Bạn có quen thuộc với vật lý × hình học không?

Kvant 2021, số 3 tr. 43, 45, 48, 49, 50 Thẻ WO2Q

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

…hình học dựa trên thực hành cơ học và không gì khác hơn là một phần của cơ học tổng quát trong đó nghệ thuật đo lường chính xác được trình bày và chứng minh. Isaac Newton

…hình học rõ ràng đã trở thành một môn khoa học tự nhiên; trên thực tế chúng ta có thể coi nó là nhánh vật lý cổ xưa nhất. Albert Einstein

…tiếng gọi của thiên nhiên được lắng nghe, và vật lý bùng nổ trong thế giới trừu tượng của ¢hình học - A.L.². John Lighton Hát

tồn tại trong vỏ trái đất dưới dạng tinh thể từ rất lâu trước khi loài người xuất hiện. Maurits Cornelis Escher

…rõ ràng chúng ta có hai “hình học”: “hình học-vật lý”, … nghiên cứu các tính chất cụ thể của vật thể thực, … và “hình học-toán học”, … nghiên cứu các cấu trúc toán học nhất định… Isaac Yaglom

Điều không thể trên máy bay lại có thể xảy ra trong không gian ba chiều! Igor Sharygin

Các khối đa diện thông thường…không thể được coi là phát minh của trí óc con người, bởi vì chúng

Bạn có thực sự quen thuộc với điều này?

vật lý và hình học

Sự tiếp tục hứa hẹn của cuộc trò chuyện về sự kết hợp nhân lên lẫn nhau của các lĩnh vực khoa học này ngày nay đang phát triển với chiều hướng thứ ba. STEREOMETRY, kết hợp với vật lý, đặc biệt nhấn mạnh đến mối liên hệ giữa cụ thể, vật thể hữu hình và hình ảnh của chúng, nâng lên quy ước về tính trừu tượng cao. Đơn giản nhất – chúng là những nguyên tắc cơ bản – của hình học, được học ở trường, đã phát triển đến mức không chỉ có thể mô tả các đặc tính của môi trường trực tiếp mà còn bao trùm toàn bộ không gian có thể tưởng tượng được (và không thể tưởng tượng được!) của Vũ trụ, thâm nhập vào cấu trúc phức tạp nhất của thế giới chúng ta. Sự không thể tách rời của các phương pháp tiếp cận hình học và vật lý đối với lời giải một con số đáng chú ý bài toán thỉnh thoảng dẫn đến việc họ “di chuyển” từ một môn học hoặc Olympic này sang môn học khác. Đóng vai trò như những phương tiện giao tiếp, các ngành khoa học chính xác được tích hợp lại, tạo ra (để sử dụng một cách diễn đạt thời thượng) một hiệu ứng hiệp đồng. Hãy thử “cưỡi” nhân mã này nhé!

Câu hỏi và bài toán

Có một con nhện trên trần của một căn phòng có hình dạng như hình chữ nhật song song và một con ruồi trên sàn nhà. Con nhện phải di chuyển như thế nào để bắt ruồi nhanh nhất?
Một bể cá có các mặt đều là hình chữ nhật, chứa đầy một nửa nước. Nó được đổ vào một bể cá khác, tất cả các kích thước tuyến tính của chúng lớn hơn kích thước ban đầu 3 lần. Nước sẽ chiếm bao nhiêu phần chiều cao trong cái mới $аквариуме?^{3.}$ Hai cái chảo đồng hình dạng giống nhau có thành dày như nhau, cái thứ nhất rộng hơn cái thứ hai 8 lần. Làm được bao nhiêu lần $тяжелее?^{4.}$ Một viên aspirin sủi bọt thả xuống nước nằm dưới đáy một lúc rồi nổi lên. $Почему?^{5.}$ Chiều cao và đường kính của đáy hình trụ bằng đường kính của quả bóng. Hình trụ có hai phễu hình nón giống hệt nhau có đáy chung. Hai thân này nặng $больше?^{6.}$ Để quả anh đào và hố của nó có hình quả bóng, lớp cùi anh đào có độ dày bằng hố. Bao nhiêu lần thể tích của phần mọng nước của quả anh đào lớn hơn thể tích của $косточки?^{7.}$ Làm thế nào để gấp bốn hình tam giác đều từ sáu que diêm sao cho cạnh của mỗi hình là một tổng thể $спичка?^{8.}$ Chiều dài cạnh của hình tứ diện đều lớn nhất có thể đặt trong một hộp có hình khối lập phương có cạnh 1 dm là bao nhiêu?

