Калейдоскопы

41

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

КАЛЕЙДОСКОПЫ

А. Н. Виленкин

Наверное, в детстве каждый из вас разобрал хотя бы один калейдоскоп, и вы знаете, как он устроен. Все же напомним, что когда вы его разобрали, из него высыпались кусочки цветного стекла, а внутри остались три полоски из зеркала (или стекла), расположенные под углом 60° друг к другу, так что в течение образуется правильный треугольник.

Почему калейдоскоп устроен именно так и как еще его можно сделать, мы и расскажем в этой статье. Задчи, помещенные в тексте (их результаты использовются в расчедениях), позволят вам не просто пассивно читать статью, но и самостоятельно «приложить руки» к построению теории. Впрочем, все задчи в статье начинаются словами «Докажите, что…», поэтому при первом чтении их можно заменить словами «Доказано, что…», а потом вернуться и взяться за доказательство. В конце номера есть указания ко всем задачам.

Устройство калейдоскопа

Для того, чтобы сделать калейдоскоп, вам потребуется несколько стекла (лучше брать именно

Рис. 1. Развертка калейдоскопа.

Рис. 2. Самодельный калейдоскоп.

стекляные полоски, а не зеркальные, потом мы обьясим, почему), лист плотной бумаги, немного kleя и две небольшие картоники. Калейдоскопы, которые продаются в магазинах, сделаны так, что у них невозможно изменить, скажем, угол между зеркаlamми. Мы сделаем несколько кустарный калейдоскоп, это приспособленный для экспериментов.

Приклейте стеклянные полоски к листу бумаги, оставив между полосками небольшие промежутки (что можно было согнуть лист в признаму). Хорошо, если лист будет непрозрачным — не будет попадать лишний свет.

У вас получалась развертка признамы (рис. 1). Сверните из нее признаму, а чтобы она не развернулась, вырежьте в картонах дырки по форме перpendикularного сечения признамы и оденьте картоники на признаму (рис. 2); меняя картоники, мы тем самым меняем форму признамы. Калейдоскоп готов! Тепер приставьте к одному

42

концу калейдоскопа какую-нибудь фигурку (обычно в калейдоскопах на этом месте пересыпаются кусочки цветного стекла) и посмотрите в другой конец. Вы увидите картинику, пожжую на рисунок на первый странице обложки. Как же возникает такая картика?

Ход лучей в калейдоскопе

Прямо перед собой вы увидите ту фигурку, которую помещили у другого калейдоскопа. Рядом вы увидите ее еще раз, только зerkально отраженную. Это и понятно, ведь рядом с него зerkало — вот и появилось зerkальное отражение. Роль зerkала играет стеклянная полоска.

Кстати, рисунок 3 обьясняет, чем площадка зerkальная полоска. Она имеет две отражающие поверхности: переднюю, отполированную, и заднюю, покрытую амалгамой. Чтобы убедиться в этом, приставьте к зerkалу остро отточенный карандаш. Вы увидите два или даже три отражения. Дело в том, что луч, падающий на стекло, раздаваивается. Одна его часть отражается от передней поверхности и дает первый отраженный луч, а вторая входит в стекло. Эта часть отражается в задней поверхности (почти полностью в слуае зerkала и незначительно в слуае стекла) и идет к передней поверхности. Через нее часть луча выходит и дает второй отраженный луч, а другая часть слова отражается (внутри зerkала) и начинает новое путешествие, кончащается появлением третьего отраженного луча. Эти лучи ослабляются по мере увеличения их номера, так что третий отраженный луч уже незаметен.

Если в калейдоскоп поставить зerkало, то появится второй отраженный луч, который вызовет также искажения, что ничего нельзя будет разобрать, особенно при многократных отражениях в зerkалах. Ведь первый и второй лучи смешены относительно друг друга и дают сдвиhte изобравжения. При отражении

Рис. 3. При отражении в обыкновенном зerkале видны три карандша.

в стекле второго луча не появляется — он поглощается задней поверхности. Большое нам подошло бы зerkало с передней отражающей поверхности — также зerkала стоит в телесопах-рефлекторах.

Напомним, что отражение луча от зerkала проискит по закону «угол padения равен углу отражения», а именно, отраженный луч, падающий луч и перпендикуляр к плоскости зerkала в точке padения лежат в одной плоскости (рис. 4), причем $\alpha = \beta$.

Попробуем найти способ строить изобравжения, которые должны получаться в калейдоскопе. Предположим, что перед калейдоскопом находится плоская картина (объемные изобравжения мы для простоты исключим),

Рис. 4. «Угол padения равен углу отражения».

43

причем плоскость этой картины является перпендикулярным сечением признамы; назовем ее картиной плоскостью.

