiệt của tuyết mà chúng ta sẽ thảo luận dưới đây. Chúng ta hãy ước tính năng lượng E của ánh sáng mặt trời chiếu xuống trên một đơn vị bề mặt ngang của trái đất trên một đơn vị thời gian vào một ngày không mây vào cuối tháng 2 ở vĩ độ Moscow (thời gian và địa điểm khi và nơi hiện tượng này được quan sát thấy; hình1): $E = E_{0} a_{атм}$ sin h,

trong đó $E_{0} = 1367$ W $м^{2}$ – năng lượng mặt trời

TUYẾT

Hình 1

một hằng số không đổi, h là độ cao góc của mặt trời so với đường chân trời, $a_{атм}$ là mức độ suy giảm của ánh sáng mặt trời khi đi qua bầu khí quyển, phụ thuộc vào h. Độ cao cao nhất và do đó giá trị tối đa của E được quan sát vào buổi trưa, khi $h = 90 ^\circ - \phi + \delta$, trong đó $\phi$ là vĩ độ của địa điểm, $\delta$ là độ lệch của mặt trời. Vĩ độ của Moscow là $\phi = 56 ^\circ$, độ xích vĩ của mặt trời tại thời điểm quan sát là $\delta \approx - 8 ^\circ$ [1], tức là $h \approx 26 ^\circ$, và ở độ cao này $\alpha_{атм} \approx 0,5$ [2]. Do đó, $E \approx \approx 300$ W $м^{2}$. Lấy suất phản chiếu của tuyết bằng 0,9 [3], ta thấy $1 м^{2}$ hấp thụ khoảng 30 W năng lượng mặt trời trong 1 s. Năng lượng này có thể dẫn đến làm nóng lớp phủ tuyết, được bù đắp một phần bằng dòng chảy ra từ lớp tuyết bề mặt do trao đổi nhiệt với các lớp bên dưới và với không khí. Không khí có thể loại bỏ bao nhiêu năng lượng? Truyền nhiệt tại bề mặt

14

KVANT 2017/№4

một nửa được chiếu sáng) sẽ không vượt quá 5 W, sẽ cho khoảng 0,4 W $м^{2}$ ở khu vực đầu bóng - tức là thấp hơn không thể so sánh được với cường độ bức xạ mặt trời! Về tính định hướng, sẽ không chỉ đủ nếu không chỉ tạo ra một bóng hẹp với các đầu rõ ràng mà còn đối với bất kỳ hình ảnh có cấu trúc nào là đủ. Để kết luận, tôi sẽ trình bày một ý tưởng “tích cực” - theo ý kiến ​​​​của tôi, vẫn có thể giải thích hiện tượng quan sát được như thế nào. Bản thân tôi nghĩ rất có thể là giả thuyết đơn giản này: những “bóng” quan sát được chính xác là bóng do tuyết rơi. Cụm từ “mưa xiên” đã được hình thành trong tiếng Nga (ví dụ: trong Mayakovsky: “Tôi sẽ đi bộ qua quê hương của mình như mưa xiên”), nhưng có lẽ không tìm thấy khái niệm “tuyết xiên” hoặc “tuyết rơi xiên”. Tuy nhiên, đối với tôi, có vẻ như đây có thể là dấu vết của một trận tuyết rơi như vậy. Làm thế nào giả thuyết này có thể được xác nhận hoặc bác bỏ? Ở đây bạn có thể di chuyển từ hai hướng, “trên những con đường ngược nhau”. Bạn có thể cố gắng chứng minh rằng chuyển động như vậy của các hạt nhỏ - bông tuyết - trong không khí (tức là chuyển động thẳng, hoặc ít nhất là nằm trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng) là không thể xảy ra trong bất kỳ điều kiện nào. Hoặc ngược lại, bạn có thể cố gắng chứng minh chuyển động như vậy bằng ít nhất một ví dụ. Trong trường hợp này, bài toán sẽ chia thành hai phần. Phần đầu tiên, hãy gọi nó là “vật lý”, nhằm chứng tỏ rằng trong một tập hợp các điều kiện vật lý nhất định (tốc độ gió, kích thước hạt, nhiệt độ, v.v.) thì chuyển động đó có thể xảy ra. Và phần thứ hai không kém phần quan trọng, phần “khí tượng học”, là chỉ ra rằng về nguyên tắc, các thông số vật lý như vậy có thể được hiện thực hóa trong tự nhiên khi có tuyết rơi. Tất nhiên, những con đường này không thay thế mà bổ sung cho nhau, và con đường nào thành công không phụ thuộc vào chúng ta mà phụ thuộc vào bản chất thực tế của hiện tượng. Tuy nhiên, con đường đầu tiên trong hai con đường này đòi hỏi phải vượt xa ranh giới của vật lý “trường học”, trong khi con đường thứ hai, đối với tôi, có vẻ như

có thể không chỉ là một nhiệm vụ khả thi mà còn là một nhiệm vụ rất thú vị ngay cả đối với một học sinh. Vì vậy, đối với những người đột nhiên thấy điều này thú vị, tôi sẽ đưa ra một số lời khuyên về cách thực hiện công việc đó và những vấn đề nào sẽ phải giải quyết. Trước hết, chúng ta phải hiểu rằng trong điều kiện thực tế trong phòng thí nghiệm tại nhà, rất có thể chúng ta sẽ phải làm việc không chính xác với hệ thống vật lý mà chúng ta quan tâm mà với một số mô hình của nó, tức là với thứ gì đó giống nhất với nó về các thông số chính của nó. Vì vậy, bạn khó có thể có được một khẩu pháo tuyết. Nhưng ngay cả khi bạn trở thành chủ sở hữu hạnh phúc của nó, bạn khó có thể thay đổi tốc độ gió và kích thước hạt mà nó tạo ra trong giới hạn đủ rộng. Điều này có nghĩa là bạn sẽ phải làm việc với một số hạt khác lơ lửng trong không khí. Ở nhà, cách dễ nhất để thử nghiệm là với những giọt nước - bạn có thể thu được dòng nước bằng cách sử dụng máy tạo độ ẩm, bình xịt và trong trường hợp nghiêm trọng là ấm đun nước. Máy phun sẽ tạo ra các giọt lớn hơn máy tạo độ ẩm và các máy phun có cấu hình khác nhau sẽ tạo ra các kích thước giọt khác nhau, tức là trong một số giới hạn nhất định, bạn có thể chọn loại cần thiết. “Mô hình hóa” của thí nghiệm sẽ không chỉ bao gồm vật liệu hạt khác nhau mà còn bao gồm các kích thước hình học của hệ thống: kích thước của bụi cây, cây cối và bóng của chúng thể hiện trong các bức ảnh rõ ràng vượt quá kích thước, nếu không phải của một căn hộ thì của một nơi làm việc có thể chấp nhận được cho thí nghiệm. Bạn sẽ phải làm việc với các mô hình nhỏ hơn và bạn sẽ cần chọn kích thước phù hợp. Sẽ không thể có được bóng rõ ràng từ những hình quá nhỏ bằng cách sử dụng những giọt tương đối lớn. Và những con số lớn sẽ yêu cầu tính đồng nhất của dòng chảy bạn tạo ra trên một diện tích lớn hơn và khoảng cách lớn hơn. Vì vậy, bạn sẽ cần phải tìm một kích thước thỏa hiệp. Nhân tiện, tất cả các nguồn “sương mù bay” được liệt kê hoàn toàn không tạo ra một dòng song song mà là một dòng tách ra khỏi

17

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Hình 1

F2467. Khi nhiệt lượng một lượng Q = 600 J được thêm vào hỗn hợp helium và nitơ ở một thể tích không đổi, hỗn hợp đó nóng lên $\Delta T_{1} = 15$ K. Và nếu cùng một lượng nhiệt được thêm vào cùng một lượng hỗn hợp đó ở áp suất không đổi thì nhiệt độ của hỗn hợp sẽ tăng $\Delta T_{2} = = 10$ K. Tìm tỉ số giữa số phân tử nitơ và số lượng phân tử helium trong hỗn hợp.

