Kvant 2020, số 7 · Trang

3

KHÔNG GIAN

TIA

VÀ

Ngoài dải ngân hà. Hạt nhân thiên hà hoạt động

Dải Ngân hà chỉ là một trong nhiều thiên hà trong Vũ trụ của chúng ta. Các thiên hà khác nhau về hình dáng, kích thước, cường độ hình thành sao và tỷ lệ sao già và sao trẻ. Các nhà thiên văn học phân loại chúng theo những đặc điểm này. Nhưng các thiên hà cũng khác nhau về đặc điểm ở phần trung tâm của chúng (đây cũng là một đặc điểm quan trọng để phân loại các thiên hà). Phần trung tâm khác với các khu vực khác của thiên hà ở chỗ tập trung ngày càng nhiều các ngôi sao và vật chất liên sao - khí và bụi. Phần này của thiên hà rất nhỏ gọn. Nó được gọi là lõi của thiên hà. Nguyên nhân của sự ngưng tụ vật chất trong lõi thiên hà là do lực hấp dẫn. Tuy nhiên, không phải tất cả các thiên hà đều có hạt nhân. Các thiên hà nhỏ không có chúng, vì ở đó không có đủ lực hấp dẫn để ngưng tụ vật chất ở trung tâm. Trong hầu hết các thiên hà, phần lớn năng lượng được phát ra từ các ngôi sao và bức xạ từ lõi thiên hà cũng là bức xạ từ các ngôi sao tạo nên nó. Hạt nhân thiên hà như vậy được gọi là đứng yên hoặc không hoạt động. Nhưng có một số ít thiên hà trong đó một dòng năng lượng khổng lồ bùng phát từ lõi, như thể có hàng trăm triệu, thậm chí hàng trăm tỷ Mặt trời đang chiếu sáng ở trung tâm thiên hà. Bức xạ từ lõi có thể thay đổi - nó giảm mạnh và sau đó tăng mạnh trong một khoảng thời gian ngắn (giờ, tháng, năm). Trong trường hợp này, năng lượng của hạt nhân được phát ra ở nhiều phạm vi khác nhau - phạm vi vô tuyến, tia X, tia cực tím, hồng ngoại và gamma. Một phần plasma được đẩy ra khỏi lõi và các đám khí di chuyển nhanh chóng đến gần nó. Những quá trình này không thể được giải thích bằng mật độ cao của các ngôi sao và vật chất giữa các vì sao. Những hạt nhân như vậy được gọi là hạt nhân hoạt động hoặc không cố định. Có rất ít thiên hà có hạt nhân hoạt động, khoảng 1% tổng số thiên hà. Chúng được chia thành nhiều loại

HỌC

KHÔNG GIAN

tùy thuộc vào cách hoạt động của hạt nhân thể hiện. Ví dụ, chuẩn tinh có bức xạ mạnh nhất; các thiên hà có mức phát xạ vô tuyến mạnh từ lõi được gọi là các thiên hà vô tuyến. Chúng tôi sẽ không đề cập đến việc phân loại hạt nhân hoạt động vì nó không quan trọng đối với nghiên cứu của chúng tôi. Và bản chất của nó là như sau. Vì một lượng năng lượng khổng lồ được giải phóng trong nhân thiên hà đang hoạt động nên các quá trình có thể xảy ra ở đó trong đó các tia vũ trụ thu được năng lượng cực cao. Sau khi bay ra khỏi khu vực nơi các hạt được gia tốc, các tia vũ trụ rời khỏi ranh giới thiên hà của chúng và bao phủ khoảng cách rộng lớn trong không gian, tới Trái đất. Liệu có thể nghiên cứu các hạt nhân đang hoạt động bằng cách ghi lại các tia vũ trụ này trên Trái đất, mặc dù các hạt đã di chuyển một chặng đường khổng lồ trong không gian? Trong nghiên cứu này, điều quan trọng là phải trả lời các câu hỏi sau: năng lượng khổng lồ đến từ đâu trong nhân thiên hà đang hoạt động; các hạt tăng tốc ở đó như thế nào; điều gì xảy ra với các hạt khi chúng bay qua không gian giữa các thiên hà.

Nguồn năng lượng cho hạt nhân thiên hà đang hoạt động là gì?

Hiện nay, giả thuyết chiếm ưu thế là hoạt động của hạt nhân là do một lỗ đen siêu lớn ở trung tâm thiên hà gây ra. Lỗ đen là một vật thể có lực hấp dẫn mạnh đến mức ngay cả ánh sáng cũng không thể thoát ra khỏi nó. Làm thế nào điều này có thể được? Để thắng được lực hấp dẫn của một thiên thể, các thiên thể đó phải có vận tốc thoát thứ hai. Đối với lỗ đen, vận tốc thoát thứ hai lớn hơn tốc độ ánh sáng. Nhưng trong tự nhiên, không có gì chuyển động nhanh hơn ánh sáng nên không có gì thoát ra khỏi lỗ đen. Vì thậm chí không có ánh sáng phát ra từ chúng nên lỗ đen tối và vô hình đối với người quan sát. Ở khoảng cách lớn đến lỗ đen, lực hút của nó rất nhỏ và không khác biệt với lực hút của các ngôi sao. Chỉ bắt đầu từ một khoảng cách nhất định, mọi thứ đều vướng vào lưới-

5

KHÔNG GIAN

TIA

VÀ

HỌC

KHÔNG GIAN

quang phổ đo được trùng với cái nào trong số chúng, và chúng ta sẽ tìm ra nơi các tia vũ trụ được gia tốc. Vì vậy chúng ta sẽ “nhìn” vào vùng lân cận của lỗ đen và xem các hạt được gia tốc ở đó như thế nào. Nhưng lối suy nghĩ đơn giản này là sai, và đây là lý do.

Cơm. 1. Sơ đồ phổ định luật lũy thừa ban đầu của tia vũ trụ theo thang logarit. Hiển thị là hai đường cong có chỉ số phổ khác nhau

lũy thừa nhưng số mũ thì khác :D | 0 2.1. Số mũ 0 là một biến thể của gia tốc khi ở bất kỳ năng lượng nào, số lượng hạt trong cùng khoảng năng lượng là như nhau. Phổ năng lượng định luật lũy thừa với số mũ khác nhau $D_{1}$ và $D_{2} ( D_{1} < D_{2} )$ được thể hiện dưới dạng sơ đồ trong Hình 1. Khi các hạt được gia tốc trong từ quyển của lỗ đen, hầu hết chúng đều thu được năng lượng xấp xỉ như nhau. Phổ năng lượng như vậy được gọi là đơn năng, nó được thể hiện trong Hình 2. Vì vậy, các tia vũ trụ được gia tốc ở các vùng khác nhau có phổ năng lượng khác nhau. Dòng suy nghĩ đơn giản nhất có thể là thế này. Hãy đo phổ năng lượng của tia vũ trụ trên Trái đất và so sánh với phổ lý thuyết (thể hiện trên hình 1, 2). Tìm ra

Cơm. 2. Sơ đồ phổ đơn năng lượng ban đầu của tia vũ trụ theo thang logarit

Điều gì xảy ra với các tia vũ trụ khi chúng bay qua Vũ trụ Sau khi rời khỏi “máy gia tốc” - hạt nhân hoạt động của thiên hà, các tia vũ trụ sẽ bay ra khỏi thiên hà của chúng. Những hạt đó chạm tới Trái đất có khoảng cách hàng chục và hàng trăm triệu năm ánh sáng. Đây là những khoảng cách rất lớn. Các photon di chuyển qua chúng trong hàng chục và hàng trăm triệu năm và chúng bay với tốc độ cao nhất trong tự nhiên. Điều gì xảy ra với các tia vũ trụ khi chúng bay qua Vũ trụ? Các thiên hà phân bố thưa thớt trong Vũ trụ, ở khoảng cách lớn với nhau và kích thước của chúng rất nhỏ trên quy mô phổ quát. Do đó, toàn bộ hoặc gần như toàn bộ đường đi của tia vũ trụ đều chạy qua không gian giữa các thiên hà. Con mắt, không được trang bị dụng cụ, cảm nhận không gian giữa các thiên hà hoàn toàn trống rỗng và tối tăm. Nhưng điều đó không đúng. Các photon có năng lượng khác nhau bay trong không gian giữa các thiên hà. Một số trong số chúng được phát ra bởi các ngôi sao trong thiên hà. Những photon khác còn sót lại kể từ thời điểm Vũ trụ ra đời và những photon này được gọi là tàn dư. (Có các phân tử khí, bụi và từ trường trong không gian giữa các thiên hà, nhưng chúng ta sẽ không nói về chúng.) Các hạt vũ trụ tương tác với các photon, và điều này dẫn đến hai hiệu ứng. Tác động đầu tiên là sự thay đổi hình dạng ban đầu của phổ tia vũ trụ, cụ thể là: trong phổ của Trái đất, so với phổ ban đầu không có đủ các hạt có năng lượng cao nhất, khoảng $10^{20}$ eV trở lên. Điều này xảy ra vì lý do sau. Khi những tia vũ trụ có năng lượng cao nhất bay tới Trái đất với đủ đau đớn

6

KVANT 2020/№7

khoảng cách xa, chúng có thể tương tác với các photon bị loại bỏ dọc theo một đường đi dài. Trong những tương tác này, các tia vũ trụ mất năng lượng để tạo ra các hạt cơ bản khác. Và các tia vũ trụ có năng lượng thấp hơn thực tế không tương tác với các photon bị phá hủy, vì năng lượng của chúng không đủ để tạo ra các hạt khác. Sau khi tiêu tốn một phần năng lượng trong Vũ trụ, các hạt năng lượng cực cao sẽ chuyển sang hàng tia vũ trụ có năng lượng thấp hơn. Kết quả là phổ năng lượng của chúng thay đổi so với phổ ban đầu. Điều này có nghĩa là để trả lời câu hỏi các hạt được gia tốc ở đâu gần một lỗ đen siêu lớn, việc so sánh phổ đo được của tia vũ trụ với quang phổ ban đầu theo lý thuyết là không đủ. Nhưng sự truyền qua của các tia vũ trụ qua không gian giữa các thiên hà lại dẫn đến một hiệu ứng khác. Nó như sau. Các hạt cơ bản được sinh ra trong sự tương tác giữa các hạt với các photon bị loại bỏ, không tồn tại lâu dài và phát sinh ra các electron, positron và lượng tử. Đến lượt chúng, chúng tương tác với các photon, tạo ra ngày càng nhiều electron, positron và lượng tử. Số lượng hạt tăng lên như một trận tuyết lở và một dòng hạt khổng lồ xuất hiện trong không gian, chúng tiếp tục tương tác với các photon giữa các thiên hà. Các hạt trong dòng thác di chuyển xa nhau đến mức khoảng cách giữa chúng vượt quá kích thước của hệ mặt trời. (Các hạt cơ bản sinh ra cũng tạo ra neutrino, nhưng chúng bay trong Vũ trụ mà không tương tác.) Sự ra đời của các tầng liên thiên hà là hiệu ứng thứ hai xuất hiện do sự tương tác của tia vũ trụ với photon trong không gian. Đối với nghiên cứu của chúng tôi, lượng tử tầng được quan tâm nhiều nhất. Ngoài chúng, trong không gian giữa các thiên hà còn có các photon có năng lượng khác nhau và tất cả các photon và lượng tử này tạo nên

nền ngoài thiên hà. Nó được đo bằng các thiết bị đặt trên vệ tinh. Phần lớn phông nền ngoài thiên hà là bức xạ của các nguồn riêng lẻ ở rất xa chúng ta hoặc yếu đến mức các thiết bị không thể nhìn thấy chúng. Có thể các quá trình khác cũng đóng góp vào nền ngoài thiên hà. Ví dụ, các hạt vật chất tối khi phân rã cũng làm phát sinh lượng tử. Bằng cách nghiên cứu nền ngoài thiên hà, người ta có thể xác định được các thành phần và tỷ lệ bức xạ tầng trong đó. Hóa ra tỷ lệ bức xạ tầng phụ thuộc vào vùng nào của lỗ đen siêu lớn mà các tia vũ trụ được gia tốc. Và khi biết cả tầng bức xạ và quang phổ của các tia vũ trụ trên Trái đất, người ta có thể tìm ra vị trí và cách thức các hạt được gia tốc. (Hãy nhớ lại rằng ở mỗi vùng chúng được gia tốc theo một cách khác nhau.) Hiện nay các nhà vật lý đang nghiên cứu các hạt năng lượng cực cao trên Trái đất và trong không gian. Phổ tia vũ trụ được đo trên Trái đất và nền ngoài thiên hà được đo trong không gian. Bằng cách phân tích dữ liệu từ các phép đo này, các nhà vật lý nghiên cứu các quá trình ở vùng lân cận các lỗ đen siêu lớn.

