Kvant 1970 年第 9 期 · 页面

科普物理和数学
量子
9
1970
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

71

主编-I.K.KIKOIN院士
第一副主编——柯尔莫哥洛夫院士

编辑集：

L.A.Artsimovich，院士
M·I·巴什马科夫
V. G. Boltyansky，苏联教育科学院通讯院士
I. N. Bronshtein，苏联教育科学院院士
N.B.瓦西里耶夫院士
I.F.金兹堡院士
V. G. Zubov 苏联教育科学院院士
P. L. Kapitsa 院士
V.A.基里林院士
G.I.科索罗夫院士
V.A.列茨科夫采夫（副主编）
V·P·利采夫斯基
A. I. Markushevich 苏联教育科学院院士
M. D. Millyuonchikov 院士
N. A. Pampikeeva N. Kh.罗佐夫院士
A.P.萨文
I.SH。斯洛博德希（副主编）
M. L. Smolyansky 物理和数学科学博士
是啊。 A. 斯莫罗金斯基 苏联教育科学院院士
V. A. Fabrikant 苏联教育科学院院士
J.E.施奈德（临时秘书）

封面第一页：“三阶代数曲面之一。”艺术家 E. P. 列昂诺夫。

编辑部主任 L. V. Chernova
首席艺术家 E. P. Leonov
技术编辑 T. M. Makarova
校对员 I. V. Mamulova
“Nauka”出版社 物理和数学文献主编辑部
莫斯科，V-71，列宁大街，15
电话：234—08—11

1970 年 5 月 28 日成套交付。下。出版日期 08/11/1970
纸 70×100 1/16。物理。奥恩湖4. 条件。奥恩湖
5.56。学术版。湖5.58。发行量 174330 份 T-09853。
价格30戈比。订单 871

契诃夫印刷厂 Glavpolygraphprom
苏联部长会议新闻委员会

契诃夫，莫斯科地区

2

---

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folio:

让我们考虑一个无限
小数…

S.G.金迪金

4,92617231248,9
7,16214301695743,0
1,7

2

3

没有人会拥抱这巨大的事物。
其他人实际上声称每个人的生活都写在创世记中。

科兹玛·普鲁特科夫

“实数被称为无限小数。”*给出这个定义后，我们时不时地开始在统计数据的标题中读出这句话。这是什么意思？当我们打算考虑无限小数分数时，我们是否不与科兹马·普鲁特科夫的世俗智慧相矛盾，或者与伟大的法国数学家庞加莱（A. Poincaré）的类似陈述相矛盾，这些陈述以雕像的铭文形式出现？最终的小数部分可以通过例如将其写在黑板上并查看所写内容来“检查”。在无限分数的情况下，我们当然被剥夺了这样的机会。这在不同程度上是由于黑板、生命之人、我们的银河系等尺寸的限制。然而，让我们同意，在这座雕像中，我们将重点关注神话巨人，它不关心所有这些限制，任何有限的考虑都在我们的能力范围内。

另一方面，也不难理解，小数的无穷大并不一定与“巨大”相识。因此，在研究有理数时，有时会使用无限周期小数形式的表示形式，并且为了指定后者，指示句点之前的有限数量的小数位数以及周期本身（相同的有限位数）就足够了。因此，我们可以在不与我们的“有限性”冲突的情况下考虑这些分数。算术和几何级数（无限数列！）由两个数字（第一项和差或分母）决定。您可能知道有限序列的其他示例，其定义仅需要有限的信息（例如，常用术语的公式）。所有这些都表明，从科兹马·普鲁特科夫的角度来看，标题中给出的短语的罪犯并不是完全无条件的，因此需要进行更彻底的研究，我们将继续进行。

所以，我们知道有有限的小数可以被有限地描述。如果有一个无限小数分数的“口头描述”，我们同意将其称为“包含”——俄语中唯一定义的有限描述（即，只有一个分数满足该描述）。如果一个分数没有“口头肖像”，那么这个分数就被称为“巨大”。我们的目标是证明“巨大”分数的存在。

4

让我们仅限于 0 和 1 之间的加法，即以下形式的表达式

$$0, \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \dots,$$

(1) 其中 $\alpha_k$, $1 \leq k < \infty$ 是一些数字 0, 1, …, 8, 9。在实数理论中，任何“尾部”为 9 的附加数（所有符号，从某个位置开始都等于 9）等于某个“尾部”为 0 的附加数（例如，0.099… = 0.100…）。为了避免它们，我们不会考虑条目中包含 9 的多比鸟。因此，我们将考虑形式 (1) 的多贝，即数字 $0, \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \dots$ 的序列，其中 $\alpha_k$ 可以等于 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8*)。我们要知道，即使是这样伟大的人，也有“伟大的人”。

你如何证明这一点？

然而，让我们首先考虑与有限集相关的类似情况（为了更好地理解，我们以幽默的形式描述它）。电影院的导演得知放映现场有观众，卖家的票房有九十张票。通过比较这两个事实，他得出结论，大厅里有人搭便车，你可能不会感到惊讶。他只是注意到观众比门票还多，而且门票不可能满足所有观众。请注意，这种推理只能证明无票观众的存在，而删除特定的“野兔”需要额外的研究（例如，在出口处检查门票）。

在过去的几个世纪里，G. Cantor **) 提出了一种奇妙的方法来对搭便车时代进行类似的推理 G. Cantor **) 提出了一种奇妙的方法来对搭便车时代进行类似的推理 G. Cantor (1845-1918) - 搭便车集合理论的创建者。

*) 敏锐的读者在阅读后续文本时肯定会注意到，只有当我们将它们限制为两个数字（例如 0 和 1）时，所有考虑因素才有意义。

**) G. Cantor (1845-1918) - 搭便车理论的创始人。

5

例子。
编号分数 β = 0，

1. 0, $\frac{1}{2}$ 2 3 4 5 6 7 8 0 1…
2. 0, $\frac{1}{3}$ 6 1 4 5 3 2 1 4…
3. 0, 1 $\frac{2}{3}$ 4 5 3 1 7 8 2…
4. 0, 0 1 $\frac{4}{3}$ 7 2 7 8 0 1…
5. 0, 4 2 3 $\frac{1}{2}$ 1 4 5 6 0…
6. 0, 5 6 7 2 $\frac{4}{5}$ 8 0 1 2…
7. 0, 2 4 3 5 6 7 $\frac{8}{10}$ 0 2 4…
8. 0, 7 5 4 6 2 1 $\frac{2}{10}$ 0 1 2…
9. 0, 8 0 8 0 1 0 2 $\frac{2}{20}$ 2…

β = 0,253736013…

问题1.证明构造的分数β不包含在原始序列中。

那么，第二个事实已经证明了，让我们继续第一个事实。

让我们首先讨论一下通用图书馆的古老故事。

一个图书馆应该藏多少册书，包括曾经写过的、现在正在写的或将来会写的各种书籍？通常，第一次听到这个问题的人会惊讶于这样一个通用图书馆由有限数量的书籍组成（参见 K. Prutkov 的第二条格言）。这些都与我们关于人类无限进步的想法相矛盾……但让我们转向计算。我们假设所有书籍都有 500 页（否则我们会将它们分成几卷），并且每页包含 40 行，每行 50 个字符。现在我们来讨论一下印刷基底的问题。我们会对俄语书籍感兴趣。在打字时，您将需要与字母相对应的字符（字母）、标点符号以及用于输入特殊文本的一些字符（但是，如果您不节省空间，则可以用其口头描述来替换公式、表格等）。不管怎样，我们假设大写字母就足够了。为了方便我们在单词之间引入特殊的空格字符。通过连续多次输入该字符，您可以创建任意长的空格（部分地，由于这一点，在五页书籍中，您可以包括由较少数量的非空白页组成的书籍）。因此，一本书可以想象为 50 × 40 × 500 = 10⁶ 个字符的序列，每个字符都是排版字母表（字母）的 100 个字符之一，即，就像字母表由 100 个字母组成的语言中的一百万个字母中的一个单词。请注意，这种减少是通过损害空格字符来实现的，否则字符序列可能无法唯一地标识这本书（可以以不同的方式将其分解为单词）。

问题2. 证明字母表由k 个字母组成的语言中长度为n 的不同单词的数量等于kⁿ*)。

建议。首先，考虑十进制数字系统的一个示例：有 10 个不同的 n 位数字（从 000…0 到 999…9）。

从问题 2 可以看出，通用图书馆的卷数“仅”写为带有 200 万个零的一。这些书将包含所有智慧的高度，包括那些人类无法理解的智慧，但大多数书籍将包含无意义的文本。将会有一本仅由字母“a”组成的书（然而，一本只有一个点的书，一本书和一本“空”书，完全是空格字符的状态）。

现在让我们商定以书的形式形成小数分数的“口头肖像”。这些书会包含在通用图书馆中吗？一般来说，没有。事实是，谈到通用图书馆，我们都从这样的假设出发：书籍具有从现实角度来看的尺寸……

*) 单词只是字母的有限序列。我们对其意义的问题不感兴趣。

6

我们的日常实践。
然而，如果我们拒绝在这个最后的避难所中实现（记住，我们关注的是一个并非固有的巨人），我们就不能排除一些“口头肖像”可能占据比通用图书馆的书籍更大的书籍的可能性。在这方面，我们引入了超普适库的概念。这就是我们所说的包含尽可能多尺寸的所有书籍的图书馆。一本书的大小是指其中的字符数。我们同意按照以下原则排列书籍：编号为$N$的书架上将有所有尺寸为$N$的书籍。特别是，整个通用图书馆将谦虚地占据一个编号为$N=10^6$的书架。因此，超普及的图书馆将已经包含无限数量的图书：它将拥有无限数量的书架。然而，每个书架上的书籍数量是有限的。从问题 2 可以清楚地看出，编号为$N$ 的书架上有$100^N$ 本书。由此可见，所有书籍都可以重新接线！

我们来进行如下盘点。我们首先确定超普及图书馆书架上的书籍顺序。为此，我们首先指出字母表中字母的顺序（字母的数量有限 - 100），然后按照字典中采用的所谓词典顺序排列书籍（对于两个 kigg 单词，第一个字母的编号较小；如果第一个字母重合，则比较该单词的第二个字母，依此类推）。将书放在书架上后，让我们从第一个书架开始数（上面有由一个字母组成的书！）。完成减少下一个架子后，我们继续进行下一个架子。既然每个书架上都有书，当然，每本书迟早都会收到一个编号。库存完成！现在让我们注意到，超普遍图书馆包含所有“全面”十进制分数的口头肖像，因此，通过图书馆中书籍的编号，我们可以阅读所有这些肖像，从而阅读“全面”分数（我们必须记住，一个分数可以有多个“口头肖像”，并看看这个分数是否已经被分配了号码；但是，如果我们多次使用同一个分数，并不可怕）。

