Kvant 2021, số 2 · Trang

Sự giãn nở nhiệt

E.SOKOLOV

KHI NÓNG, CƠ THỂ MỞ RỘNG, mọi người đều đồng ý với điều này. (Có một ngoại lệ quan trọng đối với quy tắc này. Nước trong khoảng từ 0 q C đến 4 q C co lại khi đun nóng. Nhờ điều này, các hồ chứa của chúng ta không đóng băng xuống đáy vào mùa đông.) Nhiều người thậm chí có thể đưa ra công thức thay đổi chiều dài của thanh khi đun nóng: $l l_{0} 1 D' t$. Nhưng về câu hỏi hình dạng của vật thay đổi như thế nào khi bị nung nóng thì không còn sự thống nhất nữa (Hình 1).

Hình 1. Sự giãn nở nhiệt của vòng: a) hình dạng ban đầu của vòng; b và c) “sưng” và “căng”

Một số biểu thị sự giãn nở nhiệt dưới dạng “sự giãn nở” của vật thể được làm nóng theo mọi hướng (xem Hình 1, b), trong khi một số khác - là sự “kéo dài” của nó theo mọi hướng (xem Hình 1, c). Có lẽ, cái trước, khi vẽ, hãy tưởng tượng một vết mực lan rộng, và cái sau, một màng cao su trải dài ra mọi hướng. Câu hỏi đặt ra: hình ảnh nào trong số này truyền tải chính xác sự thay đổi hình dạng của vật thể trong quá trình giãn nở nhiệt? Công thức nổi tiếng không cung cấp cho chúng ta đáp số cho câu hỏi này: nó chỉ cho chúng ta biết về độ dài của các thanh và không cho biết gì về bán kính cũng như độ dày của các vòng. Để tìm hiểu cách trả lời những câu hỏi như vậy, chúng ta cần cố gắng xây dựng định luật giãn nở nhiệt trong hiện trường.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210202

ở dạng tổng quát. Cụ thể, cần phải xây dựng nó cho một hình hình học như vậy và theo cách sao cho kết quả là các vòng, hình tròn, hình tam giác, v.v. sẽ được lấy một cách tự động từ nó, trong các trường hợp đặc biệt. Điều này không khó để thực hiện. Chúng ta hãy chuyển sang tính chất của vật nóng, tính chất quen thuộc với những ai cắt bằng ghép hình. Nếu chúng ta cắt một hình tròn trên một tấm được làm nóng đến 20 q C bằng một chiếc dũa mỏng, mỏng thì hình tròn sẽ dễ rơi ra khỏi đĩa. Điều này có nghĩa là khi trở nên tự do, vòng tròn không tăng kích thước. Và ngược lại, nếu chúng ta muốn chèn lại thì nó sẽ dễ dàng chèn và chiếm hoàn toàn vị trí cũ. Nói cách khác, khi trở nên tự do, hình tròn không giảm kích thước. Hóa ra trạng thái của một vật ở một nhiệt độ nhất định là như nhau bất kể nó được nung nóng dưới dạng một hình riêng biệt hay dưới dạng một phần của tấm. Và điều này sẽ xảy ra không chỉ ở nhiệt độ 20 q C, mà còn ở 37 q C, ở 156 q C và ở bất kỳ nhiệt độ nào khác. Do đó, tất cả các hình đều giãn nở như nhau, bất kể chúng tự nóng lên hay là một phần của tấm. Quan sát này cho phép chúng ta lấy một mặt phẳng vô hạn làm trường hợp chung của một vật thể được nung nóng: vẽ các hình khác nhau lên nó, chúng ta, khi biết các điểm của mặt phẳng chuyển động như thế nào, sẽ luôn tìm ra các điểm của các hình được vẽ chuyển động như thế nào và hình dạng của chúng thay đổi như thế nào. Vẫn còn phải thực hiện bước cuối cùng - từ định luật nổi tiếng về việc tăng chiều dài của thanh, rút ​​ra định luật chuyển động của các điểm trên một mặt phẳng vô hạn. Điều này cũng dễ thực hiện: chúng ta có thể coi hai điểm bất kỳ của mặt phẳng là hai đầu của một thanh mỏng vô hạn được vẽ, do đó khoảng cách giữa chúng được xác định bởi công thức $l l_{0} 1 D' t$.

11

NHIỆT

Tính chất 3. Trong quá trình giãn nở nhiệt, các hình vẽ trên mặt phẳng biến thành các hình đồng dạng. Thuộc tính này kế thừa từ hai thuộc tính đầu tiên. Nó cho chúng ta biết rằng khi nhiệt độ thay đổi, các vùng riêng lẻ của mặt phẳng có thể di chuyển và quay (so với các vật thể bên ngoài, chẳng hạn như bề mặt của một cái bàn), tăng và giảm kích thước của chúng, nhưng hình dạng của chúng không thay đổi. Từ tính chất này, có thể suy ra rằng Hình 1c minh họa chính xác sự thay đổi hình dạng của vòng trong quá trình giãn nở nhiệt. Từ hai tính chất đầu tiên, cũng theo sau một tính chất dân chủ nhất khác là sự giãn nở nhiệt. Tính chất 4. Tất cả những người quan sát “bên trong” (những người quan sát ngồi trên một mặt phẳng nóng) đều nhận thấy sự giãn nở nhiệt theo cách giống hệt nhau - như sự giãn nở đẳng hướng của Vũ trụ. Cụ thể, mọi điểm trên mặt phẳng mà chúng nhìn thấy sẽ di chuyển ra xa chúng với tốc độ tỷ lệ thuận với khoảng cách đến nó. Thật vậy, nếu người quan sát không nhìn thấy thế giới bên ngoài xung quanh, chẳng hạn như bề mặt của chiếc bàn nơi đặt chiếc đĩa, thì anh ta sẽ không nhận thấy sự dịch chuyển của mình so với cái bàn hoặc chuyển động quay của anh ta. Anh ta chỉ nhìn thấy các điểm của tấm nóng đang di chuyển ra xa anh ta, các góc giữa chúng không đổi. Và đây là bức tranh về sự giãn nở đẳng hướng của Vũ trụ. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về hình dạng giãn nở nhiệt “bên ngoài”, tức là chúng ta sẽ tìm hiểu sự giãn nở nhiệt của mặt phẳng được nhìn thấy như thế nào bởi một người quan sát ở bên ngoài tấm. Thuộc tính 5 (công nghệ). Người quan sát bên ngoài có thể khôi phục vị trí mới của bất kỳ điểm nào trên vật thể được làm nóng nếu anh ta được cung cấp vị trí mới của ít nhất một đoạn. Tổng quát hơn, bằng cách sử dụng một đoạn và hình ảnh của nó, bạn có thể tái tạo lại toàn bộ bức tranh về sự giãn nở nhiệt. Thật vậy, chúng ta hãy cho một đoạn AB và ảnh A c B c của nó trên mặt bàn (Hình 4a). Hãy dựng hình ảnh của một điểm C tùy ý. Để thực hiện việc này, hãy kết nối nó với

SỰ MỞ RỘNG

Hình 4

đầu của đoạn ban đầu để tạo thành một hình duy nhất - một hình tam giác. Chúng ta biết hệ số giãn nở tuyến tính (đây là tỷ lệ chiều dài hình ảnh của đoạn đó với chiều dài của chính đoạn đó), vì vậy chúng ta có thể dựng một tam giác “nóng”. Và vì chúng ta biết vị trí của một trong các cạnh của nó (đây là hình ảnh của đoạn ban đầu), chúng ta có thể đặt hình tam giác “nóng” một cách chính xác trên mặt bàn. Trong trường hợp này, vị trí mới của điểm C được xác định hoàn toàn.

Bài tập 2. Hình 4b cho thấy đoạn AB và ảnh A c B c của nó được đặt như thế nào so với mặt bàn. Xây dựng hình ảnh của đoạn CD.

Thuộc tính 6 (thông số giãn nở nhiệt đạt được). Sự giãn nở nhiệt hoàn thành có hai tham số phổ quát (chúng giống nhau đối với tất cả các hình hình học): hệ số giãn nở tuyến tính k và góc quay M. Các tham số này được xác định duy nhất nếu hình ảnh của nó được đưa ra cho một phân đoạn nhất định. Thật vậy, nếu hình ảnh giãn nở nhiệt được tái tạo hoàn toàn từ hình ảnh đã biết của một đoạn đơn lẻ, thì các tham số xác định hình ảnh của đoạn đó cũng là các tham số xác định hoàn toàn chuyển động đã hoàn thành. Hình ảnh của một đoạn được xác định bởi ba tham số: vectơ dịch chuyển của một trong các đầu của đoạn ban đầu, kéo dài đoạn đó k lần và xoay nó qua một góc M nhất định. Tham số đầu tiên, vectơ dịch chuyển của một trong các đầu, không phổ quát - nó khác nhau đối với mỗi điểm (xem Hình 4), nhưng hai tham số cuối cùng giống nhau đối với tất cả các đoạn, vì vậy chúng ta có thể lấy chúng làm tham số của chuyển động đã hoàn thành.

Bài tập 3. Việc hệ số khai triển tuyến tính là như nhau đối với tất cả các đoạn là

13

NHIỆT

Hình 6

chuyển động tuyến tính. Ví dụ: nếu bạn đặt các tấm hình vuông và hình chữ nhật trên một bàn ngang gần nhau (Hình 6, a) và làm nóng chúng, thì sau khi các tấm nguội đến nhiệt độ trước đó, chúng sẽ bị dịch chuyển so với vị trí ban đầu. Xác định độ lớn dịch chuyển của điểm A và kích thước của khoảng cách hình thành giữa các tấm trong thí nghiệm được mô tả. Để tính toán, giả sử rằng cạnh của hình vuông tăng thêm ‘a 1 mm khi được nung nóng. Bài toán 3. Ba đĩa được xếp thành một hàng sao cho khoảng cách giữa các đĩa liền kề bằng d 0,5 mm (Hình 6, b). Khi đun nóng, bán kính của mỗi đĩa tăng thêm ’ a 1 mm. Điểm cực trị A của đĩa ngoài cùng bên phải dịch chuyển bao nhiêu khi bị nung nóng? Bạn có hiểu “thủ thuật” của bài toán này là gì không? Trong quá trình chuyển động nhiệt, bản thân các vật thể và cùng với đó là các điểm cố định của chúng có thể thay đổi trong quá trình hoạt động. Vì vậy, trong bài toán 2, hình vuông và hình chữ nhật, khi được nung nóng, hoạt động giống như một hình chữ nhật lớn và điểm cố định trong quá trình nung nóng là tâm của hình chữ nhật lớn này - điểm O (Hình 7, a). Khi làm mát, hình vuông và hình chữ nhật co lại thành các hình riêng biệt và tâm riêng lẻ của chúng là các điểm cố định (Hình 7,b). Và ngược lại, ở bài toán 3, các đĩa lần đầu tiên được làm nóng “riêng lẻ”, và sau đó - như một khối lớn.