Kết luận Tia vũ trụ được phát hiện cách đây hơn một trăm năm, vào những năm 1910. Chúng ta đã dành nhiều năm để tìm hiểu sự tương tác của các tia vũ trụ với bầu khí quyển của trái đất, hiểu rằng các hạt có năng lượng khác nhau có nguồn gốc khác nhau: các tia vũ trụ năng lượng thấp được Mặt trời phát ra, trong khi những tia năng lượng cao hơn được sinh ra trong Thiên hà của chúng ta. Các nhà khoa học cho rằng nguồn tia vũ trụ năng lượng cực cao là các hạt nhân thiên hà đang hoạt động. Tại trung tâm của chúng có các lỗ đen siêu lớn, ở vùng lân cận các hạt thu được năng lượng khổng lồ. Việc nghiên cứu các nguồn tia vũ trụ này đòi hỏi phải tạo ra các thiết bị mới để đo lường trong không gian. Nó đòi hỏi sự hiểu biết về những quá trình nào có thể thực hiện được.

7

KHÔNG GIAN

TIA

VÀ

hiện diện trong nhân thiên hà đang hoạt động và trong không gian liên thiên hà. Cần có máy tính tiên tiến để mô phỏng các quá trình này. Chúng ta sẽ không thể tiếp cận vùng lân cận của một lỗ đen siêu lớn và trực tiếp nghiên cứu các quá trình xảy ra ở đó. Nghiên cứu về tia vũ trụ và bức xạ ngoài thiên hà, mô phỏng máy tính về cách các hạt tăng tốc và bay trong không gian giữa các thiên hà, cũng như so sánh các kết quả thu được giúp cải thiện hiểu biết của chúng ta về những gì đang xảy ra ở đó.

Ứng dụng

Từ trường của đĩa bồi tụ Khí liên sao bị từ trường thấm vào; nó hiện diện trong mọi ngôi sao. Hầu hết mọi vật chất trong các ngôi sao và môi trường giữa các vì sao đều bị ion hóa và chủ yếu bao gồm các hạt tích điện. Kết quả là, trong không gian, từ trường bị đóng băng trong môi trường: đường sức từ dường như được gắn với các hạt tích điện có trên nó tại thời điểm ban đầu và khi các hạt chuyển động, chúng sẽ kéo theo đường đó. Khí rơi vào lỗ đen và tạo thành một đĩa bồi tụ được từ trường mang theo nó, do đó đĩa bị từ hóa. Và nếu mật độ khí tăng lên, tức là khi khí nén, các đường sức trở nên dày đặc hơn và từ trường tăng cường. Do đó, trường của đĩa bồi tụ có thể lớn hơn nhiều so với trường xuyên qua khí liên sao và vật chất sao.

Các phương pháp tăng tốc các hạt gần các lỗ đen siêu lớn Người ta biết từ một khóa học vật lý ở trường rằng các hạt tích điện thu được năng lượng trong điện trường. (Trường hợp đơn giản nhất: một hạt có điện tích q, di chuyển quãng đường L trong một trường tĩnh điện đều có cường độ E, thu được

HỌC

KHÔNG GIAN

phát ra năng lượng E qEL.) Cơ chế gia tốc này cũng hoạt động trong không gian. Từ trường trong đĩa bồi tụ không đồng nhất do mật độ khí không đồng nhất. Đĩa quay và từ trường của nó tạo ra điện trường trong chính đĩa và trong từ quyển của lỗ đen. Chúng tăng tốc các hạt tích điện. Trong những điều kiện nhất định, điện trường cảm ứng có thể gia tốc các hạt lên mức năng lượng cực cao. Một cơ chế khác để tăng tốc các hạt trong không gian có liên quan đến tính không đồng nhất của từ trường và điện trường không tham gia vào nó. Khả năng gia tốc hạt như vậy lần đầu tiên được hiểu và xem xét bởi nhà vật lý người Ý Fermi, đó là lý do tại sao cơ chế này được gọi là cơ chế Fermi. Gần các lỗ đen siêu lớn, cơ chế Fermi hoạt động theo một dòng phản lực thoát ra khỏi đĩa bồi tụ. Các hạt trong máy bay phản lực được tăng tốc theo cách này. Tia này được hình thành từ vật liệu của đĩa bồi tụ. Trong một dòng phản lực, các cục huyết tương được đẩy ra khỏi đĩa thông qua hai kênh hình phễu dọc theo trục quay của nó. Độ dày của các đĩa bồi tụ xung quanh lỗ đen siêu lớn khác nhau, tùy thuộc vào đặc điểm của lỗ đen. Tùy thuộc vào độ dày của đĩa, các khối bay qua nó trong nhiều tháng và nhiều năm. Trong suốt thời gian này, các khối tương tác với các cạnh của kênh (với vật chất của đĩa) và với bức xạ của đĩa (xét cho cùng, đĩa bồi tụ phát sáng rực rỡ ở các phạm vi khác nhau, nó chứa đầy các photon nhiệt, quang học, vô tuyến và các photon khác). Do sự tương tác với vật chất và bức xạ, các loại sóng khác nhau bị kích thích trên bề mặt chùm, bao gồm cả sóng xung kích. Hãy giải thích nó là gì. Một phần bề mặt của cục máu đông chịu tác động và nhận lực đẩy. Dưới tác động của lực đẩy, một phần huyết tương bắt đầu di chuyển dọc theo cục máu đông, làm chuyển động các lớp huyết tương nằm phía trước. Ranh giới giữa plasma di chuyển dọc theo chùm và plasma đứng yên so với chùm là rõ ràng. Nó được gọi là mặt trước sốc

8

KVANT 2020/№7

sóng. Tại ranh giới này, mật độ, áp suất, nhiệt độ và vận tốc của plasma tăng đột ngột. Sóng xung kích làm cho plasma trong chùm chuyển động có trật tự và ở phía trước có sự chuyển đổi mạnh mẽ năng lượng chuyển động có trật tự của plasma thành năng lượng chuyển động hỗn loạn của các hạt. Và nếu hạt ở phía trước sóng xung kích, nó sẽ thu được năng lượng, tức là tăng tốc. Điều gì xảy ra tiếp theo? Hạt được mang đi bởi dòng plasma từ phía trước sóng xung kích “hạ lưu”. Nếu hạt quay trở lại phía trước sóng xung kích, năng lượng của nó sẽ còn tăng hơn nữa. Một hạt có thể quay trở lại? Có, và hơn một lần. Nó xảy ra như thế này. Một từ trường bị đóng băng trong cục huyết tương; nó không đồng nhất do mật độ cục máu đông không đồng nhất. Ở một số vùng, từ trường không đồng nhất được định hướng sao cho nó làm lệch hướng một hạt đang bay về phía trước sóng xung kích và hạt đó quay trở lại phía trước. Độ lệch của hạt tỷ lệ thuận với độ lớn của trường và tỷ lệ nghịch với năng lượng của hạt - hạt càng lớn thì độ lệch càng yếu. Do đó, hạt quay trở lại mặt sóng xung kích trước khi

Cơm. 3. Hạt lang thang gần mặt sóng xung kích. Mặt trước được hiển thị dưới dạng đường chấm dọc, hạt được hiển thị dưới dạng vòng tròn màu đen và các đường có mũi tên là vectơ vận tốc của hạt. Sự sai lệch trong từ trường không đồng nhất cho phép hạt liên tục vượt qua mặt trước va chạm và tăng tốc

cho đến khi nó thu được năng lượng đến mức từ trường trong bó không còn làm nó lệch trở lại nữa. Chuyển động của một hạt trong một từ trường không đều gần phía trước của sóng xung kích được thể hiện dưới dạng sơ đồ trong Hình 3. Với bất kỳ phương pháp tăng tốc nào, hạt đồng thời thu và mất năng lượng. Sự mất mát năng lượng xảy ra khi hạt ở trong vùng bị từ trường xuyên qua với các đường cong của lực. Thực tế là nếu đường sức uốn cong thì hạt có thành phần vận tốc vuông góc với từ trường. Và khi đó quỹ đạo của hạt bị cong dưới tác dụng của lực Lorentz. Một hạt chuyển động dọc theo một đường cong sẽ phát ra năng lượng và năng lượng của chính hạt đó giảm đi. Các đường sức có thể thẳng, nhưng chỉ trên những đoạn giới hạn. Và ngay cả khi hạt chuyển động dọc theo một đường thẳng của lực thì vẫn sẽ có sự tổn thất năng lượng, và đây là lý do tại sao. Phần nơi đường thẳng kết thúc và sau đó đường lực uốn cong. Và trong một trường có các đường sức như vậy, quỹ đạo của hạt bị cong, hạt chuyển động sẽ phát ra năng lượng và năng lượng của nó giảm đi. Gần các lỗ đen siêu lớn, các hạt vẫn được gia tốc lên mức năng lượng cực cao. Điều này được thể hiện bằng phân tích lý thuyết về các quá trình trong đó một hạt đồng thời nhận và mất năng lượng. Cả hai cách gia tốc các hạt gần lỗ đen - thông qua điện trường cảm ứng và thông qua cơ chế Fermi - đã được xác định về mặt lý thuyết, “trên giấy”. Các quan sát sẽ cho thấy cái nào trong số chúng quan trọng hơn về bản chất.

Vòng tròn Carlyle, hoặc Cách giải phương trình bậc hai bằng thước và compa

K.KNOP

CÓ THỂ CÓ NHỮNG mối liên hệ giữa phương trình bậc hai và các công cụ hình học - la bàn và thước kẻ? Tuy nhiên, mối liên hệ này tồn tại và nghiên cứu của nó từ các khía cạnh khác nhau là bài toán hấp dẫn nhất, liên quan chặt chẽ đến cả hình học và đại số. Và Thomas Carlyle có liên quan gì tới chuyện này? Theo Wikipedia, ông là nhà văn, nhà báo, nhà sử học và triết gia người Anh, tác giả của các tác phẩm nhiều tập “Cách mạng Pháp” (1837), “Những anh hùng, sự tôn thờ anh hùng và người anh hùng trong lịch sử” (1841), “Lịch sử cuộc đời của Frederick II nước Phổ” (1858–1865). Hầu như không có thông tin gì về nghiên cứu toán học của ông, tuy nhiên một lớp đường tròn giúp giải phương trình bậc hai được đặt theo tên ông. Và bây giờ - về mọi thứ theo thứ tự.

