Kvant 1970 年第 1 期 · 页面

科普物理和数学
量子
1
1970
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

E=Ihv

71

主编-I.K.KIKOIN院士
第一副主编——柯尔莫哥洛夫院士

编辑集：

L.A.阿齐莫维奇，
M·I·巴什马科夫
V.G.波尔坦斯基，
I·N·布朗斯坦
N·B·瓦西里耶夫
I·F·金兹堡
V.G.祖博夫，
P.L.卡皮察，
V.A.基里林，
G·I·科索罗夫
V·A·列什科夫采夫
V·P·利舍夫斯基
A.I.马库舍维奇，
M.D.米尔尤尼特科夫，
N·A·帕特里克耶娃
N.Kh.罗佐夫
A.P.萨文
I.Sh.斯洛博杰茨基
M·L·斯莫良斯基
Y.A.斯莫罗丁斯基，
V.A.法布里坎特，
J·E·施奈德

院士
苏联教育科学院通讯院士
（副主编）

苏联教育科学院正式院士
院士
院士
（副主编）

苏联教育科学院正式院士
院士

物理和数学科学博士
苏联教育科学院正式院士
（执行秘书）

编辑部主任 L. I. Knyazeva。
艺术编辑 I. P. 列昂诺夫。
技术编辑 V. S. Nikiforova。
校对员 O. A. Sceal、I. B. Mamulova。
《科学》出版社
物理数学文献主编室
莫斯科，V-71，列宁大街，15。

交付给 30/X 1969 Sub 套装。将于 1970 年 1 月 16 日出版
纸 70×1001/16。物理。奥恩湖4. 条件。烤箱l 5.2。
学术版。湖5.25。发行量201,000份。 T-00118。
价格30戈比。命令 2241。
契诃夫印刷厂 Glavpoligraprom
苏联部长会议新闻委员会
契诃夫，莫斯科地区

1

1
科普物理和数学
夸尼
杂志
学院
苏联科学
和
学院
教学的
苏联科学

在房间里：
致我们的读者
4
量子的故事
6
Y.A.斯莫罗丁斯基
连分数
16
N·M·贝斯金
什么是函数
27
A·N·柯尔莫哥洛夫
干摩擦
37
I.Sh.斯洛博杰茨基
球中的晶体
44
G·I·科索罗夫
这些名字从何而来？
几何形状
50
B·A·罗森菲尔德
问题书“Kwana”
52
函授数学
学校
55
物理和数学
寄宿学校
58
A·N·柯尔莫哥洛夫，
V.A.古谢夫，A.A.伊戈-
罗夫·E·L·苏尔科夫
物理学家在想什么
60
V·A·列什科夫采夫
答案、方向、解决方案
62
混合物
26, 43, 54, 64
填字游戏
第三封面页
1

2

向年轻读者表示衷心的祝贺：
对现代物理和数学感兴趣的人，
那些想要扩展和提高知识的人
在这些令人着迷的科学领域，
随着新杂志«Kvant»的发行。
我们时代的科学视野
你的帖子已经变得巨大了，
人类生活中的科学知识
从未如此伟大。
现代科学的特征之一
是数学的日益渗透
和物理研究方法
涉足各种知识领域。
Matematika 和物理学与其他自然科学
是技术流程的基础。
我们拥有高水平的资源；
在最重要的科学领域
我国已处于世界领先地位。
如何成功理解最复杂的问题
现代科学技术，需要从小做起
坚持不懈地获取知识。
而新杂志在这方面对我们年轻人会有很大的帮助。
扩大联系
与中学教师和学生一起研究，
无疑将有助于识别
并培养年轻人才，
国家物理和数学知识水平普遍提高。
欢迎该杂志的发行，我想
祝愿年轻的数学家和物理学家，
祝各位读者«Kvant»学业有成，
在工作中、在获取和提高中
你的知识。

苏联科学院院长
M. V. KELDYSH 院士

3

教育科学研究院
我很高兴向读者表示祝贺
随着杂志«Kvant»的发行。
希望新杂志
将有助于教育
伟大的天才科学家，
工程师和技术人员，
当之无愧的接班人
罗蒙诺索夫的伟大传统，
罗巴切夫斯基、门捷列夫、
齐奥尔科夫斯基、瓦维洛娃、女王
以及其他主要
国家科学家。
为了我们的祖国
属于发行角色
在全球科学进程中，
在现代
科学技术革命。
设«Kvant»，
包含成长
青年才俊，
将贡献力量
和苏联国家的繁荣。
祝愿读者«Kvant»
其页面变黑
尽可能多的知识，
然后应用这些知识
为了我们伟大人民的利益。

学院院长
苏联教育科学
V. M. 赫沃斯托夫院士

祝新杂志«Kvant»
巨大的成功
失去成就
物理和数学科学，
在年轻读者的发展中，
对自然知识的兴趣。
当然，
«Kvant» 将做出贡献
物质主义的形成
学生的世界观，
他们的科学和测试信念，
苏联爱国主义教育
和固有的国际主义，
共产主义态度
去工作。
祝杂志读者«Kvant»
积极参与
在技​​术创意方面，
在合理化
和发明，
在解决困难问题时，
但令人兴奋的任务
以及来自该地区的问题
物理和数学科学。

Minister preservice CCCP
普罗科菲耶夫

4

致我们的

我国出版了许多科学期刊。数学家和物理学家、生物学家和医生、地理学家和地质学家、各专业的工程师、教师，当然还有……小学生都需要它们。但小学生还没有自己的科学期刊。现在是填补这一空白的时候了。对于对数学和物理感兴趣的小学生，我们希望«Kvant»成为他们的第一本科学杂志。

为学童创办一本新杂志是该党在莫洛代基方面不断努力和发展的证明。值得注意的是，该杂志是在大禧年——V.I. 诞辰 100 周年之际发行的。列宁为我国各族人民开启了通往人类知识高峰的大门。

当然，我们指望学生在数学和物理方面只是“变得更好”或者可以变得更好。但现在国家非常需要对科学充满热情、超越学校强制性要求的年轻人。 1968年底，苏联有超过80万名科学工作者，其中物理和数学科学专家超过8万名。必须凭借主动性和创造力掌握数学方法和物理实验艺术的科学家、工程师、经济学家等的总数很快将达到数百万。因此，我国有兴趣确保那些认为有能力解决数学和物理问题的学童能够及时思考选择未来的人生道路，使他们的能力和兴趣不会白费。

波兹尼将为成功学习​​数学和物理创造所有机会。组织了特殊的物理和数学学校，为年龄较大的学生开设了额外的选修课，并举办了物理和数学奥林匹克竞赛。这是一个完整的案例，«Kvant»。该杂志将包含许多适合学校圈子工作的材料。但脱离杂志社独立工作是可能的。

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匡特的故事

Y.A.斯莫罗金斯基

这篇文章讨论了一个非常复杂但同时也是基本的概念，它在现代物理学中发挥着巨大的作用。这就是为什么这篇文章有些难以理解。但我们在第一期期刊中忍不住谈论量子作为一个物理概念，因为我们的期刊叫做«Kvant»。

现代物理学的两个最短公式

现代量子物理学诞生于1900年12月14日。这一天，马克斯·普朗克在柏林物理学会的一次会议上做了报告。在他的报告中，首次出现了一个新的世界常数，用字母$h$表示，称为基本作用量子。它被称为基本的，因为它确定了电磁辐射可以携带的最小能量。

“Quantum”一词源自拉丁语“Quantum”，意思是“尽可能多”（例如，Quantum Placet 的意思是“只要你想要的”）。 $h$现在称为普朗克常数，其最准确的值为：

$$h = 6,6262 \cdot 10^{-34} \text{ джоулей·сек.}$$

（国际单位制），

或者

$$h = 6,6262 \cdot 10^{-27} \text{ эрле·сек.}$$

（全球统一制度）。

物理学家更经常使用另一个小 2π 倍的量来代替 $h$。它也称为普朗克常数，表示为

$$\frac{h}{2\pi} = \hbar = 1,05459 \cdot 10^{-34} \text{ джоулей·сек.}$$

普朗克公式写成如下：

$$E = hv.$$

这里$E$是原子、分子或晶体在给定辐射频率$v$下发射或吸收的光（或无线电波、X射线或任何其他电磁辐射）的最小部分。对于可见光，频率决定了光的“颜色”。蓝色对应较高的频率，红色对应较低的频率。辐射振荡的频率与波长$\lambda$有对应关系

$$v = \frac{c}{\lambda},$$

7

其中 $c$ 是光速，在真空中等于 $3 \cdot 10^8$ 米/秒（更准确地说是 299792.5 公里/秒）。因此，普朗克常数将辐射的最低能量与其频率联系起来，表明$E$与$v$的比率始终是一个恒定值。

普朗克公式与爱因斯坦关于质量和能量的公式：$E = mc^2$，是现代物理学中最短且最重要的两个公式。

让我们尝试了解是什么导致普朗克需要量子假说以及为什么普朗克公式如此重要。

一切从哪里开始？

如果光线穿过棱镜，多色光谱将出现在其后面的屏幕上。 （它是由牛顿首先观察到的。）后来我了解到，光谱不仅提供阳光，还提供来自任何加热物体的辐射。体温越高，光谱中的蓝光就越多。温度不太高（最高 500 C）的物体呈红色，非常热（最高 1000 C）的物体呈白色。渐渐地，研究人员面临两个问题：物体的光谱如何取决于其温度以及能量如何沿光谱分布？

如果将温度计应用于光谱的不同部分，则可以改变落在光谱每个部分上的能量比例。如果最好的不是温度计，而是直接热量计。测量到的落在 1 厘米宽的光谱带上的热量就是我们需要的量。光谱的几何长度取决于到屏幕的距离；因此，通常不会测量下降 1 cm 的能量，而是测量与辐射频率 $v$ 或某个波长 $\lambda$ 对应的光谱部分。

$v$至$v + \Delta v$频率范围内集中在窄带频谱中的能量与$\Delta v$的比率称为谱能量密度或简称为谱函数，并指定为$f(v)$。

谱函数$f(v)$有什么形式？很明显，这取决于体温。一般来说，$f(v)$是不同的、不同的物体。如何判断谱函数的类型？这是一项艰巨的任务，要花点功夫才能说出它是如何解决的。但首先，再多说几句关于谱函数的事情。

