Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn toán

OLIM PIA DY

Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn toán

Giai đoạn cuối cùng của lễ kỷ niệm Olympic Toán học toàn Nga lần thứ 50 diễn ra từ ngày 19 tháng 4 đến ngày 25 tháng 4 năm 2024 tại Nizhny Novgorod. Đơn vị tổ chức chính của Olympic là Đại học Minin. Những người tham gia Olympic được cung cấp một chương trình tham quan thú vị cũng như tham dự các bài giảng khoa học phổ thông từ các nhà toán học - đại diện các trường đại học hàng đầu của đất nước. 471 học sinh, đại diện cho hầu hết các vùng của Nga, đã tham gia Olympic. Ngoài ra, theo truyền thống, một đội đến từ Trung Quốc đã tham gia Olympic: sáu học sinh từ tỉnh Chiết Giang đã viết Olympic trực tuyến. Độ khó của bài toán có thể được đánh giá từ các bảng sau (người tham gia đạt ít nhất 5 trên 7 điểm có thể có ở phần bài toán này được coi là đã giải được bài toán):

lớp 9

,

lớp 10

,

lớp 11

,

Theo ý kiến ​​​​của họ, một cuộc khảo sát với những người tham gia Olympic đã tiết lộ rằng bài toán Olympic là đẹp nhất. Song song với 9 lớp, ba vị trí đầu tiên được chiếm bởi bài toán 6 (vị trí thứ nhất), 8 (vị trí thứ 2) và 3 (vị trí thứ 3), song song với 10 lớp - bài toán 2 (vị trí thứ nhất), 6 (vị trí thứ 2) và 3 (vị trí thứ 3), song song với 11 lớp - bài toán 3 (vị trí thứ nhất), 7 (vị trí thứ 2) và 2 (vị trí thứ 3). Dưới đây là các điều kiện bài toán và danh sách những người chiến thắng chặng cuối của Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn toán.

Điều kiện bài toán

lớp 9

1. Petya và Vasya chỉ biết các số tự nhiên không vượt quá $10^{9} 4000$. Petya coi các số tốt có thể biểu diễn dưới dạng abc ab ac bc, trong đó a, b và c là các số tự nhiên không nhỏ hơn 100. Vasya coi các số tốt có thể biểu diễn dưới dạng xyz x y z, trong đó x, y và z là các số tự nhiên lớn hơn 100. Vậy số nào trong số chúng có nhiều số tốt hơn? I. Bogdanov

2. Một số tự nhiên có đúng 50 ước số. Có thể nào không có hiệu nào của hai ước khác nhau chia hết cho 100? Hoa hồng phương pháp dựa trên bài toán A. Chironov

3. Hai cậu bé được tặng một túi khoai tây, mỗi túi chứa 150 củ. Các em lần lượt chuyển khoai tây, mỗi người trong nước đi tiếp theo sẽ chuyển một số củ khác 0 từ túi của mình sang túi của người khác. Đồng thời, phải tuân thủ điều kiện của khả năng mới: trong mỗi nước đi, cậu bé phải di chuyển nhiều củ hơn số củ có trong túi trước bất kỳ nước đi nào trước đó (nếu có những nước đi đó). Vì vậy, ở nước đi đầu tiên, cậu bé có thể di chuyển bất kỳ số lượng nào khác 0, nhưng

47

CÂU TRẢ LỜI LÀ

HƯỚNG DẪN

hướng theo chiều ngang. Khối lượng của ô tô lớn hơn khối lượng của quả bóng bao nhiêu lần? Bỏ qua ma sát, chuyển động tịnh tiến, tg 42 q 0,9, va chạm là đàn hồi tuyệt đối. 4. Một lượng khí lý tưởng đơn nguyên tử đựng trong bình đặt dưới pít-tông trải qua một quá trình tuần hoàn. Cảm biến ghi lại áp suất khí p và nhiệt độ T của nó tùy theo thời gian t. Đồ thị của các phụ thuộc này được thể hiện trong Hình 16. Xác định: 1) tỷ lệ giữa thể tích khí tối đa và tối thiểu trong quá trình này; 2) công thực hiện đối với một chất khí trong quá trình nén đẳng áp của nó, nếu trong quá trình nung nóng đẳng tích Q 300 J nhiệt được cung cấp cho chất khí. 5. Hai quả bóng nhỏ tích điện giống nhau được giữ trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Tại điểm A, tại đó mô đun vectơ cường độ điện trường của các quả cầu tích điện bằng $E^{1000} В^{м}$, đặt một điện tích nhọn q 1 µC và các quả bóng được thả đồng thời.

