Kvant 1970 年第 6 期 · 页面

科普物理和数学
量子
6
1970
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

93

主编-I.K.KIKOIN院士
第一副主编——柯尔莫哥洛夫院士

编辑集：

L.A.阿齐莫维奇，
M·I·巴什马科夫
V.G.波尔坦斯基，
I.N.布朗尼汀，
N·B·瓦西里耶夫
I·F·金兹堡
V.G.祖博夫，
P.L.卡皮察，
V.A.基里林，
G·I·科苏罗夫
V.A.列什科夫采夫，
V·P·利舍夫斯基
A.I.马库舍维奇，
M.D.米尔尤尼特科夫，
N·A·潘皮基耶娃
N.Kh.罗佐夫
A.P.萨文
I.Sh.斯洛博德希
M·L·斯莫良斯基
Y.A.斯莫罗丁斯基，
V.A.法布里坎特，
J·E·施奈德

院士
苏联教育科学院通讯院士
苏联教育科学院院士
院士
（副主编）
苏联教育科学院院士
院士
（副主编）
物理和数学科学博士
苏联教育科学院院士
（执行秘书）

编辑部主任 L. V. Chernova
首席艺术家 E. P. Leonov
技术编辑 T. M. Makarova
校对员 I. V. Mamulova, G. S. Smolikova
《科学》出版社
主编室
物理和数学文献
莫斯科，V-71，列宁大街，15
电话。 234-07-93 234-08-11

1970 年 4 月 8 日成套交付。
1970 年 6 月 22 日签署出版。
纸 70×1001/₁₆。物理。奥恩湖4.
状况。奥恩湖5, 20。学术版。湖6.12.
发行量206270份。
价格30戈比。订单 568 T-09760
契诃夫印刷厂 Glavpolygraphprom
苏联部长会议新闻委员会
契诃夫，莫斯科地区

1

在房间里：

数系 2 I. M. Yaelom

磁通量守恒定律 11 喻． V·沙尔文

生物系数的算术 17 D. B. Fuks, M. B. Fuks

问题书《Quenta》26

1969 年莫斯科钢铁合金学院数学入学考试 29 V. V. Goldberg

1969 年莫斯科航空学院数学入学考试 35 V. A. Nazaev, P. N. Torzhkov

交通时刻表39余。 V·扎伊奇科夫

ZMSH 1970 介绍性测试工作中问题的解决方案 46 A. L. Toom

五年级习题 54

数学家所做的一切 55

答案、指示、解决方案 59

编辑邮件正在进行中… 64

填字游戏 -
第三封面页

---

running_head:
folio:

数字系统
I.M.亚格洛姆

§ 1. 关键数字

前九个自然数 WE
有特殊标志
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2

3

对实践中遇到的所有数字都做同样的事情是不方便的。此外，如果我们的需求仅限于数以千计，我们就需要记住一千个特殊字符。自然地，很长一段时间以来，人们开始选择一个或另一个系列的“关键”数字，并只用特殊的符号来指定它们。例如，这是基于关键数字的罗马编号系统
1、5、10、50、100、500 和 1000。
罗马数字系统中的这些数字代表字母 I (“i”)、V (“ve”)、X (“ix”)、L (“el”)、C (“ce”)、D (“de”) 和 M (“em”)。

这些名称通常源自图，曾经描绘了相应的数字（I - 手指，V - 手指放置的五，X - 两个五），并且通常是拉丁词的缩写（centum - 一百，demimille - 五百，mille - 千）。

由于我们只需要罗马数字系统作为示例，因此我们将在较旧的简化版本中考虑它，此时数字“四”以 IIII 形式而非 IV 形式书写。在这个古罗马系统中，数字 3477 的写法如下：MMMSSSSCLXXVII=3·1000+4·100+50+2·10+5+2。

收银员也做同样的事情，有100卢布、50卢布、25卢布、10卢布、5卢布、3卢布和1卢布面额的纸币。对于收银员来说，数字是关键

100、50、25、10、5、3 和 1。
比如说，想要支付 499 卢布，他首先发行尽可能多的百元大钞，

放弃太多：
499 = 4·100 + 99.

然后，他发行尽可能多的 50 卢布票，以便发行不超过剩余的 99 卢布：
499 = 4·100 + 1·50 + 49,
有时他可能会得到小于下一个关键数字的余数。在我们的例子中，发行两张十卢布后就是这种情况：
499 = 4·100 + 1·50 + 1·25 + 2·10 + 4.

下一个关键数字是 5，但是，由于 4 < 5，因此无需给出 5 卢布。但对于这幅画，我们可以假设给出了 0 个五卢布，并在总和中包含了 0·5 项。发行499卢布的整个程序会这样写：
499 = 4·100 + 1·50 + 1·25 + 2·10 + 0·5 + 1·3 + 1·1.

现在让我们尝试概括已经说过的内容，将任何递增数字的序列作为关键数字序列（“基础”）：
$q_0 = 1 < q_1 < q_2 < \dots < q_n < \dots$ (1)
让我们描述如何在以 (1) 为基数的数系中获得任意数 $N$ 的表示法。

在关键数字序列（1）中，有最大的数字$q_n$，不超过$N$。 Delim $N$ 除以 $q_n$，我们得到（不完全）商 $a_n$ 和余数 $r_{n-1}$：
$N = a_nq_n + r_{n-1}$，其中$0 \leqslant r_{n-1} < q_n$。

第一个余数$r_{n-1}$除以下一个关键数字$q_{n-1}$。我们把
$r_{n-1} = a_{n-1}q_{n-1} + r_{n-2}$,
其中$0 \leqslant r_{n-2} < q_{n-1}$，或
$N = a_nq_n + a_{n-1}q_{n-1} + r_{n-2}$.

