Bài toán M2530—M2533; F2537—F2540

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2531 và M2532 đã được đưa ra tại Olympic Siêu đô thị lần thứ III.

Bài toán M2530–M2533, F2537–F2540

M2530. Trong một tam giác nhọn, các điểm $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt được lấy trên các cạnh BC, CA, AB sao cho các đoạn $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ cắt nhau tại một điểm. Được biết, BC $AA_{1} CA$ $BB_{1} AB$ $CC_{1}$. Chứng minh rằng $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ là các đường cao của tam giác. P.Kozhevnikov

M2531. Cho k là một số tự nhiên và $1 d_{0} d_{1}$ … $d_{m} 4 k$ đều là các ước dương của 4k. Chứng minh rằng tồn tại i^1, …, m ` sao cho $d_{i} d_{i} 1 2$. I. Mitrofanov

M2532. Anya và Maxim chơi trò chơi trên bàn cờ ca rô 100 và 100. Đầu tiên, Anya điền vào các ô vuông của bảng các số nguyên từ 1 đến 10.000 sao cho mỗi số xuất hiện một lần. Sau đó, Maxim đặt một con chip vào một trong các ô của cột ngoài cùng bên trái mà anh ấy chọn. Sau đó, trong một vài nước đi, anh ta di chuyển con chip sang cột ngoài cùng bên phải. Trong một lần di chuyển, anh ta có thể di chuyển một quân cờ từ một ô sang bất kỳ ô nào liền kề với nó dọc theo đỉnh hoặc cạnh. Đối với mỗi ô được truy cập (bao gồm cả ô đầu tiên), Maxim trả cho Anya số xu được ghi trên ô này. Maxim muốn trả càng ít càng tốt, nhưng Anya muốn nhận được càng nhiều càng tốt. Bao nhiêu xu

Maxim sẽ trả tiền nếu mỗi người trong số họ hành động theo cách tốt nhất cho mình? L. Shabanov

$M2533^{*}$. Cho một tứ diện. Gọi a và b là độ dài hai cạnh đối diện của tứ diện, D và E là giá trị của các góc nhị diện ở các cạnh này; c và d là độ dài các cạnh trong một cặp cạnh đối diện khác, còn J và G là giá trị của các góc nhị diện ở các cạnh này. Chứng minh rằng a + b = c + d khi và chỉ khi D E J G. M. Panov

F2537. Hai thanh giống hệt nhau được nối với nhau bằng một thanh cứng, không trọng lượng và chuyển động dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhẵn của bàn (xem hình). Tại một thời điểm nào đó, các thanh bắt đầu di chuyển vào khu vực gồ ghề của bàn. Tìm hệ số ma sát P của các thanh trên một bề mặt gồ ghề nếu chúng có tốc độ v lúc bắt đầu chuyển động và sau khi đi qua mặt bàn gồ ghề, chúng chuyển động với tốc độ u. Chiều dài mỗi khối là l, thanh là s, phần thô của bàn là l + s. A. Ivanov

F2538. Vào mùa đông, căn phòng được sưởi ấm bằng lò sưởi.

17

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Hình 2

Cho hai parabol $G_{1}$ và $G_{2}$ (có trục song song) cắt nhau tại điểm A và B (Hình 2). Để đường thẳng đi qua A cắt $G_{i}$ lần thứ hai tại điểm $A_{i} (i = 1,$ 2) và để đường thẳng đi qua B cắt $G_{i}$ lần thứ hai tại điểm $B_{i}$. Sau đó $A_{1} B_{1} P A_{2} B_{2}$. A. Antropov, P. Kozhevnikov

M2519. Ta gọi phương pháp phân chia một tập hợp gồm 2n số tự nhiên thành n cặp số tự nhiên nếu không có cặp số nào thì tích của các số là bình phương của một số tự nhiên. Người ta biết rằng với 2n số tự nhiên khác nhau có cách phân chia thành từng cặp một cách không bình phương. Chứng minh rằng trong trường hợp này có ít nhất n! các cách không có bình phương để phân chia 2n số này thành từng cặp.

