Kích thước tương đương từ Proizvolov

TRƯỜNG KVANT

Kích thước tương đương từ Proizvolov

A. BLINKOV

VYACHESLAV VIKTOROVICH PROZVOLOV là nhà soạn nhạc xuất sắc về toán học bài toán dành cho học sinh. Nhiều trong số chúng đã được đưa vào cuốn sách tuyệt vời của ông “Bài toán để phát triển”, xuất bản lần cuối vào năm 2003, nhưng không phải tất cả. Hiện nay, ấn bản mở rộng mới của cuốn sách này đang được chuẩn bị tại ICSME. Hầu hết bài toán V.V. Proizvolov nổi bật bởi những sự kiện đáng nhớ trong điều kiện, khả năng trình bày một ý tưởng dường như nổi tiếng theo một cách mới, sự ngắn gọn và duyên dáng lời giải. Là một nhà toán học thực thụ, khi “nắm bắt” được một ý tưởng, ông đã cố gắng phát triển nó nên rất dễ kết hợp bài toán thành chuỗi, từ đó có thể tạo ra các hoạt động câu lạc bộ cho học sinh, đây là điều mà nhiều giáo viên vẫn làm. Một trong những loạt bài bài toán của Proizvolov đã được trình bày trong bài viết “Góc trong hình vuông” («Kvant» Số 4, 2014). Và đối với bài viết này, bài toán liên quan đến hình vuông đã được chọn. Trong đó bạn có thể theo dõi một số ý tưởng và kỹ thuật yêu thích của Vyacheslav Viktorovich. Chúng tôi nhấn mạnh rằng nhiều bài toán được đề xuất có thể được giải theo nhiều cách khác nhau, nhưng chúng tôi sẽ thảo luận cụ thể về lời giải của tác giả, không yêu cầu tính toán rườm rà và đồng thời, theo quy luật, chứa đựng những ý tưởng sâu sắc. Hãy bắt đầu với bài toán tương đối đơn giản, ý tưởng về lời giải hầu hết mọi học sinh đều biết đến, nhưng nó không quá dễ để xác định. Bài toán 1. Các hình bình hành ABCD và ВEFG có chung đỉnh B được đặt sao cho điểm C nằm trên đoạn EF và điểm G nằm trên đoạn AD. Chứng minh rằng các hình bình hành này có diện tích bằng nhau. Lời giải. Diện tích mỗi hình bình hành bằng hai lần diện tích tam giác BCG vì tam giác này có

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200904

đáy chung và chiều cao bằng nhau với mỗi hình bình hành (Hình 1).

Đây là một ý tưởng tương tự, nhưng khó nhìn và gọi $реали-^{Рис.} 1$ hơn nhiều. Bài toán 2. Cho điểm $B_{1}$ trên cạnh AC của tam giác ABC. Trên các cạnh AB và BC, lần lượt dựng các điểm $C_{1}$ và $A_{1}$ sao cho diện tích của các tam giác $AB_{1} C_{1}, BC_{1} A_{1}$ và $CA_{1} B_{1}$ bằng nhau. Lời giải. Sự tương đương (bằng nhau về diện tích) của các hình tam giác được chỉ định tương đương với sự tương đương của các hình bình hành, trong đó các cạnh của tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ là các đường chéo (Hình 2).

Hình 2

Theo đó, cần phải dựng một đường đứt nét $B_{1} KC_{1} MA_{1} N$, các liên kết kế tiếp của chúng lần lượt song song với AB, AC, BC, AB và AC. Khi đó diện tích của hình bình hành $AC_{1} KB_{1}$ bằng diện tích của hình bình hành $CKC_{1} M$ (chúng có một cạnh chung CK và các đường cao của nó bằng nhau), và diện tích $CKC_{1} M$ lần lượt bằng diện tích của hình bình hành $BC_{1} MA_{1}$ (chúng có một cạnh chung $C_{1} M$ và các đường cao của nó bằng nhau). Từ thực tế là $AC_{1} KB_{1}$ và $BC_{1} MA_{1}$ có kích thước bằng nhau, suy ra diện tích của các hình tam giác $AB_{1} C_{1}$ và $BC_{1} A_{1}$ bằng nhau. Để chứng minh rằng tam giác $CA_{1} B_{1}$ có cùng diện tích, chỉ cần thực hiện một lập luận tương tự là đủ. Nhưng trước tiên chúng ta cần chứng minh rằng $CB_{1} NA_{1}$ là hình bình hành. Điều này không khó, vì $NA_{1} B_{1} C$ theo cách xây dựng, và sự bình đẳng của các bên này suy ra từ thực tế là $AB_{1} C_{1} K MC$. Trong bài toán tiếp theo, có một trường hợp khác có kích thước tiêu chuẩn bằng nhau (và bạn cần xem nó trước!). Nhưng trên hết, nó minh họa một ý tưởng khác đã thu hút Proizvolov - việc sử dụng sự thống nhất và giao nhau của các hình.