（请注意，这里我们不排除 $r_{n-1} = 0$ 时的情况 - 在这种情况下，所有后续商

4

余数将为零！）Terrier 新余数 $r_{n-2}$ 除以 $q_{n-2}$；我们得到

$$r_{n-2} = a_{n-2}q_{n-2} + r_{n-3},$$

在哪里

$$0 \leqslant r_{n-3} < q_{n-2},$$

或者

$$N = a_nq_n + a_{n-1}q_{n-1} + a_{n-2}q_{n-2} + r_{n-3}$$

ETC。

最后，将倒数第二个余数$r_1$除以$q_1$，我们得到

$$N = a_nq_n + a_{n-1}q_{n-1} + \dots + a_2q_2 + a_1q_1 + r_0,$$

其中$0 \leqslant r_0 < q_1$。

（因为$q_0 = 1$，那么除以“最后的余数”$r_0$是多余的：显然是$r_0 = a_0q_0 = a_0$。）在实践中，这种多重除法通常写在一起。我们将使用已经讨论过的记录 499 卢布金额的示例来展示如何完成此操作。在“收银系统”中：

$$499 \times 100 + 499 \times 50 + 499 \times 25 + 499 \times 10 + 499 \times 5 + 499 \times 1 + 499$$

（这里所有部分$a_n, a_{n-1}$等都用红色数字输入，数字本身$N$和余数$r_{n-1}, r_{n-2}$等用蓝色输入。）

§ 2. 位置数系统

您可能已经同意，在有基础的情况下

$$q_0 = 1, \quad q_1 = 10,$$

$$q_2 = 10^2, \dots, q_n = 10^n, \dots$$

我们将处理常用的儿童数字系统。但不要写，而是说，

$$4 \cdot 10^5 + 0 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 7$$

我们只需写403017。

心烦意乱或过于准时的收银员可以准备一份输出记录，其中不同面额的已发行钞票的数量将记录在单独的列中。按照这种格式，发行 499 卢布将如下所示：

| | 100 | 50 | 25 | 10 | 5 | 3 | 1 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 499 | 4 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | 1 |

我们可以说，在“收银员号码系统”中，数字 499 写为

$$4112011.$$

与最后两个示例中讨论的数字系统（即十进制数字系统和“出纳系统”）相关的数字系统称为位置（我们将在下面讨论该表达式的含义）。代替繁琐的录音

$$N = a_nq_n + a_{n-1}q_{n-1} + \dots + a_2q_2 + a_1q_1 + a_0$$

在以 (1) 为基础的位置数字系统中，使用 $n+1$“数字”的更紧凑的表示法会很方便：

«$a_na_{n-1} \dots a_2a_1a_0$».

假设“数字”$a_k$是以与上述相同的方式（算法）获得的。

从这个描述可以清楚地看出，在给定的基础上，每个自然数 $N$ 都以独特的方式书写。此外，由于“主要数字”$a_n$是由数字$N$除以$q_n$的商获得的，按照惯例，它小于$q_{n+1}$（否则我们将从$N$除以$q_{n+1}$开始，而不是除以$q_n$！），然后是$a_n < q_{n+1}/q_n$。这就是为什么，

6

零的存在和特殊指定，就像一只半闭的眼睛：

以下是在玛雅系统中书写数字的一些示例：

$$[1 \cdot 20 + 0 = 20, \quad 19 \cdot 360 + 13 \cdot 20 + 13 = 7113, \quad 10 \cdot 360 + 7 = 3607]$$

瓦里安数字系统和玛雅系统中记录数字的主线源自罗马编号，恰恰在于这些系统的“位置”原则：而在罗马人中，字母I始终表示一，而V表示五，无论这些字母位于何处，而在古巴比伦人和玛雅印第安人中，“数字”的含义取决于其位置或“位置”。这就是为什么这种记录数字的系统（包括 8-9 世纪或更早的印度创建的常用“十进制系统”）被称为位置系统。

练习

1. 在“完整的出纳系统”中记下（其中“关键”数字如下：10000、5000、2500、1000、500、300、100、50、20、15、10、5、3、2和1，对应于所有现有纸币和所有以戈比表示的硬币的价值，金额为233 87 戈比 使用“连续除法”记录将 23387 戈比转入“出纳系统”的交易（参见第 4 页）。

2. 读取瓦里安系统中写入的数字

3. 读取玛雅系统中书写的数字

（这是玛雅遗址中发现的最大数字。）

§ 3. 给定基数的数字系统

这是有基础的数字系统的名称

$$q_0 = d^0 = 1, \quad q_1 = d^1 = d, \quad q_2 = d^2, \quad q_3 = d^3, \quad q_4 = d^4, \dots, (2)$$

其中 $d$ 是任何大于 1 的整数。这个数$d$称为基本数系。

这些系统包括以$d=10$为基数的通用十进制、瓦里安六进制（$d=60$）和双数系统（$d=2$），这些系统最近随着计算机技术的需要而被广泛使用。在任意基数$d$的情况下，我们称之为“d进制”数字系统。

在 $d$ 进制中，符号 $N = \langle a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0 \rangle$ 具有以下含义：

$$N = a_n d^n + a_{n-1} d^{n-1} + \dots + a_2 d^2 + a_1 d + a_0.$$

8

1、不同或相同。
在这样的数字系统中，数字被写成

$$N = \lceil a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0 \rceil$$

倒数第一个数字 $a_0$ 可以取 $d_0$ 值 0, 1, 2, …, $d_0$ - 1。下一个数字 $a_1$ 可以取 $d_1$ 值从 0 到 $d_1$ - 1；数字$a_2$可以取0到$d_2$ - 1等值。

此外，在以 (3) 为基数的数系中，以及在 $d$ 进制数系中（其中我们的系统在 $d_0 = d_1 = d_2 = d_3 = \dots = d$ 的情况下是相反的），任何条目都是有意义的

$$N = \lceil a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0 \rceil,$$

其中$a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$是自然数，例如$a_0 < d_0, a_1 < d_1, a_2 < d_2$等。事实上，很容易检查到，当使用“连除”方法将数字$N = a_n q_n + a_{n-1} q_{n-1} + \dots + a_2 q_2 + a_1 q_1 + a_0$转换到我们的数字系统时（参见上面的第4页），得到以下数字：

$$a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_1, a_0.$$

我们将用一个非常简单的“数字系统”的例子来证明这种有利的情况不是一般规律。

2°“偶”数系统。

以所有偶数（以及数字$q_0 = 1$）作为数系的基础：

$$q_0 = 1, \quad q_1 = 2, \quad q_2 = 4, \quad q_3 = 6,$$

$$q_4 = 8, \quad q_5 = 10, \quad q_6 = 12,$$

自从这里

$$\frac{q_1}{q_0} = q_1 = 2$$

和

$$\frac{q_{n+1}}{q_n} = \frac{2(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} < 2$$ 对于所有$n > 1$，