Thế Vận Hội

cũng là tổng của chúng a b. Số lẻ lớn nhất có thể viết được trên bảng là bao nhiêu? I. Bogdanov, P. Kozhevnikov

Xem bài toán 7 cho lớp 9. 8. Điểm M là trung điểm đáy AC của tam giác cân ABC. Trên đoạn tiếp theo của AC và BC ngoài điểm C, các điểm D và K lần lượt được đánh dấu sao cho BC CD và CM CK. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và MCK tiếp xúc nhau. A. Kuznetsov
Ảo thuật gia và trợ lý của anh ta sắp thực hiện thủ thuật tiếp theo của họ. Họ có n 3 thẻ có số 1, 2, …, n và một hàng gồm n ô có kích thước bằng thẻ. Mặt sau của tất cả các thẻ đều không thể phân biệt được. Khán giả đặt thẻ 1 và 2 vào hai nơi; Trợ lý của nhà ảo thuật nhìn thấy điều này sẽ đặt những lá bài còn lại vào chỗ trống. Sau đó tất cả các lá bài được lật lên, giảm số và nhà ảo thuật bước vào. Anh ta lật một trong các lá bài và sau đó khán giả lật lá bài kia. Sau đó, ảo thuật gia phải chỉ đúng thẻ 1 và chỉ đúng thẻ 2. Ảo thuật gia và trợ lý có thể thống nhất điều gì để trò lừa đảm bảo thành công? I. Bogdanov, K. Knop
Xem bài toán 10 cho lớp 9.

Lớp 11 1. Một số tự nhiên lớn hơn 1.000.000 khi chia cho 40 và chia cho 625 đều có số dư bằng nhau. Số đó ở hàng nghìn có thể có chữ số mấy? N. Agakhanov, K. Sukhov

Xem bài toán 2 cho lớp 10. 3. Trên trục Ox, ta đánh dấu các điểm 0, 1, 2, …, 100 và vẽ đồ thị của 200 hàm bậc hai khác nhau, mỗi hàm đi qua hai điểm đã đánh dấu và tiếp xúc với đường thẳng y 1. Với mỗi cặp đồ thị, Oleg viết lên bảng một số bằng số điểm chung của các đồ thị này. Sau đó anh cộng tất cả 19.900 số được viết trên bảng. Anh ấy có thể lấy được số 39699 không? O. Podlipsky

Kim tự tháp tam giác SABC được nội tiếp trong một hình cầu:. Chứng minh rằng các mặt cầu đối xứng qua các đường thẳng SA, SB, SC và mặt phẳng ABC có một điểm chung. Một hình cầu đối xứng với một đường thẳng l cho trước là một hình cầu có cùng bán kính, tâm của nó đối xứng với tâm của hình cầu ban đầu đối với đường thẳng l. I. Bogdanov
Có $99^{2}$ người lùn sống ở Thành phố Hoa. Một số người lùn là hiệp sĩ (luôn nói sự thật), số còn lại là kẻ nói dối (luôn nói dối). Những ngôi nhà trong thành phố nằm ở ô 99 và 99 (tổng cộng có $99^{2}$ ngôi nhà nằm ở 99 đường dọc và 99 đường ngang). Có chính xác một anh chàng lùn trong mỗi nhà. Số nhà được biểu thị bằng một cặp số x; y, trong đó 1 d x d 99 là số đường dọc (số tăng dần từ trái sang phải), 1 d y d 99 là số đường ngang (số tăng dần từ dưới lên trên). Khoảng cách hoa giữa hai nhà đánh số $x_{1} ; y_{1}$ và $x_{2} ; y_{2}$ gọi là số $U x_{1} x_{2} y_{1} y_{2}$ . Được biết, trên mỗi con đường - dọc hoặc ngang - đều có ít nhất k hiệp sĩ sinh sống. Ngoài ra, tất cả các chú lùn đều biết hiệp sĩ Znayka sống ở nhà nào. Bạn muốn tìm nhà của anh ấy nhưng lại không biết Znayka trông như thế nào. Bạn có thể đến bất kỳ ngôi nhà nào và hỏi người đàn ông thấp bé sống trong đó: “Khoảng cách từ nhà bạn đến nhà Znayka là bao nhiêu?” Với mức k tối thiểu bạn có thể đảm bảo tìm được nhà của Znayka? V. Novikov
Xem bài toán 7 đối với lớp 9 7. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nhọn ABC, M và N lần lượt là các điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp cạnh AB và BC. Đường thẳng l đi qua điểm I, song song với cạnh AC và hạ các đường vuông góc AP và CQ lên điểm I. Chứng minh rằng các điểm M, N, P và Q cùng thuộc một đường tròn. R.Zhenodarov, O.Dmitriev
Xem bài toán 9 cho lớp 9. 9. Đa thức P x có hệ số thực có bậc $10^{5}$ và hệ số cao nhất của nó là 1. Tìm giá trị lớn nhất

