Kvant 1970 年第 10 期 · 页面

科普物理和数学
量子
10
1970
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

71

主编-I.K.KIKOIN院士
第一副主编——柯尔莫哥洛夫院士

编辑集：

L.A.阿齐莫维奇，
M·I·巴什马科夫
V.G.波尔坦斯基，
I·N·布朗斯坦
N·B·瓦西里耶夫
I·F·金兹堡
V.G.祖博夫，
P.L.卡皮察，
V.A.基里林，
G·I·科索罗夫
V.A.列什科夫采夫，
V·P·利舍夫斯基
A.I.马库舍维奇，
M.D.米尔尤尼特科夫，
N.A.潘普里耶娃
N.Kh.罗佐夫
A.P.萨文
I.Sh.斯洛博德希
M.L.斯莫良斯基，
Y.A.斯莫罗丁斯基，
V.A.法布里坎特，
J.E.施奈德，

院士
苏联教育科学院通讯院士
苏联教育科学院院士
院士
（副主编）
苏联教育科学院院士
院士
（副主编）
物理和数学科学博士
苏联教育科学院院士
（执行秘书）

编辑部主任 L. V. Chernova。
首席艺术家 E. P. 列昂诺夫。
技术编辑 T. M. Makarova。
校对员 L. S. Somova。
《科学》出版社。
物理数学文献主编室
莫斯科，V-71，列宁大街，15。
tel., 234-08-11

1970 年 6 月 29 日成套交付。待发布 2070 年 8 月 19 日
纸70×100/16。物理。奥恩湖4. 条件。奥恩湖5.6.
学术版。湖5.4.发行量175985份。 T-09868。
价格30戈比。订单 1059

契诃夫印刷厂 Glavpolygraphprom
苏联部长会议新闻委员会
契诃夫，莫斯科地区。

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P·L·卡皮察

关于液氦的超流动性

1943 年 9 月，即发现超流体凝胶 5 年后，彼得·列昂尼多维奇·卡皮查 (Pyotr Leonidovich Kapitsa) 院士在苏联科学院全体会议上宣读了这份报告。在报告的最后，这位科学家谈到了实验者和这一现象的理论研究面临的一些问题。这些问题现已得到解决。实验证实了类似声波（第二声）的超流凝胶温度波的存在；对超流凝胶临界流速的研究发现了一种令人惊奇的现象——宏观量子涡旋。

液体凝胶及其性质的研究属于最低温度物理领域。这是他们努力研究极端条件下的自旋现象的物理学领域之一。当我们在可接受的极端条件下研究自然时，例如在极强的磁场、高压、高电压等下，以及在接近绝对零的极冷区域，我们最有可能发现新的有趣现象。在这里，我们还可以希望发现新的现象，这些环境的特性在正常条件下要么难以观察，要么根本没有被注意到。在这方面，绝对零以上的温度区域特别有趣。过去十年的工作清楚地证实了这一点。

温标的绝对零是多少？绝对零的最新定义是273.13°C。众所周知，绝对零

我们永远无法达到绝对零。物理、学派对绝对零的明确定义表明，这是物质热运动停止的温度。但这个定义并不精确。从现代观点来看，基于量子理论，绝对 nULE 运动的存在是允许的。该运动的能量是完全定义的，并且是给定物质中可以存在的最小分子运动。让我给你举一个简单的例子。 If a substance is heated strongly, then the electrons of the atoms, which move around the atomic nucleus in certain orbits, will, under the influence of temperature movements, be torn off, separated, and so-called dissociation will occur. When a substance is cooled, the movement of atoms slows down, the electrons begin to circulate again in their orbits and maintain their movement until absolute zero. But, in addition to the movement of electrons along the orbits of each atom separately, there is also a goal of a series of combined movements in a solid body, which from a modern point of view should be maintained to the lowest temperatures. Thanks to this so-called degeneracy of motion in this temperature range, completely new phenomena can appear that we cannot observe at ordinary temperatures.

One of these interesting phenomena, which has already become widely known, was discovered by Kamerlingh Onnes - the phenomenon of superconductivity. It lies in the fact that at very low temperatures, electric current is able to flow through some conductors without resistance, without forming a body. Experience shows that if a current is excited inductively in a closed superconductor, it flows without emitting a body or decreasing, only for as long as the experimenter was able to observe it.还有一个这样的现象

只能在非常低的温度下才能检测到的是我们五年前在液氦中发现的超流动性。

对这一现象和其他现象的研究是使用液氦本身作为制冷剂进行的。液氦是唯一一种已知的物质，即使在常压下绝对零的最低温度低至千分之一度的情况下，液氦仍保持液态并且不会变成固态。它只能在 25 安培开始的压力下变成固体。

液氦本身就是一个非常有趣的研究对象。

氦气的温度预计为 4.8°K，形成轻质、重量比水轻 7-8 倍的透明液体。由于其热容量较低，在实验过程中，液氦应放置在真空杜瓦瓶中，周围装有另一个类似的装有液态空气的烧瓶。液氦实验存在重大技术困难。这就解释了这样一个事实：迄今为止，各国只有少数几个冷实验室能够生产足够数量的液氦。

如果液氦温度的概念是从转变点（4.8°K）开始的，那么当我们达到2.19°K的温度时，它就会发生变化，习惯上说氦I变成氦II。该温度称为 λ 点。在原始状态下，液氦由于其进入体内的通道较小，通常会持续沸腾，即使在热灰存在的情况下也很难避免。在 λ 点以下，圆停止沸腾，其表面变得光滑；这是由于

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改变液体凝胶的许多物理特性。液体凝胶的新状态首先由 Kamerlingh Onnes 发现，Keesom 开始研究，结果非常有趣。

Keesom 发现凝胶 II 在这种状态下具有更大的导热性。在毛细管中研究发现，它的导热率比导热性最强的金属铜或银的导热率高出很多倍。这就是为什么 Keez 将液体凝胶 II 称为超导物质。我在稍微修改的条件下重复了 Keezom 的实验，结果获得了更大的导热率。

试图根据现代热导率观点来阐明实验数据，揭示了理论与实验之间的深刻矛盾。关于导热系数相当复杂的理论观点我不会详细描述，因为它们主要是德拜给出的。我们可以将热导率的物理图想象如下：任何物体在任何一点的温度升高都会增加该物质分子振动运动的平均速度；与此同时，均衡过程立即开始：“更热”，即更兴奋，分子影响连接分子并使它们运动。这种速度逐次均衡的过程，会从受热的地方越来越远地扩散开来，也就是发生身体扩散的过程，我们称之为导热性。基于这些热导率观点进行的大量详细分析表明，对于自然界中的每个物体，每单位时间可以通过它进行测试的物体数量是有限的。事实证明，我们在液体凝胶 II 的最新实验中发现的高导热率也无法用这些观点来解释。我们可以通过放弃科学上牢固确立的导热机制的基本观点来寻找解决这一矛盾的方法，或者我们必须承认凝胶II中的导热现象归因于某种其他机制。

众所周知，热量不仅可以通过所描述的机制传递，因为它分布在固体中，而且正如我们假设的那样，分布在狭窄毛细管中的液体凝胶中。热量也可以通过所谓的对流在液体和气体中传递。例如，空气中的对流在家里是众所周知的；当你把手放在温暖的暖气片上时，你已经听过很多次了。如果手与散热器保持相同的距离，但位于下方，则手也根本感觉不到热量，因为没有上升的热空气流通过对流向上携带热量。如果从导热物理机制的角度无法解释液体凝胶中的强烈传热，那么我想也许这里正在发生的正是对流传热。为此，必须假设液体凝胶 II 中极易产生液体流动，这是由于凝胶 II 具有极高的传热能力。计算表明，在液体凝胶中传递热量的这种强度只能通过必须轻松地在液体中流动的对流来实现。因此，通过类比超导，我假设超低温下的凝胶II是一种流动性极强的液体，也就是说，也是一种不具有流动性的液体。

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粘度*)。剩下的就是通过实验来测试这一点。

观察低粘度，尤其是在低温下，是一项艰巨的实验任务。有必要找到一种特殊的方法来测量它。当找到并开发出必要的方法时，观察本身并没有花费太多时间，并且表明液体凝胶的粘度确实小得几乎可以忽略不计。事实证明，这种液体凝胶的流动性是水的十亿倍以上。这样的流动介质是很难想象的，但给定的数字并不表示粘度的极限，而仅表示我们测量的灵敏度的极限。我们还没有更灵敏的方法。因此，我认为有充分的理由相信液体凝胶没有粘度；我称之为超流。起初，它遇到了很好的机会。他们在我的实验中寻找方法、测量等方面的实验错误。因此，液体凝胶中超流性的发现已经得到了各方的讨论，现在，我认为，凝胶II中超流态的存在可以被认为是公认的。

当这种现象最初形成时，我们认为凝胶 II 的超流动性足以解释根据我刚刚为您绘制的对流存在的图片，在液体凝胶中观察到的大导热率。但事实证明，事情比我们最初想象的要有趣和复杂得多。

我们对这个问题的看法如何进一步发展的故事存在一些困难。我试图告诉你，我们接触到了哪些矛盾，我们的观点是如何变化的，我们是如何逐渐形成像这样的想法的。

*）也就是说，按照他的理论，训练时不会有能量消耗。 （编者注）。

如果它们的呈现与真实实验没有联系，那就是不协调的虚构。

如果我们从普通机械概念的角度来看，它完全全面地描述了普通物质在普通条件下的行为，那么事实证明，正如经验所示，超流凝胶不能像对流变化所需的那样强烈地传递热量。我们正在解决寻找一种机制的困难，该机制可以通过对流引起凝胶必要的快速流动。在通过对流进行的身体转移的一般机制中，我们将介质的运动归因于这样一个事实：较热的液体或气体的密度会有所降低，因此它倾向于向上，就好像漂浮在较稠密的介质中一样，而较冷、较稠密的介质则倾向于向下，“嘲讽”。混合发生，非常重要的是引起运动的原因是重力。但计算表明，凝胶 II 中的这种力不足以引起实验中观察到的如此大的导热率。这又让这个现象变得不可理解。有必要寻找其他一些新的机制来解释它。许多批发商终于找到了一种全新的液体凝胶 II 运动机制。

事实证明，在温度的影响下，液体凝胶II中产生了非常强的电流，在一定程度上填充了对流。在这种倾向的影响下，液体开始移动，但这种移动是一种特殊的移动，是液体凝胶 II 所特有的，在任何其他液体中并且在其他条件下都是未知的。

在尝试解释这款机芯的存在之前，我们先来了解一下它的特点。让我们看看它在实验中的样子。我不会详细描述这个实验的技术细节。

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里门塔。你可以从图1所示的图来想象它的主要特点。

锥体 1 浸入超流氦气 II 中。加热线圈2放置在该锥体的宽部中，并且该锥体在一侧3是敞开的。当向加热线圈2施加电流时，在锥体的颈部3附近检测到从中流出的连续的氦流。如果将光翼挂在脖子上，则可以检测甚至改变这种流动。水流压迫着他并使他偏转。

出于演示目的，对这种体验进行了一些更有效和更有益的修改，并进行了拍摄（其中一帧显示在 图 2 上）。 图 3 中显示了拍摄的设备图。玻璃“包”由一个“灯泡”2 组成，配有多个向一侧弯曲的出口管。因此，整个设计重复了众所周知的“segrevo 轮”（当然，只是在外观上；经过检查，很容易确保“包装”没有液体流通）。灯泡放置在针尖 1 的轴上。整个“包”浸入液氦中。位于灯泡中的氦气可以通过透镜3使用一束光束来加热。这束光束落在灯泡内部的黑色部分上，起到加热器的作用，在之前的实验中，该加热器是螺旋形的。从管子——“包”腿，就像之前实验中的锥体颈部一样，当中间容器被加热时，会有连续的水流流出。在流动射流的压力下，“包”的重量发生旋转。