那么这个数字系统就像双数字系统一样，只知道两个“数字”：0和1。条件是将这个“偶数”数字系统中写的数字指定为红色。然后，非常印度，

$$2 = 10, \quad 3 = 11, \quad 4 = 100, \quad 5 = 101, \quad 6 = 1000, \quad 7 = 1001, \quad 8 = 10000, \quad 9 = 10001$$等

一般来说，所有数字要么被描述为末尾有一个或另一个零的数字（偶数），要么绝大多数零和一序列不表示“偶”数字系统中的任何数字，因为在“偶”数字系统中，一个只能出现在第一位，有时甚至出现在最后一位。

最后，再举一个例子。

3°“业务员制度”。商店中杯秤的一套标准砝码通常包括：10e、20e(2)、50e、100e、200e(2)、500e、1ke、2ke(2)和5ke。

卖家像钞票出纳员一样使用这组权重，可在收银机处使用。也就是说，在回答产品时，他首先将不悬在货物上方的最重的重量放在秤上，然后将剩余重量中最大的重量放在秤上，依此类推。

因此，例如，当称量一块重 3 ke 460 e 的肉时，他使用 图 所示的重量。

9

概括这个众所周知的数字（权重）系统“使用给定的权重系统由数字（权重）表示”，为所有销售员工和所有企业主所熟知，我们得出一个具有基础的数字系统
1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, …
其中3大卡460克会这样写
11020101000.

在这个数字系统中记录
$$N \ll a_n a_{n-1} \quad a_2 a_1 a_0$$
最后一位数字$a_0$只能等于0或1（因为$q_1 = 2$）；倒数第二位$a_1$可以取值0、1或2（从$2 < q_2/q_1 < 3$开始）；倒数第三个数字$a_2$再次只能取值0和1（从$q_3/q_2 = 2$开始）；数字$a_3$也只能取值0和1，但是数字$a_4$又可以取值0、1和2（因为$2 < q_5/q_4 < 3$）。

一般来说，在这个数字系统中所有的数字
$$a_1, a_4, a_7, a_{10}, \dots, a_{3k+1}$$
可以取值 0、1 和 2，所有其他数字只能取值 0 和 1（对于店员来说，有两个 2 克的砝码就足够了，1 大卡和 5 大卡各一个。）

10

13. 基本序列$q_1, q_2, q_3, \dots$的数字必须满足什么条件才能只包含两位数：0和1？还应该对这些数字 $q_1, q_2, \dots$ 施加哪些其他条件，以使两个数字不会连续出现？

14. 数字序列

$$q_0 = 1, \quad q_1 = 2, \quad q_2 = 3,$$

$$q_3 = 5, \quad q_4 = 8, \quad q_5 = 13, \dots,$$

其中$q_{n+1} = q_n + q_{n-1}$称为斐波那契数列。证明斐波那契数字系统满足上一问题的所有条件。求这个系统中数字的总和

a) $\underbrace{100 \dots 00}_{k} + \underbrace{100 \dots 00}_{l}$;

b) $\underbrace{10101 \dots 01}_{2m+1} + 1$;

c) $\underbrace{10101 \dots 01}_{2m+1} + \underbrace{100 \dots 00}_{2m+1}$.

15. 是否可以将所有自然数 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … 分成两个递增序列 $a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$ 和 $b_1, b_2, b_3, b_4, \dots$，使得对于任何 $k = 1, 2, 3, \dots$ 都有 $b_k - a_k = k$？

经过一番思考，您当然会同意如何选择这样的序列（这是唯一的方法）

$$\begin{array}{cccccccc} a_1 & b_1 & a_2 & a_3 & b_2 & a_4 & b_3 & a_5 & a_6 & b_4 & a_7 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ a_8 & b_5 & c_9 & b_6 & \dots \\ 12 & 13 & 14 & 15 & \dots \\ \end{array}$$

在教育中满足$(a_k, b_k)$对并不是那么容易的。例如，你如何找出 $-a_k$ 或 $b_k$ 100 属于两个序列中的哪一个，它对应于什么数字，它会是什么数字（而不写出所有前面的 $a_k$ 和 $b_k$）？

事实证明，为了制定这种模式，您需要不以十进制形式编写这些序列，而是以斐波那契数系形式编写。尝试去发现并证明它。

10

11

如果经验表明在某种类型的过程中某些物理量不发生变化，则可以在该类型的过程中制定该物理量的“守恒定律”。这种定律最著名的例子是能量守恒定律，在与其他物体的影响完全隔离的系统中发生的任何过程中都满足该定律。利用守恒定律，人们通常可以仅根据初始条件想象实验的最终结果，而不知道中间阶段会发生什么。例如，如果物体的动能转移到物体上，其数量并不取决于这种情况发生的方式。

本文将讨论磁通量守恒定律。然而，这条定律只有在特殊条件下才能实现，并不像能量守恒定律那样具有普遍作用，但在它的领域，它也是一个非常有用的定律，我想补充一点，美丽。

让我们首先定义什么是磁通量。让我们想象一下，在太空中，任何形状最复杂的磁场都存在恒定的曝光不足的磁场。可以使用磁力线来直观地描述，磁力线的方向将指示磁场的方向（为此，您需要在磁力线上放置箭头），而密度（即穿过与其垂直的 1 cm2 区域的线的数量）将指示磁场的强度。借助连续的不相交的力线（这些力线要么是闭合的，要么是延伸到无穷远处），可以描绘任何磁场，无论其形状多么复杂。此外，在所描述的模型中，没有任何地方需要添加或删除线段才能正确描绘场电压。正如他们所说，这就是磁场的工作原理。无论如何，迄今为止，所有在实验中检测是否偏离这一规则的尝试都失败了。正如我们现在所看到的，正是由于磁场的这种特性，才可以引入磁通量的概念。

如果空间中存在某种闭合曲线——一个“电路”（假设它是由细线制成的），那么这个电路所覆盖的磁力线的数量就称为通过这个电路的磁通量。要正确计算此数字，您必须按以下步骤操作。首先，用假想的薄膜（任何形状，只要不是有孔的）收紧该轮廓并将其标记在

12

它有不同的一面——“正面”和“错误的一面”。之后，您需要计算脸上从内侧刺穿薄膜的所有力线，如果有这样的线，则从该数字中减去反方向刺穿薄膜的力线。该差异代表了磁通量的大小，因此磁通量可能为负值。正是因为忽略力线不循环，所以无论轮廓覆盖哪种薄膜 - 小心地包裹它或将整个网缝到轮廓上 - 流动将是相同的（图1）。流动用字母 F 表示（可能是因为它类似于产生电路的力线）。如果我们改变磁场（以高斯为单位），则尺寸 Ф 将变为 $eaycc \cdot cm^2$（即 $cm^2$）。