Hình 7

SỰ MỞ RỘNG

Nhưng chúng ta quay lại câu hỏi chính của mình. Trong ba vấn đề được xem xét, việc xem xét tính đối xứng ngay lập tức chỉ cho chúng ta những điểm cố định. Đây là những tâm hình học của các vật thể có hình dạng đều đặn. Điều kiện nào xác định điểm cố định trong trường hợp tổng quát?

Điều kiện chung xác định điểm cố định

Có vẻ như mọi thứ rất đơn giản - trong trường hợp chung, từ “trung tâm hình học của một hệ vật thể” nên được thay thế bằng từ “tâm khối của một hệ vật thể”. Suy cho cùng, sự giãn nở nhiệt của các vật thể là kết quả của sự tương tác giữa các nguyên tử của nó. Và từ cơ học, người ta biết rằng các tương tác bên trong giữa các bộ phận của cơ thể không thể dẫn đến sự chuyển động của khối tâm của nó. Như vậy, chúng ta đã xây dựng điều kiện tìm điểm cố định cho các vật thể tuyệt đối tự do mà khi đun nóng sẽ không tương tác với các vật thể xung quanh. Chúng ta có thể quan sát sự giãn nở của những vật thể như vậy trên trạm vũ trụ liên hành tinh. Nhưng tôi muốn thu được điều kiện tương tự cho các trường hợp thực tế hơn, chẳng hạn, đối với các trường hợp vật nóng nằm trên một bề mặt nhất định, như trường hợp trong các bài toán đang xét. Một vật thể như vậy không còn có thể được gọi là một vật thể tuyệt đối tự do - khi các bộ phận của nó dịch chuyển, lực ma sát tác dụng lên các bộ phận này. Nhưng nó có một đặc tính khiến nó rất giống một vật hoàn toàn tự do - nó vẫn có thể thực hiện sự giãn nở nhiệt tự do (biến dạng tuân theo nguyên lý cơ bản) nếu nó chọn một điểm cố định thích hợp. Chúng tôi sẽ gọi những cơ thể như vậy là $квазисвободными^{1}$.

1 Quasi (từ tiếng Latin quasi) - gần như, được cho là, như thể. Gần như thuật ngữ là những khái niệm hoạt động của các nhà vật lý chuyên nghiệp (gần như trung hòa, gần như cân bằng, quasiparticles, v.v.). Những khái niệm này có một điểm đặc biệt - “chúng không phù hợp lắm với những bộ óc được nuôi dưỡng bằng logic toán học” (M. Planck). Vì vậy, bạn cần phải nghiên cứu đặc biệt cách làm việc với những khái niệm như vậy.

15

NHIỆT

Hình 9

tal mặt phẳng sao cho đường phân chia của các mặt phẳng chạy chính xác ở giữa tấm (Hình 9, a). Nửa mặt phẳng bên trái nhẵn $( P_{1} 0 ),$ nửa mặt phẳng bên phải thô $( P_{2}$! 0). Tấm được nung nóng sao cho kích thước bên của nó (khoảng cách giữa các điểm A và B) tăng ’ a = 1 mm. Tìm độ dịch chuyển của các điểm A và B, với điều kiện độ tăng kích thước của tấm nhỏ hơn nhiều so với kích thước của nó. Độ dịch chuyển của những điểm này sẽ là bao nhiêu nếu tấm được mở rộng một cách đáng kinh ngạc, ví dụ, nếu kích thước của nó tăng lên 16 lần? Bài toán 7. Ở góc bên phải được tạo bởi $( P_{1}$ 0) mịn và $( P_{2}$ thô! 0), đặt một tấm vuông (Hình 9, b). Khi đun nóng, kích thước của tấm tăng thêm ’ a = 1 mm. Các đỉnh của hình vuông – điểm A và B – dịch chuyển bao nhiêu trong trường hợp này? Kích thước được hiển thị trong hình ảnh. Bài toán giải theo giả định rằng độ tăng kích thước của tấm nhỏ hơn nhiều so với kích thước của nó.

Điểm dừng

Chuyển động của các vật thể trong quá trình giãn nở nhiệt trở nên đa dạng hơn nếu chúng gặp phải các điểm dừng trên đường đi của chúng. Chúng tôi sẽ gọi các điểm dừng là những rào cản theo một cách nào đó hạn chế chuyển động của cơ thể, nhưng lại để nó có cơ hội thực hiện sự giãn nở nhiệt tự do. Bài toán 8. Một tấm hình vuông nằm trên mặt bàn phẳng (Hình 10, a) được giới hạn ở các bên bởi các điểm dừng $Г_{1}$ và $Г_{2}$ (đinh). Sau đó, tấm được làm nóng. Khi tấm nguội xuống nhiệt độ trước đó, nó dường như bị dịch chuyển so với vị trí ban đầu. Xác định độ lớn của sự dịch chuyển kết quả của cực trị

SỰ MỞ RỘNG

Hình 10

điểm của tấm - điểm A. Để tính toán, giả sử rằng cạnh của hình vuông tăng khi bị nung nóng bởi ’ a = 1 mm và không có ma sát tại các điểm tiếp xúc của tấm và đinh tán. Bài toán 9. Giải bài toán tương tự cho một đĩa có chuyển động bị giới hạn bởi hai điểm dừng tạo thành một góc 60q (Hình 10, b). Giả sử bán kính của đĩa tăng lên 1 mm khi bị nung nóng. Điều xảy ra là sự hiện diện của các điểm dừng không chỉ dẫn đến sự dịch chuyển mà còn dẫn đến chuyển động quay của vật thể! Bài toán 10. Tấm hình vuông được cố định trên trục $Г_{1}$, đi qua gần giữa mặt dưới và một điểm dừng $Г_{2}$ được dẫn vào gần giữa mặt bên (Hình 11, a). Tấm sẽ quay một góc bao nhiêu khi bị nung nóng, nếu biết kích thước của nó tăng 0,2% khi bị nung nóng? Không có ma sát giữa tấm, trục và điểm dừng. Lời giải. Điểm dừng $Г_{2}$ khiến bạn không thể mở rộng tấm một cách đơn giản - mặt bên “chạy qua” nó (Hình 11, b). Tuy nhiên, nếu tấm quay nhẹ (Hình 11, c) thì có thể giãn nở.

Hình 11

17

NHIỆT

mỗi điểm dừng có cùng một lực $F_{1}$ 61H, “hình chữ nhật” (Hình 13, b) ấn vào điểm dừng AB với một lực $F_{2}$ 51H và lên điểm dừng BC với một lực $F_{3}$ 31H. “Hình vuông nhỏ” ép lên mỗi điểm dừng bằng lực nào (Hình 13, c)? “Hình vuông đôi” ép lên mỗi điểm dừng bằng bao nhiêu (Hình 13, d)? Không có ma sát giữa các mặt của tấm và các điểm dừng.

Sự giãn nở nhiệt không đẳng hướng

Nếu bạn đã giải được hai bài toán trước đó, thì chắc chắn bạn đã học được cách cắt các hình dạng hình học trong đầu và thêm các hình mới từ chúng. Kỹ năng này sẽ rất hữu ích cho bạn trong lời giải bài toán cuối cùng của chúng tôi. Bài toán 14. Một tấm hình vuông làm bằng vật liệu dị hướng, khi được nung nóng đến một nhiệt độ nhất định, sẽ giãn nở theo phương thẳng đứng 15,4% và theo phương ngang 2,2%. Trong hình 14a, hướng là

Hình 14

Sự giãn nở tốt nhất của vật liệu được thể hiện bằng các đường thẳng. Một tấm hình chữ nhật được cắt ra khỏi tấm này sao cho hướng giãn nở tốt nhất tạo thành một góc 45° với đáy của tấm và nó được nung nóng đến cùng nhiệt độ (Hình 14, b). Chiều dài các cạnh của một tấm hình chữ nhật sẽ tăng lên bao nhiêu phần trăm khi đun nóng? diện tích tấm bìa sẽ tăng lên bao nhiêu phần trăm?

SỰ MỞ RỘNG

Gợi ý. Vật liệu dị hướng là những vật liệu có tính chất vật lý khác nhau theo các hướng khác nhau.

Phần kết luận

Chúng tôi hoàn toàn thừa nhận rằng sau khi đọc bài viết, một độc giả chu đáo có thể có những câu hỏi chính đáng. –Bạn biết đấy, tôi không nghi ngờ gì về tính đúng đắn của điều đáp số trên. Nhưng logic bạn sử dụng cho lời giải bài toán có ​​vẻ rất bất thường. Trong các vấn đề của bạn, các tấm vô tri tự chọn các điểm cố định, một điểm dừng cố định làm cho một hình vuông đang giãn nở quay, vận tốc tạo ra lực và các lực này có hướng chống lại vận tốc. Tất cả những điều này rất khác với Thế giới bình thường của chúng ta. Đây không phải là Thế giới của Newton, trong đó các lực tạo ra những thay đổi về tốc độ. Đây không phải là Thế giới của Aristotle, trong đó các lực tạo ra vận tốc hướng dọc theo các lực. Đây là một thế giới hoàn toàn khác. – Bạn nói đúng, có nhiều điều trong lý luận của chúng tôi không bình thường. Nhưng không có sai lầm nào trong đó. Hãy tưởng tượng một nhà hát múa rối cơ khí được thực hiện bởi một thợ cơ khí lành nghề. Những con búp bê trong nhà hát này di chuyển, nhảy múa, gặp gỡ và tách ra. Chuyển động của những con búp bê được điều khiển bởi hàng chục lò xo và thanh được chủ nhân giấu đằng sau khung cảnh. Và tất nhiên, nếu chúng ta xem xét kỹ hoạt động của cơ chế, chúng ta sẽ tìm thấy ở đây các định luật Newton, định luật Hooke và cách suy luận thông thường của chúng ta. Nhưng con người chúng ta còn có một khả năng khác. Chúng ta có thể quên đi các cơ chế và chỉ nhìn thấy trước mắt mình những anh hùng của một vở kịch hấp dẫn, những quý cô xinh đẹp và những quý ông hào hiệp sống theo luật lệ của riêng mình. Theo những định luật mà chúng ta sẽ không tìm thấy trong cơ học, nhưng chúng ta rất thường tìm thấy trong cuộc sống.