Ý nghĩa của việc giải phương trình bằng compa và thước kẻ là gì?

Trong sách giáo khoa hình học ở trường có đề cập đến khả năng xây dựng các vô tỉ bậc hai bằng cách sử dụng các công cụ hình học, nhưng chủ yếu không phải ở dạng thuật toán xây dựng thực tế mà dưới dạng một định lý tồn tại. Ví dụ trường học duy nhất về một thuật toán cụ thể

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200702

Thomas Carlyle. Bức chân dung về nhịp điệu của Daniel McLees, bằng cách nào đó có liên quan đến phương trình bậc hai, là việc xây dựng một giá trị trung bình hình học. Hãy bắt đầu với điều này bài toán. Bài toán 1. Cho đoạn a và b. Xây dựng một đoạn bằng ab. Lời giải. Hãy đặt nó trên một đường thẳng

13

ĐƯỢC RỒI

KAR LEYLA,

naty cos 72 q; sin 72 q, cos 72 q; sin 72 q, cos144 q; sin144 q và cos144 q; sin 144 q, tức là Góc AOB và AOE bằng 72 độ. và góc AOC và AOD là 144 độ. Và điều này có nghĩa là chúng là các đỉnh của một hình ngũ giác đều. Bằng chứng về tính đúng đắn của việc xây dựng hiện đã hoàn tất.

Về sự phức tạp của các công trình và “địa lý” của Emile Lemoine

Người Pháp Emile Michel Hyacinthe Lemoine được coi là một trong những cha đẻ của “hình học tam giác” hiện đại. Có thể bạn đã từng nghe nói tới điểm Lemoine trong một hình tam giác hoặc đường tròn Lemoine. Năm 1892, ông xuất bản tác phẩm “Hình học, hay nghệ thuật xây dựng hình học” (“L a Géométrographie ou l’art des Constructions géométriques”), trong đó lần đầu tiên ông đề xuất so sánh các công trình hình học khác nhau theo số lượng các phép toán cơ bản cần thiết (và công trình tốt nhất được coi là công trình yêu cầu ít thao tác hơn). Lemoine gọi phương pháp tối ưu (“hình học”) là phương pháp kinh tế nhất trong số các thuật toán xây dựng đã biết. Lemoine đếm năm thao tác cơ bản: $S_{1}$ – dùng thước kẻ vào một điểm nhất định; $S_{2}$ – vẽ một đường thẳng; $C_{1}$ – đặt chân la bàn tại một điểm nhất định; $C_{2}$ – thay đổi bán kính của la bàn bằng cách đặt chân bằng bút chì tại một điểm nhất định; $C_{3}$ – vẽ một vòng tròn bằng compa. Đồng thời, Lemoine coi la bàn là ổn định, tức là sau khi vẽ đường tròn, vẫn giữ nguyên bán kính đã đặt. Như vậy, hình tròn tiếp theo có cùng bán kính, theo Lemoine, không còn yêu cầu ba phép tính: $C_{1} C_{2} C_{3}$ mà chỉ cần hai phép tính: $C_{1} C_{3}$. Ví dụ: chúng ta hãy đếm số phép tính để xây dựng nghiệm của phương trình bằng đường tròn Carlyle, được hiển thị trong Hình 5. Các trục tọa độ và điểm $A, B_{1}$ và $B_{2}$ đã cho. Xây dựng trung gian

HOẶC

LÀM SAO

$Р_{ЕШАТЬ}...$

vuông góc với đoạn $OB_{1}$ – đây là hai đường tròn có bán kính bằng nhau và một đường thẳng, tức là $2 C_{1} C_{2} 2 C_{3} 2 S_{1} S_{2}$. Đường phân giác vuông góc tiếp theo là $2 C_{1} 2 C_{3} 2 S_{1} S_{2}$, vì chúng ta dựng nó mà không làm thay đổi bán kính của la bàn. Vì vậy, chúng tôi đã xây dựng trung tâm, trải qua 15 hoạt động cơ bản. Và cuối cùng, bản thân đường tròn Carlyle cũng là $C_{1} C_{2} C_{3}$. Tổng “độ phức tạp” của việc xây dựng $5 C_{1} 2 C_{2} 5 C_{3} 4 S_{1} 2 S_{2}$ là 18.

Bài tập 1. Hãy nghĩ ra một cách khác để dựng đường tròn Carlyle có độ khó từ 17 trở xuống.

Manh mối. Tâm của đường tròn này là điểm giữa của đoạn thẳng, một trong hai đầu của đoạn đó là $B_{1}$. Đầu tiên xây dựng đầu thứ hai của đoạn này.

Trò chơi giải đố trên máy tính hiện đại Euclidea (www.euclidea.xyz) cũng yêu cầu người giải bài toán để tìm ra cách xây dựng tiết kiệm nhất, nhưng, không giống như Lemoine, không tính các phép toán sơ bộ $S_{1}, C_{1}$ và $C_{2}$ mà chỉ đếm số đường thẳng được vẽ (tức là $S_{2} C_{3}$ theo thuật ngữ của Lemoine). Theo quan điểm của Euclidea, việc xây dựng đường tròn Carlyle có độ khó là 7.

Có thể tìm nghiệm của một phương trình bậc hai với độ phức tạp ít hơn không? Khi tác giả bắt đầu viết bài này, ông cho rằng câu hỏi này sẽ được xem như nụ cười cuối cùng của Mèo Cheshire và để lại cho người đọc tự giải quyết. lời giải. Tuy nhiên, kế hoạch đã thay đổi một chút, và bây giờ tôi muốn trình bày một phương pháp tiết kiệm hơn và mời độc giả suy nghĩ xem liệu có thể tìm được một phương pháp tốt hơn nữa hay không. Đầu tiên, hãy bỏ trục y. Tại sao lại cần thiết nếu chúng ta tìm kiếm tất cả các nghiệm trên trục x? Giả sử chúng ta chỉ có một trục và trên đó có bốn điểm đã biết O 0, E 1, S X Y và P XY. Hai điểm cuối tương ứng với các hệ số của phương trình mà chúng ta muốn giải. Hình 7 tương ứng với trường hợp 0 ​​XY 1 XY, nhưng điều này không quan trọng lắm

THẾ GIỚI TOÁN HỌC

Toán học “khảo cổ học”:

Bài toán Olympic Toán học Liên Xô đầu tiên dành cho học sinh

D.FOMIN

TRONG NHIỀU NĂM, tất cả những ai từng quan tâm đến các bài toán của Olympic Toán học Leningrad (LMO) đều biết rõ rằng các phiên bản của LMO đầu tiên đã biến mất trong chiến tranh và bị phong tỏa hoặc đơn giản là không được bảo tồn. Và trong những năm đầu tiên sau chiến tranh, số phận đáng buồn này đã không bỏ qua thủ đô phía Bắc - có lẽ chỉ bài toán Olympic nửa sau những năm 1950 mới có thể được tìm thấy ở những phiên bản ít nhiều hoàn chỉnh (và thậm chí sau đó không phải dành cho mọi năm và không phải cho mọi lớp). Một mặt, điều này là dễ hiểu. Có khả năng là trong những năm đó, những cuộc thi mới mẻ này không được coi là điều gì đó đáng được quan tâm đặc biệt. Hơn nữa, hàng ngày, các sáng kiến ​​mang tính cách mạng (theo nghĩa đầy đủ của từ này) trong giáo dục đều rơi vào đầu các giáo viên và học sinh. Thông thường, thậm chí không đến một hoặc hai phần tư trôi qua trước khi mọi thứ bị hủy bỏ, các bộ trưởng, giám đốc mới và những người đam mê hàng đầu khác đã đến, những người đã phát minh và giới thiệu các phương pháp giảng dạy hoàn toàn khác, những ý tưởng đổi mới để phát hiện tài năng trẻ, nâng cao khoa học xã hội chủ nghĩa lên một tầm cao chưa từng có, v.v. Có thể nhiều giáo sư tổ chức Olympic không thấy cần thiết phải lưu trữ

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200703

xâu chuỗi tất cả vô số danh sách bài toán này - thành thật mà nói - lúc đầu chúng gần như không khác gì chương trình giảng dạy thông thường ở trường bài toán. Mặt khác, cần lưu ý rằng trong những năm đó, cả ở Leningrad và Moscow, đều có những người đam mê thậm chí khi đó đã hiểu bằng trực giác tầm quan trọng của lịch sử trong việc bảo tồn những tài liệu Olympic bài toán đầu tiên này từ những vòng đầu tiên. Họ bảo quản cẩn thận những văn bản này trong kho lưu trữ của mình, sau đó xuất bản các bài báo và bộ sưu tập đầu tiên bài toán dành riêng cho các cuộc thi toán học. Trong số những người Muscovite ở đây, trước hết phải kể đến Rostislav Nikolaevich Bonchkovsky (1905–1942) và Joasaf Ivanovich Chistykov (1870–1942). Ví dụ, đối với Leningrad, người ta biết rằng các nhà lãnh đạo các nhóm của Cung tiền phong, Mikhail Lvovich Verzhbinsky (1909–1962) và Mark Konstantinovich Gavurin (1911–1992), đã sưu tập cẩn thận các bộ Olympic bài toán và tài liệu cho các lớp học dành cho học sinh (xem [7]). Nhưng sau đó họ đã ra mặt trận, và bây giờ có lẽ không ai biết chuyện gì đã xảy ra với kho lưu trữ của họ. Con gái của M.L. Verzhbinsky đã viết trong hồi ký của mình về cha mình rằng trong mùa đông bị phong tỏa, do thiếu củi, những đồ nội thất độc đáo của Chippendale cất giữ trong căn hộ của họ đã bị chặt nhỏ để nhóm lửa. Chuyện gì đang xảy ra ở đây vậy

17

TOÁN HỌC

nói về một số mảnh giấy với những công thức mà không ai cần. Năm 1941, Đại học Leningrad được sơ tán đến Elabuga, rồi đến Saratov; Nhiều giáo sư, nghiên cứu sinh và sinh viên đã ra mặt trận, hồ sơ và kho lưu trữ của họ đã biến mất - tại Leningrad bị bao vây, hoặc trong nhiều cuộc di chuyển. Vào cuối những năm 1980, khi tôi cố gắng tìm kiếm bài toán Olympic của những năm trước chiến tranh xa xôi đó, sự đồng thuận chung là “điều đó thật vô vọng”. Và kết quả khai quật của tôi tại Thư viện Công cộng Nhà nước (nay là Thư viện Quốc gia Nga), trong các tài liệu và báo cáo của Cung tiền phong và trong hơn ba mươi kho lưu trữ cá nhân đã đưa tôi đến cùng một kết luận đáng buồn. Trong ấn bản đầu tiên của tuyển tập Olympic Toán học Leningrad ([6]), tôi đã viết đại loại như thế này: có vẻ như rất khó tìm thấy bài toán các kỳ Olympic trước chiến tranh, không có cơ hội thực sự nào cho việc này. Ở đây cần phải nhắc lại rằng vào năm 1984, nhân kỷ niệm 50 năm Thế vận hội Olympic đầu tiên, một bài viết thú vị của N.M. Matveev và S.E. Rukshin đã được xuất bản trên tạp chí “Toán học ở trường” [5], trong đó các tác giả đặc biệt trích dẫn những kỷ niệm $С.В.Валландера^{1}$, và sau đó cho chúng tôi biết rằng “lịch sử đã lưu giữ bài toán đầu tiên của Olympic đầu tiên”. Tuy nhiên, bài báo thiếu sự ghi nhận chính xác cho tuyên bố này. Đây là điều kiện của bài toán được đưa ra ở đó: Bài toán về hình lập phương. Có bao nhiêu cách tô màu các mặt của hình lập phương bằng 6 màu? (Hai phương pháp tô màu được gọi là khác nhau nếu chúng không thể kết hợp được bằng cách xoay khối lập phương.) Khi tôi đọc văn bản này ngay sau khi nó được xuất bản, phản ứng đầu tiên của tôi là - thật là một bất ngờ thú vị! Chúng tôi không chỉ tìm được bài toán của LMO đầu tiên mà bản thân vấn đề cũng khá phức tạp.