F2468. Trong mạch điện ở hình 2, tất cả các phần tử đều có thể

Hình 2

được coi là lý tưởng. Tại một thời điểm nào đó sau khi đóng công tắc, nhiệt lượng được giải phóng bởi các điện trở có điện trở R và 2R lần lượt bằng $P_{1} = 9$ W và $P_{2} = 2$ W. Lúc này năng lượng của tụ tăng bao nhiêu?

Lời giải bài toán M2446–M2449, F2453–F2456

M2446. a) Mười đứa trẻ được phát 100 miếng mì ống trên đĩa của chúng. Các chàng trai không muốn ăn và bắt đầu chơi. Trong một hành động, một trong những đứa trẻ chuyển một chiếc mì ống từ đĩa của mình cho tất cả những đứa trẻ khác. Sau bao nhiêu bước để mỗi người có thể có số lượng mì ống khác nhau trên đĩa của mình? b) Câu hỏi tương tự nếu có 100 đứa trẻ và trong một hành động, một đứa trẻ chuyển một chiếc mì ống từ đĩa của mình cho một số đứa còn lại (bất cứ đứa trẻ nào muốn).

“QUANTA”

a) Đáp số. Sau 45 hành động. Cấp. Hãy xem xét sự khác biệt về số lượng mì ống ở hai đứa trẻ; giả sử số của Vasya bị trừ khỏi số của Petya. Hành động của Petya sẽ làm giảm sự khác biệt này đi 10, Vasya sẽ tăng nó lên 10 và hành động của những đứa trẻ khác không làm thay đổi điều đó. Do đó, sự khác biệt này sẽ khác 0 khi và chỉ khi Petya và Vasya thực hiện số hành động khác nhau. Vì vậy, để mỗi trẻ có số lượng mì khác nhau, cần thực hiện ít nhất 0 + + 1 + 2 + … + 9 = 45 hành động. Ví dụ. Người đầu tiên sẽ thực hiện một hành động, sau đó người thứ hai sẽ thực hiện 2 hành động, người thứ ba sẽ thực hiện 3 hành động, v.v. cho đến lần thứ chín. Mỗi người đưa ra không quá 9 ◊ 9 = 81 mì ống; 100 mì ống ban đầu của anh ấy là đủ cho việc này. b) Đáp số. Sau 50 hành động. Ví dụ. Hãy cho thấy số lượng mì ống có thể thay đổi như thế nào sau 50 lần thực hiện. Hãy đánh số cho trẻ từ 1 đến 100. Để trẻ thứ k, trong đó 1 £ k £ 50, chuyển từng sợi mì cho trẻ có số từ 51 đến 50 + k. Sau khi thực hiện xong các bé sẽ có lần lượt là 99, 98, …, 50, 150, 149, …, 101 mì ống. Cấp. Giả sử rằng không có nhiều hơn 49 hành động được thực hiện. Hãy xem xét tất cả những đứa trẻ không cho mì ống; có ít nhất 51 đứa trẻ như vậy. Đối với mỗi đứa trẻ, số lượng mì ống không giảm so với số đầu tiên, nhưng nó có thể tăng không quá 49. Điều này có nghĩa là đối với mỗi đứa trẻ này, số mì ống cuối cùng nằm trong khoảng từ 100 đến 149 (50 khả năng), vì vậy sẽ có hai trong số chúng có cùng số mì ống. S. Dorichenko, N. Chernyatiev

M2447. Lời giải trong số này bài toán xem trong bài viết của A. Zaslavsky “Về đường tròn nội tiếp của một tam giác vuông.”

M2448. Có 100 điểm được đánh dấu trên đường thẳng và một điểm nữa được đánh dấu bên ngoài đường thẳng. Xét tất cả các tam giác có đỉnh tại các điểm này. Số lượng lớn nhất trong số chúng có thể là cân là bao nhiêu?

18

KVANT 2017/№4

Đáp số. 150. Gọi l là đường thẳng cho trước, O là điểm đánh dấu bên ngoài nó, H là đáy đường vuông góc hạ từ O xuống l. Cấp. Tam giác cân có thể có hai loại: tam giác có đáy nằm trên đường thẳng l và tam giác không có đáy. Trong trường hợp đầu tiên, tam giác phải đối xứng với OH nên không có quá 50 tam giác như vậy (đối với một đỉnh X của đáy, đỉnh thứ hai được xác định duy nhất là đối xứng với điểm X đối với OH). Không thể có nhiều hơn một tam giác loại thứ hai có đáy OA cho trước, vì đỉnh được xác định bởi giao điểm của l và đường trung trực của OA. Vì vậy, không có quá 100 hình tam giác loại thứ hai. Ví dụ. Chúng ta hãy vẽ các tia từ chùm tia OH một góc $18\infty$ (xem hình). Chúng sẽ cắt l tại các điểm $A_{1}$ và $B_{1}$, hãy đánh dấu chúng. Chúng ta đặt đoạn $A_{1} A_{2} = A_{1} O$ trên l theo hướng khác từ $A_{1} B_{1}$ thì các góc của tam giác $OB_{1} A_{2}$ sẽ bằng $72\infty, 72\infty, 36\infty$. Sau đó, chúng ta đặt phân đoạn $A_{2} A_{3} = A_{2} O$, …, phân đoạn $A_{49} A_{50} = A_{49} O$ sang một bên. Tương tự, chúng ta đánh dấu các điểm $B_{2}$, … $, B_{50}$. 50 hình tam giác $OA_{i} B_{i}$, 49 hình tam giác $OA_{i} A_{i} +_{1}$ và $OB_{i} B_{i} +_{1}$, cũng như các hình tam giác $OA_{1} B_{2}$ và $OB_{1} A_{2}$ sẽ là hình cân. Một ý tưởng khác dẫn đến lời giải là thực hiện phép đảo ngược với tâm O. Phép đảo ngược sẽ biến đường thẳng thành một đường tròn và chúng ta sẽ có một 101-giác nội tiếp, một trong các đỉnh của nó là điểm O. Nếu X¢ và Y¢ là ảnh đảo ngược của các điểm X và Y, thì các tam giác OXY và OY ¢ X ¢ là tương tự nhau. Vì vậy, câu hỏi bài toán được đặt lại như sau: số lượng tam giác cân lớn nhất trong số các tam giác có dạng OXY là bao nhiêu, trong đó X và Y là các đỉnh của 101-giác? Một trong những ví dụ tốt nhất

sẽ là một 101-gon thông thường. E. Bakaev, I. Bogdanov

M2449*. Có một số hữu hạn những con ếch ngồi trên một đường thẳng tại các điểm nguyên khác nhau. Trong một lượt, có đúng một con ếch nhảy sang phải 1 cái và các con ếch đó vẫn phải ở các điểm khác nhau. Chúng tôi đã tính xem có bao nhiêu cách ếch có thể thực hiện n bước di chuyển (đối với một số vị trí ban đầu của ếch). Chứng minh rằng nếu chúng ta cho phép những con ếch đó nhảy sang trái nhưng cấm chúng nhảy sang bên phải thì sẽ có cùng số cách thực hiện n bước đi.

