Kvant 2023, số 10 · Trang

6

KV ANT 2023/№10

màu b, nhưng không có cạnh nào được tô màu a. Xét một đường đi có độ dài tối đa (không có các cạnh lặp lại) bắt đầu từ x, trong đó các cạnh màu b và các cạnh màu xen kẽ nhau. Vì có nhiều nhất một cạnh của một màu nhất định xuất phát từ mỗi đỉnh nên chỉ có một đường đi như vậy. Nếu chúng ta hoán đổi màu của các cạnh a và b dọc theo đường đi này, chúng ta sẽ có được màu khác của các cạnh của G không có đỉnh v, G lại chỉ sử dụng các màu 1, 2, …, m. Trong trường hợp này, trong cọc tương ứng $S_{x}$ quân bài a được thay thế bằng quân bài b từ bộ bài. Nếu đường đi không kết thúc ở đỉnh liền kề với v thì không có ngăn xếp nào khác bị thay đổi (tức là con quỷ đã lỡ lượt của mình). Giả sử rằng đường đi kết thúc tại một đỉnh liền kề với v và ký hiệu là y. Khi đó y không phải là x, vì x không có cạnh màu a và chỉ có một cạnh màu b. Nếu G là đồ thị hai phần thì độ dài của đường đi đang xét là chẵn, vì nếu không thì đường đi này, cùng với cạnh vx và cạnh vy, sẽ tạo ra một chu trình có độ dài lẻ. Do đó, vì đường dẫn bắt đầu bằng cạnh màu b nên nó phải kết thúc bằng cạnh màu a. Thay đổi màu sắc dọc theo đường dẫn tương ứng với việc thay thế một lá bài b trong cọc $S_{y}$ bằng một lá bài a từ bộ bài. Chúng ta thấy rằng sự thay đổi màu sắc của các cạnh dọc theo đường đi trong đồ thị lưỡng cực tương ứng với nước đi của người chơi, theo sau là nước đi của quỷ Koenig. Nếu G không phải là lưỡng cực thì cạnh cuối cùng của đường đi của chúng ta có thể được tô màu a hoặc màu b và do đó, sự thay đổi màu của các cạnh dọc theo đường đi tương ứng với nước đi của người chơi, tiếp theo là nước đi của Weezing. Bây giờ giả sử rằng một trong các định lý là sai. Xét một đồ thị có số đỉnh tối thiểu mà định lý không đúng. Vì đồ thị chỉ có một đỉnh không có cạnh nên nó có thể được tô bằng 0 màu. Do đó G có ít nhất hai đỉnh. Cho v là một đỉnh có bậc k và trong G không có đỉnh nào có bậc lớn hơn k (vì vậy k là giá trị lớn nhất

bậc của các đỉnh trong G). Điều kiện tối thiểu trên G ngụ ý rằng việc loại bỏ đỉnh v sẽ tạo ra một đồ thị có thể được tô màu bằng m màu, trong đó m bằng k đối với định lý König và m bằng k 1 đối với định lý Viesing. Khi đó với mỗi hàng xóm x của v có m 1 d thẻ trong ngăn xếp $S_{x}$, trong đó d là số hàng xóm của x. Vì d d k, đây ít nhất là m 1 k thẻ, tức là ít nhất một bản đồ cho định lý König và ít nhất hai bản đồ cho định lý Viesing. Sau khi chơi trò chơi k, người chơi sẽ thu thập được một bộ k thẻ chiến thắng có giá trị khác nhau, lấy một thẻ từ mỗi cọc. Sau đó tô màu các cạnh phát ra từ v bằng màu với số của các thẻ này sẽ cho ra màu cạnh của G bằng m màu. Sự mâu thuẫn. Do đó, cả hai định lý đều đúng!

Văn học

1. D.König. Ma trận là tốt. – Matematikai es Fizikai Lapok, tập 38, 1931, tr.116–119. 2. V.G.Vising. Về việc ước tính lớp màu sắc của đồ thị p. Phân tích rời rạc. – Novosibirsk: Viện Toán học Chi nhánh Siberia của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, 1964, tập. 3, trang 25–30. 3. M. Stiebitz, D. Scheide, B. Toft và L. M. Favr-holdt. Tô màu cạnh đồ thị: Định lý Vizing và Giả thuyết Goldberg. – Wiley, 2012. 4. A. Ehrenfeucht, V. Faber và H. A. Kierstead. Một phương pháp mới chứng minh định lý về chỉ số màu. – Toán rời rạc, tập. 52, 1984, số 2–3, tr.159–164. 5. A. Schrijver. Tối ưu hóa tổ hợp: Khối đa diện và hiệu quả. Tập.A. – Springer Verlag, 2003. 6. P. Hall. Về đại diện của tập hợp con. – Tạp chí của Hiệp hội Toán học Luân Đôn, tập 10, 1935, tr.26–30. 7. M. Bashmanov. Sự phù hợp và mạng lưới giao thông. – «Kvant», 1970, số 4. 8. L. Rabern. Một trò chơi tổng quát hóa định lý Hall. – Toán rời rạc, tập 320, 2014, tr.87–91; arXiv:1204.0139.