“巨大”分数的存在已被证明。

对于那些读过《N.Ya》的人来说。在维伦金的《关于集合的故事》一书中，我们对所获得的结果的解释有些不同。还记得 Shchon Tikhim 发现的非凡电话是如何传输由无限的点序列等组成的电话信息的吗？想象一下，在另一部电话上，我们收到这些电话，他们想想出一种方法来破译它们，以便每个无尽的电话对应于某个字母表中的有限单词。我们已经证明这种方法不存在（文字总是会被混淆，但电话却不能）。我们也可以说，没有办法给单个线段的所有点赋予不同的名称（点）。

我们已经证明了“巨大”分数的存在，但是，就像电影导演一样，我们无法呈现一个具体的“巨大”分数。如果你尝试一下怎么办？让我们使用曾经帮助我们解决问题的对角线过程。毕竟，我们引入了图书馆的图书顺序，这意味着“广泛”分数的数量已经变得固定。利用事实 2，我们将构造一个无限的无限小数$\beta$。

因此，我们去找了书剧院的导演，呈现了一个特定的“巨大”部分。但发生了什么？对于“巨大”分数，按照定义，不应该有一个有限的描述，但是对于“巨大”分数$\beta$，已经构造了这样的描述；这是本文的前文（毕竟，您毫不怀疑它是有限的？）。只有拼写出来的字母表没有呈现，但这也是毫无疑问的。

原来我们已经到了矛盾的地步了？如果你之前的假设与你想要证明的相反，那么遇到矛盾是令人愉快的。但是，您可能还记得，我们并没有做出这样的假设。怎么会这样呢？

唯一可以做出的选择是，我们的“全面”多臂概念，即承认有限描述的多臂，是不正确的，并且导致了矛盾。为了确定这一点，我们再举一个例子。它将不再涉及无限多臂，而是自然数。每一个这样的数字都可以用有限的文本来描述（例如，通过命名），所以没有必要谈论“巨大”。

但是，它会找到我们的通用库中未描述的数字，即俄语中没有描述的数字，包含不超过一百万个字符。后者源于通用图书馆中的卷数是有限的这一事实。在尚未得到描述的自然数中，有最小的数。我们已经证明了以下说法：

在包含不超过一百万个字符的俄语文本中无法指定的最小自然数。

突出显示的短语包含这三十五个字符。但这比一百万还少了三十五，因此我们可以庆幸又出现了一个矛盾：上面的短语明确地描述了所提到的数字！

这是对“言语肖像”概念的真正批判。您认为描述也可以被视为短语吗：

“α是无限的第十多臂，其符号可被拿破仑在普里瓦托战役当天所走的步数整除的数字与数字l的相应符号一致，其余符号等于零。”

“要确定多比δ的第k个符号，你需要统计新时代第k年（不是按照莫斯科时间）所有足球垫上的进球数，并取最后一位数字。”

“如果在无限小数加法的符号 √2 中数字 7 出现无限次，则 γ 的第五个符号等于 1，否则等于 3；γ 的所有其他符号都等于 2。”

我非常努力地想出荒谬的描述，但仍然可以定义唯一的无限的对象。我们不太可能同意接受它们作为多贝的“口头肖像”。问题甚至不在于他们的荒谬，重要的是他们没有提供对这些多贝的事实描述。我们甚至不排除描述可以使用过去已经建立的信息（α）和未来事实（δ）的可能性。此外，最终文本可能要求出售无限数量的 prodedur 以确定单个小数位 (γ)。同样的 K. Prutkov 也针对此类错误做出了规定：

“如果过去的一切都是现在的，而现在与未来的矛盾继续存在，谁能弄清楚：因在哪里，果在哪里？”

事实上，导致我们陷入矛盾的主要不便之处在于，“言语肖像”可以使用有关所有“言语肖像”集合的信息，而他本人应该作为元素之一包含在其中。

事实上，这种在逻辑上被称为“恶性循环”的情况是矛盾的根源，这一事实从生活在公元前六世纪的半传奇圣人埃皮门达斯时代就已被人所知。例如，他持批评态度（即生活在克里特岛），宣称：“所有批评的人都是骗子。”为简单起见，我们将所有的人分为说谎者（总是说谎）和正确的人（总是说谎）。

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说真话，否则你可能会陷入准确定义“说谎者”概念的困难中。上述说法不可能是真的，因为那时的批评家埃庇米尼德斯就无法说出真相。所以，这是一个谎言，这意味着它证明了至少一个真实的克里特岛的存在。发生了什么？由于一个克里特人（他是否是圣人这一事实现在并不重要）说出了一个不可能是真实的想法，因此得出了一个关于真实的克里特人存在的结论。我们真的能确定它的存在吗？在此之后值得说的是，我们不是在谈论确定一个特定的真实批评者的可能性吗？

如果埃庇米尼德斯（像其他陈述一样）直接说：“我是个骗子”或“我现在在说谎”，那就更糟糕了。这些陈述既不真实也不虚假。而这里混乱的根源在于，为了解决一个陈述的真实性问题，人们必须已经知道这个问题的答案（一个恶性循环！）。

为了消除“言语肖像”恶性循环的可能性，我们会额外提出一个效率要求，即要求“肖像”提供明确构造分数的“机会”。更准确地说，我们假设它必须包含一种方法（或者，正如他们所说的，一种算法），允许我们的机器具有无限的内存，从中它可以使用任意大但有限的部分，在有限的时间内找到连续的分数符号。具有无限内存的数学机器的想法很棒，分数的描述是计算其连续符号的有限程序。当然，我们不必严格定义这台伟大的机器，读者理解这一点很重要。然后我请他相信可以给出这样的定义（将其放在另一篇文章中），并利用他的直觉来讨论一些一般原则。

现在我们将通过“包含”分数来理解有计算符号的程序的分数。让我们看看发生了什么变化。由于程序可以以书籍的形式出版，它们被包含在一个超通用的图书馆中，因此

1. 存在“巨大”分数。

此外，尽管我们从痛苦的经历中吸取了教训，但我们拒绝尝试教自行车写出特定分数是错误的。是什么阻止了这一点？如果我们有足够的记忆和时间，我们就能够计算出超宇宙图书馆中一本书的编号（也可以使用该编号写一本书），这意味着教授这个是很棒的。 Teger 只会审阅包含分数计算程序的书籍。为了找到“大”分数β的第k个符号，我们将第k个程序输入到机器中，等到它计算出第k个符号，然后根据表连接用于替换符号的程序（这已经很容易了）。那么，是不是又矛盾了呢？看看，我们真的构建了这个程序吗？当然，你已经发现了一个弱点：你需要使用这本书来确定它是否是一个计算无限小数符号的程序。谁应该做这件事？机器需要接受这一点。让我们弄清楚一下。如果有一种方法或程序（算法）来找出给定的程序文本（算法）是否用于计算无限小数的连续数字。

想想这个结果吧！假设算法的概念有一个正确的定义，没有任何关于这个定义的附加信息，我们

9

正如他们所说，这表明这是一个算法无法解决的问题。有许多不同的方法可以确定某些书籍不包含计算小数的算法的描述（例如，如果它们包含无意义的文本或谈论火星上的生命），但没有通用的方法可以在有限的时间内确定一本书是否包含此类算法的描述。

我们对文章标题中的词语可能含义的讨论到此结束。我们有点担心，说了这么多，一些读者开始在数学研究中消除对无限集的“考虑”，给自己和周围的人带来麻烦。因此，我们将提出更多评论，不幸的是，我们将无法在这里用论据来支持这些评论（并且将仅限于引用权威机构）。大多数数学家能够“考虑”无限集，在他们的推理中引入小的限制，在他们看来，这确保了不存在矛盾。当然，与此同时，人们开始“检查”物体，这是一个人直到生命结束时才能完成的口头描述。然而，我们发现，这样的“考虑”是几个世纪以来所建立的数学大厦的基础，而数学大厦的未来命运取决于它们。尽管许多数学家或多或少地试图在一个允许有限描述的可理解的框架的基础上呈现数学，并且沿着这条道路获得了许多非常有意义的事实，使得从不同的角度看待许多事物成为可能，然而，数学的发展应该在这些框架内进行的主张并没有得到广泛的支持。 “没有人能把我们赶出康托为我们创造的系列，”最伟大的数学家之一大卫希尔伯特说。

我们将第五届传统奥林匹克竞赛中提出的问题之一放在语言学和数学中（1969年第一届）。

问题。
信1。

亲爱的朋友！
前段时间我买了两只非常漂亮的狗：一只牧羊犬和一只腊肠犬，但很快发现它们训练得很差。事实上，他们真的很喜欢躺着。因此，与他们住在同一所房子里是相当困难的。然而，我并不绝望，或者说，我通过实践检验已经确定，它们的行为受到某种规律的约束，难以理解但却无可争议（尽管这可以用狗过去在马戏团表演的事实来解释），并且我可以通过弹钢琴或关上一盏真正的灯来影响它们。

每分钟，每只狗要么吠叫，要么保持沉默：它们没有检测到任何转变。他们下一分钟的行为仅取决于当前发生的事件，这种依赖性如下。

下一分钟牧羊犬的行为与前一分钟相同：吠叫或保持沉默，除非在前一分钟弹奏钢琴并且腊肠犬没有吠叫。在后一种情况下，牧羊人的行为会发生相反的变化：吠叫变成沉默，反之亦然。

对于腊肠犬来说，如果前一分钟灯亮了，腊肠犬会根据牧羊犬是否吠叫或保持沉默而躺下或保持沉默，因此腊肠犬会延迟一分钟复制牧羊犬。然而，如果灯没有亮，腊肠犬就会做与牧羊人相反的事情。