25

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

bài toán này khá đơn giản và chúng tôi để lại lời giải cho người đọc. Câu tiếp theo bài toán có ​​phần khó hơn. Bài toán 2 (S. Tokarev). Với n lớn nhất nào, các phép cân $за^{k}$ có thể đảm bảo tìm ra những chiếc cân bị lỗi nhẹ hơn trong số n chiếc cân? Đáp số: $при^{n} 3^{k} 2$. Lời giải. Giả sử rằng trong lần cân đầu tiên, x các cân khác được đặt trên mỗi đĩa cân A và y còn lại nhiều cân hơn. Khi đó, nếu một trong hai bát nặng cân thì cân ở bát kia hoặc cân A có thể bị lỗi, tức là chỉ còn lại x + 1 quả cân đáng ngờ. Tương tự, nếu đạt được trạng thái cân bằng trong lần cân đầu tiên thì vẫn còn y 1 khối lượng nghi ngờ. Vì trong cả hai trường hợp, một chiếc cân tốt đã biết đều xuất hiện nên tất cả các lần cân tiếp theo có thể được thực hiện trên chúng, như trong tìm kiếm tiền giả bài toán tiêu chuẩn. Theo đó, điều kiện cần và đủ để có khả năng tìm ra những chiếc cân bị lỗi cho các lần cân k 1 còn lại sẽ là việc thỏa mãn các bất đẳng thức $x 1 d 3^{k} 1, y 1 d 3^{k} 1$, cho kết quả đáp số trên. Điều thú vị là nếu bạn cho phép các phép cân phức tạp, trong đó một số cân khác được đặt trên các bát của cùng một cân, trên các bát của cân đó cũng được đặt, v.v. (trong một lần cân phức tạp, kết quả thu được từ tất cả các cân liên quan, ngoại trừ những cân có bát không có gì trên đó), thì hai lần cân là đủ để tìm ra một cân bị lỗi trong số bất kỳ cân nào lớn hơn hai. Mô tả thuật toán cho một n tùy ý khá phức tạp, vì vậy chúng tôi sẽ giới hạn ở một ví dụ cho n 15. Chúng ta đặt các thang đo $B_{1}$ và $B_{2}$ trên các thang đo A, sau đó trên các thang đo $B_{1}$ chúng ta đặt các thang đo $C_{1}$ và $C_{2}$, và trên các thang đo $B_{2}$ chúng ta đặt các thang đo $C_{3}$ và $C_{4}$, cuối cùng, trên cân $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ chúng ta đặt các thang đo $D_{1}$ và $D_{2}, D_{3}$ và $D_{4}, D_{5}$ và $D_{6}, D_{7}$ và $D_{8}$ tương ứng. Rõ ràng, nếu cân A hiển thị cân bằng thì chúng sẽ bị lỗi. Ngược lại, tất cả các cân ở cái bát nặng hơn, giả sử nó là cái bát có cân $B_{2}$, đều đúng thì

“QUANTA”

nhìn vào số đọc trên thang đo $B_{1}$. Tương tự như vậy, chúng tôi thấy rằng tất cả các cân trên chảo nặng hơn (và ở trạng thái cân bằng trên cả hai) của các cân này rõ ràng là chính xác và chúng tôi xem số chỉ của các cân trên chảo kia, hãy để nó là thang đo $C_{1}$. Một lần nữa, chúng tôi thấy rằng chỉ những quả cân nhẹ hơn $D_{1}, D_{2}$ mới có thể bị lỗi, tức là sau lần cân đầu tiên, chỉ còn lại không quá bốn cân đáng ngờ. Không khó để xác định bằng cách cân sau đây, cái nào trong số chúng bị lỗi.

Lời giải bài toán M2628. Điểm khác biệt của bài toán M2628 là không biết trọng lượng của cân bị hỏng khác với trọng lượng của cân đúng theo hướng nào. Như chúng ta sẽ thấy, điều này làm cho bài toán trở nên khó khăn hơn đáng kể. Đáp số: cho n 13. Giả sử có thể tìm thấy những chiếc cân bị hỏng trong ba lần cân cho $каком-нибудь^{n} t 14$. Rõ ràng là trong quá trình cân, không có ý nghĩa gì khi so sánh các số cân khác nhau, nếu không chiếc bát có số cân lớn sẽ nặng hơn và điều này sẽ không cung cấp bất kỳ thông tin nào. Sau mỗi lần cân, tất cả các cân sẽ được chia thành hai nhóm: một nhóm rõ ràng là có thật và nhóm thứ hai sẽ chứa những nhóm đáng ngờ, hiện chưa rõ chúng có phải là thật hay không. Chúng ta sẽ chứng minh rằng không có ích gì khi thực hiện lần cân thứ hai và thứ ba trên những chiếc cân đáng ngờ. Giả sử chúng ta đã thực hiện kiểu cân này trên cân X. Hãy đổi chúng với một số cân thật (không quan trọng chúng ở đâu, trên cân hay không). Nếu X là số thực thì kết quả cân sẽ không thay đổi. Nếu X bị hỏng thì chúng có thể hiển thị kết quả tương tự như sau khi thay thế. Điều này có nghĩa là trong mọi trường hợp, bộ cân đáng ngờ sẽ giữ nguyên (bao gồm cả thông tin sẽ không thay đổi cho dù mỗi chiếc cân có thể nhẹ hơn hay nặng hơn) hoặc thang đo X sẽ bị xóa khỏi nó. Vì vậy, chúng ta có thể giả định rằng lần cân thứ hai và thứ ba được thực hiện trên cân thật. Nếu trong lần cân đầu tiên chúng ta đặt không quá bốn chiếc cân trên mỗi chảo thì hãy xem xét trường hợp khi có

26

KVAN T 2021/№2

sự cân bằng. Trong trường hợp này, những chiếc cân trên bát là thật, và những chiếc cân đáng ngờ là những chiếc cân được tiến hành cân và ít nhất n – 9 người không tham gia vào việc cân đó, tức là tổng cộng có ít nhất sáu quả cân. Điều này có nghĩa là có ít nhất 12 khả năng về loại cân này là gì và trọng lượng của nó khác với cân thật ở hướng nào. Tất cả các cân đáng ngờ đều phải tham gia lần cân thứ hai và thứ ba, có lẽ ngoại trừ một chiếc, nếu không chúng ta sẽ không thể phân biệt được giữa hai chiếc cân không tham gia cân và những chiếc cân bị hỏng có thể nằm trong số đó. Điều này có nghĩa là sau lần cân thứ hai và thứ ba, nhiều nhất chúng ta sẽ không thể biết được chúng nhẹ hơn hay nặng hơn cân thật từ một số cân, tức là phải phân biệt được ít nhất 11 tình huống. Tuy nhiên, mỗi lần cân có thể có tối đa ba kết quả, vì vậy chúng ta sẽ không thể phân biệt được hơn chín tình huống khác nhau. Nếu trong lần cân đầu tiên, chúng ta so sánh ít nhất năm chiếc cân ở mỗi bên, thì có thể kết quả là một trong những chiếc cân nặng hơn. Khi đó số cân nghi ngờ sau lần cân đầu tiên nhiều hơn chín và sẽ không thể phân biệt được sau hai lần cân. Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra cách tìm những chiếc cân bị hư hỏng cho n 13 trong ba lần cân. Như ước tính đã rõ, lần cân đầu tiên là đặt bốn chiếc cân lên chảo của một số chiếc cân. Nếu các cân ở trạng thái cân bằng thì các cân thật sẽ được so sánh trên chúng, còn các cân bị nghi ngờ là những cân được tiến hành cân và bốn cân không tham gia vào việc cân đó. Lần cân thứ hai, chúng ta lấy cân thật, đặt ba cái cân thật vào một cái bát và ba cái cân nghi ngờ vào cái kia. Nếu những cái đáng ngờ nhẹ hơn hoặc nặng hơn, thì trong số đó có những chiếc vảy bị hư hỏng và chúng ta biết trọng lượng của chúng khác với cân thật ở hướng nào. Sau đó, bằng cách so sánh hai cái bất kỳ trên cân thật với lần cân thứ ba, chúng ta sẽ xác định được cái bị hư hỏng. Nếu ở lần cân thứ 2 cân có thăng bằng thì cân bị hỏng nằm trong số 2 cân nghi vấn còn lại. Sau đó, chúng tôi so sánh một trong số chúng trên thang đo thực với

những cái thật và tìm ra cái nào bị hư hỏng. Nếu trong lần cân đầu tiên, một trong hai chiếc bát nặng hơn, thì chiếc cân đáng ngờ nằm ​​trên chiếc bát đó và nặng hơn chiếc cân thật (chúng ta sẽ gọi tất cả những chiếc cân trên chiếc bát này là nặng), hoặc trên chiếc bát kia và chúng nhẹ hơn (chúng ta sẽ gọi chúng là nhẹ) hoặc những chiếc cân được tiến hành cân. Lần cân thứ hai, chúng ta lấy cân thật, đặt hai cái cân nặng và hai cái nhẹ vào một cái bát, một cái nặng, một cái nhẹ và hai cái thật vào cái kia. Nếu một trong những chiếc bát quá nặng, chẳng hạn như chiếc bát đầu tiên, thì hai chiếc cân nặng trên chiếc bát đó và những chiếc cân nhẹ trên chiếc bát kia vẫn đáng nghi ngờ. Sau đó, chúng ta sẽ so sánh hai quả cân nặng đáng ngờ trên cân thật và chúng ta sẽ tìm thấy một chiếc cân bị hỏng trong số chúng hoặc đó sẽ là một chiếc cân nhẹ đáng ngờ. Trường hợp được xử lý tương tự nếu trong lần cân thứ hai, cốc thứ hai nặng hơn. Nếu cân cân bằng thì cân đang cân là cân thật, còn ba cân vẫn đáng ngờ. Đến lần cân thứ ba, chúng ta sẽ so sánh trên cân thật những chiếc cân nặng và nhẹ đáng ngờ còn lại trên một chiếc bát này với hai chiếc cân thật ở chiếc kia. Trong trường hợp bất đẳng thức, tùy theo kết quả mà xác định được quả nào bị hỏng, còn trong trường hợp bằng nhau thì quả nào được thực hiện ở lần cân đầu tiên bị hỏng. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng, không giống như hầu hết các trọng số bài toán, trong bài toán này, số lượng trọng số không chỉ bị giới hạn từ bên trên mà còn từ bên dưới. Vì vậy, với n 3, không có số lần cân nào đảm bảo tìm ra những chiếc cân bị lỗi! Thật vậy, chẳng hạn, giả sử cân A và B đúng, cân C bị lỗi và nặng hơn, và khi cân chúng thì hóa ra là A! B. Cân trên cân khác (dù sao cũng chẳng còn việc gì để làm nữa), ta cũng được điểm C! A và C! B. Chúng ta có thể có hệ bất đẳng thức tương tự nếu thang B bị lỗi và nhẹ hơn. Bây giờ điều duy nhất còn lại cho chúng ta là lặp lại việc cân nhắc khi có nghi ngờ.