可见光光谱图

左边是光谱的叶叶端，右边是红色。顶部是以埃$(1 \text{Å} = 10^{-8} \text{cm})$为单位的波长，底部是以秒倒数（$\frac{1}{\text{сек}} = \frac{1}{2\pi}$赫兹）为单位的频率。落在光谱的选定四个波段上的能量被称为光谱函数$-f(0,120 \cdot 10^{15})$：$f(0,096 \cdot 10^{15})$：$f(0,080 \cdot 10^{15})$：$f(0,067 \cdot 10^{15})$的值。

$\omega \frac{1}{\text{сек}}$ 0,75 $\cdot 10^{15}$ 0,59 $\cdot 10^{15}$ 0,49 $\cdot 10^{15}$ 0,43 $\cdot 10^{15}$
$\nu_{\text{герц}}$ 0,120 $\cdot 10^{15}$ 0,096 $\cdot 10^{15}$ 0,080 $\cdot 10^{15}$ 0,067 $\cdot 10^{15}$

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光谱功能

谱函数 $f(v)$ 可能是本文中最难理解的东西。我们在屏幕上看到的光谱像一条连续的条带一样延伸，所有部分都显示在其中。询问可以在给定部分$v$的频谱中比较什么能量是没有意义的。当水从源头流出时，你无法询问在某个时间点（例如中午 12 点整）会流出多少水。就在此时，流出的水量为零。为了让一定量的水流出，至少需要经过很短的时间。你可以询问12点到12点这段时间会流出多少水。您可以询问从 12 小时到 12 小时 + $\Delta t$ 分钟的任何时间间隔$\Delta t$需要多少水。如果水流大致均匀，1分钟内有$g \cdot cm^3$水流出，那么$\Delta t$时间内$g(t) \cdot \Delta t \cdot cm^3$就会流出。

我们写的不是$g$，而是$g(t)$，因为在不同的时间（下午一点、下午两点等）水的流动情况不同。例如，如果以中午 - 中午 12 点为起点，则表示中午 12.15 点 1 分钟内流出的水量与中午 12.30 点 1 分钟内流出的水量之间的关系为 $g(15) : g(30)$。

在计算水量时，我们从描述连续过程强度的新值开始。 $g$是$\Delta t$时间间隔内流出的水量与该时间间隔（当取很小时）的比率。

谱函数也有类似的含义；当谱带的宽度非常小时，它决定了谱带中的能量与该谱带的宽度的比率。在这种情况下，正如已经提到的，宽度的变化不是长度的变化，而是频率的变化。

粒子还是波？

从一开始，机械师就遇到了可以分为两个完全不同类别的问题。点和刚体材料的运动由牛顿方程描述。根据这些方程，可以确定物体（例如太阳系行星）的运动轨迹，并描述运动如何沿着轨迹发生。但还有其他物体。水在通道中的运动、声音在空气中的传播、铁梁的弯曲——所有这些问题都属于连续介质力学，涉及到流体动力学、空气动力学、紧迫性理论等力学分支。

连续介质和点材料系统被表示为完全不同的物理对象。即使在解决水流问题时，他们在精神上隔离了一小部分液体，那么这个体积与液体分子没有任何联系（他们通常在流体动力学方程写出多年后才了解分子）。

水或空气中的波浪（例如，称为声音的波浪）和绕太阳运动的行星，似乎没有什么物体。一切都很清楚，但在光学跟踪中，问题是：什么是光？正如微粒理论的创始人牛顿所认为的那样，是微小粒子的流动，或者正如波动光学的创始人惠更斯所认为的那样，这些波是某种介质中的波——以太世界？每种理论在不同时期的受欢迎程度有所不同，但没有人能找到使用它们的决定性论据：光在某些现象中表现得像微粒流，而在另一些现象中则像波。现在我们非常清楚，这并不矛盾——只有量子理论才有可能损坏这张桌子。过去咀嚼

9

这个矛盾似乎无法解决。光必须是波或粒子。这个说法在逻辑上看起来毫无缺陷。

自由度

如果您查看定义系统状态的坐标数量，颗粒材料系统和连续介质之间的差异就会非常明显。

空间中每个点的位置由三个数字（三个坐标）指定。他们说质点具有三个自由度。如果一个系统包含 $N$ 点材料，则据说它具有 $3N$ 自由度。

对于速度也可以证明相同的推理。一点的速度由三个数字描述 - 速度矢量的三个分量。 $N$点的速度需要$3N$数字来描述。

必须给出多少个数字来描述海面的状态？严格来说，对于表面上的每个点，您需要指定三个数字 - 给定点处的水流速度矢量；因此，将会有无数个数字。海面在我们看来是一个具有无限多自由度的系统。此外，水由分子组成，因此可以确定自由度的数量，即分子的组成，这一事实并不能解决问题：分子太多，实际上自由度的数量仍然无限大。事实上，我们对每个分子的运动并不感兴趣。当波浪穿过大海时，例如从移动的船上，我们可以使用相对较少的数字来描述波浪分布的模式。我们可以设置每个波的幅度和相位；虽然波很多，但波还是比分子少。此外，随着时间的推移，这种模式基本上会重复出现：波浪或多或少是相同的。

在每个波浪中，许多分子运动，运动是集体的，我们可以谈论海面上的集体自由度，这与单个水分子的个体自由度形成鲜明对比。

当谈论光的属性时，可以使用相同的集体描述。在某种程度上，当我们试图描述整个光谱的能量分布时，我们会这样做。

光是一种波动过程，从波动理论的角度来看，它的描述是最简单的。当然，这种对光的描述与对点系统的描述完全不同。甚至没有任何自由度的迹象——波和粒子彼此完全不同。但这仍然不完全正确。波和粒子具有共同的性质。首先，当我们开始研究热现象并思考热能如何在波和粒子之间分布时，就会出现这些。

温度
和热容量

让我们考虑加热状态的气体。我们知道气体和容器壁的温度必须相同。如果最初情况并非如此，那么热量将继续从较热的物体流向较冷的物体，直到温度变得相等，即直到容器壁和其中的气体之间建立温度平衡。

气体的温度与其原子的动能有关（为简单起见，我们将讨论单原子气体）。气体动力学理论的突破之一是每个自由度$3/2 kT$、$1/2 kT$，气体总能量为$3/2 NkT$，其中

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有气体的容器

原子与壁碰撞，结果在气体和容器之间建立热平衡——气体吸收壁的温度。碰撞过程中原子的数量不会改变。要改变气体的温度，可以通过一个小孔计算一小部分。

$N$是气体中的部分数（3$N$是壁自由度总数）。这里$k$是玻尔兹曼常数（$k = 1,38 \cdot 10^{-23}$焦耳/度）；它充当从开尔文温标度到焦耳的转换因子。此外，在气体动力学理论中，他们表明，如果存在振荡，则每个振荡自由壁都会接收能量 $kT$，是对应于平移运动的自由壁的两倍。这些说法经过证实和测试，适用于天然气。当然，也许首先是关于辐射能量？

让我们想象一下，我们有一个容器（正如他们过去所说的“空腔”），其中没有气体。然而，在这样的容器中总是存在电磁场。电磁波被墙壁发射和吸收，并且这种能量将以某种方式分布在整个频谱中。如果容器有一定的温度，那么不同温度下的能量分布会明显不同。我们可以通过在容器上打一个小孔并释放一束光束来研究容器内部的场。

当他们第一次开始讨论这种“空腔”的特性时，他们注意到，如果外部的光进入空洞，它会在墙壁上反射多次，并且“迷路”，几乎没有机会匹配。该孔吸收了落在其上的所有光线，这就是为什么物体被称为“黑色”，而从孔中发出的光被称为“黑体辐射”（因此“黑体”发光！）。

现在想象一下“黑体”被加热。当你可以问这样一个问题：有多少热能会转化为光能？ 19 世纪末给出了这个问题的答案，即“黑体”内包含的光必须与容器壁处于热平衡。这种平衡被建立并维持了加热壁发射和吸收光波的过程（发射多少，吸收回多少），并且能量的大小及其光谱密度完全由一个参数——温度决定。这里似乎没有出现关于围墙自由数量的讨论（就像天然气的情况一样）。

有辐射的容器（“黑体”）

波或光线从墙壁反射多次，同时又被墙壁吸收并再次发射；结果，在辐射和墙壁之间建立了热平衡。在这样的过程中，量子的数量不会保持恒定：能量的大小和量子的数量完全由容器的温度决定。从此类容器中的小孔发出的光将具有黑体光谱。

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---

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如果容器中有一个小孔，在该孔中建立了特尔平衡，那么光波就会从其中发出。从黑体孔中流出的能量由斯蒂芬-玻尔兹曼定律决定。根据这一定律，单位表面积孔的“黑体”所研究的能量与十四和绝对温度成正比，并且不取决于物体的性质：$\varepsilon = \sigma T^4$（斯特凡-玻尔兹曼常数$\sigma = 5,67 \cdot 10^{-12} \frac{\partial \varepsilon}{\partial m^2 \cdot \varepsilon \rho \partial^4}$）。

斯蒂芬-玻尔兹曼定律已经过充分的实验测试。实验证实，相同的概念可以应用于研究 - 能量、温度 - 用于描述动力学理论中气体的泰兰性质。

葡萄酒配方
以及瑞利牛仔裤公式

现在是时候回到文章开头提出的问题了：如何从理论中获得描述整个光谱中辐射能量分布的光谱函数，以及它如何依赖于温度？

首先，他们试图通过类比来解决这个问题，但与气体的类比并没有帮助。光通量的自由度数量，无论你如何计算，都是无限大的，如果为每个自由度分配相等部分的能量，比如$kT$（比较光波的振动度是合理的），那么在任何有限温度下总能量将是无限的。 “类比”推理使我们得出一个荒谬的结论，即墙壁（以及其后面的所有其他物体）的所有能量都应该转化为电磁波，因此所有物体的温度都应该趋于绝对零。如果是这样，那么房间里的任何物体都会发光（可见或不可见）。但我们知道情况不应该如此。

准确的物理测量表明，在每种温度下，人体都会发出相对较窄频谱范围内的波。最大辐射能量集中在近距离波中，这是由所谓的维恩定律决定的：

$$\lambda_{\max} = \frac{a}{T}.$$

该法于 1893 年启用。罪责常数$a = 0,29 \cdot 10^{-2} m \cdot \varepsilon \rho \partial^4$是根据经验确定的，但其起源尚不清楚。我们将进一步看到它与普朗克常数（以及斯特凡-玻尔兹曼常数）有关。