如果电路覆盖的磁通量在$\Delta t$时间内随时间变化值$\Delta \Phi$，并且电路由电阻为$R$的导线组成，则根据电磁感应定律，电流开始沿着电路循环

$$I = -10^{-8} \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \cdot \frac{1}{R} \text{ amper} \quad (1)$$

（$\Phi$以$ec \cdot cm^2$表示，$t$以秒为单位，$R$以欧姆为单位）。电路中的电流在感应电动势的影响下流动

$$\varepsilon = -10^{-8} \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \text{ волт.} \quad (2)$$

这些公式中的负号与此相关：我们认为电路中的电流为正，电路本身会在其中产生一个具有正通量的磁场（如果从内向外看，这样的电流沿顺时针方向绕电路流动）。因此，负号表明，如果磁通随时间$\left( \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \text{ отрицательно} \right)$减小，则激励电流将为正，并且本身会产生正磁通。相反，如果电流返回，电路中的电流会产生相反方向的电流（楞次规则）。由于磁通Ф由外部场的磁通和电路本身产生的磁通组成，电路中电流的感应导致通过电路的总磁通的变化减慢。

让电流在初始时刻为零，并且流动是由一些外部场源（例如磁铁）产生的。现在让我们快速移除磁铁。然后，同时电路中会产生电流，电流本身会产生相同大小的磁通量，也就是说，它不会允许更高的磁通量离开电路。为了在电阻$R$的电路中存在电流，当然需要改变流量。因此，在随后的时刻，Ф仍会逐渐减小，但速度越慢，$R$越小。同样，如果我们想增加内部电路的流量，也只能逐步进行。

有必要注意电磁感应定律的一大优点：无论我们如何改变电路中的磁通量，无论我们改变磁场本身还是移动、弯曲、移动，我们所有的推理和公式仍然有效。

13

扩展该领域的轮廓。

现在让我们假设我们的电路由超导体组成，其电阻已知为零。当然，读者知道，许多金属和合金在低温下都会出现超导性，其绝对尺度约为几度。还应该记住，超导性会在强度超过一定极限（临界场$H_c$）的磁场的影响下被破坏，该磁场大约取决于温度，如图2所示。对于瘘管，比如说，在最低温度$H_c=800$高斯。在大于 $H_c$ 的磁场中，金属再次获得阻力。

如果在低电阻电路中磁通量变化缓慢，那么很自然，在超导电路中磁通量通常是恒定的。这可以直接从公式（1）看出，但为了不让分母为零，必须写成$IR=-10^{-8}\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$的形式。在$R=0$$\Delta\Phi=0$。这就是零电阻电路中磁通量守恒定律。

正是这个定律的实验验证表明，超导体的电阻几乎为零。即使实验持续数年，最准确的方法也无法检测到闭合超导线圈中磁场的减弱。

现在让我们考虑几个应用磁通量守恒定律的例子。如果用超导体制作一个开口面积$S$的管道，将其置于高温的纵向磁场$H$中，然后将其冷却到超导态的转变温度以下并关闭磁场，那么管道中就会保留“冻结”的磁通$\Phi=HS$。现在让我们压缩管道或将超导棒插入其中，使自由流量减少到 $S_1=\frac{1}{10}S$。然后我们将在管道中得到更强的场$H_1=10H$，因为它遵循通量守恒定律$H_1S_1=HS$。只需要新的场$H_1$不大于实验温度下超导体的临界场$H_c$即可，否则超导性将被破坏，管道内的通量将减少，直到场达到$H_c$值。

通过足够快地完成这个实验，您可以在任何普通金属制成的管道中获得一个大的场。如果你围绕着一个有磁场的管道，

14

罗恩火药并产生爆炸，然后你可以产生磁通量，并在管内短时间内产生一千万高斯的磁场，大约是百万分之几秒。爆炸的力量并不是为了克服金属的阻力，而是为了压缩磁场本身。管壁中激发电流，并且磁场中的力作用于电流。因此，磁场对管壁施加压力。当磁通量被掠过时，其行为就像弹性物质一样。可以计算出，1000万高斯的磁场会对管壁施加约400万个大气压的压力。

使用我们已知的超导体不可能获得这样的场，但是在由超导合金制成的线圈中已经获得了100,000高斯（100千高斯）量级的场。电流可以通过通常的方式提供给这样的超导线圈——通过放入杜瓦瓶中的两根电线，其中线圈处于低温状态。您还可以为线圈配备超导线 $A$ (图 3, a)，连接从外部源连接到导线 $B$ 的端子

塔卡。螺旋$B$将接线$A$加热到正常状态，在此状态下它具有显着的电阻（正常状态下的超导合金与其他合金一样，比纯金属具有更大的电阻）。如果关闭钥匙$\Gamma$，那么通过线圈的电流和线圈中的磁通量开始按规律增长，这很容易由公式（2）推导出来。我们忽略电线的电阻$B$和源的内阻。因为在没有电阻的电路中，所有 e 的总和。 d.s.应等于零，则 e。 d.s.感应 $\varepsilon$ 必须等于负 $V$，其中 $V$ 是源的电动势。由式(2)可得$\Phi=10^8Vt$。例如，如果线圈的匝数为 $n=10 000$，平均匝面积为 $S=20\text{ cm}^2$，则为 $\Phi=nSH=2\cdot10^5H$，其中 $H$ 是线圈中的平均磁场。在 $V=1\theta$ 时，需要 20 秒才能在线圈中产生 10 千高斯的磁场。如果在此过程中关闭加热器一段时间并打开钥匙$\Gamma$（图 3、6），则接线$A$与线圈将形成一个闭合的超导电路，其中磁通将保持恒定。通过这种方式获得的理想场结构对于物理研究来说是极其方便的。