8

KVANT 2023/№10

được đặt giữa các tấm kim loại. Màng dẫn điện được dán lên bề mặt của những bộ phận này, hoạt động như các tấm. Tuy nhiên, từ quan điểm của công thức cơ bản về năng lực, điều này không thành vấn đề. Đối với phương pháp thứ hai, H phụ thuộc vào mọi thứ, chẳng hạn như nhiệt độ, do đó, một tụ điện có chất điện môi có thể được sử dụng làm nhiệt kế. Nhưng thật bất tiện khi điều khiển tụ điện thông qua nhiệt độ - những thay đổi sẽ quá chậm (chúng có thể được tăng tốc như thế nào và bao nhiêu - mức bài toán tốt, nhưng hơi vượt quá ngưỡng trường học). Bạn có thể nghĩ xem hiệu suất của cảm biến phụ thuộc vào những thông số nào (có thể đặt tên ba thông số cùng một lúc). Đối với các thiết bị điện tử hiện đại, việc sử dụng điện áp để điều khiển là điều tự nhiên nhất. Và ở đây chúng ta thật may mắn - có những chất trong đó H phụ thuộc vào cường độ trường. Đây là những chất sắt điện, và có những tụ điện có chất điện môi như vậy - các biến thể, được thiết kế đặc biệt để điều khiển điện dung. Hơn nữa, có thể xảy ra hai tình huống: khi tụ điện cuối cùng được điều khiển (trực tiếp hoặc thông qua điện áp) bởi một người và khi tín hiệu điều khiển được tạo ra bởi một thiết bị hoặc mạch điện. Trong trường hợp thứ hai, độ ổn định của các thông số của các tụ điện này (ví dụ, khi thay đổi nhiệt độ) có thể không kém phần quan trọng so với các tụ điện cố định. Nếu một người kiểm soát thì tình hình có thể đơn giản hơn; sự ổn định tạm thời và sự phụ thuộc yếu vào nhiệt độ có thể ít quan trọng hơn. Bởi vì chúng ta vẫn sẽ thay đổi các thông số của chúng trong quá trình làm việc (tất nhiên, nếu thang đo được đánh dấu với độ chính xác cao thì sẽ nảy sinh một vấn đề - các vạch chia của thang đo sẽ không còn tương ứng với những gì ghi trên chúng nữa). Nhưng tụ điện biến đổi có thông số mới. Thông số “công suất” của chúng không phải là một giá trị mà là hai giá trị: tối thiểu và tối đa. Tiếp theo, độ trơn tru của quy định là quan trọng - sự hiện diện và cường độ của các bước nhảy cũng như loại sự phụ thuộc của lực cản vào chuyển động - tuyến tính

Cơm. 1. Tụ điện, tấm biến thiên - phần hình tròn, cung

hoặc một số khác. Ngoài các thông số này, đối với các tụ điện thay đổi, độ mài mòn của bề mặt cọ xát và độ ổn định của tiếp điểm trong quá trình rung và sốc tất nhiên có thể là đáng kể. Và, tất nhiên, tất cả các vấn đề chung - sự phụ thuộc vào điều kiện vận hành (nhiệt độ, áp suất, độ ẩm), tuổi thọ sử dụng, độ tin cậy, trọng lượng, kích thước, chi phí (và đây không phải là toàn bộ danh sách). Hình 1 cho thấy một tụ điện biến thiên trong đó các bản là các cung, bán kính của chúng không đổi. Do đó, diện tích “che phủ” của các tấm phụ thuộc tuyến tính vào góc quay và công suất phụ thuộc gần như tuyến tính. Nhân tiện, tại sao nó lại được nói là “xấp xỉ”, tức là tại sao và phi tuyến tính như thế nào? Hơn nữa, bạn có thể dễ dàng tìm ra “tại sao”, nhưng bạn chỉ có thể tính toán rất gần đúng.

P

N

Cơm. 2. Ở bên phải - hai tụ điện biến thiên trên cùng một trục quay

9

BIẾN ĐỔI

Hình 2 cho thấy hai tụ điện có thể thay đổi, điện dung của chúng thay đổi khi quay trục gắn các tấm tụ điện. Ở tụ điện bên trái, các bản mỏng hơn có thể di chuyển được (P) “chạy” lên bản dày cố định (H), tức là thay đổi $площадь^{S,}$, được đưa vào công thức tính điện dung của tụ điện. Hãy chú ý đến hình dạng của các tấm của tụ điện bên phải - đây không phải là các cung, như trong trường hợp trước, tức là người thiết kế rõ ràng muốn có được một số sự phụ thuộc khác của điện dung vào góc quay. Bạn nghĩ gì, cái nào và tại sao? (Gợi ý - hãy nhớ công thức Thompson.) Trong Hình 3, chúng ta thấy hai bộ, mỗi bộ có 4 tụ điện. Các tụ điện phía dưới (trong hình), trong đó tất cả các tấm di động (12 miếng) được lắp trên một trục chung, là các tụ điện thông thường có sự thay đổi về diện tích chồng lên nhau của các tấm. Đối với các tụ điện phía trên, các tấm cố định được ký hiệu là H (chúng có các tấm chung với các tụ điện phía dưới), và các tấm di động được ký hiệu là P. Đây là những tụ điện cắt, chúng còn được gọi là “tông đơ”, từ $английского^{trim}$ - để sắp xếp (điện trở cắt cũng được gọi như vậy). Công suất của tông đơ rất hiếm khi thay đổi, thường là trong quá trình thiết lập thiết bị ban đầu và có thể trong quá trình sửa chữa và thay thế một số bộ phận (ví dụ: ống chân không). Các tông đơ trong Hình 3 khác nhau ở chỗ chúng không thay đổi diện tích che phủ của các tấm mà thay đổi khoảng cách giữa chúng.

