Bài toán 9—16

KONK URS IM ENI A.P.S AVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo về lời giải toán học bài toán. Các nhiệm vụ được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh bắt đầu từ lớp 8–9 và chúng tôi khuyên các học sinh nhỏ tuổi hơn nên thử sức mình trong cuộc thi tạp chí «Kvant» (xem trang web kvantik.com). Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý đến địa chỉ: savin.contest@gmail.com. Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường và lớp nơi bạn học. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được xuất bản trên Sites.google.com/view/savin-contest Chúng tôi chúc bạn thành công!

9. Vào buổi trưa, những người đi xe đạp Alyosha và Vasya khởi hành từ điểm A đến điểm B, còn những người đi xe đạp Borya và Grisha gặp họ từ điểm B đến điểm A. Mọi người đều lái xe với tốc độ không đổi. Sau một thời gian, cả bốn người gặp nhau cùng lúc, sau đó Alyosha và Grisha đi đến điểm A, Borya đến điểm B, và Vasya đến một trong những điểm này, và anh ấy về thứ tư (muộn hơn những người khác). Grisha đến lúc mấy giờ? T. Kazitsyna, B. Frenkin

10. Trên bàn cờ 8 u 8 có quân cờ ở ô c4. Có bao nhiêu cách xếp 9 quân xe lên bàn cờ mà không tấn công lẫn nhau? (Quân xe chạm vào các ô ở hàng và cột riêng của nó, nhưng không chạm vào quân cờ.) P. Kozhevnikov

11. Một số đồng xu sẽ được đặt trước mặt bạn và khán giả. Họ sẽ cho bạn biết bí mật về từng đồng xu, khối lượng của nó là bao nhiêu và khán giả sẽ chỉ được biết rằng khối lượng của mỗi đồng xu là 2 g hoặc 3 g, và tổng khối lượng của chúng là N g. Liệu bạn có thể luôn thực hiện một lần cân trước khán giả trên một chiếc cân cốc mà không cần quả cân, sau đó họ cũng sẽ hiểu về tất cả các đồng xu, khối lượng của mỗi đồng xu là bao nhiêu? Trả lời câu hỏi bài toán: a) cho N 77, b) cho tất cả N. A. Gribalko

12. Có 9 đơn vị được viết liên tiếp. Có thể đăng bài giữa một số đơn vị này?

xoắn ba dấu cộng để số thu được là một số chính phương? Đáp số là dương:

111 11 11 11

144

$12^{2}$.

Bây giờ chúng ta viết 2023 đơn vị thành một dòng. Có thể đặt k điểm cộng giữa một số đơn vị này để số thu được là một số chính phương không? Giải bài toán cho: a) k 6; b) k 5. S. Kostin

13. Nam tước Munchausen tuyên bố rằng ông đã tìm ra được một cấp số học hữu hạn trong đó số hạng đầu tiên, hiệu và số số hạng bằng nhau về giá trị tuyệt đối và tổng của tất cả các số hạng bằng 2023. Nam tước có đang lừa dối không? (Một cấp số cộng hữu hạn là một dãy số $a_{1}, a_{2},_{3}^{a},^{…},_{n}^{a}$ trong đó hiệu $d^{a} k^{a} k_{1}$ giữa các số lân cận là như nhau đối với tất cả k từ $2 до^{n;}$ nó được gọi là hiệu cấp số nhân.) S. Kostin

14. Có 7 chiếc ghế sofa xếp thành một vòng tròn, chỉ có 50 người ngồi trên đó, mỗi ghế có ít nhất một người ngồi. Mỗi người nói: “Ở chiếc ghế tiếp theo theo chiều kim đồng hồ, đúng một nửa số người cao hơn tôi và đúng một nửa thấp hơn tôi”. Số người lớn nhất có thể nói sự thật là bao nhiêu? T. Kazitsyna

40

KVAN T 2023/No. 111-12

15. Bên trong một hình vuông có cạnh bằng đường chéo của hình chữ nhật $^{1}$ $u^{3}$, ba góc được đánh dấu - đỏ, xanh lam và xanh lục, như trong Hình 1. Tại sao Hình 1 lại có tổng bằng nhau?

