Бывает ли равномерное движение?

2

Материальная точка, на которой не действуют никакие силы, движется в инерционной системе отчета прямолинейно и равномерно.

Однако, «изолироваться» от воздействия сил не представляется возможным. В наших, земных, условиях на материально точку действует сила прямяжения Земли (сила тяжести), сила треня, сила сопротивления воздуха и другие. Кроме того, на многое устройства, созданные человеком (автомобиль, электропоезд, ракета), всегда действуют силы. Одним словом, от сил никака не справothesвиться.

Да, но почему автомобиль может двигаться равномерно? Читаемый, конечно, скажет, что ничего удивительное в этом нет: все силы, действующие на автомобиль, уравновешиваются (то есть их равновесную равна нулю), а это эквивалентно тому, что на автомобиль вообще не действуют никакие силы, — вот он и движется равномерно.

И все же нечто удивительное в движении автомобиль есть. Шофер едет со скоростью 60 км/ч. Но вот он посмотрел на часы («А ведь я опасываю!») и, после нескольких секунд разгонна, поехал со скоростью 80 км/ч. И опять движение равномерное, то есть опять все силы уравновешиваются. Кто же уравновешивает силы? Шофер? И как ему удается их уравновесить и на скорости 60 км/ч, и на скорости 80 км/ч, и на иной скорости? Разве это не удивительное? Но если вы спросите об этом шофера, он будет удивлен еще больше вас: ему и в голову не приходит, что надо что-то «уравновешивать»!

Попытаемся разобраться в этом вопросе с помощью математики. Заметим, что силу тяжести можно совсем не рассматривать: на горизонтальном участке эта сила уравновешивается силой реакции со стороны дороги. Кроме того, будем считать, что нет ветра, пренебрежем силой прямяжения Луньи и так далее. Тогда останутся только движущая сила $F$, связанная с действием движения и с треннем ведущих колес о дорогу (эту силу будем считать постоянной на рассматриваемом участке движения), и с силой сопротивления (рис. 1). Будем считать, что сила сопротивления имеет вид — $S(v)$, где $S(v)$ — возратающая функция, обращающаяся в нуль при $v=0$ (знак минус показывает, что сила сопротивления направлена против воположно

4

Teоремы 1 и 2 дают качественные законы изменения скорости, то есть показывают, как она будет меняться с течение времени. Пусть, например, автомобиль некоторое времяедет под уклон, после чего вызжает на горизонтальной участок дороги (рис. 3). Двигаясь под уклон, автомобиль с отключенным двигателем разгоняется и выходит на горизонтальный участок с повышенной скоростью (большей $V$). Что же будет дальше? Согласно теореме 1 в течение всего дальнейшего движения скорость будет большей чем $V$, причем, в силу теоремы 2, она будет постепенно уменьшаться, все более приближая на горизонтальном участке не будет равномерным, и лишь в пределе (при $t \to \infty$) мы получим равномерное движение (so скорость $v = V$).

Аналогичная картина наблюдается в случае, если водитель (двигаясь, скажем, со скоростью 60 км/ч) намерена увеличить скорость. С этой целью он сильнее нажит правой ногой на pedal акселератора, увеличивая тем самым приокторо, а значит, и силу $F$, развиваемуую двигатель. Новому значению силы $F$ соответствует новое значение величины $V$, скажем, $V = 80$ км/ч. В момент нажатия на pedal автомобиль движется еще со скоростью 60 км/ч, то есть со скоростью, меньше шеи $V$. Согласно теореме 1 в течение всего дальнейшего движения скорость будет меньше чем $V$, причем, в силу теоремы 2, она будет увеличивать все более приближая на горизонтальный участок с повышенной скоростью (большей $V$). Мы видим, что и в этом случае движение автомобиля не будет равномерным, и лишь в пределе (при $t \to \infty$) получится равномерное движение (so скорость $v = V$).

В обихах рассмотренных примерах автомобиль движется с переменной скоростью, которая постепенно приближается к пределному значению $V$. Таким образом, то, что мы обычно считаем «равномерным движением», представляет собой сложный диапазон процесс. Силы, действующие на автомобиле, теоретически говоря, не уравновешивают друг друга (движение проискот с переменной скоростью, и потому ускорение не равно нулю). И лишь в пределе (при $t \to \infty$) скорость приближается к постоянному значению $v = V$, ускорение стремится к нулю, а действующие силы все более точно уравновешивают друг друга (то есть равнойствушая стремия к нулю). И это «постепенное уравновешивание» вовсе не связано с действиями шофера (он ведь лишь поддерживать постоянное значение силы $F$), а вытекает из самой спецификации задачи, то есть, математически говоря, является следствием уравнения (*). Практические же скорость автомобиля становится too меньше, то больше $V$ (вследствие порывов ветра, уvelichения или уменшения шероховатости дороги и т.п.). Но она упрямо приближается к пределному значению $V$, пока

5

Рис. 4.

Рис. 5.

следующий тольок не сделает ее кеколько меньше или больше; и новь скорость будет приближаться к значению $V$; затем опять тольок, опять приближение к $V$ … Это и есть «равномерное движение». И возможно оно молко потому, что предельное значение скорости (то есть $V$) устойчивое: в какую бы стороны ни отклонилась скорость от $V$, она обязательно будет приближаться к $V$.

Устойчивость значения $V$ можно наглядно посять построением фазовой диаграммы (или, как еще говорят, «фазового портрета») уравнения () (см. рис. 4). Отметим точку $V$ на числовой оси. Если в некоторых моментах фактическая скорость $v$ оказывается меньше чем $V$ (точка $v_1$ на диаграмме), то из () видно, что ускорение $a$ будет положительным, то есть скорость будет в зрастать. Это отмечено на диаграмме стрелкой, смотряшей вправа. Если же в некоторых моментах скорость больше шее $V$ (точка $v_2$ на диаграмме), то ускорение $a$ отрицательно, то есть скорость начинает убивать (стрелка направлена влево).

Фазовая диаграмма показывает, что скорости «некуда деваться», кроме как приближаться к значению $V$. Это напоминает поведение шарика в ямке (рис. 5): где бы он ни находился, его «тянет» в самую нижнюю точку — в устойчивое положение равновесия. По аналогии точку $V$ на рассматриваемой фазовой диаграмме также называют устойчивым положением равновесия.

Более сложный пример устойчивого положения равновесия дает подключение батареи постоянного тока к паралелюно соединительным катушке и конденсатору (рис. 6). Обозначая э. d. с. батарей, ее внутреннее сопротивление и активное сопротивление катушки через $E$, $r$ и $R$ соответственно, легко найти (по закону Ома), что в такой схеме через катушка может протекать постоянный ток $I = \frac{E}{R+r}$, причем, разность потенциаль на обкладках конденсатора будет равна $U = \frac{ER}{R+r}$. Однако в действительности процесс будет более сложным: ток $I$ и напряжение $U$ будет переменными, они будут со-