N

P

P

N

Cơm. 3. Tụ điện – bốn thường, bốn tông đơ (tông đơ)

Cơm. 4. Tụ điện tông đơ, tấm trên – di chuyển được

Nhìn chung, tình trạng thay đổi khoảng cách khá hiếm nên chúng tôi sẽ đưa ra một ví dụ khác. Đối với tụ điện trong Hình 4, tấm trên cùng di chuyển gần về phía dưới hơn khi vít được siết chặt. Mọi thứ “có thể điều chỉnh” đều có một số khác biệt quan trọng so với “có thể thay đổi”. Khi kết thúc điều chỉnh, giá trị phải được cố định (tự nó hoặc bởi một phần đặc biệt) và trong tương lai, giá trị này sẽ không tự thay đổi. Nhưng tông đơ không bắt buộc phải có khả năng thay đổi giá trị của điện dung hoặc điện trở nhiều lần và phạm vi thay đổi cần thiết thường nhỏ hơn. Đối với tất cả các tụ điện biến thiên, độ trơn của sự thay đổi điện dung là quan trọng; nó được xác định bởi độ trơn khi quay của trục vít hoặc trục (đối với trục, chất lượng của ổ trục). Trong mô hình ma sát trường học đơn giản, khi lực ma sát tĩnh cực đại bằng lực ma sát chuyển động thì khi chuyển động không có bước nhảy. Trên thực tế, mọi thứ phức tạp hơn và trong thực tế có thể có những bước nhảy vì lực ma sát tĩnh tối đa lớn hơn. Nếu bạn đã từng di chuyển một vật nặng, thì bạn sẽ nhận thấy rằng di chuyển nó khó hơn kéo nó (đây gần như là một trường học bài toán - tại sao di chuyển lại dễ hơn kéo). Nhưng hệ thống truyền chuyển động trong tụ điện biến thiên được thiết kế để đảm bảo chuyển động trơn tru.

11

BIẾN ĐỔI

nếu khoảng trống giữa các tấm không chứa chất điện môi thì sẽ có nguy cơ các tấm chạm vào nhau - điều này được xác định bởi độ chính xác khi chế tạo, độ cứng của các tấm và độ rung. Vì vậy, khoảng cách giữa các tấm phải được chọn sao cho chúng không chạm vào nhau trong quá trình hoạt động. Nếu tụ điện được thiết kế để làm việc với điện áp cao thì khoảng cách này cũng phụ thuộc vào điện áp. Ví dụ, giả sử cường độ đánh thủng của không khí là 30 kV cm và độ lệch có thể có của các tấm là 0,5 mm. Khi đó, không thể tạo khe hở nhỏ hơn 1 mm ở bất kỳ điện áp nào, nhưng ở điện áp, chẳng hạn như 3 kV, bạn sẽ phải tạo khe hở 2 mm. Để tránh các vấn đề khi các tấm chạm vào nhau, một màng điện môi mỏng đôi khi được chèn vào khe hở giữa các tấm. Nếu màng mỏng không ảnh hưởng đến công suất mà còn bảo vệ nó khỏi chạm vào các tấm đối diện. Trong một số sách giải toán bạn gặp bài toán - điện dung của tụ điện là bao nhiêu trong đó có thêm một tấm dẫn điện hoặc tấm điện môi giữa các bản, tất cả các bề mặt đều song song, hiệu ứng cạnh bị bỏ qua. bài toán này không đáng kể, nhưng nếu tấm phụ bị nghiêng thì sao? Và nhân tiện, tấm được đưa vào ảnh hưởng như thế nào đến cường độ điện, tức là đối với điện áp đánh thủng? Tất cả cùng nhau là