Hình 2

K.Knop

16. Hình vuông 2023 u 2023 được sơn màu đỏ. Hai người chơi thay phiên nhau. Người chơi đầu tiên, trong quá trình di chuyển của mình, có thể đổi màu bất kỳ quân cờ nào dưới dạng chữ T hoặc dưới dạng chữ Z, nếu tất cả các ô của hình này có màu đỏ. Người chơi thứ hai, trong quá trình di chuyển của mình, có thể đổi màu bất kỳ quân cờ nào dưới dạng chữ L hoặc dưới dạng chữ P, nếu tất cả các ô của hình này có màu đỏ. Tất cả các hình được liệt kê được hiển thị trong Hình 2 (mỗi hình có thể được xoay và lật theo ý muốn). Người chơi không thể di chuyển sẽ thua. Ai thắng khi chơi đúng? S. Kostin

KẾT QUẢ CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA CHO NĂM HỌC 2022/23

Người chiến thắng

Kết quả tốt nhất được thể hiện bởi Chalyk Pavel - Balakovo, vùng Saratov, nhà thi đấu 2, lớp 11, Chasovskikh Ivan - Khimki, khu vực Moscow, trường 14, lớp 9, đội 9A lớp Academic Lyceum (Magnitogorsk):

Dmitry Poluektov, Timur Fakhrutdinov, Alexander Novikov, Mikhail Viktorov.

Người đoạt giải

Ngoài ra, Lev Belov - Moscow, trường $1547,^{8}$, Tamara Prikhodko - Krasnoyarsk, trường 3, lớp 10, Mikhail Savin - Protvino, khu vực Moscow, Lyceum, lớp 9, cũng đạt kết quả cao.

Chúc mừng!

Những người chiến thắng và đoạt giải đã được gửi bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và giải thưởng từ nhà xuất bản MCNMO. Ngoài ra, những người tham gia tích cực nhất cuộc thi cũng nhận được giải thưởng.

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP

Lượng tử dành cho học sinh nhỏ tuổi

Bài toán

(xem «Kvant» số 10)

1. Lời giải được hiển thị trong Hình 1.

Hình 1

2. Hãy đánh số các đồng xu trong một vòng tròn có số từ 1 đến 8 và so sánh các cặp (1, 5) và (3, 7). 1) Nếu cân thăng bằng thì cả hai đồng tiền giả đều ở trên cân hoặc không liên quan đến việc cân. Trong mọi trường hợp, chúng có số chẵn lẻ giống nhau và không thể liền kề nhau. 2) Trong trường hợp không bằng nhau, cả hai đồng xu trên bát nặng hơn đều là tiền thật. Chúng tôi sẽ cho rằng đây là một cặp (1, 5). Sau đó so sánh các nhóm (2, 3, 4) và (6, 7, 8). Nếu chúng có trọng lượng như nhau thì các đồng tiền giả nằm trên các bát khác nhau và không liền kề nhau. Nếu một trong các nhóm nặng hơn, chẳng hạn (2, 3, 4), thì cả hai đồng giả đều nằm trên bát kia, còn đồng 7 chắc chắn là giả nên các đồng giả nằm cạnh nhau. 3. Đối với n 15. Ước tính. Chiếc hộp có thể được chia thành bảy đường thẳng, mỗi đường có hai lượng kẹo ở các cạnh khác nhau của nó. Điều này có nghĩa là không thể tách được quá 14 số kẹo khác nhau, do đó không có nhiều hơn 15 viên kẹo.