续第 25 页

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电阻是一种量子现象

D.A.弗兰克-卡梅涅茨基

导体对电流的阻力根本不像乍看起来那么简单。正如我们将看到的，我们也不能没有量子。让我们首先看看没有它的帮助可以做什么。

经典理论

我们已经习惯了“经典”是一个相似的词。他们说：斯特列尔佐夫打进了“经典进球”。你可以用更现代的术语说“酷”，甚至“铁”，而不是“经典”。物理学家对这个词有着完全不同的态度。在现代物理学中，经典理论被称为在量子物理学和相对论出现之前由过去的科学类别创建的理论。大多数情况下，物理学家将“经典”一词用作“量子”一词的反义词。经典理论的不同之处在于它不涉及量子。这些理论非常简单；对于现代物理学家来说，他们似乎有些天真。他们通常会发挥重要作用，但通常并不能完全解决问题。对于现代物理学家来说，经典理论总是缺少一些东西。

在许多书籍中，包括教科书（甚至很好），都写到金属的电阻源自现代电工，

载流，用晶格的原子*)。这种抵抗的概念正确吗？

最好不要说“是”或“否”，而是说它表达了经典的电阻理论。我们刚才所说的关于一般经典理论的一切都适用于它。但在这种情况下，经典理论显得非常无力：它无法解释电阻的许多主要特征。在经典理论中，有一件事肯定是正确的：电阻来自于电子将其部分能量和动量（动量）转移到晶格的事实。但这种传输到底是如何产生的并不是一个简单且非常有趣的问题。

温度依赖性

纯金属的电阻随着温度的升高而大大增加。对于其中许多来说，它与绝对温度成比例地应用。在低温下，这种简单的依赖性就会消失。

*）更准确的说法是 - 小马，但这对我们来说不存在。电阻的机制是电子撞击晶格的原子导致它们振动——电能转化为热能。

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图 1. 铜电阻率与绝对温度的关系图。

是的。这在 图 1 中清晰可见，它显示了最常见的电流导体铜的电阻率如何随温度变化。从图可以看出，在高温区域，这种依赖性很好地表现为线性。但如果这条直线继续向低温延伸（在 图 中用虚线表示），它不会达到绝对零，而是达到稍高的温度 - 对于铜来说约为 60°K。事实上，在低温下，依赖性变得更加复杂：电阻与温度成比例变化。当接近绝对零时，纯金属的电阻变得非常小。有一组金属，其电阻在高于绝对零度几度的温度下完全消失。这是一种叫做超导的现象，我们现在不会拉屎了。关于简单的事情可以说很多有趣的事情。

如果我们通过电子与原子的碰撞来解释电阻，那么纯金属电阻的温度依赖性仍然完全不清楚。
清除。毕竟，这种情况就好像电子只与进行热运动的原子碰撞，而与自由飞行的静止原子碰撞。有时他们这么说（好像电子更容易进入运动的原子），但这是一个错误。这与认为在没有瞄准的情况下射击时，击中摆动的磁铁比击中静止的磁铁是一样的。因此，经典理论无法解释电阻对温度的依赖性。

残余电阻

当纯金属的电阻在非常低的温度下发生变化时，就会发现一件值得注意的事情。将曲线 图 1 继续延伸至绝对零，我们得到了在实验中可能达到绝对零时应保留的电阻。这称为残余电阻。事实证明，不同样本的差异很大。剩余电阻对微不足道的杂质以及机械和热处理极其敏感。通过仔细清洁金属，对其进行整形以实现完美的晶体结构，可以降低残余电阻，而且这种降低是没有限制的。因此，经验得出一个惊人的结论：绝对零温度下的理想晶体应该没有电阻。换句话说：纯金属的电阻仅因晶体结构的扰动而产生，而晶体结构的扰动是由晶体溶液的热运动、杂质和缺陷（不规则性）引起的。

核走廊

如果电子根据经典力学定律移动，它们应该与原子碰撞，无论原子是否按严格顺序排列或

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图 2.规则（理想）晶体中电子的运动和电子波的传播。

不会。当然，规则的原子行之间存在某种走廊 (图2)，但要沿着这样的走廊引导电子，需要晶体相对于所施加电压的精确定向。但通常我们处理的不是一个晶体，而是许多随机取向的小晶体的组合。然而，单个规则晶体被称为单晶体（来自希腊语“mono” - 一个），许多晶体的组合被称为多晶聚集体（来自希腊语“poly” - 许多）。因此，精确测量表明，多晶聚集体的电阻与单晶的电阻相差很小。尤其重要的是，多晶骨料的电阻随着温度的降低而大大降低。根据经典力学定律，没有办法避免电子沿着原子走廊的运动。当从一种晶体移动到另一种晶体时，原子走廊突然改变其方向（图3）。电子应该撞到“墙”以免飞走。他能够六次穿越原子迷宫，就像忒修斯一样

图 3. 多晶聚集体中电子穿过原子迷宫的运动示意图。电子显示为红色。

阿里德娜的线索为他指明了方向。这到底是什么？我该如何解释？

没有奇迹的奇迹

更令人惊奇的事实早已为人所知。机械和热处理显着影响金属的电阻。为了便于技术使用，我们将使用电阻率单位$om \cdot mm^2/m = 10^{-4} \cdot om \cdot cm = 10^{-6} \cdot om \cdot m$。在这些单位中，$20^\circ C$ 处总商业铜的电阻率表示为 0.0172。冷拔后，铜线的电阻增加到0.0177。进一步将电线缠绕在线圈上足以增加其电阻。如果对线路进行退火，即长时间加热，然后再次冷却至$20^\circ C$，电阻值就会恢复正常。显然，电阻对晶体结构中的小扰动很敏感（这种特性称为结构敏感）。更引人注目的是对微不足道杂质的抵抗力的敏感性。彻底清洁可降低电阻率

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di 在 20°C 温度下为 0.0169 $om \cdot mm^2$/m。这种情况对于技术来说非常重要。毕竟，如果减少电线的电阻，您还将减少用于加热电线的无用电能损失。因此，用于电力需求的铜需要通过电解进行特殊纯化。这种奇特的冶金过程有点让人想起“从空到空的浇注”。在阳极，铜被剃须，在阴极沉积铜，其纯度小数点后相差“三个九”：99.999%，即电工铜中的杂质仅占千分之一。这种彻底的清洁非常重要：清洁后，阻力以及热量损失都会显着降低。

现在让我们看看铜电阻中的杂质含量。在铜中添加1%的锰就足以使其电阻率增加到0.048$om \cdot mm^2$/m，即几乎三倍！同时，纯锰的电阻率为0.05$om \cdot mm^2$/m。因此，铜中 1% 的锰足以使其电阻几乎等于 100% 锰的电阻！这不仅仅是一个机会问题。铁、钴、铱等添加剂的作用大致相同。如果电阻来自带有杂质原子的新电子，那么这些杂质的影响应该小一百倍。从经典理论的角度来看，微小杂质的巨大影响纯粹是一个奇迹。

在含有大量杂质的合金中，电阻非常高。冶金学家已经开发出高电阻合金的替代配方：镍合金、锰合金、康铜、镍铬合金等。这些合金的电阻比每个零部件的电阻大几倍。因此，CONSTANTan（60% 铜和 40% 镍的状态）的电阻率为 0.44 $om \cdot mm^2$/m，而相同单位的纯铜为 0.017，镍为 0.072 *)。

此类合金的“王者”堪称众所周知的铬合金，其电阻率为1$om \cdot mm^2$/m。它在加热设备中得到如此广泛的应用并不是没有原因的。 ichrome 有不同的配方。其中最简单的是 80% 镍和 20% 铬。这种合金的电阻率为 1.05 $om \cdot mm^2$/m，而纯镍的电阻率为 0.072，铬的电阻率为 0.131。这种合金很昂贵，但您可以用廉价的铁代替一些昂贵的镍而不会造成损坏。然而，同类合金中的“记录”是由 65% 铁、30% 铬和 5% 铝制成的 medarip 保持的，电阻率为 1.4 $om \cdot mm^2$/m。

令人惊讶的是，合金电阻的温度依赖性与纯金属完全不同。大多数合金的电阻也会随着温度的升高而增加，但要弱得多。特别是对于需要恒定电阻的科学仪器，开发了已经提到的CONSTANTan，其名称的意思是“恒定”。在0°至400°C的温度范围内，其电阻变化仅在0.441至0.448$om \cdot mm^2$/m之间。

从合金恒定电阻的经典理论来看，很明显，纯金属的电阻与温度成正比。在该理论的含义内，合金的电阻应根据简单的混合规则（例如热容）从其组成部分的电阻中添加。如果我们看看已知的一切

*) 这里所有的数据都是在 20°C 的温度下给出的。

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图 4. 热运动违反原子波导的正确性。

电阻，那么很明显，即使是这个简单的现象也迫使我们求助于量子来帮助理解它。

电子波和原子波导

如果我们记住，根据量子力学定律，电子同时具有粒子和波的属性，那么一切就都迎刃而解了。原子走廊的宽度接近电子的波长，因此，当电子沿着这样的走廊运动时，电子的波动特性得到充分体现。

波导广泛应用于厘米波无线电工程中。这些是圆形或矩形横截面的金属管。无线电波将沿着波导传播，沿着其整个弯曲。光也是电磁波，它可以隐藏在光导中——带有镜壁的管子*)。最近，人们已经愿意使用最薄的光导——玻璃纤维。

你可以随意弯曲它们 - 光线仍然会听话

*) 实际上，无需对墙壁进行镜像。通常它使用全内反射现象，但这对我们的主题来说并不重要。

沿着纤维。

带镜面墙的光导的效果很容易理解。光波不断地从墙壁反射，因此保留在光导内部。无线电波也能从主要金属表面很好地反射。如果表面粗糙，那么波似乎会分解奥扎布林，从而分散并被吸收。它的能量转化为热量。

在量子理论中，电流通过金属的流动就像电子波沿着原子走廊传播一样，起到了波导的作用。如果原子以完美的顺序位于一个平面上，彼此之间的距离相等，那么这样的平面就会完全反射电子波——就像理想的镜子一样。只有当原子排列的严格顺序被破坏时，才会发生电子波的散射和吸收。这个惊人的结论首先是通过相当复杂的数学方式从量子力学方程中得出的。但如果对它们进行更多的外部处理，也可以根据实验确定的电阻特性来完成。

在理想的规则晶体中，波导是完全光滑的。全部-

15

图 5. 第一类晶格缺陷是空位（空位）。值得注意的是，电子也会散射到空位中——是否有更好的证据证明它们根本不与晶格原子碰撞？事实上，空位在原子波导壁中起到了响应的作用，扰乱了电子波的正确传播。