Thế Vận Hội

Trên đường đi, đoàn tàu di chuyển với tốc độ gần như không đổi và chỉ dừng một lần ở Dmitrov. Sau đó, trên trang web của trung tâm khí tượng thủy văn tìm hiểu nhiệt độ thay đổi như thế nào vào ngày hôm đó trong thời gian t, Gluck đã tính toán thời gian khởi hành của tàu tốc hành từ Dolgoprudny, tốc độ của tàu tốc hành, khoảng cách từ Dmitrov đến Dubna, thời gian gần đúng dừng ở Dmitrov. Xây dựng đồ thị các mối phụ thuộc cho trong bảng và sử dụng chúng để tính được sự phụ thuộc của quãng đường mà tàu tốc hành đi được theo thời gian. Hãy vẽ biểu đồ đó và xác định những gì người thí nghiệm có thể tính toán được.

Ghi chú. Đồng thời, nhiệt độ không khí dọc theo toàn bộ tuyến đường cao tốc là như nhau.

M. Zamyatnin

Lớp 8 Bài toán 1. Lực căng (10 điểm) Hai đòn bẩy đồng nhất giống hệt nhau có khối lượng m 7 kg và chiều dài 80 cm, mỗi đòn bẩy được nối bản lề bằng một thanh nhẹ và các sợi dây, giữa đó treo một vật có cùng khối lượng m (Hình 2). Xác định khoảng cách x tính từ mép trái của thanh trên là điểm gắn của sợi dây giữ hệ ở trạng thái cân bằng, lực căng của cả ba sợi dây và lực tác dụng từ bản lề lên thanh trên là bao nhiêu. Để thuận tiện, trong hình các thanh được đánh dấu thành 8 phần bằng nhau. Điểm gắn sợi trên cùng vào đòn bẩy được thể hiện theo quy ước. Gia tốc g 10 N kg. M. Zamyatnin

Hình 2

Bài toán 2. Đường vào kênh (10 điểm) Yarik và Prokhor sau giờ học vật lý đã đi dạo dọc theo bờ một con kênh dài thẳng tắp. Yarik đi bộ và Prokhor đi xe đạp. Biểu đồ về sự phụ thuộc của khoảng cách l giữa chúng với chuyển vị s của Yarik được hiển thị trong Hình 1. Lúc đầu, các cậu bé di chuyển với tốc độ không đổi, nhưng, mệt mỏi, Yarik dừng lại, cuối cùng cậu gọi Prokhor và yêu cầu anh ta lái xe đến chỗ mình, sau đó cậu tiếp tục di chuyển với tốc độ như cũ theo cùng một hướng. Prokhor quay lại và tăng tốc gấp đôi, tiến về phía bạn mình. Kết quả là hai người gặp nhau sau 1 giờ 55 phút chia tay. Xác định xem Prokhor đã đi được bao xa từ lúc bắt đầu đi bộ cho đến khi gặp Yarik, Prokhor tăng vận tốc bao nhiêu lần sau khi rẽ, Yarik nghỉ ở điểm dừng bao lâu, vận tốc của Yarik là bao nhiêu. Chứng minh tính độc đáo của đáp số của bạn. M. Zamyatnin