Hình 2

Một ví dụ được thể hiện trong Hình 2. 4. Petya. Lưu ý rằng sau mỗi lần di chuyển, số chip ở các đỉnh tăng lên 1 hoặc giảm đi 1, vì vậy trước khi Petya di chuyển sẽ luôn có số đỉnh tự do là lẻ. Do đó, trong số các khối có

trong mỗi đỉnh sẽ có ít nhất một đỉnh có độ dài lẻ. Nếu Petya có cơ hội di chuyển để nhặt chip thưởng thì anh ta sẽ thực hiện động thái đó. Nếu điều này là không thể, thì Petya đặt một con chip ở đỉnh cực trị của khối lẻ, làm cho nó chẵn (nước đi đầu tiên là tới bất kỳ đỉnh nào). Sau một động thái như vậy, Vasya cũng sẽ không thể đi nhặt chip thưởng như vậy. Vì vậy, Vasya sẽ chỉ có cơ hội nhận được chip thưởng sau nước đi của Petya, khi anh ta cũng nhận được chip thưởng. Điều này có nghĩa là Petya sẽ luôn có không ít người hơn Vasya nên anh ấy sẽ là người đầu tiên thu thập được 100 chip giải thưởng.

Bài toán

(xem «Kvant» số 11-12)

1. 9871. Số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau bắt đầu bằng 987. Nhưng chữ số cuối cùng phải bằng 1. Trong trường hợp này, 9 8 1, 8 7 1, 7 8 – 1, 1 9 – 8. 2. Không thể. Mỗi hình là một hình chữ nhật hoặc một góc; Hình 3 hiển thị tất cả các loại có thể

Hình 3

trang tô màu của họ. Vì tất cả các mặt của hình lập phương đều có cùng màu nên các hình chữ nhật có màu của ô trung tâm khác với màu của hai ô còn lại không thể tham gia vào quá trình dán. Các hình còn lại có tổng cộng 15 ô trắng và đen, không đủ cho 4 mặt. Do đó, khối lập phương có ba mặt trắng và ba mặt đen. 3. Với 4 nhà thông thái. Cho tổng cộng N nhà thông thái và cho họ lấy các số từ 1 đến N. Hãy đặt tên cho các nhà thông thái theo số trên trán của họ. Ngay từ đầu, hiền nhân 1 có hai lựa chọn về số mình có thể có: 1 hoặc N + 1. Hiền nhân N cũng có hai lựa chọn: 0 hoặc N. Các hiền nhân còn lại ngay lập tức hiểu số trên trán của họ là gì. Với N 4, nếu nhà thông thái 1 hoặc 4 lên tiếng trước thì sẽ không gọi được số của mình. Nếu lô rơi vào trường hợp người đầu tiên nói chuyện với hiền nhân 2, thì sau đó hiền nhân 4 sẽ không thể xác định được số của mình nữa. Quả thực, ngay cả khi anh ta phải nói sau các Hiền nhân 1 và 3, anh ta cũng sẽ không

51

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

loại bỏ ô có số 0, phần còn lại của hình chữ nhật được cắt thành các quân domino 1 u 2, mỗi quân có tổng bằng 0). Vẫn còn trường hợp có một bên chẵn. Nếu ít nhất một trong các cạnh không lớn hơn 98 thì hãy chọn một hình chữ nhật sao cho nó nằm bên trong 98 dòng phía dưới. Trong hình chữ nhật này, tổng bằng 0 (ví dụ, vì nó được chia thành các quân domino). Vẫn chỉ xem xét các trường hợp có cạnh chẵn và cả hai cạnh ít nhất là 99. Như vậy, hình chữ nhật có kích thước 100 x 100 hoặc 99 x 100. Trong trường hợp đầu tiên, chọn tất cả các ô, trong trường hợp thứ hai, chọn tất cả các ô ngoại trừ hàng dưới cùng.

