О задачах по фотометрии

Квант 1971, №7 с. 41-43 Тег IGK8

В. Е. Белонучкин

Большие затруднения у построения их в инструменты вызывают обычно задачи по фотометрии.

В значительной степени это связано с неуменением правильного применения закон обработных квадратов.

Чтобы ясно представить смысл того или иного закона, надо понять, из каких сообщений и в каких предположениях он получен, когда он справедлив и когда нет, как его надо уточнить, если нельзя применить сразу.

Что же такое закон обработных квадратов?

Вспомним его содержание: освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.

А что такое освещенность? Как известно, это отношение светового потока к площади, на котором он падает; если свет исходит из точки O (рис. 1) и равномерно распространяется во все стороны, то, например, до площадки $P_1$ и $P_2$ , которые видны из точки O в одинаковых телесных углах, doit одинаковые световые потоки. А площади пропорциональны квадратам расстояния от точки O. Следует отметить, что это рассужждение справедливо для точного источника, который равномерно излучает свет по разным направлениям, то есть в любые два одинаковых телесных угла излучаются одинаковые световые потоки.

Если источник света обладает такимми свойствами, то закон обработных квадратов — это просто конкретное выражение закона сохранения энергии: в силу прямолинейности расстояния света одна и та же энергия (один и тот же световой поток) попадает на площадку, загораявшуюшую данный телесный угол, независимо от того, на каком расстоянии от источника находится эта площадка.

Позтому исчерпывающей характеристкой точечного источника света является сила света—световой поток, излучаемый источником в единичный телесный угол. Если с помощью какого-либо оптического элемента (линызы, зеркала) получено изображение, то оно, естественно, также является источником света. Что можно сказать о его силе света?

К сожалению, многие склонны считать оченьным, что сила света изображения всегда равна силе света источника. Так ли это? Далеко не всегда. При этом мы не имеем в виду поглощение и рассеяние света линза-

Рис. 2.

ми и зеркалами; эти потери учитываются не будем. Есть другие принципы различий в силу света источников и их изображений.

Во-первых, изображение практическихникогда не излучает одинаково во всех направлениях; связано это, в частности, с конечными размерами линии и зеркал. Плоское зеркало, например, не меняет силы света: сила света изображения равна силы света источника. Однако, нужно учитывать, что изображение излучает свет не во всех направлениях. Действительно, точку $A$ (рис. 2) освещают и лампа, и ее изображение в зеркале, а точку $B$ изображение освещать не может. Сила света изображения в этом направлении равна нулю.

Рассмотрим другой пример.

Источник $O$ освещает экран $P$ через рассеивающий линзу $J$ (рис. 3). Изображение источника $O'$ находится близке к экрану, чем источник; если у него силы света такая же, как у источника, то экран освещен ярче, чем было бы линзы. А что дает прямое рассмотрение световых потоков?

Рис. 3.

Когда не было линзы, на экран попадал весь свет, который шел в конусе $AOB$ . При наличии линзы часть этого света проходит много экрана, и освещность экрана должна уменшиться.

Очевидно, это связано с тем, что сила света изображения $O'$ меньше силы света источника $O$ . Действительно, ведь силой света называется отношение светового потока к телесному углу, а мы видим, что после линзы свет распространяется в больший телесный угол, причем

$\frac{\Omega}{\Omega'} = \frac{(O'J)^2}{(OJ)^2}.$

Следовательно, $\frac{I_0}{(OJ)^2} = \frac{I_1}{(O'J)^2}.$ Если освещенность экрана без линзы была $E_0 = \frac{I_0}{(OC)^2}$ , то с линзой

$E_1 = \frac{I_1}{(O'C)^2} = \frac{E_0 (O'J)^2 (OC)^2}{(OJ)^2 (O'C)^2} < E_0.$

Отношение силы света изображения и источника всегда равно отношению квадратов их расстояний от оптического элемента, создающего изображение. Доказем это, например, для изображения в волгутом зеркале.