Cơm. 5. Tụ điện tông đơ có chất điện môi

lớn bài toán, một số phần đơn giản, một số khá phức tạp. Có những tụ điện biến đổi trong đó toàn bộ không gian giữa các bản được lấp đầy bằng chất điện môi, như trong tụ điện không đổi. Nhưng có một sự khác biệt giữa chúng không ảnh hưởng đến điện dung - trong các tụ điện biến thiên, các tấm và chất điện môi vẫn không thể được kết nối bằng cách hàn hoặc phún xạ, chúng không thể là một khối duy nhất, chúng phải trượt lên nhau. Hình 5 cho thấy một tụ điện điều chỉnh có chất điện môi, được lắp ráp ở bên trái, được tháo rời ở bên phải và phần trên (chuyển động) được hiển thị hai lần - ở trên cùng ở vị trí tiêu chuẩn, ở dưới cùng - ở vị trí đảo ngược. Có thể thấy rằng một trong các tấm là một lớp kim loại được phủ lên bề mặt của bộ phận đứng yên, còn tấm thứ hai không nhìn thấy được - nó được dán lên bề mặt bên ngoài của bộ phận chuyển động, nhưng được phủ một lớp sơn. Tụ điện có chất điện môi rắn, các thành phần khác không đổi, có điện áp cho phép cao hơn, vì cường độ điện của chất điện môi lớn hơn độ bền điện của không khí và điện trở đủ cao để bỏ qua dòng điện rò rỉ. Nhưng, thứ nhất, không phải lúc nào cũng vậy, thứ hai, chúng ta không biết mọi thứ về độ bền điện của chất điện môi, thứ ba,

12

KV ANT 2023/№10

Cơm. 6. Tụ điện tông đơ có tấm hình trụ, phía trên tự chế, phía dưới sản xuất tại nhà máy. Đối với những cái tự chế, cái bên trái ở vị trí công suất tối đa và khối tấm di động bên phải được loại bỏ hoàn toàn

Một tụ điện không đổi với chất điện môi có lớp chuyển tiếp giữa tấm và chất điện môi, trong khi tụ điện biến thiên với chất điện môi chỉ có một khe hở nhỏ, kích thước micron nhưng không khí. Và ở công ty này, mọi người đều cư xử khó khăn hơn những người khác. Vì vậy, bạn sẽ không cảm thấy nhàm chán nếu không có bài toán – thể chất thực sự bài toán. Cho đến thời điểm này, chúng ta đã xem xét các tụ điện có tấm phẳng. Nhưng thế giới tụ điện không chỉ giới hạn ở chúng. Nói chung, hai dây dẫn bất kỳ (nếu người có mỏ hàn đặt hàng) đều có thể trở thành tụ điện; Bạn còn nhớ khái niệm “điện dung lẫn nhau” không? Và thậm chí một nhạc trưởng cũng có thể làm được điều này; Bạn còn nhớ khái niệm “khả năng của một cơ thể đơn độc” không? Hơn nữa, trong công nghệ điện áp cao

Không có cơ thể đơn độc như vậy. Nhưng lịch sử của công nghệ được cấu trúc theo cách thuận tiện hơn khi làm việc không phải với bất kỳ loại vật thể nào mà là với những vật thể hình trụ. Hình 6 cho thấy các tụ điện có tấm hình trụ di chuyển khi quay. Nếu bằng một phép lạ nào đó, bạn nhớ được phương trình điện trường giữa các điện cực hình trụ, thì bạn sẽ nhận được ngay công thức tính điện dung. Tất nhiên, chúng tôi bỏ qua các hiệu ứng biên và việc tính đến chúng là bài toán có thể giải được, nhưng không phải là tiêu chuẩn; chúng tôi chỉ có thể nhận được một ước tính. Trong Hình 7, chúng ta thấy hai ví dụ về cách triển khai khác của hình học hình trụ. Một trong các điện cực là hình trụ, điện cực còn lại là vít (tự nhiên cũng là hình trụ), đồng trục với hình trụ; khi quay, vít di chuyển dọc theo trục. Có một sự khác biệt cơ bản ở đây, xét từ quan điểm tĩnh điện, so với các ví dụ trước. Kích thước của vít và vị trí của nó sao cho toàn bộ sự thay đổi điện dung xảy ra trong vùng hiệu ứng cạnh. Do đó, phép tính “trường học”, thường có thể thực hiện được ở đây, không hoạt động với các kích thước cụ thể này. Tuy nhiên, tình huống này không ngăn cản các tụ điện này hoạt động. Nhân tiện, có hai câu hỏi. Đầu tiên: làm thế nào người ta có thể tạo ra một tụ điện hình trụ bằng một ốc vít không hoạt động do hiệu ứng cạnh? Thứ hai: làm thế nào trong trường hợp này người ta có thể thực hiện sự phụ thuộc phi tuyến của điện dung vào góc

