Kvant 2020, số 6 · Trang

3

Kính vạn hoa

Kính vạn hoa trong không gian Lobachevsky là chủ đề nghiên cứu chuyên sâu từ năm 1965 liên quan đến một số vấn đề nhất định trong lý thuyết nhóm. Mô tả đầy đủ của họ ở bất kỳ chiều nào vẫn chưa hoàn chỉnh. Có một kết quả đáng kinh ngạc (của tác giả bài báo) là ở thời điểm n t 30 không có kính vạn hoa nào trong không gian lobachevsky n chiều. Các ví dụ về kính vạn hoa như vậy chỉ được biết đến trong n d 8. Ngoài các ứng dụng đã được đề cập của kính vạn hoa trong hình học (khối đa diện đều), lý thuyết về hàm số phức và lý thuyết nhóm, còn có những ứng dụng không kém phần quan trọng trong lý thuyết số, lý thuyết đại số Lie, hình học đại số và các nhánh khác của toán học. Tuy nhiên, cần phải nói rằng thuật ngữ “kính vạn hoa” không được sử dụng trong các tài liệu toán học nghiêm túc. Thay vào đó họ nói “một nhóm riêng biệt được tạo ra bởi sự phản ánh.” Trong bài viết chúng tôi không có cơ hội nói về ứng dụng của kính vạn hoa (ngoại trừ mối liên hệ giữa kính vạn hoa hình cầu và khối đa diện đều). Tuy nhiên, bản thân việc nghiên cứu kính vạn hoa đã tạo nên một trang sáng sủa của hình học. Thông tin đầy đủ hơn về kính vạn hoa có thể được tìm thấy trong bài viết đánh giá [2].

1. Tính năng chính của kính vạn hoa

Hãy xem xét tình huống đơn giản nhất - hai gương đặt ở một góc D nhất định với nhau. Nếu góc D không phải là phần nguyên của S thì như trong Hình 1, a, ảnh của một vật đặt giữa hai gương sẽ chồng lên nhau, sao cho tại một điểm chúng ta sẽ nhìn thấy ảnh của hai vật khác nhau a) b)

Hình 1. Hệ thống hai gương

điểm. (Trên thực tế, chúng ta sẽ có thể nhìn thấy ảnh của hai điểm khác nhau tại một điểm không phải đồng thời mà chỉ bằng cách di chuyển điểm nhìn, nhưng điều này không liên quan đến thảo luận lý thuyết của chúng ta.) Nếu góc D là một phần nguyên của S, chẳng hạn như trong Hình 1, b, thì điều này không xảy ra. Vì ảnh của mỗi điểm không vượt ra ngoài mặt phẳng vuông góc với trục chung của gương của chúng ta (đây là mặt phẳng được minh họa trong Hình 1), nên hiện tượng chúng ta phát hiện ra về cơ bản là hai chiều. Chúng ta có thể nói về sự phản chiếu qua gương của các hình phẳng so với các đường thẳng, và Hình 1 chứng minh rằng ảnh thu được từ nhiều phản xạ so với các cạnh của một góc không trùng nhau khi và chỉ khi giá trị D của góc này là một phần nguyên của S. Chính xác hơn, nếu D S k, trong đó k t 2 là số tự nhiên, thì toàn bộ mặt phẳng được chia thành 2k góc bằng nhau với một đỉnh chung, trong đó mỗi góc thu được một ảnh bên trong của góc ban đầu. Ở một nửa trong số các góc này, hình ảnh được phản chiếu, ở nửa còn lại, bao gồm cả góc ban đầu, chúng không bị đảo ngược. Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng một đa giác lồi được hình thành bởi gương. Trong trường hợp nào thì hình ảnh thu được từ nhiều hình ảnh phản chiếu bên trong của đa giác so với các cạnh của nó sẽ không trùng nhau? Từ phần trước, để làm được điều này, điều cần thiết là tất cả các góc của đa giác phải là phần nguyên của S. Có thể chứng minh rằng điều kiện này cũng đủ. Nếu nó được đáp ứng, thì toàn bộ mặt phẳng sẽ được chia thành các đa giác bằng hình ban đầu, sao cho bất kỳ hai đa giác nào có một cạnh chung đều đối xứng với cạnh này. Trong mỗi đa giác của phân vùng này, thu được một hình ảnh bên trong của đa giác ban đầu. Hình 2 thể hiện phân hoạch của mặt phẳng thu được từ một tam giác đều. Đó là sự phân chia mà chúng ta thấy khi nhìn qua kính vạn hoa thông thường.

8

KVANT 2020/№6

Đặt các nguyên tử natri Na và clo Cl vào các đỉnh như hình vẽ. Cũng không khó để tìm thấy tất cả các kính vạn hoa trên một quả cầu ba chiều. Chúng đều là những kim tự tháp hình tam giác (hình cầu). Dấu bằng trong (6) trong trường hợp này được thay thế bằng dấu “lớn hơn”, giống như khi di chuyển từ mặt phẳng Euclide sang mặt cầu, tổng các góc của một tam giác sẽ lớn hơn S.

5. Định lý Andreev

Trong không gian Lobachevsky, dấu bằng trong (6) được thay bằng dấu “nhỏ hơn”. Không khó để tìm thấy tất cả các khối đa diện Coxeter trong không gian Lobachevsky, đều là những hình chóp tam giác. Tuy nhiên, trong trường hợp này chúng chỉ là một phần không đáng kể của tất cả các khối đa diện Coxeter. Giống như trên mặt phẳng Lobachevsky có các đa giác Coxeter với số cạnh lớn tùy ý (trên thực tế là bất kỳ), trong không gian Lobachevsky có các khối đa diện Coxeter với số mặt lớn tùy ý. Nhưng không giống như đa giác, chúng có thể có cấu trúc tổ hợp rất phức tạp. Vì vậy, không dễ để có được một mô tả đầy đủ về chúng. Ở mức độ mà điều này dường như có thể xảy ra, thì điều này đã được E.M. Andreev thực hiện vào năm 1970. Ông đã chứng minh một định lý tổng quát không chỉ áp dụng cho các khối đa diện Coxeter mà còn cho tất cả các khối đa diện lồi có các góc nhị diện không vượt quá S 2. Những khối đa diện như vậy được gọi là góc nhọn (mặc dù chúng cũng có thể có các góc nhị diện vuông). Như chúng ta đã chứng minh ở Phần 4 (chứng minh không thay đổi trong trường hợp không gian Lobachevsky), mọi khối đa diện nhọn đều đơn giản. Định lý Andreev đưa ra các điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại trong không gian Lobachevsky của một khối đa diện nhọn có cấu trúc tổ hợp cho trước, khác với hình chóp tam giác, với các góc nhị diện cho trước. Những điều kiện này như sau:

1. nếu ba mặt bất kỳ hội tụ tại một đỉnh thì tổng các góc giữa chúng lớn hơn S (sự cần thiết của điều kiện này đã được chứng minh ở Mục 4); 2) nếu ba mặt bất kỳ kề nhau theo từng cặp nhưng không hội tụ tại một đỉnh thì tổng các góc giữa chúng nhỏ hơn S; 3) nếu bốn mặt bất kỳ kề nhau “trong một đường tròn” (như các mặt bên của lăng trụ tứ giác), thì không phải tất cả các góc giữa chúng đều bằng S 2; 4) nếu khối đa diện là lăng trụ tam giác thì không phải tất cả các góc tạo bởi các đáy có các mặt bên đều bằng S 2. Định lý Andreev về mặt nào đó tương tự như định lý nổi tiếng của A.D. Aleksandrov về sự tồn tại của đa diện Euclide với một sự phát triển cho trước. Tuy nhiên, không có (và không thể) sự tương tự chính xác của nó trong hình học Euclide. Đây là một trong những định lý đặc thù của hình học Lobachevsky, tương tự như tiêu chuẩn về sự bằng nhau của các tam giác ở ba góc. Chẳng hạn, sử dụng định lý Andreev, không khó để chứng minh sự tồn tại trong không gian Lobachevsky của các khối đa diện “hình chữ nhật” (nghĩa là các khối đa diện có tất cả các góc nhị diện đều vuông) với số mặt lớn tùy ý. (Bạn đọc có thể dễ dàng tự làm việc này.) Như vậy, ta thu được nhiều kính vạn hoa hình chữ nhật khác nhau trong không gian Lobachevsky. Không thể thảo luận chi tiết hơn về vấn đề này, chúng ta sẽ chỉ lưu ý rằng kể từ cuối thế kỷ trước, kính vạn hoa trong không gian Lobachevsky đã được áp dụng cho số học dạng bậc hai, và trong 15 năm qua, chúng đã được sử dụng trong cấu trúc liên kết ba chiều.

Văn học

1. G.S.M. Coxeter. Giới thiệu về hình học. – M.: Nauka, 1966. 2. E.B. Vinberg, O.V. Shvartsman. Nhóm chuyển động rời rạc của không gian có độ cong không đổi Itogi Nauki i Tekhniki. Các vấn đề hiện đại của toán học. Các hướng cơ bản. – M.: VINITI, 1988, tập. 29. 3. E.B. Vinberg. Về hình học phi Euclide Tạp chí giáo dục Soros, 1996, số 3.

Giới thiệu về ovo

A. VARLAMOV

Điều quan trọng là dù chúng ta có cố gắng đập quả trứng vào cốc cẩn thận đến đâu thì chúng ta cũng không thể thay đổi các định luật vật lý. Quả trứng có thể không nở ra, và một người đầu bếp lành nghề sẽ không bao giờ nở ra, nhưng chắc chắn nó sẽ rơi thẳng đứng với gia tốc trọng trường. V. Pokhlebkin. Bí quyết ẩm thực ngon

DỊCH TỪ LATIN “AB OVO” nghĩa đen là “từ quả trứng”. Theo nghĩa bóng, cách diễn đạt này được sử dụng khi họ muốn biểu thị tính độc đáo, tính ưu việt của một điều gì đó. Chính nghĩa bóng này mà người xưa đã đặt làm nghĩa chính trong từ “ab ovo”. Bản thân họ không hề nhận thức được điều đó, do đó họ đã giải quyết ủng hộ quả trứng một sự ngụy biện đã tồn tại từ thời xa xưa: cái gì có trước - con gà hay quả trứng? Chúng ta sẽ gác câu hỏi này sang một bên và sẽ giải quyết một số hiện tượng vật lý, chọn… một quả trứng gà làm đối tượng nghiên cứu. Ai mà không nhớ nguyên nhân chết người của mối bất hòa giữa Lilliput và đế chế Blefuscu được mô tả trong Gulliver’s Travels? Đó là sắc lệnh của Hoàng đế Lilliput, ra lệnh cho tất cả thần dân, phải chịu đau đớn đến chết, phải đập trứng từ đầu nhọn. Gulliver tin rằng việc chọn đầu để đập một quả trứng là việc của chủ nhân. Từ bất cứ điều gì bạn muốn, hãy tách nó ra khỏi điều đó. Chúng tôi hoàn toàn đồng ý với quan điểm này, nhưng chúng tôi vẫn tự hỏi: đầu nào của quả trứng dễ vỡ hơn? Lời giải trong số bài toán này sẽ giúp, chẳng hạn, chọn chiến thuật phù hợp trong “trận chiến trứng luộc”, vốn thường xảy ra ở trẻ em tại bàn lễ Phục sinh. Phải làm gì cho đúng: tấn công kẻ thù hoặc tự mình chờ đợi cuộc tấn công;

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200602

chọn một quả trứng lớn hoặc một quả nhỏ; giữ nó bằng đầu nhọn hay cùn về phía kẻ thù? Đây là những câu hỏi chính về chiến thuật và chiến lược trong một trận chiến như vậy. Có ý kiến ​​​​cho rằng kẻ tấn công sẽ thắng. Tuy nhiên, với việc quả trứng di chuyển đồng đều thì việc tấn công mình hay đợi kẻ địch tấn công cũng không có gì khác biệt. Để bị thuyết phục về điều này, bạn không cần phải đập trứng: chỉ cần nhớ nguyên lý tương đối của Galileo và “sự chuyển đổi” sang hệ quy chiếu mà kẻ tấn công đang đứng yên là đủ. Trong đó, anh ta tự động biến từ một “kẻ xâm lược” thành một “bên bị thương”. Bây giờ chúng ta xét quá trình va chạm của hai quả trứng. Chúng ta sẽ giả định rằng những quả trứng có kích thước và hình dạng hoàn toàn giống nhau và vỏ của chúng được “thiết kế” để chịu cùng tải trọng tối đa. Những quả trứng va chạm dọc theo trục quay, một quả có đầu nhọn, quả còn lại có đầu cùn (Hình 1). Giả sử rằng diện tích

Hình 1. Pha đàn hồi khi hai quả trứng va chạm

điểm tiếp xúc của trứng là một vòng tròn nhỏ bán kính r. Việc đường viền phẳng hay cong theo bất kỳ hướng nào không quan trọng. Điều quan trọng là, theo định luật thứ ba của Newton, các lực tác dụng trong quá trình va chạm từ quả trứng này sang quả trứng khác có độ lớn tuyệt đối bằng nhau và hướng ngược nhau. Khi chuyển giao quyền lực này