拍摄这段经历很困难。液氦是完全透明的，其中光束的折射率使得很难透过玻璃看到。这并不那么容易…

在拍摄所需的一般明亮照明条件下进行实验。因此，莫斯科新闻片摄影师的高超技巧被用来进行这次拍摄。

让我们再看一下图 1. Teler，我会提请你注意这次经历中最大的悖论。如果我们发现液体一直从锥体流出，并且锥体内没有形成空隙，则意味着液体一定一直在锥体内部流动。液体如何进入锥体？如果没有到达那里，它就无法流出。锥体有双层壁，它们之间的壁被抽空，液体很可能无法通过它们。通过位于颈部不同位置的机翼，不可能检测到逆流的存在。因此，我们最初决定在最壁处应该有沿着非常薄的层的流动（然后机翼无法检测到）。但随着进一步的实验，这个假设被证明是不够的。我开始改变实验条件：我用非常窄的锥体代替宽颈锥体。这些实验的想法是，如果可能的话，用反向壁流占据裂纹的整个区域，从而尝试改变观察到的现象的性质。这些蛋白石中的壳是由仔细（光学）抛光的表面非常精确地制成的，宽度高达 0.14 μ，即十进制毫米的数量级。但没有检测到现象性质的变化。

于是，这个现象变得越来越神秘。

在我告诉你现在如何解释之前，我想提一下更多的经验。

首先，它让我们深入思考互惠的概念

游泳现象。这个概念是卡诺在一百多年前首次提出的。它在功与热的转换之间提供了极其重要的联系。理论上的过程也是可逆的，即热量转化为功，反之亦然 - 功转化为热量，并且不会发生散热。自然界中通常不存在完全可逆的过程，但可以非常接近地接近它们。例如，我们在图 2 和图 3 中的“背包”中观察到的身体向身体运动的转变，必须首先从这个角度进行研究。如果锥体内的凝胶与外部凝胶之间的温差引起了氦的运动，并且如果这种现象是可逆的，那么理论上也应该存在相反的现象：随着氦的强制运动，也应该出现温差。如果这些现象是可逆的，那么它们之间必定存在一定的数量关系。

在狭缝实验中，可以证明，当压力转移时，导致碱氦流过，实际的变化是反向壁流，因此将试图改变观察到的现象的性质。如果我们记得氦II是超流的，因此在其流动过程中不需要摩擦，那么不难看出氦的温度流动机制具有良好的效率。因此，例如，图 2 和图 3 中我们的纺纱“组件”是一台效率良好的机器。当然，这样的机制不可能有任何实际应用，也很难指望有一天它会收到。

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然而，应该指出的是，凝胶 II 的这种惊人的热力学特性开辟了一种将热量直接传递回机械功的全新方式，与迄今为止我们所知的自然现象没有任何相似之处。

在我们看来，液体凝胶中热机械的可逆性，或更准确地说是热力学的可逆性，对于进一步研究低温现象来说是极其重要的情况。假设我们有 Capitular 1 (图 4)，有两个处于不同级别的容器。我们在其两端之间产生压力差。我们可以通过将容器 2 放置在头颅末端，将容器 3 放置在其另一端上方来实现此目的。然后，由于凝胶的特殊性质和过程的可逆性，容器 2 和 3 中的毛细管末端将出现温差 ΔT。在低槽 3 中，凝胶 II 将变得更冷。

所以我们有一个降低Gel II温度的方法，就是让Gel II在压力下停滞流动。当然，图4只是这个原理的Techan说明；事实上，这种体验当然更为复杂。

但由于这种现象在最低温度下仍然相反，因此有可能得出非常有趣的实际结论。如果用泵或其他方式将凝胶推入一定体积的碱液的细毛细管中，则可以清楚地了解该体积中的温度。通过多次重复这个操作，我们获得了一种将温度降低到所需温度的方法，从而为我们尽可能接近绝对零开辟了道路。这种方法对于实验者来说很重要，因为仍然没有任何方法（即使是理论上的）可以尽可能接近绝对零。

战争前夕，我们开始在工作中发展这种方法，并朝这个方向进行了多次成功的实验。我用这个方法得到了0.4°温度的概念。当然，使用新方法获得接近绝对零的温度在技术上是一项艰巨的任务，并且很难立即指望其成功。这里有很多技术困难，成功很大程度上取决于实验者的技巧和聪明才智。但所有这些可能性并不意味着对接近绝对零存在任何根本禁止。

不，现在让我们从理论上解释容器受热时液体凝胶流出现象的机理（参见图1）。正如我已经说过的，最初我解释了通过使凝胶以相反方向薄层流动来填充凝胶容器的现象。我还假设该薄层中凝胶 II 的能态与自由凝胶 II 的能态不同，因此可以解释凝胶的高导热率。本来也是可以申请的

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该层可能的厚度，使得其中凝胶的流速不会呈现过大的值。此外，如上所述，我尝试在实验中通过实验发现该层的厚度。为此，我将凝胶涂在非常薄的一层上。渐渐地，我的凝胶层厚度达到了 0.00014 毫米，但经验表明，所有现象的本质都得到了保留。因此，对适应的解释发生了变化，并导致了《Gelyan II》中关于流体动力学现象本质的新观点的发展。这些想法的最初草图是由蒂萨（Tissa）表达的，但它们的科学发展、为其提供理论依据以及该现象的流体动力学理论的创建属于我们的科学家 L. Landd。

我将尽力给出这些观点的最概括的描述。根据这一理论，反球菌（我试图解释一种能量状态下的凝胶沿着大肠内另一种能量状态的壁的流动）被凝胶中源自自身的反球菌所取代。

L.D.Landd对此现象的解释如下。

液体凝胶是两种液体的混合物。液体凝胶的这两种成分处于两种不同的量子态。多亏了这一点，他证明了相同液体可以同时逆流存在，我们在图1处的容器山中观察到了这一点。

如果这一理论立场没有得到实验证据的充分支持，那么听起来这个想法很难被认为是合理的。

兰杜的理论很好地描述了凝胶在低于 l 点的温度下可以同时存在的两种状态的物理存在。正如我已经说过的，如果凝胶在压缩后继续冷却，那么直到2.19°K，即λ点，它将处于一般液体状态。然后，根据兰杜的理论，凝胶以一种新的状态作为杂质出现在这种液体中。这种新状态的特点是成年期的缺失。该凝胶代表处于绝对零释放状态的液体凝胶II。但在任何其他温度下，与这种状态同时存在的，是正常状态下的凝胶，就好像与其一起移位一样。随着温度降低，凝胶浓度开始占主导地位。根据理论，只有在绝对零时，才应以以下方式允许氦气比例。由于超流体状态下的凝胶不会与壁或正常状态下的凝胶发生摩擦，因此流过毛细管的流体不会产生摩擦反应，并且可以稍微填充容器*。相反，正常状态下的凝胶从有摩擦的容器中流出，其流动是正常的流体流动，长期以来一直受到流体动力学的研究。这种正常的流动被放置在管顶部前面的图1处的翼捕获，而超流体状态的氦气流向它的想法无法通过普通方法检测到。

根据同一张图片，可以解释高导热率

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凝胶电导率 II.正如您所看到的，凝胶以超流体状态进入容器，并且凝胶以正常状态返回。为了将凝胶从一种状态转变为另一种状态，必须消耗大量的热量。这种及时对流的过程给凝胶 II 带来了高导热率的印象。

所有这些现象的解释都需要想象同一体积中同一液体的两种不同状态之间的复杂相互作用，很难适应我们习惯的物理思维框架。为了至少在某种程度上促进对凝胶 II 导热机制的复杂图景的表面理解，我将允许自己与那些沿着剧院区过道流动的穿着和不穿衣服的人进行类比。经过修饰的原子将代表凝胶的正常原子，它们在加热时（“在切割中”）获得所需的能量，而未修饰的原子将代表凝胶原子的超流动性。不幸的是，这个类比是不完整的，因为超流体状态下的凝胶原子在正常状态下穿过它们自己的原子而没有任何相互作用，而那些没有接受涂层的原子则无法通过无力摩擦移动。

根据这张图，可以解释为什么当凝胶II流过窄孔或狭缝时会出现温差。由于超流体状态的凝胶比凝胶更容易无摩擦地通过小孔流动

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公理和第一个例子

让我们来一套$X$。如果每两个元素$a$和$b$都可以分配某个非负数$\rho(a, b)$——“从$a$到$b$的距离”——并且满足以下三个条件（参见图1、$a, \delta, \theta$），我们就说在其上定义了一个考虑因素：

1°。 $\rho(a, b) = 0$当且仅当$a = b$。
2°。 $\rho(a, b) = \rho(b, a)$ 对于 $X$ 的任意两个元素 $a$ 和 $b$。
3°。 $\rho(a, c) \leqslant \rho(a, b) + \rho(b, c)$ 对于$X$ 的任意三个元素$a, b$ 和$c$。

在其上由距离（“度量”）定义的集合称为度量空间$^*$。元素$x$本身通常称为度量空间的垫圈。

让我们再次阅读给定距离的点对函数 $\rho$ 必须满足的公理公式。

1°。当且仅当$a$与$b$相同时，从$a$到$b$的距离为0。
2°。从 $a$ 到 $b$ 的距离等于从 $b$ 到 $a$ 的距离（“对称公理”）。

在这些图片中，每两个点都标出了它们之间的“距离”。度量空间的公理$3^\circ$对于这个“距离”成立吗？

*) 词根“meter”出现在许多俄语单词中，来自单词meter - 测量、大小。

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3°。从$a$到$c$的距离不大于从$a$到$b$和从$b$到$c$的距离之和（“三角公理”）。

让我们从最简单的度量空间示例开始。

例1. $X$是数轴，即所有实数的集合*)。距离$\rho$由公式确定

$$\rho(x, y) = |x - y|.$$

(1)

回想一下，如果$a \geqslant b$则为$|a - b| = a - b$，如果$b \geqslant a$则为$b - a$，因此在所有情况下，$\rho(a, b)$都等于以$a$和$b$为端点的实线段的长度（图2，a）。

让我们检查 $\rho$ 是否满足所有三个要求 $1^\circ - 3^\circ$。显然，$|a - b| = 0$当且仅当$a = b$，并且总是$|a - b| = |b - a|$。

不等式 $3^\circ$ 也几乎是显而易见的 (图 2, b)。在直线上点 $a, b$ 和 $c$ 的相对位置的每种可能情况下，也包括当 $a, b$ 和 $c$ 中的两个点重合时，不等式

$$|a - c| \leqslant |a - b| + |b - c|$$

(2)

很容易形式化证明，无需参考图。例如，如果 $b \leqslant a \leqslant c$（下图 2, b），则

$$|a - c| = c - a,$$

$$|a - b| + |b - c| = a - b + c - b = a + c - 2b \geqslant a + c - 2a = c - a,$$

因此 (2) 为真。

示例 2. $X$ 是任意集合，

$$\rho(a, b) = \begin{cases} 0, & \text{ если } a = b, \\ 1, & \text{ если } a \neq b. \end{cases}$$

(3)