28

KVAN T 2021/№2

một con số mà câu hỏi có ý nghĩa, tức là trong mọi trường hợp không thể tìm thấy chiếc cân bị lỗi trong hai lần cân! Thật vậy, ở lần cân đầu tiên cho có x cân ở các bát và bát bên trái nặng hơn. Khi đó x cân trái (nặng hơn), x cân phải (nhẹ hơn) và cân đã thực hiện cân (bất kỳ) có thể bị lỗi. Chỉ có thể tìm ra những cái bị lỗi trong số chúng bằng một lần cân khi x 1, và để làm được điều này, bạn cần phải có ít nhất ba chiếc cân đúng (tại sao?). Tuy nhiên, trong trường hợp này n t 6 và ở trạng thái cân bằng ở lần cân đầu tiên

Thời tiết ở sa mạc Sahara

S. VARLAMOV

Trong «Kvant» số 11–12 cho năm 2020, lời giải bài toán F2624 được đưa ra, dựa trên giả định rằng sự hấp thụ nhiệt của không khí và làm mát không khí lần lượt xảy ra. Ở đây chúng ta sẽ xem xét một bức tranh hơi khác về truyền nhiệt, có lẽ thực tế hơn. Chúng ta hãy nhớ lại điều kiện bài toán: “Sự thay đổi” hàng ngày của nhiệt độ không khí vào mùa hè ở độ cao 2 m (độ cao tiêu chuẩn để đo khí tượng) là $Сахаре^{30} \infty$. Nhiệt độ tối đa $+^{40} \infty^{C}$. Thời tiết ổn định, bầu trời không một gợn mây. Hãy ước tính độ dày của lớp không khí phía trên bề mặt sa mạc bị hút vào đối lưu trong ngày. Hằng số mặt trời là 1370 W $м^{2}$. Bây giờ – lời giải. Các hiện tượng nhiệt xảy ra trong bầu khí quyển Trái đất rất phức tạp. Một số lượng lớn các yếu tố quyết định hướng và sức mạnh của dòng nhiệt. Các quá trình khí quyển liên quan đến tất cả các quá trình truyền nhiệt đã biết: bức xạ, chuyển pha (bay hơi-ngưng tụ), dẫn nhiệt và đối lưu. Hình ảnh trao đổi nhiệt lẫn nhau

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210204

Sau khi may, vẫn còn ít nhất bốn chiếc cân đáng ngờ, trong đó không thể tìm ra chiếc bị lỗi chỉ bằng cách cân. Để kết luận, chúng tôi mời người đọc xem xét các câu hỏi sau đây. 1. Có đúng là cân bị lỗi có thể được tìm thấy trong ba lần cân cho tất cả $4 d^{n} d 13$? 2. Có thể tìm thấy trọng số $за^{k}$ sai trong n thang đo nào? 3. đáp số sẽ chuyển sang câu hỏi trước như thế nào nếu bạn không chỉ cần tìm những chiếc cân bị lỗi mà còn phải tìm hiểu xem chúng nhẹ hơn hay nặng hơn cân thật?

giữa khí quyển và bề mặt (rắn hay lỏng) phụ thuộc vào vị trí trên bề mặt Trái đất, nó thay đổi ngay cả trong ngày và thậm chí còn thay đổi nhiều hơn trong thời gian dài (giữa mùa đông và mùa hè). Nếu có những đám mây trong không khí thì bức xạ đến từ cả Mặt trời và bề mặt Trái đất sẽ bị các đám mây tán xạ và chặn lại. Cụ thể ở Sahara, có cả khu vực cận nhiệt đới và khu vực không có mưa trong nhiều năm. Chúng ta sẽ giả định rằng chúng ta quan tâm đến tình hình ở các vùng sa mạc Sahara, nơi độ ẩm không khí rất thấp và không có nước ngưng tụ trên bề mặt. Do đó, sự bay hơi của nước, đóng vai trò quan trọng trong các trường hợp khác, không liên quan ở đây do không có chất làm bay hơi. Vì vậy, thời điểm là mùa hè, khi Mặt trời ở đỉnh cao thì không có gió. Vào ban ngày, dưới ánh sáng mặt trời, nhiệt được truyền từ bề mặt sang không khí trong khí quyển, không khí nóng lên từ bên dưới, tham gia vào quá trình đối lưu. Vào ban đêm, quá trình sưởi ấm từ bên dưới dừng lại và đối lưu chậm lại. Theo điều kiện bài toán, cần ước tính độ dày của lớp không khí bề mặt, lớp này nóng lên khoảng 30 độ vào ban ngày. Hình 1 cho thấy các hướng chính trong đó năng lượng “di chuyển” tới Trái đất bằng bức xạ của Mặt trời. Chú thích cho hình cho biết kích thước

29

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

“QUANTA”

một mét bề mặt nhận được công suất xấp xỉ 1 kW $м^{2}$. Có tính đến suất phản chiếu, 700 W $м^{2}$ sẽ được hấp thụ tương ứng. Vào ban ngày, khả năng hấp thụ năng lượng mặt trời đầu tiên tăng lên và đạt giá trị tối đa 700 W $м^{2}$ vào giữa ngày, sau đó giảm xuống 0. Đồng thời, nhiệt độ bề mặt vào ban ngày đạt $+ 70 \infty C$. Công suất trên một đơn vị diện tích phụ thuộc vào góc tới của tia nắng mặt trời. Công suất trung bình vào ban ngày trên 12 giờ bằng

S

Ú sin M ◊ d M

3

0,7 ◊ $10 ◊^{0}$

Hình 1. Cân bằng nhiệt của Trái đất (tháng 3 năm 2000 – tháng 5 năm 2004). Tất cả các dòng nhiệt (tính bằng W $м^{2} )$ tính trung bình theo thời gian và trên bề mặt Trái đất. (Nguồn: K.T. Trenberth, J. Fasullo, J. T. Kiehl. Ngân sách năng lượng toàn cầu của Earth. - Bull. Amer. Meteor. Soc., 90 (2009), 311–323.)

Dữ liệu về dòng nhiệt được tính trung bình không chỉ trên bề mặt Trái đất mà còn theo thời gian, tức là Hình ảnh trên không liên quan trực tiếp đến tình huống mà chúng tôi dự định xem xét. Nhưng “cục bộ” cả về thời gian và diện tích bề mặt trong điều kiện thời tiết ổn định thì điều kiện “cân bằng” cũng được thỏa mãn. Điều này có nghĩa là lượng Trái đất nhận được từ Mặt trời trung bình mỗi ngày bằng với lượng mà Trái đất cung cấp cho Không gian. Không có mây trên sa mạc Sahara, vì vậy phần năng lượng mặt trời truyền qua bầu khí quyển trong suốt (trong phạm vi bước sóng khả kiến) là khoảng 1000 W $м^{2}$ vào buổi trưa. Một phần đáng kể của sự cố bức xạ trên Trái đất sẽ bị phản xạ ngay lập tức bởi bề mặt sa mạc. Albedo trung bình của cao nguyên cát hoặc đá ở Sahara (chiếm phần lớn bề mặt của nó) là khoảng 30%. Nếu Mặt trời ở đỉnh cao (ánh sáng mặt trời chiếu vuông góc với bề mặt) thì mỗi ô vuông

=

S

Thứ ba $м^{2} =$

1,4 ◊ $10^{3}$ W $м^{2} ª 446$ W $м^{2}. S$

Một nhiệt kế hoạt động bằng cách hấp thụ bức xạ nhiệt từ cơ thể và hướng lên trên vào ban ngày hoặc ban đêm (vào bầu trời quang đãng) hiển thị nhiệt độ trung bình $- 30 \infty C$. Nhiệt độ này xác định dòng nhiệt trung bình hàng ngày (khoảng cùng ngày và đêm) từ khí quyển đến bề mặt Trái đất. Độ lớn của từ thông này trên một đơn vị diện tích bề mặt là khoảng $V T^{4} = 5,67$ ◊ $10^{-} 8$ W $м^{2}$ ◊ $К^{4}$ ¥

(

)

¥ $( 273 - 30 ) К^{4} ª 200$ W $м^{2}$. Ước tính kết quả hơi thấp hơn giá trị của dòng năng lượng trung bình tương ứng được chỉ ra trong Hình 1 (tức là 333 W $м^{2} ).$ Cùng với nhau, hai dòng nhiệt này “tới bề mặt” cho giá trị công suất ban ngày xấp xỉ 446 W $м^{2} + 200$ W $м^{2} = 646$ W $м^{2}$. Công suất trung bình thoát ra “từ bề mặt” thông qua bức xạ vào ban ngày tương ứng với bức xạ trên-

4

Tôi hy vọng … sẽ khuyến khích các nhà hình học đến gần hơn với việc nghiên cứu về tự nhiên và những người ham mê khoa học tự nhiên trước tiên phải học hình học. Isaac Newton

Sách Tự nhiên được viết bằng hình tam giác, hình tròn và các hình hình học khác, nếu không có chúng thì một người không thể hiểu được một từ nào trong đó. Galileo Galilei

Lịch sử khoa học cho chúng ta nhiều ví dụ về ứng dụng của hình học thuần túy và những lợi ích mà nó mang lại. Pierre Simon Laplace

…bạn cần hiểu rõ ràng hình học của tia sáng có liên quan như thế nào với hình ảnh chúng tạo ra cho người quan sát các vật thể phát ra những tia sáng này. Vladimir Arnold

Bạn có thực sự quen thuộc với điều này?