13

VỀ

đấu thầu các đặc tính điện. Một quả trứng là một chất điện môi. Chính đặc tính này của vỏ trứng mà Michael Faraday đã sử dụng để chứng minh hiện tượng điện khí hóa. Lấy một quả trứng sống và dùng kim tạo hai lỗ trên đó - một lỗ lớn hơn, lỗ kia nhỏ hơn. Bằng cách thổi vào cái nhỏ hơn, bạn có thể thổi bay toàn bộ chất bên trong quả trứng và bạn sẽ chỉ còn lại một chiếc vỏ rỗng, nguyên vẹn trong tay. Bây giờ hãy mang một thanh gỗ ebonite nhiễm điện hoặc một chiếc lược nhựa thông thường mà bạn vừa dùng để chải tóc vào đó. Giờ đây, bất cứ nơi nào bạn di chuyển chiếc que hay chiếc lược, chiếc vỏ, giống như một con chó bị xích, sẽ không ngừng bám theo chúng. Sử dụng vỏ trứng rỗng, bạn có thể tạo ra mô hình một chiếc ô tô phản lực. Để làm điều này, chỉ cần bịt một lỗ lớn bằng kẹo cao su, đổ đầy nước vào vỏ và đặt nó lên xe đẩy nhẹ nhất có bánh xe quay tự do (Hình 4). Đặt một khối lập phương dưới quả trứng.

Hình 4. Động cơ phản lực

nước ép rượu khô và đốt lửa. Nước sẽ sớm sôi lên và hơi nước thoát ra từ lỗ nhỏ nhờ nguyên lý phản lực sẽ bắt đầu tăng tốc cho xe đẩy. …Chúng tôi đã hướng dẫn bạn cách phân biệt trứng luộc với trứng sống mà không làm vỡ. Có thể biết trứng tươi hay không mà không cần đập vỡ trứng? Hóa ra là có thể. Để làm điều này, chỉ cần cho một quả trứng sống vào cốc nước (Hình 5). Một quả trứng mới đẻ được vài ngày

OVO

Hình 5. Trứng càng già thì càng nổi.

ngược lại, chìm xuống đáy cốc. Một quả trứng được đẻ cách đây một tuần nổi trên mặt nước ở tư thế thẳng đứng. Một quả trứng được đẻ cách đây ít nhất ba tuần sẽ nổi ngay lập tức, với một phần nhô ra khỏi mặt nước. Thực tế là khi trứng già đi, các quá trình phân hủy protein và lòng đỏ xảy ra trong đó. Các quá trình này đi kèm với việc giải phóng hydro sunfua, chất này bay hơi một phần khỏi trứng qua các lỗ nhỏ nhất trên vỏ và lấp đầy một phần khoang không khí trong trứng. Do đó, mật độ của trứng giảm. Nhưng bạn không đến cửa hàng với một nồi nước để kiểm tra xem trứng có tươi hay không?! Bạn có thể làm đơn giản hơn: nhìn quả trứng “qua ánh sáng”: nếu sáng bóng là trứng tươi, nếu sẫm màu là trứng đã ôi. Hydrogen sulfide giải phóng trong trứng hư làm giảm độ trong suốt của nó. Ngày xưa, các cửa hàng thậm chí còn có những thiết bị đặc biệt - ống soi buồng trứng, trong đó có các ô để đặt trứng đang được kiểm tra và đèn được bật lên, giúp bạn có thể nhìn thấy tất cả những quả trứng đã được kiểm tra dưới ánh sáng. …Để kết luận, hãy thử thí nghiệm thủ thuật sau. Lấy hai cốc trứng và đặt chúng gần nhau. Đặt một quả trứng luộc chín vào một trong số chúng. Thổi mạnh vào khoảng trống giữa quả trứng và thành kính. Quả trứng sẽ nhảy ra khỏi cốc và nhảy sang cốc tiếp theo. Nếu thủ thuật này hiệu quả, hãy cố gắng giải thích nó.

15

TỪ

$И_{С} Т_{О}$ RII

các vấn đề xác suất. Trước chiến tranh, học giả A.N. Kolmogorov và dưới sự lãnh đạo của ông đã xác định cách phân tán đạn pháo có lợi nhất và tạo ra các bàn bắn pháo, làm cơ sở cho việc bắn và huấn luyện sĩ quan pháo binh. Vào đầu cuộc chiến, vấn đề nâng cao hiệu quả bắn của súng phòng không trở nên rất gay gắt. Các tham số làm phức tạp lời giải điều này bài toán bao gồm khả năng cơ động cao của mục tiêu, khiến việc xác định vị trí của mục tiêu trở nên khó khăn, đặc biệt là trong điều kiện ban đêm, sự khác biệt về cấu hình máy bay, hiểu biết không chính xác về hình nón phân tán của các mảnh đạn và các thông số khác. Sự nghiêm ngặt lời giải của lý thuyết xác suất bài toán này dẫn đến các phép tính toán học phức tạp và nhu cầu sử dụng công nghệ máy tính tốc độ cao, vốn chưa có vào thời điểm đó. Dựa trên một số giả định đơn giản hóa, A.N. Kolmogorov đề xuất một sơ đồ tính toán hiệu quả có thể áp dụng trong điều kiện chiến đấu thực tế. Trên cơ sở lý thuyết này, hiện vẫn được giảng dạy trong các học viện quân sự, các bàn bắn phòng không đã được tạo ra. Các tính toán được thực hiện vào năm 1942-43 bởi một nhóm nhỏ nhân viên, nghiên cứu sinh và sinh viên, do A.N. Kolmogorov ở Mátxcơva. Năm 1942, ông cũng tiến hành tính toán quỹ đạo của bom máy bay và lập các bảng ném bom từ độ cao thấp ở tốc độ máy bay thấp so với máy bay ném bom ban đêm loại U-2. Những chiếc máy bay huấn luyện nhỏ này, đóng tại các sân bay tiền tuyến, hóa ra lại là một vũ khí đáng gờm để trấn áp nhân lực của đối phương. Công việc rất phù hợp về việc bố trí các khẩu đội phòng không có lợi nhất trong khu vực phòng thủ Mátxcơva đã được thực hiện bởi Giáo sư N.A. Glagolev. Một chu trình công việc cơ bản được dành cho lý thuyết điều hướng con quay hồi chuyển, việc tạo ra hệ thống lái tự động (B.V. Bulgkov), cải tiến và nâng cao