Призма высекает в картиной плоскости выпуклый многоугольник; он будет играть основную роль во всех дальнейших рассуждениях — назовем его фундаментальным многоугольником. Итак, есть картиная плоскость $K$ и в ней фундаментальный многоугольник $M$; как геометрические описать отражения в гранах признамы?

Начнем с однократного отражения. Если мы смотрим в калейдоскоп из точки $T$ (рис. 5a), причем луч, выSEDший из точки $A$, в точке $O$ отразился от зеркала л и затем попал к нам в глаз, то нам кажется, что точка $A$ расположена за зеркалом на продолжении прямой $TO$, и если обозначить через $A_1$ это изображение точки $A$, то $OA_1=OA$, потому что наш глаз имеет оценивать расстояние до объекта. Простое геометрическое рассуждение показывает, что точка $A_1$ лежит в той же картиной плоскости $K$ и получается как геометрическое отражение точки $A$ в ребре $R$; проведите это рассуждение самостояльно.

Задание 1. Возьмем точку $A_1$, получающийся как геометрическое отражение точки $A$ в ребре $R$ (см. рис. 5a), $AP \perp R$, $AP=PA_1$. Доказите, что точка $A_1$ удовлетворяет физическому понятию «отражение точки $A$ в зеркале л». Это означает следующее. Для любой точки наблюдения $T$ проведем прямую $TA_1$. Пусть она пересечет плоскость л в точке $O$. Соединим точки $O$ и $A$. Надо доказать, что: $TOS=POA$ (уеденняя равен нулю отражения); $OA=OA_1$ (мочка $A_1$ находится на том же расстоянии от $T$, что и $A$ «с учетом зеркала»).

Утверждение задачи 1 справедливо для любой точки фундаментального многоугольника, поэтому при однократном отражении в зеркале изображение $M'$ всего фундаментального многоугольника $M$ лежит в картиной плоскости $K$ и получается отражение

44

Рис. 6. Геометрия двукратного отражения в зеркале (проекция на картинию плоскости).

фундаментального многоугольника), затем отразился в зеркале $R_2$ и лишь после этого попал в точку $T$ — к нам в глаз. Нам кажется, что луч исходит из точки $A_2$ — изображения точки $A$. Точка $A_2$ получается так. Раз луч сначала отразился в ребре $R_1$, отразим точку $A$ в ребре $R_1$, получится точка $A_1$ (рис. 6). Затем луч, идущий теперь как бы из точки $A_1$, отразился в ребре $R_2$ — отразим и точку $A_1$ в ребре $R_2$, получится точка $A_2$ — изображение точки $A$ при отражениях в ребрах $R_1$ и $R_2$.

Но можно рассудать и по-другому. За ребром $R_2$ мы видим изображениеfundamentalного многоугольника — многоугольник $M'$, в котором есть точка $A'$ — изображение точки $A$ в ребре $R_2$. У $M'$ есть ребро $R_1'$ — изображение зеркала (ребра) $R_1$ в зеркале $R_2$. И вот оказывается, что это изображение $R_1'$ зеркала $R_1$ можно считать настоящим зеркалом и, отразив точку $A'$ в $R_1'$, получить то же самое изображение $A_2$. Чтобы убедиться в этом, заметьте, что рисунок 6 симметричен относительно $R_2$.

Итак, многоугольник $M'$ оказался равноправным сfundamentalным многоугольником $M$, а ребро $R_1'$ — полноправным зеркалом. Отразив $M'$ в ребре $R_1'$, мы получим многоугольник $M''$, соответствующий отражению в зеркале $R_1$ и $R_2$. Нетрудно понять, что мы можем делать отражения и в ребрах многоугольника $M''$ и таким образом получить последующее изображениеfundamentalного многоугольника $M$.

Теперь мы можем забиться не только о пространстве, но и зеркалах и описать изображение в картиной плоскости чистого геометрического.

Геометрия картиной плоскости

Имеется (фундаментальный) многоугольник $M$ с ребрами $R_1$, $R_2$, … Внутри многоугольника помещена картина ( многоугольник мы рассматриваем как плоскую фигуру). В ребрах $R_k$ производится отражения многоугольника $M$ (рис. 7), при этом получится многоугольники с ребрами $R_1'$, $R_2'$, … В этих ребрах также производятся отражения, получаются новые многоугольники. Продвигаясь таким образом, мы замощаем всю картиную плоскость.

Отметим одно обстоятельство. «Гуляя》 по плоскости, мы можем попасть на место, в котором уже один раз повышали. На нем уже есть изображение, скажем, точки $A$fundamentalного многоугольника, а теперь

45

мы достивали туда же изображение, возникно, другой точки $B$ фундаментального многоугольника.

Например, на рисунке 7 черным цветом изображен фундаментальный многоугольник, красным — одна последовательность отражений, синним — другая. В точке $X$ они перекрываются. Возникает вопрос: должны ли мы видеть в точке $X$ два изображения или одно, и если одно, то какое именно?