Chúng ta hãy gọi một mẫu là một chuỗi gồm n lệnh “Trái” hoặc “Phải”, trong đó lệnh thứ k cho biết một trong các con ếch sẽ nhảy theo hướng nào ở nước đi thứ k. Hãy chứng minh một phát biểu tổng quát hơn: số cách thực hiện n bước đi từ một vị trí cho trước (bằng cách thực hiện các lệnh) để các con ếch không nhảy lên nhau không phụ thuộc vào kiểu mẫu. (Câu lệnh bài toán khi đó là trường hợp đặc biệt cho một mẫu chỉ bao gồm các lệnh “Phải” và một mẫu chỉ bao gồm các lệnh “Trái”.) Bổ đề 1. Việc thay đổi lệnh cuối cùng của mẫu không làm thay đổi số cách. Bằng chứng. Hãy xem xét một vị trí tùy ý trước nước đi cuối cùng. Mỗi vị trí được chia thành từng nhóm ếch ngồi thành một hàng. Số cách để có được vị trí cuối cùng từ nó, bất kể lệnh cuối cùng của mẫu, bằng số lượng nhóm, vì trong mỗi nhóm chỉ có một con ếch có thể nhảy sang trái và một con ếch có thể nhảy sang phải. Bổ đề 2. Việc thay thế hai lệnh mẫu liền kề không làm thay đổi số cách. Bằng chứng. Giả sử hai mẫu chỉ khác nhau ở các nước đi k và k + 1, sao cho ở mẫu đầu tiên, đội thứ k là “Trái” và đội thứ (k + 1) là “Phải”, và trong mẫu thứ hai thì ngược lại: đội thứ k là “Phải” và đội (k + 1) là “Trái”. Xét một vị trí A tùy ý trước bước đi thứ k. Chúng tôi sẽ chỉ ra cách so sánh từng phương pháp thực hiện hai thao tác sau:

28

KVANT 2017/№4

Có những loại hỗ trợ nào?

S. DVORYANINOV

O- đường dây điện. Đặt các cột của một đường thẳng như vậy đứng cách nhau một khoảng bằng nhau dọc theo một đường thẳng. Và đột nhiên, một chùm tia nghiêng bổ sung (hình3) xuất hiện ở cột tiếp theo bên trái. Bạn nghĩ đường dây điện sẽ rẽ vào đâu ở nơi này - sang phải hay sang trái?

Hình 1

Hình 3

(hình2), đôi khi khá đáng kể. Lưu ý rằng đập và đê là những bức tường hỗ trợ giống nhau. Các loại giá đỡ giữ dây điện, viết tắt

Hãy xem xét các hỗ trợ đứng dọc theo một đường thẳng. Đối với mỗi giá đỡ như vậy, các dây dẫn đến nó được kéo theo các hướng khác nhau. Trong trường hợp này, các lực tác dụng lên giá đỡ cân bằng lẫn nhau. Tổng hợp của tất cả các lực tác dụng lên gối đỡ bằng không. Khi quay, các dây treo tạo ra một lực tác dụng lên giá đỡ và hướng theo hướng rẽ (lực này thu được theo quy luật hình bình hành và không bằng 0). Hỗ trợ bổ sung ngăn cản lực này hoạt động. Nếu một trụ đỡ bổ sung xuất hiện ở bên trái dọc theo đường đi, điều đó có nghĩa là tại nơi này đường dây điện rẽ trái. Ngoài ra còn có trụ đỡ cho những cây cầu nối hai bờ sông. Nếu sông rộng mà một nhịp cầu không đủ thì hai nhịp liền kề được đặt trên một giá đỡ gọi là con bò. Con bò đực chịu trách nhiệm từ những chuyến bay này. Trên hình 4 bạn thấy người nổi tiếng

CÓ LỖI L chân lông KHÁC NHAU. VÍ DỤ, tường chắn là thành phần chung của nhiều công trình xây dựng. Chúng thường được tìm thấy ở vùng núi (hình1). Tường chắn cũng hỗ trợ bờ sông và bảo vệ chúng khỏi bị xói mòn. Đất nằm phía trên tường gây áp lực lên tường

Hình 2

Thiên nhiên đã đảm bảo rằng cây cối không thể mọc cao tới tận trời. tục ngữ Đức

“Tại sao một quả táo luôn rơi thẳng xuống đất mà không rơi sang một bên hay rơi lên trên?” Isaac Newton (theo truyền thuyết)

… thứ thối rữa phát sáng…thậm chí còn sáng hơn cả “cá tuyết khô”; Hơn nữa, cô còn coi mình là tàn dư cuối cùng của cái cây từng là vẻ đẹp của cả khu rừng. Hans Christian Andersen

Chúng ta sẽ nói về dinh dưỡng của rễ do các chất có trong đất chứ?

nói về dinh dưỡng trên không của lá do không khí… - ở mọi nơi để giải thích, chúng tôi sẽ sử dụng những lý do giống nhau: khuếch tán. Kliment Timiryazev

…phần ngọn của rễ…được ban cho khả năng nhận tín hiệu từ một số cơ quan nhạy cảm và giống như não của một số động vật bậc thấp, điều khiển chuyển động của các bộ phận lân cận. Charles Darwin

…thực vật có khả năng xử lý thông tin, chỉ theo những cách hoàn toàn độc đáo và ở tốc độ thời gian hoàn toàn khác. Stacey Harmer

Bạn có thực sự quen thuộc với điều này?

?

vật lý+thực vật

Những gì chúng ta nợ thế giới thực vật, tức là hệ thực vật: vừa làm bão hòa không khí bằng oxy vừa cung cấp nơi trú ẩn và thức ăn cho thế giới động vật trong hàng nghìn năm. Nhân loại luôn tìm kiếm và cải tiến những phương thức làm chủ thiên nhiên ngày càng chuyên sâu nhằm thỏa mãn những nhu cầu cấp thiết ngày càng cao. Tuy nhiên, không chỉ vậy, quả táo Newton huyền thoại còn trở thành quả của cây tri thức, biểu tượng thực vật cho khát vọng thâm nhập vào những bí mật về cấu trúc và hoạt động của thế giới xung quanh chúng ta. Tất nhiên, vật lý - cả về bản thân nó lẫn sự cộng tác với các ngành khoa học tự nhiên khác - đã góp phần làm sáng tỏ những bí ẩn của thiên nhiên ẩn chứa trong cư dân của rừng, đồng ruộng, sông biển. Các nhà khoa học bị thúc đẩy bởi cả sự tò mò và mối quan tâm ngày càng tăng đối với việc bảo tồn các điều kiện tồn tại của chúng ta, bao gồm cả hệ thực vật. Có lẽ bạn sẽ thấy những vấn đề này được phản ánh trong tuyển tập truyện “thực vật” ngày nay.

Câu hỏi và bài toán

1. Ở Đông Nam Á, dừa di chuyển từ đảo này sang đảo khác bằng cách “đi ngang”

có khi hàng chục km. Họ làm điều này như thế nào? 2. Điều gì cho phép quả và hạt của nhiều loại cây có thể di chuyển quãng đường dài bằng đường hàng không? 3. Tại sao tất cả các loài thực vật ở núi cao đều lùn? 4. Lá của một số cây có hình dạng gấp nếp, cánh hoa cuộn thành ống. Làm thế nào điều này có thể được giải thích? 5. Tại sao cây vân sam bị bật gốc khi có bão và thân cây thông bị gãy? 6. Gió mạnh có thể làm gãy hoặc bật gốc cây nhưng chỉ làm cong thân các loại ngũ cốc, chẳng hạn như lúa mạch đen hoặc yến mạch, xuống đất. Tại sao? 7. Thân của thực vật dưới nước mỏng hơn nhiều so với thân trên cạn nhưng có thể dài tới hàng chục mét. Làm thế nào chúng có thể đứng thẳng dưới nước? 8. Tại sao bất kỳ hạn chế nào đối với bề mặt nước tự do trong các hồ chứa đứng là điều không mong muốn? 9. Lớp sáp phủ trên bề mặt lá có vai trò gì và tại sao đống cỏ khô vẫn khô ráo ngay cả khi trời mưa? 10. Vậy điều gì vẫn ngăn cản cây cối “lên trời”?

312.3x208

11. Ngay khi một con côn trùng đậu trên lá của cây săn mồi, cánh cửa của nó sẽ nhanh chóng đóng lại và côn trùng trở thành nạn nhân của kẻ săn mồi. Điều gì làm cho cây phản ứng nhanh? 12. Khi mặt trời bắt đầu nắng nóng, lá của những cây ở tầng trên gần như thẳng đứng. Điều gì giải thích điều này? 13. Tại sao cây giống cà chua và dưa chuột phải được tưới nhiều nước trước khi đông lạnh? 14. Người ta biết rằng không nên tưới cây vào ngày nắng nóng - những giọt nước để lại đốm nâu trên lá. Chúng phát sinh như thế nào? 15. Sự phát quang sinh học của nấm thối khác với sự phát sáng của động vật như thế nào? 16. Nếu quan sát lá cây dưới ánh sáng của đèn xanh lam thì lá xanh có màu đỏ thẫm. Tại sao? 17. Tại sao loài tảo sâu nhất lại có màu đỏ?

