Kvant 1970 年第 11 期 · 页面

科普物理和数学
量子
11
1970
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

7

主编-I.K.KIKOIN院士
第一副主编——柯尔莫哥洛夫院士

编辑集：

L.A.阿齐莫维奇，
M·I·巴什马科夫
V.G.波尔坦斯基，
I·N·布朗斯坦
N·B·瓦西里耶夫
I·F·金兹堡
V.G.祖博夫，
P.L.卡皮察，
V.A.基里林，
G·I·科索罗夫
V·A·列茨科夫采夫
V·P·利采夫斯基
A.I.马库塞维奇，
M.D.米尔尤尼特科夫，
N·A·帕特里克耶娃
N.Kh.罗佐夫
A.P.萨文
I.SH。斯洛博德奇基
M·L·斯莫良斯基
Y.A.斯莫罗丁斯基，
V.A.法布里坎特，
J·E·施奈德

院士
苏联教育科学院通讯院士
院士
院士
（副主编）
苏联教育科学院院士
院士
（副主编）
物理和数学科学博士
苏联教育科学院院士
（执行秘书）

编辑部主任 L. V. Chernova。
首席艺术家 E. P. 列昂诺夫。
技术编辑 T. M. Makarov。
校对员 L. S. Somova。
《科学》出版社。物理数学文献主编室
编辑地址：
莫斯科，V-71，列宁大街，15。
电话：2340811。

于 70 年 7 月 24 日作为一套交付。在下面。出版日期 10/13/70
纸 70×100 1/16。物理。打印.l.4。烘烤条件5，6。
学术版。 l.5.39。发行量176,000份。 T-15428。
价格30戈比。命令。 1250
契诃夫印刷厂 Glavpolygraphprom
苏联部长会议新闻委员会
契诃夫，莫斯科地区。

2

舌头上有静电
电源线

一般来说，静电学是这样研究的：他们写出两个精确电荷$q_1$和$q_2$之间相互作用力的库仑定律：$F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$（r是电荷之间的距离）——然后，借助有时简单有时复杂的数学计算，他们获得了该定律的各种结果，考虑到任何物体的电荷都可以表示为正确分布的精确电荷的完美形式。

但对电场和电荷分布进行精确的数学分析通常很困难。然后简单的信息就可以发挥作用——场线的对称性和模式。当然，它们不能像数学计算那样给出完整的图片，但它们是可视化的，有助于“看到”和预测电场将具有哪些特征以及电荷将如何相互作用。

什么是场线

让我们计算准确的费用$q$。这种电荷在周围空间中产生一个电场，如果在空间中的每个点都给出了电场的方向，则该电场是完全确定的 - 如果将其放置在该点，则作用在精确单位正电荷上的力。为了直观地表示整个空间的电场，您可以尝试用各种矢量来表示它，例如，在空间的不同点处，以便每个矢量都显示电场在其出现点处的方向（其大小和方向）。然而，很明显，这种描绘场的方法是不成功的：单独的箭头彼此重叠，形成了一幅令人困惑的图片，这需要理解。

法拉第提出用力线来表示场。这些是线，其每一点的方向与该点的场方向一致。要准确充电，绘制场线非常简单。这些是穿过电荷所在点的直线（射线）。如果电荷是连续的，那么力线是

图 1.

从费用中修正（图1）；负电荷产生的场线（为了简洁起见，我们将来称“电荷场”）朝向电荷。

让我们尝试画出更复杂情况下的场力线图 - 对于两个大小相等的精确电荷 - 正电荷和负电荷（这对电荷称为“偶极子”）。让我们回顾一下叠加原理：电荷系统的场方向等于单个电荷产生的场方向之和 (图 2)。是否可以通过将各个电荷的场线图片相加，或者更准确地说，将它们叠加在另一个之上来获得偶极子场线的图片？不幸的是没有。在这种情况下，场线必须相交。这显然是不可能的，因为在场线的交点处，场方向将具有两个值！这意味着，通过简单地叠加精确电荷的场线图，不可能绘制出电荷系统的场线图。

通过将固体颗粒悬浮液置于电场中的液体绝缘体中，可以获得场线的定性图像。在电场中，颗粒末端会感应出相同的相反电荷。因此，它们沿着场线定向。对于偶极子场，得到的图片如图 3，a所示。力线从正电荷到负电荷 (图 3, 6)。如果我们在同一个交换中取两个相同的电荷，那么力线的图像将是相同的，如图 4、a 和 4、6 所示。

如果您仔细找到各个点处的电场方向矢量并使用它们来构造场线（图2），则会获得相同的图片。

4

考虑图3和4，我们可以注意到，对于相反的电荷，漏极线似乎将电荷彼此连接，而在相同电荷的情况下，漏极线似乎被推开。如果我们将梅线沿其长度方向收缩和在横向方向上排斥的特性归因于梅线，那么我们可以说连接不同电荷的梅线将它们彼此束缚，并且不同电荷的汇合线相互排斥、排斥。当然，我们不能假设汇合场线确实存在，但根据这种解释，通常只需看一眼场图就可以预测电荷相互作用的结果。梅花线的这些相同的“属性”，正如不难报道的那样，还可以说明更多的事情——关于场方向的大小。

高斯定理

因此，梅花线图案显示了每个点处的场方向矢量的方向。但这还不是全部。事实证明，这些图片可以谈论更多的事情——关于场方向性的大小。

让我们取一点正电荷$q$。让我们选择一个顶点位于电荷所在点的圆锥体，并沿着穿过面积为 $S_1$ 的区域的梅线，该区域与电荷 (图 5) 的距离为 $r_1$。在距离$r_2$时，这些排水管线将穿过面积较大的$S_2$区域。垫的直径比等于$\frac{r_2}{r_1}$，因此$\frac{S_2}{S_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$。

但这意味着线梅的密度$n = \frac{N}{S}$（通过单位面积的线梅的数量）成反比

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是到电荷距离的平方的国家。从$\frac{n_1}{n_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$开始，然后$n \sim \frac{1}{r^2}$。

精确电荷场的方向性以同样的方式变化：$E = \frac{q}{r^2}$。

因此，场线的密度与场的方向成正比：$n \sim E$。只需要电源线不被任何地方中断即可。对于精确的正电荷，力线必须从电荷开始并趋向无穷大。在负电荷的情况下，力线必须从无穷远延伸到电荷处。

事实证明，总是可以画出场线的图，使其密度与场的方向成正比。为此，力线必须在正电荷上被驱出并在负电荷上结束（或达到无穷大），并且离开电荷或进入电荷的力线数量必须与该电荷的大小成正比。

让我们在心里画一个球体，其中心位于我们找到电荷的点。如果我们同意假设每个正电荷都有$4\pi q$力线出现（并在每个负电荷处结束），那么它们在球面上的密度将等于$\frac{4\pi q}{4\pi r^2} = \frac{q}{r^2}$，也就是说，它将等于场的方向。与球体表面相交的力线总数不取决于球体的半径，等于 $4\pi q$。很明显，无论该表面具有什么形状，从我们在内部发现电荷（或进入该表面）的任何封闭表面发出的力线数量都是相同的。

这个陈述被称为高斯定理。当然，对于任何电荷分布都是如此。可以证明，对于任何收费制度，力的数量

从任意形状的闭合表面出现的线减去进入该表面的力线的数量，等于$4\pi Q$，其中$Q$是位于受该表面限制的体积内的总电荷。如果电荷 $Q$ 为负，则离开由表面包围的体积的线数少于进入该体积的力线数。如果表面所包围的体积中不存在电荷，那么当它们进入时，从该体积中出来的力线数量相同。

势面和等势面

在我们开始运用我们的知识——解决具体问题之前，让我们记住该领域的另一个特征——潜力。事实上，你可以找到与力线图密切相关的几何图。这种联系通常有助于绘制和分析场线图。

让我们首先回顾一下什么是电场势。

如果通过在场中移动电荷，我们返回到起点，那么当将精确电荷从场中的一个点穿过到另一点时所做的总功并不取决于路径的形状。否则，可以先沿着较小的路径走，然后沿着较大的路径返回。总工作量不会为零。由于工作不依赖于路径的形状，因此可以引入势的概念。给定点的场电势等于从场中的给定点穿过单位精确正电荷到无穷大时场所做的功。