Cơm. 7. Tụ điện hình trụ có vít, hai cách thực hiện

15

BIẾN ĐỔI

độ dẻo (Chú ý đến sự thay đổi độ cao của các vòng rẽ - bạn nghĩ tại sao điều này được thực hiện?) Thiết kế này có một khu vực có vấn đề - chính xác là điểm tiếp xúc này. Như bạn đã biết, các điểm tiếp xúc trượt có thể hoạt động không tốt khi xử lý dòng điện cao. Cách thứ hai là di chuyển các cuộn dây. Đây là con đường cổ nhất, có tuổi đời khoảng một thế kỷ. Có vẻ như cách dễ nhất là sử dụng thứ gì đó giống như lò xo làm độ tự cảm - khi nó bị nén, các vòng dây sẽ di chuyển lại gần nhau hơn và độ tự cảm tăng lên. Tuy nhiên, những thiết kế như vậy đã không được sử dụng - rất khó để đảm bảo rằng các vòng quay được cố định và chuyển động một cách có kiểm soát, và nếu chúng được để tự do, độ tự cảm như vậy sẽ phản ứng với các rung động và va đập và thường phụ thuộc vào vị trí của thiết bị trong không gian. Có thể cuộn dây đã được chia thành hai, chúng nằm trên cùng một trục và có thể di chuyển ngày càng gần nhau. Nhưng một biến thể có hai cuộn dây đã được sử dụng - một cuộn dây bên trong cuộn dây kia, các cuộn dây được bật nối tiếp và cuộn dây bên trong quay (Hình 14). Nếu chiều dòng điện trong các cuộn dây trùng nhau thì độ tự cảm tăng; nếu cuộn dây quay 180° và dòng điện chạy theo hướng ngược lại thì độ tự cảm giảm đáng kể. Tình huống này được thực hiện mà không có công tắc và tiếp điểm, điều này có thể nghiêm trọng trong trường hợp dòng điện cao. Trong trường hợp hai cuộn dây cùng trục thì dòng điện phải đổi chiều

công tắc. Nếu chúng ta giải quyết vấn đề bài toán này không phải bằng cách quay các cuộn dây mà bằng cách đưa chúng lại gần và xa hơn, thì phạm vi thay đổi của độ tự cảm sẽ nhỏ hơn và kích thước sẽ lớn hơn. Các lựa chọn có thay đổi độ thấm từ - phương pháp thứ ba - có thể được chia thành hai nhóm. Độ thấm từ của sắt từ phụ thuộc vào cường độ từ trường và Hình 15 cho thấy một ví dụ về việc sử dụng sự phụ thuộc này. Tuy nhiên, có thể có một lựa chọn khác - một loại tụ điện tương tự có

M

VỚI

M

VỚI

Cơm. 15. Độ tự cảm thay đổi: M – nam châm vĩnh cửu, C – điện từ trên lõi sắt từ. Ở phía trên, nam châm được di chuyển ra khỏi cuộn dây, ở phía dưới, nó ở gần. Để di chuyển, hãy xoay bất kỳ ốc vít nào - trái và phải

Cơm. 14. Tùy chọn với hai cuộn dây: bên trái – 1926, bên phải – cuộn sau

một chất điện môi di động và có hai phương án thiết kế phổ biến. Một loại chỉ đơn giản là một cuộn dây có lõi sắt từ được lắp vào. Trong một phiên bản khác, nó là một cuộn dây đã được bao quanh bởi một nam châm sắt ở tất cả các phía, nhưng có một kênh dọc theo trục và một vít sắt từ bổ sung được vặn vào đó, giúp tăng độ tự cảm. Tùy chọn này được hiển thị trong Hình 16 - cuộn dây được đưa vào kênh hình khuyên.

Bài toán trong toán học và vật lý

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2766, M2768 được đưa vào trại huấn luyện dành cho thí sinh vào đội tuyển Olympic Toán Quốc tế. Bài toán F2773 đã được cung cấp tại Olympic Trường Quốc tế “Tuymaada” vào năm 2023 và bài toán F2774-F2776 vào năm 2022.

Bài toán M2766–M2769, F2773–F2776

M2766. Cho số tự nhiên n. Trường “Master Sudoku” đại diện cho $собой^{n} n 1 2$ ô $квадрата^{n} u^{n}$ nằm trên hoặc bên dưới đường chéo chính. Thầy đoán n ô của trường này, mỗi ô trong mỗi cột và cho học sinh biết mỗi hàng có bao nhiêu ô ẩn (học sinh cũng biết rằng có chính xác một ô ẩn trong mỗi cột). Học sinh có thể sử dụng thông tin này để khôi phục các ô được Master ẩn một cách đáng tin cậy. Master có thể tạo ra bao nhiêu loại Sudoku khác nhau? T. Amdeberhan, M. Rubi, F. Petrov

M2767. Dễ dàng chứng minh rằng trong một tam giác vuông, tổng bán kính nội tiếp và ba đường tròn ngoại tiếp bằng chu vi. Chứng minh rằng điều ngược lại cũng đúng. I. Weinstein

M2768*. Cho số tự nhiên n. Các số nguyên khác 0 riêng biệt theo cặp $a_{1},^{…}, a n$ sao cho số $x_{1}^{a} x_{2}^{a} …^{…} x^{a} n$ chia hết cho $число_{1}^{a} a_{2}^{…} a n$ với mọi $целом^{x.}$ Tìm giá trị lớn nhất có thể có của n. F. Petrov, K. Sukhov

M2769*. Đường tròn nội tiếp: tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA và

Cơm. 1

AB lần lượt tại các điểm D, E và F (Hình 1). Cho đường tròn Z tiếp xúc với các đoạn CA và AB lần lượt tại các điểm Q và R, chọn các điểm M và N lần lượt trên các đoạn AB và AC sao cho các đoạn CM và BN tiếp xúc với Z. Các phân giác của các góc NBC và MCB lần lượt cắt các đoạn DE và DF tại các điểm K và L. Chứng minh hai đường thẳng RK và QL cắt nhau tại Z. Trần Quang Hưng (Việt Nam)