所有轴子$1^\circ - 3^\circ$显然都满足。正如他们所说，这是一个“离散”空间，其中所有点似乎都是分开的，彼此距离不太近。

示例 3，我们在上面已经讨论过。假设我们有一张莫斯科地图，其中列出了所有公共交通站点，并且对于站点之间的每个间隔，都指示了公共汽车（分别为电车、地铁、无轨电车）需要多少分钟才​​能走完该间隔。对任意两个使用这样的计划

*) 该集合由字母 $R$ 概括。

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停止$a$和$b$，我们能否找到值$t(a, b)$——从$a$到$b$所需的最短时间（我们不会在我们的模型中使用它）？考虑从一种交通工具换乘另一种交通工具并等待所花费的时间，尽管这是可以做到的）。让我们检查一下函数$t$是否满足属性$1^\circ - 3^\circ$；换句话说，距离为$t$的所有停靠点$X$的集合是否是度量空间。属性$1^\circ$一如既往地显而易见； $3^\circ$也是毫无疑问的：很明显，可以通过$b$从$a$移动到$c$，因此最小时间$t(a, c)$取决于不超过$t(a, b) + t(b, c)$。但$2^\circ$的财产，尤其是现在莫斯科有许多单向街道，当然可能会受到侵犯。检查该功能

$$t'(a, b) = \frac{t(a, b) + t(b, a)}{2}$$

所有属性$1^\circ - 3^\circ$都已满足。

这是距离以公里为单位不变的另一个例子。

示例$3'$。令 $X$ 为苏联有飞机飞行的城市集，$\rho(a, b)$ 为从城市 $a$ 到城市 $b$ 的机票价格（以卢布为单位）（在最便宜的航线上）。很容易看出这是一个度量空间。

飞机上的指标

在讨论了几个度量空间的奇异例子之后，我们把最自然的一个放在一边。

示例$4$。 $X$是平面上所有点的集合，$\rho$是我们在学校几何中处理的一般距离，即$\rho(A, B)$是连接两点$A$和$B$的线段的长度。这里以及后面所有例子中$1^\circ$和$2^\circ$的性质是完全显而易见的，我们不再多说。而这里的属性$3^\circ$无非就是“在三角形中，每条边都不大于另外两条边之和”*）。在几何课程的一般构建中，这个陈述是一个简单的定理。

你可能知道，在直角坐标系$Oxy$的平面上，两点$M_1(x_1, y_1)$和$M_2(x_2, y_2)$之间的距离$\rho(M_1, M_2)$可以用以下公式表示（参见图3）：

$$\rho((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.$$

因此，相同的度量空间可以在不参考几何的情况下描述如下：$X$是所有实数对$(x, y)$的集合**），$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$之间的距离由公式（4）给出。但同时，为了检查属性$3^\circ$，

*) 我们已经讨论过三点位于同一条直线上的情况（示例 1）。
**) 该集合有一个特殊的名称$R^2$，称为数字平面。

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必须证明以下不等式：

$$\sqrt{(x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2} \leq \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} + \sqrt{(x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2}.$$

试试这个！方便引入特殊符号：$x_1 - x_2 = u_1, x_2 - x_3 = u_2, y_1 - y_2 = v_1, y_2 - y_3 = v_2$；然后$x_1 - x_3 = u_1 + u_2, y_1 - y_3 = v_1 + v_2$，最后一个不等式写得稍微短一些：

$$\sqrt{(u_1 + u_2)^2 + (v_1 + v_2)^2} \leq \sqrt{u_1^2 + v_1^2} + \sqrt{u_2^2 + v_2^2}$$

（顺便说一句，这种符号的改变将大大缩短不等式的证明（2））。经过两次平方和化简后，得到等效的估计不等式

$$u_1^2 v_2^2 + u_2^2 v_1^2 \geq 2u_1 u_2 v_1 v_2 < = > (u_1 v_2 - u_2 v_1)^2 \geq 0.$$

想一想什么时候这种不平等变成平等？这在几何语言中意味着什么？

原则上，所有几何定理都可以在纯代数数平面上证明，从而构建几何课程；但是，正如你所看到的，沿着这条路，定理的证明并不总是变得更简单——连同“三角不等式”，我们必须证明一个相当棘手的代数不等式。

我们已经说过，在同一组上可以不同地确定距离。以下是数平面 $R^2$ 上与 (4) 不同的度量示例。

实施例5.

$$\rho'(M_1, M_2) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|,$$

(5) 即$\rho'(M_1, M_2)$等于线段$M_1 M_2$在轴$Ox$和$Oy$上的投影长度之和。

实施例 6.

$$\rho''(M_1, M_2) = \max\{ |x_1 - y_1|, |x_2 - y_2| \}$$

（6）（符号max{a，b}表示a，b中的最多的数），即$\rho''(M_1, M_2)$等于线段$M_1 M_2$在轴$Ox$和$Oy$上的投影长度的最多。

使用不等式（2）可以轻松证明最后两个例子中的三角不等式。假设$\rho''$：

$$|x_1 - x_3| \leq |x_1 - x_2| + |x_2 - x_3| \leq \max\{ |x_1 - x_2|, |y_1 - y_2| \} + \max\{ |x_2 - x_3|, |y_2 - y_3| \}, \text{ и } |y_1 - y_3| \leq y_1 - y_2 + |y_2 - y_3| \leq \max\{ |x_1 - x_2|, |y_1 - y_2| \} + \max\{ |x_2 - x_3|, |y_2 - y_3| \},$$

因此，两个数$|x_2 - x_3|, |y_1 - y_3|$中的较大者不超过$\rho''(x_1, x_2) + \rho''(x_2, x_3)$。

同样，在三个实数的所有集合$(x, y, z)$的集合$R^3$上，“点”$(x_1, y_1, z_1)$和$(x_2, y_2, z_2)$之间的距离可以由任何公式给出

$$\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2},$$

(4')

$$|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| + |z_1 - z_2|,$$

(5’) 或

$$\max\{ |x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|, |z_1 - z_2| \}.$$

(6')

在情况（4’）中，我们得到了一个一般的三维空间，它是通过学校立体测量学研究的，也是我们生活在其中的一个方便的现实。所有类似的$m$维空间（$m=2, 3, 4, \dots$）也很有用——在它们的帮助下，可以方便地构造$m$变量的整个函数理论，有时使用一个距离公式更方便，有时使用另一个公式更方便。

16

邻里

现在让我们回到二维空间——$R^2$平面——并讨论一种比较不同距离（4）-（6）的视觉方式。

设点$O=(0, 0)$为原点。让我们找到距离点 $O$ 小于给定数字 $r$ 的点集。大家都知道这个集合是以$O$为圆心，半径为$r$的圆的内部（图 4, a）；当然，我们谈论的是距离（4），即关于$\sqrt{x^2+y^2}<r$的点集$(x, y)$。如果距离由公式（5）或（6）确定，那么“半径为$r$的圆”是多少？点集 $(x, y)$，其中 $|x|+|y|<r$ 是顶点为 $(0, r)$、$(-r, 0)$、$(0, -r)$ 和 $(r, 0)$ 的正方形的内部 (图 4, b)；以及点$\max\{|x|, |y|\}<r$的集合，换句话说，$|x|<r$和$|y|<r$显然是一个具有顶点$(-r, -r)$，$(-r, r)$，$(r, -r)$和$(r, r)$的点的集合（图4，c）。

显然，在谈论度量空间时，而不是“半径为$r$，中心为$a$的圆”，他们说的是“点$a$的$r$邻域”。

定义1.设$X$为度量空间，$\rho$$X$中的距离，$r$为正数。那么点$a$的$r$邻域被称为$\rho(m, a)\leqslant r$中来自$X$的所有点$m$的集合。简而言之，这个集合可以写成：$\{m: \rho(m, a)\leqslant r\}$。

因此，如果平面上的距离由相应的公式（4）、（5）和（6）给出，则图4中的a、b、c描绘了点$(0, 0)$的$r$邻域；不难发现，这些度量空间中任何其他点 $(x_0, y_0)$ 的 $r$ 邻域看起来与点 $(0, 0)$ 的邻域完全相同 - 只是将圆或正方形的中心移动到点 $(x_0, y_0)$ 。

让我们看看我们之前讨论过的度量空间中的 $r$ 邻域是什么。例1中，$r$是点$a$在数轴上的邻域

$$\{x; |x-a|\leqslant r\}$$

是一段长度为 $2r$ 的线段，其中间位于点 $a$ (图 5)。在示例 3’ 中，莫斯科的 20 街区是一组实际飞行费用不超过 20 卢布的城市；在示例 2 中，如果 $r<1$，则 $r$ 邻域仅由一个点组成；如果 $r\geqslant 1$，则包含整个集合 $X$。

17

功能之间的距离

距离不仅可以方便地确定平面和空间的数字或点，而且还可以方便地确定许多其他数学对象。这是几何中的两个例子。对于穿过给定点 O 的所有直线的集合，两条直线之间的距离可以取为它所形成的角度中较小的一个（在 图 6 中，我们展示了其中一条直线的邻域是什么样的）。平面上两个凸多边形$M_1$和$M_2$之间的距离可以确定如下：对于多边形$M_1$和$M_2$的每个顶点，我们找到距它最近的另一个多边形顶点的距离$^*$，并从所有这些数字中我们取最贴近的；因此，给定多边形 $M_0$ (图 7) 的 $r$ 邻域包含多边形 $M$，使得所有顶点都位于半径为 $r$、中心位于顶点 $M_0$ 的圆中，并且每个圆包含至少一个顶点 $M$；检查具有这样距离的凸多边形集合是否是度量空间。这样的例子的数量很容易增加。

但度量空间理论的出现和发展最重要的应用并不是与几何学相关，而是与函数的分析和理论相关。

通常，为了检查函数的数据或简单地计算它们的值，可以方便地将它们近似替换为其他更简单的函数（例如多项式）。你可能听说过，当$x$接近于零时，sin$x$约等于$x$（这里sin$x$表示数字$x$的正弦，即$x$弧度角的正弦）。更准确的公式：$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$。例如，让$x$在线段$0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}$上发生变化。

如何评价函数$f_1(x) = x - \frac{x^3}{6}$逼近函数$f_2(x) = \sin x$的程度，这些函数之间的“距离”有多大？

自然距离之一也是：对于每个$x$，我们找到差异$f_1(x) - f_2(x)$，取$x = x_0$，其中差异最大（绝对值），然后放入$\rho(f_1, f_2) = |f_1(x_0) - f_2(x_0)|$。

*) 这是指“明显”距离 (4)。

18

对于我们的特定功能

$$\rho(f_1, f_2) = |\sin \frac{\pi}{4} - \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi^3}{384} \right)| \approx 0.0025.$$

（可以证明在$x = \frac{\pi}{4}$点达到最大值。）

同样，在一般情况下，我们将线段$[a, b]$上定义的函数$f_1, f_2$之间的距离作为数量

$$\rho(f_1, f_2) = \max_{a \leqslant x \leqslant b} |f_1(x) - f_2(x)|.$$

(7)

检查这里是否满足公理 $1^\circ - 3^\circ$！此外，该函数的 $r$ 邻域 (图 8) 由所有此类函数组成，这些函数的图形位于函数 $f$ 图形周围宽度为 $2r$ 的条带中。

经常使用以下距离：

$$\rho(f_1, f_2) = s(f_1, f_2)$$

其中 $s$ 是图 $f_1$ 和 $f_2$ (8) (图 9) 之间包围的面积值，尤其是：

$$\rho(f_1, f_2) = \sqrt{S(f_1, f_2)},$$

(9)

其中 $S(f_1, f_2)$ 是函数 $y = (f_1(x) - f_2(x))^2$ 的图形和轴 $Ox$ 之间围成的面积。

当函数 $f_1$ 和 $f_2$ 的值对于参数的所有值都很接近时，距离 (7) 很小，距离 (8) 和 (9) 显示函数 $f_1$ 和 $f_2$ “平均”有多接近（在小段上，它们可能彼此显着不同）。例如，令$f_1(t)$和$f_2(t)$为电路在时间$t$时两个特定点的电势；那么$a \leqslant t \leqslant b$时间段内这些点之间的电路部分释放的功率与$S(f_1, f_2)$成正比（电阻恒定，功率与$(f_1(t) - f_2(t))^2$成正比）；因此，距离 (9) 越大，功率越大。如果电压$f_1(t) - f_2(t)$不总是超过某个值$V$对我们来说很重要，那么我们必须使用公式（7）来估计距离：最大值$|f_1(t) - f_2(t)|$必须不超过长度$V$。

20

图 10.