原子顺序的一些扰动表现为波导壁的粗糙度。电子波因晶格中的扰动而散射。部分电子能量被吸收并转移到体内。这就是电子电阻的量子机制。原子波导的规律性被热振动破坏，电子波在热振动上被散射（图4）。这将产生取决于温度的电子电阻的热部分。通过冷却金属，可以将其做得尽可能小。同时，保留了残余或结构电阻，与晶体结构的永久缺陷（损坏）（图 5 和 图 6）有关。每个晶体都存在缺陷，并取决于它的“传记”——取决于它起源、生长和存在的条件。在冷加工过程中会出现其他缺陷 - 拉丝甚至将它们缠绕到卷轴上。这就是阻力增加的原因。长期以来

图 6. 第二种晶格缺陷是位错。

通过固体加热（退火），原子回到原来的位置，缺陷得到修复——电阻下降。

外来原子的引入导致晶格破裂(图7)。在这种情况下，杂质原子可以来自“主体”晶体的数百个原子。这就是杂质增加电阻的原因。值得注意的是，该动作

图 7. 来自一组晶格原子位置的杂质原子。因此，不仅那些与杂质原子本身接触的电子的正确运动被破坏，而且许多其他电子的正确运动也被破坏。 （晶体原子之间的距离及其大小与杂质原子的比率是有条件的。）

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葡萄酒中的杂质越多，原子尺寸越大，以及与“主体”原子差异的其他因素越多，它们就越会破坏晶格的规则性。

如果冷却金属，电阻的热部分（即热运动产生的流动）就会下降。当它变得比结构中与温度无关的部分小得多时，随着进一步冷却，电阻几乎不会改变。在具有无序结构的合金中，该结构是当前浪涌的抵抗力的一部分，即使在高温下，浪涌也优于热浪涌。这些解释了合金的电阻对温度的弱依赖性。

声音量子——声子

我们开始熟悉一些量子现象，但量子本身目前仍处于阴影之中。现在他将脱颖而出。

固体中的热运动可以被认为是原子围绕其平衡位置的振动。但固体中的粒子不能独立振动。它们彼此紧密相连，时刻进行着集体振荡。不像在舞池里，每对舞者独立地移动，而是像在大型芭蕾舞团的集体系统中，每个人都和谐地表演自己的部分。

物质大量部分的集体振动与声波相同。如果将任何粒子从其平衡位置移开，它可能会以声速扩散到整个身体。事实证明，固体中的热运动可以被视为声波的传播。通过加热身体，我们让它发出声音。对我们来说幸运的是，这些振动的频率比我们耳朵能听到的频率高数十亿倍。显然，生物在进化过程中已经适应了不听“叫声”，否则我们就无法承受“尖叫”物体的持续噪音。

因此，发现了电阻和声音之间的必要联系。电子被晶格热运动产生的声波散射。但每个波都由量子组成。一般来说，对于光或电磁波来说，这些是光子，对于声波来说，它们是声子（来自介绍光和声音的希腊词）。光子是真实的粒子，与其他基本粒子完全相同。声子并不完全相等，因为它们只能存在于物质内部（声子不能存在于空虚中）。它们——以及其他类似的粒子——被称为准粒子（即“几乎粒子”）。声子是广大准粒子家族中最简单的代表。我们现在对它的其他成员不感兴趣。

我们说过，电子波会因热运动（即声波）产生的粗糙度而被散射。但如果声波被描述为声子流，那么电子也可以被视为粒子，而忘记了它们的波动特性。现在我们似乎回到了阻​​力的简单解释：电子由于与其他粒子碰撞而无法自由移动。但不是物质粒子，而是声音量子——声子。

现在我们终于可以做一些数学题了。为了简单起见，我们将声子视为有一个相同的部分 v 来进行计算。这一假设是不正确的，但它产生的误差并不严重。事实上，我们可以参考这样一个事实：伟大的物理学家普朗克和爱因斯坦在固体热容理论中从相同的假设出发，得出了

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Chali 的结果并不那么平淡。

与任何量子一样，声子的能量等于 $hv$，其中 $h$ 是普朗克常数，$v$ 是波的频率。

声子数为$\frac{E}{hv}$，其中$E$是热运动能量，与绝对温度$T$成正比。玻尔兹曼常数$k$可以作为比例集合。所以，声子的数量是$N = \frac{kT}{hv}$。我们取得了一个非常重要的成果。固体中的声子数与绝对温度成正比。因此，如果电阻与恒定功率成正比，则可取玻尔兹曼常数$k$。所以，声子的数量是$N = \frac{kT}{hv}$。我们取得了一个非常重要的成果。固体中的声子数与绝对温度成正比。因此，如果电阻与恒定功率成正比，则可取玻尔兹曼常数$k$。所以，声子的数量是$N = \frac{kT}{hv}$。我们取得了一个非常重要的成果。

但这个结果只有在足够高的温度下才有效。确实，根据量子理论的含义，声子的数量不能少于一。让我们看看在什么温度下它等于统一。该温度称为德拜温度，在希腊语中用字母 $\theta$ 表示。将 $N$ 等于 1，我们发现：$\theta = \frac{hv}{k}$。德拜温度（或德拜温度）在固体物理中起着非常重要的作用。使用我们感兴趣的这个量，声子的数量可以非常简单地表达：$N = \frac{T}{\theta}$。在低于基准的温度下，这个数字变得小于一。这意味着我们只能谈论平均声子数，并且计算受条件限制。但量 $\frac{T}{\theta}$ 仍然是固体中声子数量的量度，因此，仅是具有声子的电子素的数量。是

*）这是每个晶格振动的声子数，更准确地说，是每个振动自由度，或者，正如物理学家喜欢说的，每个振荡器。

图 8. 纯金属电阻率的广义温度依赖曲线。

基于这些报告，提出了以下假设：纯金属电阻的温度依赖性由声子数$\frac{T}{\theta}$的通用函数表示。从数学上讲，这个假设可以写成：$\frac{R}{R_0} = F\left(\frac{T}{\theta}\right)$，其中$R$是$T$温度下的电阻，$R_0$是$\theta$温度下的电阻，$F$是一个函数，其形式可以从经验中找到。重要的是 $F$ 函数对不同纯金属的承诺。这个假设在实验上的合理性可以从图 8看出。这张图曾经是由美国物理学家巴丁绘制的，他后来因超导理论的工作而闻名。

将德拜温度 $\theta$ 与声速 $c$ 联系起来很有趣且有用。让我们记住，物质是由原子组成的，波不是连续传播的，而是从一个原子跳到另一个原子。在振荡周期$t$期间，波的传播路径不能小于相邻原子之间的距离$a$。

否则，波将“悬挂”在两个原子之间的空隙中。声波在一次振荡中传播的路径等于$c\tau$。因此，物质的原子结构对声音振动的周期施加了限制：$c\tau \geq a$。频率$v$是每单位时间的周期数，因此是$v\tau=1$。因此，声音振动的频率是有限的：

$$v \leq \frac{c}{a}.$$

在热运动过程中，不同频率的声波（即声子）被激发，正如他们所说，整个频率频谱。但声子谱有一个极限频率。频率较高的波没有时间从一个原子跳到下一个原子，因此无法被激发。详细计算表明，只要将固体中背景光谱的极限频率取为频率$v$，就可以用与我们相同的方法确定德拜温度。这就是我们要做的。

我们所要做的就是估计原子之间的距离$a$。如果单位体积的原子数为$n$，则$n=\frac{1}{a^3}$。

从这里和公式（*）可知：

$$\frac{v^3}{c^3} \leq n.$$

我们无法在此提供更准确的计算，而是通过附加因子 $4\pi$ 给出。由此，我们得到极限频率$v$与声速$c$的联系公式：

$$4\pi \frac{v^3}{c^3} = n.$$

这个非常重要的公式与Ya的文章中讨论的Rayleigh-Jeans公式密切相关。 A.斯莫罗丁斯基（«Kvant»No.1）。将式(**)表示频率$v$，代入德拜温度表达式，可得

$$\theta = \frac{hc}{k} \sqrt[3]{\frac{n}{4\pi}}.$$

所以，我们得到了之间的联系

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注意：在
方程-参数！

A. 是的。马古利斯，
A.G.莫德科维奇，
B·A·拉敦斯基

而不是序言
我记得有这样一个案例。学生被要求解一个看似无害的方程：
$(a^2 - 5a + 6)x = a^2 - 4$. (1)
学生没有多想，继续进行如下计算：
$$x = \frac{a^2 - 4}{a^2 - 5a + 6} = \frac{(a - 2)(a + 2)}{(a - 2)(a - 3)}; x = \frac{a + 2}{a - 3}.$$ (2)
他显然没有考虑到给定的方程包含参数$a$，并且带有参数的方程本质上是一组方程。因此，我们的$a = 0$方程采用$6x = -4$形式，$a = 1$采用$2x = -3$形式，等等。换句话说，给参数一个特定的数值后，我们从方程组中选择一个——与所选参数值相对应。但解决方案取决于参数。
我们已经说过，对于$a = 0$，方程（1）采用$6x = -4$的形式。该方程的根是值 $x = -\frac{2}{3}$。但根据式（2）和$a = 0$我们得到$x = -\frac{2}{3}$。
对于 $a = 1$，方程 (1) 采用 $2x = -3$ 形式，因此为 $x = -\frac{3}{2}$。但根据式（2）和$a = 1$我们得到$x = -\frac{3}{2}$。
如果这种情况发生在任何主动知识$a$上，那么可以说公式（2）决定了方程（1）的解。但事实并非如此。
让我们输入$a = 2$。等式(1)变为$0 \cdot x = 0$。该方程的根是任意实数，而公式（2）在这种情况下给出$x = -4$。
对于$a = 3$，方程(1)采用$0 \cdot x = 5$的形式。该方程无解。然而，表达式$\frac{a + 2}{a - 3}$对于$a = 3$来说没有意义。
因此，不可能断言参数的任何值都为 $x = \frac{a + 2}{a - 3}$。
事实上，有必要进行如下推理。在将方程（1）两边除以未知数的系数之前，让我们看看对于某些参数值，该系数是否会变为零。我们注意到三项式$a^2 - 5a + 6$在$a = 2$、$a = 3$处消失。这意味着我们需要单独考虑这些情况，我们已经这样做了。如果$a \neq 2$，$a \neq 3$，那么我们可以将方程两边同时除以$x$的系数，得到$x = \frac{a + 2}{a - 3}$。结合获得的结果，我们写下
答案：如果$a = 2$，则$x$是任意实数；
如果$a = 3$，则无解；
如果$a \neq 2$，$a \neq 3$，则$x = \frac{a + 2}{a - 3}$。
这个简单的例子表明，当用 pa 求解方程时