Kinh nghiệm vi mô

Đặt một chiếc lá cây lên má vào một ngày nắng nóng. Bạn sẽ cảm thấy thế nào? Tại sao?

Thật thú vị rằng…

…trở lại thế kỷ 17, nhà vật lý và hóa học người Anh Robert Boyle đã chứng minh rằng sự phát sáng của gỗ mục nát sẽ dừng lại nếu không có không khí và tiếp tục phát sáng trở lại trong không khí, cụ thể là khi có oxy. …nhà khoa học người Hà Lan Jacob van’t Hoff, một trong những người sáng lập ngành hóa lý và là người đầu tiên đoạt giải Nobel về hóa học, đã giải thích bản chất của sự thẩm thấu vào năm 1887, mở rộng định luật về khí lý tưởng để pha loãng dung dịch, từ đó dẫn tới sự hiểu biết về cơ chế dinh dưỡng thực vật với nước trong đất. …lá của cây hoàng gia Victoria (họ hoa súng), mọc ngoài khơi bờ biển Amazon, có đường kính tới hai mét và được xuyên qua bởi nhiều đường gân dày, khiến chúng khỏe đến mức có thể chịu được trọng lượng của một người trưởng thành. …Năm 1729, thư ký khoa học của Viện Hàn lâm Khoa học Paris, Jean Jacques de Mairan, đã báo cáo một quan sát đáng chú ý. Cây đậu hạ lá vào ban đêm và mọc lên trước bình minh, tiếp tục những chuyển động mang tính chu kỳ này trong bóng tối hoàn toàn. Sự hiện diện của “đồng hồ bên trong” ở thực vật sau đó đã được xác nhận bằng nhiều thí nghiệm và hóa ra có liên quan đến các quá trình tuần hoàn nội bào. …bí ẩn về những bông hoa hướng dương non đi theo mặt trời đã được giải đáp trong công trình của các nhà khoa học California. Ánh sáng buổi sáng được cơ quan cảm quang của cây thu giữ, truyền tín hiệu đến “đồng hồ sinh học”, điều khiển sự phát triển xen kẽ của các mặt râm mát và nóng bức của thân cây. …cái gọi là “dưa chuột điên” - một loại cây khi chín sẽ bắn ra một dòng nước dính trộn với hạt ở độ cao 6-8 mét - tích tụ khí bên trong quả, áp suất của nó đạt tới 3 atm trước khi “bắn”! …thân tre cao tới 35 mét, nhẹ và bền như nhiều loại vật liệu xây dựng. Và với việc sử dụng các công nghệ hiện đại giúp chống thấm nước, tre có thể cạnh tranh ngay cả với sợi carbon. …một trong những khám phá quan trọng gần đây của các nhà khoa học trong nước diễn ra nhờ loài tảo xanh lam. Hóa ra năng lượng ánh sáng được thu giữ bởi các phân tử quang hợp của chúng được truyền dọc theo chuỗi đa bào do sự liên lạc điện giữa các tế bào. …trong một năm, thực vật trên đất liền và đại dương sử dụng lượng vật chất và năng lượng khổng lồ: chúng hấp thụ 150 tỷ tấn carbon dioxide, phân hủy 120 tỷ tấn nước, giải phóng 200 tỷ tấn oxy tự do và lưu trữ khoảng 150 nghìn tỷ megajoules năng lượng mặt trời thông qua quá trình quang hợp.

Đọc gì trong «Kvant» về chủ đề này

(xuất bản những năm gần đây)

1. “Điện từ trái cây” – 2010, số 6, tr. 38; 2. “Bão bụi và…” – 2012, Số 5–6, tr.60; 3. “Tại sao quả hồng lại dính vào miệng bạn?” – 2013, số 2, trang 4. vùng đất; 4. “Nhà vật lý thăm nhà sinh vật học” – 2015, Phụ lục số 1; 5. “Newton, táo và những người khác” – 2016, số 5–6, tr. 34.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Giải đấu bóng đá và bóng chuyền

A. ZASLAVSKY

Sức mạnh của tư duy đang cạn kiệt, Nói về thời trang mới, Về bóng đá, về thời tiết Và về những chuyện vặt vãnh khác - Đó là tất cả những gì còn lại… A. Velikiy

CÓ NHIỀU TOÁN HỌC bài toán liên quan đến các cuộc thi thể thao. Thông thường họ nói về các giải đấu một vòng, trong đó mỗi người trong số n người tham gia đấu với nhau một lần. Trong trường hợp này, theo quy định, người ta giả định rằng điểm được trao theo hệ thống cờ vua, tức là nếu thắng, người tham gia nhận được một điểm, nếu hòa - một điểm, nếu thua - 0 điểm (trong các môn thể thao đồng đội, một chiến thắng từng được cho hai điểm và một cho một trận hòa, theo quan điểm toán học, về cơ bản không khác biệt với hệ thống cờ vua). «Kvant» đã nói về các giải đấu cờ vua nhiều lần$^{1}$, vì vậy ở đây chúng tôi sẽ chỉ lưu ý hai đặc điểm sau của các giải đấu đó. 1. Tổng số điểm mà tất cả người tham gia ghi được là $n ( n - 1 ) 2$. Thật vậy, trong mỗi trận đấu, những người tham gia, với bất kỳ kết quả nào, ghi được tổng cộng một điểm và tổng số trận trong giải đấu là $n ( n - 1 ) 2. 2.$ Nếu một người tham gia cuối cùng ghi được s điểm, thì hiệu số giữa số trận thắng và số trận thua của anh ta là 2 giây – n + 1. Thật vậy, nếu một người tham gia thắng w trận và thua l trận, thì anh ta hòa

1 Ví dụ, hãy xem bài viết của A. Zaslavsky “Về các giải đấu hợp lý và phi logic” («Kvant» Số 5, 1997) hoặc bài báo của A. Zaslavsky và B. Frenkin “Toán học của các giải đấu” («Kvant» Số 1, 2, 2007).

chơi n – 1 – w – l lần, tức là ghi được $s = w + + ( n - 1 - w - l ) 2 = ( n - 1 ) 2 + ( w - l ) 2$ điểm, tương đương với tính chất 2. Từ tính chất 1 và 2, có thể dễ dàng rút ra các phát biểu được xây dựng trong các bài tập sau.

Bài tập

1. Chứng minh rằng nếu tất cả những người tham gia giải đấu đều ghi được số điểm bằng nhau thì số trận thắng của mỗi người bằng số trận thua. 2. Chứng minh rằng nếu không phải tất cả những người tham gia giải đấu đều ghi điểm bằng nhau thì người thắng giải có số trận thắng nhiều hơn số trận thua và người đứng cuối giải có số trận thắng ít hơn số trận thua.