N U K Tôi

độ chính xác của các thiết bị con quay hồi chuyển hàng hải và thiết bị điều khiển hỏa lực pháo binh trên tàu Hải quân (A.Yu. Ishlinsky, Y.N. Roitenberg), việc tạo ra các thiết bị điều khiển hỏa lực và pháo binh (S.V. Bakhvalov). NG Chetaev đã phát triển một lý thuyết chung về độ ổn định trong chuyển động của các vật thể, đặc biệt là độ ổn định của chuyển động tịnh tiến-quay của đạn đã được nghiên cứu và đưa ra định nghĩa về độ dốc súng trường thuận lợi nhất của nòng súng. Ông cũng nghiên cứu độ ổn định của máy bay trên đường băng. Liên quan đến chuyến bay của tên lửa, N.D. Moiseev đã đề xuất và phát triển một lý thuyết kỹ thuật về sự ổn định của chuyển động. Điều quan trọng cần lưu ý là các công trình của chu trình này đã đặt nền tảng đáng tin cậy cho lý thuyết chuyển động có kiểm soát, lý thuyết này sau đó đóng một vai trò quan trọng trong ngành du hành vũ trụ. Trong những năm đầu của cuộc chiến, một vấn đề rất nghiêm trọng đã nảy sinh về sức mạnh của đạn pháo. Theo các tiêu chuẩn tồn tại vào thời điểm đó, thân đạn được làm bằng thép hợp kim, với công nghệ xử lý nhiệt phức tạp giúp giảm thiểu biến dạng dẻo của đạn. Đồng thời, ngành công nghiệp sơ tán về phía đông không thể cung cấp đủ lượng thép và vỏ sản xuất cần thiết. Ở phía trước có một cơn đói đạn pháo. Theo chỉ dẫn của Ủy ban Pháo binh, A.A. Ilyushin và các đồng nghiệp của ông (S.M. Popov và những người khác) đã tiến hành nghiên cứu sâu rộng và chứng minh rằng biến dạng dẻo của thân đạn không chỉ có thể chấp nhận được mà còn hữu ích. Điều này giúp sau khi bắn pháo thử nghiệm, xác nhận kết luận của nhà khoa học, có thể chuyển sang sản xuất hàng loạt thân đạn từ thép đơn giản không qua xử lý nhiệt và thép đúc, giúp cải thiện đáng kể việc cung cấp đạn cho mặt trận. Tất cả các giai đoạn làm việc chung của đạn và nòng đều được nghiên cứu kỹ lưỡng, bao gồm cả quá trình cắt vào đai truyền động. Phương pháp tính toán sức mạnh của đạn và một số công thức tính toán đã được đưa vào tiêu chuẩn công nghệ và giảng dạy trong quân đội.

16

KVANT 2020/№6

học viện. Trong quá trình nghiên cứu này, một hướng đi mạnh mẽ trong lý thuyết về tính dẻo đã được hình thành với nhiều ứng dụng cho các ngành công nghiệp và công nghệ khác nhau, chiếm vị trí hàng đầu trong cơ học hiện đại. Điều quan trọng cần lưu ý là trong cùng những năm chiến tranh khó khăn, các tác phẩm sắp đặt thử nghiệm ban đầu đã được tạo ra. Một số bài toán liên quan đến việc ném đạn và sự tương tác của nó với áo giáp đã được N.A. Slezkin xem xét. Bài toán độ bền của dây cáp của khinh khí cầu và tăng hiệu quả hoạt động của chúng đã được giải quyết bởi Kh.A. Rakhmatulin. Điều này dẫn đến việc hình thành lý thuyết về tác động ngang lên sợi dây đàn hồi và lý thuyết truyền sóng đàn hồi-dẻo, được phát triển rộng rãi sau chiến tranh. Trong số bài toán khác mà Kh.A. Rakhmatulin đã nghiên cứu để đáp ứng nhu cầu của ngành công nghiệp quốc phòng và mặt trận, phải kể đến tính khí động học của bom và đạn pháo, cũng như khí cầu chặn, tính khí động học của dù, bao gồm cả chế độ triển khai đặc biệt phức tạp. Để tăng khả năng cơ động của xe tăng và pháo tự hành có bánh xích dài, M.A. Kreines, thuộc phòng thiết kế của Trường Kỹ thuật Cao cấp Bauman Moscow, đã quyết định bài toán tạo ra các sơ đồ cơ cấu bánh răng thông thường phức tạp để điều khiển chuyển động của đường ray. Việc tạo ra các phương pháp phức tạp bài toán để giải mã ảnh X quang và các báo cáo khác của kẻ thù đã được giải quyết trong hệ thống Hải quân bởi một nhóm nhân viên Cơ học và Toán học (A.O. Gelfond, G.I. Dvuhsherstov, A.M. Pivovarov, V.G. Cheban và những người khác). Viện sĩ N.E. Kochin, dựa trên lý thuyết về cánh tròn, đã tính toán chuyển động của máy bay ở độ cao thấp; A.A. Kosmodemyansky cũng tham gia vào một nhiệm vụ tương tự. L.I. Sedov, với tư cách là thành viên của TsAGI, đã nghiên cứu các vấn đề về thủy động lực học liên quan đến việc chế tạo tàu phóng lôi và thủy phi cơ. Ông đã thực hiện nghiên cứu ban đầu về khả năng phóng ngư lôi ở tốc độ thấp từ một chiếc máy bay có sự chuyển đổi lực kéo-

bước đi từ không khí sang nước; hai phát minh đã được thực hiện (bộ ổn định khí ngư lôi, khóa cố định bộ ổn định tự động). Đặc biệt đáng chú ý là công trình mang tính định hướng nhân văn của Giáo sư Cơ học và Toán học, Thiếu tướng Quân chủng Công binh M.M. Filonenko-Borodich. Chúng ta đang nói về sức mạnh của lớp băng bao phủ liên quan đến “con đường sống” của Leningrad bị bao vây. Ngay cả danh sách ngắn gọn và không đầy đủ này cũng đưa ra ý tưởng về sự vĩ đại trong công việc của các nhà khoa học của chúng ta, cho thấy sự đóng góp nghiêm trọng và quan trọng của các nhà khoa học Cơ học và Toán học vào chiến thắng, với sự căng thẳng và khao khát cống hiến trực tiếp cho mặt trận mà các nhà khoa học của chúng ta đã làm việc trong chiến tranh. Được lưu và chuẩn bị xuất bản bởi S. Konovalov

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2607 được đưa ra ở chặng cuối của Thế vận hội XII mang tên L. Euler, bài toán M2608 – tại XXIII A.N. Cúp tưởng niệm Kolmogorov. Bài toán F2613–F2616 được trao cho học sinh đã hoàn thành lớp 8 tại Olympic Mùa hè của Trung tâm Nghiên cứu Khoa học của Đại học Bang Moscow. Tác giả bài toán – S. Varlamov.