潜力可以是正的，也可以是负的。正电荷的场电位为正，负电荷的场电位为负。在第一种情况下，作用力

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从场一侧转移的电荷，被引导到与电荷移动相同的方向，以及第二个方向 - 与移动相反的方向（场做负功）。势是在空间中没有方向的标量。距离 $r$ 处的确切电荷 $q$ 的电势等于 $\frac{q}{r}$。如果我们需要找到多个电荷的场势，那么我们必须将各个电荷产生的场势相加，并考虑它们的符号。电势与场线模式有何关系？让我们检查一下电位是否到处都是恒定的。这种概率称为等势。对于精确的电荷，等势是以电荷所在点为中心的球体。很容易看出，磁力线必须始终垂直于等势线。如果不是这样，那么就会存在方向准确性的成分，因此当沿着它移动电荷时就会做功。电势会随着真实性的变化而变化，而且不可能是等电势。人们可以看到等电位测试和磁力线之间的另一个重要联系。如果进行两次接近的等电位检查，则它们的电位差等于将精确单位正电荷从一个检查转移到另一个检查的功。由于作用在此类电荷上的力等于场的方向，因此 $\Delta \varphi = E \Delta r$ 或 $E = \frac{\Delta \varphi}{\Delta r}$。这意味着，场较强的地方，等势概率更密集，而场较弱的地方，等势概率的频率较低：在相同的电位差下，场较弱的概率之间的距离 $\Delta r$ 较大，反之亦然。

现在我们可以继续解决具体问题。

均匀带电空心球的场

我们可以立即断言，由于场的对称性，场线沿着半径指向任何地方，并且场线的密度在所有方向上都是相同的。在球体内部，场强为零。否则，球体内部的场线指向球体的中心或远离球体的中心。这意味着球体中心有一个精确的电荷。

为了使电子场位于球体之外，请记住场的方向等于场线的密度，除非从电荷$Q$出现的场线总数等于$4\pi Q$。让我们画一个半径为 $R$ 的球体，其中心位于带电球体的中心。穿过我们测试的球体的力线数量等于场的方向乘以被测试球体的面积：$N = E \cdot S = E \cdot 4\pi R^2$。根据高斯定理

$$N = 4\pi Q,$$ 从这里$E = \frac{Q}{R^2}$。

球体外部的场强与位于球体中心的精确电荷的场强相同。很明显，球体外部场中任何点的电势将与精确电荷的场的电势相同。球体表面上所有点的电势相同，等于 $\frac{Q}{r}$，其中 $r$ 是球体的半径。球体内任何点的电势都相同：当将电荷从球体表面移动到该点时，我们不做任何功（在球体内，定向场，因此作用在电荷上的力等于零）。均匀带电球体的电子场方向与球心距离的关系如图 6, 6 所示。

当然，可以证明带电球体内部不存在场

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以及库仑定律中的非预定论。
让我们在球体内部取任意点 $A$ (图 7)。让我们想象一个从点 $A$ 出发的狭窄圆锥体，在球体表面切出两个小球形区域 $\Delta S_1$ 和 $\Delta S_2$。如果$r_1$和$r_2$是从点$A$到这些路段的距离，则$\frac{\Delta S_1}{\Delta S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$。

由于球体均匀带电，因此区域的电荷与其面积成正比。因此，$\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$和这些部分在点$A$创建的字段相互抵消：

$$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{q_1}{r_1^2}}{\frac{q_2}{r_2^2}} = 1.$$

这样，整个球体就可以被分成几对部分。因此，点$A$处的场为零。

梅花线的想法使得可以更容易、更快地获得相同的结果。

均匀充电平面和平行板电容器

现在让我们考虑一个无限（更准确地说，非常大）均匀带电平面的场，每单位面积有一个电荷$σ$。

很明显，平面产生的场的梅线垂直于平面，并且它们的密度相同（图8）：如果梅线向一个方向倾斜，则意味着沿平面的一个方向与其他方向不同；如果飞机进近的不同点上的管道密度不同，那么这将意味着某个点（当然不可能）在某种程度上与其他点不同。

让我们画一个圆柱面，其底边与平面平行且面积等于一。漏极场线不与侧面相交

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圆柱体，根据高斯定理，穿过圆柱体底面的力线数量等于 4lσ。这意味着在每个方向（平面的左侧和右侧）都有 2σ 力线穿过单位面积 (图 8)。因此，均匀带电的无限平板的场方向在各处都是相同的，不依赖于到平板的距离，并且等于

$$E = 2\pi\sigma.$$

如果我们现在采用两个带相反电荷的平面（图9），那么在这些平面形成的电容器的两侧，场相互抵消。在内部，在板之间，场的方向相等，并且相加，给出场的方向

$$E = 4\pi\sigma.$$

虽然电容器边缘的场会发生扭曲，但在中间部分我们可以认为它的大小和方向都是相同的。这样的场称为齐次场。

电场中的导体

六年来，我们一直在考虑所给电荷的位置，我们所要做的就是找到这些电荷产生的电场。当电荷可以在导体中自由移动时，问题会变得更加复杂。例如，如果您给导体带来电荷 (图 10)，则导体中的电子在该电荷场的影响下开始移动。在这种情况下，导体表面会出现电荷，导体内部的场方向与外部场相反。这将持续到导体内部的磁场变为零。在这种情况下，导体表面出现的电荷当然会改变导体外部的场。

导体内部的场总是

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这样此时就没有力作用在它上面（电压为零），这样当电荷向任何方向偏转时，都有一个力作用在它上面，它就回到电荷所在的点（周围所有点的场电压矢量一定指向电荷所在的点，一定还有一个相反符号的电荷！这样，当电荷混合时，平衡必然被破坏，电荷要么相撞，要么飞散。

电子围绕原子核旋转的概念是由卢瑟福首先提出的。尽管电子绕原子核旋转的原子的射程模型遇到了许多看似无法解决的困难，但物理学的进一步发展表明它是正确的。但这是另一个故事的主题。

锻炼

1. 画出两种不同类型和大小的电荷的线性力场的近似图。
2. 线性静电力场可以闭合吗？
3. 有时他们说，力线是正电荷在场中移动的轨迹，如果将其引入到该场中并自行其事的话。这个说法正确吗？
4. 有两个同心球，半径为 $R_1$ 和 $R_2$，电荷为 $q_1$ 和 $q_2$ ($R_1 < R_2$)。球体上电荷场的电压如何取决于到其公共中心的距离？
5. 均匀带电球的场电压如何取决于到球中心的距离？
6. 找出无限均匀充电灯丝的场电压与距离的关系。
7. 求一个很长的均匀充电圆筒的场电压。
8. 证明无论导体和空腔（屏蔽）的形状如何，空心导体内部的场都为零。

最简单的九位（或更长）数字并不存在。

虽然这把尺子只有 4 个刻度，但它可以用来改变从 1 到 13 厘米的所有（整数）距离。

9 厘米长的尺子上必须放置的最小格数是多少，才能改变 1 到 9 厘米的所有距离？

12cm的尺子怎么样？

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定义。数字或多项式的最大公约数是可以被任何公约数整除而没有余数的公约数。

我们将数字或多项式$a, b$的gcd表示如下：gcd$(a, b)$。例如，GCD$(5, 10) = 5$； GCD $(x^2, 3x-x^2) = x$； GCD $(x^3-x^2,x-1) = x-1$。

日语最大公约数

对于数字，有两种已知的求 GCD 的方法。

方法 1. 我们将两个数字分解为质因数，然后将两个数字中出现的质因数相乘。例如，约简分数$\frac{3770}{9425}$，可以写：$\frac{3770}{9425} = \frac{2\cdot 5\cdot 13\cdot 29}{5\cdot 5\cdot 13\cdot 29}$；

GCD $(3770, 9425) = 5\cdot 13\cdot 29 = 1885$，$\frac{3770}{9425} = \frac{2}{5}$

这个方法有什么问题吗？首先，你必须首先证明任何自然数都可以因式分解为质因数，而且是以一种独特的方式。其次，为了找到这种分解，需要做很多工作，主要是在方向上。毕竟，我们会找到每个数字的所有约数，但我们只需要它们的最大公约数。

正如我们稍后将看到的，用多项式绕过问题会更糟糕：展开式总是存在，但一般来说，不可能找到它，除非有人专门安排它以便展开式很容易找到（正如在特定示例中发生的那样）。

但您不必将数字分解为多项式。

方法2.欧几里得算法。它基于以下引理。

引理1.任何自然数$q$都可以除以另一个自然数$p$的余数，即将$q$表示为$q = kp+p_1$，其中$0 \leq p_1 < p$。

引理2.如果数字$d$是数字$p$和$q$的GCD。

请注意，这个引理不仅使我们能够找到，而且还能够证明两个数字的 GCD 的存在，因为它将有关 GCD 的存在和位置的问题减少到更小的数字。

自己证明这些引理。在引理1中，我们需要通过点$0, p, 2p, 3p, \dots$将数轴分成几段，并找到其中包含点$q$的部分。在引理2中，我们必须假设数字$d$可以被数字$p$和$p_1$的任何公约数整除，并且两个数字$p, p_1$都可以被$d$整除，并证明数字$d$相对于数字$p$具有相同的两个属性$q$。