Vào cuối thế kỷ trước, các giải đấu bóng đá bắt đầu tính ba điểm cho một trận thắng và một điểm cho một trận hòa. Trong những năm gần đây, bóng chuyền đã đưa ra một hệ thống trong đó, nếu trận đấu kết thúc với tỷ số 3:0 hoặc 3:1, đội thắng sẽ nhận được ba điểm và đội thua không có điểm; Nếu trận đấu kết thúc với tỷ số 3:2 thì các đội lần lượt nhận được hai và một điểm. Rõ ràng, với hệ thống bóng đá, cả tính chất 1 và 2 đều không còn giữ nguyên, còn với hệ thống bóng chuyền, chỉ có tính chất 1 được giữ nguyên. Vì vậy, chúng ta có thể mong đợi rằng nhận định ở bài tập 1 và 2 không còn đúng nữa. Không khó để đưa ra các phản ví dụ phù hợp nếu số lượng người tham gia giải đấu đủ lớn. Tuy nhiên, câu hỏi về số lượng người tham gia tối thiểu có thể trong các giải đấu như vậy không đơn giản và khá thú vị. Chúng ta sẽ xem xét loại bài toán này trong bài viết này. Bài toán 1. Trong một giải đấu bóng đá, tất cả n đội tham gia đều ghi được số điểm bằng nhau. Với n nhỏ nhất nào thì không phải tất cả các đội đều có số trận thắng bằng số trận thua? Đáp số. n = 8. Lời giải. Nếu không phải tất cả các đội đều có số trận thắng và thua bằng nhau thì sẽ có đội thắng nhiều hơn thua và có đội thua nhiều hơn thắng. Trước tiên, giả sử rằng số trận thắng và số trận thua của cả hai đội khác nhau 1, tức là Đội thứ nhất có x thắng và x – 1 thua, còn đội thứ hai có y thắng và y + 1 thua. Khi đó từ điều kiện đẳng thức

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”

Thợ lặn Napoleon và nhà thí nghiệm Feynman

A.PANOV

TÀI LIỆU NÀY LÀ BỔ SUNG NHỎ cho bài viết được xuất bản gần đây “Hãy cứu thợ lặn” (xem «Kvant» số 2 cho năm 2016). Hãy nhớ lại rằng thợ lặn Descartes được mô tả lần đầu tiên bởi Raffaello Maggiotti vào năm 1648 trong chuyên luận của ông về tính không nén được của nước. Trong phiên bản hiện đại, thợ lặn Descartes là một lọ thủy tinh, một phần chứa đầy nước, một phần là không khí và nổi lộn ngược trong một chai nhựa kín. Nếu bạn bóp chai, thợ lặn sẽ chìm xuống đáy và nếu bạn thả chai ra, anh ta sẽ nổi lên. Maggiotti đã dùng thợ lặn để sử dụng

Hình 1. Thợ lặn Napoléon

tuân theo khả năng nén của không khí và nước, nhưng ngay sau đó người thợ lặn đã biến từ một dụng cụ vật lý thành một món đồ chơi phổ biến. Nó thậm chí còn trở thành “vũ khí” châm biếm chính trị. Đây là một bức ảnh hài hước từ năm 1813, nó được mô tả trên hình 1. Chú thích cho bức ảnh như thế này: “Chính Napoléon đã giả làm ác quỷ Descartes. Người Áo đã đánh chìm ông ta, và người Nga cười lớn - Này, Này, Bạn thân! Bạn đã làm đúng khi chui vào trong chai.” (Ở mức hình chai thủy tinh được bịt kín bằng màng co giãn.) “Cartesian Devil” là tên gọi khác của Cartesian diver, có lẽ do phụ âm diver – Devil (thợ lặn – ác quỷ). Tuy nhiên, những người thợ thổi thủy tinh từ lâu đã thổi nó dưới hình dạng một con quỷ nhỏ ngộ nghĩnh (hình2). Hãy nhìn xem - con quỷ có một cái đuôi cong với một cái lỗ ở cuối. Nhờ đó, ma quỷ không chỉ nhảy lên nhảy xuống mà còn quay quanh trục của nó, giống như một vũ công thực thụ. Đó là cách người Pháp gọi nó - ludion. Khi chai bị nén lại, một phần nước sẽ chảy vào bên trong con quỷ do áp suất quá lớn, và khi chai được thả ra, nước sẽ chảy ra khỏi chai qua lỗ ở đuôi và làm con quỷ xoắn lại. Đây chính xác là cách bánh xe Segner hoạt động - một tuabin nước nhỏ thường được sử dụng để tưới cỏ (hình3). Nước dưới áp suất được bơm vào ống hình chữ S, chảy ra khỏi ống và khiến ống quay với tốc độ cao.

Cuốn sách của Richard Feynman Chắc chắn bạn đang đùa đấy, ông Feynman! là tuyển tập những câu chuyện anh kể. Nó cho phép bạn tìm hiểu làm thế nào một cậu bé thực nghiệm lại trở thành một nhà vật lý lý thuyết vĩ đại. Một trong những câu chuyện này là về một vòi phun nước quay. Khi Feynman chuyển từ Massachusetts đến Princeton vào mùa thu năm 1939, ông là người đầu tiên

45

Thế Vận Hội

Đúng). Chứng minh rằng trong mỗi vòng có ít nhất một trận đấu giữa những người đồng hương. B.Frenkin

2. a) (1) Có thể vẽ một đa giác trên giấy ca rô và chia nó thành hai phần bằng nhau bằng một đường cắt có hình giống như trong hình a?

b) (2) Giải tương tự bài toán cho phần cắt có hình dạng giống như trong hình b. c) (4) Giải tương tự bài toán cho phần cắt có hình dạng giống như trong hình c. (Tại tất cả các điểm, vết cắt nằm bên trong đa giác, chỉ có hai đầu của vết cắt đạt đến ranh giới. Các cạnh của đa giác và các liên kết cắt đi dọc theo các đường lưới, các liên kết nhỏ có chiều dài bằng một nửa so với các liên kết lớn.) Yu. Markelov, học sinh lớp 7

3. Chúng tôi đã lấy một số số dương và xây dựng chuỗi sau từ chúng: $a_{1}$ – tổng của các số ban đầu, $a_{2}$ – tổng bình phương của các số ban đầu, $a_{3}$ – tổng lập phương của các số ban đầu, v.v. a) (4) Có thể xảy ra đến $a_{5}$ chuỗi này giảm $( a_{1} > a_{2} > a_{3} > > a_{4} > a_{5} ),$ và bắt đầu từ $a_{5}$ nó tăng $( a_{5} < a_{6} < a_{7} <^{…}$)? b) (4) Liệu điều đó có thể xảy ra theo chiều ngược lại: lên đến $a_{5}$ trình tự tăng lên và bắt đầu từ $a_{5}$ nó giảm đi? A.Tolpygo

4. (8) Trong lục giác lồi ABCDEF, tất cả các cạnh đều bằng nhau và AD = = BE = CF. Chứng minh rằng một hình tròn có thể nội tiếp được trong hình lục giác này. B.Obukhov

5. (8) Khối lượng của mỗi quả nặng trong bộ là số gam không nguyên. Chúng có thể cân bất kỳ khối lượng nào từ 1 g đến 40 g (các quả cân được đặt trên một đĩa cân, khối lượng đo được đặt trên đĩa kia). Số lượng trọng lượng nhỏ nhất trong một bộ như vậy là bao nhiêu? A. Shapovalov

6. (10) Xem bài toán M2460 “Bài toán Kvant.

7. a) (6) Xem bài toán M2461,a “Bài toán Kvant.

b) (3) Xem bài toán M2461,b “Bài toán Kvant. c) (3) Xem bài toán M2461, trong “Bài toán Kvant. M. Evdokimov

lớp 10–11

1. (4) Cho một tam giác và 10 đường thẳng trên mặt phẳng. Hóa ra mỗi đường thẳng cách đều hai đỉnh của tam giác. Chứng minh rằng hai đường thẳng này song song hoặc ba đường thẳng này cắt nhau tại một điểm. S.Markelov

2. a) (3) Xem bài toán 3,a dành cho lớp 8–9. b) (3) Xem bài toán 3,b dành cho lớp 8–9.

