Задачи М141—М145; Ф153—Ф157

25

ЗАДАЧИ

Решения задач можно посылать не позднее чем через полтора месяца после выхода из печати соответствующего номера журнала по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», редакция журнала «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылаете; например, «Задачик «Кванта», М137, Ф139. В начале письма укажите свое фамилию, имя, отчество, домашний адрес (а также класс и школа, в котором вы учитесь).
Звездочный отменный более трудные задачи.

ЗАДАЧИ

M141. Выберем на высоте ВН треугольника ABC произвольную точку P. Пусть K — точка пересечения прямых AP и BC, L — точка пересечения прямых CP и AB. Доказите, что отрезки KH и LH составляют равные углы с высотой ВH.
E. В. Саллинен

Рис. 1.

M142. a) Доказите, что нельзя занумеровать ребра куба чисlamи 1,2,…,12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трех выходящих из нее ребер была одной и той же.
6)* Можно ли вычернуть одно из чисел 1,2,…,12, 13 и оставшимся занумеровать ребра куба так, чтобы выполнялось то же условие?
H. H. Константинов,
H. B. Васильев

M143. Найдите наименьшее натуральное число n, для которого выполняется следующее условие:

если n делится на p—1 и p простое, то n делится на p.

M144. Найдите необходимые и достаточно условия, которые должны удовлетворять числа a, b, a, β, чтобы прямогольник a×b можно было разрезать на несколько прямогольников α×β.

Например, можно ли прямогольник 50×60 разрезать на прямогольники размерами:
a) 20×15; 6) 5×8; в) 6,25×15;
г) (2−√2)×(2+√2).

A. T. Коломов

M145. А общее платить В в среднем √2 руб. в день. Они условиясь, что в n-й день A будет получать целое число aₙ рублей (aₙ равно 1 или 2) с таким расчетом, чтобы сумма, полученная за первые n дней (a₁+a₂+…+aₙ), была как можно больше к числу n√2.

Например, a₁=1, a₂=2, a₃=1, a₄=2, a₅=1. Доказите, что последовательность a₁, a₂, a₃, … непериодическая.

A. K. Толпью

Ф153. Почем реки, текущие даже по совершению плоской однородной почве, изгибаются?
Для простоты рассмотрите реку, текущую вдоль экрана.

Ф154. Оцените, сколько капелек воды имеет в 1 m³ тумана, если видимость составляет 10 m и туман оседает через 2 часа? Высота тумана 200 m.