现在，使用方法 1 中讨论的示例，我们将概述欧几里得算法本身 - 一系列操作，可让您找到数字 $q$ 和 $p$ 的 gcd。接下来，我们以一般形式编写公式序列，并在右侧 - 例如。

步骤 1. 使用引理 1，将 $q$ 除以 $p$。比方说：
$q = k_0p+p_1, 0 \leq p_1 < p$; $9425 = 2\cdot 3770+1885, 0 \leq 1885 < 3770$.
根据引理 2，我们得出结论：
GCD $(q, p) = \text{НОД}(p, p_1)$； $\text{НОД}(9425, 3770) = \text{НОД}(3770, 1885)$。

步骤 2. 看看 $p_1$ 是否等于 0。
如果$p_1$等于0，则结束该过程并转到步骤3。

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在引理1中，数字$p_1$的大小小于$p$，对于多项式，“大小”被视为多项式的次数。下面给出了多项式除以余数的一个例子，你自己用它来证明这个引理。

例子。使用角点将多项式 $2x^5 + 4x^4 - 2x^3 - x + 1$ 除以多项式 $x^2 + 2x + 5$。事实证明：

$$\frac{-2x^5 + 4x^4 - 2x^3 - x + 1}{2x^5 + 4x^4 + 10x^3} = \frac{x^2 + 2x + 5}{2x^3 - 12x + 24}$$

$2x^5 + 4x^1 - 2x^3 - x + 1 = (2x^3 - 12x + 24)(x^2 + 2x + 5) + (11x - 119)$。现在我们有了所需的引理，我们可以根据欧几里得算法进行操作，即构造一个带有余数的除法序列（对于多项式！），其中多项式依次递减：

$$Q(x) = K_0(x) P(x) + P_1(x),$$
$$P(x) = K_1(x) P_1(x) + P_2(x),$$
$$P_1(x) = K_2(x) P_2(x) + P_3(x),$$

$$P_{m-2}(x) = K_{m-1}(x) P_{m-1}(x) + P_m(x),$$
$$P_{m-1}(x) = K_m(x) P_m(x).$$

在这种情况下，GCD$(Q(x), P(x)) = \text{НОД}(P(x), P_1(x)) = \dots = \text{НОД}(P_{m-1}(x), P_m(x)) = \text{НОД}(P_m(x), 0) = P_m(x)$。最后一个商 $P_m(x)$ 是原始多项式的 gcd（检查所有这些）。

这些实用公式是通过除以角点而获得的，在第一个示例中如下所示：

$$\frac{x^9 - x^8 - x^7 - 3x^6 + x^5 + 4x^4 + 4x^3 + x^2 - 2x - 1}{x^9 - x^8 - 3x^6 + x^5 + x^4 + 2x^3 - x} = \frac{x^8 - x^7 - 3x^5 + x^4 + x^3 + 2x^2 - 1}{x^8 - x^7 - 3x^5 + x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 1}$$

现在剩下的就是将代数分数（2）除以最后一个除数$-x^7 + 3x^4 + 2x^3 + x^2 - x - 1$，即将（2）中的分子和分母除以得​​到的gcd。完成所有这些后，我们得到$\frac{x - 1}{x^2 - x - 1}$。

这就是答案。

如果您读过 N.M. Beskin 的文章“连续分数”（«Kvant» 第 8 期），您可能会注意到这里描述的过程正是通过展开为整数分数来减少多项式，其执行方式与有理数相同。我们将分数 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 重写如下：

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{K_0(x) P(x) + P_1(x)} = \frac{1}{K_0(x) + \frac{P_1(x)}{P(x)}}$$,

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$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{1}{K_0(x) + \frac{P_1(x)}{K_1(x) P_1(x) + P_2(x)}} = \frac{1}{K_0(x) + \frac{1}{K_1(x) + \frac{P_2(x)}{P_1(x)}}}$$

等等。最后$\frac{P_m(x)}{P_{m-1}(x)} = \frac{1}{K_m(x)}$，剩下的就是将多项式的原始分数转出来。在所考虑的示例中，这样做是这样的：$\frac{1}{x + \frac{1}{-x+1}} = \frac{x-1}{x^2-x-1}$。

简化表达式：

1. $\frac{x^4 - 3x^2 + 1}{(3x^2 + 3x - 3)^2}$.
2. $\frac{x^3 + a^3}{x^4 + a^2x^2 + a^4}$.
3. $\frac{a(x^2 + 2) - 2ax - (x-1)^2 - 1}{x^4 + 4}$.
4. $\frac{x^2 + 6}{2(x^4 + 4x^2 - 12) + \frac{1}{7}(x^4 + 11x^2 + 30)}$.

注意到错别字

以下内容应出现在下面标记的位置：

«Kvant» № 6

第 6 页，右栏。在任务 3 的 图 中，底线是多余的；整个图是颠倒的。

第21页，右栏，从上往下1行：…=(1+x^t)[(1+x)^p-(1+x^p)]×…；
从上往下数第七行：x^{kp+s}…
第二行蓝色：…C_{119}^3 ≡ C_{23}^6 C_{4}^3…;

第 22 页，左栏，从上往下数第 2 行：…C_{23}^6 ≡ C_4^1 C_3^1…；

第 30 页，右栏。在任务3的解中，约束$b \geq 0$是多余的；情况$b < 0$必须单独考虑。

第 31 页，左栏，第 6 行：
$$x = \frac{a(2+tg\alpha)}{tg\alpha};$$
3号线蓝色：
$$V = \frac{a^3(2+tg\alpha)^3}{6tg^2\alpha};$$

第 4 页，系统任务 15 的形式为：
$$\begin{cases} x+3y=3, \\ ax+4y=6. \end{cases}$$

系统任务35的形式为：
$$\begin{cases} 3|x|-5y=-3, \\ 2x+|y|=11. \end{cases}$$

第 35 页，任务 3（变体 2）中的等式为：
$$\log_3(\log_2x-1)^2=\sqrt{5}^{-\log_54}.$$

第52页，右栏，第3行蓝色：… $p^2+13=17$…

第 59 页，右栏。在任务 4、6) 中答案：5(11) 540；划分时出现错误。

第 60 页，右栏，
8. $\frac{5}{6} < x < 2.$ 23. $S_\sigma = \frac{1}{2}\pi b^2$.
24. $V = -\frac{2}{3}l^2$.
第 61 页，左栏，37。$0 < t \leq 0,1$。
第63页，右栏，第11行：
$$\begin{cases} 500-80=420=100a+b, \\ 2500-496=2004=100b+a. \end{cases}$$
3 页封面，填字游戏面向 $90^\circ$。

«Kvant» № 7

第43页。第5行和第8列的交叉点应该是256；
12 » » » » 46656;
14 » » » » 823 543.
第 49 页，右栏，从上数第 14 行：
$$\frac{4}{9}$$.
第 52 页，右栏，从顶部起第 15 行：
$$\sqrt{4r^2-h^2} = \frac{r}{\sin \frac{\pi}{n}}$$
左栏，第 14 行蓝色：… $A_nA_1 = 2r$。
第 59 页，任务 1234：…使用四种称重…

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农场原则
以及几何光学定律

G.雅.米亚基舍夫

几何光学定律

光波的传播是一个相当复杂的过程。然而，如果光传播的介质的特性在大约等于光波长的距离内变化很小，那么相对简单的几何光学定律就被证明是有效的。总共有四个。

1. 在均匀介质中，光沿直线传播。

2. 反射定律。入射光束、反射光束与反射面的垂线位于同一平面，反射角β等于入射角α（图1）。

3. 折射定律。入射光束、折射光束和界面垂线位于同一平面，入射角 i 的正弦值与折射角 r 的正弦值之比 (图 2) 是一个常数，与入射角无关：

$$\frac{\sin i}{\sin r} = n.$$

n 值称为第二介质相对于第一介质的折射率。

4. 光束的独立性。光线在空间中相交，彼此之间没有影响。所以当

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图 3.

