44
ЛАБОРАТОРИЯ „КВАНТА“
КРИСТАЛЫ ИЗ ШАРИКОВ
Г. И. КОСОУРОВ
Первым шагом к пониманию, объяснение и предсказанию свойств кристалла является определение его структуры. Зная конфигурацию atomов в кристаллической решетке и поняв симметрию их расположения, можно, например, заранее сказать, будет ли кристалл пьеозлективком, то есть будет ли на его гранах появляться электрическое напряжение при механическом скатии; будет ли кристалл обладать сегнетозлективным переходом, который проискодит при определении температуре и заключится в том, что внутри кристалла возникнет электрическое поле; будет ли в веществе возникать световая волна двойной частицы, если через него проистить свет лазера и т. д. Структура кристалла — это паспорт, который может многое расскаать о своем владелце.
Познакомиться с различной «упакковкой» atomов в кристалле можно
45
при помощи несложных вспомогательных средств. Воспользовавшись металлическими шариками от подшипников, мы можем строить модели кристаллов, применяя тот же самый прицили, по которому природа строит кристаллы. Именно такому практическому знакомству с некоторыми формами кристаллечских решеток и повсящена настоящая статья. Постройкой пространственных моделей, на которых ясно видны все особенности расположения atoms в сложных структурах, не пребрегает ни один кристаллограф. Но прежде чем приступить копытам, необходимо сделать несколько теоретических замечаний.
Существование кристаллечской решетки обусловлено слиями взаимодействия между atoms. На малых расстояниях преобладают силы отталкивания, которые быстро возрастают при попытке слизить atoms. На больших расстояниях преобладают сравнительно медленно убывающие с расстоянием силы притяжения. При слияжении atoms под действием сил притяжения потенциальная энергия взаимодействия убивает аналогично тому, как убивает потенциальная энергия камня, падающего на землю. На расстоянии, при котором силы притяжения и отталкивания становятся равными, потенциальная энергия имеет минимум, после чего возрастает за счет работы притяжения. Зависимость потенциальной энергии от расстояния выглядит пример так, как показано на рисунке 1. В состоянии равновесия atoms займут места, соответствующее минимуму потенциальной энергии. Когда atomов много, это приведет в конечном случае к периодическому повторению некоторой наиболее выгодной в смысле энергии конфигурации небольшой группы atoms, образующих так называемую элементарную ячейку.
Существуют вещества с очень сложной структурой, как, например, некоторые сликаты, элементарная ячейка которых содержит более двухстот атомов. Другие вещества, например, многие металлы, образуют кристаллечскую решетку по очень простому закону. Мы, естественно, начнем с простейших образований. В наших опытах роль atomов будут играть металлические шарики, слиями отталкивания будут управлять силы, возникающие при соприкосновении шаров, а силу притяжения заменит сила тяжести.
Натяем на ответные круглой банки, коробки или отрезка трубы
46
tonкую резиновую пленку (например, от хирургической перчатки) и закрепим ее с помощью резинового колца. Положим на пленку два шарика. Они слегка прогнут пленку и «притянутся» друг к другу. Их потенциальная энергия в зависимости от расстояния изменяется примерно так, как показано на рисунке 3, что очень похожие на график рисунка 1. Положив на пленку штук тридцать шариков и слегка встряхнуть коробку, мы увидим, что шарики расположатся правильными рядами. Центры шаров будут лежать в вершинах равносторонних треугольников со стороны, равной диаметру шара, а сами шарики заполнят всю плоскость и образуют сеть, которую называют гексагональной*). Каждый шар окружен шестью касающимся его и друг друга шарими. Их центры образуют правильные шестиугольники. (рис. 2).
Если повернуть всю себя вокруг оси, проходящей через центр любого шара, на одну шестую оборота, то один шарь встанут на место других, а общее расположение системы в пространстве остanetся неизменным. Сеть шаров перейдет сама в себя. После шести таких поворотов каждой шар встанет на прежнее место. Кристаллограф скажет в этом случае, что через центр каждой шара проходит перpendикулярная к плоскости шаров ось симметрины шестого порядка. Из-за этих-то осей сеть и получила название гексагональной. Кроме симметрины шестого порядка, имеются также оси третьего порядка, проходящие через центры лунок между шарими. (Ось симметрины третьего порядка — это такая прямая, при повороте вокруг — каждой раз на угол в 120° — мы возврашаемся к первоначальной картине. Тело неправильно формируется ось симметрины первого порядка, то есть оно переходит само в себя только при полном обороте. Например, через центр круга перpendикулярно к его плоскости проходит
*) От греческого «гекса» — шесть и «гония» — угол.
47
В одной из этих систем лунок лягут шары второго слоя, образуя гексагональную сеть соррикацоцихся шаров, подобную первой. Однако сил притяжения за счет упругости пленки может не хватить, чтобы удержать шары второго, а тем более треться слоя. Поэтому, зная, как ложится шары в нижнем слое, сделаем из фанеры lotок в форме правильного треугольника (рис. 5), такой, чтобы вдоль каждой стороны плотно укладываось целое число шаров (в нашей модели их семь), и заполним его шарами первоого слоя.
В какую систему лунок укладывать шары, второго слоя, безразлично, а для третьего слоя системы лунок оказываются неэквивалентными: центры одной системы располагаются над центрами шаров первоого слоя, а вторая система находится над пустыми лунками первоого слоя. Начнем с укладки шаров в лунки, лежащие над шарами первоого слоя. При этом третий слой по расположению шаров в точности повторит первой, четвертый—второй и т. д. Слон будет повторять через один. Мы получим не очень устойчивую парамиду (рис. 6), что, впрочем, связано только с тем, что в нашей модели сла «притяжения» действует только вниз и шары, лежащие в крайних лунках, легко выдавливаются шарами верхних слове.