俄语 )，现在出现在教科书的第一章中，标题大致为“泛函分析原理”、“集合和函数理论导论”、“现代分析基础”、“拓扑空间”。当然，这个理论的大部分与极限概念相关，仅对具有无限个点的空间有意义。但同时，“距离”的一般概念对于有限集的一些问题也很有用；特别是我们在文章开头谈到的“单词之间的距离”，在现在快速发展的纠错码理论中被证明是一个非常方便的工具。对于那些想更详细地了解度量空间理论的人，我们建议阅读Yu的书。 A. Schrader*）“什么是距离。”

锻炼

1. 证明对于度量空间 $\rho(A, C) + \rho(B, D) \leq \rho(A, B) + \rho(B, C) + \rho(C, D) + \rho(D, A)$ 的任意四个点 $A, B, C, D$。
2. 证明对于任意 $n$ 点 $A_1, A_2, \dots, A_n$ ($n \geq 3$) $\rho(A_1, A_2) + \rho(A_2, A_3) + \dots + \rho(A_{n-1}, A_n) \geq \rho(A_1, A_n)$。
3. 深谙战略的查拉德克博士对上次战争很感兴趣，并于 1940 年熟悉了一张法国战区地图。据信，从这里开始，下一个任务出现了。从 Chalons 到 Vitry 的距离（乘飞机，就像这个问题中的所有距离一样）是 30 公里，从 Vitry 到 Chaumont 80 公里，从 Chaumont 到 Saint-Quentin 235 公里，从 Saint-Quentin 到雷姆斯 86 公里，从雷姆斯到 Chalons 40 公里。计算此闭合多边形中从雷姆斯到肖蒙的距离。只有 Charadek *** 博士可以在没有地图的情况下做到这一点。
4. a) 证明如果$\rho(M_1, M_2) = r$和$r_1 + r_2 < r$，则点$M_1$的$r_1$邻域与点$M_2$的$r_2$邻域没有公共点（图10说明了平面上距离（4）和（6）的事实）。

6. 证明如果$\rho(M_1, M_2) = r$和$r_1 - r > r_2$，则点$M_2$的$r_2$邻域完全包含在点$M_1$的$r_1$邻域中。

5. 如果集合 $E$ 的点的 $\varepsilon$-邻域（全部在一起）完全覆盖集合 $X$，则度量空间 $X$ 的点集合 $E$ 称为$\varepsilon$-网；换句话说，如果对于$X$中的每个点$x$，集合$E$中至少有一个点与$x$的距离不超过$\varepsilon$。 （这里$\varepsilon$是某个正数。）

例如，图 11、$a$ 上的黑点集是真实线段 $0 \leq x \leq 1$ 的 $\frac{1}{10}$ 网，其距离通常为 (2)。当然，它也是一个$\varepsilon$网络

*) Hausdorff，集合论，ONTI，1934。
**）于。 A. Schrader，“什么是距离。” M.菲兹马蒂斯，1963。
***) G. Steinhauz，一百个问题，Fizmatiz，1959 年，第 100 号问题。

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任何$\varepsilon > \frac{1}{10}$。在 图 11, 6 上，黑点集是 $\frac{1}{10}$——平面 $Oxy$ 上距离为 (6) 的正方形 $0 \leq x \leq 1$、$0 \leq y \leq 1$ 的网络。对于哪个$\varepsilon$，在同一个正方形上距离（4）和（5）的意义上设置一个$\varepsilon$网？

6. 如果存在数字 $c$ 使得任意两点 $X$ 之间的距离不超过 $c$，则称度量空间 $X$ 是有界的。

证明如果对于某些 $\varepsilon$ 空间具有有限的 $\varepsilon$-网，则它是有界的。

7. 令$N(\varepsilon)$为空间$X$的$\varepsilon$网络中的最小点数，$M(\varepsilon)$为$X$中的最小点数，其中任意两个之间的距离至少为$\varepsilon$。

证明$M(2\varepsilon) \leq N(\varepsilon) \leq M(\varepsilon)$。

8. 令$C$为定义在区间[0, 1]上并在同一区间上取值的一组函数，其图形为虚线。我们将使用公式（7）确定$C$中的距离。

证明可以从 $C$ 中提取无限多个函数，其中所有成对距离都等于 1。由此推断，对于$C$中的$\varepsilon < \frac{1}{2}$，不可能窃取有限的$\varepsilon$网。

9. 在某些度量空间中，一个点$A$的3邻域是否可以完全包含在另一个点$B$的2邻域中并且没有完全填充它？如果我们把3和2换成其他数字，答案会是什么呢？

10. 证明在 $n$ 位数字中，不可能从 1 和 2 两个数字中提取出超过 $\frac{2^n}{n+1}$ 个数字，并且其中任意两个数字至少有 3 位不同。

11. 利用问题4a)证明两个不同的点$A$和$B$不能是同一个数列的极限。

12. 构造一个在区间 [0, 1] 上定义的函数序列的示例，如果我们使用距离 (8)，则趋向于极限 $f_0$，并且如果我们使用距离 (7)，则没有 $f_0$ 极限。

13. 令$\rho_1$和$\rho_2$——某个集合$X$上的两个距离——对于任意两个点$A$和$B$，具有$\rho_1(A, B) \leq k\rho_2(A, B)$的属性，其中$k$是某个正数（对于所有$A$和$B$来说相同）。

证明如果$P$是序列$M_1, M_2, M_3, \dots$在距离$\rho_2$意义上的极限，那么$P$将是该序列在距离$\rho_1$意义上的极限。因此，证明在平面上“序列$M_1, M_2, M_3, \dots$的极限是点$P$”这一命题具有相同的含义，无论我们获得距离(4)、(5)、(6)中的哪一个。

14a）。考虑到平面中所有线的集合的距离$\rho$，满足以下条件：如果点序列$A_1, A_2, A_3, \dots$和$B_1, B_2, B_3, \dots$有两个不同的点$A$和$B$作为极限，那么线序列$A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3, \dots$（在距离$\rho$的意义上）具有该线的极限$AB$。

6. 证明这样的距离 $\rho$ 无法指定，因此任意两条相交线之间的距离仅取决于它们之间的角度。

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被拒绝的工作

1845 年，沃特斯顿的研究成果被提交给英国科学院（称为皇家学会）。研究表明，容器壁上的气体压力可以通过原子的影响来解释。

尽管气体由原子组成的想法并不新鲜，但很少有人认真对待原子可以在容器的壁之间自由飞行的论断，因此气体的弹性特性可以简单地简化为原子的力学。因此，沃特斯顿的工作没有得到科学界成员的理解并被拒绝。仅仅多年后，它就在瑞利档案中被发现，并于 1892 年发表在一本名为《皇家学会哲学通讯》的期刊上，该期刊至今仍在出版。

顺便说一句，雷利指出，沃特斯顿没有在文章开头提及他的前任，这是毫无准备的。与此同时，早在 1727 年，丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli) 就怀疑气压与其零件运动速度的平方之间存在联系。雷利写道，如果沃特斯顿提到了他伟大的前任，英国皇家学会的决策者就不会有勇气宣布这部作品“毫无意义，甚至不适合在社会面前阅读”。

这个悲伤的插曲对于物理学来说是珍贵的。由一个人完成但未被注意到的事情后来只是通过几个人的工作才被发现，而最终的公式直到 1859 年才由麦克斯韦写出。

这段历史是鼓舞人心的，有趣的是追踪这个理论是如何逐渐改进的，并看看花了多少工作来获得我们认为是一个非常简单的公式，该公式将气压和分子速度平方的算术平均值联系起来：

$$P = \frac{1}{3} nm < v^2 > cp.$$

这里$P$是气体压力，$n$是$1\text{ cm}^3$中的分子数，$m$是分子质量，$<v^2>cp$是分子速度平方的算术平均值。

理想气体

在讲这个公式是如何推导之前，我们先来看看它的含义。该公式表明，气体压力与每单位体积的分子数成正比，因此与气体体积$P \sim \frac{1}{V}$成反比（〜符号表示“正比”）。这就是波义耳-马里奥特定律。但波义耳-马里奥特定律描述了理想气体的行为。这意味着我们写的公式是正确的——

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分子与壁的碰撞

当分子与墙壁碰撞并反弹时，墙壁会受到一些动量。让我们首先假设分子以弹性方式从壁反射。 图1展示了这种打击的示意图。轴$Oz$垂直于墙壁，轴$Ox$和$Oy$以某种方式位于平面内。让我们将分子的速度分解为沿这些轴的分量。在弹性冲击过程中，入射角$\alpha$等于反射角$\beta$，因此速度分量$v_x$和$v_y$不会改变。分量 $v_z$ 在弹性冲击期间改变符号。因此，很容易计算出分子将改变其动量（运动量）
$$mv_z - mv'_z = mv_z - (-mv_z) = 2mv_z = 2mv \cos \alpha,$$
其中$v$是分子的速度。

正如你所看到的，这个问题并不难，沃特斯顿正确地解决了它。下一个承担这项任务的人（并于 1856 年出版了他的作品）是 Crang。他错误地计算出分子在撞击时将其所有动量$mv_z$转移到墙壁上，并得到了一半大的结果。

然而，人们可能会认为我们的结论做了一个非常重要的简化：我们假设影响是有弹性的。事实上，令人惊讶的是，这个假设是微不足道的。分子可以反映为碳，但结果不会改变。关于冲击弹性性质的假设不会改变结果；这使得结论非常简单。

这种显着的特性——结果独立于反射定律——是气体和容器壁（保持恒定温度）之间热平衡的结果。同样（与分子碰撞一样），最终结果 - 热平衡 - 不会根据分子从壁反射的精确程度而改变。

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分子的速度是多少？

由于作用在墙壁上的力等于传递给它的冲量除以撞击时间，因此我们实际上获得了一个公式，该公式显示了墙壁因分子撞击而受到的力。但要计算这个力，您需要知道分子的速度。当然，不同的分子有不同的速度。为了获取数据并计算气压，我们需要对分子的速度做出一些假设。已经提到的克罗尼格承认，假设所有分子都以相同的速度运动，并且每个分子都沿着平行于坐标轴的三个可能方向之一运动，这不会是一个大错误。焦耳早于克雷尼格（但晚于沃特斯顿）处理了这个问题（1851 年）。他正确地理解了分子对壁面的影响与气压之间的联系，但也无法得出正确的公式。最后，在1857年，克劳西斯在没有放弃速度相等的假设的情况下，推导出了一个新的公式，假设分子向各个方向运动。又过了两年麦克斯韦*)才得出了正确的结论。麦克斯韦做得更多。他能够理解分子如何按速度分布，即具有给定速度的分子比例。但我们在这里不讨论这个，把这个更困难的问题留给另一篇文章。

气压

现在让我们形成两个假设，这将使我们能够以与 125 年前 Waterston 几乎相同的方式获得压力公式 **)。

*) 麦克斯韦应该是 1859 年 9 月 21 日。其俄文翻译写于 1937 年出版的《气体动力学理论的创始人》文集中。

**) 到沃特斯顿有一些速度方向。

4 量子10号

就像沃特斯顿一样，我们假设当气体处于热平衡时，则：1）气体分子仅与壁面碰撞，并且彼此之间不发生碰撞，2）分子与壁面发生弹性碰撞。

让我们取一个充满气体的立方体，其边长为 1 m。说了这么多，我们已经很容易相信，结果并不取决于我们对容器采用什么公式，但如果容器的形状是立方体，则公式的推导会更容易。

让我们画一个坐标系，如图2。让我们计算红墙在 1 秒内收到的移动量。根据牛顿第二定律，它等于分子作用在壁上的力，并且由于壁的面积为 1 m²，因此这将是壁上的气体压力。

每次分子与墙壁碰撞时，它都会向墙壁传递 2mv_z 的运动量。从墙上弹回后，分子将飞向对面的分子，一段时间后 2/v_z 将再次撞击红墙。这意味着在 1 秒内，理想气体的相同分子将撞击壁 v_z/2 次。

因此，在 2/v_z 的时间内，分子会将 2mv_z 的运动量转移到壁上，并在 1 秒内

2mv_z·v_z/2 = mv_z².

