О математической подготовке абитуриентов

57

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ АБИТУРИЕНТОВ

22 декабря 1970 года в Московском институте стали и сплавов ректораат совместно с кафедрой высшей математики провод совещание преподавателей математики средних школ города Москвы, посвязываенное обсуждению математической подготовки абитуриентов техническихузов.

С совместным докладом «О необходимом уровне математической подготовки абитуриентов» выступили зав. кафедрой высшей математики профессор И. Е. Базильевич и профессор М. А. Акивис. В докладе было отмечено, что при изучении курса высшей математики во втузе особенно часто приходит использование следующей разделы школьного курса математики: преобразования алгебраических и trigонометрических выражений, свойства основных элементов функций и их графики, решения различных рода уравнений, наравенств и систем уравнений или наравенств, понятия абсолотной величины действительного числа и арифметического корня, основные теоремы и формулы геометрии и т. д.

Однако именно эти примеры разделами плохо владеют многое абитуриенты и студенты первых курсов. Докладчики подчеркнул, что многое абитуриенты не умют правильно и грамотно оформлять свои работы, что связано с неуменением четко и последовательно мыслить.

В заключение доклада были формулированы некоторые положения, выполнение которых способствовать повышению уровня математической подготовки абитуриентов:

a) на протяжении всего обучения математике в средней школе следует обращать внимание на логическое обоснованное и стройность курса; учащие должны уметь правильно мыслить, рассуждать и грамотно оформлять свои мысли;

b) при решении разного рода уравнений и неравенств следует использовать понятие области допустимых значений и приучать учащихся следить за изменением этой области при тех или иных преобразований;

b) особое внимание надо обратить на технические требованияnalгебраических и trigонометрических выражений; следует требовать заполнения основных формул алгебры, trigонометрики и геометрии;

г) следует добавиться твердого значения свойств и графиков основных элементов функций; эти свойства должны использовать при решении уравнений и неравенств;

d) при решении геометрических задач учащения должны уметь делать правильный чертеж и проводить четкое обоснование всех построений и вычислений;

e) действующего школьная программа по математике не содержит некоторых тем, знание которых желательно при изучении курса математики во втузе. К ним относятся теория соедининия, биом Ньютона, теорема Безу и решения двученных уравнений. Эти темы следует включать в тематику факультативных занятий по математике. Кроме того, на этих занятиях следует более глубоко, чем это предусмотрено программой, изучать комплексные числа и обратные trigонометрические функции.

В докладе доцента В. В. Гольдберга были освенины наоблее распространенные ошибки, допускаемые абитуриентами на приемных экзаменах.

58

Наибольшее число ошибок в работе абитурентов встречается при решении показательных и логарифмических уравнений и особенно неравенств; уравнения и неравенств, содержащих неизвестное под знаком абсолотной величины; при записи общего вида углов, соответствующих данному значению тригонометрических функций, и особенно при решении простейших тригонометрических неравенств; при построении графиков простейших трансцендентных функций.

Часто приходит встречается с ошибками логического характера, особенно в курсе геометрии: учащесая путьот теорему с определенным, прямую теорему с обратной; свойства некоторых частных классов функций переносит на более общие классы (считают, что всегда медиана совпадает с биссектрикой или высотой треугольника, и т.п.); не владеют методом математической индукции; не видят необходимости в доказательстве свойств некоторых функций (тригонометрических, показательной, логарифмической).

Еще раз было обращено внимание на плоское оформление письменных работ многими абитурентами. При записи решения задач отсутствует логическая последовательность, ряд необходимых обоснований (особенно в геометрии) оказывается пропущенным.

Докладчик указал ряд конкретных ошибок, допущенных абитурентами при решении письменных работ в 1970 году.

При решении irrationalного уравнения

$$\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1} = \sqrt[3]{x-1}$$

многие абитуренты после возведения в куб заменили $$\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1}$$ на $$\sqrt[3]{x-1}$$, прибретая при этом построенной корень ($x=0$).

При решении неравенств часто делаются преобразования, приведшие к построним решением. Эти

посторонние решения отбросить с помощью проверки трудно, поскольку они могут заполнять целый промежуток.

