Tinh thể từ các quả cầu

44

PHÒNG THÍ NGHIỆM “KVANT”

TINH THỂ TỪ CÁC VIÊN BI

G. I. KOSOUROV

Bước đầu tiên để hiểu, giải thích và dự đoán các tính chất của tinh thể là xác định cấu trúc của nó. Biết cấu hình các nguyên tử trong mạng tinh thể và hiểu tính đối xứng của sự sắp xếp của chúng, chẳng hạn, có thể nói trước liệu tinh thể có áp điện hay không, tức là liệu trên các mặt của nó có xuất hiện điện áp khi bị nén cơ học hay không; liệu tinh thể có chuyển pha sắt điện hay không, chuyển pha này xảy ra ở một nhiệt độ xác định và gồm ở chỗ bên trong tinh thể xuất hiện điện trường; liệu trong chất có xuất hiện sóng ánh sáng phân cực kép hay không, nếu chiếu ánh sáng laze qua nó, v.v. Cấu trúc tinh thể là hộ chiếu có thể nói nhiều điều về chủ nhân của nó.

Có thể làm quen với cách “đóng gói” khác nhau của các nguyên tử trong tinh thể

45

bằng những phương tiện phụ trợ không phức tạp. Dùng các viên bi kim loại từ ổ bi, chúng ta có thể xây dựng các mô hình tinh thể, áp dụng đúng nguyên lý mà tự nhiên dùng để xây dựng tinh thể. Bài viết này được dành cho sự làm quen thực hành như vậy với một số dạng mạng tinh thể. Không một nhà tinh thể học nào bỏ qua việc xây dựng các mô hình không gian, trên đó thấy rõ mọi đặc điểm sắp xếp các nguyên tử trong những cấu trúc phức tạp. Nhưng trước khi bắt đầu thí nghiệm, cần nêu vài nhận xét lý thuyết.

Sự tồn tại của mạng tinh thể được quyết định bởi các lực tương tác giữa các nguyên tử. Ở những khoảng cách nhỏ, lực đẩy chiếm ưu thế, và chúng tăng nhanh khi cố đưa các nguyên tử lại gần nhau. Ở những khoảng cách lớn, lực hút giảm theo khoảng cách tương đối chậm chiếm ưu thế. Khi các nguyên tử lại gần nhau dưới tác dụng của lực hút, thế năng tương tác giảm, tương tự như thế năng của hòn đá rơi xuống đất giảm. Ở khoảng cách mà lực hút và lực đẩy trở nên bằng nhau, thế năng có cực tiểu, sau đó tăng lên do công của lực hút. Sự phụ thuộc của thế năng vào khoảng cách có dạng gần như hình 1. Ở trạng thái cân bằng, các nguyên tử sẽ chiếm những vị trí tương ứng với cực tiểu của thế năng. Khi có nhiều nguyên tử, điều này cuối cùng sẽ dẫn đến sự lặp lại tuần hoàn của một cấu hình có lợi nhất về năng lượng của một nhóm nhỏ nguyên tử, tạo thành cái gọi là ô cơ sở.

Có những chất có cấu trúc rất phức tạp, chẳng hạn một số silicat, mà ô cơ sở chứa hơn hai trăm nguyên tử. Những chất khác, chẳng hạn nhiều kim loại, tạo thành mạng tinh thể theo một quy luật rất đơn giản. Dĩ nhiên, chúng ta sẽ bắt đầu từ những cấu trúc đơn giản nhất. Trong các thí nghiệm của chúng ta, các viên bi kim loại sẽ đóng vai trò các nguyên tử, lực đẩy sẽ được thay bằng các lực xuất hiện khi các quả cầu tiếp xúc, còn lực hút sẽ được thay bằng trọng lực.