F2773. Một lò xo không trọng lượng có số vòng lớn nhưng ban đầu chỉ có N? 1 vòng có thể biến dạng, các vòng còn lại được gắn chặt với nhau. Tải trọng tác dụng lên lò xo này làm chuyển động tự do

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo về lời giải toán học bài toán. Các nhiệm vụ được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh bắt đầu từ lớp 8–9 và chúng tôi khuyên các học sinh nhỏ tuổi hơn nên thử sức mình trong cuộc thi tạp chí «Kvant» (xem trang web kvantik.com). Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý đến địa chỉ: savin.contest@gmail.com. Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường và lớp nơi bạn học. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được xuất bản trên Sites.google.com/view/savin-contest Chúng tôi chúc bạn thành công!

5. Mười lăm thùng được đặt dưới dạng hình tam giác (Hình 1) và được bao phủ bởi một vòng đai. Mười sáu thùng đã được cung cấp

Cơm. 4

Cơm. 2

Cơm. 1

hoặc ở dạng hình vuông 4 u 4 (Hình 2) và cũng được che bằng một vòng tròn. So sánh độ dài của các vòng này. P.Kozhevnikov

6. Có một ly cà phê chứa đầy $на^{2} 3,$ và cùng một ly sữa chứa đầy $на^{2} 3$. Được phép đổ qua lại bất kỳ lượng chất lỏng nào, trộn kỹ, nhưng bạn không thể đổ bất cứ thứ gì ra ngoài. Có thể lấy đồ uống làm từ sữa và cà phê theo tỷ lệ 1: 1 trong một trong các ly không? E. Smirnov

7. Vasya đã vẽ một hình có dạng hình vuông 15 u 15, trong đó có bốn lỗ được khoét thành hình vuông $3 u 3 (рис.^{3).}$

Cơm. 3

Vasya cắt hình này thành các hình, mỗi hình là một trong ba loại $(рис.^{4).}$ Được biết, trong hình cắt có số lượng hình thuộc loại $2 и^{3}$ bằng nhau. Có bao nhiêu hình của mỗi loại trong hình cắt? S. Kostin

8. a) Petya và Vasya chơi một trò chơi như vậy. Petya viết bất kỳ số nguyên nào lên bảng. Vasya không nhìn thấy bảng và mục tiêu của anh ấy là đoán xem hiện trên bảng có số nào. Trong một nước đi, Vasya nêu tên dự đoán của mình và nếu nó sai (nghĩa là nó không trùng với số trên bảng tại thời điểm đoán), thì Petya sẽ tăng số trên bảng lên 1, sau đó Vasya cố gắng đoán lại. Liệu Vasya có thể luôn hành động theo cách đảm bảo đoán được số trong một số nước đi hữu hạn không? b) Cùng một trò chơi và cùng một câu hỏi, nhưng bây giờ Petya sau mỗi nước đi có thể thay đổi số 1 theo ý mình (tăng hoặc giảm 1; số không được giữ nguyên). c) Cùng một trò chơi và cùng một câu hỏi, nhưng bây giờ Petya tăng số lên 1 khi số đoán của Vasya nhỏ hơn số hiện có trên bảng và giảm số đó đi 1 nếu số đoán của Vasya lớn hơn. A. Gaek (học sinh lớp 11)

TRƯỜNG KVANT

Định lý ba mặt phẳng

Y. BLINKOV

BÀI NÀY SẼ XEM XÉT một phát biểu quan trọng có thể được xây dựng và sử dụng ngay sau khi nghiên cứu các tiên đề của phép đo lập thể. Lưu ý rằng ở dạng định lý, nó chỉ có trong sách [1] và gắn liền với chủ đề “Sự song song của đường thẳng và mặt phẳng”. Đôi khi tuyên bố này xuất hiện (ở dạng đơn giản hóa hoặc công thức khác) ở dạng bài toán (ví dụ: xem [2], [3], [4]), nhưng người ta không tập trung chú ý vào nó. Chúng tôi sẽ cố gắng lấp đầy một phần khoảng trống này. Vì vậy, từ ngữ. Định lý ba mặt phẳng. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau dọc theo ba đường thẳng khác nhau thì ba đường thẳng này song song với nhau hoặc cắt nhau tại một điểm. Bằng chứng. Cho các mặt phẳng D và E cắt nhau dọc theo đường thẳng c, E và J – dọc theo đường thẳng a, D và J – dọc theo đường thẳng b. Vì mỗi cặp đường thẳng (ví dụ a và b) nằm trong cùng một mặt phẳng nên chúng cắt nhau hoặc song song. Nếu không có hai đường thẳng nào giao nhau (Hình 1), thì chúng song song từng cặp và điều kiện của định lý được thỏa mãn. Giả sử một số đường thẳng cắt nhau, ví dụ a và b cắt nhau tại điểm C (Hình 2). Khi đó điểm C thuộc hai mặt phẳng E và J vì nó thuộc chúng