1 Sergei Vasilievich Wallander – người chiến thắng LMO đầu tiên, Tiến sĩ Vật lý và Toán học tương lai. Khoa học, thành viên tương ứng. Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, Trưởng khoa Toán và Cơ học của Đại học bang Leningrad năm 1965–1973.

THẾ GIỚI

đẹp và không chuẩn, khác hoàn toàn so với đại đa số các cuộc thi toán bài toán khác vào thời điểm đó, trông như thể chúng vừa sao chép từ sách giáo khoa ở trường. Sau khi chiêm ngưỡng bài toán, tôi suy nghĩ một chút, vì tôi có cảm giác như đã nhìn thấy nó ở đâu rồi. Và trên thực tế, khi mở bộ sưu tập [3], tôi phát hiện ngay điều này bài toán… trong phiên bản của Olympic Toán học Moscow đầu tiên năm 1935. Liệu người Muscovite có thể sử dụng bài toán từ Olympic Leningrad năm trước không? Không cần phải nói, ở thời đại chúng ta điều này hoàn toàn không thể xảy ra. Nhưng sau đó, trong thời đại của những cuộc thi toán học đầu tiên, vào thời điểm mà tốc độ phổ biến thông tin kỹ thuật chuyên môn cao là cực kỳ thấp, những câu hỏi như vậy tất nhiên không được coi trọng như vậy. Thật khó để nói bất cứ điều gì chắc chắn, mặc dù đối với tôi, dường như điều này (tức là việc sử dụng lại bài toán) đã được xuất bản vẫn khó xảy ra - ngay cả khi chúng tôi cho rằng người Muscovite thích bài toán này đến mức họ không thể làm gì nếu không có nó, thì chỉ cần sửa đổi một chút tình trạng của nó là đủ; sẽ khá dễ dàng để làm điều này. Vì vậy, tôi đã có một giả thuyết - tuy nhiên, không dựa trên bất cứ điều gì - rằng trong nhiều năm qua, đã có một kiểu “che phủ” không tự nguyện của biến thể MMO-1935 lên ký ức của LMO-1934. Trong hồi ký ngắn gọn của một người tham gia Olympic đầu tiên khác, M.L. Alexandrova ([4]), một số dữ liệu đã được đưa ra -

18

KVANT 2020/№7

đã nói về việc tổ chức cuộc thi, nhưng than ôi, cô ấy không nhớ bài toán Olympic. Rõ ràng là không thể giải quyết một cách rõ ràng sự khác biệt nhỏ và nói chung là không đáng kể này. Chúng ta chỉ có thể hy vọng rằng khi những hậu duệ xa xôi của chúng ta phát minh ra cỗ máy thời gian, một trong số họ sẽ đến thăm Leningrad vào mùa xuân năm 1934, và khi đó nhân loại biết ơn cuối cùng sẽ có được danh sách đầy đủ bài toán của Olympic toán học thành phố đầu tiên trong lịch sử thế giới. Tuy nhiên, gần ba mươi năm sau, khi chuẩn bị phát hành lại bộ sưu tập LMO, tôi đã tiến hành tìm kiếm bổ sung trên Internet - chủ yếu với mục tiêu tìm kiếm một số bức ảnh từ những năm đó. Và không lâu sau (vào tháng 1 năm 2020), gần như hoàn toàn là tình cờ, tôi tình cờ biết được việc phát hành tuyển tập “Khai sáng toán học”, xuất bản tại Moscow năm 1935. Cuốn sách này xuất bản một bài báo của I.I. Chistykov [2] với tựa đề chính thức dài “Olympic Toán học của Đại học bang Leningrad mang tên A.S. Bubnova.” Khỏi phải nói tôi đã choáng váng và vui mừng đến thế nào. Đầu tiên, Chistykov cho biết ngày chính xác của Thế vận hội (Thứ Tư, ngày 18 tháng 4). Thứ hai, ông mô tả chi tiết hơn về việc tổ chức Olympic, đồng thời cũng báo cáo chính xác có bao nhiêu học sinh tham gia vòng thứ hai và thứ ba (cuối cùng) - lần lượt là 307 và 48 người. Thứ ba, và đây là điều quan trọng nhất, mười một kỳ thi Olympic bài toán đã được liệt kê trong phần phụ lục của ghi chú này. Lần đầu tiên sau nhiều năm, ít nhất một số bài toán của Olympic Toán học đầu tiên ở Liên Xô đã được tìm thấy! Vấn đề ghi công cũng bị loại bỏ hoàn toàn khỏi bài báo, nhưng trong trường hợp này, chúng tôi đang nói về tác phẩm được viết nhằm theo đuổi cuộc thi vừa diễn ra. Đó là điều tự nhiên khi cho rằng chính tác giả của bài báo hoặc những người biên tập bộ sưu tập đã nhận được danh sách bài toán khó khăn

đặc biệt là từ những người tổ chức LMO đầu tiên - đặc biệt, kể từ tháng 1 năm 1935, “nhà tư tưởng” chính của Olympic Leningrad, Boris Nikolaevich Delone, đã sống và làm việc tại Moscow (liên quan đến việc Viện Toán học của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô chuyển đến đó). Thật không may, bài báo không chỉ ra bài toán nào trong số này thuộc về vòng một (huấn luyện), vòng hai hoặc vòng ba của Olympic. Bài toán về việc tô màu hình lập phương bị thiếu (tuy nhiên, điều này không có ý nghĩa gì cả, vì văn bản cho thấy rõ ràng rằng phần phụ lục chỉ chứa một tập hợp một số bài toán Olympic đã chọn). Tuy nhiên, chính việc phát hiện ra ghi chú này đã là động lực để tôi tìm kiếm thêm. Chưa đầy vài tháng trôi qua, vào giữa tháng 5 năm 2020 (ít nhất cũng có chút lợi ích từ việc cách ly coronavirus đáng buồn), trong khi tiếp tục “lang thang” trong sự rộng lớn của world wide web, tôi phát hiện ra một bản sao của tạp chí “Toán học và Vật lý ở trường trung học” (tiền thân của tạp chí “Toán học ở trường”) năm 1934, trong đó một bài báo tương tự của cùng một tác giả đã được xuất bản [1]. Tiêu đề của bài viết này còn thô thiển hơn (“Kết quả Olympic Toán học Leningrad”), và ngoại trừ một số chi tiết nhỏ, nó thực tế không khác biệt với bài báo [2]. Tuy nhiên, trong phiên bản này, ngay sau văn bản chính là phần phụ lục chứa bộ bài toán của vòng thứ ba LMO-1934! Trong cuốn hồi ký đã được đề cập ở trên, M.L. Alexandrova đã viết rằng mỗi người tham gia vòng chung kết của Olympic nhận được hai bài toán - giải nhất về đại số, giải thứ hai về hình học. Đây chính xác là phụ lục của bài viết [1] này trông như thế nào – nó bao gồm tám tùy chọn trong số hai bài toán. Cần phải chỉ ra rằng vì lý do nào đó không rõ (không vừa? Bị mất? vô tình bỏ sót khi gõ?) bài toán 5(a) bị thiếu - tuy nhiên, rất có thể bài toán này có trong danh sách từ phụ lục của bài viết [2] - xem bên dưới bài toán 1934.X, 1934.Y và 1934.Z.

19

TOÁN HỌC

Về mặt lý thuyết, có thể đây vẫn chưa phải là một tập hợp đầy đủ tất cả các tùy chọn. Cá nhân tôi khó tin rằng ban giám khảo đã chuẩn bị sẵn một phương án riêng cho từng người trong số 48 người tham gia, đặc biệt là vì số lượng của họ không được biết trước. Ý tưởng của một Olympic nhiều lựa chọn là để loại bỏ khả năng gian lận - ngay cả khi đó, ngay tại Olympic đầu tiên, người ta đã chú ý đến điều này, tuy nhiên, điều này không có gì đáng ngạc nhiên. Tuy nhiên, tám lựa chọn có lẽ là đủ - Alexandrova nhớ lại rằng những người tham gia đã ngồi trong một số phòng học trong tòa nhà chính của trường đại học. Rõ ràng, ban tổ chức muốn đảm bảo rằng trong mỗi phòng có học sinh với các lựa chọn điều kiện khác nhau - khi đó việc tổ chức vòng thi vấn đáp như vậy có vẻ khá hợp lý. Tất nhiên, có một xác suất khác 0 là số lựa chọn có thể nhiều hơn, ví dụ như mười hoặc mười hai. Tuy nhiên, trong trường hợp như vậy, sẽ khó giải thích tại sao ấn phẩm không chứa bộ bài toán hoàn chỉnh. Đối với bài toán về màu sắc của khối lập phương, không thể loại trừ hoàn toàn việc nó nằm trong danh sách đào tạo bài toán gửi đến các trường học, trên cơ sở lời giải trường nào đã thành lập “đội” của mình cho vòng hai (giai đoạn học này khá xứng đáng được gọi là vòng đầu tiên của LMO-1934). Một giả định như vậy về mặt lý thuyết có thể giải thích ký ức của một trong những người tham gia rằng bài toán này là bài toán đầu tiên của Olympic. Tuy nhiên, tôi thành thật thừa nhận rằng giả thuyết này đối với tôi có vẻ không hợp lý. Điều [2] đề cập rằng danh sách bài toán của vòng đầu tiên bao gồm “90 bài toán từ nhiều nhánh đại số, hình học và lượng giác”; Nhân tiện, nhiều bài trong số đó cũng được liệt kê trong phần phụ lục của bài viết này với tiêu đề “Bài tập dành cho học sinh”; một danh sách đào tạo khác bài toán được đưa ra trong số trước (1934, số 3) của cùng tạp chí “Toán và Vật lý ở trường THCS”; Không có một bài toán không chuẩn nào trong các danh sách này.

THẾ GIỚI

Nếu chúng ta đang nói về vòng thứ hai của Olympic, thì nó, giống như vòng thứ ba, được biên soạn bằng phương pháp đa biến, điều này một lần nữa loại trừ khả năng sử dụng bài toán như vậy. Tuy nhiên, có thể câu hỏi về khối lập phương là một trong những câu hỏi bài toán bổ sung được đưa ra cho những học sinh đã giải được tất cả bài toán của phương án chính. Dù vậy, giờ đây chúng ta có thể nói với những căn cứ khá nghiêm túc rằng câu hỏi về các phương án chính cho vòng chung kết Olympic toán thành phố đầu tiên trong lịch sử trên thực tế đã được giải quyết. Những người hâm mộ các cuộc thi toán học cuối cùng cũng có thể làm quen với nhiều bài toán của Olympic Toán học Leningrad năm 1934. Và ai biết được, có thể trong số những người đọc những dòng này sẽ có hậu duệ của những học sinh, giáo viên, sinh viên hoặc giáo sư Leningrad, những người mà kho lưu trữ gia đình đã bị lãng quên từ lâu bài toán hoặc những bức ảnh từ Olympic của những năm trước chiến tranh khác vẫn được lưu giữ. Hãy hy vọng rằng chúng ta sẽ không phải đợi gần chín mươi năm nữa cho đến khi xuất bản lần tiếp theo dành riêng cho lịch sử của Olympic Toán học Thành phố Leningrad. Tuy nhiên, tệ nhất là chúng ta luôn có lựa chọn về cỗ máy thời gian.