Hãy đổ vào đáy một lọ tròn, hộp hoặc một đoạn ống

46

một màng cao su mỏng (chẳng hạn, từ một chiếc găng tay phẫu thuật) và cố định nó bằng một vòng cao su. Đặt hai quả cầu lên màng. Chúng sẽ làm màng hơi võng xuống và “hút” nhau. Thế năng của chúng phụ thuộc vào khoảng cách thay đổi gần như được chỉ ra trên hình 3, rất giống với đồ thị ở hình 1. Đặt lên màng khoảng ba mươi quả cầu và lắc nhẹ chiếc hộp, ta sẽ thấy các quả cầu xếp thành những hàng đều đặn. Tâm các quả cầu sẽ nằm tại các đỉnh của những tam giác đều có cạnh bằng đường kính quả cầu, còn bản thân các quả cầu sẽ lấp đầy toàn bộ mặt phẳng và tạo thành một mạng gọi là mạng lục giác*). Mỗi quả cầu được bao quanh bởi sáu quả cầu tiếp xúc với nó và với nhau. Tâm của chúng tạo thành các lục giác đều. (hình 2).

Nếu quay toàn bộ nó quanh một trục đi qua tâm của bất kỳ quả cầu nào một phần sáu vòng, thì các quả cầu sẽ thay chỗ cho nhau, còn sự sắp xếp chung của hệ trong không gian vẫn không đổi. Mạng các quả cầu chuyển thành chính nó. Sau sáu phép quay như vậy, mỗi quả cầu sẽ trở về chỗ cũ. Trong trường hợp này, nhà tinh thể học sẽ nói rằng qua tâm của mỗi quả cầu đi qua một trục đối xứng bậc sáu vuông góc với mặt phẳng các quả cầu. Chính do các trục ấy mà mạng được gọi là lục giác. Ngoài các trục đối xứng bậc sáu, còn có các trục bậc ba đi qua tâm các hốc giữa các quả cầu. (Trục đối xứng bậc ba là một đường thẳng sao cho khi quay quanh nó mỗi lần một góc 120° ta trở lại hình ban đầu. Một vật bất kỳ có trục đối xứng bậc một, nghĩa là nó chỉ chuyển thành chính nó khi quay trọn một vòng. Chẳng hạn, qua tâm một đường tròn, vuông góc với mặt phẳng của nó, đi qua

*) Từ tiếng Hy Lạp “hexa” — sáu và “gonia” — góc.

47

Trong một trong các hệ hốc này, các quả cầu của lớp thứ hai sẽ nằm xuống, tạo thành một mạng lục giác gồm các quả cầu tiếp xúc, giống lớp thứ nhất. Tuy nhiên, lực hút do tính đàn hồi của màng có thể không đủ để giữ các quả cầu của lớp thứ hai, càng không đủ cho lớp thứ ba. Vì vậy, biết cách các quả cầu nằm trong lớp dưới, ta sẽ làm bằng ván ép một cái khay có dạng tam giác đều (hình 5), sao cho dọc theo mỗi cạnh có thể xếp khít một số nguyên quả cầu (trong mô hình của chúng ta là bảy quả), rồi lấp đầy nó bằng các quả cầu của lớp thứ nhất.

Xếp các quả cầu của lớp thứ hai vào hệ hốc nào thì không quan trọng, nhưng đối với lớp thứ ba các hệ hốc lại không tương đương: tâm của một hệ nằm trên tâm các quả cầu của lớp thứ nhất, còn hệ kia nằm trên các hốc trống của lớp thứ nhất. Hãy bắt đầu bằng việc xếp các quả cầu vào những hốc nằm trên các quả cầu của lớp thứ nhất. Khi đó, lớp thứ ba về cách sắp xếp các quả cầu sẽ lặp lại chính xác lớp thứ nhất, lớp thứ tư — lớp thứ hai, v.v. Lớp sẽ lặp lại cách một lớp. Ta sẽ nhận được một hình chóp không thật vững (hình 6), điều này, tuy vậy, chỉ liên quan đến việc trong mô hình của chúng ta lực “hút” chỉ tác dụng xuống dưới, và các quả cầu nằm trong những hốc ở mép dễ bị các quả cầu của các lớp trên đẩy ra.