3. (7) Vasya tuyên bố rằng ông đã cắt một khối đa diện lồi, chỉ có các mặt hình tam giác và lục giác, thành hai phần và dán một khối lập phương từ những phần này. Lời nói của Vasya có thể là sự thật? M. Evdokimov

4. (8) Petya tô màu mỗi ô của hình vuông $1000\times 1000$ bằng một trong 10 màu. Ông cũng nghĩ ra một đa giác F gồm 10 ô sao cho, bằng bất kỳ cách nào đặt nó dọc theo đường viền của các ô trên một hình vuông màu, tất cả 10 ô được bao phủ bởi nó sẽ có các màu khác nhau. F có nhất thiết phải là hình chữ nhật không? E. Bakaev

5. (9) Vẽ tam giác ABC có góc A bằng $45^\circ$ vẽ đường trung tuyến AM. Đường thẳng b đối xứng với đường thẳng AM theo chiều cao $BB_{1}$ và đường thẳng c đối xứng với đường thẳng AM theo chiều cao $CC_{1}$. Đường thẳng b và c cắt nhau tại điểm X. Chứng minh rằng AX = BC. E. Bakaev

6. (10) Với n tự nhiên nào, với mọi số nguyên $k \ge n$, có số nào có tổng các chữ số k là bội số của n không? A. Kuznetsov, I. Losev

7. (12) Có 36 tên xã hội đen sống ở Chicago, một số kẻ có mối thù với nhau. Mỗi băng đảng là thành viên của một số băng nhóm và không có hai băng đảng nào có thành phần giống nhau. Hóa ra bọn xã hội đen cùng một băng đảng không cãi nhau, nhưng nếu một tên xã hội đen không phải là thành viên của băng đảng nào thì

46

KVANT 2017/№4

anh ta có thái độ thù địch với ít nhất một thành viên của nó. Số lượng băng đảng lớn nhất có thể có ở Chicago là bao nhiêu? Văn hóa dân gian (do L. Shabanov đề xuất)

Vòng miệng lớp 11

1. Vào ngày đầu tiên $2^{n}$ học sinh chơi bóng bàn đến chết: hai người đầu tiên chơi, sau đó người chiến thắng chơi với người thứ ba, người chiến thắng trong cặp này chơi với người thứ tư, v.v., cho đến khi học sinh cuối cùng chơi (không có trận hòa trong bóng bàn). Vào ngày thứ hai, các em học sinh đó cũng tranh cúp: đầu tiên, các em ngẫu nhiên chia thành từng cặp và chơi theo cặp, những người thua cuộc bị loại, những người chiến thắng lại chia ngẫu nhiên thành từng cặp và chơi theo cặp, v.v. Hóa ra cặp chơi ngày thứ nhất và ngày thứ hai giống nhau (có lẽ người chiến thắng khác nhau). Tìm giá trị lớn nhất có thể có của n. B.Frenkin

2. Quả cầu chạm vào 99 cạnh của một kim tự tháp 50 cạnh lồi nào đó. Liệu nó có nhất thiết phải chạm vào cạnh thứ 100 của kim tự tháp này không? M. Evdokimov

3. Xem bài toán M2459 “Bài toán Kvant”.

4. Các ô vuông của bàn cờ $100 \times 100$ có màu đen và trắng theo kiểu bàn cờ. Có thể đổi màu chính xác 2018 ô vuông khác nhau của bảng này theo màu đối diện sao cho mỗi hàng và cột có số ô vuông màu đen bằng nhau không? Yu. Chekanov

5. Cho tam giác XBC. Các điểm phân biệt $A_{H}, A_{I}, A_{M}$ sao cho X là trực tâm của tam giác $A_{H} BC$, tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A_{I} BC$ và giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $A_{M} BC$. Chứng minh rằng nếu $A_{H} A_{M}$ và BC song song thì $A_{I}$ là trung điểm của $A_{H} A_{M}$. E. Bakaev

6. Với những số tự nhiên n nào thì mệnh đề sau đây đúng: với một đa thức P tùy ý bậc n có hệ số nguyên, tồn tại các số tự nhiên a và b phân biệt sao cho P ( a ) + P ( b ) chia hết cho a + b? G. Zhukov

Ấn phẩm được biên soạn bởi I. Bogdanov, S. Dorichenko, L. Mednikov

Olympic quốc tế XXV “Marathon trí tuệ”

Câu lạc bộ Trí tuệ Quốc tế (IIC) “Gluon” trong khuôn khổ chương trình quốc tế “Trẻ em. Trí tuệ. Sáng tạo” với sự tham gia của M.V. Đại học quốc gia Lomonosov Moscow, Viện nghiên cứu sư phạm năng khiếu của Học viện giáo dục Nga (Novosibirsk) và với sự hỗ trợ của Hiệp hội quốc tế “Sư phạm năng khiếu và tài năng”, Quỹ 1C và các tạp chí «Kvant», “Tiềm năng” và “Vật lý cho học sinh” đã tổ chức Kỳ thi xếp hạng kiểm tra quốc tế XXV “Cuộc thi chạy marathon trí tuệ”. Thế vận hội diễn ra từ ngày 2 tháng 10 đến ngày 9 tháng 10 năm 2016 tại thành phố Protvino, khu vực Moscow, tại Viện Vật lý Năng lượng Cao. Những người tham gia từ các thành phố khác nhau của Nga đã đến Olympic. Học sinh năng khiếu từ lớp 9–11 thể hiện sự quan tâm đến các môn khoa học cơ bản sẽ thi đấu theo nhóm và vòng cá nhân về toán học, vật lý cũng như lịch sử của các ý tưởng và khám phá khoa học. Các giáo viên và nhà tâm lý học tập trung cho phiên họp khoa học của họ lần thứ tám. Lần này, học sinh lớp Lyceum 2 đến từ thành phố Almetyevsk (Tatarstan) đã giành chiến thắng ở phần thi cá nhân. Người chiến thắng tuyệt đối của Olympic là Eduard Sabirov, anh được trao huy chương vàng lớn, huy chương vàng vật lý và huy chương bạc môn toán. Người đoạt giải nhì chung cuộc là Ruslan Kamalov, người nhận được huy chương bạc lớn và huy chương vàng nhỏ môn toán. Azat Yamanaev giành huy chương đồng lớn; ông cũng nhận được một huy chương đồng nhỏ về vật lý.

49

Thế Vận Hội

Hình 2

Các cạnh của bình được mạ kim loại và đặt cách nhau l = 1 cm. Bình chứa đầy chất điện môi lỏng có mật độ là $\rho = 1,4$ G $см^{3}$, MỘT Hình 3 hằng số điện môi $\varepsilon = 65$. Chất điện môi và thành bình trung hòa về mặt hóa học. Bình được nối với pin có suất điện động E = 100 V. Một lỗ O được mở ở mép dưới của bình, qua đó chất lỏng bắt đầu được bơm ra ngoài. Khối lượng điện môi được bơm ra trong một đơn vị thời gian $\mu = 100$ g/s. Xác định sự phụ thuộc của số chỉ ampe kế vào thời gian. Pin và ampe kế đều hoàn hảo. 4. Hai vệ tinh thăm dò chuyển động theo quỹ đạo tròn giao nhau quanh một hành tinh nhỏ. Góc giữa các mặt phẳng quỹ đạo $\alpha = 75 ^\circ$ (hình 4). Khối lượng của một vệ tinh là M = 100 kg. Với khối lượng m của vệ tinh kia, nó có thể mất hoàn toàn tốc độ sau va chạm đàn hồi với vệ tinh thứ nhất và rơi xuống hành tinh này? 5. Tại buổi lễ Hình Lần khai mạc thứ 4 của Cuộc thi Marathon trí tuệ XXV, trên một chiếc bàn dài nhẵn, 25 thanh có khối lượng m bằng nhau được đặt thành một hàng, trên mỗi thanh có ghi năm hoạt động của Gluon MIC, các khoảng cách đều nhau có chiều dài l = = 0,2 m (hình5). Với dòng chữ “Giải marathon kỷ niệm 25 năm khai mạc”, Chủ tịch Bộ TTTT “Gluon” phóng một khối đá có khối lượng cách trái 3m dọc theo đường khối đứng với vận tốc $v_{0} = 10$ m/s, dẫn đến sự va chạm của các thanh. Tìm thời gian từ tsaema. Nhiệt độ của khí lúc đầu là $T_{0} = 300$ K. Bỏ qua ma sát. 3. Tụ điện có dạng một bình nhựa có thành mỏng hình chữ nhật song song (hình 3). Bên-

Hình 5

ý kiến ​​và thách thức nỗ lực của các nhà toán học trong nhiều thế kỷ. Nhà toán học này là ai và chúng ta đang nói về định lý gì? Kể tên một số thuật ngữ, định lý, sự kiện gắn với tên ông mà bạn biết.