维恩定律表明，随着身体升温，光谱的最大值将向较短的波长混合，即向更高的数字混合（该定律通常称为混合定律）。

因此，斯蒂芬-玻尔兹曼定律讨论的是总辐射能量，维恩定律讨论的是光谱中最大值的位置。换句话说，我们知道光谱曲线在哪里有最大值以及曲线下的面积是多少。现在是时候更详细地讨论这条曲线的形状了。

到 20 世纪初，有两个公式试图描述整个光谱的能量分布曲线的形状。然而，其中两个是英国人提出的——这就是瑞利-牛仔裤公式 *)

$$f(v) = \frac{8\pi v^2}{c^3} kT.$$

与实验的比较表明，Rayleigh-Jeans 公式仅正确描述了最低频率（曲线最大值左侧）的频谱。

如果从幂数的角度来看这个公式

*) Rayleigh 在 1900 年第一个给出了这个公式。Jeans 则在很晚的时候，在 1909 年推导出了这个公式。

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自由，那么你就可以给它一个美丽的解释。 Rayleigh-Jeans 公式看起来好像光谱区域 $\Delta v$ 包含 $8\pi v^2/c^3$ 自由度，每个自由度都有一个温度 $kT$。然而，这种有效的解释是有缺陷的。如果自由度移动到光谱的紫外线部分中越来越高的频率（位于曲线最大值的右侧），则自由度的数量会迅速增加。这意味着频率越高，频谱包含的能量就越多。也就是说，根据这个公式，所有物体都应该发射频率无限高的电磁波。

这个奇怪的结论被称为“超电影灾难”，因为它表明，在可理解的经典物理学框架内解释光谱特性的尝试完全失败。

我们已经知道的 Vin 在 1890 年提出了另一个公式：

$$f(v) = A v^3 e^{-\frac{b v}{T}}$$

（确实，他写的这个公式有些不同，用波长来表示部分。）在维恩公式中，$A$和$b$是一些与普朗克常数相关的常数，我们稍后会看到。维恩公式描述了光谱的超叶绿素部分，但当涉及到长波部分时，它是自由的。

因此，在普朗克的工作之前，物理学家已经知道了很多：整个光谱的能量分布曲线下的面积、最大值的位置以及曲线在“开始”和“结束”时的形状。剩下的就是迈出最后大胆的一步。正是他导致了新物理学的诞生。

$$e^x \approx 1+x.$$

普朗克公式

现在已经很难恢复多年前物理学家的思路了。显然，普朗克只是在寻找某种公式，可以将所有已知的黑体光谱结合起来。尝试不同的方法，他最终得出结论，有必要考虑构成墙壁并发光的原子的特性。普朗克的假设是，辐射原子不能具有任何能量，而只能具有等于整数$hv$的能量，其中$v$是原子的振动频率。由此已经证明，原子只能在量子中发光（尽管后来才真正理解了这种联系）。

普朗克这样写了他的公式：

$$f(v) = n(v) \cdot hv,$$

其中 $n(v)$ 是等于 $\frac{8\pi v^2}{c^3} \frac{1}{e^{\frac{hv}{kT}}} - 1$ 的量子数

$hv$——量子能量。最后一个公式可能看起来并不完全准确，因为它不会产生整数 $n(v)$。这没什么，因为该公式给出了平均量子数。例如，如果在某个体积中一半的时间有一个量子，一半的时间根本没有量子，那么平均量子数就是 $\frac{1}{2}$！

普朗克公式与瑞利-金斯公式的不同之处在于它不能用自由度来解释。如果我们假设每个量子具有三个自由度，那么系统的自由度数等于$3n(v)$，结果是温度的函数：自由度数随着温度的升高而增加。从粒子自由度的角度来看，这个结论是荒谬的。但正是在这种对惯常逻辑的违反中，走出了僵局。毕竟，发射粒子的数量可能不是一个严格定义的数字；它可能会随着条件的变化而变化。这

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当电子-正电子、质子-反质子等电子对的产生被发现时，这一点变得尤其清晰。

那天晚上，当普朗克发表报告时，没有人想到一种新物理学的诞生。他们从实用的角度审视了这个公式，并立即（报告后的第二天晚上）将新公式给出的图表与实验获得的曲线进行了比较。事实证明，普朗克公式很好地描述了整个光谱。

对于 ν 较大的频谱部分，可以从计算量子数 $n(\nu)$ 的公式的分母中去掉 1 - 与第一项相比，该单位为 mala。那么普朗克公式就会变成维恩公式。通过比较两个表达式我们可以得出维恩公式中的系数相等的结论

$$A = \frac{8\pi h}{c^3} \quad \text{и} \quad b = \frac{h}{k}.$$

普朗克将他的公式与维恩公式进行比较，给出了常数$h$的第一个值。他得到了$h = 6.55 \cdot 10^{-27} \text{ зре·сек.}$。此外，令人惊讶的是普朗克计算的 $h$ 值与上面给出的现代值相差如此之小。

对于普朗克公式中$v$较小的值，可以进行如下替换：

$$e^{\frac{hv}{kT}} \approx 1 + \frac{hv}{kT} \quad \text{если } \frac{hv}{kT} \ll 1.$$

然后你就得到了瑞利-牛仔裤公式。利用普朗克公式，可以得到斯特凡-玻尔兹曼定律。该定律的常数 σ 通过 $h$ 表达为以下公式

$$\sigma = \frac{2\pi^5}{15c^2} \frac{k^4}{h^3}.$$

1——Rayleigh-Jeans公式对应的曲线； 2 - 普朗克公式的图形表示； 3 - 由维恩公式给出的曲线。

15

量子，但他本身就是由量子组成的。

通过发射量子，身体失去能量，能量转化为光。这意味着根据相对论，光也会带走物体的质量。

量子质量可以通过组合两个公式来获得：$E=hv$和$E=mc^2$。其中：$m=\frac{hv}{c^2}$。 （按照惯例，更好的说法是，量子的动量为$p=mc$，即$p=\frac{hv}{c}=\frac{h}{\lambda}$。当然，$p$的动量是一个矢量：它指向量子飞行的方向。）量子的能量通过对应关系$E=cp$与其动量相关。该对应关系描述了静止质量为零的粒子。如果静止质量为$m_0\neq0$，则粒子的能量和动量在理论上由相对公式$E=c\sqrt{p^2+m_0^2c^2}$联系起来。

多亏了爱因斯坦，量子才与粒子平起平坐。只是它没有静止质量，因此注定总是以光速飞行。

康普顿效应

前面的一切，还有一点没有被经验验证。如果一个量子同时具有能量和动量，那么它是否像其他粒子一样满足能量和动量守恒定律？尽管我对这份问卷的肯定答案毫不怀疑，但对守恒定律的直接实验测试仍然非常有用。 1925 年，阿瑟·康普顿 (Arthur Compton) 进行了这样的测试，他研究了光量子落在静止电子上时如何散射。康普顿发现，首先，电子受到量子的脉冲，其次，量子失去能量，其频率降低。定性图像基于一百个粒子。但康普顿展示了更多；他证明了内容末尾的电子和量子的能量和动量与从描述守恒定律的方程中获得的能量和动量完全相同。

结论

因此，从研究光波开始，物理学家逐渐转向量子力学，这很容易让人想起牛顿力学，只是相对论带来了概括。

一门新科学的诞生总是以这样的方式发生：它将以前彼此相距甚远的不同事实错综复杂地交织在一起，并揭示出以前未曾注意到的联系。热力学、气体动力学理论、电动力学、光学以及最后的相关理论——这是现代物理学的重要性从普朗克公式发展而来的基础。

任务

1. 有一个容器 - 一个“黑体”，被加热到 $6000^\circ$ K 的温度。（太阳表面也有类似的温度。）确定对于同一个粒子，有多少能量倾向于 $1\text{ cm}^3$ 内部？为什么？

2. 构建“黑体”的能谱和温度$6000^\circ$ K 的量子数谱。这些曲线对于同一粒子是否有最大值？为什么？

3. 使用构建的曲线，估计加热到$6000^\circ$ K温度的$1\text{ cm}^3$“黑体”中有多少量子。（为此，您需要更改曲线的面积。为什么？

4. 能量为 $10\text{ квв}$（$1\text{ квв}=1,6\times10^{-16}$焦耳）的量子落在静止的电子上并后退。求入射量子和反射量子的频率。求碰撞后电子的能量。

16

链条柴火

N.M.贝斯金

即使在古代，科学家们也对
对于任何非整数
找到一个很好的近似值
具有较小值的分数。
文章讲的是最简单的
找到这样的分数的方法。

$$\pi = \sqrt{2}$$

1. 两个谜语

2. 阿基米德之谜。
   许多人认为，要找到非凡的东西，你必须走得很远，最好是进入太空。在我们的日常生活中，一切都是众所周知的，没有什么有趣的。

这是多么错误的观念啊！我们周围都是神秘的现象，但我们不会去思考它们，因为它们是自然的。这里我们要谈谈数学史上的两个神秘事实。

世界上所有的小学生都“学习”了一门几何课程，阿基米德发现了数字 π 的近似值

阅读$$\frac{22}{7}$$）。他们对这个事实已经习以为常，丝毫不怀疑其中隐藏着什么秘密。与此同时，人们只需要问一个自然的问题：为什么阿基米德更喜欢农村地区？为什么不是八分之一？尝试回答这个问题将把我们带入一个新的算术领域。

让我们澄清这个问题“以分数形式给出实数 α 的表达式的近似值 q”。
这意味着：在所有值为 q 的分数中，找到最接近数字 α 的分数。如果所有值为 q 的分数都绘制在数轴上，则数字 α 落在两个这样的相邻分数之间（当 α 与其中之一重合时的情况是无趣的）

$$\frac{p-1}{q} < \alpha < \frac{p}{q}.$$

从这两个分数中，选择最接近 α 的一个。例如，在 图 1 上，点 α 靠近线段 $$\left[ \frac{p-1}{q}; \frac{p}{q} \right],$$ 的右端，因此

*) 事实上，阿基米德在他的文章《论圆的测量》中对这个结果的表述略有不同。他指出了 l 的极限：

$$3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}.$$

尽管 l 接近 $$3 \frac{10}{71}.$$，但 $$3 \frac{1}{7},$$ 的含义已作为更简单的值广泛使用

17

应该接受
$$\alpha \approx \frac{p}{q}.$$
如果$\alpha$是线段$\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right]$的中间，那么要确定条件的条件，请选择其左端。