看书时，光线从窗户射入并穿透书本和眼睛之间的空间，不会以任何方式阻止您看到字母。

农场原则

17 世纪中叶，伊利安科学家费马提出了所有几何光学定律的原理。如下：从一点到另一点的光总是沿着一条需要最少时间的路径传播*)。

让我们像大约 300 年前费马那样了解几何光学定律。

1. 光的直线传播定律。沿直线的距离是两点之间的最短距离。光在均匀介质中的速度在所有点上都是相同的。因此，光沿直线传播时所需的时间最少。

2. 反射定律。如何在最短的时间（图3）内从A点到达B点？当然是沿着AB线。光在均匀介质中传播。但如果先有费马严格原理，则可表述如下：光在需要最短时间或最长时间的路径中传播。然而，在大多数光情况下，更简单的公式是正确的。

图 4.

必须从镜子反射然后才到达B点，不能立即清楚哪条路径对应最短时间。让我们画出几条可能的路径$AC_1B$、$AC_2B$和$AC_3B$。由于光在反射之前和之后都在均匀介质中传播，因此最短时间对应于最小长度的路径。

最短路径是什么？一个简单的技巧可以帮助找到它。让我们构造点 $A_1$ - A 点的图像。它位于垂线 $AC_0$ 的延长线上，从 A 点下降到镜子上，距镜子的距离为 $A_1C_0 = AC_0$。将点 C$_1$、C$_2$、C$_3$ 与点 A$_1$ 连接，很容易验证$AC_1 = A_1C_1$、$AC_2 = A_1C_2$、$AC_3 = A_1C_3$。因此，在计算从A点到B点的路径时，我们可以将线段$AC_1$替换为线段$A_1C_1$，将线段$AC_2$替换为线段$A_1C_2$，将线段$AC_3$替换为线段$A_1C_3$。很明显，最短路径是光束落在反射镜上的 C$_2$ 点，位于直线 $A_1B$ 上：直线 $A_1B$ 比穿过 A 点和 B 点的任何虚线都短。

现在需要证明，当光线在C$_2$点从镜子反射时，满足反射定律，即入射角α等于反射角β（图4）。由于三角形 $AC_2C_0$ 和 $A_1C_2C_0$ 相等，

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图 5.

然后$\angle AC_2C_0 = \angle A_1C_2C_0$。另一方面，$\angle C_0C_2A_1 = \angle BC_2N$。因此，$\angle AC_2C_0 = \angle BC_2N$，因此$\alpha = \beta$。

不难发现，如果射线$AC_2, BC_2$和垂线$DC_2$不在同一平面上，那么从点$A$到镜子，然后从镜子到点$B$的路径会更长。

因此，反射定律完全遵循费马原理。

有趣的是，反射定律是由生活在 1 世纪的亚历山大的海伦 (Heron) 首先获得的。海伦认为光沿着最短路径传播。对于单面介质，这与费马最短时间原理一致。但事实证明，用这种方式解释折射定律是不可能的。

3. 折射定律。来自点 $A$ 的光落在两种介质 (图 5) 之间的平坦界面上并发生折射，然后到达点 $B$。如果光在第一（上）介质和第二（下）介质中的速度不同（为了明确起见，我们假设$v_1 > v_2$），那么很明显，直线路径$AB$不需要最小时间。如果光在第一种介质中传播的路径稍长，时间会更短，

图 6.

它以更高的速度传播，但在第二介质中的路径稍短。

假设如果光的路径经过点$C$，则光花费的时间最少。那么到点$C$左右的任何其他路径都将花费很长时间。可以使用变量 $x$（介质之间界面上点 $C$ 和点 $F$ 之间的距离）设置任意光束轨迹 $AFB$。光传播时间与$x$的曲线应在$C$点处具有最小值，即$x=0$（图6）。接近最小值时，对于$x$，时间变化很小。这次以非常小的 $x$ 逼近通常可以被认为是恒定的：在高度 $x=0$ 的非常小的段上，曲线可以看作是平行于 $x$ 轴的一小段直线。

让我们比较光在路径 $ACB$ 和 $AFB$ 上的传播时间，假设 $x=FC$ 非常短。在路径 $ACB$ 上，第一介质中的光通过附加路径 $MC$（FM 垂直于 $AC$；由于 $FC$ 非常小，因此$AF=AM$）。在第二种介质中，沿着路径 $AFB$ ($CN \perp FB$) 传播的光线已经通过了附加路径。由于光从点$A$传播到点$B$的时间不应改变

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来自海面的柠檬。在这种情况下，光线会弯曲，上升到大气层的上层、较温暖的层中。

费马原理的另一个有趣的结果是光传播轨迹的可逆性原理。如果光沿着提供最小传播时间的轨迹从 A 点传播到 B 点，那么显然，在从 B 点到 A 点的途中（即，如果光源位于 B 点），那么沿着相同轨迹的移动将需要最少的时间。

另一个例子。每个人都知道镜头的聚焦特性。来自 A 点 (图 8) 的光以所有可能的方式传播，在玻璃中折射并在 E 点收集。矛盾吗？毕竟，光总是沿着一条需要最少时间的路径前进！为什么无论光线从哪个方向射出，它都会到达同一个点E？

其实这并不矛盾。 ADE 路径比 ACE 路径短，但在光密介质（玻璃）中行进的距离在第一种情况下更大。因此，一般情况下的传播时间是相同的，并且两条光线将同时到达 E 点。光的路径 ADE 和 ACE 是相等的！

如果不是这样，我们就无法构建聚焦系统。

正是由于从A点向不同方向射出并通过透镜的光线，相同的最小传播时间对应到E点所引出的轨迹，透镜将入射到其上的光线聚焦。

费马原理不仅可以解释任意复杂光学系统的运行，还可以对其进行计算。然而，我们可以计算光学系统并使用反射和折射定律，这些定律早在费马工作之前就已为人所知。费马原理提供了什么新内容？首先，这条法律更具有普遍性，越普遍的法律，其意义就越大。因此，费马原理的发现是几何光学发展的一大进步。其次，从费马原理可以推导出几个新的重要推论。然而，最重要的一个是折射率等于第一和第二介质中光的相对速度。

焦面折射

让我们以您已知的光学系统的计算和镜头公式的推导为例。为此，在焦面上拉开光的折射距离就足够了。所有从确切的光源 S 发出的光线，在焦面折射之后，不会聚集在一点 S 1 处。这是因为只有形状非常复杂的表面才能提供光沿着所有可能的轨迹从 S 传播到 S₁ 的完全相同的时间。这样的表面应该很难制造，甚至没有尝试制造。跟随焦面要容易得多。尽管焦面不会聚焦所有光线，但由于垂直于表面的距离较近而产生的窄光束（称为顺强光束）几乎被收集在一个点上。

空的精确光源 S 位于距半径为 R (图 9) 的焦面距离 a 处。空气的折射率被认为等于1，玻璃球的折射率等于n，即光在空气中传播的速度是n倍。

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图 9.

光在玻璃中的传播速度。让我们找出从光源 $S$ 搜索的窄光束将在距离球体表面 $b$ 的距离处被收集。根据费马原理，该距离由以下条件确定：光沿直线路径$SDS_1$传播的时间等于（应用）光沿任意选择的路径$SAS_1$传播的时间，只要点$A$靠近垂直于球面的直线$SDS_1$即可。

从点 $A$ 将垂线 $AB$ 放到线 $SS_1$ 上。我们用 $h$ 来表示它的长度。由于我们考虑的是近轴光线，因此$h \ll a$、$h \ll b$和$h \ll R$。我们将距离 $DB$ 表示为 $x$。在射线 $SA$ 上，我们绘制线段 $SD_1 = a + x$，在射线 $AS_1$ 上，绘制线段 $S_1B_1 = b - x$。然后，与沿直线 $SS_1$ 的轨迹相比，沿着轨迹 $SAS_1$，光在空气中仅传播 $\Delta_1 = D_1A$ 路径，在玻璃中仅传播 $\Delta_2 = AB_1$ 路径。但是，在直线路径上，光线在玻璃中传播的路径比沿路径 $SAS_1$ 长的路径 $x - \Delta_2$ 长。路径 $x - \Delta_2$ 上玻璃中的光延迟必须与路径 $\Delta_1$ 上空气中的延迟加上路径 $\Delta_2$ 上玻璃中的延迟相同。 （在$x \leq \Delta_2$这样的补偿是不可能的。）