Cách xếp các quả cầu như vậy được gọi là cách xếp lục giác sít nhất. Berili, magiê, cadimi, heli ở nhiệt độ thấp và áp suất trên hai mươi lăm atmôphe kết tinh theo cách này. Nó chỉ có một hệ các lớp xếp sít song song. Vuông góc với hệ lớp này, qua tâm của bất kỳ quả cầu nào, đi qua một trục đối xứng bậc ba. Sự giảm đối xứng liên quan đến việc nếu trục đi qua tâm các quả cầu của, chẳng hạn, bốn lớp, là trục bậc sáu đối với chúng, thì đối với các lớp lẻ nó sẽ đi qua tâm các hốc, và bậc đối xứng của chúng đối với trục này chỉ là bậc ba. Tuy vậy, cách xếp này được gọi là lục giác, vì có thể xem nó như hai mạng lục giác của các lớp chẵn và lẻ riêng biệt, lồng vào nhau với sự dịch chuyển. Cũng hãy chú ý rằng các hốc trống trong mọi lớp nằm chồng lên nhau, và xuyên qua toàn bộ cấu trúc lục giác có các kênh, trong đó có thể đặt các thanh có đường kính bằng 0,155 đường kính quả cầu. Tâm của các kênh này cũng là các trục đối xứng bậc ba. Trên hình 6, mô hình của cấu trúc lục giác được trình bày với các thanh đã đặt vào.

Bây giờ ta sẽ xếp các quả cầu của lớp tam giác vào những hốc nằm trên các hốc tự do của lớp thứ nhất. Tùy theo ta đặt các quả cầu của lớp thứ hai vào hệ hốc nào, có thể nhận được hai hình chóp (hình 7 và 8). Hình chóp thứ nhất được giới hạn bởi các tam giác đều với cách xếp lục giác các quả cầu trong các mặt phẳng của các mặt, hoàn toàn không khác lớp thứ nhất của cách xếp chúng ta, nằm ở đáy hình chóp. Nói cách khác, hình chóp của chúng ta là một trong năm đa diện đều — tứ diện. Trong cách xếp thu được có bốn hệ lớp xếp sít, các pháp tuyến của chúng trùng với các trục đối xứng bậc ba của tứ diện đi qua các đỉnh của nó. Trong cách xếp như vậy, các lớp lặp lại sau hai lớp, ở lớp thứ ba.

48

Các mặt bên của hình chóp thứ hai là các tam giác vuông cân, còn bản thân hình chóp là một phần của khối lập phương, được cắt bởi một mặt phẳng đi qua các đường chéo của những mặt có chung một đỉnh (hình 9). Các quả cầu trên các mặt bên của hình chóp được xếp theo lưới vuông với các hàng song song với các đường chéo của mặt khối lập phương.

Dễ nhận thấy rằng chúng ta không thu được hai cách xếp khác nhau, mà chỉ một cách xếp với các hướng khác nhau. Chỉ cần lấy đi các quả cầu nằm trên các cạnh của tứ diện, các mặt của lập phương sẽ dần lộ ra, cũng như khi lấy đi các quả cầu nằm dọc theo các cạnh của lập phương, ta dần biến lập phương thành tứ diện. Cách xếp như vậy được gọi là xếp khít lập phương. Neon, argon, đồng, vàng, platin, chì kết tinh theo cách này. Cách xếp khít lập phương có mọi yếu tố đối xứng của lập phương. Đặc biệt, các trục đối xứng bậc ba của tứ diện trùng với các đường chéo không gian của lập phương, cũng là các trục đối xứng bậc ba của nó. Cơ sở để xây dựng cách xếp này là một lập phương cơ bản gồm mười bốn quả cầu. Tám quả nằm ở các đỉnh của lập phương và sáu quả ở tâm các mặt của nó. Khi xem xét kỹ kim tự tháp thứ hai (hình 8), có thể tìm thấy lập phương này ở đỉnh kim tự tháp. Cách xếp khít lập phương cũng có thể được xem như tập hợp của bốn mạng lập phương đơn giản lồng vào nhau với độ dịch chuyển. Theo cách xem này, sự bình đẳng của mọi quả cầu trong cách xếp đặc biệt rõ ràng. Chính từ cách tạo ra các cách xếp khít lục giác và lập phương bằng cách chồng các lớp lục giác lên nhau, rất rõ rằng cả hai cách xếp, mặc dù có đối xứng khác nhau, có cùng mật độ, hay như người ta nói, cùng hệ số lấp đầy.

