Bài toán M2502—M2505; F2509—F2512

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2502–M2505 đã được đưa ra ở giai đoạn khu vực của Olympic Toán học toàn Nga XLIV dành cho học sinh. Bài toán F2509–F2512 đã được đưa ra tại Olympic Vật lý mở rộng toàn Siberia 2018 dành cho học sinh.

Bài toán M2502–M2505, F2509–F2512

M2502. Petya và Vasya thay phiên nhau viết lên bảng các số tự nhiên không vượt quá 2018 (cấm viết số hiện có); Petya bắt đầu. Nếu sau khi người chơi đi nước đi, có ba số trên bảng tạo thành cấp số cộng thì người chơi đó thắng. Người chơi nào có chiến lược chắc chắn sẽ giành chiến thắng? M. Didin, P. Kozhevnikov

M2503. Cho tam giác ABC, trong đó A C 30 q (Hình 1). Trên các cạnh AB, BC và AC lần lượt chọn các điểm D, E, F sao cho BFD BFE 60 q. Chu vi tam giác ABC là

Cơm. 1

p và chu vi của tam giác DEF là $p_{1}$. Chứng minh rằng $p d 2 p_{1}$. A. Kuznetsov

M2504. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n như vậy! $10^{2018}$ rằng tổng của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn n là nguyên tố cùng nhau với n. R.Salimov

M2505. Trong công ty có 100 em, trong đó có một số em là bạn bè (tình bạn luôn là của nhau). Được biết, khi xác định được bất kỳ đứa trẻ nào, 99 đứa trẻ còn lại có thể chia thành 33 nhóm ba người sao cho trong mỗi nhóm cả ba đều là bạn của nhau theo cặp. Tìm số cặp trẻ em thân thiện nhỏ nhất có thể. S. Berlov, N. Vlasova, D. Khramtsov

F2509. Một toa xe mui trần không mui (công nhân đường sắt gọi là toa gondola) có chiều cao H = 4,5 m chuyển động với vận tốc không đổi u = 6 m/s. Ngay khi cỗ xe đi qua người chất hàng, anh ta lập tức cố ném một chiếc túi nhỏ qua bức tường phía sau xe. Vận tốc tối thiểu v (tính bằng m/s) phải được truyền cho túi là bao nhiêu? Biết rằng khi ném một túi, người ném “thả” túi ở độ cao h = 1 m so với mặt đất. Gia tốc trọng trường g = 9,8 m $с^{2}$. Bỏ qua sức cản của không khí. A. Kipriyanov

F2510. Cổ chai có đường kính trong D = 1 cm nằm cách vòi nước một khoảng H = 10 cm, đường kính trong của vòi là $D_{0} = 2$ cm (Hình 2). Tâm của cổ chai và vòi vòi nằm trên cùng một đường thẳng đứng. Ở mức tối đa nào