“量子”实验室
G·I·科索罗夫

不相信
眼睛
自己的…

对于一个人来说，视觉是了解周围世界的主要信息来源。我们习惯于绝对相信自己的眼睛。 “我简直不敢相信自己的眼睛”这句话意味着极度的惊讶。在正常情况下，信任是完全合理的。眼睛与大脑的相应部分一起构成了一个精密的分析装置，可以在各种条件下完美地为我们服务：在明亮的阳光下和光线很少的情况下，在休息时和快速运动时。在我们看来，在眼睛视网膜上获得的图像没有任何缺陷。它相当清晰，透视正确，直线显得笔直，物体周围没有彩虹色 - 色差。我们不应该认为我们的眼睛确实是一个理想的工具。

29

物体研究表明，眼睛具有镜片的所有缺点。但我们的意识，从视网膜上不完美的图像，创造出对我们周围空间的正确认识。

让我们举个例子。一名患有近视的男子第一次戴上眼镜。起初，他认为视角严重扭曲。在他看来，接收到的线条是弯曲的，平面是弯曲且倾斜的。有时甚至会引起轻微的头晕。但随着时间的推移，人们开始通过眼镜正确地感知透视和直接性。世界再次以正确、未扭曲的形式出现在他的眼前，尽管视网膜上的图像仍然扭曲。

在较小的条件下，当眼睛接收到矛盾的信息时，当对比度很高时，当对距离、大小、对应关系的正确评估很困难时，或者当视网膜的各个区域因长时间暴露在某种分离器下而疲劳时，我们的意识就开始犯错误。出现了各种视觉交流。您自己肯定不止一次遇到过这种奇怪的幻想的各种例子。我们将描述几家批发商，这些批发商表明我们的眼睛是多么错误。我们这样做并不是为了破坏你对视觉的信任，而是为了展示大脑的综合工作在图像形成中发挥的重要作用。

第一个实验通常被冒充为证明可以反转视网膜上的图像（就像在相机中一样）的证据，需要两块纸板，例如两张明信片。在其中一种中，用针仅刺穿约 0.5 毫米，并将其放在眼前 2-3 厘米的距离处，看着被照亮的风景、明亮的天空或灯光。第二个开启器的边缘逐渐被挡在眼前，从后面推动开启器。在眼睛的视野中，您可以看到开瓶器边缘的阴影从上方下降。

让我们更详细地研究该实验的光学设计。虽然眼睛前面没有开口，但视野中的所有点都通过瞳孔发送到眼睛 (图 1, a)，光线从瞳孔的每个点分布到整个视网膜 (图 1, b)。如果您将一张带有答案的明信片放在您的眼前，每个观点都将由穿过瞳孔一小部分的光线表示。视野的上部点由穿过瞳孔下部的光线表示，下部点由穿过上部的光线表示。通过用开口的边缘覆盖瞳孔的下部，我们遮挡了视野的上部并看到开口的边缘，从上方降低。很容易理解，这个有效的实验不依赖于光线在眼睛中的路径，不能作为视网膜上图像倒转的证据。一直到瞳孔的视野已经形成。您可以通过将磨砂玻璃放在眼睛的位置来轻松验证这一点。

第二个实验展示了视觉如何处理矛盾的信息。将一张纸卷成直径约 2 厘米的管子，用一只眼睛透过它观察前面的物体。将手掌放在第二只眼睛前面，距离脸前方 10-15 厘米，靠近镜筒。您清楚地看到手掌上有一个洞，通过该洞可以看到周围的物体。手掌中部的图像完全被眼睛通过管子看到的图像所压制。

可以像这样检查右眼或左眼的不同信息的更微妙的体验。将一些浅色小物体挂在白线上。将所得软件在一个平面上摆动后，从 2-3 m 的距离观察。将其放在一只眼睛的前面。

任何颜色的中密度滤光片。您会看到磁振荡不在一个平面上，而是似乎描述了一个椭圆。将滤光片移至另一只眼睛，磁铁沿椭圆的运动方向将变为相反。

下面的实验如图 2、a 和 2.6 所示。在 图 2 处，显示了众所周知的与黑色条纹相交的直线断裂的错觉。但很少有人知道，用绞车和提升负载（图 2.6）补充图就足够了，从而提示直线是拉紧缆索的意识，断裂的幻觉就会消失。

最后的体验与意识有机会选择解释图像的情况相关。 图3给出了雨海和亚平宁山脉地区月球景观的两个摄影部分。其中一面可以看到月环山脉，另一面可以看到环谷，浮雕已经翻转了。将杂志翻过来，另一本摄影的边缘就会反转。请注意，这些摄影是一模一样的，但其中一张是颠倒的。

通过望远镜观察月球时，经常会出现边缘反转效应。登陆月球的宇航员面临着正确感知地形的真正困难，因为在景观对比度高的情况下缺乏空中视角。通过观察旋转雷达天线的轮廓可以观察到反转运动方向的效果。在您看来，在某些时刻天线会改变旋转方向。此前，建议在风车的轮廓上观察这种现象。

许多不同有趣的想法都与色彩的兴起有关。我们下次再谈这个。视错觉不仅仅是娱乐把戏。学习工作

异常条件下的视觉器官使我们能够深入理解在合成我们周围现实的图像时眼睛和意识中发生的复杂过程。

对于那些想要更详细地了解物理光学实验的人，我们可以推荐 J. Gregg 最近翻译的书“Olytics with Sight”（Mir 出版社，莫斯科，1970 年）。本书描述了用于研究眼睛功能的大量实验元素。所有这些都是小学生很容易接触到的，而且大部分都是有报酬的。读者只需要注意，在作者触及物理光学的地方，书中的语言变得与科学相去甚远。

在图书馆中，您可能还会找到米纳特的书《自然中的光与色彩》（Nauka 出版社，莫斯科，1969 年）和 Artamonov 的书《视觉的幻觉》（Nauka 出版社，莫斯科，1969 年）。

图 3.

32

来自哪里
星星的名字和
星座

星座图像是根据17世纪著名天文学家的星图给出的。 Hevelai，曾在格但斯克工作（1968 年在塔什干出版）。图 1-5 显示了大熊座、牧夫座、仙女座、波江座和猎户座。

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如果你仰望星空，那么在俄罗斯只要发挥一点想象力，你就会看到各种或多或少明亮的星星的形状。这些图形可以用多种方式组成。在古希腊就已经看到了48个这样的人物，几乎充满了整个星空；它们被称为“星座”。有些恒星并未包含在星座中，但以它们所在的星座附近为特征。

即使是天文学知识对希腊人有很大影响的古人，也看到了黄道十二宫，即位于天球大圆上的 12 个星座，太阳沿着这个大圆进行可见的年度运动（这个圆被称为黄道，来自希腊语单词 eclipse - “日食”，因为当月亮落在这个圆上时就会发生日食）。黄道十二宫中星座的数量等于月份的数量，太阳在一个月内经过每个星座。黄道十二宫的图像和名称以及相应的月份显示在 图 上（参见启动屏幕）。

最初，我们在白羊座遇到太阳，直到春分为止，太阳都被驯服了，但两千多年来，这一天相对于黄道十二宫的星座已经发生了一些移动。请注意，白羊座和

金牛座 - 设置公羊和公牛的名称（参见“绵羊”和“小牛”）。他们将射手座理解为手持弓箭的半人马座，将摩羯座理解为长着鱼尾的山羊，将双鱼座理解为两条通过文字连接的鱼的形式。 zodiac 这个词源自希腊语 zodon - “动物”，这是因为黄道十二宫中的大多数星座都具有动物的外观。现在黄道十二宫星座的图形和名称与希腊人的几乎相同：唯一的区别是希腊人将天秤座称为“利爪”，并将其视为天蝎座的利爪。

黄道带以北有21个星座，以南有15个星座：希腊人将南半球的星座填满了huzhka，因为在古代，旅行者很少到达赤道。在现代，南十字星和希腊人不知道的其他南方星座已经被添加进来。

星座的名称是通过用线连接构成星座的星星所获得的图形来解释的。不同的人对这些数字有不同的解释。例如，希腊人在北斗七星斗中看到了一只熊，而阿拉伯人则看到了棺材形状的送葬队伍，前面有哀悼者，以“领袖”为首。

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有些星座是相互关联的：牧夫座，即牧羊人，被希腊人视为熊的守护者。北方星座仙王座、仙后座、仙女座、英仙座、飞马座和鲸鱼座这六个星座也由一个关于以太国王仙王座（仙王座是这个名字的拉丁语形式）、他的妻子卡西奥佩娅和女儿的共同传说联系在一起根据这个传说，卡西奥佩娅在这里侮辱了海中的仙女，作为对这一行为的惩罚，海神波塞冬派遣海怪鲸鱼（以一条长着爪子和一张可怕的嘴的蛇）来摧毁埃塞俄比亚的海岸。当珀尔修斯（Perseus）骑着飞马珀伽索斯（Pegasus Perseus）出现时，女孩已经被锁在岩石上。珀尔修斯杀死了可怕的蛇发女妖美杜莎，她的目光将所有见到她的人变成了石头。珀尔修斯本人在与蛇发女妖美杜莎战斗时，并没有看着她，而是看着她在盾牌上的倒影。珀尔修斯砍下了蛇发女妖的头颅，带着这个头颅来到了安德洛墨达。在把她展示给基思之后，他把他变成了石头，释放了安德洛墨达并娶了她。这些星座的位置对应着英仙座被钉的时刻。

武仙座直到现代才得名。希腊人称之为“跪”。波江星座也是在现代得名的。希腊人称其为“河流”。波江 (Eridanus) 是波河的古名，也是神话中的太阳之子法兹顿 (Phazton) 的名字之一，据传说，法兹顿坠落到地面并淹死在波河中。

猎户座得名于神话中的弓箭手，她因向富有的阿耳忒弥斯挑战掷铁饼而被杀死。

阿尔戈号的星座随后被分为船尾星座、帆星座、指南针星座和船底座星座，从小的星座开始

35

天空已知的星座中没有包含的恒星，形成了新的星座：Canes Venatici、Sobieski’s Shield、Jashernitsa、Lynx、Unicorn 和 Sextant。