Bài toán 3. Khối lượng của một lò xo (10 điểm) Một khối lượng riêng $U_{1} 0,80$ g $см^{3}$ được gắn vào một lò xo có hệ số độ cứng k là 50 N m, đầu dưới nối với đáy bình (Hình 3). Chiều dài của lò xo ở trạng thái không biến dạng là $L_{0} 10$ cm, chiều cao của tải trọng L 12,5 cm, diện tích mặt cắt ngang của tải trọng là $S 10 см^{2}$ . Nước được đổ từ từ vào bình. Tìm sự phụ thuộc của biến dạng lò xo ‘x vào mực nước h trong bình. Mật độ nước U 1,00 g $см^{3}$ , gia tốc g 10 N kg. Hãy cho biết lò xo bị giãn ở giá trị nào của h. $Построй-^{Рис.} 3$ vẽ đồ thị sự phụ thuộc của ’ x vào h, giả sử rằng nếu lò xo bị nén thì ’ x 0. O. Inisheva

Bài toán 4. Gluck và chú lính thiếc (20 điểm) Một ngày nọ, người thực nghiệm Gluck quyết định tạo ra một chú lính thiếc. Vì điều này anh ấy

KVAN T 2021/№3

đáp số cần cung cấp sơ đồ sắp xếp các phân vùng trong “hộp màu xám”. Đáp số phải hợp lý và không mâu thuẫn với dữ liệu thu được bằng thực nghiệm và do đó có sai sót.

Các thí nghiệm đã thực hiện và kết quả đo

Kinh nghiệm số 1. Dùng một dải giấy kẻ ô vuông để đo kích thước của hộp. Chúng bằng 100 mm u 100 mm u 10 mm. Thay đổi

Hình 11

các bức tường của hộp (các bức tường bên là những bức tường được vẽ trên đó). Các phân vùng có thể bắt đầu và kết thúc tại các bức tường của hộp màu xám hoặc tại các điểm giao nhau của các đường chấm. Các vách ngăn bao phủ hoàn toàn khoảng cách giữa các bức tường bên và không thể xuyên qua cả nước và không khí. Sử dụng thiết bị có sẵn, xác định vị trí của các phân vùng và kích thước của chúng. Độ dày của các vách ngăn và tường của “hộp xám” có thể bỏ qua. Không cần phải ước tính lỗi.

Mô tả thiết bị

“Hộp màu xám” là một hộp hình vuông có độ dày nhỏ với các bức tường cứng màu xám đục. Hình 10 cho thấy thành bên của hộp. Ở một trong các góc của hộp có một lỗ A. Ở góc đối diện có một lỗ B, trong đó đặt một khớp quay có một ống trong suốt gắn vào. Ống nối và ống không thể tháo rời nhưng ống có thể xoay đến vị trí 1 hoặc vị trí 2. Ống tiêm y tế có thể tích 100 ml có giá trị chia là 1 ml. Kim tiêm. Một dải giấy vẽ có chiều rộng 1 cm và chiều dài 15 cm. Một ly nhựa (thể tích 200 ml) chứa chất lỏng có màu không làm ướt ống và thành hộp. Ly nhựa rỗng (thể tích 200 ml). Kéo văn phòng phẩm. Một cuộn băng keo nhỏ.

Bạn được yêu cầu xử lý các phép đo dưới đây và đưa ra kết luận. BẰNG

Viền khoảng cách giữa các đường chấm, cũng như từ các đường chấm đến thành hộp. Tất cả các khoảng cách này đều là 10 mm. Kinh nghiệm số 2. Để đo đường kính ngoài của ống, hãy đo chu vi của nó. Để làm điều này, hãy quấn một dải giấy vẽ quanh ống và thực hiện 2 lượt. Chiều dài phần vết thương của tờ giấy là 8,9 cm. Thí nghiệm số 3. Để đo đường kính trong của ống, rút chất lỏng vào ống tiêm, sau đó gắn ống tiêm (không có kim) vào ống và ép một phần chất lỏng vào ống để chất lỏng tạo thành một hình trụ đặc không có bọt khí. Thể tích chất lỏng vắt ra là 8 ml. Sử dụng một dải giấy vẽ đồ thị, đo chiều dài của phần ống chứa đầy chất lỏng. Nó bằng 8,0 cm. Thí nghiệm số 4. Đặt chiếc hộp lên một chiếc bàn nằm ngang sao cho mũi tên vẽ trên đó hướng lên trên (Hình 11, a). Chúng ta lấy 100 ml chất lỏng cho vào ống tiêm và đổ vào hộp theo từng phần qua lỗ A sao cho mỗi phần mực nước trong ống tăng thêm 5 mm. Chúng ta sẽ đo mức h của chất lỏng trong ống từ thành dưới cùng của hộp bằng cách sử dụng một dải giấy kẻ ô vuông dán vào hộp. Chúng ta sẽ nhập số đo thu được $h V_{4}$ vào bảng. Nếu với thể tích chất lỏng trong hộp tăng đủ lớn mà mực trong ống không thay đổi thì chúng ta viết vào bảng hai giá trị cực trị của thể tích tương ứng với mức này. Kinh nghiệm số 5. Đổ hết chất lỏng ra khỏi hộp. Đồng thời, chúng tôi lưu ý rằng sau khi lật hộp lại, không phải tất cả đều chảy ra ngoài.