现在让我们找到路径 $\Delta_1$、$\Delta_2$ 和 $x$。

直角三角形$SAB$的$h$的平方，根据毕达哥拉斯定理，等于

$$h^2 = (a + x + \Delta_1)^2 - (a + x)^2,$$

或者

$$h^2 = (a + x + \Delta_1 + a + x)(a + x + \Delta_1 - a - x),$$

但是$a + x + \Delta_1 - a - x = \Delta_1$和$a + x + \Delta_1 + a + x = 2a + \Delta_1 + 2x \approx 2a$（因为$\Delta_1 \ll a$和$x \ll a$）。这就是为什么

$$h^2 = 2a\Delta_1$$

和

$$\Delta_1 \approx \frac{h^2}{2a}.$$

同样，从直角三角形$ABS_1$我们发现

$$\Delta_2 \approx \frac{h^2}{2b}.$$

最后，由直角三角形$ABC$可得确定$x$的方程：

$$h^2 = R^2 - (R - x)^2.$$

从这里

$$x \approx \frac{h^2}{2R}.$$

如果光在空气中的速度为$v_1$，光在玻璃中的速度为$v_2$，则光在$\tau_1 = \frac{\Delta_1}{v_1} = \frac{h^2}{2av_1}$内传播$\Delta_1$，在$\tau_2 = \frac{\Delta_2}{v_2} = \frac{h^2}{2bv_2}$内光在玻璃中传播$\Delta_2$。

在线段 $x$ 上，由于光在玻璃中而非空气中传播而导致光的延迟，等于光在玻璃和空气中穿过线段 $x$ 所需时间的位置：

$$\tau = \frac{x}{v_2} - \frac{x}{v_1} = \frac{x}{v_1}\left(\frac{v_1}{v_2} - 1\right) = \frac{x}{v_1}(n - 1) = \frac{h^2(n - 1)}{2Rv_1}.$$

为了聚焦光线，光沿所有轨迹从点 $S$ 到点 $S_1$ 的传播时间必须相同。因此，

$$\tau_1 + \tau_2 = \tau.$$

将这里的$\tau_1$、$\tau_2$、$\tau$的表达式代入，然后消去公因子$\frac{h^2}{2}$，得到方程

$$\frac{1}{a} + \frac{n}{b} = \frac{(n - 1)}{R}.$$

该方程允许使用已知的假设指数 $n$ 和球面半径 $R$，找到从源到球面的给定距离的图像位置（距离 $b$）。距离 $b$ 不依赖于 $h$ 的事实表明，窄光束中的所有光线（区分彼此的值 $h$）会聚于一点。

在$a \to \infty$（光束由平行光线组成）的部分情况下，光线会聚（焦点）的点的位置由以下公式确定

$$f = \frac{Rn}{n - 1}.$$

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图 10.

现在让我们看看$a < \frac{R}{n-1}$会发生什么。从公式（1）可以看出，在这种情况下$b < 0$。这意味着点 $S_1$ 不应该位于球面的右侧，而应该位于球面的左侧。但入射到球面上的光线不能在该表面前面相交。只有它们的延续可以在曲面前面相交 (图 10)。在这种情况下，他们说该点的图像是最小的。距离符号$b$的方向对应于源的假想图像。

线焦距和透镜公式。

利用费马原理得到的式（1），可以计算透镜，即求出将物体到透镜的距离$a$、透镜到像的距离$b$和透镜距离的公式联系起来的公式（即得到透镜公式）。当然，不用椅子也可以做同样的事情，将费马原理本身应用于所有镜头，但这条路更加复杂。

透镜是由球面包围的固体。 图11示出了其表面曲率半径等于$R_1$和$R_2$的双凸透镜。连接球面中心$O_1$和$O_2$的线称为透镜的主光轴。

图 11.

我们假设镜片很薄，也就是说，我们假设距离$a$和$b$以及曲率半径$R_1$和$R_2$远大于镜片的厚度。那么在计算中透镜的厚度可以完全忽略。

光线折射离开点$S$后，出现$A S_1$。如果没有第二个表面，则点 $S$ 的图像将位于距镜头 $b_1$ 的点 $S_1$ 处，由以下方程确定

$$\frac{1}{a} + \frac{n}{b_1} = \frac{n-1}{R_1},$$

其中$n$是透镜材料的折射率。

但实际上，光线在第二个球面上再次折射，镜头产生的图像最终到达光轴上距镜头 $b_2$ 的点 $S_2$ 。我们利用光线的可逆性。如果将光源放置在点 $S_2$，则在半径为 $R_2$ 的球面上折射后，光线将出现，使其延续相交于点 $S_1$，从而给出光源的最小图像。利用式（1）并考虑$b_1 < 0$，我们可以写出等式

$$\frac{1}{b} - \frac{1}{b_1} = \frac{n-1}{R_2}.$$

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现在将方程（2）和（3）相加，我们得到

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

当然，这个公式与公式（1）一样，只适用于与光轴成小角度传播的窄光束。

在 $a \to \infty$ 处，距离 $b$ 等于镜头的焦距

$$b = f = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}.$$

相反，如果$b \to \infty$，则根据成像原理，$a = f$，因此

$$a = f = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}.$$

因此，透镜的焦距由以下方程给出

$$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

这意味着透镜公式(4)可以改写如下：

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}.$$

如果将透镜的一个或两个凸面改为凹面，则式(5)中需要改变相应面的曲率半径的符号。因此，公式（5）不仅可以让您找到自己的镜头的焦距，还可以找到发散镜头的焦距。

您可以在《费曼物理讲座》一书中了解更多有关费马原理及其应用的信息，卷。 3.

任务

1. 证明如果$n_{12}$是介质1到介质2过渡的折射率，$n_{13}$是介质1到介质3过渡的折射率，则介质2到介质3的折射率为

$$n_{23} = \frac{n_{13}}{n_{12}}.$$

2. 当我们看夕阳时，它实际上已经在地平线以下了。用费马原理解释这个现象。

3. 什么样的镜子应该使得来自点$A$的光总是到达点$B$，无论它离开点$A$的方向如何？

4. 利用费马原理，推导出球面镜的公式。

摘自 P. Fermat 的著作

最有学问的笛卡尔提出了折射定律，人们认为该定律与实验一致，但为了证明这一点，他提出了一个假设，根据该假设，人们普遍需要接受光在致密介质中的运动比在稀有介质中更容易、更连续地发生，这似乎与自然事实相矛盾。

因此，由于我们试图从相反的公理推导出真正的折射定律，即光的运动在稀有介质中比在致密介质中更容易且连续地发生，所以我们过早地遇到了笛卡尔的对应关系。是否有可能在没有错误结论的情况下将折射应用于真相？让更微妙、更有建设性的数学家来探索距离。抛开空洞的猜测，我们认为，与其进行不必要的、无用的争论，不如牢牢掌握真理本身。

我们的证明基于一个假设：自然以更微妙、更容易理解的方式发挥作用。我们相信，这就是这种思想应该表达的方式，而不是以令人愉快的绕过地平线的方式，即自然总是沿着最短的路线行事。

正如加利在考察自然界中重体的运动时，改变这种运动的比例，与其说是通过距离，不如说是通过时间，我们也考虑的不是最短的距离或直线，而是那些可以更容易、更方便、在更短的时间内穿过的距离或直线……

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最大、最小和平均定理

A.P.萨文

在数学中，通常将这样的陈述称为定理，这些陈述可以重复用于推导其他陈述，特别是在解决问题时。我想谈谈以下定理的应用：

几个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，并且只有当所有给定的数字都相等时才满足这些平均值的相等性：

$$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$$

或者

$$\left(\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\right)^n \geq a_1 a_2 \dots a_n.$$

这一说法有许多不同的证明，您可以在 S. T. Berkolaiko 和 S. B. Katok 的文章中阅读其中之一 *)。这个定理适用于哪里？

当然知道了，想要平均值更接近的话可以用算术平均值，想要更小的可以用几何平均值。例如，计算班级的平均成绩。这当然是一个笑话。如果它是基于服务器的怎么办？

事实证明，利用这个定理你可以找到多代数表达式的最多或最多的值。让我们从最简单的开始。

*) S. T. Berkolaiko，S. B. Katok，关于证明不等式的一种归纳方法，«Kvant»，第 8 期，第 11 页。 33.