Kính vạn hoa «Kvant»

Câu hỏi và bài toán

1. Các tòa nhà phải thích ứng với khí hậu địa phương. Vì vậy, những ngôi nhà được xây dựng theo nhóm để tạo bóng cho nhau. 2. Gió rơi vào tòa nhà được dẫn một phần qua giếng trời phía dưới. Đồng thời, tốc độ gió tăng lên, đôi khi đạt tới áp suất khiến người ta ngã xuống. 3. Bằng cách này, sự thay đổi chiều dài của giàn trong quá trình gia nhiệt và làm mát đã được tính đến. 4. Mật độ của bọt càng lớn thì độ dẫn nhiệt của nó càng lớn. Vật liệu có mật độ thấp thì có nhiều lỗ bị không khí chiếm giữ hơn nên có độ dẫn nhiệt thấp hơn. 5. Để cho khí nóng sinh ra trong quá trình nấu thoát ra ngoài. 6. Như vậy có thể tránh được tổn thất năng lượng do đối lưu không khí giữa các bức tường. 7. Bức xạ hồng ngoại xuyên qua kính tệ hơn nhiều so với bức xạ nhìn thấy được. Nhờ đó, nhiệt lượng tỏa ra từ các vật nóng trong phòng được giữ lại trong phòng. (Đúng, chúng ta phải tính đến kích thước cửa sổ của các tòa nhà hiện đại.) Than ôi, tia cực tím không truyền qua kính thông thường nhưng chúng tiêu diệt vi khuẩn và cần thiết cho sự phát triển bình thường của cơ thể con người. 8. Với cùng sức chứa, các kho chứa hình trụ (và thậm chí là hình cầu) yêu cầu tiêu thụ vật liệu vỏ ít hơn đáng kể so với các kho hình khối. Thật dễ dàng để đoán khi nào chi phí này sẽ ở mức tối thiểu. 9. Mỗi phần tử của cấu trúc như vậy nằm trên các phần tử khác bên dưới nó lệch sang một bên. Trong trường hợp này, áp lực tối đa lên sàn không đạt được ở trung tâm mà ở một vòng tròn nằm giữa tâm và chu vi của kết cấu.

GIẢI PHÁP

10. Áp suất tỷ lệ thuận với tỷ lệ khối lượng của kim tự tháp với diện tích đáy của nó. Khối lượng tỷ lệ thuận với lập phương có kích thước tuyến tính, diện tích - với bình phương. Điều này có nghĩa là tỷ số áp suất bằng tỷ số kích thước tuyến tính, trong trường hợp này là 140 m: 0,14 m 1000. 11. Khối lượng của một khối lập phương sẽ bằng 96 gam. Có thể có ba hoặc sáu kim tự tháp (Hình 7). Trong trường hợp đầu tiên, khối lượng của một

Hình 7

kim tự tháp sẽ là 32 gam, trong kim tự tháp thứ hai - 16 gam. 12. Dây cáp được căng bên trong tháp truyền hình, ép các vòng tạo thành tháp vào nhau và vào nền móng. 13. Tỷ số khối lượng của bản gốc và mô hình bằng tích của tỷ số mật độ của chúng với tỷ số các khối có kích thước tuyến tính của chúng. Từ đó suy ra khối lượng của mô hình nhỏ hơn khối lượng của tháp 3 tỷ lần và là 2,4 gam. 14. Dựa vào tải trọng rơi xuống đáy cột, nơi chịu nén nhiều nhất và chịu biến dạng lớn nhất. 15. Cấu trúc của mái vòm giúp giảm áp lực vì phần trên của nó mỏng hơn nhiều so với phần dưới (Hình 8). Nhân tiện, anh ấy vẫn còn

Hình 8

là mái vòm bê tông không cốt thép lớn nhất thế giới. 16. Các tòa nhà có chiều cao từ 7–8 tầng có tần số rung động (cộng hưởng) tự nhiên trùng với tần số của sóng địa chấn, trong khi các tòa nhà thấp hơn và cao hơn có tần số dao động riêng.