Với mỗi số tự nhiên m, chúng ta liên kết một tập hợp các số nguyên tố P m, mỗi số đó được đưa vào khai triển số m thành lũy thừa lẻ. Ví dụ: $P 2^{3}$ $7^{8}$11^2; 11 ` $, P 3^{4}$ $5^{6}$ . Hiển nhiên, tích của a và b tự nhiên là một số chính phương khi và chỉ khi các tập P a và P b trùng nhau. Hãy tô màu 2n số cho trước theo cách này: các số mà các tập P m trùng nhau được tô cùng màu, và các số mà các tập P m khác nhau được tô màu khác nhau. Vì có một phân vùng không có hình vuông thành từng cặp nên có nhiều nhất n số được tô mỗi màu. Chúng ta hãy chứng minh bổ đề sau, từ đó lời giải bài toán ngay sau đó.

“QUANTA”

Bổ đề. Cho 2n đồ vật (khác nhau) được tô bằng nhiều màu sao cho có tối đa n đồ vật được tô mỗi màu. Khi đó có ít nhất n! cách chia các đồ vật này thành các cặp nhiều màu (nghĩa là mỗi cặp chứa các đồ vật có màu khác nhau). Chứng minh bổ đề. Hãy tiến hành quy nạp theo n. Cơ sở n = 1 là hiển nhiên. Hãy chứng minh sự chuyển đổi từ n – 1 sang n. Hãy chọn màu c xuất hiện trong số các đối tượng này với số lần lớn nhất, tức là. Cho có k đối tượng có màu c và nhiều nhất k đối tượng có màu bất kỳ khác. Hãy lấy đối tượng A có màu c và chọn cho nó một cặp B có bất kỳ màu d nào khác ngoài c; điều này có thể được thực hiện theo 2n – k cách. Hơn nữa, 2n k t n, vì k d n. Bằng cách loại bỏ cặp A, B, chúng ta thu được một bộ gồm 2 n 1 đối tượng. Chúng ta hãy kiểm tra xem màu sắc của chúng có thỏa mãn các điều kiện của bổ đề hay không. Thật vậy, chúng ta hãy giả sử điều ngược lại và các vật có màu e nào đó không nhỏ hơn n. Màu e khác với c và d, vì sau khi loại bỏ các đối tượng A và B của mỗi màu c và d, chỉ còn lại n – 1. Khi đó k t n, và trước khi loại bỏ đối tượng A và B, mỗi màu c và e chiếm n đối tượng - mâu thuẫn (ít nhất vẫn còn một đối tượng B màu d). Vì vậy chúng ta có thể sử dụng giả thuyết quy nạp. Điều này có nghĩa là với mỗi cách chọn đối tượng B cho tập kết quả gồm 2 n 1 đối tượng thì có ít nhất n 1! phân vùng thành từng cặp nhiều màu. Tổng cộng của một tập hợp gồm 2n đối tượng – ít nhất n n 1! phân vùng thành từng cặp nhiều màu. Bổ đề được chứng minh là hoàn thành lời giải bài toán. Hãy để chúng tôi chỉ ra cách tiếp cận khác lời giải. Hãy giới thiệu một biểu đồ phụ: hãy gán các đỉnh cho các số (tổng cộng 2n đỉnh) và sử dụng các cạnh để nối các cặp đỉnh mà tích các số không bằng một bình phương chính xác. Không khó để chứng minh rằng trong đồ thị như vậy điều kiện chuyển mạch sau được thỏa mãn: nếu có một cặp cạnh AB và CD, trong đó A, B, C, D là bốn đỉnh khác nhau thì hoặc cũng có một cặp cạnh AC và BD, hoặc có một cặp cạnh AD và BC (điều kiện chuyển mạch