15

图 3、超导线圈与超导开关的连接图。部分电路处于低温状态。未显示电源电路加热$B$ 至图。

超导开关关闭后，不再需要电线$B$，甚至有害，因为热量通过它们渗透到杜瓦瓶中。

还有另一种巧妙的方法可以将磁通量“泵入”超导线圈，这样您就可以绕过它，而无需将电线插入杜瓦瓶中。基于此方法的设备电路如图 4 所示。为简单起见，我们将图 处的线圈替换为扁平电路$A$，并由两根超导线$B$ 和$B$ 并联连接。磁铁$M$可以围绕轮廓移动。其下端的轨迹如图4点所示。磁铁必须足够强大，其磁场可以破坏电线$B$和$B$的超导性。

将磁通泵入电路时磁体的连续位置显示为图 5、$a$—5、$\delta$。从磁铁末端出来的磁通量用点表示——磁力线的痕迹。在位置$a$，磁铁破坏了超导性

16

导线$B$，当磁铁移动时，磁通进入电路。在时刻$6$，流量被限制在电线$B$和$B$之间。然后，水流进入回路 $A$（位置 $b$ 和 $2$）。当磁铁$M$从电路中移除（位置$\partial$）时，由其引入的磁通量会重新分布，但仍被电路$A$捕获。然后重复该循环，新的部分电源线进入电路$A$。

上面讨论的示例涉及创建磁场的各种方法。总之，让我们提到一种设计用于执行直接相反任务的设备 - 从任何体积中最彻底地去除场。利用超导现象，可以简单而完美地解决这个问题。让我们把扁平的超导壳拉直。然后在形成的空腔中，磁场将变得等于零（实际上，当然，会保留一些磁场，但是，无论如何，它以这种方式起作用，您可以根据需要获得尽可能接近$H=0$的值）。尽管外部磁场发生变化，所产生的零磁场仍将无限期地保留在封闭腔中。

就超导体而言，磁通量守恒定律得到了非常精确的满足，但必须记住，如果过程进行得足够快，它可以近似应用于由任何其他材料（固体、液体甚至气体（等离子体））制成的电路。确实，为了准确定义“足够快”的含义，我们必须超出本文的范围。

锻炼

1. 如果舌片$K$（参见图）开始以一定频率振荡，从而更换并断开电路，那么通过超导线圈的电流如何随时间变化？

初始时刻的电流等于$\frac{V}{R}$，其中$V$是电动势。源，$R$是电路中包含的电阻。

2. 线圈中的电流将与时间成正比增加。另一个线圈中的电流如何变化，与第一个线圈感应耦合并接近某个电阻？

3. 将匝数为$n_1$和$n_2$、长度为$l_1$和$l_2$、截面为$S_1$和$S_2$的两个线性单层超导线圈用超导线并联连接。确定如何在它们之间分配由公共源提供的电流 $I$。线圈间隔开，以便一个线圈的磁场不会影响另一个线圈的磁场。 （但是，线圈和连接它们的电线可以被视为一个超导电路。）

4. 当磁场打开时，垂直于半径为 $R$ 的灯泡平面，电荷 $Q$ 流过灯泡。如果将具有恒定场的环折叠成由两个圆组成的“八字形”，其中较小圆的半径为 $R/4$，则流经该匝的电荷是多少？八字形平面也垂直于磁场。

5. 基于垂直放置的永磁体，距永磁体一定距离处有一个超导线灯泡，其平面垂直于磁体的轴线。释放环，它开始下落，使其始终保持水平。烧瓶如何垂直移动？

17

算术
二项式
ODDS

D.B.福克斯，M.B.福克斯

$(1+x)^2=1+2x+x^2$
$(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$

任何小学生都知道这些公式。数字 1、2、1； 1, 3, 3, 1，以及以类似方式获得的数字的 4, 5, … 次方，称为生物项系数。本文讨论生物系数的各种属性。第一段阐述了“一般理论”：这里证明的大部分定理也包含在学校课程中。在第二段中，我们将展示如何在将任何生物系数除以任何素数时轻松找到余数。本段中的一些陈述是作为假设提出的。也许读者«Kvant»会尝试证明它们。

18

§ 1. 二项式系数的定义和最简单的性质

如果二项式（二项式）$1+x$用某种自然幂$n$进行加权，那么显然，结果是一个$n$次数的多项式（即$x$出现在该多项式中的最高次数将等于$n$）。例如：

$$(1+x)^0 = 1,$$
$$(1+x)^1 = 1+x,$$
$$(1+x)^2 = 1+2x+x^2,$$
$$(1+x)^3 = 1+3x+3x^2+x^3,$$
$$(1+x)^4 = 1+4x+6x^2+4x^3+x^4,$$
$$(1+x)^5 = 1+5x+10x^2+10x^3+$$
$$+5x^4+x^5,$$

这些多项式的系数称为二项式。它们有特殊的符号：$(1+x)^n$中$x^m$的系数用$C_n^m$表示。例如，$C_2^1=2$、$C_4^2=6$、$C_5^3=10$。在旧的代数教科书中，数字$C_n^m$被称为“$n$到$m$的组合数”。这是有原因的，但我们没有

从这里很容易得到

$$(a+x)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}x\ldots$$
$$\ldots + C_n^nx^n$$

（将公式（1）应用于$(1+x)a^n$的计算并将所得等式两边乘以$a^n$就足够了）。最后一个公式称为牛顿二项式。因此，系数被称为“二项式”。

显然，$C_n^m$是非负整数，$C_n^m=0$对应$m>n$（多项式$(1+x)^n$的次数为$n$，$x^m$和$m>n$不包含在其中）。很容易进一步验证$C_n^0=C_n^1=1$。其他二项式系数 $C_n^m$（其中 $0<m<n$）可以通过 $1+x$ 的各种幂得到。表中给出了 $n\leqslant10$ 的值。

我们看到二项式系数增长得相当快。细心的读者会注意到这些数字的排列有多种模式。通常，这种模式很容易从二项式系数的定义中导出。我们在这里仅证明主要的。让我们从最重要的开始——所谓的帕斯卡恒等式。

我们将在其中强调：对我们来说这并不重要。所以，

$$(1+x)^n = C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+\ldots$$
$$\ldots +C_n^nx^n.$$

(1)

定理 1（帕斯卡恒等式）。

$$C_n^m = C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$$

(2)