Cơm. 2

giao lộ (đường a). Mặt khác, điểm này thuộc mặt phẳng D và J vì nó nằm trên đường thẳng b. Do đó, điểm C thuộc cả ba mặt phẳng, cụ thể là giao điểm của D và E, tức là đường thẳng s. Vậy các đường thẳng a, b, c song song hoặc cắt nhau tại một điểm, đây là điều cần chứng minh. Xin lưu ý rằng bằng chứng chỉ sử dụng thực tế là hai mặt phẳng cắt nhau trên một đường thẳng. Chúng ta hãy xem xét việc áp dụng định lý đã được chứng minh. Hãy bắt đầu bằng cách xây dựng các phần. Hãy giải quyết vấn đề tiếp theo bài toán. Bài toán 1. a) Cách dựng hình tứ diện ở Hình 3 có đúng không? b) Vẽ đoạn tứ diện PABC đi qua trung điểm của các cạnh PA, PC và AB. Lời giải. a) Xét ba mặt phẳng: PAC, ABC và mặt phẳng cắt. Theo định lý ba mặt phẳng, các đường thẳng giao nhau theo cặp của chúng song song hoặc cắt nhau tại một điểm. Cần lưu ý rằng cả bản vẽ này lẫn bản vẽ khác đều không được thực hiện trong bản vẽ này. Vì vậy, việc xây dựng đã được thực hiện không chính xác. b) Gọi M, K và N là điểm giữa của các cạnh (Hình 4). Hãy xem xét ba mặt phẳng:

Cơm. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20231003

Cơm. 3

Cơm. 4

29

TRƯỜNG HỌC

Bài tập 5. Chứng minh điều này.

Tuyên bố đã nêu cũng có thể được coi là một trong những trường hợp của định lý ba mặt phẳng, nếu chúng ta giả sử rằng hai mặt phẳng song song cắt nhau dọc theo một đường thẳng ở vô cực. Bây giờ chúng ta nhớ lại dấu hiệu thứ hai về tính song song của các mặt phẳng. Bài toán 5. Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng kia thì các mặt phẳng này song song. Lời giải. Chúng ta hãy ký hiệu các mặt phẳng D và E, và các đường thẳng nằm trong chúng lần lượt là a, b và a c, b c, sau đó là a P a c, b P b c. Giả sử a cắt b tại điểm O. Hãy chứng minh rằng D P E. Xét một mặt phẳng chứa a và a c, cũng như các mặt phẳng D và E. Nếu hai mặt phẳng D và E cắt nhau thì dọc theo đường thẳng c song song với a và a c (xem bài toán 2). Xét mặt phẳng đi qua các đường thẳng b và b c, ta thấy đường thẳng c cũng song song với đường thẳng b và b c, tức là hai đường thẳng đi qua điểm O song song với đường thẳng c. Sự mâu thuẫn. Bây giờ hãy xem xét phát biểu liên quan đến sự song song của một đường thẳng và một mặt phẳng. Lưu ý rằng định lý ba mặt phẳng cho phép chúng ta nghiên cứu sự song song của các mặt phẳng và sự song song của đường thẳng và mặt phẳng độc lập với nhau, tức là thứ tự học các chủ đề có thể thay đổi tùy theo mục tiêu và thị hiếu của giáo viên. Bài toán 6. Nếu một đường thẳng song song với hai mặt phẳng cắt nhau thì nó song song với đường giao nhau của chúng. Lời giải. Chúng ta hãy biểu thị các mặt phẳng bằng D và E (Hình 7), đường giao nhau của chúng là c và đường này là x. Xét một mặt phẳng J tùy ý đi qua

Cơm. 7

TRONG

“QUANTE”

cắt đường thẳng x và cắt D và E. Để nó cắt các mặt phẳng này lần lượt dọc theo các đường thẳng a và b. Vì đường thẳng x song song với D và E nên nó song song với đường thẳng a và b (chứng minh đi!). Áp dụng định lý ba mặt phẳng cho các mặt phẳng D, E và J, chúng ta thấy rằng các đường thẳng a, b và c song song, do tính bắc cầu của tính song song, suy ra rằng các đường thẳng c và x song song. Bây giờ hãy chuyển sang những câu nói ít tiêu chuẩn hơn. Trong một số trường hợp, ba mặt phẳng này không dễ nhìn thấy. bài toán tiếp theo được lấy từ sách bài tập [5]. Bài toán 7. Tam giác ABC và $A_{1} B_{1} C_{1}$ không nằm trong cùng một mặt phẳng (Hình 8). Đã biết

Cơm. 8

nhưng các đường thẳng AB và $A_{1} B_{1}$, BC và $B_{1} C_{1}$, AC và $A_{1} C_{1}$ cắt nhau theo cặp. Chứng minh rằng đường thẳng $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ cắt nhau tại một điểm hoặc song song. Lời giải. Hãy lợi dụng thực tế là hai đường thẳng giao nhau xác định một mặt phẳng. Xét ba mặt phẳng được xác định bởi các cặp đường thẳng: AB và $A_{1} B_{1}$, BC và $B_{1} C_{1}$, AC và $A_{1} C_{1}$. Sau đó, theo định lý ba mặt phẳng, các đường thẳng $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ của các cặp giao điểm của chúng cắt nhau tại một điểm hoặc song song, theo yêu cầu. Lưu ý rằng chúng ta chỉ sử dụng giao điểm của các đường tại lời giải bài toán 7 để chúng tạo thành một mặt phẳng, tức là điều kiện bài toán vẫn đúng nếu bất kỳ cặp đường thẳng nào trong số này song song. Hơn nữa, những đường này giao nhau ở ba