VẬT LÝ

Viết chuyến tham quan riêng

1. Một công nhân đường sắt có khối lượng m = 60 kg đứng trên mép một toa xe đứng yên có khối lượng M = 100 kg (hình1). Một người muốn đẩy ra khỏi mép xe và nhảy

Hình 1

trên một bệ cao hơn xe một khoảng H = 30 cm và cách xe một khoảng l = 1 m. Công việc tối thiểu anh ta phải làm cho việc này là gì? Tốc độ tối thiểu cho một bước nhảy như vậy là bao nhiêu? Bỏ qua ma sát giữa xe và mặt đất. 2. Trong một ống kín dài đặt giữa hai pít-tông có khối lượng m = 1 kg, mỗi pít-tông có $\nu = 0,1$ mol Ar (argon). Phần còn lại của không gian ống là chân không. Tại thời điểm ban đầu, piston bên trái có tốc độ $v_{1} = 15$ m/s, và piston bên phải có tốc độ $v_{2} = 5$ m/s (hình2). Tìm nhiệt độ cực đại của khí trong quá trình chuyển động nếu thành ống và pít tông không thấm nhiệt

50

KVANT 2017/№4

thời điểm va chạm đầu tiên cho đến thời điểm khối đầu tiên rơi, thời điểm rơi của khối tương ứng với IM-2000, cũng như thời điểm va chạm cuối cùng trong hệ này, coi mọi va chạm là đàn hồi. Liệu khối cuối cùng có rơi trước khi Olympic kết thúc, diễn ra sau 6 ngày nữa không? 6. Một bông hoa cúc được vẽ trên bức tường phía sau bể cá. Đường kính góc của bông hoa thay đổi bao nhiêu lần khi bể chứa đầy nước, nếu mắt người quan sát cách tường trước của bể một khoảng l = 30 cm? Chiều dài của bể cá là L = 60 cm. Bỏ qua độ dày của thành bể cá và cho rằng kích thước của hoa cúc nhỏ hơn nhiều so với kích thước của bể cá. 7. Một vỏ hình cầu có bán kính $R_{1} = = 40$ cm, tích điện đều q = 1 mC, được mở rộng đến bán kính $R_{2} = 50$ cm. Tìm công mà lực điện thực hiện.

Đội hùng biện vòng 1. Ánh sáng ở xung quanh chúng ta. Tại sao ban ngày bầu trời có màu xanh, mặt trời có màu trắng vàng, lúc hoàng hôn mặt trời và bầu trời có màu đỏ? 2. Khai thác ở cực. Tại Cực Bắc của Trái đất, một trục được đào dọc theo trục Trái đất, đi qua toàn bộ Trái đất và nổi lên ở Cực Nam. Một vật nhỏ được phép rơi tự do vào trục. Mô tả chuyển động của một vật thể, chỉ ra các thông số chính của chuyển động và ước tính giá trị của chúng. 3. Du hành vũ trụ. Khi nào chúng ta di chuyển quanh Mặt trời nhanh hơn - vào ban ngày hay ban đêm? 4. Theo bước chân của Nam tước Munchausen. Theo Nam tước Munchausen, ông có thể bắt được một viên đạn đại bác bằng tay. Bỏ qua rằng lõi nóng, hãy giải thích liệu anh ta có thể làm được điều này vào thế kỷ 18 và bây giờ không. Hãy xem xét rằng phạm vi bay tối đa của lõi là 1 km và có thể bỏ qua sức cản của không khí. 5. Nghịch lý cân nặng. Trọng lượng 1 kg bạch kim có khác trọng lượng 1 kg nhôm không? 6. Tủ lạnh. Chúng ta cần làm nguội một bình chứa đầy nước nóng. Chúng tôi có đá và thậm chí cả đá khô. Làm thế nào để đặt viên đá so với bình để nước nguội nhanh?

7. Vệ tinh trái đất. Một vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn quanh Trái đất sẽ dần mất năng lượng do ma sát với tầng khí quyển phía trên. Tốc độ của nó sẽ thay đổi và nếu có thì như thế nào? Đáp số giải thích bằng phép tính.

Lịch sử của những ý tưởng và khám phá khoa học

1. Giải Nobel Vật lý năm 1956 được trao cho ba nhà khoa học Mỹ vì nghiên cứu cơ bản trong lĩnh vực vật lý chất rắn và phát hiện ra một hiệu ứng mà vào thời điểm đó đã trở thành nền tảng cho một hướng đi mới trong công nghệ điện tử. Các thiết bị được tạo ra dựa trên hiệu ứng này nhanh chóng bắt đầu được sử dụng cả trong các thiết bị điện tử “nghiêm túc” và điện tử tiêu dùng. Thiết bị điện tử đã trở nên nhỏ gọn và với sự phát triển theo hướng này - thậm chí còn nhỏ gọn hơn. Một trong những người đoạt giải đã trở thành nhà vật lý duy nhất hai lần nhận được giải Nobel Vật lý. Ông đoạt giải lần thứ hai vào năm 1972 nhờ công trình nghiên cứu về lĩnh vực siêu dẫn. 1) Kể tên những người đoạt giải Nobel Vật lý năm 1956. 2) Đặt tên cho hiệu ứng và thiết bị được tạo ra dựa trên nghiên cứu của họ. 2. Bốn năm trước, tờ New York Times đã công bố kết quả của một cuộc khảo sát được thực hiện giữa các nhà vật lý nổi tiếng. Mỗi người trả lời phải kể tên mười thí nghiệm vật lý đẹp nhất trong lịch sử vật lý. Kể tên các thí nghiệm này. 3. Nhà vật lý lý thuyết, một trong những người sáng lập vật lý lý thuyết hiện đại, người đoạt giải Nobel Vật lý năm 1921, nhân vật của công chúng và nhà nhân văn. Sống ở Đức, Thụy Sĩ và Hoa Kỳ. Tiến sĩ danh dự của khoảng 20 trường đại học hàng đầu thế giới, thành viên của nhiều Viện Hàn lâm Khoa học, trong đó có thành viên danh dự của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Tác giả của hơn 300 công trình khoa học về vật lý, cũng như khoảng 150 cuốn sách và bài báo trong lĩnh vực lịch sử và triết học khoa học, báo chí, v.v. Ông đã phát triển một số lý thuyết vật lý quan trọng đã được xác nhận bằng thực nghiệm. Sau khi viết một lá thư cho Tổng thống Hoa Kỳ vào năm 1939 về sự cần thiết phải tiến hành nghiên cứu trong lĩnh vực ứng dụng thực tế của năng lượng hạt nhân, sau đó ông đã hành động

56

KVANT 2017/№4

trong những điều kiện nhất định có thể gây ra mối đe dọa cho sự sống trên Trái đất. Ông lấy ví dụ rõ ràng là bộ phim khoa học viễn tưởng “Armageddon” (Mỹ, 1998). Nó kể câu chuyện về một chuyến thám hiểm không gian được gửi đến một tiểu hành tinh khổng lồ đang tiếp cận Trái đất để tiêu diệt nó. Muốn học sinh hình dung rõ hơn về điều kiện làm việc của các thành viên đoàn thám hiểm, giáo viên đưa ra câu hỏi sau bài toán: “Tiểu hành tinh có dạng một quả bóng có bán kính R = 5 km. Xét tiểu hành tinh đồng nhất với mật độ $\rho = 5,5$ g $см^{3}$, bỏ qua ảnh hưởng của các thiên thể khác và lấy hằng số hấp dẫn bằng $G = 6,67 \cdot 10^{-} 11$ H $\cdot м^{2} кг^{2}$, tìm vận tốc thoát đầu tiên $v_{1к}$ cho tiểu hành tinh này.” Học sinh đã đạt được kết quả gì? Đáp số làm tròn đến một chữ số thập phân. 2. Một quả bóng tròn nằm bất động trên mặt băng nằm ngang. Cũng chính quả bóng đó trượt dọc theo mặt băng và chịu va chạm đàn hồi tuyệt đối với quả bóng đang đứng yên. Tốc độ của quả bóng chuyển động trước khi va chạm là $v_{0} = 3$ ms. Sau khi va chạm, quả bóng này đi được quãng đường $l_{1} = 1$ m trên mặt băng. Xác định khoảng cách L giữa các quả bóng sau khi chúng dừng lại. Hệ số ma sát giữa vòng đệm và mặt băng là $\mu = 0,05$. Lấy gia tốc rơi tự do bằng g = 10 m $с^{2}$. Xem xét các bề mặt bên của vòng đệm phải nhẵn. Đáp số tính theo mét và làm tròn đến một chữ số thập phân. 3. M = 500 g nước được đổ vào hai bình giống hệt nhau. Nhiệt độ nước trong bình thứ nhất là $t_{1} = 20 ^\circ C$, và trong bình thứ hai $t_{2} = 40 ^\circ C$. Từ bình thứ hai, nóng hơn, đổ $\Delta m = 50$ g nước vào bình thứ nhất và trộn. Sau đó đổ nước có cùng khối lượng $\Delta m$ vào bình thứ hai và trộn đều. Điều này hoàn thành chu kỳ truyền máu đầu tiên. Xác định chênh lệch nhiệt độ $\Delta t$ của nước trong bình sau ba chu kỳ như vậy, bao gồm việc đổ nước từ bình thứ hai vào bình thứ nhất và quay lại. Có thể bỏ qua nhiệt dung của bình và sự trao đổi nhiệt của nước với môi trường. Đáp số cho biết độ C với độ chính xác bằng một phần mười.