Bài toán M2606–M2609, F2613–F2616

M2606. Ba đường tròn $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ đi qua một điểm D và lại cắt nhau tại các điểm A, E, F như hình 1. Biết rằng $Z_{3}$ đi qua

M2608. Một hình tứ giác lồi có bản lề được làm từ bốn thanh gỗ. Sau đó, hai điểm ở phía đối diện của nó được nối bằng một dải khác (Hình 2),

Hình 2

Hình 1

qua tâm B của đường tròn $Z_{2}$. Đường thẳng EF cắt $Z_{1}$ lần thứ hai tại điểm G. Chứng minh rằng GAB 90 q. K.Knop

M2607. Cho số tự nhiên n. Một tập hợp A gồm các số tự nhiên sao cho với mọi số tự nhiên m d n trong tập A đều có một số chia hết cho m. Giá trị nhỏ nhất mà tổng tất cả các phần tử của tập hợp A có thể nhận là bao nhiêu? A. Kuznetsov, nhưng cấu trúc vẫn không cứng nhắc. Từ đó có suy ra rằng tứ giác này là hình bình hành không? A. Zaslavsky M2609. Cho một số tự nhiên n t 2. Tất cả các ô của bảng n u n được sơn bằng nhiều màu sao cho không có hình vuông 2 u 2 gồm bốn ô cùng màu. Đường đi lốm đốm có độ dài k là một chuỗi gồm các ô khác nhau $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{k}$ sao cho với tất cả 1 d i d k 1 ô $a_{i}$ và $a_{i} 1$ có một cạnh chung và được tô màu khác nhau. Với k lớn nhất trong bảng thì có một đường lốm đốm có độ dài k, bất kể màu của các ô trong bảng là bao nhiêu? N. Belukhov

18

KVAN T 2020/Số 6

F2613. Để nghiên cứu cơn bão đang di chuyển về phía bắc với tốc độ trung bình 20 km/h, hai máy bay không người lái (UAV) với các nhiệm vụ bay khác nhau đã được gửi từ cùng một sân bay. Mỗi thiết bị được cho là ở khoảng cách 20 km theo chiều ngang tính từ tâm lốc xoáy và di chuyển với tốc độ không đổi so với không khí xung quanh là 20 m/s ở một độ cao nhất định (như nhau đối với cả hai thiết bị), để bay quanh tâm lốc xoáy. Một thiết bị theo chiều kim đồng hồ (khi nhìn từ trên xuống) và thiết bị thứ hai ngược chiều kim đồng hồ. Tại thời điểm phóng, khoảng cách từ sân bay đến tâm bão đúng 20 km. Sau 15 giờ bay, cả hai chiếc UAV gần như đồng thời hạ cánh xuống cùng một sân bay, nằm ở phía bắc sân bay nơi chúng cất cánh và trong suốt chuyến bay, mỗi chiếc đều tuân thủ nghiêm ngặt chương trình bay được lưu trong bộ nhớ máy tính. Một trong các UAV đã tạo ra bao nhiêu vòng quanh tâm lốc xoáy nếu chiếc thứ hai luôn chuyển động theo đường thẳng so với mặt đất và không tạo thành một vòng tròn nào?

Nhiệt độ của bình bên trái thay đổi như thế nào trong cùng thời gian đó?

F2614. Các bình hình khối chứa đầy nước biển và nhiệt độ ban đầu của nước 0 q C trong cả hai bình là như nhau. Độ dài các cạnh của hình lập phương tỉ lệ 1:3. Các thành bên và đáy của mỗi bình có khả năng tỏa nhiệt rất nhỏ và không dẫn dòng điện - ngoại trừ các thành bên phải và bên trái. Và những bức tường bên trái và bên phải này được làm bằng những tấm đồng mỏng. Trong một thời gian ngắn, chìa khóa trong mạch (Hình 3) được đóng lại và mở lại. Trong bình bên phải, nhiệt độ của nước tăng 1 độ trong thời gian ngắn có dòng điện chạy qua.

Lời giải bài toán M2594–M2597, F2601–F2604

Hình 3

F2615. Một vôn kế được nối với một cục pin lý tưởng thông qua một điện trở thay đổi. Nó hiển thị điện áp U = 3V. Khi điện trở của biến trở giảm đi 3 lần thì vôn kế chỉ ra điện áp 2U = 6V. Vôn kế sẽ chỉ gì nếu điện trở của điện trở tăng gấp đôi?

F2616. Học sinh đã tạo ra một hệ thống liên lạc qua điện thoại bằng một sợi chỉ và hai chiếc cốc nhựa (Hình 4). Họ

Hình 4

sợi đã qua sử dụng số 20. Số lượng sợi (sợi) được xác định bằng số cuộn sợi có trong 1 kg sợi này với chiều dài sợi trong mỗi cuộn là 1000 m. Chiều dài đường dây điện thoại là L = 100 m. Lực căng của sợi dây là F = 10 N. Đường dây điện thoại đó hoạt động với độ trễ bao nhiêu trong thời gian truyền âm?

M2594. Biết rằng với một số x và y thì tổng sin x + cos y và sin y + cos x là các số hữu tỷ dương. Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên m và n sao cho m sin x + n cos x là số tự nhiên. Giả sử sin x cos y a và sin y cos x b. Khi đó cos y a sin x và sin y b cos x. Hãy bình phương hai đẳng thức này và cộng chúng lại. Nhờ đồng nhất thức lượng giác chính, chúng ta thu được $1 a^{2} b^{2} 2 a$ sin x 2 b cos x 1, tức là 2 a sin x 2 b cos $x a^{2} b^{2}$. Gọi N là BCNN của mẫu số a và b; sau đó, nhân đẳng thức thu được với $N^{2}$, chúng ta thu được đẳng thức cần thiết. N. Agakhanov

M2595. a) Kolya và Dima chơi một trò chơi trên bàn cờ 8 ¥ 8, thay phiên nhau thực hiện các nước đi, Dima bắt đầu. Kolya vẽ cre-

32

KVAN T 2020/Số 6

Cánh cửa mở ra, Busenka và con gián Kuzka bước vào quán bar. “Tôi thích đi xe đạp,” Kuzka ngay lập tức khoe và cởi mũ bảo hiểm. - Bạn? Bằng xe đạp? – Chim gõ kiến ​​Spyatel không hiểu. “Anh ấy cao hơn bạn gấp trăm lần, làm sao bạn có thể cưỡi anh ấy được?” - Một cách dễ dàng! - Kuzka nói. – Tôi không thích quay bàn đạp mà là đạp xe. Tôi nhảy lên bánh xe và đi! Và Busenka quay bàn đạp. - Nhưng làm thế nào để bạn ở lại trên bánh xe? - Tôi đang cầm kim đan! Đây là một điểm thu hút thực sự. Nó quay tốt hơn tàu lượn siêu tốc! – Và những bức vẽ trở nên tuyệt vời! – Busenka nói thêm. “Đối với tôi, có vẻ như một trong số chúng tôi bị điên,” Ogryza ngạc nhiên. - Còn vẽ gì nữa? – Tôi vừa đạp xe vừa vẽ! Có được những đường nét đẹp. Ogryza nắm lấy đầu cô ấy. “Nó rất đơn giản,” Busenka giải thích, “Tôi cẩn thận đạp xe dọc theo bức tường, và Kuzka ngồi trên vành xe, cầm một chiếc bút dạ và xoay bánh xe, vẽ các đường trên tường!” Hóa ra