---

Và bây giờ - bài toán của vòng thứ ba của LMO đầu tiên (bộ tám tùy chọn được liệt kê trong bài viết [1]). Ở một số chỗ tôi đã sửa lỗi chính tả và thay thế những thuật ngữ lỗi thời.

Vòng thứ ba. lớp 10. 1934

1934.01. (a) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam giác thì nghiệm của phương trình $b^{2} x^{2} b^{2} c^{2} a^{2} x c^{2} 0$ là $мнимые^{2}$. (b) Một tam giác trượt dọc theo mặt phẳng của nó sao cho hai cạnh của nó luôn bằng nhau

2 Đó là những gốc rễ này không thể có thật

số của tôi.

27

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Cơm. 2

“QUANTA”

Nếu bánh xe đứng yên thì tốc độ tuyến tính của điểm của bánh xe thứ hai, hiện được nối với bánh xe thứ nhất, bằng 0, tốc độ tâm của nó $v_{1}$ bằng tốc độ của đòn bẩy tại điểm này: $v_{1} 2 r Z$. Do đó, bánh xe này phải quay với vận tốc góc Z 2 sao cho

2 r Z Z 2 r

Cơm. 3

như trên Hình 3. Hãy theo dõi chuyển động quay của điểm A của bánh chẵn (bánh xe thứ sáu) và điểm B của bánh lẻ (bánh xe thứ năm). Để một khoảng thời gian nhỏ không trôi qua sau thời điểm đang xét. Khi đó đòn bẩy quay một góc M Z theo chiều kim đồng hồ. Các bánh xe cũng sẽ quay cùng một góc so với cần số (xét cho cùng, các bánh xe có vận tốc góc Z so với cần số): bánh chẵn quay theo chiều kim đồng hồ, bánh lẻ quay ngược chiều kim đồng hồ. Trong hình 4

Cơm. 4

Vị trí của đòn bẩy và bánh xe tại thời điểm này được hiển thị và các góc quay của đòn bẩy và bánh xe được mô tả dưới dạng vòng cung. Từ hình này chúng ta kết luận rằng bánh xe chẵn sẽ quay so với vị trí ban đầu của nó một góc 2’M theo chiều kim đồng hồ, và bánh xe lẻ sẽ không quay chút nào. Điều này có nghĩa là vận tốc góc của bánh xe chẵn và đòn bẩy cộng lại và cho vận tốc góc gấp đôi, còn vận tốc góc của bánh xe lẻ và đòn bẩy bị trừ đi. Do đó, khi cần quay theo chiều kim đồng hồ (với điều kiện bánh xe thứ nhất cố định), tất cả các bánh xe chẵn, và do đó là bánh xe thứ sáu, sẽ quay quanh trục của chúng theo chiều kim đồng hồ với vận tốc góc 2Z, trong khi các bánh xe lẻ sẽ không quay quanh trục của chúng. Cũng có thể thực hiện được lời giải khác – mà không cần chuyển sang hệ thống tham chiếu được liên kết với đòn bẩy. Vì bánh xe thứ nhất là

0 và $Z_{2}$

2 Z.

Từ đây ta tìm vận tốc tuyến tính của điểm bánh thứ hai tiếp xúc với bánh thứ ba: $v_{23} 2 Z r Z_{2} r 4 Z r$. Tốc độ tâm bánh xe thứ ba $v_{3}$ bằng tốc độ đòn bẩy tại điểm tâm bánh xe thứ ba: $v_{3} 4 r Z$. Từ hai công thức cuối cùng, chúng ta thấy rằng cả tâm của bánh xe thứ ba và điểm của nó chạm vào bánh xe thứ hai đều có cùng tốc độ. Do đó, bánh xe thứ ba không quay: $Z_{3} 0$. Do đó, điểm của nó chạm vào bánh xe thứ tư có cùng tốc độ thẳng: $v_{34} 4 Z r$. Điều này có nghĩa là điểm của bánh xe thứ tư chạm vào bánh xe thứ ba có cùng tốc độ. Mặt khác, tốc độ tuyến tính của tâm bánh xe thứ tư $v_{4}$ bằng tốc độ tuyến tính của đòn bẩy tại điểm đặt tâm của bánh xe thứ tư: $v_{4} 6 Z r$. Do đó, bánh xe thứ tư phải quay với vận tốc góc $Z_{4}$, $6 Z r Z_{4} r 4 Z r$ và $Z_{4} 2 Z$. Và vân vân. Từ chuỗi đẳng thức này chúng ta thấy rằng vận tốc góc của tất cả các bánh xe lẻ bằng 0 và tất cả các bánh xe chẵn đều bằng 2Z.

F2607. Các kỹ sư nổ thử nghiệm các loại thuốc nổ mới trong một “chiếc chuông” hình trụ có thành dày, khối lượng M và bán kính R, hở ở phía dưới, đứng trên mặt đất. Bên trong

29

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Từ đây chúng ta tìm thấy động lực tổng thể của những mảnh vỡ đã đi vào lòng đất:

P

$R^{2} 2 mE$

$4 R^{2} h^{2}$

.

Chuông sẽ nhận được xung lượng tương tự (nhưng hướng lên trên), do đó, theo định luật bảo toàn xung, tốc độ của nó ngay sau khi nổ điện tích sẽ bằng

V

$R^{2} 2 mE$

$4 R^{2} h^{2} M$

(ở đây chúng ta bỏ qua khối lượng mảnh vỡ mắc kẹt trong chuông). Chiều cao của chuông bây giờ có thể được tính bằng định luật bảo toàn năng lượng:

H

$V^{2} 2 g$

$mER^{4}$

$16 R^{2} h^{2}$

2

.

$M^{2} g$

F2608. Xét mô hình truyền chuyển động quay giữa hai trục song song dựa trên ma sát. Hai hình nón giống hệt nhau - dẫn đầu và dẫn động - được ép vào nhau dọc theo một máy phát điện (Hình 1). Nón dẫn động quay với vận tốc góc không đổi Z và có mômen ngoại lực M tác dụng lên trục của nó. Hình nón bị dẫn quay quay với vận tốc góc bằng bao nhiêu? Các hình nón được ép vào nhau đều dọc theo máy phát với một lực N. Góc ở đỉnh của hình nón là D, hệ số ma sát giữa các hình nón là P, chiều cao của hình nón là h.

Do có lực ma sát, nón dẫn động sẽ tăng tốc nón bị dẫn đến một vận tốc góc nhất định và ở chế độ quay đứng yên vận tốc góc của cả hai nón sẽ không giống nhau.

Cơm. 1

“QUANTA”

làm phiền. Nhưng vì vận tốc tuyến tính của các điểm khác nhau trên bề mặt của mỗi hình nón là khác nhau nên có sự trượt giữa các điểm của các hình nón chạm vào nhau và lực ma sát trượt phải tác dụng. Thật vậy, các điểm của hình nón dẫn động, nằm xa trục của nó hơn, có vận tốc tuyến tính cao hơn và phải ở phía trước các điểm của hình nón dẫn động mà chúng tiếp xúc. Và các điểm của hình nón dẫn động, nằm gần trục của nó hơn, có vận tốc tuyến tính thấp hơn và sẽ tụt hậu so với các điểm của hình nón dẫn động mà chúng tiếp xúc. Điều này có nghĩa là tại các điểm khác nhau trên bề mặt của mỗi hình nón, lực ma sát tác dụng khác nhau. Nón dẫn động chịu tác dụng của lực ma sát phanh từ nón bị dẫn tại các điểm phía trước các điểm bị dẫn và lực ma sát tăng tốc tại các điểm chậm hơn các điểm bị dẫn. Tuy nhiên, tổng lực ma sát tác dụng lên hình nón dẫn động phải là lực hãm, vì nó quay đều khi có mômen ngoại lực tác dụng lên nó. Từ điều kiện bằng nhau về mômen của các ngoại lực và mô men của tổng lực ma sát, người ta có thể tìm được các điểm của hình nón có cùng vận tốc tuyến tính (tiết diện có vận tốc bằng nhau). Vì vậy, đặt phần có vận tốc bằng nhau cách đỉnh của hình nón một khoảng $h_{0}$ (thể hiện bằng đường chấm trên Hình 2), phản lực pháp tuyến tác dụng giữa các hình nón bằng N. Xét một lớp mỏng của hình nón đầu có độ dày ’ x, nằm cách một khoảng x từ

Cơm. 2

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Bài toán

. Vovochka viết các số từ 1 đến 13 vào một cuốn sổ. Anh ta nhân 5 trong số đó với 3, số còn lại với 7 và cộng tất cả các tích. Liệu anh ấy có thể kết thúc với 433 không? N. Chernyatyev

1

. Ở Vùng đất Cơ hội Bình đẳng, tất cả các hộp đều chứa cùng một số kẹo. Mỗi người trong số 18 cư dân của đất nước này khi mời khách đến dự sinh nhật của họ đều mua một trong những thứ này

2. Các ô vuông của bảng 5 và 5 được tô màu vào một ô và chia đều số kẹo cho mọi người, kể cả chính bạn. Trong suốt một năm, một trong những cư dân đã ăn 39 viên kẹo vào ngày sinh nhật của họ, mỗi viên hai – 25, mỗi viên bốn – 84, bốn viên nữa – mỗi viên 95 và mỗi viên bảy – 65 viên. Vanya mời nhiều khách nhất. Có bao nhiêu khách mời dự sinh nhật Vanya? I. Raskin theo hình bàn cờ, các ô ở góc có màu đen. Misha cắt tấm bảng này dọc theo các cạnh của hình vuông thành năm hình vuông. Phải chăng trong hơn một nửa số hình, hơn một nửa số ô có màu trắng? N. Chernyatyev

3

4

Bài toán 1 và 2 đã được đưa ra tại Giải đấu Kostroma dành cho các nhà toán học trẻ, bài toán 3 – tại Giải đấu các trận đấu toán học A.P. Savin, bài toán 4 – tại Lễ hội toán học.

Minh họa của D. Grishukova

. Ba cạnh của một tứ giác bằng nhau và các góc tạo bởi các cạnh này là 90q và 150q. Tìm hai góc còn lại của tứ giác này. M. Volchkevich

Chuyển động mạnh mẽ của một vật thể… được ném không vuông góc với đường chân trời, không bao giờ có một bộ phận nào hoàn toàn thẳng. Niccolo Tartaglia

…chúng ta sẽ có vô số điểm khác nhau…chúng sẽ mô tả đường cong cần thiết. Rene Descartes

…đồ thị của hàm số là một đường cong được vẽ bằng chuyển động tự do của bàn tay. Leonard Euler

Chiều cao, chiều rộng, chiều sâu. Chỉ có ba tọa độ. Vượt qua họ, con đường ở đâu? Bu lông được đóng lại. Valery Bryusov

…chúng tôi đã giải phóng khái niệm đồ thị khỏi mọi thứ ngẫu nhiên. Andrey Kolmogorov

Đây là một cách để mô tả chuyển động <tabular - A.L.>. Có một cách khác - đồ họa. Richard Feynman

Nó có quen thuộc với bạn không?

?