将数字$\alpha$替换为其近似值的过程称为近似（approximation）。

从上面可以清楚地看出，要近似数字 $\alpha$，您可以使用任何值的分数。意义的选择取决于我们的愿望。为了技术上的方便，他几乎总是使用小数。然而，在求小数分数的时候，分数还没有被发明出来，阿基米德可以取出任何分数。他选择了自己。为什么？耐心点，我们很快就会解决的。

当用分数 $\frac{p}{q}$ 近似实数 $\alpha$ 时，需要出现
$$\Delta = \alpha - \frac{p}{q}$$

（记住：需要是几乎值减去近似值）。如果该值的近似值是不足的，那么需求是正的，如果是过剩的，那么需求是负的。

绝对的巨大需要称为绝对需要。

很明显，使用所选择的近似方法，绝对消耗

度不能超过$\frac{1}{2q}$（参见图1）

$$|\Lambda| \leqslant \frac{1}{2q}.$$

数字$\frac{1}{2q}$是绝对需要的上限。使用另一种近似方法，上限可能不同。例如，如果我们同意始终采用有缺点的近似值，那么它将等于 $\frac{1}{q}$。

当$\alpha$为需求中间时，绝对需求达到（最不利）情况的上限
$$\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right].$$

很明显，如果近似值能够以较小的 $q$ 值提供高功效，那么它是有益的。为了实现盈利，需要比较两个值：1）实际的绝对需要，2）绝对需要的上限：

$$\frac{\text{абсолютная потребность}}{\text{верхняя граница абс. погр.}} = \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| : \frac{1}{2q} = 2 \cdot |q\alpha - p|.$$

通常考虑这个量的正数。让我们根据给定的需求来带她
$$h = |q\alpha - p|$$

请记住：减少的需求$h$是实际绝对需求与最大可能需求的比率。

明显地，
$$0 < h \leqslant \frac{1}{2}$$

$h$越小，近似效果越好。如果 $h$ 接近于零，则数字 $\alpha$ 位于靠近线段末端之一的位置
$$\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right].$$ $h$ 越接近$\frac{1}{2}$，$\alpha$ 越接近线段的中间。

18

尺寸

$$\lambda = \frac{1}{2h} = \frac{1}{2 \cdot |q\alpha - p|}$$

我们称之为盈利系数。它的含义很简单：盈利系数表示实际绝对误差比最大可能误差小多少倍。 $\lambda$越大，近似越有利。明显地，

$$1 \leqslant \lambda < \infty,$$

$$\lambda h = \frac{1}{2}.$$

不要认为较小的分数总是能给出更好的近似值！可以得出结论，当在数轴上绘制八分之一时，数字$\alpha$占据的位置不如绘制七分之一时有利。让我们用数字 $\pi$ 做一个实验，用不同的分数（从一到十分之一）来近似它。省略计算；读者可以自己复制它们。

图 2.

误差不超过0.0013，你会选择哪只股票？我们写下条件$\frac{1}{2q} \leqslant 0,0013$，从中得出$q \geqslant 385$，阿基米德通过取最小分母可以达到相同的精度。

读者，现在你相信阿基米德选择七次元不是偶然的吗？

许多世纪后，荷兰数学家阿德里安·麦修斯给出了一个近似值

$$\pi \approx \frac{355}{113}.$$

梅西亚数与阿基米德数具有相同的惊人特性：分母是 113 戈拉德

*) 计算得出$\lambda = \frac{1}{2 \cdot 0,0089} = 56,2$。要正确得到十位数，需要取$h$小数点后五位

19

比其他附近的分母更有利可图。我们建议读者以与上面研究阿基米德数相同的方式来研究 Meshchi 数。例如，选择性系数是多少？

2. 格列高利十三世之谜。格列高利十三世不是数学家。他是教皇。然而，他的名字却与一个重要的数学问题联系在一起——日历问题。

大自然给了我们两个自然的时间单位：年和日（太阳）。正如一本古老的宇宙学教科书中所说的*)“到了年底，一年不等于整数天。”人们不能不同意这一点，因为上述事实会带来许多不便。但这引发了一个有趣的数学问题。

1 年 =
= 365 天 5 小时。 48 分钟46秒。
或者

1 年 = 365.242199 天。

在公民生活中不可能使这么长的一年合法化。如果您将一年视为 365 天，会发生什么？ 图 3 显示正字法，它与包含天文学和自然地理学一般信息的学校科目同名。

*) 宇宙学是所谓的学术学科，包含天文学和自然地理学的一般信息。

图 3.

地球位。 1970 年 1 月 1 日零时。地球位于 A 点。在 365 天内，它不会到达轨道上的同一点，因此，在 1971 年 1 月 1 日 0 点。会在B点，1972年1月1日-在C点，等等。事实证明，如果固定某个日期，地球在轨道上的位置每年都会不同（会滞后近6个小时）。

四年下来，滞后了几乎一天，而且固定日期会落在不同的季节，即1月1日会逐渐从冬天移到秋天，再移到夏天。这很不方便：周期性事件（种植、学年开始）无法与特定的日历日期相关联。

有一种方法可以摆脱这种情况。有的年份需要365天，有的年份需要366天，通过它们来计算，使一年的平均长度尽可能接近真实的长度。可以以任何精度再现一年的真实长度，但这可能涉及短（简单）年和长（闰）年的非常复杂的划分法则，这是不可取的。需要做出妥协：比较/不通过年份法则，这使得一年的平均长度非常接近真实的长度。

这个问题首先由尤利乌斯·凯撒解决。当然，正确的“允许”一词只能有条件地应用。这是亚历山大天文学家索西基因为他做的，他为此目的被召唤到罗马。朱利叶斯·凯撒将引入以下制度：连续三年短，连续第四年长。

很久以后，当采用基督教历法时，可以被 4 整除的年份开始被视为闰年。这个历法被称为“儒略历”。根据儒略历，一年的平均长度是

$$365 \frac{1}{4} \text{ суток} = 365 \text{ суток } 6 \text{ часов.}$$

20

正如您所看到的，儒略年的平均长度比真实年份长 11 分钟。 14秒。 16世纪，教皇格列高利十三世希望纠正这一错误。 1582年，他对历法进行了如下改革。保留了简单年份和高年份之间的区别，但它补充了规则：如果年份数字是两个零，并且班次数不能被 4 整除，则查看今年。例如，据此，1700年是简单的年份，但1600年是高年份。

另外，考虑到从年表开始（从“基督诞生”开始）就已经累积了10天的误差，格列高利十三世立即加上了10天。从那时起，又累计了3天（1700年、1800年和1900年）。因此，目前儒略历与新（“公历”）历之间的差异为13天。

公历年的平均长度是多少？根据儒略历，400 年中，有 100 年是高级年份，而根据公历，有 97 年。因此

公历年的平均长度 =
= 365 $\frac{97}{400}$ 天 = 365.2425 天 =
= 365 天 5 小时。 49 分钟12秒，

即它比真实时间长 26 秒。
正如您所看到的，使用简单的方法就可以达到非常高的准确度。

在沙皇俄国，十月革命之前，他们使用儒略历。格里高利历是由人民委员会于1918年颁布的一项特别法令引入的。这就是我们目前使用的历法。它与太阳年实际长度的对应程度足以满足所有实际目的。难道可以说格列高利十三世的倒台决定是最简单、最自然的吗？请耐心等待您的答案，直至本文结束。

二.链条柴火

3. 链分数和的概念。让我们忘记十进制数字系统。正如俄罗斯杰出数学家尼古拉·尼古拉耶维奇·卢津（Nikolai Nikolaevich Luzin，1883-1950）所说，“十进制的优点不是数学上的，而是动物学上的。如果我们手上的手指不是十个，而是八个，那么人类就会使用八进制。”十进制对于实际评估来说很方便，但在研究算术理论问题时却很碍事。

因此，让我们向特殊的数字系统敞开心扉，并问自己一个问题：用分数来近似表示正数的最自然的方法是什么。

这个问题的答案是毫不犹豫的：首先有必要指出它是在哪些数字之间得出的结论。例如，

$$\frac{61}{27} \text{ нахождение между } 2 \text{ и } 3,$$
$$\sqrt{2} \text{ » } 1 \text{ » } 2,$$
$$\pi \text{ » } 3 \text{ » } 4.$$

当然，仅指示这些数字中较小的一个就足够了：

$$\frac{61}{27} = 2 + x \quad (0 < x < 1),$$
$$\sqrt{2} = 1 + y \quad (0 < y < 1),$$
$$\pi = 3 + z \quad (0 < z < 1).$$

21

请注意，这种估计与整数的表示方式无关，即与任何特定的数字系统无关。

将处理数字$\frac{61}{27}$。我们对“两个以上”的估计太粗略，仅适合作为第一近似值。如果我们想进行第二步，那么我们必须评估加法$x$。既然小于一，自然就用分子1表示为分数（我们再次诉诸“自然”，但这是最后一次）

$$\frac{61}{27} = 2 + \frac{1}{x_1}.$$

现在$x_1$大于1，我们再次重复相同的步骤：选择整个部分，等等。我们请读者仔细遵循这两个步骤的交替：

$$\frac{61}{27} = 2 + \frac{7}{27} = 2 + \frac{1}{27} =$$

$$= 2 + \frac{1}{3 + \frac{6}{7}} = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7}} =$$

$$= 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6}}}.$$

表达

$$a_0 + \frac{1}{a_1 + a_2 + a_s},$$

其中$a_1, a_2, \dots, a_s$是自然数，$a_0$是自然数或零，称为连分数。

数字$a_0, a_1, a_2, \dots, a_s$称为连分数的元素*)。我们可以说我们已经将数字 $\frac{61}{27}$ 表示为连分数。

*) 有时它们被称为不可约商。

连分数表示法是不是太麻烦了？在我们的示例中，结果是三层楼的分数，但如果结果是二十层楼的分数，则它无法容纳在一张纸上。

这是事实，因此连分数使用不同的表示法条件。我们将使用这个：

$$a_0 + \frac{1}{a_1 + a_2 + a_s} =$$

$$+ \frac{1}{a_s}$$

$$= [a_0; a_1, a_2, \dots, a_s].$$

请注意分号。她强调整个$a_0$的作用是特殊的，与其他数字不一样（特殊并不意味着更重要，在这种情况下，恰恰相反）。

是否可以说每个实数 *) 都可以用连分数表示，而且可以以唯一的方式表示？

首先，让我们考虑一下这个例子：

$$\frac{1}{6 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + 1}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1}}}$$