?

vật lý và hình học

Vâng, vâng, đừng ngạc nhiên khi dấu “cộng” thông thường đã được thay thế bằng một dấu hiệu toán học khác - xét cho cùng, cuộc trò chuyện sẽ không chỉ nói về sự bổ sung những nỗ lực của hai lĩnh vực khoa học, mà còn về phép nhân của chúng. Tất nhiên, trong thực tiễn ở trường, các công thức và công thức hình học thường chỉ được coi là một trợ giúp hữu ích trong việc nghiên cứu các vấn đề vật lý, đặc biệt là trong động học, tĩnh học và quang học, và thậm chí, có lẽ, trong thiên văn học. Nhưng ngay cả trong những hạn chế này, người ta có thể nhận thấy bài toán “sống động” như thế nào, các điều kiện của chúng trở nên trực quan hơn như thế nào và lời giải - vừa hợp lý vừa thanh lịch không gì sánh được. Hình học, kết hợp giữa sự chiêm nghiệm sống động và logic chặt chẽ, thấm sâu vào vật lý, đôi khi bộc lộ một chiều hướng mới, hài hòa trong đó. Mối liên hệ chặt chẽ này kéo dài hơn một thiên niên kỷ và được thể hiện một cách xuất sắc trong nhiều khám phá khoa học và kỹ thuật lời giải. Chúng ta cũng hãy cố gắng chọn ra từ một loạt các ví dụ phản ánh sự thâm nhập hiệu quả của các ngành khoa học, ngày nay nhờ đến sự trợ giúp của PLANIMETRY. Và chúng ta sẽ thoát ra ngoài không gian vào lần tới.

Câu hỏi và bài toán

1. Khi đầu dưới của một chiếc thang đặt sát tường được dịch chuyển cách tường 2 m thì đầu trên của thang di chuyển xuống 1 5 phần chiều dài của nó. Chiều dài của $лестницы?^{2.}$ Một con cá heo bơi trong một bể hình tròn là bao nhiêu. Bắt đầu từ bức tường của hồ bơi, anh bơi về phía bắc. Đi được 12 m thì vấp phải thành bể bơi, anh rẽ về hướng Tây. Sau khi bơi thêm 5 m nữa, anh lại gặp phải một bức tường. Đường kính là bao nhiêu $бассейна?^{3.}$ Cách tìm góc giữa kim giờ và kim phút ở vị trí 12 giờ $20 мин?^{4.}$ Quả địa cầu và quả cam được bao phủ bởi các vòng dọc theo chu vi lớn nhất. Nếu bạn kéo dài mỗi vòng thêm 1 m, chúng sẽ di chuyển ra khỏi bề mặt của vật thể và tạo thành những khoảng trống. Cái nào sẽ là $больше?^{5.}$ Một đĩa có bán kính R lăn quanh một vòng cố định có bán kính 2R từ bên trong. Để tâm của đĩa quay một vòng quanh trục của vòng. Đĩa sẽ quay $оси?^{6.}$ bao nhiêu lần trong thời gian này? Khi tấm ván di chuyển trên các con lăn tròn, tấm ván sẽ giữ nguyên vị trí nằm ngang và giữ nguyên độ cao. Có thể thực hiện chuyển động như vậy bằng cách sử dụng $катками?^{7.}$ không tròn Theo các điều kiện của bài toán trước đó, tốc độ tại điểm trên cùng của mỗi con lăn tròn là 1 m s. Các điểm tiếp xúc của tấm ván chuyển động với tốc độ bao nhiêu? $катками?^{8.}$ Trọng tâm của đường viền của tam giác có trùng với trọng tâm của diện tích của nó không? Ví dụ, hãy xem xét một tam giác cân có chiều cao lớn và nhỏ $основанием.^{9.}$ Một tấm ván đồng nhất cân bằng ở một góc nhị diện vuông với các bức tường nhẵn. Bảng được bố trí như thế nào? Nó có ổn định không $равновесие?^{10.}$ Theo định luật do Kepler thiết lập, một vật thể được ném từ bề mặt Trái đất

nên di chuyển dọc theo một hình elip, nhưng chúng ta coi quỹ đạo của nó là parabol. $Почему?^{11.}$ Tại sao nhật thực không được quan sát vào mỗi lần trăng non mà là nguyệt thực vào mỗi lần trăng non? $полнолуние?^{12.}$ Đường kính của nguồn sáng là 20 cm, khoảng cách từ tâm nguồn sáng đến màn hình là 2 m. Hỏi phải đặt tâm của một quả cầu có đường kính 8 cm cách màn một khoảng tối thiểu bằng bao nhiêu để nó không tạo bóng trên màn mà chỉ tạo bóng một phần nửa tối? Đường thẳng đi qua tâm của nguồn sáng và quả bóng vuông góc với mặt phẳng $экрана.^{13.}$ Có một người nhỏ ở trong một căn phòng lớn hình lục giác đều có tường gương. Xây dựng quỹ tích các điểm mà từ đó một người có thể nhìn thấy ảnh đầu tiên của mình trong tất cả $зеркалах.^{14.}$ Hai gương phẳng tạo thành một góc nhị diện 120°. Một nguồn sáng điểm nằm trong mặt phẳng phân giác. Khoảng cách giữa các ảnh ảo đầu tiên của nguồn bằng l. Khoảng cách giữa các ảnh sẽ là bao nhiêu nếu góc nhị diện giảm đi một nửa?

Kinh nghiệm vi mô

Chỉ dùng thước không chia, tìm bằng cách vẽ vị trí trọng tâm của tấm đồng nhất như trên hình.

Thật thú vị rằng…

…tên của các hình hình học ban đầu có nghĩa là các vật thể cụ thể. Vì vậy, “hình thoi” có nguồn gốc từ một tambourine không tròn, “hình thang” - từ một cái bàn, “đường thẳng” - từ sợi vải lanh. …người Hy Lạp cổ đại Anaximenes đã được giúp đỡ để hiểu bản chất của nhật thực bằng cách đoán rằng Mặt trăng và Mặt trời là hai quả bóng chuyển động trong cùng một mặt phẳng. …một nhà khoa học Hy Lạp cổ đại khác là Thales đã nghĩ ra một phương pháp hình học để đo khoảng cách từ bờ đến một con tàu trên biển. Hiện nay, một ống âm thanh nổi hoạt động theo nguyên tắc tương tự được sử dụng cho mục đích này.

…trở lại thế kỷ thứ ba trước Công nguyên, Archimedes đã chứng minh những sự kiện toán học mới bằng cách sử dụng các tính chất của khối tâm. Ví dụ, bằng cách này, ông đã rút ra định lý về giao điểm của ba đường trung tuyến của một tam giác tại một điểm. … lý thuyết về đường conic, phát sinh trong khuôn khổ “toán học thuần túy” và được người Hy Lạp cổ đại phát triển một cách chi tiết, đã tìm thấy những ứng dụng quan trọng nhất của nó vào thế kỷ 17 trong các công trình của Newton và Kepler về cơ học thiên thể. …sau khi thiết lập định luật chuyển động của một vật được ném theo một góc so với đường chân trời, Galileo đã không công bố nó trong một thời gian dài, nhận ra rằng kết quả này thu được trong phép tính gần đúng “Trái đất phẳng”, và ông không biết hình dạng của quỹ đạo sẽ như thế nào trong trường hợp vận tốc đủ cao. … mối quan hệ giữa khoảng cách trong không gian được nghiên cứu trong hình học và các tính chất của thời gian - trong phép đo thời gian. Do đó, động học mà các em bắt đầu học ở trường không gì khác hơn là sự thống nhất của các ngành khoa học này, hay “hình học không-thời gian”. … các công cụ nghiên cứu hiện đại đã giúp có thể xác định một cách đáng tin cậy rằng các tòa nhà khổng lồ vài nghìn năm tuổi, như Stonehenge, tuân theo các mối quan hệ hình học chặt chẽ và được tổ tiên chúng ta sử dụng để quan sát thiên văn.

Những gì cần đọc trong «Kvant» về chủ đề “Vật lý và phép đo phẳng”

(xuất bản những năm gần đây)

1. “Hình học của tia sáng” – 2013, số 1, tr. 55; 2. “Ảnh quang học và mặt phẳng xạ ảnh” – 2014, Phụ lục số 3, tr. 90; 3. “Kính vạn hoa «Kvant» – 2015, số 2, 4 và 2016, số 5/6, trang 32, 4. “Tìm khối tâm của một tam giác dây” – 2018, số 1, trang 31, 5. “Các định luật cơ học và thông số của elip” – 2018, số 5, tr. 32; 6. “Định luật phản xạ và khúc xạ ánh sáng” – 2019, số 1, trang 42; 7. «Kvant» cho học sinh nhỏ”, bài toán 1 – 2020, số 2, tr. 27; 8. “Về việc xếp bánh xèo, cốt lết và cam” – 2020, số 4, tr. 38.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

TRƯỜNG KVANT

Tôi có thể lấy ánh sáng phân cực ở đâu?

