Где ошибка?

Квант 1976, №12 с. 9 Тег 6P3B

ворять условию задачи (т. е. можно будет построить все целочисленные отрезки от 1 см до новой длины линейки).

Осталось выяснить, насколько большим можно сделать $l$ , меняя $m$ (число делений $k$ фиксировано). Для этого запишем формулу для $l$ в виде

$l = \frac{(k+1)(k+5)}{4} - \left( m - \frac{k+1}{2} \right)^2.$

Отсюда видно, что $l$ будет наиболее ширим при наименьшем $\left( m - \frac{k+1}{2} \right)^2$ .

Значит, если $k$ нечетно, то надо положить $m = \frac{k+1}{2}$ , а если $k$ четно, то надо положить $m = \frac{k}{2}$ или $m = \frac{k+2}{2}$ .

Итак,

$l \geq \frac{(k+1)(k+5)}{4} - \frac{1}{4} = \frac{k^2+6k+4}{4}.$

Вместо $l$ можно подставить $n$ . Выразив теперь $k$ через $n$ , получим:

$k \leq \sqrt{4n+5} - 3$ (если это число не целое, то нужно быть лижшей к нему больше целое число).

На рисунке 8 изображена таблица, в которой для $n$ от 1 до 15 данные значения $k(n)$ —наименьшего числа делений, удовлетворяющих условию задачи; полученной нами ранее из формулы $n \geq (k+2)(k+1)/2$ оценки сизу и только что выведенной оценки сверху. Видно, что эти значения мало отличаться друг от друга, но с ростом $n$ это отличие становится все больше.

Найти формулу, связывающего точное значение $k$ с $n$ , видимо, весма непросто. Нясно даже, будет ли функция $k(n)$ монотонной, т. е., если для отрезка длины $n$ достаточно $k$ делений, то достаточно ли их будет для отрезка длины $n-1$ ?

Как видите, от школьной задачи до серверной и трудной математической проблем — один шаг.