Сначала разберем такой вопрос: из каких точек пространства (внутри калейдоскопа) изображение $A_1$ видно, а из других — нет. Но точка $A_1$ — это точка картининой плоскости, что же видно в ней из других положений? Очевидно, изображение неокторой точки фундаментального многоугольника, но отраженное в другом зеркале.

Возьем, например, два зеркала, поставленные под углом $150^\circ$. Расмотрим их проекции на картининую плоскость (рис. 9). Из положения $T_1$ в точке $X$ мы видим изображение точки $A$ (отраженной в ребре $R_1$). Но из положения $T_2$ в той же точке $X$

Рис. 8. Зона видимости изображения $A_1$.

Рис. 9. Из разных положений в точке $X$ видны изображения различных точек: из положения $T_1$ — изображение точки $A$, из положения $T_2$ — изображение точки $B$.

мы видим изображение точки $B$ (отраженной в ребре $R_2$), потому что пряма, соединяющая точки $T_2$ и $X$, пересекает ребро $R_2$.

Ясно, что для многоократных отражений тоже надо соединить прямой линии точку наблюдания $T_2$ с точкой $X$, в котором мы смотрим, и взять ту последовательность отражений фундаментального многоугольника, которая покрывает отрезок $TX$. Точка $A$ фундаментального многоугольника, которая окажется в $X$, и будет в ней изображена, а отражения надо делать в тех ребрах, которые пересекает пряма $TX$. Для другой точки наблюдания может получиться другая последовательность отражений и другое изображение.

К чему это может привести? Вот к чему. Если учесь, что мы смотрим в калейдоскоп не из одной точки, а из целой области (зрачок глаза, объектив photoаппарата), то мы можем видеть в одной точке изображения двух разных точек фундаментального многоугольника. На рисунке 10а приведена фотографика изображения в калейдоскопе. Obъектив открыт полностью, и в некоторых точках видны перекрывающиеся изображения. Но если Obъектив диафрагмировать (уменьшить почти до «точки» отверстие для света), то в каждой точке останется лишь одно изображение

46

(рис. 106). В этом случае мы «смотрим» как бы из одной точки.

Итак, мы почтим исследовали, как получается изображение в картиной плоскости, только оказалось, что оно еще зависит от точки, из которой мы на него смотрим. Поэтому сделаем так.

Назовем калейдоскоп «физические правилам», если изображение в его картиной плоскости не зависит от точки на наблюдения, и «математические правилам», если для любой точки X картиной плоскости разные последовательности геометрических отраждений, приводящие в точку X, дают в ней изображение одной и той же точки функentialного многоугольника.

Рис. 10а. Объектов открыт полностью. В некоторых местах изображения перекрываются.

Рис. 106. Объекты диафрагмирован, перекрываются.

Отметим разницу между математическими и физическими понятием правилности калейдоскопа. Геометрические мы можем доставлять изображения в точку X любой последовательностью отраждений. Но далеко не каждое изображение можно будет увидеть хотя бы из одной точки внутри калейдоскопа. Однако из примеров мы приведли на рисунке 7 — изображение, доставленное по синему пути, в точке X видно, а по красному пути — нет. Вот еще один пример.

Задча 2. Доказание, что в калейдоскопе, перpendикулярное сечение коморого представляет собой равносторонний треугольник со сторонами $R_1, R_2, R_3$, невозможна.make последовательность отраждений севого луча: $R_1, R_2, R_1, R_3, R_2, R_3$.

Может ли получиться так, что математические калейдоскоп неправилен, то есть существует точка X и две последовательности отраждений, дающие в X разные изображения, но одно из этих изображений видно из любой точки, а второе (или все остальные) никакогда не видно, то есть физические калейдоскоп будет правильным?

Оказывается, это не так. Совершенно ясно, что если геометрические (отраждениями) в точку X по разным путем приходит одно и то же изображение, то оно и будет видно из любой точки. Но вместе с тем, если из любой точки на наблюдения $T$ в точке X видно одно и то же изображение, то и геометрические в точке X получаетсяровно одно изображение. Доказательством последнего утверждения и нахождения всех правильных калейдоскопов мы сейчас и займемся.

Правильные калейдоскопы

Сначала рассмотрим самые простые калейдоскопы. Правда, их сечения являются «бесконечными» (неограниченными) многоугольниками, но это не должно вас смущать.

Бесконечное плоское зеркою является математическим правильным калейдоскопом (в картиной плоскости

47

кости имеетсяровно одна «отражающая» пряма) — это следует из задачи 1.

Пусть теперь два зеркала $R_1$ и $R_2$ образуют между собой угол $\alpha$. Напомним, что ребра многоугольника, получащегося в перpendикularном сечении этого двугранного угла, мы обозначаем теми же буквами $R_1$ и $R_2$.

