Задачи наших читателей

Рис. 10.

му углу). Следовательно, $|AD|=|AE|=m$. Аналогично можно доказать, что $|BD|=|BF|=n$. Теперь
$$|AC|=\sqrt{|AD|\cdot|AB|}=\sqrt{m^2+mn},$$
$$|BC|=\sqrt{|BD|\cdot|AB|}=\sqrt{n^2+mn}.$$

Упражнения

1 (МФТИ, 1963). Из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ опущена высота $BD$. Доказать, что ее длина равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники $ABC$, $ABD$ и $BCD$.

2 (МФТИ, 1963). Сумма катетов прямоугольного треугольника равна $l$, а длина высоты, опущенной из вершины прямого угла, равна $h$. Найти площадь треугольника.

3 (МФТИ, 1971). Периметр прямоугольного треугольника $ABC$ ($\widehat C=90^\circ$) равен $72\ см$, а разность длин медианы $CK$ и высоты $CM$ равна $7\ см$. Найти площадь треугольника $ABC$.

4 (МГУ, химфак, 1973). В прямоугольный треугольник $ABC$ вписан квадрат $CEKM$

так, что точка $K$ лежит на гипотенузе $AB$, а $E$ и $M$ — на катетах. Сторона этого квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник $ABC$, как $(2+\sqrt2):2$. Найти углы треугольника.

5 (МГУ, ВМК, 1973). В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CL$ прямого угла. Из вершины $A$ ($\widehat A>45^\circ$) на $[CL]$ опущен перпендикуляр $AD$. Найти площадь треугольника $ABC$, если $|AD|=a$, $|CL|=b$.

6 (МГУ, химфак, 1974). В прямоугольном треугольнике $ABC$ с острым углом $30^\circ$ проведена высота $CD$ из вершины прямого угла $C$. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $BCD$, если меньший катет треугольника $ABC$ равен $1$.

7 (МГУ, ф-т почвоведения, 1974). В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\widehat C=90^\circ$) $|CA|=4$. На катете $CB$ взята точка $D$ так, что $|CD|=1$. Окружность радиуса $\frac{\sqrt5}{2}$ проходит через точки $C$ и $D$ и касается в точке $C$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. Найти площадь треугольника $ABC$.

8 (МГУ, экономический ф-т, 1974). В равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ ($\widehat B=90^\circ$) вписан прямоугольник $MNKB$ так, что две его стороны $MB$ и $KB$ лежат на катетах, а вершина $N$ — на гипотенузе $AC$. В каком отношении точка $N$ должна делить гипотенузу, чтобы площадь прямоугольника составляла $18\%$ площади треугольника?

9 (НГУ, 1971). В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса $r$. Радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен $R$. Найти длину гипотенузы.

10. В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведена высота $CD$. Периметр треугольника $ADC$ равен $a$, а треугольника $BDC$ — $b$. Найти периметр треугольника $ABC$.

Задачи
наших
читателей

1. Доказать, что
   $$1^{100}+2^{100}+3^{100}+\ldots+\ldots+999\,999^{100}$$
   делится на $100\,000$.

2. Доказать, что если $a$ — нечетная цифра, то
   $$a^{36}-1$$
   делится на $1976$.

М. Штеренберг
(г. Саратов)

3. Вычислить сумму
   $$\sum_{x=1}^{n}\frac{1}{x^3+6x^2+11x+6}.$$

С. Сефибеков
(с. Кашкент
Дагестанской АССР)

4. Пусть $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника, $p$ — его полупериметр, $p_a=p-a$, $p_b=p-b$, $p_c=p-c$; $r_a$, $r_b$, $r_c$ — радиусы вневписанных окружностей. Доказать следующие соотношения между элементами этого треугольника:

$$\text{а) }\frac{p_a^2}{r_b r_c}+\frac{p_b^2}{r_c r_a}+\frac{p_c^2}{r_a r_b}=1;$$

$$\text{б) }\frac{p_a p_b}{r_c^2}+\frac{p_b p_c}{r_a^2}+\frac{p_c p_a}{r_b^2}=1.$$

У. Алла
(г. Выру Эстонской ССР)

5. Решить уравнения

а) $\overline{xyz}=\overline{yz}^{\,2}$;

б) $\overline{x^y}=\overline{yx}$;

в) $x^{y+2}=\overline{yx}$.

И. Михалкович
(Минская обл.)

54