4. Một tụ điện không khí bản phẳng có chiều dài bản L được nối với nguồn điện áp không đổi. Điện tích của tụ sẽ thay đổi bao nhiêu lần k nếu đẩy một tấm kim loại vào trong tụ điện song song với các bản một khoảng cách L n, trong đó n = 3 (hình6)? Độ dày của tấm bằng một nửa khoảng cách giữa các tấm tụ điện và chiều rộng bằng Hình 6 tấm. Hiệu ứng cạnh có thể được bỏ qua. Đáp số Làm tròn đến hai chữ số thập phân. 5. Một thấu kính phẳng-lồi mỏng, có tiêu cự F = 10 cm trong không khí, tiếp xúc với mặt phẳng của nó với mặt nước đổ vào một bình hình trụ (hình7). Ở khoảng cách d = = 20 cm tính từ thấu kính trên trục chính của nó có một nguồn sáng điểm S, tạo ra một chùm ánh sáng hẹp. Xác định độ cao h của mực nước trong bình để ảnh của nguồn nằm đúng đáy bình. Lấy chiết suất của nước bằng Hình 7 n = 1,3. Xin lưu ý rằng đối với các giá trị nhỏ của đối số x, được tính bằng radian, các công thức gần đúng sin $x \approx tg x \approx x$ là hợp lệ. Cho Đáp số tính bằng centimet, làm tròn đến một chữ số thập phân.

Giai đoạn cuối

Giai đoạn cuối cùng của Olympic dự kiến ​​diễn ra vào ngày 24 tháng 2 năm 2017. Đối với học sinh các lớp, giai đoạn này được tiến hành trực tiếp tại Khoa Vật lý của Đại học Tổng hợp Moscow và tại bốn địa điểm khu vực ở các thành phố Astana, Belgorod, Vladivostok và Volgograd. Bài tập dành cho học sinh lớp 7–8, cũng như lớp 9, bao gồm bốn bài toán về các chủ đề được nghiên cứu như một phần của chương trình vật lý ở trường trung học cơ bản. Bài tập dành cho học sinh lớp 10–11 được biên soạn đầy đủ theo Bộ luật thi thống nhất năm 2017

60

KVANT 2017/№4

những chiếc máy bay lượn sống, giống như những chiếc máy bay bằng cây bồ đề, nhờ đó gió có thể đưa chúng đi rất xa “nơi sinh ra”. 3. Sự dao động nhiệt độ đáng chú ý ở vùng núi biểu hiện ở mức độ thấp hơn ở tầng đất so với ở độ cao thậm chí vài mét. 4. Hình dạng của lá và cánh hoa này giúp chúng có thêm độ cứng và sức mạnh. 5. Hệ thống rễ của cây thông ăn sâu vào lòng đất hơn cây vân sam (hình4). Để tạo ra một cây vân sam

Hình 3

Nếu ban đầu có x hàng và y cột bị chiếm thì có nhiều nhất xy xe. Vì vậy, $xy \ge 10$. Sau khi thử các giá trị có thể có của x từ 1 đến 6, dễ dàng kiểm tra được rằng $s = x + y \ge 7$. Ở vị trí cuối cùng, tất cả các quân xe không tấn công lẫn nhau và điều này xảy ra khi và chỉ khi s = 20. Hãy chứng minh rằng với s < 20 luôn có thể thực hiện một nước đi làm tăng s. Từ đó, không quá 20 – 7 = 13 nước đi chúng ta sẽ có được sự sắp xếp xe thỏa mãn điều kiện. Hãy cùng điểm qua tất cả các quân xe không đánh bại được ai. Chúng tôi gạch bỏ các hàng chứa các quân xe như vậy. Giả sử có một hàng không giao nhau với đúng một quân xe, hãy coi đó là một hàng. Có ít nhất hai quân xe trong cột chứa quân xe này, nghĩa là có một cột trống. Sau đó quân xe có thể được di chuyển vào đó. Trong trường hợp này, s tăng lên. Vẫn còn phải xem xét lựa chọn khi không có loạt bài như vậy. Khi đó tất cả các dòng không giao nhau đều trống hoặc có ít nhất hai quân xe và cả hai dòng đều có mặt. Xét một dòng trống và một dòng chứa ít nhất hai xe, sao cho không có đường nào không giao nhau giữa chúng. Sau đó, hãy di chuyển quân xe từ hàng này sang hàng khác. Dễ hiểu là một động thái như vậy có thể được thực hiện và s sẽ tăng lên. Cũng có thể chứng minh rằng ước tính này là chính xác, tức là không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được trong 12 nước đi (đối với lời giải bài toán điều này không cần phải chứng minh).

KÍNH KÍNH KÍNH “QUANTA”

Câu hỏi và bài toán

1. Lớp vỏ cứng của đai ốc không cho nước lọt qua, bên trong đai ốc có không khí mang lại sức nổi và cho phép “di cư” trong thời gian dài. 2. Nhiều loại trái cây và hạt có chùm lông giống như bồ công anh hoặc giá đỡ

Hình 4

với rễ cây thì cần mô men gió nhỏ hơn so với cây thông. Và để nhổ một cây thông cần một mômen gió lớn hơn là làm gãy nó. 6. Một trong những nguyên nhân là do thân cây bị rỗng. Khi uốn, vùng bên trong của nó thực tế không bị biến dạng, trong khi chất lấp đầy vùng này sẽ chỉ làm tăng lực uốn và lực nén. Ngoài ra, thân của ngũ cốc bao gồm một số hình trụ rỗng được nối với nhau bằng các nút đàn hồi, giúp chúng có thêm tính linh hoạt. 7. Ở tư thế thẳng đứng, thực vật dưới nước được giữ bởi lực Archimedes. Tác dụng của nó được tăng cường nhờ các khoang khí bên trong thân cây, hoạt động như những chiếc phao. 8. Lá hoặc bèo che phủ mặt nước có thể hạn chế quá trình khuếch tán trong việc cung cấp oxy cần thiết cho các tầng sâu hơn cho cư dân dưới nước. 9. Trong tất cả các trường hợp này, vấn đề nằm ở đặc điểm bề mặt thực vật không bị nước làm ướt. 10. Một cây quá cao sẽ không chịu được trọng lượng của chính nó - khi kích thước của nó tăng lên, khối lượng và khối lượng của nó phát triển nhanh hơn diện tích của gốc thân cây. Nhưng một hạn chế nghiêm trọng hơn liên quan đến áp suất thẩm thấu - sự khuếch tán một chiều của các phân tử qua màng tế bào - làm tăng nhựa từ rễ lên lá lên độ cao không quá vài chục mét. Cùng với sự thẩm thấu, sự gia tăng