对于任何自然$n, m$。

19

证明。根据定义，$C_n^m$是多项式$(1+x)^n$中$x^m$的系数。为了找到这个系数，您需要乘以等于 $1+x$ 的 $n$ 多项式。将它们相乘$n-1$，我们得到多项式$1+C_{n-1}^1x + C_{n-1}^2x^2 + \dots + x^{n-1}$。执行最后一个乘法，我们得到

$$(1+x)(1+C_{n-1}^1x + C_{n-1}^2x^2 + \dots + x^{n-1}) = 1 + C_{n-1}^1x + C_{n-1}^2x^2 + \dots + x^{n-1} + x + C_{n-1}^1x^2 + C_{n-1}^2x^3 + \dots + x^n = 1 + (C_{n-1}^1 + 1)x + (C_{n-1}^2 + C_{n-1}^1)x^2 + \dots + x^n.$$

在结果表达式中，$x^m$的系数等于$C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}$。因此，

$$C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}.$$

帕斯卡恒等式可以方便地用于计算生物系数。例如，如果我们想在表中再添加一行（第十一行），那么我们只需将上一行（第十行）中相邻的数字成对添加即可：

$$C_{11}^0 = 1 \quad C_{11}^1 = C_{10}^1 + C_{10}^0 = 11 \quad C_{11}^2 = C_{10}^2 + C_{10}^1 = 55 \quad C_{11}^3 = C_{10}^3 + C_{10}^2 = 165 \quad C_{11}^4 = C_{10}^4 + C_{10}^3 = 330 \quad C_{11}^5 = C_{10}^5 + C_{10}^4 = 462$$

这说明将生物项系数写成三角表的形式是很方便的（见

3*

20

因此，公式（3）对于$n=1$成立，并且从其对于$n-1$的有效性可知它对于$n$也成立。这证明了对于任意$n$的公式(3)。

我们建议初次熟悉公式（3）的读者从中推导出已知的$C_n^0 = C_n^n = 1$和$C_n^m = 0$对于$m>n$的等式。

公式（3）很有趣，因为它右边的分数等于一个整数，即它的分母中的所有数字都会与分子中的数字相消。

将进一步使用以下定理。

定理3. 如果数字$n$和$m$互质（即数字$n$和$m$的最大公约数为1），则$C_n^m$能被$n$整除。

证明：

$$C_n^m = \frac{n(n-1)\ldots(n-m+1)}{1\cdot2\ldots m} = \frac{n}{m} \cdot \frac{(n-1)\ldots(n-m+1)}{1\cdot2\ldots(m-1)} = \frac{n}{m} \cdot C_{n-1}^m$$

因此，

$$mC_n^m = nC_{n-1}^m$$

即数字$mC_n^m$可以被$n$整除。但由于 $m$ 和 $n$ 互质，即 $m$ 不能被 $n$ 的任何素因数整除，因此 $C_n^m$ 可以被 $n$ 整除。

例如，$C_9^4 = 126$可以被9整除，$C_{10}^3 = 120$可以被10整除。

让我们指出生物系数的更多属性：

1. $C_n^m = C_{n-1}^m$
2. $C_n^m + C_{n+1}^m + \ldots + C_{m+k}^m = C_{m+k+1}^m$
3. $C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = 2^n$
4. $C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \ldots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \ldots$

我们将这些性质的证明留给读者。

§ 2. 生物系数除以素数的余数

在本段（以及下一段）中，我们经常需要使用“数字 $a$ 和 $b$ 除以 $p$ 时余数相等”的形式。通常，这种形式被缩写符号“$a \equiv b$（mod$p$）”代替。换句话说，公式“$a \equiv b$ (mod $p$)”意味着$a-b$可以被$p$整除。例如，$4 \equiv 1$ (mod 3)、$999999 \equiv 222222$ (mod 7) 等。公式“$a \equiv b$ (mod $p$)”有时读作如下：“数字$a$ 与数字$b$ 模$p$ 相当”（但是，我们也不会使用表达式）。

以下是符号 ≡ 的两个特性：

1. 如果 $a \equiv b$ (mod $p$) 和 $k$ 是整数，则 $ka \equiv kb$ (mod $p$)。

事实上，如果$a-b$能被$p$整除，那么$ka-kb = k(a-b)$也能被$p$整除。

2. 如果 $a \equiv b$ (mod $p$) 和 $b \equiv c$ (mod $p$)，则$a \equiv c$ (mod $p$)。

事实上，如果$a-b$能被$p$整除并且$b-c$能被$p$整除，那么$a-c = (a-b)+(b-c)$也能被$p$整除。

让我们回想一下，任何自然数$a$都可以除以自然数$p$“有余数”，即$a$可以唯一地写成$a=bp+c$的形式，其中$b$，$c$是整数，使得$0 \leq c < p$。

本节的主要目标是证明以下陈述。

定理4.设$p$为素数，$m$和$n$为自然数。此外，令$k$和$l$为数字$m$和$n$除以$p$的部分，$s$和$t$为余数（即$m=kp+s$、$n=lp+t$，其中$k$、 $l$、$s$、$t$ 为整数，$0 \leq s < p$、$0 \leq t < p$）。然后

$$C_n^* = C_l^* \cdot C_s^* \pmod p.$$

正如我们将在下面看到的，该定理使我们能够找到生物系数除以素数的余数，几乎无需执行任何计算。

瞧$C_{23}^6$。我们有 $23=4\cdot 5+3$、$6=1\cdot 5+1$，因此有 $C_{23}^6 \equiv C_1^4 C_3^1$ (mod 5)。根据符号的第一个属性 ≡ （参见本节开头）$C_{23}^6 C_4^3 \equiv (C_4^1 C_3^1) C_4^3$ (mod 5)。根据符号 ≡ 的第二个性质，$C_{119}^3 \equiv C_4^1 C_3^1 C_4^3$ (mod 5)。因此，$C_{119}^3$ 除以 5 时与 $C_4^1 C_3^1 C_4^3=4\cdot 3\cdot 4=48$ 具有相同的余数，即数字 3。

类似地，求出数$C_{119}^3$除以其他素数的余数。例如：

$$119 = 59\cdot 2+1, \quad 33 = 16\cdot 2+1,$$
$$C_{119}^3 \equiv C_{59}^1 C_1^1 = C_{59}^1 \pmod{2};$$
$$59 = 29\cdot 2+1, \quad 16 = 8\cdot 2+0,$$
$$C_{59}^1 \equiv C_{29}^8 C_1^0 = C_{29}^8 \pmod{2};$$