Так, решая неравенство

$$x > \sqrt{2x+24}$$

возведением в квадрат, многое получали ответ $x > 6$, $-12 < x < -4$, не замещая, что все значения $x$ из второго промежутка не удовлетворяют данному неравенству (это не случайно бы, если бы поступало заметил, что из условия вытекает неравенство $x > 0$). При решении неравенства

$$\left(x^2+x+1\right)^{\frac{x+5}{x+2}} \geq \left(x^2+x+1\right)^3$$

многое правильно видели, что надо рассмотреть случай $x^2+x+1 > 1$ и $0 < x^2+x+1 < 1$, но забывали, что, поскольку неравенство нестрогое, решениями его будут и не значения $x$, для которых $x^2+x+1=1$, то есть $x=0$ и $x=-1$.

Нуемение правильно операровать с абсолотной величины и аргументом корнем приводило к многочисленным ошибкам. Так, например, решая уравнение

$$\sqrt{1+\sin 2x} = \sqrt{2} \cos 3x,$$

где

$$\pi < x < \frac{3}{2} \pi,$$

многое писали

$$\sqrt{1+\sin 2x} = \sin x + \cos x$$

вместо правильно

$$\sqrt{1+\sin 2x} = |\sin x + \cos x| = -\sin x - \cos x,$$

поскольку $\pi < x < \frac{3}{2} \pi$.

При упрощении выражения

$$\left(a+x\right)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} + \left(a-x\right)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}$$

при $x=4$ ($a-1$), $1 < a < 2$ приходимы преобразовать выражение $\sqrt{(a-2)^2}$.

59

Многие при этом писали
$$\sqrt{(a-2)^2} = a - 2$$
вместо правильно
$$\sqrt{(a-2)^2} = |a-2| = 2-a,$$
так как $1 < a < 2$.
Основным недостатком при решении тригонометрических уравнений было плоское значение тригонометрических формул, неумение решать простейшие тригонометрические уравнения.
Решая уравнение
$$\frac{1 + tg x + \dots + tg^n x + \dots}{1 - tg x + \dots + (-1)^n tg^n x + \dots} = 1 + \sin 2x,$$
некоторые поступающие вообще незнали, что делать с левой частью этого уравнения. Те же, кто видел там две бесконечно убывающие геометрические прогрессии, правильно писали, что левая часть имеет смысл, если $|tg x| < 1$, то есть $-\frac{\pi}{4} + k\pi < x < \frac{\pi}{4} + k\pi$, но, решив уравнение, оставляли обе серии решений:
$$x_1 = k\pi \text{ и } x_2 = -\frac{\pi}{4} + k\pi.$$
Уравнение
$$3tg2x - 4tg3x = tg^23xtg2x$$
многие решили нерационально, выражая $tg2x$ и $tg3x$ через $tgx$, в результате получали сложное алгебраическое уравнение относительно $tgx$. Быстрее же всего приводило к целю также преобразование:
$$3(tg2x - tg3x) = tg3x(1 + tg2xtg3x),$$
и, поскольку в ОД3 $1 + tg2xtg3x \neq 0,$
$$3\frac{tg2x - tg3x}{1 + tg2xtg3x} = tg3x,$$
или $-3tgx = tg3x.$

При решении уравнения
$$8\cos^4x = 3 + 5\cos 4x$$
часть поступавших приходила к уравнению четвертой степени относительно $cos x$, решить которое им не удалось. Это не случайность бы, если бы свели данное уравнение к алгебраческому уравнению относительно $y = \cos 2x$.
При таком решении получается квадратное уравнение
$$2y^2 - y - 1 = 0.$$
При решении геометрических задач, кроме указанных выше логических ошибок, докладчик отметил неграмотные чертежи (неверное изобравнение освого сечения конуса, положив шара — по этому поводу см. статью Н. М. Бескина в нашем журнале № 12 за 1970 год), незнание свойств параметls с равноаклонными ребрами или гранями, неумение построить линейный угол двумя нгами угла между смежными боковыми гранями параметls или найти центры вписанного и описанного околы параметls шаров. Большие трудности вызывают у абитурентов зазачи, где данные нелинейные элементы (площадь, объем) или дано соответствие между какими-то элементами (сумма катетов, отношение боковой и полной поверхности и т.п.).
В конце совещания от имени учитель выступили ученый секретарь секции средней шкалы Московского математического общества А. Я. Маргулис и старший методист по математике Институту усвоершенствования учительей С. М. Гуль, которые, в частиности, указыва на безусловную полезность таких совещаний и пожелали, чтобы подобные совещания проводились и в будущем.

М. Л. Смолянский,
Г. Н. Дьяченко,
В. В. Гольдбере