或缩写符号

$$[0; 6, 4] = [0; 6, 3, 1].$$

这种转换（单位与最后一个元素的分离）可以用任何连分数来执行，其中最后一个元素与单位相区分。如果最后一个元素等于 1，则可以将其添加到倒数第二个元素。例如，

$$[1; 10, 3, 7, 1] = [1; 10, 3, 8].$$

然而，很容易证明这是造成歧义的唯一原因

*) 现在我们讨论的是不同的正数。负数的引入并没有改变问题的本质，但无理数的引入却改变了很多。这将在下面讨论。

22

将有理数表示为整数分数。
可以证明：

1. 将有理数$\frac{p}{q}$（$p$和$q$互质自然数）转换为整数分数的过程在某个步骤结束。换句话说，任何正有理数都可以表示为$(\cdot)$。根据刚才所说的，这样的表示总是可能的，并且受到约束$a_s > 1$的约束。
2. 具有 $a_s > 1$ 和 $b_t > 1$ 的两个整数分数 $|a_0; a_1, \dots, a_s|$ 和 $|b_0; b_1, \dots, b_t|$ 彼此相等，当且仅当它们具有相同数量的元素时，即 $s = t$ 和 $a_i = b_i$ 与 $i = 1, 2, \dots, s$。
   我们不会证明这一点。我们文章的目的是解释主要思想并鼓励读者更深入地研究书中的问题*)。

4. 无限整数分数。那么无理数呢？让我们尝试展开成一个整数$\sqrt{2} = 1,4142\dots$。让我们波兰语：
   $$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{x_1},$$
   $$x_1 = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1,$$
   $$x_1 = 2 + \frac{1}{x_2}, \quad x_2 = \sqrt{2} + 1 = x_1.$$
   很明显
   $$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}$$
   $$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$$
   $$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$$
   $$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$$
   其中 $x = \sqrt{2} + 1$

*) 这里遗漏的所有证明都可以在例如 A. Ya 的书中找到。辛钦《连续分数》，编辑。 1961 年 3 月。

我想马上写
$$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}},$$
$$= [1; 2, 2, 2, 2, \dots].$$

也就是说，将 $\sqrt{2}$ 表示为无限整数分数。但这里需要极度谨慎：我们遇到了“无限小数”的新概念，但我们不知道它是什么。很容易理解，每个正无理数都对应着一个无限序列的完整定义
$$[a_0; a_1, a_2, \dots],$$
其中$a_0$是非负整数，所有$a_i$和$i \geqslant 1$都是自然数。我们稍后会研究适用于此的所有内容 *)，但现在让我们对我们所理解的内容感到满意：如何使用正数 $\alpha$ 构建其公式分解
$$\alpha \sim [a_0, a_1, a_2, \dots]$$
到有限或无限整数分数 **)。

5. 匹配分数。连分数可以通过保留元素$a_0, a_1, \dots, a_n$并丢弃$a_{n+1}, \dots$来终止。由此获得的结果称为$n$第合适分数，并用$\frac{p_n}{q_n}$表示。特别是，在 $n = 0$ 处，我们有一个零合适的分数 $\frac{p_0}{q_0} = \frac{a_0}{1}$。

我们会看到，$n$越小，相应的分数就越简单（即分母越小）。同时，它可以作为整数分数的近似值。

*) 该问题将在该杂志的下一期中进行全面讨论。
**) “~”是匹配符号。我们再加上一个等号，直到右侧符号的含义成立为止。

23

例子。让我们再次将数字$\frac{61}{27}$分解为整数分数并形成合适的分数

$$\frac{p_0}{q_0} = 2,$$

$$\frac{p_1}{q_1} = [2; 3] = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3},$$

$$\frac{p_2}{q_2} = [2; 3, 1] = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1}} = \frac{9}{4},$$

$$\frac{p_3}{q_3} = [2; 3, 1, 6] = \frac{61}{27}.$$

当然，不同数字$\alpha$的最后一个合适的分数是$\alpha$。

我们已经获得了数字 $\frac{61}{27}$ 的几个逐渐近似值。为了评估它们，我们将它们替换为 $\frac{61}{27} \approx 2,259$。

第一个近似值 2，$\Delta = 0,259$ *)。

第二个$\frac{7}{3} = 2,333, \Delta = -0,074$。

第三个$\frac{9}{4} = 2,250, \Delta = 0,09$。

我们替换为误差减小（根据横坐标值）并且具有交替的符号。这是一般规则。

在分解为数字 $\sqrt{2} = 1,4142$ 的整数部分的情况下…我们得到

$$\frac{p_0}{q_0} = 1, \text{ погрешность } \Delta = 0,4142,$$

$$\frac{p_1}{q_1} = [1; 2] = \frac{3}{2} = 1,5, \Delta = -0,0858,$$

$$\frac{p_2}{q_2} = [1; 2, 2] = \frac{7}{5} = 1,4,$$

$$\Delta = 0,0142,$$

$$\frac{p_3}{q_3} = [1; 2, 2, 2] = \frac{17}{12} = 1,4167,$$

$$\Delta = -0,0025,$$

$$\frac{p_4}{q_4} = [1; 2, 2, 2, 2] = \frac{41}{29} = 1,4138,$$

$$\Delta = 0,0004.$$

我们在这里也看到了同样的图片。

*) $\Delta$-错误（参见第 17 页）。

6. 其合适分数的主要性质。现在让我们在没有证明的情况下制定适当分数的基本性质，这将导致我们的谜语的解决。

如果 $\frac{p_n}{q_n}$ 是数字 $\alpha$ 的合适分数，则横坐标错误

$$|\alpha - \frac{p_n}{q_n}|$$

与通过具有较小值的任何分数近似数字 $\alpha$ 时相比，变量 *)。

例如，在获得了 $\sqrt{2}$ 的合适分数 $\frac{p_3}{q_3}$ 后，我们可以确定将 $\sqrt{2}$ 近似为任何小于 12 的分数会更糟。

三．解决方案

7. 阿基米德之谜。让我们尝试将数字分解为整数

$$\pi = 3,14159265\ldots$$

$$\pi = 3 + 0,14159265\ldots =$$

$$= 3 + \frac{1}{7 + 0,00885145}.$$

*) 拟合分数在许多方面提供了极高的近似值。这里给出的属性不是唯一的，也不是最重要的。其他属性将在该杂志的下一期中讨论。

24

在这个计算阶段，我们已经看到第一个合适的分数将是

$$\frac{p_0}{q_0} = 3, \quad \frac{p_1}{q_1} = \frac{22}{7}.$$

自己进行计算并确保

$$\pi \approx 13; \ 7, 15, 1, 288, 1, \dots.$$

$$\frac{p_2}{q_2} = \frac{333}{106}, \quad \frac{p_3}{q_3} = \frac{355}{113}$$

就这样。多么简单啊！这张桌子揭示了阿基米德的秘密，同时也揭示了墨丘斯的秘密。从中你可以看到：

第一个近似值：$\pi \approx 3$。

第二次近似：$\pi \approx \frac{22}{7}$。

第三次近似：$\pi \approx \frac{333}{106}$。

第四次近似：$\pi \approx \frac{355}{113}$

（奇数近似值不足，偶数近似值过量）。

我们是否可以认为阿基米德和麦修斯已经暴露了：他们使用连分数，阿基米德使用第二个合适的分数，而麦修斯使用第四个？

不，阿基米德不能这么说。

应该清楚地理解，我们解决的是一个数学问题，而不是一个历史问题。我们解释了如何得出数字 $\frac{22}{7}$。

阿基米德很可能使用了连分数，但这不能从他的著作中得到证实。法院不会接受我们的论点。历史学家尚未达成共识。通过将七度音与其他各种音度进行比较，也可以凭经验发现七度音的优势。

墨子则是另一回事。令人难以置信的是，像 $\frac{355}{113}$ 这样复杂的分数无需理论就能找到。麦修斯很可能使用连分数。很明显，他选择第四个合适的分数的原因是：下一个礼物很麻烦，实际上无法使用。

8. 格列高利十三世之谜。首先我们想一下我们自己如何解决跨越闰年的问题。我们将一年的长度表示为连分数。

$$1 \text{ год} = 365^2 5^4 48^3 46^2 = 365,242199^2 = 1365; 4,7,1,3,5,20,6,12]^2.$$

但不是。 L是无理数。它分解成无限的整数分数。年份的值是经验值。任何经验量都只是在一定的精度下变化，谈论它的合理性或非合理性是没有意义的。上述年份值是常见的，我们应该认为它是准确的。它被表示为有限整数分数。

找到前几个合适的分数：

$$\frac{p_0}{q_0} = 365,$$

$$\frac{p_1}{q_1} = 365 + \frac{1}{4} = 365 \frac{1}{4},$$

$$\frac{p_2}{q_2} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7}} = 365 \frac{7}{29},$$

$$\frac{p_3}{q_3} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1}}} = 365 \frac{8}{33},$$

$$\frac{p_4}{q_4} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}}} = 365 \frac{31}{128}.$$

什么合适的分数可以解决日历问题。例如，近似 $365 \frac{1}{4}$ 可以得到凯撒大帝的解决方案：每四年有一个闰年。没有人建议使用 $365 \frac{7}{29}$ 近似，显然是因为下一个近似

25

365/33 只是稍微复杂一点，但准确度明显更高。根据土库曼-波斯哲学家、数学家、天文学家奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam，1040-1123 年）提出的历法，每三十三年中有八年被视为高年。

有关所找到的真实 dinegadana 近似值的准确性的信息如下表所示。

| 进场号 | 高年交替 | 平均年长 | 错误 |
| :— | :— | :— | :— |
| 1 | 每 4 中 1 个高 | 365ᵃ 6ᵃ 00ᵃ 00ᵇ | -11ᵃ 14ᵇ |
| 2 | 7 》 》 》 29 | 365ᵃ 5ᵃ 47ᵃ 35ᵇ | +1ᵃ 11ᵇ |
| 3 | 8 》 》 》 33 | 365ᵃ 5ᵃ 49ᵃ 05ᵇ | -19ᵇ |
| 4 | 31 》 》 》 128 | 365ᵃ 5ᵃ 48ᵃ 45ᵇ | +1ᵇ |