更受喜爱的是明星的名字。也许只有北极星、小熊座的α星（这些星座中明亮的星星通常用希腊语用字母α、β、γ……表示，大致按照亮度递减的顺序）以及那些带有人们自己名字的星星的名字是不需要查字典就能理解的。北极星因其位于世界北极附近而得名，周围的星空每天都会发生可见的旋转。双子座的α星和β星有自己的名字——北河二和北河二；它们以两个神话双胞胎的名字命名——宙斯和勒达的儿子，以及α猎犬——查尔斯之心，它在现代得名。

很少有明星有希腊语和拉丁语名字；这些名字大部分源自阿拉伯语。这是因为在中世纪，先进科学的中心位于近东和中东，那里的科学语言是阿拉伯语（以前在希腊化国家是希腊语，后来在欧洲是拉丁语）。来自中亚和阿塞拜疆的科学家对当时的科学做出了重要贡献：来自花拉子模的花拉子米和比鲁尼、来自费尔干纳的费尔干尼、来自布哈拉的伊本·西纳、在撒马尔罕、梅尔夫和其他城市工作的奥马尔·海亚姆、在图西的纳西尔丁和他在马拉加和陶里塔（阿塞拜疆）工作的学生、乌鲁格别克和阿塞拜疆的科学家。在他位于撒马尔罕的学校中，来自伊朗、伊拉克、叙利亚、埃及、西北部非洲和穆斯林西班牙的科学家也做出了许多重要发现。这些科学家的著作通过西班牙和意大利，然后通过君士坦丁堡来到西欧，并被翻译成拉丁文。欧洲人首先通过阿拉伯语译本了解许多古代科学著作，然后才了解希腊语原著。

大多数阿拉伯名字都是这样产生的。根据亚历山大天文学家克劳迪斯·托勒密（公元 2 世纪）的著作的含义，我们通常将其称为“天文学大成”，其中包含 1022 颗恒星的星表，其位置被当时的天文学家改变。欧洲人通过其阿拉伯语翻译而熟悉了《天文学大成》，这也解释了它的名字：这部作品的希腊语名称之一“梅吉斯特语法”——“最伟大的系统”——被阿拉伯人转移到了《天文学大成》，这就是这个名字的由来。托勒密用一个简短的描述来描述每颗恒星的特征，表明这颗恒星在星座中的位置。我们的名字正是来自这些阿拉伯语翻译的描述。然而，有些名字并不是托勒密的名字，而是古阿尔比星的名字。第 36 页给出了一些恒星名称的表格。

请注意，心宿二这个名字的解释是，这颗恒星与火星一样，颜色是红色的，可以说是火星的替代品（我们的行星名称是罗马 boi 的名称，对应于希腊富有的赫耳墨斯、阿佛洛狄忒、阿瑞斯、宙斯和克罗诺斯，希腊人将这些名字称为行星）。

“调节”一词来自轩辕十四星的名字，因为这颗星在古埃及被用来调节有用的工作。

米拉（Mira）和比邻星（Proxima）这个名字是科学家最近才给的：米拉（Mira）这个名字是这颗恒星的dado，因为它具有惊人的特性（这颗恒星是一颗长周期变星），比邻星（Proxima）这个名字是科学家发现这颗恒星距离太阳系中所有恒星最近之后的dado。

36

№	星座	字母名称	姓名	来自什么语言	它是从哪个词来的？	这个词的意思
1.	小熊座	α	极性	纬度	polaris	极相关的
2.	北斗星	α	杜布克斯	阿拉伯。	配音	熊
3.	»	β	梅拉克	»	马拉克	腹部
4.	»	γ	费克达	»	法赫德	时髦的
5.	»	δ	梅格雷茨	»	马格拉兹	尾巴的开始
6.	»	η	阿尔凯德·贝内特纳什	»	盖伊德·巴纳特·纳什	哀悼者的领导者
7.	龙	α	图班	»	图班	龙
8.	仙王座	α	阿尔德明	»	迪拉亚明	右手
9.	布茨	α	大角星	希腊语	阿克图罗斯	熊守卫
10.	北冠	α	阿尔法卡	阿拉伯。	法卡	乞丐杯
11.	赫拉克勒斯	α	拉斯阿尔盖特	»	拉贾提	跪着的头
12.	天琴座	α	织女星	阿拉伯。	瓦基’	坠落（鹰）
13.	天鹅	α	天津四	»	达纳布	尾巴
14.	»	δ	鬣狗	»	贾纳	翼
15.	仙后座	α	谢达尔	»	萨德尔	胸部
16.	»	β	卡夫	»	咖啡店	棕榈
17.	»	δ	鲁克巴	»	鲁克巴	膝盖
18.	珀尔修斯	α	米尔法克	»	米尔法克	弯头
19.	»	β	大陵五	»	古尔	怪物（戈尔贡）
20.	御夫座	α	教堂	纬度	萨雷拉	科佐奇卡
21.	»	β	门卡利南	阿拉伯。	曼卡布利兰	车夫的肩膀
22.	蛇夫座	α	哈格角	»	哈瓦角	施法者的头
23.	»	β	泽尔巴拉伊	»	赖堡	牧羊犬
24.	蛇	α	乌努克埃尔哈亚	»	恩克希亚	蛇颈
25.	鹰	α	阿尔坦尔	»	牵牛星	飞翔（鹰）
26.	飞马座	α	马尔卡布	»	马尔卡布	鞍
27.	仙女座	α	阿尔费拉兹	»	锡拉阿尔法拉斯	马的肚脐（星星指的是飞马座）
28.	»	β	米拉克	»	马拉克	（双鱼座之一的）腹部
29.	»	γ	阿拉马克	»	莫克	凉鞋
30.	白羊座	α	哈马尔	»	哈马尔	公羊（白羊座）
31.	»	β	谢拉坦	»	查拉坦	两个星座（俗称白羊座α和β）
32.	»	δ	博泰因	»	丁烷	腹部
33.	金牛座	η	昴	希腊语	昴	女儿普莱奥娜
34.	»	α	毕宿五	阿拉伯。	达巴兰	深情之后（昴星团之后）
35.	»	γ, δ	毕星团	»	瓜德斯	下雨的
36.	狮子	α	轩辕十四	纬度	regulus	国王
37.	»	β	五鼻虫	阿拉伯。	达纳布阿萨德	利瓦尾
38.	处女座	α	角宿一	纬度	spica	玉米穗（处女座手中）
39.	蝎子	α	安塔瑞斯	希腊语	安塔阿瑞斯	而不是火星
40.	»	β	阿拉伯	阿拉伯。	阿拉伯	蝎
41.	射手座	α	阿尔拉米	»	拉米报	射手
42.	水瓶座	α	萨达梅莱克	»	萨德穆尔克	国家幸福
43.	鲸	β	德尼布·基托斯	»	达纳布·凯托斯	鲸尾
44.	»	o	米拉	纬度	mira	惊人的
45.	奥龙	α	参宿四	阿拉伯。	伊卜胡兹	腋窝很大
46.	»	β	参宿七	»	谜语	腿
47.	»	γ	贝拉特里克斯	纬度	bellatrix	战士（战士的守护神）
48.	»	δ	敏塔卡	阿拉伯。	曼特卡	腰带
49.	波江座	α	阿赫纳尔	»	阿希尔纳尔	河流的尽头（波江座）
50.	野兔	α	阿尔内布	»	阿尔纳布	野兔

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在本期中，我们继续发表 1970 年全联盟数学和物理奥林匹克竞赛中提出的问题。（提出问题的班级在问题后的括号中标明。）

M46。凸多边形有多少条边与最长对角线的长度相等？ （八）

G·加尔佩林

M47。从数字 1 和 2 开始，它们组成了 $n$ 位数字的路径，因此每两个数字在 $m$ 位中重合，但并非所有五个数字在任何一位数字中都重合。证明

$$\frac{2}{5} \leq \frac{m}{n} \leq \frac{3}{5}.$$

(IX-X)

M48。在锐角三角形 $ABC$ 二分线 $AD$ 中，中线 $BM$ 和高 $CH$ 相交于一点。证明角$BAC$大于45°。 （九）

M49。卡片上写有从 11111 到 99999 的所有五位数字。然后这些卡片按随机顺序一次完整地放置。证明更好的 444,445 位数字不可能是 2 的幂。 （十）

M50。正 $n$ 边形的顶点被涂上多种颜色（每种颜色为一种颜色），因此相同颜色的点可作为正多边形的顶点。证明这些多边形中有两个相等的多边形。 （十）

N·瓦西里耶夫

F55。估计从弓垂直射出的箭将上升的高度。箭重 20 $e$，弦长 1 $m$。弓弦向后拉 5 $cm$。弦张力被认为是恒定的，等于 25 $ke$。 （九）

F56。为什么旗帜会在风中“飘扬”？ (九-十)

F57。两个相同的球通过失重弹簧连接，以相同的速度沿着光滑的水平地板移动，垂直于垂直的墙壁。描述系统与墙壁的碰撞将如何发生。撞击后球将如何移动？球对墙壁的冲击是绝对弹性的，冲击时间与球在外面的振荡周期相比可以忽略不计。 （九）。

F58。在磁场中，直径为$d$、电阻为$r$的圆环从高处落下。环的平面始终是水平的。根据$B=B_0(1+\alpha h)$定律，求场感应随高度变化时圆环下落的稳态速度。 （十）

F59。应移除接线立方体的哪一条边，以便点 $A$ 和 $B$（参见 图）之间的电阻变化尽可能大？立方体所有边的电阻相同。 （八）

B·B·布霍夫采夫

F60。在平面镜中可以看到蜡烛的图像。如果在镜子和蜡烛之间放置一块平行平面的玻璃板，会发生什么？ （八）

38

M8。两个人玩这个游戏。从一堆 25 根火柴中，每个人轮流拿一根、两根或三根火柴。获胜者是在比赛结束时（所有比赛都已排序后）比赛场次为偶数的一方。

如果玩得正确，谁会获胜——初学者还是他的伙伴？他应该怎样打才能获胜？如果我们假设赢得奇数场比赛的人获胜，答案会如何变化？

在一般情况下探索此游戏，即有 2n+1 场比赛，并且您可以参加从 1 到 m 的任意数量的比赛。

解决方案

为了谈论一款游戏，有必要以某种方式命名它的各个部分。条件一劳永逸地称其中一个为“我”，另一个为“他”。

首先，让我们稍微概括一下问题的条件。游戏开始时桌上的比赛数量 N 可以是任意的，而不仅仅是奇数。此外，对于4个N，如果比赛结束时比赛总数为四，则其中一名球员，如果比赛数量为奇数，则另一名球员。

严格来说，我们正在考虑同时进行无限多个游戏，因为 N 和 m 可以是任何自然数。此外，如果给出 m 和 N，则有两种可能的选择：如果在游戏结束时我有 1) 偶数，2) 奇数比赛，则我获胜。

让我们首先一起讨论一下这个游戏的所有变体。

让我们想想玩家在游戏过程中需要记住什么。他需要从游戏一开始就记住自己和对手的所有动作吗？不，无论如何，他知道以下这些就足够了：

1. 桌子上还剩多少场比赛，
2. 它有偶数个匹配项吗？
3. 谁的举动？

如果给定这三个参数，那么我们会说，给定状态，玩家可以做出 m 种不同的动作（或者如果桌子上剩下的比赛少于 m 场，则可以进行更少的动作）。当他的搭档移动时，他的每个动作都会使游戏进入不同的状态。