30

KVAN T 2023/№10

các điểm nằm trên cùng một đường thẳng vì chúng thuộc giao tuyến của các mặt phẳng của các tam giác đã cho. Và cuối cùng, người ta không thể không lưu ý đến mối liên hệ của phát biểu này với định lý Desargues (ví dụ, xem [2]). Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào bài toán V.V. Proizvolov từ Giải đấu Thành phố năm 2009. Bài toán 8. Trong không gian (nhưng không trong cùng một mặt phẳng) sáu khác nhau

mặc.

Lưu ý rằng, như trong bài toán 7, chúng tôi đã sử dụng vị trí tương đối của các đường thẳng để xác định mặt phẳng. Trong Olympic tiếp theo bài toán (do V.A. Letsko đề xuất), chúng ta sẽ sử dụng lại kỹ thuật này. Bài toán 9. Tất cả các mặt của lục giác lồi đều là tứ giác. Chứng minh rằng nếu một khối đa diện như vậy có một cặp đường chéo cắt nhau thì nó có một cặp đường chéo khác như vậy. Lời giải. Để các đường chéo $AC_{1}$ và $BD_{1}$ của hình lục giác $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ giao nhau -

Cơm. 9

điểm: A, B, C, D, E và F (Hình 9). Được biết, các đoạn AB và DE, BC và EF, CD và FA song song thành từng cặp. Chứng minh rằng các đoạn giống nhau này là từng cặp bằng nhau. Lời giải. Xét ba mặt phẳng được xác định bởi các cặp đường thẳng song song: (ABDE), (BCEF), (CDFA). Chúng cắt nhau dọc theo các đường thẳng (BE), (CF) và (AD). Khi đó ba đường thẳng này song song hoặc cắt nhau tại một điểm. Trong trường hợp thứ nhất (nếu có thể), từ sự song song của (BE) và (AD) và sự song song của (AB) và (DE) suy ra ABED là hình bình hành, tức là AB = DE, và tương tự cho các cặp đoạn thẳng khác. Trong trường hợp thứ hai, chúng ta có một hình lục giác không gian với các cặp cạnh đối diện song song và các đường chéo chính cắt nhau tại một điểm. Khi đó, từ sự giống nhau của một số cặp tam giác, suy ra các cạnh đối diện cũng bằng nhau, tức là hệ số giống nhau không thể khác 1 (chứng minh đi!).

xia (Hình 10). Khi đó các điểm $A, B, C_{1}$ và $D_{1}$ nằm trong cùng một mặt phẳng D, tức là các đường thẳng AB và $C_{1} D_{1}$ song song hoặc cắt nhau. Hãy xem xét hai mặt phẳng nữa: $AA_{1} B_{1} B$ và $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Khi đó, theo định lý ba mặt phẳng, đường thẳng $A_{1} B_{1}$ song song với các đường thẳng AB và $C_{1} D_{1}$ trong trường hợp thứ nhất và đi qua giao điểm của chúng trong trường hợp thứ hai. Lập luận tương tự cho các mặt phẳng D, ABCD và $DCC_{1} D_{1}$, ta thấy CD cũng song song với AB và $C_{1} D_{1}$ trong trường hợp thứ nhất và đi qua giao điểm của chúng trong trường hợp thứ hai. Do đó, $A_{1} B_{1}$ và CD song song hoặc cắt nhau, tức là các điểm $A_{1}, B_{1}, C$ và D nằm trong cùng một mặt phẳng và các đường chéo $A_{1} C$ và $B_{1} D$ cắt nhau như các đường chéo của một tứ giác lồi, theo yêu cầu. Phần tiếp theo của âm mưu này là bài toán 5 (cũng do V.A. Letsko đề xuất) từ bài toán dành cho độc lập lời giải.

Bài tập

Bài toán dành cho độc lập lời giải

6. a) Chứng minh rằng trường hợp đầu tiên trong lời giải bài toán 8 là không thể. b) Sử dụng phương pháp tương tự và phản chứng, hoàn thành lời giải bài toán 8 cho đến hết trong trường hợp thứ hai.

7. Giải bài toán 8 bằng cách sử dụng dấu thứ hai của sự song song của các mặt phẳng hoặc quan hệ vectơ

Cơm. 10

1. Mặt cắt hình chóp PABCD đi qua hai điểm A và D là hình thang có đáy AD. Xác định loại tứ giác ABCD nằm ở đáy hình chóp. 2. Ba đường thẳng vẽ trong không gian không nằm trong cùng một mặt phẳng nhưng không có hai đường thẳng nào cắt nhau. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng này đều đi qua một điểm