在“误差”栏中，减号表示该年的平均长度大于真实的长度。

第四个选项非常准确。 1秒内出错。没有实际意义。因此，有人建议使用这个日历。例如，1864年，俄罗斯天文学家梅德勒提议从20世纪开始在俄罗斯引入这样的历法。为此，需要对儒略历进行如下修正：每128年，跳过一个高楼年份（因为根据儒略历，每128年有32个高楼年份）。然而，这个历法并没有在世界任何地方被采用，显然是因为128周期是“非循环的”。

解决了数学问题，让我们回到历史问题。格列高利十三世（或他的幕僚）传达的信息是什么？

文章开头说公历年的平均长度是365天5小时。 49 分钟12秒。

该值与真实值相差 26 秒之多。事实证明，格列高利十三世或他博学的顾问想出了这个主意……

诺缪斯（他被称为天文学家阿尔方斯并非无缘无故）。这些表格在作者去世一百年后首次在威尼斯出版。他们给出了一年的长度：

1 年 = 365ᵃ 5ᵃ 49ᵃ 16ᵇ。

使用这些表格，委员会应该能够得出这样的结论：拟议的日历年平均长度与真实长度仅相差四秒。如果委员会熟悉奥马尔·海亚姆的提议，就会得出他的日历出现 11 秒误差的结论。

我们补充说，没有理由假设格列高利十三世的委托使用了整数分数。她煞费苦心地在NOTE面孔中选择了所需的搭配。

至于奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam），科学家们认为，即使他没有完整的整分数理论，也拥有一些类似的基本方法来解决小值分数的最理性近似问题。在他的时代，东方科学在许多方面优于欧洲科学。

26

任务

1. 求出 Meshchi 数的盈利系数。

2. 展开成连分数$\frac{157}{225}$。

3. 折叠连分数 [3; 12、2、1、50]。

4. 展开成连分数
   a) $\sqrt{3}$，b) $\sqrt{5}$，c) $\sqrt{6}$。

尝试自己（不要翻书）思考通过分解 $\sqrt{n}$ 获得的连分数的性质，其中 $n$ 是一个自然数，但不是自然数的平方。

5. 求周期连分式a)[0;的值$a$、$a$、$a$、…]； b) [0; $a$、$b$、$a$、$b$、…]。

6. 一些东方民族使用混合的阳历和阴历。他们的名额有 29 天或 30 天。 29 天后的空间称为“空”，30 天后的空间称为“满”。日历年由十二个月或十三个月组成。希腊数学家梅顿（公元前433年）提出了解决阴阳历问题的替代方案。根据梅顿的说法，每十九年中有七年有十三个月，其余十二年有十二个月。在十九年的“黄金”时期，总共 235 个农历月份中，有 110 个是空月，125 个是满月。在这里，人们面临着更困难的任务，即同时逼近三个量的比例——白天的长度、农历月的长度和太阳年的长度。有一个相当好的近似值

$$\frac{1 \text{ солнечный год}}{1 \text{ лунный месяц}}$$

您将收到关于梅顿发明的运气的解释。

将农历月与日的长度之比展开成连分数。

你知道这个神奇数字的秘密吗？将其数字写在一个圆圈中：现在将其依次乘以 2、3、4、…、7，并每次用魔法圈检查。你会发现你永远不会离开魔法圈，直到“魔法”数字7打破它！

尝试了解这是怎么回事？为什么会有这么有趣的数字？事实证明，换算成小数时，这个周期最多为1/7。

自己在其他数字系统中找到“神奇数字”，例如，当计数系统基于 8 或 9 或 5 时。尝试概括结果模式。

请注意，该数字旨在用于检查竖琴或其他数字计算机操作的可靠性。

P·A·诺维科夫

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柯尔莫哥洛夫

这篇文章宣告了现代
对“功能”一词的一般理解。
这篇文章不便于阅读：
它要求读者注意每一个字，
虽然不需要任何特殊知识，
高中以上。
这也意味着
让读者知道如何处理文字
“集合”和“集合的元素”。

1. 介绍

对于“什么是函数？”这个问题小学生经常回答：“函数可以用表格、图表或公式来指定。”显然，这并不确定。但是，那些回避制定明确定义并立即转向描述函数如何编写的小学生也并非完全错误。数学不能从定义开始。当我对某个概念进行定义时，我们不可避免地会在这个定义中使用其他一些概念。在我们理解任何概念的含义之前，我们将一事无成，也无法制定单一的定义。因此，任何数学理论的提出都始于这样一个事实：一些基本概念在没有定义的情况下被接受。使用它们，已经可以制定进一步任意概念的定义。

人们如何相互交流对基本概念含义的理解？除了通过示例并借助对所定义事物的属性特征的详细描述来进行澄清之外，没有其他方法可以实现这一点。这些描述可能在细节上并不完全清楚，并且起初可能并不详尽。但渐渐地，这个概念的含义就从他们身上变得足够清晰了。这就是我们处理函数概念的方式，认为它是不受正式定义约束的基本数学概念之一。

[确实，稍后会说函数只不过是一个集合到另一个集合的映射（函数的定义域到其值的集合）。但这里的“显示”一词只是“功能”一词的同义词。这是同一概念的两个名称。用另一个同样重要的词对一个词的解释不能取代它所表达的概念的定义。]

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示例 1. 我们假设字母 $x$ 和 $y$ 代表实数。符号$\sqrt{1-x^2}$将被视为提取平方根参数的符号。平等

$$y = \sqrt{1-x^2}$$

表示满足条件

$$x^2 \leq 1, \quad y \geq 0, \quad x^2 + y^2 = 1.$$

坐标满足这些条件的点形成一个半圆，如 图 1 处的红线所示。

图 1 明确了以下事实，您可以纯代数地证明这些事实：

1. 式(1)允许任意满足条件的$x$

$$-1 \leq x \leq 1,$$

计算满足不等式（4）的相应$y$，对应于至少一个这样的$x$，根据公式（1），其对应于给定的$y$。

我们可以说，公式（1）指定了从满足不等式（3）的数集$x$到满足不等式（4）的数集$y$的映射。数学家经常（尤其是最近）使用箭头来表示映射。我们感兴趣的映射可以使用这样的箭头来编写：

$$x \rightarrow \sqrt{1-x^2}.$$

例如：

$$\begin{align*} -1 &\rightarrow \sqrt{1-(-1)^2} = 0, \\ -\frac{4}{5} &\rightarrow \sqrt{1-(-\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}, \\ \frac{3}{5} &\rightarrow \sqrt{1-(\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}, \\ 0 &\rightarrow \sqrt{1-0^2} = 1. \end{align*}$$

注意：如果满足以下条件，则映射已完全指定

a) 给定显示的集合$E$，

b) 对于该集合$E$的每个元素$x$，给定一个元素$y$，元素$x$映射到该元素上。

图 1.

图 2.

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$y$所有值的集合用字母$M$表示。例1中，$E$是满足条件(3)的数的集合，$M$是满足条件(4)*)的数的集合。

示例 2. 规则

1. $x \to \sqrt{x^2}$,
2. $x \to \begin{cases} x, \text{ если } x \geqslant 0, \\ -x, \text{ если } x < 0 \end{cases}$

定义相同的映射

$$x \to |x|$$

(7)

模型上的实数 $x$（绝对值）$|x|$ (图 2)。

映射（7）显示所有实数的集合

$$R = (-\infty, \infty)$$

对于很多人来说

$$R_+ = (0, \infty)$$

非负实数。

您可以说函数并编写映射 (5)，而不是单词映射，如下所示：

$$f(x) = \sqrt{1-x^2},$$

(8)

显示(7)是这样的：

$$f(x) = |x|.$$

(9)

式（6）中列出的函数（8）的部分值将写成以下形式：

$$f(-1) = 0, \quad f\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}, \quad f\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}, \quad f(0) = 1.$$

函数(9)的定义域是所有实数$R$的集合。其值的集合是非负实数的集合$R_+$。

示例 3. Petya、Kolya、Sasha 和 Volodya 住在宿舍里。他们为二月份制定了以下活动计划：

| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | . . . | 28 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 彼佳 | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | . . . | |
| 科利亚 | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | | | . . . | |
| 萨莎 | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | | | . . . | |
| 沃洛佳 | ■ | | | ■ | | | | ■ | | | | | | | . . . | |

*) 集合可以用任何字母表示。这里我们采用字母 $E$（来自法语单词 ensemble - set）和 $M$（德语 - Menge；碰巧俄语单词“set”以同一个字母开头）。但这不是必需的：在下一个示例中，我们将按照惯例用字母 $R$（法语 gel - 实数，实数）表示实数集。

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该表与您在学校代数课程中熟悉的函数图的相似性是惊人的。这个类比有精确的逻辑意义吗？这里的男孩们是否建立了从一组到另一组的映射，也就是说，他们定义了某个函数吗？他们没有画出这个函数的图形吗？ （注意日常用语“建立函数的图形”！）

2. 功能的一般概念

很容易看出，在示例 3 中，2 月 28 天的每一天都分配了一名值班人员。换句话说，二月的许多日子反映在许多男孩身上，他们之间分担责任。我们可以同意，字母x代表二月的任意一天，y=f(x)代表x天值班的人。没有理由拒绝展示

第 x→y = 第 x 天的值班人员

在右侧将其称为函数并像这样编写此映射：

y=f(x).