以单元格或圆圈的形式在纸上描绘游戏的状态很方便，并且可能以箭头的形式移动。这就是我们要做的。

图1处的表是针对m=2时的情况编制的（每回合只能匹配一到两场），

在图 1-4 的表格中：
I 列 - 行号 m，显示表中剩余多少个匹配项。
第二列 - 我有偶数场比赛，我的举动。
第三栏 - 我有偶数场比赛及其过程。
第四栏 - 我有偶数场比赛，我的举动。
V 列 - 我有偶数场比赛及其走法。

39

图 1. $m=2$ 游戏的可能状态和动作表。

如果在比赛结束时我的比赛数为偶数，则我获胜。事实上，只有当桌上剩下的比赛不超过七场时，才会抽签。

彩色箭头显示玩家如何移动：轮到该单元格的玩家可以跟随从该单元格出来的任何箭头。例如，建筑物中第一个荣耀单元格的数字为 5（灰色）对应于当桌子上还剩 5 场比赛时的游戏状态，我有偶数场比赛和我的动作，从该单元格出来的两个箭头显示我可以将游戏转移到下一步的状态。

该表格可以在视觉上继续，我们将根据它在单元格中放入字母 B，如果当游戏从这种状态开始时，我可以获胜，无论他如何尝试将我置于一个位置。

我们称这种状态为破坏性的，并将字母 P 放入与其对应的单元格中，如果当游戏从该状态开始时，他可以获胜，并且如果他不犯错误，我将无法阻止这种情况。

现在让我们继续解决方案的主要部分：我们将字母 B 和 P 放置在表格的所有单元格中。我们首先对图1对应的游戏进行此操作。在零线中，字母当然必须这样放置：VVP，因为我们认为如果在游戏结束时我有偶数场比赛，我就赢了。接下来，字母必须按照以下规律从上到下排列。

I. 如果是我的举动（即该单元格位于 II 或 IV 列中），则将以下内容放入其中：

字母 B，如果至少有一个箭头指向带有字母 B 的单元格；

如果来自字母 P 的每个箭头都指向带有字母 P 的单元格，则为字母 P。

二.如果是他的举动（即该单元格位于 III 或 V 列中），则将以下内容放入其中：

字母 P（如果至少有一个箭头指向带有字母 P 的单元格）；

如果来自字母 B 的每个箭头都指向带有字母 B 的单元格，则为字母 B。

由于表格中的所有箭头都是从下到上的，因此无论我们使用多少，该定律都可以填充整个表格。

在我们的例子 ($m=2$) 中，为了填充第 $n$ 行的单元格，只需知道如何填充第 $(n-1)$ 和 $(n-2)$ 行的单元格就足够了。事实上，完全没有必要像图1那样画出所有的箭头。单独（在一张描图纸上）画一个“模板”——从一行单元格中伸出的一组箭头，然后将这个模板依次应用到表格的所有行，按照头部背景上写的规则，用字母B和P填充它们就足够了。 图2 表示我们填写完所有内容的时刻

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图 2. 与$m=2$ 的比赛胜败状态表。

表直到第 5 行，并准备填写第 6 行。这样您就可以将表格填充到任何位置，例如填充到第 25 行，然后查看哪个字母将出现在第 25 行的第一个位置。如果是B，那么开始游戏时桌上有25场比赛的玩家将获胜，但如果是P，那么他将失败。

事实上，假设没有必要填写该表。事实上，第四条线与零重合，第五条线与第一条线重合。因此，第 6 条线必然与第 2 条线重合（因为每条线都是由前两条线确定的）。然后第 7 行与第 3 行重合，第 8 行与第 4 行重合，第 9 行与第 5 行重合，等等。这些行将以 4 为周期重复，这意味着任何具有数字 4 $k$ 的行都将是 VVP；
编号为 $4k+1$ 的行将是 PVVP；
编号为 $4k+2$ 的行将是 VPVP；
编号为 $4k+3$ 的行将是 VPVP。

具体来说，第 25 行将是 PVVP ($25=4\cdot 6+1$)。

事实上，必然存在一个时期，这一事实是可以提前预见到的。事实上，让我们将表格填充到某一行。那么一切都取决于最后两行如何填充。用字母 P 和 B 填充两行的所有方法的数量是有限的（最多完成$2^8$）。这意味着填充表时，不可能始终出现一对新行。当重复几行时，周期性就开始了。

当字母B和P被放置在表格中后，我要获胜必须遵循的策略就变得清晰了：每次我都需要做出一个通向字母B的单元格的动作。上面提到的字母B和P的排列法则正是这样设计的，如果我进入了B单元格，那么我每次都可以移动到B单元格，敌人将无法干扰我。

听着，当我 winvio 时，如果最后有奇数个匹配项，则会以类似的方式进行检查。可以将PPVV放在零线处，按照同样的规律进一步填写表格。周期将再次等于 4。但是您不能执行所有这些操作，而是在这种情况下使用相同的 图 2。

请注意，在比赛开始前不给玩家任何东西并要求他在比赛结束时有奇数场比赛与在比赛开始前给他一场比赛并要求他在比赛结束时有偶数场比赛是一样的。所以在这个新案例中，如果桌子打开，我会赢 图 2 在路口的笼子里 $N$th 行和

第四栏是B，如果我开始，

如果他开始，V 列就是 B。

另请注意，如果将 P 列与 IV 交换，将 III 列与 V 交换，则该模式不会改变。在重新排列后的第一行中，VPVP 将是 PPVV。因此，当我必须有奇数场比赛才能获胜时的情况的表可以从通过所指示的列的重新排列分析的情况的表中获得。这同样适用于$m$的所有其他值。

现在让$m=3$。该表仍将由相同的内容组成

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图 3. 与$m=3$ 进行游戏的桌子。

四列。模式将会改变（参见 图 3）。现在每一行都依赖于前三行。要排列字母 B 和 P，请应用第 39 页上列出的规则。通过排列字母，我们确保句点由八行组成。特别是，第 25 行与第一行相同：PVVP。

因此，在 $m=3$ 和 $N=25$ 的情况下，结果是这样的

答：如果胜出局数为偶数，则先发者输，如果胜出局数为奇数，则先发者获胜。

一般情况以类似的方式进行研究。如果 $m$ 为偶数，则周期长度为 $m+2$；如果 $m$ 为奇数，则周期长度为 $2m+2$。这些时期如图 4a、b 所示。为 $m=8$ 和 $m=9$ 给出的模式可让您深入了解一般情况下的模式。这里画箭头很不方便。用每种颜色着色的单元格代表玩家可以从包含相同颜色的点的单元格移动的状态。排列字母 B 和 P 的规则是相同的，详见第 39 页。检查句点是否分开

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我们将把这个证据留给读者。我们只注意以下几点。为了确保该句点会重复，您需要检查第一个句点的所有行和第二个句点的前 m 行中的字母位置。

正如我们所看到的，对于大的 m，我们缝制的所有东西的部分都是我们能够承受的。所有违反此规则的字母都在图 4、a、b 中圈出。所以，下水道在以下情况下采用molley处理。

| 时期 | 得分“相等”者获胜 | 得分为“奇数”的人获胜。 |
| :— | :— | :— |
| m 是偶数 | N 除以 m+2 余数 1 | N 除以 m+2 后得到余数 m+1 或 0 |
| 米奇数 | N 除以 2 m+2 得到余数 1 或 m+1 | N 除以 2 m+2 后得到余数 0 或 m+2 |

M9。考虑四面体的以下属性（我们将任意三角形参数称为四面体）：

1. 所有面的大小都相同；
2. 每条边都等于相对边；
3. 所有边都相等；
4. 外接球和内切球的中心重合；
5. 四面体每个顶点的平面角之和相等。
   证明所有这些性质都是等价的。
   尝试找到四面体的其他等效性质。

解决了并且e。在这个问题中，选择一种合理的证明方式非常重要：找出哪个属性更容易从中推导出来。按照惯例，我们将在箭头旁边加上“来自……它遵循……”的字样：⇒

为了方便我们再补充几个四面体的性质：

6. 每个顶点的平面角度之和为180°；
7. 四面体的展开由一个锐角三角形表示，其中画出中线（图5）；
8. 所有面均为锐角三角形，其外接圆半径相同；

图 4, 6. 奇数 m 的游戏表和 m=9 的模板。

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图 5.

9. 四面体在平行于两个相对边的三个平面中的每一个上的投影 - 一个矩形 -

并按以下顺序证明性质 (1)–(9) 是等价的：

此处用箭头表示的十二个定理中的大多数几乎是显而易见的。让我们按顺序证明它们。

(5)⇒(6)。四面体所有面的所有平面角度之和等于四个三角形的角度之和，即$4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$，因此，如果每个顶点的角度之和相等，则它们每个都等于$180^\circ$。反之： (6) ⇒ (5) 是显而易见的。

(4)⇒(8)。如果$R$是四面体外接球的半径，$r$是外接球的半径，并且这些球的中心重合，则球与每条边的接触点位于该面内，并且距四边形的每个顶点$\sqrt{R^2-r^2}$，即是中心

图 6.

围绕该三角形描述的半径为 $\sqrt{R^2-r^2}$ 的圆。

(8)⇒(4)。显然，在任何四面体中，从面上外接球的中心$O$垂下的垂线都落入外接圆的中心，如果所有这些圆的半径都相等$R_1$，则点$O$到所有面的距离相等（距离$r = \sqrt{R^2-R_1^2}$）。如果垂线的底边位于面内，则 $O$ 是半径为 $r$ 的外接球的中心。

(8)⇒(6)。如果四面体 $ABCD$ 的面 $ABC$ 和 $DBC$ 的外接圆半径相等，则为 $\angle BAC = \angle BDC$，因为这些角度位于等圆中的其他相等的 $BC$ 上（这里重要的是 $\triangle BAC$ 和 $\triangle BDC$ 是锐角！）。这也适用于相邻面的所有其他参数。

因此，$\angle BDC + \angle CDA + \angle ADB = \angle BAC + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$ 对于所有其他顶点也是如此。

(6)⇒(7)。任意四面体$ABCD$展开为六边形$D_1AD_2BD_3C$，分为四个三角形（图6）。显然，由(6)可知线段$D_1A$和$AD_2$、$D_2B$和$BD_3$、$D_3C$和$CD_1$位于同一条直线上，即点$A$，

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B 和 C 是边 $\Delta D_1D_2D_3$ 的中点（如图 5）。该三角形是锐角三角形，因为在四面体的三角角（顶点 D 处）中，每个平面角都小于其他两个平面角的总和。

(9) $\Rightarrow$ (7)、(7) $\Rightarrow$ (8) 和 (7) $\Rightarrow$ (2) 非常显着。 (2) $\Rightarrow$ (3) 也很不同（三角形三边相等）； (3) $\Rightarrow$ (1) 非常。

剩下的只是证明 (1) $\Rightarrow$ (9)。这个地方对读者来说是最困难的。

(1) $\Rightarrow$ (9)。请注意，如果$p_1$和$p_2$是平行平面，AK和BH是两条线段，其端点A和B位于$p_1$平面内，且端点K和H位于$p_2$平面内，则线段AK和BH相等当且仅当它们在$p_1$平面上的投影相等（或$p_2$）。使用毕达哥拉斯定理 (图7) 可以轻松证明这一点。

让我们通过四面体的边 AB 和 CD 绘制平行平面 $p_1$ 和 $p_2$。设$C_1$和$D_1$为点C和D在平面$p_1$(图 8, a)上的投影，O为$C_1D_1$与AB的交点。如果面积 $\triangle CAD$ 和 $\triangle CBD$ 相等，则这些三角形的高度 AK 和 BH 相等，因此，这些高度在 $p_1$ 上的投影也相等：AK$_1$ = BH$_1$，因此 AO = OB (图 8, b)，特别是，点 A 和 B 位于相反的位置线 C$_1$ D$_1$ 的两侧。同样，面积$\triangle ACB$和$\triangle ADB$的平面相等，C$_1O$ = D$_1O$。因此，AC$_1BD_1$是平行四边形，即AC$_1$ = BD$_1$且C$_1B$ = D$_1A$，因此AC = BD且BC = AD。同理证明AB=CD，所以AC$_1BD_1$是直角。

M10。以凸四边形的顶点为圆心的四个圆完全覆盖该四边形。证明可以从中选择三个圆来覆盖一个三角形，并且顶点位于这些圆的中心。

解决方案。这项任务的主要困难是提出一个涵盖所有可能情况的解构。

图 7.