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就参数而言，所有可能情况的距离尤为重要。同时，很难提前预测决策过程中会出现哪些案件。一方面，这使解决方案变得复杂，但另一方面，也使工作变得更有趣，赋予其研究性质。

一点理论

具有一个参数的方程的一般形式为：
$$F(x,a) = 0.$$ (3)

对于不同的$a$，方程（3）可以有不同的根集，我们的任务是研究所有情况，找出参数的任何值都会发生什么。当求解带有参数的方程时，您通常会考虑许多不同的选项。及时发现至少一些不可能的选择非常重要，因为它使我们免于不必要的工作。因此，在求解方程（3）时，建议通过OD来理解未知数和参数的允许取值范围，即定义两个变量$F(x,a)$的函数（有意义）的所有数对$(x,a)$的集合。因此，ODZ 的自然几何图示以 $xOa$ 平面的某个区域的形式出现。

例如，ODZ 方程
$$\sqrt{x} + \sqrt{a} = \sqrt{1-(x+a)}$$ (4)
由不平等制度决定
$$x \geq 0, a \geq 0, x+a \leq 1.$$

该系统满足三角形所有点（包括其边界）的坐标，由蓝色和蓝色 *) 包围 图 1。顺便说一句，从这些考虑出发，可以立即得出对于 $a<0$ 方程（4）没有解。

让我们求解方程（4）。将其两部分平方后（由于方程（4）两边的非负性，在这种情况下是等价变换），我们得到方程
$$2\sqrt{ax} = 1 - 2(x+a).$$ (5)

我们上面已经说过，放弃至少部分不可能的选择可以让我们摆脱不必要的工作。我们注意到，方程（5）左边对于所有允许的$a,x$都是非负的，这意味着当方程右边为负时，寻找解是没有用的。显然，应在 ODZ 可以存在的部分寻求解决方案，为此目的适当缩小 ODZ：
$$1 - 2(x+a) \geq 0, \text{ откуда } x+a \leq \frac{1}{2}.$$

在 图 1 处，ODZ 中不能有解的部分被涂上移除的颜色。

将式(5)**)两边同时平方并带入相似项，可得方程
$$x^2 + (a-1)x + a^2 - a + \frac{1}{4} = 0,$$

*) 有关具有两个未知数的不等式组的几何解的更多信息，请参阅 1970 年的«Kvant» No. 4。
**) 在新的 ODZ 中，方程 (5) 两边都是非负的。在这种情况下，平方不会导致构建根的出现。

21

在哪里
$$x_{1,2} = \frac{1-a \pm \sqrt{2a-3a^2}}{2}.$$

两者都找到了参数 $a$ 所有允许值的根（即，对于满足不等式 $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$ - 参见 图 1 的所有$a$）都是实数。事实上，$0 \leq a \leq \frac{2}{3}$的判别式$D = 2a-3a^2 \geq 0$；这意味着，$D \geq 0$ 和 $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$ 更是如此。

现在我们需要找出找到的值是否满足条件$x \geq 0$，$x+a \leq \frac{1}{2}$。

让我们首先检查条件$x+a \leq \frac{1}{2}$是否满足。我们有
$$x_1+a = \frac{1-a-\sqrt{2a-3a^2}}{2} + a = \frac{1+a-\sqrt{2a-3a^2}}{2}.$$
解决不平等问题
$$\frac{1+a-\sqrt{2a-3a^2}}{2} \leq \frac{1}{2},$$
我们得到$0 \leq a \leq \frac{1}{2}$。这意味着参数 $a$ 的所有允许值都为 $x_1+a \leq \frac{1}{2}$。

下一个，
$$x_2+a = \frac{1-a+\sqrt{2a-3a^2}}{2} + a = \frac{1+a+\sqrt{2a-3a^2}}{2}.$$
不等式
$$\frac{1+a+\sqrt{2a-3a^2}}{2} \leq \frac{1}{2}$$

仅在$a = 0$执行。但对于$a = 0$，我们有$D = 0$和$x_1=x_2 = \frac{1}{2}$。

两个找到的根的非负性的证明留给读者。

答案：如果$0 \leq a \leq \frac{1}{2}$，则$x = \frac{1-a-\sqrt{2a-3a^2}}{2}$；

如果$a < 0$或$a > \frac{1}{2}$，则无解。

请注意，在求解所考虑的方程时，ODZ 的干燥是有用的。自然而然地出现了一个问题：什么时候应该做出这样的澄清？

如果我们进行一个变换，得到一个与前一个方程等价的方程，那么在 ODZ 的情况下，当然就不需要了。否则它是有用的。例如，当对方程的两个部分进行平方（或任何偶次方）时，就会出现这种情况，这就是我们在所考虑的示例中遇到的情况。

一些例子
示例 1*)。解方程
$$\frac{\sqrt{a+x}}{a} + \frac{\sqrt{a+x}}{x} = \sqrt{x}.$$
解决方案。 ODZ 由方程 $x > 0$、$a+x \geq 0$、$a \neq 0$ 确定（顺便说一句，从这里开始，方程在 $a = 0$ 处无解）。让我们将方程转换为形式
$$(a+x)^{3/2} = ax^{3/2}.$$
让我们干燥 ODZ：从最后一个方程的非负部分和方程 $x > 0$、$a \neq 0$ 可以得出 $a > 0$。

接下来我们得到：$a+x = a^{2/3}x$，从$x (a^{2/3}-1) = a$。
对于$a = 1$，有非常/没有解决方案。若$a \neq 1$，则
$$x = \frac{a}{a^{2/3}-1}.$$
我们来看看，经过大家的考虑，
*) 《初等数学问题集》第 206 期。作者：N.P.安东诺夫，M.Ya。维戈斯基、V.V.尼基丁、A.I.桑金。在给定的问题中，示例已解决/herno。

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给定参数$a$（$a > 0, a \neq 1$）的值，满足条件$x > 0$（从中显然可以得出满足第二个条件$a + x \geq 0$）。

不等式$\frac{a}{a^{2/3} - 1} > 0$仅适用于$a > 1$（考虑到$a > 0$）。因此，并非对于 $a$ 的所有允许值，找到的根都适合。

答案：如果$a > 1$，则$x = \frac{a}{a^{2/3} - 1}$；如果$a \leq 1$，则无解。

示例 2：求解方程
$$\log_9 x + \log_9 \frac{2 - x}{2} = \log_9 \log_9 p.$$

解决方案。 ODZ 由不等式 $0 < x < 2$、$p > 1$ 确定（在 图 2 处，该区域为深红色）。求解方程，我们一致得到
$$\frac{x(2 - x)}{2} = \log_9 p,$$
$$x^2 - 2x + 2\log_9 p = 0,$$
$$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - 2\log_9 p}.$$

$p \leq 3$ 满足条件$1 - 2\log_9 p \geq 0$，考虑到 ODZ，得出$1 < p \leq 3$。有了这样的$p$，根将是实数。在$p > 1$，满足不等式$\log_9 p > 0$，然后满足$1 - 2\log_9 p < 1$。由此可见，对于$1 < p \leq 3$，不等式$0 < x_{1,2} < 2$成立。

答案：如果$1 < p \leq 3$，则$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - 2\log_9 p}$；对于剩余的$p$，没有解决方案。

评论。从方程（6）我们得到$p = 9^{\frac{x(2 - x)}{2}}$。该函数的图形绘制在 图 2 上，清楚地表明条件 $0 < x < 2$ 在 $1 < p \leq 3$ 得到满足。

示例 3：求解方程
$$\frac{a + \sin x}{a \cos x + 1} = \frac{a + \cos x}{a \sin x + 1}.$$

解决方案。我们首先考虑$a = 0$的情况。给定方程的形式为 $\sin x = \cos x$，因此为 $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ ($n = 0, \pm 1, \ldots$)。

现在让$a \neq 0$。然后 ODZ 由以下方程确定
$$\cos x \neq -\frac{1}{a}; \sin x \neq -\frac{1}{a}.$$

让我们将给定的方程转换为 $(\sin x - \cos x)[a^2 + a(\sin x + \cos x) + 1] = 0$ 的形式。最后一个属性方程是以下方程组：
$$a^2 + a(\sin x + \cos x) + 1 = 0,$$
$$\sin x - \cos x = 0.$$

求解集合(7)的第一个方程，我们得到：
$$a\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -a^2 - 1$$
及以后
$$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{a^2 + 1}{a\sqrt{2}}.$$

最后一个方程无解，因为对于任意 $a \neq 0$ 都有 $\left| -\frac{a^2 + 1}{a\sqrt{2}} \right| > 1$。事实上，假设 $\frac{a^2 + 1}{|a|\sqrt{2}} \leq 1$；改变这种不平等，我们得到
$$a^2 + 1 \leq |a|\sqrt{2}, (a^2 + 1)^2 \leq 2a^2,$$
$$a^4 + 1 \leq 0.$$

最后一个不等式是不正确的。

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第二个总体方程 (7) 的解是值 $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ ($k = 0, \pm 1, \ldots$)。仍然需要检查对于 $a \neq 0$ 的所有值，$x$ 的找到值是否可接受。

如果$k = 2n$，则必须满足$\sin x = \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$和条件$\frac{\sqrt{2}}{2} \neq -\frac{1}{a}$，即$a \neq -\sqrt{2}$。

如果$k = 2n + 1$，则$\sin x = \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。

从条件$-\frac{\sqrt{2}}{2} \neq -\frac{1}{a}$我们得到：$a \neq \sqrt{2}$。

结合所有结果，写出

答案：如果$a \neq \pm \sqrt{2}$，则$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$；

如果$a = \sqrt{2}$，则$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$；

如果$a = -\sqrt{2}$，则$x = \frac{\pi}{4} + \pi (2n + 1)$（$k,n = 0, \pm 1, \pm 2; \ldots$）。

示例 4. 求解方程 $\log^2_{\sqrt{2}} \cos x - 2a \log_{\sqrt{2}} \cos x = a^2 - 8$。

(8)