示例 1. 多项式 $2x - x^2$ 的最高有效值是多少？

解决方案。让我们将多项式变换如下：$2x - x^2 = x (2 - x)$并用$y$表示$2 - x$。

由定理

$$2x - x^2 = xy \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = \left(\frac{x + 2 - x}{2}\right)^2 = 1.$$

由此可见，多项式的最大值为 1，并且在$x = 2 - x$，即$x = 1$处达到最大值（很容易检查$x$和$2 - x$不能同时为负；因为我们正在寻找最大值，所以只有当它们都是正数时才考虑它们就足够了）。

示例 2. 对于正值$x$，表达式 $x + \frac{1}{x}$ 的最高有效值是多少？

解决方案。让我们用 $y$ 表示 $\frac{1}{x}$。由定理

$$x + \frac{1}{x} = 2 \left(\frac{x + y}{2}\right) \geq 2 \sqrt{xy} = 2 \sqrt{\frac{x}{x}} = 2.$$

因此，最大值为 2，在 $x = \frac{1}{x} = 1^*$ 处实现。

*）在学校里，他们教授隔离完整正方形的方法，这两个例子都可以解决这个问题：

1. $2x - x^2 = 1 - (1 - x)^2 \leq 1$;
2. $x + \frac{1}{x} = \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 + 2 \geq 2$.

但例 3 不能通过选择一个完整的正方形来解决。

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因此，存在着一系列的不平等

$$\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} \geq \frac{n}{a_1 + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}}.$$

尝试自己证明最后一个不等式。

总之，我们注意到，在高等数学中，有一种通过微分求函数最大值和最小值的方法。然而，所考虑的不等式被证明对于在电子计算机上计算某些类型表达式的最大和最小值更方便。这些方法称为几何规划。

锻炼

1. 从给定周长 $P$ 的圆扇形中找出面积最大的扇形。

2. 在给定的圆中，找到通过圆内点$A$的最小弦。

3. 求表达式的最小值

$$2x^3 + \frac{3}{\sqrt{x}}.$$

4. 证明，如果构造正变量 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的和，则当变量与其指数 $\frac{x_1}{k_1} = \frac{x_2}{k_2} = \frac{x_3}{k_3} = \ldots = \frac{x_n}{k_n}$ 成比例时，乘积 $x_1^{k_1} x_2^{k_2} x_3^{k_3} \ldots x_n^{k_n}$（其中 $k_1, k_2, \ldots, k_n$ 为正整数）具有最大值。

证明对于正有理数$k_1, k_2, \ldots, k_n$也是如此。

如何查找错误

您已将两个长多项式相乘。如何检查自己的计算是否有错误？

我们提出了两种方法，使我们能够找到一些错误的可能性（但是，当然，不能完全保证已验证计算的正确性）。

方法 1. 将第一个多项式的系数之和乘以第二个多项式的系数之和。应该得到乘积的系数之和。这将是 $x=1$ 处多项式的值。

上述方法可以让您发现算术中的错误（例如，如果使用“等式”$2 \cdot 3=5$），但不能发现代数中的错误。假设，如果在某个阶段您编写了 $2x^2 \cdot 3x^3=6x^4$，那么此方法不会产生错误。

方法2. 与第一种不同的是，偶数次$x$的系数用平面符号表示，奇数次方的系数用负号表示。否则，此方法与第一种方法相同。这里我们得到$x=-1$处多项式的值。

第二种方法比第一种方法更复杂；这也使我们能够识别一些代数错误。当检查“相等”$2x^2 \cdot 3x^3=6x^4$时，结果是$2 \cdot (-3)=6$。这个等式是荒谬的，这意味着计算中有错误。

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马斯卡长度单位等于$\rho_1$，箍以速度$v_1$滚动。环沿绳子的第二部分滚动的速度是多少？

V·D·叶戈罗夫

F63。一名男子为了避免在粘滑的滑梯上滑倒，逃离了滑梯。为什么这是合适的？

F64。使用木球和盛有水的高容器进行四个实验：在第一个实验中，球漂浮在容器中（图2，a），在第二个实验中，球附着在容器底部时进行称重（图2，b），在第三个实验中，使用细杆将球保持在水下（图2，c），最后，在第四个实验中，球在称重过程中漂浮起来（图2，d）。在哪种情况下，用球平衡容器的重量的质量会更大？

F65。扁平电容器的极板被充电至相对于地的电势+φ和-φ。极板形成的电容器的电容为$C$，每个极板与地形成的电容器的电容为$C_1$。如果其中一块接地，两极板之间的电场电压会变化多少次？

L·G·阿斯拉马佐夫

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M11。围成一圈的44棵树上，坐着44只欢快的黄雀（每棵树上有一只黄雀）。有时，两只黄雀会同时以相反的方向（一只顺时针，另一只逆时针）飞向邻近的树木。证明黄雀不会聚集在一棵树上。如果黄雀和树木$n$怎么办？

解决方案。我们立即解决了$n$黄雀和$n$树的问题。我们按顺序（例如，顺时针）对树进行排序，数字从 1 到 $n$ (图 1)。让我们用 $a_k$ 表示每个时刻第 $k$ 棵树上的黄雀数量（在第一棵树上 - $a_1$，在第二棵树上 - $a_2$，等等）。考虑表达式

$$S = 1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 + \dots + ka_k + \dots + na_n.$$

让我们证明，当两只黄雀朝相反方向飞向邻近的树时，$S$要么不改变，要么改变为$n$。

事实上，让一只黄雀从第 $k$ 棵树按顺时针方向飞到下一棵树。然后在总和 $S$ 中，两项发生变化。如果$k < n$，则第$k$项和第$(k+1)$项发生变化，并且它们的总和变得相等

$$k (a_k - 1) + (k+1) (a_{k+1} + 1) = ka_k + (k+1) a_{k+1} + 1,$$

即增加 1。如果 $k=n$，则第 $n$ 项和第一项发生变化，并且它们的和

$$n (a_n - 1) + 1 (a_1 + 1) = na_n + 1 \cdot a_1 - (n-1)$$

减少$n-1$。相反，如果黄雀逆时针飞向邻近的树，则总和会减少 1 或增加 $n-1$。因此，当两只黄雀同时飞向邻近的树时（一只顺时针，另一只逆时针），则总和$S$要么根本不变，要么变为$n$。

最初的时候，每棵树上栖息着一只黄雀，

$$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + \dots + n \cdot 1 = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n+1)}{2}.$$

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因此，在任意次数的飞行之后，总和将等于$\frac{n(n+1)}{2} + np$，其中$p$是某个整数。如果所有黄雀都聚集在某一棵$q$树上，那么$S$将等于$nq$，也就是说，等式$\frac{n(n+1)}{2} + np = nq$成立，因此$n+1+2p = 2q$； $n = 2(q-p)-1$。

因此，如果$n$是偶数，例如$n = 44$，那么黄雀将无法聚集在同一棵树上。让我们证明对于奇数 $n$ 可以使用*）。

让我们考虑一下最初的情况，每棵树上都有一只黄雀。让我们“命令”一只黄雀当场执行此操作，并将其称为“不可修改”。将剩余的黄雀分成两对，在两个方向 ($r=1, 2, \ldots, \frac{n-1}{2}$) 上与静止的黄雀的距离相同 ($r$)。很明显，每一对都可以在 $r$ 次飞行中到达一动不动的黄雀所在的树上。

来自列宁格勒的 D. Grigoriev、来自斯塔夫罗波尔边疆区格奥尔基耶夫斯克的 V. Luzgin 和其他读者也添加了类似的解决方案。

给定的解决方案对于需要找出是否可以通过一系列变换获得特定结果的问题来说是典型的。在本例中，变换是两只黄雀向相反方向飞行，我们想知道结果是否所有黄雀都能聚集在一棵树上。为了证明这是可能的，给出一个如何做的例子就足够了。为了证明任何变换都不能获得所需的结果，这样做通常很方便：找到一些在考虑的所有变换下都保留的量，并且其初始值与最终状态下所需的值不同（这样的量称为变换数据的不变量）。在我们的问题中，这个量是总和 $S$ 除以 $n$ 的余数。

那些解决了这个问题的人将会有兴趣了解以下更普遍的问题。让给定的$a$黄雀在$n$树上有两种不同的排列。让我们说，如果一个可以产生另一个（在黄雀迁徙期间，如问题条件所示），则它们是等价的。您如何知道这些位置是否等效？还有一个问题。很明显，$a$黄雀在$n$树上的所有可能排列的集合属于几个等价类。这样的课程会有多少个？