Thế Vận Hội

đặt hộp như thí nghiệm số 6 (Hình 11, d). Chúng ta sẽ nhập dữ liệu thu được $h V_{7}$ vào bảng. Chất lỏng M. Karmanov. Để chiết hết chất lỏng ra khỏi hộp, bạn cần nghiêng hộp ở các góc khác nhau và lắc. Qua âm thanh, chúng ta có thể biết rằng chúng ta đã đổ hết chất lỏng ra khỏi hộp. Chúng ta hãy lắp hộp theo cách tương tự như trong thí nghiệm số 4. Bây giờ chúng ta sẽ đổ chất lỏng qua lỗ B nơi lắp ống vào (Hình 11, b). Để làm điều này, lấy 100 ml chất lỏng vào ống tiêm, đặt một cây kim vào đó và cẩn thận dùng kim đâm vào đáy ống ở phía dưới. Bằng cách này, chúng tôi có thể đưa chất lỏng đến tận đáy ống. Chúng ta hãy loại bỏ sự phụ thuộc tương tự $h V_{5}$ – mức chất lỏng trong ống vào thể tích chất lỏng đổ vào. Chúng ta sẽ nhập dữ liệu thu được vào một bảng. Kinh nghiệm số 6. Lấy hết chất lỏng ra khỏi hộp một lần nữa. Bịt kín lỗ trên ống bằng băng dính. Hãy đặt hộp sao cho mũi tên chỉ sang phải và ống nằm ở vị trí 2 (Hình 11, c). Lặp lại các bước tương tự như thí nghiệm số 4, đổ chất lỏng qua lỗ A.

Lớp 11 Bài toán 1. Gia tốc khi tắt nguồn (12 điểm) Hai vỏ dẫn điện giống hệt nhau hình trụ có lỗ nhỏ trên một trục chung tạo thành một tụ điện có điện dung C (Hình 12). Một quả cầu mang điện tích q được giữ ở tâm của vỏ bên trái. Tổng điện tích của toàn bộ hệ thống, bao gồm cả điện tích của quả bóng, bằng không. Tụ điện được tích điện bằng cách nối với nguồn có điện áp U, sau đó rút $отключа-^{Рис.} 12$ ra khỏi nguồn và quả bóng được thả ra. Quả bóng bắt đầu di chuyển dọc theo trục và bay qua các lỗ, đi vào vỏ bên phải. Quả bóng sẽ có động năng bao nhiêu ở tâm của vỏ bên phải? Năng lượng này đạt cực đại ở mức nào và bằng bao nhiêu? Sự sinh nhiệt do dòng điện trong vỏ có thể bỏ qua. Bỏ qua trường trọng lực. I.Vorobiev

Bài toán 2. Mạch phi tuyến (12 điểm) Mạch điện (Hình 13, a) bao gồm một nguồn lý tưởng có $ЭДС^{E} 20$ V, một điện trở có điện trở R 5 Ohms, một cuộn dây có độ tự cảm L là 20 mH và điện trở bằng 0 và một phần tử phi tuyến, đặc tính dòng điện-điện áp của nó được trình bày trong Hình 13, b $( I_{0} 3$ A). Ban đầu chìa khóa mở, trong mạch không có dòng điện. Sau một thời gian dài đóng công tắc, điện trở sẽ toả bao nhiêu nhiệt lượng? A.Uymin

Chúng ta sẽ nhập dữ liệu thu được $h V_{6}$ vào bảng.