解决方案。代入$y = \log_{\sqrt{2}} \cos x$，我们将给定方程转化为二次方程$y^2 - 2ay - (a^2 - 8) = 0$，

从哪里$y_{1,2} = a \pm \sqrt{2(a^2 - 4)}$。

现在我们需要求解一组对数方程

$$\log_{\sqrt{2}} \cos x = a + \sqrt{2(a^2 - 4)}. \tag{9}$$

$$\log_{\sqrt{2}} \cos x = a - \sqrt{2(a^2 - 4)}. \tag{10}$$

我们注意到，对于 $a^2 - 4 < 0$，方程 (9) 和 (10) 的右侧没有意义。这意味着，对于 $-2 < a < 2$，两个方程都没有解。考虑$a^2 - 4 \geq 0$的情况，这对于$a \geq 2$或$a \leq -2$都是可能的。

让我们从$a \geq 2$开始。既然$\cos x \leq 1$和$\sqrt{2} > 1$，那么$\log_{\sqrt{2}} \cos x \leq 0$。

这意味着方程（9）和（10）仅对方程右侧为非正的参数$a$的值有解。容易看出，对于$a \geq 2$，式（9）右边为正，因此式（9）无解。

让我们找出当参数$a$取什么值时，等式(10)的右边将为非正数。求解不等式$a - \sqrt{2(a^2 - 4)} \leq 0$（考虑条件$a \geq 2$），我们得到$a \geq \sqrt{8}$。因此，如果$2 \leq a < \sqrt{8}$，则方程（10）无解（并且由于方程（9）也无解，因此我们由此得出方程（8）在这种情况下也无解）。

若$a \geq \sqrt{8}$，则由式(10)可得

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a - \sqrt{2(a^2 - 8)}} + 2\pi n. \tag{11}$$

现在让我们考虑$a \leq -2$的情况。对于这些参数值，式（10）右边是不同的，即该式有解（上面已经用式（11）写出了）。让我们找出当参数$a$取什么值时，等式(9)的右边将为非正数。求解不等式$a + \sqrt{2(a^2 - 4)} \leq 0$（考虑条件$a \leq -2$），我们得到$a \geq -\sqrt{8}$。因此，若$a < -\sqrt{8}$，则式(9)无解，若$-\sqrt{8} \leq a \leq -2$，则式(9)有解，即：

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a + \sqrt{2(a^2 - 8)}} + 2\pi n.$$

结合所有获得的结果，我们写下

答案：如果$-2 < a < \sqrt{8}$，则无解；

如果 $a \geq \sqrt{8}$ 或 $a < -\sqrt{8}$ 那么

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a - \sqrt{2(a^2 - 8)}} + 2\pi n;$$

如果$-\sqrt{8} \leq a \leq -2$，那么

24

图 3.

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a \pm \sqrt{2}a^2 - 8} + 2\pi n.$$

几何有助于代数

当求解带有参数的方程时，各种几何考虑因素可能对尺度有用。例如，考虑方程

$$\sqrt{x(2a-x)} = 1 - x \text{ при } a > 0.$$

方程的哪个解可以解释为直线$y = 1 - x$与半圆交点的横坐标

$$y = \sqrt{x(2a-x)}, \text{ или}$$
$$(x - a)^2 + y^2 = a^2; \text{ у} \geq 0$$

半径 $a$，以点 $(a, 0)$ (图 3) 为中心。半圆的位置及其半径随着参数$a$的变化而变化。在 图 3 上，可以清楚地看到，对于 $a$ 的某些值，半圆不与线 $y = 1 - x$ 相交（半圆位于线下方），对于其他值 $a$，半圆与线相交于两点（半圆位于中间头部区域），对于第三个值 $a$，半圆与线相交于一点（半圆位于红色区域或上方），对于 $a$ 的某些值，半圆接触线（分隔头部和棕色区域的半圆）。

让我们考虑半圆接触直线$y = 1 - x$的情况。从几何角度考虑，该半圆的圆心距直线$y = 1 - x$与横坐标轴的交点的距离等于$a\sqrt{2}$。因此$a + a\sqrt{2} = 1$，即相切的情况发生在$a = \sqrt{2} - 1$。这意味着在$a < \sqrt{2} - 1$处方程没有解（蓝色区域），但在$a = \sqrt{2} - 1$处它有一个唯一解，这是从几何考虑中找到的：$x = a + \frac{a\sqrt{2}}{2}$（参见图3），从中我们得到$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

在图3处经过点$(1, 0)$的半圆对应于参数$a = \frac{1}{2}$的值。这意味着对于 $\sqrt{2} - 1 < a \leqslant \frac{1}{2}$ 方程有两个解：

$$x_1 = \frac{a + 1 - \sqrt{a^2 + 2a - 1}}{2},$$
$$x_2 = \frac{a + 1 + \sqrt{a^2 + 2a - 1}}{2}$$

（使用给定方程的代数解找到根）。最后，如果$a \geqslant \frac{1}{2}$，则方程有唯一解$x = x_1$（自$x_1 < x_2$）。

25

答案：如果$a < \sqrt{2} - 1$，则无解；
如果$a = \sqrt{2} - 1$，则$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
如果$\sqrt{2} - 1 < a \leq \frac{1}{2}$，
然后$x_{1,2} = \frac{a+1 \pm \sqrt{a^2+2a-1}}{2}$。

如果
$a > \frac{1}{2}$，然​​后$x = \frac{a+1 - \sqrt{a^2+2a-1}}{2}$。

尝试自己结合相应的研究来求解所提出的代数方程，你会发现这种情况下的几何推理既更清晰又更美观。

任务

我们研究了用一个参数求解方程的许多示例。你们中的一些人更喜欢它们，另一些人则不太喜欢它们，但有一点是肯定的：如果您手里拿着铅笔仔细检查这些例子（正如我们杂志的编辑集第 1 部分所建议的那样），那么您已经接受了蠕变的定义。想确定这一点吗？使用参数 $a$ 自行求解以下方程：

1. $a^2 - \frac{a^2-1}{2x-x^2} = \frac{x+2}{x-2}$.
2. $\sqrt{x+a} = a - \sqrt{x}$.
3. $\sqrt{x-2a} - \sqrt{x-a} = 2$.
4. $x + \sqrt{x^2-x} = a$.
5. $\sin(a+x) + \sin x = \cos \frac{a}{2}$.
6. $\sin^2 x + 4 \sin x + a = 0$.
7. $\sin x + 2 \cos ax = 3$.
8. $\log_{\sqrt{x}} a \log_{a^2} \frac{a^2-4}{2a-x} = 1$.
9. $\frac{\log_x(2a-x)}{\log_x 2} + \frac{\log_a \sqrt{x}}{\log_a 2} = \frac{1}{\log_{a^2}-1}$.
10. $\log_{\frac{1}{2}}(2 \sin x) + a \log_{\frac{1}{2}} \sin x + 3 = 0$.

4 量子9号

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椭圆
双曲线
抛物线

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椭圆

I·N·布朗斯坦

介绍

已知：点 O 和圆 C 位于不经过 O 的平面上。
让一条双向无穷大的直线（正如我们在几何学中所期望的那样）以始终穿过 O 并穿过其中一个圆点 C 的方式移动。
通过这种运动，直线描绘了由两个钟形件（条带）组成的表面。
这是最终的表面。 *）。
如果它被不同的平面相交，那么循环不经过点O，那么在产生曲线时，称为最终截面。
它们的用途：
椭圆、双曲线和抛物线。
他们早在古希腊就为人所知。它们是由梅奈奇穆斯 (Menaechmus) 于公元前 360 年左右发现的，并通过 200 年后杰出数学家阿波罗尼乌斯 (Apollonius) 的杰出著作为我们所知。
这里讨论第一条曲线。

*) 左侧仅显示了最终表面的一个空腔。

这个数字大家都认识。它出现在基础天文学和地理学（行星和卫星的运动轨迹、地球子午线的形状、电子绕原子运行的路径）、绘画和立体测量（图技术细节、圆形物体和几何体）中，但椭圆是什么，为什么它有趣——这确实是一个奇妙的图形，拥有美丽而重要的特性——学校教科书对此只字未提。

对于“什么是椭圆？”这个问题有人会回答：“一个拉长的圆”或“一个拉长的圆”*)，其他人 - “一个压缩的圆（圆）”，其他人 - “一个弯曲的椭圆形”，其他人不会回答任何问题，只是简单地做出一个或多或少成功的图；这些答案都有一定道理，但需要进一步澄清。

例如，说椭圆是卵形曲线就足够了吗？

*) 圆是一条线，圆是其内部平面的一部分。对于椭圆来说，没有类似的词：曲线本身和它里面的平面部分都被称为相同的，他们说：“椭圆的长度”，“椭圆的面积”。在每种情况下，读者都可以轻松确定正在讨论的“椭圆”一词的含义。

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图 1. 只有红色椭圆才是椭圆。

新形式？这些词通常表示具有两个对称轴 CD 和 EH 的线，写在矩形 PQRS 中并放置在圆上 (图 1)。词语“压缩”或“扩展圈”也包含相同的含义。但是你可以将许多这种类型的曲线写成一个矩形 - 其中一些如 图 1 所示。只有其中一条 - 红色 - 有权被称为椭圆。它如何从其他曲线中脱颖而出？

也可以通过压缩获得

通过拉伸（或拉伸）圆，但这不会是均匀的。为了理解这一点，我们来参考平面的几何变换——均匀轴向变形，或者简单地说，变形。

变形*)

让我们在给定平面 Π 和给定正数 k 上取一条直线 l。我们将平面 P 相对于 l 轴的变形称为平面向自身的变换，其中平面的每个点 m 根据以下规则到达点 M：

1. m 和 M 点均位于 l 轴一侧的同一垂直线上；位于轴本身上的点保持静止；

2. 该点到轴的距离乘以 k，即 $m_0M = k \cdot m_0m$，其中 $m_0$ 是点 m 到 l 轴的垂线的底数 (图 2, a, b)。

如果$k > 1$，则平面上的所有点（除了轴本身上的点）都远离轴 - 张力平面，如果$k < 1$，则它们接近轴 -

*）这个词（来自拉丁语“变形”——形状的变化）在这里与“拉伸或滚动”的表达一起使用。

图 2. 变形系数为 a) $k = \frac{2}{3}$ b) $k = \frac{2}{3}$。

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图 3. $k=2$ 和$k=\frac{1}{2}$ 的变形。注意屋顶坡度的变化。