我们将把 f 集合 E 到集合 M 的任何映射称为一个具有定义域 E 和一组值 M 的函数。

不要忘记，当我们谈论将 f 从集合 E 映射到集合 M 时，我们的意思是 y=f(x) 是为来自 E 的任何 x 定义的，并且

将 E 映射到 M

将 E 映射到 M

仅对于来自该集合的 x，并且函数 f 的值 y 必然属于集合 M，并且来自该集合 M 的每个 y 是函数 f 对于参数 x 的至少一个值的值。

如果只知道函数f的值必然属于集合M，但没有说明这个集合的每个元素都是函数f的值，那么我们说该函数将其定义域E映射到集合M中，或者说映射f是集合E到集合M的映射。

因此，有必要严格区分表述的含义

“映射到集合 M”
“映射到集合 M”*）。

*) 另请注意，每个“on”映射也可以称为“in”映射，但反之则不然。

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例如，关于图像

$$x \rightarrow |x|$$

我们可以说它是$R$到$R$的映射，但不能说它是“$R$到$R$的映射”。

从纯粹逻辑的角度来看，最简单的情况是函数的定义域是有限的情况。很明显，定义域由 $n$ 个元素组成的函数不能采用超过 $n$ 个不同的值。因此，在有限集上定义的函数执行有限集到有限集的映射。此类图像是研究数学重要组成部分——比较学的课题之一（见问题8、11、18、19）。

示例 4. 考虑定义域很多的函数

$$M = \{A, B\}$$

两个字母$A$和$B$的组合，其值属于同一集合，即集合$M$自身的图像。

这样的函数只有四个。让我们通过以下方式将它们分配给表：

| $x$ | $f_1(x)$ | $f_2(x)$ | $f_3(x)$ | $f_4(x)$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $A$ | $A$ | $B$ | $A$ | $B$ |
| $B$ | $A$ | $B$ | $B$ | $A$ |

函数$f_1$和$f_2$是常量，即常量：这些函数中每一个的值的集合都由一个元素组成。

函数$f_3$和$f_4$将集合$M$映射到其自身上。函数$f_3$可由以下公式给出

$$f_3(x) = x.$$

这是一个形象的概念：集合$E$的每个元素都是单独处理的。

为了完整地阐明“函数”概念的含义，还需要注意这样一个事实：选择字母来表示“自变量”，即处理的任意元素，和“因变量”，即一组值的任意元素，完全不存在。帖子

$$x \rightarrow \sqrt{x}, \quad \xi \rightarrow \sqrt{\xi}, \quad y \rightarrow \sqrt{y},$$

$$f(x) = y = \sqrt{x}, \quad f(\xi) = \eta = \sqrt{\xi}, \quad f(y) = x = \sqrt{y}$$

定义相同的函数$f$，它将非负数处理为其算术平方根。使用这些条目中的任何一个，我们将得到

$$f(1) = 1, \quad f(4) = 2, \quad f(9) = 3$$

ETC。

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3. 双面功能

功能

$$y = f(x)$$

称为可逆)，如果每个值取一 -
唯一的一次。这些是示例 4 中的函数 $f_3(x)$ 和 $f_4(x)$。
实施例4的$f_1(x)$和$f_2(x)$以及实施例1、2和3的功能是无机的。

要证明任何函数都是不可逆的，只需表明
取参数$x_1 \neq x_2$的任意两个值，其中

$$f(x_1) = f(x_2).$$

在示例 3 中，只要注意到 Petya 在 1 号和 5 号都值班就足够了
二月。因此，实施例3的功能是不可逆的。

示例 5. 函数 $f$

$$x \xrightarrow{f} y = -\sqrt{x}$$

可逆。它是在非负数集合$R_+$上定义的。多-
其意义的姿态是大众

$$R_- = (-\infty, 0]$$

所有非正数。给定集合$R_-$中的任何$y$，我们可以找到
通过公式$x = y^2$对应于$x$。

函数$g$

$$y \xrightarrow{g} x = y^2$$ $y \leqslant 0$

有函数 $f$ 的*逆函数。它将集合 $R_-$ 映射到集合 $R_+$。正如已经提到的，没有选择字母来表示自变量和因变量。函数$f$和$g$可以写为

$$f(x) = -\sqrt{x}$$ 对应$x \geqslant 0$，$g(x) = x^2$ 对应$x \leqslant 0$。

图 3 显示互逆函数$f$ 和$g$ 的图像。

图 3.

图 4.

*）这个名字的由来稍后会变得清楚：一个函数是可逆的，如果对于它
有一个反函数。

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例 6. 表中给出的函数 $f$

$$\begin{array}{c|cccc} x & A & B & B & \Gamma \\ y = f(x) & 3 & 1 & 2 & 5 & 4 \end{array},$$

由俄语字母表的前五个字母的集合定义，其值的集合是前五个自然数的集合。反函数$g$由表给出

$$\begin{array}{c|cccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ y = g(x) & B & B & A & D & \Gamma \end{array}.$$

图 4 显示了这些函数的图形。

让我们给出精确的定义。令$f$为从集合$E$到集合$M$的映射。如果对于集合 $M$ 中的任何元素 $y$ 有一个且唯一的元素

$$x = g(y)$$

设置 $E$ 为

$$f(x) = y,$$

那么映射$f$是逆的，并且

$$y \rightarrow x$$

称为映射$f^*$的逆映射。

$E$ 到 $M$ 的可逆映射

$E$ 到 $M$ 的可逆映射

因此，映射$f$的可逆性意味着它有一个逆映射$g$。 $f$的倒数通常用$f^{-1}$表示。例如，如果

$$f(x) = x^3,$$

那

$$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}.$$

由于“函数”一词只是“映射”一词的同义词，因此我们定义了“反函数”这一表达的含义。

*) 此类映射也称为 $E$ 到 $M$ 的一对一映射。

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尝试重复上面所说的内容，将“映射”一词与“功能”一词一起使用。

显然，反函数$f^{-1}$的域是函数$f$的值集，而值集$f^{-1}$是函数$f$的域。

反函数$f^{-1}$的反函数是原函数$f$：

$$(f^{-1})^{-1} = f.$$

因此，函数$f$和$f^{-1}$总是互逆的。

例 7. 有些函数是它们自己的反函数。此类功能

a) $f(x) = x,$
b) $f(x) = \frac{1}{x},$
b) $f(x) = \frac{x}{x-1}$.

一探究竟！这些函数的图形在 图 5 上给出。请注意，所有这些图形都相对于第一个和第三个正方形的平分线（即直线 $y=x$）对称。

让我们示意性地描述从集合$A$到集合$B$以及$A$到集合$B$的不同类型映射之间的对应关系。

让我们再次回忆一下，最普遍的概念是$A$到$B$的映射概念。如果通过这样的映射，图像$A$与$B$重合，我们就将$A$映射到$B$。

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可逆映射也称为一对一映射。您经常会在书籍中遇到这个术语。但谈论“一对一函数”并不习惯。由于我们认为“函数”和“映射”这两个词是同义词，因此我们选择使用“映射函数”或“映射映射”一词，以及“一对一”一词。

最近，法语术语在我们的文献中变得普遍：

1. $A$到$B$的映射被法国人称为“满射”或“满射”；
2. $A$ 到 $B$ 的映射称为“内射”或“注入”；
3. $A$ 到 $B$ 的映射在法语术语中称为“双射”或“双射”。

请注意，以访问的态度来使用介词“in”和“on”这样的一般术语是不必要的。

3 高级控制系统

非常简单的问题都标有零，通过回答可以检查您是否理解状态中所写的内容。更困难的任务标有星号。没有必要全部解决。

1. 介绍

1.0。求下列函数的域和值集：

a) $y = f(x) = \frac{1}{x^2}$, 6) $y = f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$.

2. 数$x$的整数部分是不超过$x$的最大整数。整个$x$部分代表$[x]$。例如，

$$[0] = 0, [7,5] = [7] = 7, [-0,3] = -1, [-\pi] = -4.$$

差$x - [x]$称为数字$x$的小数部分，并表示$\{x\}$。绘制以下函数的图形并找到它们的域和值集：

a) $f_1(x) = [x]$, 6) $f_2(x) = \{x\}$, b) $f_3(x) = \{x\} - \frac{1}{2}$, r) $f_4(x) = \left| \{x\} - \frac{1}{2} \right|$,

$$d^*) f_5(x) = \left[ \frac{1}{x} \right], e^*) f_6(x) = \frac{1}{[x]}, j^*) f_7(x) = \left\{ \frac{1}{x} \right\}, 3^*) f_8(x) = \frac{1}{[x]}.$$

3*。对于任何自然数$n$，我们将$s(n)$定义为数字$n$的除数之和（不包括$n$本身）。例如，

$$s(1) = 0, s(2) = 1, s(6) = 6, s(12) = 16, s(28) = 28, \dots$$

证明$s(n)$不取值2和5。

2. 功能

4.0。两个整体（$A$和$B$）可以通过四种方式共享两个房间：

你可以用多少种方式容纳：a) 三个房间里的两个整体，b) 两个房间里的三个整体，b) 两个房间里的三个整体，这样没有一个房间是空着的？

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5. 集合$M$由三个元素组成，集合$N$由两个元素组成。有多少个映射：a) 映射$M$ 到$N$，b) 映射$M$ 到$N$，c) 映射$N$ 到$M$，d) 映射$N$ 到$M$？

6. 七位数电话号码有多少个？哪个数字仅由数字 0、1、2、3 组成？

7. 证明有超过一百万个函数只接受两个值：0 和 1，并且是在前 20 个自然数的集合上定义的。

8. 集合$M$由$m$个元素组成，集合$N$由$n$个元素组成。集合$M$上定义了多少个取值$N$的函数？

我们还要注意，任务 8、11、18、19 被认为是组合学的主要问题之一。我们在这里展示它们是为了表明组合学与零件有重要的联系，并且涉及计算一种或另一种类型的有限集到有限集的映射数量。

9. 您可以有多少种座位方式：a) 两位客人坐在两把椅子上，b) 三位客人坐在三把椅子上，c) 六位客人坐在六把椅子上？

10. 许多 $E$ 由六个要素组成。表明正好有 720 个函数 $E$ 既是一个定义域又是一组值。

11. 有限集到其自身的映射称为子集。集合的不同排列的数量仅取决于其元素 $n$ 的数量，并表示为 $n!$。表明

$$1! = 1, \ 2! = 2, \ 3! = 6, \ 4! = 24, \ 5! = 120, \ 6! = 720.$$

指出计算$n$的一般方法！

3. 反函数

12.0。下列哪些函数是反函数，哪些不是反函数？

$$f_1(x) = x^3, \ f_2(x) = x^4, \ f_3(x) = x^{17}, \ f_4(x) = x^{18}$$

13. 课堂上，每对后面坐的人不超过两个。让我们为每个学生分配他的邻桌，如果他独自坐着，则为他自己。会有什么回报？

14. 让俄语的每个单词都有一个对应的单词，用相同的字母书写，但顺序相反（单词是字母的序列）。这个函数是反函数吗？如果是，反函数是什么？

15. 有限集到其自身的映射总是可逆的。给出一组自然数到其自身的非逆映射的示例。

16. 三艘船必须容纳九名游客。如果要求a）每艘船上有三人，b）每艘船上不超过四人且不少于两人，b）每艘船上至少有一名游客，他们可以通过多少种方式做到这一点？ （船有编号：1 号、2 号、3 号。）