Nếu ta làm một khay vuông và xếp các quả cầu theo mạng vuông, thì cũng thu được một cách xếp khít. Tuy các quả cầu trong mỗi lớp không được xếp theo cách khít nhất, các hõm giữa các quả cầu sẽ sâu hơn, và vì vậy các lớp sẽ nằm sát nhau hơn so với cấu trúc lục giác. Kết thúc việc xếp, ta sẽ thu được một kim tự tháp bốn mặt (hình 10), các mặt bên của nó là

49

các tam giác đều với cách xếp lục giác của các quả cầu. Nếu bổ sung trong tưởng tượng kim tự tháp bằng một kim tự tháp giống hệt nhưng có đỉnh hướng xuống, ta sẽ nhận được đa diện đều thứ ba sau tứ diện và lập phương — bát diện, có tám mặt. Không khó chứng minh rằng ta lại thu được cách xếp khít lập phương, chỉ là bây giờ các mặt của lập phương song song với mặt phẳng đáy. Hãy lấy đi các quả cầu nằm dọc theo các cạnh, và ở mặt cắt trên của kim tự tháp bạn sẽ thấy năm quả cầu tạo thành một mặt của lập phương cơ bản.

Có thể tiến hành một loạt thí nghiệm vật lý với các mô hình đã dựng.

Làm rung màng cao su, có thể mô phỏng chuyển động nhiệt của các nguyên tử. (Bạn thấy cách xếp đều đặn của các quả cầu bị phá vỡ khi «nhiệt độ tăng lên».)

Vì một lớp lục giác lọt vào các hõm tương đối nông của lớp kia, các lớp liên kết yếu với nhau, sự trượt có thể dễ dàng xuất hiện trong chúng. Hãy thử dịch chuyển một lớp lục giác trên lớp kia, và bạn sẽ thấy rằng có ba hướng trượt dễ, theo đó lớp chuyển động như một khối nguyên vẹn. Điều tương tự cũng xảy ra trong các tinh thể. Sự trượt theo ba hướng này được giải thích bởi đặc điểm của sự biến dạng dẻo của tinh thể.

Có thể xây dựng mô hình từ bất kỳ những quả cầu nào. Nếu không thể kiếm được bi từ ổ bi, thì có thể dùng các hạt cườm lớn hoặc, trong trường hợp bất đắc dĩ, quả thanh lương trà hay những quả táo nhỏ. Trên hình 11 và 12 là các ô cơ sở của cách xếp khối lập phương và lục giác, được dán từ những quả bóng dùng cho quần vợt thật. Chúng tôi khuyên dùng vật liệu tương đối tiện dụng này để làm mô hình, đặc biệt cho phòng thí nghiệm vật lý ở trường.

Các cách xếp những quả cầu tiếp xúc nhau, cả đặc sít lẫn các cách khác, giữ vai trò rất lớn trong tinh thể học, và chúng ta còn sẽ có dịp nói về chúng. Còn bây giờ, hãy tích trữ các quả cầu và xây dựng mô hình!