Подобная укладка шаров называется плотнейшей гексагональной упаковкой. Так кристаллизуют берилли, магний, кадмий, гелий при низкой температуре и давлении более даватии пяти атмосфер. Она имеет только одну систему параллельных плотно упакованных слове. Перpendикулярно к этой системе слове через центр любого шара проходит ось симметричного треугольника. Снижение симметрицы связано с тем, что если проходит через центры шаров, например, четырех слов, являясь для них осью шестого порядка, то для нечетных слове она пройдет через центры лунок, и порядок их симметричного относительно этой оси будет только третий. Тем не менее упаковка называется гексагональной, потому что ее можно рассматривать как две гексагональные решетки отделно четырех и нечетных словев, вдвинутое одна в другую со сливом. Обратите также внимание на то, что пустые лунки во всех слоях находятся друг над другом и через всю гексагональную структуру проходят каналы, в которых вставить стержни диаметром 0,155 диаметра шара. Центры этих каналов также являются осями симметрицы треугольника. На рисунке 6 модели гексагональной структуры представлена со вставленными стержнями.
Теперь будем укладывать шары треугольного слоя в лунки, лежащие над свободными лунками первоого слоя. В зависимости от того, в какую систему лунок мы положим шары второго слоя, могут получить две парамиды (рис. 7 и 8). Первая парамида ограничена правильными треугольниками с гексагональной укладкой шаров в плоскостях граней, которые ничего не отличаются от первого слоя нашей укладки, лежащого в основании парамиды. Другими словами, наша парамида является одним из пятых правильных многогранников — тетраэдром. В полученной упаковке имеется четырьше плотно упаковных слове, нормали к которых совпадают с осями симметрицы треугольника тетраэдра, проходящими через его вершины. В такой укладке ряды повторяют через два на третий.
48
Боковые грани второй парамиды — равноведенные прямогольные треугольники, а сama парамида является частью куба, отсеченной плоскостью, проходящей через диагонали граней, имеющих общую вершину (рис. 9). Укладка шаров на боковых гранах парамиды проискодит по квадратной сетке с рядами, паралельными диагоналям грани куба.
Легко обнаружить, что мы получили не две разные упаковки, а одну, только с разной ориентацией. Достаточно найти удлять шарики, расположенные на ребрах треугольника, как научут обнажаться грани куба, так же, как, убирая шарики, лежащие вдоль ребер куба, мы постепенно превращаем куб в треугольр. Такую укладку называют плотнейшей кубической упаковкой. Так кристаллизация неон, аргон, медь, золото, платина, свинец. Плотнейшая кубическая упаковка обладает всеми элементами симметрики куба. В частности, оси симметрики третьего порядка tetraэдра совпадает с пространственными диагоналями куба, являющимся для него также осями симметрики третьего порядка. В основе построения этой упаковки лежит элементарный куб из четырнадцатей шаров. Восемь из них расположены в верхинах куба и шесть — в центрах его граней. При визмательном рассмотрении второй парамиды (рис. 8) этот куб можно найти в верхине парамиды. Плотнейшую кубическую упаковку можно рассматривать также как совокупность четырех простых кубических решеток, вдвинутых со сдигом одна в другую. При таком рассмотрении становится особенно ясна равноправность всех шаров упаковки. По самому способу получения гексагональной и кубической плотнейших упаковок наложением гексагональных слоев оченьindo, что обе упаковки, несмотря на разную симметрию, имеют одинаковую плотность, или, как говоря, одинаковый коэффициент заполнения.
Если мы сделаем квадратный lotок и уложим шары по квадратной сетке, то тоже получится плотная упаковка. Хотя шары в каждом слое упаковны не самым плотным образом, лунки между шарами будут более глубокими, и поэтому слои расположятся более тесно, чем при гексагональной структуре. Закончив укладку, мы получим четырехгранную парамиду (рис. 10), боковые грани которого являются
49
ляются равносторонними треугольниками с гексагональной укладкой шаров. Если дополить мысленно парамиду такой же, но с вершиной, образенной вниз, то получим третий после терраэдра и куба правильный многогранник — октаэдр, имеющий восемь граней. Нетрудно доказать, что мы получили снова плотнейшую кубическую упаковку, только теперь грани куба паралеллы плоскости основания. Уберите шары, и душие вдоль ребер, и вы обнаружите на верхнем сечении парамиды пять шаров, образующих грань элементарного куба.
С построенными моделями можно проделать ряд физических опытов.
Встрехная резиновую пленку, можно моделировать тепловое движение atomов. (Вы видите, как с «повышением температуры» разрушается правильная укладка шаров.)
Так как один гексагональный слой входит в сравнительно мелкие лунки другого, слой оказываются слабо связанным, в них легко может возникать скольжение. Попробуйте дивигать один гексагональный слой по другому и вы убедитесь, что существует три направления легкого скольжения, в которых слой передвигаются, как целое. То же самое имеет место в кристаллах. Скольжение в этих трех направлениях объясняется особенностью пластического деформации кристаллов.
Модели можно строить из любых шариков. Если нет возможности досать шарики от подшипников, то можно воспользоваться крупными бусами или в крайнем случае рыбной или мелким яблоками. На рисунках 11 и 12 показаны элементарные ячейки кубического и гексагональной упаковок, склеенные из мячей для настоящего тенниса. Этот сравнительный и удобный материал мы рекомендуем для изготовления модели, особенно для школьного физического кабинета.
Укладки соррикасаошихся шаров как плотнейшие, так и другие играют в кристаллографии очень большую роль, и у нас еще будет повод о них поговорить. А пока запасайте шарики и стройте модели!