Hình 1

rất tuyệt. Nhìn này, tôi đã chụp một bức ảnh. Đây được gọi là cycloid (Hình 1)! “Ồ, thật là một câu thoại hay,” Ogryza kêu lên, “thật tiếc là bạn đã không cho tôi xem sớm hơn.” Giá như tôi có một tấm nệm sọc cycloidal thì tốt. “Có vẻ như ai đó đã phát điên,” Kuzka nói. “Mọi thứ đều ổn,” chim gõ kiến ​​Spyatel giải thích. “Ogryza vừa nói với tôi rằng cô ấy sẽ làm một tấm nệm và lấp đầy mùn cưa vào đó.” Cô ấy đã khâu bìa rồi nhưng lại không có mùn cưa nào cả. – Bạn có cần nhiều mùn cưa không? – Busenka hỏi. Ogryza nói: “Tôi nghĩ 10 kg là đủ. – Mùn cưa không có bán thì chúng tôi tự chặt! – Chim gõ kiến ​​Spyatel đột nhiên đứng dậy. – Bạn có tình cờ có thêm một tủ quần áo không? “Tôi sẽ không,” Ogryza nói.

– Đồng nghiệp của Sproodle có ván ép tuyệt vời! – Busenka nhớ lại. - Tươi, mùi thật tuyệt vời. Anh ta đang cải tạo sòng bạc của mình và dự định chặn hành lang bằng một bức tường gỗ dán. Có vẻ như đây là những gì chúng ta cần. “Không thể đối phó với đồng nghiệp Sproodle của tôi được,” Ogryza kiên quyết phản đối. - Anh ta sẽ đánh lừa bạn, đè nặng bạn, và sau đó thay vì củ cải, anh ta sẽ ném cho bạn một rutabaga thối! - Và cuối cùng bạn vẫn sẽ nợ anh ấy! – Kuzka đồng tình. “Đúng vậy,” Woodpecker Spyatel đồng ý. “Nhưng… chúng ta sẽ không hành động thẳng thắn như vậy đâu.” Nếu bạn thực sự quan tâm đến đồng nghiệp Sproodle của mình, thì mọi thứ sẽ diễn ra như bạn đã nói, chỉ với sự cân bằng có lợi cho chúng tôi! “Anh ấy sẽ không phong tỏa hoàn toàn sòng bạc của mình,” Busenka gợi ý, “sẽ chỉ có một ô cửa… Hoặc một mái vòm…” “Một mái vòm!” - chim gõ kiến ​​Spyatel kêu lên. – Chúng tôi sẽ đề nghị anh ta cắt một lỗ hở theo hình vòm cycloid trên bức tường mới! Anh ấy sẽ không chống cự! Busenka nhặt lên: “Chúng ta cần tính toán diện tích để có thể cắt được lượng mùn cưa cần thiết từ phần đã cắt ra. “Tôi sẽ tính toán ngay bây giờ,” sự nhạy bén trong kinh doanh của Ogryza thật đáng kinh ngạc. – Một tấm ván ép dán tường 1,5 m u 1,5 m có khối lượng 32 kg, tức là chúng ta cần, bây giờ, bây giờ… $0,7 м^{2}$ ván ép. Tất cả những gì còn lại chỉ là chuyện vặt - hãy chọn một cycloid có diện tích vòm bằng $0,7 м^{2}$. Tôi sẽ chọn một bánh xe đạp phù hợp để vẽ đường cycloid từ nguồn cung cấp của mình. Kuzka nhận xét: “Bánh xe càng lớn thì càng thú vị khi lái. - Không cần nữa. Chúng tôi không phải là một nhà máy sản xuất chất thải! Chúng tôi sẽ tính toán mọi thứ một cách chính xác. “Bạn không nhớ sao,” chim gõ kiến Spyatel vô tư hỏi Busenka, “công thức nào được sử dụng để tính diện tích vòm cycloid được vẽ bằng bánh xe $радиуса^{r?}$ “Một hình vuông có bao nhiêu thời đại,” Busenka trả lời. – Nó được tìm thấy vào thế kỷ 17. Nhưng tôi đã quên rồi. Bạn sẽ phải cấp lại nó. Busenka tiến đến gần bức tường. – Hãy tưởng tượng rằng có một bánh xe. $радиуса^{r.}$ Tâm của bánh xe nằm ở điểm C, và tại điểm K của vành bánh xe này có Kuzka (Hình 2). Anh ấy giữ chặt nan hoa CK. Bây giờ chúng ta sẽ lăn bánh xe và Kuzka sẽ vẽ.

33

TOÁN HỌC

Hình 2

Có một cycloid trên tường. Chiều rộng của vòm cycloid (khoảng cách KL) bằng chu vi, tức là 2 Sr. Và điểm cao nhất của cycloid đạt được tại thời điểm bánh xe di chuyển đến khoảng cách $S^{r}$. Hãy xem xét thời điểm bánh xe di chuyển được một đoạn, đạt đến điểm X và nan hoa mà Kuzka đang giữ đã chuyển sang góc M (Hình 3). Trong trường hợp này, chiều dài cung $KX равна^{rM}$ – và nó cũng bằng khoảng cách, đó là Hình 3 bầy đàn đã vượt qua bánh xe, tức là $OX^{r} M$. Vẽ một đường ngang đi qua điểm K, để nó cắt đường tròn lần thứ hai tại điểm K c. Hãy xếp ai vào $точку^{K} c...$? Chúng ta cần thêm một tình nguyện viên nữa. Ai muốn đi một chuyến? “Tôi đề nghị đặt Akzyuk, bạn của Kuzka vào thời điểm này,” chim gõ kiến ​​Spyatel nói. – Akzyuk là loại gì vậy?! – Kuzka không hiểu. – Tôi không biết Akzyuk nào cả! “Tất nhiên,” Busenka kêu lên, “tôi có thể tự mình đoán được.” Akzyuk nakarat! Vì vậy, tại điểm K, Kuzka đang ngồi trên vành xe, và tại điểm K c, Akzyuk đang ngồi trên nửa còn lại của vành xe. - Tại sao anh ấy lại ngồi? - Ogryza can thiệp. - Đây là Kuzka đang ngồi. Và Akzyuk, để luôn ở một điểm đối xứng với Kuzka, sẽ phải chạy trên một bánh xe quay! “Chà, hãy để anh ấy chạy,” Busenka đồng ý, “anh ấy chỉ là tưởng tượng với chúng tôi.” Dù vậy, Kuzka cùng với điểm K mô tả một đường cycloid và điểm K c chuyển động cùng với điểm K, do đó Akzyuk cũng mô tả một đường thẳng nhất định. “Tôi nghĩ tôi đã nhìn thấy dòng này ở đâu đó,” Kuzka nói một cách không chắc chắn.