GIẢI PHÁP

Hình 16

liệu. Gia tốc của chúng khi bắt đầu chuyển động hóa ra là vuông góc với nhau và có độ lớn bằng nhau $a_{1}^{3} м^{с} 2$ và $a_{2} 4^{м} с^{2}$. Xác định khối lượng của quả bóng. Ấn phẩm được biên soạn bởi G. Gaidukov, I. Gorbaty, V. Gundyrev

ĐÁP ÁN, GỢI Ý, GIẢI PHÁP

«Kvant» cho học sinh nhỏ

(xem «Kvant» số 5–6)

1. Trong lỗ đầu tiên có một con chuột màu đỏ, ở lỗ thứ hai - một con màu vàng, ở lỗ thứ ba - một con đen, ở lỗ thứ tư - một con trắng, ở lỗ thứ năm - một con chuột xám. Con chuột trắng sống giữa hai con còn lại, nhưng không ở lỗ thứ ba (nếu không miếng pho mát trắng phía trước nó sẽ bị ăn mất). Điều này có nghĩa là con chuột trắng sống ở lỗ thứ hai hoặc ở lỗ thứ tư. Nếu ở hố thứ hai, thì con chuột xám hàng xóm của nó không sống ở hố thứ nhất mà ở hố thứ ba, con đen - ở hố thứ nhất, và con chuột đỏ không sống cạnh hố xám - tức là không phải ở hố thứ tư mà ở hố thứ năm còn lại. Nhưng rồi con màu vàng lẽ ra phải sống ở con thứ tư, nhưng miếng pho mát màu vàng trước mặt nó lại không được ăn - một điều mâu thuẫn. Điều này có nghĩa là con chuột trắng không sống ở hố thứ hai mà ở hố thứ tư. Trong trường hợp này, người hàng xóm da đen của cô sống ở lỗ thứ ba, người hàng xóm xám ở lỗ thứ năm; con màu đỏ trong hai con còn lại chỉ có thể sống ở con thứ nhất, còn con màu vàng có thể sống ở con thứ hai. 2. Một số ví dụ về may và cắt được thể hiện trong Hình 1-3. Bình luận. Các bộ phận đều giống nhau, có nghĩa là bạn có thể di chuyển toàn bộ một trong các bộ phận sao cho nó chồng lên bộ phận kia. Trong ví dụ đầu tiên, để làm điều này, bạn cần di chuyển nó song song với chính nó, trong ví dụ thứ hai, xoay nó quanh một điểm nhất định và trong ví dụ thứ ba, trước tiên hãy di chuyển nó, sau đó

Hình 1

Hình 2

quay sang phía bên kia. Những chuyển động này được gọi là chuyển động phẳng - chúng không làm thay đổi khoảng cách giữa các điểm của hình và do đó hình vẫn giữ nguyên hình dạng (Hình 3 và kích thước). Các chuyển động mà chúng ta thấy trong các ví dụ này lần lượt được gọi là đối xứng tịnh tiến, chuyển động quay và đối xứng trượt. Định lý Chall phát biểu rằng mọi chuyển động của mặt phẳng đều thuộc một trong ba loại chuyển động này. Michel Chales là nhà hình học nổi tiếng người Pháp thế kỷ 19. 3. 8. Gọi M là trung điểm AC $(рис.^{4).}$ Khi đó AM MC 1; BM là đường trung bình trong tam giác cân vẽ đáy nên cũng là chiều cao. Tam giác AKH và ABM có cạnh bằng nhau và hai cạnh kề nhau