Задание 3. Докажите, что отраχение сначала в ребре $R_1$, а затем в ребре $R_2$ (как на рисунке 6) эквивалентно повороту вокруг точки $O$ на угол $2\alpha$ в направлении от ребра $R_1$ к ребру $R_2$.

Иными словами, вместе того, чтобы два раза отраχать картинику относительно прямых, можно просто повернуть ее вокруг точки $O$ на угол $2\alpha$.

Задание 4. Докажите, что два зеркала, поставленные под углом $120^\circ$, не образуют математических правильного калейдоскона.

Задание 5. Докажите, что два зеркала, поставленные под углом $\alpha = \frac{180^\circ}{n}$, еде $n$ — натуральное число.

Задание 6. Докажите, что если калейдоскон математически правильен, то улы при вершинах его функментальное множество и каких улы при его вершинах все эти улы имеют вид $\frac{180^\circ}{n}$ (п — соответствие натуральное число, для различных вершин эти $n$ могут быть различными).

Различие между заданными 5 и 6 неевелiko: в задание 5 зеркала неограничены, а в задание 6 они имеют конечные размеры. Решаются обе задачи почтой одинаково. Зато задача 6 дает необходимое условие математической правильности калейдоскона: углы при вершинах его функментального многоугольника должны иметь указанный вид.

Раз у нас есть бы одно условие, которое должно удовлетворять каждой математической правильной калейдоскопе, можно попробовать найти все калейдоскопы, удовлетворяющие этому условию. Во всяком случае, среди них будут все искочные калейдоскопы, что значительное существо наших понятий.

Задание 7. Найдем все калейдоскопы, удовлетворяющие необходимому условию правильности (задача 6). Это означает следующее: надо найти, при каком числе сторон функментального многоугольника и каких улы при его вершинах все эти улы имеют вид $\frac{180^\circ}{n}$. Проверить, что все получающие калейдоскопы математические правильны, то есть что необходимо условия математической правильности калейдоскона, формирурованное в задаче 6, является и достаточно.

Теперь мы вернемся к эквивалентности физической и математической правильности калейдоскопа. Изовем калейдоскоп правильным в улы, если каждые его два зеркала (мы считаем их бесконечными), образующие угол, является правильным калейдоскопом. Доказательство эквивалентности будем вести по следующей схеме, на которой стрелки ознакомют, что из одного утверждения следует другое.

Схема доказательства

Математическая правильность в углах
1
Математическая правильность в целом
2
Физическая правильность в углах
3
Физическая правильность в целом

48

Из этой диаграммы следует, что любая из правилностей калейдоскопа является собой все остальные. Значит, найдя все калейдоскопы, правильные математические в углах, мы тем самым нашли все правильные (с любой точки зрения) калейдоскопы.

Докажем справедливость диаграммы.

Переход 1. Он был представлен вам в виде задачи 7.

Переход 2. Его очевидность уже обсуждалась выше.

Переход 3. Он почти очевиден. Надо лишь учеть, что фундаментальный многоугольник для двух зеркал неограничен, а для исходного калейдоскопа он мог быть ограничен. Будем вести доказательство от противного. Пусть калейдоскоп неправильен физически хотя бы в одном угле, то есть найдет точки $T_1$ и $T_2$ (точки наблюдания) и $X$ (в картиной плоскости) также, что за счет отраЖеней только в этом угле из точек $T_1$ и $T_2$ в точке $X$ видны разные изобравжения. Подобно уменьшая всю картину к вершине угла, мы можем перевести точки $T_1$ и $T_2$ внутри фундаментального многоугольника. В новой точке $X'$ из точек $T'_1$ и $T'_2$ по-прежнему будет видны разные изобравжения. Тем самым переход 3 доказан.

Переход 4. Он также доказывает от противного, это будет еще одна задача.

Рис. 11.
48

Рис. 12.

Задча 8. Доказать, что если калейдоскоп из двух зеркал математически неправильен, то найдет точки $T_1$, $T_2$ и $X$ также, что из точки $T_1$ и $T_2$ в точке $X$ видны изобравжения разных точки фундаментального многоугольника.

Итак, мы разобрались в работе калейдоскопов. Фотографии изобравжения в некоторых из них приведены на рисунках 11—14.

Попробуйте определить, правильные ли эти калейдоскопы. На многохх из этих снимков можно определить, из какой точки велась сыемка. Лучи света не могут отраЗиться в вершине угла (ребре калейдоскопа), поэтому из каждой вершины исходит линяя раздела — смена порядка отраЖеней. По одному сторону от этой линии луч добавляется до глаза одной последовательностью отраЖеней, по другую — другой последовательностью. Если продолжить эти линяя внутри фUNDAMENTALНОМ МНОГОУЛЬНИКА,