Kvant 2024, số 1 · Trang

4

KVANT 2024/№1

Bình phương khoảng cách sẽ hoàn toàn bằng Dt. Vectơ bán kính trong hệ tọa độ Descartes được biểu diễn dưới dạng tọa độ x, y và z như sau: $r^{2} x^{2} y^{2} z^{2}$. Do xác suất chuyển động của hạt Brownian theo bất kỳ hướng nào trong ba hướng trực giao là như nhau nên giá trị trung bình của các bình phương tọa độ x, y và z sẽ bằng nhau. Theo quy định này,

$r_{n}^{2}$

$3 x_{n}^{2}$

$3 y_{n}^{2}$

$3 z_{n}^{2}$

Dt, hoặc, ví dụ,

$x_{n}^{2}$

$D_{x} t$, trong đó $D_{x} D 3 vl 3$ là hệ số khuếch tán của các hạt Brown theo hướng của trục x, đặc trưng cho sự dịch chuyển của các hạt dọc theo trục này do chuyển động hỗn loạn. Như đã chỉ ra, bình phương khoảng cách, tính trung bình trên một số lượng lớn các hạt Brown, trong đó hạt thử nghiệm bị dịch chuyển do chuyển động ngẫu nhiên (Brownian), thay đổi tuyến tính theo thời gian. Hơn nữa, tốc độ tăng $r_{n}^{2}$ tỷ lệ thuận với tốc độ nhiệt trung bình của chuyển động của hạt và đường đi tự do trung bình. Sự tăng lên của một trong những đại lượng này sẽ làm tăng độ dịch chuyển của hạt so với vị trí ban đầu của nó. Lưu ý rằng bằng cách sử dụng khoảng cách bình phương trung bình, người ta có thể tìm thấy tham số khuếch tán trong hệ Brownian và với sự trợ giúp của nó, tốc độ chuyển động nhiệt của các hạt Brownian và đường tự do trung bình. Một ví dụ đáng chú ý về sự biểu hiện của kiểu đi bộ ngẫu nhiên là bài toán về sự định cư của loài người trong tương lai trong Thiên hà của chúng ta. Việc tái định cư như vậy, nếu được bắt đầu, rất có thể sẽ diễn ra theo sơ đồ sau. Tàu vũ trụ giữa các vì sao sẽ di chuyển theo các hướng khác nhau tới các ngôi sao gần đó. Sau khi tiếp cận và làm chủ được các ngoại hành tinh của những ngôi sao này, con người sẽ tiến xa hơn đến các ngôi sao lân cận. Sự lựa chọn của mar-

các tuyến đường sẽ được thực hiện có tính đến việc giảm thiểu chi phí về thời gian bay và nhiên liệu, tức là dọc theo những con đường ngắn nhất giữa các vì sao. Do trật tự yếu của các ngôi sao trong Thiên hà nên quỹ đạo của các phi thuyền sẽ có dạng những đường đứt nét, đặc trưng của chuyển động của các hạt Brown. Theo quy luật bước đi ngẫu nhiên, các phi thuyền sẽ bay ngày càng xa Mặt trời và bình phương khoảng cách của chúng với Mặt trời phải tỷ lệ thuận với thời gian nhân loại khám phá Thiên hà. Các tác giả của bài viết này đã quyết định thử nghiệm một mô hình tương tự về sự định cư của con người trong Thiên hà bằng cách sử dụng bản đồ phân bố các ngôi sao trong Thiên hà của chúng ta, thu được dựa trên các quan sát của kính viễn vọng không gian quang học Gaia của Cơ quan Vũ trụ Châu Âu (Giao thoa kế thiên văn toàn cầu cho Vật lý thiên văn). Kính thiên văn bài toán chính là biên soạn bản đồ chi tiết về sự phân bố các ngôi sao trong Thiên hà của chúng ta. Hiện tại, dữ liệu Gaia đã tổng hợp bản đồ 3D chi tiết nhất của Dải Ngân hà, chứa thông tin về vị trí và chuyển động chính xác của 1,8 tỷ ngôi sao. Danh mục sao Gaia cung cấp thông tin sau về mỗi ngôi sao: i id là số lượng ngôi sao trong danh mục; i D – xích đạo, góc trong mặt phẳng xích đạo thiên thể giữa vòng xích vĩ của sao và hướng về điểm xuân phân (đây là một trong các tọa độ của hệ xích đạo thứ hai, dùng để mô tả vị trí của các vật thể trên thiên cầu); i G – xích vĩ, góc giữa hướng tới ngôi sao và mặt phẳng xích đạo thiên cầu (đây là một tọa độ khác của hệ xích đạo thứ hai); i thị sai – sự thay đổi vị trí biểu kiến ​​của một ngôi sao so với hậu cảnh ở xa tùy thuộc vào vị trí của người quan sát (được đo bằng giây cung và thị sai càng nhỏ thì ngôi sao càng ở xa). Để mô phỏng chuyển động của một phi thuyền trong Thiên hà, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng hệ tọa độ trong đó mặt phẳng chính

