Линзы, зеркала и Архимед

23

Широко распространяется легenda о том, что Архимед с помощью зеркал скегет вражеский флот, стоящий на якорях в Сиракузах.

Давайте попробуем взглянуть на эту легенду с точки зрения современной физики и определим условия, при которых можно зажчь что-либо при помощи зеркала или линзы.

Наши расчеты будут опираться на тот факт, что энергия, излучаемая с единицей поверхности нагретого тела за единицу времени, пропорциональна четвертой степени температуры тела (это утверждение называется законом Стефана — Больцана). Если энергия, подводимая к телу, больше энергии, излучаемой телом, то тело нагревается. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока излучаемая за единицу времени энергия не сравняется с подводи-

мои *). Отсюда следует, что для нагревания тела до температуры $T$ на единицу его поверхности должен пасть поток энергии, пропорциональный $T^4$.

Возьемем линзу, площадь поверхности которой $S$, а фокусное расстояние $F$, и с ее помощью получим изобравнение Солнца на какой-нибудь поверхности. Весь поток солнечной энергии, падающий на поверхности линзы, соберется в фокальной плоскости линзы в пятнышко, диаметр которого $d = 2F \lg \frac{\alpha}{2}$,

*) Мы пренебрегаем теплотвородом от тела из-за теплопроводности воздуха. Обыт показывает, что при температуре восплamenteния дерева этот теплотвород мал по сравнению с излучением.

24

$$s = \frac{4\pi F^2 \lg^2 \frac{\alpha}{2}}{4}, \quad \alpha = \gamma \text{угловой размер Солнца (см. рис.ок)}.$$
Взяв угол $\alpha = 30^\circ$, получим
$$s = \frac{\pi F^2}{4 \cdot (110)^2}.$$
(так как $2tg 15^\circ \approx \frac{1}{110}$). Поток энергии, падающий на единицу поверхности изображения Солнца в линзе, в $\frac{S}{s}$ раз больше, чем без линзы. Из закона Стефана — Больцмана следует, что установившаяся температура $T$ в фокусе будет в $\left(\frac{S}{s}\right)^{1/4}$ раз больше, чем температура $T_0$, до которого Солнце может нагреть предметы без линзы. Тогда связыва между плоскостью линзы (или зеркала) и температурой в ее фокусе можно записать следующим образом:
$$S = \frac{\pi F^2}{4 \cdot (110)^2} \frac{T^4}{T_0^4}.$$

Из литературы *) известно, что для того чтобы зажчь, например, бумагу, требуется температура около $250^\circ$ С, то есть около $520^\circ$ К, а для сухого дерева необходимо увеличить эту температуру до $500-700^\circ$ С, то есть пример до $800-1000^\circ$ К.

Эксперимент, проведенный французским натуралистом Бюффоном, показал, что действительно можно зажчь кусок сухого, пропитанного смолой дерева на расстоянии 158 футов (около 47 метров). Прибор Бюффона представлял собой сооружение из 168 зеркал, площадью 48 квадратных дюймов (примерно $310 \text{ cm}^2$) каждое, укрепленных на общей граме. Очевидно, что дерево, пропитанное смолой, зажчь легче, чем не пропитанное. Поэтому будем считать, что пропитанное смолой дерево загорается при меньшей из приведенных температур, то есть при $800^\circ$ К. Тогда по формуле (1), положив $T_0 \approx 60^\circ$ С $\approx 330^\circ$ К, получим $S = 4,9 \text{ m}^2$, а общая площадь зерка в эксперименте Бюффона была равна $5,2 \text{ m}^2$. Таким образом, опыты Бюффона не противоречат нашей теории.

Телерь попробуем расчитать площадь зеркала, которое могло попадиться Архимеду. Будем считать, что корабли были сделаны из того же материалов, что и дошечка Бюффона. Расстояние от зеркала до кораблей, если верить легенде, было равно расстоянию arbaleтного выстрела, то есть около 400 метров ). В этом случае $S \approx 350 \text{ m}^2$. Но Архимеду надо было не просто зажчь корабли, ему надо было зажчь их быстро, так как корабли могли двигаться и, не в пример биофоновой дошечке, они не стали бы ждать, пока их подожгут. Расчет времени, за которой дерево нагревается до температуры возгорания, веса грамоздок и сложен, так как необходимо учитывать, например, тепломкость и теплопроводность дерева. Поэтому воспользоваться экспериментальным даннымми, приведенными в книге Лоусон «Атомная бомба и пожары*). По этим данным для того чтобы за 20 секунд зажчь двобые доски, необходима освещенность в 70 раз большая, чем освещенность предметов прямым солнечным светом в летнее время. Для создания такой освещенности площь зеркала надо увеличить до $700 \text{ m}^2$. Сами по себе размеры зеркала не слишком велики — древние греки строили и более граничные сооружения. Однако отраженные от различных частей зеркала солнечные лучи должны coincаться в одной точке, что требуется веса тщательного изготовления такого грамнадного зеркала. Но и это еще не все.

*) Смотри, например, книгу Р. Бред-бери «451 по Фаренгейту».
**) Д. Лоусон «Атомная бомба и пожары».