ĐỂ ROUGE OK

• Tất nhiên là tôi đã nhìn thấy nó. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn cách chúng tôi vẽ bức tranh. Thực tế, chúng tôi đặt $отрезок^{OX} длиной^{rM}$ ở bên phải $точки^{O,}$, đặt một đường tròn lên điểm X, vẽ đường kính thẳng đứng XX c và đặt một góc XCK bằng M từ bán kính CX. Điểm K kết quả nằm trên cycloid. Trong hình ảnh của chúng tôi $‘^{K} c^{CX} c ‘^{KCX} c S M$. Chúng ta hãy biểu thị bằng O c điểm cao nhất trên cycloid của chúng ta. Khi đó khoảng cách O c X c bằng $S_{r}^{r} S M.$ Hóa ra chúng ta có thể dựng điểm K c như thế này: đặt một đoạn nằm ngang $O c X c длиной^{r} S M$ từ điểm O c, treo một bánh xe từ điểm X c, rồi đặt vào bánh xe của chúng ta góc X c CK c bằng S M. – Điều này có nghĩa là điểm K c di chuyển dọc theo một đường cycloid, kết quả này thu được nếu bạn lăn bánh xe nằm bên dưới nó sang trái dọc theo đường thẳng chấm chấm! - Chim gõ kiến ​​Spyatel đoán. - Tôi hiểu! - Kuzka kêu lên, - “Akzyuk” là “Kuzka” ngược lại! - Đúng! Bây giờ chúng ta tính diện tích. Hãy vẽ các cycloid mà Kuzka và Akzyuk đã di chuyển dọc theo, chúng ta sẽ có được một hình dạng cánh hoa. Rõ ràng là diện tích của vòm hoàn chỉnh của cycloid bằng diện tích của hình chữ nhật trong đó một nửa vòm được đặt, cộng với diện tích của cánh hoa (Hình 4).

Hình 4

Ogryza nói: “Mọi thứ đều rõ ràng với một hình chữ nhật, diện tích của nó là $2 S^{r} 2$.” Làm thế nào để tìm diện tích của cánh hoa? – Để làm được điều này, chúng ta sẽ sử dụng phép thuật thời trung cổ thực sự! Để tôi nhắc bạn rằng tại điểm K trên vành bánh xe có Kuzka, và tại điểm K c ở phần bên kia của vành bánh xe có Akzyuk. Khi bánh xe quay, điểm K tăng lên cao hơn và đoạn thẳng KK c cũng di chuyển lên trên. Cánh hoa giữa các cycloid bao gồm tất cả các đoạn có thể có KK c, được xây dựng cho tất cả các vị trí của điểm K trên nhánh đi lên của cycloid. Chà, hãy vẽ một bánh xe đứng yên ở đâu đó sang một bên và cẩn thận di chuyển tất cả các đoạn KK c theo chiều ngang sao cho các đầu của chúng nằm

34

KVAN T 2020/Số 6

Hình 5

trên một vòng tròn (Hình 5). Bây giờ tất cả các đoạn đều chiếm một vòng tròn được giới hạn bởi bánh xe của chúng ta. Điều này có nghĩa là diện tích cánh hoa bằng diện tích hình tròn. “Một lời giải thích kỳ lạ nào đó,” Kuzka nghi ngờ. – Đây là bằng chứng à? Có thể lý luận như vậy được không? – Bạn đã được cảnh báo: phép thuật thời trung cổ! - chim gõ kiến ​​Spyatel nói. – Đừng cố gắng nếu không được đào tạo đặc biệt! “Nếu ý tưởng chia một cánh hoa thành từng đoạn có vẻ không thuyết phục với bạn, hãy chia nó thành các dải ngang,” Busenka gợi ý. – Các tấm ván đã dịch chuyển sẽ không còn trùng khớp chính xác với hình tròn nữa, nhưng chúng ta cắt càng mịn thì sự khác biệt giữa hình tròn và hình được tạo thành từ các tấm ván sẽ càng nhỏ (Hình 6). Vậy diện tích cánh hoa vẫn bằng diện tích hình tròn. “Tuyệt,” Kuzka nói. - Tôi nghĩ là tôi hiểu. Có phải con người đã thực sự thông minh đến vậy vào thế kỷ 17?

Hình 6

“Không,” chim gõ kiến ​​Spyatel nói. “Vâng,” Busenka nói. – Họ đã tìm ra khu vực vòm cycloid thậm chí còn khéo léo hơn. – Tuyệt vời, tuyệt vời, đừng thư giãn! – Ogryza đột nhiên đứng dậy. – Vậy là ta đã tìm được diện tích của vòm cycloid, nó bằng $3 S^{r} 2$. Đối với vòm của chúng ta, phương trình là $3 S^{r} 2 0,7. Отсюда^{r}$ bằng, ừ, $ммм...,^{r}$ bằng 27 cm! Hãy chiến đấu! Ba ngày sau, những người bạn phải nỗ lực hết sức để đặt một tấm nệm mới lên giường.

Mỹ P ISH U T

Một lần nữa về con kiến ​​trên hình trụ

A. ZASLAVSKY kiến ​​đến điểm B đối diện, nằm trên đường tròn đáy trên của hình trụ. Bài báo đã lưu ý một cách đúng đắn rằng các đường đi ngắn nhất có thể có là đường đi bao gồm đường sinh $цилиндра^{AA} c$ và đường kính $основания^{A} c^{B}$, cũng như đường đi dọc theo bề mặt bên của hình trụ và được mô tả trên sự phát triển của nó bằng một đường thẳng. Độ dài của đường đi đầu tiên là h + 2,

Trong bài viết của I. Akulich “Con kiến ​​trên hình trụ” («Kvant» Số 2, 2020) thảo luận về bài toán sau đây: Cho một hình trụ có bán kính đáy 1 và chiều cao h. Một con kiến ​​ngồi ở điểm A, nằm trên đường tròn đáy dưới của hình trụ. Tìm đường đi ngắn nhất

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200606

thứ hai – $h^{2} S^{2}$. Các giá trị này giống nhau

$при^{h}$

$S^{2} 1$. Đối với các giá trị nhỏ hơn của h 4

(chúng tôi sẽ gọi những hình trụ như vậy là thấp) đường dẫn đầu tiên sẽ ngắn hơn, đối với những hình trụ lớn (hình trụ cao) - đường thứ hai.