Kinh nghiệm số 7. Một lần nữa, lấy hết chất lỏng ra khỏi hộp và lặp lại thí nghiệm số 5, nhưng

Hình 13

KVAN T 2021/№3

Bài toán 3. Chớp sáng trong một khối lập phương (12 điểm) Trong một khối lập phương có chiết suất n 2, một nguồn điểm phát ra một chùm sáng ngắn hạn, ánh sáng từ đó phân tán đều theo mọi hướng. Ánh sáng không bị hấp thụ bởi chất của khối lập phương. Phần K của năng lượng bùng phát ra bên ngoài có thể nhận những giá trị nào, tùy thuộc vào vị trí của nguồn bên trong khối? Cho biết tại vị trí nào của nguồn thì phân số này nhỏ nhất, tại đó nó lớn nhất và bằng bao nhiêu. Khi ánh sáng chiếu vào một bề mặt, một phần năng lượng của nó, tùy thuộc vào góc tới, sẽ bị phản xạ và một phần đi qua bề mặt đó.

Ghi chú. Đối với lời giải bạn có thể cần công thức tính diện tích bề mặt của một đoạn hình cầu: S = 2 S Rh trong đó R là bán kính của hình cầu và h là chiều cao của đoạn đó.

A. Apollonsky

Bài toán 4. Xác định nhiệt dung bay hơi riêng của nitơ lỏng (14 điểm) Nitơ lỏng đổ vào bình xốp sẽ bay hơi do trao đổi nhiệt với môi trường và khối lượng của nó giảm đi. Khi một ống trụ nhôm ở nhiệt độ phòng được ngâm trong nitơ lỏng, nitơ bắt đầu sôi tích cực và cường độ bay hơi của nó tăng lên. Khối lượng M của bình chứa nitơ lỏng được ghi lại bằng cân điện tử. Các chỉ số thang đo tùy thuộc vào thời gian được hiển thị trong bảng:

Hình 14

Nhiệt dung riêng của nhôm phụ thuộc vào nhiệt độ. Đồ thị của sự phụ thuộc này được trình bày trên Hình 14. Khối lượng của hình trụ là $m_{Al} 69$ g, khối lượng ban đầu của bình chứa nitơ là M250 g, nhiệt độ phòng là 23 q C. Nhiệt độ sôi của nitơ lỏng là 196 q C. Sử dụng kết quả đo sự phụ thuộc của khối lượng nitơ vào thời gian và đồ thị nhiệt dung riêng của nhôm vào nhiệt độ, xác định nhiệt dung bay hơi riêng của nitơ O. Do thời gian hoàn thành có hạn nhiệm vụ Không cần ước tính sai số khi xác định O, nhưng độ chính xác của kết quả trung gian và kết quả cuối cùng của bạn sẽ được tính đến khi ấn định điểm. A. Apollonsky

Ấn phẩm được biên soạn bởi V. Slobodyanin

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP

«Kvant» cho học sinh nhỏ

(xem «Kvant» số 2)

( 4 ¥ 2 ) + 9 = 17. Vì phép toán 8 - 2 cho $результат^{4,}$ nên “–” biểu thị phép chia và vì $5^{1}$ cho $результат^{4,}$ nên “+” biểu thị phép trừ. Điều này có nghĩa là “¥” có nghĩa là phép cộng và sau đó “:” có nghĩa là phép nhân. 2. 42. Cạnh của hình vuông màu xanh là $равна^{2,}$ nên cạnh của hình chữ nhật màu đen là $равны^{2} и^{4.}$ Diện tích của hình chữ nhật màu trắng-đen-xanh là 36, cạnh dọc của nó là $сторона^{2} 4 6.$ Vậy nó là hình vuông và cạnh ngang của nó cũng là 6. Hình vuông màu đỏ có $сторону^{7,}$ nghĩa là cạnh của toàn bộ khung vẽ là $6^{7} 13.$ Cuối cùng là diện tích của màu xám hình chữ nhật là hiệu giữa diện tích của “nửa” bên phải của khung vẽ và hình vuông màu trắng-đen-xanh: 6 ◊ 13 - 36 = 42. 3. Để giải bài toán, chỉ cần nhìn đúng là đủ. Thay vì băn khoăn mỗi ngày nên mua bao nhiêu quả chuối, chúng ta hãy chọn ngày nào để mua một quả chuối nhé! Để làm điều này, bạn cần chọn mức giá thấp nhất trong số bốn ngày: ngày hiện tại và ba ngày trước đó (nếu những ngày trước đó ít hơn ba thì chúng tôi chỉ xem xét những ngày tồn tại). Đối với mỗi ngày trong sơ đồ (Hình 1), mũi tên chỉ mức giá thấp nhất hiện có. tương ứng