M.STARSHOV

GẦN ĐÂY TRONG MỘT TRONG NHỮNG tạp chí vật lý PHƯƠNG PHÁP, tôi tình cờ đọc được một cụm từ khoa học như vậy: “… rất khó để tạo ra các nguồn ánh sáng phân cực một phần tự nhiên”. Có lẽ không cần thiết phải tạo ra nguồn tự nhiên. Và không phải vì điều đó không dễ dàng mà vì chúng luôn vây quanh chúng ta. Ví dụ, người ta biết rằng loài ong “biết”, nhận biết và sử dụng ánh sáng phân cực. Và người ta có thể đoán rằng Thiên nhiên đã cung cấp cho chúng ánh sáng phân cực một phần. Ít phổ biến hơn nhiều để tìm thấy ánh sáng phân cực hoàn toàn, như quang học nói, ánh sáng phân cực tuyến tính hoặc phẳng. Và rất có thể đó sẽ là ánh sáng do con người tạo ra. Người ta không thể không ngưỡng mộ lăng kính Nicol, do William Nicol người Scotland phát minh và chế tạo vào năm 1828. Để chế tạo thiết bị này, cần phải biết hầu hết mọi thứ về sự phân cực của ánh sáng, và quan trọng nhất là hiểu rằng sẽ rất tốt nếu có hai trong số những thiết bị này. Khi đó, bạn không chỉ có thể thuyết phục mọi người rằng họ làm việc mà còn thực sự khiến họ làm việc. Tuy nhiên, nhà khoa học đã tạo ra lăng kính thứ hai, rất giống với lăng kính thứ nhất, chỉ vào năm 1839. Có lạ không? Vì vậy, lăng kính Nicolas, hay đơn giản là Nicole, tạo ra ánh sáng phân cực gần như hoàn toàn so với ánh sáng thông thường. Ánh sáng chiếu vào nó với các dao động trong bất kỳ mặt phẳng nào chứa hướng truyền của chùm sáng và nó chỉ truyền các dao động trong một mặt phẳng, nếu chúng ta nói “trên các ngón tay”. Một lăng kính giống hệt thứ hai có thể thuyết phục người quan sát rằng ánh sáng phát ra từ lăng kính thứ nhất bị phân cực.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210205

Điều này thật đẹp và tuyệt vời, chỉ có những lăng kính này được làm từ tinh thể thạch anh Iceland quý hiếm và do đó rất đắt tiền. Nhưng khoảng hai mươi năm trước, khi tôi bắt đầu làm việc trong ca “Chòm sao” dành cho trẻ em có năng khiếu, trong nhóm thanh niên yêu thích vật lý có một cậu bé tuyệt vời Dima đến từ thành phố Rtishchevo. Tại một trong những bài giảng của mình, tôi đã nói về sự phân cực của ánh sáng, các phương pháp tạo ra và sử dụng ánh sáng đó. Khi bài giảng kết thúc, tất cả các cậu bé chạy đi chơi bóng đá, và Dima này đi qua địa phận trại trẻ em, dọc theo những tòa nhà cũ bỏ hoang, thỉnh thoảng cúi xuống đất. Sau đó, anh ta đến gặp thợ điện và yêu cầu một số băng cách điện mà anh ta dùng để kết nối các mảnh kính cửa sổ cũ đã lắp ráp. Thật buồn cười khi xem cách anh ấy mời người đầu tiên, sau đó là một đồng chí khác nhìn lên bầu trời qua sản phẩm tự chế của anh ấy: “Nhìn như thế này, và bây giờ quay sang hướng này!” Chà, bạn có thấy bầu trời đang thay đổi như thế nào không? Chính ông là người đã chế tạo ra cái gọi là chân Stoletov, một thiết bị rất đơn giản và không tốn kém giúp thu được hoặc phát hiện ra ánh sáng phân cực tuyến tính. Và vì vậy, Dima bị thuyết phục rằng bầu trời gửi cho chúng ta ánh sáng ở các mức độ phân cực khác nhau tùy thuộc vào vị trí của mặt trời. Thành thật mà nói, đối với một thí nghiệm như vậy, bạn không cần phải làm bất cứ điều gì bằng tay, chỉ cần mở mắt ra khi đi dạo quanh thành phố hoặc hòa mình vào thiên nhiên. Trước mặt tôi là một ngôi trường (ảnh trong Hình 1), nhưng tại sao cửa sổ của nó lại có nhiều loại kính khác nhau như vậy: một số có màu xám, trong khi một số khác lại hoàn toàn đen, như thể không hề có kính? Tò mò nhìn những cửa sổ tương tự của cung điện Paris dưới tia nắng lặn, thanh niên người Pháp Etienne Malus đã phát hiện ra sự phân cực của ánh sáng phản xạ đối với nhân loại vào đầu thế kỷ 19. Ánh sáng chói trên mặt nước hoặc trên một chiếc xe limousine đắt tiền và độ sáng nói chung cũng cho thấy sự phân cực của ánh sáng phản xạ. Đúng, điều này không áp dụng cho tay cầm bằng kim loại và các bộ phận khác của ô tô; chỉ có sơn và kính “làm việc” (với kim loại thì mọi thứ phức tạp hơn). Bất kỳ ai trở thành nhà vật lý hoặc nhà thiết kế đều có thể sẽ sử dụng điều này.

36

KVAN T 2021/№2

Hình 1

Với độ tin cậy 99%, chúng tôi có thể nói rằng trong số những độc giả tận tâm của tạp chí «Kvant» không có một ai không sử dụng ánh sáng phân cực mỗi ngày. Trong khi gõ văn bản này, tôi dừng lại để sửa lỗi trong từ, cầm bàn chân vừa được chụp của Stoletov (ảnh trong Hình 2) và nhìn qua màn hình màn hình tinh thể lỏng của máy tính xách tay của tôi. Tôi nhìn thấy văn bản và bắt đầu xoay hộp theo hướng của màn hình. Đột nhiên hình ảnh yếu đi, mờ và tối, tôi không thể nhìn thấy chữ nào cả. Khi bạn quay xa hơn, mọi thứ sẽ được khôi phục. Không khó để đoán rằng ánh sáng phân cực từ màn hình truyền đến chúng ta và bàn chân sẽ kiểm tra điều này.

Hình 2

Nhưng bạn có thể làm điều đó đơn giản hơn nữa; chỉ cần lấy một mảnh kính mịn, sạch có kích thước bằng nửa tờ vở hoặc thậm chí nhỏ hơn. Giữ nó ở một bên của màn hình ngang tầm mắt, tôi xoay nó để có thể nhìn thấy hình ảnh phản chiếu của màn hình trên đó, giống như trong gương. Tôi từ từ di chuyển bàn tay cầm kính về phía trước và hướng lên trên mà không làm mất đi hình ảnh phản chiếu của màn hình. Và hình ảnh đột nhiên yếu đi, gần như biến mất. Tôi tiếp tục di chuyển theo phong cách tương tự - hình ảnh lại xuất hiện. Và nó lại biến mất khi kính ngang tầm màn hình và mắt, chỉ ở phía bên trái của tôi. Nó không tuyệt vời sao? Nếu tôi là bạn, tôi sẽ ngay lập tức tìm kính để kiểm tra những gì tôi đã đọc. Nếu bạn sử dụng gương thay vì kính, bạn sẽ không có được hiệu ứng này. Lớp gương là kim loại, hỗn hống có hệ số phản xạ cao, lớp kính bảo vệ của nó phản chiếu yếu và mắt không cảm nhận được sự thay đổi. Hoặc có thể, nhìn đâu bạn cũng sẽ thấy ánh sáng bị phân cực một phần? Và bạn có thể thực hiện những quan sát tuyệt vời với anh ấy!

Để thu hút sự chú ý của độc giả của chúng tôi

Bạn có thể đăng ký tạp chí «Kvant» từ bất kỳ số nào tại bất kỳ bưu điện nào. Chỉ mục đăng ký của chúng tôi trong danh mục “Báo chí $России»_{–} 90964.$”. Bạn có thể mua tạp chí «Kvant» trong cửa hàng “Sách toán học” của nhà xuất bản MCNMO (địa chỉ cửa hàng trực tuyến: biblio.mccme.ru), cũng như tại các hiệu sách ở Moscow “Biblioglobus”, “Young Guard”, “Moscow House of Books” và trong tòa soạn tạp chí. Kho lưu trữ các số đã xuất bản của tạp chí «Kvant» có sẵn trên trang web http:// kvant.ras.ru

41

Ô L I P I A D S

Giải đấu thành phố XLII

Bài toán chuyến du lịch mùa thu

Tùy chọn cơ bản

Lớp 8–9 $1. (3)^{1}$ Có 100 điểm được đánh dấu trên một vòng tròn. Có thể có chính xác 1000 hình tam giác vuông, tất cả các đỉnh đều được đánh dấu là điểm? S. Dvoryaninov

2. Nhóm 8 tay vợt quần vợt thi đấu cúp mỗi năm một lần theo hệ thống Olympic (các tay vợt được chia bốc thăm thành 4 cặp; đội thắng được chia làm 2 cặp thi đấu ở bán kết; đội thắng sẽ chơi trận chung kết). Vài năm sau hóa ra mọi người đều chơi với nhau đúng một lần. Chứng minh rằng a) (2) mọi người đã nhiều lần vào bán kết; b) (3) mọi người đều vào chung kết. B.Frenkin

3. (5) Trong đống n viên đá có hai người đang chơi. Trong khi di chuyển, bạn có thể lấy một số viên đá từ đống, bằng ước số nguyên tố của số viên đá hiện tại trong đống, hoặc bằng 1. Người lấy được viên đá cuối cùng sẽ thắng. Người mới bắt đầu có thể chơi theo cách nào để luôn giành chiến thắng, bất kể đối thủ chơi như thế nào? F.Ivlev

4. (5) Cho một tam giác đều cạnh d và một điểm P, khoảng cách từ đó đến các đỉnh của tam giác bằng các số dương a, b và c. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác đều cạnh a và một điểm Q, các khoảng cách từ đó tới các đỉnh của tam giác này là b, c và d. A. Evnin

5. (5) Giám đốc vườn thú mua 8 con voi có số 1, 2, …, 8. Ông ấy quên mất khối lượng của chúng nhưng lại nhớ rằng

1 Số điểm được trao cho toàn bộ lời giải được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán. Kết quả được tổng hợp cho ba nhiệm vụ đạt được kết quả tốt nhất (điểm của một bài toán được tổng hợp).

khối lượng của mỗi con voi, bắt đầu từ con thứ ba, bằng tổng khối lượng của hai con trước đó. Đột nhiên giám đốc nghe được tin đồn rằng một con voi đã sụt cân. Làm thế nào anh ta có thể tìm thấy con voi này trong hai lần cân trên cân cốc mà không có quả cân hoặc chắc chắn rằng đó chỉ là tin đồn? (Anh ấy biết rằng không một con voi nào tăng cân và nhiều nhất là một con có thể giảm cân.) A. Gribalko

Lớp 10–11 1. (3) Mỗi ​​tam thức bậc hai P x, Q x và P x Q x có hệ số thực có nghiệm bội. Có phải tất cả những gốc này nhất thiết phải trùng khớp? B.Frenkin

2. (4) Trên đường thẳng, chúng ta đánh dấu các điểm $X_{1}$, … $, X_{10}$ (theo đúng thứ tự này) và dựng các tam giác cân có góc D tại các đỉnh trên các đoạn $X_{1} X_{2}, X_{2} X_{3}$, … $, X_{9} X_{10}$ như trên các đáy. Hóa ra tất cả các đỉnh này đều nằm trên một hình bán nguyệt có đường kính $X_{1} X_{10}$. Tìm D. E. Bakaev