图 8，一个。太空中的四面体。

图 8，b．四面体在平面上的投影。

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图 9.

圆形的排列和所有可能的四边形形状。

下面给出的解决方案的想法属于N. Vasiliev。

让我们用 Kₐ、Kₑ、K₃、K₄ 表示在给定四边形 ABCD 的顶点处以 A、B、C、D 为圆心的圆，用 rₐ、rₑ、r₃、r₄ 表示它们的半径。我们假设问题陈述是错误的。那么每个圆都有一个公共点，分配给它的三角形中未被三角形覆盖的部分：

例如，Kₐ必须包含点△BCD，没有被覆盖

图 10.

由圆 Kₐ、Kₑ、K₃、K₄ 组成。设 O 为对角线的交点。让我们证明，在我们的假设下，rₐ≥OA，即圆Kₐ包含点O。剩下的已经很清楚了：用同样的方法可以证明点O属于Kₐ和K₃，从这里显然可以得出这些圆覆盖了△ABC。看图 9,10：如果OL和ON是垂线落在直线AB和BC上，那么Kₐ覆盖了△OAL，K₃ - △OCN，K₄ - △OBL和△OBN，并且这四个直角三角形覆盖了△ABC，即使

图 11, a.

图11，b．

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三角形 AOB 或 OBC 之一（如 图 10）是钝角三角形。

我们的假设与我们的假设相矛盾；因此，问题的表述是正确的。

所以，还有待证明$r_A \geqslant OA$。我们将需要以下几乎显而易见的一个。

引理。给定一个凸四边形 PQRS 和一个圆 $K_R$（不完全包含 $\triangle PQR$）。那么，在$\triangle PQR$内部和$K_R$外部的所有点中，靠近点$S$的点将是：

a) 底边$F$垂直于$SF$从点$S$下降到线$PR$，如果该点$F$位于圆$K_R$之外（图11，a）；

b) 圆$K_R$与线段$PR$的交点$E$，如果点$F$位于圆$K_R$内部（图11，b）。 （这里重要的是四边形的 QRS 角小于 $180^\circ$；我们将引理的证明留给读者。）

我们可以假设$\angle AOB \leqslant 90^\circ$（否则我们不会取$B$，而是$D$）。设 $BB_1 \perp AC$； $AA_1 \perp BD$； $B_1A_2 \perp BD$（图12）。假设$r_A < OA$和$E - \text{ближайшая } K$位于线段$OA$上，$AE = r_A$、$EM - \text{перpendикуляр}, \text{опущенный } E$位于$BD$上。显然，那么$AM > AE$。尽管如此，让我们证明$r_A > AM$，因此我们的假设（$r_A < OA$）是不正确的。

我们首先证明$r_B > BM$。让我们将引理应用于 $\triangle ACD$、圆 $K_A$ 和点 $B$。距离两种情况：

a) $E$ 位于 $A$ 和 $B_1$ 之间。然后$r_B > BB_1 > BA_2 \geqslant BM$；

b) $E$ 位于 $O$ 和 $B_1$ 之间。然后（通过引理）

$$r_B > BE > BM.$$

所以我们知道点$M$属于$K_B$。将引理应用于$\triangle BCD$、圆$K_B$和点$A$（请注意，$M$位于$O$和$A_1$之间，因此情况6始终成立）），我们得到$r_A > AM$。循环是封闭的，我们要求矛盾。

F12。两个相同的重钢球在长度为$l$和$2l$的轻质棒上绕点$O_1$、$O$旋转，其间的距离为3$l$（图13）。初始时刻，球位于$A$和$B$，速度分别为$v$和$2v$。在时间$t$中，球会碰撞多少次？球碰撞 $k$ 次需要多长时间？ coduar 球被认为是绝对有弹性的。

解决方案。由于球是相同的，因此在绝对弹性碰撞期间它们将交换速度。这是根据碰撞时球的能量和动量（运动次数）守恒定律得出的。球第一次碰撞是当每个球绕其旋转点旋转半圈时。

这需要时间$t_1 = \frac{\pi \cdot 2l}{2v} = \frac{\pi l}{v}$。碰撞后，左球的速度为$2v$，右球的速度为$v$。

球的第二次碰撞将在第一次碰撞之后的时间$t_2 = \frac{4\pi l}{v}$发生，此时右球绕点$O_1$转一圈。在此期间，左边的球将绕点$O$转四圈——它的速度是原来的两倍，绕圆的时间是一半

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图 13.

谢罗半径。碰撞后，球将再次交换速度，第三次碰撞将在第二次碰撞后的$t_3 = 2t_1 = \frac{2\pi l}{v}$时间发生，此时每个球都完成一圈。因此，每次奇数碰撞后，左球的速度为$2v$，右球的速度为$v$，因此下一次偶数碰撞将在$t' = t_2 = t_4 = \cdots = \frac{4\pi l}{v}$时间后发生。

每次奇数碰撞后，左边的球的速度为$v$，右边的球的速度为$2v$，下一次（现在是奇数）球的碰撞将在偶数球之后$t'' = 2t_1 = t_3 = \cdots = \frac{2\pi l}{v}$的时间后发生。

现在很容易计算出，如果$k$是偶数，那么小球会及时发生第$k$次碰撞
$$t_k = \left( \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \right) t'' + \frac{k}{2} t' = (3k - 1) \frac{\pi l}{v},$$
因为球之间总共会有 $\frac{k}{2}$ 偶数碰撞和 $\frac{k}{2}$ 奇数碰撞。这意味着右边的球必须绕$\frac{k}{2} - \frac{1}{2}$转，速度为$2v$（这里我们教的是，在第一次碰撞之前，球只转半圈），并绕点$Q_1$转$\frac{k}{2}$，速度为$v$。

如果 $k$ 是奇数，则在第 $k$ 次碰撞之前，右球必须以 $v$ 的速度旋转 $\frac{k-1}{2} + 1 - \frac{1}{2} = \frac{k}{2}$ 圈，速度为 $2v$。因此，从最初的时刻到本例第$k$次碰撞的时刻，时间必须经过
$$t_k = \frac{k}{2} t'' + \frac{k-1}{2} t' = \frac{(3k-2)\pi l}{v}.$$

现在让我们计算一下在 $t$ 时间内球会碰撞多少次。我们假设$t > t_1$。在两次连续的奇数球碰撞之间，时间$t_0 = t' + t''$过去了。第一次之后，奇怪的碰撞次数与 $t_0$ 在 $t - t_1$ 中碰撞的次数一样多：

$$n = \left[ \frac{t - t_1}{t_0} \right]$$

（[ ] 符号表示“数字的整数部分”）。

球之间总共会发生 $n+1$ 次奇数碰撞。最后一次奇数碰撞之前经过的时间将等于 $\left[ \frac{t - t_1}{t_0} \right] t_0 + t_1$。

在此期间，$n$ 球之间甚至应该发生碰撞。另外，如果剩余时间$t - \left( \frac{t - t_1}{t_0} \right] t_0 + t_1$大于$t'$，则会发生另一次奇怪的碰撞。因此，在时间 $t$ 时，球将会碰撞

$$N = \left[ \frac{t - t_1}{t_0} \right] + 1 + \left[ \frac{t - t_1}{t_0} \right] + \left[ \frac{t - \left[ \frac{t - t_1}{t_0} \right] (t_1 + t_2)}{t_2} \right] = 2 \left[ \frac{vt - \pi l}{6\pi l} \right] + \left[ \frac{vt - \left[ \frac{vt - \pi l}{6\pi l} \right] 6\pi l}{4\pi l} \right] + 1$$

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图 14.

F13。两个相同的带活塞的气缸通过管子 (图 14) 连接。气缸内有水。装有等量水的相同圆柱形玻璃被放置在活塞顶部。然后，将质量体$m$放入其中一个玻璃杯中，将不下沉的质量体$M$放入另一个玻璃杯中。

当系统达到平衡时，活塞末端和玻璃杯中的水位彼此之间的距离是多少？太阳眼镜的面积为$S_1$，活塞的面积为$S_2$。

解决方案。由于各钢瓶之间是通过管子连接的，所以同一级别的钢瓶内的水压应该是相同的。气缸中的压力相同，处于左活塞下边缘所在的水平。但左气缸（图 14）在这一级的压力为$\frac{(M_0 + M)g}{S_2}$，右气缸在这一级的压力为$\frac{(M_0 + m)g}{S_2} + \rho gy$，其中$M_0$是活塞、玻璃杯和玻璃杯中水的总质量，$\rho gy$是高度为$y$的水柱的压力。然后根据平衡条件我们得到：

$$\frac{(M_0 + M)g}{S_2} = \frac{(M_0 + m)g}{S_2} + \rho gy.$$

求解这个方程，我们发现

$$y = \frac{M - m}{\rho S_2}.$$

现在我们来确定$x$的值。当一个物体浸入玻璃中时，玻璃底部的压力会增加，其增加量等于该物体的重量。另一方面，由于主体不会下沉，本身不会压在底部上，因此底部压力的变化是由于水位上升而导致底部水压力的变化。如果玻璃杯中的水位上升$\Delta x$，则底部的水压增加$\rho g \Delta x$，压力增加$\rho g \Delta x S_1$。因此，对于左玻璃$\rho g \Delta x S_1 = Mg$，其中$\Delta x_1$是左玻璃中水位的变化：$\Delta x_1 = \frac{M}{\rho S_1}$。同样，我们发现右边的玻璃杯中，当身体浸入其中时，水位上升了$\Delta x_2 = \frac{m}{\rho S_1}$。由于左眼镜下边与右眼镜下边的距离为$y$，则

$$x = y + \Delta x_2 - \Delta x_1 = \frac{(M - m)(S_1 - S_2)}{\rho S_1 S_2}.$$

F14。将截面为$S_1$和$S_2$的两根管道相互连接，并用质量为$m_1$和$m_2$（图15）的活塞塞住。活塞之间的空间发生爆炸后，活塞飞出管道。其中一架以$v$的速度飞了出去。如果：a）管道是固定的并且不能混合，b）管道不是固定的并且它们的总质量为$M$，那么第二个以什么速度飞出？忽略活塞与管壁的摩擦力。

解决方案。我们首先考虑管道固定时的情况。活塞上的气体压力是相同的，压力与活塞的面积有关。由于这些力作用在活塞上的时间相同（我们认为其中一个活塞离开管道后，第二个活塞上的压力突然下降到外部压力），因此作用在活塞上的平均压力之比等于活塞面积之比。这使我们有机会找到活塞离开管道后的脉冲比。活塞的初始冲量为零，其冲量的变化等于平均力乘以