17*。如果主人有学生，​​那么习惯上就不会说一名学生一名客人：许多客人以相反的方式反映在许多学生身上。如果房间里只有六名学生，您可以用多少种方式让他们入座：a）一名客人，b）两名客人，c）四名，d）高跟鞋，e）六名客人？

18*。一个有限集$M$到另一个有限集$N$的逆映射称为放置（客人被“放置”在椅子上）。集合$M$到集合$N$的映射数量仅取决于集合$M$的元素数量$m$和集合$N$的元素数量$n$，并表示为$A_m^n$。表明

$$A_1^1 = 1, \ A_2^1 = A_2^2 = 2, \ A_3^1 = 3, \ A_3^2 = A_3^3 = 6, \ A_1^2 = 90,$$

并建立了计算$A_n^m$的一般规则。证明它总是$A_n^{n-1} = A_n^n$。

19*。任务16c可以抽象地形成：一组第九个元素到一组三个元素有多少个映射。让$D_n^m$表示一组$n$元素到一组$m$元素的映射数量。检查一下

$$D_3^2 = 6, \ D_4^2 = 12, \ D_4^3 = 36, \ D_n^n = n!$$

尝试计算 $D_n^m$ 的一般规则（这是一个比问题 8、11 和 18 稍微困难一些的问题）。

20*。在一组 28 个元素上定义的函数有多少个，它们分别采用四个值 P、K、C 和 B 六次？

这是一个关于在 Petya、Kolya、Sasha 和 Volodya 之间公平分配 2 月份职责的方法数量的问题（第 29 页的示例 3）。

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我们在每一步都与培训师互动。更准确地说，如果没有经过训练，我们就寸步难行。但是，尽管摩擦在我们的生活中发挥着重要作用，但摩擦起源的完整图景尚未形成，这个问题仍不清楚。这甚至不是因为摩擦具有复杂的性质，而是因为摩擦实验对表面处理非常敏感，因此难以重现。

这是一个例子。英国物理学家哈代研究了玻璃板之间的摩擦力与温度的关系。他用漂白剂仔细处理盘子，然后用水清洗，去除脂肪和污垢。摩擦力随着温度的升高而增加。该例程重复了多次，每次都获得大致相同的结果。但有一天，我的塑料

上图：复制自 图 列奥纳多·达·芬奇。

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蒂尼基，加丁用手指擦拭它们。尽量不要根据温度而改变。正如加丁自己所认为的那样，在擦拭盘子后，他从盘子上去除了一层非常薄的玻璃，由于与漂白剂和水的相互作用，玻璃的性能发生了变化。

当谈论trenium时，需要区分三种不同的物理现象：物体在液体或气体中运动时的阻力——称为液体trenni；当物体在某些表面上滑动时产生的阻力是滑动trene，或干trene；物体滚动时产生的阻力称为滚动摩擦。本文是关于干训练的。

我们所知的第一个摩擦研究是由列奥纳多·达·芬奇在大约 450 年前进行的。他测量了沿着木板滑动的木制平行六面体上的摩擦强度，并且通过将棒放置在不同的面上，他确定了摩擦强度对支撑面积的依赖性。但列奥纳多·达·芬奇的作品并未出版。它们在 17 世纪和 18 世纪的经典摩擦定律之后为人所知。法国科学家阿蒙顿和库仑重新发现。

这些定律是： 1) 摩擦力$F$与物体运动表面上的法向压力$N$成正比：$F = kN$，其中$k$是称为摩擦系数的无量纲系数； 2）摩擦强度不取决于表面之间的接触面积； 3）摩擦系数取决于摩擦表面的性质； 4）摩擦力的强弱与物体的速度无关。

三百年的摩擦研究已经正确证实了阿蒙顿和库仑提出的前三个定律。只有最后一个，即第四个，被证明是不正确的。但很久以后，当铁路出现并且司机们注意到火车制动时的表现并不像工程师们预测的那样时，这一点就变得清楚了。

阿蒙顿和库仑宣称摩擦的起源非常简单。两个表面都不平坦，并布满小隆起和凹陷。运动时，突出物相互紧贴，因此身体不断上升和下降。为了使身体旋转上“山”，必须对其施加一定的力。如果突出物较大，则需要更大的力。但这种解释与一个非常重要的现象相矛盾：能量是在火车上处理的。沿水平面滑动的立方体停止。他的精力都花在了trenna上。当起落时，身体不会浪费能量。还记得美国山地骑行吗？当雪橇滚下山时，其势能转化为动能，雪橇的速度增加，而当雪橇到达新的高度时，动能反而转化为势能。雪橇的能量会因训练而减少，但不会因上升和下降而减少。当一个物体在另一个物体的表面上移动时，情况类似。在这里，tenna 上的能量损失也不能与一个物体的突起爬到另一个物体的突起上这一事实联系起来。

仍有反对意见。例如，改变抛光玻璃板之间的摩擦硅石的简单实验表明，随着表面抛光的改进，摩擦硅石最初不会改变，然后增加，并且不会减少，正如根据阿蒙顿和库仑提出的现象模型所预期的那样。

摩擦机制要复杂得多。由于不规则性，它们仅在突起顶部的某些点处接触。在这里，接触物体的分子接近的距离与物体本身分子之间的距离相当，并且是专门化的。形成牢固的结合，当您按压身体时，该结合将被插入。在

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随着身体的运动，连接不断地产生和打破。在这种情况下，会发生分子振动。能量被浪费在这些振动上。

实际接触面积一般为一到两千平方微米。它实际上不取决于物体的大小，而是由表面的适用性、表面处理、温度和法向压力决定。如果按压身体，突起会被压缩，实际接触的面积会增加。摩擦力也会增大。

由于表面粗糙度很大，“kholam”之间的机械替代开始在增加摩擦力方面发挥重要作用。当它们移动时，它们会被压碎，同时分子也会产生振动。

抛光玻璃板的经验现在已经很清楚了。虽然表面“粗糙”，接触点的数量很少，但经过良好的抛光后接触点的数量有所增加。另一个例子是通过改善表面来增加摩擦力。如果你拿两根表面干净抛光的金属棒，它们就会装配在一起。这里的火车变得非常大，因为实际接触面积很大。分子内聚力负责形成三烯，将两根金属棒变成一块巨石！

您可以在家做以下实验。将玻璃杯放在玻璃板上，将一根绳子系在玻璃杯的茎上，然后沥干玻璃杯。然后用水润湿玻璃和玻璃杯杆，以除去所有油脂或污垢。再把它拿出来。现在要做到这一点要困难得多。清洁接触玻璃——玻璃不易破碎。如果仔细观察表面，您甚至可能会发现划痕。事实证明，撕下玻璃碎片比断开接触更容易！

我们考虑的摩擦模型相当粗糙。我们在这里并没有详细讨论分子的扩散，即一个物体的分子渗透到另一个物体中，接触表面上产生的电子电荷的作用，以及润滑剂的作用和作用机制。这些问题大多不清楚，而且解释也存在争议。令人惊讶的是，在如此复杂的情况下，训练只能用一个简单的定律来描述：$F = kN$。尽管摩擦系数 $k$ 不是非常恒定，并且表面上的一点到另一点有所不同，但对于我们在技术中经常遇到的许多表面，可以对预期摩擦力做出相当好的估计。

干训练有一个基本特征：休息训练。如果在液体或气体中，只有当物体移动时才会发生摩擦，并且通过施加很小的力就可以移动物体，那么对于干摩擦，只有当施加在物体上的力 $F$ 投射到与物体所在表面相切的平面上的投影变得大于某个值时，物体才开始移动。在物体开始滑动之前，作用在其上的摩擦力等于所施加力的切向分量，并且方向相反。随着施加的力增加，摩擦力也会增加，直到达到等于 $kN$ 的最大值，此时开始滑动。训练不再改变。

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解决问题时常常会忘记这一点。对于“如果摩擦系数为 0.4，重 30 公斤的桌子站在地板上所受的力是多少”这个问题，大多数人自信地回答：“12 公斤”，这是不正确的。摩擦力为零，否则桌子将沿摩擦力的方向移动，因为没有其他水平力。

因此，如果物体完成了，那么为了将其从原来的位置排出，必须向物体施加一个大于最大可能静摩擦力的力，该静摩擦力由分子键的强度决定。但如果身体已经在移动会发生什么？必须施加多大的力才能使身体开始向另一个方向移动？事实证明，你喜欢多大就多大。这正是由于该力不能大于静摩擦力的最大力。

尝试一个简单的实验。拿一本书，将其一侧放在另一本较厚的书上。结果是一个斜面。现在将一个带有线的火柴盒连接到该平面上。如果箱子打滑，则可以采用较厚的书架来减少飞机的倾斜度。拉动选择框的字符串。同时，也被推了下来！减小平面的倾斜度并再次拉线。同一张照片。即使平面倾斜角度很小，盒子也会滑动。由于某种原因，相当于把箱子放在飞机上的摩擦力变得很小。

让我们尝试了解这里发生了什么。如果盒子仅水平移动，则平行于斜面边缘的摩擦力将作用于其上，摩擦力等于$kN$。为了使盒子不滑落，必须有向上的摩擦力作用在其上，其大小等于盒子的重量在斜面上的投影。这两个摩擦力的合力大于$kN$，但这是不可能的。这意味着盒子应该滑离斜面。

取一个块，在其上附上一根线，并将块放在水平面上，以恒定速度$v_1$拉动线。通过对木块施加垂直于$v_1$的力，也可以使其以恒定速度$v_2$沿该方向移动。摩擦力将等于 $kN$，方向与块相对于平面的运动速度 $v$ 相反

$$F_1 = F_{\text{tp}} \cos \beta, \quad F_2 = F_{\text{tp}} \sin \beta,$$

其中 $\beta$ 是向量 $v_1$ 和 $v$ 以及 $tg \beta = \frac{v_2}{v_1}$ 之间的角度。

摩擦力的 $F_1$ 分量由螺纹的张力和施加到杆上的 $F_2$“侧向”力来平衡。因为

$$\sin \beta = \frac{tg \beta}{\sqrt{1 + tg^2 \beta}},$$

那

$$F_2 = F_{\text{tp}} \frac{v_2}{\sqrt{1 + \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2}} = F_{\text{tp}} \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}.$$

如果$v_2 \ll v_1$，则角度$\beta$小且$\sin \beta \approx tg \beta$。