3. (5) Số tự nhiên N là bội số của 2020. Trong ký hiệu thập phân của nó, tất cả các chữ số đều khác nhau và nếu bất kỳ hai chữ số nào trong số chúng bị hoán đổi cho nhau thì kết quả là một số không phải là bội số của 2020. Điều này có thể xảy ra với bao nhiêu chữ số trong ký hiệu thập phân của số N? S. Tokarev

4. (5) Các cạnh của tam giác được chia bởi đáy của các đường phân giác thành hai đoạn. Có cần thiết phải tạo thành hai hình tam giác từ sáu đoạn kết quả không? L. Emelyanov

5. Có 101 đồng xu trong một vòng tròn, mỗi đồng có khối lượng 10 g hoặc 11 g. Chứng minh rằng tồn tại một đồng xu mà tổng khối lượng của k đồng xu ở bên trái nó bằng tổng khối lượng của k đồng xu ở bên phải nó, nếu a) (3) k 50; b) (3) k 49. A. Gribalko

42

K V A N T 2021/No. 2

Tùy chọn phức tạp

Lớp 8–9 1. (4) Với mọi tứ giác lồi, có một đường tròn cắt mỗi cạnh của nó tại hai điểm trong không? A.Perepechko

2. (7) Xem bài toán M2630 “Bài toán Kvant”. 3. Petya và Vasya chơi một trò chơi như vậy. Mỗi nước đi, Petya đặt tên cho một số nguyên và Vasya viết lên bảng số đã đặt tên hoặc tổng của số này và tất cả các số đã viết trước đó. Liệu Petya có luôn có thể đảm bảo rằng tại một điểm nào đó trên bảng trong số các số được viết có a) (3) ít nhất một trăm số 5; b) (4) ít nhất một trăm số 10? A. Arzhantsev

3. (7) “Chữ thập” pentomino bao gồm năm ô vuông 1 u 1 (bốn ô vuông liền kề với ô thứ năm). Có thể cắt chín hình chữ thập như vậy từ một bàn cờ 8 x 8, không nhất thiết phải là hình vuông? (Hình vẽ cho thấy ba cây thánh giá có thể được cắt ra như thế nào.) A. Gribalko

4. (8) Có 100 số tự nhiên không có số nào giống nhau sao cho lập phương của một số bằng tổng lập phương của các số còn lại? M. Evdokimov

5. (10) Xem bài toán M2633a “Bài toán Kvant. 7. 6 6 Xem bài toán M2631 “Bài toán Kvant.

Lớp 10–11 1. (4) Cho n số tự nhiên. Đối với mỗi cặp số này, Borya viết giá trị trung bình số học của chúng lên bảng đen và giá trị trung bình hình học của chúng lên bảng trắng, và đối với mỗi cặp, ít nhất một trong hai giá trị trung bình này là số nguyên. Chứng minh rằng trên ít nhất một bảng tất cả các số đều là số nguyên. B.Frenkin

2. (5) Nam tước Munchausen đưa ra một định lý: nếu đa thức $x^{n} ax^{n} 1 bx^{n} 2$ … có n nghiệm tự nhiên thì trong mặt phẳng có một đường thẳng có đúng b điểm giao nhau. Nam tước có nhầm không? F.Ivlev

3. (6) Đường tròn D và E có tâm lần lượt tại các điểm A và B cắt nhau tại các điểm C và D. Đoạn AB cắt đường tròn D và E lần lượt tại các điểm K và L. Tia DK cắt đường tròn E lần thứ hai tại điểm N và tia DL cắt đường tròn D lần thứ hai tại điểm M. Chứng minh rằng giao điểm các đường chéo của tứ giác KLMN trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. K.Knop

4. (7) Xem bài toán M2633a “Bài toán Kvant. 5. (7) Có hình chữ nhật nào có thể cắt thành 100 hình chữ nhật, tất cả đều giống nhau nhưng không có hai hình nào giống nhau không? M. Murashkin

5. (10) Xem bài toán M2632 “Bài toán Kvant. 7. (12) Quân bọ cánh cứng màu trắng đứng ở ô vuông góc của bàn cờ 1000 u n, trong đó n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 2020. Ở hai góc bàn cờ gần nhất có hai quân cờ đen. Với mỗi nước đi, con bọ hoặc di chuyển đến một ô liền kề hoặc di chuyển như một quân cờ. Bọ cánh cứng muốn đến góc đối diện của bàn cờ. bảng mà không đi qua các ô bị chiếm đóng hoặc tấn công, và đã ghé thăm từng ô khác đúng một lần. Chứng minh rằng số đường đi mà một con bọ có thể đi không phụ thuộc vào N. Belukhov.

Tài liệu được chuẩn bị bởi E. Bakaev, A. Gribalko, S. Dorichenko, A. Zaslavsky, P. Kozhevnikov, A. Kushnir, L. Mednikov, V. Retinsky, E. Ryabov, M. Skopenkov, A. Terteryan, I. Frolov, B. Frenkin, E. Khinko, A. Shapovalov

44

KVANT 2021/№2

Lớp 8 Bài toán 1. Đồng hồ (10 điểm) Trên đồng hồ tại một thời điểm nào đó, góc giữa kim giờ và kim phút là D 60 q. Xác định xem sau bao nhiêu phút góc giữa các mũi tên có thể lại bằng D vào lần sau. Vị trí của các mũi tên trong Hình 4 là có điều kiện. V. Yavorsky Hình 4

Bài toán 2. Cuộc thi đo nhiệt lượng (10 điểm) Một cục nước đá được đặt vào hai nhiệt lượng kế và chất chứa trong chúng được đun nóng với công suất bằng nhau trong $W_{к} 10$ phút. Biết rằng mảnh băng thứ nhất nhẹ hơn mảnh thứ hai 100 g. Hình 5 cho thấy

Hình 5

sự phụ thuộc của chênh lệch nhiệt độ t trong nhiệt lượng kế vào thời gian W. Thật không may, thang đo của trục chênh lệch nhiệt độ không được bảo toàn và các điểm ngắt trong biểu đồ tương ứng với thời gian $W_{1}, W_{2}, W_{3}, W_{4}$. Giải thích những quá trình vật lý nào tương ứng với từng phần tuyến tính của đồ thị. Xác định: 1) công suất lò sưởi P; 2) khối lượng $m_{1}$ và $m_{2}$ mảnh băng; 3) nhiệt độ ban đầu và nhiệt độ cuối cùng của các tảng băng; 4) chênh lệch nhiệt độ tại thời điểm $W_{1}$. Số liệu tham khảo: nhiệt dung riêng của nước đá $c_{л} 2100$ J kg qC, nhiệt dung riêng của nước $c_{в} 4200$ J kg qC, nhiệt dung riêng của nước đá O 330 kJ kg. A. Evseev

Bài toán 3. Tính liên tục (10 điểm) Tại giá trị nào thì khối lượng M của hệ có thể cân bằng?

ke 6 nếu m 4,0 kg? Một đòn bẩy nằm ngang có khối lượng 2m được chia thành 8 phần giống nhau. Sợi chỉ có thể chịu được tối đa. Hình 6 độ căng thấp $T_{0} 25$ N. Gia tốc g 10 N kg. M. Zamyatnin

Bài toán 4. Vật lý trong y học (20 điểm) Để đo một số đặc tính kỹ thuật của ống tiêm y tế, người thực nghiệm Gluck đã lắp ráp thiết bị như trong Hình 7. Ông cố định ống tiêm đang nghiên cứu ở vị trí thẳng đứng. Thay vì một chiếc kim, một ống mềm mỏng được gắn vào nó, đầu thứ hai của ống này được nối với một lỗ ở đáy của một chiếc bình hình trụ. Sau đó, Gluck đo sự khác biệt về mức độ nước trong bình và ống tiêm, tại đó pít-tông của ống tiêm bắt đầu di chuyển lên trên trong quá trình dâng lên $плав-^{Рис.} 7$ của bình. Hóa ra giá trị của ’ h phụ thuộc vào khối lượng $m_{г}$ của tải trọng tác dụng lên điểm dừng trên của piston. Ông trình bày kết quả đo sự phụ thuộc ’ $h m_{г}$ trong một bảng cũng cho thấy giá trị ’ $h_{x}$ đối với một tải có khối lượng chưa biết $m_{x}$. Xác định diện tích S của piston và lực ma sát trượt $F_{тр}$ giữa piston và thành ống tiêm. Để làm điều này: 1) rút ra sự phụ thuộc lý thuyết ’ $h m_{г}$; 2) vẽ đồ thị sự phụ thuộc thực nghiệm ’ $h m_{г}$; 3) sử dụng biểu đồ để xác định $F_{тр}$ và S; 4) tìm khối lượng chưa biết $m_{x}$ của tải ở hàng thứ sáu của bảng.

Ghi chú. Khối lượng của piston có thể bỏ qua; không có khe hở không khí giữa piston và nước trong ống tiêm; mật độ nước U 1,0 $10^{3}$ kg $м^{3}$; gia tốc g 10 N kg.

M. Zhang, S. Karmazin

47

Ô L I P I A D S

Khi đã vào trong hình nón, những mảnh nhựa nhỏ được đặt bên trong nó.