飞机崩溃了。当$k=1$时，平面上的所有点都保持在原位；后一种情况称为模式-命运转换。

让一些图形 $\omega$ （即，一些点集）在平面 Π 上给出。我们将对由于变形而从 $\omega$ 获得的所有点的集合 $\Omega$ 感兴趣（参见 图 3, 4）。

埃利皮斯是什么？埃利皮斯元素

elipis 是一个称为

图 4. 足球图像的变形，系数为$k=\frac{1}{2}$（左下）和$k=2$（右）。

通过圆相对于其直径的变形 (图 5) 获得。

令$a$为圆的半径；那么它在轴上的直径$cd$将变换为自身$(CD=2a)$，垂直于它的直径$eh$将变换为线段$EH$$(EH=2ka)$。让我们用 $b$ 表示线段 $OE$ $(=OH)$ 的长度。然后$ka=b$。

线段$CD$和$EH$称为椭圆的轴；数字$a$和$b$将被称为椭圆的半轴。如果$k>1$（拉伸），则$b>a$ (图 5)。

图 5. Elipis - 周向变形

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图 6. 这样就可以画出一个椭圆了。

如果$k < 1$（压缩），则$b < a$ (图 6)。通过$k = 1$（恒等变换），圆变成了圆。为了不违反椭圆定义的一般性，我们同意将圆视为椭圆的特例（$b = a$）。线段 $CD$、$EH$ 中较大的称为椭圆的长轴，较小的称为椭圆的短轴。因此，如果$k > 1$，则$a$是短半轴，$b$是长轴，如果$k < 1$，则反之亦然。

在这两种情况下$k = \frac{b}{a}$。

点 $o$（圆心）在变形过程中将变换为自身 ($o \rightarrow O$)。 O称为椭圆的中心，点$C$、$D$、$E$和$H$是其顶点。

外接圆（椭圆的“母亲”）的正方形$pqrs$，其一侧平行，另一侧垂直于变形轴，从外接椭圆的边$2a$和$2b$变换为矩形$PQRS$；它被称为椭圆的特征，因为它完全决定了椭圆。特征矩形的边与椭圆的顶点相接触。

如何让椭圆变粗？

如果给定椭圆的轴，那么最简单的方法是手工测量椭圆，首先构造一个特征矩形，然后将椭圆曲线内切到其中。但这种方法，只需很少的练习，就可以自信地画出一个几乎真实的椭圆）。我们已经知道有许多具有相同轴的椭圆曲线。您可以准确构造椭圆有多少个角点。这种构造最常见和最简单的方法如图 6 所示。

在这个图上有两个同心圆，半径为$a$和$b$。自己弄清楚这个构造并证明其合法性，即在图$6$$m_0M = m_0m \cdot \frac{b}{a}$上证明。

通过对半径为 $a$ 的圆的几个点 $m_1$、$m_2$、$m_3$、… 进行此构造，我们可以得到椭圆有多少个角点。剩下的就是用手或使用图案用平滑的线条将它们连接起来。

但通过连续移动来测量椭圆是很有趣的，也就是说，无需将铅笔从纸上抬起，就像我们用圆规画圆一样。这可以通过一种特殊的设备——椭球体来完成。下面等我们熟悉了椭圆的方程后再讲。但首先我们需要弄清楚什么是直线方程。

直线方程 *)

17世纪发现的替代方法之一是坐标法，它允许人们将几何概念翻译成代数语言。该方法可以在安装坐标系的平面上的直线与包含两个字母$x$和$y$的方程之间建立对应关系。

某条直线的方程是$x$和$y$的方程，当且仅在该方程中代入值$(x_0, y_0)$时，该方程会转向相同的位置

*) 您可以在任何解析几何教科书中阅读有关线方程的更多信息。

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图 7. $m(x_{окр}, y_{окр})$ 是圆上的点，$M(x_0, y_0)$ 是椭圆上的点。

当坐标为 $(x_0, y_0)$ 的点位于这条线上时的情况。

我们也可以说，由方程定义的直线是坐标满足该方程的点的轨迹。

例如，方程$y=x$是I、III坐标角的平分线方程，而以原点为圆心，半径为$a$的圆的方程可写为：$x^2+y^2=a^2$。

它可以很容易地从毕达哥拉斯定理中得到。

椭圆方程

通过系数 $k=\frac{b}{a}$ (图 7) 的变形，可以从半径为 $a$ 的圆获得半轴为 $a$ 和 $b$ 的椭圆。让我们在这两条线所在的平面上建立坐标轴；让我们沿着变形轴引导 $OX$ 轴，并让 $OY$ 轴穿过圆心（也是椭圆的中心）并垂直于 $OX$ 轴。令 $m$ 为圆上的任意一点，$M$ 为$m$ 通过的椭圆上的点。

点$m$的坐标用$(x_{окр}, y_{окр})$表示，点$M$的坐标用$(x_0, y_0)$表示。显然，根据变形的定义

$$x_0=x_{окр}, y_0=k \cdot y_{окр},$$

(*)

图 8. 点$M$ 描述了一个椭圆。

在哪里

$$x_{окр}=x_0, y_{окр}=\frac{y_0}{k}.$$

如果我们将其任意点$(x_{окр}, y_{окр})$的坐标代入圆的方程$x^2+y^2=a^2$，则等式成立

$$x^2_{окр}+y^2_{окр}=a^2,$$

这意味着，根据公式（*）替换$x_{окр}$和$y_{окр}$，我们看到等式也成立

$$x^2_{9}+\frac{y^2_{9}}{k^2}=a^2$$

对于任意点$M$$(x_0, y_0)$。

如果点$M'(X', Y')$不在椭圆上，那么因变形而落入$M'$的点$m'(x', y')$也不在圆上，方程$(x')^2+(y')^2=a^2$不正确；这意味着方程 $(X')^2+\frac{(Y')^2}{k^2}=a^2$ 也是假的。

根据直线方程的定义，我们得到以下椭圆方程

$$x^2+\frac{y^2}{k^2}=a^2.$$

注意到 $ka=b$，我们可以将此方程简化为以下形式

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

这是最方便（所谓的规范）形式的椭圆方程。

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让我们考虑以下几何问题 (图 8)。

线段$PQ$在平面内移动，使其一端$Q$沿直线$OX$滑动，另一端$P$沿与其垂直的直线$OY$滑动。这段$(MP=a, MQ=b)$的点$M$覆盖了哪条线？

我们来证明这条曲线是椭圆。让我们对线段滑动所使用的坐标轴应用坐标方法 (图 9)。设该点的坐标为$M-x$和$y$（它们取决于角度$PQO$）。根据三角形$QNM$和$MLP$的相似性，我们有$\frac{NM}{LP} = \frac{QM}{MP}$或$\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{a}$。

方程（1）还不能称为期望轨迹方程：它是相对于图 9 编写的，其中线段位于四分之一处，并且点$M$ 的两个坐标均为正。只有在这种情况下，我们才能假设$ON=x$，和$NM=y$；如果路段位于图 8处的II、III或IV季度，则需要数$ON=\pm x$、$NM=\pm y$，每次选择必要的标志。

图 10.椭圆图。

然而，方程（1）也适用于第二季度，因为$x$是平方的，改变$x$的符号不会改变这个方程。对于 III 和 IV 季度，方程（1）应替换为：

$$-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{a}.$$

方程组 (1) 和 (2) 可以用单个方程代替

$$\frac{y^2}{a^2-x^2} = \frac{b^2}{a^2},$$

这很容易简化为形式

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

所需的曲线是椭圆。

椭圆仪的设计是基于所获得的结果。在纸或画板上画一个十字，十字上有两个相互垂直的槽（图10）。三个联轴器连接到直杆，可以固定在杆上的任何点。外面的套筒$P$和$Q$可以放入十字槽中，中间的$M$配有一支铅笔，在移动杆时可以画一个椭圆。沿着给定的半轴 $PM=a$、$MQ=b$ 固定好套筒后，我们可以用这些半轴绘制一个椭圆。

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圆柱体的倾斜截面 - 椭圆

通过将圆柱体与既不垂直也不平行于其轴线的平面相交，我们会获得或多或少拉长的椭圆形，具体取决于截面的倾斜角度。这意味着每个家庭主妇都会将香肠切成片供客人使用，并且经常（为了“保存”）使角足够尖锐，以便椭圆形具有更大的面积。

让我们证明这些截面不仅仅是椭圆形，而是真正的椭圆形。要做到这一点，只需确定椭圆形是通过拉伸从圆形（圆柱体的底部）获得的；系数 $k$ 等于 $\frac{1}{\cos \alpha}$，其中 $\alpha$ 是截面平面与圆柱体底面之间的角度。

让我们在圆柱体的底部画出 (图 11) 两个相互垂直的直径：$cd$ - 平行，$eh$ - 垂直于两个平面的交线，并通过它们画出平行于圆柱体轴线的平面$cdDC$和$ehHE$，以及平行于$ehHE$穿过的平面$M_0Mmm_0$截面的点$M$。知道线段在某条线上的投影长度等于线段本身的长度，

乘以它与其投影之间的角度的余弦，我们得到

$$\frac{M_0M}{m_0m} = \frac{OE}{oe} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\cos \alpha} = k.$$

如果我们现在将两个图形$CEDH$和$cedh$放在同一平面上，使$CD$与$cd$对齐，那么它们将采取与图 5相同的位置，其中$M_0M = m_0m \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = m_0m \cdot k$，其中$k > 1$。

这证明了我们的说法。

有趣的是，对于每个椭圆，您可以指定一个位置，使其成为圆柱体的横截面，其半径等于椭圆的小面积。为此，您首先需要获取圆柱体的垂直截面，并将该截面的平面绕所得圆的直径之一旋转一个余弦等于 $\frac{a}{b}$ 的角度。

从这里开始，这总是可能的。

配合椭圆直径

椭圆的一个有趣的属性立即从最后的结果中得出：椭圆的所有平行弦的中点形成穿过椭圆中心的直线段（图12）。这家酒店非常印度风格

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图 13.共轭直径性质的证明。

对于圆：其平行弦的中点位于垂直于这些弦的直径上。现在将椭圆放置在圆柱体截面的位置，并通过椭圆的平行弦绘制一系列平行于圆柱体轴线的平面 (图 13)。在圆柱体的垂直截面的平面中，获得圆的平行弦，其横截面位于其直径上。椭圆弦的中点位于椭圆平面与穿过所得直径并穿过圆柱体轴线的平面的交点处。这是一条直线段，显然穿过椭圆的中心并将其分成两半。