15

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

k nhóm bình thường và một nhóm đặc biệt được thành lập, sau đó chúng tôi tiến hành cân 100 k. Giai đoạn 2. Vẫn còn phải tìm ra đồng tiền nào trùng với tiêu chuẩn - điều này sẽ trả lời câu hỏi về số đông. Chúng tôi đã biết điều này về tất cả các đồng tiền thuộc nhóm đặc biệt. Đối với mỗi nhóm k thông thường, nếu có 2t đồng xu trong đó thì cần t + 1 lần cân. Điều này có nghĩa là nếu có y đồng xu trong nhóm loại trừ thì chúng ta cần cân thêm 101 y 2 k d 50 k nữa. Tổng cộng, chúng tôi có thể thực hiện điều đó trong 100k 50k 150 lần cân. Đánh giá Đối với bất kỳ thuật toán cân nào, chúng tôi, hành động “từ phía cân,” sẽ chỉ ra những kết quả (có thể!) mà chúng có thể hiển thị để không đạt được kết quả yêu cầu sau ít hơn 150 lần cân. Đôi khi chúng ta sẽ tuyên bố vứt bỏ một đồng xu, cho rằng nó quá nặng hoặc quá nhẹ. Điều này có nghĩa là một đồng xu quá nặng sẽ nặng hơn bất kỳ đồng xu nào khác trước đó được tuyên bố là quá nặng (tương tự như đồng xu quá nhẹ). Điều này sẽ không mâu thuẫn với kết quả của các lần cân đã được thực hiện và sẽ tự động xác định kết quả của bất kỳ lần cân tiếp theo nào đối với bất kỳ đồng xu nào bị loại bỏ, vì vậy những hành động như vậy là không có thông tin và chúng tôi tin rằng chúng không xảy ra. Rõ ràng những đồng tiền bị loại bỏ không thuộc về số đông. Tất cả các đồng xu không bị loại bỏ (đang hoạt động) sẽ được chia thành các nhóm đồng xu bằng nhau (không biết gì khác) và các cặp đồng xu; trong mỗi cặp đồng xu được so sánh và một đồng xu nặng hơn đồng xu kia, nhưng không có thông tin gì thêm về những đồng xu này. Ban đầu có 101 nhóm một đồng xu. Chúng ta hãy biểu thị bằng d tổng số cặp và đồng xu trong nhóm tại thời điểm này. Nếu đồng xu a của một cặp (chắc chắn là nặng hơn trong cặp) với đồng xu đang hoạt động b, chúng ta nói rằng a nặng hơn b và tuyên bố a là quá nặng (và cặp trước đó của nó là nhóm một

“QUANTA”

tiền xu). Trong trường hợp này, chúng tôi liên kết đồng xu a với hai trọng số không cung cấp thông tin về các đồng tiền đang hoạt động còn lại: trọng số từ cặp cũ của nó cũng như trọng số hiện tại. (Nếu cả hai đồng xu được cân đều theo cặp, thì một trong số chúng được chọn tùy ý là a.) Vẫn còn phải giải quyết việc cân trong đó các đồng xu từ các nhóm (rõ ràng là từ các nhóm khác nhau) tham gia. Tạm biệt d! 51, mỗi nhóm này sẽ gồm một đồng xu và khi cân theo cách này, cân sẽ trả lời rằng các đồng xu không bằng nhau, tạo ra một cặp đồng xu. Chỉ với thao tác này, giá trị của d mới giảm đi 1; với tất cả những người khác nó vẫn không thay đổi. Điều này sẽ kết thúc khi d bằng 51. Kể từ thời điểm này trở đi, nếu so sánh các đồng tiền từ các nhóm khác nhau, thang đo sẽ cho biết chúng bằng nhau. Trong trường hợp này, d vẫn bằng 51. Nếu một nhóm gồm 51 đồng xu chưa được sắp xếp thì có hai trường hợp xảy ra: a) các đồng xu trong mỗi nhóm có trọng lượng riêng, tất cả các đồng xu khác đều khác nhau (và không có đa số), b) các đồng xu trong tất cả các nhóm có trọng lượng bằng nhau và trong mỗi cặp, trọng lượng của một trong các đồng xu bằng nhau (có đa số, vì d t 51). Điều này có nghĩa là không thể xác định những gì được yêu cầu. Khi một nhóm gồm 51 đồng xu được hình thành, điều này có nghĩa là d 51; do đó, ngoài nhóm này, không có đồng tiền nào đang hoạt động. Để nhóm này hình thành, phải mất 50 lần cân các cặp đồng xu từ nhóm này. Ngoài chúng, mỗi đồng xu bị loại bỏ (trong đó có 50 đồng) được liên kết với hai lần cân nữa. Tổng cộng có ít nhất 150 lần cân đã diễn ra. K.Knop