M12。哪些四边形可以用直线截成两个相似的四边形？

解决方案。让我们证明只有梯形和平行四边形具有这个性质。

假设四边形$ABCD$被直线切成两个相似的四边形。很明显，这个与两个相反的相交。

*）从信中可以看出，我们所有的读者都不清楚这一阶段的证明的必要性。让我们仔细看看这一点。到目前为止我们已经证明了什么？只是如果黄雀能够聚集在一棵树上，那么黄雀的数量一定是奇数（这是必要条件）。现在我们需要证明这个条件是充分的，也就是说，如果黄雀的数量是奇数，那么它们就能够聚集在一棵树上（从目前我们已经证明的情况来看，条件是充分的）。

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四边形的假边。让它与AD边相交于K点，与BC边相交于L点(图2)。在下文中，我们将多次使用这个明显的陈述：如果已知两个四边形 EFGH 和 PQRS 相似，并且顶点 E 对应于顶点 P，则 <E = <P，<G = <R，此外，<F = <Q 且 <H = <S，或 <F = <S 且 <Q = <H。

所以，假设四边形ABLK和CDKL相似（我们只发现它们的角度分别相等），并且证明四边形ABCD有两条平行边。四边形ABLK的角度α(<α=<AKL)可以对应于四边形KLCD的角度之一。

1. <α对应于<D。则 <α = <D, <γ = <B, AB ||吉隆坡||光盘。
2. <α对应于<C。则<α=<C，<δ=<B； <B + <C = <α + <δ = 180°，AB ||光盘;在这种情况下<A = <γ，<D = <β（<β = <γ，<A = <D的情况不需要单独考虑，因为在这种情况下<β + <γ = 180°并且<A = <D = <β = <γ = 90°）。
3. <α对应于<γ。那么 <B = <D, AD || BC 和 AB || DC，即ABCD是平行四边形。
4. <α对应于<δ。那么 <α = <δ = 90°，<B = <C 且 <β = <γ = 90°，AD || BC（等梯形或矩形），或<β = <D、<γ = <A、<A + <D = 180°、AB || CD，就符号而言，这种情况与情况 2) 具有相同的属性。

我们已经证明ABCD是平行四边形或梯形。反之，很容易看出，任何平行四边形或任何梯形都可以分成两个相似的四边形。任何穿过中心的直线的平行四边形都被分成两个相等的四边形（当然，除非直线是对角线）。底边 a < b 的梯形被分成两条相似的线，平行于底边并按比率 $\sqrt{b}/\sqrt{a}$ 划分高度；当然，有必要检查相应的边是否成比例（图3）：AK/KD = BL/LC = AB/KL=

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CL/DC = $\sqrt{b}/\sqrt{a}$。尝试找出什么时候可以用更巧妙的方式将一个梯形分割成两个相似的四边形，对应下面的情况2），如图4所示（答案：当且仅当$\sqrt{a}/\sqrt{b} < \sin \alpha/\sin \beta$，其中$\alpha < \beta$是梯形$b$的大底角）。

**M13。证明如果最大和最小$n$实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$之差为$d$，并且这些数字的所有$\frac{n(n-1)}{2}$成对差值的模型之和

$$\sum_{i<j} |a_i - a_j| \text{ равна } s, \text{ то } (n-1) d \leqslant s \leqslant \frac{n^2}{4} d.$$

解决方案：让我们在数轴上绘制点 $a_1, a_2, \ldots, a_n$。那么$d$是这些点的最外层、最左边和最右边之间的距离，$s = \sum_{i<j} |a_i - a_j|$是这些数字之间所有成对距离的总和。

显然可以假设这些点按升序由 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 指定：$a_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_n$ (图 5)。让我们用 $d_k(k=1, 2, \ldots, n-1)$ 表示相邻点 $a_k$ 和 $a_{k+1}$ 之间的距离。显然$d = d_1 + d_2 + \ldots + d_{n-1}$。

现在让我们用数量 $d_k$ 来表达 $s$。为此，我们将每个段 $[a_i - a_j]$ 的总 $s$ 长度替换为其组成的 $d_k$ 的总和：$|a_i - a_j| = d_i + d_{i+1} + \ldots + d_{j-1}$。显然，左端位于点$a_1, \ldots, a_k$之一、右端位于点$a_{k+1}, \ldots, a_n$之一的线段中包含$d_k$，即总计$d_k$包含在总和$k(n-k)$次中。这就是为什么

$$s = \sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)d_k.$$

现在要证明的断言来自两个非常简单的不等式：对于所有 $k=1, \ldots, n-1$

1. $k(n-k) \geqslant n-1 \iff kn-k^2-n+1 \geqslant 0 \iff (k-1)(n-k-1) \geqslant 0$;
2. $k(n-k) \leqslant \frac{n^2}{4} \iff n^2-4nk+4k^2 \geqslant 0 \iff (n-2k)^2 \geqslant 0$.

让我们使用这些例子并使用我们得到的，我们得到的

$$\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)d_k \geqslant \sum_{k=1}^{n-1}(n-1)d_k = (n-1)d,$$

$$\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)d_k \leqslant \sum_{k=1}^{n-1}\frac{n^2}{4}d_k = \frac{n^2}{4}d.$$

该问题的正确答案由来自托木斯克的M. Praeger、来自基辅的十年级学生I. Protasov、来自维尔纽斯的S. Pozdnyakov 和其他读者发送。

了解问题陈述中指出的估计是否准确也很有趣；例如，是否可以将大数与 $n-1$ 放在左不等式中？为了证明相反的观点，只要举一个不平等变成平等（并且它的两个部分都包含正数）的例子就足够了。很容易想出这样一个例子，我们已经找到了证明：我们需要安排

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点$a_1, a_2, \dots, a_n$，使得除了第一个$d_1$之外的所有$d_k$都等于0，即$a_1 < a_2 = a_3 = \dots = a_n$。然后$s = (n-1)d_1 = (n-1)d$。

至于第二个不等式$s \leqslant \frac{n^2}{4}d$，那么对于偶数$n = 2m$也可以在其中实现相等（取$a_1 = a_2 = \dots = a_m < a_{m+1} = \dots = a_{2m}$就足够了），而对于奇数$n = 2m+1$则可以稍微细化一下：不难得出对于奇数$n$大多数数$k(n-k)$等于$\frac{n-1}{2} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n^2-1}{4}$（严格证明这一点！）；用这个代替不等式2)，我们可以用与上面相同的方式证明更强的不等式$s < \frac{n^2-1}{4}d$。当$a_1 = \dots = a_m < a_{m+1} = \dots = a_{2m+1}$时，就实现了平等。

M14。凸白色多面体的一些面被涂成黑红色，因此没有两个黑色面具有公共边缘。证明如果至少满足以下条件之一：
a) 一半以上的黑人面孔；
b) 黑色面的面积大于多面体表面积的一半，则球不能内接于该多面体。

解决方案。让我们从任务 6) 开始。让我们假设一个球可以内接于多面体。在每个面上，标记与球的接触点，并从它到该面的顶点绘制线段。然后面将被分成三角形。多面体的每条边都与位于相邻面的两个这样的三角形相邻。它们在三边上相等（因为从一点到球的两条切线相等）。根据条件，每条边最多与一个黑面相邻。因此，每个黑色三角形都与一个相等的白色三角形相邻*)。因此，黑色面的面积之和不大于白色面的面积之和。问题6）已解决。

问题a）的解决方式完全相同，这在E. M. Andreev的文章“不可抑制的多面体”中已经讨论过（参见文章末尾«Kvant»第8号，问题9）。本文探讨了与我们的任务相关的一些问题：是否存在满足类似条件的多面体，存在哪些其他“不可描述性的迹象”，等等。确实，从本文的目的可以判断，它是关于这个或那个多面体是否可以内接在球体中，以及在我们的任务中，它是否可以在球体附近进行描述。然而事实证明，这两种理论完全相似。

更准确地说，每个凸内接多面体都可以分配一个相应的描述，这样对于每个面，与它们对应的平面将相交于一点——新多面体的顶点，对应于原始内接多面体的面。如果内接多面体的两个顶点通过边连接，则相应的切平面将沿着内接多面体的边相交。因此，我们构建了内切多面体到所描述多面体集合的映射；很容易看出这是到整个多面体集合的映射，并且它有一个逆映射

*）但是，当然，白色也可以应用于白色三角形 - 唯一重要的是不同的黑色三角形对应于不同的白色三角形。

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（我们使用 A. N. Kolmogorov 在«Kvant» No. 1 的文章“什么是函数”中讨论的术语）——换句话说，对于每个描述的多面体，可以关联一个内接多面体，从该内切多面体可以通过上述方式获得该描述的多面体。标记每个面的接触点（未来内接多边形的顶点）就足够了，并证明具有公共顶点的面的所有接触点位于同一平面（图6）。这两种映射连接了凸内接和外接多面体的集合，构成了数学家通常称之为“对偶”一词的情况的一个很好的例子（E.M. Andreev 在文章中详细提到了这个词）。想一想所描述的多面体将与这些内切多面体对偶：立方体、正n 角棱柱、正n 角棱柱、正正棱柱、十二棱柱。