36

KVAN T 2020/Số 6

nơi khoảng cách đạt giá trị lớn nhất. Với h đủ lớn, điểm B sẽ không cách xa A nhất. Thật vậy, đối với hình trụ cao, khoảng cách ngắn nhất từ ​​A đến A c bằng h và đến điểm đối diện B là $h^{2} S^{2}$. Sự khác biệt giữa các giá trị này

$h^{2} S^{2} h$

$S^{2}$

$h^{2} S^{2} h$

$S^{2} 2 h$ có xu hướng bằng 0 khi h tăng. Do đó, với h đủ lớn, khoảng cách từ A đến tất cả các điểm của đường tròn đáy trên xấp xỉ bằng nhau. Do đó, điểm xa A nhất phải nằm đủ gần $центру^{O}$ của điểm trên

căn cứ. Vì vậy, cho đến một giá trị h nhất định, điểm xa A nhất trùng với B, sau đó nó bắt đầu di chuyển về phía $точки^{O.}$ Nếu điểm xa nhất là duy nhất thì nó nằm trên đoạn BO. Nhưng có lẽ có hai điểm như vậy, đối xứng nhau ở đoạn này. Tác giả không thể tìm ra sự phụ thuộc chính xác của vị trí điểm xa nhất vào h. Có lẽ người đọc sẽ thành công. Để kết luận, chúng tôi khuyên độc giả nên đọc bài viết của M.N. Vyaly “Những con đường ngắn nhất dọc theo bề mặt của một hình bình hành” trong “Giáo dục Toán học” (Số 9, 2005). Trong đó, bài toán, tương tự như những gì đã xét, được giải cho bề mặt của một hình bình hành hình chữ nhật.

OLIM P IAD S

Olympic Quốc tế lần thứ XII Thạc sĩ Toán học Romania

Vào cuối tháng 2, kỳ thi Olympic Thạc sĩ Toán học (RMM) Romania lần thứ 12 đã được tổ chức tại thủ đô Bucharest của Romania. Trong những năm qua, Olympic Cao cấp Romania đã khẳng định mình là một trong những cuộc thi toán học mang tính thử thách nhất dành cho học sinh trên toàn thế giới. Đây là kế hoạch của các nhà tổ chức từ Hiệp hội Toán học Romania. Theo kế hoạch của họ, RMM được cho là sẽ trở thành một giải đấu tương tự như cuộc thi toán học chính, Olympic Toán học Quốc tế (IMO), dành cho một nhóm người tham gia hẹp hơn: các đội từ khoảng 20 quốc gia chiếm vị trí dẫn đầu trong IMO được mời tham dự RMM hàng năm.

Đội Nga tại RMM được đại diện bởi:

Danila Demin (Sochi, lớp 10), Ivan Gaidai-Turlov (Moscow, lớp 11), Maxim Turevsky (St. Petersburg, lớp 9), Danil Sibgatullin (Kazan, lớp 10), Konstantin Myasnikov (Chelyabinsk, lớp 11).

Từ trái sang phải: K. Myasnikov, M. Turevsky. I. Gaidai-Turlov, D. Sibgatullin, D. Demin

Các em của chúng tôi đã thể hiện rất thành công: trong số 107 học sinh tham gia Olympic, 10 em đứng đầu đã nhận được huy chương vàng và tất cả học sinh của chúng tôi đều có tên trong “mười vàng” này. Ở phần thi đồng đội, Nga đã giành vị trí số 1 và giành được giải thưởng chính của thử thách - tấm bạc. Đối với tất cả mười hai chuyên gia

40

K V AN T 2020/№6

ở cuối biến trở phải có thanh trượt (Hình 5) sao cho điện trở giữa hai điểm A và B bằng $R_{0} = 3$ Ohm? Hình 5 Đáp số tính bằng cm. 4. Cậu bé ở điểm M (Hình 6) muốn ném tia nắng vào

chứa đầy hơi nước, phương trình pV = const là đúng, trong đó p là áp suất hơi, V là thể tích của nó. 3. Khi bật các thiết bị theo sơ đồ ở hình 7 a, ampe kế hiển thị dòng điện $I_{1} = 12$ mA, vôn kế hiển thị điện áp $U_{1} = 9,6$ V. Khi bật các thiết bị tương tự theo sơ đồ ở hình 7, b

Hình 7

Hình 6

cửa sổ nhà cô gái, tức là điểm D. Hỏi người đó nên đặt gương phẳng ở góc E nào so với đường chân trời nếu khoảng cách MC giữa chàng trai và tường nhà bằng chiều cao CD nơi cửa sổ nhà cô gái nằm? Tia sáng mặt trời chiếu một góc D 21 q so với đường chân trời. Hãy xem xét rằng cậu bé đang đặt một tấm gương trên bề mặt trái đất. Cho Đáp số theo độ.

lớp 9

1. Tàu bắt đầu chuyển động với gia tốc không đổi và đi qua đoạn đầu của đường tăng tốc, là 19 phần của đường tăng tốc tối đa, với tốc độ trung bình là $v_{cp} 10$ km h. Vận tốc v của tàu ở cuối đường tăng tốc là bao nhiêu? Cho Đáp số tính bằng km/h và làm tròn đến số nguyên. 2. Một ống có tiết diện $S 3,5 см^{2}$, chứa đầy hơi nước dưới áp suất $p_{0} = 2$ kPa, được bịt kín hai đầu và nằm ngang. Trong trường hợp này, một piston nằm trong ống chia ống thành hai phần bằng nhau. Ống được đặt thẳng đứng, do đó pít-tông chuyển động và thể tích bên dưới nó giảm đi bốn lần. Tìm khối lượng của piston m nếu áp suất của hơi nước bão hòa là $2p_{0}$. Ma sát và chiều dày piston có thể bỏ qua. Xét hằng số nhiệt độ hơi nước. Lấy gia tốc rơi tự do bằng g 10 m $с^{2}$. Đáp số tính theo kg. Gợi ý. Đối với các quá trình được thực hiện ở nhiệt độ không đổi trên miliampe kế, dòng điện là $I_{2} = 10$ mA và vôn kế hiển thị điện áp $U_{2} = 12$ V. Xác định điện trở của điện trở R, giả sử điện áp giữa các điểm A và B không đổi. Đáp số tính theo kilo-ohm. 4. Vào một ngày nắng đẹp, một con cá bơi trong hồ có độ sâu H = 1,5 m. Bóng cá ở đáy hồ cách mặt nước l = 0,7m. Cá bơi ở độ sâu bao nhiêu h nếu độ cao của mặt trời so với đường chân trời là D 30 q? Chiết suất của nước là n = 1,33. Đáp số cho đến centimet gần nhất.

lớp 10–11

1. Bài toán. Một khối khối lượng m trượt với tốc độ không đổi dọc theo một mặt bàn nhẵn và va chạm đàn hồi với một khối khối lượng M được gắn vào một bức tường đứng yên bằng một lò xo đủ dài (Hình 8). Sau va chạm, vật có khối lượng m chuyển động ngược chiều và vật có khối lượng M bắt đầu thực hiện dao động điều hòa. Biết rằng sau một thời gian bằng 7 12 chu kỳ dao động, một vật có khối lượng M đuổi kịp một vật có khối lượng m. Tìm tỉ số n M m của khối lượng của các thanh này.

Hình 8