M2766. Cho số tự nhiên n. Trường dành cho “Master Sudoku” bao gồm n n 1 2 ô vuông nằm trên đường chéo chính hoặc bên dưới nó. Thầy đoán n ô của trường này, mỗi ô một cột và cho học sinh biết mỗi hàng có bao nhiêu ô ẩn (học sinh cũng biết rằng trong mỗi cột

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

khối đa diện cưới

N. DAURTSEVA, K. STOROZHUK

Phần 1: thực hành

Người yêu thích thực hành sẽ đạt được kiến ​​thức về nghệ thuật. Albrecht Durer

Cuốn sách “Kính vạn hoa toán học” của nhà toán học người Ba Lan Hugo Steinhaus mô tả một mô hình thú vị của khối mười hai mặt [1]. Mô hình này là sự phát triển của hai nửa của khối mười hai mặt; chúng có thể được cắt từ bìa cứng dày. Để chứng minh, bạn cần ghép hai nửa này lại với nhau và thắt chặt chúng bằng một “vòng” co giãn - một sợi dây thun. Nếu bạn ném cấu trúc này, vòng, rút ​​ngắn lại, sẽ kéo mô hình thành một cơ thể ba chiều. Cái vòng không thể ngắn hơn được nữa nên nó vẫn ở trên bề mặt. Mô hình này được viết một cách thú vị và rõ ràng trong phần “Mô hình” trên trang web “Toán học” [2]. Đường mà vòng liền kề sau khi gấp là $является^{геодезической.}$ Bạn có thể đọc về các đường trắc địa trên khối đa diện ở các trang «Kvant» trong bài viết [3] và trong phần “Etudes” của trang web “Toán học Etudes” [4]. Các khối đa diện đều khác cũng có trắc địa khép kín (các đường màu xanh lá cây trong Hình 1), điều này cho thấy rằng đối với chúng có thể đưa ra các mô hình tương tự như mô hình Steinhaus. Hãy bắt đầu với khối lập phương. Nhiều người ngạc nhiên khi biết có hình lục giác phẳng

Hình 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240103

phần mới của khối lập phương. Đường tương ứng là đường trắc địa và cái vòng trong mô hình của chúng ta sẽ nằm trên đó. Tuy nhiên, không thể tạo ra sự tương đồng hoàn toàn với mô hình Steinhaus bằng cách tạo ra một khối lập phương từ một cặp nửa có ba cạnh - các hình vuông được nối với nhau chỉ bằng một điểm. Bạn có thể thay thế đỉnh có vấn đề bằng một diện tích hình tam giác nhỏ. Thật thuận tiện khi làm hai phần giống hệt nhau của mô hình này bằng cách sử dụng bao bì sữa chua. Hãy cắt hộp dọc theo các cạnh, không chạm tới đỉnh (Hình 2). Hãy buộc chặt hai

Hình 2

vòng các khoảng trống, như trong hình, thu được thứ gì đó tương tự như “đĩa bay”. Bạn có thể uốn cong nó sang một bên một chút để cố định. Nếu bạn thả một cái trống như vậy theo chiều ngang trên bàn, nó sẽ biến thành một khối lập phương một cách kỳ diệu. Màu đỏ trong Hình 2 biểu thị một cái vòng trên mô hình phẳng và màu xanh lá cây trên một khối lập phương được gấp lại (không hoàn toàn). Bạn có thể đề xuất một mô hình khác, bao gồm các phần phẳng của hình lập phương. Để làm điều này, chúng ta gấp và buộc chặt hai phần hình chữ L như trong Hình 3. Hãy ném mô hình này - nó sẽ gấp thành hình khối! Tứ diện và bát diện cũng có thể được bao quanh bởi một vòng trắc địa phẳng. Mô hình cho