Vật lý bằng ngôn ngữ hàm số và đồ thị

Ngay cả tổ tiên xa xôi của chúng ta cũng hiểu rằng các hiện tượng xung quanh họ có mối liên hệ với nhau. Nhưng làm thế nào mối liên hệ này có thể được thể hiện một cách chính xác? Ngay cả ở Hy Lạp cổ đại, các nhà khoa học đã tiến gần đến khái niệm phụ thuộc hàm nhưng vẫn không thể hình thành được nó. Phải mất gần 1.500 năm nữa để nghiên cứu sự tương ứng giữa các đại lượng thay đổi, nghiên cứu quỹ đạo của các điểm chuyển động, đưa ra tọa độ và ký hiệu chữ cái để giúp các nhà toán học có khả năng viết ra các định luật tự nhiên dưới dạng hàm số, cũng như biểu diễn chúng bằng đồ họa. Vì vậy, vật lý (và không chỉ nó!) đã được cung cấp một dịch vụ vô giá, giúp tăng cường đáng kể tiềm năng nghiên cứu của nó. Thật không may, học sinh thường bỏ bê việc sử dụng đồ thị. Nhưng vô ích! Đồ thị mở rộng hiểu biết của chúng ta về các quá trình vật lý, làm cho chúng trở nên trực quan và đôi khi tạo điều kiện thuận lợi đáng kể cho lời giải bài toán. Hãy cố gắng thuyết phục bạn về điều này trong số Kính vạn hoa này.

Câu hỏi và bài toán

1. Hai ô tô rời hai điểm A và B cùng lúc hướng về nhau. Sau mấy giờ họ gặp nhau nếu xe rời điểm A đến điểm B sau cuộc họp 9 giờ và xe rời B đến A sau cuộc họp 4 giờ?

2. Toa cuối cùng được tháo khỏi một đoàn tàu đang di chuyển nhưng đoàn tàu vẫn tiếp tục chuyển động với tốc độ như cũ. Giả sử ô tô đang chuyển động với gia tốc không đổi, hãy tìm xem quãng đường ô tô đi được trước khi dừng nhỏ hơn bao nhiêu lần quãng đường tàu đi được đến điểm này $моменту.^{3.}$ Trong giây thứ năm của chuyển động thẳng với gia tốc không đổi, vật đi được quãng đường s = 5 m và dừng lại. Hỏi vật đi được quãng đường bao nhiêu trong giây thứ hai $движения?^{4.}$ Hai đầu của thanh AB có chiều dài l trượt không đứt dọc theo một bức tường thẳng đứng và một sàn nằm ngang. Tìm quỹ đạo của điểm C - điểm giữa của thanh, giả sử rằng tại thời điểm ban đầu thanh nằm hoàn toàn liền kề với $стене.^{5.}$ Một quả bóng nằm cách bức tường thẳng đứng một khoảng L và ở độ cao H so với sàn nằm ngang, được ném theo phương ngang về phía bức tường. Ở tốc độ ban đầu tối thiểu là bao nhiêu, sau khi va chạm đàn hồi, quả bóng sẽ bật ra khỏi tường xa hơn $L?^{6.}$? Một khối lập phương có cạnh a và mật độ $U_{к}$ nổi trên bề mặt chất lỏng có mật độ là $U_{ж}$. Vẽ đồ thị lực tác dụng lên khối lập phương dưới dạng hàm của độ sâu $погружения.^{7.}$ Vẽ đồ thị gần đúng về mật độ nước của một khối lượng nhất định so với

nhiệt độ thay đổi từ 0 đến $8 q C.^{8.}$ Với khối lượng không đổi của khí lý tưởng, một quá trình được thực hiện trong đó áp suất tỷ lệ thuận với thể tích. Xây dựng đồ thị của quá trình này theo tọa độ $p, V, p, T, V, T.^{9.}$ Đối với các mạch chuyển mạch biến trở như trong hình, hãy xây dựng đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của điện trở mạch giữa các điểm A và B vào điện trở r của phía bên phải của biến trở (lên đến $ползунка).^{10.}$ Mối quan hệ nào kết nối tần số và độ dài của sóng điện từ, chẳng hạn như khi điều chỉnh máy thu radio?

Kinh nghiệm vi mô

Bọc một ngọn nến hình trụ 2-3 lần bằng một tờ giấy (bạn cũng có thể lấy một ổ xúc xích trong vỏ) và dùng dao sắc cắt theo đường chéo. Bạn nghĩ sao, đồ thị của hàm số nào dọc theo mép cắt khi mở tờ giấy sẽ thu được?

Thật thú vị rằng…

…khoa học cổ đại để lại rất ít đường cong cho thế hệ tương lai. Những cái chính là hình tròn, cũng như hình elip, hyperbola và parabola, xuất hiện trong các tác phẩm của nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Apollonius của Perga. …một trong những nỗ lực đầu tiên nhằm xây dựng một hệ tọa độ thẳng gắn liền với tên tuổi của nhà toán học và vật lý học người Pháp thế kỷ 14 (và nhà kinh tế học!) Nicolas Oresme. …Chuyên luận được xuất bản nhiều lần của Oresme có thể đã ảnh hưởng đến các nhà khoa học trong tương lai, bao gồm cả Descartes, người đã bày tỏ rõ ràng ý tưởng về sự phụ thuộc hàm của các biến và biểu thức hình học của sự phụ thuộc này, tức là đồ thị hàm số. …bài toán về việc tìm độ dịch chuyển được tạo ra trong chuyển động có gia tốc đều lần đầu tiên được giải bằng đồ họa vào thế kỷ 17 bởi Galileo Galilei.

…Galileo tin rằng đường dây xích dọc theo đó là những sợi dây mềm dẻo không thể giãn ra và những dây xích treo tự do chùng xuống trùng với một hình parabol. Tuyên bố này đã bị Huygens bác bỏ, người cũng phát hiện ra rằng một đường cycloid, chứ không phải đường tròn, như Galileo tin, có tính chất là một vật trượt dọc theo nó không ma sát sẽ dao động với một chu kỳ không phụ thuộc vào vị trí ban đầu. …các sao chổi di chuyển từ xa vào Hệ Mặt trời và các hạt D bay ngang qua hạt nhân nguyên tử trong quá trình bắn phá của nó di chuyển dọc theo các hyperbol xung quanh Mặt trời; định luật phân rã phóng xạ phản ánh tính chất hàm mũ của quá trình này; Nhiều thiên hà, bao gồm cả thiên hà của chúng ta, bị xoắn theo đường xoắn ốc logarit. Hầu như không thể quan sát những sự phụ thuộc này một cách “trực tiếp”… …nhưng trong một số trường hợp, người ta có thể nói rằng đồ thị của các hàm có thể nhìn thấy được bằng chính mắt bạn. Do đó, một thước kim loại, bị nén ở hai đầu, uốn cong theo hình sin (một ví dụ khác là trong Microexperiment). Trong một khe hẹp được hình thành bởi hai tấm kính thẳng đứng được hạ xuống trong nước, một hyperbol của bề mặt tự do của chất lỏng xuất hiện rõ ràng. Bằng cách nghiêng một chiếc cốc thủy tinh hình trụ chứa đầy nước vào giữa, chúng ta sẽ có được một hình elip. Có rất nhiều ví dụ như vậy, hãy cố gắng tìm chúng xung quanh bạn.

Những gì cần đọc trong «Kvant» về chủ đề này (các ấn phẩm của những năm gần đây) 1. “Khi đồ thị trợ giúp” - 2014, Số 1, tr. 47; 2. “Suy nghĩ, quyết định bài toán” – 2017, số 9, tr. 31; 3. “Tốc độ trung bình của chuyển động thẳng” – 2018, số 2, tr. 48; 4. “Và lại là chú mèo con trên cầu thang” - 2018, số 4, tr. 36; 5. “Mr.Great Cosine” – 2019, số 1, tr. 39; 6. “Cà phê cùng triển lãm” – 2019, số 7, tr. 25; 7. “Đồ thị hình sin trông như thế nào” – 2020, số 3, tr. 38; Số 4, tr. 11.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

QUAN SÁT CỦA CHÚNG TÔI

Đỉnh cao bướng bỉnh

M.STARSHOV

Có thể nói, CÔNG CỤ ĐƠN GIẢN NÀY được gọi là máy quay (Hình 1), đã được phổ biến khắp thế giới và thậm chí có người còn gọi nó là “đồ chơi văn phòng phải có trong năm 2017”. Trên thực tế, trong một thời gian, hầu hết mọi người trẻ cho đến khoảng một phần tư thế kỷ đều có một chiếc máy quay và vô thức ngưỡng mộ vòng quay đầy mê hoặc của nó. Nhưng thời trang luôn thay đổi và bây giờ thật khó để nhớ lần cuối cùng tôi nhìn thấy một chiếc máy quay trong tay ai đó là khi nào. Một chiếc đầu như vậy được thừa kế từ cháu trai của ông cho ông nội của ông, và ông bắt đầu tìm kiếm một công dụng mới cho món đồ chơi này. Trước hết, khả năng hồi chuyển của bàn xoay là rõ ràng. Do đó, nảy sinh ý tưởng làm cho nó quay không phải bằng tay mà dựa trên một số loại hỗ trợ. Thật vậy, máy quay cho cảm giác dễ chịu, chẳng hạn như trên một miếng nạp bút bi được cố định theo chiều dọc

Cơm. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200705

(miễn là quán tính quay của nó là đủ). Sau đó, một hình dáng thu nhỏ của phuộc bánh trước của xe đạp được uốn cong từ một chiếc kẹp giấy lớn. Trong cách cầm này, đồ chơi xoay tốt. Nhưng quan trọng nhất, người ta có thể cảm nhận được áp lực lên các ngón tay khi thay đổi hướng quay của nó. Rõ ràng là một con quay hồi chuyển! Và ngày hôm qua, ý tưởng gắn chong chóng vào thước đã xuất hiện và treo cấu trúc trên một sợi dây (Hình 2). Hóa ra thú vị, người cai trị đang quay. Nhưng tôi nhanh chóng muốn loại bỏ cây thước đi, hoặc ít nhất là làm cho nó nhẹ hơn.

Cơm. 2

Trong “thùng rác hữu ích” có một dải getinax có các khe dọc. Thông qua một trong số chúng, con quay được ép vào getinax bằng một vít nhỏ và qua khe thứ hai, toàn bộ vật được treo trên một sợi mỏng (Hình 3). Và đây là nơi điều thú vị nhất xảy ra - khi con quay quay nhanh, tấm bắt đầu quay chậm quanh trục thẳng đứng. Hướng quay này phụ thuộc vào hướng quay của chính mặt trên, hơn nữa, khi hướng quay thay đổi thì bản chất quay của tấm cũng thay đổi. Trong một trường hợp, đó là một vòng quay chậm đơn giản, và trong trường hợp khác, tấm đĩa quay theo bước nhảy ba mươi độ, một loại lượng tử. Theo thời gian, tốc độ này tăng lên một chút, $а^{Рис.} 3$

42

KV AN T 2020/№7

sau khi phần trên dừng lại, hướng của nó thay đổi - đây rõ ràng là sợi dây đang được tháo ra. Hành vi này có vẻ bất ngờ đối với một con quay hồi chuyển, bởi vì trên tên lửa, người ta sử dụng chính xác sự bảo toàn hướng quay của con quay hồi chuyển… Ngày nay, giá của món đồ chơi này đã giảm mạnh đến mức các nhà sản xuất thế giới có lẽ đã không còn quan tâm đến nó và việc sản xuất hàng loạt đã ngừng. Thật đáng tiếc, sẽ rất thú vị khi chơi với chiếc áo này, chỉ với

thay thế ba quả nặng bằng một vòng nặng, để phần trên trở nên gần giống với một con quay hồi chuyển thông thường. Nó cũng hữu ích khi giải đố xem lực làm quay trục của một đỉnh treo trên một sợi dây đến từ đâu (có thể nói là bóng ma của lực ly tâm). Và định luật bảo toàn xung lượng góc của hệ biểu hiện như thế nào trong thí nghiệm này? Hãy suy nghĩ về tất cả điều này!