因此，$C_{119}^3$除以2的余数与3相同，即余数1，即$C_{119}^3$是奇数。

另一个例子：

$$119 = 39\cdot 3+2, \quad 33 = 11\cdot 3+0,$$
$$C_{119}^3 \equiv C_{39}^1 C_2^0 = C_{39}^1 \pmod{3};$$
$$39 = 13\cdot 3+0, \quad 11 = 3\cdot 3+2,$$
$$C_{39}^1 \equiv C_{13}^3 C_0^2 = 0 \pmod{3}.$$

这里我们利用了$C_0^2=0$因为$2>0$这一事实。原来

23

这样$C_{119}^{33} \equiv 0$ (mod 3)，即$C_{119}^{33}$可以被3整除而没有余数。

请注意，如果我们将定理 4 应用于 $C_n^m$，其中 $n \geq m$，那么通过写出 $m = kp + s$，$n = lp + t$，我们当然会得到 $l \geq k$；然而，无法预测$s$、$t$ 哪个数字更大。如果有$s > t$，那么根据我们的定理$C_n^m \equiv C_l^k C_s^t = 0$ (mod $p$)，即$C_n^m$能被$p$整除。正如我们所看到的，为了确定数字$C_n^m$除以$p$的余数，通常需要多次使用定理4；每当类似上述的现象发生时，每当这种情况发生时，这意味着类似的数字$C_n^m$可以被$p$整除。同样，我们得到$C_{119}^{33}$可以被3整除。

我们看到，$n$越大，$C_n^m$越有可能被$p$整除。很容易证明以下更精确的说法：$C_n^m$和$0 \leq n \leq p^r$、$0 \leq m \leq n$的数字总数还有$\frac{p^r (p^r + 1)}{2}$，其中不能被$p$整除的正好是$\frac{p^r (p + 1)^r}{2^r}$（这里$p$很简单，$r$很自然；证明仅基于定理3，我们留下给读者）。需要强调的是，对于大$r$，数字$\frac{p^r (p + 1)^r}{2^r}$比数字$\frac{p^r (p^r + 1)}{2}$小许多倍。

例如，在数字 $C_n^m$ 和 $0 \leq n \leq 3^5$、$0 \leq m \leq n$ 中，大约有 26.2% 不能被 3 整除；如果$0 \leq n \leq 3^{10}$，则约为3.6%，如果$0 \leq n \leq 3^{15}$，则约为0.45%。

最后，我们来说说定理 4 的视觉解释的权重，它可以通过考虑所谓的“根据 $p$ 模型的帕斯卡三角形”来获得。这是从帕斯卡三角形中得到的三角表的名称，如果其中的每个数字被除以 $p$ 时的余数替换。我们不证明关于这个三角形的任何定理，但我们邀请读者看两张描绘帕斯卡三角形模 2 和 3 的图片（封面上和第 22 页）。想想这些三角形在 图 上看不到的部分是如何排列的。尝试将定理 4 表述为关于帕斯卡三角形模 $p$ 结构的定理。

§ 3. 关于生物系数除以素数幂的余数的一些知识

我们不以任何一般方式考虑将生物系数除以合数的余数问题。 （不过，读者可以自己思考一下；例如，数字$C_{119}^{33}$除以4的余数是多少：一或trem？）我们将仅限于谈论一个我们尚未完全解释的惊人现象。

让我们从一些计算开始。使用生物系数公式（参见§1，公式（2）），我们得到

$$C_2^1 = 2,$$
$$C_4^2 = 6,$$
$$C_8^4 = 70,$$
$$C_{16}^8 = 12870,$$
$$C_{32}^16 = 601080390.$$

（当然，每个人都知道 1、2、4、8、16、32…是 2 的连续幂。）结果数字本身不应该以任何特殊方式使用；然而，它们的连续差异揭示了惊人的特性。让我们看看它们：

$$6 - 2 = 4 = 2^2,$$
$$70 - 6 = 64 = 2^6,$$
$$12870 - 70 = 12800 = 2^9 \cdot 25,$$

24

---

running_head:
folio:

$$601\ 080\ 390 - 12\ 870 = 601\ 067\ 520 = 2^{12} \cdot 146\ 745.$$

我们看到这些差异被分成了二的高次方——大到这种现象不会造成伤害。有可能证明一个至少部分解释它的定理。

定理 5. 如果 $n > 1$，则数
$$\alpha_n = C_{2n+1}^{2n} - C_{2n}^{2n-1}$$
能被$2^{2n+2}$整除。

扫地。
1°。假设 $n > 1$ 显着，因为 $\alpha_1$ 等于 4 并且不能被 $2^{2n+2} = 2^4 = 16$ 整除。
2°。人们可能认为$n > 1$的$\alpha_n$甚至可以被$2^{3n}$整除：对于$n = 2, 3, 4$也是如此。但我们不知道如何证明这一点。

证明。让我们从一般观察开始，如果数字 $r$ 是奇数，则 $C_{2n}^{r}$ 可以被 $2^n$ 整除。事实上，由于 $r$ 是奇数，并且 $2^n$ 除了 2 之外没有素因数，因此数字 $r$ 和 $2^n$ 是互质的，我们需要的陈述来自定理 3。

让我们把理论
$$P(x) = (1+x)^{2n+1} - (1-x^2)^{2n}.$$

多项式$P(x)$包含$x^{2n}$，系数为$C_{2n+1}^{2n} - C_{2n}^{2n-1} = \alpha_n$（这里我们使用$n > 1$这一事实：当$(1-x^2) = 1 + (-x^2)$出现$2^n$次方时，我们得到系数$C_{2n}^{2n-1}$不是$x^{2n}$，而是(-x^2)^{2n-1} = (-1)^{2n-1}x^2^n，而数字$(-1)^{2n-1}$为1 $n > 1$ 且在 $n = 1$ 处等于 $-1$。

另一边，
$$P(x) = (1+x)^{2n+1} - (1+x)^{2n} = (1+x)^{2n}[(1+x)^{2n} - (1-x)^{2n}].$$

同时
$$(1+x)^{2n} - (1-x)^{2n} = (1+x)^{2n} - (1+(-x))^{2n} = 1 + C_{2n}^{1}x + C_{2n}^{2}x^2 + C_{2n}^{3}x^3 + \dots + x^{2n} - 1 - C_{2n}^{1}(-x) - C_{2n}^{2}(-x)^2 - C_{2n}^{3}(-x)^3 - \dots - (-x)^{2n} =$$
（因为 $(-x)^k$ 等于 $x^k$ 对于甚至 $k$ 且相等 $-x^k$ 对于奇数 $k$)
$$= 2\left(C_{2n}^{1}x + C_{2n}^{3}x^3 + C_{2n}^{5}x^5 + \dots + C_{2n}^{2n-1}x^{2n-1}\right).$$