通过其中心的椭圆的弦称为椭圆的直径。一般来说，椭圆的直径不等。其中最大的为长轴，最小的为短轴。如果在椭圆中绘制第二组弦，与所得直径平行，则它们的中点位于属于第一组弦的直径上 (图 12)。所得的两个直径称为“互共轭”。对于椭圆的每个直径，都有一个与之共轭的值。请注意，每对圆都有一个共轭

图 14. 圆的投影也是椭圆。

直径是相互垂直的，但椭圆不是，除了椭圆的轴之外。

圆-椭圆的投影

如果将位于某个平面上的圆投影到另一个平面上，既不平行也不垂直于第一个平面，则投影将产生椭圆曲线。例如，它以空中飞行的圆盘的阴影形式形成在草地上（图14）。

这个椭圆形又是一个椭圆形。读者可以很容易地亲自验证这个证明。这里你甚至不需要做特殊的绘图 - 只需转向 图 11，但从不同的角度来看它：我们将认为线 CEDH 是一个圆（CD=EH=a），而突出的圆柱体 - 不是圆形，而是椭圆形。这里cd=CD=a，eh=EH·cosα=b。我们需要证明 cedh 是一个椭圆；这种情况下的表面被称为椭圆柱 - 基于其垂直截面的形状。

证明路径与圆柱截面定理的证明相同。这次 m₀m=M₀M·cosα，其中 α 是平面之间的角度。因此，椭圆形 cedh 是从 CEDH 导出的，具有一定的斜率

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图 15。$F_1$和$F_2$是椭圆的焦点。

系数$k = \cos \alpha = \frac{b}{a}$。

现在将圆的垂直直径投影到椭圆的互共轭直径中。这一事实对于在平面上描绘空间图形的理论非常重要。

椭圆的焦点性质

我们继续讨论椭圆最重要的属性——焦点。这是“焦点”一词的形容词*) - 这是椭圆内两个显着点的名称，其长轴相对于椭圆中心对称。每个焦点到椭圆短轴两端的距离等于长轴长度的一半（图15）。

我们将椭圆视为圆柱体的一部分 - 我们已经看到我们总是必须这样做。现在让我们将一个刻在圆柱体上的球从两端滚动到圆柱体中，直到两个球都击中该截面的平面

*) 拉丁语“phosis”的意思是“非常”。这一术语的由来是这样的：如果将光源放置在椭圆的一个焦点上，那么根据“入射角等于反射角”的定律，从椭圆反射的所有光线都会通过第二个焦点。这将在问题之一«Kvant»中更详细地讨论。

图 16.椭圆焦点性质的证明。

(图16)（用几何语言来说：让我们将球刻入圆柱体中，以便它们接触剖面）。

接触点 $F_1$ 和 $F_2$ 将成为椭圆的焦点。

每个球沿着其圆周接触一个圆柱体。这两个圆圈都在 图 16 上以红色表示。

现在取椭圆的任意点 $M$ 并标记点 $M$ 所在的圆柱体的生成器 $PQ$（$P$ 和 $Q$ 是该生成器位于红色圆圈上的点）。显然，$MQ=MF_1$是从$M$到接触点$P$和$Q$所画的两条切线的长度。它们是相等的，就像在左球附近描述的具有顶点 $M$ 的圆锥体的形状。

对左边的球使用相同的推理，我们得到类似的等式$MP=MF_2$。将两个等式相加，我们得到

$$MF_1+MF_2=MP+MQ=PQ.$$

但是 $PQ$ 对于圆柱体的所有生成器来说都是相同的：这是红色圆圈之间（球中心之间）的距离。这意味着无论我们在椭圆上取什么点$M$，都会有

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图 17. 这就是实际中获得椭圆的方法。

平等$MF_1 + MF_2 = const$。

因此，椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和是一个常数。

这是椭圆的焦点属性。椭圆通常被定义为位于同一平面上的点的“几何位置”（用现代语言来说是一组），其中到两个点（焦点）的距离之和是恒定值。

如果我们选择其长轴的端点作为椭圆的点$M$（例如图15上的点$C$），则通过焦点属性$CF_1 + CF_2 = const$。由于对称性$F_1C = F_2D$；这意味着该常数等于$CF_2 + F_2D$，即长轴$CD = 2a$。如果我们取短轴的端点，例如，点$E$，作为点$M$，然后$EF_1 + EF_2 = 2a$，并且由于对称性$EF_1 = EF_2$，那么这些线段中的每一个都等于$a$。这证明了本节开头的陈述，并提供了一种沿椭圆轴 (图 15) 构造椭圆焦点的方法。

园丁椭圆仪

众所周知，通过使用螺纹环连续移动来构造椭圆是基于椭圆的焦点特性。让我们将一张纸放在衬板上，然后在上面粘上两个细针。将线环扔到两个警察身上（环的周长应大于警察之间距离的两倍），用锋利的铅笔拉动线，这样你就得到了一个三角形（$\Delta F_1F_2M$）。如果沿着纸移动铅笔以使线保持拉紧，则三角形将变形，但其周长保持不变。边长$F_1F_2$也保持不变，这意味着$F_1M + F_2M = const$，铅笔将描绘椭圆。

我们有一个新的、非常简单的椭圆仪。该方法已成功应用于椭圆花终端。不是用kopki，而是将两根木桩打入地面，用粗绳子制成一个环，并在地面上画一个椭圆，不是用铅笔，而是用棍子（图17）。

我们没有解释“椭圆”这个名字的由来（希腊语中“省略”的意思是“缺点”——缺点与它有什么关系？），我们没有谈论这条曲线的许多其他非常重要的属性——所有有限截面共有的属性：椭圆、双曲线和抛物线。这些问题将在以后的问题«Kvant»中讨论。

此统计数据中的空间图仅给出了他们一天的总体情况。在执行图时，优先考虑清晰度，而不是在平面上构建正确的空间图形*)。

该杂志即将出版的一期将讨论平面上空间图形的表示法则。

*) 尝试证明第 26 页给出的夸张法严格来说是错误描述的。

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计算总和

计算总和是数学中最重要和最有趣的问题之一。有多种计算总和的方法。这篇文章谈到了其中的两个。

1. 在数学及其众多应用中，使用特殊符号来缩写总和。这是 Σ - 希腊字母“sigma”的字母。使用 Σ 符号写出总和通常非常方便。让我们来认识一下这个标志。

给出表格的总和
$$a_1 + a_2 + \dots + a_n.$$
该总和的所有项均由一个字母指定，以区分下标的使用。该金额可缩写如下：

$$\sum_{k=1}^{n} a_k.$$
上面写着：“sigma $a_k$、$k$ 从 1 到 $n$ 变化。”对于这样的表示法，我们采用总和的“典型”被加数，在我们的例子中为$a_k^*$，在其前面写上符号Σ并指示变化的极限$k$。例如，记录

$$\sum_{k=1}^{10} k$$
意思是金额
$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10,$$
*) $a_k$ 称为和的公项。

和录音
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$$

• 数量
  $$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1)n} + \frac{1}{n(n+1)}$$.

很容易检查符号 Σ 的以下属性：
$$\sum_{k=1}^{n} 1 = n, \quad \sum_{k=1}^{n} ca_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k,$$
$$\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k.$$

例如，让我们检查第二个属性。

根据定义
$$\sum_{k=1}^{n} ca_k = ca_1 + ca_2 + \dots + ca_n,$$

因此，根据和的众所周知的性质，我们有：
$$\sum_{k=1}^{n} ca_k = c(a_1 + a_2 + \dots + a_n).$$

但括号里的表达无非是
$$\sum_{k=1}^{n} a_k$$
因此
$$\sum_{k=1}^{n} ca_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k.$$

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以类似的方式检查其余两个属性。

2. 让我们考虑计算以下形式的总和的问题

$$\sum_{k=1}^{n} f(k) = f(1) + f(2) + \dots + f(n),$$

其中$f$是在自然级数的线段$[1, n]$上定义的整数参数的已知函数。

如果我们成功地求解自然级数线段$[1, n+1]$上定义的函数$F$，则这个总和很容易计算，对于所有$k, 1 \leq k \leq n$，等式成立

$$f(k) = F(k+1) - F(k).$$

事实上，依次将$k = 1, 2, \dots, n-1, n$代入这个等式，我们得到：

$$f(1) = F(2) - F(1),$$
$$f(2) = F(3) - F(2),$$
$$f(3) = F(4) - F(3),$$

$$f(n-1) = F(n) - F(n-1),$$
$$f(n) = F(n+1) - F(n).$$

添加这些等式，我们得出以下公式：

$$\sum_{k=1}^{n} f(k) = F(n+1) - F(1).$$

因此，如果找到函数$F$，则可以简单地计算和(1)。

我们来说明一下几何级数的公式（3）。

在 图 1 上，我们需要求和 (1)，简单地用 $\Sigma$ 表示，作为垂直线段的长度。 $f(k)$形式的每一项对应于红色线段的长度，等于绿色线段$F(k+1)$和$F(k)$的长度之差。显然，所有红色线段的长度之和等于第一个和最后一个绿色线段的长度之差。

示例 1. 计算总和

$$\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)},$$

那是

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}.$$

这里

$$f(k) = \frac{1}{k(k+1)},$$

并且，由于很容易检查，它可以表示为以下差异：

$$f(k) = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}.$$

因此，如果我们表示

$$F(k) = -\frac{1}{k},$$

那么对于所有自然$k$都满足公式（2）：

$$f(k) = F(k+1) - F(k).$$

应用式(3)，我们容易得到

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.$$

示例 2. 求以下等比级数的项之和：

$$q, q^2, q^3, \dots, q^n \quad (q \neq 1).$$

这里$f(k) = q^k$，并且使用等式$q^{k+1} - q^k = q^k(q-1)$，我们可以写

$$q^k = \frac{q^{k+1}}{q-1} - \frac{q^k}{q-1}.$$

由此我们可以看出，我们可以把

$$F(k) = \frac{q^k}{q-1},$$

因此

$$\sum_{k=1}^{n} q^k = \frac{q^{n+1}}{q-1} - \frac{q}{q-1} = \frac{q^{n+1}-q}{q-1}.$$

我们得到了众所周知的公式。