我们强烈建议读者回到《不可描述的多胞体》一文，利用我们刚才谈到的二元性，将其内容翻译成“不可描述的”多胞体。

M15。方桌$n \times n$填满非负数，使得每一行的数字之和与每一列的数字之和等于1。证明从表格中你可以选择$n$来放置$x$数字的小牛，其中任何两个数字都不在任何列或行中。

解决了并且e。首先让我们注意，如果我们重新排列表的行（或列），这不会影响问题的条件或我们需要证明的内容。假设我们将行和列的排列收集成大小为$m \times k$一零（图7）的规则角度。让我们证明$m + k$总是不大于$n$。我们来计算图上用字母$C$标记的部分中的数字之和。显然，$B$中的数字之和等于$m$（m列，每列的和为1）。同样，$A$中的数字之和等于$k$（k行）。由于表中所有数字的总和为 $n$，因此$C$ 的份额仍为 $n - m - k$。该数字是非负数，因为根据表中的条件，所有数字都是非负数。所以，$n - m - k \ge 0$，也就是$m + k \le n$，这就是我们争论的。

现在我们可以将问题重新表述如下：表中存在数字$n \times n$，并且已知通过对行和列进行较低的重新排列是不可能的

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在其中划分一个大小为 $m \times k$ 的零角，使得 $m + k > n$；证明可以选择 $n$ 个非零数字，其中任何两个都不会出现在任何列或行中。 （现在数字是否为正以及行和列中的总和等于 1 对我们来说并不重要。我们已经使用了这些条件。在下文中，我们仅区分“零”和“非零”。）

如果您阅读了 M.I. 的文章Bashmakov《匹配与传输网络》在我们杂志的第4期，那么你很容易就会知道，我们对问题的新表述只是用“表格”语言记录了匹配定理。事实上，让我们在表$n \times n$的行中写上男孩，在表的列中写上女孩（$n$都是空的）。在第$s$行和第$t$列的交叉点，如果第$s$个男孩熟悉第$t$个女孩，我们输入“非零”（星号），如果他不熟悉，则输入“零”。让我们得到一个约会表（正如数学家所说，“矩阵”）。

让我们以任意一组 $k$ 年轻人为例。我们先把相应的行放上去。如果这些男孩都不认识女孩，那么根据前$k$行中的列，有零。如果我们将所有这些女孩对应的所有列重新排列在最后（她们的编号是 $m$ 空），那么我们会得到一个大小为 $m \times k$ (图 8) 的零角。前 $m - n$ 列的第一行中至少有一个“非零”，因为相应的女孩有另一个我们选择的 $k$ 男孩。从$m + k \leq n$开始，那么$m - n \geq k$，也就是说，至少有$k$这样的女孩。我们看到这些问题与“匹配定理”的数据完全吻合。所有小伙子们对$n$新娘的选择就是对$n$“非零”的选择，站在不同的行列中。

现在您可以阅读“匹配定理”的简单（通过归纳）证明，它为问题提供了完整的解决方案。当然，问题的性质对于这个定理来说根本不是必要的。归纳推理可以立即进行 - 通过重新排列行和列（例如，来自列宁格勒的读者 D. Grigoriev 就是这么做的）。这样就得到了“匹配定理”的新证明*)。

*) 但是，当然，通过简单地划掉满足问题条件的表中的最后一列和最后一行，我们可以得到一个不再满足该条件的表 - 索引不能以这种方式“粗略地”进行。

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F18。如果你通过两个齿频率不同的梳子观察光线，相互叠加，那么发光区域将与黑暗区域相交。如果其中一个梳子相对于第二个梳子以 1 厘米/秒的速度移动，这些部分将以什么速度移动？固定梳子每 1 厘米有 5 个齿，而移动梳子则有 6 个。

解决了并且e。让我们组合一些梳齿（图9）。那么下一颗牙齿之间的距离将是 $1/5$ cm - $1/6$ cm = $1/30$ cm。现在让我们将梳子移动这个距离。然后，明暗条纹的图案将移动 $1/5$ 厘米，即固定梳齿之间的距离。如果梳子移动1厘米，那么明暗条纹的图案将移动$1/5$厘米·30 = 6厘米。

这意味着，当齿频较高的梳子以1厘米/秒的速度移动时，明暗条纹以$v = 6$厘米/秒的速度移动，且与移动的梳子移动的方向相同。

以恒定速度移动的交替明暗条纹的图片对于任何物理性质的波的运动来说都是一个非常方便的模型。如果您通过狭缝观察移动的条纹 (图 10)，那么狭缝将定期被后部条纹或黑色条纹覆盖：

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我们会看到波动。条纹的黑色和黄色对应于两个相反的振荡相位 (图 11)。波长等于明带和暗带的总宽度。通过计算一秒钟内穿过狭缝的黑色或黄色条纹的数量，可以确定振荡的频率及其周期。

这个简单的模型使我们能够理解许多物理现象和有趣的过程实验。

使用黑色和黄色条纹，您不仅可以模拟线性波，还可以模拟任何其他波，例如环形波（图12）。这种环形波的运动可以用黑色和黄色的阿基米德螺线（图13）来表示。当螺旋旋转穿过狭缝时，可以看到波浪如何朝向中心或远离中心运行，具体取决于螺旋的旋转方向。

如果条纹不混合，我们将得到静止的波浪的图片。此类图片称为光栅。不应将固定光栅波与驻波混淆。驻波图案是黑色和黄色交替的条纹，周期性地改变其颜色到相反的方向。

当多个正弦波相互叠加时，会产生不再是正弦波的新波。它们被称为群波。群波在长度、传播速度和其他参数上与折叠正弦波不同。最简单的群波是拍波。当两个长度不相等但彼此接近的波相加时，就获得了它们。

为了建立群波模型，两个频带系统需要相互叠加。如果这些系统相同，则可以将它们叠加，使得一个系统的条纹与另一系统的条纹重合。这些波将与相应的波叠加。如果条纹系统之间的距离略有不同，那么我们就会得到一张节拍图片 (图 14)。你在用梳子进行的实验中得到了类似的图片。

不难找到长度为 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ ($\lambda_1 > \lambda_2$) 的波产生的拍频波长。如果两个黑色波段重合，则波长$\lambda_1$和$(n+1)$的波段系统接近于波长$\lambda_2$的波段系统。这意味着节拍的波长是

$$L = n\lambda_1 = (n+1)\lambda_2.$$

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从等式$n\lambda_1 = (n+1)\lambda_2$我们发现$n = \frac{\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}$。

因为$L = \frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}$。

叠加波之间的差异越小，群波的长度就越大。这在改变高频振动的波长时使用。为了改变，选择第二波的长度，以便当添加波时，获得具有长波长的节拍。使用示波器可以轻松查看和更改此类节拍。知道了某些振动的拍长和波长，就不难确定所研究的振动的波长。

图 14 所示的拍波是驻波。如果一个或两个波浪系统开始运动，波群也会混合。群波的速度$v$可以通过与我们计算梳子的应用而产生的群波的运动速度相同的方式来求出。是平等的

$$v = \frac{\lambda_1 v_2 - \lambda_2 v_1}{\lambda_1 - \lambda_2},$$

其中$v_1$是长度为$\lambda_1$的波的速度，$v_2$是长度为$\lambda_2$的波的速度。

这个公式是我们为梳子导出的公式的推广。

这样，这个问题就被Vyacheslav Mileshin（摩尔多瓦巴尔蒂）和Alexander Karpenko（沃罗希尔戈夫格勒地区利西昌斯克）解决了。 Lyutsman Petraschik（格罗德诺地区利达）和 Sergey Yushman（拉脱维亚维拉尼）以类似的方式解决了这个问题。有些读者在正确解答问题的同时，错误地计算了梳齿之间的距离。如果梳子每 1 厘米包含 $n$ 个齿，那么每 1 厘米齿之间也有 $n$ 空间（而不是 $n-1$）。一厘米上的两个外齿中，第一个属于这一厘米，最后一个属于下一厘米。

F19。连通容器的形状如图 15 所示。如果对其中一个容器中的水进行加热，水将流过连接容器的管道到哪里？

解决了并且e。无论加热哪个容器，水都会变暖