Hình 1

Vì vậy, mỗi ngày bạn nên mua số lượng chuối bằng số mũi tên chỉ vào giá dưới ngày đó. Chúng tôi nhận được đáp số:

Khi đun nóng, cạnh của hình vuông tăng 0,5 mm và cạnh của hình chữ nhật tăng 0,5 mm $и^{1,5}$ mm. Bạn có hiểu tại sao các tấm lại lan rộng ra không? Tất nhiên, mọi người đều thấy rõ rằng khi nóng lên, các tấm nở ra và khi nguội đi, chúng co lại; Bí quyết nằm ở chỗ điều này xảy ra ở điểm nào! Khi được làm nóng, hình vuông và hình chữ nhật hoạt động giống như một hình chữ nhật lớn và nở ra so với tâm O của hình chữ nhật lớn này (Hình 2, a). Chúng ta hãy biểu thị cạnh của hình vuông là a và phần mở rộng của nó là ’ a. Khi đó tâm hình vuông O 1 sẽ di chuyển ra xa điểm O một đoạn

Hình 2

3 ’ a 2 và tâm của hình chữ nhật O 2 nằm trên ’ a 2 (vì độ dài của đoạn $OO_{1}$ là 3 a 2 và độ dài của đoạn $OO_{2}$ là a 2). Khi nguội đi, hình vuông và hình chữ nhật co lại thành những hình riêng biệt so với tâm của chúng. Điểm $O_{1}$ và $O_{2}$ giữ nguyên cố định và khoảng cách giữa chúng không thay đổi. Tổng cộng, là kết quả của hai quá trình, khoảng cách giữa tâm của các hình tăng thêm 2 ‘a. Đây là kích thước của khe hở, vì vậy ’ a = 0,5 mm. Bây giờ chúng ta có thể xây dựng công thức cuối cùng đáp số: khi đun nóng, các cạnh của hình vuông tăng 0,5 mm và các cạnh của hình chữ nhật tăng 0,5 mm và 1,5 mm.

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

(xem «Kvant» số 1)

a) Không thể được; b) có thể được. a) Chúng ta hãy đảm bảo rằng mọi cách sắp xếp các số từ $1 до^{2021}$ trong một vòng tròn đều có hai số liền kề có tổng bằng một hợp số. Chỉ cần tìm các số lẻ lân cận là đủ (tổng của chúng ít nhất là 1 3 4 và số chẵn, số đó là hợp số). Nhưng chúng ta có 1011 số lẻ và ít hơn 1010 số chẵn, nên sau một số lẻ theo chiều kim đồng hồ sẽ có một số lẻ. b) Lưu ý rằng $что^{2027} и^{2029}$ là các số nguyên tố khác với $на^{2}$ (chúng được gọi là “anh em sinh đôi”). Hãy viết thành một vòng tròn theo chiều kim đồng hồ theo thứ tự tăng dần các số lẻ từ $5 до^{2021,}$ và viết giữa chúng theo chiều kim đồng hồ theo thứ tự giảm dần các số chẵn $от^{2022}$ đến 6 (dễ dàng đảm bảo rằng các số chẵn và số lẻ này bằng nhau). Bạn sẽ nhận được “chuỗi” này:

5 2022 7 2020 9 2018… 2019 8 2021 6

Trong chuỗi này, tổng của hai số liền kề lần lượt bằng $то^{2027,} то^{2029}$ – tức là các số nguyên tố. Và chúng tôi đã sử dụng tất cả các số tự nhiên từ $5 до^{2022.}$ Vẫn còn cách bằng cách nào đó ép các số từ 1 đến 4 vào giữa các số cực trị của chuỗi (tức là 5 và 6) để “vòng tròn được đóng lại”. Thật dễ dàng:

$... 5^{2} 3 4 1 6...$