我们强调，所得多项式 $x$ 仅以奇数次幂出现。

我们想知道 $x^{2n}$ 以什么系数进入 $P(x)$，即进入乘积
$$(1+x)^{2n}[(1+x)^{2n} - (1-x)^{2n}] = 2\left(1 + C_{2n}^{1}x + C_{2n}^{2}x^2 + C_{2n}^{3}x^3 + \dots + x^{2n}\right) \times \left(C_{2n}^{1}x + C_{2n}^{3}x^3 + C_{2n}^{5}x^5 + \dots + C_{2n}^{2n-1}x^{2n-1}\right).$$

显然，第一个因子乘以$x^{2n-1}$，第二个因子乘以$x$，第二个因子乘以$x^{2n-3}$，第二个因子乘以$x^3$，等等即可得到$x^{2n}$。因此，$x^{2n}$的$P(x)$中的系数等于$\alpha_n$，也等于
$$2\left(C_{2n}^{1}C_{2n}^{2n-1} + C_{2n}^{3}C_{2n}^{2n-3} + \dots + C_{2n}^{2n-1}C_{2n}^{1}\right).$$

众所周知，每个数字$C_{2n}^{1}, C_{2n}^{3}, \dots, C_{2n}^{2n-1}$都可以被$2^n$整除。因此，括号中的每一项都除以$2^n \cdot 2^n = 2^{2n}$；此外，两者位于整个表达式之前，

25

此外，括号中的每个术语出现两次。因此，根据需要，$\alpha_n$ 可以被 $2^{2n+2}$整除。

这样，数$\alpha_n$能被2的高次方整除的奇怪现象就在一定程度上得到了解释。但如果你用三、五、七代替二，就不会观察到类似的情况。真的吗，

$$C_9^3 - C_3^1 = 84 - 3 = 81 = 3^4;$$

$$C_{27}^9 - C_9^3 = 4686825 - 84 = 4686741 = 3^7 \cdot 2143;$$

$$C_{81}^{27} - C_{27}^9 = 2306279447501851002720 - 4686825 = 2306279447501846315895 = 3^{10} \cdot 39057044954221855;$$

$$C_{25}^5 - C_5^1 = 43130 - 5 = 43125 = 5^5 \cdot 69;$$

$$C_{49}^7 - C_7^1 = 85900584 - 7 = 85900577 = 7^5 \cdot 5111.$$

简而言之，对于素数 $p$ 来说，这个数字似乎是正确的

$$C_{pn+1}^{p^n} - C_{pn}^{p^n-1}$$

可以被数字 $p$ 的高次幂整除。但我们不知道如何证明这一点。

顺便说一句，如果 $p$ 不是素数，则不会观察到任何此类情况。例如，

$$C_{16}^4 - C_4^1 = 1820 - 4 = 1816$$

甚至不能被$4^2$整除；

$$C_{36}^6 - C_6^1 = 1947792 - 6 = 1947786$$

甚至不能被$6^2$整除。

我们相信«Kvant»的读者之一能够理解生物系数算术这个复杂的问题。

正在发生的事情
与德德金

众所周知，最广泛传播的无理数理论的作者 P. Dedekind 于 1916 年 2 月 12 日去世，享年 84 岁。

然而，早在 1904 年，在作为 Teudner 出版社目录补充、供同年在海德堡举行的第三届国际数学大会参与者使用的《数学家回忆录》中，就提到了 1899 年 9 月 4 日……P. 戴德金的逝世日。

后者并没有被上述书籍的编者写的一封信所取代，信的内容大致如下：“亲爱的同事！在你内容丰富的《记忆之书.dat》中，你还记得我。我对此非常感谢你。不过，我允许自己提请你注意这样一个事实：在标明我的死亡日期时，至少必须标明年份是错误的。”

F29。求 20°C 温度下每单位表面水进入真空的蒸发速率。
（该温度下的饱和蒸气压为17.5毫米汞柱。）
如果用普通的茶碟倒到上面，房间里的水需要多长时间才能蒸发？
少量水的蒸发实际上不会改变房间内的空气湿度，等于70%。

27

F30。电影摄影机和电影放映机每秒产生 8 帧。一辆实际直径为 1 m 的轮子自动车辆在屏幕上行驶。轮子的图像每秒旋转 2 圈。自动档的速度是多少？

G·L·科姆金

F31。光压如何使球形宇宙体相对于太阳定向，其中一半是镜面，另一半是黑色，完全吸收太阳的辐射？语料库的重心位于球体的中心。

P·L·卡皮察

F32。一块方形横截面的木块漂浮在水面上。 图 1 所示的两个平衡位置中哪一个是稳定的？制作该块的材料的密度等于水密度的一半。

F33。两颗质量为$m_1$和$m_2$的珠子可以沿着光滑的水平导电环滑动，而不会产生摩擦。最初，珠子是用线连接的，珠子之间有一个卷制的弹簧。线被烧坏了。当珠子开始移动后，将弹簧移除。环中的哪一点珠子会同时碰撞？珠子变得绝对有弹性。

F34。 图2显示滴静电机（开尔文发生器）。带电势$\phi$的水滴从管中落入半径为$R$的绝缘金属球的区域中。球所能带电的最大电势与下落高度有何关系？

F35。卫星飞行高度为300公里。如果曝光时间为 0.2 秒，从卫星拍摄的照片中可以看到哪些静止物体？

M26。假设我们的杂志每期都会有五个“Kvaenta”问题中的数学问题。让我们用 $f(x, y)$ 表示 $y$ 年第 $x$ 期期刊的第一个任务的编号（例如，$f(6,1970)=26$）。写出所有$x, y$（$1 \leq x \leq 12$，$y \geq 1970$）的$f(x, y)$的通式。

求解方程 $f(x, y)=y$。

M27。证明如果$\frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a-b} = 0$则$\frac{a}{(b-c)^2} + \frac{b}{(c-a)^2} + \frac{c}{(a-b)^2} = 0$。

M28。 a) 19 个球中，有 2 个具有放射性。对于任何一堆球，只需一次检查即可查明它是否至少含有一种放射性物质