Hình 3

Những vật thể này có cấu trúc tương tự như mô hình khối mười hai mặt và khối lập phương. Hình 4 thể hiện các mô hình trong quá trình gấp. Các mô hình cho khối tứ diện và bát diện phát triển kém hơn một chút; chúng thường bị đóng băng khi chưa được lắp ráp. Chúng ta có một mô hình đơn giản của khối 20 mặt gấp.

52

KVA NT 2024/Số 1

1. Tìm tỉ số giữa lượng chất ở trạng thái khí ở phần trên và phần dưới của hình trụ trước khi đun nóng. 2) Xác định áp suất cuối cùng trong bình p. Biểu thị Đáp số dưới dạng $p_{атм}$ (áp suất khí quyển bình thường) bằng hệ số ở dạng phân số chung. 3. Ba lưới mịn phẳng dẫn điện nằm đối diện nhau ở khoảng cách d và d 3 (Hình 11). Các kích thước mắt lưới là

2. Tìm tốc độ tăng cường độ dòng điện trong cuộn dây có độ tự cảm L ngay sau khi đóng công tắc. 3) Điện tích nào sẽ chạy qua một điện trở có điện trở 2R khi đóng công tắc? Đáp số cho các hệ số dưới dạng phân số thông thường. 5. Hệ quang học gồm hai lăng kính có chiết suất $n_{1}$ và $n_{2}$ và đặt trong không khí có chiết suất $n_{в} 1,0$. Một nguồn sáng điểm S đặt cách hệ một khoảng 200 cm và được người quan sát nhìn sao cho nguồn sáng và mắt người quan sát nằm trên một đường thẳng vuông góc với các bề mặt ngoài của lăng kính (Hình 13). Góc

Hình 11

chắc chắn là nhiều hơn d. Ban đầu lưới điện không được tích điện. Các nguồn có điện áp $U_{1}^{2} U$ và $U_{2} U$ đã được kết nối với lưới điện. Hạt có khối lượng m và điện tích q! 0 di chuyển về phía lưới và vuông góc với lưới, có tốc độ $v_{0}$ ở khoảng cách đến lưới lớn hơn nhiều so với kích thước của chúng. Hạt bay qua lưới mà không lệch khỏi quỹ đạo thẳng. Điện tích q nhỏ hơn nhiều so với mô đun điện tích lưới. 1) Tìm mô đun gia tốc của hạt trong vùng giữa lưới 2 và 3. 2) Tìm chênh lệch $K_{3} K_{2}$, trong đó $K_{2}$ và $K_{3}$ là động năng của hạt khi bay qua lưới 2 và 3. 3) Tìm tốc độ của hạt tại điểm A ở $расстоянии^{2} d 3$ so với lưới 2. 4. Các thông số mạch được biểu thị trong Hình 12, tất cả các phần tử là lý tưởng. Chìa khóa đã mở, chế độ trong mạch đã được thiết lập. Sau đó chìa khóa được đóng lại. 1) Tìm dòng điện $I_{20}$ qua một điện trở có điện trở 2R khi công tắc mở.

Hình 12

Hình 13

$D^{0,05}$ rad có thể coi là nhỏ, độ dày h 9 cm. Độ dày của lăng kính có chiết suất $n_{2}$ trên đường thẳng “mắt nguồn” nhỏ hơn h rất nhiều. Bỏ qua các phản xạ trong hệ thống. 1) Đếm $n_{1} n_{в} 1,0, n_{2} 1,6$, tìm xem hệ sẽ làm lệch góc nào một tia tới từ nguồn vuông góc với phía bên trái của hệ. 2) Đếm $n_{1} n_{в} 1,0, n_{2} 1,6$, tìm khoảng cách giữa nguồn và ảnh của nó mà người quan sát sẽ nhìn thấy. 3) Đếm $n_{1} 1,8, n_{2} 1,6$, tìm xem người quan sát sẽ nhìn thấy ảnh của nó ở khoảng cách bao nhiêu so với nguồn. Ấn phẩm được biên soạn bởi V. Babintsev, L. Koldunov, V. Plis, V. Uskov, V. Chivilev, I. Yudin, Yu. Yuryev