NA M P ISH UT

Hình bình hành của những điểm đáng chú ý

K. KOZERENKO

Có RẤT NHIỀU điểm tuyệt vời liên quan đến tam giác, hơn 30.000 điểm trong số đó đã được đưa vào Bách khoa toàn thư về các trung tâm tam giác (ETC) nổi tiếng của Clark Kimberling. Tất nhiên, nhiều điểm thú vị không chỉ

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200706

riêng của nó, nhưng có liên quan đến những điểm tuyệt vời khác. Ở đây chúng tôi mô tả cách xây dựng rất đều đặn với nhiều điểm đáng chú ý (xem hình). Nó phần lớn tóm tắt các sự kiện và kết quả đã biết từ bài báo của K. Kozerenko và P. Fakanov “Trục Ptolemaic của Tam giác” («Kvant» Số 2, 2017). Ta sử dụng ký hiệu sau: ABC là tam giác tùy ý, M là tâm khối, tức là giao điểm của các đường trung tuyến $AA_{m}, BB_{m}, CC_{m}$, H – trực tâm, O – tâm đường tròn ngoại tiếp, E – tâm đường tròn gồm chín điểm. Ta biết rằng bốn điểm nêu trên cùng nằm trên một đường thẳng (đường thẳng Euler), trong khi E là trung điểm của OH và M chia đoạn OH theo tỷ lệ OM: MH 1: 2. Ví dụ, điều này suy ra từ tính đồng nhất

46

KV AN T 2020/№7

F. Chứng minh tam giác MCD đồng dạng với tam giác MFE. 4. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 15 ước khác nhau, trong đó có số 1 và chính số đó. 5. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số mà ký hiệu thập phân sử dụng đúng hai chữ số khác nhau. 6. Giải phương trình $x^{2} 2 x 8 x 3$.

lớp 10

1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $x^{4} 7 x^{2} 2 x 2 0$ nếu bạn biết rằng số 2 1 là một trong các nghiệm của nó. 2. Từ một hộp chứa đồng xu 5 kopecks và 10 kopecks, có thể lấy ra một đồng xu 10 kopecks với xác suất là 5 7. Sau khi thêm vài đồng 5 kopeck vào hộp, xác suất chọn được một đồng xu 10 kopecks từ hộp trở thành 4 11. Số xu 5 kopecks nhỏ nhất được thêm vào hộp là bao nhiêu? 3. Cho hai đường tròn rời nhau, không đường nào nằm trong đường tròn nào. Hai tiếp tuyến ngoài của các đường tròn này cắt hai tiếp tuyến trong tại bốn điểm. Chứng minh rằng bốn điểm này và tâm của các đường tròn đều nằm trên cùng một đường tròn. 4. Với mọi số tự nhiên n, tính tổng

S n

2 ˜ $2^{0} 3$ ˜ $2^{1} 4$ ˜ $2^{2}$ … n 1 ˜ $2^{n} 1$.

5. Hình chữ nhật P được đặt trên giấy ca-rô sao cho các cạnh ngang và cạnh dọc của nó nằm trên các đường lưới, chiều dài các cạnh là 9 và 15 bậc lưới. Tìm số tất cả các hình chữ nhật khác nằm bên trong hình chữ nhật P có các cạnh nằm trên đường lưới và không có điểm chung với các cạnh của hình chữ nhật P. 6. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 24 ước số khác nhau, bao gồm cả số 1 và chính số đó.

lớp 11

1. Vasya nghĩ ra hai số tự nhiên, nhân tổng của chúng với 8, rồi lấy số kết quả trừ bình phương của một trong các số đó.

số manna. Hóa ra kết quả của những hành động này nhỏ hơn 47 so với tích của các con số dự định. Vasya đã nghĩ đến những con số nào? 2. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $x^{4} 8 x^{3} 19 x^{2} 12 x 2 0$ nếu bạn biết rằng số 2 + 3 là một trong các nghiệm của nó. 3. Hình thang ABCD có đáy AD và BC ngoại tiếp một đường tròn, các cạnh AB và CD lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại các điểm K và L. Tìm tỉ số hai đáy của một hình thang nếu biết rằng $AK : KB k_{1}, DL : LC k_{2}. 4.$ Từ một hộp chứa đồng xu 5 kopecks và 10 kopecks, một đồng xu 10 kopecks

4 7 có thể được lấy ra với xác suất. Sau khi thêm vài đồng xu 10 kopeck vào hộp, xác suất chọn được đồng xu 10 kopeck từ hộp trở nên bằng nhau

7. Số 9 bằng số nhỏ nhất của đồng xu 10 kopeck được thêm vào hộp là bao nhiêu? 5. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

3 x 2. 4 6. Giải phương trình $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ cos 2 x cos n trong số tự nhiên được gọi là tập có thứ tự $x_{1} ; x_{2} ; x_{3} ; x_{4}$ bốn số tự nhiên có tổng bằng n. Tìm xem có bao nhiêu điểm khác nhau lời giải trong số tự nhiên có phương trình $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} 100$.

Khoa vật lý

Lớp 7 1. Xác định tốc độ chuyển động của các đầu kim phút, kim giờ của đồng hồ treo tường (tự đặt các thông số cần thiết). 2. Xác định đường kính của Mặt trời. Được biết, Mặt trăng có bán kính 1700 km, nằm ở khoảng cách 380.000 km, có kích thước biểu kiến ​​tương đương với Mặt trời. Bán kính quỹ đạo của Trái đất là 150 triệu km. 3. Một người đi xe đạp và một người đi bộ đi cùng một lúc đến thành phố lân cận. Đi được nửa đường, người đi xe đạp bị thủng lốp và mất cả tiếng đồng hồ để thay. Kết quả là họ đến thành phố lân cận cùng lúc. Khoảng cách giữa các thành phố là gì? Vận tốc của người đi xe đạp là 15 km/h, vận tốc của người đi bộ là 6 km/h.

51

BÀI KIỂM TRA

NGUYÊN VẬT LIỆU

4. Quả bóng chứa $N_{1}$ nguyên tử helium và $N_{2}$ phân tử hydro. Khi nhiệt độ tăng D 20%, một nửa số phân tử hydro rời khỏi quả bóng và áp suất trong quả bóng tăng E 10%. Tìm tỉ số $N_{2} N_{1}. 5.$ Sau khi mở công tắc K trong mạch như hình 8, số chỉ trên ampe kế thay đổi n 12 lần. Xác định điện trở của ampe kế nếu điện trở của mỗi điện trở R là 100 Ohm và điện trở của nguồn có điện áp không đổi $на-^{Рис.} 8$ không đáng kể.

Phương án 2 1. Tàu chuyển động với vận tốc không đổi v 40 km h. Tìm chiều dài của đoàn tàu nếu tại thời điểm $t_{1} 0$ đầu máy của nó chạm tới biển hiệu km $x_{1} 106$ km, và tại thời điểm $t_{2} 216$ s toa xe cuối cùng của nó đi qua biển báo km $x_{2} 108$ km. 2. Các tải trọng có khối lượng 3 m, m và M được nối thành một hệ như trên Hình 9, sử dụng hai sợi ren không giãn không trọng lượng và một khối không trọng lượng gồm các hình trụ đồng trục được nối cứng có bán kính r và R 2r. Một sợi được quấn chặt trên một hình trụ có bán kính R (nhiều vòng trong một lớp), còn sợi kia được ném qua một hình trụ có bán kính $r. Определите:_{Рис.} 9$ a) tỷ lệ M m mà tại đó hệ sẽ ở trạng thái cân bằng; b) gia tốc của một tải có khối lượng M tại M m. Bỏ qua ma sát ở trục khối và độ trượt của ren. Gia tốc trọng trường là g. 3. Một khối lượng m có khối lượng 100 g được treo vào một lò xo được giữ ở vị trí mà lò xo bị giãn ’ $x_{1} 7$ cm và trục của nó thẳng đứng. Sau khi thả tải mà không dùng lực đẩy, nó bắt đầu dao động, lúc đó độ nén cực đại của lò xo là ’ $x_{2} 3$ cm. Xác định độ cứng k của lò xo. 4. Một quá trình 1–2–3 được thực hiện trên một khí lý tưởng, trong đó sự phụ thuộc của áp suất khí p vào nhiệt độ T của nó có dạng như trên Hình 10. Thể tích tối đa của khí trong quá trình này lớn hơn thể tích tối thiểu bao nhiêu lần?

Cơm. 10

5. Từ các giá trị điện trở đã cho: 120 Ohm, 140 Ohm, 160 Ohm, 180 Ohm, 200 Ohm, 220 Ohm, chọn giá trị gần nhất với điện trở tương đương của mạch như trên Hình 11, trong đó R = 100 Ohm. Biện minh cho sự lựa chọn đáp số.

Cơm. 11

lớp 11

Phương án 1 1. Xe va chạm với một vật đứng yên. Sau một thời gian $t_{1} 1$ s sau khi va chạm, khối dừng lại, và sau một thời gian khác $t_{2} 3 c$ xe lại va vào khối đó. Xác định vận tốc của xe $v_{т}$ giữa các lần va chạm nếu xe chuyển động đều giữa các lần va chạm và khối được giảm tốc đều với gia tốc a 2 m $с^{2}. 2.$ Trên một bàn nằm ngang có một khối khối lượng m 1 kg nối với một vật nặng có khối lượng 2m bằng hai sợi dây không dãn không trọng lượng và hai khối không trọng lượng, như hình 12. Đoạn thẳng sợi ren của khối di động là sợi thẳng đứng, sợi dây gắn vào thanh nằm ngang. Hệ số Hình 12 Hệ số ma sát của khối trên bàn P 0,4. a) Xác định gia tốc của vật có khối lượng m. b) Phải tác dụng lực ngang nào vào vật để tải tăng với tốc độ không đổi? Gia tốc trọng trường g 10 m $с^{2}. 3.$ Quả bóng chứa $N_{1}$ nguyên tử helium và $N_{2}$ phân tử hydro. Với nhiệt độ ngày càng tăng

53

BÀI KIỂM TRA

nhưng tại thời điểm điện áp trên cuộn dây bằng U 3 V thì năng lượng từ trường của cuộn dây sẽ bằng W 2,25 μJ.

