Задача Максвелла

ЗАДАЧА МАКСВЕЛЛА

Выдающийся английский физик-теоретик Джеймс Клерк Максвелл (1831—1879) интерсовался элементарной геометрии. Вот одна из задач, помещенных им в статье по строительной механике, которая была опубlikована в журнале The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science (1864).

Внутри треугольника произвольно береется точка (рис. 1) и соединяется с вершинами. Доказать, что если построить треугольник со сторонами, параллельными этим отрезкам, а через его вершины проведены прямые, параллельные сторонам данного треугольника (рис. 2), то они пересекутся в одной точке, как это и показано на рисунке.

Приведем доказательство. На рисунке 3 около каждого из треугольников, составляющих данные, описана окружность. Стороны треугольника с вершинами в центрах этих окружностей перепределкиляры наимм отрезкам. Новый треугольник подобен треугольнику на рисунке 2, а проведенные через его вершины отрезки так же наклонены к его сторонам, как одинаково с ним окрашенные отрезки на рисунке 2. Поскольку эти отрезки пересекаются в центре окружности, описанной около данного треугольника, должны пересекаться в одной точке и отрезки на рисунке 2. Доказательство завершено.

Теперь нетрудно найти решение следующей задачи замечательного немецкого геометра Якоба Штейнера (1796—1863): если из вершин $A_1, B_1$ и $C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ опущены перепределкиляры соответствующего наимм отрезками $B_2C_2, C_2A_2$ и $A_2B_2$ треугольника $A_2B_2C_2$ и эти перепределкиляры пересекаются в одной точке, то перепределкиляры из вершин $A_2, B_2$ и $C_2$ соответственно на стороны $B_1C_1, C_1A_1$ и $A_1B_1$ пересекаются в одной точке (доказьте это).

И еще вопрос: какое механическое следствие может вывести Максвелл из доказанного им утверждения?

В. Н. Березин.