Hình 13

Gương phẳng được dán vào các bức tường đối diện từ bên trong. Một tia laser được gắn vào thành bên của hộp, chùm tia này bị phản xạ nhiều lần từ gương sẽ chạm vào tế bào quang điện, luôn chuyển động trong cùng một mặt phẳng nằm ngang. Khi hình nón rơi vào bên trong hộp, chùm tia laser đảm bảo sẽ bị chặn lại và điện áp trên tế bào quang điện thay đổi. Khoảng cách từ chùm tia laser phía trên đến mặt phẳng tạo bởi chùm tia laser phía dưới là 23,0 r 0,5 cm. Các tế bào quang điện được nối thành mạch điện nối tiếp với nhau và được kết nối với máy hiện sóng USB, giúp chuyển đổi giá trị của tổng điện áp trên các tế bào quang điện thành dạng kỹ thuật số và truyền đến máy tính xách tay. Máy tính xách tay được cài đặt chương trình hiển thị biểu đồ điện áp theo thời gian với độ chính xác 0,5 ms. Sử dụng biểu đồ $полученного^{Рис.} 14$, bạn có thể xác định thời gian chuyển động của hình nón giữa hai giao điểm của chùm tia laze. Để xác định khối lượng của hình nón 9 người ta sử dụng cân điện tử 1. Để thay đổi khối lượng

Quy trình thực hiện các phép đo 1. Một lượng nhựa dẻo nhất định được đặt bên trong hình nón và tổng khối lượng của hình nón bằng nhựa dẻo được xác định trên cân điện tử. 2. Đặt hình nón, hướng xuống, cao hơn tia laser trên cùng khoảng 60–70 cm và thả ra. Khoảng cách 60–70 cm đảm bảo khi hình nón tiếp cận tia laser phía trên, chuyển động của nó sẽ gần như đồng đều. 3. Trong cửa sổ chương trình, dựa trên sự phụ thuộc của tổng điện áp vào thời gian (Hình 14), các thông số sau được xác định và nhập vào bảng: $T_{1}, T_{2}$ – thời gian bắt đầu và kết thúc của lần nhúng đầu tiên; $T_{3}, T_{4}$ – thời gian bắt đầu và kết thúc của lần nhúng thứ hai; $U_{0}$ – mức điện áp không đổi; $U_{1}, U_{2}$ – mức điện áp tương ứng với lần sụt giảm thứ nhất và thứ hai.

50

K V A N T 2021/No. 2

khó khăn, đau thương cho băng phủ. Băng đóng băng trên bờ - khi cái lạnh mùa đông tràn vào, đất nguội nhanh hơn nước và băng tiếp xúc với nó đông cứng nhanh hơn. Ở đây anh bất động. Và cách xa bờ biển, thủy triều vẫn tiếp tục dao động trong băng, cùng với mực nước lên xuống hai lần một ngày. Đúng vậy, lớp băng phủ liên tục hạn chế một chút những chuyển động này: ở hầu hết các khu vực của Biển Trắng, nơi chụp những bức ảnh được trình bày trong bài báo và trên trang thứ tư của bìa tạp chí, phạm vi dao động giảm đi hàng chục hoặc hai cm, nhưng ở độ cao thủy triều 1,5–2 m, mức giảm này gần như không thể nhận thấy. Và khi đó số phận của băng có thể phát triển rất khác nhau, tùy thuộc vào nhiều điều kiện địa phương: độ cao của thủy triều, địa hình đáy biển ven biển, dòng hải lưu, nhiệt độ không khí, v.v. Lớp băng tương đối mỏng có thể biểu hiện một số độ đàn hồi, nhưng lớp băng dày hơn sẽ vỡ dưới áp lực của sóng thủy triều, tạo ra các vết nứt chạy dọc bờ biển. Thông qua những vết nứt này, nước có thể tràn vào bề mặt ven biển hay còn gọi là băng nhanh. Nếu áp lực của sóng thủy triều đủ mạnh thì băng bắt đầu vỡ vụn gần đứt gãy, các tảng băng được hình thành, có thể bị ném lên bề mặt băng nhanh, bị đẩy xuống dưới hoặc đứng trên đầu, tạo thành cái gọi là ropakas (tảng băng riêng lẻ đứng thẳng đứng hoặc xiên) hoặc toàn bộ các rặng ven biển. Trong một số trường hợp (ví dụ, khi có dòng chảy), các polynya không đóng băng được hình thành dọc theo bờ biển. Có lẽ, ở một mức độ nào đó, những quá trình này có thể được so sánh với sự hình thành của sự nhẹ nhõm

Hình 2

Hình 3

bề mặt trái đất, chỉ xảy ra trong thời gian ngắn hơn nhiều. Nhưng các địa hình biển mùa đông thú vị nhất hình thành xung quanh những tảng đá nằm ở vùng nước nông, lộ ra ở vùng nước thấp và ẩn bên dưới bề mặt khi mực nước biển dâng cao. Khi sương giá nghiêm trọng xảy ra, khi băng đóng băng trong vài giờ trong khi những viên đá ẩn dưới nước, khi thủy triều xuống, nó sẽ chìm và vỡ ra trên đỉnh của những viên đá. Băng dường như sẽ mở ra thành những cánh hoa xung quanh hòn đá (Hình 2). Thông qua các vết nứt hình thành xung quanh viên đá, những phần nước mới sẽ được đổ lên bề mặt băng, tạo nên một “sân trượt băng” tuyệt đẹp xung quanh viên đá. Trong những đợt sương giá nghiêm trọng, nước bốc hơi từ những vết nứt này sẽ ngưng tụ trên đá và các cánh băng xung quanh, dẫn đến sự phát triển của một lớp băng (còn gọi là băng thăng hoa). Chiều cao của chiếc lều như vậy có thể đạt tới chiều cao của con người (Hình 3) hoặc thậm chí hơn. Và trong các hang băng trên các bức tường cánh hoa của lều có tảo đông cứng trong đó (Hình 4). Và giờ đây toàn bộ bề mặt vịnh biển được bao phủ bởi những “đụi chuột chũi” khổng lồ lấp lánh dưới nắng mùa đông…

Hình 4

57

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

GIẢI ĐẤU THÀNH PHỐ XLII Bài toán vòng mùa thu

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

1. Nó không thể. Một tam giác là vuông góc khi và chỉ khi một số đỉnh của nó là các điểm đối xứng đường kính của đường tròn ngoại tiếp của nó. Mỗi cặp điểm đối xứng đường kính tương ứng với đúng 98 hình tam giác vuông; chúng khác nhau đối với các cặp khác nhau. Do đó, tổng số tam giác vuông chia hết cho 98 nhưng 1000 không chia hết cho 98. 2. Theo điều kiện mọi người chơi 7 ván, tổng cộng là 8 7: 2 28 ván đã chơi. Vì có 7 trận được diễn ra mỗi năm nên giải đấu được diễn ra 4 lần. a) Cầu thủ vào bán kết không quá 1 lần thi đấu không quá 3 3 1 6 trận trong 4 năm là trái với điều kiện. b) Tổng cộng có 2 4 8 suất vào 4 vòng chung kết. Nếu có người không vào trận chung kết thì có người khác phải vào trận chung kết ít nhất hai lần. Nhưng sau đó anh ta đã chơi ít nhất 2 3 2 1 8 ván, điều này mâu thuẫn với điều kiện. 3. Khi n không phải là bội số của 4. Chiến lược: mỗi lần để lại một số viên đá trong đống là bội số của 4. Khi n 4k 1 bạn cần lấy một viên đá, khi n 4k 2 - hai viên đá; đối với n 4k 3 thì cần lấy p đá, trong đó p là ước nguyên tố của số n dạng 4q 3 (có chuyện như vậy, ngược lại mọi ước nguyên tố của n đều có dạng 4m 1, và tích các số có dạng này cũng có dạng như vậy và không bằng 4k 3). Đối thủ từ một đống có bội số của 4 quân không thể lấy số quân là bội số của 4 (đây sẽ không phải là số nguyên tố), vì vậy người mới bắt đầu có thể tiếp tục chơi theo chiến thuật. 4. Gọi A, B, C là các đỉnh của một tam giác sao cho AP a, BP b, CP c. Gọi F là ảnh của điểm P khi quay quanh A một góc 60q, biến C thành B. Khi đó tam giác APF đều cạnh a, và đoạn FB là ảnh của đoạn PC dưới phép quay này, từ đó FB PC c. Trong trường hợp này, AB d, PB b và do đó tam giác APF cùng với điểm B tạo thành hình dạng mong muốn. 5. Hãy tưởng tượng sắp xếp những con voi theo dạng một cái bàn, như trong Hình 22. Lần cân đầu tiên so sánh hai hàng đầu tiên với nhau, lần cân thứ hai – hai cột đầu tiên. Trong lần cân đầu tiên, chúng ta sẽ tìm thấy đường nơi Hình mỏng hơn. 22

GIẢI PHÁP

giám mục, nếu có một, và đối với cột thứ hai - một cột. Tại giao điểm của các hàng và cột này sẽ có một con voi gầy hơn (nếu giao điểm có ô trống thì không có con voi nào sụt cân).

lớp 10–11

1. Cần thiết. Giả sử điều ngược lại: P x và Q x có nhiều nghiệm a và b tương ứng là a z b. Nếu các nhánh của đồ thị y P x và y Q x cùng hướng thì tam thức P x Q x không có nghiệm (tất cả các giá trị của nó cùng dấu và khác 0). Nếu các nhánh của đồ thị y P x và y Q x hướng theo các hướng khác nhau thì tại các điểm a và b, tam thức P x Q x lấy các giá trị khác dấu, điều này là không thể đối với một tam thức có nghiệm bội. Sự mâu thuẫn. 2. 18q. Cho các hình tam giác $X_{1} A_{1} X_{2}$, … $..., X_{9} A_{9} X_{10}$ (Hình 23) được dựng và $точки_{1}^{B}$, … $,_{9}^{B}$ đối xứng

Hình 23

tương ứng với các điểm $A_{1}$, … $, A_{9}$, tương ứng (so với đường thẳng $X_{1} X_{10} ).$ Rõ ràng, điểm $X_{i}$ nằm trên dây cung $B_{i} 1 A_{i}$ và trên dây $B_{i} A_{i} 1 (i 2,$ …, 9), vì khi phản xạ sẽ xuất hiện các góc thẳng đứng (góc ở đáy của một tam giác cân và bằng một góc của tam giác phản xạ cạnh đó). Đó là lý do tại sao

‘ $X_{1}^{B} 1 A 2$

‘ $A 2_{3}^{B} A_{4}$

‘ $A_{4}^{B} 5 A_{6}$

‘ $A_{6}^{B} 7 A_{8}$

‘ $A_{8}^{B} 9 X_{10}$

D.

Do đó, 5D bằng một nửa cung $X_{1} X_{10}$, tức là 90q. 3. Với 6 chữ số. Nếu trong một số, chữ số thứ bảy từ bên phải là a và chữ số thứ ba từ bên phải là b, thì bằng cách hoán đổi chúng, chúng ta sẽ thay đổi số đó thành b $10^{6} a$ $10^{6} a$ $10^{2} b$ $10^{2} b a$ $10^{4} 1$ 100. Điều này có nghĩa là với sự thay thế như vậy, khả năng chia hết cho năm 2020 là 20 101 sẽ không giảm, bởi vì