Olympic “Thế giới nano điện tử”

Yêu thích bài toán

lớp 10

1. a) Một hòn đá được ném thẳng đứng lên trên với vận tốc 5 m/s. Xác định đường đi của hòn đá trong giây đầu tiên của chuyến bay. b) Xác định vận tốc ban đầu của một hòn đá được ném thẳng đứng từ ban công lên trên nếu khi tốc độ này tăng gấp ba lần, quãng đường mà hòn đá di chuyển trong giây đầu tiên của chuyến bay không đổi. Bỏ qua sức cản của không khí. Gia tốc rơi tự do g 10 m $с^{2}. 2.$ Kostya Inochkin chạy vào lớp học vật lý và dùng keo siêu dính giữ chặt ba đồ vật vào hai hộp giống hệt nhau. Sau đó, anh ta cân các hộp trên cân lò xo - khối lượng của mỗi hộp là 3 kg. Kostya thả các hộp với tốc độ ban đầu bằng không. Một trong số chúng bắt đầu rơi với gia tốc g, còn vật kia rơi với gia tốc 1,5 g. Những món đồ nào và Kostya đã bảo quản chúng như thế nào trong hộp? Khối lượng của hộp rỗng là bao nhiêu? 3. Một chiếc xe chuyển động không ma sát trên đường ray nằm ngang. Mưa làm tăng khối lượng của xe với tốc độ P’ m’ t 2 kg s. Tại thời điểm ban đầu, khối lượng của xe là M50 kg và tốc độ của nó là $v_{0} 5$ ms. Xe sẽ chuyển động với tốc độ bao nhiêu và gia tốc bằng bao nhiêu khi khối lượng của nó tăng gấp đôi? Giọt mưa rơi theo phương thẳng đứng. 4. Thể tích của một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử tăng dần lên gấp đôi trong quá trình 1–2 (Hình 19). Lịch trình của quá trình này phối hợp

Cơm. 19

NGUYÊN VẬT LIỆU

dinata T–V (T – nhiệt độ, V – thể tích) trùng với đoạn parabol đi qua gốc tọa độ và đạt cực đại tại điểm 2 ở nhiệt độ $T_{2} 400$ K. Xác định: a) nhiệt độ $T_{1}$ của chất khí ở trạng thái 1; b) lượng nhiệt Q mà khí nhận được trong quá trình này. Hằng số khí phổ R 8,31 J K mol. 5. Trong một điện trường đều có vectơ cường độ hướng theo phương ngang, hai quả cầu nhỏ treo trên hai sợi tơ cố định tại một điểm. Điện tích của mỗi quả cầu là q, khối lượng là m, một sợi dây dài gấp 2 lần sợi dây kia. Ở vị trí cân bằng, sợi dài thẳng đứng, sợi ngắn lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 90°. Xác định độ lớn vectơ cường độ của điện trường đều. Gia tốc trọng trường là g.

lớp 11

1. Một electron chuyển động trong điện trường đều có cường độ E 100 V m với gia tốc bằng bao nhiêu? Xác định tốc độ ban đầu của electron hướng dọc theo đường sức của trường này nếu khi nó tăng gấp ba lần thì đường đi của electron trong micro giây đầu tiên không đổi. Tỷ số giữa điện tích cơ bản và khối lượng của electron là e m 1,76 $10^{11}$ C kg. 2. Hai proton tiến lại gần nhau và chuyển động trong cùng một mặt phẳng. Ở khoảng cách lớn, tương tác điện của các proton là không đáng kể, tốc độ của chúng có độ lớn bằng nhau và hướng vuông góc với nhau. Trong quá trình các proton đến gần và tán xạ trên một khoảng cách lớn, vectơ vận tốc của một trong chúng quay một góc D 60 q. Vận tốc của proton này đã thay đổi bao nhiêu lần? Cho rằng tốc độ của proton nhỏ so với tốc độ ánh sáng trong chân không. 3. Một ống nhựa mỏng có khối lượng m và chiều dài l có điện tích q và q tập trung ở hai đầu. Ống có thể trượt không ma sát dọc theo vòng điện môi có bán kính R, vượt quá đáng kể l (Hình 20). Một điện tích điểm Q cố định ở tâm vòng. Tại thời điểm ban đầu ống đứng yên. Xác định: a) giá trị $силы,^{Рис.} 20$

54

KV AN T 2020/№7

với điện tích Q tác dụng lên ống; b) Gia tốc của ống. Hệ số tỷ lệ trong định luật Coulomb bằng k. Bỏ qua trọng lực. 4. Năm 1975, Brian Kibble, một nhân viên của Phòng thí nghiệm Vật lý Quốc gia Anh, đã thiết kế một chiếc cân sử dụng các phép đo cực kỳ chính xác về dòng điện và điện áp, giúp có thể tái tạo một chuẩn khối lượng. Một sơ đồ quy trình đơn giản hóa như sau. Ở giai đoạn đầu tiên, một tải có khối lượng m được gắn vào dây nối của khung dây hình chữ U nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (Hình 21a). Cây cầu có thể trượt theo phương thẳng đứng mà không có ma sát. Nam châm vĩnh cửu tạo ra một từ trường, vectơ cảm ứng từ vuông góc với mặt phẳng của khung. Một dòng điện được thiết lập trong mạch dẫn tại đó lực từ cân bằng với trọng lực của tải (chúng ta bỏ qua khối lượng của dây nhảy) và giá trị I của nó được ghi lại. Ở giai đoạn thứ hai, tải có khối lượng m được dỡ bỏ và cầu nhảy được chuyển động trong từ trường với tốc độ không đổi v và số đọc U volt được ghi lại.

Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov

Hồ sơ thi môn vật lý

Vào năm 2020, do nguy cơ lây lan dịch bệnh coronavirus, kỳ thi chuyên ngành (bài kiểm tra đầu vào bổ sung) môn vật lý tại Đại học Bang Moscow và chi nhánh Sevastopol của trường đã được tiến hành từ xa trên cổng https: Exam.distant.msu.ru Để tham gia kỳ thi, nơi làm việc của thí sinh phải đáp ứng các yêu cầu kỹ thuật sau. 1) Có sẵn máy tính xách tay (tốt nhất), máy tính cá nhân, điện thoại thông minh hoặc máy tính bảng có kết nối Internet ổn định (không bị gián đoạn trong suốt quá trình

Cơm. 21

đồng hồ đo, được bao gồm trong mạch thay vì ampe kế (Hình 21, b). Tìm khối lượng m nếu trong các thí nghiệm thu được các giá trị sau: I 10,0 A, U 0,049 V, v 0,05 m s, gia tốc trọng trường g 9,80 m $с^{2}$. Kết quả có thay đổi không nếu từ trường không đồng nhất?

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi các bài kiểm tra của G. Gaidukov, I. Gorbaty, A. Spiridonov và tốc độ tối thiểu là 5 Mbit/s). 2) Khi kết nối với hội nghị video bằng bất kỳ loại điện thoại thông minh hoặc máy tính bảng nào, để nhận tác vụ, cần phải sử dụng thiết bị thứ hai, ví dụ: máy tính hoặc điện thoại thông minh/máy tính bảng khác. 3) Bạn cũng phải có phiên bản mới nhất của trình duyệt Google Chrome hoặc Mozilla Firefox và thiết bị scan hoặc chụp ảnh để scan hoặc chụp ảnh bài thi rồi tải lên cổng thi. Vào năm 2020, ban lãnh đạo Đại học quốc gia Moscow đã áp dụng lời giải để giảm cả khối lượng bài tập cho kỳ thi chuyên ngành và thời gian hoàn thành chúng. Do đó, bài tập vật lý điển hình năm nay bao gồm ba phần chính của chương trình dành cho ứng viên vào Đại học quốc gia Moscow: 1) cơ học, 2) vật lý phân tử và nhiệt động lực học, 3) điện động lực học. Đối với mỗi phần của chương trình, người nộp đơn được hỏi một câu hỏi lý thuyết ngắn và một câu hỏi bổ sung bài toán. Ba giờ thiên văn đã được phân bổ để hoàn thành toàn bộ nhiệm vụ. Dưới đây là các nhiệm vụ của kỳ thi hồ sơ năm 2020.

55

BÀI KIỂM TRA

Cơ học

1. Đưa ra định nghĩa động năng của một chất điểm và định nghĩa thế năng cơ học $системы.^{Задача.}$ Trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn, sát vách thẳng đứng có một khối khối lượng M 0,8 kg tạo thành một hình bán cầu lõm lõm bán kính R 0,2 m (Hình 1). Từ điểm A, một quả bóng nhỏ có khối lượng m 0,2 kg bắt đầu trượt khỏi trạng thái đứng yên. Tìm độ cao h tối đa so với điểm dưới cùng của bán cầu mà quả bóng sẽ bay lên trong quá trình chuyển động tiếp theo của nó. 2. Hệ quy chiếu quán tính là gì? Phát biểu định luật Newton thứ nhất.

M

Cơm. 1

Cơm. 2

Bài toán. Hai khối có khối lượng m 100 g và $m_{1} 3 m$ nằm trên một mặt phẳng nghiêng nhẵn. Thanh dưới được gắn vào một đầu của lò xo nhẹ, đầu còn lại được gắn vào một giá đỡ cố định (Hình 2). Xác định khoảng cách lớn nhất $x_{max}$ mà các thanh có thể dịch chuyển được xuống mặt phẳng nghiêng sao cho sau khi thả ra khỏi trạng thái đứng yên, thanh trên không bị đứt khỏi thanh dưới trong quá trình chuyển động. Mặt phẳng nghiêng tạo một góc D 30 q với đường chân trời. Độ cứng của lò xo là k 200 N·m. Môđun gia tốc trọng trường được coi bằng g 10 m $с^{2}$.

NGUYÊN VẬT LIỆU

2. Xác định nhiệt dung riêng của sự hóa hơi. Điểm sôi phụ thuộc như thế nào vào $давления?^{Задача.}$ Bình chứa không khí có độ ẩm tương đối M 80% ở nhiệt độ T 373 K. Thể tích của bình V là 10 lít. Không khí trong bình bị nén đẳng nhiệt, thể tích của nó giảm đi một nửa. Tìm khối lượng m của nước ngưng tụ. Lấy hằng số khí phổ quát bằng R 8,3 J K mol và áp suất khí quyển bình thường $p_{0} 10^{5}$ Pa. Khối lượng mol của nước là 0,18 g mol. Thể tích nước ngưng tụ có thể bỏ qua.

Điện động lực học

1. Xây dựng định luật cảm ứng điện từ và quy luật $Ленца.^{Задача.}$ Trong mạch điện như hình 3, một tụ điện có điện dung C 1 µF trước tiên được tích điện từ một nguồn có suất điện động E 10 V. Sau đó, công tắc được chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2. Hỏi lượng nhiệt $Q_{L}$ toả ra trong toàn bộ thời gian dao động tắt dần xảy ra trên cuộn dây nếu nó được làm bằng dây đồng dài l 10 m và tiết diện $S 1 мм^{2}$? Điện trở R có điện trở là 1,7 Ôm. Lấy điện trở suất của đồng bằng U 1,7 $10^{8}$ Ohm m. 2. Định nghĩa từ thông. Xây dựng định luật cảm ứng điện từ.

Vật lý phân tử và nhiệt động lực học

1. Năng lượng bên trong của một hệ nhiệt động là gì? $энергию?^{Задача.}$ nội bộ có thể được thay đổi theo những cách nào? Trong một bình hình trụ thẳng đứng, đặt dưới một piston chuyển động nhẹ có một lượng khí lý tưởng đơn nguyên tử nhất định. Ở vị trí cân bằng, piston được giữ trong bình nhờ áp suất khí quyển. Trong trường hợp này, khoảng cách từ piston đến đáy bình là $h_{0} 1$ m. Duy trì nhiệt độ khí không đổi, cát có khối lượng m 1 kg được đổ từ từ lên trên pít-tông. Tìm nhiệt lượng Q cần truyền vào khí để đưa piston về vị trí ban đầu. Coi ma sát của piston lên thành bình là không đáng kể và lấy gia tốc tự do bằng g 10 m $с^{2}$.

Cơm. 3

Cơm. 4

Bài toán. Một khung dây hình vuông được chuyển động với vận tốc không đổi vuông góc với một cạnh của khung. Tại một thời điểm nào đó, khung đi vào vùng bị chiếm bởi từ trường đều, vectơ cảm ứng vuông góc với mặt phẳng của khung và tốc độ của nó vuông góc với đường thẳng giới hạn vùng từ trường (Hình 4). Lượng nhiệt Q sẽ toả ra trong khung trong thời gian khung nằm hoàn toàn trong từ trường? Cạnh khung a 10 cm, điện trở khung R 1 Ohm, mô đun vận tốc khung v 1 ms, cảm ứng từ B 1 T. Ấn phẩm được chuẩn bị bởi S. Chesnokov