Пусть $O$ — источник света, а $O'$ — его изображение в зеркале $AB$ (рис. 4). Тогда световой поток, излучаемый источником в конусе $AOB$ , после отражения от зеркала и прохождения точки $O'$ распространется в конусе $A'O'B'$ , по величины равном $AO'B$ . (Под величины конуса, естест-

венно, подразумевается соответствующей ему телесный угол.)

Пусть сила света источника $O$ равна $I$ . Световой поток распространяется в конусе $AOB$ и равен $I \frac{S_{AB}}{(OC)^2}$ , где $S_{AB}$ — площадь поверхности зеркала $AB$ . От изображения $O'$ световой поток идет в телесный угол, равный $\frac{S_{AB}}{(O'C)^2}$ ; значит, сила света изображения

$I' = I \frac{(O'C)^2}{(OC)^2}.$

И для этого случая мы получили ожидаемое соответствие.

Интересно отмечать еще один факт. Расмотрим освещенность плоскок $P$ и $P_1$ (рис. 4). Для $P$ все ясно: левая ее поверхности освещена источником $O$ , и освещенность

$E = \frac{I}{(OP)^2};$

правая поверхности освещена изображением $O'$ , ее освещность

$E' = \frac{I'}{(O'P)^2}.$

А что делается на поверхности плоскок $P_1$ ? Через эту плоскку должны пройти весь свет, отражаются на участке зеркала между точками $B$ и $D$ . Этот поток осветит правую поверхности плоскок; ее освещность

$E_{P_1} = E_{BD} \frac{S_{BD}}{S_{P_1}} = E_{BD} \frac{(O'C)^2}{(O'P_1)^2}.$

С другой стороны,

$E_{BD} = \frac{I}{(OC)^2} = \frac{I'}{(O'C)^2}.$

Таким образом, освещенность правой стороны плоскок $P_1$ , обозначаная $E_{P_1}$ , равна $\frac{I'}{(O'P_1)^2}$ , как будто эта сторона плоскок освещается изображением $O'$ . Это, впрочем, и естественно, так как свет уже отражается от зеркала.

Левая сторона плоскки $P_1$ освещается самим источником $O$ , и ее освещность равна $\frac{I}{(OP_1)^2}$ .

Когда же сила света изображения равна силе света источника? Тогда и только тогда, когда расстояния от источника и от изображения до оптического элемента (линизы, зеркала), создают это изображение, равны между собой. В частности, сила света изображения, полученного в плоском зеркале, всегда равна силе света источника. В собирающей линзе и вогнутом зеркале такое равенство осуществляется при расположении источника на двойном фокусном расстоянии, а в рассеивающей линзе и выпуклом зеркале получить изображение действительного источника света той же силы, что и сам источник, невозможно.

Почему сделана оговорка относительно действительного источника? Давайте проверим, нельзя ли получить в рассеивающей линзе изображение на том же расстоянии от нее, что и источник. Если абсолотную величины фокусного расстояния линзы обозначает $F$ , то формула линзы в интересующем нас случае будет выглядеть так: $-\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d}$ , откуда $d = -2F$ . Знак «минус» перед расстоянием от линзы до изображения ознакомится изображения. Очевидно, минимым должен быть источник. Проще говоря, на линзу должен падать сходящая пучок света. Пример такой ситуации показан на рисунке 5, где $J_1$ и $J_2$ — соответствие собирающей и рассеивающей линзы с одинаковыми по величины фокусными расстояниями, а $O$ — источник света. Если убрать $J_2$ , то мы получим изображение $O'$ с той же силе света, что и источник.

*) Отметим, что при решении задачи мы считали равными некоторые расстояния, например $OA, OB, OC$ и $OD$ , которые, не точно равны друг другу. Разница между ними может считаться малой, если по сравнению с ними маля расстояния $AC, CD$ и т. д.